Část Úvodní přehled pojednává o dvou velmi jednoduché příklady(převzato z Shumway, 1988) pro ilustraci povahy spektrální analýzy a interpretace výsledků. Pokud tuto metodu neznáte, doporučujeme vám nejprve se podívat na tuto část této kapitoly.

Recenze a datový soubor. Soubor Sunspot.sta obsahuje část známých čísel slunečních skvrn (Wolfer) z let 1749 až 1924 (Anderson, 1971). Níže je uveden seznam prvních několika dat z ukázkového souboru.

Předpokládá se, že množství slunečních skvrn ovlivňuje počasí na zemi, ale i zemědělství, telekomunikace atd. Pomocí této analýzy se lze pokusit zjistit, zda má aktivita slunečních skvrn skutečně cyklickou povahu (ve skutečnosti je, tato data jsou široce diskutována v literatuře; viz například Bloomfield, 1976 nebo Shumway, 1988).

Definice analýzy. Po spuštění analýzy otevřete datový soubor Sunspot.sta. Klikněte na tlačítko Proměnné a vyberte proměnnou Spots (všimněte si, že pokud je datový soubor Sunspot.sta aktuální otevřít soubor data a proměnná Spots je jedinou proměnnou v tomto souboru, poté, když se otevře dialogové okno Analýza časových řad, budou automaticky vybrány Spoty). Nyní klikněte na tlačítko Fourierova (spektrální) analýza pro otevření dialogového okna Fourierova (spektrální) analýza.

Před aplikací spektrální analýzy nejprve vykreslete počet slunečních skvrn. Všimněte si, že soubor Sunspot.sta obsahuje odpovídající roky jako názvy pozorování. Chcete-li použít tato jména v spojnicové grafy, klikněte na kartu Zobrazit řadu a v části Označit body vyberte Názvy případů. Vyberte také Nastavit měřítko osy X ručně a Min. = 1 a Krok = 10. Poté klikněte na tlačítko Graf vedle tlačítka Výběr pohledu. variabilní.

Zdá se, že počet slunečních skvrn sleduje cyklický vzor. Trend není viditelný, takže se vraťte do okna Spektrální analýza a zrušte výběr možnosti Odstranit lineární trend ve skupině Transformace zdrojové řady.

Je zřejmé, že průměr řady je větší než 0 (nula). Proto ponechte vybranou možnost Odečíst průměr [jinak bude periodogram „ucpaný“ velmi velkou špičkou při frekvenci 0 (nula)].

Nyní jste připraveni zahájit analýzu. Nyní klikněte na OK (Jednorozměrná Fourierova analýza), aby se zobrazilo dialogové okno Výsledky Fourierovy spektrální analýzy.

Zobrazit výsledky. Informační část v horní části dialogového okna zobrazuje některé souhrnné statistiky pro řadu. Zobrazuje také pět největších vrcholů v periodogramu (podle frekvence). Tři největší píky jsou na frekvencích 0,0852, 0,0909 a 0,0114. Tyto informace jsou často užitečné při analýze velmi rozsáhlých sérií (například s více než 100 000 pozorováními), které nelze snadno vykreslit do jednoho grafu. V tomto případě je však snadné vidět hodnoty periodogramu; kliknutím na tlačítko Periodogram v části Periodogram and Spectral Density Graphs.

Graf periodogramu ukazuje dva jasné vrcholy. Maximum je při frekvenci přibližně 0,9. Vraťte se do okna Výsledky spektrální analýzy a klikněte na tlačítko Souhrn, abyste viděli všechny hodnoty periodogramu (a další výsledky) v tabulce výsledků. Níže je část výsledkové tabulky s největším vrcholem identifikovaným z periodogramu.

Jak je uvedeno v části Úvodní přehled, Frekvence je počet cyklů za jednotku času (kde každé pozorování je jednou jednotkou času). Frekvence 0,0909 tedy odpovídá hodnotě 11 period (počet časových jednotek potřebných pro úplný cyklus). Vzhledem k tomu, že údaje o slunečních skvrnách v Sunspot.sta představují roční pozorování, lze dojít k závěru, že existuje zřetelný 11letý (možná o něco delší než 11letý) cyklus v aktivitě slunečních skvrn.

Spektrální hustota. Pro výpočet odhadů spektrální hustoty se periodogram obvykle vyhlazuje, aby se odstranily náhodné fluktuace. Typ váženého klouzavého průměru a šířku okna lze vybrat v části Spektrální okna. Část Úvodní přehled podrobně popisuje tyto možnosti. Pro náš příklad ponechme vybrané výchozí okno (Hammingova šířka 5) a vybereme graf Spectral Density.

Tyto dva vrcholy jsou nyní ještě zřetelnější. Podívejme se na hodnoty periodogramu podle období. Vyberte pole Období v části Plán. Nyní vyberte graf spektrální hustoty.

Opět je vidět, že existuje výrazný 11letý cyklus aktivity slunečních skvrn; Navíc existují známky existence delšího, přibližně 80-90letého cyklu.

FOURIER TRANSFORMA A KLASICKÁ DIGITÁLNÍ SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA.
Medveděv S.Yu., Ph.D.

Úvod

Spektrální analýza je jednou z metod zpracování signálu, která umožňuje charakterizovat frekvenční složení měřeného signálu. Fourierova transformace je matematický rámec, který spojuje časový nebo prostorový signál (nebo nějaký model tohoto signálu) s jeho reprezentací ve frekvenční doméně. Statistické metody hrají důležitou roli ve spektrální analýze, protože signály jsou během šíření nebo měření zpravidla náhodné nebo zašuměné. Pokud by byly základní statistické charakteristiky signálu přesně známy nebo by mohly být určeny z konečného intervalu tohoto signálu, pak by spektrální analýza představovala odvětví „exaktní vědy“. Ve skutečnosti však lze ze segmentu signálu získat pouze odhad jeho spektra. Praxe spektrální analýzy je proto druhem řemesla (nebo umění?) spíše subjektivní povahy. Rozdíl mezi spektrálními odhady získanými jako výsledek zpracování stejného segmentu signálu různými metodami lze vysvětlit rozdílem v předpokladech učiněných ohledně dat, různé způsoby průměrování atd. Pokud nejsou charakteristiky signálu a priori známy, nelze říci, který z odhadů je lepší.

