16 Matematičke šeme za modeliranje sistema.

Osnovni pristupi konstruisanju matematičkih modela sistema. Kontinuirano deterministički modeli. Diskretno-deterministički modeli. Diskretno-stohastički modeli. Kontinuirano-stohastički modeli. Mrežni modeli. Kombinovani modeli.

Osnovni pristupi konstruisanju matematičkih modela sistema.

Početna informacija pri konstruisanju matematičkih modela procesa funkcionisanja sistema su podaci o nameni i uslovima rada sistema koji se proučava (projektira) S.

Matematičke šeme

Realni procesi su prikazani u obliku specifičnih dijagrama. Mat. dijagrami – prelazak sa smislenog opisa na formalni opis sistema, uzimajući u obzir uticaj okoline.

Formalni objektni model

simulacijski objektni model,

odnosno sistemi S, može se predstaviti kao skup veličina,

opisivanje procesa funkcionisanja i formiranja realnog sistema

općenito slijedeći podskupovi:

· totalitet ulazni uticaji po sistemu

Xi,eH,(e-lik pripada)i=1; nx

· totalitet uticaje životne sredine

vl eVl=1;nv

· totalitet interni (vlastiti) parametri sistemima

hkeHk=1;nh

· totalitet izlazne karakteristike sistemima

yJeYj=1;ny

Mogu se razlikovati varijable koje se mogu kontrolirati i koje se ne mogu kontrolirati.

Prilikom modeliranja sistema, ulazni uticaji, spoljašnji uticaji okoline i unutrašnji parametri sadrže i determinističke i stohastičke komponente.

ulazni uticaji, uticaji okoline E a unutrašnji parametri sistema su nezavisne (egzogene) varijable.

Proces rada sistema S na vrijeme opisao operater fs, koji generalno transformiše egzogene varijable u endogene u skladu sa relacijama oblika:

y(t)=Fs(x,v, h,t) – sve sa vekTori.

Radni zakon sistema Fs može se specificirati u obliku funkcije, funkcionalnih, logičkih uslova, u algoritamskom i tabelarnom obliku ili u obliku verbalnog pravila korespondencije.

Koncept algoritma funkcionisanja As - metoda za dobijanje izlaznih karakteristika uzimajući u obzir ulazne uticaje, spoljašnje uticaje okoline i sopstvene parametre sistema.

Uvode se i stanja sistema - svojstva sistema u određenim vremenskim trenucima.

Skup svih mogućih vrijednosti stanja čini prostor stanja objekta.

Dakle, lanac jednačina objekta "ulaz - stanja - izlaz" omogućava nam da odredimo karakteristike sistema:

Dakle, pod matematički model objekta(pravi sistem) razumiju konačan podskup varijabli (x (t), v (t), h(t)) zajedno sa matematičkim vezama između njih i karakteristikama y(t).

Tipične šeme

U početnim fazama studije koriste se standardne sheme : diferencijalne jednadžbe, konačni i probabilistički automati, sistemi čekanja, Petrijeve mreže, itd.

Kao deterministički modeli, kada se slučajni faktori ne uzimaju u obzir u istraživanju, koriste se diferencijalne, integralne, integrodiferencijalne i druge jednadžbe za predstavljanje sistema koji rade u kontinualnom vremenu, te za predstavljanje sistema koji rade u diskretnom vremenu - konačnih mašina i sheme konačnih razlika.

Kao stohastički modeli (uzimajući u obzir slučajne faktore), probabilistički automati se koriste za predstavljanje sistema sa diskretnim vremenom, a sistemi čekanja, itd. se koriste za predstavljanje sistema sa kontinuiranim vremenom.

Dakle, pri konstruisanju matematičkih modela procesa funkcionisanja sistema mogu se razlikovati sledeći glavni pristupi: kontinuirano-deterministički (na primer, diferencijalne jednačine); diskretno-deterministički (mašine konačnih stanja); diskretno-stohastički (verovatni automati); kontinuirano-stohastički (sistemi čekanja); generalizovani ili univerzalni (agregatni sistemi).

Kontinuirano deterministički modeli

Razmotrimo karakteristike kontinuirano determinističkog pristupa na primjeru, koristeći Mat. modeli diferencijalne jednadžbe.

Diferencijalne jednadžbe su one jednadžbe u kojima su funkcije jedne varijable ili više varijabli nepoznate, a jednačina uključuje ne samo njihove funkcije već i njihove derivate različitog reda.

Ako su nepoznate funkcije mnogih varijabli, tada se jednačine nazivaju - parcijalne diferencijalne jednadžbe. Ako su nepoznate funkcije jedne nezavisne varijable, onda obične diferencijalne jednadžbe.

Matematička relacija za determinističke sisteme u opštem obliku:

Diskretno-deterministički modeli.

DDM su predmet razmatranja teorija automata (TA). TA je dio teorijske kibernetike koji proučava uređaje koji obrađuju diskretne informacije i menjaju svoja unutrašnja stanja samo u prihvatljivim vremenima.

Državni stroj je automat čiji su skup unutrašnjih stanja i ulaznih signala (a samim tim i skup izlaznih signala) konačni skupovi.

Državni stroj ima skup unutrašnjih stanja i ulaznih signala, koji su konačni skupovi. Mašina je dato F-šemom: F= ,

gdje su z, x, y, redom, konačni skupovi ulaznih i izlaznih signala (abecede) i konačan skup unutrašnjih stanja (abeceda). z0ÎZ - početno stanje; j(z, x) - prelazna funkcija; y(z, x) - izlazna funkcija.

Automat radi u diskretnom vremenu automata, čiji su momenti taktovi, odnosno jednaki vremenski intervali međusobno susjedni, od kojih svaki odgovara konstantnim vrijednostima ulaznog, izlaznog signala i unutrašnjeg stanja. Apstraktni automat ima jedan ulazni i jedan izlazni kanal.

Da bi se specificirao F automat, potrebno je opisati sve elemente skupa F= , tj. ulazne, interne i izlazne abecede, kao i funkcije prijelaza i izlaza. Za specifikaciju rada F-automata najčešće se koriste tabelarni, grafički i matrični metodi.

U tabelarnom načinu postavljanja koriste se tablice prijelaza i izlaza čiji redovi odgovaraju ulaznim signalima stroja, a stupci njegovim stanjima.

Opis rada F- automat Mili tabele prelaza j i izlaza y ilustrovane su tabelom (1), a opis F - Moore mašine - tabelom prelaza (2).

Tabela 1

Tranzicije
…………………………………………………………
…………………………………………………………

tabela 2

…………………………………………………………

Primeri tabelarnog metoda za specifikaciju F - Mealy mašina F1 sa tri stanja, dva ulazna i dva izlazna signala dati su u tabeli 3, a za F - Moore mašina F2 - u tabeli 4.

Tabela 3

Tranzicije

Tabela 4

Drugi način specificiranja konačnog automata koristi koncept usmjerenog grafa. Graf automata je skup vrhova koji odgovaraju različitim stanjima automata i povezuju vrhove lukova grafa koji odgovaraju određenim prijelazima automata. Ako ulazni signal xk uzrokuje prijelaz iz stanja zi u stanje zj, tada se na grafu automata luk koji povezuje vrh zi sa vrhom zj označava xk. Da bi se specificirala funkcija prijelaza, lukovi grafa moraju biti označeni odgovarajućim izlaznim signalima.

Rice. 1. Grafovi Mealy (a) i Moore (b) automata.

Kada se rješavaju problemi modeliranja, matrična specifikacija konačnog automata je često prikladniji oblik. U ovom slučaju, spojna matrica automata je kvadratna matrica C=|| cij ||, čiji redovi odgovaraju početnim stanjima, a kolone odgovaraju prelaznim stanjima.

Primjer. Za prethodno razmatrani Mooreov automat F2, pišemo matricu stanja i izlazni vektor:

;

Diskretno-stohastički modeli

Neka je F skup svih mogućih parova oblika (zk, yi), gdje je ui element izlaza

podskup Y. Zahtijevamo da bilo koji element skupa G indukuje

na skupu F neki zakon raspodjele sljedećeg oblika:

Elementi iz F (z1, y2) (z1, y2zk, yJ-1) (zK, yJ)

(xi, zs) b11 b1bK(J-1) bKJ

Informacione mreže" href="/text/category/informatcionnie_seti/" rel="bookmark">obrada kompjuterskih informacija sa udaljenih terminala itd.

Istovremeno, karakteristika

rad takvih objekata je nasumično pojavljivanje aplikacija (zahtjeva) za

održavanje i završetak servisa u slučajni momenti vrijeme,

odnosno stohastičku prirodu procesa njihovog funkcionisanja.

QS se shvata kao dinamički sistem dizajniran da efikasno opslužuje nasumični tok zahteva sa ograničenim sistemskim resursima. Generalizirana struktura QS je prikazan na slici 3.1.

Rice. 3.1. SMO shema.

Homogeni zahtjevi koji pristižu na ulaz QS-a, u zavisnosti od uzroka generiranja, dijele se na tipove, intenzitet toka zahtjeva tipa i (i=1...M) označava se li. Totalnost zahtjeva svih vrsta je dolazni tok QS-a.

Prijave se obrađuju m kanala.

Postoje univerzalni i specijalizovani kanali usluga. Za univerzalni kanal tipa j, funkcije distribucije Fji(t) trajanja zahtjeva za servisiranje proizvoljnog tipa smatraju se poznatim. Za specijalizirane kanale neizvjesne su funkcije raspodjele trajanja servisiranja kanala zahtjeva nekih tipova, dodjela tih zahtjeva datom kanalu.

Q-krugovi se mogu proučavati analitički i simulacijskim modelima. Potonji pruža veću svestranost.

Razmotrimo koncept čekanja.

U svakom elementarnom činu usluge mogu se razlikovati dvije glavne komponente: očekivanje usluge od strane aplikacije i stvarna usluga aplikacije. Ovo se može prikazati u obliku nekog i-tog servisnog uređaja Pi, koji se sastoji od akumulatora potraživanja, koji istovremeno može sadržavati li=0...LiH potraživanja, gdje je LiH kapacitet i-tog uređaja za skladištenje, i kanal za servisiranje zahtjeva, ki.

Rice. 3.2. SMO dijagram uređaja

Svaki element servisnog uređaja Pi prima tokove događaja: pogon Hi prima tok zahtjeva wi, a kanal ki prima servisni tok ui.

