Den inledande översiktssektionen diskuterar två mycket enkla exempel(hämtat från Shumway, 1988) för att illustrera karaktären av spektralanalys och tolkning av resultat. Om du inte är bekant med den här metoden, rekommenderar vi att du tittar på det här avsnittet i det här kapitlet först.

Granskning och datafil. Filen Sunspot.sta innehåller en del av de kända solfläcksnumren (Wolfer) från 1749 till 1924 (Anderson, 1971). Nedan är en lista över de första data från exempelfilen.

Det antas att antalet solfläckar påverkar vädret på jorden, liksom jordbruk, telekommunikation m.m. Med hjälp av denna analys kan man försöka ta reda på om solfläcksaktivitet verkligen är cyklisk till sin natur (det är faktiskt så, dessa data diskuteras flitigt i litteraturen; se till exempel Bloomfield, 1976, eller Shumway, 1988).

Definition av analys. Efter att ha kört analysen öppnar du Sunspot.sta-datafilen. Klicka på knappen Variables och välj Spots-variabeln (observera att om Sunspot.sta-datafilen är den aktuella öppna fil data och variabeln Spots är den enda variabeln i den här filen. När dialogrutan Tidsserieanalys öppnas kommer Spots att väljas automatiskt). Klicka nu på knappen Fourier (spektral) analys för att öppna dialogrutan Fourier (spektral) analys.

Innan du tillämpar spektralanalys, plotta först antalet solfläckar. Observera att Sunspot.sta-filen innehåller motsvarande årtal som observationsnamn. För att använda dessa namn i linjediagram, klicka på fliken Visa serier och välj ärendenamn i avsnittet Markera punkter. Välj också Ställ in X-axelskala manuellt och Min. = 1, och steg = 10. Klicka sedan på grafknappen bredvid knappen Visa val. variabel.

Antalet solfläckar verkar följa ett cykliskt mönster. Trenden är inte synlig, så gå tillbaka till fönstret Spectral Analysis och avmarkera alternativet Ta bort linjär trend i gruppen Transform Source Series.

Det är uppenbart att seriens medelvärde är större än 0 (noll). Lämna därför alternativet Subtrahera medelvärde markerat [annars kommer periodogrammet att "täppas till" med en mycket stor topp vid frekvensen 0 (noll)].

Nu är du redo att påbörja din analys. Klicka nu på OK (Endimensionell Fourier Analysis) för att visa dialogrutan Fourier Spectral Analysis Results.

Se Resultat. Informationssektionen högst upp i dialogrutan visar lite sammanfattande statistik för serien. Den visar också de fem största topparna i periodogrammet (efter frekvens). De tre största topparna ligger vid frekvenserna 0,0852, 0,0909 och 0,0114. Den här informationen är ofta användbar när man analyserar mycket stora serier (till exempel med mer än 100 000 observationer) som inte enkelt plottas på en enda graf. I det här fallet är det dock lätt att se periodogramvärdena; genom att klicka på knappen Periodogram i avsnittet Periodogram and Spectral Density Graphs.

Periodogramgrafen visar två tydliga toppar. Maximum är vid en frekvens på cirka 0,9. Återgå till fönstret Spektralanalysresultat och klicka på knappen Sammanfattning för att se alla periodogramvärden (och andra resultat) i resultattabellen. Nedan är en del av resultattabellen med den största toppen identifierad från periodogrammet.

Som diskuterats i avsnittet Introduktion är Frekvens antalet cykler per tidsenhet (där varje observation är en tidsenhet). Således motsvarar Frekvens 0,0909 värdet av 11 perioder (antalet tidsenheter som krävs för en komplett cykel). Eftersom solfläcksdata i Sunspot.sta representerar årliga observationer kan man dra slutsatsen att det finns en distinkt 11-årig (kanske något längre än 11-årig) cykel i solfläcksaktivitet.

Spektral densitet. För att beräkna spektraldensitetsuppskattningar jämnas periodogrammet typiskt ut för att ta bort slumpmässiga fluktuationer. Typ av vägt glidande medelvärde och fönsterbredd kan väljas i avsnittet Spectral Windows. Den inledande översikten diskuterar dessa alternativ i detalj. För vårt exempel, låt oss lämna standardfönstret markerat (Hamming width 5) och välj grafen Spectral Density.

De två topparna är nu ännu mer distinkta. Låt oss titta på periodogramvärdena per period. Välj fältet Period i avsnittet Schema. Välj nu grafen Spectral Density.

Återigen kan man se att det finns en uttalad 11-årscykel i solfläcksaktivitet; Dessutom finns det tecken på att det finns en längre cykel på cirka 80-90 år.

FOURIER TRANSFORM OCH KLASSISK DIGITAL SPEKTRAL ANALYS.
Medvedev S.Yu., Ph.D.

Introduktion

Spektralanalys är en av signalbehandlingsmetoderna som låter dig karakterisera frekvenssammansättningen av den uppmätta signalen. Fouriertransformen är ett matematiskt ramverk som relaterar en temporal eller rumslig signal (eller någon modell av den signalen) till dess frekvensdomänrepresentation. Statistiska metoder spelar en viktig roll i spektralanalys, eftersom signaler som regel är slumpmässiga eller brusiga under utbredning eller mätning. Om de grundläggande statistiska egenskaperna för en signal var exakt kända, eller om de kunde bestämmas från ett ändligt intervall av denna signal, skulle spektralanalys representera en gren av "exakt vetenskap". Men i verkligheten kan man från ett signalsegment endast få en uppskattning av dess spektrum. Därför är utövandet av spektralanalys ett slags hantverk (eller konst?) av ganska subjektiv karaktär. Skillnaden mellan de spektraluppskattningar som erhålls som ett resultat av att bearbeta samma signalsegment med olika metoder kan förklaras av skillnaden i de antaganden som gjorts beträffande data, olika sätt medelvärde osv. Om signalegenskaperna inte är kända a priori är det omöjligt att säga vilken av uppskattningarna som är bättre.

