16 모델링 시스템을 위한 수학적 체계.

시스템의 수학적 모델을 구성하는 기본 접근 방식입니다. 지속적으로 결정적인 모델. 이산 결정론적 모델. 이산 확률론적 모델. 연속 확률론적 모델. 네트워크 모델. 결합된 모델.

시스템의 수학적 모델을 구성하는 기본 접근 방식입니다.

시스템 기능 프로세스의 수학적 모델을 구축할 때 초기 정보는 연구(설계)되는 시스템의 목적 및 작동 조건에 대한 데이터입니다. 에스.

수학적 체계

실제 프로세스는 특정 다이어그램 형태로 표시됩니다. 매트. 다이어그램 – 환경의 영향을 고려하여 의미 있는 설명에서 시스템의 형식적인 설명으로 전환합니다.

형식적 객체 모델

시뮬레이션 개체 모델,

즉, 시스템 에스,수량의 집합으로 표현될 수 있으며,

실제 시스템이 기능하고 형성되는 과정을 기술하는 것

일반적으로 다음과 같은 하위 집합이 있습니다.

· 총체성 입력 영향시스템당

엑스나,еХ,(이자형-캐릭터가 속함)나=1; nx

· 총체성 환경 영향

V난Vl=1;nv

· 총체성 내부(자체) 매개변수시스템

ㅋㅋㅋk=1;nh

· 총체성 출력 특성시스템

yJeYj=1;ny

통제할 수 있는 변수와 통제할 수 없는 변수를 구분할 수 있습니다.

시스템을 모델링할 때 입력 영향, 외부 환경 영향 및 내부 매개변수에는 결정론적 요소와 확률론적 요소가 모두 포함됩니다.

입력 영향, 환경 영향 이자형시스템의 내부 매개변수는 다음과 같습니다. 독립(외생) 변수.

시스템 운영 프로세스 에스운영자가 시간에 맞춰 설명함 Fs,이는 일반적으로 다음 형식의 관계에 따라 외생 변수를 내생 변수로 변환합니다.

와이(t)=Fs(엑스,v, h,t) – 모두 ve케이토리.

시스템 Fs의 작동 법칙은 함수, 기능적, 논리적 조건의 형태로, 알고리즘 및 표 형식으로, 또는 언어 대응 규칙의 형태로 지정될 수 있습니다.

작동하는 알고리즘의 개념 As -입력 영향, 외부 환경 영향 및 시스템 자체 매개 변수를 고려하여 출력 특성을 얻는 방법입니다.

시스템 상태(특정 시점의 시스템 속성)도 소개됩니다.

가능한 모든 상태값의 집합이 객체의 상태공간을 구성합니다.

따라서 "입력 - 상태 - 출력" 개체의 방정식 체인을 통해 시스템의 특성을 결정할 수 있습니다.

따라서 아래에서는 물체의 수학적 모델(실제 시스템) 변수의 유한한 하위 집합을 이해합니다. (x(t),v(t),h(t)) 그것들과 특성 사이의 수학적 연결과 함께 와이(티).

일반적인 계획

연구 초기 단계에서는 표준 체계가 사용됩니다. : 미분방정식, 유한 및 확률론적 오토마타, 큐잉 시스템, 페트리 네트 등

결정론적 모델로서 연구에서 확률 요인을 고려하지 않는 경우 미분, 적분, 적분 및 기타 방정식을 사용하여 연속 시간에서 작동하는 시스템을 나타내고 이산 시간에서 작동하는 시스템을 나타냅니다. 유한 상태 기계그리고 유한차분법.

확률론적 모델(랜덤 요인을 고려한)로는 이산시간 시스템을 표현하기 위해 확률론적 오토마타를 사용하고, 연속시간 시스템을 표현하기 위해 큐잉 시스템 등을 사용합니다.

따라서 시스템 기능 프로세스의 수학적 모델을 구축할 때 다음과 같은 주요 접근 방식을 구별할 수 있습니다. 연속 결정론(예: 미분 방정식); 이산-결정적(유한 상태 기계); 이산-확률론적(확률적 자동인형); 연속 확률론적(큐잉 시스템); 일반화 또는 보편적(집합 시스템).

연속 결정론적 모델

Mat를 사용하여 예를 들어 연속 결정론적 접근 방식의 특징을 고려해 보겠습니다. 모델 미분 방정식.

미분 방정식은 하나의 변수 또는 여러 변수의 함수를 알 수 없는 방정식으로, 방정식에는 해당 함수뿐만 아니라 다른 차수의 도함수도 포함됩니다.

미지수가 많은 변수의 함수인 경우 방정식은 다음과 같이 호출됩니다. 편미분 방정식.하나의 독립변수의 함수를 알 수 없는 경우 상미분방정식.

일반적인 형태의 결정론적 시스템에 대한 수학적 관계:

이산 결정론적 모델.

DDM은 고려 대상입니다. 오토마타 이론(TA). TA는 처리 장치를 연구하는 이론적 사이버네틱스의 한 분야입니다. 개별 정보허용되는 시간에만 내부 상태를 변경합니다.

상태 머신 내부 상태와 입력 신호 세트(따라서 출력 신호 세트)가 유한 세트인 자동 장치입니다.

상태 머신유한한 집합인 내부 상태와 입력 신호 집합이 있습니다. 기계 F-계획에 의해 주어진다: F= ,

여기서 z, x, y는 각각 유한한 입력 및 출력 신호 집합(알파벳)과 유한한 내부 상태 집합(알파벳)입니다. z0ÎZ - 초기 상태; j(z, x) - 전환 함수; y(z, x) - 출력 함수.

자동 장치는 이산 자동 장치 시간으로 작동하며 그 순간은 클록 주기, 즉 서로 인접한 동일한 시간 간격이며, 각각은 입력, 출력 신호 및 내부 상태의 일정한 값에 해당합니다. 추상 자동장치에는 하나의 입력 채널과 하나의 출력 채널이 있습니다.

F 자동장치를 지정하려면 F= 집합의 모든 요소를 ​​설명해야 합니다. , 즉 입력, 내부 및 출력 알파벳은 물론 전환 및 출력 기능도 포함됩니다. F-automata의 작동을 지정하기 위해 표, 그래픽 및 매트릭스 방법이 가장 자주 사용됩니다.

표 형식 설정 방법에서는 전환 및 출력 테이블이 사용되며 그 행은 기계의 입력 신호에 해당하고 열은 해당 상태에 해당합니다.

작품 설명 에프- 자동 기계 밀리전이 j 테이블과 출력 y는 표 (1)로 표시되고 F(무어 머신)에 대한 설명은 전이 테이블(2)로 표시됩니다.

1 번 테이블

전환
…………………………………………………………
…………………………………………………………

표 2

…………………………………………………………

F(세 가지 상태, 2개의 입력 및 2개의 출력 신호를 갖는 Mealy 머신 F1)를 지정하기 위한 표 형식 방법의 예가 표 3에 제공되고 F(무어 머신 F2)에 대한 예가 표 4에 제공됩니다.

표 3

전환

표 4

유한 오토마톤을 지정하는 또 다른 방법은 유향 그래프(directed graph) 개념을 사용하는 것입니다. 오토마톤의 그래프는 오토마톤의 다양한 상태에 해당하고 오토마톤의 특정 전환에 해당하는 그래프 호의 정점을 연결하는 정점 집합입니다. 입력 신호 xk가 상태 zi에서 상태 zj로 전환하는 경우 오토마톤 그래프에서 꼭지점 zi와 꼭지점 zj를 연결하는 호는 xk로 표시됩니다. 전환 기능을 지정하려면 그래프의 원호에 해당 출력 신호가 표시되어야 합니다.

쌀. 1. Mealy(a)와 Moore(b) 오토마타의 그래프.

모델링 문제를 해결할 때 유한 자동장치의 행렬 사양이 더 편리한 형식인 경우가 많습니다. 이 경우 오토마톤의 연결행렬은 정방행렬 C=|| cij ||, 행은 초기 상태에 해당하고 열은 전환 상태에 해당합니다.

예. 이전에 고려한 Moore Automaton F2의 경우 상태 행렬과 출력 벡터를 작성합니다.

;

이산 확률론적 모델

Ф를 (zk, yi) 형식의 가능한 모든 쌍의 집합으로 설정합니다. 여기서 уi는 출력 요소입니다.

부분 집합 Y. 집합 G의 모든 요소는 다음을 유도해야 합니다.

세트 Ф에 다음 형식의 일부 배포 법칙이 있습니다.

Ф(z1, y2)(z1, y2zk, yJ-1)(zK, yJ)의 요소

(xi, zs) b11 b1bK(J-1) bKJ

정보 네트워크" href="/text/category/informatcionnie_seti/" rel="bookmark">원격 단말기 등의 컴퓨터 정보 처리

동시에,

그러한 객체의 작동은 애플리케이션(요구사항)이 무작위로 나타나는 것입니다.

유지보수 및 서비스 완료 임의의 순간시간,

즉, 기능 과정의 확률론적 성격입니다.

QS는 제한된 시스템 리소스를 사용하여 임의의 요청 흐름을 효율적으로 서비스하도록 설계된 동적 시스템으로 이해됩니다. 일반화된 구조 QS는 그림 3.1에 나와 있습니다.

쌀. 3.1. SMO 계획.

생성 원인에 따라 QS의 입력에 도착하는 동종 요청은 유형으로 나뉘며 유형 i(i=1...M)의 요청 흐름 강도는 li로 지정됩니다. 모든 유형의 요청 전체가 QS의 수신 흐름입니다.

신청서 처리 중 중채널.

보편적이고 특화된 서비스 채널이 있습니다. j 유형의 범용 채널의 경우 임의 유형의 요청을 처리하는 기간의 분포 함수 Fji(t)가 알려진 것으로 간주됩니다. 특수 채널의 경우 일부 유형의 요청에 대한 서비스 채널 기간을 분배하는 기능이 불확실하며 이러한 요청을 특정 채널에 할당합니다.

Q 회로는 시뮬레이션 모델을 사용하여 분석적으로 연구할 수 있습니다. 후자는 더 큰 다양성을 제공합니다.

큐잉의 개념을 생각해 봅시다.

모든 기본 서비스 행위에서는 애플리케이션에 의한 서비스 기대와 애플리케이션의 실제 서비스라는 두 가지 주요 구성요소를 구별할 수 있습니다. 이는 li=0...LiH 클레임을 동시에 포함할 수 있는 클레임 ​​누산기로 구성된 i번째 서비스 장치 Pi의 형태로 표시될 수 있습니다. 여기서 LiH는 i번째 저장 장치의 용량입니다. 클레임 서비스 채널, ki.

쌀. 3.2. SMO 장치 다이어그램

서비스 장치 Pi의 각 요소는 이벤트 스트림을 수신합니다. 드라이브 Hi는 요청 스트림 wi를 수신하고 채널 ki는 서비스 스트림 ui를 수신합니다.