Tok događaja(PS) je slijed događaja koji se javljaju jedan za drugim u nekim slučajnim trenucima vremena. Postoje tokovi homogenih i heterogenih događaja. Homogene PS karakteriziraju samo trenuci dolaska ovih događaja (momenti izazivanja) i dat je nizom (tn)=(0£t1£t2…£tn£…), gdje je tn trenutak dolaska n-tog događaj - nenegativan realan broj. OPS se također može specificirati kao niz vremenskih intervala između n-tog i n-1. događaja (tn).

Heterogena PS se naziva niz (tn, fn), gdje su tn uzročni momenti; fn je skup atributa događaja. Na primjer, može se specificirati pripadnost određenom izvoru zahtjeva, prisustvo prioriteta, mogućnost opsluživanja određenog tipa kanala, itd.

Zahtjevi koje opslužuje kanal ki i zahtjevi koji su napustili uređaj Pi iz različitih razloga nisu servisirani formiraju izlazni tok yiÎY.

Proces funkcionisanja servisnog uređaja Pi se može predstaviti kao proces promene stanja njegovih elemenata u vremenu Zi(t). Prelazak u novo stanje za Pi znači promjenu broja zahtjeva koji se nalaze u njemu (u kanalu ki i skladištu Hi). To. vektor stanja za Pi ima oblik: , gdje su stanja pogona, (https://pandia.ru/text/78/362/images/image010_20.gif" width="24 height=28" height="28" >=1 - postoji jedan zahtjev u drajvu..., =- drajv je potpuno zauzet, - stanje kanala ki (=0 - kanal je slobodan, =1 kanal je zauzet).

Q-šeme stvarnih objekata formirane su sastavom mnogih elementarnih servisnih uređaja Pi. Ako su ki različiti servisni uređaji povezani paralelno, tada se odvija višekanalni servis (višekanalna Q-šema), a ako su uređaji Pi i njihove paralelne kompozicije povezani u seriju, tada se odvija višefazni servis (višefazni Q-šema).

Za definiranje Q-šeme potrebno je i opisati algoritme za njeno funkcioniranje, koji određuju pravila ponašanja aplikacija u različitim dvosmislenim situacijama.

Ovisno o lokaciji takvih situacija, postoje algoritmi (discipline) za čekanje zahtjeva u Hi skladišnom rezervoaru i servisiranje zahtjeva po kanalu ki. Heterogenost toka aplikacija uzima se u obzir uvođenjem klase prioriteta – relativni i apsolutni prioriteti.

To. Q-shema koja opisuje proces funkcioniranja QS-a bilo koje složenosti je jedinstveno specificirana kao skup skupova: Q = .

Mrežni modeli.

Za formalno opisivanje strukture i interakcije paralelnih sistema i procesa, kao i za analizu uzročno-posledičnih veza u složenim sistemima, koriste se Petrijeve mreže, nazvane N-šeme.

Formalno, N-šema je data četvorostrukom formom

N= ,

gdje je B konačan skup simbola koji se nazivaju pozicije, B ≠ O;

D je konačan skup simbola koji se naziva prijelazi D ≠ O,

B ∩ D ≠ O; I – funkcija ulaza (funkcija direktne incidencije)

I: B × D → (0, 1); O – izlazna funkcija (inverzna funkcija incidencije),

O: B × D → (0, 1). Dakle, ulazna funkcija I preslikava prijelaz dj u

skup ulaznih pozicija bj I(dj), a izlazna funkcija O odražava

prijelaz dj na skup izlaznih pozicija bj O(dj). Za svaki prelaz

dj https://pandia.ru/text/78/362/images/image013_14.gif" width="13" height="13"> B | I(bi, dj) = 1 ),

O(dj) = (bi B | O(dj, bi) = 1),

i = 1,n; j = 1,m; n = | B |, m = | D|.

Slično, za svaku poziciju bi B uvode se definicije

skup ulaznih prelaza pozicije I(bi) i izlaznih prelaza

pozicije O(bi):

I(bi) = ( dj D | I(dj, bi,) = 1 ),

O(bi) = ( dj D | O(bi, dj) = 1).

Petrijeva mreža je bipartitni usmjereni graf koji se sastoji od vrhova dva tipa - pozicija i prijelaza, povezanih lukovima; vrhovi istog tipa ne mogu se direktno povezati.

Primjer Petrijeve mreže. Bijeli krugovi označavaju pozicije, pruge označavaju prijelaze, crni krugovi označavaju oznake.

Orijentacijski lukovi povezuju pozicije i prijelaze, pri čemu je svaki luk usmjeren od elementa jednog skupa (pozicije ili prijelaza) do elementa drugog skupa

(prijelaz ili pozicija). Graf N-šeme je multigraf zato što

dozvoljava postojanje višestrukih lukova od jednog vrha do drugog.

Dekompozicija" href="/text/category/dekompozitciya/" rel="bookmark">Dekompozicija predstavlja složen sistem kao višeslojnu strukturu međusobno povezanih elemenata kombinovanih u podsisteme različitih nivoa.

Agregat djeluje kao element A-šeme, a veza između agregata (unutar sistema S i sa vanjskim okruženjem E) vrši se pomoću operatora konjugacije R.

Bilo koju jedinicu karakteriziraju sljedeći skupovi: momenti vremena T, ulazni X i izlazni Y signali, stanja Z u svakom trenutku vremena t. Stanje jedinice u trenutku tT označava se kao z(t) Z,

a ulazni i izlazni signali su x(t) X i y(t) Y, respektivno.

Pretpostavićemo da se prelazak agregata iz stanja z(t1) u stanje z(t2)≠z(t1) odvija u kratkom vremenskom intervalu, odnosno dolazi do skoka δz.

Prijelazi jedinice iz stanja z(t1) u z(t2) određeni su vlastitim (internim) parametrima same jedinice h(t) H i ulaznim signalima x(t) X.

U početnom trenutku vremena t0, stanja z imaju vrijednosti jednake z0, odnosno z0=z(t0), određene zakonom distribucije procesa z(t) u trenutku t0, odnosno J. Pretpostavimo da je proces funkcionisanja jedinice u slučaju udara ulaznog signala xn opisuje slučajni operator V. Tada u trenutku kada ulazni signal tnT ulazi u jedinicu

xn možete odrediti stanje

z(tn + 0) = V.

Označimo interval poluvremena t1< t ≤ t2 как (t1, t2], а полуинтервал

t1 ≤ t< t2 как .

Skup slučajnih operatora V i U se smatra operatorom prijelaza agregata u nova stanja. U ovom slučaju, proces funkcioniranja jedinice sastoji se od skokova stanja δz u momentima dolaska ulaznih signala x (operator V) i promjena stanja između ovih trenutaka tn i tn+1 (operator U). Operator U nema ograničenja, stoga su skokovi u stanjima δz dozvoljeni u trenucima vremena koji nisu momenti dolaska ulaznih signala x. U nastavku će se momenti skokova δz zvati specijalni momenti vremena tδ, a stanja z(tδ) posebna stanja A-šeme. Da bismo opisali skokove stanja δz u posebnim trenucima vremena tδ, koristićemo slučajni operator W, koji je poseban slučaj operatora U, tj.

z(tδ + 0) = W.

U skupu stanja Z, podskup Z(Y) je dodijeljen tako da ako z(tδ) dostigne Z(Y), onda je ovo stanje trenutak izdavanja izlaznog signala koji određuje izlazni operator

y = G.

Dakle, pod agregatom ćemo razumjeti svaki objekat definiran uređenom zbirkom razmatranih skupova T, X, Y, Z, Z(Y), H i slučajnih operatora V, U, W, G.

Niz ulaznih signala raspoređenih po redoslijedu njihovog dolaska u A-kolo će se zvati ulazna poruka ili x-poruka. Niz izlaznih signala, poredanih u odnosu na vrijeme izdavanja, nazivamo izlaznom porukom ili y-porukom.

AKO UKRATKO

Kontinuirano deterministički modeli (D-šeme)

Koriste se za proučavanje sistema koji rade u neprekidnom vremenu. Za opisivanje takvih sistema uglavnom se koriste diferencijalne, integralne i integro-diferencijalne jednačine. Obične diferencijalne jednadžbe razmatraju funkciju samo jedne nezavisne varijable, dok parcijalne diferencijalne jednadžbe razmatraju funkcije nekoliko varijabli.

Primjer upotrebe D-modela je proučavanje rada mehaničkog klatna ili električnog oscilatornog kruga. Tehnička osnova D-modela je analogna računarske mašine(AVM) ili hibridni računari koji se trenutno brzo razvijaju (HCM). Kao što je poznato, osnovni princip kompjuterskog istraživanja je da, koristeći date jednačine, istraživač (korisnik računara) sastavlja kolo od pojedinačnih standardnih jedinica - operacionih pojačivača sa uključivanjem skaliranja, prigušenja, aproksimacijskih kola, itd.

Struktura AVM se mijenja u skladu s tipom reproducibilnih jednačina.

U digitalnom računaru struktura ostaje nepromenjena, ali se redosled rada njegovih čvorova menja u skladu sa programom koji je u njemu ugrađen. Poređenje AVM i CVM jasno pokazuje razliku između simulacije i statističkog modeliranja.

ABM implementira simulacijski model, ali po pravilu ne koristi principe statističkog modeliranja. U digitalnim računarima većina simulacionih modela zasniva se na proučavanju slučajnih brojeva i procesa, odnosno na statističkom modeliranju. Kontinuirano deterministički modeli se široko koriste u mašinstvu u proučavanju sistema automatska kontrola, izbor sistema za apsorpciju udara, identifikacija rezonantnih pojava i vibracija u tehnici
i tako dalje.

Diskretno-deterministički modeli (F-šeme)

Radi sa diskretnim vremenom. Ovi modeli su osnova za proučavanje rada danas izuzetno važne i rasprostranjene klase diskretnih sistema automata. Za potrebe njihovog proučavanja razvijen je nezavisni matematički aparat teorije automata. Na osnovu ove teorije, sistem se posmatra kao automat koji obrađuje diskretne informacije i menja svoja unutrašnja stanja, u zavisnosti od rezultata njihove obrade.

Ovaj model se temelji na principima minimiziranja broja elemenata i čvorova u kolu, uređaju, optimizaciji uređaja u cjelini i redoslijeda rada njegovih čvorova. Uz elektronska kola, istaknuti predstavnik mašina opisanih ovim modelom je robot koji upravlja (prema zadatom programu) tehnološkim procesima u datom determinističkom nizu.

Mašina sa numeričkim programski kontrolisan je također opisan ovim modelom. Odabir redoslijeda obrade dijelova na ovoj mašini vrši se podešavanjem upravljačke jedinice (kontrolera), koja generiše upravljačke signale u određenim vremenskim trenucima /4/.