Fouriertransform - den matematiska grunden för spektralanalys
Låt oss kort diskutera olika typer av Fouriertransform (för mer information, se).
Låt oss börja med Fouriertransformen av en tidskontinuerlig signal

, (1)

som identifierar frekvenserna och amplituderna för de komplexa sinusoider (exponenter) i vilka en godtycklig oscillation bryts ned.
Omvänd konvertering

. (2)

Förekomsten av direkta och inversa Fouriertransformer (som vi vidare kommer att kalla Fouriertransformen med kontinuerlig tid - CTFT) bestäms av ett antal villkor. Tillräckligt - absolut signalintegrerbarhet

. (3)

Ett mindre restriktivt tillräckligt villkor är ändligheten hos signalenergin

. (4)

Låt oss presentera ett antal grundläggande egenskaper hos Fouriertransformen och funktioner som används nedan, och notera att ett rektangulärt fönster definieras av uttrycket

(5)

och sinc-funktionen är uttrycket

(6)

Tidsdomänsamplingsfunktionen ges av

(7)

Denna funktion kallas ibland också för den periodiska fortsättningsfunktionen.

Tabell 1. Huvudegenskaper hos NVPF och funktioner

Egendom, funktion	Fungera	Omvandling
Linjäritet	ag(t) + bh(t)	aG(f) + bH(f)
Tidsförskjutning	h (t - t 0)	H(f)exp(-j2pf t 0)
Frekvensskift (modulering)	h (t)exp(j2pf0 t)	H(f - f 0)
Skalning	(1 / |a|)h(t / a)	H(af)
Tidsdomän faltningssats	g(t)*h(t)	G(f)H(f)
Frekvensdomänfalssats	g(t) h(t)	G(f)*H(f)
Fönsterfunktion	Aw(t/T)	2ATsinc(2Tf)
Sinc funktion	2AFsinc(2Ft)	Aw(f/F)
Pulsfunktion	Annons(t)
Räknefunktion	T(f)	FF(f), F=1/T

En annan viktig egenskap fastställs av Parsevals teorem för två funktioner g(t) och h(t):

. (8)

Om vi ​​sätter g(t) = h(t), så reduceras Parsevals sats till satsen för energi

. (9)

Uttryck (9) är i huvudsak helt enkelt en formulering av lagen om energibevarande i två domäner (tid och frekvens). I (9) till vänster finns den totala signalenergin, alltså funktionen

(10)

beskriver frekvensfördelningen av energi för en deterministisk signal h(t) och kallas därför den spektrala energitätheten (SED). Använda uttryck

(11)

amplituden och fasspektra för signalen h(t) kan beräknas.

Provtagning och viktning

I nästa avsnitt kommer vi att introducera den diskreta Fourier-serien (DTFS) eller på annat sätt den diskreta Fourier-transformen (DFT) som ett specialfall av den kontinuerliga Fourier-transformen (CTFT) med två grundläggande signalbehandlingsoperationer - att ta sampel ( provtagning) Och vägning med hjälp av ett fönster. Här överväger vi inverkan av dessa operationer på signalen och dess transformation. Tabell 2 listar de funktioner som utför viktning och urval.

För enhetliga avläsningar med ett intervall på T sekunder är samplingsfrekvensen F lika med 1/T Hz. Observera att viktningsfunktionen och samplingsfunktionen i tidsdomänen betecknas TW (tidsfönster) respektive TS (tidssampling), och i frekvensdomänen - FW (frekvensfönster) och FS (frekvenssampling).

Tabell 2. Viktnings- och provtagningsfunktioner

Drift	Tidsfunktion	Omvandling
Tidsdomänviktning (fönsterbredd NT sek)	TW=w(2t / NT - 1)	F(TW)=NTsinc(NTf)exp(-jpNTf)
Frekvensdomänviktning (fönsterbredd 1/T Hz)		FW=w(2Tf)
Räknar i tid (intervall T sek)	TS=T T(t)
Frekvenssampling (vid 1/NT Hz-intervall)

Låt oss anta att sampel av en kontinuerlig reell signal x(t) med ett begränsat spektrum tas, vars övre frekvens är lika med F0. NVFT för en riktig signal är alltid en symmetrisk funktion med en full bredd på 2F0, se fig. 1.
Sampel av signalen x(t) kan erhållas genom att multiplicera denna signal med sampelfunktionen:

(12)

Fig. 1 - illustration av samplingssatsen i tidsdomänen för en verklig signal med ett begränsat spektrum:
a - den ursprungliga tidsfunktionen och dess Fouriertransform;
b - funktion av sampel i tid och dess Fouriertransform;
in-time sampel av den ursprungliga funktionen och dess periodiskt fortsatta Fourier-transform för fallet Fo<1/2T;
d - frekvensfönster (idealiskt lågpassfilter) och dess Fouriertransform (sinc-funktion);
d - den ursprungliga tidsfunktionen återställd genom faltningsoperationen med sinc-funktionen.

Enligt satsen för frekvensdomänfaltning är FTFT för signalen x(t) helt enkelt faltningen av spektrumet för signalen x(t) och Fouriertransformen av tidssampelfunktionen (TS):

. (13)

Konvolutionen av X(f) med Fouriertransformen av sampelfunktionen F(TS)=Y1/T(f) fortsätter helt enkelt periodiskt X(f) med ett frekvensintervall på 1/T Hz. Därför är XS(f) ett periodiskt utökat spektrum av X(f). I allmänhet leder sampel i en domän (till exempel tid) till periodisk fortsättning i transformationsdomänen (till exempel frekvens). Om samplingshastigheten väljs tillräckligt lågt (F< 2Fo), то периодически продолженные спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название эффекта наложения в частотной области.
För att återställa den ursprungliga tidssignalen från dess sampel, dvs. för att interpolera ett visst kontinuum av värden mellan dessa sampel kan du skicka samplade data genom ett idealiskt lågpassfilter med ett rektangulärt frekvenssvar (Fig. 1d)

. (14)

Som ett resultat (se fig. Id) återställs den ursprungliga Fouriertransformen. Med hjälp av faltningssatser i tids- och frekvensdomänerna får vi

. (15)

Uttryck (15) är en matematisk notation tidsdomänsamplingssatser(Theorem of Whittaker, Kotelnikov, Shannon - UKSH), som säger att med hjälp av interpolationsformeln (15) kan en riktig signal med ett begränsat spektrum återställas korrekt med oändligt antal kända tidsprov tagna med frekvensen F = 2F0. Dual till satsen (15) är satsen prover i frekvensdomänen för signaler med begränsad varaktighet.
Operationer i tidsdomänen, liknande (14), beskrivs av uttrycket

, (16)

och motsvarande transformationer är uttryck

Således kan NVPF X(f) för någon signal med en begränsad varaktighet otvetydigt återställas från ekvidistanta sampel av spektrumet för en sådan signal om det valda frekvenssamplingsintervallet uppfyller villkoret F1/2T 0 Hz, där To är signalen varaktighet.

