Za određivanje stabilnosti nije potrebno konstruirati hodograf. Da biste to učinili, dovoljno je analizirati frekvencijski odziv i fazni odziv. Stoga je treća alternativna formulacija Nyquistovog kriterija: ako je frekvencijski odziv veći od jedinice na frekvencijama kod kojih je fazni odziv 0 ili Gdje n € z, tada povratni sustav nije stabilan, inače je stabilan (slika 3.10).

Riža. 3.9 Frekvencijski odziv i fazni odziv sustava otvorene petlje s povratnom spregom

4 Prolaz slučajnih signala kroz linearne stacionarne krugove

Glavne karakteristike slučajnog procesa su gustoća vjerojatnosti trenutnih vrijednosti signala, korelacijska funkcija i spektralna gustoća snage. Određivanje gustoće vjerojatnosti trenutnih vrijednosti izlaznog signala linearni krug na temelju poznate gustoće vjerojatnosti na ulazu sklopa i poznatih karakteristika sklopa, to je vrlo težak zadatak. Međutim, ako je ulazni signal Gaussov, tada će i izlazni signal uvijek biti Gaussov. To znači da se rješavanje problema pojednostavljuje i svodi na pronalaženje parametara izlaznog signala (matematičko očekivanje i varijanca).

Zadatak pronalaženja korelacijske funkcije i spektralne gustoće snage izlaznog signala mnogo je jednostavniji.

Inverzne Fourierove transformacije spektralne gustoće snage prema Wiener–Khinchinovoj teoriji:

– funkcija korelacije signala

Inverzna Fourierova transformacija pojačanja snage:

– korelacijska funkcija impulsnog odziva signala

Budući da je umnožak spektara dvaju signala jednak spektru konvolucije tih signala, možemo napisati:

Odnosno, korelacijska funkcija signala na izlazu linearnog sklopa jednaka je konvoluciji korelacijske funkcije signala na ulazu sklopa i korelacijske funkcije impulsnog odziva sklopa.

Prilikom analiziranja raznih sustava Smetnja je često bijeli šum, koji ima konstantnu spektralnu gustoću snage u cijelom frekvencijskom rasponu:

i korelacijske funkcije

Posljedično, korelacijska funkcija izlaznog signala jednaka je autokorelacijskoj funkciji impulsnog odziva s koeficijentom .

5 Prolaz signala kroz nelinearne sklopove

Linearni stacionarni krugovi ne mijenjaju spektralni sastav signala. Glavne radiotehničke transformacije povezane s promjenama spektralnog sastava signala provode se pomoću nelinearnih sklopova ili linearnih krugova s ​​promjenjivim parametrima.

Proučavanje nelinearnih sklopova složen je zadatak koji se sastoji od rješavanja nelinearnih diferencijalnih jednadžbi. Analiza nelinearnih krugova je pojednostavljena ako je nelinearni element bez inercije, tj. odgovor na promjenu ulaznog djelovanja događa se trenutno. Strogo govoreći, ne postoje elementi bez tromosti (FFE), ali u slučaju kada vrijeme promjene ulaznog signala značajno premašuje vrijeme uspostavljanja procesa u nelinearnom elementu, element se može smatrati beztromnim. U radiotehnici se najčešće koriste nelinearni elementi poluvodički uređaji(diode, tranzistori). Za opisivanje takvih uređaja koriste se strujno-naponske karakteristike koje povezuju napone primijenjene na uređaje i struje koje teku kroz uređaje.

Razmotrimo linearni inercijski sustav s poznatom prijenosnom funkcijom ili impulsnim odzivom. Neka je ulaz takvog sustava stacionarni slučajni proces sa zadanim karakteristikama: gustoćom vjerojatnosti, korelacijskom funkcijom ili energetskim spektrom. Odredimo karakteristike procesa na izlazu iz sustava: , i .

Najlakši način za pronalaženje energetskog spektra procesa je na izlazu sustava. Doista, pojedinačne implementacije procesa unosa su determinističke

funkcije, a na njih se može primijeniti Fourierov aparat. Neka je skraćena implementacija trajanja T slučajni proces na ulazu, i

Njegova spektralna gustoća. Spektralna gustoća implementacije na izlazu linearnog sustava bit će jednaka

Energetski spektar procesa na izlazu prema (3.3.3) odredit ćemo izrazom

(3.4.3)

oni. bit će jednak energetskom spektru procesa na ulazu, pomnoženom s kvadratom amplitudno-frekvencijske karakteristike sustava i neće ovisiti o fazno-frekvencijskoj karakteristici.

Korelacijska funkcija procesa na izlazu linearnog sustava može se definirati kao Fourierova transformacija energetskog spektra:

(3.4.4)

Posljedično, kada slučajni stacionarni proces djeluje na linearni sustav, izlaz također proizvodi stacionarni slučajni proces s energetskim spektrom i korelacijskom funkcijom definiranom izrazima (3.4.3) i (3.4.4). Procesna snaga na izlazu sustava bit će jednaka

(3.4.5)

Gustoća distribucije vjerojatnosti i numeričke karakteristike signala na izlazu beztromnog nelinearnog sklopa.

Baskakov str. 300 – 302

Prolaz slučajnih signala kroz nelinearne krugove bez inercije.

Razmotrimo sada problem prolaska slučajnog procesa kroz nelinearni sustav. U općem slučaju, ovaj problem je vrlo složen, ali je znatno pojednostavljen kada je nelinearni sustav bez inercije. U nelinearnim sustavima bez inercije, vrijednosti izlaznog procesa u ovaj trenutak vrijeme su određene vrijednostima ulaznog procesa u istoj točki u vremenu. Za nelinearne transformacije bez tromosti, jednostavniji zadatak je određivanje izlaznih funkcija distribucije u mnogo složenijem - određivanje korelacijske funkcije ili energetskog spektra.

Kao što je gore navedeno, n-dimenzionalna funkcija distribucije slučajnog procesa u biti je funkcija distribucije n slučajnih varijabli koje predstavljaju vrijednosti slučajnog procesa u n različitih točaka u vremenu. Određivanje zakona distribucije funkcionalno transformiranih slučajnih varijabli je relativno jednostavan zadatak.

Razmotrimo najjednostavniji primjer jednodimenzionalna slučajna varijabla. Neka je gustoća vjerojatnosti slučajne varijable ζ, koja je podložna nelinearnoj transformaciji. Odredimo gustoću vjerojatnosti slučajne varijable η. Pretpostavimo da je funkcija takva da je njena inverzna funkcija jedinstvena.

Ako je slučajna varijabla ζ u dovoljno malom intervalu , tada će zbog jedinstvenog funkcionalnog odnosa između ζ ​​i η slučajna varijabla η nužno biti u intervalu , gdje , vjerojatnosti tih događaja moraju biti iste, tj. (3.4.13)

odakle to nalazimo?

(3.4.14)

Derivacija u posljednjem izrazu uzima se po svojoj apsolutnoj vrijednosti, budući da gustoća vjerojatnosti ne može biti negativna. Ako je inverzna funkcija višeznačna, tj. ima nekoliko grana, tada se za gustoću vjerojatnosti pomoću teorema zbrajanja vjerojatnosti može dobiti

(3.4.15)

Imajte na umu da za određivanje numeričkih karakteristika nelinearno transformiranih slučajnih procesa nema potrebe za određivanjem njihove gustoće vjerojatnosti. Doista, u općem slučaju za početni trenutak k-tog reda imamo

(3.4.16)

Ali prema (3.4.13) i . Stoga se posljednji izraz može prepisati

(3.4.17)

Dobiveni izrazi (3.4.14) i (3.4.15) lako se mogu proširiti na slučaj nekoliko veličina. Ovdje prikazujemo samo konačni rezultat za dvodimenzionalni slučaj. Ako slučajne varijable imaju zajedničku gustoću vjerojatnosti, tada za slučajne varijable

(3.4.18)

kada su inverzne funkcije jedinstvene

zajednička gustoća vjerojatnosti bit će dana izrazom

Gdje je veličina

naziva se Jacobian transformacije i predstavlja omjer elementarnih površina pri prelasku iz jednog koordinatnog sustava u drugi. Ako je , onda je jednakost istinita

Gdje

Pitanje br. 23

Diskretni slijed impulsa, njihov spektar.