Teorija automata koristi matematički aparat Booleovih funkcija koje rade s dvije moguće vrijednosti signala 0 i 1.

Automati se dijele na automate bez memorije i automate sa memorijom. Njihov rad je opisan pomoću tabela, matrica i grafikona koji prikazuju prijelaze mašine iz jednog stanja u drugo. Analitičke procjene za bilo koju vrstu opisa rada mašine su vrlo glomazne i, čak i sa relativno malim brojem elemenata i čvorova koji formiraju uređaj, praktično nemoguće. Stoga studija složena kola automatske mašine, koje nesumnjivo uključuju i robotske uređaje, proizvode se korišćenjem simulacionog modeliranja.

Diskretno-stohastički modeli (P-šeme)

Koriste se za proučavanje rada probabilističkih automata. U mašinama ovog tipa, prelazi iz jednog stanja u drugo se vrše pod uticajem spoljašnjih signala i uzimajući u obzir unutrašnje stanje mašine. Međutim, za razliku od G-automata, ovi prijelazi nisu striktno deterministički, već se mogu izvesti sa određenim vjerovatnoćama.

Primjer takvog modela je diskretni Markovljev lanac sa konačnim skupom stanja. Analiza F-šema zasniva se na obradi i transformaciji matrica vjerovatnoće prijelaza i analizi grafova vjerovatnoće. Već za uporednu analizu jednostavnih uređaja, čije je ponašanje opisano F-šemama, preporučljivo je koristiti simulacijsko modeliranje. Primjer takvog modeliranja dat je u paragrafu 2.4.

Kontinuirano-stohastički modeli (Q-šeme)

Koriste se u analizi široke klase sistema koji se smatraju sistemima čekanja. Kao uslužni proces mogu se predstaviti procesi različite fizičke prirode: tokovi isporuka proizvoda preduzeću, tokovi prilagođenih komponenti i proizvoda, tokovi delova na montažnoj traci, tokovi kontrolnih radnji iz kontrolnog centra automatizovanog sistem upravljanja radnim mestima i povratne zahteve za obradu informacija u računaru itd.

Tipično, ovi tokovi zavise od mnogih faktora i specifičnih situacija. Stoga su u većini slučajeva ovi tokovi nasumični u vremenu sa mogućnošću promjene u svakom trenutku. Analiza ovakvih šema se vrši na osnovu matematičkog aparata teorije čekanja. Oni uključuju kontinuirani Markovljev lanac. Uprkos značajnom napretku postignutom u razvoju analitičkih metoda, teorija redova čekanja i analiza Q-šema analitičkim metodama mogu se izvesti samo uz značajne pojednostavljujuće pretpostavke i pretpostavke. Detaljno proučavanje većine ovih shema, posebno onih složenih kao što su automatizirani sistemi upravljanja procesima i robotski sustavi, može se provesti samo korištenjem simulacijskog modeliranja.

Generalizirani modeli (A-šeme)

Na osnovu opisa procesa funkcionisanja bilo kog sistema zasnovanog na agregativnoj metodi. Sa agregatnim opisom, sistem je podeljen na zasebne podsisteme, što se može smatrati pogodnim za matematički opis. Kao rezultat takvog particioniranja (dekompozicije), složeni sistem je predstavljen kao sistem na više nivoa, čiji su pojedinačni nivoi (agregati) podložni analizi. Na osnovu analize pojedinih jedinica i uzimajući u obzir zakonitosti međuodnosa ovih jedinica, moguće je sprovesti sveobuhvatno proučavanje cjelokupnog sistema.

, Yakovlev sistemi. 4th ed. – M.: Viša škola, 2005. – S. 45-82.

Da bi se kompjuter koristio u rješavanju primijenjenih problema, prije svega, primijenjeni problem mora biti „preveden“ na formalni matematički jezik, tj. za pravi objekat, proces ili sistem mora biti izgrađen matematički model.

Matematički modeli u kvantitativnom obliku, koristeći logičke i matematičke konstrukcije, opisuju osnovna svojstva objekta, procesa ili sistema, njegove parametre, unutrašnje i eksterne veze.

Za izgradnja matematičkog modela potrebno:

1. pažljivo analizirati stvarni predmet ili proces;
2. istaći njegove najznačajnije karakteristike i svojstva;
3. definisati varijable, tj. parametri čije vrijednosti utječu na glavne karakteristike i svojstva objekta;
4. opisuju ovisnost osnovnih svojstava objekta, procesa ili sistema o vrijednostima varijabli koristeći logičko-matematičke odnose (jednačine, jednakosti, nejednačine, logičko-matematičke konstrukcije);
5. highlight interne komunikacije objekt, proces ili sistem koji koristi ograničenja, jednačine, jednakosti, nejednakosti, logičke i matematičke konstrukcije;
6. identificirati vanjske veze i opisati ih koristeći ograničenja, jednačine, jednakosti, nejednakosti, logičke i matematičke konstrukcije.

Matematičko modeliranje, pored proučavanja objekta, procesa ili sistema i izrade njihovog matematičkog opisa, uključuje i:

1. izgradnju algoritma koji modelira ponašanje objekta, procesa ili sistema;
2. pregled adekvatnost modela i objekt, proces ili sistem zasnovan na računarskom i prirodnom eksperimentu;
3. prilagođavanje modela;
4. koristeći model.

Matematički opis procesa i sistema koji se proučavaju zavisi od:

1. prirodu realnog procesa ili sistema i sastavlja se na osnovu zakona fizike, hemije, mehanike, termodinamike, hidrodinamike, elektrotehnike, teorije plastičnosti, teorije elastičnosti itd.
2. potrebnu pouzdanost i tačnost proučavanja i istraživanja realnih procesa i sistema.

U fazi izbora matematičkog modela utvrđuju se: linearnost i nelinearnost objekta, procesa ili sistema, dinamičnost ili statičnost, stacionarnost ili nestacionarnost, kao i stepen determinisanosti objekta ili procesa koji se proučava. U matematičkom modeliranju, namjerno se apstrahuje od specifične fizičke prirode objekata, procesa ili sistema i uglavnom se fokusira na proučavanje kvantitativnih zavisnosti između veličina koje opisuju ove procese.

Matematički model nikada nije potpuno identičan predmetnom objektu, procesu ili sistemu. Na osnovu pojednostavljenja, idealizacije, to je približan opis objekta. Stoga su rezultati dobijeni analizom modela približni. Njihova tačnost je određena stepenom adekvatnosti (usklađenosti) između modela i objekta.

Obično počinje konstrukcijom i analizom najjednostavnijeg, najgrubljeg matematičkog modela dotičnog objekta, procesa ili sistema. U budućnosti, ako je potrebno, model se dorađuje i njegova korespondencija sa objektom postaje potpunija.

Uzmimo jednostavan primjer. Potrebno je odrediti površinu radnog stola. Obično se to radi mjerenjem njegove dužine i širine, a zatim množenjem rezultirajućih brojeva. Ovaj elementarni postupak zapravo znači sljedeće: pravi objekt (ploha stola) zamjenjuje se apstraktnim matematičkim modelom – pravokutnikom. Dimenzije dobivene mjerenjem dužine i širine površine stola dodjeljuju se pravokutniku, a površina takvog pravokutnika se približno uzima kao potrebna površina stola.

Međutim, model pravougaonika za radni sto je najjednostavniji, najgrublji model. Ako ozbiljnije pristupite problemu, prije korištenja modela pravokutnika za određivanje površine stola, ovaj model treba provjeriti. Provjere se mogu izvršiti na sljedeći način: izmjerite dužine suprotnih strana stola, kao i dužine njegovih dijagonala i uporedite ih međusobno. Ako su, uz traženi stepen tačnosti, dužine suprotnih strana i dužine dijagonala jednake u parovima, tada se površina stola zaista može smatrati pravougaonikom. U suprotnom, model pravokutnika će se morati odbaciti i zamijeniti četverokutnim modelom opšti pogled. Sa više visoke zahtjeve Da bi se poboljšala tačnost, možda će biti potrebno dodatno precizirati model, na primjer, uzeti u obzir zaokruživanje uglova stola.

Na ovom jednostavnom primjeru to se pokazalo matematički model nije jednoznačno određen objektom, procesom ili sistemom koji se proučava. Za istu tabelu možemo usvojiti ili model pravougaonika, ili složeniji model opšteg četvorougla, ili četvorougao sa zaobljenim uglovima. Izbor jednog ili drugog modela određen je zahtjevom tačnosti. Sa sve većom preciznošću, model se mora komplikovati, uzimajući u obzir nove i nove karakteristike objekta, procesa ili sistema koji se proučava.

Razmotrimo još jedan primjer: proučavanje kretanja koljenastog mehanizma (slika 2.1).

Rice. 2.1.

Za kinematičku analizu ovog mehanizma, prije svega, potrebno je konstruirati njegov kinematički model. Za ovo:

1. Mehanizam zamjenjujemo njegovim kinematičkim dijagramom, gdje su zamijenjene sve karike tvrde veze;
2. Koristeći ovaj dijagram, izvodimo jednačinu kretanja mehanizma;
3. Diferencirajući potonje, dobijamo jednadžbe brzina i ubrzanja, koje su diferencijalne jednadžbe 1. i 2. reda.

Napišimo ove jednačine:

gdje je C 0 krajnja desna pozicija klizača C:

r – poluprečnik radilice AB;

l – dužina klipnjače BC;

– ugao rotacije poluge;

Primljeno transcendentalne jednačine predstaviti matematički model kretanja ravnog aksijalnog koljenastog mehanizma, zasnovan na sljedećim pojednostavljujućim pretpostavkama:

1. nisu nas zanimali strukturni oblici i raspored masa uključenih u mehanizam tijela, te smo sva tijela mehanizma zamijenili ravnim segmentima. Zapravo, sve karike mehanizma imaju masu i prilično složen oblik. Na primjer, klipnjača je složen sklop, čiji će oblik i dimenzije, naravno, utjecati na kretanje mehanizma;
2. Prilikom pomicanja razmatranog mehanizma, također nismo uzeli u obzir elastičnost tijela uključenih u mehanizam, tj. sve karike su smatrane kao apstraktna apsolutno kruta tijela. U stvarnosti, sva tijela uključena u mehanizam su elastična tijela. Kada se mehanizam kreće, oni će se nekako deformirati, a u njima se mogu čak pojaviti i elastične vibracije. Sve će to, naravno, uticati i na kretanje mehanizma;
3. nismo uzeli u obzir grešku izrade karika, praznine u kinematičkim parovima A, B, C itd.