사건의 흐름(PS)는 임의의 순간에 차례로 발생하는 일련의 사건입니다. 동질적인 이벤트와 이질적인 이벤트의 흐름이 있습니다. 동종의 PS는 이러한 사건이 도착하는 순간(유발 순간)만을 특징으로 하며 수열 (tn)=(0£t1£t2…£tn£…)으로 제공됩니다. 여기서 tn은 n번째 사건이 도착하는 순간입니다. 이벤트 - 음수가 아닌 실수입니다. OPS는 n번째 이벤트와 n번째 이벤트 사이의 일련의 시간 간격(tn)으로 지정할 수도 있습니다.

이기종 PS는 시퀀스(tn, fn)라고 하며, 여기서 tn은 원인이 되는 순간입니다. fn은 이벤트 속성의 집합입니다. 예를 들어, 특정 요청 소스에 속하는지, 우선순위가 있는지, 특정 유형의 채널이 서비스를 제공할 수 있는지 등을 지정할 수 있습니다.

채널 ki에 의해 처리되는 요청과 다양한 이유로 장치 Pi를 떠난 요청은 출력 스트림 yiÎY에서 처리되지 않습니다.

서비스 장치 Pi의 기능 프로세스는 시간 Zi(t)에 따라 해당 요소의 상태를 변경하는 프로세스로 표현될 수 있습니다. Pi의 새로운 상태로의 전환은 해당 상태(채널 ki 및 스토리지 Hi)에 있는 요청 수의 변경을 의미합니다. 저것. Pi의 상태 벡터 형식은 다음과 같습니다. 드라이브 상태는 어디에 있습니까? (https://pandia.ru/text/78/362/images/image010_20.gif" width="24 height=28" height="28" >=1 - 드라이브에 하나의 요청이 있습니다..., =- 드라이브가 완전히 점유되었습니다, - 채널 상태 ki(=0 - 채널이 비어 있음, =1 채널이 사용 중입니다).

실제 객체의 Q-체계는 많은 기본 서비스 장치 Pi의 구성으로 형성됩니다. Ki 서로 다른 서비스 장치가 병렬로 연결되면 다중 채널 서비스가 발생하고(Multi-channel Q-scheme), 장치 Pi와 해당 병렬 구성이 직렬로 연결되면 다중 단계 서비스가 발생합니다(다단계 Q 계획).

Q 체계를 정의하려면 다양한 모호한 상황에서 응용 프로그램의 동작 규칙을 결정하는 기능 알고리즘을 설명하는 것도 필요합니다.

이러한 상황의 위치에 따라 Hi 저장 탱크에서 요청을 기다리고 채널 ki로 요청을 처리하는 알고리즘(규제)이 있습니다. 상대적 우선순위와 절대 우선순위라는 우선순위 클래스를 도입하여 애플리케이션 흐름의 이질성을 고려합니다.

저것. 모든 복잡성의 QS 기능 프로세스를 설명하는 Q 체계는 집합 집합으로 고유하게 지정됩니다. Q = .

네트워크 모델.

병렬 시스템과 프로세스의 구조와 상호 작용을 공식적으로 설명하고 복잡한 시스템의 인과 관계를 분석하기 위해 N-체계라고 불리는 Petri Nets가 사용됩니다.

공식적으로 N-체계는 다음 형식의 4배로 제공됩니다.

아니= ,

여기서 B는 위치라고 불리는 유한한 기호 집합입니다. B ≠ O입니다.

D는 전환 D ≠ O라고 불리는 유한한 기호 집합입니다.

B ∩ D ≠ O; I – 입력 기능(직접 입사 기능)

I: B × D → (0, 1); О – 출력 함수(역 입사 함수),

O: B × D → (0, 1). 따라서 입력 함수 I는 전환 dj를 다음으로 매핑합니다.

입력 위치 집합 bj I(dj), 출력 함수 O는 다음을 반영합니다.

dj를 출력 위치 세트 bj O(dj)로 전환합니다. 각 전환마다

dj https://pandia.ru/text/78/362/images/image013_14.gif" width="13" height="13"> B | I(bi, dj) = 1 ),

O(dj) = ( bi B | O(dj, bi) = 1 ),

나는 = 1,n; j = 1,m; n = | B |, m = | 디|.

마찬가지로, 각 위치 bi B에 대해 정의가 도입됩니다.

위치 I(bi)의 입력 전환 세트와 출력 전환

위치 O(bi):

I(bi) = ( dj D | I(dj, bi,) = 1 ),

O(bi) = (dj D | O(bi, dj) = 1).

페트리 네트(Petri net)는 위치와 전이라는 두 가지 유형의 꼭지점으로 구성된 이분 방향 그래프로, 호로 연결되며 동일한 유형의 꼭지점은 직접 연결할 수 없습니다.

페트리넷의 예. 흰색 원은 위치를 나타내고, 줄무늬는 전환을 나타내고, 검은색 원은 표시를 나타냅니다.

방향 지정 호는 위치와 전환을 연결하며, 각 호는 한 세트(위치 또는 전환)의 요소에서 다른 세트의 요소로 향합니다.

(전환 또는 위치). N-체계 그래프는 다음과 같은 이유로 다중 그래프입니다.

한 꼭지점에서 다른 꼭지점까지 여러 개의 호가 존재할 수 있습니다.

분해" href="/text/category/dekompozitciya/" rel="bookmark">분해는 다양한 수준의 하위 시스템으로 결합된 상호 연결된 요소의 다중 수준 구조로서 복잡한 시스템을 나타냅니다.

집계는 A 방식의 요소 역할을 하며 집계 간의 연결(시스템 S 내 및 외부 환경 E)은 활용 연산자 R을 사용하여 수행됩니다.

모든 단위는 다음 세트로 특징지어집니다: 시간 T의 순간, 입력 X 및 출력 Y 신호, 각 시간 t의 상태 Z. 시간 tT에서의 단위 상태는 z(t) Z로 표시되며,

입력 및 출력 신호는 각각 x(t) X 및 y(t) Y입니다.

상태 z(t1)에서 상태 z(t2)≠z(t1)로의 집계 전환이 짧은 시간 간격에 걸쳐 발생한다고 가정합니다. 즉, δz에 점프가 있습니다.

상태 z(t1)에서 z(t2)로의 장치 전환은 장치 자체의 (내부) 매개변수 h(t) H 및 입력 신호 x(t) X에 의해 결정됩니다.

시간 t0의 초기 순간에 상태 z는 시간 t0에서 프로세스 z(t)의 분포 법칙, 즉 J에 의해 지정된 z0과 동일한 값, 즉 z0=z(t0)을 갖습니다. 충격 입력 신호 xn이 발생한 경우 장치의 기능 과정은 무작위 연산자 V로 설명됩니다. 그런 다음 입력 신호 tnT가 장치에 들어가는 순간

xn 상태를 결정할 수 있습니다

z(tn + 0) = V.

하프타임 간격 t1을 나타내자.< t ≤ t2 как (t1, t2], а полуинтервал

t1 ≤ t< t2 как .

무작위 연산자 V와 U의 집합은 집합을 새로운 상태로 전환하는 연산자로 간주됩니다. 이 경우, 장치의 기능 프로세스는 입력 신호 x(연산자 V)가 도착하는 순간에 상태 δz의 점프와 이 순간 tn과 tn+1(연산자 U) 사이의 상태 변화로 구성됩니다. 연산자 U에는 제한이 없으므로 상태 δz의 점프는 입력 신호 x의 도착 순간이 아닌 순간에 허용됩니다. 다음에서는 점프 순간 δz를 시간 tδ의 특수 순간이라고 하고 상태 z(tδ)를 A 방식의 특수 상태라고 합니다. 특별한 시간 tδ의 상태 점프 δz를 설명하기 위해 연산자 U의 특별한 경우인 무작위 연산자 W를 사용합니다.

z(tδ + 0) = W.

상태 집합 Z에서 부분 집합 Z(Y)는 z(tδ)가 Z(Y)에 도달하면 이 상태가 출력 연산자에 의해 결정된 출력 신호를 발행하는 순간이 되도록 할당됩니다.

y = G.

따라서 집계를 통해 우리는 고려된 세트 T, X, Y, Z, Z(Y), H 및 임의 연산자 V, U, W, G의 순서화된 컬렉션으로 정의된 모든 개체를 이해하게 됩니다.

A 회로에 도착하는 순서대로 배열된 입력 신호의 시퀀스를 입력 메시지 또는 x-메시지라고 합니다. 발행 시간을 기준으로 정렬된 일련의 출력 신호를 출력 메시지 또는 y-메시지라고 부릅니다.

간략하게 말하면

연속 결정론적 모델(D 방식)

연속적인 시간에 작동하는 시스템을 연구하는 데 사용됩니다. 이러한 시스템을 설명하기 위해 미분방정식, 적분방정식, 적분미분방정식을 주로 사용합니다. 일반 미분 방정식은 단 하나의 독립 변수의 함수를 고려하는 반면, 편미분 방정식은 여러 변수의 함수를 고려합니다.

D-모델 사용의 예는 기계적 진자 또는 전기 진동 회로의 작동에 대한 연구입니다. D 모델의 기술적 기반은 아날로그입니다. 컴퓨팅 기계(AVM) 또는 현재 빠르게 발전하고 있는 하이브리드 컴퓨터(HCM)입니다. 알려진 바와 같이, 컴퓨터 연구의 기본 원리는 주어진 방정식을 사용하여 연구원(컴퓨터 사용자)이 개별 표준 단위에서 회로를 조립한다는 것입니다. 연산 증폭기스케일링, 댐핑, 근사 회로 등을 포함합니다.

AVM의 구조는 재현 가능한 방정식의 유형에 따라 변경됩니다.

디지털 컴퓨터에서 구조는 변경되지 않지만 노드의 작동 순서는 내장된 프로그램에 따라 변경됩니다. AVM과 CVM을 비교하면 시뮬레이션과 통계 모델링의 차이가 명확하게 드러납니다.

ABM은 시뮬레이션 모델을 구현하지만 원칙적으로 통계 모델링의 원리를 사용하지 않습니다. 디지털 컴퓨터에서 대부분의 시뮬레이션 모델은 난수 및 프로세스 연구, 즉 통계 모델링을 기반으로 합니다. 연속 결정론적 모델은 시스템 연구의 기계 공학에서 널리 사용됩니다. 자동 제어, 충격 흡수 시스템 선택, 기술의 공진 현상 및 진동 식별
등등.

이산 결정적 모델(F 방식)

이산적인 시간으로 작동합니다. 이러한 모델은 오늘날 매우 중요하고 널리 퍼진 종류의 개별 오토마타 시스템의 작동을 연구하기 위한 기초입니다. 그들의 연구 목적을 위해 오토마타 이론의 독립적인 수학적 장치가 개발되었습니다. 이 이론에 기초하여 시스템은 개별 정보를 처리하고 처리 결과에 따라 내부 상태를 변경하는 자동 장치로 간주됩니다.

이 모델은 회로, 장치의 요소 및 노드 수를 최소화하고 장치 전체 및 노드 작동 순서를 최적화하는 원칙을 기반으로 합니다. 전자 회로와 함께 이 모델에서 설명하는 기계의 대표적인 대표자는 (주어진 프로그램에 따라) 제어하는 ​​로봇입니다. 기술 프로세스주어진 결정론적 순서로.

숫자가 있는 기계 프로그램 제어이 모델에서도 설명됩니다. 이 기계의 처리 부품 순서 선택은 특정 시점 / 4 /에서 제어 신호를 생성하는 제어 장치 (컨트롤러)를 설정하여 수행됩니다.

