Pro stanovení stability není nutné konstruovat hodograf. K tomu stačí analyzovat frekvenční odezvu a fázovou odezvu. Proto třetí alternativní formulace Nyquistova kritéria je: pokud je frekvenční odezva větší než jedna na frekvencích, na kterých je fázová odezva 0 nebo Kde n € z, pak zpětnovazební systém není stabilní, jinak je stabilní (obrázek 3.10).

Rýže. 3.9 Frekvenční odezva a fázová odezva systému s otevřenou smyčkou se zpětnou vazbou

4 Průchod náhodných signálů lineárními stacionárními obvody

Hlavní charakteristiky náhodného procesu jsou hustota pravděpodobnosti okamžitých hodnot signálu, korelační funkce a výkonová spektrální hustota. Zjištění hustoty pravděpodobnosti okamžitých hodnot výstupního signálu lineární obvod na základě známé hustoty pravděpodobnosti na vstupu obvodu a známých charakteristik obvodu je to velmi obtížný úkol. Pokud je však vstupní signál gaussovský, pak výstupní signál bude také vždy gaussovský. To znamená, že řešení úlohy je zjednodušeno a redukováno na hledání parametrů výstupního signálu (matematické očekávání a rozptyl).

Úkol najít korelační funkci a výkonovou spektrální hustotu výstupního signálu je mnohem jednodušší.

Inverzní Fourierovy transformace výkonové spektrální hustoty podle Wiener-Khinchinovy ​​teorie:

– funkce korelace signálu

Inverzní Fourierova transformace zesílení výkonu:

– korelační funkce impulsní odezvy signálu

Protože součin spekter dvou signálů je roven spektru konvoluce těchto signálů, můžeme napsat:

To znamená, že korelační funkce signálu na výstupu lineárního obvodu je rovna konvoluci korelační funkce signálu na vstupu obvodu a korelační funkce impulsní odezvy obvodu.

Při analýze různé systémy Interferencí je často bílý šum, který má konstantní výkonovou spektrální hustotu v celém frekvenčním rozsahu:

a korelační funkce

V důsledku toho je korelační funkce výstupního signálu rovna autokorelační funkci impulsní odezvy s koeficientem .

5 Průchod signálů nelineárními obvody

Lineární stacionární obvody nemění spektrální složení signálu. Hlavní radiotechnické transformace spojené se změnami spektrálního složení signálu se provádějí buď pomocí nelineárních obvodů nebo lineárních obvodů s proměnnými parametry.

Studium nelineárních obvodů je komplexní úkol spočívající v řešení nelineárních diferenciálních rovnic. Analýza nelineárních obvodů je zjednodušena, pokud je nelineární prvek bez setrvačnosti, tj. odezva na změnu vstupní akce nastává okamžitě. Přísně vzato neexistují žádné prvky bez setrvačnosti (FFE), ale v případě, kdy doba změny vstupního signálu výrazně překročí dobu ustavení procesu v nelineárním prvku, lze prvek považovat za bez setrvačnosti. V radiotechnice se nejčastěji používají nelineární prvky polovodičová zařízení(diody, tranzistory). K popisu takových zařízení se používají charakteristiky proud-napětí, které dávají do vztahu napětí aplikovaná na zařízení a proudy protékající zařízeními.

Uvažujme lineární inerciální systém se známou přenosovou funkcí nebo impulsní odezvou. Vstupem takového systému nechť je stacionární náhodný proces s danými charakteristikami: hustota pravděpodobnosti, korelační funkce nebo energetické spektrum. Stanovme charakteristiky procesu na výstupu systému: , a .

Nejjednodušší způsob, jak najít energetické spektrum procesu, je na výstupu systému. Jednotlivé implementace vstupního procesu jsou skutečně deterministické

funkcí a lze na ně aplikovat Fourierův aparát. Nechť je zkrácená implementace trvání T náhodný proces na vstupu a

Jeho spektrální hustota. Spektrální hustota implementace na výstupu lineárního systému bude rovna

Energetické spektrum procesu na výstupu podle (3.3.3) bude určeno výrazem

(3.4.3)

těch. se bude rovnat energetickému spektru procesu na vstupu, vynásobenému druhou mocninou amplitudově-frekvenční charakteristiky systému a nebude záviset na fázově-frekvenční charakteristice.

Korelační funkci procesu na výstupu lineárního systému lze definovat jako Fourierovu transformaci energetického spektra:

(3.4.4)

V důsledku toho, když náhodný stacionární proces působí na lineární systém, výstup také vytváří stacionární náhodný proces s energetickým spektrem a korelační funkcí definovanou pomocí výrazů (3.4.3) a (3.4.4). Procesní výkon na výstupu systému bude roven

(3.4.5)

Hustota rozdělení pravděpodobnosti a numerické charakteristiky signálu na výstupu nelineárního obvodu bez setrvačnosti.

Baskakov s. 300 – 302

Průchod náhodných signálů nelineárními obvody bez setrvačnosti.

Podívejme se nyní na problém průchodu náhodného procesu nelineárním systémem. V obecném případě je tento problém velmi složitý, ale je značně zjednodušen, když nelineární systém je bez setrvačnosti. V nelineárních systémech bez setrvačnosti jsou hodnoty výstupního procesu v tento momentčas jsou určeny hodnotami vstupního procesu ve stejném časovém okamžiku. Pro nelineární transformace bez setrvačnosti je jednodušším úkolem určit výstupní distribuční funkce v mnohem složitějším - určení korelační funkce nebo energetického spektra.

Jak bylo uvedeno výše, n-rozměrná distribuční funkce náhodného procesu je v podstatě distribuční funkcí n náhodných proměnných reprezentujících hodnoty náhodného procesu v n různých časových bodech. Stanovení zákonů distribuce funkčně transformovaných náhodných proměnných je poměrně jednoduchý úkol.

Uvažujme nejjednodušší příklad jednorozměrná náhodná veličina. Nechť je hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny ζ, která podléhá nelineární transformaci. Stanovme hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny η. Předpokládejme, že funkce je taková, že její inverzní funkce je jedinečná.

Pokud je náhodná veličina ζ v dostatečně malém intervalu , pak díky jedinečnému funkčnímu vztahu mezi ζ a η bude náhodná veličina η nutně v intervalu , kde , pravděpodobnosti těchto událostí musí být stejné, tzn. (3.4.13)

odkud to najdeme?

(3.4.14)

Derivace v posledním výrazu je brána její absolutní hodnotou, protože hustota pravděpodobnosti nemůže být záporná. Pokud je inverzní funkce nejednoznačná, tzn. má několik větví, pak lze pro hustotu pravděpodobnosti pomocí věty o sčítání pravděpodobnosti získat

(3.4.15)

Všimněte si, že pro určení numerických charakteristik nelineárně transformovaných náhodných procesů není potřeba určovat jejich hustoty pravděpodobnosti. Opravdu, v obecném případě pro počáteční okamžik k-tého řádu máme

(3.4.16)

Ale podle (3.4.13) A . Proto lze poslední výraz přepsat

(3.4.17)

Výsledné výrazy (3.4.14) a (3.4.15) lze snadno rozšířit na případ několika veličin. Zde uvádíme pouze konečný výsledek pro dvourozměrný případ. Pokud mají náhodné veličiny společnou hustotu pravděpodobnosti, pak pro náhodné veličiny

(3.4.18)

když jsou inverzní funkce jedinečné

sdružená hustota pravděpodobnosti bude dána výrazem

Kde je velikost

se nazývá jakobián transformace a představuje poměr elementárních ploch při přechodu z jednoho souřadnicového systému do druhého. Pokud , pak je rovnost pravdivá

Kde

Otázka č. 23

Diskrétní sekvence pulzů, jejich spektrum.

