16 Matematične sheme za modeliranje sistemov.

Osnovni pristopi k izdelavi matematičnih modelov sistema. Zvezno deterministični modeli. Diskretno-deterministični modeli. Diskretno-stohastični modeli. Zvezno-stohastični modeli. Omrežni modeli. Kombinirani modeli.

Osnovni pristopi k izdelavi matematičnih modelov sistema.

Začetne informacije pri izdelavi matematičnih modelov procesov delovanja sistemov so podatki o namenu in pogojih delovanja preučevanega (načrtovanega) sistema. S.

Matematične sheme

Realni procesi so prikazani v obliki specifičnih diagramov. Mat. diagrami – prehod od smiselnega opisa k formalnemu opisu sistema ob upoštevanju vpliva okolja.

Formalni objektni model

Simulacijski objektni model,

sistemi S, lahko predstavimo kot niz količin,

opisovanje procesa delovanja realnega sistema in nastajanja

na splošno naslednje podmnožice:

· celota vhodni vplivi na sistem

Xjaz,еХ,(e-lik pripada)jaz=1; nx

· celota okoljski vplivi

vl eVl=1;nv

· celota notranji (lastni) parametri sistemi

hkeHk=1;nh

· celota izhodne značilnosti sistemi

yJeYj=1;ny

Ločimo lahko nadzorovane in neobvladljive spremenljivke.

Pri modeliranju sistemov vhodni vplivi, zunanji vplivi okolja in notranji parametri vsebujejo tako deterministične kot stohastične komponente.

vhodni vplivi, vplivi okolja E in notranji parametri sistema so neodvisne (eksogene) spremenljivke.

Postopek delovanja sistema S pravočasno opisal operater Fs, ki na splošno pretvarja eksogene spremenljivke v endogene v skladu z relacijami oblike:

l(t)=Fs(x,v, h,t) – vsi z vekTori.

Zakon delovanja sistema Fs je lahko specificiran v obliki funkcije, funkcij, logičnih pogojev, v algoritemski in tabelarični obliki ali v obliki verbalnega korespondenčnega pravila.

Koncept delujočega algoritma As - metoda za pridobivanje izhodnih karakteristik ob upoštevanju vhodnih vplivov, zunanjih vplivov okolja in lastnih parametrov sistema.

Predstavljena so tudi sistemska stanja – lastnosti sistema v določenih časovnih točkah.

Niz vseh možnih vrednosti stanja sestavlja prostor stanja objekta.

Tako nam veriga enačb objekta "vhod - stanja - izhod" omogoča določitev značilnosti sistema:

Tako pod matematični model predmeta(resnični sistem) razumejo končno podmnožico spremenljivk (x (t), v (t), h(t)) skupaj z matematičnimi povezavami med njimi in značilnostmi y(t).

Tipične sheme

Na začetnih stopnjah študije se uporabljajo standardne sheme : diferencialne enačbe, končni in verjetnostni avtomati, sistemi čakalnih vrst, Petrijeve mreže itd.

Kot deterministični modeli, ko se v študiji ne upoštevajo naključni dejavniki, se uporabljajo diferencialne, integralne, integrodiferencialne in druge enačbe za predstavitev sistemov, ki delujejo v zveznem času, in za predstavitev sistemov, ki delujejo v diskretnem času - končni avtomati in sheme končnih razlik.

Kot stohastični modeli (ob upoštevanju naključnih dejavnikov) se verjetnostni avtomati uporabljajo za predstavitev sistemov z diskretnim časom, sistemi čakalne vrste itd. pa se uporabljajo za predstavitev sistemov z zveznim časom.

Tako lahko pri izdelavi matematičnih modelov procesov delovanja sistemov ločimo naslednje glavne pristope: zvezno-deterministične (na primer diferencialne enačbe); diskretno-deterministični (končni avtomati); diskretno-stohastični (verjetnostni avtomati); zvezno-stohastično (čakalne vrste); generalizirani ali univerzalni (agregatni sistemi).

Zvezno deterministični modeli

Oglejmo si značilnosti neprekinjeno determinističnega pristopa na primeru z uporabo Mat. modeli diferencialne enačbe.

Diferencialne enačbe so tiste enačbe, v katerih so funkcije ene spremenljivke ali več spremenljivk neznane, enačba pa poleg njihovih funkcij vključuje tudi njihove odvode različnih vrst.

Če so neznanke funkcije mnogih spremenljivk, se enačbe imenujejo - parcialne diferencialne enačbe.Če so neznane funkcije ene neodvisne spremenljivke, potem navadne diferencialne enačbe.

Matematična relacija za deterministične sisteme v splošni obliki:

Diskretno-deterministični modeli.

DDM so predmet obravnave teorija avtomatov (TA). TA je del teoretične kibernetike, ki proučuje naprave, ki procesirajo diskretne informacije in spreminjanje svojih notranjih stanj le ob sprejemljivih časih.

Državni stroj je avtomat, katerega množica notranjih stanj in vhodnih signalov (in s tem množica izhodnih signalov) so končne množice.

Državni stroj ima množico notranjih stanj in vhodnih signalov, ki so končne množice. Stroj je podana s F-shemo: F= ,

kjer so z, x, y končne množice vhodnih in izhodnih signalov (abeceda) oziroma končna množica notranjih stanj (abeceda). z0ÎZ - začetno stanje; j(z, x) - prehodna funkcija; y(z, x) - izhodna funkcija.

Avtomat deluje v diskretnem avtomatskem času, katerega trenutki so urni cikli, to je enaki časovni intervali, ki mejijo drug na drugega, od katerih vsak ustreza konstantnim vrednostim vhodnega, izhodnega signala in notranjega stanja. Abstraktni avtomat ima en vhodni in en izhodni kanal.

Za podajanje F avtomata je potrebno opisati vse elemente množice F= , tj. vhodne, notranje in izhodne abecede ter prehodne in izhodne funkcije. Za podajanje delovanja F-avtomatov se najpogosteje uporabljajo tabelarične, grafične in matrične metode.

Pri tabelarni metodi nastavitve se uporabljajo tabele prehodov in izhodov, katerih vrstice ustrezajo vhodnim signalom stroja, stolpci pa njegovim stanjem.

Opis dela F- avtomatski stroj Mili tabele prehodov j in izhodov y ponazarja tabela (1), opis F - Moorovega stroja pa tabela prehodov (2).

Tabela 1

Prehodi
…………………………………………………………
…………………………………………………………

tabela 2

…………………………………………………………

Primeri tabelarične metode za določanje F - Mealyjev stroj F1 s tremi stanji, dvema vhodnima in dvema izhodnima signaloma so podani v tabeli 3, za F - Moorov stroj F2 - pa v tabeli 4.

Tabela 3

Prehodi

Tabela 4

Drug način določanja končnega avtomata uporablja koncept usmerjenega grafa. Graf avtomata je niz vozlišč, ki ustrezajo različnim stanjem avtomata in povezujejo točke lokov grafa, ki ustrezajo določenim prehodom avtomata. Če vhodni signal xk povzroči prehod iz stanja zi v stanje zj, potem je na grafu avtomata lok, ki povezuje točko zi z točko zj, označen z xk. Da bi določili prehodno funkcijo, morajo biti loki grafa označeni z ustreznimi izhodnimi signali.

riž. 1. Grafa avtomatov Mealy (a) in Moore (b).

Pri reševanju problemov modeliranja je matrična specifikacija končnega avtomata pogosto primernejša oblika. V tem primeru je povezovalna matrika avtomata kvadratna matrika C=|| cij ||, katerega vrstice ustrezajo začetnim stanjem, stolpci pa prehodnim stanjem.

Primer. Za predhodno obravnavani Moorov avtomat F2 zapišemo matriko stanja in izhodni vektor:

;

Diskretno-stohastični modeli

Naj bo Ф množica vseh možnih parov oblike (zk, yi), kjer je уi element izhoda

podmnožica Y. Zahtevamo, da kateri koli element množice G inducira

na množici Ф nek porazdelitveni zakon naslednje oblike:

Elementi iz F (z1, y2) (z1, y2zk, yJ-1) (zK, yJ)

(xi, zs) b11 b1bK(J-1) bKJ

Informacijska omrežja" href="/text/category/informatcionnie_seti/" rel="bookmark">obdelava računalniških informacij iz oddaljenih terminalov itd.

Hkrati je značilno za

delovanje takih objektov je naključen pojav aplikacij (zahtev) za

vzdrževanje in dokončanje servisa v naključni trenutkičas,

stohastičnost procesa njihovega delovanja.

QS razumemo kot dinamičen sistem, zasnovan za učinkovito servisiranje naključnega toka zahtev z omejenimi sistemskimi viri. Generalizirana struktura QS je prikazan na sliki 3.1.

riž. 3.1. Shema SMO.

Homogene zahteve, ki prispejo na vhod QS, so glede na vzrok generiranja razdeljene na vrste, intenzivnost pretoka zahtev tipa i (i=1...M) je označena z li. Celota zahtevkov vseh vrst je vhodni tok QS.

Prijave so v obdelavi m kanalov.

Obstajajo univerzalni in specializirani servisni kanali. Za univerzalni kanal tipa j velja, da so porazdelitvene funkcije Fji(t) trajanja servisnih zahtevkov poljubnega tipa znane. Za specializirane kanale so funkcije za porazdelitev trajanja servisnih kanalov zahtev nekaterih vrst negotova, dodelitev teh zahtev danemu kanalu.

Q-vezja je mogoče preučevati analitično in s simulacijskimi modeli. Slednji zagotavlja večjo vsestranskost.

Razmislimo o konceptu čakalne vrste.

V katerem koli elementarnem dejanju storitve je mogoče ločiti dve glavni komponenti: pričakovano storitev s strani aplikacije in dejansko storitev aplikacije. To lahko prikažemo v obliki neke i-te servisne naprave Pi, sestavljene iz zbiralnika škod, ki lahko hkrati vsebuje li=0...LiH terjatev, kjer je LiH kapaciteta i-te pomnilnika, in terjatev servisni kanal, ki.

riž. 3.2. Diagram naprave SMO

Vsak element servisne naprave Pi prejme tokove dogodkov: pogon Hi prejme tok zahtev wi, kanal ki pa servisni tok ui.