Baskakov s. 382-383

Uzorkovanje periodičnih signala. Diskretna Fourierova transformacija (DFT). Vraćanje izvornog signala pomoću DFT-a. Inverzna diskretna Fourierova transformacija (IDFT).

Baskakov s. 388-392

Pitanje broj 24

Načelo digitalna obrada(DC) signali temeljeni na diskretnoj Fourierovoj transformaciji.

Baskakov s. 400-405

Implementacija algoritama digitalnog filtriranja (transverzalni digitalni filtri, rekurzivni digitalni filtri, impulsni odziv, izlazni signal)

Digitalni filteri ovisno o Povratne informacije Postoje rekurzivni (RF) i nerekurzivni (NF).

Prednosti nerekurzivnih filtera u odnosu na rekurzivne su sljedeće:

Nerekurzivni filtri mogu imati točno linearni fazni odziv;

Inherentna snaga šuma NF je, u pravilu, mnogo manja od RF;

Za NF je lakše izračunati koeficijente.

Nedostaci nerekurzivnih filtara u usporedbi s rekurzivnim su sljedeći:

Rekurzivni filtri omogućuju obradu signala s većom točnošću, jer omogućuju ispravniju implementaciju impulsnog odziva bez odbacivanja njegovog "repa";

Implementacija sklopa RF je mnogo jednostavnija od NF;

Rekurzivni filtri omogućuju implementaciju algoritama koji se uopće ne mogu implementirati korištenjem nerekurzivnih filtara.

Impulsni odziv rekurzivni filtar je beskonačan, a nerekurzivni filtar je konačan.

Baskakov str. 405-408, 409-411, 413

Pitanje broj 25

Pojam omjera signal/šum, filtriranje i optimalni filtar.

Omjer signala i šuma- bezdimenzijska veličina jednaka omjeru snage korisnog signala i snage šuma.

Filtriranje je proces obrade signal frekvencijski selektivni uređaji za promjenu spektralnog sastava signala.

Optimalni linearni filter naziva frekvencijski selektivnim sustavom koji obrađuje zbroj signala i šuma na neki najbolji način. Izlaz maksimizira omjer signala i šuma.

Baskakov s. 423-424

Omjer signal/šum na izlazu usklađenog filtra.

Baskakov s. 425, 431-432

Karakteristike optimalnog (podudarnog) filtra za signale poznatog oblika (AFC, PFC, IR).

Signal na izlazu usklađenog filtra.

Cilj rada: Steći primarne vještine u proučavanju statističkih karakteristika slučajnih signala. Eksperimentalno odrediti zakonitosti raspodjele slučajnih signala na izlazu linearnih i nelinearnih radijskih sklopova.

KRATKE TEORIJSKE INFORMACIJE

1. Klasifikacija radijskih sklopova

Radio sklopovi koji se koriste za pretvorbu signala vrlo su raznoliki po svom sastavu, strukturi i karakteristikama. U procesu njihova razvoja i analitičkog istraživanja koriste se različiti matematički modeli koji zadovoljavaju zahtjeve primjerenosti i jednostavnosti. Općenito, bilo koji radio krug može se opisati formaliziranim odnosom koji određuje transformaciju ulaznog signala x(t) u izlazni y(t), koji se može simbolički predstaviti kao

y(t) = T,

Gdje je T operator koji definira pravilo prema kojem se ulazni signal pretvara.

Dakle, kao matematički model radiotehnički sklop može biti kombinacija operatora T i dva skupa X=(xi(t)) i Y=(yi(t)) signala na ulazu i izlazu kruga tako da

(gja(t)) = T(xja(t)).

Prema vrsti transformacije ulaznih signala u izlazne signale, odnosno prema vrsti operatora T, razvrstavaju se radiotehnički sklopovi.

Radio krug je linearan ako je operator T takav da sklop zadovoljava uvjete aditivnosti i homogenosti, odnosno vrijede jednakosti

T = T : T = c T

ja ja

Gdje je c konstanta.

Ovi uvjeti izražavaju bit principa superpozicije, koji je karakterističan samo za linearne sklopove.

Funkcioniranje linearnih sklopova opisuje se linearnim diferencijalnim jednadžbama s konstantnim koeficijentima. Karakteristično je da linearna transformacija signala bilo kojeg oblika nije popraćena pojavom harmonijskih komponenti s novim frekvencijama u spektru izlaznog signala, odnosno ne dovodi do obogaćivanja spektra signala.

Radio krug je Nelinearno, ako operator T ne osigurava ispunjenje uvjeta aditivnosti i homogenosti. Rad takvih sklopova opisuje se nelinearnim diferencijalnim jednadžbama.

Strukturno, linearni sklopovi sadrže samo linearne uređaje (pojačala, filtre, duge vodove itd.). Nelinearni sklopovi sadrže jedan ili više nelinearnih uređaja (generatora, detektora, množitelja, limitera itd.)

Na temelju prirode vremenske ovisnosti izlaznog signala o ulaznom signalu razlikuju se inercijski i bezinercijski radijski krugovi.

Radio krug, vrijednost izlaznog signala y(t) u trenutku t=t0 ne ovisi samo o vrijednosti ulaznog signala x(t) u ovom trenutku u vremenu, već io vrijednostima x( t) u trenucima vremena koji prethode trenutku t0 poziva se Inercijalni lanac. Ako je vrijednost izlaznog signala y(t) i trenutka t=t0 potpuno određena vrijednošću x(t) u isto vrijeme t0, tada se takav sklop naziva Bez inercije.

2. Transformacija slučajnih procesa u linearnim krugovima

Problem transformacije slučajnih procesa u linearnim radio krugovima u općem slučaju razmatra se u sljedećoj formulaciji. Neka slučajni proces x(t) sa zadanim statističkim svojstvima stigne na ulaz linearnog sklopa s frekvencijskim odzivom K(jw). Potrebno je odrediti statističke karakteristike slučajnog procesa y(t) na izlazu sklopa. Ovisno o analiziranim karakteristikama slučajnih procesa x(t) i y(t), razmatraju se dvije varijante općeg problema:

1. Određivanje energetskog spektra i korelacijske funkcije slučajnog procesa na izlazu linearnog kruga.

2. Određivanje zakona distribucije vjerojatnosti slučajnog procesa na izlazu linearnog lanca.

Najjednostavniji je prvi zadatak. Njegovo rješenje u frekvencijskoj domeni temelji se na činjenici da je energetski spektar slučajnog procesa na izlazu linearnog kruga Wy(w) u stacionarnom načinu rada jednak energetskom spektru ulaznog procesa Wx(w) pomnoženom s kvadrat modula frekvencijske karakteristike kola tj

Wy(W)= Wx(W) ∙│ K(Jw)│ A (1)

Poznato je da je energetski spektar Wx(w) slučajnog procesa x(t) s matematičkim očekivanjem mx=0 povezan s njegovom kovarijancijskom funkcijom Bx(t) Fourierovim transformacijama, tj.

Wx(W)= Ux(T) E— JWTDT

Ux(T)= Wx(W) EjWTDW.

