Odjeljak Uvodni pregled govori o dvije vrlo jednostavni primjeri(preuzeto iz Shumway, 1988) za ilustraciju prirode spektralne analize i interpretacije rezultata. Ako niste upoznati s ovom metodom, preporučuje se da prvo pogledate ovaj odjeljak ovog poglavlja.

Datoteka pregleda i podataka. Datoteka Sunspot.sta sadrži dio poznatih brojeva sunčevih pjega (Wolfer) od 1749. do 1924. (Anderson, 1971). Ispod je popis prvih nekoliko podataka iz datoteke primjera.

Pretpostavlja se da broj Sunčevih pjega utječe na vrijeme na Zemlji, kao i na poljoprivredu, telekomunikacije itd. Koristeći ovu analizu, može se pokušati otkriti je li aktivnost Sunčevih pjega uistinu cikličke prirode (zapravo, jest, o ovim se podacima naširoko raspravlja u literaturi; vidi, na primjer, Bloomfield, 1976. ili Shumway, 1988.).

Definicija analize. Nakon pokretanja analize otvorite podatkovnu datoteku Sunspot.sta. Pritisnite gumb Variables i odaberite varijablu Spots (imajte na umu da ako je podatkovna datoteka Sunspot.sta trenutna otvorena datoteka podataka, a varijabla Spots jedina je varijabla u ovoj datoteci, a zatim kada se otvori dijaloški okvir Analiza vremenske serije, Spots će biti automatski odabrani). Sada kliknite na gumb Fourier (spektralna) analiza da biste otvorili dijaloški okvir za Fourierovu (spektralnu) analizu.

Prije primjene spektralne analize, prvo iscrtajte broj sunčevih pjega. Imajte na umu da datoteka Sunspot.sta sadrži odgovarajuće godine kao nazive promatranja. Za korištenje ovih imena u linijski grafikoni, kliknite karticu Pregled serije i odaberite Nazivi slučajeva u odjeljku Označi točke. Također odaberite Ručno postavljanje skale X-osi i Min. = 1 i Korak = 10. Zatim kliknite gumb Grafikon pored gumba Prikaz odabira. varijabla.

Čini se da broj sunčevih pjega slijedi ciklički obrazac. Trend nije vidljiv, stoga se vratite u prozor Spectral Analysis i poništite odabir opcije Remove Linear Trend u grupi Transform Source Series.

Očito je da je prosjek niza veći od 0 (nula). Stoga ostavite odabranu opciju Oduzmi srednju vrijednost [inače će periodogram biti “začepljen” vrlo velikim vrhom na frekvenciji 0 (nula)].

Sada ste spremni za početak analize. Sada kliknite OK (Jednodimenzionalna Fourierova analiza) za prikaz dijaloškog okvira Rezultati Fourierove spektralne analize.

Pogledaj rezultate. Odjeljak s informacijama na vrhu dijaloškog okvira prikazuje neke sažete statistike za niz. Također prikazuje pet najvećih vrhova u periodogramu (po frekvenciji). Tri najveća vrha su na frekvencijama 0,0852, 0,0909 i 0,0114. Ove su informacije često korisne pri analizi vrlo velikih serija (na primjer, s više od 100 000 opažanja) koje nije lako iscrtati na jednom grafikonu. U ovom slučaju, međutim, lako je vidjeti vrijednosti periodograma; klikom na gumb Periodogram u odjeljku Grafikoni periodograma i spektralne gustoće.

Grafikon periodograma pokazuje dva jasna vrha. Maksimum je na frekvenciji od približno 0,9. Vratite se na prozor Rezultati spektralne analize i kliknite gumb Sažetak da vidite sve vrijednosti periodograma (i druge rezultate) u tablici rezultata. Ispod je dio tablice s rezultatima s najvećim vrhom identificiranim iz periodograma.

Kao što je objašnjeno u odjeljku Uvodni pregled, učestalost je broj ciklusa po jedinici vremena (gdje je svako opažanje jedna jedinica vremena). Dakle, Frekvencija 0,0909 odgovara vrijednosti od 11 Perioda (broj vremenskih jedinica potrebnih za kompletan ciklus). Budući da podaci o sunčevim pjegama na Sunspot.sta predstavljaju godišnja opažanja, može se zaključiti da postoji jasan 11-godišnji (možda nešto duži od 11-godišnjeg) ciklus u aktivnosti sunčevih pjega.

Spektralna gustoća. Tipično, za izračunavanje procjena spektralne gustoće, periodogram se izravnava kako bi se uklonile nasumične fluktuacije. Vrsta ponderiranog pomičnog prosjeka i širina prozora mogu se odabrati u odjeljku Spektralni prozori. Odjeljak Uvodni pregled detaljno govori o ovim opcijama. Za naš primjer, ostavimo odabran zadani prozor (Hammingova širina 5) i odaberimo graf spektralne gustoće.

Dva su vrha sada još jasnija. Pogledajmo vrijednosti periodograma po razdoblju. Odaberite polje Razdoblje u odjeljku Raspored. Sada odaberite graf spektralne gustoće.

Opet se može vidjeti da postoji izražen 11-godišnji ciklus u aktivnosti Sunčevih pjega; Štoviše, postoje znakovi postojanja duljeg ciklusa od otprilike 80-90 godina.

FOURIEROVA TRANSFORMACIJA I KLASIČNA DIGITALNA SPEKTRALNA ANALIZA.
Medvedev S.Yu., Ph.D.

Uvod

Spektralna analiza jedna je od metoda obrade signala koja vam omogućuje karakterizaciju frekvencijskog sastava mjerenog signala. Fourierova transformacija je matematički okvir koji povezuje vremenski ili prostorni signal (ili neki model tog signala) s njegovom zastupljenošću u frekvencijskoj domeni. Statističke metode igraju važnu ulogu u spektralnoj analizi, budući da su signali, u pravilu, slučajni ili šumovi tijekom propagacije ili mjerenja. Kada bi se točno znale osnovne statističke karakteristike signala ili bi se mogle odrediti iz konačnog intervala tog signala, onda bi spektralna analiza predstavljala granu “egzaktne znanosti”. Međutim, u stvarnosti se iz segmenta signala može dobiti samo procjena njegovog spektra. Stoga je bavljenje spektralnom analizom vrsta zanata (ili umjetnosti?) prilično subjektivne prirode. Razlika između spektralnih procjena dobivenih kao rezultat obrade istog segmenta signala različitim metodama može se objasniti razlikom u pretpostavkama u vezi s podacima, različiti putevi usrednjavanje itd. Ako karakteristike signala nisu unaprijed poznate, nemoguće je reći koja je od procjena bolja.