오토마타 이론은 두 가지 가능한 신호 값 0과 1로 작동하는 부울 함수의 수학적 장치를 사용합니다.

오토마타는 메모리가 없는 오토마타와 메모리가 있는 오토마타로 구분됩니다. 해당 작업은 한 상태에서 다른 상태로의 기계 전환을 표시하는 테이블, 행렬 및 그래프를 사용하여 설명됩니다. 기계 작동에 대한 모든 유형의 설명에 대한 분석적 추정은 매우 번거롭고 장치를 구성하는 요소와 노드 수가 상대적으로 적더라도 실제로 불가능합니다. 그러므로 연구는 복잡한 회로의심할 여지없이 로봇 장치를 포함하는 자동 기계는 시뮬레이션 모델링을 사용하여 생산됩니다.

이산-확률적 모델(P-체계)

그들은 확률론적 자동장치의 작동을 연구하는 데 사용됩니다. 이 유형의 기계에서는 외부 신호의 영향을 받고 기계의 내부 상태를 고려하여 한 상태에서 다른 상태로의 전환이 수행됩니다. 그러나 G-automata와 달리 이러한 전환은 엄격하게 결정적이지는 않지만 특정 확률로 수행될 수 있습니다.

이러한 모델의 예로는 유한한 상태 집합을 갖는 이산 마르코프 체인이 있습니다. F 방식의 분석은 전이 확률 행렬의 처리 및 변환과 확률 그래프 분석을 기반으로 합니다. 이미 비교 분석을 위해 간단한 장치, F-schemes로 동작이 설명되는 경우 시뮬레이션 모델링을 사용하는 것이 좋습니다. 그러한 모델링의 예가 단락 2.4에 나와 있습니다.

연속 확률론적 모델(Q-체계)

이는 큐잉 시스템으로 간주되는 광범위한 시스템 클래스를 분석하는 데 사용됩니다. 서비스 프로세스로서 기업에 대한 제품 배송 흐름, 맞춤형 구성 요소 및 제품 흐름, 조립 라인의 부품 흐름, 자동화된 제어 센터의 제어 작업 흐름 등 다양한 물리적 특성의 프로세스가 나타날 수 있습니다. 사업장에 대한 통제 시스템 및 컴퓨터 정보 처리 요청 등을 반환합니다.

일반적으로 이러한 흐름은 다양한 요인과 특정 상황에 따라 달라집니다. 따라서 대부분의 경우 이러한 흐름은 시간에 따라 무작위이며 언제든지 변경될 가능성이 있습니다. 이러한 체계의 분석은 큐잉 이론의 수학적 장치를 기반으로 수행됩니다. 여기에는 연속 마르코프 체인이 포함됩니다. 분석 방법의 개발에서 상당한 발전이 이루어졌음에도 불구하고 큐잉 이론과 분석 방법에 의한 Q-체계 분석은 상당히 단순화된 가정과 가정 하에서만 수행될 수 있습니다. 이러한 계획의 대부분, 특히 자동화된 프로세스 제어 시스템 및 로봇 시스템과 같은 복잡한 계획에 대한 자세한 연구는 시뮬레이션 모델링을 통해서만 수행할 수 있습니다.

일반화 모델(A-구성표)

집계 방법을 기반으로 모든 시스템의 기능 프로세스에 대한 설명을 기반으로 합니다. 집계 설명을 사용하면 시스템이 별도의 하위 시스템으로 구분되어 수학적 설명에 편리하다고 간주될 수 있습니다. 이러한 분할(분해)의 결과로 복잡한 시스템은 다중 레벨 시스템으로 표시되며, 개별 레벨(집계)을 분석할 수 있습니다. 개별 단위에 대한 분석을 바탕으로 이들 단위의 상호관계 법칙을 고려하면 전체 시스템에 대한 포괄적인 연구를 수행할 수 있습니다.

, Yakovlev 시스템. 4판 – M.: 고등 학교, 2005. – P. 45-82.

응용 문제를 해결하는 데 컴퓨터를 사용하려면 먼저 응용 문제를 공식적인 수학 언어로 "번역"해야 합니다. 실제 객체, 프로세스 또는 시스템의 경우 구축되어야 합니다. 수학적 모델.

논리적이고 수학적 구성을 사용하는 정량적 형태의 수학적 모델은 객체, 프로세스 또는 시스템의 기본 속성, 해당 매개변수, 내부 및 외부 연결을 설명합니다.

을 위한 수학적 모델 구축필요한:

1. 실제 객체나 프로세스를 주의 깊게 분석합니다.
2. 가장 중요한 특징과 특성을 강조합니다.
3. 변수를 정의합니다. 즉, 값이 객체의 주요 특징과 속성에 영향을 미치는 매개변수
4. 논리-수학적 관계(방정식, 평등, 불평등, 논리-수학적 구성)를 사용하여 변수 값에 대한 객체, 프로세스 또는 시스템의 기본 속성의 의존성을 설명합니다.
5. 가장 밝은 부분 내부 커뮤니케이션 제한, 방정식, 평등, 불평등, 논리적 및 수학적 구성을 사용하는 객체, 프로세스 또는 시스템;
6. 외부 연결을 식별하고 제한, 방정식, 등식, 부등식, 논리적 및 수학적 구성을 사용하여 설명합니다.

수학 모델링, 객체, 프로세스 또는 시스템을 연구하고 수학적 설명을 작성하는 것 외에도 다음이 포함됩니다.

1. 객체, 프로세스 또는 시스템의 동작을 모델링하는 알고리즘을 구축합니다.
2. 시험 모델의 적절성컴퓨터 및 자연 실험을 기반으로 하는 개체, 프로세스 또는 시스템;
3. 모델 조정;
4. 모델을 사용합니다.

연구 중인 프로세스 및 시스템에 대한 수학적 설명은 다음에 따라 달라집니다.

1. 실제 프로세스 또는 시스템의 본질을 나타내며 물리, 화학, 역학, 열역학, 유체 역학, 전기 공학, 가소성 이론, 탄성 이론 등의 법칙을 기반으로 작성됩니다.
2. 실제 프로세스와 시스템에 대한 연구와 연구에 필요한 신뢰성과 정확성.

수학적 모델을 선택하는 단계에서는 객체, 프로세스 또는 시스템의 선형성과 비선형성, 역동성 또는 정적성, 정상성 또는 비정상성, 연구 중인 객체 또는 프로세스의 결정성 정도가 설정됩니다. 수학적 모델링에서는 대상, 프로세스 또는 시스템의 특정 물리적 특성을 의도적으로 추상화하고 주로 이러한 프로세스를 설명하는 수량 간의 정량적 종속성에 대한 연구에 중점을 둡니다.

수학적 모델문제의 객체, 프로세스 또는 시스템과 완전히 동일하지 않습니다. 단순화, 이상화를 바탕으로 대상에 대한 대략적인 설명입니다. 따라서 모델 분석을 통해 얻은 결과는 근사치입니다. 정확도는 모델과 객체 간의 적합성(준수) 정도에 따라 결정됩니다.

일반적으로 문제의 대상, 프로세스 또는 시스템에 대한 가장 단순하고 조악한 수학적 모델을 구성하고 분석하는 것으로 시작됩니다. 앞으로는 필요하다면 모델이 개선되고 객체와의 대응이 더욱 완전해집니다.

간단한 예를 들어보겠습니다. 책상의 표면적을 결정하는 것이 필요합니다. 일반적으로 이는 길이와 너비를 측정한 다음 결과 숫자를 곱하여 수행됩니다. 이 기본 절차는 실제로 다음을 의미합니다. 실제 객체(테이블 표면)가 추상적인 수학적 모델(사각형)으로 대체됩니다. 테이블 표면의 길이와 너비를 측정하여 얻은 치수는 직사각형에 할당되며 이러한 직사각형의 면적은 대략 테이블의 필요한 면적으로 간주됩니다.

그러나 책상의 직사각형 모델은 가장 단순하고 조잡한 모델입니다. 문제에 좀 더 진지하게 접근한다면, 직사각형 모델을 사용하여 테이블의 면적을 결정하기 전에 이 모델을 확인해야 합니다. 검사는 다음과 같이 수행할 수 있습니다. 테이블의 반대쪽 길이와 대각선 길이를 측정하고 서로 비교합니다. 필요한 정확도로 반대쪽 변의 길이와 대각선의 길이가 쌍으로 동일하다면 테이블 표면은 실제로 직사각형으로 간주될 수 있습니다. 그렇지 않으면 직사각형 모델을 거부하고 사각형 모델로 대체해야 합니다. 일반적인 견해. 더 많은 높은 요구정확성을 높이려면 테이블 모서리의 둥근 부분을 고려하는 등 모델을 더욱 구체화해야 할 수도 있습니다.

이 간단한 예를 통해 다음이 표시되었습니다. 수학적 모델연구 대상, 프로세스 또는 시스템에 의해 고유하게 결정되지 않습니다. 동일한 테이블에 대해 직사각형 모델, 일반 사변형의 더 복잡한 모델 또는 모서리가 둥근 사변형을 채택할 수 있습니다. 하나의 모델 또는 다른 모델의 선택은 정확성 요구 사항에 따라 결정됩니다. 정확도가 높아짐에 따라 모델은 연구 대상, 프로세스 또는 시스템의 새롭고 새로운 기능을 고려하여 복잡해져야 합니다.

또 다른 예를 생각해 보겠습니다. 크랭크 메커니즘의 움직임을 연구합니다(그림 2.1).

쌀. 2.1.

이 메커니즘의 운동학적 해석을 위해서는 우선 그것의 운동학적 모델을 구성하는 것이 필요하다. 이를 위해:

1. 메커니즘을 모든 링크가 대체되는 운동학 다이어그램으로 대체합니다. 단단한 유대;
2. 이 다이어그램을 사용하여 메커니즘의 운동 방정식을 유도합니다.
3. 후자를 미분하면 1차와 2차의 미분방정식인 속도와 가속도의 방정식을 얻는다.

다음 방정식을 작성해 보겠습니다.

여기서 C 0은 슬라이더 C의 가장 오른쪽 위치입니다.

r – 크랭크 반경 AB;

l – 커넥팅로드 길이 BC;

– 크랭크 회전 각도;

받았다 초월 방정식다음과 같은 단순화된 가정을 기반으로 평면 축방향 크랭크 메커니즘의 동작에 대한 수학적 모델을 제시합니다.

1. 우리는 몸체 메커니즘에 포함된 질량의 구조적 형태와 배열에 관심이 없었으며 메커니즘의 모든 몸체를 직선 세그먼트로 대체했습니다. 실제로 메커니즘의 모든 링크는 질량과 다소 복잡한 모양을 가지고 있습니다. 예를 들어, 커넥팅 로드는 복잡한 어셈블리이며 모양과 치수는 물론 메커니즘의 움직임에 영향을 미칩니다.
2. 고려 중인 메커니즘을 이동할 때 메커니즘에 포함된 몸체의 탄성도 고려하지 않았습니다. 모든 링크는 추상적이고 절대적인 강체로 간주되었습니다. 실제로 메커니즘에 포함된 모든 몸체는 탄성체입니다. 메커니즘이 움직이면 어떻게든 변형되고 탄성 진동이 발생할 수도 있습니다. 물론 이 모든 것은 메커니즘의 움직임에도 영향을 미칩니다.
3. 우리는 링크의 제조 오류, 운동학적 쌍 A, B, C의 간격 등을 고려하지 않았습니다.