Fourierova transformace - matematický základ spektrální analýzy
Pojďme si krátce probrat různé typy Fourierovy transformace (více podrobností viz).
Začněme Fourierovou transformací časově spojitého signálu

, (1)

který identifikuje frekvence a amplitudy oněch komplexních sinusoid (exponentů), na které se rozloží nějaká libovolná oscilace.
Reverzní konverze

. (2)

Existence přímých a inverzních Fourierových transformací (které budeme dále nazývat spojitá Fourierova transformace - CTFT) je dána řadou podmínek. Dostatečná - absolutní integrovatelnost signálu

. (3)

Méně omezující postačující podmínkou je konečnost energie signálu

. (4)

Uveďme několik základních vlastností Fourierovy transformace a funkcí použitých níže, přičemž poznamenejme, že obdélníkové okno je definováno výrazem

(5)

a funkce sinc je výraz

(6)

Funkce vzorkování v časové oblasti je dána

(7)

Tato funkce se někdy také nazývá funkce periodického pokračování.

Tabulka 1. Hlavní vlastnosti NVPF a funkce

Vlastnost, funkce	Funkce	Konverze
Linearita	ag(t) + bh(t)	aG(f) + bH(f)
Časový posun	h (t - t 0)	H(f)exp(-j2pf t 0)
Posun frekvence (modulace)	h (t)exp(j2pf0 t)	H(f - f 0)
Měřítko	(1 / |a|)h(t / a)	H(af)
Věta o konvoluci v časové oblasti	g(t)*h(t)	G(f)H(f)
Věta o konvoluci ve frekvenční oblasti	g(t) h(t)	G(f)*H(f)
Funkce okna	aw(t/T)	2ATsinc (2Tf)
Funkce Sinc	2AFsinc (2Ft)	au(f/F)
Pulzní funkce	reklama(t)
Funkce počítání	T(f)	FF(f), F=l/T

Další důležitá vlastnost je založena Parsevalovou větou pro dvě funkce g(t) a h(t):

. (8)

Pokud dáme g(t) = h(t), pak se Parsevalova věta redukuje na větu o energii

. (9)

Výraz (9) je v podstatě jednoduše formulace zákona zachování energie ve dvou doménách (časové a frekvenční). V (9) vlevo je celková energie signálu, tedy funkce

(10)

popisuje frekvenční rozložení energie pro deterministický signál h(t) a nazývá se proto spektrální hustota energie (SED). Použití výrazů

(11)

lze vypočítat amplitudová a fázová spektra signálu h(t).

Operace odběru vzorků a vážení

V další části si představíme diskrétní Fourierovu řadu (DTFS) nebo jinak diskrétní Fourierovu transformaci (DFT) jako speciální případ spojité Fourierovy transformace (CTFT) pomocí dvou základních operací zpracování signálu - odebírání vzorků ( vzorkování) A vážení pomocí okna. Zde uvažujeme o vlivu těchto operací na signál a jeho transformaci. Tabulka 2 uvádí funkce, které provádějí vážení a vzorkování.

Pro rovnoměrné odečty s intervalem T sekund je vzorkovací frekvence F rovna 1/T Hz. Všimněte si, že váhová funkce a vzorkovací funkce v časové oblasti jsou označeny TW (časové okénko) a TS (časové vzorkování) a ve frekvenční doméně - FW (frekvenční okénko) a FS (frekvenční vzorkování).

Tabulka 2. Funkce vážení a vzorkování

Úkon	Funkce času	Konverze
Váha v časové doméně (šířka okna NT s)	TW=w(2t / NT - 1)	F(TW)=NTsinc(NTf)exp(-jpNTf)
Váhování frekvenční domény (šířka okna 1/T Hz)		FW=w(2Tf)
Počítání v čase (interval T s)	TS=T T(t)
Vzorkování frekvence (v intervalech 1/NT Hz)

Předpokládejme, že jsou odebrány vzorky spojitého reálného signálu x(t) s omezeným spektrem, jehož horní frekvence je rovna F0. NVFT reálného signálu je vždy symetrická funkce s plnou šířkou 2F0, viz obr. 1. Obr.
Vzorky signálu x(t) lze získat vynásobením tohoto signálu vzorkovou funkcí:

(12)

Obr. 1 - ilustrace vzorkovacího teorému v časové oblasti pro reálný signál s omezeným spektrem: Obr.
a - původní časová funkce a její Fourierova transformace;
b - funkce vzorků v čase a její Fourierova transformace;
časové vzorky původní funkce a její periodicky pokračující Fourierova transformace pro případ Fo<1/2T;
d - frekvenční okno (ideální dolní propust) a jeho Fourierova transformace (funkce sinc);
d - původní časová funkce obnovená pomocí konvoluční operace s funkcí sinc.

Podle teorému o konvoluci ve frekvenční oblasti je FTFT signálu x(t) jednoduše konvolucí spektra signálu x(t) a Fourierovy transformace funkce časového vzorku (TS):

. (13)

Konvoluce X(f) s Fourierovou transformací vzorkové funkce F(TS)=Y1/T(f) jednoduše periodicky pokračuje X(f) s frekvenčním intervalem 1/T Hz. Proto XS(f) je periodicky rozšířené spektrum X(f). Obecně vzorky v jedné doméně (například časové) vedou k periodickému pokračování v transformační doméně (například frekvence). Pokud je vzorkovací frekvence zvolena dostatečně nízká (F< 2Fo), то периодически продолженные спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название эффекта наложения в частотной области.
Aby se z jeho vzorků obnovil původní časový signál, tzn. pro interpolaci určitého kontinua hodnot mezi těmito vzorky můžete vzorkovaná data propustit přes ideální dolní propust s obdélníkovou frekvenční odezvou (obr. 1d)

. (14)

V důsledku toho (viz obr. 1 d) je obnovena původní Fourierova transformace. Pomocí konvolučních teorémů v časové a frekvenční oblasti získáme

. (15)

Výraz (15) je matematický zápis vzorkovací teorémy v časové oblasti(teorém Whittakera, Kotelnikova, Shannona - UKSH), který říká, že pomocí interpolačního vzorce (15) lze přesně obnovit reálný signál s omezeným spektrem. nekonečným počtem známé časové vzorky odebrané s frekvencí F = 2F0. Duál k větě (15) je věta vzorky ve frekvenční oblasti pro signály s omezenou dobou trvání.
Operace v časové oblasti, podobné (14), jsou popsány výrazem

, (16)

a odpovídající transformace jsou výrazy

NVPF X(f) některého signálu s omezenou dobou trvání lze tedy jednoznačně obnovit z ekvidistantních vzorků spektra takového signálu, pokud zvolený interval vzorkování frekvence splňuje podmínku F1/2T 0 Hz, kde T 0 je signál. doba trvání.