Fourierova transformacija – matematička osnova spektralne analize
Ukratko raspravimo različite vrste Fourierove transformacije (za više detalja pogledajte).
Počnimo s Fourierovom transformacijom vremenski kontinuiranog signala

, (1)

koji identificira frekvencije i amplitude onih složenih sinusoida (eksponenata) na koje se rastavlja neko proizvoljno titranje.
Obrnuta pretvorba

. (2)

Postojanje izravne i inverzne Fourierove transformacije (koju ćemo dalje zvati kontinuirana Fourierova transformacija - CTFT) određeno je nizom uvjeta. Dovoljna - apsolutna integrabilnost signala

. (3)

Manje restriktivan dovoljan uvjet je konačnost energije signala

. (4)

Predstavimo nekoliko osnovnih svojstava Fourierove transformacije i funkcija koje se koriste u nastavku, uz napomenu da je pravokutni prozor definiran izrazom

(5)

a funkcija sinc je izraz

(6)

Funkcija uzorkovanja u vremenskoj domeni dana je izrazom

(7)

Ova funkcija se ponekad naziva i periodična funkcija nastavka.

Tablica 1. Glavna svojstva NVPF-a i funkcije

Svojstvo, funkcija	Funkcija	Pretvorba
Linearnost	ag(t) + bh(t)	aG(f) + bH(f)
Vremenski pomak	h (t - t 0)	H(f)exp(-j2pf t 0)
Pomak frekvencije (modulacija)	h (t)exp(j2pf0 t)	H(f - f 0)
Skaliranje	(1 / |a|)h(t / a)	H(af)
Teorem o konvoluciji vremenske domene	g(t)*h(t)	G(f)H(f)
Teorem o konvoluciji frekvencijskog područja	g(t) h(t)	G(ž)*H(ž)
Funkcija prozora	Aw(t/T)	2ATsinc(2Tf)
Sinc funkcija	2AFsinc(2Ft)	Aw(f/F)
Pulsna funkcija	Oglas(t)
Funkcija brojanja	T(f)	FF(f), F=1/T

Drugo važno svojstvo utvrđeno je Parsevalovim teoremom za dvije funkcije g(t) i h(t):

. (8)

Ako stavimo g(t) = h(t), tada se Parsevalov teorem svodi na teorem za energiju

. (9)

Izraz (9) je u biti jednostavno formulacija zakona održanja energije u dvije domene (vremenska i frekvencijska). U (9) lijevo je ukupna energija signala, dakle funkcija

(10)

opisuje frekvencijsku distribuciju energije za deterministički signal h(t) i stoga se naziva spektralna gustoća energije (SED). Korištenje izraza

(11)

mogu se izračunati amplitudni i fazni spektar signala h(t).

Operacije uzorkovanja i ponderiranja

U sljedećem odjeljku predstavit ćemo Fourierov niz s diskretnim vremenom (DTFS) ili diskretnu Fourierovu transformaciju (DFT) kao poseban slučaj Fourierove transformacije s kontinuiranim vremenom (CTFT) koristeći dvije osnovne operacije obrade signala - uzimanje uzoraka ( uzorkovanje) I vaganje pomoću prozora. Ovdje razmatramo utjecaj ovih operacija na signal i njegovu transformaciju. Tablica 2 navodi funkcije koje izvode ponderiranje i uzorkovanje.

Za jednolika očitanja s intervalom od T sekundi, frekvencija uzorkovanja F jednaka je 1/T Hz. Imajte na umu da su funkcija ponderiranja i funkcija uzorkovanja u vremenskoj domeni označene TW (time windowing) odnosno TS (time sampling), au frekvencijskoj domeni FW (frequency windowing) i FS (frequency sampling).

Tablica 2. Funkcije ponderiranja i uzorkovanja

Operacija	Vremenska funkcija	Pretvorba
Ponderiranje vremenske domene (širina prozora NT s)	TW=w(2t / NT - 1)	F(TW)=NTsinc(NTf)exp(-jpNTf)
Ponderiranje frekvencijske domene (širina prozora 1/T Hz)		FW=w(2Tf)
Brojanje u vremenu (interval T sek)	TS=T T(t)
Uzorkovanje frekvencije (u intervalima od 1/NT Hz)

Pretpostavimo da su uzeti uzorci kontinuiranog realnog signala x(t) s ograničenim spektrom, čija je gornja frekvencija jednaka F0. NVFT stvarnog signala uvijek je simetrična funkcija s punom širinom od 2F0, vidi sliku 1.
Uzorci signala x(t) mogu se dobiti množenjem ovog signala s funkcijom uzorka:

(12)

Slika 1 - ilustracija teorema uzorkovanja u vremenskoj domeni za stvarni signal s ograničenim spektrom:
a - izvorna vremenska funkcija i njezina Fourierova transformacija;
b - funkcija uzoraka u vremenu i njezina Fourierova transformacija;
vremenski uzorci izvorne funkcije i njezine periodički nastavljene Fourierove transformacije za slučaj Fo<1/2T;
d - frekvencijski prozor (idealni niskopropusni filtar) i njegova Fourierova transformacija (sinc funkcija);
d - izvorna vremenska funkcija vraćena operacijom konvolucije s funkcijom sinc.

Prema teoremu o konvoluciji frekvencijske domene, FTFT signala x(t) jednostavno je konvolucija spektra signala x(t) i Fourierove transformacije funkcije vremenskog uzorka (TS):

. (13)

Konvolucija X(f) s Fourierovom transformacijom funkcije uzorka F (TS)=Y1/T(f) jednostavno periodički nastavlja X(f) s frekvencijskim intervalom od 1/T Hz. Stoga je XS(f) periodički prošireni spektar od X(f). Općenito, uzorci u jednoj domeni (na primjer, vrijeme) dovode do periodičkog nastavka u domeni transformacije (na primjer, frekvencija). Ako je brzina uzorkovanja odabrana dovoljno niska (F< 2Fo), то периодически продолженные спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название эффекта наложения в частотной области.
Kako bi se vratio izvorni vremenski signal iz njegovih uzoraka, tj. za interpolaciju određenog kontinuuma vrijednosti između ovih uzoraka, možete proći uzorkovane podatke kroz idealni niskopropusni filtar s pravokutnim frekvencijskim odzivom (Sl. 1d)

. (14)

Kao rezultat (vidi sliku 1d), originalna Fourierova transformacija je vraćena. Koristeći teoreme o konvoluciji u vremenskoj i frekvencijskoj domeni, dobivamo

. (15)

Izraz (15) je matematički zapis teoremi uzorkovanja u vremenskoj domeni(teorem Whittakera, Kotelnikova, Shannona - UKSH), koji kaže da se korištenjem interpolacijske formule (15) može točno obnoviti stvarni signal s ograničenim spektrom beskonačnim brojem poznati vremenski uzorci uzeti s frekvencijom F = 2F0. Dual teoremu (15) je teorem uzoraka u frekvencijskoj domeni za signale ograničenog trajanja.
Operacije u vremenskoj domeni, slične (14), opisane su izrazom

, (16)

a pripadajuće transformacije su izrazi

Dakle, NVPF X(f) nekog signala s ograničenim trajanjem može se jednoznačno obnoviti iz ekvidistantnih uzoraka spektra takvog signala ako odabrani interval uzorkovanja frekvencije zadovoljava uvjet F1/2T 0 Hz, gdje je T 0 signal trajanje.