Samband mellan kontinuerliga och diskreta transformationer

Ett par transformationer för den konventionella definitionen av N-punkts diskret Fouriertransform (DFT) tidssekvens x[n] och motsvarande N-punkt Fouriertransformsekvenser X[k] ges av uttrycken

, (18)
. (19)

För att erhålla spektrala uppskattningar från dataprover i motsvarande enheter för energi eller effekt, skriver vi en diskret-tids-Fourier-serie (DTFS), som kan betraktas som en approximation av den kontinuerliga-tids-Fourier-transformen (CTFT), baserat på användningen av ett ändligt antal dataprover:

För att visa arten av överensstämmelse med DVRF ( diskret funktioner i både tids- och frekvensdomänerna) och CVDFs (kontinuerliga funktioner i tids- och frekvensdomänerna), behöver vi en sekvens av fyra linjära kommutativa operationer: viktning i tids- och frekvensdomänerna och provtagning eller provtagning både i tids- och frekvensdomänerna. Om en viktningsoperation utförs i en av dessa regioner, kommer den, enligt faltningssatsen, att motsvara en filtreringsoperation (faltning) i en annan region med sinc-funktionen. På liknande sätt, om diskretisering utförs i en region, utförs en periodisk fortsättningsoperation i en annan. Eftersom vägning och provtagning är linjära och kommutativa operationer är olika sätt att beställa dem möjliga, vilket ger samma slutresultat med olika mellanresultat. Figur 2 visar två möjliga sekvenser för att utföra dessa fyra operationer.

Ris. 2. Två möjliga sekvenser av två vägningsoperationer och två samplingsoperationer, som förbinder NVPF och DVRF: FW - applicering av ett fönster i frekvensdomänen; TW - tillämpning av ett fönster i tidsdomänen; FS - ta prover i frekvensdomänen; TS - ta prover i tidsdomänen.
1 - kontinuerlig tids Fourier-transform, ekvation (1);
4 - diskret-tids Fourier-transform, ekvation (22);
5 - Fourierserier med kontinuerlig tid, ekvation (25);
8 - Fourierserier med diskret tid, ekvation (27)

Som ett resultat av att utföra vägnings- och samplingsoperationer vid noderna 1, 4, 5 och 8 kommer fyra olika typer av Fourier-relationer att uppstå. Noder där funktionen finns i frekvensdomänen är kontinuerlig, hänvisa till transformationer Fourier och de noder där funktionen finns i frekvensdomänen diskret hänvisa till Fourier-serier(för mer information se).
Således, i nod 4, genererar viktning i frekvensdomänen och sampling i tidsdomänen diskret tidskonvertering Fouriertransform (FTFT), som kännetecknas av en periodisk spektrumfunktion i frekvensdomänen med en period på 1/T Hz:

(22)

(23)

Observera att uttryck (22) definierar en viss periodisk funktion som sammanfaller med den ursprungliga transformerade funktionen specificerad i nod 1 endast i frekvensområdet från -1/2T till 1/2T Hz. Uttryck (22) är relaterat till Z-transformen av den diskreta sekvensen x[n] genom relationen

(24)

Så DVFT är helt enkelt Z-transformen beräknad på enhetscirkeln och multiplicerad med T.
Om vi ​​går från nod 1 till nod 8 i fig. 2 längs den nedre grenen, i nod 5 genererar operationerna viktning i tidsdomänen (begränsar signalens varaktighet) och sampling i frekvensdomänen en kontinuerlig-tids Fourier-serie (CFTS) ). Med hjälp av egenskaperna och definitionerna av funktioner som ges i tabellerna 1 och 2 får vi följande par av transformationer
(25)
(26)

Observera att uttrycket (26) definierar en viss periodisk funktion, som sammanfaller med den ursprungliga (vid nod 1) endast i tidsintervallet från 0 till NT.
Oavsett vilken av de två sekvenserna av fyra operationer som väljs, kommer slutresultatet vid nod 8 att vara detsamma - Diskret-tids Fourier-serien, vilket motsvarar följande par av transformationer som erhållits med användning av egenskaperna som anges i Tabell 1.

, (27)

där k=-N/2, . . . ,N/2-1

, (28)

där n=0, . . . ,N-1,
Energisatsen för denna DVRF är:

, (29)

och karakteriserar energin hos en sekvens av N datasampel. Båda sekvenserna x[n] och X[k] är periodisk modulo N, så (28) kan skrivas i formen

, (30)

där 0 n N. Faktorn T i (27) - (30) är nödvändig så att (27) och (28) faktiskt är en approximation av integraltransformationen i integrationsdomänen

.(31)

Noll stoppning

Genom en process som kallas utfyllnad med nollor, kan den diskreta Fourier-serien modifieras för att interpolera mellan N-värden av den ursprungliga transformationen. Låt de tillgängliga dataproverna x,...,x kompletteras med nollvärden x[N],...X. DVRF för denna noll-padded 2N-punkts datasekvens kommer att ges av

(32)

där den övre gränsen för summan till höger ändras för att passa förekomsten av nolldata. Låt k=2m, alltså

, (33)

där m=0,1,...,N-1, definierar jämna värden på X[k]. Detta visar att för jämna värden av index k, reduceras 2N-punkts diskret-tids Fourier-serien till en N-punkts diskret tidsserie. Udda värden för index k motsvarar interpolerade DVRF-värden placerade mellan värdena för den ursprungliga N-punkts DVRF. När fler och fler nollor läggs till den ursprungliga N-punktssekvensen kan ännu mer interpolerad data erhållas. I det begränsade fallet med ett oändligt antal inmatade nollor, kan DVRF betraktas som en diskret-tids Fourier-transform av en N-punkts datasekvens:

. (34)

Transformation (34) motsvarar nod 6 i fig. 2.
Det finns en missuppfattning att noll utfyllnad förbättrar upplösningen eftersom den ökar längden på datasekvensen. Emellertid, såsom följer av fig. 3, utfyllnad med nollor förbättras inte upplösning av transformationen erhållen från en given ändlig datasekvens. Nollstoppning möjliggör helt enkelt en interpolerad konvertering mer slät form. Dessutom eliminerar den osäkerheten som orsakas av närvaron av smalbandiga signalkomponenter vars frekvenser ligger mellan de N punkter som motsvarar de uppskattade frekvenserna för den ursprungliga DVRF:en. Vid utfyllnad med nollor ökar också noggrannheten för att uppskatta frekvensen av spektrala toppar. Med termen spektral upplösning menar vi förmågan att skilja mellan de spektrala svaren för två övertonssignaler. En allmänt accepterad tumregel, som ofta används i spektralanalys, är att frekvensseparationen för distingerade sinusoider inte kan vara mindre än motsvarande fönsterbredd, genom vilka segment (sektioner) av dessa sinusoider observeras.