Vztahy mezi spojitými a diskrétními transformacemi

Dvojice transformací pro konvenční definici N-bodové diskrétní Fourierovy transformace (DFT) časové posloupnosti x[n] a odpovídající N-bod Fourierovy transformační sekvence X[k] je dáno výrazy

, (18)
. (19)

Abychom získali spektrální odhady ze vzorků dat v odpovídajících jednotkách energie nebo výkonu, napíšeme Fourierovu řadu s diskrétním časem (DTFS), kterou lze považovat za určitou aproximaci spojité Fourierovy transformace (CTFT), založenou na použití konečného počtu vzorků dat:

Abychom ukázali povahu souladu s DVRF ( oddělený funkce v časové i frekvenční oblasti) a CVDF (spojité funkce v časové a frekvenční oblasti), potřebujeme sekvenci čtyř lineárních komutativních operací: vážení v časové a frekvenční oblasti a odběr vzorků nebo odběr vzorků jak v časové, tak frekvenční oblasti. Je-li operace vážení provedena v jedné z těchto oblastí, pak podle konvoluční věty bude odpovídat operaci filtrování (konvoluce) v jiné oblasti s funkcí sinc. Podobně, pokud se diskretizace provádí v jedné oblasti, pak se periodická operace pokračování provádí v jiné. Vzhledem k tomu, že vážení a odběr vzorků jsou lineární a komutativní operace, jsou možné různé způsoby jejich řazení, které dávají stejný konečný výsledek s různými mezivýsledky. Obrázek 2 ukazuje dvě možné sekvence pro provádění těchto čtyř operací.

Rýže. 2. Dvě možné sekvence dvou operací vážení a dvou operací vzorkování, propojení NVPF a DVRF: FW - aplikace okna ve frekvenční oblasti; TW - aplikace okna v časové oblasti; FS - odběr vzorků ve frekvenční oblasti; TS - odběr vzorků v časové oblasti.
1 - Fourierova transformace ve spojitém čase, rovnice (1);
4 - Fourierova transformace v diskrétním čase, rovnice (22);
5 - Fourierova řada se spojitým časem, rovnice (25);
8 - Fourierova řada s diskrétním časem, rovnice (27)

V důsledku provádění operací vážení a vzorkování v uzlech 1, 4, 5 a 8 dojde ke čtyřem různým typům Fourierových vztahů. Uzly, ve kterých je funkce frekvenční doména je spojitá, odkazují na transformací Fourier a uzly, ve kterých je funkce ve frekvenční oblasti oddělený odkazují na Fourierova řada(další podrobnosti viz).
V uzlu 4 se tedy generuje vážení ve frekvenční doméně a vzorkování v časové doméně převod diskrétního času Fourierova transformace (FTFT), která se vyznačuje periodickou spektrální funkcí ve frekvenční oblasti s periodou 1/T Hz:

(22)

(23)

Všimněte si, že výraz (22) definuje určitou periodickou funkci, která se shoduje s původní transformovanou funkcí specifikovanou v uzlu 1 pouze ve frekvenčním rozsahu od -1/2T do 1/2T Hz. Výraz (22) souvisí se Z-transformací diskrétní sekvence x[n] vztahem

(24)

Takže DVFT je jednoduše Z-transformace vypočítaná na jednotkové kružnici a vynásobená T.
Pokud se přesuneme z uzlu 1 do uzlu 8 na obr. 2 po spodní větvi, v uzlu 5 operace vážení v časové oblasti (omezení délky signálu) a vzorkování ve frekvenční oblasti generují spojitou Fourierovu řadu (CFTS). ). Pomocí vlastností a definic funkcí uvedených v tabulkách 1 a 2 získáme následující dvojici transformací
(25)
(26)

Všimněte si, že výraz (26) definuje určitou periodickou funkci, která se shoduje s původní (v uzlu 1) pouze v časovém intervalu od 0 do NT.
Bez ohledu na to, která ze dvou sekvencí čtyř operací je vybrána, konečný výsledek v uzlu 8 bude stejný - Fourierova řada s diskrétním časem, což odpovídá následující dvojici transformací získaných pomocí vlastností uvedených v tabulce 1.

, (27)

kde k=-N/2,. . . ,N/2-1

, (28)

kde n=0,. . . ,N-1,
Energetická věta pro tento DVRF je:

, (29)

a charakterizuje energii sekvence N datových vzorků. Obě sekvence x[n] a X[k] jsou periodické modulo N, takže (28) lze zapsat ve tvaru

, (30)

kde 0 n N. Faktor T v (27) - (30) je nutný, aby (27) a (28) byly ve skutečnosti aproximací integrální transformace v oboru integrace

.(31)

Nulové polstrování

Prostřednictvím procesu tzv vycpávka nulami, lze Fourierovu řadu v diskrétním čase upravit tak, aby interpolovala mezi N hodnotami původní transformace. Dostupné vzorky dat x,...,x nechť doplníme nulovými hodnotami x[N],...X. DVRF této nulami vyplněné 2N-tečkové datové sekvence bude dáno

(32)

kde je horní limit součtu vpravo upraven tak, aby vyhovoval přítomnosti nulových dat. Nechť k=2m, takže

, (33)

kde m=0,1,...,N-1, definuje sudé hodnoty X[k]. To ukazuje, že pro sudé hodnoty indexu k je 2N-bodová diskrétní Fourierova řada redukována na N-bodovou diskrétní časovou řadu. Liché hodnoty indexu k odpovídají interpolovaným hodnotám DVRF umístěným mezi hodnotami původního N-bodového DVRF. Jak se k původní sekvenci N-teček přidává stále více nul, lze získat ještě více interpolovaných dat. V omezujícím případě nekonečného počtu vstupních nul lze DVRF považovat za Fourierovu transformaci N-bodové datové sekvence s diskrétním časem:

. (34)

Transformace (34) odpovídá uzlu 6 na obr. 2.
Existuje mylná představa, že nulová výplň zlepšuje rozlišení, protože zvyšuje délku datové sekvence. Jak však vyplývá z obr. 3, vyplnění nulami nezlepšuje rozlišení transformace získané z dané konečné datové sekvence. Zero padding jednoduše umožňuje interpolovaný převod uhlazenější tvar. Navíc eliminuje nejistoty způsobené přítomností úzkopásmových složek signálu, jejichž frekvence leží mezi N body odpovídajícími odhadnutým frekvencím původního DVRF. Při vyplnění nulami se také zvyšuje přesnost odhadu frekvence spektrálních špiček. Pod pojmem spektrální rozlišení budeme rozumět schopnost rozlišovat mezi spektrálními odezvami dvou harmonických signálů. Obecně přijímaným pravidlem, často používaným ve spektrální analýze, je, že frekvenční separace jednotlivých sinusoid nemůže být menší než ekvivalentní šířka okna, přes které jsou pozorovány segmenty (úseky) těchto sinusoid.