Odnosi između kontinuiranih i diskretnih transformacija

Par transformacija za konvencionalnu definiciju N-točke diskretne Fourierove transformacije (DFT) vremenski slijed x[n] i odgovarajuća N-točka Nizovi Fourierove transformacije X[k] je dan izrazima

, (18)
. (19)

Kako bismo dobili spektralne procjene iz uzoraka podataka u odgovarajućim jedinicama energije ili snage, pišemo Fourierov niz u diskretnom vremenu (DTFS), koji se može smatrati nekom aproksimacijom Fourierove transformacije u kontinuiranom vremenu (CTFT), temeljen na korištenje konačnog broja uzoraka podataka:

Kako bi se pokazala priroda usklađenosti s DVRF-om ( diskretna funkcije u vremenskoj i frekvencijskoj domeni) i CVDF (kontinuirane funkcije u vremenskoj i frekvencijskoj domeni), potreban nam je niz od četiri linearne komutativne operacije: ponderiranje u vremenskoj i frekvencijskoj domeni i uzorkovanje ili uzorkovanje kako u vremenskoj tako i u frekvencijskoj domeni. Ako se operacija ponderiranja izvodi u jednom od ovih područja, tada će, prema teoremu o konvoluciji, odgovarati operaciji filtriranja (konvoluciji) u drugoj regiji s funkcijom sinc. Slično, ako se diskretizacija izvodi u jednoj regiji, tada se operacija periodičkog nastavka izvodi u drugoj. Budući da su vaganje i uzimanje uzoraka linearne i komutativne operacije, mogući su različiti načini njihovog sređivanja, dajući isti konačni rezultat s različitim međurezultatima. Slika 2 prikazuje dva moguća slijeda za izvođenje ove četiri operacije.

Riža. 2. Dvije moguće sekvence od dvije operacije vaganja i dvije operacije uzorkovanja, povezujući NVPF i DVRF: FW - primjena prozora u frekvencijskoj domeni; TW - primjena prozora u vremenskoj domeni; FS - uzimanje uzoraka u frekvencijskoj domeni; TS - uzimanje uzoraka u vremenskoj domeni.
1 - kontinuirana vremenska Fourierova transformacija, jednadžba (1);
4 - Fourierova transformacija s diskretnim vremenom, jednadžba (22);
5 - Fourierov red s kontinuiranim vremenom, jednadžba (25);
8 - Fourierov red s diskretnim vremenom, jednadžba (27)

Kao rezultat izvođenja operacija vaganja i uzorkovanja u čvorovima 1, 4, 5 i 8, pojavit će se četiri različite vrste Fourierovih odnosa. Čvorovi u kojima je funkcija frekvencijska domena je kontinuirana, odnosi se na transformacije Fourier, a čvorovi u kojima je funkcija u frekvencijskoj domeni diskretna odnositi se na Fourierov red(za više detalja pogledajte).
Stoga se u čvoru 4 stvara ponderiranje u frekvencijskoj domeni i uzorkovanje u vremenskoj domeni diskretna pretvorba vremena Fourierova transformacija (FTFT), koju karakterizira periodična funkcija spektra u frekvencijskoj domeni s periodom od 1/T Hz:

(22)

(23)

Imajte na umu da izraz (22) definira određenu periodičku funkciju koja se podudara s izvornom transformiranom funkcijom navedenom u čvoru 1 samo u frekvencijskom rasponu od -1/2T do 1/2T Hz. Izraz (22) je povezan sa Z-transformacijom diskretnog niza x[n] relacijom

(24)

Dakle, DVFT je jednostavno Z-transformacija izračunata na jediničnom krugu i pomnožena s T.
Ako se pomaknemo od čvora 1 do čvora 8 na slici 2 duž donje grane, u čvoru 5 operacije ponderiranja u vremenskoj domeni (ograničavanje trajanja signala) i uzorkovanja u frekvencijskoj domeni generiraju kontinuirani vremenski Fourierov niz (CFTS ). Koristeći svojstva i definicije funkcija dane u tablicama 1 i 2, dobivamo sljedeći par transformacija
(25)
(26)

Uočimo da izraz (26) definira određenu periodičku funkciju, koja se poklapa s izvornom (u čvoru 1) samo u vremenskom intervalu od 0 do NT.
Bez obzira koji je od dva niza od četiri operacije odabran, konačni rezultat u čvoru 8 bit će isti - Fourierov red u diskretnom vremenu, što odgovara sljedećem paru transformacija dobivenih pomoću svojstava navedenih u tablici 1.

, (27)

gdje je k=-N/2, . . . ,N/2-1

, (28)

gdje je n=0, . . . ,N-1 ,
Teorem o energiji za ovaj DVRF je:

, (29)

i karakterizira energiju niza od N uzoraka podataka. Oba niza x[n] i X[k] su periodični po modulu N, pa se (28) može napisati u obliku

, (30)

gdje je 0 n N. Faktor T u (27) - (30) je neophodan kako bi (27) i (28) zapravo bile aproksimacija integralne transformacije u domeni integracije

.(31)

Nula podstava

Kroz proces tzv popuna s nulama, Fourierov niz u diskretnom vremenu može se modificirati za interpolaciju između N vrijednosti izvorne transformacije. Neka dostupni uzorci podataka x,...,x budu dopunjeni nultim vrijednostima x[N],...X. DVRF ove sekvence podataka od 2N točaka s nulama bit će dat pomoću

(32)

gdje je gornja granica zbroja s desne strane modificirana kako bi se prilagodila prisutnosti nultih podataka. Neka je k=2m, dakle

, (33)

gdje m=0,1,...,N-1, definira parne vrijednosti X[k]. To pokazuje da se za parne vrijednosti indeksa k, Fourierov red s diskretnim vremenom od 2N točaka reducira na diskretni vremenski niz s N točaka. Neparne vrijednosti indeksa k odgovaraju interpoliranim DVRF vrijednostima koje se nalaze između vrijednosti originalnog DVRF-a s N-točkama. Kako se sve više i više nula dodaje izvornom nizu N-točaka, može se dobiti još više interpoliranih podataka. U ograničavajućem slučaju beskonačnog broja ulaznih nula, DVRF se može smatrati diskretnom vremenskom Fourierovom transformacijom niza podataka s N točaka:

. (34)