Stoga je važno još jednom naglasiti da što su zahtjevi za tačnost rezultata rješavanja problema veći, to je veća potreba da se vodi računa kada izgradnja matematičkog modela karakteristike objekta, procesa ili sistema koji se proučava. Međutim, važno je stati ovdje na vrijeme, jer je teško matematički model može pretvoriti u problem koji se teško rješava.

Model se najlakše konstruiše kada su dobro poznati zakoni koji određuju ponašanje i svojstva objekta, procesa ili sistema i postoji veliko praktično iskustvo u njihovoj primeni.

Složenija situacija nastaje kada je naše znanje o objektu, procesu ili sistemu koji se proučava nije dovoljno. U ovom slučaju, kada izgradnja matematičkog modela potrebno je napraviti dodatne pretpostavke koje su u prirodi hipoteza; takav model se naziva hipotetički. Zaključci dobijeni kao rezultat proučavanja ovakvog hipotetičkog modela su uslovni. Da bi se potvrdili zaključci, potrebno je uporediti rezultate proučavanja modela na računaru sa rezultatima eksperimenta u punoj veličini. Dakle, pitanje primjenjivosti određenog matematičkog modela na proučavanje predmeta, procesa ili sistema koji se razmatra nije matematičko pitanje i ne može se riješiti matematičkim metodama.

Glavni kriterij istine je eksperiment, praksa u najširem smislu riječi.

Izgradnja matematičkog modela u primijenjenim zadacima – jedna od najsloženijih i najkritičnijih faza rada. Iskustvo pokazuje da u mnogim slučajevima odabir pravog modela znači više od pola rješavanja problema. Teškoća ove faze je u tome što zahtijeva kombinaciju matematičkog i specijalnog znanja. Stoga je veoma važno da matematičari pri rješavanju primijenjenih problema imaju posebna znanja o objektu, a njihovi partneri specijalisti određenu matematičku kulturu, istraživačko iskustvo u svojoj oblasti, poznavanje računara i programiranja.

Najveće poteškoće i najozbiljnije greške u modeliranju nastaju prilikom prelaska sa smislenog na formalni opis istraživačkih objekata, što se objašnjava učešćem u ovom kreativnom procesu timova različitih specijalnosti: specijalista iz oblasti sistema koje je potrebno modelirani (kupci), te specijalisti iz oblasti mašinskog modeliranja (izvođači). Efikasno sredstvo za pronalaženje međusobnog razumevanja između ovih grupa stručnjaka je jezik matematičkih šema, koji nam omogućava da u prvi plan stavimo pitanje adekvatnosti prelaska sa smislenog opisa sistema na njegovu matematičku šemu, a tek onda odlučiti se za konkretan metod za dobijanje rezultata pomoću računara: analitičku ili simulacijsku, a eventualno kombinovanu, odnosno analitičko-simulacijsku. U odnosu na konkretan objekt modeliranja, odnosno složeni sistem, kreatoru modela treba pomoći specifične matematičke šeme koje su već testirane za datu klasu sistema, a koje su pokazale svoju efikasnost u primenjenim istraživanjima na računaru i nazivaju se standardne matematičke šeme.

OSNOVNI PRISTUPI KONSTRUKCIJI MATEMATIČKIH MODELA SISTEMA

Početna informacija pri konstruisanju matematičkih modela procesa funkcionisanja sistema su podaci o nameni i uslovima rada sistema koji se proučava (projektovanje) 5. Ova informacija određuje glavni cilj modeliranja sistema £ i omogućava nam da formulišemo zahteve za razvijenim matematičkim model A/. Štaviše, nivo apstrakcije zavisi od opsega pitanja na koja istraživač sistema želi da odgovori koristeći model, i donekle određuje izbor matematičke šeme.

Matematičke šeme.

Uvođenje koncepta „matematičke šeme“ omogućava nam da matematiku ne posmatramo kao metodu računanja, već kao metodu mišljenja, kao sredstvo za formulisanje koncepata, što je najvažnije u prelasku sa verbalnog opisa sistema. na formalni prikaz procesa njegovog funkcionisanja u obliku nekog matematičkog modela (analitičkog ili simulacionog) . Kada koristi matematičku šemu, istraživača sistema 5* prvenstveno treba zanimati pitanje adekvatnosti reprezentacije u obliku specifičnih dijagrama realnih procesa u sistemu koji se proučava, a ne mogućnost dobijanja odgovora. (rezultat rješenja) na određeno istraživačko pitanje. Na primjer, predstavljanje procesa funkcionisanja zajedničkog informacionog računarskog sistema u obliku mreže šema čekanja omogućava dobro opisivanje procesa koji se dešavaju u sistemu, ali sa složenim zakonima distribucije dolaznih tokova i tokova usluga, on ne omogućava eksplicitno dobijanje rezultata.

Matematička šema može se definisati kao karika u prelasku sa smislenog na formalni opis procesa funkcionisanja sistema, uzimajući u obzir uticaj spoljašnjeg okruženja, odnosno postoji lanac „deskriptivni model – matematička šema – matematički [ analitički i/ili simulacioni] model”.

Svaki specifičan L1 sistem karakteriše skup svojstava, koja se podrazumevaju kao veličine koje odražavaju ponašanje simuliranog objekta (stvarnog sistema) i uzimaju u obzir uslove njegovog funkcionisanja u interakciji sa spoljašnjim okruženjem (sistemom) E. Prilikom konstruisanja matematičkog modela sistema potrebno je rešiti pitanje njegove kompletnosti. Kompletnost modela regulisana je uglavnom izborom granice „sistem.U-okruženje £>>. Problem pojednostavljivanja modela takođe se mora rešiti, što pomaže da se istaknu glavna svojstva sistema, odbacujući sekundarna. Štaviše, klasifikovanje svojstava sistema kao osnovnih ili sekundarnih značajno zavisi od svrhe modeliranja sistema (na primer, analiza verovatnosno-vremenskih karakteristika procesa funkcionisanja sistema, sinteza strukture sistema, itd.).

Formalni model objekta. Model objekta modeliranja, odnosno sistema 5, može se predstaviti kao skup veličina koje opisuju proces funkcionisanja realnog sistema i oblikuju, u opštem slučaju, prateći podskupovi: zbirka ulazni uticaji po sistemu

totalitet uticaje životne sredine

totalitet interni (vlastiti) parametri sistemima

totalitet izlazne karakteristike sistemima

U ovom slučaju se u navedenim podskupovima mogu razlikovati kontrolisane i nekontrolisane varijable. U opštem slučaju x„ r/, A*,

at y su elementi disjunktnih podskupova i sadrže i determinističke i stohastičke komponente.

Prilikom modeliranja sistema 5 ulaznih uticaja, spoljašnjih uticaja okoline E a unutrašnji parametri sistema su nezavisne (egzogene) varijable, koji u vektorskom obliku imaju odgovarajući oblik x (/) = (*! (O, x 2 (0> -" x *x(0)*

" (0=("1 (0. "2(0. . "^(0; l (/)=(*! (0. L 2 (0. ■ . L -N (0).). i izlazne karakteristike sistem jesu zavisne (endogene) varijable a u vektorskom obliku izgledaju y (0=(y 1 0), y 2 ( 0" > U.gSh

Proces funkcionisanja sistema 5 vremenski opisuje operator /* 5, koji u opštem slučaju transformiše egzogene varijable u endogene u skladu sa relacijama oblika

Skup zavisnosti izlaznih karakteristika sistema od vremena yDg) za sve tipove y = 1, p y pozvao izlazna putanja y ((). Poziva se zavisnost (2.1). zakon funkcionisanja sistema B i određen je G 5. Generalno, zakon funkcionisanja sistema E 5 mogu biti specificirani u obliku funkcije, funkcionalnih, logičkih uslova, u algoritamskom i tabelarnom obliku ili u obliku verbalnog pravila podudaranja.

Veoma važan za opis i proučavanje sistema 5 je koncept algoritam funkcioniranja L 5,što se shvata kao metoda za dobijanje izlaznih karakteristika uzimajući u obzir ulazne uticaje X(/), uticaji okoline V(d) i sopstvenim parametrima sistema I(/). Očigledno je da se isti zakon rada sistema 5 može implementirati Različiti putevi, tj. korištenjem mnogo različitih operativnih algoritama L$.

Relacije (2.1) su matematički opis ponašanja modela (sistema) u vremenu /, tj. odražavaju njegova dinamička svojstva. Stoga se obično nazivaju matematički modeli ovog tipa dinamički modeli (sistemi) .

Za statičke modele, matematički model (2.1) je mapiranje između dva podskupa svojstava modeliranog objekta U I (X, V, I), koji se u vektorskom obliku može zapisati kao

Relacije (2.1) i (2.2) se mogu specificirati na različite načine: analitički (pomoću formula), grafički, tabelarno, itd. Takve relacije u nizu slučajeva se mogu dobiti

kroz svojstva sistema 5 u određenim vremenskim trenucima, tzv države. Stanje sistema 5 karakteriziraju vektori

Gdje *; = *!(/"), *2=*2(0" " **=**(0 trenutno /"e(/ 0 , 7); *1 =^(0, *2=*2(P", *£=**(*") u ovom trenutku /"b(/ 0, 7), itd., £=1, p g.

Ako proces funkcionisanja sistema 5 posmatramo kao sekvencijalnu promenu stanja (/), r 2 (/), G Ko su oni

može se tumačiti kao koordinate tačke u ^-dimenzionalnom faznom prostoru, a svaka implementacija procesa će odgovarati određenoj faznoj putanji. Skup svih mogućih vrijednosti stanja (G) pozvao prostor stanja objekt modeliranja Zt i g to e Z.

Stanje sistema 5 u ovom trenutku potpuno

određene su početnim uslovima 7° = (2° 1,. 2 2°, G° k) [gdje

*°1 = *1(*o)" *°g = *2 (^o)" -" *°*=**(*o)]" prema ulaznim utjecajima X(/), interni parametri To(/) i uticaji okoline V(0, koji se dogodio tokom vremenskog perioda - / 0, koristeći dvije vektorske jednačine

Prva jednadžba za početno stanje g° i egzogene varijable x, V, I određuje vektorsku funkciju (/), a drugu na osnovu dobijene vrijednosti stanja G(/) - endogene varijable na izlazu sistema at(/). Dakle, lanac jednačina objekta „ulaz – stanja – izlaz“ dozvoljava definisati karakteristike sistema

Općenito, vrijeme u modelu sistema I može se razmatrati u intervalu modeliranja (O, T) i kontinuirano i diskretno, tj. kvantizirano u negativnom sečenje d red A/ vremenske jedinice svaki, kada T=tA1, Gdje T- 1, t T- broj intervala uzorkovanja.