Obr.3. Interpolace pomocí nulové výplně:
a - DVRF modul pro 16bodový záznam dat obsahující tři sinusoidy bez výplně nulami (nejistoty jsou viditelné: nelze říci, kolik sinusoid je v signálu - dvě, tři nebo čtyři);
b - DVRF modul stejné sekvence po zdvojnásobení počtu jeho vzorků přidáním 16 nul (nejistoty jsou vyřešeny, protože všechny tři sinusoidy jsou rozlišitelné;
c - DVRF modul stejné sekvence po čtyřnásobném zvýšení počtu jeho vzorků přidáním nul.

Ekvivalentní šířku pásma okna lze definovat jako
kde W(f) je Fourierova transformace v diskrétním čase funkce okna, například obdélníková (5). Podobně můžete vstoupit ekvivalentní trvání okna

Lze ukázat, že ekvivalentní trvání okna (nebo jakéhokoli jiného signálu) a ekvivalentní šířka pásma jeho transformace jsou vzájemně inverzní veličiny: TeBe=1.

Rychlá Fourierova transformace

Rychlá Fourierova transformace (FFT) není jiný typ Fourierovy transformace, ale název řady efektivních algoritmy, určený pro rychlý výpočet Fourierových řad v diskrétním čase. Hlavní problém, který vzniká při praktické implementaci DVRF, spočívá ve velkém počtu výpočetních operací úměrných N2. Ačkoli dlouho před příchodem počítačů bylo navrženo několik efektivních výpočetních schémat, která by mohla výrazně snížit počet výpočetních operací, skutečnou revoluci přineslo v roce 1965 zveřejnění článku Coolyho a Tukeyho s praktickým algoritmem pro rychlé (počet operací). Nlog 2 N) výpočty DVRF . Poté bylo vyvinuto mnoho variant, vylepšení a dodatků k základní myšlence, které vytvořily třídu algoritmů známou jako rychlá Fourierova transformace. Základní myšlenkou FFT je rozdělit N-bodový DVRF na dva nebo více menších DVRF, z nichž každý lze vypočítat samostatně a poté lineárně sečíst s ostatními, aby se získal DVRF původní N-bodové sekvence.
Představme si diskrétní Fourierovu transformaci (DFFT) ve tvaru

, (35)

kde hodnota W N =exp(-j2 /N) se nazývá součinitel obratu (dále v této části je perioda vzorkování T=1). Vyberme prvky se sudými a lichými čísly z posloupnosti x[n]

. (36)

Ale od té doby
. Proto lze (36) psát ve tvaru

, (37)

kde každý člen je transformací délky N/2

(38)

Všimněte si, že sekvence (WN/2) nk je periodická v k s periodou N/2. Přestože tedy číslo k ve výrazu (37) nabývá hodnot od 0 do N-1, každý ze součtů je vypočítán pro hodnoty k od 0 do N/2-1. Je možné odhadnout počet komplexních operací násobení a sčítání potřebných k výpočtu Fourierovy transformace v souladu s algoritmem (37)-(38). Dvě N/2-bodové Fourierovy transformace podle vzorců (38) zahrnují provedení 2(N/2)2 násobení a přibližně stejný počet sčítání. Kombinace dvou N/2-bodových transformací pomocí vzorce (37) vyžaduje dalších N násobení a N sčítání. Proto pro výpočet Fourierovy transformace pro všech N hodnot k je nutné provést N+N 2 /2 násobení a sčítání. Současně přímý výpočet pomocí vzorce (35) vyžaduje násobení a sčítání N 2 . Již pro N>2 je splněna nerovnost N+N 2 /2< N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям:

, (39)
(40)

V tomto případě, vzhledem k periodicitě posloupnosti Wnk N/4 v k s periodou N/4, je potřeba součty (40) počítat pouze pro hodnoty k od 0 do N/4-1. Proto výpočet posloupnosti X[k] pomocí vzorců (37), (39) a (40) vyžaduje, jak je snadné vypočítat, již 2N+N 2 /4 operace násobení a sčítání.
Sledováním této cesty lze objem výpočtu X[k] stále více snižovat. Po m=log 2 N expanzích dospějeme k dvoubodové Fourierově transformaci formy

(41)

kde „jednobodové transformace“ X 1 jsou jednoduše vzorky signálu x[n]:

Xi = x[q]/N, q=0,1,...,N-1. (42)

V důsledku toho můžeme napsat algoritmus FFT, který se z pochopitelných důvodů nazývá algoritmus ztenčování času :

X 2 = (x[p] + Wk 2 x) / N,

kde k=0,1, p=0,1,...,N/2-1;

X 2N/M = X N/M + Wk 2N/M X N/M,

kde k=0,1,...,2N/M-1, p=0,1,...,M/2-1;

X[k] = X N [k] = X N/2 + WkN X N/2, (43)

kde k=0,1,...,N-1

V každé fázi výpočtů se provádí N komplexních násobení a sčítání. A protože počet rozkladů původní sekvence na dílčí posloupnosti poloviční délky je roven log 2 N, pak je celkový počet operací násobení a sčítání v algoritmu FFT roven Nlog 2 N. Pro velké N existuje významný úspora ve výpočetních operacích oproti přímým DFT výpočtům. Například, když N = 2 10 = 1024, počet operací se sníží 117krát.
Časově zdecimovaný FFT algoritmus, který jsme uvažovali, je založen na výpočtu Fourierovy transformace vytvořením podsekvencí vstupní sekvence x[n]. Je však také možné použít podsekvenční rozklad Fourierovy transformace X[k]. Algoritmus FFT založený na tomto postupu se nazývá c ztenčení frekvence. Více o rychlé Fourierově transformaci si můžete přečíst například v.

Náhodné procesy a výkonová spektrální hustota

Oddělený náhodný proces x lze považovat za určitou množinu nebo soubor reálných nebo komplexních diskrétních časových (nebo prostorových) sekvencí, z nichž každou lze pozorovat jako výsledek nějakého experimentu (n je časový index, i je číslo pozorování). Sekvence získaná jako výsledek jednoho z pozorování bude označena x[n]. Operace průměrování nad souborem (tj. statistické průměrování) bude označen provozovatelem<>. Tím pádem, - průměrná hodnota náhodného procesu x[n] v čase n. Autokorelace náhodný proces ve dvou různých časech n1 a n2 je určen výrazem r xx = .