Transformacija (34) odgovara čvoru 6 na slici 2.
Postoji zabluda da nulto punjenje poboljšava rezoluciju jer povećava duljinu niza podataka. Međutim, kao što slijedi sa slike 3, popunjavanje nulama ne poboljšava se razlučivost transformacije dobivene iz danog konačnog niza podataka. Zero padding jednostavno omogućuje interpoliranu konverziju zaglađeniji oblik. Osim toga, eliminira nesigurnosti uzrokovane prisutnošću uskopojasnih komponenti signala čije frekvencije leže između N točaka koje odgovaraju procijenjenim frekvencijama originalnog DVRF-a. Kada se popunjava nulama, povećava se i točnost procjene frekvencije spektralnih vrhova. Pod izrazom spektralna rezolucija podrazumijevat ćemo sposobnost razlikovanja spektralnih odziva dva harmonijska signala. Općeprihvaćeno pravilo, koje se često koristi u spektralnoj analizi, je da frekvencijsko razdvajanje istaknutih sinusoida ne može biti manje od ekvivalentna širina prozora, kroz koje se promatraju segmenti (presjeci) ovih sinusoida.

sl.3. Interpolacija korištenjem nulte ispune:
a - DVRF modul za snimanje podataka u 16 točaka koji sadrži tri sinusoide bez popune s nulama (vidljive su nejasnoće: nemoguće je reći koliko je sinusoida u signalu - dvije, tri ili četiri);
b - DVRF modul iste sekvence nakon udvostručenja broja svojih uzoraka zbog dodavanja 16 nula (nesigurnosti su riješene, budući da se sve tri sinusoide razlikuju;
c - DVRF modul iste sekvence nakon četverostrukog povećanja broja njegovih uzoraka zbog dodavanja nula.

Ekvivalentna propusnost prozora može se definirati kao
gdje je W(f) Fourierova transformacija funkcije prozora u diskretnom vremenu, na primjer, pravokutni (5). Slično tome, možete unijeti ekvivalentno trajanje prozora

Može se pokazati da su ekvivalentno trajanje prozora (ili bilo kojeg drugog signala) i ekvivalentna propusnost njegove transformacije međusobno inverzne veličine: TeBe=1.

Brza Fourierova transformacija

Brza Fourierova transformacija (FFT) nije još jedna vrsta Fourierove transformacije, već naziv niza učinkovitih algoritmi, dizajniran za brzo izračunavanje Fourierovih redova u diskretnom vremenu. Glavni problem koji se javlja u praktičnoj implementaciji DVRF-a leži u velikom broju računskih operacija proporcionalnih N2. Iako je davno prije pojave računala predloženo nekoliko učinkovitih računalnih shema koje su mogle značajno smanjiti broj računskih operacija, prava je revolucija napravljena objavljivanjem članka Coolyja i Tukeya 1965. godine s praktičnim algoritmom za brzi (broj operacija Nlog 2 N) izračuni DVRF . Nakon toga razvijene su mnoge varijante, poboljšanja i dodaci osnovnoj ideji, tvoreći klasu algoritama poznatu kao brza Fourierova transformacija. Osnovna ideja FFT-a je podijeliti DVRF s N-točkama na dva ili više manjih DVRF-ova, od kojih se svaki može zasebno izračunati i zatim linearno zbrojiti s ostalima kako bi se dobio DVRF izvornog niza s N-točkama.
Predstavimo diskretnu Fourierovu transformaciju (DFFT) u obliku

, (35)

gdje se vrijednost W N =exp(-j2 /N) naziva faktorom okretanja (dalje u ovom odjeljku, period uzorkovanja je T=1). Izaberimo elemente s parnim i neparnim brojevima iz niza x[n]

. (36)

Ali od tada
. Stoga se (36) može napisati u obliku

, (37)

gdje je svaki član transformacija duljine N/2

(38)

Primijetimo da je niz (WN/2) nk periodičan po k s periodom N/2. Stoga, iako broj k u izrazu (37) poprima vrijednosti od 0 do N-1, svaki od zbroja izračunava se za vrijednosti k od 0 do N/2-1. Moguće je procijeniti broj složenih operacija množenja i zbrajanja potrebnih za izračun Fourierove transformacije u skladu s algoritmom (37)-(38). Dvije Fourierove transformacije s N/2 točke prema formulama (38) uključuju izvođenje 2(N/2) 2 množenja i približno isti broj zbrajanja. Kombiniranje dviju transformacija u N/2 točke pomoću formule (37) zahtijeva još N množenja i N zbrajanja. Stoga, za izračunavanje Fourierove transformacije za svih N vrijednosti k, potrebno je izvršiti N+N 2 /2 množenja i zbrajanja. U isto vrijeme, izravni izračun pomoću formule (35) zahtijeva N 2 množenja i zbrajanja. Već za N>2 nejednakost N+N 2 /2 je zadovoljena< N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям:

, (39)
(40)

U ovom slučaju, zbog periodičnosti niza W nk N/4 u k s periodom N/4, zbrojeve (40) potrebno je izračunati samo za vrijednosti k od 0 do N/4-1. Stoga izračunavanje niza X[k] pomoću formula (37), (39) i (40) zahtijeva, kao što je lako izračunati, već 2N+N 2 /4 operacija množenja i zbrajanja.
Slijedeći ovaj put, količina izračuna X[k] može se sve više smanjivati. Nakon m=log 2 N proširenja dolazimo do Fourierovih transformacija u dvije točke oblika

(41)

gdje su "transformacije jedne točke" X 1 jednostavno uzorci signala x[n]:

X 1 = x[q]/N, q=0,1,...,N-1. (42)

Kao rezultat toga, možemo napisati FFT algoritam, koji se iz očitih razloga zove algoritam prorjeđivanja vremena :

X 2 = (x[p] + W k 2 x) / N,

gdje je k=0,1, p=0,1,...,N/2 -1;

X 2N/M =X N/M + W k 2N/M X N/M,

gdje je k=0,1,...,2N/M -1, p=0,1,...,M/2 -1;

X[k] = X N [k] =X N/2 + W k N X N/2, (43)

gdje je k=0,1,...,N-1

U svakoj fazi izračuna izvodi se N složenih množenja i zbrajanja. A budući da je broj dekompozicija izvornog niza u podnizove polovične duljine jednak log 2 N, tada je ukupni broj operacija množenja-zbrajanja u FFT algoritmu jednak Nlog 2 N. Za veliko N, postoji značajan ušteda u računskim operacijama u usporedbi s izravnim DFT izračunima. Na primjer, kada je N = 2 10 = 1024 broj operacija se smanjuje za 117 puta.
Vremenski desetkovani FFT algoritam koji smo razmatrali temelji se na izračunavanju Fourierove transformacije formiranjem podnizova ulazne sekvence x[n]. Međutim, također je moguće koristiti podsekvencijsku dekompoziciju Fourierove transformacije X[k]. FFT algoritam koji se temelji na ovom postupku naziva se c stanjivanje frekvencije. Više o brzoj Fourierovoj transformaciji možete pročitati, na primjer, u.

Slučajni procesi i spektralna gustoća snage

Diskretna slučajni proces x se može smatrati određenim skupom ili skupom stvarnih ili složenih diskretnih vremenskih (ili prostornih) nizova, od kojih se svaki može promatrati kao rezultat nekog eksperimenta (n je vremenski indeks, i je broj opažanja). Niz dobiven kao rezultat jednog od promatranja označit ćemo s x[n]. Operacija usrednjavanja po ansamblu (tj. statističko usrednjavanje) označit ćemo operatorom<>. Tako, - prosječna vrijednost slučajnog procesa x[n] u trenutku n. Autokorelacija slučajni proces u dva različita vremena n1 i n2 određen je izrazom r xx = .