Tok dogodkov(PS) je zaporedje dogodkov, ki se zgodijo drug za drugim v nekaterih naključnih trenutkih časa. Obstajajo tokovi homogenih in heterogenih dogodkov. Homogena PS je označen le s trenutki prihoda teh dogodkov (trenutki, ki povzročajo) in je podan z zaporedjem (tn)=(0£t1£t2…£tn£…), kjer je tn trenutek prihoda n-tega dogodek - nenegativno realno število. OPS je mogoče določiti tudi kot zaporedje časovnih intervalov med n-tim in n-1. dogodkom (tn).

Heterogena PS imenujemo zaporedje (tn, fn), kjer so tn vzročni momenti; fn je niz atributov dogodka. Določite lahko na primer pripadnost določenemu viru zahtev, prisotnost prioritete, zmožnost strežbe določene vrste kanala itd.

Zahteve, ki jih streže kanal ki, in zahteve, zaradi katerih naprava Pi zaradi različnih razlogov ni bila servisirana, tvorijo izhodni tok yiÎY.

Proces delovanja servisne naprave Pi lahko predstavimo kot proces spreminjanja stanj njenih elementov v času Zi(t). Prehod v novo stanje za Pi pomeni spremembo števila zahtev, ki so v njem (v kanalu ki in shrambi Hi). to. vektor stanja za Pi ima obliko: , kjer so stanja pogona, (https://pandia.ru/text/78/362/images/image010_20.gif" width="24 height=28" height="28" >=1 - v pogonu je ena zahteva..., =- pogon je popolnoma zaseden - stanje kanala ki (=0 - kanal je prost, =1 kanal je zaseden).

Q-sheme realnih objektov tvorijo sestave številnih elementarnih servisnih naprav Pi. Če so ki različne servisne naprave povezane vzporedno, potem poteka večkanalna storitev (večkanalna Q-shema), če pa so naprave Pi in njihove vzporedne sestave povezane zaporedno, potem poteka večfazna storitev (večfazna Q-shema).

Za definiranje Q-sheme je potrebno opisati tudi algoritme za njeno delovanje, ki določajo pravila obnašanja aplikacij v različnih dvoumnih situacijah.

Glede na lokacijo takih situacij obstajajo algoritmi (discipline) za čakanje na zahteve v hranilniku Hi in servisiranje zahtev po kanalu ki. Heterogenost toka prijav je upoštevana z uvedbo prednostnega razreda - relativne in absolutne prioritete.

to. Q-shema, ki opisuje proces delovanja QS katere koli kompleksnosti, je enolično določena kot niz nizov: Q = .

Omrežni modeli.

Za formalni opis strukture in interakcije vzporednih sistemov in procesov ter za analizo vzročno-posledičnih razmerij v kompleksnih sistemih se uporabljajo Petrijeve mreže, imenovane N-sheme.

Formalno je N-shema podana s štirikratnikom oblike

N= ,

kjer je B končna množica simbolov, imenovanih položaji, B ≠ O;

D je končna množica simbolov, imenovanih prehodi D ≠ O,

B ∩ D ≠ O; I – vhodna funkcija (direktna vpadna funkcija)

I: B × D → (0, 1); О – izhodna funkcija (inverzna incidenčna funkcija),

O: B × D → (0, 1). Tako vhodna funkcija I preslika prehod dj v

niz vhodnih položajev bj I(dj), izhodna funkcija O pa odraža

prehod dj na množico izhodnih položajev bj O(dj). Za vsak prehod

dj https://pandia.ru/text/78/362/images/image013_14.gif" width="13" height="13"> B | I(bi, dj) = 1),

O(dj) = (bi B | O(dj, bi) = 1),

i = 1,n; j = 1,m; n = | B |, m = | D|.

Podobno so za vsako pozicijo bi B uvedene definicije

niz vhodnih prehodov položaja I(bi) in izhodnih prehodov

položaji O(bi):

I(bi) = (dj D | I(dj, bi,) = 1),

O(bi) = (dj D | O(bi, dj) = 1).

Petrijeva mreža je bipartitni usmerjeni graf, sestavljen iz vozlišč dveh vrst - položajev in prehodov, povezanih z loki; vozlišč istega tipa ni mogoče neposredno povezati.

Primer Petrijeve mreže. Beli krogi označujejo položaje, črte označujejo prehode, črne kroge označujejo oznake.

Orientacijski loki povezujejo položaje in prehode, pri čemer je vsak lok usmerjen od elementa enega niza (položaj ali prehod) na element drugega niza

(prehod ali položaj). Graf N-sheme je multigraf, ker je

omogoča obstoj večih lokov iz enega oglišča v drugo.

Dekompozicija" href="/text/category/dekompozitciya/" rel="bookmark">Dekompozicija predstavlja kompleksen sistem kot večnivojsko strukturo med seboj povezanih elementov, združenih v podsisteme različnih nivojev.

Agregat deluje kot element A-sheme, povezava med agregati (znotraj sistema S in z zunanjim okoljem E) pa se izvaja s konjugacijskim operatorjem R.

Za vsako enoto so značilni naslednji nizi: trenutki časa T, vhodni X in izhodni signali Y, stanja Z v vsakem trenutku t. Stanje enote v času tT je označeno kot z(t) Z,

in vhodni in izhodni signal sta x(t) X oziroma y(t) Y.

Predpostavili bomo, da pride do prehoda agregata iz stanja z(t1) v stanje z(t2)≠z(t1) v kratkem časovnem intervalu, tj. do preskoka δz.

Prehode enote iz stanja z(t1) v z(t2) določajo lastni (notranji) parametri same enote h(t) H in vhodni signali x(t) X.

V začetnem trenutku časa t0 imajo stanja z vrednosti enake z0, tj. z0=z(t0), ki jih določa distribucijski zakon procesa z(t) v času t0, in sicer J. Predpostavimo, da je proces delovanja enote v primeru udarnega vhodnega signala xn opišemo z naključnim operatorjem V. Nato v trenutku, ko v enoto vstopi vhodni signal tnT

xn lahko določite stanje

z(tn + 0) = V.

Označimo razpolovni čas t1< t ≤ t2 как (t1, t2], а полуинтервал

t1 ≤ t< t2 как .

Množica naključnih operatorjev V in U je obravnavana kot operator prehodov agregata v nova stanja. V tem primeru je proces delovanja enote sestavljen iz skokov v stanjih δz v trenutkih prihoda vhodnih signalov x (operator V) in sprememb stanj med temi trenutki tn in tn+1 (operator U). Za operator U ni nobenih omejitev, zato so dovoljeni preskoki v stanjih δz v časovnih trenutkih, ki niso trenutki prihoda vhodnih signalov x. V nadaljevanju bomo trenutke preskokov δz imenovali posebni trenutki časa tδ, stanja z(tδ) pa posebna stanja A-sheme. Za opis preskokov stanj δz v posebnih trenutkih časa tδ bomo uporabili naključni operator W, ki je poseben primer operatorja U, tj.

z(tδ + 0) = W.

V nizu stanj Z je podmnožica Z(Y) dodeljena tako, da če z(tδ) doseže Z(Y), potem je to stanje trenutek izdaje izhodnega signala, ki ga določi izhodni operator

y = G.

Tako bomo z agregatom razumeli vsak objekt, ki ga definira urejena zbirka obravnavanih nizov T, X, Y, Z, Z(Y), H in naključnih operatorjev V, U, W, G.

Zaporedje vhodnih signalov, razvrščenih po vrstnem redu njihovega prihoda v A-vezje, se imenuje vhodno sporočilo ali x-sporočilo. Zaporedje izhodnih signalov, urejenih glede na čas izdaje, imenujemo izhodno sporočilo ali y-sporočilo.

ČE NA KRATKO

Zvezno deterministični modeli (D-sheme)

Uporabljajo se za preučevanje sistemov, ki delujejo v neprekinjenem času. Za opis takih sistemov se uporabljajo predvsem diferencialne, integralne in integro-diferencialne enačbe. Navadne diferencialne enačbe upoštevajo funkcijo samo ene neodvisne spremenljivke, parcialne diferencialne enačbe pa funkcije več spremenljivk.

Primer uporabe D-modelov je preučevanje delovanja mehanskega nihala ali električnega nihajnega kroga. Tehnična osnova D-modelov je analogna računski stroji(AVM) ali trenutno hitro razvijajočih se hibridnih računalnikov (HCM). Kot je znano, je osnovni princip računalniškega raziskovanja, da raziskovalec (uporabnik računalnika) s pomočjo danih enačb sestavi vezje iz posameznih standardnih enot - operacijski ojačevalniki z vključitvijo skaliranja, dušenja, aproksimacijskih vezij itd.

Struktura AVM se spreminja v skladu z vrsto ponovljivih enačb.

V digitalnem računalniku ostane struktura nespremenjena, vendar se zaporedje delovanja njegovih vozlišč spremeni v skladu s programom, ki je vanj vgrajen. Primerjava AVM in CVM jasno pokaže razliko med simulacijo in statističnim modeliranjem.

ABM izvaja simulacijski model, vendar praviloma ne uporablja principov statističnega modeliranja. V digitalnih računalnikih večina simulacijskih modelov temelji na preučevanju naključnih števil in procesov, tj. na statističnem modeliranju. Zvezno deterministični modeli se pogosto uporabljajo v strojništvu pri proučevanju sistemov avtomatsko krmiljenje, izbor blažilnih sistemov, prepoznavanje resonančnih pojavov in tresljajev v tehniki
in tako naprej.

Diskretno-deterministični modeli (F-sheme)

Delujte z diskretnim časom. Ti modeli so osnova za proučevanje delovanja danes izjemno pomembnega in razširjenega razreda diskretnih avtomatskih sistemov. Za namen njihovega študija je bil razvit samostojen matematični aparat teorije avtomatov. Na podlagi te teorije se sistem obravnava kot avtomat, ki obdeluje diskretne informacije in spreminja svoja notranja stanja, odvisno od rezultatov njihove obdelave.

Ta model temelji na načelih minimiziranja števila elementov in vozlišč v vezju, napravi, optimizaciji naprave kot celote in zaporedja delovanja njenih vozlišč. Poleg elektronskih vezij je izrazit predstavnik strojev, ki jih opisuje ta model, robot, ki krmili (po danem programu) tehnološki procesi v danem determinističnem zaporedju.

Stroj s številkami programsko nadzorovan opisuje tudi ta model. Izbira zaporedja obdelave delov na tem stroju se izvede z nastavitvijo krmilne enote (krmilnika), ki v določenih časovnih točkah generira krmilne signale /4/.

Teorija avtomatov uporablja matematični aparat logičnih funkcij, ki delujejo z dvema možnima vrednostima signala 0 in 1.