Posljedično, funkcija kovarijance Vy(t) slučajnog procesa na izlazu linearnog lanca može se odrediti na sljedeći način:

UY(T)= Wy(W) EjWTDW= Wx(W))│ K(Jw)│ A EjWTDW

Ry(T)=BY(T)+ Mya.

U ovom slučaju, varijanca Dy i matematičko očekivanje my izlaznog slučajnog procesa jednaki su

Dy= Ry(0)= Wx(w)) │K(jw)│adw

Moj= Mx∙ K(0) .

Gdje je mx matematičko očekivanje ulaznog slučajnog procesa:

K(0) - koeficijent prijenosa linearnog kruga prema DC, to je

K(0)= K(Jw)/ W=0

Formule (1,2,3,4) su u biti cjelovito rješenje dodijeljeni zadatak u frekvencijskoj domeni.

Metoda za rješavanje drugog problema, koja bi omogućila izravno pronalaženje gustoće vjerojatnosti procesa y(t) na izlazu linearnog inercijalnog kruga iz zadane gustoće vjerojatnosti procesa x(t) na ulazu, u opći pogled ne postoji. Problem je riješen samo za neke posebne slučajeve i za slučajne procese s Gaussovim (normalnim) zakonom raspodjele, kao i Markovljeve slučajne procese.

U odnosu na proces normalne raspodjele rješenje je pojednostavljeno na temelju toga da kada linearna transformacija Takav proces ne mijenja zakon raspodjele. Budući da je normalan proces u potpunosti određen matematičkim očekivanjem i korelacijskom funkcijom, za pronalaženje gustoće vjerojatnosti procesa dovoljno je izračunati njegovo matematičko očekivanje i korelacijsku funkciju.

Zakon distribucije vjerojatnosti signala na izlazu linearnog beztromnog sklopa podudara se u funkcionalnom smislu sa zakonom distribucije ulaznog signala. Mijenjaju se samo neki njegovi parametri. Stoga, ako linearni krug bez inercije provodi funkcionalnu transformaciju oblika y(t) = a x(t) + b, gdje su a i b konstantni koeficijenti, tada gustoća vjerojatnosti p(y) slučajnog procesa na izlaz lanca određen je dobro poznatom formulom funkcionalne transformacije slučajnih procesa

P(Y)= =

Gdje je p(x) gustoća vjerojatnosti slučajnog procesa x(t) na ulazu sklopa.

U nekim slučajevima problem određivanja vjerojatnosnih karakteristika slučajnog procesa na izlazu inercijskih krugova može se približno riješiti korištenjem učinka normalizacije slučajnog procesa inercijskim sustavima. Ako ne-Gaussov proces x(t1) s korelacijskim intervalom tk djeluje na inercijski linearni lanac s vremenskom konstantom t»tk (u ovom slučaju širina energetskog spektra slučajnog procesa x(t) veća je od propusnost lanca), tada se proces y(t) na izlazu takvog lanca približava Gaussovom kako omjer t/tk raste. Taj se rezultat naziva učinak normalizacije slučajnog procesa. Učinak normalizacije je izraženiji što je propusnost kruga uža.

3. Transformacija slučajnih procesa u nelinearnim krugovima

Pri analizi nelinearnih strujnih krugova razmatraju se nelinearne inercijske transformacije čija se tromost pod zadanim utjecajima ne može zanemariti. Ponašanje takvih sklopova opisuje se nelinearnim diferencijalnim jednadžbama, za čije rješavanje ne postoje opće metode. Stoga se problemi povezani s proučavanjem nelinearnih inercijskih transformacija slučajnih procesa gotovo uvijek rješavaju približno, korištenjem raznih umjetnih tehnika.

Jedna od tih tehnika je predstavljanje nelinearnog inercijalnog lanca kombinacijom linearnih inercijalnih i nelinearnih inercijskih lanaca. Gore je razmotren problem proučavanja utjecaja slučajnih procesa na linearni lanac. Pokazalo se da je u ovom slučaju vrlo jednostavno odrediti spektralnu gustoću (ili korelacijsku funkciju) izlaznog signala, ali teško odrediti zakon raspodjele. U nelinearnim krugovima bez inercije glavna poteškoća je pronalaženje korelacijske funkcije. Međutim, ne postoje opće metode za analizu utjecaja slučajnih signala na nelinearne sklopove. Oni su ograničeni na rješavanje nekih posebnih problema od praktičnog interesa.

3.1. Statističke karakteristike slučajnog procesa na izlazu nelinearnih sklopova

Razmotrimo transformaciju slučajnog procesa s jednodimenzionalnom gustoćom vjerojatnosti nelinearnim lancem bez inercije s karakteristikom

Y= f(x).

Očito je da se svaka realizacija slučajnog procesa x(t) transformira u odgovarajuću realizaciju novog slučajnog procesa y(t), tj.

y(t)=F[ x(T)] .

A. Određivanje zakona distribucije slučajnog procesa y(t)

Neka je poznata gustoća vjerojatnosti p(x) slučajnog procesa x(t). Potrebno je odrediti gustoću vjerojatnosti p(y) slučajnog procesa y(t). Razmotrimo tri tipična slučaja.

1. Funkcija y= f(x) nelinearnog lanca određuje korespondenciju jedan na jedan između x(t) i y(t). Vjerujemo da postoji inverzna funkcija x = j(y), koja također određuje korespondenciju jedan na jedan između y(t) i x(t). U ovom slučaju, vjerojatnost pronalaska realizacije slučajnog procesa x(t) u intervalu (x0, x0+dx) jednaka je vjerojatnosti pronalaska realizacije slučajnog procesa y(t)=f u intervalu (y0, y0+du) s y0= f(x0) i y0+dy= f(x0+dx), tj.

P(x) Dx= P(Y) Dy

Stoga,

P(Y)= .

Derivacija se uzima u apsolutnoj vrijednosti jer je gustoća vjerojatnosti p(y) > 0, dok derivacija može biti negativna.

2. Inverzna funkcija x = j(y) je višeznačna, odnosno jedna vrijednost y odgovara nekoliko vrijednosti x. Neka, na primjer, vrijednost y1=y0 odgovara vrijednostima x= x1, x2,…,xn.

Tada iz činjenice da je y0≤ y(t)≤ y0+dy, slijedi jedna od n međusobno nekompatibilnih mogućnosti

x1 ≤ x(T)≤ x1 + Dx, ili x2 ≤ x(T)≤ x2 + Dx, ili … Xn≤ x(T)≤ Xn+ Dx.

Primjenom pravila zbrajanja vjerojatnosti dobivamo

P(Y)= + +…+ .

/ x= x1 / x= x2 / x= Xn

3, Karakteristika nelinearnog elementa y= f(x) ima jedan ili više horizontalnih presjeka (presjeka gdje je y= konst.). Zatim izraz

P(Y)=

Treba ga dopuniti članom koji uzima u obzir vjerojatnost da se y(t) nalazi u intervalu gdje je y = const.

Najlakši način za razmatranje ovog slučaja je na primjeru.

Neka funkcija y= f(x) ima oblik prikazan na slici 1 i formuli

Riža. 1 Utjecaj slučajnog procesa na dvosmjerni limitator.

Na x(t)<а выходной сигнал y(t)=0, Это значит, что вероятность принятия случайным процессом y(t) нулевого значения равна

P1= P= P= P(x)dx,

I gustoća vjerojatnosti

P1(y) = P1∙δ(y).

Raspravljajući slično za slučaj x(t)> b, dobivamo

Pa= P= P= P(x)dx,

godišnje(Y) = Godišnje∙ δ (Y— C).

