16 Matematičke sheme za modeliranje sustava.

Osnovni pristupi konstruiranju matematičkih modela sustava. Kontinuirano deterministički modeli. Diskretno-deterministički modeli. Diskretno-stohastički modeli. Kontinuirano-stohastički modeli. Mrežni modeli. Kombinirani modeli.

Osnovni pristupi konstruiranju matematičkih modela sustava.

Početna informacija pri izradi matematičkih modela procesa funkcioniranja sustava jesu podaci o namjeni i uvjetima rada sustava koji se proučava (projektuje). S.

Matematičke sheme

Stvarni procesi prikazuju se u obliku specifičnih dijagrama. Mat. dijagrami – prijelaz sa smislenog opisa na formalni opis sustava, uzimajući u obzir utjecaj okoline.

Formalni objektni model

model simulacije objekta,

tj. sustavi S, može se predstaviti kao skup veličina,

opisivanje procesa funkcioniranja realnog sustava i formiranja

općenito sljedeće podskupove:

· ukupnost ulazni utjecaji po sustavu

xja,eH,(e-lik pripada)ja=1; nx

· ukupnost utjecaji okoline

vl eVl=1;nv

· ukupnost interni (vlastiti) parametri sustava

hkeHk=1;nh

· ukupnost izlazne karakteristike sustava

yJeYj=1;ny

Mogu se razlikovati kontrolirane i nekontrolirane varijable.

Pri modeliranju sustava, ulazni utjecaji, vanjski utjecaji okoline i unutarnji parametri sadrže i determinističke i stohastičke komponente.

ulazni utjecaji, utjecaji okoline E a unutarnji parametri sustava su nezavisne (egzogene) varijable.

Proces rada sustava S na vrijeme opisao operater Fs, koji općenito egzogene varijable pretvara u endogene u skladu s relacijama oblika:

g(t)=Fs(x,v, h,t) – sve s vekTori.

Zakon rada sustava Fs može se specificirati u obliku funkcije, funkcionalnih, logičkih uvjeta, u algoritamskom i tabelarnom obliku ili u obliku verbalnog pravila korespondencije.

Koncept algoritma funkcioniranja As - metoda za dobivanje izlaznih karakteristika uzimajući u obzir ulazne utjecaje, vanjske utjecaje okoline i vlastite parametre sustava.

Uvedena su i stanja sustava - svojstva sustava u određenim točkama vremena.

Skup svih mogućih vrijednosti stanja čini prostor stanja objekta.

Dakle, lanac jednadžbi objekta "ulaz - stanja - izlaz" omogućuje nam da odredimo karakteristike sustava:

Dakle, pod matematički model objekta(stvarni sustav) razumjeti konačni podskup varijabli (x (t), v (t), h(t)) zajedno s matematičkim vezama između njih i karakteristika y(t).

Tipične sheme

U početnim fazama studije koriste se standardne sheme : diferencijalne jednadžbe, konačni i probabilistički automati, sustavi čekanja, Petrijeve mreže itd.

Kao deterministički modeli, kada se slučajni čimbenici ne uzimaju u obzir u studiji, diferencijalne, integralne, integrodiferencijalne i druge jednadžbe koriste se za prikaz sustava koji rade u kontinuiranom vremenu, te za prikaz sustava koji rade u diskretnom vremenu - konačnih automata i sheme konačnih razlika.

Kao stohastički modeli (uzimajući u obzir slučajne faktore), probabilistički automati se koriste za predstavljanje sustava s diskretnim vremenom, a sustavi čekanja itd. koriste se za predstavljanje sustava s kontinuiranim vremenom.

Stoga se pri izradi matematičkih modela procesa funkcioniranja sustava mogu razlikovati sljedeći glavni pristupi: kontinuirano-deterministički (na primjer, diferencijalne jednadžbe); diskretno-deterministički (konačni automati); diskretno-stohastički (probabilistički automati); kontinuirano-stohastički (sustavi čekanja); generalizirani ili univerzalni (agregatni sustavi).

Kontinuirano deterministički modeli

Razmotrimo značajke kontinuirano determinističkog pristupa na primjeru, koristeći Mat. modeli diferencijalne jednadžbe.

Diferencijalne jednadžbe su one jednadžbe u kojima su funkcije jedne ili više varijabli nepoznate, a jednadžba uključuje ne samo njihove funkcije već i njihove izvodnice različitih redova.

Ako su nepoznanice funkcije mnogih varijabli, onda se jednadžbe nazivaju - parcijalne diferencijalne jednadžbe. Ako su nepoznate funkcije jedne nezavisne varijable, onda obične diferencijalne jednadžbe.

Matematička relacija za determinističke sustave u općem obliku:

Diskretno-deterministički modeli.

DDM su predmet razmatranja teorija automata (TA). TA je dio teorijske kibernetike koji proučava uređaje koji procesiraju diskretne informacije i mijenjanje svojih unutarnjih stanja samo u prihvatljivim vremenima.

Državni stroj je automat čiji su skup internih stanja i ulaznih signala (a time i skup izlaznih signala) konačni skupovi.

Državni stroj ima skup unutarnjih stanja i ulaznih signala, koji su konačni skupovi. Mašina dana je F-shemom: F= ,

gdje su z, x, y redom konačni skupovi ulaznih i izlaznih signala (abeceda) i konačan skup unutarnjih stanja (abeceda). z0ÎZ - početno stanje; j(z, x) - prijelazna funkcija; y(z, x) - izlazna funkcija.

Automat radi u diskretnom automatskom vremenu, čiji su trenuci ciklusi sata, tj. jednaki vremenski intervali koji su međusobno susjedni, a svaki od njih odgovara konstantnim vrijednostima ulaznog, izlaznog signala i unutarnjeg stanja. Apstraktni automat ima jedan ulazni i jedan izlazni kanal.

Za specificiranje F automata potrebno je opisati sve elemente skupa F= , tj. ulazne, interne i izlazne abecede, kao i prijelazne i izlazne funkcije. Za specificiranje rada F-automata najčešće se koriste tabularna, grafička i matrična metoda.

Kod tabelarnog načina postavljanja koriste se tablice prijelaza i izlaza čiji redovi odgovaraju ulaznim signalima stroja, a stupci njegovim stanjima.

Opis posla F- automatski stroj Mili tablice prijelaza j i izlaza y ilustrirani su tablicom (1), a opis F - Mooreova stroja - tablicom prijelaza (2).

stol 1

Prijelazi
…………………………………………………………
…………………………………………………………

tablica 2

…………………………………………………………

Primjeri tablične metode za specificiranje F - Mealyjev stroj F1 s tri stanja, dva ulazna i dva izlazna signala dati su u tablici 3, a za F - Mooreov stroj F2 - u tablici 4.

Tablica 3

Prijelazi

Tablica 4

Drugi način specificiranja konačnog automata koristi koncept usmjerenog grafa. Graf automata je skup vrhova koji odgovaraju različitim stanjima automata i povezuju vrhove lukova grafa koji odgovaraju određenim prijelazima automata. Ako ulazni signal xk uzrokuje prijelaz iz stanja zi u stanje zj, tada se na grafu automata luk koji povezuje vrh zi s vrhom zj označava xk. Kako bi se odredila prijelazna funkcija, lukovi grafa moraju biti označeni odgovarajućim izlaznim signalima.

Riža. 1. Grafovi Mealyjevih (a) i Mooreovih (b) automata.

Kada se rješavaju problemi modeliranja, matrična specifikacija konačnog automata često je prikladniji oblik. U ovom slučaju matrica veze automata je kvadratna matrica C=|| cij ||, čiji redovi odgovaraju početnim, a stupci prijelaznim stanjima.

Primjer. Za prethodno razmatrani Mooreov automat F2, pišemo matricu stanja i izlazni vektor:

;

Diskretno-stohastički modeli

Neka je F skup svih mogućih parova oblika (zk, yi), gdje je ui element izlaza

podskup Y. Zahtijevamo da bilo koji element skupa G inducira

na skupu F neki zakon raspodjele sljedećeg oblika:

Elementi iz F (z1, y2) (z1, y2zk, yJ-1) (zK, yJ)

(xi, zs) b11 b1bK(J-1) bKJ

Informacijske mreže" href="/text/category/informatcionnie_seti/" rel="bookmark">obrada računalnih informacija s udaljenih terminala itd.

Istovremeno, karakteristično za

rad takvih objekata je slučajno pojavljivanje aplikacija (zahtjeva) za

održavanje i završetak servisa u slučajni trenuci vrijeme,

tj. stohastičnost procesa njihova funkcioniranja.

QS se shvaća kao dinamički sustav dizajniran za učinkovito servisiranje nasumičnog toka zahtjeva s ograničenim resursima sustava. Generalizirana struktura QS je prikazan na slici 3.1.

Riža. 3.1. SMO shema.

Homogeni zahtjevi koji stižu na ulaz QS-a, ovisno o uzroku generiranja, dijele se na tipove, a intenzitet protoka zahtjeva tipa i (i=1...M) označava se kao li. Ukupnost zahtjeva svih vrsta je dolazni tok QS-a.

Prijave su u obradi m kanala.

Postoje univerzalni i specijalizirani servisni kanali. Za univerzalni kanal tipa j, funkcije raspodjele Fji(t) trajanja servisiranja zahtjeva proizvoljnog tipa smatraju se poznatima. Za specijalizirane kanale, funkcije za raspodjelu trajanja kanala servisiranja zahtjeva nekih vrsta su nesigurne, dodjela tih zahtjeva danom kanalu.

Q-sklopovi se mogu proučavati analitički i pomoću simulacijskih modela. Potonji pruža veću svestranost.

Razmotrimo koncept čekanja u redu.

U svakom elementarnom činu usluge mogu se razlikovati dvije glavne komponente: očekivanje usluge od strane aplikacije i stvarna usluga aplikacije. To se može prikazati u obliku nekog i-tog servisnog uređaja Pi, koji se sastoji od akumulatora potraživanja, koji može istovremeno sadržavati li=0...LiH potraživanja, gdje je LiH kapacitet i-tog uređaja za pohranu, i kanal za servisiranje zahtjeva, ki.

Riža. 3.2. Dijagram SMO uređaja

Svaki element servisnog uređaja Pi prima tokove događaja: pogon Hi prima tok zahtjeva wi, a kanal ki prima tok usluga ui.