따라서 문제 해결 결과의 정확성에 대한 요구 사항이 높을수록 다음 사항을 고려할 필요성이 커진다는 점을 다시 한 번 강조하는 것이 중요합니다. 수학적 모델 구축연구 중인 객체, 프로세스 또는 시스템의 특징. 하지만 힘들기 때문에 제 시간에 여기서 멈추는 것이 중요합니다. 수학적 모델해결하기 어려운 문제로 변할 수 있습니다.

모델은 객체, 프로세스 또는 시스템의 동작과 속성을 결정하는 법칙이 잘 알려져 있고 해당 적용에 대한 광범위한 실제 경험이 있을 때 가장 쉽게 구성됩니다.

연구 대상, 프로세스 또는 시스템에 대한 지식이 충분하지 않을 때 더 복잡한 상황이 발생합니다. 이 경우, 언제 수학적 모델 구축가설의 성격상 추가적인 가정을 할 필요가 있는데, 이러한 모델을 가설이라고 합니다. 이러한 가상 모델을 연구한 결과 얻은 결론은 조건부입니다. 결론을 검증하려면 컴퓨터에서 모델을 연구한 결과와 실제 규모 실험 결과를 비교할 필요가 있습니다. 따라서 고려 중인 대상, 프로세스 또는 시스템 연구에 특정 수학적 모델을 적용할 수 있는지에 대한 문제는 수학적 문제가 아니며 수학적 방법으로 해결할 수 없습니다.

진실의 주요 기준은 가장 넓은 의미의 실험, 실천입니다.

수학적 모델 구축응용 작업에서 – 가장 복잡하고 중요한 작업 단계 중 하나입니다. 경험에 따르면 많은 경우 올바른 모델을 선택하는 것은 문제를 절반 이상 해결하는 것을 의미합니다. 이 단계의 어려움은 수학적 지식과 특수 지식의 조합이 필요하다는 것입니다. 따라서 응용 문제를 해결할 때 수학자들은 대상에 대한 특별한 지식을 갖고, 파트너인 전문가들은 특정 수학적 문화, 해당 분야의 연구 경험, 컴퓨터 및 프로그래밍에 대한 지식을 가지고 있는 것이 매우 중요합니다.

모델링에서 가장 큰 어려움과 가장 심각한 오류는 연구 대상에 대한 의미 있는 설명에서 형식적인 설명으로 전환하는 동안 발생합니다. 이는 다양한 전문 분야의 팀(필요한 시스템 분야의 전문가)의 창의적인 프로세스에 참여함으로써 설명됩니다. 모델링(고객) 및 기계 모델링 분야의 전문가(실행자)입니다. 이러한 전문가 그룹 간의 상호 이해를 찾기 위한 효과적인 수단은 수학적 체계의 언어입니다. 이를 통해 시스템의 의미 있는 설명에서 수학적 체계로의 전환의 적절성에 대한 문제를 최전선에 둘 수 있습니다. 컴퓨터를 사용하여 결과를 얻기 위한 특정 방법(분석 또는 시뮬레이션, 가능하면 분석-시뮬레이션)을 결정합니다. 특정 모델링 개체, 즉 복잡한 시스템과 관련하여 모델 개발자는 주어진 시스템 클래스에 대해 이미 테스트된 특정 수학적 체계의 도움을 받아야 합니다. 이 체계는 컴퓨터 응용 연구에서 효율성을 보여 주었으며 표준 수학 체계.

시스템의 수학적 모델 구축에 대한 기본 접근 방식

시스템 기능 프로세스의 수학적 모델을 구축할 때 초기 정보는 연구(설계) 중인 시스템의 목적 및 작동 조건에 대한 데이터입니다. 5. 이 정보는 시스템 모델링의 주요 목표를 결정하고 개발된 수학적 요구 사항을 공식화할 수 있게 해줍니다. 모델 A/. 더욱이 추상화 수준은 시스템 연구자가 모델을 사용하여 답변하려는 질문의 범위에 따라 달라지며 어느 정도 수학적 체계의 선택을 결정합니다.

수학적 계획.

"수학 체계"라는 개념의 도입을 통해 우리는 수학을 계산 방법이 아니라 사고 방법, 개념 공식화 수단으로 고려할 수 있으며 이는 시스템의 구두 설명에서 전환하는 데 가장 중요합니다. 일부 수학적 모델(분석 또는 시뮬레이션)의 형태로 기능하는 과정을 공식적으로 표현합니다. 수학적 체계를 사용할 때 5* 시스템의 연구자는 답을 얻을 가능성이 아니라 연구 중인 시스템의 실제 프로세스에 대한 특정 다이어그램 형태로 표현의 적절성에 대한 질문에 주로 관심을 가져야 합니다. (해결 결과) 특정 연구 질문에 대한. 예를 들어, 큐잉 방식의 네트워크 형태로 공유 정보 컴퓨팅 시스템의 기능 프로세스를 표현하면 시스템에서 발생하는 프로세스를 잘 설명할 수 있지만 들어오는 흐름과 서비스 흐름의 복잡한 분배 법칙을 사용하면 결과를 명시적으로 얻을 수는 없습니다.

수학적 체계외부 환경의 영향을 고려하여 시스템 기능 프로세스에 대한 의미 있는 설명에서 형식적인 설명으로 전환하는 링크로 정의할 수 있습니다. 즉, "설명 모델 - 수학적 체계 - 수학적 [ 분석 및/또는 시뮬레이션] 모델”.

각각의 특정 L1 시스템은 시뮬레이션된 개체(실제 시스템)의 동작을 반영하고 외부 환경(시스템)과의 상호 작용에서 해당 기능의 조건을 고려하는 수량으로 이해되는 일련의 속성을 특징으로 합니다. 이자형.시스템의 수학적 모델을 구축할 때 시스템의 완전성 문제를 해결하는 것이 필요합니다. 모델의 완전성은 주로 "system.U-environment £>> 경계 선택에 의해 규제됩니다. 모델을 단순화하는 문제도 해결되어야 하며, 이는 시스템의 주요 속성을 강조하고 보조 속성을 폐기하는 데 도움이 됩니다. 또한, 시스템의 속성을 기본 또는 이차로 분류하는 것은 시스템을 모델링하는 목적(예: 시스템 기능 프로세스의 확률적 시간 특성 분석, 시스템 구조의 합성 등)에 따라 크게 달라집니다.

물체의 공식 모델. 모델링 객체의 모델, 즉 시스템 5는 실제 시스템과 형태의 기능 과정을 설명하는 양의 집합으로 표현될 수 있으며, 일반적으로 다음과 같습니다. 수행원하위 집합: 컬렉션 입력 영향시스템당

전체 환경 영향

전체 내부(자체) 매개변수시스템

전체 출력 특성시스템

이 경우 나열된 하위 집합에서 제어되는 변수와 제어 불가능한 변수를 구분할 수 있습니다. 일반적인 경우 x r/, A*,

~에 y는 분리된 하위 집합의 요소이며 결정적 구성 요소와 확률적 구성 요소를 모두 포함합니다.

시스템 모델링 시 5가지 입력 영향, 외부 환경 영향 이자형시스템의 내부 매개변수는 다음과 같습니다. 독립(외생) 변수, 벡터 형식의 해당 형식은 x (/) = (*! (O, x 2 (0> -")입니다. x *x(0)*

" (0=("1 (0. "2(0. . "^(0; l (/)=(*! (0. L 2 (0. ■ . L -N (0). 의 출력 특성 시스템은 종속(내생) 변수벡터 형식으로 보면 다음과 같습니다. y (0=(y 1 0), y 2 ( 0" > U.gSh

시스템 5의 기능 프로세스는 연산자 /* 5에 의해 시간에 따라 설명되며, 일반적으로 다음 형식의 관계에 따라 외생 변수를 내생 변수로 변환합니다.

모든 유형 y = 1에 대한 시간 yDg)에 대한 시스템 출력 특성의 의존성 세트, 피~라고 불리는 출력 궤적 y(().종속성(2.1)이 호출됩니다. 시스템 B의 기능 법칙지정되어 있으며 지 5.일반적으로 시스템 기능의 법칙 이자 5함수, 기능적, 논리적 조건의 형태로, 알고리즘 및 표 형식으로, 또는 언어 일치 규칙의 형태로 지정될 수 있습니다.

시스템 5를 설명하고 연구하는 데 매우 중요한 것은 개념입니다. 작동 알고리즘 L 5,이는 입력 영향을 고려한 출력 특성을 얻는 방법으로 이해됩니다. 엑스(/), 환경 영향 V(d) 및 시스템 자체 매개변수 그리고(/). 시스템 5의 동일한 작동 법칙이 구현될 수 있다는 것은 명백합니다. 다른 방법들즉, 다양한 운영 알고리즘을 사용하는 것입니다. L$.

관계식(2.1)은 시간에 따른 모델링 개체(시스템)의 동작에 대한 수학적 설명입니다. 즉, 동적 속성을 반영합니다. 따라서 이러한 유형의 수학적 모델을 일반적으로 호출합니다. 동적 모델(시스템) .

정적 모델의 경우 수학적 모델(2.1)은 모델링된 개체 속성의 두 하위 집합 간의 매핑입니다. 유그리고 (엑스,브이, I), 이는 벡터 형식으로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

관계식 (2.1)과 (2.2)는 분석적으로(공식 사용), 그래픽으로, 표로 등 다양한 방식으로 지정될 수 있습니다. 이러한 관계는 여러 경우에 얻을 수 있습니다.

라고 불리는 특정 시점의 시스템 5의 속성을 통해 상태.시스템 5의 상태는 벡터로 특징지어집니다.

어디 *; = *!(/"), *2=*2(0" " **=**(현재 0 /"e(/ 0 , 7); *1 =^(0, *2=*2(P", *£=**(*") 현재 /"b(/ 0, 7) 등, £=1, 피 g.

시스템 5의 기능 과정을 상태(/), r 2(/)의 순차적 변화로 간주하면, G그들은 누구인가?

^차원 위상 공간의 한 점 좌표로 해석될 수 있으며 프로세스의 각 구현은 특정 위상 궤적에 해당합니다. 가능한 모든 상태 값의 집합 (G)~라고 불리는 상태 공간모델링 객체 Zt그리고 g 에이자형 지.

완전 시점의 시스템 5 상태

초기 조건 7° = (2° 1,. 2 2°, G° k) [여기서

*°1 = *1(*o)" *°g = *2 (^o)" -" *°*=**(*o)]" 입력에 영향을 받음 엑스(/), 내부 매개변수 에게(/) 및 환경 영향 V(0, 2개의 벡터방정식을 이용하여 -/0의 시간동안 발생한

초기 상태에 대한 첫 번째 방정식 g ° 및외생변수 엑스, 브이, 나벡터 함수(/)를 결정하고 두 번째 함수는 얻은 상태 값을 기반으로 합니다. G(/) - 시스템 출력의 내생 변수 ~에(/). 따라서 "입력 - 상태 - 출력" 개체의 방정식 체인은 다음을 허용합니다. 정의하다시스템 특성

일반적으로 시스템 모델의 시간 나모델링 구간(O, 티)연속적이고 이산적입니다. 즉, 음수로 양자화됩니다. 절단 d라인 A/시간 단위 각각, T=tA1,어디 티- 1, t T- 샘플링 간격의 수.