Avtomate delimo na avtomate brez spomina in avtomate s spominom. Njihovo delovanje je opisano s tabelami, matricami in grafi, ki prikazujejo prehode stroja iz enega stanja v drugega. Analitične ocene za kakršen koli opis delovanja stroja so zelo okorne in tudi z relativno majhnim številom elementov in vozlišč, ki tvorijo napravo, praktično nemogoče. Zato študija kompleksna vezja avtomati, kamor nedvomno sodijo robotske naprave, se izdelujejo s simulacijskim modeliranjem.

Diskretno-stohastični modeli (P-sheme)

Uporabljajo se za proučevanje delovanja verjetnostnih avtomatov. V strojih te vrste se prehodi iz enega stanja v drugega izvajajo pod vplivom zunanjih signalov in ob upoštevanju notranjega stanja stroja. Vendar za razliko od G-avtomatov ti prehodi niso strogo deterministični, ampak jih je mogoče izvesti z določenimi verjetnostmi.

Primer takega modela je diskretna Markovljeva veriga s končno množico stanj. Analiza F-shem temelji na obdelavi in ​​transformaciji verjetnostnih matrik prehodov ter analizi verjetnostnih grafov. Že za primerjalno analizo enostavne naprave, katerih obnašanje opisujejo F-sheme, je priporočljivo uporabiti simulacijsko modeliranje. Primer takega modeliranja je podan v odstavku 2.4.

Zvezni stohastični modeli (Q-sheme)

Uporabljajo se pri analizi širokega razreda sistemov, ki veljajo za čakalne vrste. Kot storitveni proces lahko predstavljamo procese različne fizične narave: tokove dostave izdelkov v podjetje, tokove po meri izdelanih komponent in izdelkov, tokove delov na tekočem traku, tokove krmilnih dejanj iz nadzornega centra avtomatiziranega sistema. nadzorni sistem na delovna mesta in povratne zahteve za obdelavo informacij v računalniku itd.

Običajno so ti tokovi odvisni od številnih dejavnikov in posebnih situacij. Zato so ti tokovi v večini primerov časovno naključni z možnostjo sprememb v vsakem trenutku. Analiza takšnih shem se izvaja na podlagi matematičnega aparata teorije čakalnih vrst. Ti vključujejo neprekinjeno Markovljevo verigo. Kljub znatnemu napredku, doseženemu v razvoju analitičnih metod, je teorijo čakalnih vrst in analizo Q-shem z analitičnimi metodami mogoče izvesti le ob pomembnih poenostavljenih predpostavkah in predpostavkah. Podrobno študijo večine teh shem, zlasti tako zapletenih, kot so avtomatizirani sistemi za nadzor procesov in robotski sistemi, je mogoče izvesti le s simulacijskim modeliranjem.

Posplošeni modeli (A-sheme)

Temelji na opisu procesov delovanja katerega koli sistema na podlagi agregatne metode. Z agregatnim opisom je sistem razdeljen na ločene podsisteme, ki se lahko štejejo za priročne za matematični opis. Kot rezultat takšne delitve (razgradnje) je kompleksen sistem predstavljen kot večnivojski sistem, katerega posamezne ravni (agregati) so primerne za analizo. Na podlagi analize posameznih enot in ob upoštevanju zakonitosti medsebojnih odnosov teh enot je možno izvesti celovito študijo celotnega sistema.

, Yakovlev sistemi. 4. izd. – M.: Višja šola, 2005. – Str. 45-82.

Za uporabo računalnika pri reševanju aplikativnih problemov je treba aplikativni problem najprej »prevesti« v formalni matematični jezik, tj. za pravi objekt, proces ali sistem mora biti zgrajen matematični model.

Matematični modeli v kvantitativni obliki z uporabo logičnih in matematičnih konstruktov opisujejo osnovne lastnosti predmeta, procesa ali sistema, njegove parametre, notranje in zunanje povezave.

Za izdelava matematičnega modela potrebno:

1. skrbno analizirati realen predmet ali proces;
2. poudari njegove najpomembnejše značilnosti in lastnosti;
3. definirati spremenljivke, tj. parametri, katerih vrednosti vplivajo na glavne značilnosti in lastnosti predmeta;
4. opišejo odvisnost osnovnih lastnosti predmeta, procesa ali sistema od vrednosti spremenljivk z uporabo logično-matematičnih odnosov (enačb, enačb, neenakosti, logično-matematičnih konstrukcij);
5. označite interne komunikacije objekt, proces ali sistem z uporabo omejitev, enačb, enačb, neenakosti, logičnih in matematičnih konstrukcij;
6. prepoznati zunanje povezave in jih opisati z omejitvami, enačbami, enačbami, neenačbami, logičnimi in matematičnimi konstrukcijami.

Matematično modeliranje, poleg preučevanja predmeta, procesa ali sistema in priprave njihovega matematičnega opisa, vključuje tudi:

1. izdelava algoritma, ki modelira obnašanje predmeta, procesa ali sistema;
2. pregled ustreznost modela in objekt, proces ali sistem, ki temelji na računalniškem in naravnem eksperimentu;
3. prilagoditev modela;
4. z uporabo modela.

Matematični opis preučevanih procesov in sistemov je odvisen od:

1. naravo realnega procesa ali sistema in je sestavljen na podlagi zakonov fizike, kemije, mehanike, termodinamike, hidrodinamike, elektrotehnike, teorije plastičnosti, teorije elastičnosti itd.
2. zahtevana zanesljivost in natančnost študija in raziskovanja realnih procesov in sistemov.

Na stopnji izbire matematičnega modela se ugotavljajo: linearnost in nelinearnost predmeta, procesa ali sistema, dinamičnost ali statičnost, stacionarnost ali nestacionarnost, pa tudi stopnja determiniranosti predmeta ali procesa, ki se proučuje. Pri matematičnem modeliranju se namenoma abstrahiramo od specifične fizične narave predmetov, procesov ali sistemov in se v glavnem osredotočamo na preučevanje kvantitativnih odvisnosti med količinami, ki opisujejo te procese.

Matematični model nikoli ni popolnoma enak predmetu, procesu ali sistemu. Temelji na poenostavitvi, idealizaciji, je približen opis predmeta. Zato so rezultati, dobljeni z analizo modela, približni. Njihova natančnost je določena s stopnjo ustreznosti (skladnosti) med modelom in objektom.

Običajno se začne s konstrukcijo in analizo najenostavnejšega, najbolj grobega matematičnega modela predmeta, procesa ali sistema. V prihodnosti se model po potrebi izpopolni in njegova ustreznost objektu postane popolnejša.

Vzemimo preprost primer. Treba je določiti površino mize. Običajno se to naredi tako, da se izmeri njegova dolžina in širina ter nato pomnoži dobljena števila. Ta elementarni postopek pravzaprav pomeni naslednje: realni objekt (površino mize) nadomestimo z abstraktnim matematičnim modelom - pravokotnikom. Dimenzije, dobljene z merjenjem dolžine in širine površine mize, so dodeljene pravokotniku, površina takšnega pravokotnika pa je približno zahtevana površina mize.

Vendar pa je pravokotni model za mizo najpreprostejši, najbolj surov model. Če k problemu pristopite resneje, je treba pred uporabo pravokotnega modela za določitev površine mize ta model preveriti. Preverjanje lahko izvedete na naslednji način: izmerite dolžine nasprotnih strani mize, pa tudi dolžine njenih diagonal in jih primerjajte med seboj. Če so z zahtevano stopnjo natančnosti dolžine nasprotnih stranic in dolžine diagonal v parih enake, potem površino mize res lahko štejemo za pravokotnik. V nasprotnem primeru bo treba model pravokotnika zavrniti in ga nadomestiti s štirikotnim modelom splošni pogled. Z več visoke zahteve Za izboljšanje natančnosti bo morda treba model še izboljšati, na primer, da se upošteva zaokroževanje vogalov mize.

S tem preprostim primerom se je pokazalo, da matematični model predmet, proces ali sistem, ki se preučuje, ni enolično določen. Za isto tabelo lahko sprejmemo bodisi model pravokotnika, bodisi kompleksnejši model splošnega štirikotnika ali štirikotnik z zaobljenimi vogali. Izbira enega ali drugega modela je odvisna od zahteve po natančnosti. Z naraščajočo natančnostjo je treba model komplicirati, pri čemer je treba upoštevati vedno nove lastnosti preučevanega predmeta, procesa ali sistema.

Oglejmo si še en primer: preučevanje gibanja ročičnega mehanizma (slika 2.1).

riž. 2.1.

Za kinematično analizo tega mehanizma je najprej potrebno zgraditi njegov kinematični model. Za to:

1. Mehanizem zamenjamo z njegovim kinematskim diagramom, kjer so zamenjani vsi členi trde vezi;
2. S pomočjo tega diagrama izpeljemo enačbo gibanja mehanizma;
3. Z diferenciranjem slednjih dobimo enačbi hitrosti in pospeška, ki sta diferencialni enačbi 1. in 2. reda.

Zapišimo te enačbe:

kjer je C 0 skrajni desni položaj drsnika C:

r – radij ročične gredi AB;

l – dolžina ojnice BC;

– kot vrtenja gonilke;

Prejeto transcendentne enačbe predstavite matematični model gibanja ploščatega aksialnega ročičnega mehanizma, ki temelji na naslednjih poenostavljenih predpostavkah:

1. strukturne oblike in razporeditev mas, vključenih v mehanizem teles, nas niso zanimale in smo vsa telesa mehanizma nadomestili z ravnimi segmenti. Pravzaprav imajo vse povezave mehanizma maso in precej zapleteno obliko. Na primer, ojnica je kompleksen sklop, katerega oblika in dimenzije seveda vplivajo na gibanje mehanizma;
2. Pri premikanju obravnavanega mehanizma tudi nismo upoštevali elastičnosti teles, vključenih v mehanizem, tj. vse povezave so bile obravnavane kot abstraktna absolutno toga telesa. V resnici so vsa telesa, vključena v mehanizem, prožna telesa. Ko se mehanizem premakne, se bodo nekako deformirali, v njih pa se lahko pojavijo celo elastične vibracije. Vse to bo seveda vplivalo tudi na premikanje mehanizma;
3. nismo upoštevali proizvodne napake členov, vrzeli v kinematičnih parih A, B, C itd.