Fig.3. Interpolation med nollutfyllnad:
a - DVRF-modul för 16-punkts datainspelning som innehåller tre sinusoider utan utfyllnad med nollor (osäkerheter är synliga: det är omöjligt att säga hur många sinusoider som finns i signalen - två, tre eller fyra);
b - DVRF-modul av samma sekvens efter att ha fördubblat antalet prover på grund av tillägget av 16 nollor (osäkerheter löses, eftersom alla tre sinusoiderna är särskiljbara;
c - DVRF-modul av samma sekvens efter en fyrfaldig ökning av antalet sampel på grund av tillägget av nollor.

Motsvarande fönsterbandbredd kan definieras som
där W(f) är den diskreta Fouriertransformen av fönsterfunktionen, till exempel rektangulär (5). På samma sätt kan du gå in motsvarande fönstervaraktighet

Det kan visas att den ekvivalenta varaktigheten för ett fönster (eller någon annan signal) och den ekvivalenta bandbredden för dess transformation är ömsesidigt inversa storheter: TeBe=1.

Snabb Fourier Transform

Fast Fourier Transform (FFT) är inte en annan typ av Fouriertransform, utan namnet på ett antal effektiva algoritmer, designad för snabb beräkning av diskreta Fourier-serier. Huvudproblemet som uppstår vid den praktiska implementeringen av DVRF ligger i det stora antalet beräkningsoperationer som är proportionella mot N2. Även om långt före tillkomsten av datorer föreslogs flera effektiva datorsystem som avsevärt kunde minska antalet beräkningsoperationer, gjordes en verklig revolution genom publiceringen 1965 av en artikel av Cooly och Tukey med en praktisk algoritm för snabb (antal operationer) Nlog 2 N) beräkningar av DVRF . Efter detta utvecklades många varianter, förbättringar och tillägg till grundidén, som bildar en klass av algoritmer som kallas den snabba Fouriertransformen. Grundidén med FFT är att dela upp en N-punkts DVRF i två eller flera mindre DVRF, som var och en kan beräknas separat och sedan linjärt summeras med de andra för att erhålla DVRF för den ursprungliga N-punktssekvensen.
Låt oss representera den diskreta Fouriertransformen (DFFT) i formen

, (35)

där värdet W N =exp(-j2 /N) kallas vridningsfaktorn (hädanefter i detta avsnitt är samplingsperioden T=1). Låt oss välja element med jämna och udda tal från sekvensen x[n]

. (36)

Men sedan dess
. Därför kan (36) skrivas i formen

, (37)

där varje term är en transformation av längden N/2

(38)

Observera att sekvensen (WN/2) nk är periodisk i k med period N/2. Därför, även om talet k i uttrycket (37) tar värden från 0 till N-1, beräknas var och en av summorna för värden på k från 0 till N/2-1. Det är möjligt att uppskatta antalet komplexa multiplikations- och additionsoperationer som krävs för att beräkna Fouriertransformen i enlighet med algoritm (37)-(38). Två N/2-punkts Fouriertransformationer enligt formlerna (38) innebär att man utför 2(N/2) 2 multiplikationer och ungefär samma antal additioner. Att kombinera två N/2-punktstransformationer med formel (37) kräver ytterligare N multiplikationer och N additioner. Därför, för att beräkna Fouriertransformen för alla N-värden av k, är det nödvändigt att utföra N+N 2/2 multiplikationer och additioner. Samtidigt kräver direkt beräkning med formel (35) N 2 multiplikationer och additioner. Redan för N>2 är olikheten N+N 2 /2 uppfylld< N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям:

, (39)
(40)

I det här fallet, på grund av periodiciteten för sekvensen W nk N/4 i k med period N/4, behöver summor (40) endast beräknas för värden på k från 0 till N/4-1. Att beräkna sekvensen X[k] med formlerna (37), (39) och (40) kräver därför, vilket är lätt att beräkna, redan 2N+N 2 /4 multiplikations- och additionsoperationer.
Genom att följa denna väg kan mängden beräkning X[k] minskas mer och mer. Efter m=log 2 N expansioner kommer vi fram till tvåpunkts Fouriertransformer av formen

(41)

där "enpunktstransformationerna" X 1 helt enkelt är sampel av signalen x[n]:

X1 = x[q]/N, q=0,1,...,N-1. (42)

Som ett resultat kan vi skriva FFT-algoritmen, som av förklarliga skäl kallas tidsförtunnande algoritm :

X 2 = (x[p] + W k 2 x) / N,

där k=0,1, p=0,1,...,N/2-1;

X 2N/M =X N/M + W k 2N/M X N/M ,

där k=0,1,...,2N/M-1, p=0,1,...,M/2-1;

X[k] = X N [k] =X N/2 + W k N X N/2 , (43)

där k=0,1,...,N-1

I varje steg av beräkningar utförs N komplexa multiplikationer och additioner. Och eftersom antalet sönderdelningar av den ursprungliga sekvensen i halvlånga delsekvenser är lika med log 2 N, så är det totala antalet multiplikations-additionsoperationer i FFT-algoritmen lika med Nlog 2 N. För stort N finns det en signifikant besparingar i beräkningsoperationer jämfört med direkta DFT-beräkningar. Till exempel, när N = 2 10 = 1024 minskas antalet operationer med 117 gånger.
Den tidsdecimerade FFT-algoritmen som vi ansåg är baserad på beräkning av Fouriertransformen genom att bilda delsekvenser av ingångssekvensen x[n]. Det är emellertid också möjligt att använda en sekvensnedbrytning av Fouriertransformen X[k]. FFT-algoritmen baserad på denna procedur kallas c frekvensförtunning. Du kan läsa mer om den snabba Fouriertransformen till exempel i.

Slumpmässiga processer och effektspektral densitet

Diskret slumpmässig process x kan betraktas som en viss uppsättning, eller ensemble, av verkliga eller komplexa diskreta tidssekvenser (eller rumsliga) sekvenser, som var och en skulle kunna observeras som ett resultat av något experiment (n är tidsindexet, i är observationsnumret). Sekvensen som erhålls som ett resultat av en av observationerna kommer att betecknas med x[n]. Operationen att beräkna medelvärde över ensemblen (dvs. statistiskt medelvärde) kommer att betecknas av operatören<>. Således, - medelvärdet för den slumpmässiga processen x[n] vid tidpunkten n. Autokorrelation slumpmässig process vid två olika tidpunkter n1 och n2 bestäms av uttrycket r xx = .

