Impulsni odziv filtra. Digitalni filtri s konačnim impulsnim odzivom. Izglađivanje podataka. Srednje filtriranje
48 Digitalni filtri s konačnim impulsnim odzivom. Proračun kih filtara.
Filtar konačnog impulsnog odziva (Nerekurzivni filter, FIR filter) ili FIR filtar (FIR je skraćeno od konačnog impulsnog odziva - konačni impulsni odziv) - jedna od vrsta linearnih digitalnih filtara, čija je karakteristična značajka njegovo vremensko ograničenje impulsni odziv(od neke točke u vremenu postaje točno jednak nuli). Takav se filtar naziva i nerekurzivnim zbog nedostatka povratne veze. Nazivnik prijenosne funkcije takvog filtra je određena konstanta.
Jednadžba razlike koja opisuje odnos između ulaznih i izlaznih signala filtra: gdje P- redoslijed filtera, x(n) - ulazni signal, g(n) je izlazni signal, i b ja- koeficijenti filtera. Drugim riječima, vrijednost bilo kojeg uzorka izlaznog signala određena je zbrojem skaliranih vrijednosti P prethodna čitanja. Možete to reći drugačije: vrijednost izlaza filtra u bilo kojem trenutku je vrijednost odgovora na trenutnu vrijednost ulaza i zbroj svih postupno opadajućih odgovora P prethodni uzorci signala koji još uvijek utječu na izlaz (nakon P-brojeva, prijelazna funkcija impulsa postaje jednaka nuli, kao što je već spomenuto, dakle svi članovi nakon P-th će također postati jednak nuli). Napišimo prethodnu jednadžbu u opsežnijem obliku:
Da bismo pronašli jezgru filtera stavili smo
x(n) = δ( n)
gdje je δ( n) - delta funkcija. Tada se impulsni odziv FIR filtera može napisati kao:
Z-transformacija impulsnog odziva daje nam prijenosnu funkciju FIR filtra:
]Svojstva
FIR filtar ima niz korisnih svojstava zbog kojih je ponekad bolji za korištenje od IIR filtra. Ovo su neki od njih:
FIR filteri su robusni.
FIR filtri ne zahtijevaju povratnu informaciju kada se implementiraju.
Faza FIR filtera može biti linearna
Izravni oblik FIR filtera
FIR filtri se mogu implementirati korištenjem tri elementa: množitelja, zbrajatelja i bloka kašnjenja. Opcija prikazana na slici izravna je implementacija FIR filtara tipa 1.
Implementacija izravnog oblika FIR filtera
Primjer programa
Ispod je primjer programa FIR filtera napisanog u C-u:
/* FIR filter za 128 slavina */
float fir_filter(float unos)
statički uzorak plovka;
acc = 0,0f; /* Baterija */
/* Množi i akumuliraj */
za (i = 0; i< 128; i++) {
acc += (h[i] * uzorak[i]);
/* Izlaz */
/* Pomakni odgođeni signal */
za (i = 127; i > 0; i--)
uzorak[i] = uzorak;
49 Izglađivanje podataka. Pomično usrednjavanje.
50 Izglađivanje podataka. Parabolično izglađivanje.
51 Izglađivanje podataka. Spencerovo glačanje.
52 Izglađivanje podataka. Srednje filtriranje.
Pomično usrednjavanje, parabolično izglađivanje, Spencerovo izglađivanje, srednje filtriranje
Pri razvoju metoda za određivanje parametara fizikalnih procesa koji se sporo mijenjaju tijekom vremena, važan zadatak je eliminirati utjecaj učinaka šuma ili slučajnih smetnji koje se superponiraju na obrađen signal primljen na izlazu primarnog pretvarača.
Da biste uklonili ovaj učinak, možete primijeniti izglađivanje podataka. Jedna od najjednostavnijih metoda takvog izglađivanja je aritmetičko usrednjavanje. Kada se koristi, svaka vrijednost diskretne funkcije (niza obrađenih podataka) izračunava se u skladu s izrazom:
gdje je broj bodova za aritmetičko usrednjavanje (neparan cijeli broj);
Vrijednost funkcije prije obrade;
Postoje i druge vrlo učinkovite metode izglađivanja, na primjer, s parabolama drugog stupnja na pet, sedam, devet i jedanaest točaka u skladu s izrazima:
ili parabole četvrtog stupnja u sedam, devet, jedanaest i trinaest točaka:
U praktičnim primjenama, druge učinkovite metode, na primjer, Spencerovo izglađivanje u 15 točaka, daju dobre rezultate:
Zamjenom kompleksnog eksponencijala, gdje u ove izraze, možemo odrediti funkciju prijenosa odgovarajuće transformacije.
Za aritmetičko usrednjavanje
Izraz u zagradama predstavlja geometrijsku progresiju s nazivnikom, stoga se ovaj izraz može prikazati kao:
.
Ova formula predstavlja prijenosnu karakteristiku niskopropusnog filtra i pokazuje da što je više članova uključeno u prosjek, to je veće potiskivanje visokofrekventnih komponenti šuma u signalu (vidi sliku 6.1).
Međutim, semantički koncept frekvencije pri obradi vremenskih trendova razlikuje se od sličnog koncepta pri obradi signala. To se objašnjava činjenicom da pri proučavanju vremenskih trendova nije od interesa njihov frekvencijski sastav, već vrsta promjene (porast, pad, konstantnost, cikličnost itd.).
Korištenje takozvanih heurističkih algoritama također je vrlo učinkovito za izglađivanje podataka.
Jedan od njih je srednje filtriranje. Tijekom njegove implementacije u kliznom vremenskom prozoru dimenzije , gdje je cijeli broj neparan broj, središnji element zamjenjuje se srednjim elementom niza, a poredani su, uzlaznim redoslijedom vrijednosti, elementi niza podataka izglađenog niza. signal koji pada unutar vremenskog okvira. Prednost srednjeg filtriranja je mogućnost uklanjanja impulsnog šuma, čije trajanje ne prelazi, gotovo bez izobličenja glatko promjenjivih signala. Ova metoda suzbijanja buke nema strogo matematičko opravdanje, ali jednostavnost proračuna i učinkovitost dobivenih rezultata doveli su do njene široke primjene.