Zato je pomembno še enkrat poudariti, da višje kot so zahteve po točnosti rezultatov reševanja problema, večja je potreba po upoštevanju pri izdelava matematičnega modela značilnosti predmeta, procesa ali sistema, ki se preučuje. Vendar se je tu treba pravočasno ustaviti, saj je težko matematični model se lahko spremeni v težavo, ki jo je težko rešiti.

Model je najlažje sestaviti, če so zakoni, ki določajo obnašanje in lastnosti predmeta, procesa ali sistema, dobro znani in obstajajo bogate praktične izkušnje z njihovo uporabo.

Bolj zapletena situacija nastane, ko je naše znanje o predmetu, procesu ali sistemu, ki ga preučujemo, nezadostno. V tem primeru, ko izdelava matematičnega modela potrebno je postaviti dodatne predpostavke, ki so v naravi hipotez, tak model imenujemo hipotetičen. Sklepi, pridobljeni kot rezultat preučevanja takšnega hipotetičnega modela, so pogojni. Za preverjanje zaključkov je potrebno primerjati rezultate preučevanja modela na računalniku z rezultati eksperimenta v polnem obsegu. Tako vprašanje uporabnosti določenega matematičnega modela za preučevanje obravnavanega predmeta, procesa ali sistema ni matematično vprašanje in ga ni mogoče rešiti z matematičnimi metodami.

Glavno merilo resnice je eksperiment, praksa v najširšem pomenu besede.

Gradnja matematičnega modela pri aplikativnih nalogah – ena najbolj zapletenih in kritičnih faz dela. Izkušnje kažejo, da v mnogih primerih izbira pravega modela pomeni več kot polovično rešitev problema. Težavnost te stopnje je v tem, da zahteva kombinacijo matematičnega in specialnega znanja. Zato je zelo pomembno, da imajo pri reševanju aplikativnih problemov matematiki posebna znanja o predmetu, njihovi partnerji, specialisti, pa določeno matematično kulturo, raziskovalne izkušnje na svojem področju, znanje računalništva in programiranja.

Največje težave in najresnejše napake pri modeliranju nastanejo pri prehodu od smiselnega k formalnemu opisu predmetov raziskovanja, kar je razloženo s sodelovanjem v tem kreativnem procesu skupin različnih specialnosti: specialistov s področja sistemov, ki jih je treba modelirani (stranke) in strokovnjaki na področju strojnega modeliranja (izvajalci). Učinkovito sredstvo za iskanje medsebojnega razumevanja med temi skupinami strokovnjakov je jezik matematičnih shem, ki nam omogoča, da v ospredje postavimo vprašanje ustreznosti prehoda od smiselnega opisa sistema do njegove matematične sheme in šele nato odločiti za določeno metodo pridobivanja rezultatov z uporabo računalnika: analitično ali simulacijsko, lahko pa tudi kombinirano, t.j. analitično-simulacijsko. V zvezi s specifičnim objektom modeliranja, to je kompleksnim sistemom, naj si razvijalec modela pomaga s posebnimi matematičnimi shemami, ki so bile že preizkušene za določen razred sistemov in so se izkazale kot učinkovite pri aplikativnih raziskavah na računalniku in se imenujejo standardne matematične sheme.

OSNOVNI PRISTOPI K KONSTRUKCIJI MATEMATIČNIH MODELOV SISTEMOV

Začetne informacije pri izdelavi matematičnih modelov procesov delovanja sistemov so podatki o namenu in pogojih delovanja proučevanega sistema (načrtovanja) 5. Te informacije določajo glavni cilj modeliranja sistema £ in nam omogočajo oblikovanje zahtev za razvito matematično model A/. Poleg tega je stopnja abstrakcije odvisna od obsega vprašanj, na katera želi raziskovalec sistema odgovoriti z uporabo modela, in do neke mere določa izbiro matematične sheme.

Matematične sheme.

Uvedba koncepta "matematične sheme" nam omogoča, da matematiko ne obravnavamo kot metodo izračuna, temveč kot metodo mišljenja, kot sredstvo za oblikovanje konceptov, kar je najpomembnejše pri prehodu iz verbalnega opisa sistema na formalno predstavitev procesa njegovega delovanja v obliki nekega matematičnega modela (analitičnega ali simulacijskega). Pri uporabi matematične sheme mora raziskovalca sistema 5* zanimati predvsem vprašanje ustreznosti predstavitve v obliki specifičnih diagramov realnih procesov v proučevanem sistemu in ne možnost pridobitve odgovora (rezultat rešitve) na določeno raziskovalno vprašanje. Na primer, predstavitev procesa delovanja skupnega informacijskega računalniškega sistema v obliki mreže shem čakalnih vrst omogoča dobro opisovanje procesov, ki se pojavljajo v sistemu, vendar s kompleksnimi zakoni porazdelitve vhodnih tokov in tokov storitev ne omogoča eksplicitnega pridobivanja rezultatov.

Matematična shema lahko opredelimo kot člen pri prehodu od smiselnega k formalnemu opisu procesa delovanja sistema ob upoštevanju vpliva zunanjega okolja, tj. obstaja veriga »opisni model - matematična shema - matematični [ analitični in/ali simulacijski] model«.

Za vsak specifičen sistem L1 je značilen nabor lastnosti, ki jih razumemo kot količine, ki odražajo obnašanje simuliranega objekta (resničnega sistema) in upoštevajo pogoje njegovega delovanja v interakciji z zunanjim okoljem (sistemom). E. Pri izdelavi matematičnega modela sistema je treba rešiti vprašanje njegove popolnosti. Popolnost modela je regulirana predvsem z izbiro meje "system.U-okolje £>>. Rešiti je treba tudi problem poenostavitve modela, ki pomaga poudariti glavne lastnosti sistema in zavrže sekundarne Poleg tega je razvrstitev lastnosti sistema med osnovne ali sekundarne bistveno odvisna od namena modeliranja sistema (na primer analiza verjetnostno-časovnih karakteristik procesa delovanja sistema, sinteza strukture sistema itd.).

Formalni model predmeta. Model objekta modeliranja, tj. sistema 5, lahko predstavimo kot množico količin, ki opisujejo proces delovanja realnega sistema in tvorijo v splošnem primeru naslednje podmnožice: zbirka vhodni vplivi na sistem

celota okoljski vplivi

celota notranji (lastni) parametri sistemi

celota izhodne značilnosti sistemi

V tem primeru lahko v navedenih podmnožicah ločimo nadzorovane in neobvladljive spremenljivke. V splošnem primeru x„ r/, A*,

pri y so elementi disjunktnih podmnožic in vsebujejo tako deterministične kot stohastične komponente.

Pri modeliranju sistema 5 vhodnih vplivov, zunanjih vplivov okolja E in notranji parametri sistema so neodvisne (eksogene) spremenljivke, ki imajo v vektorski obliki ustrezno obliko x (/) = (*! (O, x 2 (0> -" x *x(0)*

" (0=("1 (0. "2(0. . "^(0; l (/)=(*! (0. L 2 (0. ■ . L -N (0)). in izhodne značilnosti sistem so odvisne (endogene) spremenljivke in v vektorski obliki izgledajo y (0=(y 1 0), y 2 ( 0" > U.gSh

Proces delovanja sistema 5 časovno opisuje operator /* 5, ki v splošnem primeru pretvarja eksogene spremenljivke v endogene v skladu z relacijami oblike

Množica odvisnosti izhodnih karakteristik sistema od časa yDg) za vse vrste y = 1, p y klical izhodna trajektorija y ((). Odvisnost (2.1) se imenuje zakon delovanja sistema B in je določen G 5. Na splošno zakon delovanja sistema E 5 lahko podamo v obliki funkcije, funkcij, logičnih pogojev, v algoritemski in tabelarični obliki ali v obliki besednega pravila ujemanja.

Za opis in študij sistema 5 je zelo pomemben koncept algoritem delovanja L 5, ki se razume kot metoda za pridobivanje izhodnih karakteristik ob upoštevanju vhodnih vplivov X(/), vplivi okolja V(d) in lastne parametre sistema IN(/). Očitno je, da se lahko izvede isti zakon delovanja sistema 5 različne poti, tj. z uporabo številnih različnih algoritmov delovanja L$.

Relacije (2.1) so matematični opis obnašanja modelirnega objekta (sistema) v času /, tj. odražajo njegove dinamične lastnosti. Zato se matematični modeli te vrste običajno imenujejo dinamični modeli (sistemi) .

Za statične modele je matematični model (2.1) preslikava med dvema podmnožicama lastnosti modeliranega predmeta. U in (X, V, I), kar lahko v vektorski obliki zapišemo kot

Relacije (2.1) in (2.2) je mogoče določiti na različne načine: analitično (z uporabo formul), grafično, tabelarno itd. Takšne relacije je v številnih primerih mogoče dobiti.

skozi lastnosti sistema 5 v določenih časovnih točkah, imenovanih države. Stanje sistema 5 je označeno z vektorji

Kje *; = *!(/"), *2=*2(0" " **=**(0 trenutno /"e(/ 0 , 7); *1 =^(0, *2=*2(P", *£=**(*") v trenutku /"b(/ 0, 7) itd., £=1, p g.

Če obravnavamo proces delovanja sistema 5 kot zaporedno spreminjanje stanj (/), r 2 (/), G Kdo so oni

lahko interpretiramo kot koordinate točke v ^-dimenzionalnem faznem prostoru in vsaka izvedba procesa bo ustrezala določeni fazni trajektoriji. Nabor vseh možnih vrednosti stanja (G) klical državni prostor objekt modeliranja Zt in g do e Z.

Stanje sistema 5 v trenutku popolnoma

določajo začetni pogoji 7° = (2° 1,. 2 2°, G° k) [kje

*°1 = *1(*o)" *°g = *2 (^o)" -" *°*=**(*o)]" glede na vhodne vplive X(/), notranji parametri Za(/) in vplivi okolja V(0, ki se je zgodil v časovnem obdobju - / 0, z uporabo dveh vektorskih enačb

Prva enačba za začetno stanje g° in eksogene spremenljivke x, V, I določa vektorsko funkcijo (/), drugo pa na podlagi dobljene vrednosti stanj G(/) - endogene spremenljivke na izhodu sistema pri(/). Tako omogoča veriga enačb objekta "vhod - stanja - izhod". opredeliti značilnosti sistema

Na splošno čas v modelu sistema jaz se lahko upošteva v intervalu modeliranja (O, T) tako zvezna kot diskretna, tj. kvantizirana v negativu rezanje d vrstica A/ časovne enote vsak, kdaj T=tA1, Kje T- 1, t T- število intervalov vzorčenja.

