För att bestämma stabilitet är det inte nödvändigt att konstruera en hodograf. För att göra detta räcker det att analysera frekvenssvaret och fassvaret. Därför är den tredje alternativa formuleringen av Nyquist-kriteriet: om frekvenssvaret är större än ett vid frekvenser där fassvaret är 0 eller Var n € z, då är återkopplingssystemet inte stabilt, annars är det stabilt (Figur 3.10).

Ris. 3.9 Frekvenssvar och fassvar för ett system med öppen slinga med återkoppling

4 Passage av slumpmässiga signaler genom linjära stationära kretsar

De huvudsakliga egenskaperna hos en slumpmässig process är sannolikhetstätheten för momentana signalvärden, korrelationsfunktionen och den spektrala effekttätheten. Att hitta sannolikhetstätheten för momentana utsignalvärden linjär krets baserat på den kända sannolikhetsdensiteten vid kretsens ingång och kretsens kända egenskaper är det en mycket svår uppgift. Men om ingångssignalen är Gaussisk, kommer utsignalen också alltid att vara Gaussisk. Detta innebär att lösningen av problemet förenklas och reduceras till att hitta parametrarna för utsignalen (matematisk förväntan och varians).

Uppgiften att hitta korrelationsfunktionen och effektspektraltätheten för utsignalen är mycket enklare.

Inversa Fourier-transformationer av effektspektraltäthet enligt Wiener-Khinchin-teorin:

– signalkorrelationsfunktion

Inversa Fouriertransformer av effektförstärkning:

– korrelationsfunktion för signalens impulssvar

Eftersom produkten av spektrat av två signaler är lika med spektrumet av faltningen av dessa signaler, kan vi skriva:

Det vill säga, korrelationsfunktionen för signalen vid utgången av en linjär krets är lika med faltningen av korrelationsfunktionen för signalen vid kretsens ingång och korrelationsfunktionen för kretsens impulssvar.

När man analyserar olika system Störningen är ofta vitt brus, som har en konstant effektspektral densitet över hela frekvensområdet:

och korrelationsfunktion

Följaktligen är korrelationsfunktionen för utsignalen lika med autokorrelationsfunktionen för impulssvaret med koefficienten.

5 Passage av signaler genom olinjära kretsar

Linjära stationära kretsar ändrar inte signalens spektrala sammansättning. De huvudsakliga radiotekniska transformationerna förknippade med förändringar i signalens spektrala sammansättning utförs antingen med icke-linjära kretsar eller linjära kretsar med variabla parametrar.

Studiet av olinjära kretsar är en komplex uppgift som består i att lösa olinjära differentialekvationer. Analysen av olinjära kretsar förenklas om det olinjära elementet är tröghetsfritt, d.v.s. svaret på en förändring i ingångsåtgärden inträffar omedelbart. Strängt taget finns det inga tröghetsfria element (FFE), men i det fall då tidpunkten för ändring av insignalen avsevärt överstiger tiden för etablering av processen i det olinjära elementet, kan elementet anses tröghetsfritt. Inom radioteknik används olinjära element oftast halvledarenheter(dioder, transistorer). För att beskriva sådana anordningar används ström-spänningskarakteristika, som relaterar de spänningar som appliceras på anordningarna och de strömmar som flyter genom anordningarna.

Betrakta ett linjärt tröghetssystem med en känd överföringsfunktion eller impulssvar. Låt ingången av ett sådant system vara en stationär slumpmässig process med givna egenskaper: sannolikhetstäthet, korrelationsfunktion eller energispektrum. Låt oss bestämma egenskaperna hos processen vid systemets utgång: , och .

Det enklaste sättet att hitta processens energispektrum är vid systemets utgång. I själva verket är individuella implementeringar av inmatningsprocessen deterministiska

funktioner, och Fourier-apparaten kan appliceras på dem. Låt vara en trunkerad implementering av varaktighet T slumpmässig process vid ingången, och

Dess spektrala täthet. Den spektrala tätheten för implementeringen vid utgången av det linjära systemet kommer att vara lika med

Energispektrumet för processen vid utgången enligt (3.3.3) kommer att bestämmas av uttrycket

(3.4.3)

de där. kommer att vara lika med energispektrumet för processen vid ingången, multiplicerat med kvadraten på systemets amplitud-frekvenskaraktäristik, och kommer inte att bero på fas-frekvenskarakteristiken.

Korrelationsfunktionen för processen vid utgången av det linjära systemet kan definieras som Fouriertransformen av energispektrat:

(3.4.4)

Följaktligen, när en slumpmässig stationär process verkar på ett linjärt system, producerar utsignalen också en stationär slumpmässig process med ett energispektrum och en korrelationsfunktion definierad av uttryck (3.4.3) och (3.4.4). Processeffekten vid systemutgången kommer att vara lika med

(3.4.5)

Sannolikhetsfördelningstäthet och numeriska egenskaper hos signalen vid utgången av en tröghetsfri olinjär krets.

Baskakov s. 300 – 302

Passage av slumpmässiga signaler genom icke-linjära tröghetsfria kretsar.

Låt oss nu överväga problemet med passage av en slumpmässig process genom ett olinjärt system. I det allmänna fallet är detta problem mycket komplext, men det förenklas avsevärt när det olinjära systemet är tröghetsfritt. I tröghetsfria olinjära system är värdena för utmatningsprocessen in det här ögonblicket tiden bestäms av värdena för inmatningsprocessen vid samma tidpunkt. För icke-linjära tröghetsfria transformationer är en enklare uppgift att bestämma utgångsfördelningsfunktionerna i en mycket mer komplex sådan - att bestämma korrelationsfunktionen eller energispektrumet.

Som noterats ovan är den n-dimensionella fördelningsfunktionen för en slumpprocess i huvudsak en fördelningsfunktion av n slumpmässiga variabler som representerar värdena för slumpprocessen vid n olika tidpunkter. Att bestämma fördelningens lagar för funktionellt transformerade slumpvariabler är en relativt enkel uppgift.

Låt oss överväga enklaste exemplet endimensionell slumpvariabel. Låt vara sannolikhetstätheten för den slumpmässiga variabeln ζ, som är föremål för en icke-linjär transformation. Låt oss bestämma sannolikhetstätheten för den slumpmässiga variabeln η. Låt oss anta att funktionen är sådan att dess inversa funktion är unik.

Om den slumpmässiga variabeln ζ är i ett tillräckligt litet intervall , då på grund av det unika funktionella förhållandet mellan ζ och η, kommer den slumpmässiga variabeln η nödvändigtvis att vara i intervallet , där , sannolikheterna för dessa händelser måste vara desamma, dvs. (3.4.13)

var hittar vi det ifrån?

(3.4.14)

Derivatan i det sista uttrycket tas av dess absoluta värde, eftersom sannolikhetstätheten inte kan vara negativ. Om den inversa funktionen är tvetydig, dvs. har flera grenar, då kan man för sannolikhetstätheten med hjälp av sannolikhetsadditionssatsen få

(3.4.15)

Observera att för att bestämma de numeriska egenskaperna för icke-linjärt transformerade slumpmässiga processer finns det inget behov av att bestämma deras sannolikhetstätheter. I det allmänna fallet har vi faktiskt för det första ögonblicket av den k:te ordningen

(3.4.16)

Men enligt (3.4.13) Och . Därför kan det sista uttrycket skrivas om

(3.4.17)

De resulterande uttrycken (3.4.14) och (3.4.15) kan enkelt utökas till fallet med flera kvantiteter. Vi presenterar här endast slutresultatet för det tvådimensionella fallet. Om slumpvariabler har en gemensam sannolikhetstäthet, då för slumpvariabler

(3.4.18)

när de inversa funktionerna är unika

ledernas sannolikhetstäthet kommer att ges av uttrycket

Var är storleken

kallas transformationens Jacobian och representerar förhållandet mellan elementära områden när man flyttar från ett koordinatsystem till ett annat. Om , då är jämställdheten sann

Var

Fråga nr 23

Diskret pulssekvens, deras spektrum.