Náhodný proces se nazývá stacionární in v širokém slova smyslu, pokud je jeho průměrná hodnota konstantní (nezávislá na čase), a autokorelace závisí pouze na rozdílu časových indexů m=n1-n2 (časový posun nebo zpoždění mezi vzorky). Tedy široce stacionární diskrétní náhodný proces x[n] je charakterizován konstantní průměrnou hodnotou =A autokorelační sekvence(AKP)

r xx [m] =< xx*[n] >. (44)

Všimněme si následujících vlastností automatické převodovky:

r xx |r xx [m]| , r xx [-m] = r* xx [m] , (45)

které jsou platné pro všechny m.
Výkonová spektrální hustota (PSD) je definována jako Fourierova transformace v diskrétním čase (DTFT) autokorelační sekvence.

. (46)

PSD, jehož šířka se předpokládá omezená na ±1/2T Hz, je periodickou funkcí frekvence s periodou 1/T Hz. Funkce PSD popisuje frekvenční rozložení síly náhodného procesu. Pro potvrzení zvoleného názvu zvažte inverzní DVFT

(47)

vypočteno při m=0

(48)

Autokorelaci při nulovém posunu charakterizuje průměrný výkon náhodný proces. Podle (48) plocha pod křivkou P xx (f) charakterizuje průměrný výkon, takže P xx (f) je funkce hustoty (výkon na jednotku frekvence), která charakterizuje frekvenční rozložení výkonu. Často se nazývá dvojice transformací (46) a (47). Wiener-Khinchinův teorém pro případ diskrétního času. Protože r xx [-m]=r* xx [m], pak PSD musí být striktně reálná kladná funkce. Pokud je ACP přísně reálná funkce, pak r xx [-m]=r xx [m] a PSD lze zapsat ve formě Fourierovy kosinové transformace

,

což také znamená, že P xx (f) = P xx (-f), tzn. SPM je sudá funkce.
Až dosud jsme při určování průměrné hodnoty, korelace a výkonové spektrální hustoty náhodného procesu používali statistické průměrování nad souborem. V praxi však obvykle není možné získat soubor implementací požadovaného procesu, ze kterého by bylo možné tyto statistické charakteristiky vypočítat. Je vhodné vyhodnotit všechny statistické vlastnosti pomocí jedné výběrové realizace x(t), nahrazující y celek averaging time averaging. Vlastnost, která umožňuje takovou náhradu vyrobit, se nazývá ergodičnost. O náhodném procesu se říká, že je ergodický, jestliže s pravděpodobností rovné jedné lze všechny jeho statistické charakteristiky předpovědět z jedné implementace ze souboru pomocí časového průměrování. Jinými slovy, časové průměry téměř všech možných implementací procesu konvergují s pravděpodobností jedna ke stejné konstantní hodnotě - souborovému průměru

. (49)

Tato mez, pokud existuje, konverguje ke skutečnému průměru tehdy a jen tehdy, když má časový rozptyl průměru tendenci k nule, což znamená, že platí následující podmínka:

. (50)

Zde c xx [m] je skutečná hodnota kovariance procesu x[n].
Podobně, pozorováním hodnoty součinu procesních vzorků x[n] ve dvou bodech v čase, lze očekávat, že průměrná hodnota bude rovna

(51)

Předpoklad ergodicity nám umožňuje nejen zavést pomocí časového průměrování definice pro střední hodnotu a autokorelaci, ale také poskytnout podobnou definici pro výkonovou spektrální hustotu.

. (52)

Tato ekvivalentní forma PSD se získá statistickým zprůměrováním modulu DVFT váženého souboru dat děleného délkou datového záznamu pro případ, kdy se počet vzorků zvyšuje do nekonečna. Statistické průměrování je zde nezbytné, protože DVFT je sama o sobě náhodná veličina, která se mění pro každou realizaci x[n]. Abychom ukázali, že (52) je ekvivalentní Wiener-Khinchinově větě, představujeme druhou mocninu modulu DVFT jako součin dvou řad a změníme pořadí operací součtu a statistického průměrování:

(53)

Použití známého výrazu

, (54)

vztah (53) lze redukovat na následující:

(55)

Všimněte si, že v poslední fázi derivace (55) byl použit předpoklad, že autokorelační sekvence se „rozpadá“, takže

. (56)

Vztah mezi dvěma definicemi PSD (46) a (52) jasně ukazuje diagram uvedený na obrázku 4.
Pokud ve výrazu (52) nebereme v úvahu operaci matematického očekávání, získáme odhad SPM

, (57)

který se nazývá spektrum vzorku.

Rýže. 4. Vztah mezi dvěma metodami odhadu výkonové spektrální hustoty

Periodogramová metoda spektrálního odhadu

Výše jsme představili dvě formálně ekvivalentní metody pro stanovení výkonové spektrální hustoty (PSD). Nepřímá metoda je založena na použití nekonečné sekvence dat pro výpočet autokorelační sekvence, jejíž Fourierova transformace dává požadovanou PSD. Přímá metoda pro stanovení PSD je založena na výpočtu kvadrátu modulu Fourierovy transformace pro nekonečnou sekvenci dat pomocí vhodného statistického průměrování. PSD získaná bez takového zprůměrování se ukazuje jako neuspokojivá, protože střední kvadratická chyba takového odhadu je srovnatelná s jeho průměrnou hodnotou. Nyní zvážíme metody průměrování, které poskytují hladké a statisticky stabilní spektrální odhady na konečném počtu vzorků. Odhady SPD založené na přímé transformaci dat a následném zprůměrování se nazývají periodogramy. Vyvolají se odhady PSD, pro které se nejprve vytvoří korelační odhady z počátečních dat korelogram. Při použití jakékoli metody odhadu PSD musí uživatel učinit mnoho kompromisních rozhodnutí, aby získal statisticky stabilní spektrální odhady s nejvyšším možným rozlišením z konečného počtu vzorků. Tyto kompromisy zahrnují, ale nejsou omezeny na výběr okna pro vážení dat a odhady korelace a parametry průměrování v časové a frekvenční doméně, které vyvažují požadavky na snížení postranních laloků díky vážení, provádění efektivního průměrování a poskytování přijatelné spektrální rozlišení. Na Obr. Obrázek 5 ukazuje schéma znázorňující hlavní fáze periodogram metoda