Tako pod matematični model predmeta(resnični sistem) razumejo končno podmnožico spremenljivk (X (/), b (/), IN(d)) skupaj z matematičnimi povezavami med njimi in značilnostmi pri (/) .

Če matematični opis predmeta modeliranja ne vsebuje naključnih elementov ali le-ti niso upoštevani, tj.

lahko domnevamo, da gre v tem primeru za stohastične vplive zunanjega okolja V(/) in stohastični notranji parametri IN(/) manjka, potem se pokliče model deterministični v smislu, da so značilnosti enolično določene z determinističnimi vhodnimi vplivi

Očitno je, da je deterministični model poseben primer stohastičnega modela.

Tipične sheme.

Predstavljeni matematični odnosi predstavljajo splošne matematične sheme in omogočajo opis širokega razreda sistemov. Vendar pa je v praksi modeliranja objektov na področju sistemskega inženiringa in sistemske analize na začetnih stopnjah sistemskega raziskovanja bolj racionalno uporabiti tipične matematične sheme: diferencialne enačbe, končni in verjetnostni avtomati, sistemi čakalnih vrst, Petrijeve mreže itd.

Tipične matematične sheme, ki nimajo enake stopnje splošnosti kot obravnavani modeli, imajo prednosti preprostosti in jasnosti, vendar z občutnim zoženjem možnosti uporabe. Kot deterministični modeli, ko se v študiji ne upoštevajo naključni dejavniki, se za predstavitev sistemov, ki delujejo v zveznem času, uporabljajo diferencialne, integralne, integro-diferencialne in druge enačbe, za predstavitev sistemov, ki delujejo v diskretnem času, pa se uporabljajo avtomati s končno razliko. shema. Kot stohastični modeli (ob upoštevanju naključnih dejavnikov) se verjetnostni avtomati uporabljajo za predstavitev sistemov z diskretnim časom, sistemi čakalne vrste itd. pa se uporabljajo za predstavitev sistemov z zveznim časom.

Navedene standardne matematične sheme seveda ne morejo trditi, da lahko na njihovi podlagi opišejo vse procese, ki se pojavljajo v velikih informacijskih in nadzornih sistemih. Za takšne sisteme je v nekaterih primerih bolj obetavna uporaba agregatnih modelov. Agregatni modeli (sistemi) omogočajo opis širokega nabora predmetov raziskovanja, ki odražajo sistemsko naravo teh predmetov. Je z agregatnim opisom kompleksen objekt(sistem) razdelimo na končno število delov (podsistemov), pri čemer ohranimo povezave, ki zagotavljajo medsebojno delovanje delov.

Tako lahko pri izdelavi matematičnih modelov procesov delovanja sistemov ločimo naslednje glavne pristope: zvezno-deterministične (na primer diferencialne enačbe); diskretno-deterministični (končni avtomati); diskretno-stohastični (verjetnostni avtomati); zvezno-stohastično (čakalne vrste); generalizirani ali univerzalni (agregatni sistemi).

Matematične sheme, obravnavane v naslednjih odstavkih tega poglavja, bi morale pomagati pri delu z različnimi pristopi v praktično delo pri modeliranju specifičnih sistemov.

Uvrstitev na katero koli področje znanja je nujna. Omogoča vam posploševanje nabranih izkušenj in organiziranje konceptov predmetnega področja. Hiter razvoj metod matematičnega modeliranja in raznolikost področij njihove uporabe je privedla do nastanka velikega števila modelov različnih tipov in do potrebe po razvrščanju modelov v tiste kategorije, ki so univerzalne za vse modele ali pa so potrebne v polje konstruiranega modela, na primer. Tukaj je primer nekaterih kategorij: področje uporabe; upoštevanje časovnega dejavnika (dinamike) v modelu; veja znanja; način predstavitve modelov; prisotnost ali odsotnost naključnih (ali negotovih) dejavnikov; vrsto kriterija učinkovitosti in naložene omejitve itd.

Z analizo matematične literature smo identificirali najpogostejše značilnosti klasifikacije:

1. Glede na metodo izvajanja (vključno s formalnim jezikom) lahko vse matematične modele razdelimo na analitični in algoritemski.

Analitični – modeli, ki uporabljajo standardni matematični jezik. Simulacijski modeli so modeli, ki uporabljajo poseben jezik za modeliranje ali univerzalni programski jezik.

Analitične modele lahko zapišemo v obliki analitičnih izrazov, tj. v obliki izrazov, ki vsebujejo šteto število aritmetičnih operacij in prehodov na mejo, na primer: . Algebraični izraz je poseben primer analitičnega izraza; kot rezultat zagotavlja natančno vrednost. Obstajajo tudi konstrukcije, ki vam omogočajo, da poiščete dobljeno vrednost z dano natančnostjo (na primer razširitev elementarne funkcije v vrsto moči). Modeli, ki uporabljajo to tehniko, se imenujejo približni.

Po drugi strani pa so analitični modeli razdeljeni na teoretično in empirično modeli. Teoretični modeli odražajo realne strukture in procese v preučevanih predmetih, torej temeljijo na teoriji njihovega delovanja. Empirični modeli so zgrajeni na podlagi preučevanja reakcij objekta na spremembe okoljskih pogojev. V tem primeru se ne upošteva teorija delovanja objekta, sam objekt je tako imenovana "črna škatla", model pa nekakšna interpolacijska odvisnost. Na podlagi eksperimentalnih podatkov je mogoče zgraditi empirične modele. Ti podatki so pridobljeni neposredno iz preučevanih predmetov ali z njihovo uporabo. fizikalni modeli.

Če procesa ni mogoče opisati v obliki analitičnega modela, ga opišemo s posebnim algoritmom ali programom. Ta model je algoritemski. Pri izdelavi algoritemskih modelov se uporabljajo numerični ali simulacijski pristopi. Pri numeričnem pristopu se nabor matematičnih relacij nadomesti s končnodimenzionalnim analogom (na primer prehod od funkcije zveznega argumenta k funkciji diskretnega argumenta). Nato se sestavi računski algoritem, tj. zaporedja aritmetičnih in logičnih operacij. Najdeno rešitev diskretnega analoga vzamemo kot približno rešitev prvotnega problema. Pri simulacijskem pristopu se sam objekt modeliranja diskretizira in gradijo modeli posameznih elementov sistema.

2. Glede na obliko predstavitve matematičnih modelov se razlikujejo:

1) Invariantni model – matematični model, ki ga predstavlja sistem enačb (diferencialnih, algebraičnih) brez upoštevanja metod za reševanje teh enačb.

2) Algebrski model - relacije modelov so povezane z izbrano numerično metodo reševanja in so zapisane v obliki algoritma (zaporedja izračunov).

3) Analitični model – predstavlja eksplicitne odvisnosti iskanih spremenljivk od danih vrednosti. Takšni modeli so pridobljeni na podlagi fizikalnih zakonov ali kot rezultat neposredne integracije izvirnih diferencialnih enačb z uporabo tabelarnih integralov. Sem spadajo tudi regresijski modeli, pridobljeni na podlagi rezultatov eksperimenta.

4) Grafični model je predstavljen v obliki grafov, ekvivalentnih vezij, diagramov ipd. Za uporabo grafičnih modelov mora obstajati pravilo nedvoumnega ujemanja med običajnimi slikami elementov grafičnega modela in komponentami invariantnega matematičnega modela.

3. Glede na vrsto kriterija učinkovitosti in naložene omejitve so modeli razdeljeni na linearni in nelinearni. V linearnih modelih so merilo uspešnosti in uvedene omejitve linearne funkcije spremenljivk modela (ali nelinearni modeli). Predpostavka o linearni odvisnosti kriterija učinkovitosti in nabora postavljenih omejitev spremenljivk modela je v praksi povsem sprejemljiva. To vam omogoča uporabo dobro razvitega aparata za linearno programiranje za razvoj rešitev.

4. Glede na časovni faktor in področje uporabe obstajajo statični in dinamični modeli. Če vse količine, vključene v model, niso odvisne od časa, potem imamo statični model objekta ali procesa (enkratni posnetek informacije o objektu). Tisti. statični model je model, v katerem čas ni spremenljivka. Dinamični model vam omogoča, da vidite spremembe v predmetu skozi čas.

5. Glede na število strank, ki odločajo, obstajata dve vrsti matematičnih modelov: opisno in normativno. V opisnem modelu ni odločevalcev. Formalno je število takih strank v opisnem modelu nič. Tipičen primer takih modelov je model čakalnih sistemov. Za izgradnjo opisnih modelov je mogoče uporabiti tudi teorijo zanesljivosti, teorijo grafov, teorijo verjetnosti in statistično metodo testiranja (metoda Monte Carlo).

Normativni model ima veliko vidikov. Načeloma lahko ločimo dve vrsti normativnih modelov: optimizacijske modele in teoretične modele iger. Pri optimizacijskih modelih je glavna naloga razvoja rešitev tehnično reducirana na strogo maksimiziranje ali minimiziranje kriterija učinkovitosti, tj. določene so takšne vrednosti nadzorovanih spremenljivk, pri katerih kriterij učinkovitosti doseže skrajno vrednost (največjo ali najmanjšo).

Za razvoj rešitev, ki jih prikazujejo optimizacijski modeli, se poleg klasičnih in novih variacijskih metod (iskanje ekstremuma) najbolj uporabljajo metode matematičnega programiranja (linearne, nelinearne, dinamične). Za teoretični model iger je značilno več strank (vsaj dve). Če sta stranki nasprotni interesi, se uporabi teorija iger, če je strank več kot dve in so koalicije in kompromisi med njimi nemogoči, se uporabi teorija nekooperativnih iger. n osebe

6. Glede na prisotnost ali odsotnost naključnih (ali negotovih) dejavnikov, deterministični in stohastični matematičnih modelov. V determinističnih modelih so vse relacije, spremenljivke in konstante natančno določene, kar vodi do nedvoumne definicije nastale funkcije. Deterministični model je izdelan v primerih, ko je dejavnike, ki vplivajo na izid operacije, mogoče izmeriti ali oceniti dokaj natančno, naključni dejavniki pa so odsotni ali pa jih je mogoče zanemariti.

