Razdelek Uvodni pregled obravnava dve zelo preprosti primeri(povzeto po Shumway, 1988) za ponazoritev narave spektralne analize in interpretacije rezultatov. Če niste seznanjeni s to metodo, vam priporočamo, da si najprej ogledate ta del tega poglavja.

Pregled in podatkovna datoteka. Datoteka Sunspot.sta vsebuje del znanih številk sončnih peg (Wolfer) od 1749 do 1924 (Anderson, 1971). Spodaj je seznam prvih nekaj podatkov iz vzorčne datoteke.

Domneva se, da število sončnih peg vpliva na vreme na zemlji, pa tudi na kmetijstvo, telekomunikacije itd. S to analizo lahko poskušamo ugotoviti, ali je aktivnost sončnih peg resnično ciklične narave (pravzaprav je, o teh podatkih se veliko razpravlja v literaturi; glej na primer Bloomfield, 1976 ali Shumway, 1988).

Opredelitev analize. Po izvedbi analize odprite podatkovno datoteko Sunspot.sta. Kliknite gumb Spremenljivke in izberite spremenljivko Spots (upoštevajte, da če je podatkovna datoteka Sunspot.sta trenutna Odpri datoteko podatkov, spremenljivka Spots pa je edina spremenljivka v tej datoteki, ko se odpre pogovorno okno Analiza časovnih vrst, bodo točke samodejno izbrane). Zdaj kliknite gumb Fourierjeva (spektralna) analiza, da odprete pogovorno okno Fourierjeva (spektralna) analiza.

Pred uporabo spektralne analize najprej narišite število sončnih peg. Upoštevajte, da datoteka Sunspot.sta vsebuje ustrezna leta kot imena opazovanj. Za uporabo teh imen v linijski grafi, kliknite zavihek Ogled serije in izberite Imena primerov v razdelku Označi točke. Prav tako izberite Nastavi merilo osi X ročno in Min. = 1 in Korak = 10. Nato kliknite gumb Graf poleg gumba Ogled izbire. spremenljivka.

Zdi se, da število sončnih peg sledi cikličnemu vzorcu. Trend ni viden, zato se vrnite v okno Spectral Analysis in prekličite izbiro možnosti Remove Linear Trend v skupini Transform Source Series.

Očitno je, da je povprečje serije večje od 0 (nič). Zato pustite izbrano možnost Odštej srednjo vrednost [sicer bo periodogram »zamašen« z zelo velikim vrhom pri frekvenci 0 (nič)].

Zdaj ste pripravljeni na začetek analize. Sedaj kliknite OK (Enodimenzionalna Fourierjeva analiza), da prikažete pogovorno okno Rezultati Fourierjeve spektralne analize.

Oglejte si rezultate. Razdelek z informacijami na vrhu pogovornega okna prikazuje nekaj povzetkov statističnih podatkov za niz. Prikazuje tudi pet največjih vrhov v periodogramu (po frekvenci). Trije največji vrhovi so na frekvencah 0,0852, 0,0909 in 0,0114. Te informacije so pogosto uporabne pri analizi zelo velikih nizov (na primer z več kot 100.000 opazovanji), ki jih ni enostavno narisati na enem grafu. V tem primeru pa je enostavno videti periodogramske vrednosti; s klikom na gumb Periodogram v razdelku Periodogram in Grafi spektralne gostote.

Graf periodograma prikazuje dva jasna vrhova. Največ je pri frekvenci približno 0,9. Vrnite se v okno z rezultati spektralne analize in kliknite gumb Povzetek, da vidite vse vrednosti periodograma (in druge rezultate) v tabeli z rezultati. Spodaj je del tabele z rezultati z največjim vrhom, identificiranim iz periodograma.

Kot je razloženo v razdelku Uvodni pregled, je pogostost število ciklov na časovno enoto (kjer je vsako opazovanje ena časovna enota). Tako frekvenca 0,0909 ustreza vrednosti 11 obdobij (število časovnih enot, potrebnih za celoten cikel). Ker podatki o sončnih pegah na Sunspot.sta predstavljajo letna opazovanja, lahko sklepamo, da obstaja izrazit 11-letni (morda nekoliko daljši od 11-letnega) cikel aktivnosti sončnih peg.

Spektralna gostota. Običajno se za izračun ocen spektralne gostote periodogram zgladi, da se odstranijo naključna nihanja. Vrsto tehtanega drsečega povprečja in širino okna lahko izberete v razdelku Spektralna okna. Razdelek Uvodni pregled podrobno obravnava te možnosti. Za naš primer pustimo izbrano privzeto okno (Hammingova širina 5) in izberimo graf spektralne gostote.

Dva vrhova sta zdaj še bolj razločna. Poglejmo vrednosti periodograma po obdobju. Izberite polje Obdobje v razdelku Urnik. Zdaj izberite graf spektralne gostote.

Spet je razvidno, da obstaja izrazit 11-letni cikel v aktivnosti sončnih peg; Poleg tega obstajajo znaki obstoja daljšega, približno 80-90 letnega cikla.

FOURIEREVA TRANSFORMACIJA IN KLASIČNA DIGITALNA SPEKTRALNA ANALIZA.
Medvedev S.Yu., dr.

Uvod

Spektralna analiza je ena od metod obdelave signala, ki vam omogoča karakterizacijo frekvenčne sestave izmerjenega signala. Fourierjeva transformacija je matematični okvir, ki povezuje časovni ali prostorski signal (ali kakšen model tega signala) z njegovo predstavitvijo frekvenčne domene. Statistične metode igrajo pomembno vlogo pri spektralni analizi, saj so signali med širjenjem ali merjenjem praviloma naključni ali šumni. Če bi bile osnovne statistične značilnosti signala točno znane oziroma bi jih bilo mogoče določiti iz končnega intervala tega signala, bi spektralna analiza predstavljala vejo »natančne znanosti«. Vendar pa je v resnici mogoče iz segmenta signala dobiti samo oceno njegovega spektra. Zato je praksa spektralne analize neke vrste obrt (ali umetnost?) precej subjektivne narave. Razliko med spektralnimi ocenami, dobljenimi kot rezultat obdelave istega segmenta signala z različnimi metodami, je mogoče razložiti z razliko v predpostavkah glede podatkov, različne poti povprečenje itd. Če značilnosti signala niso vnaprej znane, je nemogoče reči, katera od ocen je boljša.