Tijek događaja(PS) je slijed događaja koji se pojavljuju jedan za drugim u nekim slučajnim trenucima u vremenu. Postoje tokovi homogenih i heterogenih događaja. Homogena PS karakteriziraju samo trenuci dolaska tih događaja (trenuci koji uzrokuju) i dan je nizom (tn)=(0£t1£t2…£tn£…), gdje je tn trenutak dolaska n-tog događaj - nenegativan realan broj. OPS se također može specificirati kao niz vremenskih intervala između n-tog i n-1. događaja (tn).

Heterogena PS se naziva niz (tn, fn), gdje su tn uzročni momenti; fn je skup atributa događaja. Na primjer, može se specificirati pripadnost određenom izvoru zahtjeva, prisutnost prioriteta, mogućnost posluživanja određenom vrstom kanala, itd.

Zahtjevi koje je opslužio kanal ki i zahtjevi koji su napustili uređaj Pi iz različitih razloga nisu servisirani iz izlaznog toka yiÎY.

Proces funkcioniranja uslužnog uređaja Pi može se prikazati kao proces promjene stanja njegovih elemenata u vremenu Zi(t). Prijelaz u novo stanje za Pi znači promjenu broja zahtjeva koji se u njemu nalaze (u kanalu ki i spremištu Hi). Da. vektor stanja za Pi ima oblik: , gdje su stanja pogona, (https://pandia.ru/text/78/362/images/image010_20.gif" width="24 height=28" height="28" >=1 - postoji jedan zahtjev u disku..., =- disk je potpuno zauzet; - stanje kanala ki (=0 - kanal je slobodan, =1 kanal je zauzet).

Q-sheme realnih objekata formirane su sastavom mnogih elementarnih uređaja za opsluživanje Pi. Ako su ki različiti servisni uređaji spojeni paralelno, tada se odvija višekanalna usluga (višekanalna Q-shema), a ako su uređaji Pi i njihovi paralelni sastavi povezani serijski, tada se odvija višefazna usluga (višefazna Q-shema).

Za definiranje Q-sheme također je potrebno opisati algoritme za njezino funkcioniranje koji određuju pravila ponašanja aplikacija u različitim dvosmislenim situacijama.

Ovisno o mjestu takvih situacija, postoje algoritmi (discipline) čekanja zahtjeva u spremniku Hi i servisiranja zahtjeva po kanalu ki. Heterogenost tijeka prijava uzima se u obzir uvođenjem klase prioriteta - relativni i apsolutni prioriteti.

Da. Q-shema koja opisuje proces funkcioniranja QS-a bilo koje složenosti je jedinstveno određena kao skup skupova: Q = .

Mrežni modeli.

Za formalno opisivanje strukture i interakcije paralelnih sustava i procesa, kao i za analizu uzročno-posljedičnih odnosa u složenim sustavima, koriste se Petrijeve mreže, nazvane N-sheme.

Formalno, N-shema je dana četvorkom oblika

N= ,

gdje je B konačan skup simbola koji se nazivaju pozicijama, B ≠ O;

D je konačan skup simbola koji se nazivaju prijelazi D ≠ O,

B ∩ D ≠ O; I – funkcija ulaza (funkcija izravnog upada)

I: B × D → (0, 1); O – izlazna funkcija (inverzna funkcija incidencije),

O: B × D → (0, 1). Dakle, ulazna funkcija I preslikava prijelaz dj na

skup ulaznih pozicija bj I(dj), a izlazna funkcija O odražava

prijelaz dj u skup izlaznih pozicija bj O(dj). Za svaki prijelaz

dj https://pandia.ru/text/78/362/images/image013_14.gif" width="13" height="13"> B | I(bi, dj) = 1 ),

O(dj) = (bi B | O(dj, bi) = 1),

i = 1,n; j = 1,m; n = | B |, m = | D|.

Slično, za svaku poziciju bi B uvode se definicije

skup ulaznih prijelaza pozicije I(bi) i izlaznih prijelaza

pozicije O(bi):

I(bi) = ( dj D | I(dj, bi,) = 1 ),

O(bi) = (dj D | O(bi, dj) = 1).

Petrijeva mreža je bipartitni usmjereni graf koji se sastoji od vrhova dvije vrste - položaja i prijelaza, povezanih lukovima; vrhovi istog tipa ne mogu se izravno povezati.

Primjer Petrijeve mreže. Bijeli krugovi označavaju položaje, pruge označavaju prijelaze, crni krugovi označavaju oznake.

Orijentacijski lukovi povezuju položaje i prijelaze, pri čemu je svaki luk usmjeren od elementa jednog skupa (položaj ili prijelaz) na element drugog skupa

(prijelaz ili položaj). Graf N-sheme je multigraf jer

dopušta postojanje više lukova od jednog vrha do drugog.

Dekompozicija" href="/text/category/dekompozitciya/" rel="bookmark">Dekompozicija predstavlja složeni sustav kao višerazinsku strukturu međusobno povezanih elemenata spojenih u podsustave različitih razina.

Agregat djeluje kao element A-sheme, a veza između agregata (unutar sustava S i s vanjskom okolinom E) ostvaruje se operatorom konjugacije R.

Svaku jedinicu karakteriziraju sljedeći skupovi: trenuci vremena T, ulazni X i izlazni Y signali, stanja Z u svakom trenutku t. Stanje jedinice u trenutku tT označeno je kao z(t) Z,

a ulazni i izlazni signal su x(t) X odnosno y(t) Y.

Pretpostavit ćemo da se prijelaz agregata iz stanja z(t1) u stanje z(t2)≠z(t1) događa u kratkom vremenskom intervalu, tj. dolazi do skoka δz.

Prijelazi jedinice iz stanja z(t1) u z(t2) određeni su vlastitim (internim) parametrima same jedinice h(t) H i ulaznim signalima x(t) X.

U početnom trenutku vremena t0 stanja z imaju vrijednosti jednake z0, tj. z0=z(t0), određene zakonom raspodjele procesa z(t) u trenutku t0, odnosno J. Pretpostavimo da je proces funkcioniranja jedinice u slučaju udarnog ulaznog signala xn opisuje se slučajnim operatorom V. Tada u trenutku ulaska ulaznog signala tnT u jedinicu

xn možete odrediti stanje

z(tn + 0) = V.

Označimo interval poluvremena t1< t ≤ t2 как (t1, t2], а полуинтервал

t1 ≤ t< t2 как .

Skup slučajnih operatora V i U smatra se operatorom prijelaza agregata u nova stanja. U ovom slučaju proces funkcioniranja jedinice sastoji se od skokova stanja δz u trenucima dolaska ulaznih signala x (operator V) i promjena stanja između tih trenutaka tn i tn+1 (operator U). Ne postoje nikakva ograničenja nametnuta operatoru U, stoga su dopušteni skokovi u stanjima δz u trenucima vremena koji nisu trenuci dolaska ulaznih signala x. U nastavku ćemo momente skokova δz zvati posebnim trenucima vremena tδ, a stanja z(tδ) posebnim stanjima A-sheme. Za opis skokova stanja δz u posebnim trenucima vremena tδ koristit ćemo se slučajnim operatorom W, koji je poseban slučaj operatora U, tj.

z(tδ + 0) = W.

U skupu stanja Z, podskup Z(Y) se dodjeljuje tako da ako z(tδ) dosegne Z(Y), tada je to stanje trenutak izdavanja izlaznog signala određenog izlaznim operatorom

y = G.

Dakle, pod agregatom ćemo razumjeti bilo koji objekt definiran uređenom kolekcijom razmatranih skupova T, X, Y, Z, Z(Y), H i slučajnih operatora V, U, W, G.

Niz ulaznih signala raspoređenih redoslijedom njihovog dolaska u A-krug nazvat ćemo ulazna poruka ili x-poruka. Slijed izlaznih signala, poredanih u odnosu na vrijeme izdavanja, nazivamo izlaznom porukom ili y-porukom.

AKO UKRATKO

Kontinuirano deterministički modeli (D-sheme)

Koriste se za proučavanje sustava koji rade u kontinuiranom vremenu. Za opisivanje takvih sustava uglavnom se koriste diferencijalne, integralne i integro-diferencijalne jednadžbe. Obične diferencijalne jednadžbe razmatraju funkciju samo jedne nezavisne varijable, dok parcijalne diferencijalne jednadžbe razmatraju funkcije više varijabli.

Primjer korištenja D-modela je proučavanje rada mehaničkog njihala ili električnog oscilatornog kruga. Tehnička osnova D-modela je analogna računalni strojevi(AVM) ili trenutno brzo razvijajućih hibridnih računala (HCM). Kao što je poznato, temeljni princip računalnog istraživanja je da pomoću zadanih jednadžbi istraživač (korisnik računala) sastavlja sklop od pojedinačnih standardnih jedinica - operacijska pojačala uz uključivanje krugova skaliranja, prigušenja, aproksimacije itd.

Struktura AVM mijenja se u skladu s vrstom ponovljivih jednadžbi.

U digitalnom računalu struktura ostaje nepromijenjena, ali se redoslijed rada njegovih čvorova mijenja u skladu s programom ugrađenim u njega. Usporedba AVM i CVM jasno pokazuje razliku između simulacije i statističkog modeliranja.

ABM implementira simulacijski model, ali u pravilu ne koristi principe statističkog modeliranja. U digitalnim računalima, većina simulacijskih modela temelji se na proučavanju slučajnih brojeva i procesa, tj. na statističkom modeliranju. Kontinuirano deterministički modeli naširoko se koriste u strojarstvu u proučavanju sustava automatska kontrola, izbor sustava za prigušivanje udarca, identifikacija rezonancijskih pojava i vibracija u tehnici
i tako dalje.

Diskretno-deterministički modeli (F-sheme)

Radite s diskretnim vremenom. Ovi modeli su osnova za proučavanje rada danas izuzetno važne i raširene klase diskretnih automatskih sustava. Za potrebe njihova proučavanja razvijen je samostalan matematički aparat teorije automata. Na temelju te teorije sustav se smatra automatom koji obrađuje diskretne informacije i mijenja svoja unutarnja stanja, ovisno o rezultatima njihove obrade.

Ovaj se model temelji na načelima minimiziranja broja elemenata i čvorova u krugu, uređaju, optimizaciji uređaja kao cjeline i redoslijeda rada njegovih čvorova. Uz elektroničke sklopove, istaknuti predstavnik strojeva opisanih ovim modelom je robot koji upravlja (prema zadanom programu) tehnološki procesi u zadanom determinističkom nizu.

Stroj s numeričkim programski kontroliran također je opisan ovim modelom. Odabir slijeda obrade dijelova na ovom stroju provodi se postavljanjem upravljačke jedinice (kontrolora), koja generira upravljačke signale u određenim vremenskim točkama /4/.