따라서 아래에서는 물체의 수학적 모델(실제 시스템) 변수의 유한한 하위 집합을 이해합니다. (엑스 (/), 비 (/), 그리고(d)) 그것들과 특성 사이의 수학적 연결과 함께 ~에 (/) .

모델링 개체의 수학적 설명에 무작위 요소가 포함되어 있지 않거나 고려되지 않은 경우, 즉

이 경우 외부 환경의 확률론적 영향을 가정할 수 있습니다. V(/) 및 확률론적 내부 매개변수 그리고(/)가 없으면 모델이 호출됩니다. 결정론적인특성은 결정론적 입력 영향에 의해 고유하게 결정된다는 의미에서

결정론적 모델은 확률론적 모델의 특별한 경우임이 분명합니다.

일반적인 계획.

제시된 수학적 관계는 일반적인 수학적 체계를 나타내며 광범위한 시스템 클래스를 설명하는 것을 가능하게 합니다. 그러나 시스템 엔지니어링 및 시스템 분석 분야의 객체 모델링 실습에서는 시스템 연구의 초기 단계에서 사용하는 것이 더 합리적입니다. 일반적인 수학적 체계:미분방정식, 유한 및 확률론적 오토마타, 큐잉 시스템, 페트리 네트 등

고려된 모델과 동일한 정도의 일반성을 갖지 않는 일반적인 수학적 체계는 단순성과 명확성이라는 장점이 있지만 적용 가능성이 상당히 좁아집니다. 결정론적 모델로서 연구에서 확률적 요인을 고려하지 않는 경우 연속시간에서 작동하는 시스템을 표현하기 위해 미분, 적분, 적분-미분 및 기타 방정식을 사용하고 이산시간에서 작동하는 시스템을 표현하기 위해 유한차분 오토마타를 사용합니다. . 계획. 확률론적 모델(랜덤 요인을 고려한)로는 이산시간 시스템을 표현하기 위해 확률론적 오토마타를 사용하고, 연속시간 시스템을 표현하기 위해 큐잉 시스템 등을 사용합니다.

나열된 표준 수학적 체계는 당연히 대규모 정보 및 제어 시스템에서 발생하는 모든 프로세스를 기반으로 설명할 수 있다고 주장할 수 없습니다. 이러한 시스템의 경우 어떤 경우에는 집계 모델을 사용하는 것이 더 유망합니다. 집합 모델(시스템)을 사용하면 이러한 개체의 체계적 특성을 반영하여 광범위한 연구 개체를 설명할 수 있습니다. 종합적인 설명이 포함되어 있습니다 복잡한 객체(시스템)은 유한한 수의 부품(하위 시스템)으로 나누어지며, 부품 간의 상호 작용을 보장하는 연결을 유지합니다.

따라서 시스템 기능 프로세스의 수학적 모델을 구축할 때 다음과 같은 주요 접근 방식을 구별할 수 있습니다. 연속 결정론(예: 미분 방정식); 이산-결정적(유한 상태 기계); 이산-확률론적(확률적 자동인형); 연속 확률론적(큐잉 시스템); 일반화 또는 보편적(집합 시스템).

이 장의 후속 단락에서 논의되는 수학적 체계는 다양한 접근 방식으로 작동하는 데 도움이 될 것입니다. 실무특정 시스템을 모델링할 때

모든 지식 분야의 분류가 필요합니다. 축적된 경험을 일반화하고, 교과영역의 개념을 정리할 수 있습니다. 수학적 모델링 방법의 급속한 발전과 그 적용 분야의 다양성으로 인해 다양한 유형의 수많은 모델이 출현하게 되었고 모델을 모든 모델에 보편적이거나 산업 분야에서 필요한 범주로 분류해야 할 필요성이 생겼습니다. 예를 들어 구성된 모델의 필드입니다. 다음은 일부 범주의 예입니다. 사용 영역; 모델의 시간 요소(역학)를 고려합니다. 지식 분야; 모델 제시 방법; 무작위(또는 불확실한) 요인의 존재 여부; 효율성 기준 유형 및 부과된 제한 사항 등

수학 문헌을 분석하여 가장 일반적인 분류 기능을 확인했습니다.

1. 구현 방법(형식 언어 포함)에 따라 모든 수학적 모델은 다음과 같이 나눌 수 있습니다. 분석적이고 알고리즘적입니다.

분석 – 표준 수학 언어를 사용하는 모델입니다. 시뮬레이션 모델은 특수 모델링 언어 또는 범용 프로그래밍 언어를 사용하는 모델입니다.

분석 모델은 분석 표현의 형태로 작성될 수 있습니다. 셀 수 있는 수의 산술 연산과 한계까지의 전환을 포함하는 표현식 형식입니다. 예: . 대수식은 분석식의 특별한 경우로, 결과적으로 정확한 값을 제공합니다. 주어진 정확도로 결과 값을 찾을 수 있는 구성도 있습니다(예: 기본 함수를 거듭제곱 계열로 확장). 이 기술을 사용하는 모델을 근사 모델이라고 합니다.

차례로 분석 모델은 다음과 같이 나뉩니다. 이론적 및 경험적모델. 이론적 모델은 연구 대상의 실제 구조와 프로세스를 반영합니다. 즉, 작동 이론을 기반으로 합니다. 경험적 모델은 환경 조건 변화에 대한 물체의 반응 연구를 기반으로 구축되었습니다. 이 경우 객체의 작동 이론은 고려되지 않으며 객체 자체는 소위 "블랙 박스"이며 모델은 일종의 보간 의존성입니다. 실험 데이터를 기반으로 경험적 모델을 구축할 수 있습니다. 이러한 데이터는 연구 중인 개체에서 직접 얻거나 이를 사용하여 얻습니다. 물리적 모델.

분석 모델의 형태로 프로세스를 설명할 수 없는 경우 특수 알고리즘이나 프로그램을 사용하여 설명합니다. 이 모델은 알고리즘적입니다. 알고리즘 모델을 구성할 때 수치 또는 시뮬레이션 접근 방식이 사용됩니다. 수치적 접근 방식에서 일련의 수학적 관계는 유한 차원 아날로그로 대체됩니다(예: 연속 인수 함수에서 이산 인수 함수로의 전환). 그런 다음 계산 알고리즘이 구성됩니다. 산술 및 논리 연산의 순서. 이산 아날로그의 발견된 해는 원래 문제의 대략적인 해로 간주됩니다. 시뮬레이션 접근 방식에서는 모델링 개체 자체가 이산화되고 시스템의 개별 요소에 대한 모델이 구축됩니다.

2. 수학적 모델의 표현 형식에 따라 다음과 같이 구별됩니다.

1) 불변 모델 – 이러한 방정식을 풀기 위한 방법을 고려하지 않고 방정식 시스템(미분, 대수)으로 표현되는 수학적 모델입니다.

2) 대수적 모델 - 모델의 관계는 선택한 수치해법과 연관되어 있으며 알고리즘(계산 순서) 형식으로 작성됩니다.

3) 분석 모델 – 주어진 값에 대한 탐색 변수의 명시적인 의존성을 나타냅니다. 이러한 모델은 물리적 법칙을 기반으로 하거나 표 적분을 사용하여 원래 미분 방정식을 직접 통합한 결과로 얻어집니다. 여기에는 실험 결과를 기반으로 얻은 회귀 모델도 포함됩니다.

4) 그래픽 모델은 그래프, 등가회로, 다이어그램 등의 형태로 표현됩니다. 그래픽 모델을 사용하려면 그래픽 모델 요소의 기존 이미지와 불변 수학적 모델 구성 요소 사이에 명확한 대응 규칙이 있어야 합니다.

3. 효율성 기준의 유형과 부과된 제한 사항에 따라 모델은 다음과 같이 구분됩니다. 선형 및 비선형.선형 모델에서 성능 기준과 부과된 제약 조건은 모델 변수의 선형 함수(비선형 모델이라고도 함)입니다. 효율성 기준과 모델 변수에 부과된 제한 세트의 선형 의존성에 대한 가정은 실제로 상당히 수용 가능합니다. 이를 통해 잘 개발된 선형 프로그래밍 장치를 사용하여 솔루션을 개발할 수 있습니다.

4. 시간적 요인과 사용지역을 고려하여 정적 및 동적 모델. 모델에 포함된 모든 양이 시간에 의존하지 않는 경우 객체 또는 프로세스의 정적 모델(객체에 대한 정보의 일회성 스냅샷)이 있습니다. 저것들. 정적 모델은 시간이 변수가 아닌 모델입니다. 동적 모델시간이 지남에 따라 개체의 변화를 볼 수 있습니다.

5. 의사결정 당사자의 수에 따라 두 가지 유형의 수학적 모델이 있습니다. 설명적이고 규범적인. 설명적 모델에는 의사결정자가 없습니다. 공식적으로 설명 모델에서 그러한 당사자의 수는 0입니다. 이러한 모델의 전형적인 예는 큐잉 시스템 모델입니다. 기술 모델을 구축하기 위해 신뢰도 이론, 그래프 이론, 확률 이론, 통계 검정 방법(몬테카를로 방법)도 사용할 수 있습니다.

규범적 모델에는 여러 측면이 있습니다. 원칙적으로 두 가지 유형의 규범 모델, 즉 최적화 모델과 게임 이론 모델을 구분할 수 있습니다. 최적화 모델에서 솔루션 개발의 주요 작업은 기술적으로 효율성 기준의 엄격한 최대화 또는 최소화로 축소됩니다. 제어 변수의 이러한 값은 효율성 기준이 극한값(최대 또는 최소)에 도달하는 지점에서 결정됩니다.

최적화 모델이 표시하는 솔루션을 개발하기 위해서는 고전적 및 새로운 변형 방법(극한 검색)과 함께 수학적 프로그래밍 방법(선형, 비선형, 동적)이 가장 널리 사용됩니다. 게임이론 모델은 다수의 당사자(최소 2개)가 특징입니다. 이해관계가 반대되는 두 정당이 있을 경우에는 게임이론을, 정당의 수가 2 이상이고 연합과 타협이 불가능할 경우에는 비협조적 게임이론을 사용한다. N명

6. 무작위(또는 불확실) 요인의 유무에 따라, 결정론적 및 확률론적수학적 모델. 결정론적 모델에서는 모든 관계, 변수 및 상수가 정확하게 지정되므로 결과 함수가 명확하게 정의됩니다. 결정론적 모델은 작업 결과에 영향을 미치는 요소를 상당히 정확하게 측정하거나 평가할 수 있고, 무작위 요소가 없거나 무시할 수 있는 경우에 구축됩니다.