Slučajni proces naziva se stacionarni in u širem smislu, ako je njegova prosječna vrijednost konstantna (neovisna o vremenu), a autokorelacija ovisi samo o razlici vremenskih indeksa m=n1-n2 (vremenski pomak ili kašnjenje između uzoraka). Dakle, široko stacionarni diskretni slučajni proces x[n] karakterizira konstantna prosječna vrijednost =I autokorelacijski niz(AKP)

r xx [m] =< xx*[n] >. (44)

Zabilježimo sljedeća svojstva automatskog mjenjača:

r xx |r xx [m]| , r xx [-m] = r* xx [m] , (45)

koji vrijede za sve m.
Spektralna gustoća snage (PSD) definirana je kao diskretna vremenska Fourierova transformacija (DTFT) autokorelacijske sekvence

. (46)

PSD, čija se širina pretpostavlja da je ograničena na ±1/2T Hz, je periodična funkcija frekvencije s periodom od 1/T Hz. PSD funkcija opisuje frekvencijsku distribuciju snage slučajnog procesa. Kako biste potvrdili naziv odabran za njega, razmotrite inverzni DVFT

(47)

izračunato na m=0

(48)

Autokorelacija pri nultom pomaku karakterizira prosječna snaga slučajni proces. Prema (48), površina ispod krivulje P xx (f) karakterizira prosječnu snagu, pa je P xx (f) funkcija gustoće (snaga po jedinici frekvencije) koja karakterizira frekvencijsku distribuciju snage. Često se nazivaju par transformacija (46) i (47). Wiener-Khinchinov teorem za slučaj diskretnog vremena. Budući da je r xx [-m]=r* xx [m], tada PSD mora biti striktno realna pozitivna funkcija. Ako je ACP strogo realna funkcija, tada r xx [-m]=r xx [m] i PSD se može napisati u obliku Fourierove kosinusne transformacije

,

što također znači da je P xx (f) = P xx (-f), tj. SPM je parna funkcija.
Do sada smo pri određivanju prosječne vrijednosti, korelacije i spektralne gustoće snage slučajnog procesa koristili statističko usrednjavanje po ansamblu. Međutim, u praksi obično nije moguće dobiti skup implementacija potrebnog procesa iz kojih bi se te statističke karakteristike mogle izračunati. Preporučljivo je procijeniti sva statistička svojstva koristeći jednu realizaciju uzorka x(t), zamjenjujući y ansambl usrednjavanje time averaging. Svojstvo koje omogućuje takvu zamjenu naziva se ergodičnost. Kaže se da je slučajni proces ergodički ako se, uz vjerojatnost jednaku jedan, sve njegove statističke karakteristike mogu predvidjeti iz jedne implementacije iz ansambla korištenjem vremenskog prosjeka. Drugim riječima, vremenski prosjeci gotovo svih mogućih implementacija procesa konvergiraju s vjerojatnošću jedan prema istoj konstantnoj vrijednosti - prosjeku ansambla

. (49)

Ova granica, ako postoji, konvergira pravoj sredini ako i samo ako vremenska varijanca sredine teži nuli, što znači da vrijedi sljedeći uvjet:

. (50)

Ovdje je c xx [m] prava vrijednost kovarijance procesa x[n].
Slično, promatrajući vrijednost umnoška procesnih uzoraka x[n] u dvije vremenske točke, može se očekivati ​​da će prosječna vrijednost biti jednaka

(51)

Pretpostavka ergodičnosti omogućuje nam ne samo uvođenje, kroz vremensko usrednjavanje, definicija za srednju vrijednost i autokorelaciju, već i davanje slične definicije za spektralnu gustoću snage

. (52)

Ovaj ekvivalentni oblik PSD-a dobiva se statističkim usrednjavanjem DVFT modula ponderiranog skupa podataka podijeljenim s duljinom zapisa podataka, za slučaj kada se broj uzoraka povećava do beskonačnosti. Ovdje je potrebno statističko usrednjavanje jer je sam DVFT slučajna varijabla koja se mijenja za svaku realizaciju x[n]. Kako bismo pokazali da je (52) ekvivalentan Wiener-Khinchinovom teoremu, predstavljamo kvadrat DVFT modula kao produkt dva niza i mijenjamo redoslijed operacija zbrajanja i statističkog usrednjavanja:

(53)

Koristeći poznati izraz

, (54)

relacija (53) može se svesti na sljedeće:

(55)

Imajte na umu da je u posljednjoj fazi derivacije (55) korištena pretpostavka da se autokorelacijski niz "raspada", tako da

. (56)

Odnos između dviju definicija PSD-a (46) i (52) jasno je prikazan dijagramom prikazanim na slici 4.
Ako u izrazu (52) ne uzmemo u obzir operaciju matematičkog očekivanja, dobivamo SPM procjenu

, (57)

koji se zove spektar uzorka.

Riža. 4. Odnos dviju metoda za procjenu spektralne gustoće snage

Periodogramska metoda spektralne estimacije

Gore smo predstavili dvije formalne ekvivalentne metode za određivanje spektralne gustoće snage (PSD). Neizravna metoda temelji se na korištenju beskonačnog niza podataka za izračunavanje autokorelacijskog niza, čija Fourierova transformacija daje željeni PSD. Izravna metoda za određivanje PSD-a temelji se na izračunavanju kvadrata modula Fourierove transformacije za beskonačni niz podataka korištenjem odgovarajućeg statističkog prosjeka. PSD dobiven bez takvog usrednjavanja pokazao se nezadovoljavajućim, budući da je srednja kvadratna pogreška takve procjene usporediva s njezinom prosječnom vrijednošću. Sada ćemo razmotriti metode usrednjavanja koje daju glatke i statistički stabilne spektralne procjene na konačnom broju uzoraka. SPD procjene temeljene na izravnoj transformaciji podataka i naknadnom usrednjavanju nazivaju se periodogrami. Nazivaju se PSD procjene za koje se prvo formiraju korelacijske procjene iz početnih podataka korelogram. Pri korištenju bilo koje metode PSD procjene, korisnik mora donijeti mnoge kompromisne odluke kako bi dobio statistički stabilne spektralne procjene s najvećom mogućom rezolucijom iz konačnog broja uzoraka. Ovi kompromisi uključuju, ali nisu ograničeni na, izbor prozora za ponderiranje podataka i procjene korelacije i parametre usrednjavanja u vremenskoj domeni i frekvencijskoj domeni koji uravnotežuju zahtjeve smanjenja bočnih režnja zbog ponderiranja, izvođenje učinkovitog usrednjavanja i pružanje prihvatljiva spektralna rezolucija. Na sl. Slika 5 prikazuje dijagram koji prikazuje glavne faze periodogram metoda