Baskakov s. 382-383

Sampling av periodiska signaler. Diskret Fourier Transform (DFT). Återställa den ursprungliga signalen med DFT. Invers diskret Fouriertransform (IDFT).

Baskakov s. 388-392

Fråga nr 24

Princip digital bearbetning(DC)-signaler baserade på diskret Fouriertransform.

Baskakov s. 400-405

Implementering av digitala filtreringsalgoritmer (transversala digitala filter, rekursiva digitala filter, impulssvar, utsignal)

Digitala filter beroende på respons Det finns rekursiva (RF) och icke-rekursiva (NF).

Fördelarna med icke-rekursiva filter framför rekursiva är följande:

Icke-rekursiva filter kan ha ett exakt linjärt fassvar;

Den inneboende bruseffekten för NF är som regel mycket mindre än den för RF;

För NF är det lättare att beräkna koefficienter.

Nackdelarna med icke-rekursiva filter jämfört med rekursiva är följande:

Rekursiva filter tillåter signalbehandling med högre noggrannhet, eftersom de tillåter en mer korrekt implementering av impulssvaret utan att kassera dess "svans";

Kretsimplementeringen av RF är mycket enklare än den för NF;

Rekursiva filter gör det möjligt att implementera algoritmer som inte alls kan implementeras med hjälp av icke-rekursiva filter.

Impulsivt svar ett rekursivt filter är oändligt och ett icke-rekursivt filter är ändligt.

Baskakov s. 405-408, 409-411, 413

Fråga nr 25

Koncept för signal-brusförhållande, filtrering och optimalt filter.

Signal-brusförhållande- dimensionslös kvantitet lika med förhållandet mellan den användbara signaleffekten och bruseffekten.

Filtreringär en bearbetningsprocess signal frekvensselektiva enheter för att ändra signalens spektrala sammansättning.

Optimalt linjärfilter kallas ett frekvensselektivt system som bearbetar summan av signalen och bruset på något bästa sätt. Utgången maximerar signal-brusförhållandet.

Baskakov s. 423-424

Signal-brusförhållande vid utgången av ett matchat filter.

Baskakov s. 425, 431-432

Egenskaper för ett optimalt (matchat) filter för signaler med känd form (AFC, PFC, IR).

Signal vid utgången av det matchade filtret.

Målet med arbetet: Förvärva primära färdigheter i att studera de statistiska egenskaperna hos slumpmässiga signaler. Bestäm experimentellt fördelningen av slumpmässiga signaler vid utgången av linjära och olinjära radiokretsar.

KORT TEORETISK INFORMATION

1. Klassificering av radiokretsar

Radiokretsar som används för signalomvandling är mycket olika i sin sammansättning, struktur och egenskaper. I processen för deras utveckling och analytiska forskning används olika matematiska modeller som uppfyller kraven på adekvathet och enkelhet. Allmänt sett kan vilken radiokrets som helst beskrivas genom ett formaliserat förhållande som bestämmer omvandlingen av insignalen x(t) till utgången y(t), som symboliskt kan representeras som

y(t) = T,

Där T är en operator som definierar regeln genom vilken insignalen konverteras.

Alltså, som matematisk modell en radioteknikkrets kan vara en kombination av operatören T och två uppsättningar X=(xi(t)) och Y=(yi(t)) av signaler vid kretsens ingång och utgång så att

(yjag(t)) = T(xjag(t)).

Enligt typen av omvandling av insignaler till utsignaler, det vill säga enligt typen av operatör T, klassificeras radioteknikkretsar.

En radiokrets är linjär om operatören T är sådan att kretsen uppfyller villkoren för additivitet och homogenitet, det vill säga att likheterna är giltiga

T = T : T = c T

i jag

där c är en konstant.

Dessa förhållanden uttrycker essensen av superpositionsprincipen, som endast är karakteristisk för linjära kretsar.

Funktionen hos linjära kretsar beskrivs av linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter. Det är karakteristiskt att den linjära transformationen av en signal av vilken form som helst inte åtföljs av uppkomsten av harmoniska komponenter med nya frekvenser i spektrumet av utsignalen, det vill säga det leder inte till en anrikning av signalspektrumet.

Radiokretsen är Icke-linjär, om operatören T inte säkerställer att villkoren för additivitet och homogenitet uppfylls. Funktionen hos sådana kretsar beskrivs av icke-linjära differentialekvationer.

Strukturellt innehåller linjära kretsar endast linjära enheter (förstärkare, filter, långa ledningar, etc.). Icke-linjära kretsar innehåller en eller flera icke-linjära enheter (generatorer, detektorer, multiplikatorer, begränsare, etc.)

Baserat på arten av tidsberoendet av utsignalen på insignalen, särskiljs tröghets- och tröghetsfria radiokretsar.

En radiokrets, värdet på utsignalen y(t) i ögonblicket t=t0 beror inte bara på värdet på insignalen x(t) vid denna tidpunkt, utan också på värdena på x( t) vid tidpunkterna som föregår ögonblicket t0 anropas Tröghet kedja. Om värdet på utsignalen y(t) och momentet t=t0 bestäms helt av värdet x(t) samtidigt t0, så kallas en sådan krets Tröghetslös.

2. Transformation av slumpmässiga processer i linjära kretsar

Problemet med att transformera slumpmässiga processer i linjära radiokretsar i det allmänna fallet beaktas i följande formulering. Låt en slumpmässig process x(t) med givna statistiska egenskaper komma fram till ingången till en linjär krets med ett frekvenssvar K(jw). Det krävs att bestämma de statistiska egenskaperna för den slumpmässiga processen y(t) vid kretsens utgång. Beroende på de analyserade egenskaperna hos slumpmässiga processer x(t) och y(t), övervägs två varianter av det allmänna problemet:

1. Bestämning av energispektrum och korrelationsfunktion för en slumpmässig process vid utgången av en linjär krets.

2. Bestämning av lagarna för sannolikhetsfördelningen för en slumpmässig process vid utgången av en linjär kedja.

Den enklaste är den första uppgiften. Dess lösning i frekvensdomänen är baserad på det faktum att energispektrumet för en slumpmässig process vid utgången av en linjär krets Wy(w) i ett stationärt läge är lika med energispektrumet för ingångsprocessen Wx(w) multiplicerat med kvadraten på modulen för kretsens frekvenskarakteristik, det vill säga

Wy(W)= Wx(W) ∙│ K(Jw)│ A (1)

Det är känt att energispektrumet Wx(w) för en slumpmässig process x(t) med matematisk förväntan mx=0 är associerat med dess kovariansfunktion Bx(t) genom Fouriertransformer, dvs.

Wx(W)= IX(T) E— JWTDT

IX(T)= Wx(W) EjWTDW.