Slika 6.1 - Grafikoni prijenosnih karakteristika
operacije aritmetičkog usrednjavanja za m=5, 7, 9, 11
Još jedan zanimljiv algoritam izglađivanja je prosječno izračunavanje medijana. Njegova suština je sljedeća. U kliznom vremenskom prozoru veličine (-neparan cijeli broj), elementi niza podataka poredani su uzlaznim redoslijedom, a zatim se prvi i zadnji element uklanjaju iz uređenog niza (<). Центральный элемент временного окна из последовательности сглаживаемых данных заменяется значением, вычисляемым как
Ova metoda omogućuje vam suzbijanje pulsnih i radiofrekvencijskih smetnji, kao i postizanje dobrog izglađivanja signala.
| " |
Razmotrimo najjednostavnije digitalne filtre - filtre s konstantnim parametrima.
Ulazni signal digitalnog filtra isporučuje se u obliku niza numeričkih vrijednosti, koje slijede u intervalima (slika 4.1, a). Kada se svaka sljedeća vrijednost signala primi u digitalni filtar, izračunava se sljedeća vrijednost izlaznog signala.Algoritmi izračuna mogu biti vrlo različiti; tijekom procesa izračuna, uz posljednju vrijednost ulaznog signala, može se koristiti
prethodne vrijednosti ulaznog i izlaznog signala: Izlazni signal digitalnog filtra također je niz numeričkih vrijednosti koje slijede interval od . Ovaj interval je isti za cijeli uređaj za digitalnu obradu signala.
Riža. 4.1. Signal na ulazu i izlazu digitalnog filtera
Stoga, ako primijenite najjednostavniji signal u obliku jednog impulsa na ulaz digitalnog filtra (slika 4.2, a)
tada na izlazu dobivamo signal u obliku diskretnog niza numeričkih vrijednosti, koji slijede u intervalima
Po analogiji s konvencionalnim analognim krugovima, ovaj odzivni signal nazvat ćemo impulsni odziv filtra (slika 4.2, b). Za razliku od impulsnog odziva analognog kruga, funkcija je bez dimenzija.
Riža. 4.2. Jedinični impuls i impulsni odziv digitalnog filtra
Primijenimo proizvoljni diskretni signal na ulaz filtera (Sl. 4.1, a), koji je skup diskretnih vrijednosti
Pod djelovanjem prvog elementa, na izlazu filtra formira se niz pomnožen sa; pod djelovanjem, niz se pomnoži sa i pomakne udesno za iznos, itd. Kao rezultat, izlaz će dobiti slijed gdje
Stoga se izlazni signal definira kao diskretna konvolucija ulaznog signala i impulsnog odziva. U tom smislu, digitalni filtri su slični konvencionalnim sklopovima, gdje je izlazni signal jednak konvoluciji ulaznog signala i impulsnog odziva.
Formula (4.1) je algoritam digitalnog filtriranja. Ako je impulsni odziv filtra opisan nizom s konačnim brojem članova, tada se filtar može implementirati u obliku kruga prikazanog na sl. 4.3. Ovdje slovo označava elemente kašnjenja signala za vrijeme (po ćeliji); -elementi koji množe signal s pripadajućim koeficijentom.
Dijagram prikazan na sl. 4.3 nije električni krug digitalnog filtra; Ovaj dijagram je grafički prikaz algoritma digitalnog filtriranja i prikazuje slijed aritmetičkih operacija koje se izvode tijekom obrade signala.
Riža. 4.3. Nerekurzivni sklop digitalnog filtera
Za digitalne filtere koji obrađuju signale u obliku apstraktnih numeričkih nizova, koncept "vremenske odgode" nije sasvim točan. Stoga su elementi koji kašne signal za jednu ćeliju obično označeni na sklopovima digitalnog filtera simbolom koji označava kašnjenje signala u jeziku -transformacija. U nastavku ćemo se pridržavati ove oznake.
Vratimo se krugu digitalnog filtera prikazanom na sl. 4.3, Takvi filtri, gdje se za izračun koriste samo vrijednosti ulaznog signala, nazivaju se jednostavni ili nerekurzivni.
Algoritam nerekurzivnog filtra lako je napisati ako je poznat impulsni odziv filtra. Za praktičnu implementaciju algoritma potrebno je da impulsni odziv sadrži konačan broj članova. Ako impulsni odgovor sadrži beskonačan broj izraza, ali oni brzo opadaju u vrijednosti, tada se možete ograničiti na konačan broj pojmova, odbacujući one čije su vrijednosti male. Ako elementi impulsnog odziva ne opadaju u vrijednosti, algoritam nerekurzivnog filtra ispada neostvariv.
Riža. 4.4. -lanac
Kao primjer, razmotrite najjednostavniji digitalni filtar, sličan -krugu (slika 4.4). Impulsni odziv sklopa ima oblik
Da bi se zapisao impulsni odziv odgovarajućeg digitalnog filtra, izraz treba zamijeniti s Međutim, impulsni odziv sklopa ima dimenziju, a impulsni odziv digitalnog filtra mora biti bez dimenzija. Stoga izostavljamo množitelj u izrazu (4.2) i zapisujemo impulsni odziv digitalnog filtra u obliku
Takav impulsni odziv sadrži beskonačno mnogo članova, ali njihova veličina opada prema eksponencijalnom zakonu, te se možemo ograničiti na članove, birajući tako da
Sada možemo napisati izraz za signal na izlazu filtera
Ovaj izraz je također algoritam digitalnog filtra. Dijagram ovog filtera prikazan je na sl. 4.5.
Drugi pristup analizi procesa u digitalnim filtrima sličan je operatorskoj metodi analize konvencionalnih analognih sklopova, samo što se umjesto Laplaceove transformacije koristi -transformacija.
