Linearna funkcija naziva funkcija oblika y = kx + b, definiran na skupu svih realnih brojeva. Ovdje k– nagib (realni broj), b – slobodni termin (realni broj), x- neovisna varijabla.

U posebnom slučaju, ako k = 0, dobivamo konstantnu funkciju y = b, čiji je graf ravna linija paralelna s osi Ox koja prolazi točkom s koordinatama (0; b).

Ako b = 0, tada dobivamo funkciju y = kx, koji je izravna proporcionalnost.

b – duljina segmenta, koja je odsječena ravnom linijom duž osi Oy, računajući od ishodišta.

Geometrijsko značenje koeficijenta k – kut nagiba ravno u pozitivnom smjeru osi Ox, smatrajući suprotno od kazaljke na satu.

Svojstva linearne funkcije:

1) Područje definiranja linearne funkcije je cijela realna os;

2) Ako k ≠ 0, tada je raspon vrijednosti linearne funkcije cijela realna os. Ako k = 0, tada se raspon vrijednosti linearne funkcije sastoji od broja b;

3) Parnost i neparnost linearne funkcije ovise o vrijednostima koeficijenata k I b.

a) b ≠ 0, k = 0, stoga, y = b – parno;

b) b = 0, k ≠ 0, stoga y = kx – neparan;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, stoga y = kx + b – funkcija općeg oblika;

d) b = 0, k = 0, stoga y = 0 – i parne i neparne funkcije.

4) Linearna funkcija nema svojstvo periodičnosti;

5) Sječne točke s koordinatnim osima:

Vol: y = kx + b = 0, x = -b/k, stoga (-b/k; 0)– točka presjeka s osi apscisa.

Oj: y = 0k + b = b, stoga (0; b)– točka presjeka s osi ordinata.

Napomena: Ako b = 0 I k = 0, zatim funkcija y = 0 ide na nulu za bilo koju vrijednost varijable x. Ako b ≠ 0 I k = 0, zatim funkcija y = b ne nestaje ni za jednu vrijednost varijable x.

6) Intervali konstantnosti predznaka ovise o koeficijentu k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b– pozitivno kada x iz (-b/k; +∞),

y = kx + b– negativno kada x iz (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b– pozitivno kada x iz (-∞; -b/k),

y = kx + b– negativno kada x iz (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b pozitivno u cijelom rasponu definicije,

k = 0, b< 0; y = kx + b negativan u cijelom rasponu definicije.

7) Intervali monotonosti linearne funkcije ovise o koeficijentu k.

k > 0, stoga y = kx + b povećava se kroz cijelu domenu definicije,

k< 0 , stoga y = kx + b opada u cijeloj domeni definicije.

8) Graf linearne funkcije je pravac. Za konstruiranje ravne linije dovoljno je poznavati dvije točke. Položaj ravne linije na koordinatnoj ravnini ovisi o vrijednostima koeficijenata k I b. Ispod je tablica koja to jasno ilustrira.

Linearna funkcija je funkcija oblika y=kx+b, gdje je x nezavisna varijabla, k i b su bilo koji brojevi.
Graf linearne funkcije je pravac.

1. Za iscrtavanje grafa funkcije, potrebne su nam koordinate dviju točaka koje pripadaju grafu funkcije. Da biste ih pronašli, trebate uzeti dvije vrijednosti x, zamijeniti ih u jednadžbi funkcije i pomoću njih izračunati odgovarajuće vrijednosti y.

Na primjer, za iscrtavanje funkcije y= x+2, zgodno je uzeti x=0 i x=3, tada će ordinate tih točaka biti jednake y=2 i y=3. Dobivamo točke A(0;2) i B(3;3). Spojimo ih i dobijemo graf funkcije y= x+2:

2. U formuli y=kx+b, broj k se naziva koeficijent proporcionalnosti:
ako je k>0, tada funkcija y=kx+b raste
ako k
Koeficijent b pokazuje pomak grafa funkcije duž osi OY:
ako je b>0, tada se graf funkcije y=kx+b dobiva iz grafa funkcije y=kx pomicanjem b jedinica prema gore duž osi OY
ako b
Na donjoj slici prikazani su grafovi funkcija y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3

Primijetimo da u svim ovim funkcijama koeficijent k Iznad nule, a funkcije su povećavajući se.Štoviše, što je veća vrijednost k, to je veći kut nagiba ravne linije prema pozitivnom smjeru osi OX.

U svim funkcijama b=3 - i vidimo da svi grafovi sijeku os OY u točki (0;3)

Sada razmotrite grafove funkcija y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

Ovaj put u svim funkcijama koeficijent k manje od nule i funkcije se smanjuju. Koeficijent b=3, a grafovi kao i u prethodnom slučaju sijeku os OY u točki (0;3)

Promotrimo grafove funkcija y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Sada su u svim jednadžbama funkcija koeficijenti k jednaki 2. I dobili smo tri paralelne crte.