Följaktligen kan kovariansfunktionen Вy(t) för en slumpmässig process vid utgången av en linjär kedja bestämmas enligt följande:

IY(T)= Wy(W) EjWTDW= Wx(W))│ K(Jw)│ A EjWTDW

Ry(T)=BY(T)+ Mitt a.

I det här fallet är variansen Dy och den matematiska förväntningen my av den slumpmässiga utdataprocessen lika

Dy= Ry(0)= Wx(w)) │K(jw)│adw

Min= Mx∙ K(0) .

Där mx är den matematiska förväntningen av den slumpmässiga inmatningsprocessen:

K(0) - överföringskoefficient för en linjär krets enligt DC, det är

K(0)= K(Jw)/ W=0

Formler (1,2,3,4) är i huvudsak komplett lösning tilldelad uppgift i frekvensdomänen.

En metod för att lösa det andra problemet, som skulle tillåta att direkt hitta sannolikhetstätheten för processen y(t) vid utgången av en linjär tröghetskrets från en given sannolikhetstäthet för processen x(t) vid ingången, i allmän syn existerar inte. Problemet löses endast för vissa speciella fall och för slumpmässiga processer med en Gaussisk (normal) distributionslag, samt Markov slumpmässiga processer.

I förhållande till normalfördelningsprocessen förenklas lösningen utifrån att när linjär transformation En sådan process förändrar inte distributionslagen. Eftersom en normal process helt bestäms av den matematiska förväntan och korrelationsfunktionen räcker det för att hitta sannolikhetstätheten för processen att beräkna dess matematiska förväntan och korrelationsfunktion.

Lagen för sannolikhetsfördelningen för signalen vid utgången av en linjär tröghetsfri krets sammanfaller i funktionell mening med lagen för fördelning av insignalen. Endast några av dess parametrar ändras. Således, om en linjär tröghetsfri krets implementerar en funktionell transformation av formen y(t) = a x(t) + b, där a och b är konstanta koefficienter, då är sannolikhetstätheten p(y) för en slumpmässig process vid produktionen av kedjan bestäms av den välkända funktionella transformationsformeln slumpmässiga processer

P(Y)= =

Där p(x) är sannolikhetstätheten för den slumpmässiga processen x(t) vid kretsens ingång.

I vissa fall kan problemet med att bestämma de probabilistiska egenskaperna för en slumpmässig process vid utgången av tröghetskretsar ungefärligen lösas med hjälp av effekten av normalisering av en slumpmässig process av tröghetssystem. Om en icke-Gaussisk process x(t1) med ett korrelationsintervall tk verkar på en linjär tröghetskedja med en tidskonstant t»tk (i detta fall är bredden på energispektrumet för den slumpmässiga processen x(t) större än bandbredden för kedjan), då närmar sig processen y(t) vid utgången av en sådan kedja Gauss när t/tk-förhållandet ökar. Detta resultat kallas den slumpmässiga processnormaliseringseffekten. Normaliseringseffekten är mer uttalad ju smalare kretsbandbredden är.

3. Transformation av slumpmässiga processer i olinjära kretsar

Icke-linjära tröghetstransformationer beaktas under analysen av olinjära kretsar, vars tröghet under givna influenser inte kan försummas. Sådana kretsars beteende beskrivs av icke-linjära differentialekvationer, de allmänna metoderna för att lösa som inte existerar. Därför löses problem i samband med studiet av icke-linjära tröghetstransformationer av slumpmässiga processer nästan alltid ungefär, med hjälp av olika artificiella tekniker.

En av dessa tekniker är att representera en olinjär tröghetskedja genom en kombination av linjära tröghetskedjor och olinjära tröghetsfria kedjor. Problemet med att studera inverkan av slumpmässiga processer på en linjär kedja behandlades ovan. Det visades att det i detta fall är ganska enkelt att bestämma spektraldensiteten (eller korrelationsfunktionen) för utsignalen, men svårt att bestämma distributionslagen. I icke-linjära tröghetsfria kretsar är den största svårigheten att hitta korrelationsfunktionen. Det finns dock inga generella metoder för att analysera effekten av slumpmässiga signaler på olinjära kretsar. De är begränsade till att lösa vissa särskilda problem av praktiskt intresse.

3.1. Statistiska egenskaper för en slumpmässig process vid utgången av olinjära kretsar

Låt oss överväga transformationen av en slumpmässig process med en endimensionell sannolikhetstäthet av en icke-linjär tröghetsfri kedja med karakteristiken

Y= f(x).

Det är uppenbart att varje realisering av en slumpmässig process x(t) omvandlas till motsvarande realisering av en ny slumpmässig process y(t), dvs.

y(t)=F[ X(T)] .

A. Bestämning av fördelningslagen för den slumpmässiga processen y(t)

Låt sannolikhetstätheten p(x) för den slumpmässiga processen x(t) vara känd. Det är nödvändigt att bestämma sannolikhetstätheten p(y) för den slumpmässiga processen y(t). Låt oss överväga tre typiska fall.

1. Funktionen y= f(x) för en olinjär kedja bestämmer en en-till-en-överensstämmelse mellan x(t) och y(t). Vi tror att det finns en invers funktion x = j(y), som också bestämmer en en-till-en-överensstämmelse mellan y(t) och x(t). I detta fall är sannolikheten att hitta en realisering av en slumpmässig process x(t) i intervallet (x0, x0+dx) lika med sannolikheten för att hitta en realisering av en slumpmässig process y(t)=f i intervallet (y0, y0+dу) med y0= f(x0) och y0+dy= f(x0+dx), dvs.

P(X) Dx= P(Y) Dy

Därav,

P(Y)= .

Derivatan tas i absolut värde eftersom sannolikhetstätheten p(y) > 0, medan derivatan kan vara negativ.

2. Den inversa funktionen x = j(y) är tvetydig, det vill säga ett värde på y motsvarar flera värden på x. Låt till exempel värdet y1=y0 motsvara värdena x= x1, x2,...,xn.

Sedan från det faktum att y0≤ y(t)≤ y0+dy följer en av n ömsesidigt inkompatibla möjligheter

X1 ≤ X(T)≤ X1 + Dx, eller X2 ≤ X(T)≤ X2 + Dx, eller... Xn≤ X(T)≤ Xn+ Dx.

Att tillämpa regeln att lägga till sannolikheter får vi

P(Y)= + +…+ .

/ X= X1 / X= X2 / X= Xn

3, Karakteristisk för ett icke-linjärt element y= f(x) har en eller flera horisontella sektioner (sektioner där y= konst.). Sedan uttrycket

P(Y)=

Den bör kompletteras med en term som tar hänsyn till sannolikheten att y(t) ligger i intervallet där y = konst.

Det enklaste sättet att överväga detta fall är med ett exempel.

Låt funktionen y= f(x) ha den form som visas i fig. 1 och formeln

Ris. 1 Effekten av en slumpmässig process på en tvåvägsbegränsare.

Vid x(t)<а выходной сигнал y(t)=0, Это значит, что вероятность принятия случайным процессом y(t) нулевого значения равна

P1= P= P= P(x)dx,

Och sannolikhetstätheten

P1(y) = P1∙δ(y).

Genom att argumentera på liknande sätt för fallet x(t)> b får vi

Pa= P= P= P(x)dx,

pa(Y) = Pa∙ δ (Y— C).

/ Y= C

För fallet a≤ x≤ b är formeln giltig

Pa(Y) =

/0≤ Y≤ C

I allmänhet bestäms sannolikhetstätheten för utmatningsprocessen av uttrycket

P(Y)= P1 ∙ δ (Y)+ Pa∙ δ (Y— C)+ .