Teorija automata koristi matematički aparat Booleovih funkcija koje rade s dvije moguće vrijednosti signala 0 i 1.

Automati se dijele na automate bez memorije i automate s memorijom. Njihov rad opisan je pomoću tablica, matrica i grafikona koji prikazuju prijelaze stroja iz jednog stanja u drugo. Analitičke procjene za bilo koju vrstu opisa rada stroja vrlo su glomazne i, čak i s relativno malim brojem elemenata i čvorova koji čine uređaj, praktički su nemoguće. Stoga studija složeni sklopovi automatski strojevi, u koje nedvojbeno spadaju i robotski uređaji, proizvode se simulacijskim modeliranjem.

Diskretno-stohastički modeli (P-sheme)

Koriste se za proučavanje rada probabilističkih automata. U strojevima ove vrste prijelazi iz jednog stanja u drugo provode se pod utjecajem vanjskih signala i uzimajući u obzir unutarnje stanje stroja. Međutim, za razliku od G-automata, ovi prijelazi nisu strogo deterministički, ali se mogu izvesti s određenim vjerojatnostima.

Primjer takvog modela je diskretni Markovljev lanac s konačnim skupom stanja. Analiza F-shema temelji se na obradi i transformaciji matrica vjerojatnosti prijelaza i analizi grafova vjerojatnosti. Već za komparativnu analizu jednostavni uređaji, čije je ponašanje opisano F-shemama, preporučljivo je koristiti simulacijsko modeliranje. Primjer takvog modeliranja dan je u stavku 2.4.

Kontinuirani stohastički modeli (Q-sheme)

Koriste se u analizi široke klase sustava koji se smatraju sustavima čekanja. Kao uslužni proces mogu se prikazati procesi različite fizičke prirode: tokovi isporuke proizvoda poduzeću, tokovi po narudžbi izrađenih komponenti i proizvoda, tokovi dijelova na tekućoj traci, tokovi upravljačkih radnji iz kontrolnog centra automatiziranog sustava. sustav upravljanja na radna mjesta i povratne zahtjeve za obradu informacija u računalu itd.

Ti tokovi obično ovise o mnogim čimbenicima i specifičnim situacijama. Stoga su ti tokovi u većini slučajeva nasumični u vremenu s mogućnošću promjena u bilo kojem trenutku. Analiza takvih shema provodi se na temelju matematičkog aparata teorije čekanja. To uključuje kontinuirani Markovljev lanac. Unatoč značajnom napretku postignutom u razvoju analitičkih metoda, teorija čekanja i analiza Q-shema analitičkim metodama može se provesti samo pod značajnim pojednostavljujućim pretpostavkama i pretpostavkama. Detaljna studija većine ovih shema, posebno onih složenih kao što su automatizirani sustavi upravljanja procesima i robotski sustavi, može se provesti samo korištenjem simulacijskog modeliranja.

Generalizirani modeli (A-sheme)

Temelji se na opisu procesa funkcioniranja bilo kojeg sustava na temelju agregatne metode. S agregatnim opisom sustav je podijeljen na zasebne podsustave, što se može smatrati pogodnim za matematički opis. Kao rezultat takve particije (dekompozicije), složeni sustav se prikazuje kao višerazinski sustav, čije su pojedinačne razine (agregati) podložne analizi. Na temelju analize pojedinih cjelina i uzimajući u obzir zakonitosti međuodnosa tih cjelina, moguće je provesti cjelovito istraživanje cjelokupnog sustava.

, Yakovlev sustavi. 4. izd. – M.: Viša škola, 2005. – P. 45-82.

Za korištenje računala u rješavanju primijenjenih problema, prije svega, primijenjeni problem mora biti “preveden” na formalni matematički jezik, tj. za pravi objekt, proces ili sustav mora biti izgrađen matematički model.

Matematički modeli u kvantitativnom obliku, pomoću logičkih i matematičkih konstrukata, opisuju osnovna svojstva objekta, procesa ili sustava, njegove parametre, unutarnje i vanjske veze.

Za izgradnja matematičkog modela potrebno:

1. pažljivo analizirati stvarni predmet ili proces;
2. istaknuti njegove najznačajnije značajke i svojstva;
3. definirati varijable, tj. parametri čije vrijednosti utječu na glavne značajke i svojstva objekta;
4. logičko-matematičkim odnosima (jednadžbe, jednakosti, nejednadžbe, logičko-matematičke konstrukcije) opisati ovisnost osnovnih svojstava objekta, procesa ili sustava o vrijednostima varijabli;
5. istaknuti interne komunikacije objekt, proces ili sustav korištenjem ograničenja, jednadžbi, jednakosti, nejednakosti, logičkih i matematičkih konstrukcija;
6. prepoznati vanjske veze i opisati ih pomoću ograničenja, jednadžbi, jednakosti, nejednakosti, logičkih i matematičkih konstrukcija.

Matematičko modeliranje, osim proučavanja objekta, procesa ili sustava i izrade njihovog matematičkog opisa, također uključuje:

1. izgradnja algoritma koji modelira ponašanje objekta, procesa ili sustava;
2. ispitivanje adekvatnost modela i objekt, proces ili sustav temeljen na računalnim i prirodnim eksperimentima;
3. prilagodba modela;
4. pomoću modela.

Matematički opis procesa i sustava koji se proučavaju ovisi o:

1. prirodu stvarnog procesa ili sustava i sastavlja se na temelju zakona fizike, kemije, mehanike, termodinamike, hidrodinamike, elektrotehnike, teorije plastičnosti, teorije elastičnosti itd.
2. potrebna pouzdanost i točnost proučavanja i istraživanja realnih procesa i sustava.

U fazi odabira matematičkog modela utvrđuje se: linearnost i nelinearnost objekta, procesa ili sustava, dinamičnost ili statičnost, stacionarnost ili nestacionarnost, kao i stupanj determiniranosti predmeta ili procesa koji se proučava. U matematičkom modeliranju namjerno se apstrahira od specifične fizičke prirode objekata, procesa ili sustava i uglavnom se usredotočuje na proučavanje kvantitativnih ovisnosti između veličina koje opisuju te procese.

Matematički model nikada nije potpuno identičan predmetnom objektu, procesu ili sustavu. Na temelju pojednostavljenja, idealizacije, to je približan opis predmeta. Stoga su rezultati dobiveni analizom modela približni. Njihova je točnost određena stupnjem primjerenosti (sukladnosti) između modela i objekta.

Obično počinje konstrukcijom i analizom najjednostavnijeg, najgrubljeg matematičkog modela predmetnog objekta, procesa ili sustava. U budućnosti, ako je potrebno, model se dorađuje i njegova korespondencija s objektom postaje potpunija.

Uzmimo jednostavan primjer. Potrebno je odrediti površinu stola. Obično se to radi mjerenjem njegove duljine i širine, a zatim množenjem dobivenih brojeva. Taj elementarni postupak zapravo znači sljedeće: stvarni objekt (površinu stola) zamjenjuje se apstraktnim matematičkim modelom - pravokutnikom. Pravokutniku se pripisuju dimenzije dobivene mjerenjem duljine i širine površine stola, a površina takvog pravokutnika približno se uzima kao potrebna površina stola.

Međutim, pravokutni model za radni stol je najjednostavniji, najgrublji model. Ako ozbiljnije pristupite problemu, prije korištenja modela pravokutnika za određivanje površine stola, ovaj model treba provjeriti. Provjere se mogu provesti na sljedeći način: izmjerite duljine suprotnih strana stola, kao i duljine njegovih dijagonala i međusobno ih usporedite. Ako su s potrebnim stupnjem točnosti duljine suprotnih stranica i duljine dijagonala jednake u parovima, tada se površina stola stvarno može smatrati pravokutnikom. U protivnom će se model pravokutnika morati odbaciti i zamijeniti modelom četverokuta opći pogled. S više visoke zahtjeve Kako bi se poboljšala točnost, možda će biti potrebno dodatno poboljšati model, na primjer, uzeti u obzir zaokruživanje kutova stola.

Ovim jednostavnim primjerom pokazalo se da matematički model nije jedinstveno određena predmetom, procesom ili sustavom koji se proučava. Za istu tablicu možemo usvojiti ili model pravokutnika, ili složeniji model općeg četverokuta, ili četverokut sa zaobljenim kutovima. Izbor jednog ili drugog modela određen je zahtjevom točnosti. S povećanjem točnosti, model se mora komplicirati, uzimajući u obzir sve nove značajke objekta, procesa ili sustava koji se proučava.

Razmotrimo još jedan primjer: proučavanje kretanja mehanizma radilice (slika 2.1).

Riža. 2.1.

Za kinematičku analizu ovog mehanizma, prije svega, potrebno je konstruirati njegov kinematski model. Za ovo:

1. Mehanizam zamjenjujemo njegovim kinematičkim dijagramom, gdje su zamijenjene sve karike tvrde veze;
2. Pomoću ovog dijagrama izvodimo jednadžbu gibanja mehanizma;
3. Diferenciranjem potonjih dobivamo jednadžbe brzina i ubrzanja, koje su diferencijalne jednadžbe 1. i 2. reda.

Napišimo ove jednadžbe:

gdje je C 0 krajnji desni položaj klizača C:

r – radijus koljena AB;

l – duljina klipnjače BC;

– kut zakreta radilice;

Primljeno transcendentalne jednadžbe predstaviti matematički model gibanja ravnog aksijalnog koljenastog mehanizma, temeljen na sljedećim pojednostavljenim pretpostavkama:

1. nisu nas zanimali strukturni oblici i raspored masa uključenih u mehanizam tijela, te smo sva tijela mehanizma zamijenili ravnim segmentima. Zapravo, sve veze mehanizma imaju masu i prilično složen oblik. Na primjer, klipnjača je složen sklop, čiji će oblik i dimenzije, naravno, utjecati na kretanje mehanizma;
2. Prilikom pomicanja razmatranog mehanizma također nismo uzeli u obzir elastičnost tijela uključenih u mehanizam, tj. sve karike su smatrane apstraktnim apsolutno krutim tijelima. U stvarnosti, sva tijela uključena u mehanizam su elastična tijela. Kada se mehanizam pomakne, oni će se nekako deformirati, a čak se u njima mogu pojaviti i elastične vibracije. Sve će to, naravno, također utjecati na kretanje mehanizma;
3. nismo uzeli u obzir proizvodnu pogrešku karika, praznine u kinematičkim parovima A, B, C itd.