Riža. 5. Glavne faze procjene PSD metodom periodograma

Primjena metode počinje prikupljanjem N uzoraka podataka, koji se uzimaju u intervalu od T sekundi po uzorku, nakon čega (neobavezno) slijedi korak uklanjanja trenda. Kako bi se dobila statistički stabilna spektralna procjena, dostupni podaci moraju se podijeliti na preklapajuće (ako je moguće) segmente i zatim izračunati prosjek spektara uzorka dobivenih za svaki takav segment. Parametri ovog usrednjavanja mijenjaju se odgovarajućim odabirom broja uzoraka po segmentu (NSAMP) i broja uzoraka za koji se mora pomaknuti početak sljedećeg segmenta (NSHIFT), vidi sliku. 6. Broj segmenata odabire se ovisno o potrebnom stupnju glatkoće (disperzije) spektralne procjene i potrebnoj spektralnoj rezoluciji. Mala vrijednost parametra NSAMP rezultira većim brojem segmenata nad kojima će se izvršiti usrednjavanje, pa će se stoga dobiti procjene s manjom varijancom, ali i manjom rezolucijom frekvencije. Povećanjem duljine segmenta (parametar NSAMP) povećava se rezolucija, naravno zbog povećanja varijance procjene zbog manjeg broja usrednjavanja. Povratna strelica na slici 5 ukazuje na potrebu za nekoliko ponovljenih prolaza kroz podatke u različitim duljinama i brojevima segmenata, što nam omogućuje da dobijemo više informacija o procesu koji se proučava.

sl.6. Dijeljenje podataka u segmente za izračun periodograma

Prozor

Jedno od važnih pitanja koje je zajedničko svim klasičnim metodama spektralne estimacije odnosi se na ponderiranje podataka. Prozor se koristi za kontrolu efekata bočnih snopova u spektralnim procjenama. Imajte na umu da je prikladno razmatrati postojeći konačni zapis podataka kao dio odgovarajućeg beskonačnog niza, vidljivog kroz primijenjeni prozor. Stoga se slijed opaženih podataka x 0 [n] iz N uzoraka može matematički napisati kao produkt beskonačnog niza x [n] i pravokutne prozorske funkcije

X 0 [n]=x[n] pravougaonik[n].
Ovo čini očiglednu pretpostavku da su svi nepromatrani uzorci jednaki nuli, bez obzira na to je li to stvarno slučaj. Fourierova transformacija diskretnog vremena težinskog niza jednaka je konvoluciji transformacija niza x[n] i pravokutnog prozora rect[n]

X 0 (f)=X(f)*D N (f) , gdje je
D N (f) = Texp(-j2pfT)sin(pfTN)/sin(pfT).

Funkcija D N (f), nazvana diskretna sinc funkcija ili Dirichletova jezgra, DCFT je pravokutne funkcije. Transformacija promatranog konačnog niza je iskrivljena verzija transformacije beskonačnog niza. Učinak pravokutnog prozora na sinusoidu s diskretnim vremenom s frekvencijom f 0 ilustriran je na slici 7.

sl.7. Ilustracija pristranosti Fourierove transformacije u diskretnom vremenu zbog curenja zbog ponderiranja podataka: a, b - izvorni i ponderirani nizovi; b, d - njihove Fourierove transformacije.

Na slici se može vidjeti da su oštri spektralni vrhovi DTFT beskonačnog niza sinusnog vala prošireni zbog konvolucije s transformacijom prozora. Stoga je minimalna širina spektralnih vrhova niza ponderiranog prema prozoru određena širinom glavnog režnja transformacije tog prozora i neovisna je o podacima. Bočni režnjevi transformacije prozora promijenit će amplitude susjednih spektralnih vrhova (ponekad se nazivaju propuštanjem). Budući da je DVFT periodična funkcija, preklapanje bočnih režnjeva iz susjednih perioda može dovesti do dodatne pristranosti. Povećanje stope uzorkovanja smanjuje učinak aliasinga bočnog režnja. Slična izobličenja će se prirodno uočiti u slučaju nesinusoidalnih signala. Krvarenje ne samo da unosi pogreške amplitude u spektre diskretnih signala, već također može maskirati prisutnost slabi signali. Postoji niz drugih značajki prozora koje se mogu ponuditi koje mogu smanjiti bočne izbočine u usporedbi s pravokutnim prozorom. Smanjenje razine bočnih režnjeva smanjit će pomak u spektralnoj procjeni, ali to dolazi po cijenu širenja glavnog režnjeva spektra prozora, što prirodno dovodi do pogoršanja rezolucije. Posljedično, i ovdje se mora izabrati neki kompromis između širine glavnog režnja i razine bočnih režnja. Za ocjenu kvalitete prozora koristi se nekoliko parametara. Tradicionalni indikator je propusnost glavnog režnja na pola snage. Drugi pokazatelj je ekvivalentna propusnost koja je gore predstavljena. Također se koriste dva pokazatelja za procjenu karakteristika bočnih režnjeva. Prva je njihova maksimalna razina, druga je stopa opadanja, koja karakterizira brzinu kojom se bočni režnjevi smanjuju s udaljenošću od glavnog režnjeva. Tablica 3 prikazuje definicije nekih često korištenih funkcija diskretnog vremenskog prozora, a tablica 4 prikazuje njihove karakteristike.
Tablica 3. Definicije tipičnih prozora s diskretnim vremenom u N točaka Maks. razina bočnog režnja, dB -31,5

. (46)

Metoda korelograma procjena PSD-a je jednostavna zamjena u izraz (46) konačnog niza vrijednosti za procjenu autokorelacije ( korelogrami) umjesto beskonačnog niza nepoznatih pravih autokorelacijskih vrijednosti. Više informacija o korelogramskoj metodi spektralne estimacije možete pronaći u.

Književnost

1. Rabiner L., Gould B. Teorija i primjena digitalne obrade signala. M.: Mir, 1978.

2. Marple ml. S.L. Digitalna spektralna analiza i njezine primjene: Prijevod. s engleskog -M.: Mir, 1990.

3. Goldberg L.M., Matyushkin B.D., Polyak M.N., Digitalna obrada signali - M.: Radio i komunikacije, 1990.

4. Otnes R., Enokson L. Primijenjena analiza vremenskih serija - M.: Mir, 1982.

Spektralna analiza

Spektralna analiza je široka klasa metoda obrade podataka koja se temelji na njihovoj frekvencijskoj reprezentaciji ili spektru. Spektar se dobiva dekompozicijom izvorne funkcije, koja ovisi o vremenu (vremenski niz) ili prostornim koordinatama (npr. slika), na bazu neke periodičke funkcije. Najčešće se za spektralnu obradu koristi Fourierov spektar dobiven na osnovi sinusne baze (Fourierova dekompozicija, Fourierova transformacija).

