Za določitev stabilnosti ni treba izdelati hodografa. Če želite to narediti, je dovolj analizirati frekvenčni odziv in fazni odziv. Zato je tretja alternativna formulacija Nyquistovega kriterija: če je frekvenčni odziv večji od enote pri frekvencah, pri katerih je fazni odziv 0 oz Kje n € z, potem povratni sistem ni stabilen, sicer pa je stabilen (slika 3.10).

riž. 3.9 Frekvenčni odziv in fazni odziv odprtozančnega sistema s povratno zanko

4 Prehod naključnih signalov skozi linearna stacionarna vezja

Glavne značilnosti naključnega procesa so verjetnostna gostota trenutnih vrednosti signala, korelacijska funkcija in spektralna gostota moči. Iskanje gostote verjetnosti trenutnih vrednosti izhodnega signala linearno vezje na podlagi znane gostote verjetnosti na vhodu vezja in znanih značilnosti vezja je to zelo težka naloga. Če pa je vhodni signal Gaussov, bo tudi izhodni signal vedno Gaussov. To pomeni, da je reševanje problema poenostavljeno in se zmanjša na iskanje parametrov izhodnega signala (matematično pričakovanje in varianca).

Naloga iskanja korelacijske funkcije in spektralne gostote moči izhodnega signala je veliko enostavnejša.

Inverzne Fourierjeve transformacije spektralne gostote moči po Wiener–Khinchinovi teoriji:

– funkcija korelacije signala

Inverzne Fourierjeve transformacije povečanja moči:

– korelacijsko funkcijo impulznega odziva signala

Ker je produkt spektrov dveh signalov enak spektru konvolucije teh signalov, lahko zapišemo:

To pomeni, da je korelacijska funkcija signala na izhodu linearnega vezja enaka konvoluciji korelacijske funkcije signala na vhodu vezja in korelacijske funkcije impulznega odziva vezja.

Pri analizi različne sisteme Motnja je pogosto beli šum, ki ima konstantno spektralno gostoto moči v celotnem frekvenčnem območju:

in korelacijsko funkcijo

Posledično je korelacijska funkcija izhodnega signala enaka avtokorelacijski funkciji impulznega odziva s koeficientom .

5 Prehod signalov skozi nelinearna vezja

Linearna stacionarna vezja ne spremenijo spektralne sestave signala. Glavne radijske inženirske transformacije, povezane s spremembami spektralne sestave signala, se izvajajo z uporabo nelinearnih vezij ali linearnih vezij s spremenljivimi parametri.

Preučevanje nelinearnih vezij je kompleksna naloga, ki jo sestavlja reševanje nelinearnih diferencialnih enačb. Analiza nelinearnih vezij je poenostavljena, če je nelinearni element brez vztrajnosti, kar pomeni, da se odziv na spremembo vhodnega dejanja pojavi takoj. Strogo gledano brezvztrajnostnih elementov (FFE) ni, vendar v primeru, ko čas spremembe vhodnega signala bistveno presega čas vzpostavitve procesa v nelinearnem elementu, lahko štejemo, da je element brez vztrajnosti. V radijski tehniki se najpogosteje uporabljajo nelinearni elementi polprevodniške naprave(diode, tranzistorji). Za opis takih naprav se uporabljajo tokovno-napetostne karakteristike, ki povezujejo napetosti, ki se uporabljajo za naprave, in tokove, ki tečejo skozi naprave.

Razmislite o linearnem inercialnem sistemu z znano prenosno funkcijo ali impulznim odzivom. Naj bo vhod takega sistema stacionarni naključni proces z danimi karakteristikami: gostota verjetnosti, korelacijska funkcija ali energijski spekter. Določimo značilnosti procesa na izhodu sistema: , in .

Najlažji način za iskanje energijskega spektra procesa je na izhodu sistema. Dejansko so posamezne izvedbe vnosnega procesa deterministične

funkcije in zanje lahko uporabimo Fourierjev aparat. Naj bo okrnjena izvedba trajanja T naključni proces na vhodu in

Njegova spektralna gostota. Spektralna gostota izvedbe na izhodu linearnega sistema bo enaka

Energijski spekter procesa na izhodu po (3.3.3) bo določen z izrazom

(3.4.3)

tiste. bo enak energijskemu spektru procesa na vhodu, pomnoženemu s kvadratom amplitudno-frekvenčne karakteristike sistema, in ne bo odvisen od fazno-frekvenčne karakteristike.

Korelacijsko funkcijo procesa na izhodu linearnega sistema lahko definiramo kot Fourierjevo transformacijo energijskega spektra:

(3.4.4)

Posledično, ko naključni stacionarni proces deluje na linearni sistem, izhod proizvede tudi stacionaren naključni proces z energijskim spektrom in korelacijsko funkcijo, definirano z izrazoma (3.4.3) in (3.4.4). Procesna moč na izhodu sistema bo enaka

(3.4.5)

Gostota porazdelitve verjetnosti in numerične karakteristike signala na izhodu brezvztrajnostnega nelinearnega vezja.

Baskakov str. 300 – 302

Prehod naključnih signalov skozi nelinearna vezja brez vztrajnosti.

Oglejmo si zdaj problem prehoda naključnega procesa skozi nelinearni sistem. V splošnem primeru je ta problem zelo kompleksen, vendar je zelo poenostavljen, če je nelinearni sistem brez vztrajnosti. V nelinearnih sistemih brez vztrajnosti so vrednosti izhodnega procesa v ta trenutekčas določajo vrednosti vhodnega procesa v istem trenutku. Pri nelinearnih transformacijah brez vztrajnosti je enostavnejša naloga določitev izhodnih porazdelitvenih funkcij v veliko bolj zapleteni nalogi - določitev korelacijske funkcije ali energijskega spektra.

Kot je navedeno zgoraj, je n-dimenzionalna porazdelitvena funkcija naključnega procesa v bistvu porazdelitvena funkcija n naključnih spremenljivk, ki predstavljajo vrednosti naključnega procesa v n različnih časovnih točkah.Določanje zakonov porazdelitve funkcionalno transformiranih naključnih spremenljivk je razmeroma preprosto opravilo.

Razmislimo najpreprostejši primer enodimenzionalna naključna spremenljivka. Naj bo gostota verjetnosti naključne spremenljivke ζ, ki je podvržena nelinearni transformaciji. Določimo gostoto verjetnosti naključne spremenljivke η. Predpostavimo, da je funkcija taka, da je njena inverzna funkcija edinstvena.

Če je slučajna spremenljivka ζ v dovolj majhnem intervalu , potem bo zaradi edinstvene funkcionalne povezave med ζ in η naključna spremenljivka η nujno v intervalu , kjer morajo biti verjetnosti teh dogodkov enake, tj. (3.4.13)

od kje ga najdemo?

(3.4.14)

Odvod v zadnjem izrazu je vzet po njegovi absolutni vrednosti, saj gostota verjetnosti ne more biti negativna. Če je inverzna funkcija dvoumna, tj. ima več vej, potem lahko za gostoto verjetnosti z uporabo verjetnostnega adicijskega izreka dobimo

(3.4.15)

Upoštevajte, da za določitev numeričnih značilnosti nelinearno transformiranih naključnih procesov ni treba določiti njihove gostote verjetnosti. Dejansko imamo v splošnem primeru za začetni trenutek k-tega reda

(3.4.16)

Toda glede na (3.4.13) In . Zato lahko zadnji izraz prepišemo

(3.4.17)

Dobljena izraza (3.4.14) in (3.4.15) lahko enostavno razširimo na primer več količin. Tukaj predstavljamo samo končni rezultat za dvodimenzionalni primer. Če imajo naključne spremenljivke skupno gostoto verjetnosti, potem za naključne spremenljivke

(3.4.18)

ko so inverzne funkcije enolične

skupna gostota verjetnosti bo podana z izrazom

Kje je velikost

se imenuje jakobian transformacije in predstavlja razmerje elementarnih površin pri prehodu iz enega koordinatnega sistema v drugega. Če , potem je enakost resnična

Kje

Vprašanje št. 23

Diskretna impulzna sekvenca, njihov spekter.