모델에 포함된 매개변수 중 일부 또는 전부가 그 특성상 확률변수 또는 확률함수인 경우 해당 모델은 확률론적 모델로 분류됩니다. 확률론적 모델에서는 확률변수의 분포 법칙이 지정되어 결과 함수에 대한 확률론적 평가가 이루어지며 현실은 특정으로 표시됩니다. 무작위 과정, 그 과정과 결과는 확률 변수의 특정 특성(수학적 기대, 분산, 분포 함수 등)으로 설명됩니다. 필요한 확률 분포를 추정하는 데 충분한 사실 자료가 있거나 고려 중인 현상 이론을 통해 이러한 분포를 이론적으로 결정할 수 있는 경우(확률 이론, 극한 정리 등의 공식을 기반으로) 이러한 모델의 구성이 가능합니다. .

7. 모델링 목적에 따라 다음과 같은 것들이 있습니다. 설명, 최적화 및 관리모델. 설명(라틴어 설명 - 설명) 모델에서는 모델 매개변수의 변화 법칙이 연구됩니다. 예를 들어, 뉴턴의 제2법칙을 기반으로 적용된 힘의 영향을 받는 물질 점의 이동 모델은 다음과 같습니다. 점의 위치와 가속도 지정 이 순간시간(입력 매개변수), 질량(자체 매개변수) 및 적용된 힘의 변화 법칙(외부 영향)을 통해 언제든지 지점의 좌표와 속도(출력 데이터)를 결정할 수 있습니다.

최적화 모델은 일부 기준, 모델링된 개체의 매개변수 또는 이 개체를 제어하는 ​​방법을 기반으로 최상의(최적)을 결정하는 데 사용됩니다. 최적화 모델은 하나 이상의 설명 모델을 사용하여 구축되며 최적성을 결정하기 위한 여러 기준을 갖습니다. 입력 매개변수의 값 범위에는 고려 중인 객체 또는 프로세스의 특성과 관련된 등식 또는 불평등 형태의 제한이 적용될 수 있습니다. 최적화 모델의 예로는 특정 다이어트에 대한 다이어트 준비가 있습니다(제품의 칼로리 함량, 가격 값 등이 입력 데이터임).

관리 모델은 전체 대안 세트에서 여러 가지가 선택되고 전반적인 의사 결정 프로세스가 그러한 대안의 순서일 때 의도적인 인간 활동의 다양한 영역에서 결정을 내리는 데 사용됩니다. 예를 들어, 학생들이 준비한 여러 보고서 중에서 승진 보고서를 선택합니다. 작업의 복잡성은 입력 데이터(보고서가 독립적으로 준비되었는지 또는 다른 사람의 작업이 사용되었는지 여부)와 목표(작업의 과학적 성격과 구조, 프레젠테이션 수준 및 준비 수준)에 대한 불확실성에 있습니다. 학생의 실험 결과 및 얻은 결론). 동일한 상황에서 내려진 의사결정의 최적성은 서로 다른 방식으로 해석될 수 있으므로 관리 모델의 최적성 기준 유형은 미리 고정되어 있지 않습니다. 게임이론과 운영연구를 바탕으로 선택이론과 의사결정이론에서는 불확실성의 종류에 따른 최적성 기준을 형성하는 방법을 고려한다.

8. 연구방법에 따라 구분한다. 분석, 수치 및 시뮬레이션모델. 분석 모델은 잘 알려진 수학적 장치를 사용하여 방정식에 대한 명시적인 해를 얻을 수 있도록 하는 시스템에 대한 형식화된 설명입니다. 수치 모델은 특정 초기 조건과 모델의 정량적 매개변수에 대해 부분적인 수치 솔루션만 허용하는 의존성을 특징으로 합니다. 시뮬레이션 모델은 시스템 및 외부 영향에 대한 설명 세트, 시스템 기능을 위한 알고리즘 또는 외부 및 내부 교란의 영향으로 시스템 상태를 변경하는 규칙입니다. 이러한 알고리즘과 규칙을 사용하면 분석적 및 수치적 솔루션에 기존 수학적 방법을 사용할 수 없지만 시스템 기능 프로세스를 시뮬레이션하고 관심 있는 특성을 기록할 수 있습니다. 다음으로, 일부 분석 및 시뮬레이션 모델을 더 자세히 조사할 것이며, 이러한 특정 유형의 모델에 대한 연구는 이 훈련 분야에서 학생들의 전문적인 활동의 세부 사항과 관련됩니다.

1.4. 수학적 모델의 그래픽 표현

수학에서 양 사이의 관계 형태는 독립변수(인수) 형태의 방정식으로 표현될 수 있습니다. 와이– 종속변수(함수). 수학적 모델링 이론에서는 독립변수를 요인이라고 하고, 종속변수를 반응이라고 합니다. 또한 수학적 모델의 구성 영역에 따라 용어가 다소 변경됩니다. 연구 분야에 따른 요인 및 반응 정의의 몇 가지 예가 표 1에 나와 있습니다.

표 1. "요인"과 "반응" 개념의 일부 정의

수학적 모델을 그래픽으로 표현하여 요인과 응답을 값이 실수 집합에 속하는 변수로 간주합니다.

수학적 모델의 그래픽 표현은 점의 위치에 해당하는 일부 반응 표면입니다. 케이-차원 인자 공간 엑스. 1차원 및 2차원 반응 표면만 시각화할 수 있습니다. 첫 번째 경우에는 실제 평면의 점 집합이고 두 번째에서는 공간의 표면을 형성하는 점 집합입니다(이러한 점을 묘사하려면 레벨 선을 사용하는 것이 편리합니다. 2차원 요인 공간으로 구성된 공간 표면 엑스(그림 8).

반응 표면이 정의된 영역을 X *의 정의 영역.이 영역은 일반적으로 전체 요인 공간의 일부일 뿐입니다. 엑스(엑스*Ì 엑스) 제어 변수에 부과된 제한을 사용하여 강조 표시됩니다. x 나는, 평등의 형태로 작성됨:

x 나는 = C 나는 , 나 = 1,…, 중;

fj(엑스) = CJ, j = 1,…, 엘

또는 불평등:

x 나는분 £ x 나는£ x 나는최대, 나= 1,…, 케이;

fj(엑스) £ CJ, j = 1,…, N,

동시에, 기능 fj(엑스)은 모든 변수에 동시에 의존할 수도 있고 일부 변수에 의존할 수도 있습니다.

불평등 유형의 제약 조건은 연구 대상 개체의 프로세스에 대한 물리적 제한(예: 온도 제한) 또는 개체의 작동 조건과 관련된 기술적 제한(예: 최고 속도절단, 원자재 매장량 제한).

모델 연구의 가능성은 반응 표면의 속성(릴리프), 특히 표면에 존재하는 "정점"의 수와 대비에 따라 크게 달라집니다. 봉우리(골짜기)의 수에 따라 결정됩니다. 양식반응 표면. 반응 표면의 정의 영역에 하나의 피크(밸리)가 있는 경우 모델을 호출합니다. 단봉.

기능 변화의 성격은 다를 수 있습니다 (그림 9).

모델은 첫 번째 종류의 불연속점(그림 9(a))과 두 번째 종류의 불연속점(그림 9(b))을 가질 수 있습니다. 그림 9(c)는 연속적으로 미분 가능한 단봉 모델을 보여줍니다.

그림 9에 제시된 세 가지 사례 모두에 대해 단봉성의 일반 요구 사항이 충족됩니다.

W(x*)가 W의 극값이면 조건 ​​x 1에서< x 2 < x* (x 1 >x 2 > x*)는 W(x 1)을 따릅니다.< W(x 2) < W(x*) , если экстремум – максимум, или W(x 1) >W(x 2) > W(x*) 극값이 최소인 경우, 즉 극점에서 멀어질수록 함수 W(x)의 값은 지속적으로 감소(증가)합니다.

단봉 모델과 함께 다봉 모델이 고려됩니다(그림 10).

반응 표면의 또 다른 중요한 특성은 대비입니다. 이는 요인 변화에 대한 결과 함수의 민감도를 보여줍니다. 대비는 파생 상품의 값이 특징입니다. 2차원 반응 표면의 예를 사용하여 대비 특성을 설명하겠습니다(그림 11).

점 ㅏ모든 변수에 대해 동일한 대비를 특징으로 하는 "기울기"에 위치 x 나는 (나=1,2), 점 비다양한 변수에 대해 서로 다른 대비가 있는 "계곡"에 위치합니다(함수 조건이 좋지 않음). 와 함께모든 변수에 대한 대비가 낮은 "고원"에 위치 x 나는극단의 근접성을 나타냅니다.

1.5. 수학적 모델을 구성하는 기본 방법

V.N. Volkova가 시뮬레이션 시스템을 공식적으로 표현하는 방법을 분류해 보겠습니다. 및 Denisova A.A.. 저자는 분석적, 통계적, 집합론적, 언어적, 논리적 및 그래픽 방법을 식별했습니다. 기본 용어, 설명된 방법 클래스를 기반으로 개발된 이론의 예, 적용 범위 및 가능성은 부록 1에 제안되어 있습니다.

시스템 모델링에서는 분석 및 통계 방법이 가장 널리 사용됩니다.

1) 수학적 모델을 구축하기 위한 분석 방법.

수학적 모델을 구축하기 위한 분석 방법의 용어 장치의 기본은 고전 수학의 개념(공식, 함수, 방정식 및 방정식 시스템, 부등식, 도함수, 적분 등)입니다. 이러한 방법은 고전 수학 언어를 사용하는 용어의 명확성과 타당성이 특징입니다.

분석 개념을 바탕으로 고전적인 수학적 분석(예: 함수 연구 방법)과 같은 수학적 이론과 수학적 프로그래밍 및 게임 이론의 현대 기초가 생겨 개발되었습니다. 또한, 수학 프로그래밍(선형, 비선형, 동적, 정수 등)에는 문제 공식화 수단이 모두 포함되어 있으며 다른 여러 수학 영역과 달리 모델의 적절성을 증명할 가능성이 확장됩니다. 경제적 문제(특히 합판 시트의 최적 절단 문제 해결)를 해결하기 위한 최적의 수학적 프로그래밍 아이디어는 L.V. 칸토로비치.

예를 들어 방법의 특징을 설명하겠습니다.

예.두 가지 유형의 제품을 생산한다고 가정해 보겠습니다. ㅏ그리고 안에세 가지 유형의 원료를 사용해야합니다. 동시에, 다음 유형의 제품 단위 생산을 위해 ㅏ 4개 단위가 소모됩니다. 첫 번째 유형의 원자재, 2개 단위. 2번째와 3번째 유닛. 세 번째 유형. 다음 유형의 제품 단위 생산을 위해 안에 2개 소모됩니다. 첫 번째 유형의 원자재, 5개 단위. 2종 및 4개 유닛. 세 번째 유형의 원료. 공장 창고에는 35개 단위가 있습니다. 1 차 유형, 43 - 2 차, 40 - 3 차 유형의 원료. 해당 유형의 제품 단위 판매에서 ㅏ공장의 이익은 5,000루블이며, 해당 유형의 제품 단위 판매로 인해 발생합니다. 안에이익은 9,000 루블입니다. 최대 이익을 얻을 수 있는 문제의 수학적 모델을 만드는 것이 필요합니다.