Observera att för att erhålla det slutliga uttrycket är det nödvändigt att transformera de funktionella beroendena p(x) och dy/dx, som är funktioner av x, till funktioner av y, med hjälp av den inversa funktionen x = j(y). Således löses problemet med att bestämma distributionstätheten för en slumpmässig process vid utgången av en icke-linjär tröghetsfri krets analytiskt för ganska enkla egenskaper y = f(x).

B. Bestämning av energispektrum och korrelationsfunktion för den slumpmässiga processen y(t)

Det är inte möjligt att direkt bestämma energispektrumet för en slumpmässig process vid utgången av en olinjär krets. Det finns bara en metod - att bestämma korrelationsfunktionen för signalen vid kretsens utgång och sedan tillämpa den direkta Fouriertransformen för att bestämma spektrumet.

Om en stationär slumpmässig process x(t) kommer till ingången till en icke-linjär tröghetsfri krets, så kan korrelationsfunktionen för den slumpmässiga processen y(t) vid utgången representeras som

Ry(T)= Förbi(T)- Min2 ,

Där By(t) är kovariansfunktionen;

my är den matematiska förväntan av den slumpmässiga processen y(t). Kovariansfunktionen för en slumpmässig process är den statistiskt medelvärde produkten av värdena för den slumpmässiga processen y(t) vid ögonblicken t och t+t, dvs.

Förbi(T)= M[ Y(T)∙ Y(T+ T)].

För implementeringar av den slumpmässiga processen y(t) är produkten y(t)∙y(t+t) ett tal. För en process som en uppsättning implementeringar bildar denna produkt en slumpvariabel, vars fördelning kännetecknas av en tvådimensionell sannolikhetstäthet p2 (y1, y2, t), där y1= y(t), ya= y( t+t). Observera att variabeln t inte visas i den sista formeln, eftersom processen är stationär - resultatet beror inte på t.

För en given funktion р2 (у1, у2, t) utförs operationen av medelvärdesberäkning över en uppsättning enligt formeln

Förbi(T)=У1∙у2∙р2 (у1, у2,T) Dy1 Dy2 = F(X1 )∙ F(X2 )∙ P(X1 , X2 , T) Dx1 Dx2 .

Den matematiska förväntningen my ges av följande uttryck:

Min= Y∙ P(Y) Dy.

Med hänsyn till att p(y)dy = p(x)dx får vi

Min= F(X)∙ P(X) Dx.

Energispektrumet för utsignalen, i enlighet med Wiener-Khinchin-satsen, hittas som en direkt Fouriertransform av kovariansfunktionen, dvs.

Wy(W)= Förbi(T) E— JWTDT

Praktisk användning den här metoden svårt, eftersom dubbelintegralen för By(t) inte alltid kan beräknas. Det är nödvändigt att använda olika förenklingsmetoder relaterade till detaljerna i det problem som ska lösas.

3.2. Inverkan av smalbandsbrus på en amplituddetektor

Inom statistisk radioteknik skiljer man på bredbands- och smalbandsslumpmässiga processer.

Låt ∆ fe vara bredden på energispektrumet för den slumpmässiga processen, bestämt av formeln (Fig. 2.)

Ris. 2. Bredden på energispektrumet för en slumpmässig process

Smalband en slumpmässig process är en process för vilken ∆fе «f0, där f0 är den frekvens som motsvarar maximivärdet för energispektrumet. En slumpmässig process vars energispektrumbredd inte uppfyller detta villkor är Bredband.

En smalbandig slumpmässig process representeras vanligtvis som en högfrekvent oscillation med långsamt varierande (jämfört med oscillationen vid frekvensen f0) amplitud och fas, dvs.

X(t)= A(t)∙cos,

Där A(t) = √x2(t) + z2(t) ,

J(t) = arktan,

z(t) är den Hilbert-konjugerade funktionen för den ursprungliga funktionen x(t), alltså

z(t)= —DT

Alla parametrar för denna oscillation (amplitud, frekvens och fas) är slumpmässiga funktioner av tiden.

Amplituddetektor, dvs integrerad del Mottagningsvägen är en kombination av ett icke-linjärt tröghetsfritt element (till exempel en diod) och en tröghetslinjär krets (lågpassfilter). Spänningen vid detektorutgången reproducerar amplitudenveloppen för den högfrekventa oscillationen vid ingången.

Låt en smalbandig slumpmässig signal anlända till amplituddetektorns ingång (till exempel från förstärkarens utgång, som har en smal bandbredd i förhållande till mellanfrekvensen), som har egenskaperna hos en ergodisk slumpmässig process med en normal distributionslagstiftningen. Uppenbarligen kommer signalen vid detektorns utgång att vara enveloppen för den slumpmässiga ingångssignalen, som också är en slumpmässig funktion av tiden. Det har bevisats att denna enveloppe, det vill säga enveloppen för en smalbandig slumpmässig process, kännetecknas av en sannolikhetstäthet som kallas Rayleigh-fördelningen och har formen:

Där A är enveloppvärdena;

Sx2 är spridningen av slumpsignalen vid detektoringången.

Rayleighs distributionsdiagram visas i fig. 3.

Fig.3. Rayleigh distributionslagstiftning

Funktionen p(A) har ett maxvärde lika med

När A = sx. Detta betyder att värdet på A = sx och är det mest sannolika värdet på kuvertet.

Matematisk förväntan på höljet av en slumpmässig process

M.A.= = =

Således är enveloppen för en smalbandig slumpmässig process med en normalfördelningslag en slumpmässig funktion av tid, vars distributionstäthet beskrivs av Rayleighs lag.

3.3. Lagen för distribution av enveloppen av summan av en övertonssignal och smalbandigt slumpmässigt brus

Problemet med att bestämma lagen för distribution av enveloppen för summan av en harmonisk signal och smalbandigt slumpmässigt brus uppstår när man analyserar processen för linjär detektering i radar- och kommunikationssystem som arbetar under förhållanden där inre eller externt brus är jämförbart i nivå med den användbara signalen.

Låt mottagaringången ta emot summan av en övertonssignal a(t)=E∙cos(wt) och smalbandsbrus x(t)=A(t)∙cos med en normalfördelningslag. Den totala svängningen i detta fall kan skrivas

N(T) = S(T)+ X(T)= E∙coS(Wt)+ A(T)∙ Cos[ Wt+ J(T)]=

=[E+A(T)∙ Cos(J(T))]∙såS(Wt)- A(T)∙ Synd(J(T))∙ Synd(Wt)= U(T)∙ Cos[ Wt+ J(T)],

Där U(t) och j(t) är enveloppen och fasen för den totala signalen, bestämt av uttrycken

U(T)= ;

J(T)= Arctg

När den totala oscillationen u(t) verkar på amplituddetektorn bildas en envelopp vid utgången av den senare. Sannolikhetstätheten p(U) för detta envelopp bestäms av formeln

P(U)= (5)

Där sxa är brusvariansen x(t);

I0 - Bessel funktion av noll ordning (modifierad).

Sannolikhetstätheten som bestäms av denna formel kallas den generaliserade Rayleigh-lagen, eller Rices lag. Grafer för funktionen p(U) för flera värden på signal/brusförhållandet E/sx visas i fig. 4.

I avsaknad av en användbar signal, det vill säga när E/sx=0, tar uttryck (5) formen

P(U)=

Det vill säga, enveloppen för den resulterande signalen fördelas i detta fall enligt Rayleighs lag.