Baskakov str. 382-383

Vzorčenje periodičnih signalov. Diskretna Fourierjeva transformacija (DFT). Obnovitev prvotnega signala z uporabo DFT. Inverzna diskretna Fourierjeva transformacija (IDFT).

Baskakov str. 388-392

Vprašanje št. 24

Načelo digitalna obdelava(DC) signali, ki temeljijo na diskretni Fourierjevi transformaciji.

Baskakov str. 400-405

Implementacija algoritmov digitalnega filtriranja (transverzalni digitalni filtri, rekurzivni digitalni filtri, impulzni odziv, izhodni signal)

Digitalni filtri odvisno od povratne informacije Obstajajo rekurzivni (RF) in nerekurzivni (NF).

Prednosti nerekurzivnih filtrov pred rekurzivnimi so naslednje:

Nerekurzivni filtri imajo lahko natančno linearen fazni odziv;

Inherentna hrupna moč NF je praviloma precej manjša kot pri RF;

Za NF je lažje izračunati koeficiente.

Slabosti nerekurzivnih filtrov v primerjavi z rekurzivnimi so naslednje:

Rekurzivni filtri omogočajo obdelavo signala z večjo natančnostjo, saj omogočajo pravilnejšo izvedbo impulznega odziva brez zavrženja njegovega "repa";

Izvedba vezja RF je veliko enostavnejša od izvedbe NF;

Rekurzivni filtri omogočajo implementacijo algoritmov, ki jih z nerekurzivnimi filtri sploh ni mogoče implementirati.

Impulzni odziv rekurzivni filter je neskončen, nerekurziven filter pa končen.

Baskakov str. 405-408, 409-411, 413

Vprašanje št. 25

Koncept razmerja signal/šum, filtriranje in optimalni filter.

Razmerje med signalom in šumom- brezdimenzijska količina, ki je enaka razmerju med močjo uporabnega signala in močjo šuma.

Filtracija je proces obdelave signal frekvenčno selektivne naprave za spreminjanje spektralne sestave signala.

Optimalni linearni filter imenujemo frekvenčno selektivni sistem, ki obdela vsoto signala in šuma na nek najboljši način. Izhod poveča razmerje med signalom in šumom.

Baskakov str. 423-424

Razmerje med signalom in šumom na izhodu usklajenega filtra.

Baskakov str. 425, 431-432

Značilnosti optimalnega (ujemajočega) filtra za signale znane oblike (AFC, PFC, IR).

Signal na izhodu usklajenega filtra.

Cilj dela: Pridobiti osnovne veščine preučevanja statističnih značilnosti naključnih signalov. Eksperimentalno določiti zakonitosti porazdelitve naključnih signalov na izhodu linearnih in nelinearnih radijskih vezij.

KRATKE TEORETIČNE INFORMACIJE

1. Klasifikacija radijskih vezij

Radijska vezja, ki se uporabljajo za pretvorbo signalov, so zelo raznolika po sestavi, zgradbi in značilnostih. V procesu njihovega razvoja in analitičnega raziskovanja se uporabljajo različni matematični modeli, ki zadovoljujejo zahteve po ustreznosti in enostavnosti. Na splošno lahko vsako radijsko vezje opišemo s formaliziranim razmerjem, ki določa transformacijo vhodnega signala x(t) v izhod y(t), ki ga lahko simbolično predstavimo kot

y(t) = T,

Kjer je T operator, ki definira pravilo, po katerem se vhodni signal pretvori.

Tako kot matematični model radijsko inženirsko vezje je lahko kombinacija operatorja T in dveh nizov X=(xi(t)) in Y=(yi(t)) signalov na vhodu in izhodu vezja, tako da

(ljaz(t)) = T(xjaz(t)).

Glede na vrsto transformacije vhodnih signalov v izhodne signale, to je glede na vrsto operaterja T, so radiotehnična vezja razvrščena.

Radijsko vezje je linearno, če je operator T tak, da vezje izpolnjuje pogoje aditivnosti in homogenosti, to pomeni, da veljajo enakosti

T = T : T = c T

jaz jaz

Kjer je c konstanta.

Ti pogoji izražajo bistvo principa superpozicije, ki je značilen le za linearna vezja.

Delovanje linearnih vezij opisujejo linearne diferencialne enačbe s konstantnimi koeficienti. Značilno je, da linearne transformacije signala katere koli oblike ne spremlja pojav harmoničnih komponent z novimi frekvencami v spektru izhodnega signala, to pomeni, da ne vodi do obogatitve spektra signala.

Radijsko vezje je Nelinearno, če operator T ne zagotavlja izpolnjevanja pogojev aditivnosti in homogenosti. Delovanje takih vezij opisujejo nelinearne diferencialne enačbe.

Strukturno linearna vezja vsebujejo samo linearne naprave (ojačevalnike, filtre, dolge linije itd.). Nelinearna vezja vsebujejo eno ali več nelinearnih naprav (generatorjev, detektorjev, množiteljev, omejevalnikov itd.)

Glede na naravo časovne odvisnosti izhodnega signala od vhodnega signala ločimo inercialna in brezinercijska radijska vezja.

V radijskem vezju je vrednost izhodnega signala y(t) v trenutku t=t0 odvisna ne samo od vrednosti vhodnega signala x(t) v tem trenutku, ampak tudi od vrednosti x( t) v časovnih trenutkih pred trenutkom t0 Inercialno veriga. Če sta vrednost izhodnega signala y(t) in trenutek t=t0 v celoti določena z vrednostjo x(t) hkrati t0, potem se takšno vezje imenuje Brez vztrajnosti.

2. Transformacija naključnih procesov v linearnih vezjih

Problem transformacije naključnih procesov v linearnih radijskih vezjih v splošnem primeru je obravnavan v naslednji formulaciji. Naj naključni proces x(t) z danimi statističnimi lastnostmi prispe na vhod linearnega vezja s frekvenčnim odzivom K(jw). Določiti je treba statistične značilnosti naključnega procesa y(t) na izhodu vezja. Glede na analizirane značilnosti naključnih procesov x(t) in y(t) obravnavamo dve različici splošnega problema:

1. Določanje energijskega spektra in korelacijske funkcije naključnega procesa na izhodu linearnega vezja.

2. Določanje zakonov porazdelitve verjetnosti naključnega procesa na izhodu linearne verige.

Najenostavnejša je prva naloga. Njegova rešitev v frekvenčni domeni temelji na dejstvu, da je energijski spekter naključnega procesa na izhodu linearnega vezja Wy(w) v stacionarnem načinu enak energijskemu spektru vhodnega procesa Wx(w), pomnoženemu z kvadrat modula frekvenčne karakteristike vezja, tj

Wy(W)= Wx(W) ∙│ K(Jw)│ A (1)

Znano je, da je energijski spekter Wx(w) naključnega procesa x(t) z matematičnim pričakovanjem mx=0 povezan z njegovo kovariančno funkcijo Bx(t) s Fourierjevimi transformacijami, tj.

Wx(W)= INX(T) E— JWTDT

INX(T)= Wx(W) EjWTDW.