Če so nekateri ali vsi parametri, vključeni v model, po svoji naravi naključne spremenljivke ali naključne funkcije, potem je model razvrščen kot stohastični model. V stohastičnih modelih so specificirani zakoni porazdelitve naključnih spremenljivk, kar vodi do verjetnostne ocene nastale funkcije in realnost se prikaže kot določena naključni proces, katerih potek in izid opisujejo nekatere značilnosti naključnih spremenljivk: matematična pričakovanja, variance, porazdelitvene funkcije itd. Konstrukcija takega modela je mogoča, če obstaja dovolj dejanskega materiala za oceno potrebnih verjetnostnih porazdelitev ali če teorija obravnavanega pojava omogoča teoretično določitev teh porazdelitev (na podlagi formul teorije verjetnosti, mejnih izrekov itd.) .

7. Glede na namene modeliranja obstajajo opisni, optimizacijski in upravljalni modeli. V deskriptivnih (iz latinščine descriptio - opis) modelih se proučujejo zakonitosti spreminjanja parametrov modela. Na primer, model gibanja materialne točke pod vplivom uporabljenih sil, ki temelji na drugem Newtonovem zakonu: . Določanje položaja in pospeška točke v ta trenutekčasa (vhodni parametri), mase (lastni parameter) in zakona o spremembi uporabljenih sil (zunanji vplivi), kadarkoli lahko določite koordinate točke in hitrost (izhodni podatki).

Optimizacijski modeli se uporabljajo za določitev najboljših (optimalnih) na podlagi nekega kriterija parametrov modeliranega predmeta ali metod za nadzor tega objekta. Optimizacijski modeli so zgrajeni z uporabo enega ali več opisnih modelov in imajo več kriterijev za določanje optimalnosti. Omejitve v obliki enakosti ali neenakosti, povezane z značilnostmi obravnavanega predmeta ali procesa, se lahko naložijo na obseg vrednosti vhodnih parametrov. Primer optimizacijskega modela je priprava diete za določeno dieto (vhodni podatki so vsebnost kalorij v izdelku, vrednosti cene itd.).

Modeli upravljanja se uporabljajo za sprejemanje odločitev na različnih področjih namenskega človekovega delovanja, ko se iz celotnega niza alternativ izbere več in je celoten proces odločanja zaporedje takih alternativ. Na primer izbira poročila za promocijo izmed več, ki so jih pripravili študenti. Kompleksnost naloge je tako v negotovosti glede vhodnih podatkov (ali je bilo poročilo pripravljeno samostojno ali je bilo uporabljeno delo nekoga drugega) kot ciljev (znanstvenost dela in njegova struktura, stopnja predstavitve in stopnja priprave). študenta, rezultate eksperimenta in pridobljene zaključke). Ker je optimalnost odločitve, sprejete v isti situaciji, mogoče razlagati na različne načine, vrsta merila optimalnosti v modelih upravljanja ni vnaprej določena. Metode za oblikovanje kriterijev optimalnosti glede na vrsto negotovosti obravnavamo v teoriji izbire in odločanja, ki temelji na teoriji iger in operacijskih raziskavah.

8. Glede na metodo raziskovanja ločijo analitični, numerični in simulacijski modeli. Analitični model je formaliziran opis sistema, ki omogoča pridobitev eksplicitne rešitve enačbe z uporabo dobro znanega matematičnega aparata. Za numerični model je značilna odvisnost, ki omogoča le delne numerične rešitve za določene začetne pogoje in kvantitativne parametre modela. Simulacijski model je skupek opisov sistema in zunanjih vplivov, algoritmov za delovanje sistema ali pravil za spreminjanje stanja sistema pod vplivom zunanjih in notranjih motenj. Ti algoritmi in pravila ne omogočajo uporabe obstoječih matematičnih metod za analitične in numerične rešitve, omogočajo pa simulacijo procesa delovanja sistema in beleženje zanimivih karakteristik. Nato bodo podrobneje preučeni nekateri analitični in simulacijski modeli; preučevanje teh posebnih vrst modelov je povezano s posebnostmi poklicnih dejavnosti študentov na tem področju usposabljanja.

1.4. Grafični prikaz matematičnih modelov

V matematiki lahko oblike odnosov med količinami predstavimo z enačbami oblike neodvisne spremenljivke (argument), l– odvisna spremenljivka (funkcija). V teoriji matematičnega modeliranja se neodvisna spremenljivka imenuje faktor, odvisna spremenljivka pa odziv. Poleg tega se glede na področje gradnje matematičnega modela terminologija nekoliko spremeni. Nekaj ​​primerov definicij dejavnikov in odzivov, odvisno od področja študija, je podanih v tabeli 1.

Tabela 1. Nekatere definicije pojmov "faktor" in "odziv"

Če matematični model predstavimo grafično, bomo dejavnike in odzive obravnavali kot spremenljivke, katerih vrednosti pripadajo množici realnih števil.

Grafični prikaz matematičnega modela je neka odzivna površina, ki ustreza lokaciji točk v k- dimenzijski faktorski prostor X. Vizualizirati je mogoče le enodimenzionalne in dvodimenzionalne odzivne površine. V prvem primeru je to niz točk na realni ravnini, v drugem pa niz točk, ki tvorijo površino v prostoru (za upodobitev takšnih točk je priročno uporabiti ravninske črte - način upodabljanja površinskega reliefa prostora, zgrajenega v dvodimenzionalnem faktorskem prostoru X(slika 8).

Območje, v katerem je definirana odzivna površina, se imenuje domena definicije X *. Ta regija je praviloma le del celotnega faktorskega prostora X(X*Ì X) in je poudarjen z omejitvami, naloženimi kontrolnim spremenljivkam x i, zapisano v obliki enačb:

x i = C i , jaz = 1,…, m;

f j(x) = C j, j = 1,…, l

ali neenakosti:

x i najmanj £ x i£ x i max, jaz= 1,…, k;

f j(x) £ C j, j = 1,…, n,

Hkrati pa funkcije f j(x) so lahko odvisne tako od vseh spremenljivk hkrati kot od nekaterih izmed njih.

Omejitve tipa neenakosti označujejo bodisi fizične omejitve procesov v predmetu, ki se preučuje (na primer temperaturne omejitve), bodisi tehnične omejitve, povezane s pogoji delovanja predmeta (npr. najvišja hitrost sečnja, omejitve zalog surovin).

Možnosti preučevanja modelov so bistveno odvisne od lastnosti (reliefa) odzivne površine, zlasti od števila "tock", ki so na njej, in njenega kontrasta. Število vrhov (dolin) določa modalnost odzivne površine. Če je v domeni definicije na odzivni površini en vrh (dolina), se pokliče model unimodalno.

Narava spremembe funkcije je lahko drugačna (slika 9).

Model ima lahko diskontinuitetne točke prve vrste (slika 9 (a)), diskontinuitetne točke druge vrste (slika 9 (b)). Slika 9(c) prikazuje zvezno diferenciabilni unimodalni model.

Za vse tri primere, predstavljene na sliki 9, je splošna zahteva enomodalnosti izpolnjena:

če je W(x*) ekstrem W, potem iz pogoja x 1< x 2 < x* (x 1 >x 2 > x*) sledi W(x 1)< W(x 2) < W(x*) , если экстремум – максимум, или W(x 1) >W(x 2) > W(x*), če je ekstrem minimum, se pravi, ko se od skrajne točke odmikamo, vrednost funkcije W(x) zvezno pada (narašča).

Poleg unimodalnih so obravnavani tudi polimodalni modeli (slika 10).

Druga pomembna lastnost odzivne površine je njen kontrast, ki kaže občutljivost nastale funkcije na spremembe dejavnikov. Za kontrast so značilne vrednosti njegovih derivatov. Pokažimo kontrastne značilnosti na primeru dvodimenzionalne odzivne površine (slika 11).

Pika A ki se nahaja na "pobočju", ki označuje enak kontrast za vse spremenljivke x i (jaz=1,2), točka b ki se nahaja v “grapi”, v kateri je različen kontrast za različne spremenljivke (imamo slabo pogojenost funkcije), točka z ki se nahaja na "platoju", kjer je nizek kontrast za vse spremenljivke x i označuje bližino ekstrema.

1.5. Osnovne metode konstruiranja matematičnih modelov

Predstavimo klasifikacijo metod za formalizirano predstavitev simuliranih sistemov V. N. Volkova. in Denisova A.A.. Avtorji so identificirali analitične, statistične, teoretične, lingvistične, logične in grafične metode. Osnovna terminologija, primeri teorij, ki se razvijajo na podlagi opisanih razredov metod, ter obseg in možnosti njihove uporabe so predlagani v Dodatku 1.

V praksi modeliranja sistemov se najpogosteje uporabljajo analitične in statistične metode.

1) Analitične metode za konstruiranje matematičnih modelov.

Osnova terminološkega aparata analitičnih metod za konstruiranje matematičnih modelov so pojmi klasične matematike (formula, funkcija, enačba in sistem enačb, neenakost, odvod, integral itd.). Za te metode je značilna jasnost in veljavnost terminologije z uporabo jezika klasične matematike.

Na podlagi analitičnih konceptov so se pojavile in razvile takšne matematične teorije, kot so klasična matematična analiza (na primer metode za preučevanje funkcij) ter sodobne osnove matematičnega programiranja in teorije iger. Poleg tega matematično programiranje (linearno, nelinearno, dinamično, celoštevilsko itd.) vsebuje tako sredstva za oblikovanje problema kot tudi širi možnosti dokazovanja ustreznosti modela, za razliko od številnih drugih področij matematike. Ideje optimalnega matematičnega programiranja za reševanje ekonomskih (zlasti reševanje problema optimalnega rezanja lista vezanega lesa) je predlagal L.V. Kantorovič.

Razložimo značilnosti metode na primeru.

Primer. Predpostavimo, da za proizvodnjo dveh vrst izdelkov A in IN uporabiti je treba tri vrste surovin. Hkrati za proizvodnjo enote izdelka vrste A Porabljene so 4 enote. surovine prve vrste, 2 enoti. 2. in 3. enote. 3. vrsta. Za proizvodnjo enote izdelka tipa IN Porabljeni sta 2 enoti. surovine 1. vrste, 5 enot. 2. vrsta in 4 enote. 3. vrsta surovine. V tovarniškem skladišču je 35 enot. surovine 1. vrste, 43 - 2., 40 - 3. vrste. Od prodaje enote izdelka vrste A tovarna ima dobiček v višini 5 tisoč rubljev in od prodaje enote izdelka vrste IN dobiček je 9 tisoč rubljev. Treba je ustvariti matematični model problema, ki omogoča doseganje največjega dobička.