Rýže. 5. Hlavní fáze odhadu PSD metodou periodogramu

Aplikace metody začíná sběrem N datových vzorků, které jsou odebírány v intervalu T sekund na vzorek, po kterém (volitelně) následuje krok snižování trendu. Pro získání statisticky stabilního spektrálního odhadu je třeba dostupná data rozdělit na překrývající se (pokud je to možné) segmenty a následně zprůměrovat získaná vzorková spektra pro každý takový segment. Parametry tohoto průměrování se mění vhodnou volbou počtu vzorků na segment (NSAMP) a počtu vzorků, o které je třeba posunout začátek dalšího segmentu (NSHIFT), viz Obr. 6. Počet segmentů se volí v závislosti na požadovaném stupni hladkosti (disperze) spektrálního odhadu a požadovaném spektrálním rozlišení. Malá hodnota parametru NSAMP má za následek více segmentů, ve kterých se bude provádět průměrování, a proto budou získány odhady s menším rozptylem, ale také menším frekvenčním rozlišením. Zvětšení délky segmentu (parametr NSAMP) zvyšuje rozlišení, přirozeně v důsledku zvýšení rozptylu odhadu v důsledku menšího počtu průměrování. Zpětná šipka na obr. 5 ukazuje nutnost několika opakovaných průchodů daty v různých délkách a počtech segmentů, což nám umožňuje získat více informací o zkoumaném procesu.

Obr.6. Rozdělení dat do segmentů pro výpočet periodogramu

Okno

Jeden z důležitých problémů, který je společný všem klasickým metodám spektrálního odhadu, souvisí s vážením dat. Okénko se používá k řízení efektů postranních laloků ve spektrálních odhadech. Všimněte si, že je vhodné považovat existující konečný datový záznam za nějakou část odpovídající nekonečné sekvence, viditelnou skrz použité okno. Posloupnost pozorovaných dat x 0 [n] z N vzorků lze tedy zapsat matematicky jako součin nekonečné posloupnosti x[n] a funkce obdélníkového okna

X 0 [n]=x[n] obdélník[n].
Z toho vyplývá zřejmý předpoklad, že všechny nepozorované vzorky jsou rovny nule, bez ohledu na to, zda tomu tak skutečně je. Fourierova transformace vážené sekvence v diskrétním čase je rovna konvoluci transformací sekvence x[n] a obdélníkového okna rect[n]

X°(f)=X(f)*DN(f), kde
DN(f)= Texp(-j2pfT)sin(pfTN)/sin(pfT).

Funkce D N (f), nazývaná diskrétní sinc funkce nebo Dirichletovo jádro, je DCFT pravoúhlé funkce. Transformace pozorované konečné posloupnosti je zkreslenou verzí transformace nekonečné posloupnosti. Vliv obdélníkového okna na diskrétní sinusoidu s frekvencí f 0 je znázorněn na obr. 7. Obr.

Obr.7. Ilustrace zkreslení Fourierovy transformace v diskrétním čase v důsledku úniku v důsledku vážení dat: a, b - původní a vážené sekvence; b, d - jejich Fourierovy transformace.

Z obrázku je vidět, že ostré spektrální vrcholy DTFT nekonečné sekvence sinusových vln jsou rozšířeny v důsledku konvoluce s okénkovou transformací. Minimální šířka spektrálních vrcholů okénkem vážené sekvence je tedy určena šířkou hlavního transformačního laloku tohoto okna a je nezávislá na datech. Boční laloky transformace okna změní amplitudy sousedních spektrálních vrcholů (někdy nazývané prosakování). Protože DVFT je periodická funkce, překrývání postranních laloků ze sousedních period může vést k dalšímu zkreslení. Zvýšení vzorkovací frekvence snižuje efekt aliasingu postranních laloků. Podobné zkreslení bude přirozeně pozorováno v případě nesinusových signálů. Krvácení nejen zavádí chyby amplitudy ve spektrech diskrétních signálů, ale může také maskovat přítomnost slabé signály. Existuje řada dalších funkcí okna, které mohou být nabízeny a které mohou snížit boční laloky ve srovnání s obdélníkovým oknem. Snížení úrovně postranních laloků sníží posun ve spektrálním odhadu, ale jde o cenu rozšíření hlavního laloku spektra okna, což přirozeně vede ke zhoršení rozlišení. V důsledku toho je i zde třeba zvolit určitý kompromis mezi šířkou hlavního laloku a úrovní postranních laloků. K hodnocení kvality oken se používá několik parametrů. Tradičním indikátorem je šířka pásma hlavního laloku při polovičním výkonu. Druhým ukazatelem je výše uvedená ekvivalentní šířka pásma. Pro hodnocení charakteristik postranních laloků se také používají dva indikátory. Prvním je jejich maximální úroveň, druhým je míra rozpadu, která charakterizuje rychlost, jakou postranní laloky klesají se vzdáleností od hlavního laloku. Tabulka 3 ukazuje definice některých běžně používaných funkcí diskrétního okna a Tabulka 4 ukazuje jejich charakteristiky.
Tabulka 3. Definice typických N-bodových diskrétních okenMax. úroveň bočního laloku, dB -31,5

. (46)

Korelogramová metoda odhad PSD jednoduše dosadí do výrazu (46) konečnou posloupnost hodnot pro odhad autokorelace ( korelogramy) namísto nekonečné sekvence neznámých skutečných autokorelačních hodnot. Více informací o korelogramové metodě spektrálního odhadu naleznete v.

Literatura

1. Rabiner L., Gould B. Teorie a aplikace číslicového zpracování signálů. M.: Mir, 1978.

2. Marple Jr. S.L. Digitální spektrální analýza a její aplikace: Přel. z angličtiny -M.: Mir, 1990.

3. Goldberg L.M., Matyushkin B.D., Polyak M.N., Digitální zpracování signály. - M.: Rádio a komunikace, 1990.

4. Otnes R., Enokson L. Aplikovaná analýza časových řad - M.: Mir, 1982.

Spektrální analýza

Spektrální analýza je široká třída metod zpracování dat založených na jejich frekvenční reprezentaci neboli spektru. Spektrum se získá rozkladem původní funkce, která závisí na čase (časová řada) nebo prostorových souřadnicích (například snímek), na bázi nějaké periodické funkce. Nejčastěji se pro spektrální zpracování používá Fourierovo spektrum získané na základě sinusové báze (Fourierův rozklad, Fourierova transformace).