Posledično lahko kovariančno funkcijo Вy(t) naključnega procesa na izhodu linearne verige določimo na naslednji način:

INY(T)= Wy(W) EjWTDW= Wx(W))│ K(Jw)│ A EjWTDW

Ry(T)=BY(T)+ Mya.

V tem primeru sta varianca Dy in matematično pričakovanje my izhodnega naključnega procesa enaki

Dy= Ry(0)= Wx(w)) │K(jw)│adw

moj= Mx∙ K(0) .

Kjer je mx matematično pričakovanje vhodnega naključnega procesa:

K(0) - prenosni koeficient linearnega vezja glede na DC, to je

K(0)= K(Jw)/ W=0

Formule (1,2,3,4) so ​​v bistvu popolna rešitev dodeljena naloga v frekvenčni domeni.

Metoda za rešitev drugega problema, ki bi omogočila neposredno iskanje gostote verjetnosti procesa y(t) na izhodu linearnega inercialnega vezja iz dane gostote verjetnosti procesa x(t) na vhodu, v splošni pogled ne obstaja. Problem je rešen samo za nekatere posebne primere in za naključne procese z Gaussovim (normalnim) porazdelitvenim zakonom ter Markovljeve naključne procese.

V zvezi s procesom normalne porazdelitve je rešitev poenostavljena na podlagi tega, da ko linearna transformacija Tak postopek ne spremeni distribucijskega zakona. Ker je normalen proces v celoti določen z matematičnim pričakovanjem in korelacijsko funkcijo, je za iskanje gostote verjetnosti procesa dovolj, da izračunamo njegovo matematično pričakovanje in korelacijsko funkcijo.

Zakon porazdelitve verjetnosti signala na izhodu linearnega brezvztrajnostnega vezja v funkcionalnem smislu sovpada z zakonom porazdelitve vhodnega signala. Spremenijo se le nekateri njegovi parametri. Če torej linearno vezje brez vztrajnosti izvaja funkcionalno transformacijo oblike y(t) = a x(t) + b, kjer sta a in b konstantna koeficienta, potem je gostota verjetnosti p(y) naključnega procesa pri proizvodnja verige je določena z znano funkcionalno transformacijsko formulo naključnih procesov

p(Y)= =

Kjer je p(x) gostota verjetnosti naključnega procesa x(t) na vhodu vezja.

V nekaterih primerih je problem določanja verjetnostnih značilnosti naključnega procesa na izhodu inercialnih vezij mogoče približno rešiti z uporabo učinka normalizacije naključnega procesa z inercialnimi sistemi. Če ne-Gaussov proces x(t1) s korelacijskim intervalom tk deluje na inercialno linearno verigo s časovno konstanto t»tk (v tem primeru je širina energijskega spektra naključnega procesa x(t) večja od pasovna širina verige), potem se proces y(t) na izhodu takšne verige približuje Gaussovi, ko se razmerje t/tk povečuje. Ta rezultat se imenuje učinek normalizacije naključnega procesa. Učinek normalizacije je izrazitejši, čim ožja je pasovna širina vezja.

3. Transformacija naključnih procesov v nelinearnih vezjih

Nelinearne inercialne transformacije so obravnavane pri analizi nelinearnih vezij, katerih vztrajnosti pod danimi vplivi ni mogoče zanemariti. Obnašanje takih vezij opisujejo nelinearne diferencialne enačbe, katerih splošne metode za reševanje ne obstajajo. Zato se problemi, povezani s preučevanjem nelinearnih inercialnih transformacij naključnih procesov, skoraj vedno rešujejo približno z uporabo različnih umetnih tehnik.

Ena od teh tehnik je predstavitev nelinearne inercialne verige s kombinacijo linearnih inercialnih in nelinearnih inercialnih verig. Problem proučevanja vpliva naključnih procesov na linearno verigo je bil obravnavan zgoraj. Pokazalo se je, da je v tem primeru precej preprosto določiti spektralno gostoto (ali korelacijsko funkcijo) izhodnega signala, težko pa je določiti porazdelitveni zakon. V nelinearnih vezjih brez vztrajnosti je glavna težava iskanje korelacijske funkcije. Vendar pa ni splošnih metod za analizo vpliva naključnih signalov na nelinearna vezja. Omejeni so na reševanje nekaterih posebnih problemov praktičnega pomena.

3.1. Statistične značilnosti naključnega procesa na izhodu nelinearnih vezij

Oglejmo si transformacijo naključnega procesa z enodimenzionalno gostoto verjetnosti z nelinearno verigo brez vztrajnosti z značilnostjo

Y= f(x).

Očitno je, da se vsaka realizacija naključnega procesa x(t) transformira v ustrezno realizacijo novega naključnega procesa y(t), tj.

y(t)=F[ X(T)] .

A. Določitev porazdelitvenega zakona naključnega procesa y(t)

Naj bo znana gostota verjetnosti p(x) naključnega procesa x(t). Določiti je treba gostoto verjetnosti p(y) naključnega procesa y(t). Poglejmo tri tipične primere.

1. Funkcija y= f(x) nelinearne verige določa ujemanje ena proti ena med x(t) in y(t). Verjamemo, da obstaja inverzna funkcija x = j(y), ki prav tako določa korespondenco ena proti ena med y(t) in x(t). V tem primeru je verjetnost, da najdemo realizacijo naključnega procesa x(t) v intervalu (x0, x0+dx), enaka verjetnosti, da najdemo realizacijo naključnega procesa y(t)=f v intervalu (y0, y0+dу) z y0= f(x0) in y0+dy= f(x0+dx), tj.

p(X) Dx= p(Y) Dy

torej

p(Y)= .

Odvod je vzet v absolutni vrednosti, ker je gostota verjetnosti p(y) > 0, medtem ko je odvod lahko negativen.

2. Inverzna funkcija x = j(y) je dvoumna, to pomeni, da ena vrednost y ustreza več vrednostim x. Naj na primer vrednost y1=y0 ustreza vrednostim x= x1, x2,…,xn.

Nato iz dejstva, da je y0≤ y(t)≤ y0+dy, sledi ena od n med seboj nekompatibilnih možnosti

X1 ≤ X(T)≤ X1 + Dx, oz X2 ≤ X(T)≤ X2 + Dx, ali … Xn≤ X(T)≤ Xn+ Dx.

Z uporabo pravila seštevanja verjetnosti dobimo

p(Y)= + +…+ .

/ X= X1 / X= X2 / X= Xn

3, Značilnost nelinearnega elementa y= f(x) ima enega ali več vodoravnih odsekov (odsekov, kjer je y= konst.). Potem izraz

p(Y)=

Dopolniti ga je treba s členom, ki upošteva verjetnost, da je y(t) v intervalu, kjer je y = const.

Ta primer je najlažje obravnavati s primerom.

Naj ima funkcija y= f(x) obliko, prikazano na sliki 1 in formuli

riž. 1 Vpliv naključnega procesa na dvosmerni omejevalnik.

Pri x(t)<а выходной сигнал y(t)=0, Это значит, что вероятность принятия случайным процессом y(t) нулевого значения равна

P1= P= P= P(x)dx,

In gostota verjetnosti

P1(y) = P1∙δ(y).

Če trdimo podobno za primer x(t)> b, dobimo

Pa= P= P= P(x)dx,

pa(Y) = oče∙ δ (Y— C).

/ Y= C

Za primer a≤ x≤ b velja formula

oče(Y) =

/0≤ Y≤ C

Na splošno je gostota verjetnosti izhodnega procesa določena z izrazom

p(Y)= p1 ∙ δ (Y)+ oče∙ δ (Y— C)+ .

