Ett exempel på en matematisk modell. Definition, klassificering och funktioner. Grundläggande tillvägagångssätt för att konstruera matematiska modeller av system Grafiskt diagram över den matematiska modellen

16 Matematiska scheman för modelleringssystem.

Grundläggande tillvägagångssätt för att konstruera matematiska modeller av ett system. Kontinuerligt deterministiska modeller. Diskret-deterministiska modeller. Diskret-stokastiska modeller. Kontinuerlig-stokastiska modeller. Nätverksmodeller. Kombinerade modeller.

Grundläggande tillvägagångssätt för att konstruera matematiska modeller av ett system.

Den första informationen när man konstruerar matematiska modeller av systemfunktionsprocesser är data om syftet och driftsförhållandena för det system som studeras (designas) S.

Matematiska scheman

Verkliga processer visas i form av specifika diagram. Matta. diagram – övergång från en meningsfull beskrivning till en formell beskrivning av systemet, med hänsyn tagen till miljöns påverkan.

Formell objektmodell

Simuleringsobjektmodell,

dvs system S, kan representeras som en uppsättning kvantiteter,

beskriver hur ett verkligt system fungerar och att det bildas

i allmänhet följande undergrupper:

· helhet input påverkar per system

Xi,еХ,(e-karaktär tillhör)i=1; nx

· helhet miljöpåverkan

vl eVl=1;nv

· helhet interna (egna) parametrar system

hkeHk=1;nh

· helhet utgångsegenskaper system

yJeYj=1;ny

Kontrollerbara och okontrollerbara variabler kan särskiljas.

Vid modellering av system innehåller ingående påverkan, extern miljöpåverkan och interna parametrar både deterministiska och stokastiska komponenter.

input influenser, miljöpåverkan E och de interna parametrarna för systemet är oberoende (exogena) variabler.

Systemdriftprocess S beskrivits i tid av operatören Fs, som i allmänhet omvandlar exogena variabler till endogena i enlighet med relationer av formen:

y(t)=Fs(x,v, h,t) – alla med vekTori.

Funktionslagen för systemet Fs kan specificeras i form av en funktion, funktionella, logiska villkor, i algoritmiska och tabellformade former, eller i form av en verbal överensstämmelseregel.

Konceptet med den fungerande algoritmen som - en metod för att erhålla utgångskarakteristika med hänsyn till ingående påverkan, extern miljöpåverkan och systemets egna parametrar.

Systemtillstånd introduceras också - egenskaper hos systemet vid specifika tidpunkter.

Uppsättningen av alla möjliga tillståndsvärden utgör tillståndsutrymmet för ett objekt.

Således tillåter ekvationskedjan för objektet "ingång - tillstånd - utgång" oss att bestämma systemets egenskaper:

Alltså under matematisk modell av objektet(verkligt system) förstå en finit delmängd av variabler (x (t), v (t), h(t)) tillsammans med matematiska samband mellan dem och egenskaper y(t).

Typiska scheman

I de inledande stadierna av studien används standardscheman : differentialekvationer, finita och probabilistiska automater, kösystem, petrinät m.m.

Som deterministiska modeller, när slumpmässiga faktorer inte beaktas i studien, används differential-, integral-, integrodifferentiella och andra ekvationer för att representera system som arbetar i kontinuerlig tid och för att representera system som arbetar i diskret tid - ändliga tillståndsmaskiner och ändliga skillnadsscheman.

Som stokastiska modeller (med hänsyn till slumpmässiga faktorer) används probabilistiska automater för att representera diskreta tidssystem, och kösystem etc. används för att representera kontinuerliga tidssystem.

Sålunda, när man konstruerar matematiska modeller av systemfunktionsprocesser, kan följande huvudsakliga tillvägagångssätt särskiljas: kontinuerlig-deterministisk (till exempel differentialekvationer); diskret-deterministiska (ändliga tillståndsmaskiner); diskret-stokastisk (probabilistisk automat); kontinuerlig-stokastisk (kösystem); generaliserade eller universella (aggregerade system).

Kontinuerligt deterministiska modeller

Låt oss överväga egenskaperna hos det kontinuerligt deterministiska tillvägagångssättet med hjälp av ett exempel, med Mat. modeller differentialekvationer.

Differentialekvationer är de ekvationer där funktionerna för en variabel eller flera variabler är okända, och ekvationen inkluderar inte bara deras funktioner utan deras derivator av olika ordning.

Om de okända är funktioner av många variabler, kallas ekvationerna - partiella differentialekvationer. Om okända funktioner av en oberoende variabel, då vanliga differentialekvationer.

Matematisk relation för deterministiska system i allmän form:

Diskret-deterministiska modeller.

DDM är föremål för övervägande automatteori (TA). TA är ett avsnitt av teoretisk kybernetik som studerar enheter som bearbetar diskret information och ändra dess interna tillstånd endast vid acceptabla tidpunkter.

Statsmaskin är en automat vars uppsättning av interna tillstånd och insignaler (och därför uppsättningen av utsignaler) är ändliga uppsättningar.

Statsmaskin har en uppsättning interna tillstånd och insignaler, som är ändliga uppsättningar. Maskin ges av F-schemat: F= ,

där z, x, y är ändliga uppsättningar av in- och utsignaler (alfabet) respektive en ändlig uppsättning interna tillstånd (alfabet). z0ÎZ - initialtillstånd; j(z, x) - övergångsfunktion; y(z, x) - utgångsfunktion.

Automaten arbetar i diskret automattid, vars moment är klockcykler, det vill säga lika tidsintervall intill varandra, som var och en motsvarar konstanta värden för ingången, utsignalen och det interna tillståndet. En abstrakt automat har en ingångs- och en utgångskanal.

För att specificera en F-automat är det nödvändigt att beskriva alla element i uppsättningen F= , d.v.s. inmatnings-, interna- och utgående alfabet, samt övergångs- och utdatafunktioner. För att specificera driften av F-automata används oftast tabell-, grafiska och matrismetoder.

I den tabellformade metoden för inställning används tabeller över övergångar och utgångar, vars rader motsvarar maskinens insignaler och kolumnerna motsvarar dess tillstånd.

Arbetsbeskrivning F- automatisk maskin Mili tabeller över övergångar j och utgångar y illustreras av tabell (1), och beskrivningen av F - en Moore-maskin - av tabell med övergångar (2).

bord 1



Övergångar


…………………………………………………………



…………………………………………………………

Tabell 2






…………………………………………………………

Exempel på tabellmetoden för att specificera F - Mealy-maskinen F1 med tre tillstånd, två ingångs- och två utsignaler ges i Tabell 3, och för F - Moore-maskinen F2 - i Tabell 4.

Tabell 3



Övergångar

Tabell 4

Ett annat sätt att specificera en finit automat använder konceptet med en riktad graf. Grafen för en automat är en uppsättning av hörn som motsvarar olika tillstånd hos automaten och som förbinder hörn av grafbågarna som motsvarar vissa övergångar hos automaten. Om insignalen xk orsakar en övergång från tillstånd zi till tillstånd zj, så betecknas på automatgrafen den båge som förbinder vertex zi till vertex zj xk. För att specificera övergångsfunktionen måste grafens bågar markeras med motsvarande utsignaler.

Ris. 1. Grafer över Mealy (a) och Moore (b) automater.

När man löser modelleringsproblem är en matrisspecifikation för en finit automat ofta en mer bekväm form. I detta fall är anslutningsmatrisen för automaten en kvadratisk matris C=|| cij ||, vars rader motsvarar de initiala tillstånden och kolumnerna motsvarar övergångstillstånden.

Exempel. För den tidigare övervägda Moore-automaten F2 skriver vi tillståndsmatrisen och utgångsvektorn:

;

Diskret-stokastiska modeller

Låt Ф vara mängden av alla möjliga par av formen (zk, yi), där уi är ett element i utdata

delmängd Y. Vi kräver att alla element i mängden G inducerar

på uppsättningen Ф någon distributionslag av följande form:

Element från Ф (z1, y2) (z1, y2zk, yJ-1) (zK, yJ)

(xi, zs) bll b1bK(J-1) bKJ

Informationsnätverk" href="/text/category/informatcionnie_seti/" rel="bookmark">behandling av datorinformation från fjärrterminaler m.m.

Samtidigt kännetecknande för

driften av sådana objekt är det slumpmässiga utseendet av applikationer (krav) för

underhåll och slutförande av service i slumpmässiga ögonblick tid,

dvs. den stokastiska karaktären hos processen för deras funktion.

En QS förstås som ett dynamiskt system utformat för att effektivt betjäna ett slumpmässigt flöde av förfrågningar med begränsade systemresurser. Generaliserad struktur QS visas i figur 3.1.

Ris. 3.1. SMO-system.

Homogena förfrågningar som kommer till ingången av QS, beroende på den genererande orsaken, delas in i typer, intensiteten av flödet av förfrågningar av typ i (i=1...M) betecknas li. Helheten av förfrågningar av alla typer är det inkommande flödet av QS.

Ansökningar behandlas m kanaler.

Det finns universella och specialiserade servicekanaler. För en universell kanal av typ j anses fördelningsfunktionerna Fji(t) för varaktigheten av serviceförfrågningar av en godtycklig typ vara kända. För specialiserade kanaler är funktionerna för att distribuera varaktigheten för servicekanaler för förfrågningar av vissa typer osäkra, tilldelningen av dessa förfrågningar till en given kanal.

Q-kretsar kan studeras analytiskt och med simuleringsmodeller. Det senare ger större mångsidighet.

Låt oss överväga begreppet kö.

I varje elementär delgivningshandling kan två huvudkomponenter särskiljas: förväntningen på delgivning genom ansökan och själva delgivningen av ansökan. Detta kan visas i form av någon i:te serviceenhet Pi, bestående av en skadeackumulator, som samtidigt kan innehålla li=0...LiH-anspråk, där LiH är kapaciteten hos den i:te lagringsenheten, och en fordra servicekanal, ki.