En slumpmässig process kallas stationär in i vidare mening, om dess medelvärde är konstant (oberoende av tid), och autokorrelation beror endast på skillnaden i tidsindex m=n1-n2 (tidsförskjutning eller fördröjning mellan sampel). Således kännetecknas en i stort sett stationär diskret slumpmässig process x[n] av ett konstant medelvärde =Och autokorrelationssekvens(AKP)

r xx [m] =< xx*[n] >. (44)

Låt oss notera följande egenskaper hos den automatiska växellådan:

r xx |r xx [m]| , r xx [-m] = r* xx [m], (45)

som gäller för alla m.
Power Spectral Density (PSD) definieras som den diskreta-tids Fourier-transformen (DTFT) av en autokorrelationssekvens

. (46)

PSD, vars bredd antas vara begränsad till ±1/2T Hz, är en periodisk funktion av frekvensen med en period av 1/T Hz. PSD-funktionen beskriver frekvensfördelningen av kraften i en slumpmässig process. För att bekräfta namnet som valts för det, överväg den omvända DVFT

(47)

beräknat till m=0

(48)

Autokorrelation vid nollskift kännetecknar medeleffekt slumpmässig process. Enligt (48) kännetecknar arean under kurvan P xx (f) medeleffekten, så P xx (f) är en densitetsfunktion (effekt per frekvensenhet) som kännetecknar effektfördelningens frekvens. Transformationsparet (46) och (47) kallas ofta Wiener-Khinchins teorem för fallet med diskret tid. Eftersom r xx [-m]=r* xx [m], måste PSD vara en strikt positiv funktion. Om ACP är en strikt reell funktion kan r xx [-m]=r xx [m] och PSD skrivas i form av Fourier cosinustransformen

,

vilket också betyder att P xx (f) = P xx (-f), dvs. SPM är en jämn funktion.
Fram till nu, när vi bestämmer medelvärdet, korrelationen och effektspektraltätheten för en slumpmässig process, har vi använt statistiskt medelvärde över ensemblen. Men i praktiken är det vanligtvis inte möjligt att få en ensemble av implementeringar av den nödvändiga processen från vilken dessa statistiska egenskaper kan beräknas. Det är tillrådligt att utvärdera alla statistiska egenskaper genom att använda ett exempel på realisering x(t), som ersätter y ensemble medelvärdesberäkning av tid. Egenskapen som gör att en sådan ersättning kan göras kallas ergodicitet. En slumpmässig process sägs vara ergod om, med sannolikhet lika med ett, alla dess statistiska egenskaper kan förutsägas från en implementering från ensemblen med hjälp av tidsgenomsnitt. Med andra ord, tidsmedelvärdena för nästan alla möjliga implementeringar av processen konvergerar med sannolikhet ett till samma konstanta värde - ensemblemedelvärdet

. (49)

Denna gräns, om den finns, konvergerar till det sanna medelvärdet om och endast om tidsvariansen för medelvärdet tenderar till noll, vilket betyder att följande villkor gäller:

. (50)

Här är c ​​xx [m] det sanna värdet av kovariansen för process x[n].
På liknande sätt, om man observerar värdet av produkten av processprov x[n] vid två tidpunkter, kan man förvänta sig att medelvärdet kommer att vara lika med

(51)

Ergodicitetsantagandet tillåter oss att inte bara introducera, genom tidsgenomsnitt, definitionerna för medelvärde och autokorrelation, utan också att ge en liknande definition för effektspektral densitet

. (52)

Denna ekvivalenta form av PSD erhålls genom statistiskt medelvärde av DVFT-modulen för den viktade datamängden dividerad med längden på dataposten, för det fall där antalet sampel ökar till oändligt. Statistisk medelvärdesberäkning är nödvändig här eftersom DVFT i sig är en slumpvariabel som ändras för varje realisering av x[n]. För att visa att (52) är ekvivalent med Wiener-Khinchin-satsen, representerar vi kvadraten på DVFT-modulen som en produkt av två serier och ändrar ordningen för summerings- och statistiska medelvärdesoperationer:

(53)

Använder det berömda uttrycket

, (54)

relation (53) kan reduceras till följande:

(55)

Notera att i det sista steget av härledning (55) användes antagandet att autokorrelationssekvensen "förfaller", så att

. (56)

Förhållandet mellan de två definitionerna av PSD (46) och (52) visas tydligt av diagrammet som presenteras i figur 4.
Om vi ​​i uttryck (52) inte tar hänsyn till operationen av matematiska förväntningar, får vi SPM-uppskattningen

, (57)

som kallas provspektrum.

Ris. 4. Samband mellan två metoder för att uppskatta effektspektraltäthet

Periodogrammetod för spektraluppskattning

Ovan introducerade vi två formella ekvivalenta metoder för att bestämma effektspektraldensitet (PSD). Den indirekta metoden är baserad på användningen av en oändlig sekvens av data för att beräkna en autokorrelationssekvens, vars Fouriertransform ger den önskade PSD. Den direkta metoden för att bestämma PSD är baserad på att beräkna kvadratmodulen för Fouriertransformen för en oändlig sekvens av data med användning av lämplig statistisk medelvärdesberäkning. Den PSD som erhålls utan sådan medelvärdesberäkning visar sig vara otillfredsställande, eftersom rot-medelkvadratfelet för en sådan uppskattning är jämförbart med dess medelvärde. Nu kommer vi att överväga medelvärdesberäkningsmetoder som ger jämna och statistiskt stabila spektraluppskattningar över ett ändligt antal prover. SPD-uppskattningar baserade på direkt datatransformation och efterföljande medelvärdesberäkning kallas periodogram. PSD-uppskattningar, för vilka korrelationsuppskattningar först bildas från initialdata, anropas korrelogram. När man använder någon PSD-uppskattningsmetod måste användaren fatta många avvägningsbeslut för att erhålla statistiskt stabila spektraluppskattningar med högsta möjliga upplösning från ett ändligt antal sampel. Dessa avvägningar inkluderar, men är inte begränsade till, valet av fönster för dataviktning och korrelationsuppskattningar och tidsdomän- och frekvensdomänmedelvärdesparametrar som balanserar kraven på att minska sidolober på grund av viktning, utföra effektiv medelvärdesberäkning och tillhandahålla acceptabel spektral upplösning. I fig. Figur 5 visar ett diagram som visar huvudstegen periodogram metod

