Linearna funkcija imenujemo funkcija oblike y = kx + b, definirana na množici vseh realnih števil. Tukaj k– naklon (realno število), b – prosti termin (realno število), x- neodvisna spremenljivka.

V posebnem primeru, če k = 0, dobimo konstantno funkcijo y = b, katerega graf je ravna črta, vzporedna z osjo Ox, ki poteka skozi točko s koordinatami (0; b).

če b = 0, potem dobimo funkcijo y = kx, kateri je premo sorazmernost.

b – dolžina segmenta, ki je odrezana z ravno črto vzdolž osi Oy, šteto od izhodišča.

Geometrijski pomen koeficienta k – kot nagiba naravnost v pozitivno smer osi Ox, upoštevano v nasprotni smeri urinega kazalca.

Lastnosti linearne funkcije:

1) Domen definicije linearne funkcije je celotna realna os;

2) če k ≠ 0, potem je obseg vrednosti linearne funkcije celotna realna os. če k = 0, potem je obseg vrednosti linearne funkcije sestavljen iz števila b;

3) Parnost in lihost linearne funkcije sta odvisni od vrednosti koeficientov k in b.

a) b ≠ 0, k = 0, torej, y = b – sodo;

b) b = 0, k ≠ 0, torej y = kx – liho;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, torej y = kx + b – funkcija splošne oblike;

d) b = 0, k = 0, torej y = 0 – sode in lihe funkcije.

4) Linearna funkcija nima lastnosti periodičnosti;

5) Presečišča s koordinatnimi osemi:

Vol: y = kx + b = 0, x = -b/k, torej (-b/k; 0)– točka presečišča z abscisno osjo.

Oj: y = 0k + b = b, torej (0; b)– točka presečišča z ordinatno osjo.

Opomba: če b = 0 in k = 0, nato funkcijo y = 0 gre na nič za katero koli vrednost spremenljivke X. če b ≠ 0 in k = 0, nato funkcijo y = b ne izgine za nobeno vrednost spremenljivke X.

6) Intervali nespremenljivosti predznaka so odvisni od koeficienta k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b– pozitivno, ko x od (-b/k; +∞),

y = kx + b– negativno, ko x od (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b– pozitivno, ko x od (-∞; -b/k),

y = kx + b– negativno, ko x od (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b pozitivno v celotnem območju definicije,

k = 0, b< 0; y = kx + b negativna v celotnem razponu definicije.

7) Intervali monotonosti linearne funkcije so odvisni od koeficienta k.

k > 0, torej y = kx + b poveča na celotnem področju definicije,

k< 0 , torej y = kx + b zmanjša na celotnem področju definicije.

8) Graf linearne funkcije je premica. Za sestavo ravne črte je dovolj poznati dve točki. Položaj ravne črte na koordinatni ravnini je odvisen od vrednosti koeficientov k in b. Spodaj je tabela, ki to jasno prikazuje.

Linearna funkcija je funkcija oblike y=kx+b, kjer je x neodvisna spremenljivka, k in b pa poljubni števili.
Graf linearne funkcije je ravna črta.

1. Če želite narisati funkcijski graf, potrebujemo koordinate dveh točk, ki pripadata grafu funkcije. Če jih želite najti, morate vzeti dve vrednosti x, ju nadomestiti v enačbo funkcije in ju uporabiti za izračun ustreznih vrednosti y.

Na primer, če želite narisati funkcijo y= x+2, je priročno vzeti x=0 in x=3, potem bodo ordinate teh točk enake y=2 in y=3. Dobimo točki A(0;2) in B(3;3). Povežimo jih in dobimo graf funkcije y= x+2:

2. V formuli y=kx+b se število k imenuje sorazmernostni koeficient:
če k>0, potem funkcija y=kx+b narašča
če k
Koeficient b prikazuje premik grafa funkcije vzdolž osi OY:
če b>0, dobimo graf funkcije y=kx+b iz grafa funkcije y=kx s premikom b enot navzgor vzdolž osi OY
če b
Spodnja slika prikazuje grafe funkcij y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3

Upoštevajte, da je v vseh teh funkcijah koeficient k Nad ničlo, in funkcije so povečevanje. Poleg tega večja kot je vrednost k, večji je kot naklona ravne črte v pozitivno smer osi OX.

V vseh funkcijah b=3 - in vidimo, da vsi grafi sekajo os OY v točki (0;3)

Sedaj si oglejmo grafe funkcij y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

Tokrat pri vseh funkcijah koeficient k manj kot nič in funkcije se zmanjšujejo. Koeficient b=3, grafa, kot v prejšnjem primeru, sekata os OY v točki (0;3)

Oglejmo si grafe funkcij y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Zdaj so v vseh funkcijskih enačbah koeficienti k enaki 2. In dobili smo tri vzporedne premice.