Ris. 3.2. SMO-enhetsdiagram

Varje element i serviceanordningen Pi tar emot strömmar av händelser: enheten Hi tar emot en ström av förfrågningar wi, och kanalen ki tar emot en tjänstström ui.

Flödet av händelser(PS) är en sekvens av händelser som inträffar en efter en vid några slumpmässiga ögonblick. Det finns strömmar av homogena och heterogena händelser. Homogen PS kännetecknas endast av ankomstögonblicken för dessa händelser (orsakande ögonblick) och ges av sekvensen (tn)=(0£t1£t2…£tn£...), där tn är ankomstögonblicket för den n:e händelse - ett icke-negativt reellt tal. OPS kan också specificeras som en sekvens av tidsintervall mellan den n:e och n-1:a händelsen (tn).

Heterogen En PS kallas en sekvens (tn, fn), där tn är orsaksmomenten; fn är en uppsättning händelseattribut. Till exempel kan tillhörande till en viss källa av förfrågningar, närvaron av prioritet, möjligheten att betjänas av en viss typ av kanal etc. specificeras.

Förfrågningar som betjänas av kanal ki och förfrågningar som lämnade enheten Pi av olika anledningar inte betjänade från utgångsströmmen yiÎY.

Funktionsprocessen för tjänsteanordningen Pi kan representeras som en process för att ändra tillstånden för dess element i tiden Zi(t). Övergången till ett nytt tillstånd för Pi innebär en förändring av antalet förfrågningar som finns i den (i kanalen ki och lagringen Hi). Den där. tillståndsvektorn för Pi har formen: , var är enhetstillstånden, (https://pandia.ru/text/78/362/images/image010_20.gif" width="24 height=28" height="28" >=1 - det finns en begäran i enheten..., =- enheten är helt upptagen; - kanaltillstånd ki (=0 - kanalen är ledig, =1 kanal är upptagen).

Q-scheman för verkliga objekt bildas av sammansättningen av många elementära serviceenheter Pi. Om ki olika tjänsteenheter är parallellkopplade, så sker flerkanalstjänst (flerkanaligt Q-schema), och om enheter Pi och deras parallella sammansättningar är seriekopplade, så sker flerfastjänst (flerfas) Q-schema).

För att definiera ett Q-schema är det också nödvändigt att beskriva algoritmerna för dess funktion, som bestämmer reglerna för applikationers beteende i olika tvetydiga situationer.

Beroende på platsen för sådana situationer finns det algoritmer (discipliner) för att vänta på förfrågningar i Hi-lagringstanken och serviceförfrågningar av kanal ki. Heterogeniteten i flödet av ansökningar beaktas genom att införa en prioritetsklass - relativa och absoluta prioriteringar.

Den där. Ett Q-schema som beskriver hur en QS av vilken komplexitet som helst fungerar är unikt specificerad som en uppsättning uppsättningar: Q = .

Nätverksmodeller.

För att formellt beskriva strukturen och samspelet mellan parallella system och processer, samt för att analysera orsak-och-verkan samband i komplexa system, används Petri Nets, kallade N-scheman.

Formellt ges N-schemat av en fyrdubbling av formen

N= ,

där B är en ändlig uppsättning symboler som kallas positioner, B ≠ O;

D är en ändlig uppsättning symboler som kallas övergångar D ≠ O,

B ∩ D ≠ O; I – ingångsfunktion (direkt infallsfunktion)

I: B x D → (0, 1); О – utgångsfunktion (invers incidensfunktion),

O: B x D → (0, 1). Således mappar ingångsfunktionen I övergången dj till

uppsättning ingångspositioner bj I(dj), och utgångsfunktionen O reflekterar

övergång dj till uppsättningen utgångspositioner bj O(dj). För varje övergång

dj https://pandia.ru/text/78/362/images/image013_14.gif" width="13" height="13"> B | I(bi, dj) = 1 ),

O(dj) = (biB | O(dj, bi) = 1),

i = 1,n; j = 1,m; n = | B |, m = | D|.

På liknande sätt införs definitionerna för varje position bi B

uppsättning ingångsövergångar för position I(bi) och utgångsövergångar

positioner O(bi):

I(bi) = (dj D | I(dj, bi,) = 1 ),

O(bi) = (dj D | O(bi, dj) = 1).

Ett Petri-nät är en tvådelad graf som består av hörn av två typer - positioner och övergångar, förbundna med bågar; hörn av samma typ kan inte kopplas direkt.

Ett exempel på ett Petri-nät. Vita cirklar indikerar positioner, ränder indikerar övergångar, svarta cirklar indikerar märken.

Orienterande bågar förbinder positioner och övergångar, med varje båge riktad från ett element i en uppsättning (position eller övergång) till ett element i en annan uppsättning

(övergång eller position). En N-schemagraf är en multigraf eftersom den

tillåter förekomsten av flera bågar från en vertex till en annan.

Nedbrytning" href="/text/category/dekompozitciya/" rel="bookmark">Dekomposition representerar ett komplext system som en flernivåstruktur av sammanlänkade element kombinerade till delsystem på olika nivåer.

Ett aggregat fungerar som en del av A-schemat, och kopplingen mellan aggregat (inom systemet S och med den yttre miljön E) utförs med hjälp av konjugationsoperatorn R.

Varje enhet kännetecknas av följande uppsättningar: tidpunkter T, ingångs-X och utgående Y-signaler, tillstånd Z vid varje tidpunkt t. Tillståndet för enheten vid tidpunkten tT betecknas som z(t) Z,

och ingångs- och utsignalerna är x(t) X respektive y(t) Y.

Vi kommer att anta att övergången av aggregatet från tillståndet z(t1) till tillståndet z(t2)≠z(t1) sker under ett kort tidsintervall, dvs det finns ett hopp i δz.

Övergångar av enheten från tillstånd z(t1) till z(t2) bestäms av de egna (interna) parametrarna för själva enheten h(t) H och ingångssignalerna x(t) X.

Vid det initiala ögonblicket t0 har tillstånd z värden lika med z0, dvs z0=z(t0), specificerade av distributionslagen för processen z(t) vid tidpunkten t0, nämligen J. Låt oss anta att processen för enhetens funktion i händelse av en kollision insignal xn beskrivs av en slumpmässig operatör V. Sedan i det ögonblick som insignalen tnT kommer in i enheten

xn du kan bestämma tillståndet

z(tn + 0) = V.

Låt oss beteckna halvtidsintervallet t1< t ≤ t2 как (t1, t2], а полуинтервал

t1 ≤ t< t2 как .

Uppsättningen av slumpmässiga operatorer V och U betraktas som en operator för övergångar av aggregatet till nya tillstånd. I detta fall består processen för enhetens funktion av hopp i tillstånden δz vid ankomstögonblicken för ingångssignalerna x (operatör V) och förändringar i tillstånd mellan dessa moment tn och tn+1 (operatör U). Det finns inga begränsningar för operatören U, därför är hopp i tillstånd δz tillåtna vid tidpunkter som inte är ankomstögonblicken för ingångssignaler x. I det följande kommer hoppmomenten δz att kallas speciella tidpunkter tδ, och tillstånden z(tδ) kommer att kallas speciella tillstånd i A-schemat. För att beskriva tillståndshopp δz vid speciella tidpunkter tδ kommer vi att använda slumpoperatorn W, som är ett specialfall av operatorn U, dvs.

z(tδ + 0) = W.

I uppsättningen av tillstånd Z tilldelas en delmängd Z(Y) så att om z(tδ) når Z(Y), så är detta tillstånd ögonblicket för att utfärda en utsignal som bestäms av utgångsoperatören

y = G.

Med ett aggregat förstår vi alltså alla objekt som definieras av en ordnad samling av de betraktade mängderna T, X, Y, Z, Z(Y), H och slumpmässiga operatorer V, U, W, G.

Sekvensen av ingångssignaler arrangerade i den ordning de anländer i A-kretsen kommer att kallas ett ingångsmeddelande eller x-meddelande. Vi kallar sekvensen av utsignaler, ordnade i förhållande till tidpunkten för utfärdandet, ett utgående meddelande eller y-meddelande.

OM I KORTHET

Kontinuerligt deterministiska modeller (D-scheman)

De används för att studera system som arbetar i kontinuerlig tid. För att beskriva sådana system används huvudsakligen differential-, integrale- och integrodifferentialekvationer. Vanliga differentialekvationer betraktar en funktion av endast en oberoende variabel, medan partiella differentialekvationer betraktar funktioner av flera variabler.

Ett exempel på användningen av D-modeller är studiet av funktionen hos en mekanisk pendel eller en elektrisk oscillerande krets. Den tekniska grunden för D-modeller är analog datormaskiner(AVM) eller de för närvarande snabbt utvecklande hybriddatorerna (HCM). Som bekant är grundprincipen för datorforskning att en forskare (datoranvändare) med hjälp av givna ekvationer sätter ihop en krets från individuella standardenheter - operationsförstärkare med inkludering av skalning, dämpning, approximationskretsar, etc.

Strukturen hos AVM ändras i enlighet med typen av reproducerbara ekvationer.

I en digital dator förblir strukturen oförändrad, men operationssekvensen för dess noder ändras i enlighet med programmet som är inbäddat i den. En jämförelse av AVM och CVM visar tydligt skillnaden mellan simulering och statistisk modellering.

ABM implementerar en simuleringsmodell, men använder som regel inte principerna för statistisk modellering. I digitala datorer är de flesta simuleringsmodeller baserade på studier av slumptal och processer, det vill säga på statistisk modellering. Kontinuerligt deterministiska modeller används i stor utsträckning inom maskinteknik i studiet av system automatisk kontroll, urval av stötdämpande system, identifiering av resonansfenomen och vibrationer inom teknik
och så vidare.

Diskret-deterministiska modeller (F-scheman)

Kör med diskret tid. Dessa modeller är grunden för att studera hur en extremt viktig och utbredd klass av diskreta automatsystem fungerar idag. För syftet med deras studie har en oberoende matematisk apparat för automatteorin utvecklats. Baserat på denna teori betraktas systemet som en automat som bearbetar diskret information och ändrar dess interna tillstånd, beroende på resultatet av dess bearbetning.