Fig.4. Grafer över den generaliserade Rayleigh-distributionslagen

Om amplituden för den användbara signalen överstiger grund-medelkvadratbrusnivån, det vill säga E/sx»1, kan du för U≃E använda den asymptotiska representationen av Bessel-funktionen med ett stort argument, dvs.

≃≃.

Genom att ersätta detta uttryck med (5), har vi

P(U)= ,

Det vill säga, enveloppen för den resulterande signalen beskrivs av en normalfördelningslag med dispersion sx2 och matematisk förväntan E. I praktiken tror man att redan vid E/sx = 3 normaliseras enveloppen för den resulterande signalen.

4. Experimentell bestämning av lagarna för distribution av slumpmässiga processer

En av metoderna för att experimentellt bestämma fördelningsfunktionen för en slumpmässig process x(t) är en metod baserad på användningen av en slumpmässig hjälpfunktion z(t) av formen

Där x är värdet på funktionen x(t), för vilken z(t) beräknas.

Som följer av det semantiska innehållet i funktionen z(t), bestäms dess statistiska parametrar av parametrarna för den slumpmässiga processen x(t), eftersom förändringar i värdena för z(t) inträffar vid de ögonblick då den slumpmässiga process x(t) korsar nivå x. Följaktligen, om x(t) är en ergodisk slumpmässig process med en fördelningsfunktion F(x), så kommer funktionen z(t) också att beskriva en ergodisk slumpmässig process med samma fördelningsfunktion.

Figur 5 visar implementeringar av slumpmässiga processer x(t) och z(t), som illustrerar uppenbarheten av sambandet

P[ Z(T)=1]= P[ X(T)< X]= F(X);

P[ Z(T)=0]= P[ X(T)≥ X]= 1- F(X).

Fig.5 Realiseringar av slumpmässiga processer x(t), z(t), z1(t)

Den matematiska förväntan (statistiskt medelvärde) för funktionen z(t), som har två diskreta värden, bestäms i enlighet med formeln (se tabell 1)

M[ Z(T)]=1∙ P[ Z(T)=1]+0 ∙ P[ Z(T)=0]= F(X).

Å andra sidan, för en ergodisk slumpmässig process

Således,

Analyserar detta uttryck, kan vi dra slutsatsen att en anordning för att mäta fördelningsfunktionen för en ergodisk slumpmässig process x(t) måste innehålla en nivådiskriminator för att erhålla en slumpmässig process som beskrivs av funktionen z(t) i enlighet med uttryck (6), och en integrerande anordning tillverkad till exempel i form av ett lågpassfilter.

Metoden för att experimentellt bestämma distributionstätheten för en slumpmässig process x(t) är väsentligen liknande den som diskuterats ovan. I detta fall används en slumpmässig hjälpfunktion z1(t) av formuläret

Den matematiska förväntan av funktionen z1(t), som har två diskreta värden (fig. 5), är lika med

M[ Z1 (T)]=1∙ P[ Z1 (T)=1]+0 ∙ P[ Z1 (T)=0]= P[ X< X(T)< X+∆ X].

Med hänsyn till ergodiciteten hos den slumpmässiga processen som beskrivs av funktionen z1(t), kan vi skriva

Således,

Det är känt att

P(X≤ X(T)< X+∆ X) ≃ P(X)∙∆ X.

Därav,

Således har anordningen för att mäta distributionstätheten för en ergodisk slumpmässig process x(t) samma struktur och sammansättning som anordningen för att mäta fördelningsfunktionen.

Mätnoggrannheten för F(x) och p(x) beror på varaktigheten av observationsintervallet och kvaliteten på integrationsoperationen. Det är ganska uppenbart att vi under verkliga förhållanden får Betyg distributionslagar, eftersom medelvärdet (integrations)tiden är ändlig. Återgå till uttryck (6) och fig. 5. notera att

Z(T) Dt= ∆ T1 ,

Där ∆ t1 är det första tidsintervallet när funktionen x(t) är under nivå x, det vill säga tidsintervallet när funktionen z(t)=l.

Giltigheten av denna formel bestäms av den geometriska betydelsen av en viss integral (ytan av figuren begränsad av funktionen z(t) och segmentet (0,T) på tidsaxeln).

Så vi kan skriva

Det vill säga fördelningsfunktionen för en slumpmässig process x(t) är lika med den relativa uppehållstiden för processimplementeringen i intervallet -¥< x(t) < х.

Att argumentera på samma sätt kan vi få

Där ∆ t1 är det första tidsintervallet för funktionen x(t) som ligger inom (x, x+∆x).

I den praktiska implementeringen av den övervägda metoden för experimentell bestämning av distributionslagarna för en slumpmässig process, analyseras en slumpmässig signal x(t) inom området för förändringar i dess momentana värden från xmin till xmax (fig. 6). Inom dessa gränser är huvuduppsättningen (i probabilistisk mening) av momentana värden för processen x(t) koncentrerad.

Värdena för xmin och xmax väljs baserat på den erforderliga mätnoggrannheten i distributionslagarna. I detta fall kommer trunkerade distributioner att undersökas så att

F(Xmin)+<<1.

Hela intervallet (xmin, xmax) av x(t)-värden är uppdelat i N lika intervall ∆x, dvs.

XMax— Xmin= N∙∆ X.

Ris. 6. Fördelningsfunktion (a), sannolikhetstäthet (b) och implementering (c) av en slumpmässig process x(t)

Intervaller anger bredden på de differentialkorridorer i vilka mätningar görs. Sannolikhetsuppskattningen bestäms

Pi* ≃ P[ Xi-∆ X/2≤ X(T)< Xi-∆ X/2]

Uppehållet av realiseringen x(t) inom differentialkorridoren med medelvärdet av x(t) inom den lika med xi. Uppskattningen Pi* bestäms genom att mäta den relativa uppehållstiden för implementeringen x(t) i var och en av differentialkorridorerna, dvs.

Pi*=1/T Zi(t)dt= ,

I= 1,…,N.

Med tanke på att

Pi* ≃ P1 = P(X) Dx,

Du kan bestämma uppskattningar av distributionstäthet i var och en av differentialkorridorerna

Pi* (X)= Pi*/∆ X.

Med hjälp av de erhållna resultaten, det vill säga värdena för pi*(x), xi, ∆x, konstrueras en stegkurva p*(x), som kallas distributionstäthetshistogrammet (se fig. 7).

Fig. 7. Distributionsdensitetshistogram

Arean under varje fragment av histogrammet inom ∆x är numeriskt lika med arean som upptas av den sanna fördelningskurvan p(x) i ett givet intervall.

Antalet N differentialkorridorer bör vara inom 10...20. En ytterligare ökning av deras antal leder inte till en mer exakt lag p(x), eftersom med ökande N minskar värdet på intervallet ∆x, vilket försämrar förutsättningarna för noggrann mätning av ∆ti.

De erhållna resultaten tillåter oss att beräkna uppskattningar av den matematiska förväntan och variansen för den slumpmässiga processen x(t)

Mx* = Xi∙ Pi* ; Dx* = (Xi— Mx* )2∙ Pi* .

Vid beräkning Mx* Och Dx* Dessa formler tar hänsyn till att om värdet av realiseringen av den slumpmässiga processen x(t) faller in i den första differentialkorridoren, så tilldelas den värdet och (mitten av differentialkorridoren).