Baskakov s. 382-383

Vzorkování periodických signálů. Diskrétní Fourierova transformace (DFT). Obnovení původního signálu pomocí DFT. Inverzní diskrétní Fourierova transformace (IDFT).

Baskakov s. 388-392

Otázka č. 24

Zásada digitální zpracování(DC) signály založené na diskrétní Fourierově transformaci.

Baskakov s. 400-405

Implementace digitálních filtračních algoritmů (transverzální digitální filtry, rekurzivní digitální filtry, impulsní odezva, výstupní signál)

Digitální filtry záleží na zpětná vazba Existují rekurzivní (RF) a nerekurzivní (NF).

Výhody nerekurzivních filtrů oproti rekurzivním jsou následující:

Nerekurzivní filtry mohou mít přesně lineární fázovou odezvu;

Vlastní šumová síla NF je zpravidla mnohem menší než u RF;

Pro NF je jednodušší vypočítat koeficienty.

Nevýhody nerekurzivních filtrů ve srovnání s rekurzivními jsou následující:

Rekurzivní filtry umožňují zpracování signálu s vyšší přesností, protože umožňují přesnější implementaci impulsní odezvy bez vyřazení jejího „ocasu“;

Obvodová implementace RF je mnohem jednodušší než u NF;

Rekurzivní filtry umožňují implementovat algoritmy, které nelze pomocí nerekurzivních filtrů vůbec implementovat.

Impulzní odezva rekurzivní filtr je nekonečný a nerekurzivní filtr je konečný.

Baškakov str. 405-408, 409-411, 413

Otázka č. 25

Koncepce odstupu signálu od šumu, filtrace a optimálního filtru.

Poměr signálu k šumu- bezrozměrná veličina rovna poměru užitečného výkonu signálu k výkonu šumu.

Filtrace je proces zpracování signál frekvenčně selektivní zařízení pro změnu spektrálního složení signálu.

Optimální lineární filtr nazývaný frekvenčně selektivní systém, který zpracovává součet signálu a šumu nějakým nejlepším způsobem. Výstup maximalizuje odstup signálu od šumu.

Baskakov s. 423-424

Poměr signálu k šumu na výstupu přizpůsobeného filtru.

Baskakov s. 425, 431-432

Charakteristika optimálního (shodného) filtru pro signály známého tvaru (AFC, PFC, IR).

Signál na výstupu přizpůsobeného filtru.

Cíl práce: Získat základní dovednosti ve studiu statistických charakteristik náhodných signálů. Experimentálně určete zákony distribuce náhodných signálů na výstupu lineárních a nelineárních rádiových obvodů.

STRUČNÉ TEORETICKÉ INFORMACE

1. Klasifikace rádiových obvodů

Rádiové obvody používané pro převod signálu jsou velmi rozmanité svým složením, strukturou a charakteristikami. V procesu jejich vývoje a analytického výzkumu jsou využívány různé matematické modely splňující požadavky na přiměřenost a jednoduchost. Obecně lze jakýkoli rádiový obvod popsat formalizovaným vztahem, který určuje transformaci vstupního signálu x(t) na výstupní y(t), který lze symbolicky znázornit jako

y(t) = T,

Kde T je operátor, který definuje pravidlo, podle kterého se vstupní signál převádí.

Tedy jako matematický model radiotechnický obvod může být kombinací operátoru T a dvou sad X=(xi(t)) a Y=(yi(t)) signálů na vstupu a výstupu obvodu tak, že

(yjá(t)) = T(xjá(t)).

Podle typu transformace vstupních signálů na signály výstupní, tedy podle typu operátora T, se radiotechnické obvody klasifikují.

Rádiový obvod je lineární, pokud operátor T je takový, že obvod splňuje podmínky aditivity a homogenity, to znamená, že platí rovnosti.

T = T : T = c T

i já

Kde c je konstanta.

Tyto podmínky vyjadřují podstatu principu superpozice, který je charakteristický pouze pro lineární obvody.

Fungování lineárních obvodů je popsáno lineárními diferenciálními rovnicemi s konstantními koeficienty. Je charakteristické, že lineární transformace signálu libovolného tvaru není doprovázena výskytem harmonických složek s novými frekvencemi ve spektru výstupního signálu, to znamená, že nevede k obohacení spektra signálu.

Rádiový obvod je Nelineární, pokud provozovatel T nezajistí splnění podmínek aditivnosti a homogenity. Fungování takových obvodů je popsáno nelineárními diferenciálními rovnicemi.

Konstrukčně lineární obvody obsahují pouze lineární zařízení (zesilovače, filtry, dlouhé vedení atd.). Nelineární obvody obsahují jedno nebo více nelineárních zařízení (generátory, detektory, násobiče, omezovače atd.)

Na základě charakteru časové závislosti výstupního signálu na vstupním se rozlišují inerciální a inerciální rádiové obvody.

Rádiový obvod, hodnota výstupního signálu y(t) v okamžiku t=t0 závisí nejen na hodnotě vstupního signálu x(t) v tomto okamžiku, ale také na hodnotách x( t) v časových okamžicích předcházejících volanému okamžiku t0 Inerciálnířetěz. Pokud je hodnota výstupního signálu y(t) a moment t=t0 zcela určena hodnotou x(t) současně t0, pak se takový obvod nazývá Bez setrvačnosti.

2. Transformace náhodných procesů v lineárních obvodech

Problém transformace náhodných procesů v lineárních rádiových obvodech v obecném případě je uvažován v následující formulaci. Nechť náhodný proces x(t) s danými statistickými vlastnostmi dorazí na vstup lineárního obvodu s frekvenční charakteristikou K(jw). Je nutné určit statistické charakteristiky náhodného procesu y(t) na výstupu obvodu. V závislosti na analyzovaných charakteristikách náhodných procesů x(t) a y(t) jsou uvažovány dvě varianty obecného problému:

1. Stanovení energetického spektra a korelační funkce náhodného procesu na výstupu lineárního obvodu.

2. Stanovení zákonů rozdělení pravděpodobnosti náhodného procesu na výstupu lineárního řetězce.

Nejjednodušší je první úkol. Jeho řešení ve frekvenční oblasti je založeno na skutečnosti, že energetické spektrum náhodného procesu na výstupu lineárního obvodu Wy(w) ve stacionárním režimu je rovno energetickému spektru vstupního procesu Wx(w) vynásobené druhá mocnina modulu frekvenční charakteristiky obvodu, tzn

Wy(W)= Wx(W) ∙│ K(Jw)│ A (1)

Je známo, že energetické spektrum Wx(w) náhodného procesu x(t) s matematickým očekáváním mx=0 je spojeno s jeho kovarianční funkcí Bx(t) pomocí Fourierových transformací, tzn.

Wx(W)= VX(T) E— JWTDT

VX(T)= Wx(W) EjWTDW.