Denna modell är baserad på principerna för att minimera antalet element och noder i en krets, enhet, optimera enheten som helhet och driftsekvensen för dess noder. Tillsammans med elektroniska kretsar är en framträdande representant för maskinerna som beskrivs av denna modell en robot som styr (enligt ett givet program) tekniska processer i en given deterministisk sekvens.

Maskin med numerisk programstyrd beskrivs också av denna modell. Valet av sekvensen av bearbetningsdelar på denna maskin görs genom att ställa in styrenheten (kontrollern), som genererar styrsignaler vid vissa tidpunkter / 4 /.

Automatteorin använder den matematiska apparaten för booleska funktioner som arbetar med två möjliga signalvärden 0 och 1.

Automater delas in i automater utan minne och automater med minne. Deras funktion beskrivs med tabeller, matriser och grafer som visar maskinens övergångar från ett tillstånd till ett annat. Analytiska uppskattningar för alla typer av beskrivningar av maskinens drift är mycket besvärliga och, även med ett relativt litet antal element och noder som bildar enheten, är praktiskt taget omöjliga. Därför studien komplexa kretsar automatiska maskiner, som utan tvekan inkluderar robotenheter, tillverkas med hjälp av simuleringsmodellering.

Diskret-stokastiska modeller (P-scheman)

De används för att studera hur probabilistiska automater fungerar. I maskiner av denna typ utförs övergångar från ett tillstånd till ett annat under påverkan av externa signaler och med hänsyn till maskinens interna tillstånd. Men till skillnad från G-automater är dessa övergångar inte strikt deterministiska, utan kan utföras med vissa sannolikheter.

Ett exempel på en sådan modell är en diskret Markov-kedja med en ändlig uppsättning tillstånd. Analysen av F-scheman baseras på bearbetning och transformation av övergångssannolikhetsmatriser och analys av sannolikhetsgrafer. Redan för jämförande analys enkla enheter, vars beteende beskrivs av F-scheman, är det tillrådligt att använda simuleringsmodellering. Ett exempel på sådan modellering ges i avsnitt 2.4.

Kontinuerliga stokastiska modeller (Q-scheman)

De används i analysen av en bred klass av system som betraktas som kösystem. Som en tjänsteprocess kan processer av olika fysisk karaktär representeras: flöden av produktleveranser till ett företag, flöden av skräddarsydda komponenter och produkter, flöden av delar på ett löpande band, flöden av kontrollåtgärder från den automatiserades kontrollcenter styrsystem till arbetsplatser och returförfrågningar om informationsbehandling i dator m.m.

Dessa flöden beror vanligtvis på många faktorer och specifika situationer. Därför är dessa flöden i de flesta fall slumpmässiga i tiden med möjlighet till förändringar när som helst. Analysen av sådana scheman utförs på grundval av den matematiska apparaten för köteorin. Dessa inkluderar en kontinuerlig Markov-kedja. Trots de betydande framsteg som uppnåtts i utvecklingen av analytiska metoder, kan köteori och analys av Q-scheman med analytiska metoder endast utföras under betydande förenklade antaganden och antaganden. En detaljerad studie av de flesta av dessa system, särskilt sådana komplexa som automatiserade processtyrningssystem och robotsystem, kan endast utföras med hjälp av simuleringsmodellering.

Generaliserade modeller (A-scheman)

Baserat på en beskrivning av de fungerande processerna i ett system baserat på den aggregerade metoden. Med en aggregerad beskrivning är systemet uppdelat i separata delsystem, vilket kan anses lämpligt för matematisk beskrivning. Som ett resultat av sådan uppdelning (nedbrytning) presenteras ett komplext system som ett flernivåsystem, vars individuella nivåer (aggregat) är mottagliga för analys. Baserat på analysen av enskilda enheter och med hänsyn till lagarna för dessa enheters inbördes samband, är det möjligt att genomföra en omfattande studie av hela systemet.

, Yakovlev system. 4:e uppl. – M.: Högre skola, 2005. – S. 45-82.

För att använda en dator för att lösa tillämpade problem måste först och främst det tillämpade problemet ”översättas” till ett formellt matematiskt språk, d.v.s. för ett verkligt objekt, process eller system måste det byggas matematisk modell.

Matematiska modeller i kvantitativ form, med hjälp av logiska och matematiska konstruktioner, beskriver de grundläggande egenskaperna hos ett objekt, process eller system, dess parametrar, interna och externa kopplingar.

För bygga en matematisk modell nödvändig:

noggrant analysera ett verkligt objekt eller en verklig process;
lyfta fram dess viktigaste egenskaper och egenskaper;
definiera variabler, dvs. parametrar vars värden påverkar objektets huvudfunktioner och egenskaper;
beskriva beroendet av de grundläggande egenskaperna hos ett objekt, en process eller ett system på värdena för variabler med hjälp av logisk-matematiska relationer (ekvationer, likheter, ojämlikheter, logisk-matematiska konstruktioner);
markera intern kommunikation objekt, process eller system som använder begränsningar, ekvationer, likheter, ojämlikheter, logiska och matematiska konstruktioner;
identifiera externa samband och beskriva dem med hjälp av restriktioner, ekvationer, likheter, ojämlikheter, logiska och matematiska konstruktioner.

Matematisk modellering, förutom att studera ett objekt, en process eller ett system och utarbeta deras matematiska beskrivning, inkluderar också:

bygga en algoritm som modellerar beteendet hos ett objekt, en process eller ett system;
undersökning modellens lämplighet och ett objekt, en process eller ett system baserat på beräknings- och naturliga experiment;
modelljustering;
använder modellen.

Den matematiska beskrivningen av processerna och systemen som studeras beror på:

karaktären av en verklig process eller system och är sammanställd på grundval av fysik, kemi, mekanik, termodynamik, hydrodynamik, elektroteknik, plasticitetsteori, elasticitetsteori, etc.
den erforderliga tillförlitligheten och noggrannheten i studien och forskningen av verkliga processer och system.

Vid valet av en matematisk modell fastställs följande: linjäritet och olinjäritet för ett objekt, process eller system, dynamik eller staticitet, stationaritet eller icke-stationaritet, samt graden av determinism för objektet eller processen som studeras. I matematisk modellering abstraherar man medvetet från den specifika fysiska naturen hos objekt, processer eller system och fokuserar främst på studiet av kvantitativa beroenden mellan storheter som beskriver dessa processer.

Matematisk modellär aldrig helt identisk med objektet, processen eller systemet i fråga. Utifrån förenkling, idealisering, är det en ungefärlig beskrivning av objektet. Därför är resultaten från analysen av modellen ungefärliga. Deras noggrannhet bestäms av graden av adekvans (efterlevnad) mellan modellen och objektet.

Det börjar vanligtvis med konstruktion och analys av den enklaste, mest grova matematiska modellen av objektet, processen eller systemet i fråga. I framtiden, om nödvändigt, förfinas modellen och dess överensstämmelse med objektet görs mer komplett.

Låt oss ta ett enkelt exempel. Det är nödvändigt att bestämma ytan på skrivbordet. Vanligtvis görs detta genom att mäta dess längd och bredd och sedan multiplicera de resulterande talen. Denna elementära procedur betyder egentligen följande: ett verkligt objekt (bordsyta) ersätts av en abstrakt matematisk modell - en rektangel. Dimensionerna som erhålls genom att mäta bordsytans längd och bredd är tilldelade rektangeln, och arean av en sådan rektangel anses ungefär vara den erforderliga arean av bordet.

Dock är rektangelmodellen för ett skrivbord den enklaste och mest råa modellen. Om du tar ett mer seriöst förhållningssätt till problemet innan du använder en rektangelmodell för att bestämma bordets yta, måste denna modell kontrolleras. Kontroller kan utföras enligt följande: mät längden på de motsatta sidorna av bordet, såväl som längden på dess diagonaler och jämför dem med varandra. Om längden på de motsatta sidorna och diagonalernas längder med den erforderliga noggrannheten är lika i par, kan bordets yta verkligen betraktas som en rektangel. Annars måste rektangelmodellen förkastas och ersättas med en fyrsidig modell allmän syn. Med mer höga krav För att förbättra noggrannheten kan det vara nödvändigt att förfina modellen ytterligare, till exempel för att ta hänsyn till avrundningen av bordets hörn.

Med detta enkla exempel visade det sig matematisk modell bestäms inte unikt av objektet, processen eller systemet som studeras. För samma tabell kan vi anta antingen en rektangelmodell, eller en mer komplex modell av en allmän fyrhörning, eller en fyrhörning med rundade hörn. Valet av en eller annan modell bestäms av kravet på noggrannhet. Med ökande noggrannhet måste modellen vara komplicerad, med hänsyn till nya och nya egenskaper hos objektet, processen eller systemet som studeras.

Låt oss överväga ett annat exempel: studera vevmekanismens rörelse (Fig. 2.1).

Ris. 2.1.

För den kinematiska analysen av denna mekanism är det först och främst nödvändigt att konstruera dess kinematiska modell. För detta:

Vi ersätter mekanismen med dess kinematiska diagram, där alla länkar byts ut hårda band;
Med hjälp av detta diagram härleder vi mekanismens rörelseekvation;
Genom att differentiera det senare får vi ekvationerna för hastigheter och acceleration, som är differentialekvationer av 1:a och 2:a ordningen.

Låt oss skriva dessa ekvationer:

där C 0 är den extrema högra positionen för reglaget C:

r – vevradie AB;

l – vevstångslängd BC;

– vevrotationsvinkel;

Mottagen transcendentala ekvationer presentera en matematisk modell av rörelsen hos en platt axiell vevmekanism, baserad på följande förenklade antaganden:

vi var inte intresserade av de strukturella formerna och arrangemanget av massorna som ingår i kroppsmekanismen, och vi ersatte alla mekanismens kroppar med raka segment. Faktum är att alla länkar i mekanismen har massa och en ganska komplex form. Till exempel är en vevstake en komplex sammansättning, vars form och dimensioner naturligtvis kommer att påverka mekanismens rörelse;
När vi flyttade den aktuella mekanismen tog vi inte heller hänsyn till elasticiteten hos de kroppar som ingår i mekanismen, dvs. alla länkar betraktades som abstrakta absolut stela kroppar. I verkligheten är alla kroppar som ingår i mekanismen elastiska kroppar. När mekanismen rör sig kommer de på något sätt att deformeras, och elastiska vibrationer kan till och med uppstå i dem. Allt detta kommer naturligtvis också att påverka mekanismens rörelse;
vi tog inte hänsyn till tillverkningsfelet för länkarna, luckorna i de kinematiska paren A, B, C, etc.

