Kirish bo'limida ikkita juda ko'p muhokama qilinadi oddiy misollar(Shumway, 1988 dan olingan) spektral tahlil va natijalarni sharhlash tabiatini ko'rsatish uchun. Agar siz ushbu usul bilan tanish bo'lmasangiz, avval ushbu bobning ushbu qismini ko'rib chiqish tavsiya etiladi.

Ko'rib chiqish va ma'lumotlar fayli. Sunspot.sta fayli 1749 dan 1924 gacha bo'lgan ma'lum quyosh dog'lari raqamlarining bir qismini (Volfer) o'z ichiga oladi (Anderson, 1971). Quyida misol faylidagi dastlabki bir nechta ma'lumotlarning ro'yxati keltirilgan.

Quyosh dog'lari soni er yuzidagi ob-havoga, shuningdek, qishloq xo'jaligi, telekommunikatsiya va boshqalarga ta'sir qiladi, deb taxmin qilinadi. Ushbu tahlildan foydalanib, quyosh dog'lari faolligi haqiqatan ham tsiklik tabiatga egami yoki yo'qligini aniqlashga harakat qilish mumkin (aslida, bu ma'lumotlar adabiyotda keng muhokama qilinadi; masalan, Bloomfield, 1976 yoki Shumway, 1988).

Tahlilning ta'rifi. Tahlilni amalga oshirgandan so'ng, Sunspot.sta ma'lumotlar faylini oching. O'zgaruvchilar tugmasini bosing va Spots o'zgaruvchisini tanlang (esda tuting, agar Sunspot.sta ma'lumotlar fayli joriy fayl bo'lsa. faylni oching maʼlumotlar va Spots oʻzgaruvchisi bu fayldagi yagona oʻzgaruvchi boʻlsa, Time Series Analysis dialog oynasi ochilganda Spots avtomatik ravishda tanlanadi). Endi Furye (spektral) tahlili dialog oynasini ochish uchun Furye (spektral) tahlil tugmasini bosing.

Spektral tahlilni qo'llashdan oldin, birinchi navbatda quyosh dog'lari sonini belgilang. E'tibor bering, Sunspot.sta faylida kuzatuv nomlari sifatida mos yillar mavjud. Bu nomlardan foydalanish uchun chiziqli grafiklar, Ko'rish seriyasi yorlig'ini bosing va Nuqtalarni belgilash bo'limida Ish nomlari ni tanlang. Shuningdek, X o‘qi o‘lchovini qo‘lda o‘rnatish va Min. = 1 va Qadam = 10. Keyin Ko'rish tanlash tugmasi yonidagi Grafik tugmasini bosing. o'zgaruvchan.

Quyosh dog'lari soni tsiklik sxema bo'yicha ko'rinadi. Trend ko'rinmaydi, shuning uchun Spektral tahlil oynasiga qayting va Transform Source Series guruhidagi Chiziqli trendni olib tashlash opsiyasini bekor qiling.

Ko'rinib turibdiki, qatorning o'rtacha qiymati 0 (nol) dan katta. Shuning uchun, o'rtacha olib tashlash opsiyasini tanlangan qoldiring [aks holda periodogram 0 (nol) chastotada juda katta cho'qqi bilan "tiqilib qoladi"].

Endi siz tahlilni boshlashga tayyormiz. Endi Fourier spektral tahlil natijalari dialog oynasini ko'rsatish uchun OK (Bir o'lchovli Furye tahlili) tugmasini bosing.

Natijalarni ko'rish. Muloqot oynasining yuqori qismidagi ma'lumotlar bo'limi qatorlar uchun ba'zi umumiy statistikani ko'rsatadi. Shuningdek, u periodogrammadagi eng katta beshta cho'qqini (chastota bo'yicha) ko'rsatadi. Uchta eng katta cho'qqilar 0,0852, 0,0909 va 0,0114 chastotalarda joylashgan. Bu ma'lumot ko'pincha bitta grafikda osonlik bilan tuzilmaydigan juda katta seriyalarni (masalan, 100 000 dan ortiq kuzatishlar bilan) tahlil qilishda foydalidir. Biroq, bu holda, periodogramma qiymatlarini ko'rish oson; Periodogramma va spektral zichlik grafiklari bo'limidagi Periodogram tugmasini bosish orqali.

Periodogramma grafigi ikkita aniq tepalikni ko'rsatadi. Maksimal taxminan 0,9 chastotada. Spektral tahlil natijalari oynasiga qayting va natijalar jadvalidagi barcha periodogram qiymatlarini (va boshqa natijalarni) ko'rish uchun Xulosa tugmasini bosing. Quyida periodogrammada aniqlangan eng katta cho'qqiga ega natijalar jadvalining bir qismi keltirilgan.

Kirish ko'rib chiqish bo'limida muhokama qilinganidek, Chastota - bu vaqt birligidagi tsikllar soni (bu erda har bir kuzatish bir vaqtning birligi). Shunday qilib, 0,0909 chastotasi 11 davr qiymatiga mos keladi (to'liq tsikl uchun zarur bo'lgan vaqt birliklari soni). Sunspot.sta saytidagi quyosh dog'lari ma'lumotlari yillik kuzatuvlarni ifodalaganligi sababli, quyosh dog'lari faolligida aniq 11 yillik (ehtimol 11 yildan bir oz ko'proq) tsikl bor degan xulosaga kelish mumkin.

Spektral zichlik. Odatda, spektral zichlik taxminlarini hisoblash uchun tasodifiy tebranishlarni olib tashlash uchun periodogramma tekislanadi. Og'irlangan harakatlanuvchi o'rtacha turi va oyna kengligi Spektral Windows bo'limida tanlanishi mumkin. "Kirish" bo'limida ushbu variantlar batafsil muhokama qilinadi. Bizning misolimiz uchun standart oynani tanlagan holda qoldiraylik (Hamming kengligi 5) va Spektral zichlik grafigini tanlang.

Ikki cho'qqi endi yanada aniqroq. Keling, davr bo'yicha periodogramma qiymatlarini ko'rib chiqaylik. Jadval bo'limida Davr maydonini tanlang. Endi spektral zichlik grafigini tanlang.

Yana shuni ko'rish mumkinki, quyosh dog'lari faolligida aniq 11 yillik tsikl bor; Bundan tashqari, uzoqroq, taxminan 80-90 yillik tsikl mavjudligining belgilari mavjud.

FURYER TRANSFORMASI VA KLASSIK DIGITAL SPEKTRAL TAHLIL.
Medvedev S.Yu., t.f.n.

Kirish

Spektral tahlil signalni qayta ishlash usullaridan biri bo'lib, o'lchangan signalning chastota tarkibini tavsiflash imkonini beradi. Furye konvertatsiyasi - bu vaqtinchalik yoki fazoviy signalni (yoki ushbu signalning ba'zi modelini) chastota domenining namoyishi bilan bog'laydigan matematik tizim. Statistik usullar spektral tahlilda muhim rol o'ynaydi, chunki signallar, qoida tariqasida, tarqalish yoki o'lchash paytida tasodifiy yoki shovqinli bo'ladi. Agar signalning asosiy statistik xarakteristikalari aniq ma'lum bo'lsa yoki ularni ushbu signalning cheklangan oralig'idan aniqlash mumkin bo'lsa, u holda spektral tahlil "aniq fan" sohasini ifodalaydi. Biroq, haqiqatda, signal segmentidan faqat uning spektrini taxmin qilish mumkin. Shuning uchun spektral tahlil amaliyoti ancha sub'ektiv xususiyatga ega bo'lgan hunarmandchilik (yoki san'at?) hisoblanadi. Xuddi shu signal segmentini turli usullar bilan qayta ishlash natijasida olingan spektral baholar o'rtasidagi farqni ma'lumotlarga nisbatan qilingan taxminlardagi farq bilan izohlash mumkin, turli yo'llar bilan o'rtacha va boshqalar. Agar signalning xarakteristikalari apriori ma'lum bo'lmasa, taxminlardan qaysi biri yaxshiroq ekanligini aytish mumkin emas.