/ Y= C

Za slučaj a≤ x≤ b formula vrijedi

Godišnje(Y) =

/0≤ Y≤ C

Općenito, gustoća vjerojatnosti izlaznog procesa određena je izrazom

P(Y)= P1 ∙ δ (Y)+ Godišnje∙ δ (Y— C)+ .

Napominjemo da je za dobivanje konačnog izraza potrebno transformirati funkcionalne ovisnosti p(x) i dy/dx, koje su funkcije od x, u funkcije od y, koristeći inverznu funkciju x = j(y). Dakle, problem određivanja gustoće distribucije slučajnog procesa na izlazu nelinearnog kruga bez inercije analitički je riješen za prilično jednostavne karakteristike y = f(x).

B. Određivanje energetskog spektra i korelacijske funkcije slučajnog procesa y(t)

Nije moguće izravno odrediti energetski spektar slučajnog procesa na izlazu nelinearnog kruga. Postoji samo jedna metoda - određivanje korelacijske funkcije signala na izlazu sklopa i zatim primjena izravne Fourierove transformacije za određivanje spektra.

Ako stacionarni slučajni proces x(t) stigne na ulaz nelinearnog kruga bez inercije, tada se korelacijska funkcija slučajnog procesa y(t) na izlazu može prikazati kao

Ry(T)= Po(T)- Moj2 ,

Gdje je By(t) funkcija kovarijance;

my je matematičko očekivanje slučajnog procesa y(t). Kovarijancijska funkcija slučajnog procesa je statistički prosječni umnožak vrijednosti slučajnog procesa y(t) u trenucima t i t+t, tj.

Po(T)= M[ Y(T)∙ Y(T+ T)].

Za implementacije slučajnog procesa y(t), umnožak y(t)∙y(t+t) je broj. Za proces kao skup implementacija, ovaj produkt tvori slučajnu varijablu čiju distribuciju karakterizira dvodimenzionalna gustoća vjerojatnosti p2 (y1, y2, t), gdje je y1= y(t), ya= y( t+t). Imajte na umu da se u posljednjoj formuli varijabla t ne pojavljuje, budući da je proces stacionaran - rezultat ne ovisi o t.

Za zadanu funkciju r2 (u1, u2, t), operacija usrednjavanja skupa provodi se prema formuli

Po(T)=U1∙u2∙r2 (u1, u2,T) Dy1 Dy2 = F(x1 )∙ F(x2 )∙ P(x1 , x2 , T) Dx1 Dx2 .

Matematičko očekivanje my dano je sljedećim izrazom:

Moj= Y∙ P(Y) Dy.

Uzimajući u obzir da je p(y)dy = p(x)dx, dobivamo

Moj= F(x)∙ P(x) Dx.

Energetski spektar izlaznog signala, u skladu s Wiener-Khinchinovom teoremom, nalazi se kao izravna Fourierova transformacija kovarijancijske funkcije, tj.

Wy(W)= Po(T) E— JWTDT

Praktična upotreba ovu metodu teško jer se dvostruki integral za By(t) ne može uvijek izračunati. Potrebno je koristiti različite metode pojednostavljivanja vezane uz specifičnosti problema koji se rješava.

3.2. Utjecaj uskopojasnog šuma na detektor amplitude

U statističkom radiotehnici razlikuju se širokopojasni i uskopojasni slučajni procesi.

Neka je ∆ fe širina energetskog spektra slučajnog procesa određena formulom (sl. 2.)

Riža. 2. Širina energetskog spektra slučajnog procesa

Uski pojas slučajni proces je proces za koji je ∆fe «f0, gdje je f0 frekvencija koja odgovara maksimumu energetskog spektra. Slučajni proces čija širina energetskog spektra ne zadovoljava ovaj uvjet je Širokopojasni.

Uskopojasni slučajni proces obično se predstavlja kao visokofrekventna oscilacija sa sporo promjenjivom (u usporedbi s oscilacijom na frekvenciji f0) amplitudom i fazom, tj.

X(t)= A(t)∙cos,

Gdje je A(t) = √x2(t) + z2(t) ,

J(t) = arctan,

z(t) je Hilbertova konjugirana funkcija izvorne funkcije x(t), tada

z(t)= —DT

Svi parametri ovog titranja (amplituda, frekvencija i faza) su slučajne funkcije vremena.

Amplitudni detektor, koji je sastavni dio Prijemni put je kombinacija nelinearnog elementa bez inercije (na primjer, dioda) i inercijalnog linearnog kruga (niskopropusni filtar). Napon na izlazu detektora reproducira ovojnicu amplitude visokofrekventnih oscilacija na ulazu.

Neka na ulaz detektora amplitude (npr. s izlaza pojačala, koji ima usku propusnost u odnosu na međufrekvenciju) stigne uskopojasni slučajni signal koji ima svojstva ergodičkog slučajnog procesa s normalnim zakon distribucije. Očito je da će signal na izlazu detektora biti omotnica ulaznog slučajnog signala, koji je također slučajna funkcija vremena. Dokazano je da ovu ovojnicu, odnosno ovojnicu uskopojasnog slučajnog procesa karakterizira gustoća vjerojatnosti koja se naziva Rayleigheva distribucija i ima oblik:

Gdje su A vrijednosti omotnice;

Sx2 je disperzija slučajnog signala na ulazu detektora.

Grafik Rayleighove distribucije prikazan je na slici 3.

sl.3. Graf zakona Rayleieve distribucije

Funkcija p(A) ima najveću vrijednost jednaku

Kada je A = sx. To znači da je vrijednost A = sx i najvjerojatnija vrijednost ovojnice.

Matematičko očekivanje ovojnice slučajnog procesa

M.A.= = =

Dakle, ovojnica uskopojasnog slučajnog procesa s normalnim zakonom distribucije je slučajna funkcija vremena, čija je gustoća distribucije opisana Rayleighovim zakonom.

3.3. Zakon distribucije ovojnice zbroja harmonijskog signala i uskopojasnog slučajnog šuma

Problem određivanja zakona distribucije ovojnice zbroja harmonijskog signala i uskopojasnog slučajnog šuma javlja se pri analizi procesa linearne detekcije u radarskim i komunikacijskim sustavima koji rade u uvjetima u kojima je unutarnji ili vanjski šum usporediv po razini s koristan signal.

Neka ulaz prijemnika primi zbroj harmonijskog signala a(t)=E∙cos(wt) i uskopojasnog šuma x(t)=A(t)∙cos s normalnim zakonom raspodjele. Ukupno osciliranje u ovom slučaju može se napisati

N(T) = S(T)+ x(T)= E∙coS(tež)+ A(T)∙ Cos[ tež+ J(T)]=

=[E+A(T)∙ Cos(J(T))]∙paS(tež)- A(T)∙ Grijeh(J(T))∙ Grijeh(tež)= U(T)∙ Cos[ tež+ J(T)],

Gdje su U(t) i j (t) omotnica i faza ukupnog signala, određene izrazima

U(T)= ;

J(T)= Arctg

Kada ukupna oscilacija u(t) djeluje na detektor amplitude, na izlazu iz potonjeg nastaje ovojnica. Gustoća vjerojatnosti p(U) ove ovojnice određena je formulom

P(U)= (5)

Gdje je sxa varijanca šuma x(t);

I0 - Besselova funkcija nultog reda (modificirana).

Gustoća vjerojatnosti određena ovom formulom naziva se generalizirani Rayleighov zakon ili Riceov zakon. Grafikoni funkcije p(U) za nekoliko vrijednosti omjera signala i šuma E/sx prikazani su na slici 4.