Fourierjeva transformacija - matematična osnova spektralne analize
Na kratko razpravljajmo o različnih vrstah Fourierjeve transformacije (za več podrobnosti glejte).
Začnimo s Fourierjevo transformacijo časovno zveznega signala

, (1)

ki identificira frekvence in amplitude tistih kompleksnih sinusoid (eksponentov), ​​na katere je razloženo neko poljubno nihanje.
Povratna pretvorba

. (2)

Obstoj direktne in inverzne Fourierove transformacije (ki jo bomo nadalje imenovali zvezna Fourierjeva transformacija - CTFT) določajo številni pogoji. Zadostna - absolutna integrabilnost signala

. (3)

Manj restriktiven zadosten pogoj je končnost energije signala

. (4)

Naj predstavimo številne osnovne lastnosti Fourierjeve transformacije in spodaj uporabljenih funkcij, pri čemer upoštevamo, da je pravokotno okno definirano z izrazom

(5)

funkcija sinc pa je izraz

(6)

Funkcija vzorčenja časovne domene je podana z

(7)

Ta funkcija se včasih imenuje tudi funkcija periodičnega nadaljevanja.

Tabela 1. Glavne lastnosti NVPF in funkcije

Lastnost, funkcija	funkcija	Pretvorba
Linearnost	ag(t) + bh(t)	aG(f) + bH(f)
Časovni premik	h (t - t 0)	H(f)exp(-j2pf t 0)
Frekvenčni premik (modulacija)	h (t)exp(j2pf0 t)	H(f - f 0)
Skaliranje	(1 / |a|)h(t / a)	H(af)
Izrek o konvoluciji časovne domene	g(t)*h(t)	G(f)H(f)
Konvolucijski izrek o frekvenčni domeni	g(t) h(t)	G(ž)*H(ž)
Funkcija okna	Aw(t/T)	2ATsinc(2Tf)
Sinc funkcija	2AFsinc(2Ft)	Aw(f/F)
Pulzna funkcija	oglas(t)
Funkcija štetja	T(f)	FF(f), F=1/T

Druga pomembna lastnost je določena s Parsevalovim izrekom za dve funkciji g(t) in h(t):

. (8)

Če postavimo g(t) = h(t), se Parsevalov izrek zmanjša na izrek za energijo

. (9)

Izraz (9) je v bistvu preprosto formulacija zakona o ohranitvi energije v dveh domenah (času in frekvenci). V (9) na levi je skupna energija signala, torej funkcija

(10)

opisuje frekvenčno porazdelitev energije za deterministični signal h(t) in se zato imenuje spektralna energijska gostota (SED). Uporaba izrazov

(11)

lahko izračunamo amplitudni in fazni spekter signala h(t).

Postopki vzorčenja in tehtanja

V naslednjem razdelku bomo predstavili Fourierjevo vrsto z diskretnim časom (DTFS) ali drugače diskretno Fourierjevo transformacijo (DFT) kot poseben primer zvezne Fourierove transformacije (CTFT) z uporabo dveh osnovnih operacij obdelave signalov - jemanja vzorcev ( vzorčenje) In tehtanje z uporabo okna. Tu upoštevamo vpliv teh operacij na signal in njegovo transformacijo. Tabela 2 navaja funkcije, ki izvajajo tehtanje in vzorčenje.

Za enotne odčitke z intervalom T sekund je frekvenca vzorčenja F enaka 1/T Hz. Upoštevajte, da sta utežna funkcija in funkcija vzorčenja v časovni domeni označeni kot TW (časovno okno) oziroma TS (časovno vzorčenje), v frekvenčni domeni pa FW (frekvenčno okno) in FS (frekvenčno vzorčenje).

Tabela 2. Funkcije tehtanja in vzorčenja

Delovanje	Časovna funkcija	Pretvorba
Utež v časovni domeni (širina okna NT s)	TW=w(2t / NT - 1)	F(TW)=NTsinc(NTf)exp(-jpNTf)
Ponderiranje frekvenčne domene (širina okna 1/T Hz)		FW=w(2Tf)
Štetje v času (interval T s)	TS=T T(t)
Frekvenčno vzorčenje (v intervalih 1/NT Hz)

Predpostavimo, da so vzeti vzorci zveznega realnega signala x(t) z omejenim spektrom, katerega zgornja frekvenca je enaka F0. NVFT dejanskega signala je vedno simetrična funkcija s polno širino 2F0, glejte sliko 1.
Vzorce signala x(t) lahko dobimo z množenjem tega signala z vzorčno funkcijo:

(12)

Slika 1 - ilustracija izreka o vzorčenju v časovni domeni za realni signal z omejenim spektrom:
a - izvirna časovna funkcija in njena Fourierjeva transformacija;
b - funkcija vzorcev v času in njena Fourierjeva transformacija;
časovni vzorci izvirne funkcije in njene periodično nadaljevane Fourierjeve transformacije za primer Fo<1/2T;
d - frekvenčno okno (idealni nizkopasovni filter) in njegova Fourierjeva transformacija (sinc funkcija);
d - prvotna časovna funkcija, obnovljena z operacijo konvolucije s funkcijo sinc.

V skladu s konvolucijskim izrekom o frekvenčni domeni je FTFT signala x(t) preprosto konvolucija spektra signala x(t) in Fourierjeve transformacije funkcije časovnega vzorca (TS):

. (13)

Konvolucija X(f) s Fourierjevo transformacijo vzorčne funkcije F (TS)=Y1/T(f) preprosto periodično nadaljuje X(f) s frekvenčnim intervalom 1/T Hz. Zato je XS(f) periodično razširjen spekter X(f). Na splošno vzorci v eni domeni (na primer čas) vodijo do periodičnega nadaljevanja v domeni transformacije (na primer frekvenca). Če je hitrost vzorčenja izbrana dovolj nizko (F< 2Fo), то периодически продолженные спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название эффекта наложения в частотной области.
Da bi obnovili izvirni časovni signal iz njegovih vzorcev, tj. da interpolirate določen kontinuum vrednosti med temi vzorci, lahko vzorčene podatke prenesete skozi idealen nizkopasovni filter s pravokotnim frekvenčnim odzivom (slika 1d)

. (14)

Kot rezultat (glej sliko 1 d) je prvotna Fourierjeva transformacija obnovljena. Z uporabo konvolucijskih izrekov v časovni in frekvenčni domeni dobimo

. (15)

Izraz (15) je matematični zapis izreki o vzorčenju v časovni domeni(izrek Whittakerja, Kotelnikova, Shannona - UKSH), ki pravi, da je mogoče z uporabo interpolacijske formule (15) natančno obnoviti realni signal z omejenim spektrom. po neskončnem številu znani časovni vzorci, vzeti s frekvenco F = 2F0. Dvojnik izreka (15) je izrek vzorcev v frekvenčni domeni za signale z omejenim trajanjem.
Operacije v časovni domeni, podobno kot (14), opisuje izraz

, (16)

in ustrezne transformacije so izrazi

Tako je mogoče NVPF X(f) nekega signala z omejenim trajanjem nedvoumno obnoviti iz ekvidistančnih vzorcev spektra takega signala, če izbrani interval vzorčenja frekvence izpolnjuje pogoj F1/2T 0 Hz, kjer je T 0 signal trajanje.