Furye konvertatsiyasi - spektral tahlilning matematik asosi
Keling, Furye konvertatsiyasining har xil turlarini qisqacha muhokama qilaylik (batafsil ma'lumot uchun qarang).
Vaqt uzluksiz signalning Furye konvertatsiyasidan boshlaylik

, (1)

ba'zi ixtiyoriy tebranishlar parchalanadigan murakkab sinusoidlarning (ko'rsatkichlarning) chastotalari va amplitudalarini aniqlaydi.
Teskari konvertatsiya

. (2)

To'g'ridan-to'g'ri va teskari Furye konvertatsiyalarining mavjudligi (biz buni biz bundan keyin uzluksiz vaqtli Furye konvertatsiyasi - CTFT deb ataymiz) bir qator shartlar bilan belgilanadi. Etarli - mutlaq signal integralligi

. (3)

Kamroq cheklovchi yetarli shart - bu signal energiyasining cheklanganligi

. (4)

Keling, Furye konvertatsiyasining bir qator asosiy xususiyatlarini va quyida qo'llaniladigan funktsiyalarni keltiramiz, to'rtburchaklar oyna ifoda bilan aniqlanishini ta'kidlaymiz.

(5)

sinc funksiyasi esa ifodadir

(6)

Vaqt domenini tanlash funktsiyasi tomonidan berilgan

(7)

Bu funktsiyani ba'zan davriy davomiy funksiya deb ham atashadi.

Jadval 1. NVPF ning asosiy xususiyatlari va funktsiyalari

Xususiyat, funktsiya	Funktsiya	Konvertatsiya
Chiziqlilik	ag(t) + bh(t)	aG(f) + bH(f)
Vaqt siljishi	h (t - t 0)	H(f)exp(-j2pf t 0)
Chastotani o'zgartirish (modulyatsiya)	h (t)exp(j2pf0 t)	H(f - f 0)
Masshtablash	(1 / |a|)h(t / a)	H(af)
Vaqt sohasining konvolyutsiya teoremasi	g(t)*h(t)	G(f)H(f)
Chastotalar sohasining konvolyutsiya teoremasi	g(t) h(t)	G(f)*H(f)
Oyna funksiyasi	Aw(t/T)	2ATsink(2Tf)
Sink funktsiyasi	2AFsink(2Ft)	Oh(f/F)
Puls funktsiyasi	Reklama(t)
Hisoblash funktsiyasi	T(f)	FF(f), F=1/T

Yana bir muhim xususiyat Parseval teoremasi bilan ikkita g (t) va h (t) funktsiyalar uchun o'rnatiladi:

. (8)

Agar g(t) = h(t) qo‘ysak, Parseval teoremasi energiya teoremasiga qisqaradi.

. (9)

Ifoda (9) o'z mohiyatiga ko'ra energiyaning ikki sohada (vaqt va chastota) saqlanish qonunining oddiy formulasi hisoblanadi. Chapdagi (9) da umumiy signal energiyasi, shuning uchun funktsiya

(10)

deterministik signal h(t) uchun energiyaning chastota taqsimotini tavsiflaydi va shuning uchun spektral energiya zichligi (SED) deb ataladi. Ifodalardan foydalanish

(11)

h(t) signalining amplitudasi va faza spektrlarini hisoblash mumkin.

Namuna olish va tortish operatsiyalari

Keyingi bo'limda biz ikkita asosiy signalni qayta ishlash operatsiyalari - namunalar olishdan foydalangan holda doimiy vaqtli Furye transformatsiyasining (CTFT) maxsus holati sifatida diskret vaqtli Furye seriyasini (DTFS) yoki boshqa yo'l bilan diskret Furye transformatsiyasini (DFT) kiritamiz. namuna olish) Va tortish oyna yordamida. Bu erda biz ushbu operatsiyalarning signalga ta'siri va uning o'zgarishini ko'rib chiqamiz. 2-jadvalda tortish va namuna olishni amalga oshiradigan funktsiyalar ro'yxati keltirilgan.

T soniya oralig'i bilan bir xil o'qishlar uchun F namuna olish chastotasi 1/T Hz ga teng. E'tibor bering, vaqt sohasida tortish funktsiyasi va namuna olish funksiyasi mos ravishda TW (vaqtni belgilash) va TS (vaqtni tanlash) va chastotalar sohasida - FW (chastotani oynalash) va FS (chastotani tanlash) bilan belgilanadi.

Jadval 2. Og'irlik va namuna olish funktsiyalari

Operatsiya	Vaqt funksiyasi	Konvertatsiya
Vaqt domenining vazni (oyna kengligi NT sek)	TW=w(2t / NT - 1)	F(TW)=NTsinc(NTf)exp(-jpNTf)
Chastota domenini tortish (oyna kengligi 1/T Gts)		FW=w(2Tf)
Vaqtni hisoblash (interval T sek)	TS=T T(t)
Chastotali namuna olish (1/NT Gts oralig'ida)

Faraz qilaylik, yuqori chastotasi F0 ga teng bo'lgan cheklangan spektrli x(t) uzluksiz real signalning namunalari olinadi. Haqiqiy signalning NVFT har doim to'liq kengligi 2F0 bo'lgan simmetrik funktsiyadir, 1-rasmga qarang.
X(t) signalining namunalarini ushbu signalni namunaviy funksiyaga ko'paytirish yo'li bilan olish mumkin:

(12)

1-rasm - cheklangan spektrli real signal uchun vaqt zonasida namuna olish teoremasining tasviri:
a - dastlabki vaqt funksiyasi va uning Furye konvertatsiyasi;
b - vaqtdagi namunalarning funksiyasi va uning Furye o'zgarishi;
Dastlabki funktsiyaning vaqtdagi namunalari va uning davriy davom etadigan Furye konvertatsiyasi Fo holati uchun<1/2T;
d - chastota oynasi (ideal past chastotali filtr) va uning Furye transformatsiyasi (sink funktsiyasi);
d - sinc funktsiyasi bilan konvolyutsiya operatsiyasi orqali tiklangan dastlabki vaqt funksiyasi.

Chastota domenining konvolyutsiya teoremasiga ko'ra, x(t) signalining FTFT oddiygina x(t) signal spektrining konvolyutsiyasi va vaqt namunasi (TS) funksiyasining Furye o'zgarishi:

. (13)

X(f) ning F (TS)=Y1/T(f) namunaviy funksiyasining Furye konvertatsiyasi bilan konvolyutsiyasi oddiygina davriy ravishda 1/T Gts chastota oralig'ida X(f) ni davom ettiradi. Shuning uchun XS(f) X(f) ning davriy kengaygan spektridir. Umuman olganda, bitta domendagi namunalar (masalan, vaqt) transformatsiya sohasida (masalan, chastotada) davriy davom etishiga olib keladi. Agar namuna tezligi etarlicha past tanlangan bo'lsa (F< 2Fo), то периодически продолженные спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название эффекта наложения в частотной области.
Dastlabki vaqt signalini uning namunalaridan tiklash uchun, ya'ni. Ushbu namunalar orasidagi qiymatlarning ma'lum bir uzluksizligini interpolatsiya qilish uchun siz namunaviy ma'lumotlarni to'rtburchak chastotali javobga ega ideal past o'tkazuvchan filtr orqali o'tkazishingiz mumkin (1d-rasm)

. (14)

Natijada (1 d-rasmga qarang) dastlabki Furye konvertatsiyasi tiklanadi. Vaqt va chastota sohalarida konvolyutsiya teoremalaridan foydalanib, biz olamiz

. (15)

Ifoda (15) matematik yozuvdir vaqt sohasi namuna olish teoremalari(Uittaker, Kotelnikov, Shennon teoremasi - UKSH), bu interpolyatsiya formulasi (15) yordamida cheklangan spektrli haqiqiy signalni aniq tiklash mumkinligini aytadi. cheksiz son bilan F = 2F0 chastotasi bilan olingan ma'lum vaqt namunalari. (15) teoremaga dual teorema chastota domenidagi namunalar cheklangan vaqtli signallar uchun.
Vaqt sohasidagi operatsiyalar (14) ga o'xshash ifoda bilan tavsiflanadi

, (16)

va tegishli transformatsiyalar ifodalardir

Shunday qilib, cheklangan davomiylikka ega bo'lgan ba'zi bir signalning NVPF X(f) ni bunday signal spektrining teng masofadagi namunalaridan bir ma'noda tiklash mumkin, agar tanlangan chastotali namuna olish oralig'i F1/2T 0 Gts shartini qondirsa, bu erda T 0 - signal. davomiyligi.