Stoga je važno još jednom naglasiti da što su veći zahtjevi za točnost rezultata rješavanja problema, to je veća potreba da se uzme u obzir kada izgradnja matematičkog modela značajke predmeta, procesa ili sustava koji se proučava. No, ovdje je važno stati na vrijeme, jer je teško matematički model može pretvoriti u problem koji je teško riješiti.

Model je najlakše konstruirati kada su zakoni koji određuju ponašanje i svojstva nekog objekta, procesa ili sustava dobro poznati i postoji veliko praktično iskustvo u njihovoj primjeni.

Složenija situacija nastaje kada naše znanje o predmetu, procesu ili sustavu koji proučavamo nije dovoljno. U ovom slučaju, kada izgradnja matematičkog modela potrebno je napraviti dodatne pretpostavke koje su u prirodi hipoteze, a takav model se naziva hipotetski. Zaključci dobiveni kao rezultat proučavanja takvog hipotetskog modela su uvjetni. Za provjeru zaključaka potrebno je usporediti rezultate proučavanja modela na računalu s rezultatima eksperimenta u punoj veličini. Dakle, pitanje primjenjivosti određenog matematičkog modela na proučavanje predmeta, procesa ili sustava koji se razmatra nije matematičko pitanje i ne može se riješiti matematičkim metodama.

Glavni kriterij istine je eksperiment, praksa u najširem smislu riječi.

Izgradnja matematičkog modela u primijenjenim zadacima – jedna od najsloženijih i najkritičnijih faza rada. Iskustvo pokazuje da u mnogim slučajevima odabir pravog modela znači više od pola rješenja problema. Poteškoća ove faze je u tome što zahtijeva kombinaciju matematičkih i posebnih znanja. Stoga je vrlo važno da pri rješavanju primijenjenih problema matematičari posjeduju posebna znanja o predmetu, a njihovi partneri specijalisti određenu matematičku kulturu, istraživačko iskustvo u svom području, poznavanje računala i programiranja.

Najveće poteškoće i najozbiljnije pogreške u modeliranju nastaju pri prijelazu sa smislenog na formalni opis objekata istraživanja, što se objašnjava sudjelovanjem u ovom kreativnom procesu timova različitih specijalnosti: specijalista u području sustava koji trebaju modelirani (kupci), te stručnjaci u području strojnog modeliranja (izvođači). Učinkovito sredstvo za pronalaženje međusobnog razumijevanja između ovih skupina stručnjaka je jezik matematičkih shema, koji nam omogućuje da u prvi plan stavimo pitanje primjerenosti prijelaza sa smislenog opisa sustava na njegovu matematičku shemu, a tek onda odlučiti za konkretan način dobivanja rezultata pomoću računala: analitički ili simulacijski, a eventualno kombinirani, tj. analitičko-simulacijski. U odnosu na konkretan objekt modeliranja, odnosno složeni sustav, razvijaču modela trebaju pomoći određene matematičke sheme koje su već testirane za određenu klasu sustava, a koje su se pokazale djelotvornim u primijenjenim istraživanjima na računalu, a tzv. standardne matematičke sheme.

OSNOVNI PRISTUPI KONSTRUKCIJI MATEMATIČKIH MODELA SUSTAVA

Početne informacije pri izradi matematičkih modela procesa funkcioniranja sustava su podaci o namjeni i radnim uvjetima sustava koji se proučava (dizajn) 5. Ove informacije određuju glavni cilj modeliranja sustava £ i omogućuju nam formuliranje zahtjeva za razvijenim matematičkim model A/. Štoviše, razina apstrakcije ovisi o rasponu pitanja na koja istraživač sustava želi odgovoriti korištenjem modela, te u određenoj mjeri određuje izbor matematičke sheme.

Matematičke sheme.

Uvođenje koncepta "matematičke sheme" omogućuje nam da matematiku ne promatramo kao metodu izračuna, već kao metodu razmišljanja, kao sredstvo formuliranja pojmova, što je najvažnije u prijelazu s verbalnog opisa sustava na formalni prikaz procesa njegova funkcioniranja u obliku nekog matematičkog modela (analitičkog ili simulacijskog) . Pri korištenju matematičke sheme, istraživača sustava 5* treba prvenstveno zanimati pitanje primjerenosti prikaza u obliku specifičnih dijagrama realnih procesa u sustavu koji se proučava, a ne mogućnost dobivanja odgovora (rezultat rješenja) na određeno istraživačko pitanje. Na primjer, predstavljanje procesa funkcioniranja zajedničkog informacijskog računalnog sustava u obliku mreže shema čekanja omogućuje dobro opisivanje procesa koji se odvijaju u sustavu, ali sa složenim zakonima distribucije dolaznih tokova i tokova usluga, ne omogućuje eksplicitno dobivanje rezultata.

Matematička shema može se definirati kao karika u prijelazu sa smislenog na formalni opis procesa funkcioniranja sustava, uzimajući u obzir utjecaj vanjske okoline, tj. postoji lanac „opisni model - matematička shema - matematički [ analitički i/ili simulacijski] model”.

Svaki specifični L1 sustav karakterizira skup svojstava, koja se shvaćaju kao veličine koje odražavaju ponašanje simuliranog objekta (stvarnog sustava) i uzimaju u obzir uvjete njegovog funkcioniranja u interakciji s vanjskim okruženjem (sustavom) E. Prilikom konstruiranja matematičkog modela sustava potrebno je riješiti pitanje njegove cjelovitosti. Cjelovitost modela regulirana je uglavnom izborom granice "sustav.U-okolina £>>. Problem pojednostavljenja modela također se mora riješiti, što pomaže u isticanju glavnih svojstava sustava, odbacujući sekundarna Štoviše, klasificiranje svojstava sustava kao osnovnih ili sekundarnih značajno ovisi o svrsi modeliranja sustava (primjerice, analiza vjerojatnosno-vremenskih karakteristika procesa funkcioniranja sustava, sinteza strukture sustava itd.).

Formalni model objekta. Model objekta modeliranja, odnosno sustava 5, može se prikazati kao skup veličina koje opisuju proces funkcioniranja realnog sustava i oblikuju, u općem slučaju, slijedeći podskupovi: zbirka ulazni utjecaji po sustavu

totalitet utjecaji okoline

totalitet interni (vlastiti) parametri sustava

totalitet izlazne karakteristike sustava

U ovom slučaju u navedenim podskupovima mogu se razlikovati kontrolirane i nekontrolirane varijable. U općem slučaju x„ r/, A*,

na y su elementi disjunktnih podskupova i sadrže i determinističke i stohastičke komponente.

Pri modeliranju sustava 5 ulaznih utjecaja, vanjski utjecaji okoline E a unutarnji parametri sustava su nezavisne (egzogene) varijable, koji u vektorskom obliku imaju odgovarajući oblik x (/) = (*! (O, x 2 (0> -" x *x(0)*

" (0=("1 (0. "2(0. . "^(0; l (/)=(*! (0. L 2 (0. ■ . L -N (0)). i izlazne karakteristike sustav su zavisne (endogene) varijable a u vektorskom obliku izgledaju y (0=(y 1 0), y 2 ( 0" > U.gSh

Proces funkcioniranja sustava 5 vremenski opisuje operator /* 5, koji u općem slučaju transformira egzogene varijable u endogene u skladu s relacijama oblika

Skup ovisnosti izlaznih karakteristika sustava o vremenu yDg) za sve vrste y = 1, p y nazvao izlazna putanja y ((). Ovisnost (2.1) naziva se zakon funkcioniranja sustava B i naznačen je G 5. Općenito, zakon funkcioniranja sustava E 5 može se specificirati u obliku funkcije, funkcije, logičkih uvjeta, u algoritamskom i tabelarnom obliku ili u obliku verbalnog pravila sparivanja.

Vrlo važan za opis i proučavanje sustava 5 je koncept algoritam rada L 5, koji se razumijeva kao metoda za dobivanje izlaznih karakteristika uzimajući u obzir ulazne utjecaje x(/), utjecaji okoline V(d) i vlastitim parametrima sustava I(/). Očito je da se isti zakon rada sustava 5 može implementirati različiti putevi, tj. koristeći mnogo različitih algoritama rada L$.

Relacije (2.1) su matematički opis ponašanja modela (sustava) u vremenu /, tj. odražavaju njegova dinamička svojstva. Stoga se matematički modeli ove vrste obično nazivaju dinamički modeli (sustavi) .

Za statičke modele, matematički model (2.1) je preslikavanje između dva podskupa svojstava modeliranog objekta U I (X, V, I), koji se u vektorskom obliku može napisati kao

Relacije (2.1) i (2.2) mogu se specificirati na razne načine: analitički (formulama), grafički, tablično itd. Takve relacije u nizu slučajeva mogu se dobiti

kroz svojstva sustava 5 u određenim točkama vremena, tzv Države. Stanje sustava 5 karakterizirano je vektorima

Gdje *; = *!(/"), *2=*2(0" " **=**(0 u trenutku /"e(/ 0 , 7); *1 =^(0, *2=*2(P", *£=**(*") u trenutku /"b(/ 0, 7), itd., £=1, p g.

Ako proces funkcioniranja sustava 5 promatramo kao sekvencijalnu promjenu stanja (/), r 2 (/), G Tko su oni

mogu se interpretirati kao koordinate točke u ^-dimenzionalnom faznom prostoru, a svaka implementacija procesa odgovarat će određenoj faznoj trajektoriji. Skup svih mogućih vrijednosti stanja (G) nazvao prostor stanja objekt modeliranja Zt i g do e Z.

Stanje sustava 5 u trenutku potpuno

određeni su početnim uvjetima 7° = (2° 1,. 2 2°, G° k) [gdje

*°1 = *1(*o)" *°g = *2 (^o)" -" *°*=**(*o)]" prema ulaznim utjecajima x(/), interni parametri Do(/) i utjecaji okoliša V(0, koji se dogodio u vremenskom razdoblju - / 0, koristeći dvije vektorske jednadžbe

Prva jednadžba za početno stanje g° i egzogene varijable x, V, I određuje vektorsku funkciju (/), a drugi na temelju dobivene vrijednosti stanja G(/) - endogene varijable na izlazu sustava na(/). Dakle, lanac jednadžbi objekta "ulaz - stanja - izlaz" dopušta definirati karakteristike sustava

Općenito, vrijeme u modelu sustava ja može se razmatrati tijekom intervala modeliranja (O, T) i kontinuirani i diskretni, tj. kvantizirani u negativu rezanje d redak A/ vremenske jedinice svaki, kad T=tA1, Gdje T- 1, t T- broj intervala uzorkovanja.