Odnosi med zveznimi in diskretnimi transformacijami

Par transformacij za konvencionalno definicijo N-točkovne diskretne Fourierjeve transformacije (DFT) časovno zaporedje x[n] in ustrezna N-točka Zaporedja Fourierjeve transformacije X[k] je podan z izrazi

, (18)
. (19)

Da bi dobili spektralne ocene iz podatkovnih vzorcev v ustreznih enotah energije ali moči, napišemo Fourierjevo vrsto z diskretnim časom (DTFS), ki jo lahko obravnavamo kot približek Fourierjeve transformacije v zveznem času (CTFT), ki temelji na uporaba končnega števila vzorcev podatkov:

Za prikaz narave skladnosti z DVRF ( diskretna funkcije v časovni in frekvenčni domeni) in CVDF (zvezne funkcije v časovni in frekvenčni domeni), potrebujemo zaporedje štirih linearnih komutativnih operacij: ponderiranje v časovni in frekvenčni domeni in vzorčenje ali vzorčenje tako na časovnem kot frekvenčnem področju. Če se operacija uteževanja izvede v enem od teh območij, potem bo v skladu s konvolucijskim izrekom ustrezala operaciji filtriranja (konvoluciji) v drugi regiji s funkcijo sinc. Podobno, če se diskretizacija izvaja v eni regiji, se periodična nadaljevalna operacija izvede v drugi. Ker sta tehtanje in odvzem vzorcev linearni in komutativni operaciji, so možni različni načini razvrščanja, ki dajejo enak končni rezultat z različnimi vmesnimi rezultati. Slika 2 prikazuje dve možni zaporedji za izvedbo teh štirih operacij.

riž. 2. Dve možni sekvenci dveh operacij tehtanja in dveh operacij vzorčenja, ki povezujeta NVPF in DVRF: FW - uporaba okna v frekvenčni domeni; TW - aplikacija okna v časovni domeni; FS - jemanje vzorcev v frekvenčni domeni; TS - odvzem vzorcev v časovni domeni.
1 - zvezna časovna Fourierjeva transformacija, enačba (1);
4 - Fourierjeva transformacija z diskretnim časom, enačba (22);
5 - Fourierjeva vrsta z zveznim časom, enačba (25);
8 - Fourierjeva vrsta z diskretnim časom, enačba (27)

Kot rezultat izvajanja operacij tehtanja in vzorčenja v vozliščih 1, 4, 5 in 8 se bodo pojavile štiri različne vrste Fourierjevih relacij. Vozlišča, v katerih je funkcija frekvenčna domena je zvezna, nanašati se na transformacije Fourierja in vozlišč, na katerih je funkcija v frekvenčni domeni diskretna nanašati se na Fourierjeve vrste(za več podrobnosti glej).
Tako se v vozlišču 4 ustvari ponderiranje v frekvenčni domeni in vzorčenje v časovni domeni diskretna pretvorba časa Fourierjeva transformacija (FTFT), za katero je značilna periodična spektralna funkcija v frekvenčni domeni s periodo 1/T Hz:

(22)

(23)

Upoštevajte, da izraz (22) definira določeno periodično funkcijo, ki sovpada z izvirno transformirano funkcijo, navedeno v vozlišču 1, samo v frekvenčnem območju od -1/2T do 1/2T Hz. Izraz (22) je povezan z Z-transformacijo diskretnega zaporedja x[n] z razmerjem

(24)

Torej je DVFT preprosto Z-transformacija, izračunana na enotskem krogu in pomnožena s T.
Če se premaknemo od vozlišča 1 do vozlišča 8 na sliki 2 vzdolž spodnje veje, v vozlišču 5 operacije uteževanja v časovni domeni (omejitev trajanja signala) in vzorčenja v frekvenčni domeni ustvarijo neprekinjeno Fourierjevo vrsto (CFTS ). Z uporabo lastnosti in definicij funkcij iz tabel 1 in 2 dobimo naslednji par transformacij
(25)
(26)

Upoštevajte, da izraz (26) določa določeno periodično funkcijo, ki sovpada z izvirno (v vozlišču 1) le v časovnem intervalu od 0 do NT.
Ne glede na to, katero od dveh zaporedij štirih operacij je izbrano, bo končni rezultat v vozlišču 8 enak - Fourierjeva vrsta z diskretnim časom, kar ustreza naslednjemu paru transformacij, dobljenih z uporabo lastnosti, navedenih v tabeli 1.

, (27)

kjer je k=-N/2, . . . ,N/2-1

, (28)

kjer je n=0, . . . ,N-1 ,
Energetski izrek za ta DVRF je:

, (29)

in označuje energijo zaporedja N podatkovnih vzorcev. Obe zaporedji x[n] in X[k] sta periodični po modulu N, zato lahko (28) zapišemo v obliki

, (30)

kjer je 0 n N. Faktor T v (27) - (30) je nujen, da sta (27) in (28) dejansko približek integralne transformacije v domeni integracije

.(31)

Brez oblazinjenja

Skozi proces, imenovan polnjenje z ničlami, je mogoče Fourierjevo vrsto z diskretnim časom spremeniti za interpolacijo med N vrednostmi prvotne transformacije. Naj bodo razpoložljivi vzorci podatkov x,...,x dopolnjeni z ničelnimi vrednostmi x[N],...X. DVRF tega podatkovnega zaporedja z 2N pikami, podloženim z ničelno podlago, bo podan z

(32)

kjer je zgornja meja vsote na desni spremenjena, da se prilagodi prisotnosti ničelnih podatkov. Naj bo k=2m, torej

, (33)

kjer je m=0,1,...,N-1, določa sode vrednosti X[k]. To kaže, da se za sode vrednosti indeksa k 2N-točkovni diskretni časovni niz reducira na N-točkovni diskretni časovni niz. Lihe vrednosti indeksa k ustrezajo interpoliranim vrednostim DVRF, ki se nahajajo med vrednostmi prvotnega N-točkovnega DVRF. Ker se prvotnemu zaporedju N-pik doda vedno več ničel, je mogoče pridobiti še več interpoliranih podatkov. V omejevalnem primeru neskončnega števila vhodnih ničel lahko DVRF obravnavamo kot diskretno časovno Fourierjevo transformacijo N-točkovnega zaporedja podatkov:

. (34)

Transformacija (34) ustreza vozlišču 6 na sliki 2.
Obstaja napačno prepričanje, da ničelno polnjenje izboljša ločljivost, ker poveča dolžino zaporedja podatkov. Vendar, kot izhaja iz slike 3, polnjenje z ničlami se ne izboljša ločljivost transformacije, pridobljene iz danega končnega zaporedja podatkov. Zero padding preprosto omogoča interpolirano pretvorbo bolj gladko obliko. Poleg tega odpravlja negotovosti, ki jih povzroča prisotnost komponent ozkopasovnega signala, katerih frekvence ležijo med N točkami, ki ustrezajo ocenjenim frekvencam originalnega DVRF. Pri polnjenju z ničlami ​​se poveča tudi natančnost ocenjevanja frekvence spektralnih vrhov. Z izrazom spektralna ločljivost bomo razumeli sposobnost razlikovanja med spektralnimi odzivi dveh harmoničnih signalov. Splošno sprejeto pravilo, ki se pogosto uporablja v spektralni analizi, je, da frekvenčno ločevanje razločenih sinusoidov ne sme biti manjše od enakovredna širina okna, skozi katere se opazujejo segmenti (odseki) teh sinusoidov.