Riža. 4.5. Sklop nerekurzivnog digitalnog filtra sličan -sklopu
Definirajmo parametar digitalnog filtra sličan prijenosnoj funkciji električnog kruga. Da biste to učinili, primijenite transformaciju na impulsni odziv digitalnog filtra:
Funkcija se naziva funkcija filtera sustava.
Sukladno izrazu (4.1), signal na izlazu digitalnog filtra jednak je diskretnoj konvoluciji ulaznog signala i impulsnom odzivu filtra. Primjenom teorema o konvoluciji na ovaj izraz dobivamo da je transformacija izlaznog signala jednaka transformaciji ulaznog signala pomnoženoj s funkcijom filtra sustava:
Dakle, funkcija sustava igra ulogu funkcije prijenosa digitalnog filtra.
Kao primjer, pronađimo funkciju sustava digitalnog filtra prvog reda sličnog -krugu:
Treća metoda analize prolaska signala kroz digitalne filtre slična je klasičnoj metodi diferencijalnih jednadžbi. Razmotrimo ovu metodu na primjeru lanaca naloga.
Najjednostavniji analogni krug 1. reda je -krug (vidi sl. 4.4), prolaz signala kroz koji je opisan diferencijalnom jednadžbom
Za diskretni krug umjesto diferencijalne jednadžbe (4.8) treba napisati diferencijsku jednadžbu, gdje su ulazni i izlazni signali specificirani za diskretne trenutke vremena, a umjesto derivacije razlika susjednih vrijednosti signala pojaviti se. Za diskretni krug 1. reda, jednadžba razlike može se napisati u prilično općem obliku
Primijenimo transformaciju na jednadžbu
gdje nalazimo funkciju filtera sustava
Formula (4.10) je prilično općeniti izraz za funkciju sustava digitalnog filtra 1. reda. Kada se podudara s prethodno dobivenim izrazom (4.7) za funkciju sustava digitalnog filtra ekvivalentnog -krugu.
Nađimo algoritam digitalnog filtriranja koji odgovara funkciji sustava (4.10). Da bismo to učinili, rješavamo jednadžbu (4.9) za
Ekvivalentni dijagram ovog algoritma prikazan je na sl. 4.6. U usporedbi s nerekurzivnim filtrom (vidi sl. 4.5), ovdje je dodan svojevrsni "krug povratne veze", što znači da se vrijednosti izlaznog signala koriste u naknadnom
Riža. 4.6. Sklop rekurzivnog digitalnog filtra sličan -sklopu
kalkulacije. Filtri ovog tipa nazivaju se rekurzivni.
Algoritam (4.11) odgovara filtru koji je potpuno ekvivalentan ranije razmatranom nerekurzivnom filtru. Ali za određivanje jedne vrijednosti izlaznog signala korištenjem nerekurzivnog filtarskog algoritma (4.4) potrebno je izvršiti operacije, a kod korištenja rekurzivnog filtarskog algoritma (4.11) potrebne su samo dvije operacije. Ovo je glavna prednost rekurzivnih filtera. Osim toga, rekurzivni filteri omogućuju obradu signala s većom točnošću, budući da omogućuju ispravniju implementaciju impulsnog odziva bez odbacivanja njegovog "repa". Rekurzivni filtri omogućuju implementaciju algoritama koji se uopće ne mogu implementirati pomoću nerekurzivnih filtara. Na primjer, s filtrom koji radi prema krugu na Sl. 4.6, u biti je idealan akumulator-integrator i ima impulsni odziv oblika. Filtar s takvom karakteristikom ne može se implementirati korištenjem nerekurzivne sheme.
Razmotreni primjeri pokazuju da nema smisla koristiti nerekurzivne algoritme za izradu digitalnih filtara s dugim impulsnim odzivom. U tim slučajevima prikladnije je koristiti rekurzivne filtre.
Područje primjene nerekurzivnih algoritama je implementacija digitalnih filtara s impulsnim odzivom koji sadrži mali broj članova. Primjer je najjednostavniji diferencijator čiji je izlazni signal jednak prirastu ulaznog signala:
Krug takvog digitalnog filtra prikazan je na sl. 4.7.
Riža. 4.7. Strujni krug najjednostavnijeg digitalnog diferencijatora
Razmotrimo sada opći digitalni filtar, koji je opisan jednadžbom
Ova se jednadžba može smatrati i diferentnom jednadžbom reda i algoritmom digitalnog filtriranja, ako se prepiše drugačije, naime
Riža. 4.8. Rekurzivni krug filtera digitalnog reda
Algoritam (4.13) odgovara krugu prikazanom na sl. 4.8. Nađimo funkciju sustava takvog filtra. Da biste to učinili, primijenite transformaciju na jednadžbu:
Izraz (4.14) omogućuje nam uspostavljanje veze između fluktuacija elemenata kruga filtera i funkcije sustava. Koeficijenti u brojniku funkcije sustava određuju vrijednosti koeficijenata za
(u nerekurzivnom dijelu filtra), a koeficijenti u nazivniku određuju rekurzivni dio filtra.
Sve je počelo kada je prijatelj prijatelja prijatelja trebao pomoć s tim istim filterima. Putem Jedija, glasine o tome došle su do mene, odjavio sam pretplatu u komentarima na post na poveznici. Činilo se da pomaže. Pa nadam se.
Ova priča mi je probudila sjećanja na treći, ili nešto poput tečaja, kada sam i sam polagao DSP, i potaknula me da napišem članak za sve one koje zanima kako rade digitalni filtri, ali koji su naravno uplašeni prekomjernim -vrhunske formule i psihodelični crteži u (već ne govorim o udžbenicima).