Dakle, pod matematički model objekta(stvarni sustav) razumjeti konačni podskup varijabli (X (/), b (/), I(d)) zajedno s matematičkim vezama između njih i karakteristika na (/) .

Ako matematički opis objekta modeliranja ne sadrži slučajne elemente ili oni nisu uzeti u obzir, tj.

možemo pretpostaviti da su u ovom slučaju stohastički utjecaji vanjske okoline V(/) i stohastički interni parametri I(/) nedostaju, tada se poziva model deterministički u smislu da su karakteristike jedinstveno određene determinističkim ulaznim utjecajima

Očito je da je deterministički model poseban slučaj stohastičkog modela.

Tipične sheme.

Predstavljeni matematički odnosi predstavljaju opće matematičke sheme i omogućuju opisivanje široke klase sustava. Međutim, u praksi modeliranja objekata u području sistemskog inženjerstva i analize sustava, u početnim fazama istraživanja sustava, racionalnije je koristiti tipične matematičke sheme: diferencijalne jednadžbe, konačni i probabilistički automati, sustavi čekanja, Petrijeve mreže itd.

Nemajući isti stupanj općenitosti kao razmatrani modeli, tipične matematičke sheme imaju prednosti jednostavnosti i jasnoće, ali uz značajno sužavanje mogućnosti primjene. Kao deterministički modeli, kada se u studiji ne uzimaju u obzir slučajni čimbenici, diferencijalne, integralne, integro-diferencijalne i druge jednadžbe koriste se za predstavljanje sustava koji rade u kontinuiranom vremenu, a automati konačnih razlika koriste se za predstavljanje sustava koji rade u diskretnom vremenu . shema. Kao stohastički modeli (uzimajući u obzir slučajne faktore), probabilistički automati se koriste za predstavljanje sustava s diskretnim vremenom, a sustavi čekanja itd. koriste se za predstavljanje sustava s kontinuiranim vremenom.

Navedene standardne matematičke sheme, naravno, ne mogu tvrditi da na temelju njih mogu opisati sve procese koji se odvijaju u velikim informacijskim i upravljačkim sustavima. Za takve sustave, u nekim slučajevima, više obećava korištenje agregatnih modela. Skupni modeli (sustavi) omogućuju opisivanje širokog spektra objekata istraživanja, odražavajući sustavnu prirodu tih objekata. To je s agregatnim opisom složeni objekt(sustav) je podijeljen na konačan broj dijelova (podsustava), pri čemu se održavaju veze koje osiguravaju međudjelovanje dijelova.

Stoga se pri izradi matematičkih modela procesa funkcioniranja sustava mogu razlikovati sljedeći glavni pristupi: kontinuirano-deterministički (na primjer, diferencijalne jednadžbe); diskretno-deterministički (konačni automati); diskretno-stohastički (probabilistički automati); kontinuirano-stohastički (sustavi čekanja); generalizirani ili univerzalni (agregatni sustavi).

Matematičke sheme o kojima se govori u sljedećim paragrafima ovog poglavlja trebale bi pomoći u radu s različitim pristupima u praktični rad pri modeliranju specifičnih sustava.

Klasifikacija u bilo kojem području znanja je neophodna. Omogućuje vam generalizaciju prikupljenog iskustva i organiziranje koncepata predmetnog područja. Nagli razvoj metoda matematičkog modeliranja i raznolikost područja njihove primjene doveli su do pojave velikog broja modela različitih tipova i do potrebe da se modeli klasificiraju u one kategorije koje su univerzalne za sve modele ili su neophodne u polje konstruiranog modela, na primjer. Evo primjera nekih kategorija: područje uporabe; uzimanje u obzir faktora vremena (dinamike) u modelu; grana znanja; način prezentacije modela; prisutnost ili odsutnost slučajnih (ili nesigurnih) čimbenika; vrsta kriterija učinkovitosti i nametnutih ograničenja itd.

Analizirajući matematičku literaturu, identificirali smo najčešće klasifikacijske značajke:

1. Prema metodi implementacije (uključujući formalni jezik), svi matematički modeli mogu se podijeliti na analitički i algoritamski.

Analitički – modeli koji koriste standardni matematički jezik. Simulacijski modeli su modeli koji koriste poseban jezik za modeliranje ili univerzalni programski jezik.

Analitički modeli se mogu napisati u obliku analitičkih izraza, tj. u obliku izraza koji sadrže prebrojiv broj aritmetičkih operacija i prijelaza na granicu, na primjer: . Algebarski izraz je poseban slučaj analitičkog izraza; daje točnu vrijednost kao rezultat. Postoje i konstrukcije koje vam omogućuju da pronađete rezultirajuću vrijednost sa zadanom točnošću (na primjer, širenje elementarne funkcije u niz snaga). Modeli koji koriste ovu tehniku ​​nazivaju se približnim.

S druge strane, analitički modeli se dijele na teorijski i empirijski modeli. Teorijski modeli odražavaju stvarne strukture i procese u predmetima koji se proučavaju, odnosno temelje se na teoriji njihova djelovanja. Empirijski modeli izgrađeni su na temelju proučavanja reakcija objekta na promjene u uvjetima okoline. U ovom slučaju se ne razmatra teorija rada objekta, sam objekt je takozvana “crna kutija”, a model je neka vrsta interpolacijske ovisnosti. Empirijski modeli mogu se izgraditi na temelju eksperimentalnih podataka. Ti se podaci dobivaju izravno iz predmeta koji se proučavaju ili pomoću njih. fizički modeli.

Ako se proces ne može opisati u obliku analitičkog modela, opisuje se pomoću posebnog algoritma ili programa. Ovaj model je algoritamski. Pri izradi algoritamskih modela koriste se numerički ili simulacijski pristupi. U numeričkom pristupu skup matematičkih relacija zamjenjuje se konačnodimenzionalnim analogom (primjerice, prijelaz s funkcije kontinuiranog argumenta na funkciju diskretnog argumenta). Zatim se konstruira računski algoritam, tj. nizove aritmetičkih i logičkih operacija. Nađeno rješenje diskretnog analoga uzima se kao približno rješenje izvornog problema. U simulacijskom pristupu sam objekt modeliranja se diskretizira i grade modeli pojedinih elemenata sustava.

2. Prema obliku prikaza matematički modeli razlikuju se:

1) Invarijantni model – matematički model predstavljen sustavom jednadžbi (diferencijalnih, algebarskih) bez uzimanja u obzir metoda za rješavanje tih jednadžbi.

2) Algebarski model - odnosi modela povezani su s odabranom numeričkom metodom rješavanja i zapisani su u obliku algoritma (slijed izračuna).

3) Analitički model – predstavlja eksplicitne ovisnosti traženih varijabli o zadanim vrijednostima. Takvi se modeli dobivaju na temelju fizikalnih zakona ili kao rezultat izravne integracije izvornih diferencijalnih jednadžbi pomoću tabličnih integrala. Tu spadaju i regresijski modeli dobiveni na temelju rezultata eksperimenta.

4) Grafički model se prikazuje u obliku grafikona, ekvivalentnih sklopova, dijagrama i sl. Za korištenje grafičkih modela mora postojati pravilo nedvosmislene korespondencije između konvencionalnih slika elemenata grafičkog modela i komponenti nepromjenjivog matematičkog modela.

3. Ovisno o vrsti kriterija učinkovitosti i nametnutim ograničenjima, modeli se dijele na linearni i nelinearni. U linearnim modelima, kriterij izvedbe i nametnuta ograničenja su linearne funkcije varijabli modela (aka nelinearni modeli). Pretpostavka o linearnoj ovisnosti kriterija učinkovitosti i skupa nametnutih ograničenja na varijable modela sasvim je prihvatljiva u praksi. To vam omogućuje korištenje dobro razvijenog aparata za linearno programiranje za razvoj rješenja.

4. S obzirom na vremenski faktor i područje upotrebe, postoje statičkih i dinamičkih modela. Ako sve veličine uključene u model ne ovise o vremenu, tada imamo statički model objekta ili procesa (jednokratna snimka informacija o objektu). Oni. statički model je model u kojem vrijeme nije varijabla. Dinamički model omogućuje vam da vidite promjene u objektu tijekom vremena.

5. Ovisno o broju strana u donošenju odluka, postoje dvije vrste matematičkih modela: deskriptivna i normativna. U deskriptivnom modelu nema donositelja odluka. Formalno, broj takvih stranaka u deskriptivnom modelu je nula. Tipičan primjer takvih modela je model sustava čekanja. Za izradu deskriptivnih modela također se mogu koristiti teorija pouzdanosti, teorija grafova, teorija vjerojatnosti i statistička metoda testiranja (Monte Carlo metoda).

Normativni model ima mnogo aspekata. U načelu se mogu razlikovati dvije vrste normativnih modela: optimizacijski modeli i teorijski modeli. U optimizacijskim modelima glavni zadatak razvoja rješenja tehnički se svodi na striktno maksimiziranje ili minimiziranje kriterija učinkovitosti, tj. određuju se takve vrijednosti kontroliranih varijabli pri kojima kriterij učinkovitosti doseže ekstremnu vrijednost (maksimum ili minimum).

Za razvoj rješenja prikazanih optimizacijskim modelima, uz klasične i nove varijacijske metode (traženje ekstrema), najviše se koriste metode matematičkog programiranja (linearne, nelinearne, dinamičke). Teorijski model igara karakterizira više strana (najmanje dvije). Ako postoje dvije strane sa suprotnim interesima, onda se koristi teorija igara, ako je broj stranaka veći od dvije i među njima su nemoguće koalicije i kompromisi, onda se koristi teorija nekooperativnih igara. n osobe

6. Ovisno o prisutnosti ili odsutnosti slučajnih (ili neizvjesnih) čimbenika, deterministički i stohastički matematički modeli. U determinističkim modelima sve relacije, varijable i konstante su precizno specificirane, što dovodi do jednoznačne definicije rezultirajuće funkcije. Deterministički model konstruira se u slučajevima kada se čimbenici koji utječu na ishod operacije mogu prilično točno izmjeriti ili procijeniti, a slučajni čimbenici ili nedostaju ili se mogu zanemariti.

Ako su neki ili svi parametri uključeni u model slučajne varijable ili slučajne funkcije po svojoj prirodi, tada se model klasificira kao stohastički model. U stohastičkim modelima zadaju se zakoni raspodjele slučajnih varijabli, što dovodi do probabilističke procjene rezultirajuće funkcije, a stvarnost se prikazuje kao određena slučajni proces, čiji je tijek i ishod opisan određenim karakteristikama slučajnih varijabli: matematičkim očekivanjima, varijancama, funkcijama distribucije itd. Konstrukcija takvog modela moguća je ako postoji dovoljno činjeničnog materijala za procjenu potrebnih distribucija vjerojatnosti ili ako teorija fenomena koji se razmatra dopušta da se te distribucije teoretski odrede (na temelju formula teorije vjerojatnosti, graničnih teorema itd.) .