Slika 3. Interpolacija z uporabo ničelnega oblazinjenja:
a - DVRF modul za 16-točkovno snemanje podatkov, ki vsebuje tri sinusoide brez polnjenja z ničlami ​​(vidne so negotovosti: nemogoče je reči, koliko sinusoidov je v signalu - dva, tri ali štiri);
b - modul DVRF istega zaporedja po podvojitvi števila njegovih vzorcev zaradi dodajanja 16 ničel (negotovosti so odpravljene, saj se vse tri sinusoide razlikujejo);
c - DVRF modul istega zaporedja po štirikratnem povečanju števila njegovih vzorcev zaradi dodajanja ničel.

Enakovredno pasovno širino okna lahko definiramo kot
kjer je W(f) Fourierjeva transformacija z diskretnim časom okenske funkcije, na primer pravokotne (5). Podobno lahko vstopite enakovredno trajanje okna

Lahko se pokaže, da sta ekvivalentno trajanje okna (ali katerega koli drugega signala) in ekvivalentna pasovna širina njegove transformacije medsebojno inverzni količini: TeBe=1.

Hitra Fourierjeva transformacija

Hitra Fourierjeva transformacija (FFT) ni druga vrsta Fourierjeve transformacije, temveč ime številnih učinkovitih algoritmi, zasnovan za hiter izračun Fourierjevih vrst z diskretnim časom. Glavna težava, ki se pojavi pri praktični implementaciji DVRF, je veliko število računskih operacij sorazmerno z N2. Čeprav je bilo veliko pred pojavom računalnikov predlaganih več učinkovitih računalniških shem, ki bi lahko znatno zmanjšale število računalniških operacij, je pravo revolucijo naredila objava leta 1965 članka Coolyja in Tukeya s praktičnim algoritmom za hitro (število) operacij Nlog 2 N) izračuni DVRF . Po tem so bile razvite številne različice, izboljšave in dodatki k osnovni ideji, ki tvorijo razred algoritmov, znan kot hitra Fourierjeva transformacija. Osnovna ideja FFT je razdeliti N-točkovni DVRF na dva ali več manjših DVRF-jev, od katerih je mogoče vsakega posebej izračunati in nato linearno sešteti z drugimi, da dobimo DVRF izvirnega N-točkovnega zaporedja.
Predstavimo diskretno Fourierjevo transformacijo (DFFT) v obliki

, (35)

kjer se vrednost W N =exp(-j2 /N) imenuje obračalni faktor (v nadaljevanju v tem razdelku je obdobje vzorčenja T=1). Izberimo elemente s sodimi in lihimi številkami iz zaporedja x[n]

. (36)

Ampak od takrat
. Zato lahko (36) zapišemo v obliki

, (37)

kjer je vsak člen transformacija dolžine N/2

(38)

Upoštevajte, da je zaporedje (WN/2) nk periodično v k s periodo N/2. Torej, čeprav ima število k v izrazu (37) vrednosti od 0 do N-1, je vsaka od vsot izračunana za vrednosti k od 0 do N/2-1. Možno je oceniti število kompleksnih operacij množenja in seštevanja, potrebnih za izračun Fourierove transformacije v skladu z algoritmom (37)-(38). Dve N/2-točkovni Fourierjevi transformaciji po formulah (38) vključujeta izvedbo 2(N/2) 2 množenj in približno enako število seštevanj. Združevanje dveh N/2-točkovnih transformacij z uporabo formule (37) zahteva še N množenj in N seštevanj. Zato je za izračun Fourierjeve transformacije za vseh N vrednosti k potrebno izvesti N+N 2 /2 množenja in seštevanja. Hkrati neposredni izračun z uporabo formule (35) zahteva N 2 množenja in seštevanja. Že pri N>2 je neenakost N+N 2 /2 izpolnjena< N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям:

, (39)
(40)

V tem primeru je treba zaradi periodičnosti zaporedja W nk N/4 v k s periodo N/4 vsote (40) izračunati samo za vrednosti k od 0 do N/4-1. Zato izračun zaporedja X[k] z uporabo formul (37), (39) in (40) zahteva, kot je enostavno izračunati, že 2N+N 2 /4 operacij množenja in seštevanja.
Če sledite tej poti, se lahko količina izračuna X[k] vedno bolj zmanjša. Po m=log 2 N razširitvah pridemo do dvotočkovnih Fourierjevih transformacij oblike

(41)

kjer so "enotočkovne transformacije" X 1 preprosto vzorci signala x[n]:

X 1 = x[q]/N, q=0,1,...,N-1. (42)

Kot rezultat lahko napišemo algoritem FFT, ki se iz očitnih razlogov imenuje algoritem redčenja časa :

X 2 = (x[p] + W k 2 x) / N,

kjer je k=0,1, p=0,1,...,N/2 -1;

X 2N/M =X N/M + W k 2N/M X N/M,

kjer je k=0,1,...,2N/M -1, p=0,1,...,M/2 -1;

X[k] = X N [k] =X N/2 + W k N X N/2, (43)

kjer je k=0,1,...,N-1

Na vsaki stopnji izračunov se izvede N kompleksnih množenj in seštevanj. In ker je število dekompozicij prvotnega zaporedja v podzaporedja polovične dolžine enako log 2 N, potem je skupno število operacij množenja-seštevanja v algoritmu FFT enako Nlog 2 N. Za veliko N obstaja pomemben prihranek pri računskih operacijah v primerjavi z neposrednimi izračuni DFT. Na primer, ko je N = 2 10 = 1024, se število operacij zmanjša za 117-krat.
Časovno zdesetkan FFT algoritem, ki smo ga upoštevali, temelji na izračunu Fourierove transformacije z oblikovanjem podzaporedij vhodnega zaporedja x[n]. Vendar pa je mogoče uporabiti tudi naknadno razgradnjo Fourierove transformacije X[k]. Algoritem FFT, ki temelji na tem postopku, se imenuje c redčenje frekvence. Več o hitri Fourierjevi transformaciji lahko na primer preberete v.

Naključni procesi in spektralna gostota moči

Diskretno naključni proces x lahko obravnavamo kot določeno množico ali skupino realnih ali kompleksnih diskretnih časovnih (ali prostorskih) zaporedij, od katerih je vsako mogoče opazovati kot rezultat nekega eksperimenta (n je časovni indeks, i je številka opazovanja). Zaporedje, dobljeno kot rezultat enega od opazovanj, bomo označili z x[n]. Operacija povprečenja po ansamblu (tj. statistično povprečje) bo označen z operatorjem<>. torej - povprečna vrednost naključnega procesa x[n] v času n. Avtokorelacija naključni proces v dveh različnih časih n1 in n2 je določen z izrazom r xx = .