Det är därför viktigt att än en gång betona att ju högre krav som ställs på noggrannheten av resultaten för att lösa ett problem, desto större är behovet att ta hänsyn till när bygga en matematisk modell egenskaper hos objektet, processen eller systemet som studeras. Det är dock viktigt att stanna här i tid, eftersom det är svårt matematisk modell kan bli ett svårt problem att lösa.

En modell är enklast att konstruera när de lagar som bestämmer beteendet och egenskaperna hos ett objekt, en process eller ett system är välkända och det finns stor praktisk erfarenhet av deras tillämpning.

En mer komplex situation uppstår när vår kunskap om objektet, processen eller systemet som studeras är otillräcklig. I det här fallet, när bygga en matematisk modell det är nödvändigt att göra ytterligare antaganden som har karaktären av hypoteser, en sådan modell kallas hypotetisk. De slutsatser som erhålls som ett resultat av att studera en sådan hypotetisk modell är villkorade. För att verifiera slutsatserna är det nödvändigt att jämföra resultaten av att studera modellen på en dator med resultaten av ett fullskaligt experiment. Således är frågan om tillämpligheten av en viss matematisk modell för studiet av föremålet, processen eller systemet i fråga inte en matematisk fråga och kan inte lösas med matematiska metoder.

Huvudkriteriet för sanning är experiment, övning i ordets vidaste bemärkelse.

Att bygga en matematisk modell i tillämpade uppgifter – ett av de mest komplexa och kritiska stadierna i arbetet. Erfarenheten visar att valet av rätt modell i många fall innebär att man löser problemet med mer än hälften. Svårigheten med detta skede är att det kräver en kombination av matematiska och specialkunskaper. Därför är det mycket viktigt att matematiker vid lösning av tillämpade problem har specialkunskaper om objektet och att deras partners, specialister, har en viss matematisk kultur, forskningserfarenhet inom sitt område, kunskap om datorer och programmering.

De största svårigheterna och de allvarligaste felen i modellering uppstår under övergången från en meningsfull till en formell beskrivning av forskningsobjekt, vilket förklaras av deltagandet i denna kreativa process av team av olika specialiteter: specialister inom området system som måste modellerad (kunder), och specialister inom området maskinmodellering (utförare). ). Ett effektivt sätt att finna ömsesidig förståelse mellan dessa grupper av specialister är språket i matematiska scheman, vilket gör att vi kan sätta i spetsen frågan om lämpligheten av övergången från en meningsfull beskrivning av systemet till dess matematiska schema, och först då besluta om en specifik metod för att erhålla resultat med hjälp av en dator: analytisk eller simulering, och eventuellt kombinerad, det vill säga analytisk-simulering. I förhållande till ett specifikt modelleringsobjekt, det vill säga ett komplext system, bör modellutvecklaren få hjälp av specifika matematiska scheman som redan har testats för en given klass av system, som har visat sin effektivitet i tillämpad forskning på en dator och kallas vanliga matematiska scheman.

GRUNDLÄGGANDE ATT KONSTRUKTION AV MATEMATISKA MODELLER AV SYSTEM

Den initiala informationen när man konstruerar matematiska modeller av systemfunktionsprocesser är data om syftet och driftsförhållandena för systemet som studeras (design) 5. Denna information bestämmer huvudmålet med att modellera systemet £ och gör att vi kan formulera krav för den utvecklade matematiska modell A/. Abstraktionsnivån beror dessutom på omfattningen av frågor som systemforskaren vill besvara med hjälp av modellen, och bestämmer i viss mån valet av matematiskt schema.

Matematiska scheman.

Införandet av begreppet "matematiskt schema" gör det möjligt för oss att betrakta matematik inte som en beräkningsmetod, utan som en metod för att tänka, som ett sätt att formulera begrepp, vilket är viktigast i övergången från en verbal beskrivning av ett system till en formell representation av processen för dess funktion i form av någon matematisk modell (analytisk eller simulering). När man använder ett matematiskt schema bör en forskare av ett 5*-system i första hand vara intresserad av frågan om representationens lämplighet i form av specifika diagram över verkliga processer i det studerade systemet, och inte av möjligheten att få ett svar (lösningsresultat) till en specifik forskningsfråga. Till exempel, genom att representera funktionen av ett delat informationsberäkningssystem i form av ett nätverk av köscheman gör det möjligt att väl beskriva de processer som sker i systemet, men med komplexa lagar för distribution av inkommande flöden och tjänsteflöden gör det inte möjligt att explicit få resultat.

Matematiskt schema kan definieras som en länk i övergången från en meningsfull till en formell beskrivning av ett systems funktionsprocess, med hänsyn till påverkan från den yttre miljön, det vill säga det finns en kedja "beskrivande modell - matematiskt schema - matematisk [ analytisk och/eller simuleringsmodell”.

Varje specifikt L1-system kännetecknas av en uppsättning egenskaper, som förstås som kvantiteter som återspeglar beteendet hos det simulerade objektet (verkliga systemet) och tar hänsyn till villkoren för dess funktion i interaktion med den yttre miljön (systemet) E. När man konstruerar en matematisk modell av ett system är det nödvändigt att lösa frågan om dess fullständighet. Modellens fullständighet regleras främst av valet av gränsen "system.U-miljö £>>. Problemet med att förenkla modellen måste också lösas, vilket hjälper till att lyfta fram systemets huvudegenskaper, förkasta de sekundära. Dessutom, klassificering av egenskaperna hos systemet som grundläggande eller sekundära beror väsentligt på syftet med att modellera systemet (till exempel analys av probabilistiska tidsegenskaper hos systemfunktionsprocessen, syntes av systemstrukturen, etc.).

Formell modell av objektet. Modellen av modelleringsobjektet, d.v.s. system 5, kan representeras som en uppsättning kvantiteter som beskriver hur det verkliga systemet och formen fungerar, i det allmänna fallet, följande delmängder: samling input påverkar per system

helhet miljöpåverkan

helhet interna (egna) parametrar system

helhet utgångsegenskaper system

I det här fallet, i de listade delmängderna, kan kontrollerade och okontrollerbara variabler särskiljas. I det allmänna fallet x„ r/, A*,

på y är element i disjunkta delmängder och innehåller både deterministiska och stokastiska komponenter.

Vid modellering av systemet 5 ingående påverkan, yttre miljöpåverkan E och de interna parametrarna för systemet är oberoende (exogena) variabler, som i vektorform har motsvarande form x (/) = (*! (O, x 2 (0> -" x *x(0)*

" (0=("1 (0. "2(0. . "^(0; l (/)=(*! (0. L 2 (0. ■ . L -N (0). och utgångsegenskaperna för systemet är beroende (endogena) variabler och i vektorform ser de ut y (0=(y 1 0), y 2 ( 0" > U.gSh

Funktionsprocessen för system 5 beskrivs i tid av operatören /* 5, som i det allmänna fallet omvandlar exogena variabler till endogena i enlighet med formens relationer

Uppsättningen av beroenden av systemets utgångsegenskaper på tiden yDg) för alla typer y = 1, p y kallad utgångsbana y ((). Beroende (2.1) kallas funktionslagen för system B och är utsedd G 5. I allmänhet, lagen om systemets funktion E 5 kan specificeras i form av en funktion, funktionella, logiska villkor, i algoritmisk och tabellform, eller i form av en verbal matchningsregel.

Mycket viktigt för beskrivningen och studiet av system 5 är konceptet fungerande algoritm L 5, vilket förstås som en metod för att erhålla utgångskarakteristika med hänsyn till ingående påverkan X(/), miljöpåverkan V(d) och systemets egna parametrar OCH(/). Det är uppenbart att samma funktionslag för system 5 kan implementeras olika sätt, d.v.s. använder många olika operationsalgoritmer L$.

Relationer (2.1) är en matematisk beskrivning av beteendet hos ett modelleringsobjekt (system) i tid /, dvs de reflekterar dess dynamiska egenskaper. Därför brukar matematiska modeller av denna typ kallas dynamiska modeller (system) .

För statiska modeller är den matematiska modellen (2.1) en mappning mellan två delmängder av egenskaperna för det modellerade objektet U Och (X, V, I), som i vektorform kan skrivas som

Relationer (2.1) och (2.2) kan specificeras på olika sätt: analytiskt (med formler), grafiskt, tabellmässigt etc. Sådana samband kan i ett antal fall erhållas

genom egenskaperna hos systemet 5 vid specifika tidpunkter, kallad stater. Tillståndet för system 5 kännetecknas av vektorerna

Var *; = *!(/"), *2=*2(0" " **=**(0 för tillfället /"e(/ 0 , 7); *1 =^(0, *2=*2(P", *£=**(*") för tillfället /"b(/ 0, 7), etc., £=1, p g.

Om vi betraktar processen för att fungera hos system 5 som en sekventiell förändring av tillstånd (/), r 2 (/), G Vilka är dom

kan tolkas som koordinaterna för en punkt i det ^-dimensionella fasutrymmet, och varje implementering av processen kommer att motsvara en viss fasbana. Uppsättningen av alla möjliga tillståndsvärden (G) kallad tillståndsrums modelleringsobjekt Zt och g till e Z.