특정 유형의 제품 단위를 제조하기 위한 각 유형의 원자재 소비율이 표에 나와 있습니다. 또한 각 제품 유형의 판매로 인한 이익과 기업에서 사용할 수 있는 해당 유형의 원자재 총액을 나타냅니다.

다음으로 나타내자 x 1그리고 x 2생산된 제품의 양 ㅏ그리고 안에각기. 계획에 필요한 1등급 재료 비용은 다음과 같습니다. 4x1 + 2x 2, 그리고 준비금을 초과해서는 안 됩니다. 즉, 35kg:

4x 1 + 2x 2 35.

2등급 자료에 대한 제한 사항은 비슷합니다.

2x 1 + 5x 2 43,

그리고 3학년 자료에 따르면

3x 1 + 4x 2 40.

판매이익 x 1생산 단위 A 및 x 2 B의 생산 단위는 지 = 5x 1+ 9x 2(목적 함수).

우리는 작업 모델을 얻었습니다:

그래픽 솔루션작업은 그림 11에 나와 있습니다.

최적(최적, 즉 최대 기능 지) 문제에 대한 해결책은 A 지점에 있습니다(해결책은 5장에서 설명됩니다).

알았어 x 1=4,x 2=7, 함수 값 지지점 A: .

따라서 최대 이익의 가치는 83,000 루블입니다.

그래픽 방법 외에도 문제를 해결하기 위한 여러 가지 특수한 방법(예: 단순 방법)이 있거나 이를 구현하는 응용 프로그램 패키지가 사용됩니다. 목적함수의 종류에 따라 선형계획법과 비선형계획법이 구분되고, 변수의 성격에 따라 정수계획법이 구분됩니다.

우리는 수학 프로그래밍의 일반적인 특징을 강조할 수 있습니다:

1) 목적 함수 개념의 도입과 제한은 문제를 설정하는 수단입니다.

2) 하나의 모델에서 이질적인 기준(예: 원자재 매장량 및 이익 등 다양한 차원)을 결합하는 것이 가능합니다.

3) 수학적 프로그래밍 모델을 사용하면 허용되는 변수 값 영역의 경계에 도달할 수 있습니다.

4) 시행 가능성 단계별 알고리즘결과 획득(단계별 접근 방식) 최적의 솔루션);

5) 문제의 기하학적 해석을 통해 명확성을 얻었으며, 문제를 공식적으로 해결하는 것이 불가능한 경우에 도움이 됩니다.

2) 수학적 모델을 구축하기 위한 통계적 방법.

수학적 모델을 구축하기 위한 통계적 방법은 널리 보급되었으며, 19세기 확률론의 발전과 함께 널리 사용되기 시작했습니다. 이는 실제 현상을 반영하는 무작위(확률적) 사건의 확률적 패턴을 기반으로 합니다. 확률론적(stochastic)이라는 용어는 프로세스에 영향을 미치는 미리 결정된 특정 원인을 나타내는 "랜덤(random)" 개념을 명확히 한 것이며, "랜덤(random)"이라는 개념은 그러한 원인의 영향으로부터 독립되거나 부재하는 것이 특징입니다.

통계 패턴은 이산 확률 변수 및 값 발생 패턴의 형태로 또는 이벤트 분포(프로세스)의 연속 종속성 형태로 표시됩니다. 이론적 기초확률론적 모델의 구성은 2장에서 자세히 설명합니다.

통제 질문

1. 수학적 모델링의 주요 문제를 공식화합니다.

2. 수학적 모델을 정의합니다.

3. 연구에서 실험적 접근법의 주요 단점을 나열하십시오.

4. 모델 구축의 주요 단계를 나열하십시오.

5. 수학적 모델의 유형을 나열하십시오.

6. 주다 간단한 설명모델의 종류.

7. 기하학적으로 표현된 수학적 모델은 어떤 형태를 취합니까?

8. 분석 유형의 수학적 모델은 어떻게 정의됩니까?

작업

1. 문제 해결을 위한 수학적 모델을 만들고 모델을 분류합니다.

1) 표면(뚜껑 제외)이 S와 동일한 원통형 버킷의 최대 용량을 결정합니다.

2) 회사는 두 개의 하청업체로부터 부품을 문제 없이 공급받아 제품의 정기적인 생산을 보장합니다. 첫 번째 하청업체의 납품 거부 확률은 이고, 두 번째 하청업체의 납품 거부 확률은 - 입니다. 기업 운영에 실패할 확률을 찾아보세요.

2. Malthus의 모델(1798)은 인구의 크기에 비례하는 비율로 인구의 재생산을 설명합니다. 이산형에서 이 법칙은 기하학적 수열입니다. 또는 .미분 방정식의 형태로 작성된 법칙은 지수적 인구 증가 모델이며 어떠한 제한도 없이 세포 인구의 성장을 잘 설명합니다. 초기 조건을 설정하고 모델을 시연합니다.

시스템 모델링을 위한 수학적 체계

시스템의 수학적 모델 구축에 대한 기본 접근 방식

시스템 기능 프로세스의 수학적 모델을 구축할 때 초기 정보는 연구(설계)되는 시스템의 목적 및 작동 조건에 대한 데이터입니다. 에스. 이 정보는 시스템 모델링의 주요 목적을 정의합니다. 에스개발된 수학적 모델에 대한 요구 사항을 공식화할 수 있습니다. 중.더욱이 추상화 수준은 시스템 연구자가 모델을 사용하여 답변하려는 질문의 범위에 따라 달라지며 어느 정도 수학적 체계의 선택을 결정합니다.

수학적 계획.수학적 체계의 개념을 도입하면 수학을 계산 방법이 아니라 사고 방법, 개념 공식화 수단으로 고려할 수 있습니다. 이는 시스템의 구두 설명에서 시스템 설명으로 전환하는 데 가장 중요합니다. 일부 수학적 모델(분석 또는 시뮬레이션)의 형태로 기능하는 과정을 공식적으로 표현한 것입니다. 수학적 체계를 사용할 때, 우선 시스템 S의 연구자는 연구 중인 시스템의 실제 프로세스에 대한 특정 다이어그램 형태로 표현의 적절성에 대한 문제에 관심을 가져야 하며, 얻을 가능성에는 관심이 없어야 합니다. 특정 연구 질문에 대한 답변(해결 결과)입니다. 예를 들어, 큐잉 체계의 네트워크 형태로 공유 정보 컴퓨팅 시스템의 기능 프로세스를 표현하면 시스템에서 발생하는 프로세스를 잘 설명할 수 있지만 들어오는 흐름과 서비스 흐름의 복잡한 법칙을 고려할 때 명시적인 형태로 결과를 얻을 수 없도록 하십시오.

수학적 체계외부 환경의 영향을 고려하여 시스템 기능 프로세스에 대한 의미 있는 설명에서 형식적인 설명으로 전환하는 링크로 정의할 수 있습니다. 즉, "설명 모델 - 수학적 체계 - 수학적(분석 및/ 또는 시뮬레이션) 모델.”

각 특정 시스템 S는 시뮬레이션된 개체(실제 시스템)의 동작을 반영하고 외부 환경(시스템)과의 상호 작용에서 해당 기능의 조건을 고려하는 수량으로 이해되는 일련의 속성을 특징으로 합니다. 이자형.시스템의 수학적 모델을 구축할 때 시스템의 완전성 문제를 해결하는 것이 필요합니다. 모델의 완전성은 주로 "시스템 S - 환경" 경계의 선택에 의해 규제됩니다. 이자형» . 모델을 단순화하는 문제도 해결되어야 합니다. 이는 시스템의 주요 속성을 강조하고 보조 속성을 폐기하는 데 도움이 됩니다. 또한 시스템의 속성을 1차 또는 2차로 분류하는 것은 시스템 모델링 목적(예: 시스템 기능 프로세스의 확률적 시간 특성 분석, 시스템 구조 합성 등)에 따라 크게 달라집니다. .

물체의 공식 모델.모델링 객체의 모델, 즉 시스템 S는 실제 시스템의 기능 프로세스를 설명하는 양의 집합으로 표현될 수 있으며 일반적으로 다음과 같은 하위 집합을 형성합니다. 입력 영향시스템당

;

전체 환경 영향

;

전체 내부(자체) 매개변수시스템

;

전체 출력 특성시스템

.

더욱이, 나열된 하위 집합에서 제어되는 변수와 제어 불가능한 변수를 구별할 수 있습니다. 일반적으로 , , , 분리된 하위 집합의 요소이며 결정론적 구성요소와 확률론적 구성요소를 모두 포함합니다.

시스템 S를 모델링할 때 입력 영향, 환경 영향 이자형시스템의 내부 매개변수는 다음과 같습니다. 독립(외생) 변수,벡터 형식에서는 각각 , , , 형식을 갖습니다. 시스템의 출력 특성은 다음과 같습니다. 종속(내생) 변수벡터 형식의 형식은 )입니다.

시스템 S의 기능 프로세스는 운영자에 의해 시간에 따라 설명됩니다. 에프 에스 , 이는 일반적으로 다음 형식의 관계에 따라 외생 변수를 내생 변수로 변환합니다.

. (1)

시간에 따른 시스템 출력 특성의 종속성 세트 와이 제이 (티) 모든 유형에 대해
~라고 불리는 출구 경로
. 종속성 (1)이 호출됩니다. 시스템 기능의 법칙에스 지정되어 있으며 에프 에스 . 일반적으로 시스템 기능의 법칙 에프 에스 함수, 기능적, 논리적 조건의 형태로, 알고리즘 및 표 형식으로, 또는 언어 일치 규칙의 형태로 지정될 수 있습니다.

시스템 S를 설명하고 연구하는 데 매우 중요한 것은 개념입니다. 작동하는 알고리즘ㅏ 에스 , 이는 입력 영향을 고려한 출력 특성을 얻는 방법으로 이해됩니다.
, 환경 영향
자체 시스템 매개변수
. 동일한 운영법임이 분명합니다. 에프 에스 시스템 S는 다양한 방식으로 구현될 수 있습니다. 즉, 다양한 운영 알고리즘을 사용합니다. ㅏ 에스 .

관계식 (1)은 시간에 따른 모델링 객체(시스템)의 동작에 대한 수학적 설명입니다. 티, 즉, 동적 속성을 반영합니다. 따라서 이러한 유형의 수학적 모델을 일반적으로 호출합니다. 동적 모델(시스템).

을 위한 정적 모델수학적 모델(1)은 모델링된 개체 속성의 두 하위 집합 간의 매핑입니다. 와이 그리고 { 엑스, V, N),벡터 형식으로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

. (2)

관계식 (1)과 (2)는 분석적으로(공식 사용), 그래픽적으로, 표 형식 등 다양한 방식으로 지정될 수 있습니다. 많은 경우에 이러한 관계는 특정 시간에 시스템 S의 속성을 통해 얻을 수 있습니다. 상태.시스템 S의 상태는 벡터로 특징 지어집니다.

그리고
,

어디
,
, …,
어느 시점에
;
,
, …,
어느 시점에
등.,
.

시스템 S의 기능 과정을 상태의 순차적 변화로 간주하면
, 그러면 그들은 한 점의 좌표로 해석될 수 있습니다. 에게-차원 위상 공간. 또한 프로세스의 각 구현은 특정 단계 궤적에 해당합니다. 가능한 모든 상태 값의 집합 ~라고 불리는 상태 공간모델링 객체 지, 그리고
.