Naključni proces imenujemo stacionarni v širšem smislu, če je njegova povprečna vrednost konstantna (neodvisna od časa), avtokorelacija pa je odvisna le od razlike v časovnih indeksih m=n1-n2 (časovni zamik ali zamik med vzorci). Tako je za široko stacionarni diskretni naključni proces x[n] značilna konstantna povprečna vrednost =in avtokorelacijsko zaporedje(AKP)

r xx [m] =< xx*[n] >. (44)

Opozorimo na naslednje lastnosti avtomatskega menjalnika:

r xx |r xx [m]| , r xx [-m] = r* xx [m] , (45)

ki veljajo za vse m.
Spektralna gostota moči (PSD) je definirana kot Fourierjeva transformacija z diskretnim časom (DTFT) avtokorelacijskega zaporedja

. (46)

PSD, katerega širina naj bi bila omejena na ±1/2T Hz, je periodična funkcija frekvence s periodo 1/T Hz. Funkcija PSD opisuje frekvenčno porazdelitev moči naključnega procesa. Za potrditev izbranega imena razmislite o inverznem DVFT

(47)

izračunano pri m=0

(48)

Avtokorelacija pri ničelnem premiku označuje povprečna moč naključni proces. V skladu z (48) površina pod krivuljo P xx (f) označuje povprečno moč, zato je P xx (f) funkcija gostote (moč na enoto frekvence), ki označuje frekvenčno porazdelitev moči. Par transformacij (46) in (47) se pogosto imenuje Wiener-Khinchinov izrek za primer diskretnega časa. Ker je r xx [-m]=r* xx [m], mora biti PSD strogo realna pozitivna funkcija. Če je ACP strogo realna funkcija, potem je r xx [-m]=r xx [m] in PSD lahko zapišemo v obliki Fourierove kosinusne transformacije

,

kar tudi pomeni, da je P xx (f) = P xx (-f), tj. SPM je enakomerna funkcija.
Do sedaj smo pri določanju povprečne vrednosti, korelacije in spektralne gostote moči naključnega procesa uporabljali statistično povprečenje nad ansamblom. Vendar pa v praksi običajno ni mogoče pridobiti niza izvedb zahtevanega procesa, iz katerega bi lahko izračunali te statistične značilnosti. Priporočljivo je ovrednotiti vse statistične lastnosti z eno realizacijo vzorca x(t), ki nadomesti y ensemble averaging časovno povprečenje. Lastnost, ki omogoča takšno zamenjavo, se imenuje ergodičnost. Za naključni proces pravimo, da je ergodičen, če je z verjetnostjo enako ena vse njegove statistične značilnosti mogoče predvideti iz ene izvedbe iz ansambla z uporabo časovnega povprečenja. Z drugimi besedami, časovna povprečja skoraj vseh možnih izvedb procesa konvergirajo z verjetnostjo ena k isti konstantni vrednosti - povprečju ansambla

. (49)

Ta meja, če obstaja, konvergira k resničnemu povprečju, če in samo če se časovna varianca povprečja nagiba k nič, kar pomeni, da velja naslednji pogoj:

. (50)

Tukaj je c xx [m] prava vrednost kovariance procesa x[n].
Podobno lahko ob opazovanju vrednosti produkta procesnih vzorcev x[n] v dveh časovnih točkah pričakujemo, da bo povprečna vrednost enaka

(51)

Predpostavka o ergodičnosti nam omogoča ne samo, da s časovnim povprečenjem uvedemo definicije za povprečje in avtokorelacijo, temveč tudi podamo podobno definicijo za spektralno gostoto moči

. (52)

Ta enakovredna oblika PSD se dobi s statističnim povprečenjem modula DVFT uteženega niza podatkov, deljenega z dolžino zapisa podatkov, za primer, ko se število vzorcev poveča do neskončnosti. Statistično povprečje je tukaj potrebno, ker je DVFT sama naključna spremenljivka, ki se spreminja za vsako realizacijo x[n]. Da bi pokazali, da je (52) enakovreden Wiener-Khinchinovemu izreku, predstavimo kvadrat modula DVFT kot produkt dveh nizov in spremenimo vrstni red operacij seštevanja in statističnega povprečenja:

(53)

Z uporabo znanega izraza

, (54)

razmerje (53) lahko skrčimo na naslednje:

(55)

Upoštevajte, da je bila na zadnji stopnji izpeljave (55) uporabljena predpostavka, da se avtokorelacijsko zaporedje "razpade", tako da

. (56)

Razmerje med obema definicijama PSD (46) in (52) je jasno prikazano v diagramu, predstavljenem na sliki 4.
Če v izrazu (52) ne upoštevamo operacije matematičnega pričakovanja, dobimo oceno SPM

, (57)

ki se imenuje vzorčni spekter.

riž. 4. Razmerje med dvema metodama za ocenjevanje spektralne gostote moči

Periodogramska metoda spektralne ocene

Zgoraj smo predstavili dve formalno enakovredni metodi za določanje spektralne gostote moči (PSD). Posredna metoda temelji na uporabi neskončnega zaporedja podatkov za izračun avtokorelacijskega zaporedja, katerega Fourierjeva transformacija daje želeno PSD. Neposredna metoda za določanje PSD temelji na izračunu kvadrata modula Fourierjeve transformacije za neskončno zaporedje podatkov z uporabo ustreznega statističnega povprečenja. PSD, dobljen brez takšnega povprečenja, se izkaže za nezadovoljivega, saj je povprečna kvadratna napaka takšne ocene primerljiva z njeno povprečno vrednostjo. Zdaj bomo obravnavali metode povprečenja, ki zagotavljajo gladke in statistično stabilne spektralne ocene za končno število vzorcev. Ocene SPD, ki temeljijo na neposredni transformaciji podatkov in poznejšem povprečenju, se imenujejo periodogrami. Imenujemo ocene PSD, za katere se iz začetnih podatkov najprej oblikujejo korelacijske ocene korelogram. Pri uporabi katere koli metode ocenjevanja PSD mora uporabnik sprejeti številne kompromisne odločitve, da pridobi statistično stabilne spektralne ocene z najvišjo možno ločljivostjo iz končnega števila vzorcev. Ti kompromisi med drugim vključujejo izbiro okna za uteževanje podatkov in ocene korelacije ter parametre povprečenja v časovni in frekvenčni domeni, ki uravnotežijo zahteve po zmanjševanju stranskih rež zaradi uteževanja, izvajanju učinkovitega povprečenja in zagotavljanju sprejemljiva spektralna ločljivost. Na sl. Slika 5 prikazuje diagram, ki prikazuje glavne stopnje periodogram metoda