Stopnje porabe vsake vrste surovin za izdelavo enote določene vrste izdelka so podane v tabeli. Navaja tudi dobiček od prodaje vsake vrste izdelka in skupno količino surovin te vrste, ki jih lahko podjetje uporabi.

Označimo z x 1 in x 2 obseg proizvedenih izdelkov A in IN oz. Stroški gradiva za prvi razred za načrt bodo 4x 1 + 2x 2, in ne smejo presegati rezerv, tj. 35 kg:

4x 1 + 2x 2 35.

Omejitve za gradivo drugega razreda so podobne:

2x 1 + 5x 2 43,

in po snovi tretjega razreda

3x 1 + 4x 2 40.

Dobiček od prodaje x 1 proizvodne enote A in x 2 proizvodne enote B bodo z = 5x 1+ 9x 2(objektivna funkcija).

Dobili smo model naloge:

Grafična rešitev Naloge so prikazane na sliki 11.

Optimalno (najboljše, tj. največja funkcija z) rešitev problema je v točki A (rešitev je razložena v 5. poglavju).

Razumem x 1=4,x 2=7, vrednost funkcije z v točki A:.

Tako je vrednost največjega dobička 83 tisoč rubljev.

Poleg grafične metode obstaja vrsta posebnih metod za reševanje problema (npr. Simpleksna metoda) ali pa se uporabljajo paketi aplikacij, ki jih izvajajo. Glede na vrsto ciljne funkcije ločimo linearno in nelinearno programiranje, glede na naravo spremenljivk pa celoštevilsko programiranje.

Izpostavimo lahko splošne značilnosti matematičnega programiranja:

1) uvedba koncepta ciljne funkcije in omejitve so sredstva za zastavitev problema;

2) v enem modelu je mogoče združiti heterogene kriterije (različne dimenzije, v primeru – zaloge surovin in dobiček);

3) model matematičnega programiranja omogoča doseganje meje območja dovoljenih vrednosti spremenljivk;

4) možnost izvedbe algoritem po korakih pridobivanje rezultatov (pristop korak za korakom k optimalna rešitev);

5) jasnost, dosežena z geometrijsko interpretacijo problema, ki pomaga v primerih, ko problema ni mogoče formalno rešiti.

2) Statistične metode za konstruiranje matematičnih modelov.

Statistične metode za konstruiranje matematičnih modelov so postale razširjene in se začele široko uporabljati z razvojem teorije verjetnosti v 19. stoletju. Temeljijo na verjetnostnih vzorcih naključnih (stohastičnih) dogodkov, ki odražajo realne pojave. Izraz "stohastičen" je pojasnilo pojma "naključno", ki označuje vnaprej določene, specifične vzroke, ki vplivajo na proces, za koncept "naključno" pa je značilna neodvisnost od vpliva ali odsotnosti takih vzrokov.

Statistični vzorci so predstavljeni v obliki diskretnih naključnih spremenljivk in vzorcev pojavljanja njihovih vrednosti ali v obliki zveznih odvisnosti porazdelitve dogodkov (procesov). Teoretične osnove Konstrukcija stohastičnih modelov je podrobno opisana v 2. poglavju.

Kontrolna vprašanja

1. Formulirajte glavni problem matematičnega modeliranja.

2. Definirajte matematični model.

3. Naštejte glavne slabosti eksperimentalnega pristopa v raziskovanju.

4. Naštejte glavne faze gradnje modela.

5. Naštejte vrste matematičnih modelov.

6. Daj Kratek opis vrste modelov.

7. Kakšno obliko ima matematični model, predstavljen geometrijsko?

8. Kako so definirani matematični modeli analitičnega tipa?

Naloge

1. Ustvarite matematični model za rešitev problema in klasificirajte model:

1) Določite največjo prostornino cilindričnega vedra, katerega površina (brez pokrova) je enaka S.

2) Podjetje zagotavlja redno proizvodnjo izdelkov z nemoteno dobavo komponent dveh podizvajalcev. Verjetnost zavrnitve dostave pri prvem podizvajalcu je , pri drugem pa - . Poiščite verjetnost neuspeha pri delovanju podjetja.

2. Malthusov model (1798) opisuje reprodukcijo populacije po stopnji, sorazmerni z njeno velikostjo. V diskretni obliki je ta zakon geometrijska progresija: ; ali .Zakon, zapisan v obliki diferencialne enačbe, je model eksponentne rasti populacije in dobro opisuje rast celične populacije brez kakršne koli omejitve: . Postavite začetne pogoje in demonstrirajte model.

MATEMATIČNA SHEMA ZA MODELIRANJE SISTEMA

OSNOVNI PRISTOPI K KONSTRUKCIJI MATEMATIČNIH MODELOV SISTEMOV

Začetne informacije pri izdelavi matematičnih modelov procesov delovanja sistemov so podatki o namenu in pogojih delovanja preučevanega (načrtovanega) sistema. S. Te informacije določajo glavni namen modeliranja sistema S in vam omogoča, da oblikujete zahteve za razviti matematični model M. Poleg tega je stopnja abstrakcije odvisna od obsega vprašanj, na katera želi raziskovalec sistema odgovoriti z uporabo modela, in do neke mere določa izbiro matematične sheme.

Matematične sheme. Uvedba koncepta matematične sheme nam omogoča, da matematiko ne obravnavamo kot metodo računanja, temveč kot metodo mišljenja, kot sredstvo za oblikovanje konceptov, kar je najpomembnejše pri prehodu od verbalnega opisa sistema k formalna predstavitev procesa njegovega delovanja v obliki nekega matematičnega modela (analitičnega ali simulacijskega). Pri uporabi matematične sheme bi moralo raziskovalca sistema S najprej zanimati vprašanje ustreznosti predstavitve v obliki specifičnih diagramov realnih procesov v proučevanem sistemu in ne možnost pridobitve odgovor (rezultat rešitve) na določeno raziskovalno vprašanje. Na primer, predstavitev procesa delovanja skupnega informacijskega računalniškega sistema v obliki mreže shem čakalne vrste omogoča dobro opisovanje procesov, ki se pojavljajo v sistemu, vendar glede na zapletene zakone dohodnih tokov in tokov storitev ne ne omogočajo pridobitve rezultatov v eksplicitni obliki.

Matematična shema lahko opredelimo kot člen pri prehodu od smiselnega k formalnemu opisu procesa delovanja sistema ob upoštevanju vpliva zunanjega okolja, tj. obstaja veriga »opisni model - matematična shema - matematični (analitični in/ ali simulacijski) model.«

Vsak poseben sistem S je označen z nizom lastnosti, ki jih razumemo kot količine, ki odražajo obnašanje simuliranega objekta (resničnega sistema) in upoštevajo pogoje njegovega delovanja v interakciji z zunanjim okoljem (sistemom) E. Pri izdelavi matematičnega modela sistema je treba rešiti vprašanje njegove popolnosti. Popolnost modela je regulirana predvsem z izbiro meje »sistem S - okolje«. E» . Rešiti je treba tudi problem poenostavitve modela, ki pomaga poudariti glavne lastnosti sistema in opustiti sekundarne. Poleg tega je razvrstitev lastnosti sistema med primarne ali sekundarne bistveno odvisna od namena modeliranja sistema (na primer analiza verjetnostno-časovnih značilnosti procesa delovanja sistema, sinteza strukture sistema itd.) .

Formalni model predmeta. Model objekta modeliranja, tj. sistema S, lahko predstavimo kot množico količin, ki opisujejo proces delovanja realnega sistema in v splošnem tvorijo naslednje podmnožice: vhodni vplivi na sistem

;

celota okoljski vplivi

;

celota notranji (lastni) parametri sistemi

;

celota izhodne značilnosti sistemi

.

Poleg tega lahko v navedenih podmnožicah ločimo nadzorovane in neobvladljive spremenljivke. Na splošno , , , so elementi disjunktnih podmnožic in vsebujejo tako deterministične kot stohastične komponente.

Pri modeliranju sistema S, vhodni vplivi, vplivi okolja E in notranji parametri sistema so neodvisne (eksogene) spremenljivke, ki imajo v vektorski obliki obliko , , oz in izhodne karakteristike sistema so odvisne (endogene) spremenljivke in v vektorski obliki imajo obliko ).

Proces delovanja sistema S časovno opisuje operater F s , ki na splošno pretvarja eksogene spremenljivke v endogene v skladu z razmerji oblike

. (1)

Niz odvisnosti izhodnih karakteristik sistema od časa l j (t) za vse vrste
klical izhodna pot
. Odvisnost (1) se imenuje zakon delovanja sistemaS in je določen F s . Na splošno zakon delovanja sistema F s lahko podamo v obliki funkcije, funkcij, logičnih pogojev, v algoritemski in tabelarični obliki ali v obliki besednega pravila ujemanja.

Za opis in študij sistema S je zelo pomemben koncept algoritem delovanjaA s , ki se razume kot metoda za pridobivanje izhodnih karakteristik ob upoštevanju vhodnih vplivov
, okoljski vplivi
in lastne sistemske parametre
. Očitno je, da je isti zakon delovanja F s Sistem S je mogoče implementirati na različne načine, tj. z uporabo številnih različnih algoritmov delovanja A s .

Relacije (1) so matematični opis obnašanja modela (sistema) v času t, odražajo njegove dinamične lastnosti. Zato se matematični modeli te vrste običajno imenujejo dinamični modeli(sistemi).

Za statični modeli matematični model (1) je preslikava med dvema podmnožicama lastnosti modeliranega predmeta Y in { X, V, N), kar lahko v vektorski obliki zapišemo kot

. (2)

Relacije (1) in (2) lahko specificiramo na različne načine: analitično (z uporabo formul), grafično, tabelarno itd. Takšne relacije lahko v številnih primerih dobimo preko lastnosti sistema S v določenih trenutkih, imenovanih države. Stanje sistema S je označeno z vektorji

in
,

Kje
,
, …,
v določenem trenutku
;
,
, …,
v določenem trenutku
itd.,
.

Če obravnavamo proces delovanja sistema S kot zaporedno spreminjanje stanj
, potem jih lahko interpretiramo kot koordinate točke v Za-dimenzionalni fazni prostor. Poleg tega bo vsaka izvedba procesa ustrezala določeni fazni trajektoriji. Nabor vseh možnih vrednosti stanja klical državni prostor objekt modeliranja Z, in
.