V důsledku toho lze kovarianční funkci Вy(t) náhodného procesu na výstupu lineárního řetězce určit následovně:

VY(T)= Wy(W) EjWTDW= Wx(W))│ K(Jw)│ A EjWTDW

Ry(T)=BY(T)+ Mya.

V tomto případě jsou rozptyl Dy a matematické očekávání my výstupního náhodného procesu stejné

Dy= Ry(0)= Šx(š)) │K(jw)│adw

Můj= Mx∙ K(0) .

Kde mx je matematické očekávání vstupního náhodného procesu:

K(0) - koeficient přenosu lineárního obvodu podle DC, to je

K(0)= K(Jw)/ W=0

Vzorce (1,2,3,4) jsou v podstatě kompletní řešení přidělený úkol ve frekvenční oblasti.

Metoda řešení druhého problému, která by umožnila přímo najít hustotu pravděpodobnosti procesu y(t) na výstupu lineárního inerciálního obvodu z dané hustoty pravděpodobnosti procesu x(t) na vstupu, v obecný pohled neexistuje. Problém je řešen pouze pro některé speciální případy a pro náhodné procesy s Gaussovým (normálním) zákonem rozdělení, stejně jako pro Markovovy náhodné procesy.

Ve vztahu k procesu normálního rozdělení je řešení zjednodušeno na základě toho, že kdy lineární transformace Takový proces nemění distribuční zákon. Protože normální proces je zcela určen matematickým očekáváním a korelační funkcí, k nalezení hustoty pravděpodobnosti procesu stačí vypočítat jeho matematické očekávání a korelační funkci.

Zákon rozdělení pravděpodobnosti signálu na výstupu lineárního obvodu bez setrvačnosti se ve funkčním smyslu shoduje se zákonem rozdělení vstupního signálu. Mění se pouze některé jeho parametry. Pokud tedy lineární obvod bez setrvačnosti implementuje funkční transformaci tvaru y(t) = a x(t) + b, kde a a b jsou konstantní koeficienty, pak hustota pravděpodobnosti p(y) náhodného procesu na výstup řetězce je určen známým funkčním transformačním vzorcem náhodné procesy

P(Y)= =

Kde p(x) je hustota pravděpodobnosti náhodného procesu x(t) na vstupu obvodu.

V některých případech lze problém stanovení pravděpodobnostních charakteristik náhodného procesu na výstupu inerciálních obvodů přibližně vyřešit pomocí efektu normalizace náhodného procesu inerciálními soustavami. Působí-li negaussovský proces x(t1) s korelačním intervalem tk na inerciální lineární řetězec s časovou konstantou t»tk (v tomto případě je šířka energetického spektra náhodného procesu x(t) větší než šířce pásma řetězce), pak se proces y(t) na výstupu takového řetězce blíží Gaussovu, jak se poměr t/tk zvyšuje. Tento výsledek se nazývá efekt normalizace náhodného procesu. Účinek normalizace je tím výraznější, čím užší je šířka pásma obvodu.

3. Transformace náhodných procesů v nelineárních obvodech

Nelineární inerciální transformace jsou uvažovány v rámci analýzy nelineárních obvodů, jejichž setrvačnost při daných vlivech nelze zanedbat. Chování takových obvodů je popsáno nelineárními diferenciálními rovnicemi, obecné metody řešení neexistují. Proto jsou problémy spojené se studiem nelineárních inerciálních transformací náhodných procesů téměř vždy řešeny přibližně pomocí různých umělých technik.

Jednou z těchto technik je reprezentovat nelineární inerciální řetězec kombinací lineárních inerciálních a nelineárních inerciálních řetězců. Problém studia vlivu náhodných procesů na lineární řetězec byl zvažován výše. Ukázalo se, že v tomto případě je poměrně jednoduché určit spektrální hustotu (nebo korelační funkci) výstupního signálu, ale obtížné určit distribuční zákon. V nelineárních obvodech bez setrvačnosti je hlavním problémem nalezení korelační funkce. Neexistují však žádné obecné metody pro analýzu dopadu náhodných signálů na nelineární obvody. Jsou omezeny na řešení některých konkrétních problémů praktického zájmu.

3.1. Statistické charakteristiky náhodného procesu na výstupu nelineárních obvodů

Uvažujme transformaci náhodného procesu s jednorozměrnou hustotou pravděpodobnosti nelineárním řetězcem bez setrvačnosti s charakteristikou

Y= f(x).

Je zřejmé, že jakákoliv realizace náhodného procesu x(t) se transformuje v odpovídající realizaci nového náhodného procesu y(t), tzn.

y(t)=F[ X(T)] .

A. Určení distribučního zákona náhodného procesu y(t)

Nechť je známa hustota pravděpodobnosti p(x) náhodného procesu x(t). Je nutné určit hustotu pravděpodobnosti p(y) náhodného procesu y(t). Podívejme se na tři typické případy.

1. Funkce y= f(x) nelineárního řetězce určuje vzájemnou shodu mezi x(t) a y(t). Domníváme se, že existuje inverzní funkce x = j(y), která také určuje korespondenci jedna ku jedné mezi y(t) a x(t). V tomto případě je pravděpodobnost nalezení realizace náhodného procesu x(t) v intervalu (x0, x0+dx) rovna pravděpodobnosti nalezení realizace náhodného procesu y(t)=f v intervalu (y0, y0+dу) s y0= f(x0) a y0+dy= f(x0+dx), tzn.

P(X) Dx= P(Y) Dy

Proto,

P(Y)= .

Derivace se bere v absolutní hodnotě, protože hustota pravděpodobnosti p(y) > 0, zatímco derivace může být záporná.

2. Inverzní funkce x = j(y) je nejednoznačná, to znamená, že jedna hodnota y odpovídá několika hodnotám x. Nechť například hodnota y1=y0 odpovídá hodnotám x= x1, x2,…,xn.

Pak ze skutečnosti, že y0≤ y(t)≤ y0+dy, vyplývá jedna z n vzájemně neslučitelných možností

X1 ≤ X(T)≤ X1 + Dx nebo X2 ≤ X(T)≤ X2 + Dx, nebo… Xn≤ X(T)≤ Xn+ Dx.

Aplikací pravidla sčítání pravděpodobností dostaneme

P(Y)= + +…+ .

/ X= X1 / X= X2 / X= Xn

3, Charakteristika nelineárního prvku y= f(x) má jeden nebo více vodorovných řezů (úseky, kde y= konst.). Pak ten výraz

P(Y)=

Měl by být doplněn o člen, který zohledňuje pravděpodobnost, že y(t) bude v intervalu, kde y = konst.

Nejjednodušší způsob, jak zvážit tento případ, je pomocí příkladu.

Nechť funkce y= f(x) má tvar znázorněný na obr. 1 a vzorec

Rýže. 1 Vliv náhodného procesu na dvoucestný omezovač.

v x(t)<а выходной сигнал y(t)=0, Это значит, что вероятность принятия случайным процессом y(t) нулевого значения равна

P1= P= P= P(x)dx,

A hustota pravděpodobnosti

P1(y) = P1∙δ(y).

Argumentujeme-li obdobně pro případ x(t)> b, dostaneme

Pa= P= P= P(x)dx,

pa(Y) = Pa∙ δ (Y— C).