Den övervägda metoden för att bestämma distributionslagarna för slumpmässiga processer utgör grunden för driften av den statistiska analysatorn som används i detta laboratoriearbete.

BESKRIVNING AV LABORATORIEINSTALLATIONEN

Studiet av lagarna för distribution av slumpmässiga signaler utförs med hjälp av en laboratorieuppställning, som inkluderar en laboratoriemodell, en statistisk analysator och ett S1-72-oscilloskop (fig. 8).

Fig. 8. Laboratorieinställningsdiagram

Laboratoriemodellen genererar och transformerar slumpmässiga signaler, tillhandahåller deras statistiska analys, konstruerar histogram av distributionslagar och visar dessa lagar grafiskt på indikatorn för en statistisk analysator. Den innehåller följande funktionella enheter:

A. Block av signalgeneratorer. Genererar fyra olika slumpmässiga signaler.

— Signal x1(t)= A∙sin är en harmonisk svängning med en slumpmässig startfas, vars distributionslag Enhetlig i intervallet 0

P(J)= 1/2 P, 0< J<2 P.

Sannolikhetstätheten för momentana värden för en sådan signal är lika med

— Signal x2(t) — sågtandsperiodisk spänning med konstant amplitud A och slumpmässig skiftparameter q, distributionslag
vem Enhetlig i intervallet , där T0 är perioden för signalen, det vill säga sannolikhetstätheten är lika med

P(Q)= 1/ T0 ; 0< Q≤ T0 .

Sannolikhetstätheten för momentana värden för en sådan signal bestäms av uttrycket

— Signal x3(t) är en slumpmässig signal med en normalfördelningslag (Gauss lag) av momentana värden, dvs.

Pa(X)= ,

Där mx, sx är den matematiska förväntan och variansen för slumpsignalen x3(t).

— Signal x4(t) är en slumpmässig klippt signal, som är en sekvens av rektangulära pulser med konstant amplitud A och slumpmässig varaktighet, som inträffar vid slumpmässiga tidpunkter. En sådan signal visas vid utgången av en ideal begränsare när en slumpmässig process med en normalfördelningslag verkar på dess ingång. Transformationsegenskapen har formen

Där x är restriktionsnivån.

Således tar den slumpmässiga processen x4(t) två värden (A och - A) med sannolikheter

P= P= F3(x);

P= P= 1-F3(x);

Där F3(x) är integralfördelningslagen för den slumpmässiga processen x3(t).

Med hänsyn till ovanstående är sannolikhetstätheten för den klippta signalen lika med

P4(x)= F3(x)∙D(x+ A)+ ∙D(x - A).

Figur 9 visar implementeringar av var och en av de slumpmässiga signalerna som genereras av iteratorn för laboratorielayouten och deras sannolikhetstätheter.

Dessa signaler, som var och en kännetecknas av sin egen distributionstäthet, kan matas till ingångarna på typiska element i radiotekniska enheter för att konvertera och studera lagarna för signalfördelning vid deras utgångar.

B. Linjär signalmixer. Genererar summan av två slumpmässiga signaler xi(t) och x1(t) som matas till dess ingångar i enlighet med relationen

Y(T)= R∙ Xi(T)+ (1- R)∙ X1 (T),

Där R är koefficienten som ställs in av potentiometervredet inom området 0...1.

Används för att studera fördelningens lagar för summan av två slumpmässiga signaler.

I. Uttag för anslutning av olika fyrterminalsnätverk - funktionella omvandlare. Laboratorieinstallationssatsen innehåller 4 funktionella omvandlare (fig. 10).

Ris. 9. Realiseringar av slumpmässiga processer x1(t), x2(t), x3(t), x4(t) och deras sannolikhetstätheter

Förstärkare - limiter (limiter) med konverteringskarakteristik

Där U1, U2 är de nedre respektive övre gränsnivåerna;

k är en koefficient lika med tg för lutningsvinkeln för transformationskarakteristiken.

Utför olinjär, tröghetsfri transformation av insignaler.

Smalbandsfilter (F1) med resonansfrekvens f0=20 kHz. Används för att generera smalbandiga slumpmässiga processer med en distributionslag nära normal.

Typisk väg för en AM-oscillationsmottagare (smalbandsfilter F1 - linjär detektor D - lågpassfilter F2). Utför bildandet av enveloppen för en smalbandig slumpmässig signal under linjär detektering.

Strukturellt är de övervägda funktionella omvandlarna gjorda i form av små utbytbara block.

Som en annan funktionell omvandlare används en "ideal" förstärkare - en begränsare (elektronisk nyckel), som är en del av prototypens signalgeneratorblock. Den tillhandahåller bildandet av en klippt signal, som är en icke-linjär tröghetsfri omvandlare av en slumpmässig ingångssignal.

Ris. 10. Funktionella omvandlare

G. Matchande förstärkare. Ger koordination mellan värdeintervallet för signalen som studeras och amplitudområdet för den statistiska analysatorn. Koordinering utförs med "Gain" och "Offset" potentiometrarna när omkopplaren P1 (Fig. 8) är inställd på "Calibration" position.

Den matchande förstärkaren används också som en funktionell omvandlare (förutom de fyra som diskuterats ovan), vilket ger linjär, tröghetsfri omvandling i enlighet med formeln

Y(T)= A∙ X(T)= B,

Där a är förstärkningsfaktorn inställd med “Gain”-ratten;

b är den konstanta komponenten av signalen, inställd med "Offset"-ratten.

Analysatorblocket som visas i diagrammet i Fig. 8 som en del av layouten används inte i detta arbete. Laboratorieinstallationen innebär användning av en digital statistisk analysator, utformad som en separat enhet.

D. En digital statistisk analysator används för att mäta och formulera lagar för distribution av signalvärden som levereras till dess ingång. Analysatorn fungerar enligt följande.

Analysatorn sätts på till mätläge med "Start"-knappen. Mättiden är 20 s. Under denna tid tas prover av ingångssignalvärdena (vid slumpmässiga tidpunkter), varav det totala antalet N är 1 miljon. Sampelna samplas efter nivå så att var och en av dem faller in i ett av 32 intervall (kallad differential). korridorer eller sampelvärden för grupperingsintervall). Intervallerna är numrerade från 0 till 31, deras bredd är 0,1 V, och den nedre gränsen för det 0:e intervallet är 0 V, den övre gränsen för det 31:a intervallet är +3,2 V. Under mättiden räknas antalet räkningar ni ingår i varje intervall. Mätresultatet visas i form av ett distributionshistogram på monitorskärmen, där den horisontella axeln i skalrutnätet är axeln för signalvärden inom 0...+3,2 V, den vertikala axeln är den relativa axeln frekvenser ni/N, i = 0,1...31.

För att läsa mätresultaten i digital form, använd en digital indikator, som visar numret på det valda intervallet och motsvarande frekvens (sannolikhetsuppskattning) ni/N. Valet av intervallnummer för den digitala indikatorn utförs med omkopplaren "Intervall". I detta fall markeras det valda intervallet med en markör på skärmen.

Med omkopplaren "Multiplier" kan du välja en histogramskala som är lämplig för observation längs den vertikala axeln.

När du utför detta arbete måste omkopplaren för analysatorns inspänningsområde (analog-till-digitalt omvandlingsområde) ställas i läge 0...+3,2 V. Före varje mätning måste du växelvis trycka på knapparna "Återställ" och "Start". (när du trycker på "Reset"-knappen Minnesenheten nollställs och resultaten från föregående mätning skrivs om till stackminnet, från vilket de kan återkallas med "Page"-omkopplaren).