Stanja sistema S v trenutku t 0 < t*T so popolnoma določene z začetnimi pogoji
[Kje
,
, …,
], vhodni vplivi
, lastne sistemske parametre
in vplivi okolja
, ki je potekalo v določenem časovnem obdobju t*- t 0 , z z uporabo dveh vektorskih enačb

; (3)

. (4)

Prva enačba za začetno stanje in eksogene spremenljivke
definira vektorsko funkcijo
, drugo pa glede na dobljeno vrednost stanj
- endogene spremenljivke na izhodu sistema
. Tako veriga enačb objekta "vhod-stanja-izhod" omogoča določitev značilnosti sistema

. (5)

Na splošno lahko čas v modelu sistema S obravnavamo v intervalu modeliranja (0, T) tako zvezne kot diskretne, tj. kvantizirane v segmente dolžine
časovne enote vsak, ko
, Kje
- število intervalov vzorčenja.

Tako pod matematični model predmeta(resničnega sistema) razumeti končno podmnožico spremenljivk (
} skupaj z matematičnimi povezavami med njimi in značilnostmi
.

Če matematični opis predmeta modeliranja ne vsebuje naključnih elementov ali le-ti niso upoštevani, tj. če se lahko domneva, da so v tem primeru stohastični vplivi zunanjega okolja
in stohastične notranje parametre
manjkajo, potem se imenuje model deterministični v smislu, da so značilnosti enolično določene z determinističnimi vhodnimi vplivi

. (6)

Očitno je, da je deterministični model poseben primer stohastičnega modela.

Tipične sheme. Predstavljeni matematični odnosi predstavljajo splošne matematične sheme in omogočajo opis širokega razreda sistemov. Vendar pa je v praksi modeliranja objektov na področju sistemskega inženiringa in sistemske analize na začetnih stopnjah sistemskega raziskovanja bolj racionalno uporabiti tipične matematične sheme: diferencialne enačbe, končni in verjetnostni avtomati, sistemi čakalnih vrst, Petrijeve mreže itd.

Tipične matematične sheme, ki nimajo enake stopnje splošnosti kot obravnavani modeli, imajo prednosti preprostosti in jasnosti, vendar z občutnim zoženjem možnosti uporabe. Kot deterministični modeli se uporabljajo diferencialne, integralne, integrodiferencialne in druge enačbe za predstavitev sistemov, ki delujejo v zveznem času, ko se v študiji ne upoštevajo naključni dejavniki, za predstavitev sistemov, ki delujejo v diskretnem času, pa se uporabljajo končne diferenčne sheme. Kot stohastični modeli (ob upoštevanju naključnih dejavnikov) se verjetnostni avtomati uporabljajo za predstavitev sistemov z diskretnim časom, sistemi čakalne vrste itd. pa se uporabljajo za predstavitev sistemov z zveznim časom.

Navedene standardne matematične sheme seveda ne morejo trditi, da lahko na njihovi podlagi opišejo vse procese, ki se pojavljajo v velikih informacijskih in nadzornih sistemih. Za takšne sisteme je v nekaterih primerih bolj obetavna uporaba agregatnih modelov.

Agregatni modeli (sistemi) omogočajo opis širokega nabora predmetov raziskovanja, ki odražajo sistemsko naravo teh predmetov. Z agregatnim opisom je kompleksen objekt (sistem) razdeljen na končno število delov (podsistemov), pri čemer se ohranijo povezave, ki zagotavljajo interakcijo delov.

Tako lahko pri izdelavi matematičnih modelov procesov delovanja sistemov ločimo naslednje glavne pristope: zvezno-deterministične (na primer diferencialne enačbe); diskretno-deterministični (končni avtomati); diskretno-stohastični (verjetnostni avtomati); zvezno-stohastično (čakalne vrste); generalizirani ali univerzalni (agregatni sistemi).

ZVEZNI DETERMINISTIČNI MODELI (D-SHEME)

Oglejmo si značilnosti zvezno determinističnega pristopa na primeru uporabe diferencialnih enačb kot matematičnih modelov. Diferencialne enačbe To so enačbe, v katerih so funkcije ene ali več spremenljivk neznane, enačba pa ne vključuje le funkcij, temveč tudi njihove odvode različnih vrst. Če so neznanke funkcije mnogih spremenljivk, potem enačbe imenujemo parcialne diferencialne enačbe, sicer pa, če obravnavamo funkcije samo ene neodvisne spremenljivke, enačbe imenujemo navadne diferencialne enačbe.

Osnovna razmerja. Običajno je v takih matematičnih modelih čas neodvisna spremenljivka, od katere so odvisne neznane neznane funkcije. t. Potem bo matematična relacija za deterministične sisteme (6) v splošni obliki

, (7)

Kje
,
in
- p-dimenzijski vektorji;
- vektorska funkcija, ki je definirana na nekaterih ( p+1)-dimenzionalno
nastavljena in je neprekinjena.

Ker tovrstne matematične sheme odražajo dinamiko preučevanega sistema, tj. njegovo obnašanje v času, jih imenujemo D-sheme(Angleščina) dinamično).

V najpreprostejšem primeru ima navadna diferencialna enačba obliko

. (8)

Najpomembnejša aplikacija za sistemski inženiring D-sheme kot matematični aparat v teoriji avtomatskega vodenja. Za ponazoritev značilnosti konstrukcije in uporabe D-shem razmislite najpreprostejši primer formalizacija procesa delovanja dveh elementarnih sistemov različne fizične narave: mehanskega S M (nihanje nihala, slika 1, a) in električni S K (nihajni krog, slika 1, b).

riž. 1. Elementarni sistemi

Proces majhnih nihanj nihala opisuje navadna diferencialna enačba

Kje
- masa in dolžina obešanja nihala; g - pospešek prostega pada;
- kot odklona nihala v trenutku t.

Iz te enačbe za prosto nihanje nihala je mogoče najti ocene značilnosti, ki nas zanimajo. Na primer, obdobje nihanja nihala

.

Podobno procese v električnem nihajnem krogu opisuje navadna diferencialna enačba

Kje L Za , Z Za - induktivnost in kapacitivnost kondenzatorja; q(t) - napolnjenost kondenzatorja v trenutku t.

Iz te enačbe lahko dobimo različne ocene značilnosti procesa v oscilacijskem krogu. Na primer, obdobje električnih nihanj

.

Očitno je, da z uvedbo notacije
,
, ,
, dobimo navadno diferencialno enačbo drugega reda, ki opisuje obnašanje tega zaprtega sistema:

Kje
- sistemski parametri; z(t) - stanje sistema v določenem trenutku t.

Tako lahko vedenje teh dveh predmetov preučujemo na podlagi splošnega matematičnega modela (9). Poleg tega je treba opozoriti, da je mogoče obnašanje enega od sistemov analizirati z uporabo drugega. Na primer, obnašanje nihala (sistem S M) lahko preučujemo z električnim nihajnim krogom (sistem S K).

Če preučujemo sistem S, tj. nihalo ali vezje, sodeluje z zunanjim okoljem E, potem se pojavi vhodni vpliv X(t) (zunanja sila za nihalo in vir energije za tokokrog) in zvezno deterministični model takega sistema bo imel obliko

Z vidika splošne sheme matematičnega modela X(t) je vhodno (kontrolno) dejanje in stanje sistema S v tem primeru lahko obravnavamo kot izhodno karakteristiko, tj. predpostavimo, da izhodna spremenljivka sovpada s stanjem sistema v danem trenutku y =z.

Možne aplikacije. Pri reševanju problemov sistemskega inženiringa so zelo pomembni problemi upravljanja velikih sistemov. Bodite pozorni na sisteme avtomatsko krmiljenje- opisan poseben primer dinamičnih sistemov D-sheme in zaradi njihove praktične specifičnosti dodeljeni ločenemu razredu modelov.

Pri opisovanju avtomatskih krmilnih procesov se običajno držijo predstavitve realnega objekta v obliki dveh sistemov: nadzora in nadzora (kontrolni objekt). Struktura splošnega večdimenzionalnega avtomatskega krmilnega sistema je prikazana na sl. 2, kjer so navedeni endogene spremenljivke:
- vektor vhodnih (nastavitvenih) vplivov;
- vektor motečih vplivov;
- vektor signalov napak;
- vektor krmilnih dejanj; eksogene spremenljivke:
- vektor stanja sistema S;
- vektor izhodnih spremenljivk, običajno
=
.

riž. 2. Zgradba avtomatskega krmilnega sistema

Sodoben nadzorni sistem je skupek programskih in strojnih orodij, ki zagotavljajo, da nadzorovani objekt doseže določen cilj. Kako natančno krmilni objekt doseže dani cilj, lahko za enodimenzionalni sistem ocenimo s koordinato stanja y(t). Razlika med danim pri rit (t) in veljavno y(t) zakon spreminjanja kontrolirane količine je krmilna napaka . Če zakonu spreminjanja vhodnega (nastavljenega) vpliva ustreza predpisani zakon spreminjanja kontrolirane veličine, t.j.
, to
.

Sistemi, pri katerih nadzorujejo napake
v vsakem trenutku se imenujejo idealni. V praksi je implementacija idealnih sistemov nemogoča. Torej napaka h"(t) - nujen element avtomatskega krmiljenja po principu negativa povratne informacije, saj se ujema z izhodno spremenljivko l(t) njegova nastavljena vrednost uporablja informacije o odstopanju med njima. Naloga avtomatskega krmilnega sistema je spreminjanje spremenljivke l(t) po danem zakonu z določeno natančnostjo (s sprejemljivo napako). Pri načrtovanju in delovanju avtomatskih krmilnih sistemov je potrebno izbrati naslednje sistemske parametre S, ki bi zagotavljal zahtevano natančnost krmiljenja, kot tudi stabilnost sistema v prehodnem procesu.

Če je sistem stabilen, je obnašanje sistema skozi čas, največje odstopanje nadzorovane spremenljivke, praktičnega pomena. y(t) v prehodnem procesu, čas prehodnega procesa itd. Sklepe o lastnostih avtomatskih krmilnih sistemov različnih razredov lahko izpeljemo iz vrste diferencialnih enačb, ki približno opisujejo procese v sistemih. Vrstni red diferencialne enačbe in vrednosti njenih koeficientov v celoti določajo statični in dinamični parametri sistema S.

Torej z uporabo D-sheme omogoča formalizacijo procesa delovanja neprekinjeno determinističnih sistemov S in ovrednotiti njihove glavne značilnosti z analitičnim ali simulacijskim pristopom, implementiranim v obliki ustreznega jezika za modeliranje zveznih sistemov ali z uporabo analognih in hibridnih računalniških orodij.