riž. 5. Glavne faze ocenjevanja PSD z metodo periodograma

Uporaba metode se začne z zbiranjem N vzorcev podatkov, ki se vzamejo v intervalu T sekund na vzorec, čemur (neobvezno) sledi korak odstranjevanja trenda. Da bi dobili statistično stabilno spektralno oceno, je treba razpoložljive podatke razdeliti na prekrivajoče se (če je mogoče) segmente in nato povprečiti vzorčne spektre, dobljene za vsak tak segment. Parametri tega povprečenja se spremenijo z ustrezno izbiro števila vzorcev na segment (NSAMP) in števila vzorcev, za katere je treba premakniti začetek naslednjega segmenta (NSHIFT), glej sliko 1. 6. Število segmentov je izbrano glede na zahtevano stopnjo gladkosti (razpršenosti) spektralne ocene in zahtevano spektralno ločljivost. Majhna vrednost za parameter NSAMP ima za posledico več segmentov, na katerih bo izvedeno povprečenje, zato bodo pridobljene ocene z manjšo varianco, a tudi manjšo frekvenčno ločljivostjo. Povečanje dolžine segmenta (parameter NSAMP) poveča ločljivost, seveda zaradi povečanja variance ocene zaradi manjšega števila povprečenj. Povratna puščica na sliki 5 označuje potrebo po več ponavljajočih se prehodih skozi podatke pri različnih dolžinah in številu segmentov, kar nam omogoča, da pridobimo več informacij o proučevanem procesu.

Slika 6. Razdelitev podatkov na segmente za izračun periodograma

Okno

Eno od pomembnih vprašanj, ki je skupno vsem klasičnim spektralnim metodam ocenjevanja, je povezano s ponderiranjem podatkov. Prekrivanje oken se uporablja za nadzor stranskih učinkov v spektralnih ocenah. Upoštevajte, da je priročno obravnavati obstoječi končni zapis podatkov kot del ustreznega neskončnega zaporedja, vidnega skozi uporabljeno okno. Tako lahko zaporedje opazovanih podatkov x 0 [n] iz N vzorcev matematično zapišemo kot produkt neskončnega zaporedja x [n] in pravokotne okenske funkcije

X 0 [n]=x[n] rect[n].
To pomeni očitno predpostavko, da so vsi neopazovani vzorci enaki nič, ne glede na to, ali je temu res tako. Fourierjeva transformacija z diskretnim časom uteženega zaporedja je enaka konvoluciji transformacij zaporedja x[n] in pravokotnega okna rect[n]

X 0 (f)=X(f)*D N (f) , kjer je
D N (f) = Texp(-j2pfT)sin(pfTN)/sin(pfT).

Funkcija D N (f), imenovana diskretna sinc funkcija ali Dirichletovo jedro, je DCFT pravokotne funkcije. Transformacija opazovanega končnega zaporedja je popačena različica transformacije neskončnega zaporedja. Učinek pravokotnega okna na diskretno časovno sinusoido s frekvenco f 0 je prikazan na sliki 7.

Slika 7. Prikaz odstopanja Fourierjeve transformacije z diskretnim časom zaradi uhajanja zaradi uteževanja podatkov: a, b - izvirna in utežena zaporedja; b, d - njuni Fourierjevi transformaciji.

Iz slike je razvidno, da so ostri spektralni vrhovi DTFT neskončnega zaporedja sinusnih valov razširjeni zaradi konvolucije s transformacijo okna. Tako je najmanjša širina spektralnih vrhov okensko uteženega zaporedja določena s širino glavnega transformacijskega režnja tega okna in je neodvisna od podatkov. Stranski režnji transformacije oken bodo spremenile amplitude sosednjih spektralnih vrhov (včasih imenovane prelivanje). Ker je DVFT periodična funkcija, lahko prekrivanje stranskih režnjev iz sosednjih obdobij povzroči dodatno pristranskost. Povečanje hitrosti vzorčenja zmanjša učinek vzdevka stranskega režnja. Podobna popačenja bodo seveda opažena v primeru nesinusoidnih signalov. Krvavitev ne povzroča samo amplitudnih napak v spektrih diskretnih signalov, ampak lahko tudi prikrije prisotnost šibki signali. Obstajajo številne druge funkcije oken, ki lahko zmanjšajo stranske režnje v primerjavi s pravokotnimi okni. Zmanjšanje ravni stranskih režnjev bo zmanjšalo premik v spektralni oceni, vendar to pride na račun razširitve glavnega režnja okenskega spektra, kar seveda vodi do poslabšanja ločljivosti. Zato je tudi tukaj treba izbrati kompromis med širino glavnega režnja in višino stranskih reženj. Za ocenjevanje kakovosti oken se uporablja več parametrov. Tradicionalni indikator je pasovna širina glavnega režnja pri polovični moči. Drugi indikator je ekvivalentna pasovna širina, predstavljena zgoraj. Dva indikatorja se uporabljata tudi za oceno značilnosti stranskih režnjev. Prva je njihova največja raven, druga je stopnja upadanja, ki označuje hitrost, s katero se stranski režnji zmanjšujejo z oddaljenostjo od glavnega režnja. Tabela 3 prikazuje definicije nekaterih pogosto uporabljenih funkcij z diskretnim časovnim oknom, tabela 4 pa njihove značilnosti.
Tabela 3. Definicije tipičnih N-točkovnih oken z diskretnim časom Maks. stranski nivo, dB -31,5

. (46)

Korelogramska metoda ocenjevanje PSD je preprosto nadomestitev v izraz (46) končnega zaporedja vrednosti za oceno avtokorelacije ( korelogrami) namesto neskončnega zaporedja neznanih pravih avtokorelacijskih vrednosti. Več informacij o korelogramski metodi spektralne ocene lahko najdete v.

Literatura

1. Rabiner L., Gould B. Teorija in uporaba digitalne obdelave signalov. M.: Mir, 1978.

2. Marple Jr. S.L. Digitalna spektralna analiza in njene aplikacije: Prev. iz angleščine -M .: Mir, 1990.

3. Goldberg L.M., Matjuškin B.D., Poljak M.N., Digitalna obdelava signali - M.: Radio in komunikacije, 1990.

4. Otnes R., Enokson L. Uporabna analiza časovnih vrst - M.: Mir, 1982.

Spektralna analiza

Spektralna analiza je širok razred metod obdelave podatkov, ki temelji na njihovi frekvenčni predstavitvi ali spektru. Spekter dobimo tako, da originalno funkcijo, ki je odvisna od časa (časovna vrsta) ali prostorskih koordinat (na primer slika), razgradimo na bazo neke periodične funkcije. Najpogosteje se za spektralno obdelavo uporablja Fourierjev spekter, dobljen na osnovi sinusne baze (Fourierjeva dekompozicija, Fourierjeva transformacija).

Glavni pomen Fourierove transformacije je, da se prvotna neperiodična funkcija poljubne oblike, ki je ni mogoče analitično opisati in jo je zato težko obdelati in analizirati, predstavi kot niz sinusov ali kosinusov z različnimi frekvencami, amplitudami in začetnimi faze.