Det allmänna problemet med att studera passagen av slumpmässiga signaler genom icke-linjära

kretsen består i att hitta de statistiska egenskaperna för utsignalen från kända kretsdata och de statistiska egenskaperna för signalen. Denna uppgift bör delas upp i ett antal separata uppgifter baserat på egenskaper relaterade till egenskaperna hos insignalen, egenskaperna hos kretsen och de initiala egenskaperna hos utsignalen.

Icke-linjära kretsar representerar ett förhållande mellan icke-linjära element med en entydig ström-spänningskarakteristik och definieras som tröghetsfria.

Enligt de önskade statistiska egenskaperna för utsignalen bör man skilja mellan uppgifter med hjälp av vilka distributionslagen för momentana värden eller kuvertet måste hittas, och uppgifter när det är tillräckligt för att bestämma de första ögonblicken av dessa lagar .

Analys av forskning och publikationer. Beroende på metoderna för att bearbeta signaler från olika källor, blir det nödvändigt att utföra sådana matematiska operationer på dem som till exempel division, multiplikation etc. Sådana matematiska operationer på signaler kan tekniskt implementeras med hjälp av ickelinjära tröghetsfria enheter. Som ett resultat kan problemet med att studera passagen av slumpmässiga signaler genom olinjära kretsar med matematiska operationer inte alltid bringas till en lösning i en acceptabel form.

I allmänhet produceras den grundläggande lösningen på problemet med icke-linjära tröghetsfria transformationer av slumpmässiga processer av den välkända egenskapen invarians av sannolikhetsskillnaden. Tillämpningen av denna egenskap på praktiskt taget intressanta olinjära transformationer orsakar emellertid stora svårigheter. Därför, på grund av komplexiteten i att beräkna sannolikhetstätheten, är de ofta begränsade till att hitta enklare, inte mindre fullständiga statistiska egenskaper för utsignalen.

Formulering av problemet. Funktionen att dela två slumpmässiga signaler kan tillskrivas problemet med att syntetisera en olinjär krets för en given transformation av insignalen, vilket inkluderar att fastställa typen av karaktäristik för kretsen som utför denna transformation, och sedan implementera den resulterande karakteristiken. Med två insignaler som representerar slumpmässiga processer, till exempel, utförs multiplikationsoperationen med ett icke-linjärt deterministiskt tröghetsfritt system, vilket presenteras i fig. 1. Den består av två logaritmatorer 1, 2 (enheter med en logaritmisk amplitudkarakteristik), en adderare och en utställare 3, en anordning med en exponentiell amplitudkarakteristik. Detta tillvägagångssätt för att lösa problemet är baserat på det faktum att den icke-linjära tröghetsfria transformationen av en slumpmässig process inte introducerar ytterligare tillfälliga anslutningar. Det vill säga, om processen före den tröghetsfria transformationen kännetecknades av en n-dimensionell fördelning, så kommer processen efter den att karakteriseras av en n:te ordningens fördelning.

Det är känt att lagen om sannolikhetsfördelning av summan av två slumpmässiga processer med normalfördelningslagar också är normal. Därför kan vi anta att signalen vid utställarens ingång har en normalfördelning av sannolikhetstätheter.

Det erhållna resultatet har en så enkel lösning som uteslutning och inträffar endast med en exponentiell transformation av en normal stationär process.

Detta resultat har emellertid en relativt allmän betydelse, eftersom egenskaperna hos icke-linjära element ofta kan approximeras med en summa som innehåller två till tre exponentiella termer; med detta tillvägagångssätt kommer den totala korrelationsfunktionen för utmatningsprocessen att vara lika med summan av korrelationsfunktionerna beräknade för varje exponentiell term separat.

Problemen med att studera passagen av slumpmässiga signaler genom icke-linjära tröghetsfria kretsar som utför matematiska operationer på signaler, till exempel att dividera eller multiplicera två signaler, kan inte alltid lösas i direkt form. Men att erhålla resultatet av att lösa problemet med att bestämma statistiska egenskaper i dessa fall kan uppnås genom att lösa problemet med att syntetisera olinjära kretsar för en given transformation av insignaler, vilket inkluderar fastställande av typen av egenskaper hos individuella kretselement som utför detta signalomvandling. Med detta tillvägagångssätt kommer uppgiften att bestämma den resulterande signalen att bestämmas vid utgången av varje element som utför sin tilldelade funktion.

Det finns ingen allmän procedur för att bestämma fördelningslagen för svaret av en linjär FU på ett godtyckligt slumpmässigt inflytande. Korrelationsanalys är dock möjlig, det vill säga beräkning av reaktionens korrelationsfunktion från en given korrelationsfunktion för effekten, vilket bekvämt utförs med spektralmetoden enligt schemat som visas i fig. 5.5.

För att beräkna energispektrumet GY(f) reaktioner av linjär FU med överföringsfunktion H(jω) använder vi dess definition (4.1)

Korrelationsfunktion FÖRBI(t) vi definierar genom Fouriertransformen av energispektrat GY(f)

.

Låt oss återgå till definitionen av distributionslagen för reaktionen av en linjär FU i vissa speciella fall:

1. En linjär transformation av en normal SP genererar också en normal process. Endast parametrarna för dess fördelning kan ändras.

2. Summan av normala SP (adderarens reaktion) är också en normal process.

3. När en SP med en godtycklig fördelning passerar genom ett smalbandsfilter (d.v.s. med en filterbandbredd D F betydligt mindre bredd på energispektrumet för påverkan D f X) fenomenet normalisering av reaktionsfördelningen observeras Y(t). Det ligger i att reaktionsfördelningslagen närmar sig det normala. Graden av denna approximation är större, ju starkare ojämlikheten är D F<< Df X(Fig. 5.6).

Detta kan förklaras på följande sätt. Som ett resultat av passagen av SP genom ett smalbandsfilter inträffar en signifikant minskning av bredden på dess energispektrum (med D f X till D F) och följaktligen en ökning av korrelationstiden (ct X till t Y). Som ett resultat mellan okorrelerade filtersvarsprover Y(k t Y) ligger ungefär D f X / D F okorrelerade effektavläsningar X(l t X), som var och en bidrar till bildandet av ett enda reaktionsprov med en vikt som bestäms av typen av filterimpulssvar.

Alltså i okorrelerade avsnitt Y(k t Y) finns en summering av ett stort antal även okorrelerade slumpvariabler X(l t X) med begränsade matematiska förväntningar och varianser, vilket, i enlighet med den centrala gränssatsen (A.M. Lyapunov), säkerställer att fördelningen av deras summa närmar sig normal med en ökning av antalet termer.

5.3. Slumpmässiga smalbandsprocesser

JV X(t) med ett relativt smalt energispektrum (D f X << f c) liksom smalbandiga deterministiska signaler är det bekvämt att representera dem i kvasi-harmonisk form (se avsnitt 2.5)

var är kuvertet A(t), fas Y( t) och initial fas j( t) är slumpmässiga processer, och ω c är en frekvens vald godtyckligt (vanligtvis som medelfrekvensen för dess spektrum).

För att definiera kuvertet A(t) och fas Y( t) är det lämpligt att använda den analytiska SP

, (5.4)

Huvudmomentfunktioner för analytisk SP:

1. Matematisk förväntan

2. Varians

3. Korrelationsfunktion

,

,

.