Status för system 5 vid tidpunkten helt

bestäms av initialförhållandena 7° = (2° 1,. 2 2°, G° k) [var

*°1 = *1(*o)" *°g = *2 (^o)" -" *°*=**(*o)]" av ingångspåverkan X(/), interna parametrar Till(/) och miljöpåverkan V(0, som inträffade under tidsperioden - / 0, med två vektorekvationer

Den första ekvationen för initialtillståndet g° och exogena variabler x, V, I bestämmer vektorfunktionen (/), och den andra baserat på det erhållna värdet av tillstånden G(/) - endogena variabler vid systemutgången på(/). Således tillåter ekvationskedjan för objektet "ingång - tillstånd - utgång". definiera systemets egenskaper

I allmänhet tid i systemmodellen jag kan övervägas över modelleringsintervallet (O, T) både kontinuerlig och diskret, d.v.s. kvantiserad i negativ skärning d rad A/ tidsenheter vardera, när T=tA1, Var T- 1, t T- antal provtagningsintervall.

Alltså under matematisk modell av objektet(verkligt system) förstå en finit delmängd av variabler (X (/), b (/), OCH(d)) tillsammans med matematiska samband mellan dem och egenskaper på (/) .

Om den matematiska beskrivningen av modelleringsobjektet inte innehåller slumpmässiga element eller de inte beaktas, d.v.s.

vi kan anta att i detta fall de stokastiska influenserna från den yttre miljön V(/) och stokastiska interna parametrar OCH(/) saknas, då anropas modellen deterministisk i den meningen att egenskaperna bestäms unikt av deterministiska influenser

Det är uppenbart att den deterministiska modellen är ett specialfall av den stokastiska modellen.

Typiska scheman.

De presenterade matematiska sambanden representerar generella matematiska scheman och gör det möjligt att beskriva en bred klass av system. Men i praktiken att modellera objekt inom området systemteknik och systemanalys, i de inledande stadierna av systemforskning, är det mer rationellt att använda typiska matematiska scheman: differentialekvationer, finita och probabilistiska automater, kösystem, petrinät m.m.

Typiska matematiska scheman har inte samma grad av generalitet som de övervägda modellerna, men har fördelarna av enkelhet och tydlighet, men med en betydande inskränkning av tillämpningsmöjligheterna. Som deterministiska modeller, när slumpmässiga faktorer inte beaktas i studien, används differential-, integral-, integrodifferential- och andra ekvationer för att representera system som arbetar i kontinuerlig tid, och ändliga differensautomater används för att representera system som arbetar i diskret tid schema. Som stokastiska modeller (med hänsyn till slumpmässiga faktorer) används probabilistiska automater för att representera diskreta tidssystem, och kösystem etc. används för att representera kontinuerliga tidssystem.

De uppräknade matematiska standardscheman kan naturligtvis inte göra anspråk på att kunna beskriva alla processer som förekommer i stora informations- och kontrollsystem utifrån sin bas. För sådana system är i vissa fall användningen av aggregerade modeller mer lovande. Aggregatmodeller (system) gör det möjligt att beskriva ett brett spektrum av forskningsobjekt, vilket speglar dessa objekts systemiska karaktär. Det är med en samlad beskrivning komplext objekt(system) är uppdelat i ett ändligt antal delar (delsystem), samtidigt som de kopplingar som säkerställer delarnas interaktion bibehålls.

De matematiska scheman som diskuteras i efterföljande stycken i detta kapitel bör hjälpa till att arbeta med olika tillvägagångssätt i praktiskt arbete vid modellering av specifika system.

Klassificering inom alla kunskapsområden är nödvändig. Det låter dig generalisera den ackumulerade erfarenheten och organisera begreppen inom ämnesområdet. Den snabba utvecklingen av matematiska modelleringsmetoder och mångfalden av användningsområden har lett till uppkomsten av ett stort antal modeller av olika typer och till behovet av att klassificera modeller i de kategorier som är universella för alla modeller eller är nödvändiga i fältet för den konstruerade modellen, till exempel. Här är ett exempel på några kategorier: användningsområde; med hänsyn till tidsfaktorn (dynamiken) i modellen; kunskapsgren; sätt att presentera modeller; närvaron eller frånvaron av slumpmässiga (eller osäkra) faktorer; typ av effektivitetskriterium och ålagda restriktioner m.m.

Genom att analysera den matematiska litteraturen identifierade vi de vanligaste klassificeringsfunktionerna:

1. Enligt implementeringsmetoden (inklusive formellt språk) kan alla matematiska modeller delas in i analytisk och algoritmisk.

Analytisk – modeller som använder matematiskt standardspråk. Simuleringsmodeller är modeller som använder ett speciellt modelleringsspråk eller ett universellt programmeringsspråk.

Analytiska modeller kan skrivas i form av analytiska uttryck, d.v.s. i form av uttryck som innehåller ett räknebart antal aritmetiska operationer och övergångar till gränsen, till exempel: . Ett algebraiskt uttryck är ett specialfall av ett analytiskt uttryck; det ger ett exakt värde som ett resultat. Det finns också konstruktioner som låter dig hitta det resulterande värdet med en given noggrannhet (till exempel expansion av en elementär funktion till en potensserie). Modeller som använder denna teknik kallas ungefärliga.

I sin tur är analytiska modeller indelade i teoretiska och empiriska modeller. Teoretiska modeller speglar verkliga strukturer och processer i de föremål som studeras, det vill säga de är baserade på teorin om deras funktion. Empiriska modeller bygger på att studera objektets reaktioner på förändringar i miljöförhållanden. I det här fallet beaktas inte teorin om objektets funktion, själva objektet är en så kallad "svart låda", och modellen är något slags interpolationsberoende. Empiriska modeller kan byggas utifrån experimentella data. Dessa data erhålls direkt från de föremål som studeras eller använder dem. fysiska modeller.

Om en process inte kan beskrivas i form av en analytisk modell, beskrivs den med en speciell algoritm eller ett speciellt program. Denna modell är algoritmisk. Vid konstruktion av algoritmiska modeller används numeriska eller simuleringsmetoder. I det numeriska tillvägagångssättet ersätts mängden matematiska relationer med en ändlig dimensionell analog (till exempel övergången från en funktion av ett kontinuerligt argument till en funktion av ett diskret argument). Därefter konstrueras beräkningsalgoritmen, d.v.s. sekvenser av aritmetiska och logiska operationer. Den hittade lösningen för den diskreta analogen tas som en ungefärlig lösning på det ursprungliga problemet. I simuleringsmetoden diskretiseras själva modelleringsobjektet och modeller av enskilda delar av systemet byggs.

2. Enligt formen för presentation av matematiska modeller särskiljs de:

1) Invariant modell – en matematisk modell representerad av ett ekvationssystem (differential, algebraisk) utan att ta hänsyn till metoder för att lösa dessa ekvationer.

2) Algebraisk modell - modellernas relationer är associerade med den valda numeriska lösningsmetoden och skrivs i form av en algoritm (beräkningssekvens).

3) Analytisk modell – representerar explicita beroenden av de sökta variablerna på givna värden. Sådana modeller erhålls på basis av fysiska lagar, eller som ett resultat av direkt integration av de ursprungliga differentialekvationerna med hjälp av tabellintegraler. Dessa inkluderar även regressionsmodeller som erhållits baserat på resultaten av experimentet.

4) Den grafiska modellen presenteras i form av grafer, ekvivalenta kretsar, diagram och liknande. För att använda grafiska modeller måste det finnas en regel om entydig överensstämmelse mellan de konventionella bilderna av elementen i den grafiska modellen och komponenterna i den invarianta matematiska modellen.

3. Beroende på typen av effektivitetskriterium och de pålagda restriktionerna delas modeller in i linjära och olinjära. I linjära modeller är prestandakriteriet och de pålagda begränsningarna linjära funktioner hos modellvariablerna (alias icke-linjära modeller). Antagandet om ett linjärt beroende av effektivitetskriteriet och uppsättningen av pålagda restriktioner för modellvariablerna är helt acceptabelt i praktiken. Detta gör att du kan använda en välutvecklad linjär programmeringsapparat för att utveckla lösningar.

4. Med tanke på tidsfaktorn och användningsområde finns det statiska och dynamiska modeller. Om alla kvantiteter som ingår i modellen inte beror på tid, så har vi en statisk modell av ett objekt eller en process (en engångsbild av information om objektet). De där. en statisk modell är en modell där tiden inte är en variabel. Dynamisk modell låter dig se förändringar i ett objekt över tid.

5. Beroende på antalet beslutsfattande parter finns det två typer av matematiska modeller: beskrivande och normativt. I en deskriptiv modell finns inga beslutsfattare. Formellt är antalet sådana parter i den deskriptiva modellen noll. Ett typiskt exempel på sådana modeller är modellen för kösystem. För att bygga beskrivande modeller kan även reliabilitetsteori, grafteori, sannolikhetsteori och statistisk testmetod (Monte Carlo-metoden) användas.

Den normativa modellen har många aspekter. I princip kan två typer av normativa modeller urskiljas: optimeringsmodeller och spelteoretiska. I optimeringsmodeller är huvuduppgiften att utveckla lösningar tekniskt reducerad till strikt maximering eller minimering av effektivitetskriteriet, d.v.s. sådana värden av kontrollerade variabler bestäms vid vilka effektivitetskriteriet når ett extremvärde (maximum eller minimum).

För att utveckla lösningar som visas av optimeringsmodeller, tillsammans med klassiska och nya variationsmetoder (extrem sökning), används matematiska programmeringsmetoder (linjära, olinjära, dynamiska) mest. Den spelteoretiska modellen kännetecknas av en mångfald partier (minst två). Om det finns två partier med motsatta intressen så används spelteori, om antalet partier är fler än två och koalitioner och kompromisser är omöjliga mellan dem, så används teorin om icke-kooperativa spel n personer

6. Beroende på förekomsten eller frånvaron av slumpmässiga (eller osäkra) faktorer, deterministisk och stokastisk matematiska modeller. I deterministiska modeller specificeras alla samband, variabler och konstanter exakt, vilket leder till en entydig definition av den resulterande funktionen. En deterministisk modell konstrueras i de fall där de faktorer som påverkar resultatet av operationen kan mätas eller bedömas ganska exakt, och slumpmässiga faktorer antingen saknas eller kan försummas.