Ris. 5. Huvudstadier för att uppskatta PSD med hjälp av periodogrammetoden

Tillämpningen av metoden börjar med insamling av N dataprover, som tas med ett intervall av T sekunder per prov, följt (valfritt) av ett avskräckningssteg. För att erhålla en statistiskt stabil spektral uppskattning måste tillgängliga data delas upp i överlappande (om möjligt) segment och därefter medelvärdesbildas av provspektra som erhålls för varje sådant segment. Parametrarna för denna medelvärdesberäkning ändras genom att på lämpligt sätt välja antalet sampel per segment (NSAMP) och antalet sampel med vilka början av nästa segment måste förskjutas (NSHIFT), se fig. 6. Antalet segment väljs beroende på den erforderliga graden av jämnhet (spridning) av spektraluppskattningen och den erforderliga spektralupplösningen. Ett litet värde för NSAMP-parametern resulterar i fler segment över vilka medelvärdesbildning kommer att utföras, och därför kommer uppskattningar med mindre varians, men också mindre frekvensupplösning, att erhållas. Ökning av segmentlängden (NSAMP-parameter) ökar upplösningen, naturligtvis på grund av en ökning av variansen för uppskattningen på grund av ett mindre antal medelvärden. Returpilen i fig. 5 indikerar behovet av flera upprepade passeringar genom data vid olika längder och antal segment, vilket gör att vi kan få mer information om processen som studeras.

Fig. 6. Dela upp data i segment för att beräkna ett periodogram

Fönster

En av de viktiga frågorna som är gemensamma för alla klassiska spektraluppskattningsmetoder är relaterad till dataviktning. Windowing används för att kontrollera sidolobseffekter i spektraluppskattningar. Observera att det är bekvämt att betrakta den befintliga ändliga dataposten som en del av den motsvarande oändliga sekvensen, synlig genom det applicerade fönstret. Således kan sekvensen av observerade data x 0 [n] från N sampel skrivas matematiskt som produkten av en oändlig sekvens x[n] och en rektangulär fönsterfunktion

X 0 [n]=x[n] rät[n].
Detta gör det uppenbara antagandet att alla oobserverade sampel är lika med noll, oavsett om så faktiskt är fallet. Den tidsdiskreta Fouriertransformen av en viktad sekvens är lika med faltningen av transformationerna av sekvensen x[n] och det rektangulära fönstret rect[n]

Xo(f)=X(f)*DN(f), där
DN(f)= Texp(-j2pfT)sin(pfTN)/sin(pfT).

Funktionen D N (f), som kallas den diskreta sinc-funktionen, eller Dirichlet-kärnan, är en DCFT av en rektangulär funktion. Transformationen av en observerad finit sekvens är en förvrängd version av transformationen av en oändlig sekvens. Effekten av ett rektangulärt fönster på en tidsdiskret sinusform med frekvensen f 0 illustreras i fig. 7.

Fig. 7. Illustration av diskret-tids Fourier-transformationsbias på grund av läckage på grund av dataviktning: a, b - ursprungliga och viktade sekvenser; b, d - deras Fouriertransformer.

Det kan ses från figuren att de skarpa spektraltopparna för DTFT för den oändliga sinusvågsekvensen expanderas på grund av faltningen med fönstertransformen. Sålunda bestäms den minsta bredden av spektraltopparna i en fönstervägd sekvens av bredden på huvudtransformloben för det fönstret och är oberoende av data. Sidolober fönstertransformationer kommer att ändra amplituderna för intilliggande spektrala toppar (kallas ibland genomblödning). Eftersom DVFT är en periodisk funktion, kan överlagring av sidolober från angränsande perioder leda till ytterligare förspänning. Att öka samplingshastigheten minskar sidolobens aliaseffekt. Liknande distorsioner kommer naturligtvis att observeras i fallet med icke-sinusformade signaler. Blödning introducerar inte bara amplitudfel i spektra av diskreta signaler, utan kan också maskera närvaron svaga signaler. Det finns ett antal andra fönsterfunktioner som kan erbjudas som kan minska sidolober jämfört med ett rektangulärt fönster. En minskning av nivån av sidolober kommer att minska förskjutningen i spektraluppskattningen, men detta kommer till priset av att utöka huvudloben i fönsterspektrumet, vilket naturligtvis leder till en försämring av upplösningen. Följaktligen måste även här någon kompromiss väljas mellan huvudlobens bredd och sidolobernas nivå. Flera parametrar används för att utvärdera kvaliteten på fönster. Den traditionella indikatorn är huvudlobens bandbredd vid halv effekt. Den andra indikatorn är den motsvarande bandbredden som introducerades ovan. Två indikatorer används också för att utvärdera sidolobernas egenskaper. Den första är deras maximala nivå, den andra är sönderfallshastigheten, som kännetecknar den hastighet med vilken sidoloberna minskar med avståndet från huvudloben. Tabell 3 visar definitioner av några vanligen använda diskreta tidsfönsterfunktioner, och Tabell 4 visar deras egenskaper.
Tabell 3. Definitioner av typiska N-punkts diskreta tidsfönsterMax. sidolobsnivå, dB -31,5

. (46)

Korrelogrammetod att uppskatta PSD är helt enkelt att ersätta en ändlig sekvens av värden i uttryck (46) för autokorrelationsuppskattningen ( korrelogram) istället för en oändlig sekvens av okända sanna autokorrelationsvärden. Mer information om korrelogrammetoden för spektraluppskattning finns i.

Litteratur

1. Rabiner L., Gould B. Teori och tillämpning av digital signalbehandling. M.: Mir, 1978.

2. Marple Jr. S.L. Digital spektralanalys och dess tillämpningar: Transl. från engelska -M.: Mir, 1990.

3. Goldberg L.M., Matyushkin B.D., Polyak M.N., Digital bearbetning- M.: Radio och kommunikation, 1990.

4. Otnes R., Enokson L. Tillämpad analys av tidsserier - M.: Mir, 1982.

Spektralanalys

Spektralanalys är en bred klass av databehandlingsmetoder baserat på deras frekvensrepresentation, eller spektrum. Spektrum erhålls genom att dekomponera den ursprungliga funktionen, som beror på tid (tidsserier) eller rumsliga koordinater (till exempel en bild), till grunden för någon periodisk funktion. Oftast, för spektral bearbetning, används Fourier-spektrumet som erhålls på basis av sinusbasen (Fourier-nedbrytning, Fourier-transform).