En analytisk SP kallas stationär if

,

,

Låt oss överväga det typiska problemet inom kommunikationsteknik med att passera en normal SP genom ett bandpassfilter (BF), amplitud (AM) och fas (PD) detektorer (Fig. 5.7). Signalen vid utgången av PF blir smalbandig, vilket innebär att dess envelopp A(t) och initial fas j( t) kommer att vara långsamt varierande funktioner av tid jämfört med , där är den genomsnittliga frekvensen för PF-passbandet. Per definition kommer signalen vid utgången av IM att vara proportionell mot enveloppen för insignalen A(t), och vid PD-utgången – dess initiala fas j( t). För att lösa detta problem är det alltså tillräckligt att beräkna kuvertets fördelning A(t) och fas Y( t) (initialfasfördelning skiljer sig från fördelningen Y( t) endast genom matematisk förväntan).

Formulering av problemet

Given:

1) X(t) = A(t)mysigt( t) – smalbandig centrerad stationär normal SP (vid PF-utgången),

2) .

Definiera:

1) w(A) – endimensionell sannolikhetstäthet för kuvertet,

2) w(Y) – endimensionell fassannolikhetstäthet.

För att lösa detta problem skisserar vi tre steg:

1. Övergång till analytisk SP och bestämning av ledsannolikhetstäthet.

2. Beräkning av fogsannolikhetstätheten baserat på de kopplingar som beräknats i det första steget A(t), Y( t) med (5.3) ÷ (5.6) .

3. Bestämning av endimensionella sannolikhetstätheter w(A) Och w(Y) från den beräknade fogtätheten.

Lösning

Steg 1. Låt oss hitta den endimensionella sannolikhetstätheten för processen. Baserat på Hilbert-transformens linjäritet vi drar slutsatsen att detta är ett normalt joint venture. Dessutom med tanke på det , vi får , och följaktligen

Så har vi

.

Låt oss bevisa okorrelerade vid sammanfallande tidpunkter, d.v.s. att .

.

Efter att ha ersatt , , , med hänsyn till att för , får vi

Den okorrelerade naturen hos tvärsnitten av normala processer innebär därför deras oberoende

.

Steg 2. Beräkning av ledsannolikhetstäthet

,

där enligt (5.2), (5.5) och (5.6)

.

Därför har vi med hänsyn till (5.3).

. (5.7)

Steg 3. Definition av endimensionella sannolikhetstätheter

Till sist

, (5.8)

. (5.9)

Uttryck (5.8) är känt som Rayleigh distribution, dess graf visas i fig. 5.8. I fig. Figur 5.9 visar en graf över den enhetliga fasfördelningen (5.9).

Uttryck (5.7) kan representeras som produkten av (5.8) och (5.9)

vilket innebär kuvertets oberoende A(t) och faser w(Y) normal SP.

Låt oss överväga det mer komplexa problemet med att passera en additiv blandning av ovannämnda normala SP med en övertonssignal genom IM och PD. Problemformuleringen förblir densamma förutom den ursprungliga processen Y(t) som tar formen

Var X(t) – centrerad normal SP.

Eftersom den

.

Låt oss skriva ner det Y(t) i kvasi-harmonisk form

och vi kommer att lösa problemet med att bestämma sannolikhetstätheter w(A) Och w(j) enligt ovanstående plan.

Låt oss skriva ner det i förväg X(t) i kvasi-harmonisk form och genom dess kvadraturkomponenter

, (5.10)

(5.11)

För att hitta, låt oss vända oss till den analytiska SP

.

Från dess uttryck är det tydligt att de är linjära transformationer av den centrerade normala SP X(t):

och har därför en normalfördelning med varianser

.

Låt oss bevisa deras okorrelation (och därför oberoende) vid sammanfallande ögonblick

.

Det beaktas här att B(t) och θ( t) – enveloppen och fasen för den normala SP är, som fastställts ovan, oberoende.

Således,

och med hänsyn till (5.10) och (5.11) får vi

. (5.12)

Eftersom uttryck (5.12) inte kan representeras som en produkt av endimensionella funktioner kan vi dra slutsatsen att processerna är beroende av .

För att hitta fördelningen av enveloppen av summan av en centrerad normal SP med en övertonssignal, integrerar vi (5.12) över alla möjliga värden för den slumpmässiga fasen j( t)

.

Integral av formen

känd inom matematiken som den nollte ordningens modifierade Bessel-funktionen. Med hänsyn till det har vi äntligen

. (5.13)

Uttryck (5.13) kallas generaliserad Rayleigh-fördelning eller Risdistribution. Graferna för detta uttryck visas i fig. 5.10 för följande specialfall:

1) U = 0 – vanlig Rayleigh-distribution,

2) – fall av frånvaro från Y(t) SP X(t),

3)
– generaliserad Rayleigh (ris) distribution.

Det framgår av graferna att ju högre signal-brusförhållandet är, desto mer åt höger förskjuts sannolikhetsdensitetens maximum och desto mer symmetrisk (närmare normalfördelningen) är kurvan.

Slutsatser

1. Om de momentana värdena för den centrerade SP X(t) har en normalfördelning, sedan dess kuvert A(t) distribueras enligt Rayleighs lag

,

och fas Y( t) jämnt

2. Fördelningen av enveloppen för additivblandningen av den centrerade normala SP och den harmoniska signalen följer den generaliserade Rayleigh-fördelningen (även känd som risfördelningen)

.

Kontrollfrågor

1. Formulera problemet med att analysera ett joint ventures passage genom en given funktionell enhet.

2. Hur man beräknar sannolikhetstätheten w(y) reaktion av en tröghetsfri kedja enligt en känd sannolikhetstäthet w(x) påverkan?

3. Hur man beräknar den matematiska förväntan av reaktionen hos en tröghetsfri kedja till en slumpmässig påverkan X(t)?

4. Hur man beräknar spridningen av reaktionen hos en tröghetsfri kedja till en slumpmässig påverkan X(t)?

5. Hur man beräknar korrelationsfunktionen för reaktionen av en tröghetsfri kedja till en slumpmässig påverkan X(t)?

6. Hur man beräknar ledsannolikhetstätheten w(på 1 , på 2; t) två samriskföretag Y 1 (t) Och Y 2 (t), relaterade till kända funktionella beroenden Och med två andra joint ventures X 1 (t) Och X 2 (t)?

7. Hur förändras fördelningen av en normal SP när den passerar genom en linjär kedja?

8. Hur förändras den godtyckliga fördelningen av SP när den passerar genom ett smalbandsfilter?

9. Vad är kärnan i fenomenet normalisering av en bredbandsprocess när den passerar genom ett smalbandsfilter? Ge en matematisk grund för detta fenomen.

10. Beskriv proceduren för korrelationsanalys av ett joint ventures passage genom en linjär krets.

11. Definiera enveloppen och fasen för SP.

12. Definiera analytisk SP, dess matematiska förväntan, spridning och korrelationsfunktion.

13. Vilka villkor uppfyller en stationär analytisk SP?

14. Vilken är fördelningen av enveloppen för en centrerad normal SP?

15. Vad är fasfördelningen för en centrerad normal SP?

16. Vilken är fördelningen av enveloppen av summan av den centrerade normala SP och den övertonssignaler?

17. Skriv ett analytiskt uttryck för Rayleighs lag. Vilken typ av joint venture kännetecknar det?

18. Skriv ett analytiskt uttryck för den generaliserade Rayleigh-lagen (Rice’s law). Vilken typ av joint venture kännetecknar det?