/ Y= C

Pro případ a≤ x≤ b platí vzorec

Pa(Y) =

/0≤ Y≤ C

Obecně je hustota pravděpodobnosti výstupního procesu určena výrazem

P(Y)= P1 ∙ δ (Y)+ Pa∙ δ (Y— C)+ .

Všimněte si, že pro získání konečného výrazu je nutné transformovat funkční závislosti p(x) a dy/dx, což jsou funkce x, na funkce y, pomocí inverzní funkce x = j(y). Problém určení hustoty rozdělení náhodného procesu na výstupu nelineárního obvodu bez setrvačnosti je tedy řešen analyticky pro poměrně jednoduché charakteristiky y = f(x).

B. Určení energetického spektra a korelační funkce náhodného procesu y(t)

Není možné přímo určit energetické spektrum náhodného procesu na výstupu nelineárního obvodu. Existuje pouze jedna metoda – určení korelační funkce signálu na výstupu obvodu a následná aplikace přímé Fourierovy transformace pro určení spektra.

Pokud stacionární náhodný proces x(t) dorazí na vstup nelineárního obvodu bez setrvačnosti, pak korelační funkce náhodného procesu y(t) na výstupu může být reprezentována jako

Ry(T)= Podle(T)- Můj2 ,

Kde By(t) je kovarianční funkce;

my je matematické očekávání náhodného procesu y(t). Kovarianční funkce náhodného procesu je statisticky zprůměrovaný součin hodnot náhodného procesu y(t) v okamžicích t a t+t, tzn.

Podle(T)= M[ Y(T)∙ Y(T+ T)].

Pro implementace náhodného procesu y(t) je součin y(t)∙y(t+t) číslo. Pro proces jako soubor implementací tvoří tento produkt náhodnou veličinu, jejíž rozložení je charakterizováno dvourozměrnou hustotou pravděpodobnosti p2 (y1, y2, t), kde y1= y(t), ya= y( t+t). Všimněte si, že v posledním vzorci se proměnná t neobjevuje, protože proces je stacionární - výsledek nezávisí na t.

Pro danou funkci р2 (у1, у2, t) se operace průměrování nad množinou provádí podle vzorce

Podle(T)=У1∙у2∙р2 (у1, у2,T) Dy1 Dy2 = F(X1 )∙ F(X2 )∙ P(X1 , X2 , T) Dx1 Dx2 .

Matematické očekávání my je dáno následujícím výrazem:

Můj= Y∙ P(Y) Dy.

Vezmeme-li v úvahu, že p(y)dy = p(x)dx, dostaneme

Můj= F(X)∙ P(X) Dx.

Energetické spektrum výstupního signálu se v souladu s Wiener-Khinchinovou větou nachází jako přímá Fourierova transformace kovarianční funkce, tj.

Wy(W)= Podle(T) E— JWTDT

Praktické použití tato metoda obtížné, protože dvojitý integrál pro By(t) nelze vždy vypočítat. Je nutné používat různé zjednodušující metody související se specifiky řešeného problému.

3.2. Vliv úzkopásmového šumu na amplitudový detektor

Ve statistickém radioinženýrství se rozlišuje mezi širokopásmovými a úzkopásmovými náhodnými procesy.

Nechť ∆ fe je šířka energetického spektra náhodného procesu, určená vzorcem (obr. 2.)

Rýže. 2. Šířka energetického spektra náhodného procesu

Úzkopásmový náhodný proces je proces, pro který platí ∆fе «f0, kde f0 je frekvence odpovídající maximu energetického spektra. Náhodný proces, jehož šířka energetického spektra nesplňuje tuto podmínku, je Širokopásmové připojení.

Úzkopásmový náhodný proces je obvykle reprezentován jako vysokofrekvenční oscilace s pomalu se měnící (ve srovnání s oscilací na frekvenci f0) amplitudou a fází, tzn.

X(t)= A(t)∙cos,

Kde A(t) = √x2(t) + z2(t),

J(t) = arctan,

z(t) je tedy Hilbertova konjugovaná funkce původní funkce x(t).

z(t)= —DT

Všechny parametry tohoto kmitání (amplituda, frekvence a fáze) jsou náhodné funkce času.

Amplitudový detektor, který je nedílná součást Přijímací cesta je kombinací nelineárního prvku bez setrvačnosti (například dioda) a inerciálního lineárního obvodu (dolní propust). Napětí na výstupu detektoru reprodukuje amplitudovou obálku vysokofrekvenčního kmitání na vstupu.

Na vstup amplitudového detektoru nechť dorazí úzkopásmový náhodný signál (například z výstupu zesilovače, který má úzkou šířku pásma vzhledem k mezifrekvenci), který má vlastnosti ergodického náhodného procesu s normálním distribuční zákon. Je zřejmé, že signál na výstupu detektoru bude obálkou vstupního náhodného signálu, což je také náhodná funkce času. Bylo prokázáno, že tato obálka, tedy obálka úzkopásmového náhodného procesu, je charakterizována hustotou pravděpodobnosti zvanou Rayleighovo rozdělení a má tvar:

kde A jsou obálkové hodnoty;

Sx2 je rozptyl náhodného signálu na vstupu detektoru.

Graf Rayleighova rozdělení je na obr. 3. Obr.

Obr.3. Graf Rayleighova distribučního zákona

Funkce p(A) má maximální hodnotu rovnou

Když A = sx. To znamená, že hodnota A = sx a je nejpravděpodobnější hodnotou obálky.

Matematické očekávání obálky náhodného procesu

M.A.= = =

Obálka úzkopásmového náhodného procesu s normálním distribučním zákonem je tedy náhodná funkce času, jejíž hustotu distribuce popisuje Rayleighův zákon.

3.3. Zákon rozdělení obálky součtu harmonického signálu a úzkopásmového náhodného šumu

Problém určení zákona rozdělení obálky součtu harmonického signálu a úzkopásmového náhodného šumu vyvstává při analýze procesu lineární detekce v radarových a komunikačních systémech pracujících v podmínkách, kdy je vnitřní nebo vnější šum srovnatelný s úrovní užitečný signál.

Nechť vstup přijímače přijme součet harmonického signálu a(t)=E∙cos(wt) a úzkopásmového šumu x(t)=A(t)∙cos s normálním distribučním zákonem. Celková oscilace v tomto případě může být zapsána

N(T) = S(T)+ X(T)= E∙coS(Hmot)+ A(T)∙ Cos[ Hmot+ J(T)]=

=[E+A(T)∙ Cos(J(T))]∙takžeS(Hmot)- A(T)∙ Hřích(J(T))∙ Hřích(Hmot)= U(T)∙ Cos[ Hmot+ J(T)],

Kde U(t) aj(t) jsou obálka a fáze celkového signálu, určené výrazy

U(T)= ;

J(T)= Arctg

Když celková oscilace u(t) působí na amplitudový detektor, vytvoří se na jeho výstupu obálka. Hustota pravděpodobnosti p(U) této obálky je určena vzorcem

P(U)= (5)

Kde sxa je rozptyl šumu x(t);

I0 - Besselova funkce nultého řádu (upravená).

Hustota pravděpodobnosti určená tímto vzorcem se nazývá zobecněný Rayleighův zákon nebo Riceův zákon. Grafy funkce p(U) pro několik hodnot poměru signálu k šumu E/sx jsou na obr. 4.