Općenito, prema mom iskustvu, situacija s udžbenicima opisuje se dobro poznatom rečenicom da se ponekad od drveća ne vidi šuma. A to će reći, kad vas odmah počnu plašiti Z-transformacijom i formulama za dijeljenje polinoma, koje su često duže od dvije ploče, interes za temu iznimno brzo presuši. Počet ćemo s jednim jednostavnim; srećom, da bismo razumjeli što se događa, uopće nije potrebno opisivati dugačke složene izraze.
Dakle, prvo, nekoliko jednostavnih osnovnih pojmova.
1. Impulsni odziv.
Recimo da imamo kutiju s četiri igle. Nemamo pojma što je unutra, ali sigurno znamo da su dva lijeva terminala ulaz, a dva desna izlaz. Pokušajmo na njega primijeniti vrlo kratak impuls vrlo velike amplitude i vidjeti što se događa na izlazu. Pa, nije jasno što je unutar ovog kvadripola, jer nije jasno kako to opisati, ali barem ćemo nešto vidjeti.
Ovdje treba reći da se kratki (općenito govoreći beskonačno kratak) impuls velike (općenito govoreći beskonačne) amplitude u teoriji naziva delta funkcija. Usput, smiješno je to što je sastavni dio ovoga beskrajan funkcija je jednaka jedan. Ovo je normalizacija.
Dakle, ono što smo vidjeli na izlazu kvadripolne mreže, primijenivši delta funkciju na ulaz, zove se impulsni odziv ovaj četveropol. Za sada, doduše, nije jasno kako će nam to pomoći, no prisjetimo se dobivenog rezultata i prijeđimo na sljedeći zanimljiv koncept.
2. Konvolucija.
Ukratko, konvolucija je matematička operacija koja se svodi na integriranje produkta funkcija:
Kao što vidite, označeno je zvjezdicom. Također možete vidjeti da se tijekom konvolucije jedna funkcija uzima u svom "naprijed" redoslijedu, a mi prolazimo kroz drugu "straga prema naprijed". Naravno, u diskretnom slučaju, koji je za čovječanstvo vrjedniji, konvolucija, kao i svaki integral, ide u zbrajanje:
Činilo bi se kao neka dosadna matematička apstrakcija. No, zapravo je zavežljaj možda najčarobniji fenomen ovoga svijeta, drugi po nevjerojatnosti iza rođenja čovjeka, s jedinom razlikom što većina ljudi sazna odakle dolaze djeca barem do godine. osamnaest, dok o tome što je konvolucija i zašto je korisna i nevjerojatna, ogroman dio Zemljine populacije nema apsolutno pojma cijeli život.
Dakle, snaga ove operacije leži u činjenici da ako je f bilo koji proizvoljni ulazni signal, a g je impulsni odziv mreže s četiri ulaza, tada će rezultat konvolucije ovih dviju funkcija biti sličan onome što bismo dobiti propuštanjem signala f kroz ovu mrežu s četiri priključka.
Odnosno, impulsni odziv je potpuni odljev svih svojstava mreže s četiri ulaza u odnosu na ulazni učinak, a konvolucija ulaznog signala s njim omogućuje vam vraćanje odgovarajućeg izlaznog signala. Po mom mišljenju, ovo je jednostavno nevjerojatno!
3. Filtri.
Možete učiniti puno zanimljivih stvari s impulsnim odzivom i konvolucijom. Na primjer, ako je signal audio, možete organizirati reverb, echo, chorus, flanger i još mnogo, mnogo više; možete razlikovati i integrirati... Općenito, možete stvoriti bilo što. Za nas je sada najvažnije da se filtri, naravno, mogu lako dobiti i pomoću konvolucije.
Sam digitalni filtar je konvolucija ulaznog signala s impulsnim odzivom koji odgovara željenom filtru.
Ali, naravno, impulsni odgovor mora se nekako dobiti. Mi smo, naravno, već smislili kako to izmjeriti gore, ali u takvom zadatku nema malo smisla u tome - ako smo već sastavili filtar, zašto mjeriti bilo što drugo, možemo ga koristiti kakav jest. A, osim toga, najvažnija vrijednost digitalnih filtara je što mogu imati karakteristike koje su u stvarnosti nedostižne (ili vrlo teško postići) - na primjer, linearna faza. Dakle, ovdje uopće nema načina za mjerenje, samo morate brojati.
4. Dobivanje impulsnog odziva.
U ovom trenutku, u većini publikacija na tu temu, autori čitatelju počinju svaliti brda Z-transformacija i razlomaka iz polinoma, potpuno ga zbunjujući. Neću to činiti, samo ću ukratko objasniti o čemu se radi i zašto to u praksi nije toliko potrebno progresivnoj javnosti.
Recimo da smo odlučili što želimo od filtra i napravili jednadžbu koja ga opisuje. Zatim, da biste pronašli impulsni odziv, možete zamijeniti delta funkciju u izvedenu jednadžbu i dobiti željenu. Jedini problem je kako to učiniti, jer je delta funkcija u vremenu O regija je dana lukavim sustavom, i općenito ima svakakvih beskonačnosti. Tako da u ovoj fazi sve ispada užasno teško.
Tu se događa da se sjete da postoji nešto poput Laplaceove transformacije. Samo po sebi to nije pola kilograma grožđica. Jedini razlog zašto se to tolerira u radiotehnici je upravo činjenica da se u prostoru argumentacije na koju je ta transformacija prijelaz, neke stvari zapravo pojednostavljuju. Konkretno, ista delta funkcija koja nam je zadala toliko problema u vremenskoj domeni vrlo se lako izražava - tu je samo jedna!
Z-transformacija (aka Laurentova transformacija) je verzija Laplaceove transformacije za diskretne sustave.
To jest, primjenom Laplaceove transformacije (ili Z-transformacije, prema potrebi) na funkciju koja opisuje željeni filtar, zamjenom jednog u rezultirajući i transformacijom natrag, dobivamo impulsni odziv. Zvuči jednostavno, svatko može probati. Neću riskirati, jer, kao što je već spomenuto, Laplaceova transformacija je surova stvar, pogotovo obrnuta. Ostavimo to kao posljednju opciju i potražit ćemo neke jednostavnije načine da dobijemo ono što tražimo. Ima ih nekoliko.