Z drugimi besedami, kompleksna funkcija se pretvori v veliko enostavnejših. Vsak sinusni val (ali kosinusni val) z določeno frekvenco in amplitudo, dobljen kot rezultat Fourierove ekspanzije, se imenuje spektralna komponenta oz harmonično. Nastanejo spektralne komponente Fourierjev spekter.

Vizualno je Fourierjev spekter predstavljen v obliki grafa, na katerem je vzdolž vodoravne osi narisana krožna frekvenca, označena z grško črko "omega", in amplituda spektralnih komponent, običajno označena z latinsko črko A. , se nariše vzdolž navpične osi.Tako lahko vsako spektralno komponento predstavimo kot števec, položaj, ki vodoravno ustreza njeni frekvenci, višina pa njeni amplitudi. Harmonik z ničelno frekvenco se imenuje konstantna komponenta(v časovni predstavitvi je to ravna črta).

Že preprosta vizualna analiza spektra lahko pove veliko o naravi funkcije, na podlagi katere je bil pridobljen. Intuitivno je jasno, da hitre spremembe začetnih podatkov povzročijo komponente v spektru s visoka frekvenca in počasne - s nizka. Torej, če se amplituda njegovih komponent hitro zmanjšuje z naraščajočo frekvenco, potem je prvotna funkcija (na primer časovna vrsta) gladka, in če spekter vsebuje visokofrekvenčne komponente z veliko amplitudo, bo prvotna funkcija vsebovala ostra nihanja . Tako lahko za časovno vrsto to pomeni veliko naključno komponento, nestabilnost procesov, ki jih opisuje, ali prisotnost šuma v podatkih.

Spektralna obdelava temelji na manipulaciji spektra. Dejansko, če zmanjšate (zatrete) amplitudo visokofrekvenčnih komponent in nato na podlagi spremenjenega spektra obnovite prvotno funkcijo z inverzno Fourierjevo transformacijo, potem bo postalo bolj gladko zaradi odstranitve visokofrekvenčnega spektra. komponento.

Za časovno vrsto to na primer pomeni odstranitev informacij o dnevni prodaji, ki je zelo dovzetna za naključne dejavnike, in puščanje bolj doslednih trendov, kot je sezonskost. Lahko pa, nasprotno, zatrete nizkofrekvenčne komponente, ki bodo odstranile počasne spremembe in pustile samo hitre. V primeru časovne vrste bo to pomenilo izločanje sezonske komponente.

S takšno uporabo spektra lahko dosežete želeno spremembo izvirnih podatkov. Najpogostejša uporaba je izravnavanje časovnih vrst z odstranitvijo ali zmanjšanjem amplitude visokofrekvenčnih komponent v spektru.

Za manipulacijo spektrov se uporabljajo filtri - algoritmi, ki lahko nadzorujejo obliko spektra, zatrejo ali izboljšajo njegove komponente. Glavni premoženje kaj filter je njegov amplitudno-frekvenčni odziv (AFC), katerega oblika določa transformacijo spektra.

Če filter prepušča samo spektralne komponente s frekvenco pod določeno mejno frekvenco, se imenuje nizkopasovni filter (LPF) in se lahko uporablja za glajenje podatkov, čiščenje šumov in nepravilnih vrednosti.

Če filter prepušča spektralne komponente nad določeno mejno frekvenco, se imenuje visokofrekvenčni filter (HPF). Uporablja se lahko za zatiranje počasnih sprememb, kot je sezonskost v serijah podatkov.

Poleg tega se uporabljajo številne druge vrste filtrov: srednjeprepustni filtri, stop filtri in pasovni filtri, pa tudi kompleksnejših, ki se uporabljajo pri obdelavi signalov v radijski elektroniki. Izbira vrste in oblike frekvenčni odziv filtra, lahko s spektralno obdelavo dosežete želeno transformacijo izvirnih podatkov.

Pri izvajanju frekvenčnega filtriranja podatkov z namenom glajenja in odstranjevanja šuma je potrebno pravilno določiti pasovno širino nizkopasovnega filtra. Če ga izberete previsoko, bo stopnja glajenja nezadostna in hrup ne bo popolnoma potlačen. Če je preozka, potem skupaj s hrupom, spremembe, ki prinašajo koristne informacije. Če v tehnične aplikacije Obstajajo strogi kriteriji za določanje optimalnih lastnosti filtrov, potem je v analitičnih tehnologijah treba uporabljati predvsem eksperimentalne metode.

Spektralna analiza je ena najučinkovitejših in dobro razvitih metod obdelave podatkov. Frekvenčno filtriranje je le ena od številnih aplikacij. Poleg tega se uporablja pri korelacijski in statistični analizi, sintezi signalov in funkcij, gradnji modelov itd.

Metoda analize je temeljila na tako imenovani Fourierjevi vrsti. Serija se začne z razgradnjo kompleksnih oblik v preproste. Fourier je pokazal, da je kompleksno valovno obliko mogoče predstaviti kot vsoto enostavnih valov. Praviloma je enačbe, ki opisujejo klasične sisteme, enostavno rešiti za vsakega od teh preprostih valov. Nadalje je Fourier pokazal, kako te enostavne rešitve lahko povzamemo, da dobimo rešitev celotnega kompleksnega problema kot celote. (Matematično gledano je Fourierjeva vrsta metoda za predstavitev funkcije kot vsote harmonikov - sinusa in kosinusa, zato je bila Fourierjeva analiza znana tudi kot "harmonična analiza".)

Po Fourierjevi hipotezi ni funkcije, ki je ne bi bilo mogoče razširiti v trigonometrično vrsto. Razmislimo, kako je mogoče izvesti to razgradnjo. Razmislite o naslednjem sistemu ortonormiranih funkcij na intervalu [–π, π]: (1, cos(t),
greh(t),
cos(2t),
greh (2t),
cos(3t),
greh(3t), …,
cos(nt),
greh(nt),…).

Vodi dejstvo, da ta sistem funkcije ortonormirane, lahko funkcijo f(t) na intervalu [π, –π] aproksimiramo na naslednji način:

f(t) = α0 + α1
cos(t) + α2
cos(2t) +
α3 cos(3t) + …

... + β1
sin(t) + β2
sin(2t) + β3
sin(3t)+… (6)

Koeficienti α n, β n se izračunajo prek skalarnega produkta funkcije in osnovne funkcije v skladu s prej obravnavanimi formulami in so izraženi na naslednji način:

α 0 = , 1> =
,

α n = , cos(nt) > =
,

β n = , sin(nt) > =
.

Izraz (6) lahko zapišemo v stisnjeni obliki na naslednji način:

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(t) + a 2 cos(2t) + a 3 cos(3t) + …

B 1 sin(t) + b 2 sin(2t) + b 3 sin(3t)+… (7)

a 0 = 2α 0 =
,

in n =
α n =
, (8)

b n=
β n=
. (9)

Ker je pri n = 0 cos(0) = 1, konstanta a 0 /2 izraža splošna oblika koeficient a n za n = 0.