V nepřítomnosti užitečného signálu, to znamená, když E/sx=0, výraz (5) nabývá tvaru

P(U)=

To znamená, že obálka výsledného signálu je v tomto případě rozdělena podle Rayleighova zákona.

Obr.4. Grafy zobecněného Rayleighova distribučního zákona

Pokud amplituda užitečného signálu překročí střední kvadraturu úrovně šumu, tj. E/sx»1, pak pro U≃E můžete použít asymptotickou reprezentaci Besselovy funkce s velkým argumentem, tj.

≃≃.

Dosazením tohoto výrazu do (5) máme

P(U)= ,

To znamená, že obálka výsledného signálu je popsána zákonem normálního rozdělení s disperzí sx2 a matematickým očekáváním E. V praxi se má za to, že již při E/sx = 3 je obálka výsledného signálu normalizována.

4. Experimentální stanovení zákonů rozdělení náhodných procesů

Jednou z metod experimentálního určení distribuční funkce náhodného procesu x(t) je metoda založená na použití pomocné náhodné funkce z(t) tvaru

Kde x je hodnota funkce x(t), pro kterou se vypočítá z(t).

Jak vyplývá ze sémantického obsahu funkce z(t), její statistické parametry jsou určeny parametry náhodného procesu x(t), neboť ke změnám hodnot z(t) dochází v okamžicích, kdy náhodná proces x(t) prochází úrovní x. Pokud je tedy x(t) ergodický náhodný proces s distribuční funkcí F(x), pak funkce z(t) bude také popisovat ergodický náhodný proces se stejnou distribuční funkcí.

Obrázek 5 ukazuje implementace náhodných procesů x(t) az(t), které ilustrují zřejmost vztahu

P[ Z(T)=1]= P[ X(T)< X]= F(X);

P[ Z(T)=0]= P[ X(T)≥ X]= 1- F(X).

Obr.5 Realizace náhodných procesů x(t), z(t), z1(t) Obr.

Matematické očekávání (statistický průměr) funkce z(t), která má dvě diskrétní hodnoty, se určí podle vzorce (viz tabulka 1)

M[ Z(T)]=1∙ P[ Z(T)=1]+0 ∙ P[ Z(T)=0]= F(X).

Na druhou stranu pro ergodický náhodný proces

Tím pádem,

Analýza tento výraz můžeme dojít k závěru, že zařízení pro měření distribuční funkce ergodického náhodného procesu x(t) musí obsahovat diskriminátor úrovně, aby získal náhodný proces popsaný funkcí z(t) v souladu s výrazem (6), a integrační zařízení vyrobené např. ve formě dolnopropustného filtru.

Metoda pro experimentální stanovení hustoty distribuce náhodného procesu x(t) je v podstatě podobná té, která je diskutována výše. V tomto případě je použita pomocná náhodná funkce z1(t) formuláře

Matematické očekávání funkce z1(t), která má dvě diskrétní hodnoty (obr. 5), se rovná

M[ Z1 (T)]=1∙ P[ Z1 (T)=1]+0 ∙ P[ Z1 (T)=0]= P[ X< X(T)< X+∆ X].

S přihlédnutím k ergodičnosti náhodného procesu popsaného funkcí z1(t) můžeme psát

Tím pádem,

Je známo že

P(X≤ X(T)< X+∆ X) ≃ P(X)∙∆ X.

Proto,

Zařízení pro měření hustoty rozdělení ergodického náhodného procesu x(t) má tedy stejnou strukturu a složení jako zařízení pro měření distribuční funkce.

Přesnost měření F(x) a p(x) závisí na délce pozorovacího intervalu a kvalitě integrační operace. Je zcela zřejmé, že v reálných podmínkách se dostaneme Hodnocení distribuční zákony, protože průměrovací (integrační) čas je konečný. Vraťme se k výrazu (6) a Obr. 5. všimněte si, že

Z(T) Dt= ∆ T1 ,

Kde ∆ t1 je 1. časový interval, kdy je funkce x(t) pod úrovní x, tedy časový interval, kdy funkce z(t)=l.

Platnost tohoto vzorce je dána geometrickým významem určitého integrálu (plocha obrazce ohraničená funkcí z(t) a segmentem (0,T) časové osy).

Můžeme tedy psát

To znamená, že distribuční funkce náhodného procesu x(t) je rovna relativní době pobytu implementace procesu v intervalu -¥< x(t) < х.

Argumentovat podobně, můžeme dostat

Kde ∆ t1 je 1. časový interval funkce x(t) v rámci (x, x+∆x).

Při praktické implementaci uvažované metody experimentálního stanovení zákonů rozdělení náhodného procesu je analyzován náhodný signál x(t) v rozsahu změn jeho okamžitých hodnot od xmin do xmax (obr. 6). V těchto mezích je soustředěna hlavní množina (v pravděpodobnostním smyslu) okamžitých hodnot procesu x(t).

Hodnoty xmin a xmax jsou zvoleny na základě požadované přesnosti měření distribučních zákonů. V tomto případě budou prozkoumány zkrácené distribuce, takže

F(Xmin)+<<1.

Celý rozsah (xmin, xmax) hodnot x(t) je rozdělen do N stejných intervalů ∆x, tzn.

XMax— Xmin= N∙∆ X.

Rýže. 6. Distribuční funkce (a), hustota pravděpodobnosti (b) a implementace (c) náhodného procesu x(t)

Intervaly určují šířku diferenciálních koridorů, ve kterých se provádějí měření. Stanoví se odhad pravděpodobnosti

Pi* ≃ P[ Xi-∆ X/2≤ X(T)< Xi-∆ X/2]

Pobyt realizace x(t) v diferenciálním koridoru s průměrnou hodnotou x(t) v něm rovnou xi. Odhad Pi* je určen měřením relativní doby zdržení implementace x(t) v každém z diferenciálních koridorů, tzn.

Pi*=1/T Zi(t)dt=,

I = 1,…,N.

Vezmeme-li v úvahu, že

Pi* ≃ P1 = P(X) Dx,

Můžete určit odhady hustoty distribuce v každém z diferenciálních koridorů

Pi* (X)= Pi*/∆ X.

Ze získaných výsledků, tj. hodnot pi*(x), xi, ∆x, je sestrojena stupňovitá křivka p*(x), která se nazývá histogram distribuční hustoty (viz obr. 7).

Obr.7. Histogram hustoty distribuce

Plocha pod každým fragmentem histogramu v rámci ∆x je číselně rovna ploše, kterou zabírá křivka skutečného rozdělení p(x) v daném intervalu.

Počet N diferenciálních koridorů by měl být v rozmezí 10...20. Další nárůst jejich počtu nevede k přesnějšímu zákonu p(x), jelikož s rostoucím N hodnota intervalu ∆x klesá, což zhoršuje podmínky pro přesné měření ∆ti.

Získané výsledky nám umožňují vypočítat odhady matematického očekávání a rozptylu náhodného procesu x(t)

Mx* = Xi∙ Pi* ; Dx* = (Xi— Mx* )2∙ Pi* .

Při počítání Mx* A Dx* Tyto vzorce zohledňují, že pokud hodnota realizace náhodného procesu x(t) spadá do 1. diferenciálního koridoru, pak je jí přiřazena hodnota a (střed diferenciálního koridoru).

Uvažovaná metoda pro stanovení zákonitostí rozdělení náhodných procesů tvoří základ pro činnost statistického analyzátoru použitého v této laboratorní práci.