Upoštevajte, da je za pridobitev končnega izraza potrebno preoblikovati funkcionalni odvisnosti p(x) in dy/dx, ki sta funkciji x, v funkcije y z inverzno funkcijo x = j(y). Tako je problem določanja gostote porazdelitve naključnega procesa na izhodu nelinearnega brezvztrajnostnega vezja analitično rešen za dokaj preproste karakteristike y = f(x).

B. Določitev energijskega spektra in korelacijske funkcije naključnega procesa y(t)

Na izhodu nelinearnega vezja ni mogoče neposredno določiti energijskega spektra naključnega procesa. Obstaja samo ena metoda - določitev korelacijske funkcije signala na izhodu vezja in nato uporaba neposredne Fourierove transformacije za določitev spektra.

Če stacionarni naključni proces x(t) prispe na vhod nelinearnega vezja brez vztrajnosti, potem lahko korelacijsko funkcijo naključnega procesa y(t) na izhodu predstavimo kot

Ry(T)= Avtor:(T)- moj2 ,

kjer je By(t) kovariančna funkcija;

my je matematično pričakovanje naključnega procesa y(t). Kovariančna funkcija naključnega procesa je statistično povprečni produkt vrednosti naključnega procesa y(t) v trenutkih t in t+t, tj.

Avtor:(T)= M[ Y(T)∙ Y(T+ T)].

Za implementacije naključnega procesa y(t) je produkt y(t)∙y(t+t) število. Za proces kot množico izvedb ta produkt tvori naključno spremenljivko, katere porazdelitev je označena z dvodimenzionalno gostoto verjetnosti p2 (y1, y2, t), kjer je y1= y(t), ya= y( t+t). Upoštevajte, da se v zadnji formuli spremenljivka t ne pojavi, ker je proces stacionaren - rezultat ni odvisen od t.

Za dano funkcijo р2 (у1, у2, t) se operacija povprečenja po množici izvede po formuli

Avtor:(T)=У1∙у2∙р2 (у1, у2,T) Dy1 Dy2 = F(X1 )∙ F(X2 )∙ p(X1 , X2 , T) Dx1 Dx2 .

Matematično pričakovanje my je podano z naslednjim izrazom:

moj= Y∙ p(Y) Dy.

Ob upoštevanju, da je p(y)dy = p(x)dx, dobimo

moj= F(X)∙ p(X) Dx.

Energijski spekter izhodnega signala v skladu z Wiener-Khinchinovim izrekom najdemo kot direktno Fourierjevo transformacijo kovariančne funkcije, tj.

Wy(W)= Avtor:(T) E— JWTDT

Praktična uporaba ta metoda težko, saj dvojnega integrala za By(t) ni mogoče vedno izračunati. Treba je uporabiti različne metode poenostavljanja, povezane s posebnostmi problema, ki ga rešujemo.

3.2. Vpliv ozkopasovnega šuma na amplitudni detektor

V statističnem radijskem inženiringu ločimo med širokopasovnimi in ozkopasovnimi naključnimi procesi.

Naj bo ∆ fe širina energijskega spektra naključnega procesa, določena s formulo (slika 2.)

riž. 2. Širina energijskega spektra naključnega procesa

Ozkopasovni naključni proces je proces, za katerega velja ∆fе «f0, kjer je f0 frekvenca, ki ustreza maksimumu energijskega spektra. Naključni proces, katerega širina energijskega spektra ne izpolnjuje tega pogoja, je Širokopasovna povezava.

Ozkopasovni naključni proces je običajno predstavljen kot visokofrekvenčno nihanje s počasi spreminjajočo se (v primerjavi z nihanjem pri frekvenci f0) amplitudo in fazo, tj.

X(t)= A(t)∙cos,

kjer je A(t) = √x2(t) + z2(t),

J(t) = arktan,

z(t) je Hilbertova konjugirana funkcija prvotne funkcije x(t), torej

z(t)= —DT

Vsi parametri tega nihanja (amplituda, frekvenca in faza) so naključne funkcije časa.

Amplitudni detektor, ki je sestavni del Sprejemna pot je kombinacija nelinearnega elementa brez vztrajnosti (na primer diode) in inercialnega linearnega vezja (nizkopasovni filter). Napetost na izhodu detektorja reproducira amplitudno ovojnico visokofrekvenčnega nihanja na vhodu.

Naj na vhod amplitudnega detektorja pride ozkopasovni naključni signal (na primer iz izhoda ojačevalnika, ki ima ozko pasovno širino glede na vmesno frekvenco), ki ima lastnosti ergodičnega naključnega procesa z normalno distribucijski zakon. Očitno bo signal na izhodu detektorja ovojnica vhodnega naključnega signala, ki je prav tako naključna funkcija časa. Dokazano je, da je za to ovojnico, to je ovojnico ozkopasovnega naključnega procesa, značilna gostota verjetnosti, imenovana Rayleighova porazdelitev, in ima obliko:

kjer so A vrednosti ovojnice;

Sx2 je disperzija naključnega signala na vhodu detektorja.

Graf Rayleighove porazdelitve je prikazan na sliki 3.

Slika 3. Graf zakona Rayleieve porazdelitve

Funkcija p(A) ima največjo vrednost, ki je enaka

Ko je A = sx. To pomeni, da je vrednost A = sx in je najverjetnejša vrednost ovojnice.

Matematično pričakovanje ovojnice naključnega procesa

M.A.= = =

Tako je ovojnica ozkopasovnega naključnega procesa z normalnim porazdelitvenim zakonom naključna funkcija časa, katere gostota porazdelitve je opisana z Rayleighovim zakonom.

3.3. Zakon porazdelitve ovojnice vsote harmoničnega signala in ozkopasovnega naključnega šuma

Problem določanja zakona porazdelitve ovojnice vsote harmoničnega signala in ozkopasovnega naključnega šuma se pojavi pri analizi procesa linearne detekcije v radarskih in komunikacijskih sistemih, ki delujejo v pogojih, kjer je notranji ali zunanji šum po ravni primerljiv z uporaben signal.

Naj vhod sprejemnika prejme vsoto harmoničnega signala a(t)=E∙cos(wt) in ozkopasovnega šuma x(t)=A(t)∙cos z normalnim porazdelitvenim zakonom. Celotno nihanje v tem primeru lahko zapišemo

n(T) = S(T)+ X(T)= E∙coS(tež)+ A(T)∙ Cos[ tež+ J(T)]=

=[E+A(T)∙ Cos(J(T))]∙torejS(tež)- A(T)∙ greh(J(T))∙ greh(tež)= U(T)∙ Cos[ tež+ J(T)],

kjer sta U(t) in j (t) ovojnica in faza skupnega signala, določena z izrazi

U(T)= ;

J(T)= Arctg

Ko celotno nihanje u(t) deluje na amplitudni detektor, se na izhodu slednjega oblikuje ovojnica. Gostota verjetnosti p(U) te ovojnice je določena s formulo

p(U)= (5)

Kjer je sxa varianca šuma x(t);

I0 - Besselova funkcija ničelnega reda (spremenjena).

Gostota verjetnosti, določena s to formulo, se imenuje posplošeni Rayleighov zakon ali Riceov zakon. Grafi funkcije p(U) za več vrednosti razmerja med signalom in šumom E/sx so prikazani na sliki 4.

Če ni uporabnega signala, to je, ko je E/sx=0, ima izraz (5) obliko

p(U)=

To pomeni, da se ovojnica dobljenega signala v tem primeru porazdeli po Rayleighovem zakonu.

