Chiziqli funksiya va uning grafigi. Chiziqli funksiya Chiziqli funksiyalar y 3 5x

Chiziqli funksiya shaklning funksiyasi deb ataladi y = kx + b, barcha haqiqiy sonlar to'plamida aniqlangan. Bu yerga k- qiyalik (haqiqiy raqam), b – bepul muddat (haqiqiy raqam), x- mustaqil o'zgaruvchi.

Maxsus holatda, agar k = 0, biz doimiy funktsiyani olamiz y = b, grafigi koordinatali nuqtadan o'tuvchi Ox o'qiga parallel to'g'ri chiziqdir (0; b).

Agar b = 0, keyin biz funktsiyani olamiz y = kx, bu to'g'ridan-to'g'ri proportsionallik.

b – segment uzunligi, Oy o'qi bo'ylab to'g'ri chiziq bilan kesilgan, boshlang'ichdan boshlab.

Koeffitsientning geometrik ma'nosi k – egilish burchagi to'g'ridan-to'g'ri Ox o'qining musbat yo'nalishiga, soat sohasi farqli ravishda hisobga olinadi.

Chiziqli funksiyaning xossalari:

1) Chiziqli funktsiyani aniqlash sohasi butun haqiqiy o'qdir;

2) Agar k ≠ 0, keyin chiziqli funktsiya qiymatlari diapazoni butun haqiqiy o'qdir. Agar k = 0, keyin chiziqli funktsiya qiymatlari diapazoni sondan iborat b;

3) Chiziqli funktsiyaning juftligi va toqligi koeffitsientlarning qiymatlariga bog'liq k Va b.

a) b ≠ 0, k = 0, shuning uchun, y = b - juft;

b) b = 0, k ≠ 0, shuning uchun y = kx - toq;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, shuning uchun y = kx + b – umumiy shakl funksiyasi;

d) b = 0, k = 0, shuning uchun y = 0 – ham juft, ham toq funksiyalar.

4) Chiziqli funksiya davriylik xususiyatiga ega emas;

5) Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari:

ho'kiz: y = kx + b = 0, x = -b/k, shuning uchun (-b/k; 0)– abscissa o'qi bilan kesishish nuqtasi.

Oy: y = 0k + b = b, shuning uchun (0; b)– ordinata o‘qi bilan kesishish nuqtasi.

Eslatma: Agar b = 0 Va k = 0, keyin funksiya y = 0 o'zgaruvchining istalgan qiymati uchun nolga tushadi X. Agar b ≠ 0 Va k = 0, keyin funksiya y = b o'zgaruvchining har qanday qiymati uchun yo'qolmaydi X.

6) Belgining doimiylik intervallari k koeffitsientiga bog'liq.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b- qachon ijobiy x dan (-b/k; +∞),

y = kx + b- qachon salbiy x dan (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- qachon ijobiy x dan (-∞; -b/k),

y = kx + b- qachon salbiy x dan (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b butun ta'rif oralig'ida ijobiy,

k = 0, b< 0; y = kx + b ta'rifning butun oralig'ida salbiy.

7) Chiziqli funktsiyaning monotonlik intervallari koeffitsientga bog'liq k.

k > 0, shuning uchun y = kx + b ta'rifning butun maydoni bo'ylab oshadi,

k< 0 , shuning uchun y = kx + b ta'rifning butun maydoni bo'ylab kamayadi.

8) Chiziqli funktsiyaning grafigi to'g'ri chiziqdir. To'g'ri chiziqni qurish uchun ikkita nuqtani bilish kifoya. To'g'ri chiziqning koordinata tekisligidagi holati koeffitsientlarning qiymatlariga bog'liq k Va b. Quyida buni aniq ko'rsatadigan jadval mavjud.

Chiziqli funksiya y=kx+b ko'rinishdagi funktsiya bo'lib, bu erda x mustaqil o'zgaruvchi, k va b har qanday sonlar.
Chiziqli funktsiyaning grafigi to'g'ri chiziqdir.