POPIS LABORATORNÍHO ZAŘÍZENÍ

Studium zákonitostí distribuce náhodných signálů se provádí pomocí laboratorní sestavy, která zahrnuje laboratorní model, statistický analyzátor a osciloskop S1-72 (obr. 8).

Obr.8. Schéma nastavení laboratoře

Laboratorní model generuje a transformuje náhodné signály, poskytuje jejich statistickou analýzu, konstruuje histogramy zákonů rozdělení a graficky zobrazuje tyto zákony na indikátoru statistického analyzátoru. Obsahuje následující funkční jednotky:

A. Blok generátorů signálu. Generuje čtyři různé náhodné signály.

— Signál x1(t)= A∙sin je harmonické kmitání s náhodnou počáteční fází, jehož distribuční zákon Jednotný v intervalu 0

P(J)= 1/2 P, 0< J<2 P.

Hustota pravděpodobnosti okamžitých hodnot takového signálu je rovna

— Signál x2(t) — pilovité periodické napětí s konstantní amplitudou A a parametrem náhodného posunu q, distribuční zákon
koho Jednotný v intervalu , kde T0 je perioda signálu, tj. hustota pravděpodobnosti je rovna

P(Q)= 1/ T0 ; 0< Q≤ T0 .

Hustota pravděpodobnosti okamžitých hodnot takového signálu je určena výrazem

— Signál x3(t) je náhodný signál se zákonem normálního rozdělení (Gaussův zákon) okamžitých hodnot, tzn.

Pa(X)= ,

Kde mx, sx jsou matematické očekávání a rozptyl náhodného signálu x3(t).

— Signál x4(t) je náhodný oříznutý signál, což je sekvence pravoúhlých pulzů konstantní amplitudy A a náhodného trvání, vyskytujících se v náhodných časech. Takový signál se objeví na výstupu ideálního omezovače, když na jeho vstupu působí náhodný proces se zákonem normálního rozdělení. Transformační charakteristika má tvar

Kde x je úroveň omezení.

Náhodný proces x4(t) tedy nabývá dvou hodnot (A a - A) s pravděpodobnostmi

P= P= F3(x);

P= P= 1-F3(x);

Kde F3(x) je zákon integrálního rozdělení náhodného procesu x3(t).

Vezmeme-li v úvahu výše uvedené, hustota pravděpodobnosti oříznutého signálu je rovna

P4(x)= F3(x)∙D(x+ A)+ ∙D(x - A).

Obrázek 9 ukazuje implementace každého z náhodných signálů generovaných iterátorem laboratorního uspořádání a jejich hustoty pravděpodobnosti.

Tyto signály, z nichž každý je charakterizován svou vlastní hustotou distribuce, mohou být přiváděny na vstupy typických prvků radiotechnických zařízení za účelem převodu a studia zákonitostí distribuce signálů na jejich výstupech.

B. Lineární směšovač signálu. Generuje součet dvou náhodných signálů xi(t) a x1(t) přiváděných na jeho vstupy v souladu se vztahem

Y(T)= R∙ Xi(T)+ (1- R)∙ X1 (T),

Kde R je koeficient nastavený knoflíkem potenciometru v rozsahu 0...1.

Používá se ke studiu zákonů rozdělení součtu dvou náhodných signálů.

V. Zásuvky pro připojení různých čtyřkoncových sítí - funkční převodníky. Laboratorní instalační sada obsahuje 4 funkční měniče (obr. 10).

Rýže. 9. Realizace náhodných procesů x1(t), x2(t), x3(t), x4(t) a jejich hustoty pravděpodobnosti

Zesilovač - omezovač (limiter) s převodní charakteristikou

Kde Ul, U2 jsou dolní a horní mezní úrovně, v tomto pořadí;

k je koeficient rovný tg úhlu sklonu transformační charakteristiky.

Provádí nelineární transformaci vstupních signálů bez setrvačnosti.

Úzkopásmový filtr (F1) s rezonanční frekvencí f0=20 kHz. Používá se ke generování úzkopásmových náhodných procesů s distribučním zákonem blízkým normálu.

Typická dráha AM oscilačního přijímače (úzkopásmový filtr F1 - lineární detektor D - dolní propust F2). Provádí tvorbu obálky úzkopásmového náhodného signálu během lineární detekce.

Konstrukčně jsou uvažované funkční měniče provedeny ve formě malých výměnných bloků.

Jako další funkční převodník je použit „ideální“ zesilovač – limiter (elektronický klíč), který je součástí bloku generátoru signálu prototypu. Poskytuje vytvoření oříznutého signálu, což je nelineární převodník vstupního náhodného signálu bez setrvačnosti.

Rýže. 10. Funkční měniče

G. Odpovídající zesilovač. Poskytuje koordinaci mezi rozsahem hodnot studovaného signálu a rozsahem amplitudy statistického analyzátoru. Koordinace se provádí pomocí potenciometrů „Gain“ a „Offset“, když je přepínač P1 (obr. 8) nastaven do polohy „Kalibrace“.

Přizpůsobovací zesilovač se také používá jako funkční převodník (s výjimkou čtyř diskutovaných výše), který poskytuje lineární převod bez setrvačnosti podle vzorce

Y(T)= A∙ X(T)= B,

Kde a je faktor zesílení nastavený knobem „Gain“;

b je konstantní složka signálu, nastavená pomocí knoflíku "Offset".

Blok analyzátoru znázorněný ve schématu na obr. 8 jako součást uspořádání není v této práci použit. Laboratorní instalace zahrnuje použití digitálního statistického analyzátoru, navrženého jako samostatné zařízení.

D. Digitální statistický analyzátor se používá k měření a formulování zákonitostí distribuce hodnot signálu přiváděných na jeho vstup. Analyzátor funguje následovně.

Tlačítkem "Start" se analyzátor přepne do režimu měření. Doba měření je 20s. Během této doby jsou (v náhodných časech) odebírány vzorky hodnot vstupního signálu, jejichž celkový počet N je 1 milion. Vzorky jsou vzorkovány podle úrovně tak, aby každý z nich spadal do jednoho z 32 intervalů (tzv. diferenciální koridory, nebo seskupovací intervaly vzorkové hodnoty). Intervaly jsou číslovány od 0 do 31, jejich šířka je 0,1 V a spodní hranice 0. intervalu je 0 V, horní hranice 31. intervalu je +3,2 V. Během doby měření se počítá počet impulzů. ni zahrnuto v každém intervalu. Výsledek měření se zobrazí ve formě distribučního histogramu na obrazovce monitoru, kde horizontální osa mřížky měřítka je osa hodnot signálu v rozmezí 0...+3,2 V, vertikální osa je osa relativní frekvence ni/N, i = 0,1...31.

Pro čtení výsledků měření v digitální podobě slouží digitální indikátor, který zobrazuje číslo zvoleného intervalu a odpovídající frekvenci (odhad pravděpodobnosti) ni/N. Výběr čísel intervalů pro digitální ukazatel se provádí pomocí přepínače "Interval". V tomto případě je vybraný interval označen značkou na obrazovce monitoru.

Pomocí přepínače "Multiplikátor" můžete zvolit měřítko histogramu vhodné pro pozorování podél svislé osy.