Glavno značenje Fourierove transformacije je da se izvorna neperiodična funkcija proizvoljnog oblika, koja se ne može analitički opisati i stoga ju je teško obraditi i analizirati, predstavi kao skup sinusa ili kosinusa s različitim frekvencijama, amplitudama i početnim fazama.

Drugim riječima, složena funkcija se transformira u mnogo jednostavnijih. Svaki sinusni val (ili kosinusni val) s određenom frekvencijom i amplitudom, dobiven kao rezultat Fourierove ekspanzije, naziva se spektralna komponenta ili harmonik. Formiraju se spektralne komponente Fourierov spektar.

Vizualno se Fourierov spektar prikazuje u obliku grafikona na kojem je duž vodoravne osi iscrtana kružna frekvencija, označena grčkim slovom "omega", a amplituda spektralnih komponenti, obično označena latiničnim slovom A. , nanosi se duž vertikalne osi.Tada se svaka spektralna komponenta može prikazati kao brojač, položaj koji vodoravno odgovara njezinoj frekvenciji, a visina – njezinoj amplitudi. Harmonik s nultom frekvencijom naziva se stalna komponenta(u temporalnom prikazu ovo je ravna linija).

Čak i jednostavna vizualna analiza spektra može puno reći o prirodi funkcije na temelju koje je dobiven. Intuitivno je jasno da brze promjene u početnim podacima dovode do komponenti u spektru sa visoka frekvencija, a spori - sa nizak. Stoga, ako amplituda njegovih komponenti brzo opada s povećanjem frekvencije, tada je izvorna funkcija (na primjer, vremenski niz) glatka, a ako spektar sadrži visokofrekventne komponente s velikom amplitudom, tada će izvorna funkcija sadržavati oštre fluktuacije . Stoga, za vremensku seriju, ovo može ukazivati ​​na veliku slučajnu komponentu, nestabilnost procesa koje opisuje ili prisutnost šuma u podacima.

Spektralna obrada temelji se na manipulaciji spektrom. Doista, ako smanjite (potisnete) amplitudu visokofrekventnih komponenti, a zatim, na temelju promijenjenog spektra, vratite izvornu funkciju izvođenjem inverzne Fourierove transformacije, tada će postati glatkija zbog uklanjanja visokofrekventnih komponenti. komponenta.

Za vremensku seriju, na primjer, to znači uklanjanje informacija o dnevnoj prodaji, koja je vrlo osjetljiva na slučajne čimbenike, i ostavljanje dosljednijih trendova, kao što je sezonalnost. Možete, naprotiv, potisnuti niskofrekventne komponente, što će ukloniti spore promjene i ostaviti samo brze. U slučaju vremenske serije to će značiti potiskivanje sezonske komponente.

Korištenjem spektra na ovaj način možete postići željenu promjenu izvornih podataka. Najčešća upotreba je izglađivanje vremenskih nizova uklanjanjem ili smanjivanjem amplitude visokofrekventnih komponenti u spektru.

Za manipuliranje spektrima koriste se filtri - algoritmi koji mogu kontrolirati oblik spektra, potisnuti ili poboljšati njegove komponente. Glavni imovine bilo koji filtar je njegov amplitudno-frekvencijski odziv (AFC), čiji oblik određuje transformaciju spektra.

Ako filtar propušta samo spektralne komponente s frekvencijom ispod određene granične frekvencije, tada se naziva niskopropusni filtar (LPF), i može se koristiti za izglađivanje podataka, čišćenje od šuma i anomalnih vrijednosti.

Ako filtar propušta spektralne komponente iznad određene granične frekvencije, tada se naziva visokopropusni filtar (HPF). Može se koristiti za suzbijanje sporih promjena, kao što je sezonalnost u serijama podataka.

Osim toga, koriste se mnoge druge vrste filtara: filtri srednjeg prolaza, filtri za zaustavljanje i pojasni filtri, kao i one složenije, koje se koriste u obradi signala u radioelektronici. Odabir vrste i oblika frekvencijski odziv filter, možete postići željenu transformaciju izvornih podataka kroz spektralnu obradu.

Prilikom izvođenja frekvencijskog filtriranja podataka u svrhu izglađivanja i uklanjanja šuma, potrebno je pravilno odrediti propusnost niskopropusnog filtra. Ako ga odaberete previsoko, stupanj izglađivanja neće biti dovoljan, a šum neće biti potpuno potisnut. Ako je preuzak, onda uz buku, promjene koje donose korisna informacija. Ako u tehničke primjene Postoje strogi kriteriji za određivanje optimalnih karakteristika filtara, pa je u analitičkim tehnologijama potrebno koristiti uglavnom eksperimentalne metode.

Spektralna analiza jedna je od najučinkovitijih i najrazvijenijih metoda obrade podataka. Frekvencijsko filtriranje je samo jedna od mnogih aplikacija. Osim toga, koristi se u korelacijskim i statističkim analizama, sintezi signala i funkcija, izgradnji modela itd.

Metoda analize temeljila se na tzv. Fourierovim redovima. Serija počinje rastavljanjem složenih oblika na jednostavne. Fourier je pokazao da se složeni valni oblik može prikazati kao zbroj jednostavnih valova. U pravilu, jednadžbe koje opisuju klasične sustave mogu se lako riješiti za svaki od ovih jednostavnih valova. Nadalje, Fourier je pokazao kako ove jednostavna rješenja može se sažeti kako bi se dobilo rješenje cjelokupnog složenog problema u cjelini. (Matematički gledano, Fourierov red je metoda predstavljanja funkcije kao zbroja harmonika - sinusa i kosinusa, zbog čega je Fourierova analiza također poznata kao "harmonijska analiza".)

Prema Fourierovoj hipotezi ne postoji funkcija koja se ne može proširiti u trigonometrijski niz. Razmotrimo kako se ta dekompozicija može izvesti. Razmotrimo sljedeći sustav ortonormiranih funkcija na intervalu [–π, π]: (1, cos(t),
grijeh(t),
cos(2t),
sin(2t),
cos(3t),
sin(3t), …,
cos(nt),
grijeh(nt),… ).

Rukovodeći se činjenicom da ovaj sustav funkcije ortonormirane, funkcija f(t) na intervalu [π, –π] može se aproksimirati na sljedeći način:

f(t) = α0 + α1
cos(t) + α2
cos(2t) +
α3 cos(3t) + …

... + β1
sin(t) + β2
sin(2t) + β3
sin(3t)+… (6)

Koeficijenti α n, β n izračunavaju se kroz skalarni umnožak funkcije i bazne funkcije u skladu s formulama o kojima smo ranije govorili i izražavaju se na sljedeći način:

α 0 = , 1> =
,

α n = , cos(nt) > =
,

β n = , sin(nt) > =
.