Dakle, pod matematički model objekta(pravi sistem) razumiju konačan podskup varijabli (X (/), b (/), I(d)) zajedno sa matematičkim vezama između njih i karakteristikama at (/) .

Ako matematički opis objekta modeliranja ne sadrži slučajne elemente ili se oni ne uzimaju u obzir, tj.

možemo pretpostaviti da su u ovom slučaju stohastički uticaji spoljašnjeg okruženja V(/) i stohastički interni parametri I(/) nedostaju, tada se poziva model deterministički u smislu da su karakteristike jedinstveno određene determinističkim ulaznim uticajima

Očigledno je da je deterministički model poseban slučaj stohastičkog modela.

Tipične šeme.

Prikazani matematički odnosi predstavljaju opšte matematičke šeme i omogućavaju opisivanje široke klase sistema. Međutim, u praksi modeliranja objekata u oblasti sistemskog inženjeringa i sistemske analize, u početnim fazama istraživanja sistema, racionalnije je koristiti tipične matematičke šeme: diferencijalne jednadžbe, konačni i probabilistički automati, sistemi čekanja, Petrijeve mreže, itd.

Nemajući isti stepen opštosti kao razmatrani modeli, tipične matematičke šeme imaju prednosti jednostavnosti i jasnoće, ali uz značajno sužavanje mogućnosti primene. Kao deterministički modeli, kada se slučajni faktori ne uzimaju u obzir u istraživanju, koriste se diferencijalne, integralne, integro-diferencijalne i druge jednadžbe za predstavljanje sistema koji rade u kontinuiranom vremenu, a automati sa konačnim razlikama se koriste za predstavljanje sistema koji rade u diskretnom vremenu. shema. Kao stohastički modeli (uzimajući u obzir slučajne faktore), probabilistički automati se koriste za predstavljanje sistema sa diskretnim vremenom, a sistemi čekanja, itd. se koriste za predstavljanje sistema sa kontinuiranim vremenom.

Navedene standardne matematičke šeme, naravno, ne mogu tvrditi da na njihovoj osnovi mogu opisati sve procese koji se dešavaju u velikim informacionim i upravljačkim sistemima. Za takve sisteme, u nekim slučajevima, više obećava upotreba agregativnih modela. Agregatni modeli (sistemi) omogućavaju opisivanje širokog spektra istraživačkih objekata, odražavajući sistemsku prirodu ovih objekata. To je sa agregativnim opisom složeni objekat(sistem) je podijeljen na konačan broj dijelova (podsistema), uz održavanje veza koje osiguravaju interakciju dijelova.

Dakle, pri konstruisanju matematičkih modela procesa funkcionisanja sistema mogu se razlikovati sledeći glavni pristupi: kontinuirano-deterministički (na primer, diferencijalne jednačine); diskretno-deterministički (mašine konačnih stanja); diskretno-stohastički (verovatni automati); kontinuirano-stohastički (sistemi čekanja); generalizovani ili univerzalni (agregatni sistemi).

Matematičke šeme o kojima se govori u narednim paragrafima ovog poglavlja trebalo bi da pomognu u radu sa različitim pristupima u praktičan rad prilikom modeliranja specifičnih sistema.

Klasifikacija u bilo kojoj oblasti znanja je neophodna. Omogućava vam da generalizirate akumulirano iskustvo i organizirate koncepte predmetne oblasti. Brzi razvoj metoda matematičkog modeliranja i raznolikost područja njihove primjene doveli su do pojave velikog broja modela različitih tipova i do potrebe da se modeli razvrstavaju u one kategorije koje su univerzalne za sve modele ili su neophodne u polje konstruisanog modela, na primer. Evo primjera nekih kategorija: područje upotrebe; uzimanje u obzir vremenskog faktora (dinamike) u modelu; grana znanja; način predstavljanja modela; prisustvo ili odsustvo slučajnih (ili neizvesnih) faktora; vrsta kriterijuma efikasnosti i nametnuta ograničenja itd.

Analizirajući matematičku literaturu, identifikovali smo najčešće karakteristike klasifikacije:

1. Prema metodi implementacije (uključujući formalni jezik), svi matematički modeli se mogu podijeliti na analitičko i algoritamsko.

Analitički – modeli koji koriste standardni matematički jezik. Simulacijski modeli su modeli koji koriste poseban jezik za modeliranje ili univerzalni programski jezik.

Analitički modeli se mogu pisati u obliku analitičkih izraza, tj. u obliku izraza koji sadrže prebrojiv broj aritmetičkih operacija i prijelaza do granice, na primjer: . Algebarski izraz je poseban slučaj analitičkog izraza; kao rezultat daje tačnu vrijednost. Postoje i konstrukcije koje vam omogućavaju da pronađete rezultujuću vrijednost sa datom tačnošću (na primjer, proširenje elementarne funkcije u niz stepena). Modeli koji koriste ovu tehniku ​​nazivaju se približnim.

Zauzvrat, analitički modeli se dijele na teorijski i empirijski modeli. Teorijski modeli odražavaju stvarne strukture i procese u objektima koji se proučavaju, odnosno zasnivaju se na teoriji njihovog rada. Empirijski modeli se grade na osnovu proučavanja reakcija objekta na promjene uslova okoline. U ovom slučaju se ne razmatra teorija rada objekta, sam objekt je takozvana „crna kutija“, a model je neka vrsta interpolacijske ovisnosti. Empirijski modeli se mogu izgraditi na osnovu eksperimentalnih podataka. Ovi podaci se dobijaju direktno od objekata koji se proučavaju ili koristeći ih. fizički modeli.

Ako se proces ne može opisati u obliku analitičkog modela, on se opisuje pomoću posebnog algoritma ili programa. Ovaj model je algoritamski. Prilikom konstruiranja algoritamskih modela koriste se numerički ili simulacijski pristupi. U numeričkom pristupu, skup matematičkih relacija je zamijenjen konačnodimenzionalnim analogom (na primjer, prijelaz sa funkcije kontinuiranog argumenta na funkciju diskretnog argumenta). Zatim se konstruiše računski algoritam, tj. nizovi aritmetičkih i logičkih operacija. Pronađeno rješenje diskretnog analoga uzima se kao približno rješenje originalnog problema. U simulacionom pristupu sam objekt modeliranja se diskretizuje i grade modeli pojedinih elemenata sistema.

2. Prema obliku prikaza matematičkih modela razlikuju se:

1) Invarijantni model – matematički model predstavljen sistemom jednačina (diferencijalnim, algebarskim) bez uzimanja u obzir metoda za rješavanje ovih jednačina.

2) Algebarski model - odnosi modela su povezani sa odabranom metodom numeričkog rješenja i zapisani su u obliku algoritma (sekvenca proračuna).

3) Analitički model – predstavlja eksplicitne zavisnosti traženih varijabli od datih vrednosti. Takvi modeli se dobijaju na osnovu fizikalnih zakona, ili kao rezultat direktne integracije originalnih diferencijalnih jednadžbi korišćenjem tabelarnih integrala. Oni takođe uključuju regresijske modele dobijene na osnovu rezultata eksperimenta.

4) Grafički model je predstavljen u obliku grafikona, ekvivalentnih kola, dijagrama i sl. Da bi se koristili grafički modeli, mora postojati pravilo nedvosmislene korespondencije između konvencionalnih slika elemenata grafičkog modela i komponenti invarijantnog matematičkog modela.

3. U zavisnosti od vrste kriterijuma efikasnosti i nametnutih ograničenja, modeli se dele na linearne i nelinearne. U linearnim modelima, kriterij performansi i nametnuta ograničenja su linearne funkcije varijabli modela (tzv. nelinearni modeli). Pretpostavka o linearnoj zavisnosti kriterijuma efikasnosti i skupa nametnutih ograničenja na varijable modela je sasvim prihvatljiva u praksi. Ovo vam omogućava da koristite dobro razvijen aparat za linearno programiranje za razvoj rješenja.

4. S obzirom na vremenski faktor i oblast upotrebe, postoje statičke i dinamičke modele. Ako sve količine uključene u model ne ovise o vremenu, tada imamo statički model objekta ili procesa (jednokratni snimak informacija o objektu). One. statički model je model u kojem vrijeme nije varijabla. Dinamički model omogućava vam da vidite promjene u objektu tokom vremena.

5. U zavisnosti od broja stranaka koje donose odluke, postoje dve vrste matematičkih modela: deskriptivne i normativne. U deskriptivnom modelu ne postoje donosioci odluka. Formalno, broj takvih strana u deskriptivnom modelu je nula. Tipičan primjer takvih modela je model sistema čekanja. Za izgradnju deskriptivnih modela mogu se koristiti i teorija pouzdanosti, teorija grafova, teorija vjerovatnoće i statistička metoda testiranja (Monte Carlo metoda).

Normativni model ima mnogo aspekata. U principu, mogu se razlikovati dvije vrste normativnih modela: modeli optimizacije i modeli teorijske igre. U optimizacijskim modelima, glavni zadatak razvoja rješenja tehnički se svodi na striktno maksimiziranje ili minimiziranje kriterija efikasnosti, tj. određuju se takve vrijednosti kontroliranih varijabli pri kojima kriterij efikasnosti dostiže ekstremnu vrijednost (maksimalna ili minimalna).

Za razvoj rješenja prikazanih optimizacijskim modelima, uz klasične i nove varijacione metode (pretraga ekstremima), najčešće se koriste metode matematičkog programiranja (linearne, nelinearne, dinamičke). Teorijski model igara karakterizira višestrukost partija (najmanje dvije). Ako postoje dvije stranke sa suprotstavljenim interesima, onda se koristi teorija igara, ako je broj stranaka veći od dvije i među njima su nemoguće koalicije i kompromisi, onda se koristi teorija nekooperativnih igara n osobe

6. U zavisnosti od prisustva ili odsustva slučajnih (ili neizvesnih) faktora, deterministički i stohastički matematički modeli. U determinističkim modelima, sve veze, varijable i konstante su precizno specificirane, što dovodi do nedvosmislene definicije rezultirajuće funkcije. Deterministički model se konstruiše u slučajevima kada se faktori koji utiču na ishod operacije mogu prilično precizno izmeriti ili proceniti, a slučajni faktori ili izostaju ili se mogu zanemariti.

Ako su neki ili svi parametri uključeni u model po svojoj prirodi slučajne varijable ili slučajne funkcije, tada se model klasificira kao stohastički model. U stohastičkim modelima specificiraju se zakoni distribucije slučajnih varijabli, što dovodi do probabilističke procjene rezultujuće funkcije i realnost se prikazuje kao određena slučajni proces, čiji je tok i ishod opisan određenim karakteristikama slučajnih varijabli: matematičkim očekivanjima, varijansama, funkcijama distribucije itd. Izgradnja takvog modela je moguća ako postoji dovoljno činjeničnog materijala za procjenu potrebnih distribucija vjerojatnosti ili ako teorija fenomena koji se razmatra dopušta da se te distribucije odrede teorijski (na osnovu formula teorije vjerojatnosti, graničnih teorema itd.) .