Při provádění této práce musí být přepínač rozsahu vstupního napětí analyzátoru (rozsah převodu analogově na digitální) nastaven do polohy 0...+3,2 V. Před každým měřením musíte střídavě stisknout tlačítka "Reset" a "Start". (po stisknutí tlačítka „Reset“ Paměťové zařízení se vynuluje a výsledky předchozího měření se přepíší do paměti zásobníku, ze které je lze vyvolat pomocí přepínače „Page“).

Obecný problém studia průchodu náhodných signálů nelineární

obvod spočívá v nalezení statistických charakteristik výstupního signálu ze známých dat obvodu a statistických charakteristik signálu. Tato úloha by měla být rozdělena do několika samostatných úloh založených na charakteristikách souvisejících s charakteristikami vstupního signálu, vlastnostmi obvodu a počátečními charakteristikami výstupního signálu.

Nelineární obvody představují poměr nelineárních prvků s jednoznačnou proudově-napěťovou charakteristikou a jsou definovány jako bez setrvačnosti.

Podle požadovaných statistických charakteristik výstupního signálu je třeba rozlišovat mezi úkoly, s jejichž pomocí je třeba najít distribuční zákon okamžitých hodnot nebo obálky, a úkoly, kdy stačí určit první momenty těchto zákonů. .

Analýza výzkumů a publikací. V závislosti na metodách zpracování signálů z různých zdrojů je nutné s nimi provádět takové matematické operace, jako je například dělení, násobení atd. Takové matematické operace se signály lze technicky realizovat pomocí nelineárních zařízení bez setrvačnosti. V důsledku toho nelze problém studia průchodu náhodných signálů nelineárními obvody pomocí matematických operací vždy vyřešit v přijatelné podobě.

Obecně je základním řešením problému nelineárních transformací náhodných procesů bez setrvačnosti známá vlastnost invariance diferenciálu pravděpodobnosti. Aplikace této vlastnosti na prakticky zajímavé nelineární transformace však působí velké potíže. Proto se kvůli složitosti výpočtu hustoty pravděpodobnosti často omezují na hledání jednodušších, neméně úplných statistických charakteristik výstupního signálu.

Formulace problému. Operaci dělení dvou náhodných signálů lze přičíst problému syntézy nelineárního obvodu pro danou transformaci vstupního signálu, která zahrnuje stanovení typu charakteristiky obvodu, který tuto transformaci provádí, a následnou implementaci výsledné charakteristiky. Se dvěma vstupními signály reprezentujícími například náhodné procesy se operace násobení provádí pomocí nelineárního deterministického systému bez setrvačnosti, který je znázorněn na Obr. 1. Skládá se ze dvou logaritmátorů 1, 2 (zařízení s logaritmickou amplitudovou charakteristikou), sčítačky a vystavovatele 3, zařízení s exponenciální amplitudovou charakteristikou. Tento přístup k řešení problému je založen na skutečnosti, že nelineární transformace náhodného procesu bez setrvačnosti nezavádí další dočasná spojení. To znamená, že pokud byl proces před transformací bez setrvačnosti charakterizován n-rozměrným rozdělením, pak proces po něm bude charakterizován rozdělením n-tého řádu.

Je známo, že zákon rozdělení pravděpodobnosti součtu dvou náhodných procesů se zákony normálního rozdělení je také normální. Můžeme tedy předpokládat, že signál na vstupu exponátu má normální rozdělení hustot pravděpodobnosti.

Získaný výsledek má tak jednoduché řešení jako vyloučení a nastává pouze při exponenciální transformaci normálního stacionárního procesu.

Tento výsledek má však relativně obecný význam, protože charakteristiky nelineárních prvků lze často aproximovat součtem obsahujícím dva až tři exponenciální členy; s tímto přístupem bude celková korelační funkce výstupního procesu rovna součtu korelačních funkcí vypočítaných pro každý exponenciální člen zvlášť.

Problémy studia průchodu náhodných signálů nelineárními obvody bez setrvačnosti, které provádějí matematické operace se signály, například dělení nebo násobení dvou signálů, nelze vždy řešit přímou formou. Získání výsledku řešení problému stanovení statistických charakteristik v těchto případech však lze dosáhnout řešením problému syntézy nelineárních obvodů pro danou transformaci vstupních signálů, což zahrnuje stanovení typu charakteristik jednotlivých prvků obvodu, které toto provádějí transformace signálu. S tímto přístupem bude úloha určení výsledného signálu určena na výstupu každého prvku, který plní jeho přiřazenou funkci.

Obecný postup pro stanovení distribučního zákona odezvy lineární FU na libovolný náhodný vliv neexistuje. Je však možná korelační analýza, tj. výpočet korelační funkce reakce z dané korelační funkce účinku, což se pohodlně provádí spektrální metodou podle schématu na Obr. 5.5.

Pro výpočet energetického spektra GY(F) reakce lineární FU s přenosovou funkcí H(jω) použijeme jeho definici (4.1)

Korelační funkce PODLE(t) definujeme Fourierovou transformací energetického spektra GY(F)

.

Vraťme se k definici distribučního zákona pro reakci lineárního FU v určitých speciálních případech:

1. Lineární transformace normálního SP také generuje normální proces. Měnit se mohou pouze parametry jeho distribuce.

2. Součet normálních SP (reakce sčítačky) je také normální proces.

3. Když SP s libovolnou distribucí prochází úzkopásmovým filtrem (tj. se šířkou pásma filtru D F výrazně menší šířka energetického spektra vlivu D f X) je pozorován fenomén normalizace rozložení reakcí Y(t). Spočívá v tom, že zákon rozložení reakcí se blíží normálu. Stupeň této aproximace je tím větší, čím je nerovnost D silnější F<< Df X(obr. 5.6).

To lze vysvětlit následovně. V důsledku průchodu SP úzkopásmovým filtrem dochází k výraznému zmenšení šířky jeho energetického spektra (s D f X k D F) a v důsledku toho zvýšení korelačního času (c t X do t Y). V důsledku toho mezi nekorelovanými vzorky odezvy filtru Y(k t Y) se nachází přibližně D f X / D F nekorelované hodnoty dopadu X(l t X), z nichž každý přispívá k vytvoření jediného reakčního vzorku s hmotností určenou typem impulsní odezvy filtru.

Tedy v nekorelovaných úsecích Y(k t Y) dochází k součtu velkého množství také nekorelovaných náhodných veličin X(l t X) s omezenými matematickými očekáváními a rozptyly, což v souladu s centrální limitní větou (A.M. Ljapunov) zajišťuje, že se distribuce jejich součtu blíží normálu s nárůstem počtu členů.

5.3. Úzkopásmové náhodné procesy

JV X(t) s relativně úzkým energetickým spektrem (D f X << f c) jako úzkopásmové deterministické signály je vhodné je reprezentovat v kvaziharmonické formě (viz část 2.5)

kde je obálka A(t), fáze Y( t) a počáteční fáze j( t) jsou náhodné procesy a ω c je frekvence zvolená libovolně (obvykle jako průměrná frekvence jejího spektra).

Chcete-li definovat obálku A(t) a fáze Y( t) je vhodné použít analytický SP

, (5.4)

Hlavní momentové funkce analytického SP:

1. Matematické očekávání

2. Rozptyl

3. Korelační funkce

,

,

.