Slika 4. Grafi posplošenega Rayleighovega zakona porazdelitve

Če amplituda uporabnega signala presega povprečno kvadratno raven šuma, to je E/sx»1, potem lahko za U≃E uporabite asimptotično predstavitev Besselove funkcije z velikim argumentom, tj.

≃≃.

Če ta izraz zamenjamo v (5), imamo

p(U)= ,

To pomeni, da je ovojnica dobljenega signala opisana z normalnim porazdelitvenim zakonom z disperzijo sx2 in matematičnim pričakovanjem E. V praksi velja, da je že pri E/sx = 3 ovojnica dobljenega signala normalizirana.

4. Eksperimentalno ugotavljanje zakonov porazdelitve naključnih procesov

Ena od metod za eksperimentalno določanje porazdelitvene funkcije naključnega procesa x(t) je metoda, ki temelji na uporabi pomožne naključne funkcije z(t) oblike

Kjer je x vrednost funkcije x(t), za katero se izračuna z(t).

Kot izhaja iz semantične vsebine funkcije z(t), njene statistične parametre določajo parametri naključnega procesa x(t), saj se spremembe vrednosti z(t) pojavijo v trenutkih, ko naključno proces x(t) prečka nivo x. Posledično, če je x(t) ergodičen naključni proces s porazdelitveno funkcijo F(x), bo funkcija z(t) prav tako opisala ergodičen naključni proces z enako porazdelitveno funkcijo.

Slika 5 prikazuje izvedbe naključnih procesov x(t) in z(t), ki ponazarjajo očitnost razmerja

p[ Z(T)=1]= p[ X(T)< X]= F(X);

p[ Z(T)=0]= p[ X(T)≥ X]= 1- F(X).

Slika 5 Realizacije naključnih procesov x(t), z(t), z1(t)

Matematično pričakovanje (statistično povprečje) funkcije z(t), ki ima dve diskretni vrednosti, se določi po formuli (glej tabelo 1)

M[ Z(T)]=1∙ p[ Z(T)=1]+0 ∙ p[ Z(T)=0]= F(X).

Po drugi strani pa za ergodičen naključni proces

torej

analiziranje ta izraz, lahko sklepamo, da mora naprava za merjenje porazdelitvene funkcije ergodičnega naključnega procesa x(t) vsebovati diskriminator ravni, da dobimo naključni proces, ki ga opisuje funkcija z(t) v skladu z izrazom (6), in integracijski naprava, izdelana na primer v obliki nizkopasovnega filtra.

Metoda za eksperimentalno določanje gostote porazdelitve naključnega procesa x(t) je v bistvu podobna tisti, ki je obravnavana zgoraj. V tem primeru se uporabi pomožna naključna funkcija z1(t) oblike

Matematično pričakovanje funkcije z1(t), ki ima dve diskretni vrednosti (slika 5), ​​je enako

M[ Z1 (T)]=1∙ p[ Z1 (T)=1]+0 ∙ p[ Z1 (T)=0]= p[ X< X(T)< X+∆ X].

Ob upoštevanju ergodičnosti naključnega procesa, ki ga opisuje funkcija z1(t), lahko zapišemo

torej

Znano je, da

p(X≤ X(T)< X+∆ X) ≃ p(X)∙∆ X.

torej

Tako ima naprava za merjenje gostote porazdelitve ergodičnega naključnega procesa x(t) enako zgradbo in sestavo kot naprava za merjenje porazdelitvene funkcije.

Natančnost merjenja F(x) in p(x) je odvisna od trajanja opazovalnega intervala in kakovosti operacije integracije. Povsem očitno je, da v realnih razmerah dobimo Ocene distribucijskih zakonov, saj je čas povprečenja (integracije) končen. Če se vrnemo k izrazu (6) in sl. 5. upoštevajte to

Z(T) Dt= ∆ T1 ,

Kjer je ∆ t1 1. časovni interval, ko je funkcija x(t) pod nivojem x, to je časovni interval, ko je funkcija z(t)=l.

Veljavnost te formule je določena z geometrijskim pomenom določenega integrala (področje figure, omejeno s funkcijo z(t) in segmentom (0,T) časovne osi).

Tako lahko pišemo

To pomeni, da je porazdelitvena funkcija naključnega procesa x(t) enaka relativnemu času zadrževanja izvedbe procesa v intervalu -¥< x(t) < х.

Argumentirajo podobno, lahko dobimo

Kjer je ∆ t1 1. časovni interval funkcije x(t), ki je znotraj (x, x+∆x).

Pri praktični izvedbi obravnavane metode eksperimentalnega določanja zakonov porazdelitve naključnega procesa se naključni signal x(t) analizira v območju sprememb njegovih trenutnih vrednosti od xmin do xmax (slika 6). V teh mejah je koncentriran glavni niz (v verjetnostnem smislu) trenutnih vrednosti procesa x(t).

Vrednosti xmin in xmax so izbrane na podlagi zahtevane merilne natančnosti zakonov porazdelitve. V tem primeru bodo preučene okrnjene porazdelitve, tako da

F(Xmin)+<<1.

Celotno območje (xmin, xmax) vrednosti x(t) je razdeljeno na N enakih intervalov ∆x, tj.

Xmaks— Xmin= n∙∆ X.

riž. 6. Porazdelitvena funkcija (a), gostota verjetnosti (b) in izvedba (c) naključnega procesa x(t)

Intervali določajo širino diferencialnih koridorjev, v katerih se izvajajo meritve. Ocena verjetnosti je določena

Pi* ≃ p[ Xi-∆ X/2≤ X(T)< Xi-∆ X/2]

Ostajanje realizacije x(t) znotraj diferenčnega koridorja s povprečno vrednostjo x(t) znotraj njega, ki je enaka xi. Ocena Pi* je določena z merjenjem relativnega časa zadrževanja izvedbe x(t) v vsakem od diferencialnih koridorjev, tj.

Pi*=1/T Zi(t)dt= ,

I = 1,…,N.

Glede na to

Pi* ≃ p1 = p(X) Dx,

Ocene gostote porazdelitve lahko določite v vsakem od diferencialnih koridorjev

Pi* (X)= Pi*/∆ X.

Z uporabo dobljenih rezultatov, to je vrednosti pi*(x), xi, ∆x, sestavi stopničasto krivuljo p*(x), ki se imenuje histogram gostote porazdelitve (glej sliko 7).

Slika 7. Histogram gostote porazdelitve

Površina pod vsakim fragmentom histograma znotraj ∆x je številčno enaka površini, ki jo zavzema prava porazdelitvena krivulja p(x) v danem intervalu.

Število N diferencialnih koridorjev mora biti znotraj 10...20. Nadaljnje povečevanje njihovega števila ne vodi do natančnejšega zakona p(x), saj se z naraščanjem N vrednost intervala ∆x zmanjšuje, kar poslabša pogoje za natančno merjenje ∆ti.

Dobljeni rezultati nam omogočajo izračun ocene matematičnega pričakovanja in variance naključnega procesa x(t)

Mx* = Xi∙ Pi* ; Dx* = (Xi— Mx* )2∙ Pi* .

Pri izračunu Mx* in Dx* Te formule upoštevajo, da če vrednost realizacije naključnega procesa x(t) pade v 1. diferenčni koridor, potem se ji pripiše vrednost in (sredina diferenčnega koridorja).

Obravnavana metoda določanja porazdelitvenih zakonov naključnih procesov predstavlja osnovo za delovanje statističnega analizatorja, uporabljenega v tem laboratorijskem delu.

OPIS LABORATORIJSKE INSTALACIJE

Preučevanje zakonov porazdelitve naključnih signalov se izvaja z uporabo laboratorijske naprave, ki vključuje laboratorijski model, statistični analizator in osciloskop S1-72 (slika 8).