Uzluksiz va diskret o'zgarishlar o'rtasidagi munosabatlar

N-nuqta diskret Furye konvertatsiyasining (DFT) an'anaviy ta'rifi uchun o'zgarishlar juftligi. vaqt ketma-ketligi x[n] va mos keladigan N nuqta Furye o'zgartirish ketma-ketligi X[k] ifodalar orqali beriladi

, (18)
. (19)

Tegishli energiya yoki quvvat birliklarida ma'lumotlar namunalaridan spektral baholarni olish uchun biz diskret vaqtli Furye seriyasini (DTFS) yozamiz, uni doimiy vaqtdagi Furye konvertatsiyasining (CTFT) ba'zi bir taxminiyligi sifatida ko'rib chiqish mumkin. cheklangan miqdordagi ma'lumotlar namunalaridan foydalanish:

DVRF ga muvofiqlik xususiyatini ko'rsatish uchun ( diskret vaqt va chastota sohalaridagi funktsiyalar) va CVDF (vaqt va chastota sohalarida uzluksiz funktsiyalar) uchun bizga to'rtta chiziqli kommutativ operatsiyalar ketma-ketligi kerak: vaqt va chastota sohalarida tortish va namuna olish yoki namuna olish vaqt va chastota sohalarida ham. Agar ushbu hududlardan birida tortish operatsiyasi bajarilsa, u holda konvolyutsiya teoremasiga ko'ra, u sink funktsiyasi bilan boshqa mintaqadagi filtrlash operatsiyasiga (konvolyutsiyaga) mos keladi. Xuddi shunday, agar diskretizatsiya bir mintaqada amalga oshirilsa, davriy davom ettirish operatsiyasi boshqasida amalga oshiriladi. Namunalarni tortish va olish chiziqli va kommutativ operatsiyalar bo'lganligi sababli, ularni tartibga solishning turli usullari mavjud bo'lib, har xil oraliq natijalar bilan bir xil yakuniy natijani beradi. 2-rasmda ushbu to'rtta operatsiyani bajarish uchun ikkita mumkin bo'lgan ketma-ketlik ko'rsatilgan.

Guruch. 2. NVPF va DVRF ni bog'laydigan ikkita tortish operatsiyalari va ikkita namuna olish operatsiyalarining ikkita mumkin bo'lgan ketma-ketligi: FW - chastotalar sohasida oynani qo'llash; TW - vaqt domenidagi oynani qo'llash; FS - chastota zonasida namunalar olish; TS - vaqt domenida namunalar olish.
1 - uzluksiz vaqt Furye o'zgarishi, tenglama (1);
4 - diskret vaqtli Furye o'zgarishi, tenglama (22);
5 - uzluksiz vaqtli Furye seriyasi, tenglama (25);
8 - Diskret vaqtli Furye seriyasi, tenglama (27)

1, 4, 5 va 8 tugunlarda tortish va namuna olish operatsiyalarini bajarish natijasida to'rt xil turdagi Furye munosabatlari paydo bo'ladi. Funktsiya joylashgan tugunlar chastota sohasi uzluksiz, murojaat qiling transformatsiyalar Furye va funksiya chastota sohasida joylashgan tugunlar diskret murojaat qiling Furye seriyasi(batafsil ma'lumot uchun qarang).
Shunday qilib, 4-tugunda chastota domenida tortish va vaqt sohasida namuna olish hosil bo'ladi diskret vaqt konvertatsiyasi Furye transformatsiyasi (FTFT), u 1/T Gts davriy chastotalar sohasida davriy spektr funksiyasi bilan tavsiflanadi:

(22)

(23)

E'tibor bering, (22) ifoda faqat -1/2T dan 1/2T Hz gacha chastota diapazonida 1-tugunda ko'rsatilgan asl o'zgartirilgan funktsiyaga to'g'ri keladigan ma'lum bir davriy funktsiyani belgilaydi. (22) ifoda x[n] diskret ketma-ketlikning Z-transformatsiyasi bilan bog'liqlik bilan bog'liq.

(24)

Shunday qilib, DVFT oddiygina Z-transformatsiyasi birlik doirasi bo'yicha hisoblangan va T ga ko'paytiriladi.
Agar biz 2-rasmdagi 1-tugundan 8-tugunga quyi shoxcha bo‘ylab o‘tsak, 5-tugunda vaqt sohasida tortish (signal davomiyligini cheklash) va chastota sohasida namuna olish operatsiyalari uzluksiz vaqtli Furye seriyasini (CFTS) hosil qiladi. ). 1 va 2-jadvallarda keltirilgan funktsiyalarning xossalari va ta'riflaridan foydalanib, biz quyidagi o'zgarishlar juftligini olamiz.
(25)
(26)

E'tibor bering, (26) ifoda faqat 0 dan NT gacha bo'lgan vaqt oralig'ida dastlabki (1-tugunda) bilan mos keladigan ma'lum bir davriy funktsiyani belgilaydi.
To'rtta operatsiyaning ikkita ketma-ketligidan qaysi biri tanlanganidan qat'i nazar, 8-tugundagi yakuniy natija bir xil bo'ladi - diskret vaqtli Furye seriyasi, bu 1-jadvalda ko'rsatilgan xususiyatlar yordamida olingan quyidagi o'zgarishlar juftligiga mos keladi.

, (27)

Bunda k=-N/2, . . . ,N/2-1

, (28)

bu yerda n=0, . . . ,N-1,
Ushbu DVRF uchun energiya teoremasi:

, (29)

va N ma'lumotlar namunalari ketma-ketligi energiyasini tavsiflaydi. Har ikkala ketma-ketlik x[n] va X[k] davriy modul N, shuning uchun (28) ko'rinishda yozilishi mumkin.

, (30)

bu yerda 0 n N. (27) - (30) dagi T omil zarur, shuning uchun (27) va (28) integrallash sohasidagi integral o'zgarishlarning taqriban ko'rinishidir.

.(31)

Nol to'ldirish

deb ataladigan jarayon orqali nollar bilan to'ldirish, diskret vaqtli Furye seriyasi asl konvertatsiyaning N qiymatlari o'rtasida interpolyatsiya qilish uchun o'zgartirilishi mumkin. Mavjud ma'lumotlar namunalari x,...,x nol qiymatlari x[N],...X bilan to'ldirilsin. Ushbu nol to'ldirilgan 2N-nuqta ma'lumotlar ketma-ketligining DVRF'si tomonidan beriladi

(32)

bu erda o'ngdagi yig'indining yuqori chegarasi null ma'lumotlar mavjudligini hisobga olgan holda o'zgartiriladi. k=2m bo‘lsin, shunday bo‘lsin

, (33)

bu yerda m=0,1,...,N-1, X[k] ning juft qiymatlarini aniqlaydi. Bu shuni ko'rsatadiki, k indeksining teng qiymatlari uchun 2N nuqtali diskret vaqtli Furye seriyasi N nuqtali diskret vaqtli qatorga kamayadi. K indeksining g'alati qiymatlari asl N-nuqta DVRF qiymatlari orasida joylashgan interpolyatsiya qilingan DVRF qiymatlariga mos keladi. Asl N-nuqta ketma-ketligiga tobora ko'proq nollar qo'shilsa, yanada ko'proq interpolyatsiya qilingan ma'lumotlarni olish mumkin. Cheksiz sonli kirish nollari bo'lsa, DVRF N nuqtali ma'lumotlar ketma-ketligining diskret vaqtli Furye konvertatsiyasi sifatida ko'rib chiqilishi mumkin:

. (34)

Transformatsiya (34) 2-rasmdagi 6-tugunga mos keladi.
Nolinchi to'ldirish ruxsatni yaxshilaydi, degan noto'g'ri tushuncha mavjud, chunki u ma'lumotlar ketma-ketligining uzunligini oshiradi. Biroq, 3-rasmdan quyidagicha, nol bilan to'ldirish yaxshilanmaydi berilgan cheklangan ma'lumotlar ketma-ketligidan olingan transformatsiyaning rezolyutsiyasi. Nolinchi to'ldirish shunchaki interpolyatsiya qilingan konvertatsiya qilish imkonini beradi yanada tekislangan shakl. Bundan tashqari, u chastotalari asl DVRF ning taxminiy chastotalariga mos keladigan N nuqtalar orasida joylashgan tor diapazonli signal komponentlari mavjudligidan kelib chiqadigan noaniqliklarni yo'q qiladi. Nol bilan to'ldirishda spektral cho'qqilarning chastotasini baholashning aniqligi ham ortadi. Spektral rezolyutsiya atamasi bilan biz ikkita garmonik signalning spektral javoblarini farqlash qobiliyatini tushunamiz. Spektral tahlilda tez-tez qo'llaniladigan umumiy qabul qilingan qoida shundan iboratki, ajratilgan sinusoidlarning chastotali bo'linishi kamida bo'lishi mumkin emas. ekvivalent oyna kengligi, bu sinusoidlarning segmentlari (bo'limlari) qaysi orqali kuzatiladi.