U nedostatku korisnog signala, odnosno kada je E/sx=0, izraz (5) ima oblik

P(U)=

To jest, ovojnica rezultirajućeg signala raspoređena je u ovom slučaju prema Rayleighovu zakonu.

sl.4. Grafovi generaliziranog Rayleighovog zakona distribucije

Ako amplituda korisnog signala premašuje srednju kvadratnu razinu šuma, to jest, E/sx»1, tada za U≃E možete koristiti asimptotski prikaz Besselove funkcije s velikim argumentom, tj.

≃≃.

Zamjenom ovog izraza u (5) imamo

P(U)= ,

Odnosno, ovojnica rezultirajućeg signala opisana je normalnim zakonom distribucije s disperzijom sx2 i matematičkim očekivanjem E. U praksi se vjeruje da je već pri E/sx = 3 ovojnica rezultirajućeg signala normalizirana.

4. Eksperimentalno određivanje zakona distribucije slučajnih procesa

Jedna od metoda za eksperimentalno određivanje funkcije distribucije slučajnog procesa x(t) je metoda koja se temelji na korištenju pomoćne slučajne funkcije z(t) oblika

Gdje je x vrijednost funkcije x(t), za koju se izračunava z(t).

Kao što slijedi iz semantičkog sadržaja funkcije z(t), njezini statistički parametri određeni su parametrima slučajnog procesa x(t), budući da se promjene vrijednosti z(t) događaju u trenucima kada slučajni proces x(t) prelazi razinu x. Posljedično, ako je x(t) ergodički slučajni proces s funkcijom distribucije F(x), tada će funkcija z(t) također opisati ergodički slučajni proces s istom funkcijom distribucije.

Slika 5 prikazuje implementacije slučajnih procesa x(t) i z(t), koji ilustriraju očitost odnosa

P[ Z(T)=1]= P[ x(T)< x]= F(x);

P[ Z(T)=0]= P[ x(T)≥ x]= 1- F(x).

Sl.5 Realizacije slučajnih procesa x(t), z(t), z1(t)

Matematičko očekivanje (statistički prosjek) funkcije z(t), koja ima dvije diskretne vrijednosti, određuje se prema formuli (vidi tablicu 1)

M[ Z(T)]=1∙ P[ Z(T)=1]+0 ∙ P[ Z(T)=0]= F(x).

S druge strane, za ergodički slučajni proces

Tako,

analiziranje ovaj izraz, možemo zaključiti da uređaj za mjerenje funkcije distribucije ergodičkog slučajnog procesa x(t) mora sadržavati diskriminator razine kako bi se dobio slučajni proces opisan funkcijom z(t) u skladu s izrazom (6), i integrirajući uređaj izrađen na primjer u obliku niskopropusnog filtra.

Metoda za eksperimentalno određivanje gustoće distribucije slučajnog procesa x(t) u biti je slična onoj koja je gore razmotrena. U ovom slučaju koristi se pomoćna slučajna funkcija z1(t) oblika

Matematičko očekivanje funkcije z1(t), koja ima dvije diskretne vrijednosti (slika 5), ​​jednako je

M[ Z1 (T)]=1∙ P[ Z1 (T)=1]+0 ∙ P[ Z1 (T)=0]= P[ x< x(T)< x+∆ x].

Uzimajući u obzir ergodičnost slučajnog procesa opisanog funkcijom z1(t), možemo pisati

Tako,

Poznato je da

P(x≤ x(T)< x+∆ x) ≃ P(x)∙∆ x.

Stoga,

Dakle, uređaj za mjerenje gustoće distribucije ergodičkog slučajnog procesa x(t) ima istu strukturu i sastav kao uređaj za mjerenje funkcije distribucije.

Točnost mjerenja F(x) i p(x) ovisi o trajanju intervala promatranja i kvaliteti operacije integracije. Sasvim je očito da u stvarnim uvjetima dobivamo Ocjene zakoni distribucije, budući da je vrijeme usrednjavanja (integracije) konačno. Vraćajući se na izraz (6) i sl. 5. primijetiti da

Z(T) Dt= ∆ T1 ,

Gdje je ∆ t1 1. vremenski interval kada je funkcija x(t) ispod razine x, odnosno vremenski interval kada je funkcija z(t)=l.

Valjanost ove formule određena je geometrijskim značenjem određenog integrala (površina figure ograničena funkcijom z(t) i segmentom (0,T) vremenske osi).

Dakle, možemo pisati

To jest, funkcija distribucije slučajnog procesa x(t) jednaka je relativnom vremenu zadržavanja implementacije procesa u intervalu -¥< x(t) < х.

Raspravljajući slično, možemo dobiti

Gdje je ∆ t1 1. vremenski interval funkcije x(t) unutar (x, x+∆x).

U praktičnoj provedbi razmatrane metode eksperimentalnog određivanja zakona distribucije slučajnog procesa, slučajni signal x(t) se analizira u rasponu promjena njegovih trenutnih vrijednosti od xmin do xmax (slika 6). Unutar ovih granica koncentriran je glavni skup (u vjerojatnosnom smislu) trenutnih vrijednosti procesa x(t).

Vrijednosti xmin i xmax odabiru se na temelju potrebne točnosti mjerenja zakona raspodjele. U ovom slučaju će se ispitati skraćene distribucije tako da

F(Xmin)+<<1.

Cijeli raspon (xmin, xmax) vrijednosti x(t) podijeljen je na N jednakih intervala ∆x, tj.

xMaks— Xmin= N∙∆ x.

Riža. 6. Funkcija distribucije (a), gustoća vjerojatnosti (b) i implementacija (c) slučajnog procesa x(t)

Intervali određuju širinu diferencijalnih koridora u kojima se vrše mjerenja. Određuje se procjena vjerojatnosti

Pi* ≃ P[ Xi-∆ x/2≤ x(T)< Xi-∆ x/2]

Ostanak realizacije x(t) unutar diferencijalnog koridora s prosječnom vrijednošću x(t) unutar njega jednakom xi. Procjena Pi* određena je mjerenjem relativnog vremena zadržavanja implementacije x(t) u svakom od diferencijalnih koridora, tj.

Pi*=1/T Zi(t)dt= ,

I= 1,…,N.

S obzirom na to

Pi* ≃ P1 = P(x) Dx,

Možete odrediti procjene gustoće distribucije u svakom od diferencijalnih koridora

Pi* (x)= Pi*/∆ x.

Koristeći dobivene rezultate, odnosno vrijednosti pi*(x), xi, ∆x, konstruira se stepenasta krivulja p*(x) koja se naziva histogram gustoće distribucije (vidi sl. 7).

sl.7. Histogram gustoće distribucije

Površina ispod svakog fragmenta histograma unutar ∆x brojčano je jednaka površini koju zauzima prava krivulja distribucije p(x) u danom intervalu.

Broj N diferencijalnih hodnika treba biti unutar 10...20. Daljnjim povećanjem njihova broja ne dolazi se do točnijeg zakona p(x), budući da se s povećanjem N smanjuje vrijednost intervala ∆x, što pogoršava uvjete za točno mjerenje ∆ti.

Dobiveni rezultati omogućuju nam izračunavanje procjena matematičkog očekivanja i varijance slučajnog procesa x(t)

Mx* = Xi∙ Pi* ; Dx* = (Xi— Mx* )2∙ Pi* .

Pri proračunu Mx* I Dx* Ove formule uzimaju u obzir da ako vrijednost realizacije slučajnog procesa x(t) padne u 1. diferencijalni koridor, tada mu se dodjeljuje vrijednost i (sredina diferencijalnog koridora).

Razmatrana metoda za određivanje zakona raspodjele slučajnih procesa čini osnovu za rad statističkog analizatora koji se koristi u ovom laboratorijskom radu.