Koeficienta a n in b n imenujemo Fourierjevi koeficienti, predstavitev funkcije f(t) po formuli (7) pa Fourierjev niz. Včasih se razširitev Fourierjeve vrste, predstavljena v tej obliki, imenuje realna razširitev Fourierjeve vrste, koeficienti pa pravi Fourierjevi koeficienti. Izraz "pravi" je uveden, da se ta razpad razlikuje od kompleksnega razpada.

Analizirajmo izraza (8) in (9). Koeficient 0 predstavlja povprečno vrednost funkcije f(t) na segmentu [–π,π] oziroma konstantno komponento signala f(t). Koeficienta n in b n (pri n> 0) sta amplitudi kosinusne in sinusne komponente funkcije (signala) f(t) s kotno frekvenco, enako n. Z drugimi besedami, ti koeficienti določajo velikost frekvenčnih komponent signalov. Na primer, ko govorimo o zvočnem signalu z nizkimi frekvencami (na primer zvok bas kitare), to pomeni, da sta koeficienta a n in b n večja pri manjših vrednostih n in obratno - pri visokih frekvenca zvočnih vibracij (na primer zvok violine) so večje pri večjih vrednostih n.

Nihanje z najdaljšo periodo (ali najnižjo frekvenco), ki ga predstavlja vsota a 1 cos(t) in b 1 sin(t), imenujemo nihanje osnovne frekvence ali prvega harmonika. Nihanje s periodo, ki je enaka polovici periode osnovne frekvence, je drugi harmonik, nihanje s periodo, enako 1/n osnovne frekvence, je n-harmonik. Tako lahko z uporabo razširitve funkcije f(t) v Fourierjev niz naredimo prehod iz časovne v frekvenčno domeno. Ta prehod je običajno potreben za prepoznavanje značilnosti signala, ki so "nevidne" v časovni domeni.

Upoštevajte, da se formuli (8) in (9) uporabljata za periodični signal s periodo, ki je enaka 2π. V splošnem primeru se lahko periodični signal s periodo T razširi v Fourierjev niz, nato pa se pri razširitvi uporabi segment [–T/2, T/2]. Perioda prvega harmonika je enaka T in komponenti imata obliko cos(2πt/T) in sin(2πt/T), komponenti n-harmonika sta cos(2πtn/T) in sin(2πtn/T ).

Funkcijo f(t) na intervalu [–T/2,T/2] lahko aproksimiramo na naslednji način:

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(2πt/T) + a 2 cos(4πt/T) + a 3 cos(6πt/T) + …

B 1 sin(2πt/T) + b 2 sin(4πt/T) + b 3 sin(6πt/T)+…, (10)

a n =
,

b n=
.

Če označimo kotno frekvenco prvega harmonika kot ω 0 = 2π/T, potem imajo n-harmonične komponente obliko cos(ω 0 nt), sin(ω 0 nt) in

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(ω 0 t) + a 2 cos(2ω 0 t) + a 3 cos(3ω 0 t) + …

B 1 sin(ω 0 t) + b 2 sin(2ω 0 t) + b 3 sin(3ω 0 t)+…=

=
, (11)

kjer so Fourierjevi koeficienti izračunani po formulah:

a n =
,

b n =
.

Vsako valovanje kompleksne oblike je mogoče predstaviti kot vsoto enostavnih valov.

Joseph Fourier je zelo želel z matematičnimi izrazi opisati, kako toplota prehaja skozi trdna telesa ( cm. Izmenjava toplote). Njegovo zanimanje za toploto se je morda sprožilo, ko je bil v Severni Afriki: Fourier je spremljal Napoleona na francoski ekspediciji v Egipt in tam živel nekaj časa. Da bi dosegel svoj cilj, je moral Fourier razviti nove matematične metode. Rezultati njegovih raziskav so bili objavljeni leta 1822 v delu "Analitična teorija toplote" ( Théorie analytique de la chaleur), kjer je razložil, kako analizirati zapletene fizikalne probleme tako, da jih razčleni na vrsto enostavnejših.

Metoda analize je temeljila na t.i Fourierjeve vrste. V skladu z načelom interference se serija začne z razgradnjo kompleksne oblike na enostavne - na primer spremembo zemeljske površine razložimo s potresom, spremembo orbite kometa z vplivom Pri privlačnosti več planetov je sprememba toka toplote posledica njenega prehoda skozi oviro nepravilne oblike iz toplotnoizolacijskega materiala. Fourier je pokazal, da je kompleksno valovno obliko mogoče predstaviti kot vsoto enostavnih valov. Praviloma je enačbe, ki opisujejo klasične sisteme, enostavno rešiti za vsakega od teh preprostih valov. Fourier je nato pokazal, kako je mogoče te preproste rešitve povzeti, da bi dobili rešitev celotnega kompleksnega problema. (Matematično gledano je Fourierjeva vrsta metoda za predstavitev funkcije kot vsote harmonikov – sinusnih in kosinusnih valov, zato je bila Fourierjeva analiza znana tudi kot »harmonična analiza.«)

Pred prihodom računalnikov sredi dvajsetega stoletja so bile Fourierjeve metode in podobne metode najboljše orožje v znanstvenem arzenalu, ko napada kompleksnost narave. Od pojava kompleksnih Fourierjevih metod so jih znanstveniki lahko uporabili ne le za reševanje preproste naloge, ki jih je mogoče rešiti z neposredno uporabo Newtonovih zakonov mehanike in drugih temeljnih enačb. Številni veliki dosežki Newtonove znanosti v 19. stoletju bi bili dejansko nemogoči brez uporabe metod, ki jih je uvedel Fourier. Kasneje so bile te metode uporabljene za reševanje problemov na različnih področjih - od astronomije do strojništva.

Jean-Baptiste Joseph FOURIE
Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830

francoski matematik. Rojen v Auxerru; pri devetih letih je ostal sirota. Že v mladosti je pokazal nagnjenost k matematiki. Fourier se je šolal v cerkveni šoli in vojaški šoli, nato je delal kot učitelj matematike. Vse življenje se je aktivno ukvarjal s politiko; je bil leta 1794 aretiran zaradi zagovarjanja žrtev terorja. Po Robespierrovi smrti so ga izpustili iz zapora; sodeloval pri ustanovitvi znamenite Politehnične šole (Ecole Polytechnique) v Parizu; položaj mu je pomenil odskočno desko za napredovanje pod Napoleonovim režimom. Spremljal je Napoleona v Egipt in bil imenovan za guvernerja Spodnjega Egipta. Po vrnitvi v Francijo leta 1801 je bil imenovan za guvernerja ene od provinc. Leta 1822 je postal stalni tajnik Francoske akademije znanosti, vpliven položaj v francoskem znanstvenem svetu.