7. Ovisno o namjeni modeliranja postoje opisno, optimizacijsko i upravljanje modeli. U deskriptivnim (od lat. descriptio - opis) modelima proučavaju se zakonitosti promjene parametara modela. Na primjer, model gibanja materijalne točke pod utjecajem primijenjenih sila temeljen na drugom Newtonovom zakonu: . Određivanje položaja i ubrzanja točke u ovaj trenutak vrijeme (ulazni parametri), masa (vlastiti parametar) i zakon promjene primijenjenih sila (vanjski utjecaji), u svakom trenutku možete odrediti koordinate točke i brzinu (izlazni podaci).

Optimizacijski modeli služe za određivanje najboljih (optimalnih), na temelju nekog kriterija, parametara modeliranog objekta ili metoda upravljanja tim objektom. Optimizacijski modeli izrađuju se pomoću jednog ili više deskriptivnih modela i imaju nekoliko kriterija za određivanje optimalnosti. Ograničenja u obliku jednakosti ili nejednakosti koja se odnose na karakteristike predmeta ili procesa koji se razmatra mogu se nametnuti rasponu vrijednosti ulaznih parametara. Primjer optimizacijskog modela je priprema prehrane za određenu dijetu (ulazni podaci su kalorijski sadržaj proizvoda, vrijednosti cijene i sl.).

Modeli upravljanja koriste se za donošenje odluka u različitim područjima svrhovitog ljudskog djelovanja, kada se iz cjelokupnog skupa alternativa izabere nekoliko, a cjelokupni proces donošenja odluka je niz takvih alternativa. Na primjer, odabir izvješća za promociju među nekoliko koje su pripremili studenti. Složenost zadatka leži kako u neizvjesnosti oko ulaznih podataka (je li izvješće izrađeno samostalno ili je korišten tuđi rad), tako i ciljeva (znanstvenost rada i njegova struktura, razina prezentacije i razina pripremljenosti) učenika, rezultati pokusa i dobiveni zaključci). Budući da se optimalnost odluke donesene u istoj situaciji može tumačiti na različite načine, tip kriterija optimalnosti u modelima upravljanja nije unaprijed fiksiran. Metode za formiranje kriterija optimalnosti ovisno o vrsti nesigurnosti razmatraju se u teoriji izbora i odlučivanja, temeljenoj na teoriji igara i operacijskom istraživanju.

8. Prema metodi istraživanja razlikuju analitički, numerički i simulacijski modeli. Analitički model je formalizirani opis sustava koji omogućuje dobivanje eksplicitnog rješenja jednadžbe korištenjem dobro poznatog matematičkog aparata. Numerički model karakterizira ovisnost koja omogućuje samo parcijalna numerička rješenja za određene početne uvjete i kvantitativne parametre modela. Simulacijski model je skup opisa sustava i vanjskih utjecaja, algoritama za funkcioniranje sustava ili pravila za promjenu stanja sustava pod utjecajem vanjskih i unutarnjih poremećaja. Ovi algoritmi i pravila ne omogućuju korištenje postojećih matematičkih metoda za analitička i numerička rješenja, ali omogućuju simulaciju procesa funkcioniranja sustava i snimanje karakteristika od interesa. Zatim će se detaljnije ispitati neki analitički i simulacijski modeli; proučavanje ovih posebnih vrsta modela povezano je sa specifičnostima profesionalnih aktivnosti studenata u ovom području obuke.

1.4. Grafički prikaz matematičkih modela

U matematici se oblici odnosa između veličina mogu prikazati jednadžbama oblika nezavisne varijable (argumenta), g– zavisna varijabla (funkcija). U teoriji matematičkog modeliranja nezavisna varijabla naziva se faktor, a zavisna varijabla odgovor. Štoviše, ovisno o području izgradnje matematičkog modela, terminologija se donekle mijenja. Neki primjeri definicija faktora i odgovora, ovisno o području studija, dani su u tablici 1.

Tablica 1. Neke definicije pojmova "faktor" i "odziv"

Predstavljajući matematički model grafički, faktore i odgovore smatrat ćemo varijablama čije vrijednosti pripadaju skupu realnih brojeva.

Grafički prikaz matematičkog modela je neka odzivna površina koja odgovara položaju točaka u k- prostor dimenzijskog faktora x. Mogu se vizualizirati samo jednodimenzionalne i dvodimenzionalne odzivne površine. U prvom slučaju, to je skup točaka na stvarnoj ravnini, au drugom, skup točaka koje tvore površinu u prostoru (za prikaz takvih točaka prikladno je koristiti linije ravni - način prikazivanja reljefa prostorna površina konstruirana u dvodimenzionalnom faktorskom prostoru x(slika 8).

Područje u kojem je definirana odzivna površina naziva se domena definicije X *. Ova regija je u pravilu samo dio cjelovitog faktorskog prostora x(X*Ì x) i istaknuto je korištenjem ograničenja nametnutih kontrolnim varijablama x i, napisano u obliku jednakosti:

x i = C i , ja = 1,…, m;

f j(x) = C j, j = 1,…, l

ili nejednakosti:

x i min £ x i£ x i max, ja= 1,…, k;

f j(x) £ C j, j = 1,…, n,

Istodobno, funkcije f j(x) može ovisiti o svim varijablama istovremeno ili o nekim od njih.

Ograničenja tipa nejednakosti karakteriziraju fizička ograničenja procesa u objektu koji se proučava (na primjer, temperaturna ograničenja), ili tehnička ograničenja povezana s radnim uvjetima objekta (na primjer, najveća brzina rezanje, ograničenja rezervi sirovina).

Mogućnosti proučavanja modela značajno ovise o svojstvima (reljefu) odzivne plohe, posebice o broju prisutnih "vrhova" na njoj i njenom kontrastu. Broj vrhova (dolina) određuje modalitet odzivne površine. Ako postoji jedan vrh (dolina) u domeni definicije na površini odziva, naziva se model unimodalni.

Priroda promjene funkcije može biti različita (slika 9).

Model može imati točke diskontinuiteta prve vrste (slika 9 (a)), točke diskontinuiteta druge vrste (slika 9 (b)). Slika 9(c) prikazuje kontinuirano diferencijabilni unimodalni model.

Za sva tri slučaja prikazana na slici 9, ispunjen je opći zahtjev unimodalnosti:

ako je W(x*) ekstrem od W, tada iz uvjeta x 1< x 2 < x* (x 1 >x 2 > x*) slijedi W(x 1)< W(x 2) < W(x*) , если экстремум – максимум, или W(x 1) >W(x 2) > W(x*) ako je ekstrem minimum, odnosno kako se udaljavamo od ekstremne točke vrijednost funkcije W(x) kontinuirano opada (raste).

Uz unimodalne, razmatraju se i polimodalni modeli (slika 10).

Drugo važno svojstvo odzivne plohe je njezin kontrast, koji pokazuje osjetljivost rezultirajuće funkcije na promjene faktora. Kontrast karakteriziraju vrijednosti njegovih derivata. Pokažimo karakteristike kontrasta na primjeru dvodimenzionalne odzivne površine (slika 11).

Točka A smješten na "nagibu" koji karakterizira jednaki kontrast za sve varijable x i (ja=1,2), točka b nalazi se u “jaruzi” u kojoj postoji različit kontrast za razne varijable (imamo lošu uvjetovanost funkcije), točka S nalazi se na "platou" gdje postoji nizak kontrast za sve varijable x i označava blizinu ekstrema.

1.5. Osnovne metode konstruiranja matematičkih modela

Predstavimo klasifikaciju metoda za formalizirano predstavljanje simuliranih sustava V.N.Volkova. i Denisova A.A.. Autori su identificirali analitičke, statističke, teorijske, lingvističke, logičke i grafičke metode. Osnovna terminologija, primjeri teorija koje se razvijaju na temelju opisanih klasa metoda, kao i opseg i mogućnosti njihove primjene predloženi su u Dodatku 1.

U praksi modeliranja sustava najviše se koriste analitičke i statističke metode.

1) Analitičke metode za konstruiranje matematičkih modela.

Osnovu terminološkog aparata analitičkih metoda za konstruiranje matematičkih modela čine pojmovi klasične matematike (formula, funkcija, jednadžba i sustav jednadžbi, nejednadžba, derivacija, integral itd.). Ove metode karakteriziraju jasnoća i valjanost terminologije koja se koristi jezikom klasične matematike.

Na temelju analitičkih koncepata nastale su i razvile se matematičke teorije kao što su klasična matematička analiza (na primjer, metode za proučavanje funkcija) i suvremeni temelji matematičkog programiranja i teorije igara. Osim toga, matematičko programiranje (linearno, nelinearno, dinamičko, cjelobrojno itd.) sadrži i sredstva formuliranja problema i proširuje mogućnosti dokazivanja primjerenosti modela, za razliku od niza drugih područja matematike. Ideje optimalnog matematičkog programiranja za rješavanje ekonomskih (osobito rješavanje problema optimalnog rezanja lista šperploče) predložio je L.V. Kantorovich.

Objasnimo značajke metode na primjeru.

Primjer. Pretpostavimo da za proizvodnju dvije vrste proizvoda A I U moraju se koristiti tri vrste sirovina. Istovremeno, za proizvodnju jedinice proizvoda tipa A Potrošene su 4 jedinice. sirovine prve vrste, 2 jedinice. 2. i 3. jedinice. 3. vrsta. Za proizvodnju jedinice proizvoda tipa U Potrošene su 2 jedinice. sirovine 1. vrste, 5 jedinica. 2. vrste i 4 jedinice. 3. vrsta sirovine. U tvorničkom skladištu nalazi se 35 jedinica. sirovine 1. vrste, 43 - 2., 40 - 3. vrste. Od prodaje jedinice proizvoda tipa A tvornica ima dobit od 5 tisuća rubalja, a od prodaje jedinice proizvoda tipa U dobit je 9 tisuća rubalja. Potrebno je izraditi matematički model problema koji osigurava postizanje maksimalne dobiti.

Stope potrošnje svake vrste sirovina za proizvodnju jedinice određene vrste proizvoda dane su u tablici. Također pokazuje dobit od prodaje svake vrste proizvoda i ukupnu količinu sirovina ove vrste koje poduzeće može koristiti.