Den huvudsakliga innebörden av Fouriertransformen är att den ursprungliga icke-periodiska funktionen av en godtycklig form, som inte kan beskrivas analytiskt och därför är svår att bearbeta och analysera, representeras som en uppsättning av sinus eller cosinus med olika frekvenser, amplituder och initialer. faser.

En komplex funktion förvandlas med andra ord till många enklare. Varje sinusvåg (eller cosinusvåg) med en viss frekvens och amplitud, erhållen som ett resultat av Fourierexpansion, kallas spektral komponent eller harmonisk. De spektrala komponenterna bildas Fourierspektrum.

Visuellt presenteras Fourier-spektrumet i form av en graf där den cirkulära frekvensen, betecknad med den grekiska bokstaven "omega", plottas längs den horisontella axeln, och amplituden för de spektrala komponenterna, vanligtvis betecknad med den latinska bokstaven A , plottas längs den vertikala axeln. Sedan kan varje spektral komponent representeras som en räkning, position som horisontellt motsvarar dess frekvens och höjd – dess amplitud. En överton med noll frekvens kallas konstant komponent(i temporal representation är detta en rak linje).

Även en enkel visuell analys av spektrumet kan berätta mycket om karaktären av funktionen på grundval av vilken den erhölls. Det är intuitivt tydligt att snabba förändringar i initialdata ger upphov till komponenter i spektrumet med hög frekvens, och långsamma - med låg. Därför, om amplituden för dess komponenter minskar snabbt med ökande frekvens, är den ursprungliga funktionen (till exempel en tidsserie) jämn, och om spektrumet innehåller högfrekventa komponenter med stor amplitud, kommer den ursprungliga funktionen att innehålla skarpa fluktuationer . För en tidsserie kan detta alltså indikera en stor slumpmässig komponent, instabilitet hos de processer som beskrivs eller förekomsten av brus i data.

Spektralbehandling är baserad på spektrummanipulation. Faktum är att om du minskar (undertrycker) amplituden för högfrekventa komponenter och sedan, baserat på det ändrade spektrumet, återställer den ursprungliga funktionen genom att utföra en invers Fourier-transform, kommer den att bli mjukare på grund av att högfrekvensen tas bort komponent.

För en tidsserie innebär det till exempel att man tar bort information om daglig försäljning, som är mycket känslig för slumpmässiga faktorer, och lämnar efter sig mer konsekventa trender, som säsongsvariationer. Du kan tvärtom undertrycka lågfrekventa komponenter, vilket tar bort långsamma förändringar och lämnar bara snabba. I fallet med en tidsserie kommer detta att innebära att säsongskomponenten försvinner.

Genom att använda spektrumet på detta sätt kan du uppnå önskad förändring av originaldata. Den vanligaste användningen är att jämna ut tidsserier genom att ta bort eller minska amplituden hos högfrekventa komponenter i spektrumet.

För att manipulera spektra används filter – algoritmer som kan styra formen på spektrumet, undertrycka eller förbättra dess komponenter. Main fast egendom några filtreraär dess amplitud-frekvenssvar (AFC), vars form bestämmer omvandlingen av spektrumet.

Om ett filter bara passerar spektrala komponenter med en frekvens under en viss gränsfrekvens, kallas det ett lågpassfilter (LPF), och det kan användas för att jämna ut data, rensa den från brus och onormala värden.

Om ett filter passerar spektrala komponenter över en viss gränsfrekvens, kallas det ett högpassfilter (HPF). Den kan användas för att undertrycka långsamma förändringar, såsom säsongsvariationer i dataserier.

Dessutom används många andra typer av filter: mellanpassfilter, stoppfilter och bandpassfilter, såväl som mer komplexa sådana, som används vid signalbehandling inom radioelektronik. Att välja typ och form frekvenssvar filter kan du uppnå önskad transformation av originaldata genom spektral bearbetning.

När du utför frekvensfiltrering av data i syfte att utjämna och ta bort brus är det nödvändigt att korrekt specificera lågpassfiltrets bandbredd. Om du väljer det för högt kommer graden av utjämning att vara otillräcklig och bruset kommer inte att dämpas helt. Om det är för smalt, så tillsammans med bruset, förändringar som medför användbar information. Om i tekniska tillämpningar Det finns strikta kriterier för att bestämma de optimala egenskaperna hos filter, sedan i analytisk teknik är det nödvändigt att använda huvudsakligen experimentella metoder.

Spektralanalys är en av de mest effektiva och välutvecklade databehandlingsmetoderna. Frekvensfiltreringär bara en av dess många applikationer. Dessutom används den vid korrelation och statistisk analys, syntes av signaler och funktioner, byggnadsmodeller m.m.

Analysmetoden baserades på den så kallade Fourier-serien. Serien börjar med nedbrytningen av komplexa former till enkla. Fourier visade att en komplex vågform kan representeras som summan av enkla vågor. Som regel kan ekvationerna som beskriver klassiska system lätt lösas för var och en av dessa enkla vågor. Vidare visade Fourier hur dessa enkla lösningar kan sammanfattas för att få en lösning på hela det komplexa problemet som helhet. (Matematiskt sett är Fourier-serien en metod för att representera en funktion som en summa av övertoner - sinus och cosinus, varför Fourier-analys också var känd som "övertonsanalys".)

Enligt Fourierhypotesen finns det ingen funktion som inte kan expanderas till en trigonometrisk serie. Låt oss överväga hur denna nedbrytning kan utföras. Betrakta följande system av ortonormala funktioner på intervallet [–π, π]: (1, cos(t),
synd(t),
cos(2t),
sin(2t),
cos(3t),
sin(3t), …,
cos(nt),
synd(nt),...).

Styrs av det faktum att detta system funktioner är ortonormala, funktionen f(t) på intervallet [π, –π] kan approximeras enligt följande:

f(t) = aO + al
cos(t) + α2
cos(2t) +
α3 cos(3t) + …

... + β1
sin(t) + β2
sin(2t) + β3
sin(3t)+… (6)

Koefficienterna α n, β n beräknas genom skalärprodukten av funktionen och basfunktionen enligt de formler som diskuterats tidigare och uttrycks enligt följande:

α 0 = , 1> =
,

α n = , cos(nt) > =
,

βn = , sin(nt) > =
.

Uttryck (6) kan skrivas i komprimerad form enligt följande:

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(t) + a 2 cos(2t) + a 3 cos(3t) + …

B 1 sin(t) + b 2 sin(2t) + b 3 sin(3t)+... (7)

a 0 = 2a 0 =
,

och n =
α n =
, (8)

b n=
β n=
. (9)

Eftersom vid n = 0 cos(0) = 1, uttrycker konstanten a 0 /2 allmän form koefficient a n för n = 0.