Prvo, možemo se prisjetiti još jedne nevjerojatne prirodne činjenice - karakteristike amplitude-frekvencije i impulsa povezane su jedna s drugom dobrom i poznatom Fourierovom transformacijom. To znači da možemo nacrtati bilo koji frekvencijski odziv po našem ukusu, uzeti iz njega inverznu Fourierovu transformaciju (bilo kontinuiranu ili diskretnu) i dobiti impulsni odziv sustava koji ga implementira. Ovo je jednostavno nevjerojatno!
To, međutim, neće biti bez problema. Prvo, impulsni odgovor koji dobivamo najvjerojatnije će biti beskonačan (neću ulaziti u objašnjenja zašto; tako svijet funkcionira), pa ćemo morati donijeti voljnu odluku da ga prekinemo u nekom trenutku (podešavanje jednaka je nuli iza te točke). Ali to se neće dogoditi tek tako - posljedica toga, kao što se i očekivalo, bit će izobličenje frekvencijskog odziva izračunatog filtra - on će postati valovit, a frekvencijska granica će biti zamagljena.
Kako bi se ti učinci sveli na najmanju moguću mjeru, različite funkcije prozora za izglađivanje primjenjuju se na skraćeni impulsni odziv. Kao rezultat toga, frekvencijski odziv je obično još više zamućen, ali neugodne (osobito u propusnom pojasu) oscilacije nestaju. 
Zapravo, nakon takve obrade dobivamo radni impulsni odziv i možemo izgraditi digitalni filtar.
Druga metoda izračuna još je jednostavnija - impulsni odzivi najpopularnijih filtara odavno su nam izraženi u analitičkom obliku. Sve što ostaje je zamijeniti svoje vrijednosti i primijeniti funkciju prozora na rezultat prema vašoj želji. Dakle, ne morate niti razmišljati o bilo kakvim transformacijama.
I, naravno, ako je cilj oponašati ponašanje određenog kruga, možete dobiti njegov impulsni odziv u simulatoru:
Ovdje sam primijenio impuls od 100500 volti (da, 100,5 kV) u trajanju od 1 μs na ulaz RC kruga i dobio njegov impulsni odziv. Jasno je da se to ne može učiniti u stvarnosti, ali u simulatoru ova metoda, kao što vidite, radi odlično.
5. Bilješke.
Ono što je gore rečeno o skraćivanju impulsnog odziva odnosilo se, naravno, na tzv. filtri s konačnim impulsnim odzivom (FIR/FIR filtri). Imaju hrpu vrijednih svojstava, uključujući linearnu fazu (pod određenim uvjetima za konstruiranje impulsnog odziva), što osigurava odsutnost izobličenja signala tijekom filtriranja, kao i apsolutnu stabilnost. Postoje i filtri s beskonačnim impulsnim odzivom (IIR/IIR filtri). Oni su manje resursno intenzivni u smislu izračuna, ali više nemaju navedene prednosti.
Nadam se da ću u sljedećem članku pogledati jednostavan primjer praktične primjene digitalnog filtra.
NOVOSIBIRSKO DRŽAVNO TEHNIČKO SVEUČILIŠTE
FAKULTET AUTOMATIZACIJE I RAČUNALSTVA
Odjel za sustave prikupljanja i obrade podataka
Disciplina "Teorija i obrada signala"
LABORATORIJSKI RAD BR.10
DIGITALNI FILTRI
S KARAKTERISTIKOM KONAČNOG IMPULSA
Skupina: AT-33
Opcija: 1 Učitelj, nastavnik, profesor:
Student: Shadrina A.V. Izv. Shchetinin Yu.I.
Cilj rada: proučavanje metoda za analizu i sintezu filtara s konačnim impulsnim odzivom korištenjem prozorskih funkcija izglađivanja.
Završetak radova:
1. Grafički prikazi impulsnog odziva niskopropusnog FIR filtra s graničnom frekvencijom pravokutnog prozora za vrijednosti duljine filtra i .
Impulsni odziv idealnog diskretnog FIR filtra ima beskonačnu duljinu i nije nula za negativne vrijednosti:
.
Kako bi se dobio fizički izvediv filtar, treba ograničiti impulsni odziv na konačan broj, a zatim pomaknuti skraćeni odziv udesno za određeni iznos.
Vrijednost je duljina (veličina) filtra, 
– redoslijed filtera.
Matlab skripta (labrab101.m)
N = input("Unesite duljinu filtra N = ");
h = sin(wc.*(n-(N-1)/2))./(pi.*(n-(N-1)/2));
xlabel("Referentni broj, n")
>> podzaplet(2,1,1)
>> labrab101
Unesite duljinu filtra N = 15
>> title("Impulsni odziv FIR filtra za N=15")
>> podzaplet(2,1,2)
>> labrab101
Unesite duljinu filtra N = 50
>> title("Impulsni odziv FIR filtra za N=50")
Sl. 1. Grafički prikazi impulsnog odziva niskopropusnog FIR filtra s graničnom frekvencijom pravokutnog prozora za vrijednosti duljine filtra i
Komentar: Ako frekvencijski odziv digitalnog filtra smatramo Fourierovim redom: 
, tada će koeficijenti ove serije predstavljati vrijednosti impulsnog odziva filtra. U ovom slučaju, Fourierov niz je skraćen u prvom slučaju na , au drugom na , a zatim su skraćene karakteristike pomaknute duž osi uzorka udesno kako bi se dobio kauzalni filtar. Kada je širina glavnog režnja 2, a kada - 1, tj. Kako se duljina filtra povećava, glavni režanj impulsnog odziva se sužava. Ako uzmemo u obzir razinu bočnih režnjeva (koristeći ), tada s povećanjem povećava apsolutnu vrijednost od do . Stoga možemo zaključiti da kada se koristi aproksimacija idealnog frekvencijskog odziva filtra s pravokutnim prozorom, nemoguće je istovremeno suziti glavni režanj (i time smanjiti prijelazno područje) i smanjiti razine bočnih režnja (smanjiti valovitost u propusnom pojasu i zaustavnom pojasu filtra). Jedini kontrolirani parametar pravokutnog prozora je njegova veličina, s kojom možete utjecati na širinu glavnog režnja, međutim, to nema previše utjecaja na bočne režnjeve.