Slika 8. Diagram laboratorijske postavitve

Laboratorijski model generira in transformira naključne signale, zagotavlja njihovo statistično analizo, konstruira histograme zakonov porazdelitve in grafično prikazuje te zakone na indikatorju statističnega analizatorja. Vsebuje naslednje funkcionalne enote:

A. Blok generatorjev signalov. Generira štiri različne naključne signale.

— Signal x1(t)= A∙sin je harmonično nihanje z naključno začetno fazo, katerega porazdelitveni zakon Uniforma v intervalu 0

p(J)= 1/2 p, 0< J<2 p.

Gostota verjetnosti trenutnih vrednosti takega signala je enaka

— Signal x2(t) — žagasta periodična napetost s konstantno amplitudo A in naključnim parametrom premika q, porazdelitveni zakon
koga Uniforma v intervalu , kjer je T0 obdobje signala, kar pomeni, da je gostota verjetnosti enaka

p(Q)= 1/ T0 ; 0< Q≤ T0 .

Gostota verjetnosti trenutnih vrednosti takega signala je določena z izrazom

— Signal x3(t) je naključen signal z normalnim zakonom porazdelitve (Gaussov zakon) trenutnih vrednosti, tj.

oče(X)= ,

Kjer sta mx, sx matematično pričakovanje in varianca naključnega signala x3(t).

— Signal x4(t) je naključno izrezan signal, ki je zaporedje pravokotnih impulzov s konstantno amplitudo A in naključnim trajanjem, ki se pojavljajo ob naključnih trenutkih. Tak signal se pojavi na izhodu idealnega omejevalnika, ko na njegov vhod deluje naključni proces z normalnim zakonom porazdelitve. Značilnost transformacije ima obliko

Kjer je x raven omejitve.

Tako naključni proces x4(t) zavzame dve vrednosti (A in - A) z verjetnostmi

P= P= F3(x);

P= P= 1-F3(x);

Kjer je F3(x) integralni porazdelitveni zakon naključnega procesa x3(t).

Ob upoštevanju zgoraj navedenega je gostota verjetnosti izrezanega signala enaka

P4(x)= F3(x)∙D(x+ A)+ ∙D(x - A).

Slika 9 prikazuje izvedbe vsakega od naključnih signalov, ki jih generira iterator laboratorijske postavitve, in njihove gostote verjetnosti.

Ti signali, od katerih je za vsakega značilna lastna gostota porazdelitve, se lahko napajajo na vhode tipičnih elementov radijskih inženirskih naprav, da se pretvorijo in preučijo zakoni porazdelitve signala na njihovih izhodih.

B. Linearni signalni mešalnik. Generira vsoto dveh naključnih signalov xi(t) in x1(t), dobavljenih na njegove vhode v skladu z razmerjem

Y(T)= R∙ Xi(T)+ (1- R)∙ X1 (T),

Kjer je R koeficient, nastavljen z gumbom potenciometra v območju 0...1.

Uporablja se za preučevanje zakonov porazdelitve vsote dveh naključnih signalov.

IN. Vtičnice za priklop različnih štiripolnih omrežij - funkcijski pretvorniki. Komplet za laboratorijsko namestitev vključuje 4 funkcionalne pretvornike (slika 10).

riž. 9. Realizacije naključnih procesov x1(t), x2(t), x3(t), x4(t) in njihove verjetnostne gostote

Ojačevalnik - omejevalnik (limiter) s pretvorniško karakteristiko

kjer sta U1, U2 spodnja oziroma zgornja mejna raven;

k je koeficient, ki je enak tg kota naklona transformacijske karakteristike.

Izvaja nelinearno transformacijo vhodnih signalov brez vztrajnosti.

Ozkopasovni filter (F1) z resonančno frekvenco f0=20 kHz. Uporablja se za ustvarjanje ozkopasovnih naključnih procesov z distribucijskim zakonom, ki je blizu normalnemu.

Tipična pot sprejemnika AM oscilacij (ozkopasovni filter F1 - linearni detektor D - nizkopasovni filter F2). Izvaja oblikovanje ovojnice ozkopasovnega naključnega signala med linearno detekcijo.

Strukturno so obravnavani funkcionalni pretvorniki izdelani v obliki majhnih zamenljivih blokov.

Kot drug funkcionalni pretvornik se uporablja "idealni" ojačevalnik - omejevalnik (elektronski ključ), ki je del bloka generatorja signala prototipa. Zagotavlja tvorbo izrezanega signala, ki je nelinearni brezvztrajnostni pretvornik vhodnega naključnega signala.

riž. 10. Funkcionalni pretvorniki

G. Ustrezen ojačevalnik. Zagotavlja usklajevanje med obsegom vrednosti proučevanega signala in obsegom amplitude statističnega analizatorja. Koordinacija se izvaja s potenciometroma "Gain" in "Offset", ko je stikalo P1 (slika 8) nastavljeno na položaj "Calibration".

Ustrezni ojačevalnik se uporablja tudi kot funkcionalni pretvornik (razen štirih, obravnavanih zgoraj), ki zagotavlja linearno pretvorbo brez vztrajnosti v skladu s formulo

Y(T)= A∙ X(T)= B,

Kjer je a faktor ojačanja, nastavljen z gumbom "Gain";

b je konstantna komponenta signala, nastavljena z gumbom "Offset".

Blok analizatorja, prikazan v diagramu na sliki 8 kot del postavitve, v tem delu ni uporabljen. Laboratorijska namestitev vključuje uporabo digitalnega statističnega analizatorja, ki je zasnovan kot samostojna naprava.

D. Digitalni statistični analizator se uporablja za merjenje in oblikovanje zakonov porazdelitve vrednosti signala, dobavljenih na njegov vhod. Analizator deluje na naslednji način.

Analizator se preklopi v merilni način s tipko "Start". Čas merjenja je 20 s. V tem času se vzamejo vzorci vrednosti vhodnega signala (v naključnih časih), katerih skupno število N je 1 milijon. Vzorci se vzorčijo po nivojih, tako da vsak od njih pade v enega od 32 intervalov (imenovanih diferencialni koridorji ali vzorčne vrednosti intervalov združevanja). Intervali so oštevilčeni od 0 do 31, njihova širina je 0,1 V, spodnja meja 0. intervala je 0 V, zgornja meja 31. intervala je +3,2 V. V času merjenja se šteje število štetij ni vključen v vsak interval. Rezultat meritve je prikazan v obliki porazdelitvenega histograma na zaslonu monitorja, kjer je vodoravna os mreže lestvice os vrednosti signala v območju 0 ... +3,2 V, navpična os pa je os relativnega frekvence ni/N, i = 0,1...31.

Za branje rezultatov meritev v digitalni obliki uporabljamo digitalni indikator, ki prikazuje številko izbranega intervala in pripadajočo frekvenco (ocena verjetnosti) ni/N. Izbira intervalnih številk za digitalni indikator se izvede s stikalom "Interval". V tem primeru je izbrani interval označen z oznako na zaslonu monitorja.

S stikalom "Množilnik" lahko izberete lestvico histograma, primerno za opazovanje vzdolž navpične osi.

Pri izvajanju tega dela mora biti stikalo za območje vhodne napetosti analizatorja (območje analogno-digitalne pretvorbe) nastavljeno na položaj 0...+3,2 V. Pred vsako meritvijo morate izmenično pritisniti gumba "Reset" in "Start". (ob pritisku na gumb "Reset" se pomnilniška naprava ponastavi na nič, rezultati prejšnje meritve pa se prepišejo v pomnilnik sklada, iz katerega jih lahko prikličemo s stikalom "Page").