Koefficienterna a n och b n kallas Fourierkoefficienter, och representationen av funktionen f(t) enligt formel (7) kallas Fourierserieexpansionen. Ibland kallas en Fourierserieexpansion som presenteras i denna form en verklig Fourierserieexpansion, och koefficienterna kallas verkliga Fourierkoefficienter. Termen "riktig" introduceras för att skilja denna nedbrytning från en komplex nedbrytning.

Låt oss analysera uttryck (8) och (9). Koefficient 0 representerar medelvärdet av funktionen f(t) på segmentet [–π,π] eller den konstanta komponenten av signalen f(t). Koefficientsa n och b n (vid n> 0) är amplituderna för cosinus- och sinuskomponenterna för funktionen (signalen) f(t) med en vinkelfrekvens lika med n. Med andra ord specificerar dessa koefficienter storleken på signalernas frekvenskomponenter. Till exempel, när vi talar om en ljudsignal med låga frekvenser (till exempel ljudet av en bas), betyder det att koefficienterna a n och b n är större för mindre värden på n, och vice versa - i hög- frekvensljudvibrationer (till exempel ljudet av en violin) de är större för större värden på n.

Svängningen för den längsta perioden (eller lägsta frekvensen), representerad av summan av a 1 cos(t) och b 1 sin(t), kallas svängningen av grundfrekvensen eller den första övertonen. En svängning med en period lika med halva perioden av grundfrekvensen är en andra överton, en svängning med en period lika med 1/n av grundfrekvensen är en n-överton. Med hjälp av expansionen av funktionen f(t) till en Fourier-serie kan vi alltså göra övergången från tidsdomänen till frekvensdomänen. Denna övergång är vanligtvis nödvändig för att identifiera signalfunktioner som är "osynliga" i tidsdomänen.

Observera att formlerna (8) och (9) är tillämpliga för en periodisk signal med en period lika med 2π. I det allmänna fallet kan en periodisk signal med period T utökas till en Fourierserie, sedan används segmentet [–T/2, T/2] i expansionen. Perioden för den första övertonen är lika med T och komponenterna har formen cos(2πt/T) och sin(2πt/T), komponenterna i n-övertonen är cos(2πtn/T) och sin(2πtn/T ).

Funktionen f(t) på intervallet [–T/2,T/2] kan approximeras enligt följande:

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(2πt/T) + a 2 cos(4πt/T) + a 3 cos(6πt/T) + …

B 1 sin(2πt/T) + b 2 sin(4πt/T) + b 3 sin(6πt/T)+…, (10)

a n =
,

b n=
.

Om vi ​​betecknar vinkelfrekvensen för den första övertonen som ω 0 = 2π/T, så tar de n-övertonskomponenter formen cos(ω 0 nt), sin(ω 0 nt) och

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(ω 0 t) + a 2 cos(2ω 0 t) + a 3 cos(3ω 0 t) + …

B 1 sin(ω 0 t) + b 2 sin(2ω 0 t) + b 3 sin(3ω 0 t)+…=

=
, (11)

där Fourierkoefficienterna beräknas med formlerna:

a n =
,

bn =
.

Vilken våg som helst med komplex form kan representeras som summan av enkla vågor.

Joseph Fourier var mycket angelägen om att beskriva i matematiska termer hur värme passerar genom fasta föremål ( centimeter. Värmeväxling). Hans intresse för värme kan ha väckts när han var i Nordafrika: Fourier följde med Napoleon på den franska expeditionen till Egypten och bodde där en tid. För att nå sitt mål var Fourier tvungen att utveckla nya matematiska metoder. Resultaten av hans forskning publicerades 1822 i verket "Analytical Theory of Heat" ( Théorie analytique de la chaleur), där han förklarade hur man analyserar komplexa fysiska problem genom att dela upp dem i en serie enklare.

Analysmetoden byggde på den sk Fourier-serier. I enlighet med interferensprincipen börjar serien med sönderdelningen av en komplex form till enkla - till exempel förklaras en förändring av jordens yta av en jordbävning, en förändring i en komets omloppsbana förklaras av påverkan av attraktionen hos flera planeter beror en förändring i värmeflödet på dess passage genom ett oregelbundet format hinder tillverkat av värmeisolerande material. Fourier visade att en komplex vågform kan representeras som summan av enkla vågor. Som regel kan ekvationerna som beskriver klassiska system lätt lösas för var och en av dessa enkla vågor. Fourier visade sedan hur dessa enkla lösningar kan sammanfattas för att ge en lösning på hela det komplexa problemet. (Matematiskt sett är en Fourier-serie en metod för att representera en funktion som en summa av övertoner - sinus- och cosinusvågor, vilket är anledningen till att Fourier-analys också var känd som "harmonisk analys.")

Före tillkomsten av datorer i mitten av nittonhundratalet var Fouriermetoder och liknande metoder bästa vapnet i den vetenskapliga arsenalen när man attackerar naturens komplexitet. Sedan tillkomsten av komplexa Fouriermetoder har forskare kunnat använda dem för att lösa inte bara enkla uppgifter, som kan lösas genom direkt tillämpning av Newtons mekaniklagar och andra fundamentala ekvationer. Många av den newtonska vetenskapens stora landvinningar på 1800-talet skulle i själva verket ha varit omöjliga utan användningen av de metoder som Fourier banat väg för. Därefter användes dessa metoder för att lösa problem inom olika områden - från astronomi till maskinteknik.

Jean-Baptiste Joseph FOURIE
Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830

fransk matematiker. Född i Auxerre; vid nio års ålder lämnades han som föräldralös. Redan i unga år visade han fallenhet för matematik. Fourier utbildades vid en kyrkoskola och en militärskola och arbetade sedan som matematiklärare. Under hela sitt liv var han aktivt involverad i politiken; arresterades 1794 för att försvara terroroffer. Efter Robespierres död släpptes han från fängelset; deltog i skapandet av den berömda polytekniska skolan (Ecole Polytechnique) i Paris; hans position gav honom en språngbräda för avancemang under Napoleons regim. Han följde med Napoleon till Egypten och utnämndes till guvernör i Nedre Egypten. När han återvände till Frankrike 1801, utnämndes han till guvernör i en av provinserna. 1822 blev han ständig sekreterare för den franska vetenskapsakademin, en inflytelserik position i den franska vetenskapsvärlden.