3-rasm. Nol to'ldirish yordamida interpolatsiya:
a - uchta sinusoidni nol bilan to'ldirmasdan o'z ichiga olgan 16 nuqtali ma'lumotlarni yozib olish uchun DVRF moduli (noaniqliklar ko'rinadi: signalda qancha sinusoid borligini aytish mumkin emas - ikkita, uch yoki to'rtta);
b - bir xil ketma-ketlikdagi DVRF moduli uning namunalari sonini 16 ta nol qo'shgandan keyin ikki baravar oshirgandan so'ng (noaniqliklar hal qilinadi, chunki barcha uchta sinusoidlar ajralib turadi;
c - bir xil ketma-ketlikdagi DVRF moduli nollarning qo'shilishi hisobiga uning namunalari soni to'rt baravar ko'payganidan keyin.

Ekvivalent oynaning tarmoqli kengligi sifatida aniqlanishi mumkin
Bu yerda W(f) oyna funksiyasining diskret vaqtli Furye konvertatsiyasi, masalan, to‘rtburchak (5). Xuddi shunday, siz ham kirishingiz mumkin ekvivalent oyna davomiyligi

Oynaning (yoki boshqa har qanday signalning) ekvivalent davomiyligi va uni o'zgartirishning ekvivalent tarmoqli kengligi o'zaro teskari miqdorlar ekanligini ko'rsatish mumkin: TeBe=1.

Tez Furye o'zgarishi

Tez Furye transformatsiyasi (FFT) Furye transformatsiyasining boshqa turi emas, balki bir qator samarali transformatsiyalarning nomidir. algoritmlar, diskret vaqtli Furye seriyalarini tez hisoblash uchun mo'ljallangan. DVRF ni amaliy amalga oshirishda yuzaga keladigan asosiy muammo N2 ga mutanosib bo'lgan ko'p sonli hisoblash operatsiyalarida yotadi. Kompyuterlar paydo bo'lishidan ancha oldin hisoblash operatsiyalari sonini sezilarli darajada qisqartirishi mumkin bo'lgan bir nechta samarali hisoblash sxemalari taklif qilingan bo'lsa-da, 1965 yilda Kuli va Tukey tomonidan tez (operatsiyalar soni) uchun amaliy algoritmga ega maqolaning nashr etilishi haqiqiy inqilobni amalga oshirdi. Nlog 2 N) DVRF hisob-kitoblari. Shundan so'ng, asosiy g'oyaga ko'plab variantlar, takomillashtirish va qo'shimchalar ishlab chiqilib, tezkor Furye transformatsiyasi deb nomlanuvchi algoritmlar sinfini tashkil etdi. FFT ning asosiy g'oyasi N-nuqtali DVRF-ni ikki yoki undan ko'p kichikroq DVRF-larga bo'lishdir, ularning har biri alohida hisoblab chiqilishi va keyin asl N-nuqta ketma-ketligining DVRF-ni olish uchun boshqalar bilan chiziqli yig'ilishi mumkin.
Diskret Furye konvertatsiyasini (DFFT) shaklda ifodalaylik

, (35)

bu erda W N =exp(-j2 /N) qiymati burilish koeffitsienti deb ataladi (bundan keyin ushbu bo'limda namuna olish davri T=1). X[n] qatoridan juft va toq sonli elementlarni tanlaymiz.

. (36)

Ammo o'shandan beri
. Shuning uchun (36) ko'rinishda yozilishi mumkin

, (37)

bu erda har bir a'zo N/2 uzunlikdagi transformatsiyadir

(38)

E'tibor bering (WN/2) nk ketma-ketligi N/2 davri bilan k da davriydir. Shuning uchun (37) ifodadagi k soni 0 dan N-1 gacha bo'lgan qiymatlarni qabul qilsa-da, har bir yig'indi k ning 0 dan N/2-1 gacha bo'lgan qiymatlari uchun hisoblanadi. Furye konvertatsiyasini hisoblash uchun zarur bo'lgan murakkab ko'paytirish va qo'shish amallari sonini (37)-(38) algoritmiga muvofiq taxmin qilish mumkin. Formulalar (38) bo'yicha ikkita N / 2 nuqtali Furye o'zgarishi 2 (N / 2) 2 ko'paytirishni va taxminan bir xil miqdordagi qo'shimchalarni bajarishni o'z ichiga oladi. Formula (37) yordamida ikkita N/2 nuqtali o'zgarishlarni birlashtirish uchun yana N ko'paytirish va N qo'shimcha kerak bo'ladi. Shuning uchun, k ning barcha N qiymatlari uchun Furye konvertatsiyasini hisoblash uchun N+N 2/2 ko'paytirish va qo'shimchalarni bajarish kerak. Shu bilan birga, (35) formuladan foydalangan holda to'g'ridan-to'g'ri hisoblash N 2 ko'paytirish va qo'shimchalarni talab qiladi. Allaqachon N>2 uchun N+N 2 /2 tengsizlik bajariladi< N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям:

, (39)
(40)

Bunday holda, N/4 davr bilan k da W nk N/4 ketma-ketligi davriyligi sababli (40) summalarni faqat k ning 0 dan N/4-1 gacha bo'lgan qiymatlari uchun hisoblash kerak. Shuning uchun (37), (39) va (40) formulalar yordamida X[k] ketma-ketligini hisoblash, hisoblash oson bo'lganidek, allaqachon 2N+N 2/4 ko'paytirish va qo'shish amallarini talab qiladi.
Ushbu yo'ldan borish orqali X[k] hisoblash miqdori tobora kamayishi mumkin. m=log 2 N kengayishdan so'ng biz shaklning ikki nuqtali Furye o'zgarishlariga kelamiz

(41)

Bu erda "bir nuqtali o'zgarishlar" X 1 shunchaki x[n] signalining namunalari:

X 1 = x[q]/N, q=0,1,...,N-1. (42)

Natijada, biz FFT algoritmini yozishimiz mumkin, bu aniq sabablarga ko'ra chaqiriladi vaqtni yupqalash algoritmi :

X 2 = (x[p] + W k 2 x) / N,

bunda k=0,1, p=0,1,...,N/2 -1;

X 2N/M =X N/M + W k 2N/M X N/M,

bu yerda k=0,1,...,2N/M -1, p=0,1,...,M/2 -1;

X[k] = X N [k] =X N/2 + W k N X N/2 , (43)

bunda k=0,1,...,N-1

Hisoblashning har bir bosqichida N ta murakkab ko'paytirish va qo'shimchalar bajariladi. Va asl ketma-ketlikning yarim uzunlikdagi pastki ketma-ketliklarga parchalanish soni log 2 N ga teng bo'lganligi sababli, FFT algoritmidagi ko'paytirish-qo'shish operatsiyalarining umumiy soni Nlog 2 N ga teng. Katta N uchun muhim ahamiyatga ega. to'g'ridan-to'g'ri DFT hisob-kitoblariga nisbatan hisoblash operatsiyalarida tejash. Masalan, N = 2 10 = 1024 bo'lganda, operatsiyalar soni 117 marta kamayadi.
Biz ko'rib chiqqan vaqt bo'yicha kamaytirilgan FFT algoritmi x[n] kirish ketma-ketligining pastki ketma-ketliklarini shakllantirish orqali Furye konvertatsiyasini hisoblashga asoslangan. Shu bilan birga, Furye konvertatsiyasining X[k] ketma-ket parchalanishidan foydalanish ham mumkin. Ushbu protseduraga asoslangan FFT algoritmi c deyiladi chastotani yupqalash. Tez Furye konvertatsiyasi haqida ko'proq ma'lumot olishingiz mumkin, masalan.

Tasodifiy jarayonlar va quvvat spektral zichligi

Diskret tasodifiy jarayon x haqiqiy yoki murakkab diskret vaqt (yoki fazoviy) ketma-ketliklarning ma'lum bir to'plami yoki ansambli sifatida ko'rib chiqilishi mumkin, ularning har biri qandaydir tajriba natijasida kuzatilishi mumkin (n - vaqt ko'rsatkichi, i - kuzatish raqami). Kuzatishlardan biri natijasida olingan ketma-ketlik x[n] bilan belgilanadi. Ansambl bo'yicha o'rtacha hisoblash operatsiyasi (ya'ni. statistik o'rtacha) operator tomonidan belgilanadi<>. Shunday qilib, - tasodifiy jarayonning n vaqtdagi o'rtacha qiymati x[n]. Avtokorrelyatsiya tasodifiy jarayon ikki xil vaqtda n1 va n2 r xx = ifoda bilan aniqlanadi .