Ali koeficijenti b su različiti, a ovi grafikoni sijeku os OY u različitim točkama:
Graf funkcije y=2x+3 (b=3) siječe os OY u točki (0;3)
Graf funkcije y=2x (b=0) siječe os OY u točki (0;0) - ishodištu.
Graf funkcije y=2x-3 (b=-3) siječe os OY u točki (0;-3)

Dakle, ako znamo predznake koeficijenata k i b, onda odmah možemo zamisliti kako izgleda graf funkcije y=kx+b.
Ako k 0

Ako k>0 i b>0, tada graf funkcije y=kx+b izgleda ovako:

Ako k>0 i b, tada graf funkcije y=kx+b izgleda ovako:

Ako k, tada graf funkcije y=kx+b izgleda ovako:

Ako k=0, tada funkcija y=kx+b prelazi u funkciju y=b i njen graf izgleda ovako:

Ordinate svih točaka na grafu funkcije y=b jednake su b Ako b=0, tada graf funkcije y=kx (direktne proporcionalnosti) prolazi kroz ishodište:

3. Posebno zabilježimo graf jednadžbe x=a. Graf ove jednadžbe je pravac paralelan s osi OY čije sve točke imaju apscisu x=a.

Na primjer, graf jednadžbe x=3 izgleda ovako:
Pažnja! Jednadžba x=a nije funkcija, pa jedna vrijednost argumenta odgovara različitim vrijednostima funkcije, što ne odgovara definiciji funkcije.

4. Uvjet paralelnosti dviju linija:

Graf funkcije y=k 1 x+b 1 je paralelan s grafom funkcije y=k 2 x+b 2 ako je k 1 =k 2

5. Uvjet da su dvije ravne crte okomite:

Graf funkcije y=k 1 x+b 1 je okomit na graf funkcije y=k 2 x+b 2 ako je k 1 *k 2 =-1 ili k 1 =-1/k 2

6. Točke presjeka grafa funkcije y=kx+b s koordinatnim osama.

S osi OY. Apscisa bilo koje točke koja pripada osi OY jednaka je nuli. Stoga, da biste pronašli točku sjecišta s osi OY, trebate zamijeniti nulu u jednadžbi funkcije umjesto x. Dobivamo y=b. To jest, točka sjecišta s osi OY ima koordinate (0; b).

S OX osi: Ordinata bilo koje točke koja pripada OX osi je nula. Stoga, da biste pronašli točku sjecišta s osi OX, trebate zamijeniti nulu u jednadžbi funkcije umjesto y. Dobivamo 0=kx+b. Stoga je x=-b/k. To jest, točka sjecišta s osi OX ima koordinate (-b/k;0):

Definicija linearne funkcije

Uvedimo definiciju linearne funkcije

Definicija

Funkcija oblika $y=kx+b$, gdje $k$ nije nula, naziva se linearna funkcija.

Graf linearne funkcije je pravac. Broj $k$ naziva se nagib pravca.

Kada je $b=0$ linearna funkcija se naziva funkcija izravne proporcionalnosti $y=kx$.

Razmotrite sliku 1.

Riža. 1. Geometrijsko značenje nagiba pravca

Promotrimo trokut ABC. Vidimo da je $VS=kx_0+b$. Nađimo točku presjeka pravca $y=kx+b$ s osi $Ox$:

\ \

Dakle $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Nađimo omjer ovih stranica:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

S druge strane, $\frac(BC)(AC)=tg\kut A$.

Stoga možemo izvući sljedeći zaključak:

Zaključak

Geometrijsko značenje koeficijenta $k$. Kutni koeficijent pravca $k$ jednak je tangensu kuta nagiba tog pravca na os $Ox$.

Proučavanje linearne funkcije $f\left(x\right)=kx+b$ i njezinog grafa

Prvo razmotrimo funkciju $f\lijevo(x\desno)=kx+b$, gdje je $k > 0$.

1. $f"\lijevo(x\desno)=(\lijevo(kx+b\desno))"=k>0$. Stoga, ovu funkciju povećava se kroz cijelu domenu definicije. Nema ekstremnih točaka.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Grafikon (slika 2).

Riža. 2. Grafovi funkcije $y=kx+b$, za $k > 0$.

Sada razmotrite funkciju $f\lijevo(x\desno)=kx$, gdje je $k

1. Domena definicije su svi brojevi.
2. Raspon vrijednosti su svi brojevi.
3. $f\lijevo(-x\desno)=-kx+b$. Funkcija nije ni parna ni neparna.
4. Za $x=0,f\lijevo(0\desno)=b$. Kada je $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Sječne točke s koordinatnim osima: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ i $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\lijevo(x\desno)=(\lijevo(kx\desno))"=k
2. $f^("")\lijevo(x\desno)=k"=0$. Stoga funkcija nema točaka infleksije.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Grafikon (slika 3).