7. U zavisnosti od svrhe modeliranja, postoje deskriptivno, optimizacijsko i upravljanje modeli. U deskriptivnim (od latinskog descriptio - opis) modelima proučavaju se zakoni promjene parametara modela. Na primjer, model kretanja materijalne tačke pod utjecajem primijenjenih sila zasnovan na drugom Newtonovom zakonu: . Određivanje položaja i ubrzanja tačke u ovog trenutka vrijeme (ulazni parametri), masa (vlastiti parametar) i zakon promjene primijenjenih sila (spoljni utjecaji), možete odrediti koordinate tačke i brzinu u bilo kojem trenutku (izlazni podaci).

Optimizacijski modeli se koriste za određivanje najboljeg (optimalnog), na osnovu nekog kriterija, parametara modeliranog objekta ili metoda upravljanja ovim objektom. Optimizacijski modeli se grade korištenjem jednog ili više deskriptivnih modela i imaju nekoliko kriterija za određivanje optimalnosti. Na raspon vrijednosti ulaznih parametara mogu se nametnuti ograničenja u obliku jednakosti ili nejednakosti koje se odnose na karakteristike predmeta ili procesa koji se razmatra. Primjer optimizacijskog modela je priprema dijete za određenu dijetu (ulazni podaci su kalorijski sadržaj proizvoda, vrijednosti cijena itd.).

Upravljački modeli se koriste za donošenje odluka u različitim oblastima svrsishodne ljudske aktivnosti, kada se iz čitavog skupa alternativa bira nekoliko, a cjelokupni proces donošenja odluka je niz takvih alternativa. Na primjer, odabir izvještaja za promociju od nekoliko pripremljenih od strane učenika. Složenost zadatka leži kako u nesigurnosti ulaznih podataka (da li je izvještaj pripremljen samostalno ili je korišten tuđi rad) tako i u ciljevima (naučna priroda rada i njegova struktura, nivo prezentacije i nivo pripreme). učenika, rezultate eksperimenta i dobijene zaključke). Budući da se optimalnost odluke donesene u istoj situaciji može tumačiti na različite načine, tip kriterija optimalnosti u modelima upravljanja nije unaprijed fiksiran. Metode za formiranje kriterijuma optimalnosti u zavisnosti od vrste neizvesnosti razmatraju se u teoriji izbora i odlučivanja, na osnovu teorije igara i istraživanja operacija.

8. Prema metodi istraživanja razlikuju analitičke, numeričke i simulacijske modeli. Analitički model je formalizovani opis sistema koji omogućava da se dobije eksplicitno rešenje jednačine korišćenjem dobro poznatog matematičkog aparata. Numerički model karakterizira ovisnost koja omogućava samo parcijalna numerička rješenja za specifične početne uslove i kvantitativne parametre modela. Simulacioni model je skup opisa sistema i spoljašnjih uticaja, algoritama za funkcionisanje sistema ili pravila za promenu stanja sistema pod uticajem spoljašnjih i unutrašnjih poremećaja. Ovi algoritmi i pravila ne omogućavaju korištenje postojećih matematičkih metoda za analitička i numerička rješenja, ali omogućavaju simulaciju procesa funkcionisanja sistema i evidentiranje karakteristika od interesa. U nastavku će se detaljnije razmotriti pojedini analitički i simulacijski modeli; proučavanje ovih konkretnih vrsta modela vezano je za specifičnosti profesionalnog djelovanja studenata u ovoj oblasti obuke.

1.4. Grafički prikaz matematičkih modela

U matematici se oblici odnosa između veličina mogu predstaviti jednadžbama oblika nezavisne varijable (argument), y– zavisna varijabla (funkcija). U teoriji matematičkog modeliranja nezavisna varijabla se naziva faktor, a zavisna varijabla odgovor. Štoviše, ovisno o području konstrukcije matematičkog modela, terminologija se donekle mijenja. Neki primjeri definicija faktora i odgovora, ovisno o području studija, dati su u tabeli 1.

Tabela 1. Neke definicije pojmova “faktor” i “odgovor”

Predstavljajući matematički model grafički, faktore i odgovore ćemo smatrati varijablama čije vrijednosti pripadaju skupu realnih brojeva.

Grafički prikaz matematičkog modela je neka odzivna površina koja odgovara lokaciji tačaka u k- prostor dimenzionalnog faktora X. Mogu se vizualizirati samo jednodimenzionalne i dvodimenzionalne površine odziva. U prvom slučaju, ovo je skup tačaka na realnoj ravni, au drugom skup tačaka koje formiraju površinu u prostoru (za prikaz takvih tačaka zgodno je koristiti ravnine - način prikazivanja reljefa prostornu površinu konstruisanu u dvodimenzionalnom faktorskom prostoru X(Sl. 8).

Područje u kojem je definirana površina odgovora se zove domena definicije X *. Ova regija je, po pravilu, samo dio kompletnog faktorskog prostora X(X*Ì X) i istaknut je korištenjem ograničenja nametnutih kontrolnim varijablama x i, napisano u obliku jednakosti:

x i = C i , i = 1,…, m;

f j(x) = C j, j = 1,…, l

ili nejednakosti:

x i min £ x i£ x i max, i= 1,…, k;

f j(x) £ C j, j = 1,…, n,

Istovremeno, funkcije f j(x) može zavisiti i od svih varijabli istovremeno i od nekih od njih.

Ograničenja tipa nejednakosti karakteriziraju ili fizička ograničenja na procese u objektu koji se proučava (na primjer, temperaturna ograničenja), ili tehnička ograničenja povezana s radnim uvjetima objekta (npr. najveća brzina sečenje, ograničenja rezervi sirovina).

Mogućnosti proučavanja modela značajno zavise od svojstava (reljefa) površine odziva, posebno od broja prisutnih „vrhova“ na njoj i njenog kontrasta. Broj vrhova (dolina) određuje modalitet odzivne površine. Ako postoji jedan vrh (dolina) u domeni definicije na površini odziva, model se naziva unimodalni.

Priroda promjene funkcije može biti različita (slika 9).

Model može imati tačke diskontinuiteta prve vrste (slika 9 (a)), tačke diskontinuiteta druge vrste (slika 9(b)). Slika 9(c) prikazuje kontinuirano diferencibilni unimodalni model.

Za sva tri slučaja prikazana na slici 9, ispunjen je opći zahtjev unimodalnosti:

ako je W(x*) ekstrem od W, onda iz uslova x 1< x 2 < x* (x 1 >x 2 > x*) slijedi W(x 1)< W(x 2) < W(x*) , если экстремум – максимум, или W(x 1) >W(x 2) > W(x*) ako je ekstremum minimalan, odnosno kako se udaljavamo od ekstremne tačke, vrijednost funkcije W(x) kontinuirano opada (raste).

Uz unimodalne, razmatraju se i polimodalni modeli (Sl. 10).

Još jedno važno svojstvo površine odziva je njen kontrast, koji pokazuje osjetljivost rezultujuće funkcije na promjene faktora. Kontrast karakteriziraju vrijednosti njegovih derivata. Pokažimo karakteristike kontrasta na primjeru dvodimenzionalne površine odziva (slika 11).

Dot A nalazi se na „kosini“ koja karakteriše jednak kontrast za sve varijable x i (i=1,2), tačka b nalazi se u „jaduci“ u kojoj postoji različit kontrast za različite varijable (imamo lošu uslovljenost funkcije), tačka With nalazi se na "visoravni" gdje postoji nizak kontrast za sve varijable x i označava blizinu ekstrema.

1.5. Osnovne metode za konstruisanje matematičkih modela

Predstavimo klasifikaciju metoda za formalizovano predstavljanje simuliranih sistema od strane V. N. Volkove. i Denisova A.A. Autori su identifikovali analitičke, statističke, teorijske, lingvističke, logičke i grafičke metode. Osnovna terminologija, primjeri teorija koje se razvijaju na osnovu opisanih klasa metoda, kao i obim i mogućnosti njihove primjene su predloženi u Dodatku 1.

U praksi modeliranja sistema najviše se koriste analitičke i statističke metode.

1) Analitičke metode za konstruisanje matematičkih modela.

Osnovu terminološkog aparata analitičkih metoda za konstruisanje matematičkih modela čine pojmovi klasične matematike (formula, funkcija, jednačina i sistem jednačina, nejednakost, izvod, integral itd.). Ove metode karakteriše jasnoća i validnost terminologije koja se koristi jezikom klasične matematike.

Na osnovu analitičkih koncepata nastale su i razvijale se takve matematičke teorije kao što su klasična matematička analiza (na primjer, metode za proučavanje funkcija) i moderne osnove matematičkog programiranja i teorije igara. Osim toga, matematičko programiranje (linearno, nelinearno, dinamičko, cjelobrojno, itd.) sadrži oba načina formulisanja problema i proširuje mogućnosti dokazivanja adekvatnosti modela, za razliku od niza drugih oblasti matematike. Ideje optimalnog matematičkog programiranja za rješavanje ekonomskih (posebno, rješavanja problema optimalnog rezanja lista šperploče) predložio je L.V. Kantorovich.

Objasnimo karakteristike metode na primjeru.

Primjer. Pretpostavimo da za proizvodnju dvije vrste proizvoda A I IN moraju se koristiti tri vrste sirovina. Istovremeno, za proizvodnju jedinice proizvoda tog tipa A Potrošene su 4 jedinice. sirovine prve vrste, 2 kom. 2. i 3. jedinica. 3rd type. Za proizvodnju jedinice proizvoda vrste IN 2 jedinice su potrošene. sirovine 1. vrste, 5 kom. 2. tip i 4 jedinice. 3. vrsta sirovine. U fabričkom skladištu se nalazi 35 jedinica. sirovine 1. vrste, 43 - 2., 40 - 3. vrste. Od prodaje jedinice proizvoda te vrste A tvornica ima profit od 5 hiljada rubalja, a od prodaje jedinice proizvoda tog tipa IN profit je 9 hiljada rubalja. Potrebno je kreirati matematički model problema koji omogućava postizanje maksimalnog profita.

Stope potrošnje svake vrste sirovina za proizvodnju jedinice date vrste proizvoda date su u tabeli. Takođe ukazuje na dobit od prodaje svake vrste proizvoda i ukupnu količinu sirovina ove vrste koju preduzeće može koristiti.