2. Izračun DVFT karakteristika impulsa iz koraka 1 pomoću funkcije. Grafikoni njihovog frekvencijskog odziva na linearnoj skali iu decibelima za 512 frekvencijski uzorci. Prolazni pojas, prijelazni pojas i zaustavni pojas filtra. Utjecaj reda filtra na širinu prijelaznog pojasa i razinu valovitosti frekvencijskog odziva u pojasu prolaza i zaustavljanja.
Matlab funkcija (DTFT.m)
funkcija = DTFT(x,M)
N = max(M, duljina(x));
% Smanjenje FFT-a na veličinu 2^m
N = 2^(ceil(log(N)/log(2))));
% Izračunajte ft
% Vektor frekvencije
w = 2*pi*((0:(N-1))/N);
w = w - 2*pi*(w>=pi);
% Pomak FFT za raspon od -pi do +pi
X = fftshift(X);
w = fftshift(w);
Matlab skripta (labrab102.m)
h1 = sin(wc.*(n1-(N1-1)/2))./(pi.*(n1-(N1-1)/2));
h2 = sin(wc.*(n2-(N2-1)/2))./(pi.*(n2-(N2-1)/2));
DTFT(h1,512);
DTFT(h2,512);
plot(w./(2*pi),abs(H1)./max(abs(H1)),,"r")
xlabel("f, Hz"), ylabel("|H1|/max(|H1|)"), mreža
plot(w./(2*pi),abs(H2)./max(abs(H2)),,"b")
xlabel("f, Hz"), ylabel("|H2|/max(|H2|)"), mreža
dijagram (w./(2*pi),20*log10(abs(H1)),,"r")
title("Frekvencijski odziv niskopropusnog FIR filtra s pravokutnim prozorom za N = 15")
xlabel("f, Hz"), ylabel("20lg(|H1|), dB"), mreža
dijagram (w./(2*pi),20*log10(abs(H2)),"b")
title("Frekvencijski odziv niskopropusnog FIR filtra s pravokutnim prozorom za N = 50")
xlabel("f, Hz"), ylabel("20lg(|H2|), dB"), mreža
sl.2. Dijagrami frekvencijskog odziva niskopropusnog FIR filtra s pravokutnom prozorskom graničnom frekvencijom za vrijednosti duljine filtra i na linearnoj skali
sl.3. Dijagrami frekvencijskog odziva niskopropusnog FIR filtra s graničnom frekvencijom pravokutnog prozora za vrijednosti duljine filtra i na logaritamskoj skali
Komentar:
Stol 1. Raspon propusnog pojasa, prijelaznog područja i zaustavnog pojasa za duljinu filtra i
|
Duljina filtra |
Širina pojasa, Hz |
Prijelazno područje, Hz |
Zaustavni pojas, Hz |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Predavanje br.10 "Digitalni filtri s konačnim impulsnim odzivom" Prijenosna funkcija fizički ostvarivog digitalnog filtra s konačnim impulsnim odzivom (FIR filtar) može se prikazati kao (10.1). Zamjenom u izrazu (10.1) dobivamo frekvencijski odziv FIR filtra u obliku Gdje Kašnjenje faze filtar je definiran kao Grupno kašnjenje filtar je definiran kao Posebnost FIR filtara je mogućnost implementacije konstantnih faznih i grupnih kašnjenja, tj. linearni fazni odziv (10.5), gdje - konstantno. Ako je ovaj uvjet zadovoljen, signal koji prolazi kroz filter ne iskrivljuje njegov oblik. Za izvođenje uvjeta koji osiguravaju linearni fazni odziv, zapisujemo frekvencijski odziv FIR filtra uzimajući u obzir (10.5) Izjednačavanjem realnog i imaginarnog dijela te jednakosti dobivamo Dijeleći drugu jednadžbu s prvom, dobivamo Napokon možemo pisati Ova jednadžba ima dva rješenja. Prvo kada a =0 odgovara jednadžbi Ova jednadžba ima jedinstveno rješenje koje odgovara proizvoljnoj h (0) (sin (0)=0), i h (n)=0 za n >0. Ovo rješenje odgovara filtru čiji impulsni odziv ima jedan uzorak različit od nule u početnom trenutku. Takav filter nije od praktičnog interesa. Naći ćemo drugo rješenje za. U ovom slučaju, križnim množenjem brojnika i nazivnika u (10.8) dobivamo (10.11). Odavde imamo Budući da ova jednadžba ima oblik Fourierovog reda, njezino je rješenje, ako postoji, jedinstveno. Lako je vidjeti da rješenje ove jednadžbe mora zadovoljavati uvjete (10.13), (10.14). Iz uvjeta (10.13) slijedi da za svaki red filtara N postoji samo jedno kašnjenje faze a , pri čemu se može postići stroga linearnost faznog odziva. Iz uvjeta (10.14) slijedi da impulsni odziv filtra mora biti simetričan oko točke za neparan N , i u odnosu na središnju točku intervala (sl. 10.1).