Om några eller alla parametrar som ingår i modellen är slumpvariabler eller slumpfunktioner till sin natur, så klassificeras modellen som en stokastisk modell. I stokastiska modeller specificeras lagarna för fördelningen av slumpvariabler, vilket leder till en probabilistisk bedömning av den resulterande funktionen och verkligheten visas som en viss slumpmässig process, vars förlopp och utfall beskrivs av vissa egenskaper hos slumpvariabler: matematiska förväntningar, varianser, fördelningsfunktioner, etc. Konstruktionen av en sådan modell är möjlig om det finns tillräckligt med faktamaterial för att uppskatta de nödvändiga sannolikhetsfördelningarna eller om teorin för fenomenet i fråga tillåter att dessa fördelningar kan bestämmas teoretiskt (baserat på formler för sannolikhetsteorin, gränssatser, etc.) .

7. Beroende på syftena med modellering finns det beskrivande, optimering och hantering modeller. I beskrivande (från latin descriptio - beskrivning) modeller studeras lagarna för förändring av modellparametrar. Till exempel en modell av rörelsen av en materiell punkt under påverkan av applicerade krafter baserad på Newtons andra lag: . Ange position och acceleration för en punkt in det här ögonblicket tid (inmatningsparametrar), massa (egen parameter) och lagen för förändring av applicerade krafter (extern påverkan), du kan bestämma punktens koordinater och hastighet när som helst (utgångsdata).

Optimeringsmodeller används för att bestämma det bästa (optimala), baserat på något kriterium, parametrar för det modellerade objektet eller metoder för att styra detta objekt. Optimeringsmodeller byggs med hjälp av en eller flera beskrivande modeller och har flera kriterier för att bestämma optimalitet. Restriktioner i form av likheter eller ojämlikheter relaterade till egenskaperna hos objektet eller processen i fråga kan åläggas värdeintervallet för ingångsparametrarna. Ett exempel på en optimeringsmodell är beredningen av en diet för en specifik diet (kaloriinnehållet i produkten, prisvärden etc. är indata).

Ledningsmodeller används för att fatta beslut inom olika områden av målmedveten mänsklig verksamhet, när flera väljs från hela uppsättningen av alternativ och den övergripande beslutsprocessen är en följd av sådana alternativ. Till exempel att välja en rapport för befordran från flera utarbetade av studenter. Uppgiftens komplexitet ligger både i osäkerheten kring indata (om en rapport har utarbetats självständigt eller någon annans arbete använts) och mål (arbetets vetenskapliga karaktär och dess struktur, presentationsnivå och förberedelsenivån av studenten, resultaten av experimentet och de slutsatser som erhållits). Eftersom optimaliteten i ett beslut som fattas i samma situation kan tolkas på olika sätt, är inte typen av optimalitetskriterium i förvaltningsmodeller fastställd på förhand. Metoder för att utforma optimalitetskriterier beroende på typen av osäkerhet beaktas i teorin om val och beslutsfattande, baserat på spelteori och operationsforskning.

8. Enligt forskningsmetoden särskiljer de analytisk, numerisk och simulering modeller. En analytisk modell är en formaliserad beskrivning av ett system som gör att man kan få en explicit lösning på ekvationen med hjälp av en välkänd matematisk apparat. Den numeriska modellen kännetecknas av ett beroende som endast tillåter partiella numeriska lösningar för specifika initiala förhållanden och kvantitativa parametrar för modellen. En simuleringsmodell är en uppsättning beskrivningar av systemet och yttre påverkan, algoritmer för systemets funktion eller regler för att ändra systemets tillstånd under påverkan av externa och interna störningar. Dessa algoritmer och regler gör det inte möjligt att använda befintliga matematiska metoder för analytiska och numeriska lösningar, men de gör det möjligt att simulera systemets funktionsprocess och registrera egenskaperna av intresse. Därefter kommer några analytiska och simuleringsmodeller att undersökas mer i detalj; studiet av dessa speciella typer av modeller är relaterat till detaljerna i den professionella verksamheten för studenter inom detta utbildningsområde.

1.4. Grafisk representation av matematiska modeller

Inom matematiken kan former av samband mellan kvantiteter representeras av ekvationer av formen oberoende variabel (argument), y– beroende variabel (funktion). I teorin om matematisk modellering kallas den oberoende variabeln en faktor och den beroende variabeln kallas respons. Dessutom, beroende på konstruktionsområdet för den matematiska modellen, ändras terminologin något. Några exempel på faktor- och responsdefinitioner, beroende på studieområde, ges i tabell 1.

Tabell 1. Några definitioner av begreppen "faktor" och "svar"

Genom att representera den matematiska modellen grafiskt kommer vi att betrakta faktorer och svar som variabler vars värden tillhör uppsättningen av reella tal.

Grafisk representation av den matematiska modellenär någon svarsyta som motsvarar placeringen av punkter i k- dimensionell faktor utrymme X. Endast endimensionella och tvådimensionella svarsytor kan visualiseras. I det första fallet är detta en uppsättning punkter på ett verkligt plan, och i det andra en uppsättning punkter som bildar en yta i rymden (för att skildra sådana punkter är det bekvämt att använda nivålinjer - ett sätt att skildra reliefen av en rymdyta konstruerad i ett tvådimensionellt faktorrum X(Fig. 8).

Området där svarsytan är definierad kallas definitionsdomän för X *. Denna region är som regel bara en del av hela faktorutrymmet X(X*Ì X) och markeras med restriktioner på kontrollvariablerna x i, skrivet i form av jämställdhet:

xi = Ci , jag = 1,…, m;

f j(x) = C j, j = 1,…, l

eller ojämlikheter:

x i min £ x i£ x i max, i= 1,…, k;

f j(x) £ C j, j = 1,…, n,

Samtidigt funktionerna f j(x) kan bero både på alla variabler samtidigt och på några av dem.

Restriktioner av typen av ojämlikheter kännetecknar antingen fysiska begränsningar av processerna i objektet som studeras (till exempel temperaturbegränsningar) eller tekniska begränsningar förknippade med objektets driftsförhållanden (till exempel, toppfart styckning, begränsningar av råvarureserver).

Möjligheterna att studera modeller beror avsevärt på egenskaperna (relief) hos svarsytan, i synnerhet på antalet "hörn" som finns på den och dess kontrast. Antalet toppar (dalar) avgör modalitet svarsytor. Om det finns en topp (dal) i definitionsdomänen på svarsytan kallas modellen unimodal.

Karaktären av funktionsförändringen kan vara annorlunda (fig. 9).

Modellen kan ha diskontinuitetspunkter av det första slaget (fig. 9(a)), diskontinuitetspunkter av det andra slaget (fig. 9(b)). Figur 9(c) visar den kontinuerligt differentierbara unimodalmodellen.

För alla tre fall som presenteras i figur 9 är det allmänna kravet på unimodalitet uppfyllt:

om W(x*) är ett extremum av W, då från villkoret x 1< x 2 < x* (x 1 >x 2 > x*) följer W(x 1)< W(x 2) < W(x*) , если экстремум – максимум, или W(x 1) >W(x 2) > W(x*) om extremumet är ett minimum, det vill säga när vi rör oss bort från ytterpunkten, minskar (ökar) värdet på funktionen W(x) kontinuerligt.

Tillsammans med unimodala övervägs polymodala modeller (Fig. 10).

En annan viktig egenskap hos svarsytan är dess kontrast, som visar den resulterande funktionens känslighet för förändringar i faktorer. Kontrast kännetecknas av värdena på dess derivat. Låt oss demonstrera kontrastegenskaperna med hjälp av ett exempel på en tvådimensionell svarsyta (fig. 11).

Punkt A placerad på en "lutning" som kännetecknar lika kontrast för alla variabler x i (i=1,2), punkt b belägen i en "ravin" där det finns en annan kontrast för olika variabler (vi har dålig villkorlighet för funktionen), punkt Med ligger på en "platå" där det är låg kontrast för alla variabler x i indikerar extremumets närhet.

1.5. Grundläggande metoder för att konstruera matematiska modeller

Låt oss presentera klassificeringen av metoder för formaliserad representation av simulerade system av V.N. Volkova. och Denisova A.A.. Författarna identifierade analytiska, statistiska, mängdteoretiska, språkliga, logiska och grafiska metoder. Grundläggande terminologi, exempel på teorier som utvecklas utifrån de beskrivna klasserna av metoder, samt omfattningen och möjligheterna för deras tillämpning föreslås i bilaga 1.

I praktiken av systemmodellering används analytiska och statistiska metoder mest.

1) Analytiska metoder för att konstruera matematiska modeller.

Grunden för den terminologiska apparaten för analytiska metoder för att konstruera matematiska modeller är begreppen klassisk matematik (formel, funktion, ekvation och ekvationssystem, olikhet, derivata, integral, etc.). Dessa metoder kännetecknas av klarhet och giltighet av terminologi med användning av klassisk matematiks språk.

Utifrån analytiska begrepp uppstod och utvecklades sådana matematiska teorier som klassisk matematisk analys (till exempel metoder för att studera funktioner) och moderna grunder för matematisk programmering och spelteori. Dessutom innehåller matematisk programmering (linjär, olinjär, dynamisk, heltal, etc.) både metoder för problemformulering och utökar möjligheterna att bevisa modellens adekvathet, till skillnad från en rad andra områden inom matematiken. Idéerna med optimal matematisk programmering för att lösa ekonomiska (särskilt lösa problemet med optimal skärning av en plywoodskiva) problem föreslogs av L.V. Kantorovich.

Låt oss förklara funktionerna i metoden med ett exempel.