OPIS LABORATORIJSKE INSTALACIJE

Proučavanje zakona distribucije slučajnih signala provodi se pomoću laboratorijske instalacije koja uključuje laboratorijski model, statistički analizator i osciloskop S1-72 (slika 8).

sl.8. Dijagram laboratorijskog postavljanja

Laboratorijski model generira i transformira slučajne signale, osigurava njihovu statističku analizu, konstruira histograme zakona distribucije i grafički prikazuje te zakone na indikatoru statističkog analizatora. Sadrži sljedeće funkcionalne jedinice:

A. Blok generatora signala. Generira četiri različita nasumična signala.

— Signal x1(t)= A∙sin je harmonijska oscilacija sa slučajnom početnom fazom, čiji zakon raspodjele Uniforma u intervalu 0

P(J)= 1/2 P, 0< J<2 P.

Gustoća vjerojatnosti trenutnih vrijednosti takvog signala jednaka je

— Signal x2(t) — pilasti periodični napon s konstantnom amplitudom A i slučajnim parametrom pomaka q, zakon raspodjele
kome Uniforma u intervalu , gdje je T0 period signala, odnosno gustoća vjerojatnosti jednaka je

P(Q)= 1/ T0 ; 0< Q≤ T0 .

Gustoća vjerojatnosti trenutnih vrijednosti takvog signala određena je izrazom

— Signal x3(t) je slučajni signal s normalnim zakonom distribucije (Gaussov zakon) trenutnih vrijednosti, tj.

Godišnje(x)= ,

Gdje su mx, sx matematičko očekivanje i varijanca slučajnog signala x3(t).

— Signal x4(t) je nasumični odrezani signal, koji je slijed pravokutnih impulsa konstantne amplitude A i nasumičnog trajanja, koji se javljaju u nasumično odabrano vrijeme. Takav se signal pojavljuje na izlazu idealnog limitera kada na njegov ulaz djeluje slučajni proces s normalnim zakonom raspodjele. Karakteristika transformacije ima oblik

Gdje je x razina ograničenja.

Dakle, slučajni proces x4(t) uzima dvije vrijednosti (A i - A) s vjerojatnostima

P= P= F3(x);

P= P= 1-F3(x);

Gdje je F3(x) integralni zakon raspodjele slučajnog procesa x3(t).

Uzimajući u obzir gore navedeno, gustoća vjerojatnosti odsječenog signala jednaka je

P4(x)= F3(x)∙D(x+ A)+ ∙D(x - A).

Slika 9 prikazuje implementacije svakog od slučajnih signala koje generira iterator laboratorijskog izgleda i njihove gustoće vjerojatnosti.

Ovi signali, od kojih je svaki karakteriziran vlastitom gustoćom distribucije, mogu se dovoditi na ulaze tipičnih elemenata radiotehničkih uređaja kako bi se pretvorili i proučavali zakonitosti distribucije signala na njihovim izlazima.

B. Linearni mikser signala. Generira zbroj dvaju slučajnih signala xi(t) i x1(t) dostavljenih na njegove ulaze u skladu s relacijom

Y(T)= R∙ Xi(T)+ (1- R)∙ x1 (T),

Gdje je R koeficijent postavljen gumbom potenciometra unutar raspona 0...1.

Koristi se za proučavanje zakona distribucije zbroja dva slučajna signala.

U. Utičnice za spajanje raznih četveropolnih mreža - funkcionalni pretvarači. Laboratorijski instalacijski komplet uključuje 4 funkcionalna pretvarača (slika 10).

Riža. 9. Realizacije slučajnih procesa x1(t), x2(t), x3(t), x4(t) i njihove gustoće vjerojatnosti

Pojačalo - limitator (limiter) s pretvorbenom karakteristikom

Gdje su U1, U2 donja odnosno gornja granična razina;

k je koeficijent jednak tg kuta nagiba transformacijske karakteristike.

Izvodi nelinearnu transformaciju ulaznih signala bez inercije.

Uskopojasni filtar (F1) rezonantne frekvencije f0=20 kHz. Koristi se za generiranje uskopojasnih slučajnih procesa sa zakonom distribucije bliskim normalnom.

Tipični put prijemnika AM oscilacija (uskopojasni filtar F1 - linearni detektor D - niskopropusni filtar F2). Obavlja formiranje ovojnice uskopojasnog slučajnog signala tijekom linearne detekcije.

Strukturno, razmatrani funkcionalni pretvarači izrađeni su u obliku malih zamjenjivih blokova.

Kao drugi funkcionalni pretvarač koristi se "idealno" pojačalo - limiter (elektronički ključ), koji je dio bloka generatora signala prototipa. Omogućuje formiranje ograničenog signala, kao nelinearni pretvarač bez inercije ulaznog slučajnog signala.

Riža. 10. Funkcionalni pretvarači

G. Odgovarajuće pojačalo. Omogućuje koordinaciju između raspona vrijednosti signala koji se proučava i raspona amplitude statističkog analizatora. Koordinacija se provodi pomoću potenciometara “Gain” i “Offset” kada je prekidač P1 (Sl. 8) postavljen na položaj “Calibration”.

Prilagođeno pojačalo također se koristi kao funkcionalni pretvarač (osim za četiri gore spomenuta), osiguravajući linearnu pretvorbu bez inercije u skladu s formulom

Y(T)= A∙ x(T)= B,

Gdje je a faktor pojačanja podešen gumbom "Gena";

b je konstantna komponenta signala, podešena gumbom "Offset".

Blok analizatora prikazan na dijagramu na slici 8 kao dio rasporeda nije korišten u ovom radu. Laboratorijska instalacija uključuje korištenje digitalnog statističkog analizatora, dizajniranog kao zaseban uređaj.

D. Digitalni statistički analizator koristi se za mjerenje i formuliranje zakona distribucije vrijednosti signala dostavljenih na njegov ulaz. Analizator radi na sljedeći način.

Analizator se uključuje u način rada mjerenja pomoću gumba "Start". Vrijeme mjerenja je 20 s. Tijekom tog vremena uzimaju se uzorci vrijednosti ulaznog signala (u slučajnim razdobljima), čiji je ukupni broj N 1 milijun. Uzorci se uzorkuju po razini tako da svaki od njih padne u jedan od 32 intervala (koji se nazivaju diferencijalni koridore, ili vrijednosti uzorka intervala grupiranja). Intervali su numerirani od 0 do 31, njihova širina je 0,1 V, a donja granica 0. intervala je 0 V, gornja granica 31. intervala je +3,2 V. Tijekom vremena mjerenja broji se broj odbrojavanja ni uključen u svaki interval. Rezultat mjerenja prikazuje se u obliku histograma distribucije na zaslonu monitora, gdje je vodoravna os rešetke ljestvice os vrijednosti signala unutar 0...+3,2 V, okomita os je os relativne frekvencije ni/N, i = 0,1...31.

Za očitavanje rezultata mjerenja u digitalnom obliku koristi se digitalni indikator, koji prikazuje broj odabranog intervala i pripadajuću frekvenciju (procjena vjerojatnosti) ni/N. Odabir brojeva intervala za digitalni indikator provodi se pomoću prekidača "Interval". U tom slučaju, odabrani interval je označen markerom na ekranu monitora.

Pomoću prekidača "Množilac" možete odabrati skalu histograma prikladnu za promatranje duž okomite osi.

Prilikom izvođenja ovog rada, prekidač raspona ulaznog napona analizatora (raspon analogno-digitalne pretvorbe) mora biti postavljen na položaj 0...+3,2 V. Prije svakog mjerenja morate naizmjenično pritisnuti gumbe "Reset" i "Start". (pritiskom na gumb "Reset" Memorijski uređaj se vraća na nulu, a rezultati prethodnog mjerenja ponovno se upisuju u memoriju skupa, iz koje se mogu pozvati pomoću prekidača "Stranica").