Hlavním smyslem Fourierovy transformace je, že původní neperiodická funkce libovolného tvaru, kterou nelze analyticky popsat, a proto je obtížné ji zpracovat a analyzovat, je reprezentována jako množina sinů nebo kosinů s různými frekvencemi, amplitudami a počátečními hodnotami. fáze.

Jinými slovy, komplexní funkce se transformuje na mnoho jednodušších. Každá sinusová vlna (nebo kosinusová vlna) s určitou frekvencí a amplitudou, získaná jako výsledek Fourierovy expanze, se nazývá spektrální složka nebo harmonický. Vznikají spektrální složky Fourierovo spektrum.

Vizuálně je Fourierovo spektrum prezentováno ve formě grafu, na kterém je kruhová frekvence, označená řeckým písmenem „omega“, vynesena podél vodorovné osy a amplituda spektrálních složek, obvykle označená latinským písmenem A. Každá spektrální složka pak může být reprezentována počtem, polohou, která vodorovně odpovídá její frekvenci a výškou – její amplitudou. Nazývá se harmonická s nulovou frekvencí konstantní složka(v časové reprezentaci je to přímka).

I jednoduchý vizuální rozbor spektra může napovědět mnohé o povaze funkce, na jejímž základě bylo získáno. Je intuitivně jasné, že rychlé změny v počátečních datech vedou ke vzniku složek ve spektru s vysoký frekvence a pomalé - s nízký. Pokud tedy amplituda jeho složek rychle klesá s rostoucí frekvencí, pak je původní funkce (například časová řada) hladká a pokud spektrum obsahuje vysokofrekvenční složky s velkou amplitudou, pak původní funkce bude obsahovat prudké výkyvy. . U časové řady to tedy může indikovat velkou náhodnou složku, nestabilitu procesů, které popisuje, nebo přítomnost šumu v datech.

Spektrální zpracování je založeno na manipulaci se spektrem. Pokud skutečně snížíte (potlačíte) amplitudu vysokofrekvenčních složek a poté na základě změněného spektra obnovíte původní funkci provedením inverzní Fourierovy transformace, pak bude hladší díky odstranění vysokofrekvenčního komponent.

U časové řady to například znamená odstranění informací o denních tržbách, které jsou vysoce náchylné na náhodné faktory, a ponechání konzistentnějších trendů, jako je sezónnost. Nízkofrekvenční složky můžete naopak potlačit, čímž se odstraní pomalé změny a zůstanou jen rychlé. V případě časové řady to bude znamenat potlačení sezónní složky.

Použitím spektra tímto způsobem můžete dosáhnout požadované změny původních dat. Nejběžnější použití je vyhlazení časových řad odstraněním nebo snížením amplitudy vysokofrekvenčních složek ve spektru.

K manipulaci se spektry se používají filtry - algoritmy, které dokážou řídit tvar spektra, potlačit nebo vylepšit jeho složky. Hlavní vlastnictvížádný filtr je jeho amplitudově-frekvenční odezva (AFC), jejíž tvar určuje transformaci spektra.

Pokud filtr propouští pouze spektrální složky s frekvencí pod určitou mezní frekvencí, pak se nazývá nízkopropustný filtr (LPF) a lze jej použít k vyhlazení dat, odstranění šumu a anomálních hodnot.

Pokud filtr propouští spektrální složky nad určitou mezní frekvencí, pak se nazývá horní propust (HPF). Lze jej použít k potlačení pomalých změn, jako je sezónnost v datových řadách.

Kromě toho se používá mnoho dalších typů filtrů: mid-pass filtry, stop filtry a pásmové filtry, i složitější, které se používají při zpracování signálů v radioelektronice. Výběr typu a tvaru frekvenční odezva filtrem, můžete dosáhnout požadované transformace původních dat pomocí spektrálního zpracování.

Při provádění frekvenční filtrace dat za účelem vyhlazení a odstranění šumu je nutné správně specifikovat šířku pásma dolní propusti. Pokud jej zvolíte příliš vysoko, bude stupeň vyhlazování nedostatečný a šum nebude zcela potlačen. Pokud je příliš úzký, pak spolu s hlukem přinášejí změny užitečné informace. Pokud v technické aplikace Pro stanovení optimálních charakteristik filtrů jsou přísná kritéria, v analytických technologiích je pak nutné používat především experimentální metody.

Spektrální analýza je jednou z nejúčinnějších a nejpropracovanějších metod zpracování dat. Frekvenční filtrování je jen jednou z mnoha aplikací. Kromě toho se používá při korelační a statistické analýze, syntéze signálů a funkcí, vytváření modelů atd.

Metoda analýzy byla založena na tzv. Fourierově řadě. Série začíná rozkladem složitých tvarů na jednoduché. Fourier ukázal, že komplexní průběh může být reprezentován jako součet jednoduchých vln. Pro každou z těchto jednoduchých vln lze zpravidla snadno vyřešit rovnice popisující klasické systémy. Dále Fourier ukázal, jak tyto jednoduchá řešení lze shrnout a získat tak řešení celého složitého problému jako celku. (Matematicky řečeno je Fourierova řada metodou reprezentace funkce jako součtu harmonických - sinus a kosinus, a proto byla Fourierova analýza známá také jako „harmonická analýza“.)

Podle Fourierovy hypotézy neexistuje žádná funkce, kterou by nebylo možné rozšířit do trigonometrické řady. Podívejme se, jak lze tento rozklad provést. Uvažujme následující systém ortonormálních funkcí na intervalu [–π, π]: (1, cos(t),
hřích(t),
cos(2t),
hřích (2t),
cos (3 t),
hřích (3t), …,
cos(nt),
sin(nt),…).

Řídí se tím, že tento systém funkce je ortonormální, funkci f(t) na intervalu [π, –π] lze aproximovat takto:

f(t) = α0 + α1
cos(t) + α2
cos(2t) +
α3 cos(3t) + …

... + β1
sin(t) + β2
sin(2t) + β3
hřích(3t)+… (6)

Koeficienty α n, β n se vypočítají prostřednictvím skalárního součinu funkce a bazické funkce podle vzorců diskutovaných dříve a jsou vyjádřeny takto:

α 0 = , 1> =
,

α n = , cos(nt) > =
,

β n = , sin(nt) > =
.

Výraz (6) lze zapsat v komprimované podobě takto:

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(t) + a 2 cos(2t) + a 3 cos(3t) + …

B 1 sin(t) + b 2 sin(2t) + b 3 sin(3t)+… (7)

a 0 = 2α 0 =
,

a n =
α n =
, (8)

b n=
β n=
. (9)

Protože při n = 0 cos(0) = 1, vyjadřuje konstanta a 0 /2 obecná forma koeficient a n pro n = 0.