Tasodifiy jarayon statsionar deb ataladi keng ma'noda, agar uning o'rtacha qiymati doimiy bo'lsa (vaqtdan mustaqil) va avtokorrelyatsiya faqat m=n1-n2 vaqt indekslari farqiga bog'liq bo'lsa (vaqt siljishi yoki namunalar orasidagi kechikish). Shunday qilib, keng statsionar diskret tasodifiy jarayon x[n] doimiy o'rtacha qiymat bilan tavsiflanadi =Va avtokorrelyatsiya ketma-ketligi(AKP)

r xx [m] =< xx*[n] >. (44)

Avtomatik uzatishning quyidagi xususiyatlarini ta'kidlaymiz:

r xx |r xx [m]| , r xx [-m] = r* xx [m] , (45)

barcha m uchun amal qiladi.
Quvvat spektral zichligi (PSD) avtokorrelyatsiya ketma-ketligining diskret-vaqt Furye o'zgarishi (DTFT) sifatida aniqlanadi.

. (46)

Kengligi ±1/2T Gts bilan chegaralangan deb hisoblangan PSD 1/T Gts davriga ega chastotaning davriy funksiyasi hisoblanadi. PSD funksiyasi tasodifiy jarayon kuchining chastota taqsimotini tavsiflaydi. Buning uchun tanlangan nomni tasdiqlash uchun teskari DVFTni ko'rib chiqing

(47)

m=0 da hisoblangan

(48)

Nol siljishdagi avtokorrelyatsiya xarakterlanadi o'rtacha quvvat tasodifiy jarayon. (48) ga ko'ra, P xx (f) egri chizig'i ostidagi maydon o'rtacha quvvatni tavsiflaydi, shuning uchun P xx (f) quvvatning chastota taqsimotini tavsiflovchi zichlik funktsiyasi (chastota birligi uchun quvvat). (46) va (47) o'zgarishlar juftligi ko'pincha chaqiriladi Viner-Xinchin teoremasi diskret vaqt holati uchun. r xx [-m]=r* xx [m] bo'lganligi sababli, PSD qat'iy haqiqiy ijobiy funktsiya bo'lishi kerak. Agar ACP qat'iy real funktsiya bo'lsa, u holda r xx [-m]=r xx [m] va PSD ni Furye kosinus transformatsiyasi shaklida yozish mumkin.

,

bu ham P xx (f) = P xx (-f) degan ma'noni anglatadi, ya'ni. SPM teng funksiyadir.
Hozirgacha tasodifiy jarayonning o'rtacha qiymatini, korrelyatsiyasini va quvvat spektral zichligini aniqlashda biz ansambl bo'yicha statistik o'rtachadan foydalanardik. Biroq, amalda, odatda, ushbu statistik xususiyatlarni hisoblash mumkin bo'lgan talab qilinadigan jarayonni amalga oshirish ansamblini olish mumkin emas. Barcha statistik xususiyatlarni y ni almashtirgan holda, x(t) namunasi yordamida baholash tavsiya etiladi. ansamblning o'rtacha vaqtini o'rtacha hisoblash. Bunday almashtirishni amalga oshirishga imkon beruvchi xususiyat ergodiklik deb ataladi. Tasodifiy jarayon ergodik deb ataladi, agar ehtimollik birga teng bo'lsa, uning barcha statistik xarakteristikalarini o'rtacha vaqtdan foydalangan holda ansambldan bitta amalga oshirishdan bashorat qilish mumkin bo'lsa. Boshqacha qilib aytganda, jarayonning deyarli barcha mumkin bo'lgan amalga oshirilishining o'rtacha vaqt ko'rsatkichlari ehtimollik bilan bir xil doimiy qiymatga - ansambl o'rtachasiga yaqinlashadi.

. (49)

Ushbu chegara, agar mavjud bo'lsa, haqiqiy o'rtacha qiymatga yaqinlashadi, agar o'rtacha vaqt oralig'i nolga teng bo'lsa, ya'ni quyidagi shart bajariladi:

. (50)

Bu yerda c xx [m] - x[n] jarayon kovariatsiyasining haqiqiy qiymati.
Xuddi shunday, x[n] texnologik namunalari mahsulotining qiymatini vaqtning ikki nuqtasida kuzatgan holda, o'rtacha qiymat teng bo'lishini kutish mumkin.

(51)

Ergodiklik taxmini bizga nafaqat vaqtni o'rtacha hisoblash orqali o'rtacha va avtokorrelyatsiya ta'riflarini kiritishga, balki quvvat spektral zichligiga ham o'xshash ta'rifni berishga imkon beradi.

. (52)

PSD ning ushbu ekvivalent shakli namunalar soni cheksizgacha ko'paygan holatda, vaznli ma'lumotlar to'plamining DVFT modulini ma'lumotlar yozuvining uzunligiga bo'lish orqali statistik o'rtacha hisoblash yo'li bilan olinadi. Bu erda statistik o'rtacha hisoblash kerak, chunki DVFT o'zi x[n] ning har bir amalga oshirilishi uchun o'zgarib turadigan tasodifiy o'zgaruvchidir. (52) Wiener-Xinchin teoremasiga ekvivalent ekanligini ko'rsatish uchun biz DVFT modulining kvadratini ikki qator ko'paytmasi sifatida ifodalaymiz va yig'ish va statistik o'rtacha operatsiyalarning tartibini o'zgartiramiz:

(53)

Mashhur iboradan foydalanish

, (54)

munosabat (53) quyidagiga qisqartirilishi mumkin:

(55)

E'tibor bering, hosil bo'lishning oxirgi bosqichida (55) avtokorrelyatsiya ketma-ketligi "parchalanadi" degan taxmin ishlatilgan, shuning uchun

. (56)

PSD (46) va (52) ning ikkita ta'rifi o'rtasidagi bog'liqlik 4-rasmda keltirilgan diagrammada aniq ko'rsatilgan.
Agar (52) ifodada biz matematik kutish operatsiyasini hisobga olmasak, biz SPM bahosini olamiz.

, (57)

qaysi deyiladi namuna spektri.

Guruch. 4. Quvvat spektral zichligini baholashning ikkita usuli o'rtasidagi bog'liqlik

Spektral baholashning peridogramma usuli

Yuqorida biz quvvat spektral zichligini (PSD) aniqlashning ikkita rasmiy ekvivalent usulini joriy qildik. Bilvosita usul avtokorrelyatsiya ketma-ketligini hisoblash uchun cheksiz ma'lumotlar ketma-ketligidan foydalanishga asoslangan bo'lib, uning Furye konvertatsiyasi kerakli PSD ni beradi. PSD ni aniqlashning to'g'ridan-to'g'ri usuli tegishli statistik o'rtacha qiymatdan foydalangan holda cheksiz ma'lumotlar ketma-ketligi uchun Furye transformatsiyasining kvadrat modulini hisoblashga asoslangan. Bunday o'rtacha hisoblanmasdan olingan PSD qoniqarsiz bo'lib chiqadi, chunki bunday bahoning o'rtacha kvadrat xatosi uning o'rtacha qiymati bilan taqqoslanadi. Endi biz cheklangan miqdordagi namunalar bo'yicha silliq va statistik jihatdan barqaror spektral baholarni ta'minlaydigan o'rtacha hisoblash usullarini ko'rib chiqamiz. To'g'ridan-to'g'ri ma'lumotlarni o'zgartirish va keyingi o'rtacha qiymatga asoslangan SPD baholari periodogramlar deb ataladi. Dastlabki ma'lumotlardan korrelyatsiya baholari tuziladigan PSD baholari deyiladi korrelogramma. Har qanday PSD baholash usulidan foydalanganda, foydalanuvchi cheklangan miqdordagi namunalardan mumkin bo'lgan eng yuqori aniqlikka ega statistik barqaror spektral baholarni olish uchun ko'plab o'zaro qarorlar qabul qilishi kerak. Ushbu kelishuvlar, lekin ular bilan cheklanmasdan, ma'lumotlarni tortish va korrelyatsiya smetalari uchun oynani tanlashni, shuningdek, og'irlik tufayli yon qismlarni qisqartirish talablarini muvozanatlashtiradigan vaqt va chastota-domen o'rtacha parametrlarini o'z ichiga oladi, samarali o'rtacha hisoblashni amalga oshiradi va ta'minlaydi. qabul qilinadigan spektral ruxsat. Shaklda. 5-rasmda asosiy bosqichlarni ko'rsatadigan diagramma ko'rsatilgan periodogramma usuli