Opći problem proučavanja prolaska slučajnih signala kroz nelinearne

sklop se sastoji u pronalaženju statističkih karakteristika izlaznog signala iz poznatih podataka sklopa i statističkih karakteristika signala. Ovaj zadatak treba podijeliti na više zasebnih zadataka na temelju karakteristika povezanih sa karakteristikama ulaznog signala, svojstvima sklopa i početnim karakteristikama izlaznog signala.

Nelinearni krugovi predstavljaju omjer nelinearnih elemenata s jednoznačnom strujno-naponskom karakteristikom i definirani su kao beztromni.

Prema željenim statističkim karakteristikama izlaznog signala, treba razlikovati zadatke pomoću kojih treba pronaći zakon raspodjele trenutnih vrijednosti ili omotnicu i zadatke kada je dovoljno odrediti prve trenutke tih zakona .

Analiza istraživanja i publikacija. Ovisno o metodama obrade signala iz različitih izvora, postaje potrebno izvršiti takve matematičke operacije na njima kao što su, na primjer, dijeljenje, množenje itd. Takve matematičke operacije na signalima mogu se tehnički provesti pomoću nelinearnih uređaja bez inercije. Zbog toga se problem proučavanja prolaska slučajnih signala kroz nelinearne sklopove pomoću matematičkih operacija ne može uvijek dovesti do rješenja u prihvatljivom obliku.

Općenito, temeljno rješenje problema nelinearnih transformacija slučajnih procesa bez inercije proizlazi iz dobro poznatog svojstva invarijantnosti diferencijala vjerojatnosti. Međutim, primjena ovog svojstva na praktično zanimljive nelinearne transformacije uzrokuje velike poteškoće. Stoga su zbog složenosti izračuna gustoće vjerojatnosti često ograničeni na pronalaženje jednostavnijih, ništa manje potpunih statističkih karakteristika izlaznog signala.

Formulacija problema. Operacija dijeljenja dvaju slučajnih signala može se pripisati problemu sinteze nelinearnog sklopa za zadanu transformaciju ulaznog signala, što uključuje utvrđivanje tipa karakteristike sklopa koji provodi tu transformaciju, a potom i implementaciju rezultirajuće karakteristike. S dva ulazna signala koji predstavljaju slučajne procese, na primjer, operacija množenja izvodi se korištenjem nelinearnog determinističkog sustava bez inercije, koji je prikazan na Sl. 1. Sastoji se od dva logaritmatora 1, 2 (uređaji s logaritamskom amplitudnom karakteristikom), zbrajala i izlagača 3, uređaja s eksponencijalnom amplitudnom karakteristikom. Ovakav pristup rješavanju problema temelji se na činjenici da nelinearna transformacija slučajnog procesa bez inercije ne uvodi dodatne privremene veze. To jest, ako je proces prije transformacije bez inercije bio karakteriziran n-dimenzionalnom distribucijom, tada će proces nakon njega karakterizirati distribucija n-tog reda.

Poznato je da je zakon distribucije vjerojatnosti zbroja dvaju slučajnih procesa s normalnim zakonima distribucije također normalan. Stoga možemo pretpostaviti da signal na ulazu izlagača ima normalnu distribuciju gustoće vjerojatnosti.

Dobiveni rezultat ima tako jednostavno rješenje kao što je isključenje i javlja se samo uz eksponencijalnu transformaciju normalnog stacionarnog procesa.

Međutim, ovaj rezultat ima relativno općenito značenje, jer se često karakteristike nelinearnih elemenata mogu aproksimirati zbrojem koji sadrži dva do tri eksponencijalna člana; s ovim pristupom, ukupna korelacijska funkcija izlaznog procesa bit će jednaka zbroju korelacijskih funkcija izračunatih za svaki eksponencijalni član posebno.

Problemi proučavanja prolaska slučajnih signala kroz nelinearne krugove bez inercije koji izvode matematičke operacije na signalima, na primjer, dijeljenje ili množenje dva signala, ne mogu se uvijek riješiti u izravnom obliku. Međutim, dobivanje rezultata rješavanja problema određivanja statističkih karakteristika u ovim slučajevima može se postići rješavanjem problema sinteze nelinearnih sklopova za zadanu transformaciju ulaznih signala, što uključuje utvrđivanje vrste karakteristika pojedinih elemenata sklopa koji ovu transformaciju provode. transformacija signala. Ovim pristupom zadatak određivanja rezultirajućeg signala bit će određen na izlazu svakog elementa koji obavlja svoju dodijeljenu funkciju.

Ne postoji opći postupak za određivanje zakona raspodjele odziva linearnog FU na proizvoljan slučajni utjecaj. Međutim, moguća je korelacijska analiza, tj. izračunavanje korelacijske funkcije reakcije iz zadane korelacijske funkcije učinka, što se prikladno provodi spektralnom metodom prema shemi prikazanoj na sl. 5.5.

Za izračunavanje energetskog spektra GY(f) reakcije linearne FU s prijenosnom funkcijom H(jω) koristimo njegovu definiciju (4.1)

Korelacijska funkcija B Y(t) definiramo Fourierovom transformacijom energetskog spektra GY(f)

.

Vratimo se definiciji zakona raspodjele za reakciju linearne FU u određenim posebnim slučajevima:

1. Linearna transformacija normalnog SP također generira normalan proces. Mogu se mijenjati samo parametri njegove distribucije.

2. Zbroj normalnih SP (reakcija zbrajača) također je normalan proces.

3. Kada SP s proizvoljnom distribucijom prolazi kroz uskopojasni filtar (tj. s propusnim opsegom filtra D F znatno manja širina energetskog spektra utjecaja D f X) uočava se fenomen normalizacije distribucije reakcije Y(t). Leži u činjenici da se zakon distribucije reakcije približava normalnom. Stupanj ove aproksimacije je veći što je nejednakost D jača F<< Df X(Slika 5.6).

To se može objasniti na sljedeći način. Kao rezultat prolaska SP kroz uskopojasni filter, dolazi do značajnog smanjenja širine njegovog energetskog spektra (s D f X do D F) i, sukladno tome, povećanje vremena korelacije (c t x na t Y). Kao rezultat, između nekoreliranih uzoraka odgovora filtra Y(k t Y) nalazi se otprilike D f X / D F nekorelirano očitavanje utjecaja x(l t x), od kojih svaki pridonosi stvaranju jednog reakcijskog uzorka s težinom određenom vrstom impulsnog odziva filtra.

Dakle, u nekoreliranim dijelovima Y(k t Y) postoji zbrajanje velikog broja također nekoreliranih slučajnih varijabli x(l t x) s ograničenim matematičkim očekivanjima i varijancama, što u skladu sa središnjim graničnim teoremom (A.M. Lyapunov) osigurava da se distribucija njihovog zbroja približava normalnoj s povećanjem broja članova.

5.3. Uskopojasni slučajni procesi

JV x(t) s relativno uskim energetskim spektrom (D f X << f c) poput uskopojasnih determinističkih signala, prikladno ih je predstaviti u kvaziharmonijskom obliku (vidi odjeljak 2.5)

gdje je kuverta A(t), faza Y( t) i početna faza j( t) su slučajni procesi, a ω c je proizvoljno odabrana frekvencija (obično kao prosječna frekvencija njegovog spektra).

Za definiranje omotnice A(t) i faza Y( t) preporučljivo je koristiti analitički SP

, (5.4)

Glavne funkcije momenta analitičkog SP-a:

1. Matematičko očekivanje

2. Varijanca

3. Korelacijska funkcija

,

,

.