Frekvencijski odziv takvog filtra (za neparne N ) može se napisati u obliku (10.15). Zamjena u drugom iznosu m = N -1- n, dobivamo (10.16). Budući da je h (n) = h (N -1- n ), tada se dva zbroja mogu kombinirati Zamjenjujući , dobivamo (10.18). Ako odredimo onda konačno možemo pisati Dakle, za filtar s linearnim faznim odzivom imamo Za slučaj čak N slično ćemo imati Zamjenom u drugom zbroju dobivamo Izrada zamjene, dobivamo (10.24). Naznačivši konačno ćemo imati Dakle, za FIR filter s linearnim faznim odzivom i ravnomjernim redom N se može napisati U nastavku, radi jednostavnosti, razmatrat ćemo samo filtre s neparnim redoslijedom. Prilikom sintetiziranja prijenosne funkcije filtra, početni parametri, u pravilu, su zahtjevi za frekvencijski odziv. Postoje mnoge tehnike za sintetiziranje FIR filtera. Pogledajmo neke od njih. Budući da je frekvencijski odziv bilo kojeg digitalnog filtra periodična funkcija frekvencije, može se prikazati kao Fourierov niz gdje su koeficijenti Fourierovog niza jednaki Vidi se da koeficijenti Fourierovog niza h(n ) podudaraju se s koeficijentima impulsnog odziva filtra. Dakle, ako je poznat analitički opis potrebnog frekvencijskog odziva filtra, tada je moguće jednostavno odrediti koeficijente impulsnog odziva, a iz njih i prijenosnu funkciju filtra. Međutim, u praksi to nije izvedivo, budući da impulsni odziv takvog filtra ima beskonačnu duljinu. Osim toga, takav filtar nije fizički moguće ostvariti budući da impulsni odziv počinje na -¥ , i nikakva konačna odgoda neće učiniti ovaj filtar fizički ostvarivim. Jedna od mogućih metoda za dobivanje FIR filtra koji aproksimira dati frekvencijski odziv je skraćivanje beskonačnog Fourierovog niza i impulsnog odziva filtra, pod pretpostavkom da h (n)=0 na . Zatim Fizička ostvarivost prijenosne funkcije H(z ) može se postići množenjem H(z) na . Gdje (10.32). S takvom modifikacijom prijenosne funkcije amplitudna karakteristika filtra se ne mijenja, a grupno kašnjenje se povećava za konstantan iznos. Kao primjer, izračunajmo niskopropusni FIR filtar s frekvencijskim odzivom oblika Sukladno (10.29), koeficijenti impulsnog odziva filtra opisani su izrazom Sada iz (10.31) možemo dobiti izraz za prijenosnu funkciju Gdje (10.36). Amplitudne karakteristike izračunatog filtra za razne N prikazani su na slici 10.2.
sl.10.2 Valovitost u propusnom pojasu i zaustavnom pojasu javlja se zbog spore konvergencije Fourierovog niza, što je pak uzrokovano prisutnošću diskontinuiteta u funkciji na graničnoj frekvenciji propusnog pojasa. Ove pulsacije su poznate kao Gibbsovo mreškanje. Iz slike 10.2 jasno je da s porastom N frekvencija pulsiranja se povećava, a amplituda smanjuje i na nižim i na višim frekvencijama. Međutim, amplituda posljednje valovitosti u propusnom pojasu i prve valovitosti u zaustavnom pojasu ostaju praktički nepromijenjeni. U praksi su takvi učinci često nepoželjni, što zahtijeva pronalaženje načina za smanjenje Gibbsovih pulsacija. Skraćeni impulsni odziv h(n ) može se predstaviti kao umnožak potrebnog beskonačnog impulsnog odziva i nekih funkcije prozora w (n) duljine n (slika 10.3).
U razmatranom slučaju jednostavnog skraćivanja Fourierovog niza koristimo pravokutni prozor U ovom slučaju, frekvencijski odziv filtra može se prikazati kao složena konvolucija To znači da će to biti "zamućena" verzija tražene karakteristike. Problem se svodi na pronalaženje prozorskih funkcija koje omogućuju smanjenje Gibbsovog valovanja s istom selektivnošću filtera. Da biste to učinili, prvo morate proučiti svojstva funkcije prozora na primjeru pravokutnog prozora. Spektar funkcije pravokutnog prozora može se napisati kao Spektar funkcije pravokutnog prozora prikazan je na slici 10.4.
sl.10.4 Budući da je pri , širina glavnog režnja spektra ispada da je jednaka . Prisutnost bočnih snopova u spektru funkcije prozora dovodi do povećanja Gibbsovog valovanja u frekvencijskom odzivu filtra. Da bi se postiglo nisko valovitost u propusnom pojasu i visoko prigušenje u zaustavnom pojasu, potrebno je da područje ograničeno bočnim režnjevima bude mali dio područja ograničenog glavnim režnjevima. Zauzvrat, širina glavnog režnja određuje širinu prijelazne zone rezultirajućeg filtra. Za visoku selektivnost filtra, širina glavnog režnja treba biti što manja. Kao što se može vidjeti iz gore navedenog, širina glavnog režnja se smanjuje s povećanjem reda filtra. Stoga se svojstva odgovarajućih funkcija prozora mogu formulirati na sljedeći način: - funkcija prozora mora biti vremenski ograničena; - spektar prozorske funkcije trebao bi najbolje odgovarati frekvencijski ograničenoj funkciji, tj. imaju minimalnu energiju izvan glavnog režnja; - Širina glavnog režnja spektra funkcije prozora trebala bi biti što manja. Najčešće korištene funkcije prozora su: 1. Pravokutni prozor. Razmotreno gore. 2. Hammingov prozor. Gdje . Ovaj prozor se zove Hannov prozor ( hanning). 3. Blackmanov prozor. 4. Bartlettov prozor. Pokazatelji filtara izgrađenih pomoću navedenih funkcija prozora sažeti su u tablici 10.1.
Faktor valovitosti definiran je kao omjer maksimalne amplitude bočnog snopa i amplitude glavnog snopa u spektru funkcije prozora. Za odabir potrebnog redoslijeda filtara i najprikladnije funkcije prozora pri izračunu stvarnih filtara, možete koristiti podatke u tablici 10.2.