Exempel. Låt oss anta att för produktion av två typer av produkter A Och I tre typer av råvaror ska användas. Samtidigt för produktion av en produktenhet av typen A 4 enheter förbrukas. råvaror av den första typen, 2 enheter. 2:a och 3:e enheterna. 3:e typen. För tillverkning av en produktenhet av typen I 2 enheter förbrukas. råvaror av 1:a typen, 5 enheter. 2:a typen och 4 enheter. 3:e typen av råvara. Det finns 35 enheter i fabrikslagret. råvaror av 1:a typen, 43 - 2:a, 40 - 3:e typen. Från försäljning av en produktenhet av typen A Fabriken har en vinst på 5 tusen rubel och från försäljningen av en produktenhet av typen I vinsten är 9 tusen rubel. Det är nödvändigt att skapa en matematisk modell av problemet, som ger maximal vinst.

Förbrukningshastigheterna för varje typ av råvara för tillverkning av en enhet av en given produkttyp anges i tabellen. Det anger också vinsten från försäljningen av varje typ av produkt och den totala mängden råvaror av denna typ som kan användas av företaget.

Låt oss beteckna med x 1 Och x 2 volym producerade produkter A Och I respektive. Kostnaden för första klass material för planen kommer att vara 4x 1 + 2x 2, och de bör inte överstiga reserver, dvs. 35 kg:

4x 1 + 2x 2 35.

Restriktionerna för material i andra klass är liknande:

2x 1 + 5x 2 43,

och enligt tredje klass material

3x 1 + 4x 2 40.

Vinst från försäljning x 1 produktionsenheter A och x 2 produktionsenheter B kommer att vara z = 5x 1+ 9x 2(objektiv funktion).

Vi fick uppgiftsmodellen:

Grafisk lösning Uppgifterna visas i figur 11.

Optimal (bäst, dvs maximal funktion z) lösningen på problemet finns i punkt A (lösningen förklaras i kapitel 5).

Förstod det x 1=4,x 2=7, funktionsvärde z vid punkt A: .

Således är värdet av den maximala vinsten 83 tusen rubel.

Utöver den grafiska metoden finns det ett antal speciella metoder för att lösa problemet (till exempel simplexmetoden) eller applikationspaket som implementerar dem används. Beroende på typen av objektivfunktion särskiljs linjär och icke-linjär programmering, beroende på variablernas karaktär särskiljs heltalsprogrammering.

Vi kan lyfta fram de allmänna egenskaperna hos matematisk programmering:

1) införandet av begreppet objektiv funktion och begränsningar är sätt att ställa problemet;

2) det är möjligt att kombinera heterogena kriterier (olika dimensioner, i exemplet – råvarureserver och vinst) i en modell;

3) den matematiska programmeringsmodellen gör det möjligt att nå gränsen för området för tillåtna värden för variabler;

4) möjlighet till genomförande steg-för-steg-algoritm få resultat (steg-för-steg-metoden för att optimal lösning);

5) klarhet uppnås genom geometrisk tolkning av problemet, vilket hjälper till i fall där det är omöjligt att lösa problemet formellt.

2) Statistiska metoder för att konstruera matematiska modeller.

Statistiska metoder för att konstruera matematiska modeller blev utbredda och började användas flitigt i och med utvecklingen av sannolikhetsteorin på 1800-talet. De är baserade på probabilistiska mönster av slumpmässiga (stokastiska) händelser som återspeglar verkliga fenomen. Termen "stokastisk" är ett förtydligande av begreppet "slumpmässigt", som indikerar förutbestämda, specifika orsaker som påverkar processen, och begreppet "slumpmässigt" kännetecknas av oberoende från påverkan eller frånvaro av sådana orsaker.

Statistiska mönster presenteras i form av diskreta slumpvariabler och mönster för förekomst av deras värden eller i form av kontinuerliga beroenden av fördelningen av händelser (processer). Teoretisk grund Konstruktionen av stokastiska modeller beskrivs i detalj i kapitel 2.

Kontrollfrågor

1. Formulera huvudproblemet med matematisk modellering.

2. Definiera en matematisk modell.

3. Lista de största nackdelarna med den experimentella metoden i forskning.

4. Lista de viktigaste stegen i att bygga en modell.

5. Lista vilka typer av matematiska modeller.

6. Ge kort beskrivning typer av modeller.

7. Vilken form har en matematisk modell, representerad geometriskt,?

8. Hur definieras matematiska modeller av analytisk typ?

Uppgifter

1. Skapa en matematisk modell för att lösa problemet och klassificera modellen:

1) Bestäm den maximala kapaciteten för en cylindrisk hink vars yta (utan lock) är lika med S.

2) Företaget säkerställer regelbunden produktion av produkter med problemfri försörjning av komponenter från två underleverantörer. Sannolikheten för leveransvägran från den första av underleverantörerna är , och från den andra - . Hitta sannolikheten för misslyckande i företagets drift.

2. Malthus modell (1798) beskriver reproduktionen av en population i en takt som är proportionell mot dess storlek. I diskret form är denna lag en geometrisk progression: ; eller .Lagen, skriven i form av en differentialekvation, är en modell för exponentiell populationstillväxt och beskriver väl tillväxten av cellpopulationer i frånvaro av någon begränsning: . Ställ in initiala villkor och demonstrera modellen.

MATEMATISKT SCHEMA FÖR SYSTEMMODELLING

GRUNDLÄGGANDE ATT KONSTRUKTION AV MATEMATISKA MODELLER AV SYSTEM

Den första informationen när man konstruerar matematiska modeller av systemfunktionsprocesser är data om syftet och driftsförhållandena för det system som studeras (designas) S. Denna information definierar huvudsyftet med systemmodellering S och låter dig formulera krav för den utvecklade matematiska modellen M. Abstraktionsnivån beror dessutom på omfattningen av frågor som systemforskaren vill besvara med hjälp av modellen, och bestämmer i viss mån valet av matematiskt schema.

Matematiska scheman. Införandet av begreppet ett matematiskt schema gör det möjligt för oss att betrakta matematiken inte som en beräkningsmetod, utan som en tankemetod, som ett sätt att formulera begrepp, vilket är viktigast i övergången från en verbal beskrivning av ett system till en formell representation av processen för dess funktion i form av någon matematisk modell (analytisk eller simulering). När man använder ett matematiskt schema bör forskaren av systemet S först och främst vara intresserad av frågan om representationens lämplighet i form av specifika diagram över verkliga processer i systemet som studeras, och inte av möjligheten att erhålla ett svar (lösningsresultat) på en specifik forskningsfråga. Till exempel, genom att representera funktionen av ett delat informationsberäkningssystem i form av ett nätverk av köscheman gör det möjligt att väl beskriva de processer som sker i systemet, men med tanke på de komplexa lagarna för inkommande flöden och tjänsteflöden gör det det inte göra det möjligt att få resultat i uttrycklig form.

Matematiskt schema kan definieras som en länk i övergången från en meningsfull till en formell beskrivning av systemets funktionsprocess, med hänsyn till påverkan från den yttre miljön, det vill säga det finns en kedja "beskrivande modell - matematiskt schema - matematisk (analytisk och/ eller simuleringsmodell."

Varje specifikt system S kännetecknas av en uppsättning egenskaper, som förstås som kvantiteter som återspeglar beteendet hos det simulerade objektet (verkliga systemet) och tar hänsyn till villkoren för dess funktion i interaktion med den yttre miljön (systemet) E. När man konstruerar en matematisk modell av ett system är det nödvändigt att lösa frågan om dess fullständighet. Modellens fullständighet regleras huvudsakligen av valet av gränsen för "system S - miljö". E» . Problemet med att förenkla modellen måste också lösas, vilket hjälper till att lyfta fram systemets huvudegenskaper och kassera de sekundära. Dessutom beror klassificeringen av egenskaperna hos ett system som primära eller sekundära avsevärt på syftet med att modellera systemet (till exempel analys av probabilistiska tidsegenskaper för processen för systemfunktion, syntes av systemets struktur, etc.) .

Formell modell av objektet. Modellen för modelleringsobjektet, d.v.s. system S, kan representeras som en uppsättning kvantiteter som beskriver hur ett verkligt system fungerar och i allmänhet bildar följande delmängder: set: input påverkar per system

;

helhet miljöpåverkan

;

helhet interna (egna) parametrar system

;

helhet utgångsegenskaper system

Dessutom kan man i de listade delmängderna särskilja kontrollerade och okontrollerbara variabler. I allmänhet , , , är element i disjunkta delmängder och innehåller både deterministiska och stokastiska komponenter.

Vid modellering av systemet S, ingående påverkan, miljöpåverkan E och de interna parametrarna för systemet är oberoende (exogena) variabler, som i vektorform har formen , , , respektive och systemets utgångsegenskaper är beroende (endogena) variabler och i vektorform har formen ).

Funktionsprocessen för systemet S beskrivs i tid av operatören F s , som i allmänhet omvandlar exogena variabler till endogena i enlighet med formens relationer

. (1)

En uppsättning beroenden av systemets utdataegenskaper i tid y j (t) för alla typer
kallad utgångsväg
. Beroende (1) kallas lagen om systemets funktionS och är utsedd F s . I allmänhet, lagen om systemets funktion F s kan specificeras i form av en funktion, funktionella, logiska villkor, i algoritmisk och tabellform, eller i form av en verbal matchningsregel.

Mycket viktigt för beskrivningen och studiet av system S är konceptet fungerande algoritmA s , vilket förstås som en metod för att erhålla utgångskarakteristika med hänsyn till ingående påverkan
, miljöpåverkan
och egna systemparametrar
. Det är uppenbart att samma verksamhetslag F s System S kan implementeras på olika sätt, d.v.s. med användning av många olika operationsalgoritmer A s .

Relationer (1) är en matematisk beskrivning av modelleringsobjektets (systemets) beteende i tiden t, d.v.s. de återspeglar dess dynamiska egenskaper. Därför brukar matematiska modeller av denna typ kallas dynamiska modeller(system).

För statiska modeller matematisk modell (1) är en mappning mellan två delmängder av egenskaperna hos det modellerade objektet Y Och { X, V, N), som i vektorform kan skrivas som

. (2)

Relationer (1) och (2) kan specificeras på olika sätt: analytiskt (med formler), grafiskt, tabellmässigt etc. Sådana relationer kan i ett antal fall erhållas genom egenskaperna hos systemet S vid specifika tidpunkter, kallad stater. Tillståndet för systemet S kännetecknas av vektorerna

Och
,

Var
,
, …,
vid en tidpunkt
;
,
, …,
vid en tidpunkt
etc.,
.