Analitički SP naziva se stacionarnim ako

,

,

Razmotrimo tipičan problem u komunikacijskoj tehnologiji prolaska normalnog SP-a kroz pojasni filtar (BF), detektore amplitude (AM) i faze (PD) (Sl. 5.7). Signal na izlazu PF postaje uskopojasni, što znači da njegova ovojnica A(t) i početna faza j( t) bit će polagano promjenjive funkcije vremena u usporedbi s , gdje je prosječna frekvencija PF propusnog pojasa. Po definiciji, signal na izlazu IM-a bit će proporcionalan ovojnici ulaznog signala A(t), a na PD izlazu – njegova početna faza j( t). Dakle, za rješavanje ovog problema dovoljno je izračunati distribuciju ovojnice A(t) i faza Y( t) (početna distribucija faza razlikuje se od distribucije Y( t) samo matematičkim očekivanjem).

Formulacija problema

dano:

1) x(t) = A(t)udoban( t) – uskopojasni centrirani stacionarni normalni SP (na PF izlazu),

2) .

Definirati:

1) w(A) – jednodimenzionalna gustoća vjerojatnosti ovojnice,

2) w(Y) – jednodimenzionalna gustoća vjerojatnosti faze.

Kako bismo riješili ovaj problem, navodimo tri faze:

1. Prijelaz na analitički SP i određivanje zajedničke gustoće vjerojatnosti.

2. Izračun zajedničke gustoće vjerojatnosti na temelju veza izračunatih u prvoj fazi A(t), Y( t) s (5.3) ÷ (5.6) .

3. Određivanje jednodimenzionalnih gustoća vjerojatnosti w(A) I w(Y) iz izračunate zajedničke gustoće vjerojatnosti.

Riješenje

1. faza. Nađimo jednodimenzionalnu gustoću vjerojatnosti procesa. Na temelju linearnosti Hilbertove transformacije zaključujemo da se radi o normalnom zajedničkom pothvatu. Nadalje, s obzirom na to , dobivamo , i posljedično

Tako imamo

.

Dokažimo da nije u korelaciji u vremenskim točkama koje se podudaraju, tj. da .

.

Nakon zamjene , , , uzimajući u obzir da za , dobivamo

Nekorelirana priroda presjeka normalnih procesa stoga implicira njihovu neovisnost

.

Faza 2. Izračun zajedničke gustoće vjerojatnosti

,

gdje je prema (5.2), (5.5) i (5.6)

.

Dakle, uzimajući u obzir (5.3) imamo

. (5.7)

Faza 3. Definicija jednodimenzionalnih gustoća vjerojatnosti

Konačno

, (5.8)

. (5.9)

Izraz (5.8) je poznat kao Rayleijeva distribucija, njegov grafikon je prikazan na sl. 5.8. Na sl. Na slici 5.9 prikazan je graf ravnomjerne raspodjele faza (5.9).

Izraz (5.7) može se prikazati kao produkt (5.8) i (5.9)

što podrazumijeva neovisnost ovojnice A(t) i faze w(Y) normalni SP.

Razmotrimo složeniji problem prolaska aditivne smjese gore spomenutog normalnog SP-a s harmonijskim signalom kroz IM i PD. Izjava problema ostaje ista osim izvornog procesa Y(t) koji poprima oblik

Gdje x(t) – centrirana normala SP.

Jer

.

Zapišimo to Y(t) u kvaziharmonijskom obliku

te ćemo riješiti problem određivanja gustoće vjerojatnosti w(A) I w(j) prema gornjem planu.

Zapišimo to unaprijed x(t) u kvaziharmonijskom obliku i kroz svoje kvadraturne komponente

, (5.10)

(5.11)

Da bismo pronašli, okrenimo se analitičkom SP-u

.

Iz njegova izraza jasno je da su to linearne transformacije centrirane normale SP x(t):

te stoga imaju normalnu distribuciju s varijancama

.

Dokažimo njihovu nekoreliranost (a time i neovisnost) u podudarnim trenucima vremena

.

Ovdje se uzima u obzir da B(t) i θ( t) – omotnica i faza normalnog SP su, kao što je gore utvrđeno, neovisne.

Tako,

a uzimajući u obzir (5.10) i (5.11) dobivamo

. (5.12)

Budući da se izraz (5.12) ne može prikazati kao produkt jednodimenzionalnih funkcija , možemo zaključiti da procesi ovise o .

Da bismo pronašli distribuciju ovojnice zbroja centriranog normalnog SP-a s harmonijskim signalom, integriramo (5.12) preko svih mogućih vrijednosti slučajne faze j( t)

.

Integral oblika

u matematici poznata kao modificirana Besselova funkcija nultog reda. Uzimajući to u obzir, konačno imamo

. (5.13)

Izraz (5.13) se zove generalizirana Rayleigheva distribucija ili Distribucija riže. Grafikoni ovog izraza prikazani su na sl. 5.10 za sljedeće posebne slučajeve:

1) U = 0 – obična Rayleighova distribucija,

2) – slučaj odsutnosti s Y(t) SP x(t),

3)
– generalizirana Rayleighova (Riceova) distribucija.

Iz grafikona je jasno da što je veći omjer signala i šuma, to je maksimum gustoće vjerojatnosti pomaknut više udesno i to je krivulja simetričnija (bliža normalnoj distribuciji).

zaključke

1. Ako su trenutne vrijednosti centriranog SP x(t) imaju normalnu distribuciju, zatim njezinu omotnicu A(t) raspodijeljen prema Rayleighovu zakonu

,

i faza Y( t) ravnomjerno

2. Distribucija ovojnice aditivne smjese centriranog normalnog SP-a i harmonijskog signala pridržava se generalizirane Rayleighove distribucije (također poznate kao Riceova distribucija)

.

Kontrolna pitanja

1. Formulirajte problem analize prolaska zajedničkog pothvata kroz zadanu funkcionalnu cjelinu.

2. Kako izračunati gustoću vjerojatnosti w(g) reakcija lanca bez inercije prema poznatoj gustoći vjerojatnosti w(x) udarac?

3. Kako izračunati matematičko očekivanje reakcije lanca bez inercije na slučajni udar x(t)?

4. Kako izračunati disperziju reakcije lanca bez inercije na slučajni udar x(t)?

5. Kako izračunati korelacijsku funkciju reakcije lanca bez inercije na slučajni udar x(t)?

6. Kako izračunati zajedničku gustoću vjerojatnosti w(na 1 , na 2 ; t) dva zajednička ulaganja Y 1 (t) I Y 2 (t), povezani poznatim funkcionalnim ovisnostima I s još dva zajednička ulaganja x 1 (t) I x 2 (t)?

7. Kako se mijenja raspodjela normalnog SP-a kada prolazi kroz linearni lanac?

8. Kako se mijenja proizvoljna raspodjela SP-a pri prolasku kroz uskopojasni filtar?

9. Što je bit fenomena normalizacije širokopojasnog procesa pri njegovom prolasku kroz uskopojasni filtar? Dajte matematičku osnovu za ovaj fenomen.

10. Opišite postupak korelacijske analize prolaska zajedničkog pothvata kroz linearni krug.

11. Definirajte omotnicu i fazu SP-a.

12. Definirati analitički SP, njegovo matematičko očekivanje, disperzijsku i korelacijsku funkciju.

13. Koje uvjete zadovoljava stacionarni analitički SP?

14. Kakva je raspodjela ovojnice centrirane normale SP?

15. Kakva je raspodjela faza centrirane normalne SP?

16. Kakva je distribucija anvelope zbroja centrirane normale SP i harmonijskog signala?

17. Napišite analitički izraz za Rayleighov zakon. Koju vrstu zajedničkog pothvata karakterizira?

18. Napišite analitički izraz za generalizirani Rayleighov zakon (Riceov zakon). Koju vrstu zajedničkog pothvata karakterizira?