Označimo sa x 1 I x 2 obujam proizvedenih proizvoda A I U odnosno. Trošak materijala za prvi razred za plan će biti 4x 1 + 2x 2, a ne bi smjele prelaziti rezerve, tj. 35 kg:

4x 1 + 2x 2 35.

Ograničenja za gradivo drugog razreda su slična:

2x 1 + 5x 2 43,

a prema gradivu trećeg razreda

3x 1 + 4x 2 40.

Dobit od prodaje x 1 jedinice proizvodnje A i x 2 jedinice proizvodnje B bit će z = 5x 1+ 9x 2(ciljna funkcija).

Dobili smo model zadatka:

Grafičko rješenje Zadaci su prikazani na slici 11.

Optimalan (najbolji, tj. maksimalna funkcija z) rješenje problema je u točki A (rješenje je objašnjeno u poglavlju 5).

Kužim to x 1=4,x 2=7, vrijednost funkcije z u točki A: .

Dakle, vrijednost maksimalne dobiti iznosi 83 tisuće rubalja.

Osim grafičke metode, postoji niz posebnih metoda za rješavanje problema (npr. simpleks metoda) ili se koriste aplikacijski paketi koji ih implementiraju. Ovisno o vrsti ciljne funkcije razlikujemo linearno i nelinearno programiranje, a ovisno o prirodi varijabli razlikujemo cjelobrojno programiranje.

Možemo istaknuti opće značajke matematičkog programiranja:

1) uvođenje pojma objektivne funkcije i ograničenja su sredstva za postavljanje problema;

2) moguće je kombinirati heterogene kriterije (različite dimenzije, u primjeru – zalihe sirovina i dobit) u jednom modelu;

3) model matematičkog programiranja omogućuje postizanje granice područja dopuštenih vrijednosti varijabli;

4) mogućnost provedbe algoritam korak po korak dobivanje rezultata (pristup korak po korak optimalno rješenje);

5) jasnoća postignuta geometrijskom interpretacijom problema, pomaže u slučajevima kada je nemoguće formalno riješiti problem.

2) Statističke metode za konstruiranje matematičkih modela.

Statističke metode za konstruiranje matematičkih modela postale su raširene i počele se naširoko koristiti s razvojem teorije vjerojatnosti u 19. stoljeću. Temelje se na probabilističkim obrascima slučajnih (stohastičkih) događaja koji odražavaju stvarne pojave. Pojam "stohastički" je pojašnjenje pojma "slučajan", ukazujući na unaprijed određene, specifične uzroke koji utječu na proces, a koncept "slučajan" karakterizira neovisnost o utjecaju ili odsutnosti takvih uzroka.

Statistički obrasci prikazani su u obliku diskretnih slučajnih varijabli i obrazaca pojavljivanja njihovih vrijednosti ili u obliku kontinuiranih ovisnosti o distribuciji događaja (procesa). Teorijska osnova Konstrukcija stohastičkih modela detaljno je opisana u 2. poglavlju.

Kontrolna pitanja

1. Formulirajte glavni problem matematičkog modeliranja.

2. Definirajte matematički model.

3. Navedite glavne nedostatke eksperimentalnog pristupa u istraživanju.

4. Navedite glavne faze izgradnje modela.

5. Nabrojati vrste matematičkih modela.

6. Dajte Kratak opis vrste modela.

7. Kakav oblik ima matematički model predstavljen geometrijski?

8. Kako se definiraju matematički modeli analitičkog tipa?

Zadaci

1. Napravite matematički model za rješavanje problema i klasificirajte model:

1) Odredi najveći kapacitet cilindrične kante čija je površina (bez poklopca) jednaka S.

2) Tvrtka osigurava redovitu proizvodnju proizvoda uz nesmetanu nabavu komponenti od dva kooperanta. Vjerojatnost odbijanja isporuke od prvog podizvođača je , a od drugog - . Nađite vjerojatnost kvara u poslovanju poduzeća.

2. Malthusov model (1798.) opisuje reprodukciju stanovništva brzinom proporcionalnom njegovoj veličini. U diskretnom obliku, ovaj zakon je geometrijska progresija: ; ili .Zakon, zapisan u obliku diferencijalne jednadžbe, model je eksponencijalnog rasta populacije i dobro opisuje rast stanične populacije u nedostatku bilo kakvog ograničenja: . Postavite početne uvjete i demonstrirajte model.

MATEMATIČKA SHEMA ZA MODELIRANJE SUSTAVA

OSNOVNI PRISTUPI KONSTRUKCIJI MATEMATIČKIH MODELA SUSTAVA

Početna informacija pri izradi matematičkih modela procesa funkcioniranja sustava jesu podaci o namjeni i uvjetima rada sustava koji se proučava (projektuje). S. Ove informacije definiraju glavnu svrhu modeliranja sustava S i omogućuje formuliranje zahtjeva za razvijeni matematički model M.Štoviše, razina apstrakcije ovisi o rasponu pitanja na koja istraživač sustava želi odgovoriti korištenjem modela, te u određenoj mjeri određuje izbor matematičke sheme.

Matematičke sheme. Uvođenje koncepta matematičke sheme omogućuje nam da matematiku ne smatramo metodom izračuna, već metodom mišljenja, kao sredstvom formuliranja pojmova, što je najvažnije u prijelazu s verbalnog opisa sustava na formalni prikaz procesa njegova funkcioniranja u obliku nekog matematičkog modela (analitičkog ili simulacijskog). Pri korištenju matematičke sheme, prije svega, istraživač sustava S trebao bi biti zainteresiran za pitanje primjerenosti prikaza u obliku specifičnih dijagrama stvarnih procesa u sustavu koji se proučava, a ne za mogućnost dobivanja odgovor (rezultat rješenja) na određeno istraživačko pitanje. Na primjer, predstavljanje procesa funkcioniranja zajedničkog informacijskog računalnog sustava u obliku mreže shema čekanja omogućuje dobro opisivanje procesa koji se odvijaju u sustavu, ali s obzirom na složene zakone dolaznih tokova i tokova usluga, to čini ne omogućuju dobivanje rezultata u eksplicitnom obliku.

Matematička shema može se definirati kao karika u prijelazu sa smislenog na formalni opis procesa funkcioniranja sustava, uzimajući u obzir utjecaj vanjske okoline, tj. postoji lanac “deskriptivni model - matematička shema - matematički (analitički i/ ili simulacijski) model.”

Svaki specifični sustav S karakterizira skup svojstava, koja se shvaćaju kao veličine koje odražavaju ponašanje simuliranog objekta (stvarnog sustava) i uzimaju u obzir uvjete njegovog funkcioniranja u interakciji s vanjskom okolinom (sustavom) E. Prilikom konstruiranja matematičkog modela sustava potrebno je riješiti pitanje njegove cjelovitosti. Cjelovitost modela regulirana je uglavnom izborom granice “sustav S - okolina”. E» . Također se mora riješiti problem pojednostavljenja modela, što pomaže u isticanju glavnih svojstava sustava, odbacujući sporedna. Štoviše, klasificiranje svojstava sustava kao primarnih ili sekundarnih značajno ovisi o svrsi modeliranja sustava (primjerice, analiza vjerojatnosno-vremenskih karakteristika procesa funkcioniranja sustava, sinteza strukture sustava itd.) .

Formalni model objekta. Model objekta modeliranja, odnosno sustava S, može se prikazati kao skup veličina koje opisuju proces funkcioniranja realnog sustava i općenito čine sljedeće podskupove: skup ulazni utjecaji po sustavu

;

totalitet utjecaji okoline

;

totalitet interni (vlastiti) parametri sustava

;

totalitet izlazne karakteristike sustava

.

Štoviše, u navedenim podskupovima mogu se razlikovati kontrolirane i nekontrolirane varijable. Općenito , , , su elementi disjunktnih podskupova i sadrže i determinističke i stohastičke komponente.

Pri modeliranju sustava S, ulazni utjecaji, utjecaji okoline E a unutarnji parametri sustava su nezavisne (egzogene) varijable, koji u vektorskom obliku imaju oblik , , respektivno a izlazne karakteristike sustava su zavisne (endogene) varijable a u vektorskom obliku imaju oblik ).

Proces funkcioniranja sustava S vremenski opisuje operater F s , koji općenito transformira egzogene varijable u endogene u skladu s odnosima oblika

. (1)

Skup ovisnosti izlaznih karakteristika sustava o vremenu g j (t) za sve vrste
nazvao izlazni put
. Ovisnost (1) naziva se zakon funkcioniranja sustavaS i naznačen je F s . Općenito, zakon funkcioniranja sustava F s može se specificirati u obliku funkcije, funkcije, logičkih uvjeta, u algoritamskom i tabelarnom obliku ili u obliku verbalnog pravila sparivanja.

Vrlo važan za opis i proučavanje sustava S je koncept algoritam funkcioniranjaA s , koji se razumijeva kao metoda za dobivanje izlaznih karakteristika uzimajući u obzir ulazne utjecaje
, utjecaji okoline
i vlastite parametre sustava
. Očito je da isti operativni zakon F s sustav S može se implementirati na različite načine, tj. korištenjem mnogo različitih algoritama rada A s .

Relacije (1) su matematički opis ponašanja objekta (sustava) modeliranja u vremenu t, tj. odražavaju njegova dinamička svojstva. Stoga se matematički modeli ove vrste obično nazivaju dinamički modeli(sustavi).

Za statički modeli matematički model (1) je preslikavanje između dva podskupa svojstava modeliranog objekta Y I { x, V, N),što se u vektorskom obliku može napisati kao

. (2)

Relacije (1) i (2) mogu se specificirati na različite načine: analitički (formulama), grafički, tabelarno itd. Takve relacije u nizu slučajeva mogu se dobiti kroz svojstva sustava S u određenim vremenima, tzv. Države. Stanje sustava S karakterizirano je vektorima

I
,

Gdje
,
, …,
u određenom trenutku
;
,
, …,
u određenom trenutku
itd.,
.

Ako proces funkcioniranja sustava S promatramo kao sekvencijalnu promjenu stanja
, onda se mogu interpretirati kao koordinate točke u Do-dimenzionalni fazni prostor. Štoviše, svaka implementacija procesa odgovarat će određenoj faznoj trajektoriji. Skup svih mogućih vrijednosti stanja nazvao prostor stanja objekt modeliranja Z, i
.