Om vi betraktar processen för att fungera i system S som en sekventiell förändring av tillstånd
, då kan de tolkas som koordinaterna för en punkt in Till-dimensionellt fasutrymme. Dessutom kommer varje implementering av processen att motsvara en viss fasbana. Uppsättningen av alla möjliga tillståndsvärden kallad tillståndsrums modelleringsobjekt Z, och
.

Tillstånd i systemet S vid tidpunkten t 0 < t*T bestäms helt av de ursprungliga förhållandena
[Var
,
, …,
], input influenser
, egna systemparametrar
och miljöpåverkan
, som ägde rum under en tid t*- t 0 , Med med två vektorekvationer

; (3)

. (4)

Den första ekvationen för initialtillståndet och exogena variabler
definierar en vektorfunktion
, och den andra enligt det erhållna värdet av tillstånden
- endogena variabler vid systemutgången
. Således gör ekvationskedjan för objektet "ingång-tillstånd-utgång" det möjligt att bestämma systemets egenskaper

. (5)

I allmänhet kan tid i systemmodellen S övervägas över modelleringsintervallet (0, T) både kontinuerliga och diskreta, d.v.s. kvantifierade i längdsegment
tidsenheter varje när
, Var
- antal provtagningsintervall.

Alltså under matematisk modell av objektet(av ett verkligt system) förstå en ändlig delmängd av variabler (
} tillsammans med matematiska samband mellan dem och egenskaper
.

Om den matematiska beskrivningen av modelleringsobjektet inte innehåller slumpmässiga element eller de inte beaktas, d.v.s. om det kan antas att i detta fall de stokastiska influenserna från den yttre miljön
och stokastiska interna parametrar
saknas, då kallas modellen deterministisk i den meningen att egenskaperna bestäms unikt av deterministiska influenser

. (6)

Det är uppenbart att den deterministiska modellen är ett specialfall av den stokastiska modellen.

Typiska scheman. De presenterade matematiska sambanden representerar generella matematiska scheman och gör det möjligt att beskriva en bred klass av system. Men i praktiken att modellera objekt inom området systemteknik och systemanalys, i de inledande stadierna av systemforskning, är det mer rationellt att använda typiska matematiska scheman: differentialekvationer, finita och probabilistiska automater, kösystem, petrinät m.m.

Typiska matematiska scheman har inte samma grad av generalitet som de övervägda modellerna, men har fördelarna av enkelhet och tydlighet, men med en betydande inskränkning av tillämpningsmöjligheterna. Som deterministiska modeller, när slumpmässiga faktorer inte beaktas i studien, används differential-, integral-, integrodifferential- och andra ekvationer för att representera system som arbetar i kontinuerlig tid, och scheman för ändliga skillnader används för att representera system som arbetar i diskret tid. . Som stokastiska modeller (med hänsyn till slumpmässiga faktorer) används probabilistiska automater för att representera diskreta tidssystem, och kösystem etc. används för att representera kontinuerliga tidssystem.

Aggregatmodeller (system) gör det möjligt att beskriva ett brett spektrum av forskningsobjekt, vilket speglar dessa objekts systemiska karaktär. Det är med en aggregerad beskrivning som ett komplext objekt (system) delas upp i ett ändligt antal delar (delsystem), samtidigt som de kopplingar som säkerställer delarnas interaktion bibehålls.

KONTINUERLIGA DETERMINISTISKA MODELLER (D-SCHEM)

Låt oss överväga egenskaperna hos det kontinuerligt deterministiska tillvägagångssättet med hjälp av exemplet att använda differentialekvationer som matematiska modeller. Differentialekvationer Dessa är ekvationer där funktioner av en eller flera variabler är okända, och ekvationen inkluderar inte bara funktioner utan även deras derivator av olika ordningsföljder. Om de okända är funktioner av många variabler, kallas ekvationerna partiella differentialekvationer, annars, när man betraktar funktioner av endast en oberoende variabel, kallas ekvationerna för vanliga differentialekvationer.

Grundläggande relationer. Typiskt, i sådana matematiska modeller, tjänar tiden som den oberoende variabel som de okända okända funktionerna beror på. t. Då blir den matematiska relationen för deterministiska system (6) i allmän form

, (7)

Var
,
Och
- P-dimensionella vektorer;
- vektorfunktion som är definierad på vissa ( P+1)-dimensionell
inställd och är kontinuerlig.

Eftersom matematiska scheman av denna typ återspeglar dynamiken i systemet som studeras, det vill säga dess beteende i tiden, kallas de D-scheman(Engelsk) dynamisk).

I det enklaste fallet har den vanliga differentialekvationen formen

. (8)

Den viktigaste applikationen för systemteknik D-scheman som en matematisk apparat i teorin om automatisk styrning. För att illustrera funktionerna i konstruktionen och tillämpningen av D-scheman, överväg enklaste exemplet formalisering av processen för funktion av två elementära system av olika fysisk natur: mekaniska S M (pendulsvängningar, fig. 1, a) och elektrisk S K (oscillerande krets, fig. 1, b).

Ris. 1. Elementära system

Processen med små oscillationer av en pendel beskrivs av den vanliga differentialekvationen

Var
- Pendelupphängningens massa och längd; g - fritt fallacceleration;
- pendelns avböjningsvinkel vid tidpunkten t.

Från denna ekvation för den fria svängningen av en pendel kan uppskattningar av egenskaperna av intresse hittas. Till exempel svängningsperioden för en pendel

På liknande sätt beskrivs processer i en elektrisk oscillerande krets av den vanliga differentialekvationen

Var L Till , MED Till - induktans och kapacitans hos kondensatorn; q(t) - kondensatorladdning vid tidpunkten t.

Från denna ekvation kan man få olika uppskattningar av egenskaperna hos processen i den oscillerande kretsen. Till exempel perioden för elektriska svängningar

Det är uppenbart att genom att införa notationen
,
, ,
, vi får en vanlig differentialekvation av andra ordningen som beskriver beteendet hos detta slutna system:

Var
- systemparametrar; z(t) - systemets tillstånd vid ett ögonblick t.

Således kan beteendet hos dessa två objekt studeras utifrån en generell matematisk modell (9). Dessutom bör det noteras att beteendet hos ett av systemen kan analyseras med hjälp av det andra. Till exempel beteendet hos en pendel (system S M) kan studeras med hjälp av en elektrisk oscillerande krets (system S K).

Om systemet som studeras S, dvs en pendel eller krets, interagerar med den yttre miljön E, då visas ingångspåverkan X(t) (extern kraft för pendeln och energikällan för kretsen) och den kontinuerligt deterministiska modellen av ett sådant system kommer att ha formen

Ur synvinkeln av det allmänna schemat för den matematiska modellen X(t) är en ingångs(kontroll)åtgärd, och tillståndet för systemet S kan i detta fall betraktas som en utdatakarakteristik, dvs. anta att utdatavariabeln sammanfaller med systemets tillstånd vid en given tidpunkt y =z.

Möjliga tillämpningar. När man löser problem med systemteknik är problem med att hantera stora system av stor betydelse. Var uppmärksam på systemen automatisk kontroll- Ett specialfall av dynamiska system beskrivs D-scheman och tilldelas en separat klass av modeller på grund av deras praktiska specificitet.

När de beskriver automatiska styrprocesser följer de vanligtvis representationen av ett verkligt objekt i form av två system: styrt och styrt (kontrollobjekt). Strukturen för ett allmänt flerdimensionellt automatiskt styrsystem visas i fig. 2, var anges endogena variabler:
- vektor för input (inställning) influenser;
- vektor för störande influenser;
- vektor av felsignaler;
- vektor för kontrollåtgärder; exogena variabler:
- systemtillståndsvektor S;
- vektor av utdatavariabler, vanligtvis
=
.

Ris. 2. Uppbyggnad av det automatiska styrsystemet

Ett modernt kontrollsystem är en uppsättning mjukvara och hårdvaruverktyg som säkerställer att ett kontrollerat objekt uppnår ett visst mål. Hur noggrant kontrollobjektet uppnår ett givet mål kan bedömas för ett endimensionellt system av tillståndskoordinaten y(t). Skillnaden mellan det givna på röv (t) och giltig y(t) lagen för förändring av den kontrollerade storheten är ett kontrollfel . Om den föreskrivna ändringslagen i den kontrollerade storheten motsvarar ändringslagen i det ingående (mängda) inflytandet, d.v.s.
, Den där
.

System för vilka styrfel
vid alla tidpunkter kallas ideal. I praktiken är implementeringen av ideala system omöjlig. Alltså felet h"(t) - ett nödvändigt inslag av automatisk kontroll baserad på principen om negativ respons, sedan för att matcha utdatavariabeln y(t) dess inställda värde använder information om avvikelsen mellan dem. Det automatiska styrsystemets uppgift är att ändra variabeln y(t) enligt en given lag med en viss noggrannhet (med ett acceptabelt fel). Vid design och drift av automatiska styrsystem är det nödvändigt att välja följande systemparametrar S, vilket skulle ge den erforderliga kontrollnoggrannheten, såväl som systemstabilitet i den transienta processen.

Om systemet är stabilt är systemets beteende över tiden, den maximala avvikelsen för den kontrollerade variabeln, av praktiskt intresse y(t) i den transienta processen, tiden för den transienta processen etc. Slutsatser om egenskaperna hos automatiska styrsystem av olika klasser kan dras från den typ av differentialekvationer som ungefär beskriver processerna i systemen. Ordningen på differentialekvationen och värdena på dess koefficienter bestäms helt av systemets statiska och dynamiska parametrar S.

Så använder D-scheman låter dig formalisera processen för att fungera kontinuerligt deterministiska system S och utvärdera deras huvudsakliga egenskaper med hjälp av en analytisk eller simuleringsmetod, implementerad i form av ett lämpligt språk för att modellera kontinuerliga system eller använda analoga och hybrida beräkningsverktyg.