1. Funksiya grafigini tuzish uchun, bizga funksiya grafigiga tegishli ikkita nuqtaning koordinatalari kerak. Ularni topish uchun siz ikkita x qiymatni olishingiz, ularni funktsiya tenglamasiga almashtirishingiz va mos keladigan y qiymatlarini hisoblash uchun ishlatishingiz kerak.

Masalan, y= x+2 funksiya grafigini tuzish uchun x=0 va x=3 ni olish qulay, u holda bu nuqtalarning ordinatalari y=2 va y=3 ga teng bo'ladi. A(0;2) va B(3;3) nuqtalarini olamiz. Ularni bog‘laymiz va y= x+2 funksiya grafigini olamiz:

2. y=kx+b formulada k soni proporsionallik koeffitsienti deyiladi:
k>0 bo'lsa, y=kx+b funksiya ortadi
agar k
B koeffitsienti funktsiya grafigining OY o'qi bo'ylab siljishini ko'rsatadi:
agar b>0 bo'lsa, u holda y=kx+b funksiya grafigidan b birliklarni OY o'qi bo'ylab yuqoriga siljitish orqali y=kx funksiya grafigi olinadi.
agar b
Quyidagi rasmda y=2x+3 funksiyalarning grafiklari keltirilgan; y= ½ x+3; y=x+3

E'tibor bering, ushbu funktsiyalarning barchasida k koeffitsienti mavjud Noldan yuqori, va funktsiyalari ortib boradi. Bundan tashqari, k qiymati qanchalik katta bo'lsa, to'g'ri chiziqning OX o'qining musbat yo'nalishiga moyillik burchagi shunchalik katta bo'ladi.

Barcha funktsiyalarda b=3 - va biz barcha grafiklar OY o'qini (0;3) nuqtada kesishganini ko'ramiz.

Endi y=-2x+3 funksiyalarning grafiklarini ko'rib chiqing; y=- ½ x+3; y=-x+3

Bu safar barcha funksiyalarda koeffitsient k noldan kam va funktsiyalari kamayib bormoqda. Koeffitsient b=3 va grafiklar, avvalgi holatda bo'lgani kabi, OY o'qini (0;3) nuqtada kesishadi.

y=2x+3 funksiyalarning grafiklarini ko'rib chiqing; y=2x; y=2x-3

Endi barcha funktsiya tenglamalarida k koeffitsientlari 2 ga teng. Va biz uchta parallel chiziq oldik.

Ammo b koeffitsientlari har xil va bu grafiklar OY o'qini turli nuqtalarda kesishadi:
y=2x+3 (b=3) funksiya grafigi OY o‘qini (0;3) nuqtada kesib o‘tadi.
y=2x (b=0) funksiyaning grafigi OY o'qini (0;0) nuqtada - koordinatali nuqtada kesib o'tadi.
y=2x-3 (b=-3) funksiyaning grafigi OY o‘qini (0;-3) nuqtada kesib o‘tadi.

Demak, k va b koeffitsientlarning belgilarini bilsak, u holda y=kx+b funksiya grafigi qanday ko‘rinishini darhol tasavvur qilishimiz mumkin.
Agar k 0

Agar k>0 va b>0, u holda y=kx+b funksiyaning grafigi quyidagicha ko'rinadi:

Agar k>0 va b, u holda y=kx+b funksiyaning grafigi quyidagicha ko'rinadi:

Agar k, u holda y=kx+b funksiyaning grafigi quyidagicha ko'rinadi:

Agar k=0, u holda y=kx+b funksiya y=b funksiyaga aylanadi va uning grafigi quyidagicha ko‘rinadi:

y=b funksiya grafigidagi barcha nuqtalarning ordinatalari b If ga teng b=0, u holda y=kx (to‘g‘ri proporsionallik) funksiyaning grafigi koordinata boshidan o‘tadi:

3. x=a tenglama grafigini alohida qayd qilaylik. Bu tenglamaning grafigi OY o'qiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziq bo'lib, uning barcha nuqtalari abtsissa x=a.

Masalan, x=3 tenglamaning grafigi quyidagicha ko'rinadi:
Diqqat! x=a tenglamasi funksiya emas, shuning uchun argumentning bir qiymati funktsiyaning turli qiymatlariga mos keladi, bu funktsiya ta'rifiga mos kelmaydi.