Toda koeficienti b so različni in ti grafi sekajo os OY na različnih točkah:
Graf funkcije y=2x+3 (b=3) seka os OY v točki (0;3)
Graf funkcije y=2x (b=0) seka os OY v točki (0;0) - izhodišču.
Graf funkcije y=2x-3 (b=-3) seka os OY v točki (0;-3)

Torej, če poznamo predznake koeficientov k in b, potem si lahko takoj predstavljamo, kako izgleda graf funkcije y=kx+b.
če k 0

če k>0 in b>0, potem je graf funkcije y=kx+b videti takole:

če k>0 in b, potem je graf funkcije y=kx+b videti takole:

če k, potem je graf funkcije y=kx+b videti takole:

če k=0, potem se funkcija y=kx+b spremeni v funkcijo y=b in njen graf izgleda takole:

Ordinate vseh točk na grafu funkcije y=b so enake b Če b=0, potem gre graf funkcije y=kx (direktna sorazmernost) skozi izhodišče:

3. Posebej si zapomnimo graf enačbe x=a. Graf te enačbe je premica, vzporedna z osjo OY, katere vse točke imajo absciso x=a.

Na primer, graf enačbe x=3 izgleda takole:
Pozor! Enačba x=a ni funkcija, zato ena vrednost argumenta ustreza različnim vrednostim funkcije, kar pa ne ustreza definiciji funkcije.

4. Pogoj za vzporednost dveh premic:

Graf funkcije y=k 1 x+b 1 je vzporeden z grafom funkcije y=k 2 x+b 2, če je k 1 =k 2

5. Pogoj, da sta dve ravni črti pravokotni:

Graf funkcije y=k 1 x+b 1 je pravokoten na graf funkcije y=k 2 x+b 2, če je k 1 *k 2 =-1 ali k 1 =-1/k 2

6. Točke presečišča grafa funkcije y=kx+b s koordinatnimi osemi.

Z osjo OY. Abscisa katere koli točke, ki pripada osi OY, je enaka nič. Če želite najti točko presečišča z osjo OY, morate v enačbi funkcije namesto x nadomestiti nič. Dobimo y=b. To pomeni, da ima točka presečišča z osjo OY koordinate (0; b).

Z osjo OX: ordinata katere koli točke, ki pripada osi OX, je nič. Če želite najti točko presečišča z osjo OX, morate v enačbi funkcije namesto y nadomestiti nič. Dobimo 0=kx+b. Zato je x=-b/k. To pomeni, da ima točka presečišča z osjo OX koordinate (-b/k;0):

Definicija linearne funkcije

Uvedimo definicijo linearne funkcije

Opredelitev

Funkcijo oblike $y=kx+b$, kjer $k$ ni nič, imenujemo linearna funkcija.

Graf linearne funkcije je ravna črta. Število $k$ imenujemo naklon premice.

Če je $b=0$, se linearna funkcija imenuje funkcija neposredne sorazmernosti $y=kx$.

Razmislite o sliki 1.

riž. 1. Geometrijski pomen naklona premice

Razmislite o trikotniku ABC. Vidimo, da je $ВС=kx_0+b$. Poiščemo presečišče premice $y=kx+b$ z osjo $Ox$:

\ \

Torej $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Poiščimo razmerje teh strani:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Po drugi strani pa $\frac(BC)(AC)=tg\kot A$.

Tako lahko sklepamo naslednje:

Zaključek

Geometrijski pomen koeficienta $k$. Kotni koeficient premice $k$ je enak tangensu naklonskega kota te premice na os $Ox$.

Preučevanje linearne funkcije $f\left(x\right)=kx+b$ in njenega grafa

Najprej razmislite o funkciji $f\left(x\desno)=kx+b$, kjer je $k > 0$.

1. $f"\levo(x\desno)=(\levo(kx+b\desno))"=k>0$. torej to funkcijo poveča skozi celotno domeno definicije. Ekstremnih točk ni.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Graf (slika 2).

riž. 2. Grafi funkcije $y=kx+b$, za $k > 0$.

Zdaj razmislite o funkciji $f\left(x\desno)=kx$, kjer je $k

1. Domena definicije so vsa števila.
2. Razpon vrednosti so vse številke.
3. $f\levo(-x\desno)=-kx+b$. Funkcija ni niti soda niti liha.
4. Za $x=0,f\left(0\desno)=b$. Ko je $y=0,0=kx+b,\x=-\frac(b)(k)$.

Presečišča s koordinatnimi osemi: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ in $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\levo(x\desno)=(\levo(kx\desno))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Zato funkcija nima prevojnih točk.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Graf (slika 3).