Splošni problem preučevanja prehoda naključnih signalov skozi nelinearne

vezje sestoji iz iskanja statističnih značilnosti izhodnega signala iz znanih podatkov vezja in statističnih značilnosti signala. To nalogo je treba razdeliti na številne ločene naloge, ki temeljijo na značilnostih, povezanih z značilnostmi vhodnega signala, lastnostmi vezja in začetnimi značilnostmi izhodnega signala.

Nelinearna vezja predstavljajo razmerje nelinearnih elementov z nedvoumno tokovno-napetostno karakteristiko in so opredeljena kot brezvztrajnostna.

Glede na želene statistične značilnosti izhodnega signala je treba razlikovati med nalogami, s pomočjo katerih je treba najti zakon porazdelitve trenutnih vrednosti ali ovojnico, in naloge, ko je dovolj določiti prve trenutke teh zakonov. .

Analiza raziskav in objav. Odvisno od metod obdelave signalov iz različnih virov je potrebno na njih izvajati takšne matematične operacije, kot so na primer deljenje, množenje itd. Takšne matematične operacije na signalih je tehnično mogoče izvesti z uporabo nelinearnih naprav brez vztrajnosti. Posledično problema preučevanja prehoda naključnih signalov skozi nelinearna vezja z uporabo matematičnih operacij ni mogoče vedno rešiti v sprejemljivi obliki.

Na splošno je temeljna rešitev problema nelinearnih transformacij naključnih procesov brez vztrajnosti proizvedena z dobro znano lastnostjo invariantnosti diferenciala verjetnosti. Vendar pa uporaba te lastnosti za praktično zanimive nelinearne transformacije povzroča velike težave. Zato so zaradi zapletenosti izračuna gostote verjetnosti pogosto omejeni na iskanje enostavnejših, nič manj popolnih statističnih značilnosti izhodnega signala.

Oblikovanje problema. Operacijo delitve dveh naključnih signalov lahko pripišemo problemu sinteze nelinearnega vezja za dano transformacijo vhodnega signala, ki vključuje določitev vrste karakteristike vezja, ki to transformacijo izvaja, in nato implementacijo nastale karakteristike. Z dvema vhodnima signaloma, ki predstavljata naključne procese, se na primer operacija množenja izvede z uporabo nelinearnega determinističnega sistema brez vztrajnosti, ki je predstavljen na sliki 1. 1. Sestavljen je iz dveh logaritmatorjev 1, 2 (naprave z logaritemsko amplitudno karakteristiko), seštevalnika in ekshibitorja 3, naprave z eksponentno amplitudno karakteristiko. Ta pristop k reševanju problema temelji na dejstvu, da nelinearna transformacija naključnega procesa brez vztrajnosti ne uvaja dodatnih začasnih povezav. To pomeni, da če je bil proces pred transformacijo brez vztrajnosti značilna n-dimenzionalna porazdelitev, potem bo za proces po njej značilna porazdelitev n-tega reda.

Znano je, da je zakon porazdelitve verjetnosti vsote dveh naključnih procesov z normalnimi zakoni porazdelitve tudi normalen. Zato lahko domnevamo, da ima signal na vhodu ekshibitorja normalno porazdelitev gostote verjetnosti.

Dobljeni rezultat ima tako preprosto rešitev, kot je izključitev, in se pojavi samo z eksponentno transformacijo normalnega stacionarnega procesa.

Vendar ima ta rezultat razmeroma splošen pomen, saj je pogosto mogoče značilnosti nelinearnih elementov približati z vsoto, ki vsebuje dva do tri eksponentne člene; s tem pristopom bo skupna korelacijska funkcija izhodnega procesa enaka vsoti korelacijskih funkcij, izračunanih za vsak eksponentni člen posebej.

Problemov preučevanja prehoda naključnih signalov skozi nelinearna vezja brez vztrajnosti, ki izvajajo matematične operacije na signalih, na primer deljenje ali množenje dveh signalov, ni mogoče vedno rešiti v neposredni obliki. Dobiti rezultat reševanja problema določanja statističnih karakteristik v teh primerih pa je mogoče doseči z reševanjem problema sinteze nelinearnih vezij za dano transformacijo vhodnih signalov, kar vključuje ugotavljanje vrste karakteristik posameznih elementov vezja, ki to izvajajo. transformacija signala. S tem pristopom bo naloga določanja nastalega signala določena na izhodu vsakega elementa, ki opravlja svojo dodeljeno funkcijo.

Splošnega postopka za določitev porazdelitvenega zakona odziva linearne FU na poljuben naključni vpliv ni. Možna pa je korelacijska analiza, to je izračun korelacijske funkcije reakcije iz dane korelacijske funkcije učinka, ki se priročno izvede s spektralno metodo po shemi, prikazani na sl. 5.5.

Za izračun energijskega spektra GY(f) reakcije linearne FU s prenosno funkcijo H(jω) uporabimo njegovo definicijo (4.1)

Korelacijska funkcija B Y(t) definiramo s Fourierjevo transformacijo energijskega spektra GY(f)

.

Vrnimo se k definiciji porazdelitvenega zakona za reakcijo linearne FU v nekaterih posebnih primerih:

1. Linearna transformacija normalnega SP generira tudi normalen proces. Spreminjajo se lahko samo parametri njegove porazdelitve.

2. Tudi vsota normalnih SP (reakcija seštevalnika) je normalen proces.

3. Ko gre SP s poljubno porazdelitvijo skozi ozkopasovni filter (tj. s pasovno širino filtra D F bistveno manjša širina energijskega spektra vpliva D f X) opazimo pojav normalizacije reakcijske porazdelitve Y(t). To je v tem, da se zakon porazdelitve reakcije približa normalnemu. Stopnja tega približka je tem večja, čim močnejša je neenakost D F<< Df X(slika 5.6).

To je mogoče razložiti na naslednji način. Zaradi prehoda SP skozi ozkopasovni filter pride do znatnega zmanjšanja širine njegovega energijskega spektra (z D f X do D F) in s tem povečanje korelacijskega časa (c t X do t Y). Posledično med nekoreliranimi vzorci odziva filtra Y(k t Y) se nahaja približno D f X / D F nepovezani odčitki vpliva X(l t X), od katerih vsak prispeva k oblikovanju enega samega reakcijskega vzorca s težo, določeno z vrsto impulznega odziva filtra.

Tako v nekoreliranih odsekih Y(k t Y) obstaja seštevek velikega števila tudi nekoreliranih naključnih spremenljivk X(l t X) z omejenimi matematičnimi pričakovanji in variancami, ki v skladu s centralnim mejnim izrekom (A.M. Lyapunov) zagotavlja, da se porazdelitev njihove vsote približuje normalni s povečanjem števila členov.

5.3. Ozkopasovni naključni procesi

JV X(t) z relativno ozkim energijskim spektrom (D f X << f c) tako kot ozkopasovne deterministične signale jih je primerno predstaviti v kvaziharmonični obliki (glejte razdelek 2.5)

kje je kuverta A(t), faza Y( t) in začetno fazo j( t) so naključni procesi, ω c pa poljubno izbrana frekvenca (običajno kot povprečna frekvenca njenega spektra).

Za določitev ovojnice A(t) in faza Y( t) je priporočljivo uporabiti analitični SP

, (5.4)

Glavne trenutne funkcije analitičnega SP:

1. Matematično pričakovanje

2. Varianca

3. Korelacijska funkcija

,

,

.