4. Ikki chiziqning parallelligi sharti:

y=k 1 x+b 1 funksiyaning grafigi y=k 2 x+b 2 funksiya grafigiga parallel, agar k 1 =k 2 bo‘lsa.

5. Ikki toʻgʻri chiziqning perpendikulyar boʻlishi sharti:

y=k 1 x+b 1 funksiya grafigi k 1 *k 2 =-1 yoki k 1 =-1/k 2 bo‘lsa, y=k 2 x+b 2 funksiya grafigiga perpendikulyar.

6. y=kx+b funksiya grafigining koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtalari.

OY o'qi bilan. OY o'qiga tegishli har qanday nuqtaning abssissasi nolga teng. Demak, OY o'qi bilan kesishish nuqtasini topish uchun funksiya tenglamasida x o'rniga nolni qo'yish kerak. Biz y=b ni olamiz. Ya'ni, OY o'qi bilan kesishish nuqtasi koordinatalariga ega (0; b).

OX o'qi bilan: OX o'qiga tegishli har qanday nuqtaning ordinatasi nolga teng. Demak, OX o'qi bilan kesishish nuqtasini topish uchun funksiya tenglamasida y o'rniga nolni qo'yish kerak. Biz 0=kx+b ni olamiz. Demak, x=-b/k. Ya'ni, OX o'qi bilan kesishish nuqtasi koordinatalariga ega (-b/k;0):

Chiziqli funktsiyaning ta'rifi

Keling, chiziqli funktsiyaning ta'rifini kiritaylik

Ta'rif

$y=kx+b$ ko'rinishdagi funktsiya, bu erda $k$ nolga teng bo'lmagan chiziqli funktsiya deyiladi.

Chiziqli funktsiyaning grafigi to'g'ri chiziqdir. $k$ soni chiziqning qiyaligi deyiladi.

$b=0$ bo'lganda chiziqli funksiya $y=kx$ to'g'ridan-to'g'ri proporsionallik funktsiyasi deb ataladi.

1-rasmni ko'rib chiqing.

Guruch. 1. Chiziq qiyaligining geometrik ma’nosi

ABC uchburchagini ko'rib chiqing. Biz $VS=kx_0+b$ ekanligini ko'ramiz. $y=kx+b$ to‘g‘rining $Ox$ o‘qi bilan kesishgan nuqtasini topamiz:

\ \

Shunday qilib, $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Bu tomonlarning nisbatini topamiz:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Boshqa tomondan, $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

Shunday qilib, biz quyidagi xulosaga kelishimiz mumkin:

Xulosa

$k$ koeffitsientining geometrik ma'nosi. $k$ to'g'ri chiziqning burchak koeffitsienti ushbu to'g'ri chiziqning $Ox$ o'qiga og'ish burchagi tangensiga teng.

$f\left(x\right)=kx+b$ chiziqli funksiya va uning grafigini o'rganish

Birinchidan, $f\left(x\right)=kx+b$ funktsiyasini ko'rib chiqing, bu erda $k > 0$.

  1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\o'ng))"=k>0$. Demak, bu funksiya butun ta'rif sohasi bo'ylab ortadi. Hech qanday ekstremal nuqtalar yo'q.
  2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
  3. Grafik (2-rasm).

Guruch. 2. $k > 0$ uchun $y=kx+b$ funksiyasining grafiklari.

Endi $f\left(x\right)=kx$ funktsiyasini ko'rib chiqing, bu erda $k

  1. Ta'rif sohasi barcha raqamlardir.
  2. Qiymatlar oralig'i barcha raqamlardir.
  3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Funktsiya juft ham, toq ham emas.
  4. $x=0,f\left(0\right)=b$ uchun. $y=0,0=kx+b bo'lganda,\ x=-\frac(b)(k)$.

Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ va $\left(0,\ b\right)$

  1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\o'ng))"=k
  2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Shuning uchun funksiyada burilish nuqtalari yo'q.
  3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
  4. Grafik (3-rasm).