Kao što se može vidjeti iz tablice 10.1, postoji određeni odnos između koeficijenta valovitosti i širine glavnog režnja u spektru funkcije prozora. Što je manji koeficijent pulsiranja, veća je širina glavnog režnja, a time i prijelazna zona u frekvencijskom odzivu filtra. Da bi se osigurala niska valovitost u propusnom pojasu, potrebno je odabrati prozor s odgovarajućim koeficijentom valovitosti, te osigurati potrebnu širinu prijelazne zone s povećanim redom filtera N. Ovaj problem se može riješiti pomoću prozora koji je predložio Kaiser. Kaiserova prozorska funkcija ima oblik
gdje je a nezavisni parametar,
Atraktivno svojstvo Kaiserovog prozora je mogućnost glatke promjene koeficijenta pulsiranja od malih do velikih vrijednosti, dok se mijenja samo jedan parametar a. U ovom slučaju, kao i za druge funkcije prozora, širina glavnog režnja može se prilagoditi redoslijedom filtera N. Glavni parametri postavljeni prilikom razvoja pravog filtra su: Širina pojasa - w p ; Traka s preprekama - w a ; Najveća dopuštena valovitost u propusnom pojasu je A p ; Minimalno prigušenje u pojasu zaustavljanja – A a ; -učestalost uzorkovanja - ws. Ovi parametri su ilustrirani na slici 10.5. U ovom slučaju, najveća valovitost u propusnom pojasu određena je kao
a minimalno prigušenje u zaustavnom pojasu je kao Relativno jednostavan postupak za izračun filtra s Kaiserovim prozorom uključuje sljedeće korake: 1. Određuje se impulsni odziv filtra h (n), pod uvjetom da je frekvencijski odziv idealan
gdje je (10.49). 2. Parametar d je odabran kao
Gdje 3. Prava vrijednost A a i A p izračunava se pomoću formula (10.46), (10.47). 4. Parametar a je odabran kao
5. Parametar D je odabran kao
6. Odaberite najmanju neparnu vrijednost redoslijeda filtera iz uvjeta
slijedi to Budući da su uzorci impulsnog odziva filtra koeficijenti njegove prijenosne funkcije, uvjet (10.59) znači da kodovi svih koeficijenata filtra sadrže samo razlomački dio i bit predznaka, a ne cjelobrojni dio. Broj znamenki frakcijskog dijela koeficijenata filtra određuje se iz uvjeta zadovoljenja prijenosne funkcije filtra s kvantiziranim koeficijentima, specificiranih zahtjeva za približavanje referentnoj prijenosnoj funkciji s točnim vrijednostima koeficijenata. Apsolutne vrijednosti uzoraka ulaznog signala filtra obično se normaliziraju tako da Ako se analiza provodi za FIR filtar s linearnim faznim odzivom, tada algoritam za izračunavanje njegovog izlaznog signala može biti sljedeći gdje su koeficijenti filtera zaokruženi na s k. Ovaj algoritam odgovara blok dijagramu filtera prikazanom na sl. 10.5.
Postoje dva načina implementacije ovog algoritma. U prvom slučaju sve operacije množenja izvode se točno i nema zaokruživanja proizvoda. U ovom slučaju dubina bita produkata jednaka je s in + s k, gdje je s in dubina bita ulaznog signala, a s k dubina bita koeficijenata filtra. U ovom slučaju, blok dijagram filtra prikazan na sl. 10.5 točno odgovara stvarnom filtru. U drugom načinu implementacije algoritma (10.61) svaki rezultat operacije množenja je zaokružen, tj. proizvodi su izračunati s određenom greškom. U tom slučaju potrebno je promijeniti algoritam (10.61) tako da se u obzir uzme pogreška nastala zaokruživanjem proizvoda Ako se vrijednosti uzorka izlaznog signala filtra izračunaju pomoću prve metode (s točnim vrijednostima proizvoda), tada se disperzija izlaznog šuma određuje kao
oni. ovisi o varijanci šuma zaokruživanja ulaznog signala i vrijednostima koeficijenata filtra. Odavde možete pronaći potreban broj bitova ulaznog signala kao
Koristeći poznate vrijednosti s in i s k, može se odrediti broj bitova potrebnih za razlomački dio koda izlaznog signala kao Ako se vrijednosti uzoraka izlaznog signala izračunaju pomoću druge metode, kada je svaki umnožak zaokružen na s d znamenki, tada se disperzija šuma zaokruživanja koju stvara svaki od množitelja može izraziti u smislu kapaciteta znamenki proizvod kao DR in i omjer signal/šum na izlazu filtera SNR out. Dinamički raspon ulaznog signala u decibelima definiran je kao
gdje su A max i A min maksimalne i minimalne amplitude ulaznog signala filtra. Omjer signala i šuma na izlazu filtra, izražen u decibelima, definiran je kao
određuje srednju kvadratnu vrijednost snage izlaznog sinusnog signala filtra s amplitudom A min, i (10.77) određuje snagu šuma na izlazu filtra. Iz (10.75) i (10.76) s A max =1 dobivamo izraz za disperziju izlaznog šuma filtra Ova vrijednost disperzije izlaznog šuma filtra može se koristiti za izračunavanje dubine bita ulaznih i izlaznih signala filtra.  Svijet besplatnih programa i korisnih savjeta 2024 whatsappss.ru | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(10.2),
- amplitudno-frekvencijski odziv (AFC) filtar,
- fazno-frekvencijski odziv (PFC) filtar.
(10.3).
(10.4).
(10.6).
(10.7).
(10.8).
(10.9).
(10.10).
(10.12).
(10.17).
(10.19),
(10.20).
(10.21).
(10.22).
(10.23).
(10.25),
(10.26).
(10.27).
(10.28),
(10.29).
(10.30).
(10.31),
(10.33).
(10.34).
(10.35),
(10.37).
(10.38).
(10.39).
(10.40).
(10.41),
(10.42).
(10.43).
(10.44),
, I 0 – Besselova funkcija prve vrste nultog reda definirana izrazom
(10.45).
(10.46),
(10.50),
(10.51).
(10.52).
(10.53).
(10.54),
(10.57)
(10.66),
(10.67).
(10.74),
(10.75),
(10.78).