Analitični SP se imenuje stacionarni, če

,

,

Oglejmo si tipičen problem v komunikacijski tehnologiji prehajanja normalnega SP skozi pasovni filter (BF), amplitudni (AM) in fazni (PD) detektor (slika 5.7). Signal na izhodu PF postane ozkopasovni, kar pomeni, da je njegova ovojnica A(t) in začetno fazo j( t) bodo počasi spremenljive funkcije časa v primerjavi z , kjer je povprečna frekvenca prepustnega pasu PF. Po definiciji bo signal na izhodu IM sorazmeren z ovojnico vhodnega signala A(t), na izhodu PD pa njegovo začetno fazo j( t). Tako je za rešitev tega problema dovolj izračunati porazdelitev ovojnice A(t) in faza Y( t) (razporeditev začetne faze razlikuje od porazdelitve Y( t) samo z matematičnim pričakovanjem).

Oblikovanje problema

podano:

1) X(t) = A(t)cosY( t) – ozkopasovni centrirani stacionarni normalni SP (na izhodu PF),

2) .

Določite:

1) w(A) – enodimenzionalna verjetnostna gostota ovojnice,

2) w(Y) – enodimenzionalna fazna gostota verjetnosti.

Za rešitev te težave opisujemo tri stopnje:

1. Prehod na analitični SP in določitev skupne gostote verjetnosti.

2. Izračun skupne gostote verjetnosti na podlagi povezav, izračunanih na prvi stopnji A(t), Y( t) z (5.3) ÷ (5.6) .

3. Določitev enodimenzionalnih gostot verjetnosti w(A) In w(Y) iz izračunane skupne gostote verjetnosti.

rešitev

1. stopnja. Poiščimo enodimenzionalno gostoto verjetnosti procesa. Temelji na linearnosti Hilbertove transformacije sklepamo, da gre za normalno skupno podjetje. Nadalje, glede na to , dobimo , in posledično

Tako imamo

.

Dokažimo nepovezano ob sovpadajočih časovnih točkah, tj.

.

Po zamenjavi , , , ob upoštevanju, da za , dobimo

Nekorelirana narava prerezov normalnih procesov torej implicira njihovo neodvisnost

.

2. stopnja. Izračun skupne gostote verjetnosti

,

kjer je po (5.2), (5.5) in (5.6)

.

Zato imamo ob upoštevanju (5.3).

. (5.7)

3. stopnja. Definicija enodimenzionalnih gostot verjetnosti

Končno

, (5.8)

. (5.9)

Izraz (5.8) je znan kot Rayleijeva porazdelitev, njegov graf je prikazan na sl. 5.8. Na sl. Slika 5.9 prikazuje graf enakomerne porazdelitve faz (5.9).

Izraz (5.7) lahko predstavimo kot produkt (5.8) in (5.9)

kar implicira neodvisnost ovojnice A(t) in faze w(Y) normalen SP.

Oglejmo si bolj zapleten problem prehajanja aditivne mešanice zgoraj omenjenega normalnega SP s harmoničnim signalom skozi IM in PD. Izjava o problemu ostaja enaka, razen prvotnega postopka Y(t), ki ima obliko

Kje X(t) – sredinska normala SP.

Zaradi

.

Zapišimo Y(t) v kvaziharmonični obliki

in rešili bomo problem določanja gostot verjetnosti w(A) In w(j) po zgornjem načrtu.

Zapišimo vnaprej X(t) v kvaziharmonični obliki in prek svojih kvadraturnih komponent

, (5.10)

(5.11)

Če želite najti, se obrnemo na analitični SP

.

Iz njegovega izraza je jasno, da gre za linearne transformacije središčne normale SP X(t):

in imajo torej normalno porazdelitev z variancami

.

Dokažimo njihovo nekoreliranost (in s tem neodvisnost) v sovpadajočih časovnih trenutkih

.

Pri tem se upošteva, da B(t) in θ( t) – ovojnica in faza normalnega SP sta, kot je navedeno zgoraj, neodvisni.

torej

in ob upoštevanju (5.10) in (5.11) dobimo

. (5.12)

Ker izraza (5.12) ni mogoče predstaviti kot produkt enodimenzionalnih funkcij , lahko sklepamo, da so procesi odvisni od .

Da bi našli porazdelitev ovojnice vsote centriranega normalnega SP s harmoničnim signalom, integriramo (5.12) po vseh možnih vrednostih naključne faze j( t)

.

Integral oblike

v matematiki znana kot spremenjena Besselova funkcija ničelnega reda. Upoštevajoč, končno imamo

. (5.13)

Izraz (5.13) se imenuje posplošena Rayleigheva porazdelitev oz Razdelitev riža. Grafi tega izraza so prikazani na sl. 5.10 za naslednje posebne primere:

1) U = 0 – navadna Rayleijeva porazdelitev,

2) – primer odsotnosti iz Y(t) SP X(t),

3)
– posplošena Rayleighova (Riceova) porazdelitev.

Iz grafov je razvidno, da višje kot je razmerje signal/šum, bolj v desno je pomaknjen maksimum gostote verjetnosti in bolj simetrična (bližje normalni porazdelitvi) je krivulja.

zaključki

1. Če so trenutne vrednosti centriranega SP X(t) imajo normalno porazdelitev, nato pa svojo ovojnico A(t), porazdeljeno po Rayleighovem zakonu

,

in faza Y( t) enakomerno

2. Porazdelitev ovojnice aditivne mešanice centriranega normalnega SP in harmoničnega signala je podrejena splošni Rayleighevi porazdelitvi (znani tudi kot Riceova porazdelitev)

.

Kontrolna vprašanja

1. Formulirajte problem analize prehoda skupnega podjetja skozi dano funkcionalno enoto.

2. Kako izračunati gostoto verjetnosti w(l) reakcija verige brez vztrajnosti glede na znano gostoto verjetnosti w(x) vpliv?

3. Kako izračunati matematično pričakovanje reakcije verige brez vztrajnosti na naključni udar X(t)?

4. Kako izračunati disperzijo reakcije verige brez vztrajnosti na naključni udar X(t)?

5. Kako izračunati korelacijsko funkcijo reakcije verige brez vztrajnosti na naključni udar X(t)?

6. Kako izračunati skupno gostoto verjetnosti w(pri 1 , pri 2 ; t) dve skupni podjetji Y 1 (t) In Y 2 (t), povezane z znanimi funkcionalnimi odvisnostmi in z dvema drugima skupnima podjetjema X 1 (t) In X 2 (t)?

7. Kako se spremeni porazdelitev normalnega SP, ko gre skozi linearno verigo?

8. Kako se spremeni poljubna porazdelitev SP, ko gre skozi ozkopasovni filter?

9. Kaj je bistvo pojava normalizacije širokopasovnega procesa, ko prehaja skozi ozkopasovni filter? Podajte matematično podlago za ta pojav.

10. Opišite postopek korelacijske analize prehoda skupnega vlaganja skozi linearni tokokrog.

11. Določite ovojnico in fazo SP.

12. Definirajte analitični SP, njegovo matematično pričakovanje, disperzijsko in korelacijsko funkcijo.

13. Katere pogoje izpolnjuje stacionarni analitični SP?

14. Kakšna je porazdelitev ovojnice centrirane normalne SP?

15. Kakšna je fazna porazdelitev centrirane normalne SP?

16. Kakšna je porazdelitev ovojnice vsote centriranega normalnega SP in harmoničnega signala?

17. Napišite analitični izraz za Rayleighov zakon. Kakšno skupno podjetje je značilno?

18. Napišite analitični izraz za posplošeni Rayleighov zakon (Riceov zakon). Kakšno skupno podjetje je značilno?