Označimo sa x 1 I x 2 obim proizvedenih proizvoda A I IN respektivno. Cijena materijala prvog razreda za plan će biti 4x 1 + 2x 2, a ne bi trebalo da prelaze rezerve, tj. 35 kg:

4x 1 + 2x 2 35.

Ograničenja za materijal drugog razreda su slična:

2x 1 + 5x 2 43,

i prema gradivu trećeg razreda

3x 1 + 4x 2 40.

Dobit od prodaje x 1 jedinice proizvodnje A i x 2 jedinice proizvodnje B će biti z = 5x 1+ 9x 2(objektivna funkcija).

Dobili smo model zadatka:

Grafičko rješenje Zadaci su prikazani na slici 11.

Optimalno (najbolja, tj. maksimalna funkcija z) rješenje problema je u tački A (rješenje je objašnjeno u poglavlju 5).

Shvatio sam x 1=4,x 2=7, vrijednost funkcije z u tački A: .

Dakle, vrijednost maksimalnog profita iznosi 83 hiljade rubalja.

Pored grafičke metode, postoji niz posebnih metoda za rješavanje problema (na primjer, simpleks metoda) ili se koriste paketi aplikacija koji ih implementiraju. U zavisnosti od tipa funkcije cilja razlikuje se linearno i nelinearno programiranje, a zavisno od prirode varijabli razlikuje se celobrojno programiranje.

Možemo istaći opšte karakteristike matematičkog programiranja:

1) uvođenje koncepta funkcije cilja i ograničenja su sredstva za postavljanje problema;

2) moguće je kombinovati heterogene kriterijume (različite dimenzije, u primeru – rezerve sirovina i profit) u jednom modelu;

3) model matematičkog programiranja omogućava dostizanje granice oblasti dozvoljenih vrednosti varijabli;

4) mogućnost implementacije korak po korak algoritam postizanje rezultata (pristup korak po korak do optimalno rešenje);

5) jasnoća postignuta geometrijskom interpretacijom problema, pomoć u slučajevima kada je problem nemoguće formalno riješiti.

2) Statističke metode za konstruisanje matematičkih modela.

Statističke metode za konstruisanje matematičkih modela postale su široko rasprostranjene i počele da se široko koriste sa razvojem teorije verovatnoće u 19. veku. Oni su zasnovani na probabilističkim obrascima slučajnih (stohastičkih) događaja koji odražavaju stvarne pojave. Termin „stohastički“ je pojašnjenje pojma „slučajan“, ukazujući na unapred određene, specifične uzroke koji utiču na proces, a koncept „slučajan“ karakteriše nezavisnost od uticaja ili odsustvo takvih uzroka.

Statistički obrasci su predstavljeni u obliku diskretnih slučajnih varijabli i obrazaca pojavljivanja njihovih vrijednosti ili u obliku kontinuiranih ovisnosti distribucije događaja (procesa). Teorijska osnova Konstrukcija stohastičkih modela je detaljno opisana u Poglavlju 2.

Kontrolna pitanja

1. Formulirati glavni problem matematičkog modeliranja.

2. Definirajte matematički model.

3. Navedite glavne nedostatke eksperimentalnog pristupa u istraživanju.

4. Navedite glavne faze izgradnje modela.

5. Navedite vrste matematičkih modela.

6. Dajte kratak opis vrste modela.

7. Kakav oblik ima matematički model, predstavljen geometrijski?

8. Kako se definišu matematički modeli analitičkog tipa?

Zadaci

1. Kreirajte matematički model za rješavanje problema i klasificirajte model:

1) Odredite maksimalni kapacitet cilindrične kante čija je površina (bez poklopca) jednaka S.

2) Kompanija obezbeđuje redovnu proizvodnju proizvoda uz nesmetano snabdevanje komponentama od dva kooperanta. Vjerovatnoća odbijanja isporuke od prvog od podizvođača je , a od drugog - . Pronađite vjerovatnoću neuspjeha u radu poduzeća.

2. Malthusov model (1798) opisuje reprodukciju populacije brzinom proporcionalnom njenoj veličini. U diskretnom obliku, ovaj zakon je geometrijska progresija: ; ili .Zakon, napisan u obliku diferencijalne jednadžbe, je model eksponencijalnog rasta populacije i dobro opisuje rast ćelijskih populacija u odsustvu bilo kakvog ograničenja: . Postavite početne uslove i demonstrirajte model.

MATEMATIČKA ŠEMA ZA MODELIRANJE SISTEMA

OSNOVNI PRISTUPI KONSTRUKCIJI MATEMATIČKIH MODELA SISTEMA

Početna informacija pri konstruisanju matematičkih modela procesa funkcionisanja sistema su podaci o nameni i uslovima rada sistema koji se proučava (projektira) S. Ove informacije definiraju glavnu svrhu modeliranja sistema S i omogućava vam da formulišete zahteve za razvijeni matematički model M.Štaviše, nivo apstrakcije zavisi od opsega pitanja na koja istraživač sistema želi da odgovori koristeći model, i donekle određuje izbor matematičke šeme.

Matematičke šeme. Uvođenje koncepta matematičke šeme omogućava nam da matematiku posmatramo ne kao metodu računanja, već kao metodu mišljenja, kao sredstvo formulisanja koncepata, što je najvažnije u prelasku sa verbalnog opisa sistema na formalni prikaz procesa njegovog funkcionisanja u obliku nekog matematičkog modela (analitičkog ili simulacionog). Kada se koristi matematička šema, prije svega, istraživača sistema S treba zanimati pitanje adekvatnosti reprezentacije u obliku specifičnih dijagrama realnih procesa u sistemu koji se proučava, a ne mogućnost dobijanja odgovor (rezultat rješenja) na određeno istraživačko pitanje. Na primjer, predstavljanje procesa funkcionisanja zajedničkog informacionog računarskog sistema u obliku mreže šema čekanja omogućava dobro opisivanje procesa koji se dešavaju u sistemu, ali s obzirom na složene zakone dolaznih tokova i tokova usluga, to čini ne omogućavaju dobijanje rezultata u eksplicitnom obliku.

Matematička šema može se definisati kao karika u prelasku sa smislenog na formalni opis procesa funkcionisanja sistema, uzimajući u obzir uticaj spoljašnjeg okruženja, odnosno postoji lanac „deskriptivni model – matematička šema – matematički (analitički i/ ili simulacijski) model.”

Svaki specifičan sistem S karakteriše skup svojstava, koja se shvataju kao veličine koje odražavaju ponašanje simuliranog objekta (stvarnog sistema) i uzimaju u obzir uslove njegovog funkcionisanja u interakciji sa spoljašnjim okruženjem (sistemom) E. Prilikom konstruisanja matematičkog modela sistema potrebno je rešiti pitanje njegove kompletnosti. Kompletnost modela regulisana je uglavnom izborom granice “sistem S - okruženje”. E» . Problem pojednostavljivanja modela također mora biti riješen, što pomaže da se istaknu glavna svojstva sistema, odbacujući sporedna. Štaviše, klasifikovanje svojstava sistema kao primarnih ili sekundarnih značajno zavisi od svrhe modeliranja sistema (na primer, analiza verovatnosno-vremenskih karakteristika procesa funkcionisanja sistema, sinteza strukture sistema itd.) .

Formalni model objekta. Model objekta modeliranja, odnosno sistema S, može se predstaviti kao skup veličina koje opisuju proces funkcionisanja realnog sistema i generalno čine sljedeće podskupove: skup ulazni uticaji po sistemu

;

totalitet uticaje životne sredine

;

totalitet interni (vlastiti) parametri sistemima

;

totalitet izlazne karakteristike sistemima

.

Štaviše, u navedenim podskupovima mogu se razlikovati kontrolisane i nekontrolisane varijable. Uglavnom , , , su elementi disjunktnih podskupova i sadrže i determinističke i stohastičke komponente.

Kod modeliranja sistema S, ulazni uticaji, uticaji okoline E a unutrašnji parametri sistema su nezavisne (egzogene) varijable, koji u vektorskom obliku imaju oblik , , , respektivno a izlazne karakteristike sistema su zavisne (endogene) varijable a u vektorskom obliku imaju oblik ).

Operator opisuje proces funkcionisanja sistema S u vremenu F s , koji generalno transformiše egzogene varijable u endogene u skladu sa relacijama oblika

. (1)

Skup zavisnosti izlaznih karakteristika sistema o vremenu y j (t) za sve vrste
pozvao izlazna staza
. Poziva se zavisnost (1). zakon funkcionisanja sistemaS i određen je F s . Generalno, zakon funkcionisanja sistema F s mogu biti specificirani u obliku funkcije, funkcionalnih, logičkih uslova, u algoritamskom i tabelarnom obliku ili u obliku verbalnog pravila podudaranja.

Za opis i proučavanje sistema S veoma je važan koncept algoritam funkcionisanjaA s , što se shvata kao metoda za dobijanje izlaznih karakteristika uzimajući u obzir ulazne uticaje
, uticaje životne sredine
i vlastite sistemske parametre
. Očigledno je da isti radni zakon F s Sistem S se može implementirati na različite načine, odnosno korištenjem mnogo različitih operativnih algoritama A s .

Relacije (1) su matematički opis ponašanja modela (sistema) u vremenu t, tj. odražavaju njegova dinamička svojstva. Stoga se obično nazivaju matematički modeli ovog tipa dinamički modeli(sistemi).

Za statički modeli matematički model (1) je mapiranje između dva podskupa svojstava modeliranog objekta Y I { X, V, N), koji se u vektorskom obliku može zapisati kao

. (2)

Relacije (1) i (2) se mogu specificirati na različite načine: analitički (pomoću formula), grafički, tabelarno, itd. Takve relacije u velikom broju slučajeva mogu se dobiti kroz svojstva sistema S u određeno vrijeme, tzv. države. Stanje sistema S karakterišu vektori

I
,

Gdje
,
, …,
u određenom trenutku
;
,
, …,
u određenom trenutku
itd.,
.

Ako posmatramo proces funkcionisanja sistema S kao sekvencijalnu promenu stanja
, onda se mogu tumačiti kao koordinate tačke u To-dimenzionalni fazni prostor. Štaviše, svaka implementacija procesa će odgovarati određenoj faznoj putanji. Skup svih mogućih vrijednosti stanja pozvao prostor stanja objekt modeliranja Z, i
.