Izraz (6) može se napisati u komprimiranom obliku na sljedeći način:

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(t) + a 2 cos(2t) + a 3 cos(3t) + …

B 1 sin(t) + b 2 sin(2t) + b 3 sin(3t)+… (7)

a 0 = 2α 0 =
,

i n =
α n =
, (8)

b n=
β n=
. (9)

Kako je pri n = 0 cos(0) = 1, konstanta a 0 /2 izražava opći oblik koeficijent a n za n = 0.

Koeficijenti a n i b n nazivaju se Fourierovi koeficijenti, a prikaz funkcije f(t) prema formuli (7) naziva se proširenje u Fourierov red. Ponekad se proširenje u Fourierov red predstavljeno u ovom obliku naziva pravim proširenjem u Fourierov red, a koeficijenti se nazivaju pravim Fourierovim koeficijentima. Izraz "pravi" uveden je kako bi se ta dekompozicija razlikovala od složene dekompozicije.

Analizirajmo izraze (8) i (9). Koeficijent 0 predstavlja prosječnu vrijednost funkcije f(t) na segmentu [–π,π] ili konstantnu komponentu signala f(t). Koeficijenti a n i b n (pri n> 0) su amplitude kosinusne i sinusne komponente funkcije (signala) f(t) s kutnom frekvencijom jednakom n. Drugim riječima, ovi koeficijenti određuju veličinu frekvencijskih komponenti signala. Na primjer, kada govorimo o audio signalu s niskim frekvencijama (na primjer, zvuk bas gitare), to znači da su koeficijenti a n i b n veći za manje vrijednosti n, i obrnuto - za visoke- frekvencije zvučnih vibracija (na primjer, zvuk violine) one su veće za veće vrijednosti n.

Oscilacija najvećeg perioda (ili najniže frekvencije), predstavljena zbrojem a 1 cos(t) i b 1 sin(t), naziva se titrajem osnovne frekvencije ili prvim harmonikom. Oscilacija s periodom jednakom polovici perioda osnovne frekvencije je drugi harmonik, oscilacija s periodom jednakom 1/n osnovne frekvencije je n-harmonik. Stoga, korištenjem proširenja funkcije f(t) u Fourierov red, možemo napraviti prijelaz iz vremenske domene u frekvencijsku domenu. Ovaj je prijelaz obično neophodan za identifikaciju značajki signala koje su "nevidljive" u vremenskoj domeni.

Napominjemo da su formule (8) i (9) primjenjive za periodični signal s periodom jednakom 2π. U općem slučaju, periodični signal s periodom T može se proširiti u Fourierov niz, tada se segment [–T/2, T/2] koristi u proširenju. Period prvog harmonika jednak je T, a komponente imaju oblik cos(2πt/T) i sin(2πt/T), komponente n-harmonika su cos(2πtn/T) i sin(2πtn/T ).

Funkcija f(t) na intervalu [–T/2,T/2] može se aproksimirati na sljedeći način:

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(2πt/T) + a 2 cos(4πt/T) + a 3 cos(6πt/T) + …

B 1 sin(2πt/T) + b 2 sin(4πt/T) + b 3 sin(6πt/T)+…, (10)

a n =
,

b n=
.

Ako kutnu frekvenciju prvog harmonika označimo kao ω 0 = 2π/T, tada n-harmonijske komponente imaju oblik cos(ω 0 nt), sin(ω 0 nt) i

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(ω 0 t) + a 2 cos(2ω 0 t) + a 3 cos(3ω 0 t) + …

B 1 sin(ω 0 t) + b 2 sin(2ω 0 t) + b 3 sin(3ω 0 t)+…=

=
, (11)

gdje se Fourierovi koeficijenti izračunavaju pomoću formula:

a n =
,

b n =
.

Svaki val složenog oblika može se prikazati kao zbroj jednostavnih valova.

Joseph Fourier bio je vrlo zainteresiran za opisivanje matematičkim terminima kako toplina prolazi kroz čvrste objekte ( cm. Izmjena topline). Njegovo zanimanje za toplinu možda je potaknuto dok je bio u Sjevernoj Africi: Fourier je pratio Napoleona na francuskoj ekspediciji u Egipat i ondje je živio neko vrijeme. Da bi postigao svoj cilj, Fourier je morao razviti nove matematičke metode. Rezultati njegovih istraživanja objavljeni su 1822. godine u djelu “Analitička teorija topline” ( Théorie analytique de la chaleur), gdje je objasnio kako analizirati složene fizičke probleme razlažući ih na niz jednostavnijih.

Metoda analize temeljila se na tzv Fourierov red. Sukladno principu interferencije, niz počinje razlaganjem složenog oblika na jednostavne - npr. promjena zemljine površine objašnjava se potresom, promjena putanje kometa objašnjava se utjecajem od privlačenja nekoliko planeta, promjena protoka topline nastaje zbog njezina prolaska kroz prepreku nepravilnog oblika izrađenu od materijala za toplinsku izolaciju. Fourier je pokazao da se složeni valni oblik može prikazati kao zbroj jednostavnih valova. U pravilu, jednadžbe koje opisuju klasične sustave mogu se lako riješiti za svaki od ovih jednostavnih valova. Fourier je zatim pokazao kako se ova jednostavna rješenja mogu sažeti da bi se dobilo rješenje cijelog složenog problema. (Matematički govoreći, Fourierov red je metoda predstavljanja funkcije kao zbroja harmonika — sinusnih i kosinusnih valova, zbog čega je Fourierova analiza također poznata kao "harmonijska analiza".)

Prije pojave računala sredinom dvadesetog stoljeća, Fourierove metode i slične metode bile su najbolje oružje u znanstvenom arsenalu pri napadu na kompleksnost prirode. Od pojave složenih Fourierovih metoda znanstvenici su ih mogli koristiti za rješavanje ne samo jednostavni zadaci, koji se može riješiti izravnom primjenom Newtonovih zakona mehanike i drugih temeljnih jednadžbi. Mnoga od velikih postignuća Newtonove znanosti u 19. stoljeću zapravo bi bila nemoguća bez upotrebe metoda koje je uveo Fourier. Kasnije su te metode korištene za rješavanje problema u raznim područjima - od astronomije do strojarstva.

Jean-Baptiste Joseph FOURIE
Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768.-1830

francuski matematičar. Rođen u Auxerreu; s devet godina ostao je siroče. Već u mladosti pokazao je sklonost za matematiku. Fourier se školovao u crkvenoj i vojnoj školi, a potom je radio kao učitelj matematike. Cijelog života aktivno se bavio politikom; uhićen je 1794. jer je branio žrtve terora. Nakon Robespierreove smrti pušten je iz zatvora; sudjelovao u stvaranju poznate Politehničke škole (Ecole Polytechnique) u Parizu; njegov položaj pružio mu je odskočnu dasku za napredovanje pod Napoleonovim režimom. Pratio je Napoleona u Egipat i imenovan je guvernerom Donjeg Egipta. Po povratku u Francusku 1801. imenovan je guvernerom jedne od provincija. Godine 1822. postao je stalni tajnik Francuske akademije znanosti, što je bila utjecajna pozicija u francuskom znanstvenom svijetu.