현재 시스템 S의 상태 티 0 < 티*티 초기 조건에 의해 완전히 결정됩니다.
[어디
,
, …,
], 입력 영향
, 자체 시스템 매개변수
환경 영향
, 일정 기간에 걸쳐 일어난 일 티*- 티 0 , 와 함께두 개의 벡터 방정식을 사용하여

; (3)

. (4)

초기 상태에 대한 첫 번째 방정식 외생 변수
벡터 함수를 정의합니다
, 두 번째는 얻은 상태 값에 따라
- 시스템 출력의 내생 변수
. 따라서 "입력-상태-출력" 개체의 방정식 체인을 통해 시스템의 특성을 결정할 수 있습니다.

. (5)

일반적으로 시스템 모델 S의 시간은 모델링 구간에 걸쳐 고려될 수 있습니다. (0, 티)연속적이고 이산적입니다. 즉, 길이 세그먼트로 양자화됩니다.
각각의 시간 단위
, 어디
- 샘플링 간격의 수.

따라서 아래에서는 물체의 수학적 모델(실제 시스템의) 변수의 유한 하위 집합을 이해합니다(
} 그들과 특성 사이의 수학적 연결과 함께
.

모델링 개체의 수학적 설명에 무작위 요소가 포함되어 있지 않거나 고려되지 않은 경우, 즉 이 경우 외부 환경의 확률론적 영향이 있다고 가정할 수 있는 경우
확률론적 내부 매개변수
누락된 경우 모델이 호출됩니다. 결정론적인특성은 결정론적 입력 영향에 의해 고유하게 결정된다는 의미에서

. (6)

결정론적 모델은 확률론적 모델의 특별한 경우임이 분명합니다.

일반적인 계획.제시된 수학적 관계는 일반적인 수학적 체계를 나타내며 광범위한 시스템 클래스를 설명하는 것을 가능하게 합니다. 그러나 시스템 엔지니어링 및 시스템 분석 분야의 객체 모델링 실습에서는 시스템 연구의 초기 단계에서 사용하는 것이 더 합리적입니다. 일반적인 수학적 체계:미분방정식, 유한 및 확률론적 오토마타, 큐잉 시스템, 페트리 네트 등

고려된 모델과 동일한 정도의 일반성을 갖지 않는 일반적인 수학적 체계는 단순성과 명확성이라는 장점이 있지만 적용 가능성이 상당히 좁아집니다. 결정론적 모형으로서 연구에서 변량요소를 고려하지 않는 경우에는 연속시간에서 작동하는 시스템을 표현하기 위해 미분, 적분, 적분미분 및 기타 방정식을 사용하고, 이산시간에서 작동하는 시스템을 표현하기 위해 유한차분 방식을 사용한다. 확률론적 모델(랜덤 요인을 고려한)로는 이산시간 시스템을 표현하기 위해 확률론적 오토마타를 사용하고, 연속시간 시스템을 표현하기 위해 큐잉 시스템 등을 사용합니다.

나열된 표준 수학적 체계는 당연히 대규모 정보 및 제어 시스템에서 발생하는 모든 프로세스를 기반으로 설명할 수 있다고 주장할 수 없습니다. 이러한 시스템의 경우 어떤 경우에는 집계 모델을 사용하는 것이 더 유망합니다.

집합 모델(시스템)을 사용하면 이러한 개체의 체계적 특성을 반영하여 광범위한 연구 개체를 설명할 수 있습니다. 복잡한 개체(시스템)가 유한한 수의 부분(하위 시스템)으로 분할되는 동시에 각 부분의 상호 작용을 보장하는 연결을 유지한다는 집합적 설명이 사용됩니다.

따라서 시스템 기능 프로세스의 수학적 모델을 구축할 때 다음과 같은 주요 접근 방식을 구별할 수 있습니다. 연속 결정론(예: 미분 방정식); 이산-결정적(유한 상태 기계); 이산-확률론적(확률적 자동인형); 연속 확률론적(큐잉 시스템); 일반화 또는 보편적(집합 시스템).

연속 결정론적 모델(D-SCHEMS)

미분 방정식을 수학적 모델로 사용하는 예를 사용하여 연속 결정론적 접근 방식의 특징을 고려해 보겠습니다. 미분 방정식이는 하나 이상의 변수에 대한 함수를 알 수 없는 방정식으로, 방정식에는 함수뿐만 아니라 다양한 차수의 미분도 포함됩니다. 미지수가 많은 변수의 함수인 경우 방정식을 편미분 방정식이라고 하며, 그렇지 않고 하나의 독립 변수의 함수를 고려할 때 방정식을 상미분 방정식이라고 합니다.

기본 관계.일반적으로 이러한 수학적 모델에서 시간은 알려지지 않은 미지의 함수가 의존하는 독립 변수로 사용됩니다. 티. 그러면 일반적인 형태의 결정론적 시스템(6)에 대한 수학적 관계는 다음과 같습니다.

, (7)

어디
,
그리고
- 피-차원 벡터;
- 일부에 정의된 벡터 함수( 피+1) 차원
설정되어 연속됩니다.

이 유형의 수학적 체계는 연구 중인 시스템의 역학, 즉 시간에 따른 동작을 반영하므로 호출됩니다. 디-계획(영어) 동적).

가장 간단한 경우, 상미분 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

. (8)

시스템 엔지니어링을 위한 가장 중요한 애플리케이션 디-계획자동 제어 이론의 수학적 장치. D 계획의 구성 및 적용 기능을 설명하려면 다음을 고려하십시오. 가장 간단한 예물리적 성질이 다른 두 가지 기본 시스템의 기능 과정 공식화: 기계적 에스 중 (진자 진동, 그림 1, a) 및 전기 SK (진자 진동, 그림 1, b).

쌀. 1. 초등학교 시스템

진자의 작은 진동 과정은 상미분 방정식으로 설명됩니다.

어디
- 진자 현탁액의 질량과 길이; g - 자유낙하 가속도;
- 당시 진자의 편향 각도 티.

진자의 자유 진동에 대한 이 방정식으로부터 관심 있는 특성의 추정치를 찾을 수 있습니다. 예를 들어, 진자의 진동 주기

.

마찬가지로 전기 진동 회로의 프로세스는 상미분 방정식으로 설명됩니다.

어디 엘 에게 , 와 함께 에게 - 커패시터의 인덕턴스 및 커패시턴스; 큐(티) - 시간에 커패시터 충전 티.

이 방정식으로부터 진동 회로의 프로세스 특성에 대한 다양한 추정을 얻을 수 있습니다. 예를 들어, 전기 진동 기간

.

표기법을 도입함으로써
,
, ,
, 우리는 이 닫힌 시스템의 동작을 설명하는 2차 상미분 방정식을 얻습니다.

어디
- 시스템 매개변수; 지(티) - 특정 시점의 시스템 상태 티.

따라서 이 두 개체의 동작은 일반적인 수학적 모델을 기반으로 연구될 수 있습니다(9). 또한 시스템 중 하나의 동작을 다른 시스템을 사용하여 분석할 수 있다는 점에 유의해야 합니다. 예를 들어, 진자의 동작(시스템 에스 중)는 전기 진동 회로(시스템)을 사용하여 연구할 수 있습니다. 에스 케이).

시스템을 연구하는 경우 에스, 즉 진자 또는 회로는 외부 환경과 상호 작용합니다. 이자형,그러면 입력 영향이 나타납니다 엑스(티) (진자의 외부 힘과 회로의 에너지원) 및 그러한 시스템의 연속 결정론적 모델은 다음과 같은 형태를 갖습니다.

수학적 모델의 일반적인 계획의 관점에서 엑스(티) 는 입력(제어) 동작이며, 이 경우 시스템 S의 상태는 출력 특성으로 간주될 수 있습니다. 즉, 출력 변수가 주어진 시점의 시스템 상태와 일치한다고 가정합니다. 와이 =지.

가능한 응용 프로그램.시스템 엔지니어링 문제를 해결할 때 대규모 시스템 관리 문제는 매우 중요합니다. 시스템에 주목하라 자동 제어- 동적 시스템의 특별한 경우가 설명됨 디-계획실용적인 특수성으로 인해 별도의 모델 클래스에 할당됩니다.

자동 제어 프로세스를 설명할 때 일반적으로 제어 및 제어(제어 개체)라는 두 가지 시스템의 형태로 실제 개체를 표현합니다. 일반적인 다차원 자동 제어 시스템의 구조는 그림 1에 나와 있습니다. 2, 표시된 곳 내생변수:
- 입력(설정) 영향의 벡터;
- 불안한 영향의 벡터;
- 오류 신호의 벡터;
- 제어 동작의 벡터; 외생변수:
- 시스템 상태 벡터 S;
- 일반적으로 출력 변수의 벡터
=
.

쌀. 2. 자동제어시스템의 구조

현대 제어 시스템은 제어 대상이 특정 목표를 달성하도록 보장하는 소프트웨어 및 하드웨어 도구 세트입니다. 1차원 시스템에서는 제어 객체가 주어진 목표를 얼마나 정확하게 달성하는지를 상태 좌표로 판단할 수 있습니다. 와이(티). 주어진 것의 차이 ~에 나귀 (티) 그리고 유효하다 와이(티) 제어량 변화의 법칙은 제어 오류이다 . 제어량의 규정된 변화 법칙이 입력(세트) 영향의 변화 법칙에 해당하는 경우, 즉
, 저것
.

오류를 제어하는 ​​시스템
항상 이상이라고합니다. 실제로 이상적인 시스템의 구현은 불가능합니다. 그래서 오류 시간"(티) - 네거티브 원리에 기초한 자동 제어의 필수 요소 피드백, 출력 변수와 일치하기 때문에 와이(티) 설정값은 이들 사이의 편차에 대한 정보를 사용합니다. 자동 제어 시스템의 임무는 변수를 변경하는 것입니다. 와이(티) 주어진 법칙에 따라 특정 정확도(허용 가능한 오류 포함)로. 자동 제어 시스템을 설계하고 운영할 때 다음 시스템 매개변수를 선택해야 합니다. 에스이는 필요한 제어 정확도와 과도 프로세스의 시스템 안정성을 제공합니다.

시스템이 안정적이면 시간 경과에 따른 시스템 동작, 즉 제어 변수의 최대 편차가 실제적으로 중요합니다. 와이(티) 과도 프로세스, 과도 프로세스 시간 등 다양한 클래스의 자동 제어 시스템의 속성에 대한 결론은 시스템의 프로세스를 대략적으로 설명하는 미분 방정식 유형에서 도출할 수 있습니다. 미분 방정식의 순서와 계수 값은 시스템의 정적 및 동적 매개변수에 의해 완전히 결정됩니다. 에스.

그래서 사용 디-계획지속적으로 결정적인 시스템의 기능 프로세스를 공식화할 수 있습니다. 에스연속 시스템을 모델링하거나 아날로그 및 하이브리드 컴퓨팅 도구를 사용하여 적절한 언어 형태로 구현된 분석 또는 시뮬레이션 접근 방식을 사용하여 주요 특성을 평가합니다.