Guruch. 5. Periodogramma usuli yordamida PSDni baholashning asosiy bosqichlari

Usulni qo'llash har bir namuna uchun T soniya oralig'ida olinadigan N ma'lumotlar namunalarini to'plash bilan boshlanadi, so'ngra (ixtiyoriy) to'xtatuvchi qadam. Statistik jihatdan barqaror spektral baholashni olish uchun mavjud ma'lumotlarni bir-biriga o'xshash (agar iloji bo'lsa) segmentlarga bo'lish va keyinchalik har bir bunday segment uchun olingan namuna spektrlarini o'rtacha hisoblash kerak. Ushbu o'rtacha qiymatning parametrlari har bir segment uchun namunalar sonini (NSAMP) va keyingi segmentning boshlanishini siljitish kerak bo'lgan namunalar sonini (NSHIFT) to'g'ri tanlash orqali o'zgartiriladi, 2-rasmga qarang. 6. Segmentlar soni spektral bahoning kerakli silliqligi (tarqalishi) darajasiga va kerakli spektr aniqligiga qarab tanlanadi. NSAMP parametri uchun kichik qiymat o'rtacha amalga oshiriladigan ko'proq segmentlarga olib keladi va shuning uchun kamroq dispersiyaga ega bo'lgan taxminlar, shuningdek, kamroq chastotali rezolyutsiya olinadi. Segment uzunligini oshirish (NSAMP parametri) aniqlikni oshiradi, tabiiyki, o'rtacha ko'rsatkichlar sonining kamroqligi sababli taxminiy farqning oshishi bilan bog'liq. 5-rasmdagi qaytish strelkasi turli uzunlikdagi va segmentlarning sonidagi ma'lumotlardan bir necha marta takroriy o'tish zarurligini ko'rsatadi, bu bizga o'rganilayotgan jarayon haqida ko'proq ma'lumot olish imkonini beradi.

6-rasm. Periodogrammani hisoblash uchun ma'lumotlarni segmentlarga bo'lish

Oyna

Barcha klassik spektral baholash usullari uchun umumiy bo'lgan muhim masalalardan biri ma'lumotlarni tortish bilan bog'liq. Oynalanish spektral hisob-kitoblarda yon lob effektlarini nazorat qilish uchun ishlatiladi. E'tibor bering, mavjud cheklangan ma'lumotlar yozuvini qo'llaniladigan oyna orqali ko'rinadigan tegishli cheksiz ketma-ketlikning bir qismi sifatida ko'rib chiqish qulay. Shunday qilib, N ta namunadan kuzatilgan x 0 [n] ma'lumotlar ketma-ketligini matematik tarzda cheksiz x[n] ketma-ketligi va to'rtburchak oyna funktsiyasining mahsuloti sifatida yozish mumkin.

X 0 [n]=x[n] rect[n].
Bu haqiqatda shunday bo'lishidan qat'i nazar, barcha kuzatilmagan namunalar nolga teng degan aniq taxminni keltirib chiqaradi. Og'irlangan ketma-ketlikning diskret vaqtli Furye o'zgarishi x[n] ketma-ketligi va to'rtburchak oyna rect[n] o'zgarishlar konvolyutsiyasiga teng.

X 0 (f)=X(f)*D N (f) , bu yerda
D N (f)= Texp(-j2pfT)sin(pfTN)/sin(pfT).

Diskret sink funktsiyasi yoki Dirixlet yadrosi deb ataladigan D N (f) funktsiyasi to'rtburchaklar funktsiyaning DCFT sidir. Kuzatilgan chekli ketma-ketlikning o'zgarishi cheksiz ketma-ketlikning o'zgarishining buzilgan versiyasidir. To'g'ri burchakli oynaning chastotasi f 0 bo'lgan diskret vaqtli sinusoidga ta'siri 7-rasmda ko'rsatilgan.

7-rasm. Diskret vaqtli Furye transformatsiyasining ma'lumotlarning og'irligi tufayli sizib chiqishiga bog'liq bo'lgan yo'nalishning tasviri: a, b - original va vaznli ketma-ketliklar; b, d - ularning Furye transformatsiyalari.

Shakldan ko'rinib turibdiki, cheksiz sinus to'lqinlar ketma-ketligining DTFT ning keskin spektral cho'qqilari deraza konvertatsiyasi bilan konvolyutsiya tufayli kengayadi. Shunday qilib, oyna vaznli ketma-ketlikning spektral cho'qqilarining minimal kengligi ushbu oynaning asosiy transformatsiya lobining kengligi bilan belgilanadi va ma'lumotlarga bog'liq emas. Yon loblar oyna o'zgarishlari qo'shni spektral cho'qqilarning amplitudalarini o'zgartiradi (ba'zan qon ketish deb ataladi). DVFT davriy funktsiya bo'lganligi sababli, qo'shni davrlardagi yon loblarning bir-biriga mos kelishi qo'shimcha moyillikka olib kelishi mumkin. Namuna olish tezligini oshirish sidelobe aliasing effektini kamaytiradi. Sinusoidal bo'lmagan signallarda ham shunga o'xshash buzilishlar tabiiy ravishda kuzatiladi. Qon ketishi nafaqat diskret signallarning spektrlarida amplituda xatoliklarni keltirib chiqaradi, balki ularning mavjudligini ham yashirishi mumkin. zaif signallar. To'rtburchaklar oynaga nisbatan yon loblarni kamaytirishi mumkin bo'lgan bir qator boshqa oyna xususiyatlari mavjud. Yon loblar darajasini pasaytirish spektral smetadagi siljishni kamaytiradi, ammo bu deraza spektrining asosiy lobini kengaytirish xarajatiga to'g'ri keladi, bu tabiiy ravishda piksellar sonini yomonlashishiga olib keladi. Binobarin, bu erda ham asosiy lobning kengligi va yon bo'laklar darajasi o'rtasida qandaydir murosani tanlash kerak. Derazalarning sifatini baholash uchun bir nechta parametrlar qo'llaniladi. An'anaviy ko'rsatkich yarim quvvatda asosiy lob tarmoqli kengligi hisoblanadi. Ikkinchi ko'rsatkich - yuqorida keltirilgan ekvivalent tarmoqli kengligi. Yon loblarning xususiyatlarini baholash uchun ikkita ko'rsatkich ham qo'llaniladi. Birinchisi, ularning maksimal darajasi, ikkinchisi - parchalanish tezligi, bu yon bo'laklarning asosiy lobdan masofa bilan pasayish tezligini tavsiflaydi. 3-jadvalda ba'zi tez-tez ishlatiladigan diskret vaqtli oyna funksiyalarining ta'riflari, 4-jadvalda esa ularning xarakteristikalari ko'rsatilgan.
Jadval 3. Odatda N nuqtali diskret vaqtli windowsMaks ta'riflari. yon lob darajasi, dB -31,5

. (46)

Korrelogramma usuli PSDni baholash oddiygina ifodaga (46) avtokorrelyatsiya bahosi uchun chekli qiymatlar ketma-ketligini almashtirishdir ( korrelogrammalar) noma'lum haqiqiy avtokorrelyatsiya qiymatlarining cheksiz ketma-ketligi o'rniga. Spektral baholashning korrelogramma usuli haqida ko'proq ma'lumot olish mumkin.

Adabiyot

1. Rabiner L., Gould B. Raqamli signallarni qayta ishlash nazariyasi va qo'llanilishi. M.: Mir, 1978 yil.

2. Marpl Jr. S.L. Raqamli spektral tahlil va uning qo'llanilishi: Tarjima. ingliz tilidan -M.: Mir, 1990 yil.

3. Goldberg L.M., Matyushkin B.D., Polyak M.N., Raqamli ishlov berish Signallar. - M.: Radio va aloqa, 1990.

4. Otnes R., Enokson L. Vaqt qatorlarining amaliy tahlili.- M.: Mir, 1982.

Spektral tahlil

Spektral tahlil - bu ma'lumotlarni qayta ishlash usullarining chastotasi yoki spektriga asoslangan keng klassi. Spektr vaqtga (vaqt seriyasiga) yoki fazoviy koordinatalarga (masalan, tasvir) bog'liq bo'lgan dastlabki funktsiyani qandaydir davriy funktsiya asosiga ajratish yo'li bilan olinadi. Ko'pincha, spektral ishlov berish uchun sinus asosi (Fourier parchalanishi, Furye transformatsiyasi) asosida olingan Furye spektri qo'llaniladi.