Stanja sustava S u trenutku vremena t 0 < t*T potpuno su određene početnim uvjetima
[Gdje
,
, …,
], ulazni utjecaji
, vlastite parametre sustava
i utjecaji okoline
, koje se odvijalo u određenom vremenskom razdoblju t*- t 0 , sa koristeći dvije vektorske jednadžbe

; (3)

. (4)

Prva jednadžba za početno stanje i egzogene varijable
definira vektorsku funkciju
, a drugi prema dobivenoj vrijednosti stanja
- endogene varijable na izlazu sustava
. Dakle, lanac jednadžbi objekta "ulaz-stanja-izlaz" omogućuje određivanje karakteristika sustava

. (5)

Općenito, vrijeme u modelu sustava S može se promatrati kroz interval modeliranja (0, T) i kontinuirani i diskretni, tj. kvantizirani u segmente duljine
vremenske jedinice svaki kada
, Gdje
- broj intervala uzorkovanja.

Dakle, pod matematički model objekta(stvarnog sustava) razumjeti konačni podskup varijabli (
} zajedno s matematičkim vezama između njih i karakteristika
.

Ako matematički opis objekta modeliranja ne sadrži slučajne elemente ili oni nisu uzeti u obzir, tj. ako se može pretpostaviti da su u tom slučaju stohastički utjecaji vanjske okoline
i stohastičkih internih parametara
nedostaju, tada se model zove deterministički u smislu da su karakteristike jedinstveno određene determinističkim ulaznim utjecajima

. (6)

Očito je da je deterministički model poseban slučaj stohastičkog modela.

Tipične sheme. Predstavljeni matematički odnosi predstavljaju opće matematičke sheme i omogućuju opisivanje široke klase sustava. Međutim, u praksi modeliranja objekata u području sistemskog inženjerstva i analize sustava, u početnim fazama istraživanja sustava, racionalnije je koristiti tipične matematičke sheme: diferencijalne jednadžbe, konačni i probabilistički automati, sustavi čekanja, Petrijeve mreže itd.

Nemajući isti stupanj općenitosti kao razmatrani modeli, tipične matematičke sheme imaju prednosti jednostavnosti i jasnoće, ali uz značajno sužavanje mogućnosti primjene. Kao deterministički modeli, kada se slučajni faktori ne uzimaju u obzir u studiji, diferencijalne, integralne, integrodiferencijalne i druge jednadžbe koriste se za prikaz sustava koji rade u kontinuiranom vremenu, a sheme konačnih razlika koriste se za prikaz sustava koji rade u diskretnom vremenu. Kao stohastički modeli (uzimajući u obzir slučajne faktore), probabilistički automati se koriste za predstavljanje sustava s diskretnim vremenom, a sustavi čekanja itd. koriste se za predstavljanje sustava s kontinuiranim vremenom.

Navedene standardne matematičke sheme, naravno, ne mogu tvrditi da na temelju njih mogu opisati sve procese koji se odvijaju u velikim informacijskim i upravljačkim sustavima. Za takve sustave, u nekim slučajevima, više obećava korištenje agregatnih modela.

Skupni modeli (sustavi) omogućuju opisivanje širokog spektra objekata istraživanja, odražavajući sustavnu prirodu tih objekata. Upravo se agregatnim opisom složeni objekt (sustav) dijeli na konačan broj dijelova (podsustava), pri čemu se održavaju veze koje osiguravaju međudjelovanje dijelova.

Stoga se pri izradi matematičkih modela procesa funkcioniranja sustava mogu razlikovati sljedeći glavni pristupi: kontinuirano-deterministički (na primjer, diferencijalne jednadžbe); diskretno-deterministički (konačni automati); diskretno-stohastički (probabilistički automati); kontinuirano-stohastički (sustavi čekanja); generalizirani ili univerzalni (agregatni sustavi).

KONTINUIRANI DETERMINISTIČKI MODELI (D-SHEME)

Razmotrimo značajke kontinuirano determinističkog pristupa na primjeru korištenja diferencijalnih jednadžbi kao matematičkih modela. Diferencijalne jednadžbe To su jednadžbe u kojima su funkcije jedne ili više varijabli nepoznate, a jednadžba uključuje ne samo funkcije, već i njihove izvodnice različitih redova. Ako su nepoznanice funkcije više varijabli, onda se jednadžbe nazivaju parcijalnim diferencijalnim jednadžbama, inače, kada se razmatraju funkcije samo jedne nezavisne varijable, jednadžbe se nazivaju obične diferencijalne jednadžbe.

Osnovni odnosi. Tipično, u takvim matematičkim modelima vrijeme služi kao nezavisna varijabla o kojoj ovise nepoznate nepoznate funkcije. t. Tada će matematička relacija za determinističke sustave (6) u općem obliku biti

, (7)

Gdje
,
I
- P-dimenzionalni vektori;
- vektorska funkcija koja je definirana na nekom ( P+1)-dimenzionalni
postavljena i kontinuirana je.

Budući da matematičke sheme ovog tipa odražavaju dinamiku proučavanog sustava, odnosno njegovo ponašanje u vremenu, nazivaju se D-sheme(Engleski) dinamičan).

U najjednostavnijem slučaju obična diferencijalna jednadžba ima oblik

. (8)

Najvažnija primjena za inženjering sustava D-sheme kao matematički aparat u teoriji automatskog upravljanja. Za ilustraciju značajki konstrukcije i primjene D-shema, razmotrite najjednostavniji primjer formalizacija procesa funkcioniranja dvaju elementarnih sustava različite fizikalne prirode: mehaničkog S M (oscilacije njihala, slika 1, a) i električni S K (oscilatorni krug, slika 1, b).

Riža. 1. Elementarni sustavi

Proces malih oscilacija njihala opisuje se običnom diferencijalnom jednadžbom

Gdje
- masa i duljina ovjesa njihala; g - ubrzanje slobodnog pada;
- kut otklona njihala u trenutku vremena t.

Iz ove jednadžbe za slobodne oscilacije njihala mogu se pronaći procjene karakteristika od interesa. Na primjer, period titranja njihala

.

Slično se procesi u električnom oscilatornom krugu opisuju običnom diferencijalnom jednadžbom

Gdje L Do , SA Do - induktivitet i kapacitet kondenzatora; q(t) - napunjenost kondenzatora u vremenu t.

Iz ove jednadžbe mogu se dobiti različite procjene karakteristika procesa u oscilatornom krugu. Na primjer, period električnih oscilacija

.

Očito je da se uvođenjem notacije
,
, ,
, dobivamo običnu diferencijalnu jednadžbu drugog reda koja opisuje ponašanje ovog zatvorenog sustava:

Gdje
- parametri sustava; z(t) - stanje sustava u određenom trenutku t.

Stoga se ponašanje ova dva objekta može proučavati na temelju općeg matematičkog modela (9). Osim toga, treba napomenuti da se ponašanje jednog od sustava može analizirati pomoću drugog. Na primjer, ponašanje njihala (sustava S M) može se proučavati pomoću električnog oscilatornog kruga (sustava S K).

Ako sustav koji se proučava S, tj. njihalo ili krug, u interakciji je s vanjskom okolinom E, tada se pojavljuje ulazni utjecaj X(t) (vanjska sila za njihalo i izvor energije za krug) i kontinuirano deterministički model takvog sustava imat će oblik

Sa stajališta opće sheme matematičkog modela X(t) je ulazna (kontrolna) radnja, a stanje sustava S u ovom slučaju može se smatrati izlaznom karakteristikom, tj. pretpostaviti da se izlazna varijabla podudara sa stanjem sustava u danom trenutku u vremenu y =z.

Moguće primjene. Pri rješavanju problema sistemskog inženjerstva od velikog su značaja problemi upravljanja velikim sustavima. Obratite pozornost na sustave automatska kontrola- opisan poseban slučaj dinamičkih sustava D-sheme i izdvojeni u zasebnu klasu modela zbog svoje praktične specifičnosti.

Pri opisivanju procesa automatskog upravljanja obično se pridržavaju prikaza stvarnog objekta u obliku dva sustava: upravljačkog i upravljanog (upravljački objekt). Struktura općeg višedimenzionalnog sustava automatskog upravljanja prikazana je na sl. 2, gdje su naznačeni endogene varijable:
- vektor ulaznih (zadajućih) utjecaja;
- vektor ometajućih utjecaja;
- vektor signala greške;
- vektor upravljačkih djelovanja; egzogene varijable:
- vektor stanja sustava S;
- vektor izlaznih varijabli, obično
=
.

Riža. 2. Struktura sustava automatskog upravljanja

Suvremeni sustav upravljanja skup je softverskih i hardverskih alata koji osiguravaju da kontrolirani objekt postigne određeni cilj. Koliko točno objekt upravljanja postiže zadani cilj može se procijeniti za jednodimenzionalni sustav prema koordinati stanja y(t). Razlika između datog na dupe (t) i valjano y(t) zakon promjene kontrolirane veličine je pogreška upravljanja . Ako propisani zakon promjene kontrolirane veličine odgovara zakonu promjene ulaznog (zadanog) utjecaja, tj.
, Da
.

Sustavi za koje se kontroliraju greške
u svakom trenutku se nazivaju idealnim. U praksi je implementacija idealnih sustava nemoguća. Dakle greška h"(t) - nužan element automatske kontrole na principu negativa Povratne informacije, budući da odgovara izlaznoj varijabli g(t) njegova postavljena vrijednost koristi informacije o odstupanju između njih. Zadatak sustava automatskog upravljanja je promjena varijable g(t) prema zadanom zakonu s određenom točnošću (s prihvatljivom greškom). Pri projektiranju i radu sustava automatskog upravljanja potrebno je odabrati sljedeće parametre sustava S, čime bi se osigurala potrebna točnost upravljanja, kao i stabilnost sustava u prijelaznom procesu.

Ako je sustav stabilan, tada je ponašanje sustava tijekom vremena, maksimalno odstupanje kontrolirane varijable, od praktičnog interesa y(t) u prijelaznom procesu, vremenu prijelaznog procesa itd. Zaključci o svojstvima sustava automatskog upravljanja raznih klasa mogu se izvući iz vrste diferencijalnih jednadžbi koje približno opisuju procese u sustavima. Redoslijed diferencijalne jednadžbe i vrijednosti njezinih koeficijenata u potpunosti su određeni statičkim i dinamičkim parametrima sustava S.

Dakle korištenjem D-sheme omogućuje formalizaciju procesa funkcioniranja kontinuirano determinističkih sustava S te evaluirati njihove glavne karakteristike korištenjem analitičkog ili simulacijskog pristupa, implementiranog u obliku odgovarajućeg jezika za modeliranje kontinuiranih sustava ili korištenjem analognih i hibridnih računalnih alata.