Koeficienty a n a b n se nazývají Fourierovy koeficienty a zobrazení funkce f(t) podle vzorce (7) se nazývá rozšíření Fourierovy řady. Někdy se rozšíření Fourierovy řady prezentované v této podobě nazývá skutečné rozšíření Fourierovy řady a koeficienty se nazývají skutečné Fourierovy koeficienty. Termín „skutečný“ je zaveden proto, aby se tento rozklad odlišil od komplexního rozkladu.

Pojďme analyzovat výrazy (8) a (9). Koeficient 0 představuje průměrnou hodnotu funkce f(t) na segmentu [–π,π] nebo konstantní složku signálu f(t). Koeficienty n a b n (při n> 0) jsou amplitudy kosinusové a sinusové složky funkce (signálu) f(t) s úhlovou frekvencí rovnou n. Jinými slovy, tyto koeficienty specifikují velikost frekvenčních složek signálů. Například když mluvíme o zvukovém signálu s nízkými frekvencemi (například zvuk baskytary), znamená to, že koeficienty a n a b n jsou větší pro menší hodnoty n a naopak - ve vysokých frekvenční zvukové vibrace (například zvuk houslí) jsou větší pro větší hodnoty n.

Kmitání nejdelší periody (nebo nejnižší frekvence), reprezentované součtem a 1 cos(t) a b 1 sin(t), se nazývá kmitání základní frekvence nebo první harmonické. Kmit s periodou rovnou polovině periody základní frekvence je druhá harmonická, kmit s periodou rovnou 1/n základní frekvence je n-harmonická. Pomocí rozšíření funkce f(t) do Fourierovy řady tedy můžeme provést přechod z časové oblasti do frekvenční oblasti. Tento přechod je obvykle nezbytný k identifikaci signálních znaků, které jsou v časové oblasti „neviditelné“.

Vezměte prosím na vědomí, že vzorce (8) a (9) platí pro periodický signál s periodou rovnou 2π. V obecném případě lze periodický signál s periodou T rozšířit do Fourierovy řady, pak se při expanzi použije segment [–T/2, T/2]. Perioda první harmonické je rovna T a složky mají tvar cos(2πt/T) a sin(2πt/T), složky n-harmonické jsou cos(2πtn/T) a sin(2πtn/T ).

Funkci f(t) na intervalu [–T/2,T/2] lze aproximovat následovně:

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(2πt/T) + a 2 cos(4πt/T) + a 3 cos(6πt/T) + …

B 1 sin(2πt/T) + b 2 sin(4πt/T) + b 3 sin(6πt/T)+…, (10)

a n =
,

b n=
.

Označíme-li úhlovou frekvenci první harmonické jako ω 0 = 2π/T, pak n-harmonické složky nabývají tvaru cos(ω 0 nt), sin(ω 0 nt) a

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(ω 0 t) + a 2 cos(2ω 0 t) + a 3 cos(3ω 0 t) + …

B 1 sin(ω 0 t) + b 2 sin(2ω 0 t) + b 3 sin(3ω 0 t)+…=

=
, (11)

kde Fourierovy koeficienty se počítají pomocí vzorců:

a n =
,

b n =
.

Jakákoli vlna složitého tvaru může být reprezentována jako součet jednoduchých vln.

Joseph Fourier velmi horlivě popsal matematickými pojmy, jak teplo prochází pevnými předměty ( cm. Výměna tepla). Jeho zájem o teplo mohl být podnícen, když byl v severní Africe: Fourier doprovázel Napoleona na francouzské výpravě do Egypta a nějakou dobu tam žil. Aby dosáhl svého cíle, musel Fourier vyvinout nové matematické metody. Výsledky jeho výzkumu byly publikovány v roce 1822 v práci „Analytická teorie tepla“ ( Theorie analytique de la chaleur), kde vysvětlil, jak analyzovat složité fyzikální problémy jejich rozdělením na řadu jednodušších.

Metoda analýzy byla založena na tzv Fourierova řada. V souladu s principem interference začíná řada rozkladem složité formy na jednoduché - např. změna zemského povrchu se vysvětluje zemětřesením, změna dráhy komety se vysvětluje vlivem přitažlivosti několika planet je změna toku tepla způsobena jeho průchodem nepravidelně tvarovanou překážkou z tepelně izolačního materiálu. Fourier ukázal, že komplexní průběh může být reprezentován jako součet jednoduchých vln. Pro každou z těchto jednoduchých vln lze zpravidla snadno vyřešit rovnice popisující klasické systémy. Fourier pak ukázal, jak lze tato jednoduchá řešení shrnout a dát řešení celého složitého problému. (Matematicky řečeno je Fourierova řada metodou reprezentace funkce jako součtu harmonických – sinusových a kosinových vln, a proto byla Fourierova analýza známá také jako „harmonická analýza“.)

Před příchodem počítačů v polovině dvacátého století byly Fourierovy metody a podobné metody nejlepší zbraň ve vědeckém arzenálu při útoku na složitosti přírody. Od nástupu komplexních Fourierových metod je vědci dokázali využít nejen k řešení jednoduché úkoly, který lze řešit přímou aplikací Newtonových zákonů mechaniky a dalších základních rovnic. Mnoho z velkých úspěchů newtonovské vědy v 19. století by ve skutečnosti nebylo možné bez použití metod, které propagoval Fourier. Následně byly tyto metody využívány k řešení problémů v různých oblastech – od astronomie po strojírenství.

Jean-Baptiste Joseph FOURIE
Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830

Francouzský matematik. Narozen v Auxerre; v devíti letech zůstal sirotkem. Již v mladém věku projevoval nadání pro matematiku. Fourier získal vzdělání na církevní škole a vojenské škole, poté pracoval jako učitel matematiky. Po celý život se aktivně věnoval politice; byl v roce 1794 zatčen za obranu obětí teroru. Po Robespierrově smrti byl propuštěn z vězení; podílel se na vzniku slavné polytechnické školy (Ecole Polytechnique) v Paříži; jeho pozice mu poskytla odrazový můstek pro postup za Napoleonova režimu. Doprovázel Napoleona do Egypta a byl jmenován guvernérem Dolního Egypta. Po návratu do Francie v roce 1801 byl jmenován guvernérem jedné z provincií. V roce 1822 se stal stálým tajemníkem Francouzské akademie věd, vlivné postavení ve francouzském vědeckém světě.