Furye konvertatsiyasining asosiy ma'nosi shundan iboratki, ixtiyoriy shaklning dastlabki davriy bo'lmagan funksiyasi, uni analitik ta'riflab bo'lmaydi, shuning uchun uni qayta ishlash va tahlil qilish qiyin, turli chastotalar, amplitudalar va boshlang'ich bo'lgan sinuslar yoki kosinalar to'plami sifatida ifodalanadi. bosqichlari.

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, murakkab funktsiya ko'plab oddiylarga aylanadi. Furye kengayishi natijasida olingan ma'lum chastota va amplitudaga ega bo'lgan har bir sinus to'lqin (yoki kosinus to'lqini) deyiladi. spektral komponent yoki garmonik. Spektral komponentlar hosil bo'ladi Furye spektri.

Vizual ravishda Furye spektri gorizontal o'q bo'ylab yunoncha "omega" harfi bilan belgilangan aylana chastotasi va odatda lotin harfi A bilan belgilanadigan spektral komponentlarning amplitudasi chizilgan grafik shaklida taqdim etilgan. , vertikal o'q bo'ylab chiziladi.So'ngra har bir spektral komponent uning chastotasiga gorizontal mos keladigan raqam, pozitsiya va balandligi - uning amplitudasi sifatida ifodalanishi mumkin. Nol chastotali garmonik deyiladi doimiy komponent(vaqtinchalik vakillikda bu to'g'ri chiziq).

Spektrning oddiy vizual tahlili ham u olingan funktsiyaning tabiati haqida ko'p narsalarni aytib berishi mumkin. Dastlabki ma'lumotlarning tez o'zgarishi bilan spektrdagi komponentlar paydo bo'lishi intuitiv ravishda aniq yuqori chastota, va sekin - bilan past. Shuning uchun, agar uning komponentlarining amplitudasi ortib borayotgan chastota bilan tez kamayib ketsa, u holda dastlabki funktsiya (masalan, vaqt seriyasi) silliq bo'ladi va agar spektrda katta amplitudali yuqori chastotali komponentlar mavjud bo'lsa, u holda asl funktsiya keskin tebranishlarni o'z ichiga oladi. . Shunday qilib, vaqt seriyasi uchun bu katta tasodifiy komponentni, u tasvirlaydigan jarayonlarning beqarorligini yoki ma'lumotlarda shovqin mavjudligini ko'rsatishi mumkin.

Spektral ishlov berish spektrni manipulyatsiya qilishga asoslangan. Haqiqatan ham, agar siz yuqori chastotali komponentlarning amplitudasini kamaytirsangiz (bostirsangiz) va keyin o'zgartirilgan spektrga asoslanib, teskari Furye konvertatsiyasini amalga oshirish orqali asl funktsiyani tiklasangiz, u holda yuqori chastotani olib tashlash tufayli u silliq bo'ladi. komponent.

Vaqt seriyasi uchun, masalan, bu tasodifiy omillarga juda moyil bo'lgan kundalik sotuvlar haqidagi ma'lumotlarni olib tashlash va mavsumiylik kabi yanada izchil tendentsiyalarni ortda qoldirishni anglatadi. Siz, aksincha, past chastotali komponentlarni bostirishingiz mumkin, bu sekin o'zgarishlarni olib tashlaydi va faqat tez o'zgarishlarni qoldiradi. Vaqt seriyasi bo'lsa, bu mavsumiy komponentni bostirishni anglatadi.

Spektrni shu tarzda qo'llash orqali siz asl ma'lumotlarda kerakli o'zgarishlarga erishishingiz mumkin. Eng keng tarqalgan foydalanish spektrdagi yuqori chastotali komponentlarning amplitudasini olib tashlash yoki kamaytirish orqali vaqt seriyalarini tekislashdir.

Spektrlarni manipulyatsiya qilish uchun filtrlar qo'llaniladi - spektr shaklini boshqarishi, uning tarkibiy qismlarini bostirish yoki kuchaytirishi mumkin bo'lgan algoritmlar. Asosiy mulk har qanday filtr uning amplituda-chastota javobi (AFC) bo'lib, uning shakli spektrning o'zgarishini belgilaydi.

Agar filtr faqat chastotasi ma'lum bir kesish chastotasidan past bo'lgan spektral komponentlardan o'tsa, u past o'tkazuvchan filtr (LPF) deb ataladi va u ma'lumotlarni silliqlash, shovqin va anormal qiymatlardan tozalash uchun ishlatilishi mumkin.

Agar filtr spektral komponentlarni ma'lum bir kesish chastotasidan o'tkazsa, u yuqori o'tkazuvchan filtr (HPF) deb ataladi. U ma'lumotlar seriyasidagi mavsumiylik kabi sekin o'zgarishlarni bostirish uchun ishlatilishi mumkin.

Bundan tashqari, boshqa ko'plab turdagi filtrlar qo'llaniladi: o'rta o'tish filtrlari, to'xtash filtrlari va tarmoqli o'tkazuvchan filtrlar, shuningdek, radioelektronikada signallarni qayta ishlashda qo'llaniladigan murakkabroq. Turi va shaklini tanlash chastotali javob filtri yordamida siz asl ma'lumotlarni spektral ishlov berish orqali kerakli o'zgartirishga erishishingiz mumkin.

Shovqinni yumshatish va olib tashlash uchun ma'lumotlarni chastotali filtrlashni amalga oshirayotganda, past o'tkazuvchan filtrning tarmoqli kengligini to'g'ri ko'rsatish kerak. Agar siz uni juda baland tanlasangiz, tekislash darajasi etarli bo'lmaydi va shovqin to'liq bostirilmaydi. Agar u juda tor bo'lsa, shovqin bilan birga olib keladigan o'zgarishlar foydali ma'lumotlar. Agarda texnik ilovalar Filtrlarning optimal xususiyatlarini aniqlash uchun qat'iy mezonlar mavjud, keyin analitik texnologiyalarda asosan eksperimental usullardan foydalanish kerak.

Spektral tahlil ma'lumotlarni qayta ishlashning eng samarali va yaxshi ishlab chiqilgan usullaridan biridir. Chastotani filtrlash uning ko'plab ilovalaridan biri hisoblanadi. Bundan tashqari, u korrelyatsiya va statistik tahlilda, signallar va funktsiyalarni sintez qilishda, modellarni qurishda va boshqalarda qo'llaniladi.

Tahlil usuli Furye seriyasiga asoslangan edi. Seriya murakkab shakllarning oddiy shakllarga bo'linishi bilan boshlanadi. Furye murakkab to'lqin shaklini oddiy to'lqinlar yig'indisi sifatida ifodalash mumkinligini ko'rsatdi. Qoida tariqasida, klassik tizimlarni tavsiflovchi tenglamalar ushbu oddiy to'lqinlarning har biri uchun osongina echilishi mumkin. Bundan tashqari, Furye buni qanday qilib ko'rsatdi oddiy echimlar umumlashgan holda butun murakkab muammoning yechimini olish uchun umumlashtirilishi mumkin. (Matematik nuqtai nazardan, Furye seriyasi funktsiyani harmonikalar - sinus va kosinuslar yig'indisi sifatida ifodalash usulidir, shuning uchun Furye tahlili "garmonik tahlil" sifatida ham tanilgan.)

Furye gipotezasiga ko‘ra, trigonometrik qatorga kengaytirib bo‘lmaydigan funksiya yo‘q. Keling, bu parchalanishni qanday amalga oshirish mumkinligini ko'rib chiqaylik. [–p, p] oraliqda quyidagi ortonormal funksiyalar tizimini ko'rib chiqing: (1, cos(t),
gunoh (t),
cos(2t),
gunoh (2t),
cos(3t),
gunoh (3t), …,
cos(nt),
gunoh(nt),... ).

Bunga asoslanib bu tizim funksiyalar ortonormal bo‘lsa, [p, –p] oraliqdagi f(t) funksiyani quyidagicha taxmin qilish mumkin:

f(t) = a0 + a1
cos(t) + a2
cos(2t) +
a3 cos(3t) + …

... + b1
sin(t) + b2
sin(2t) + b3
gunoh(3t)+… (6)

a n, b n koeffitsientlari funktsiya va bazis funktsiyaning skalyar ko'paytmasi orqali yuqorida ko'rib chiqilgan formulalar bo'yicha hisoblanadi va quyidagicha ifodalanadi:

α 0 = , 1> =
,

a n = , cos(nt) > =
,

b n = , sin(nt) > =
.