Analytický SP se nazývá stacionární if

,

,

Uvažujme typický problém v komunikační technice průchodu normálního SP přes pásmovou propust (BF), amplitudový (AM) a fázový (PD) detektor (obr. 5.7). Signál na výstupu PF se stává úzkopásmovým, což znamená, že jeho obálka A(t) a počáteční fáze j( t) se budou pomalu měnit funkce času ve srovnání s , kde je průměrná frekvence propustného pásma PF. Podle definice bude signál na výstupu IM úměrný obálce vstupního signálu A(t), a na výstupu PD – jeho počáteční fáze j( t). K vyřešení tohoto problému tedy stačí vypočítat rozložení obálky A(t) a fáze Y( t) (rozdělení počáteční fáze se liší od distribuce Y( t) pouze matematickým očekáváním).

Formulace problému

Vzhledem k tomu:

1) X(t) = A(t)útulný( t) – úzkopásmový středový stacionární normální SP (na výstupu PF),

2) .

Definovat:

1) w(A) – jednorozměrná hustota pravděpodobnosti obálky,

2) w(Y) – jednorozměrná fázová hustota pravděpodobnosti.

Chcete-li tento problém vyřešit, nastíníme tři fáze:

1. Přechod na analytickou SP a stanovení sdružené hustoty pravděpodobnosti.

2. Výpočet sdružené hustoty pravděpodobnosti na základě spojení vypočítaných v první fázi A(t), Y( t) s (5.3) ÷ (5.6) .

3. Stanovení jednorozměrných hustot pravděpodobnosti w(A) A w(Y) z vypočtené společné hustoty pravděpodobnosti.

Řešení

Fáze 1. Pojďme najít jednorozměrnou hustotu pravděpodobnosti procesu. Založeno na linearitě Hilbertovy transformace usuzujeme, že se jedná o normální společný podnik. Dále s ohledem na to , dostaneme , a následně

Tak máme

.

Dokažme nekorelaci ve shodných okamžicích, tj.

.

Po dosazení , , , vezmeme-li v úvahu, že za , dostaneme

Nekorelovaná povaha průřezů normálních procesů tedy implikuje jejich nezávislost

.

Fáze 2. Výpočet sdružené hustoty pravděpodobnosti

,

kde podle (5.2), (5.5) a (5.6)

.

Proto s přihlédnutím k (5.3) máme

. (5.7)

Fáze 3. Definice jednorozměrných hustot pravděpodobnosti

Konečně

, (5.8)

. (5.9)

Výraz (5.8) je znám jako Rayleighova distribuce, jeho graf je na Obr. 5.8. Na Obr. Obrázek 5.9 ukazuje graf rovnoměrného rozdělení fází (5.9).

Výraz (5.7) může být reprezentován jako součin (5.8) a (5.9)

což znamená nezávislost obálky A(t) a fáze w(Y) normální SP.

Uvažujme složitější problém průchodu aditivní směsi výše uvedeného normálního SP s harmonickým signálem přes IM a PD. Problémové prohlášení zůstává stejné kromě původního procesu Y(t), který má podobu

Kde X(t) – centrovaný normální SP.

Protože

.

Pojďme to napsat Y(t) v kvaziharmonické formě

a vyřešíme problém stanovení hustoty pravděpodobnosti w(A) A w j) podle výše uvedeného plánu.

Zapišme si to předem X(t) v kvaziharmonické formě a prostřednictvím jejích kvadraturních složek

, (5.10)

(5.11)

Abychom to našli, pojďme se obrátit na analytický SP

.

Z jeho vyjádření je zřejmé, že jde o lineární transformace centrované normály SP X(t):

a proto mají normální rozdělení s rozptyly

.

Dokažme jejich nekorelaci (a tedy nezávislost) ve shodných okamžicích

.

S tím se zde počítá B(t) a θ( t) – obálka a fáze normálního SP jsou, jak je uvedeno výše, nezávislé.

Tím pádem,

a při zohlednění (5.10) a (5.11) dostáváme

. (5.12)

Protože výraz (5.12) nelze reprezentovat jako součin jednorozměrných funkcí , můžeme dojít k závěru, že procesy závisí na .

Abychom našli rozložení obálky součtu centrovaného normálního SP s harmonickým signálem, integrujeme (5.12) přes všechny možné hodnoty náhodné fáze j( t)

.

Integrál formuláře

známá v matematice jako modifikovaná Besselova funkce nultého řádu. Když to vezmeme v úvahu, konečně máme

. (5.13)

Zavolá se výraz (5.13). zobecněné Rayleighovo rozdělení nebo Distribuce rýže. Grafy tohoto výrazu jsou na Obr. 5.10 pro následující zvláštní případy:

1) U = 0 – běžná Rayleighova distribuce,

2) – případ nepřítomnosti od Y(t) SP X(t),

3)
– zobecněné Rayleighovo (rýžové) rozdělení.

Z grafů je zřejmé, že čím vyšší je odstup signálu od šumu, tím více doprava je posunuto maximum hustoty pravděpodobnosti a tím je křivka symetričtější (blíže normálnímu rozdělení).

závěry

1. Pokud jsou okamžité hodnoty centrovaného SP X(t) mají normální rozdělení, pak jeho obal A(t) distribuován podle Rayleighova zákona

,

a fáze Y( t) rovnoměrně

2. Rozdělení obálky aditivní směsi centrovaného normálního SP a harmonického signálu se řídí zobecněným Rayleighovým rozdělením (také známé jako Riceovo rozdělení)

.

Kontrolní otázky

1. Formulujte problém analýzy průchodu společného podniku danou funkční jednotkou.

2. Jak vypočítat hustotu pravděpodobnosti w(y) reakce řetězce bez setrvačnosti podle známé hustoty pravděpodobnosti w(X) dopad?

3. Jak vypočítat matematické očekávání reakce řetězu bez setrvačnosti na náhodný náraz X(t)?

4. Jak vypočítat rozptyl reakce řetězce bez setrvačnosti na náhodný náraz X(t)?

5. Jak vypočítat korelační funkci reakce řetězce bez setrvačnosti na náhodný náraz X(t)?

6. Jak vypočítat společnou hustotu pravděpodobnosti w(na 1 , na 2; t) dva společné podniky Y 1 (t) A Y 2 (t), související známými funkčními závislostmi A s dalšími dvěma společnými podniky X 1 (t) A X 2 (t)?

7. Jak se změní rozdělení normálního SP, když prochází lineárním řetězcem?

8. Jak se změní libovolné rozdělení SP, když projde úzkopásmovým filtrem?

9. Co je podstatou jevu normalizace širokopásmového procesu, když prochází úzkopásmovým filtrem? Uveďte matematický základ pro tento jev.

10. Popište postup korelační analýzy průchodu společného podniku lineárním okruhem.

11. Definujte obálku a fázi SP.

12. Definujte analytický SP, jeho matematické očekávání, disperzní a korelační funkci.

13. Jaké podmínky splňuje stacionární analytický SP?

14. Jaké je rozložení obálky centrovaného normálního SP?

15. Jaké je fázové rozdělení centrovaného normálního SP?

16. Jaké je rozložení obálky součtu centrovaného normálního SP a harmonického signálu?

17. Napište analytický výraz pro Rayleighův zákon. Jaký druh společného podniku charakterizuje?

18. Napište analytický výraz pro zobecněný Rayleighův zákon (Riceův zákon). Jaký druh společného podniku charakterizuje?