Stanja sistema S u trenutku vremena t 0 < t*T potpuno su određene početnim uslovima
[Gdje
,
, …,
], ulazni uticaji
, sopstveni sistemski parametri
i uticaje životne sredine
, koji se odvijao tokom određenog vremenskog perioda t*- t 0 , With koristeći dvije vektorske jednačine

; (3)

. (4)

Prva jednadžba za početno stanje i egzogene varijable
definira vektorsku funkciju
, a drugi prema dobijenoj vrijednosti stanja
- endogene varijable na izlazu sistema
. Dakle, lanac jednačina objekta "ulaz-stanja-izlaz" omogućava određivanje karakteristika sistema

. (5)

Općenito, vrijeme u modelu sistema S može se razmatrati u intervalu modeliranja (0, T) i kontinuirano i diskretno, tj. kvantizirano u segmente dužine
vremenske jedinice svaki kada
, Gdje
- broj intervala uzorkovanja.

Dakle, pod matematički model objekta(stvarnog sistema) razumjeti konačan podskup varijabli (
} zajedno sa matematičkim vezama između njih i karakteristikama
.

Ako matematički opis objekta modeliranja ne sadrži slučajne elemente ili se oni ne uzimaju u obzir, tj. ako se može pretpostaviti da će u ovom slučaju stohastički utjecaji vanjskog okruženja
i stohastički interni parametri
nedostaju, onda se model poziva deterministički u smislu da su karakteristike jedinstveno određene determinističkim ulaznim uticajima

. (6)

Očigledno je da je deterministički model poseban slučaj stohastičkog modela.

Tipične šeme. Prikazani matematički odnosi predstavljaju opšte matematičke šeme i omogućavaju opisivanje široke klase sistema. Međutim, u praksi modeliranja objekata u oblasti sistemskog inženjeringa i sistemske analize, u početnim fazama istraživanja sistema, racionalnije je koristiti tipične matematičke šeme: diferencijalne jednadžbe, konačni i probabilistički automati, sistemi čekanja, Petrijeve mreže, itd.

Nemajući isti stepen opštosti kao razmatrani modeli, tipične matematičke šeme imaju prednosti jednostavnosti i jasnoće, ali uz značajno sužavanje mogućnosti primene. Kao deterministički modeli, kada se u istraživanju ne uzimaju u obzir slučajni faktori, koriste se diferencijalne, integralne, integrodiferencijalne i druge jednačine za predstavljanje sistema koji rade u kontinuiranom vremenu, a šeme konačnih razlika se koriste za predstavljanje sistema koji rade u diskretnom vremenu. Kao stohastički modeli (uzimajući u obzir slučajne faktore), probabilistički automati se koriste za predstavljanje sistema sa diskretnim vremenom, a sistemi čekanja, itd. se koriste za predstavljanje sistema sa kontinuiranim vremenom.

Navedene standardne matematičke šeme, naravno, ne mogu tvrditi da na njihovoj osnovi mogu opisati sve procese koji se dešavaju u velikim informacionim i upravljačkim sistemima. Za takve sisteme, u nekim slučajevima, više obećava upotreba agregativnih modela.

Agregatni modeli (sistemi) omogućavaju opisivanje širokog spektra istraživačkih objekata, odražavajući sistemsku prirodu ovih objekata. Agregativnim opisom složeni objekat (sistem) se deli na konačan broj delova (podsistema), uz održavanje veza koje obezbeđuju interakciju delova.

Dakle, pri konstruisanju matematičkih modela procesa funkcionisanja sistema mogu se razlikovati sledeći glavni pristupi: kontinuirano-deterministički (na primer, diferencijalne jednačine); diskretno-deterministički (mašine konačnih stanja); diskretno-stohastički (verovatni automati); kontinuirano-stohastički (sistemi čekanja); generalizovani ili univerzalni (agregatni sistemi).

KONTINUIRANI DETERMINISTIČKI MODELI (D-ŠEME)

Razmotrimo karakteristike kontinuirano determinističkog pristupa na primjeru korištenja diferencijalnih jednadžbi kao matematičkih modela. Diferencijalne jednadžbe To su jednadžbe u kojima su funkcije jedne ili više varijabli nepoznate, a jednačina uključuje ne samo funkcije, već i njihove derivate različitog reda. Ako su nepoznanice funkcije mnogih varijabli, tada se jednadžbe nazivaju parcijalnim diferencijalnim jednadžbama, u suprotnom, kada se razmatraju funkcije samo jedne nezavisne varijable, jednadžbe se nazivaju obične diferencijalne jednadžbe.

Osnovni odnosi. Tipično, u takvim matematičkim modelima, vrijeme služi kao nezavisna varijabla o kojoj ovise nepoznate nepoznate funkcije. t. Tada će matematička relacija za determinističke sisteme (6) u opštem obliku biti

, (7)

Gdje
,
I
- P-dimenzionalni vektori;
- vektorska funkcija koja je definirana na nekom ( P+1)-dimenzionalni
postavljeno i kontinuirano.

Budući da matematičke šeme ovog tipa odražavaju dinamiku sistema koji se proučava, odnosno njegovo ponašanje u vremenu, nazivaju se D-sheme(engleski) dinamičan).

U najjednostavnijem slučaju, obična diferencijalna jednadžba ima oblik

. (8)

Najvažnija aplikacija za sistemsko inženjerstvo D-sheme kao matematički aparat u teoriji automatskog upravljanja. Da biste ilustrirali karakteristike konstrukcije i primjene D-šema, razmotrite najjednostavniji primjer formalizacija procesa funkcionisanja dva elementarna sistema različite fizičke prirode: mehaničkog S M (oscilacije klatna, sl. 1, a) i električni S K (oscilatorni krug, slika 1, b).

Rice. 1. Elementarni sistemi

Proces malih oscilacija klatna opisuje se običnom diferencijalnom jednačinom

Gdje
- masa i dužina ovjesa klatna; g - ubrzanje slobodnog pada;
- ugao otklona klatna u trenutku vremena t.

Iz ove jednadžbe za slobodnu oscilaciju klatna mogu se naći procjene karakteristika od interesa. Na primjer, period oscilacije klatna

.

Slično, procesi u električnom oscilatornom kolu opisuju se običnom diferencijalnom jednačinom

Gdje L To , WITH To - induktivnost i kapacitet kondenzatora; q(t) - napunjenost kondenzatora u vremenu t.

Iz ove jednačine se mogu dobiti različite procjene karakteristika procesa u oscilatornom krugu. Na primjer, period električnih oscilacija

.

Očigledno je da uvođenjem notacije
,
, ,
, dobijamo običnu diferencijalnu jednačinu drugog reda koja opisuje ponašanje ovog zatvorenog sistema:

Gdje
- sistemski parametri; z(t) - stanje sistema u datom trenutku t.

Dakle, ponašanje ova dva objekta može se proučavati na osnovu opšteg matematičkog modela (9). Osim toga, treba napomenuti da se ponašanje jednog od sistema može analizirati korištenjem drugog. Na primjer, ponašanje klatna (sistema S M) može se proučavati pomoću električnog oscilatornog kola (sistema S K).

Ako sistem koji se proučava S, tj. klatno ili kolo, stupa u interakciju s vanjskim okruženjem E, tada se pojavljuje ulazni uticaj X(t) (spoljna sila za klatno i izvor energije za kolo) i kontinuirano deterministički model takvog sistema imaće oblik

Sa stanovišta opće šeme matematičkog modela X(t) je ulazna (kontrolna) akcija, a stanje sistema S u ovom slučaju se može smatrati izlaznom karakteristikom, tj. pretpostaviti da se izlazna varijabla poklapa sa stanjem sistema u datom trenutku y =z.

Moguće primjene. Prilikom rješavanja problema sistemskog inženjerstva, problemi upravljanja velikim sistemima su od velike važnosti. Obratite pažnju na sisteme automatska kontrola- opisan poseban slučaj dinamičkih sistema D-sheme i raspoređeni u posebnu klasu modela zbog njihove praktične specifičnosti.

Kada se opisuju procesi automatskog upravljanja, obično se pridržavaju reprezentacije realnog objekta u vidu dva sistema: kontrolnog i kontrolisanog (kontrolnog objekta). Struktura opšteg višedimenzionalnog sistema automatskog upravljanja prikazana je na Sl. 2, gdje su naznačeni endogene varijable:
- vektor uticaja ulaznih (postavki);
- vektor poremećenih uticaja;
- vektor signala greške;
- vektor kontrolnih radnji; egzogene varijable:
- vektor stanja sistema S;
- vektor izlaznih varijabli, obično
=
.

Rice. 2. Struktura sistema automatskog upravljanja

Savremeni sistem upravljanja je skup softverskih i hardverskih alata koji obezbeđuju da kontrolisan objekat postigne određeni cilj. Koliko tačno kontrolni objekat postiže zadati cilj može se proceniti za jednodimenzionalni sistem po koordinatama stanja y(t). Razlika između datog at ass (t) i validan y(t) zakon promjene kontrolisane veličine je kontrolna greška . Ako propisani zakon promjene kontrolisane veličine odgovara zakonu promjene ulaznog (skupnog) uticaja, tj.
, To
.

Sistemi za koje kontrolišu greške
u svakom trenutku nazivaju idealnim. U praksi je implementacija idealnih sistema nemoguća. Dakle greška h"(t) - neophodan element automatskog upravljanja po principu negativnog povratne informacije, budući da odgovara izlaznoj varijabli y(t) njegova postavljena vrijednost koristi informaciju o odstupanju između njih. Zadatak sistema automatskog upravljanja je da promijeni varijablu y(t) prema datom zakonu sa određenom tačnošću (sa prihvatljivom greškom). Prilikom projektovanja i rada sistema automatskog upravljanja potrebno je odabrati sledeće sistemske parametre S, što bi obezbedilo potrebnu tačnost upravljanja, kao i stabilnost sistema u prelaznom procesu.

Ako je sistem stabilan, onda je ponašanje sistema tokom vremena, maksimalno odstupanje kontrolisane varijable, od praktičnog interesa y(t) u prelaznom procesu, vremenu prelaznog procesa itd. Zaključci o svojstvima sistema automatskog upravljanja različitih klasa mogu se izvesti iz tipa diferencijalnih jednačina koje približno opisuju procese u sistemima. Redoslijed diferencijalne jednadžbe i vrijednosti njenih koeficijenata u potpunosti su određeni statičkim i dinamičkim parametrima sistema S.

Dakle, koristeći D-sheme omogućava vam da formalizujete proces funkcionisanja kontinuirano determinističkih sistema S i procijeniti njihove glavne karakteristike korištenjem analitičkog ili simulacionog pristupa, implementiranog u obliku odgovarajućeg jezika za modeliranje kontinuiranih sistema ili korištenjem analognih i hibridnih računarskih alata.