(6) ifoda siqilgan shaklda quyidagicha yozilishi mumkin:

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(t) + a 2 cos(2t) + a 3 cos(3t) + ...

B 1 sin(t) + b 2 sin(2t) + b 3 sin(3t)+... (7)

a 0 = 2a 0 =
,

va n =
a n =
, (8)

b n=
β n=
. (9)

n = 0 cos(0) = 1 bo'lganligi sababli a 0 /2 doimiysi ifodalanadi umumiy shakl n = 0 uchun a n koeffitsienti.

a n va b n koeffitsientlari Furye koeffitsientlari, f(t) funksiyaning (7) formula bo‘yicha ko‘rinishi esa Furye qator kengayishi deyiladi. Ba'zan bu shaklda taqdim etilgan Furye seriyasining kengayishi haqiqiy Furye seriyasining kengayishi deb ataladi va koeffitsientlar haqiqiy Furye koeffitsientlari deb ataladi. Ushbu parchalanishni murakkab parchalanishdan ajratish uchun "haqiqiy" atamasi kiritilgan.

(8) va (9) ifodalarni tahlil qilaylik. 0 koeffitsienti f(t) funksiyaning [–p,p] segmentidagi o‘rtacha qiymatini yoki f(t) signalning doimiy komponentini ifodalaydi. Koeffitsientlar n va b n (n> 0 da) - burchak chastotasi n ga teng bo'lgan f(t) funksiyaning (signal) kosinus va sinus komponentlarining amplitudalari. Boshqacha qilib aytganda, bu koeffitsientlar signallarning chastota komponentlarining kattaligini belgilaydi. Masalan, past chastotali audio signal (masalan, bas gitara ovozi) haqida gapiradigan bo'lsak, bu a n va b n koeffitsientlari n ning kichik qiymatlari uchun kattaroq va aksincha - yuqorida - degan ma'noni anglatadi. chastotali tovush tebranishlari (masalan, skripka ovozi) ular n ning katta qiymatlari uchun kattaroqdir.

1 cos(t) va b 1 sin(t) yig‘indisi bilan ifodalangan eng uzun davr (yoki eng past chastota) tebranishi asosiy chastota yoki birinchi garmonikning tebranishi deb ataladi. Asosiy chastota davrining yarmiga teng bo'lgan tebranish ikkinchi garmonik, davri asosiy chastotaning 1/n ga teng bo'lgan tebranish n-garmonikdir. Shunday qilib, f(t) funktsiyasini Furye qatoriga kengaytirishdan foydalanib, biz vaqt sohasidan chastota sohasiga o'tishimiz mumkin. Ushbu o'tish odatda vaqt sohasida "ko'rinmas" bo'lgan signal xususiyatlarini aniqlash uchun kerak.

Iltimos, (8) va (9) formulalar davriy signal uchun 2p ga teng ekanligini unutmang. Umumiy holda, davriy T bo'lgan davriy signal Furye seriyasiga kengaytirilishi mumkin, keyin kengayishda [–T/2, T/2] segmentidan foydalaniladi. Birinchi garmonikning davri T ga teng bo'lib, komponentlar cos(2pt/T) va sin(2pt/T) ko'rinishlarini oladi, n-garmonikning komponentlari cos(2ptn/T) va sin(2ptn/T). ).

[–T/2,T/2] oraliqdagi f(t) funksiyani quyidagicha taxmin qilish mumkin:

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(2pt/T) + a 2 cos(4pt/T) + a 3 cos(6pt/T) + …

B 1 sin(2pt/T) + b 2 sin(4pt/T) + b 3 sin(6pt/T)+…, (10)

a n =
,

b n=
.

Agar birinchi garmonikning burchak chastotasini ō 0 = 2p/T deb belgilasak, n-garmonik komponentlar cos(ō 0 nt), sin(ō 0 nt) va ko‘rinishni oladi.

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(ō 0 t) + a 2 cos(2ō 0 t) + a 3 cos(3ō 0 t) + …

B 1 sin(ō 0 t) + b 2 sin(2ō 0 t) + b 3 sin(3ō 0 t)+…=

=
, (11)

Bu erda Furye koeffitsientlari formulalar yordamida hisoblanadi:

a n =
,

b n =
.

Murakkab shakldagi har qanday to'lqin oddiy to'lqinlar yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin.

Jozef Furye issiqlikning qattiq jismlardan qanday o'tishini matematik jihatdan tasvirlashni juda xohladi ( sm. Issiqlik almashinuvi). Uning issiqqa bo‘lgan qiziqishi Shimoliy Afrikada bo‘lganida paydo bo‘lgan bo‘lishi mumkin: Furye Fransiyaning Misrga ekspeditsiyasida Napoleon bilan birga bo‘lgan va u yerda bir muddat yashagan. Maqsadiga erishish uchun Furye yangi matematik usullarni ishlab chiqishi kerak edi. Uning tadqiqot natijalari 1822 yilda "Issiqlikning analitik nazariyasi" asarida nashr etilgan. Chaleur nazariyasi tahlili), bu erda u murakkab fizik muammolarni bir qator oddiyroqlarga bo'lish orqali qanday tahlil qilishni tushuntirdi.

Tahlil usuli deb ataladigan narsaga asoslangan edi Furye seriyasi. Interferentsiya printsipiga ko'ra, ketma-ketlik murakkab shaklning oddiy shakllarga ajralishi bilan boshlanadi - masalan, er yuzasining o'zgarishi zilzila bilan, kometa orbitasining o'zgarishi ta'sir bilan izohlanadi. bir nechta sayyoralarni jalb qilish, issiqlik oqimining o'zgarishi uning issiqlik izolyatsiyalovchi materialdan yasalgan noto'g'ri shakldagi to'siqdan o'tishi bilan bog'liq. Furye murakkab to'lqin shaklini oddiy to'lqinlar yig'indisi sifatida ifodalash mumkinligini ko'rsatdi. Qoida tariqasida, klassik tizimlarni tavsiflovchi tenglamalar ushbu oddiy to'lqinlarning har biri uchun osongina echilishi mumkin. Keyin Furye ushbu oddiy echimlarni qanday qilib butun murakkab muammoga yechim topish mumkinligini ko'rsatdi. (Matematik nuqtai nazardan, Furye seriyasi funktsiyani harmonikalar - sinus va kosinus to'lqinlari yig'indisi sifatida ifodalash usulidir, shuning uchun Furye tahlili "garmonik tahlil" deb ham ataladi.)

XX asr o'rtalarida kompyuterlar paydo bo'lishidan oldin, Furye usullari va shunga o'xshash usullar eng yaxshi qurol tabiatning murakkabliklariga hujum qilganda ilmiy arsenalda. Murakkab Furye usullari paydo bo'lganidan beri olimlar nafaqat ularni hal qilish uchun foydalanishga muvaffaq bo'lishdi oddiy vazifalar, uni Nyutonning mexanika qonunlarini va boshqa fundamental tenglamalarni to'g'ridan-to'g'ri qo'llash orqali hal qilish mumkin. 19-asrda Nyuton fanining ko'pgina buyuk yutuqlarini Furye tomonidan ilgari surilgan usullardan foydalanmasdan amalga oshirish mumkin emas edi. Keyinchalik, bu usullar turli sohalardagi muammolarni hal qilish uchun ishlatilgan - astronomiyadan mashinasozlikgacha.

Jan-Batist Jozef FURI
Jan-Batist Jozef Furye, 1768-1830

Fransuz matematiki. Oserda tug'ilgan; to‘qqiz yoshida yetim qoldi. U yoshligidayoq matematikaga moyilligini namoyon etgan. Furye cherkov maktabida va harbiy maktabda tahsil olgan, keyin matematika o'qituvchisi bo'lib ishlagan. U butun umri davomida siyosatda faol ishtirok etgan; 1794 yilda terror qurbonlarini himoya qilgani uchun hibsga olingan. Robespier vafotidan keyin u qamoqdan ozod qilindi; Parijda mashhur Politexnika maktabini (Ecole Polytechnique) yaratishda ishtirok etgan; uning mavqei Napoleon rejimi ostida oldinga siljish uchun tramplin bilan ta'minladi. U Napoleon bilan birga Misrga bordi va Quyi Misr gubernatori etib tayinlandi. 1801 yilda Frantsiyaga qaytib kelgach, u viloyatlardan biriga gubernator etib tayinlandi. 1822 yilda u Frantsiya Fanlar akademiyasining doimiy kotibi bo'lib, frantsuz ilmiy olamidagi nufuzli mavqega ega bo'ldi.