16 Matematická schémata pro modelování systémů.

Základní přístupy ke konstrukci matematických modelů systému. Kontinuálně deterministické modely. Diskrétně-deterministické modely. Diskrétně-stochastické modely. Spojité-stochastické modely. Síťové modely. Kombinované modely.

Základní přístupy ke konstrukci matematických modelů systému.

Výchozí informací při konstrukci matematických modelů procesů fungování systémů jsou údaje o účelu a provozních podmínkách studovaného (navrhovaného) systému. S.

Matematická schémata

Reálné procesy jsou zobrazeny ve formě konkrétních diagramů. Rohož. diagramy – přechod od smysluplného popisu k formálnímu popisu systému s přihlédnutím k vlivu prostředí.

Formální objektový model

Simulační objektový model,

tj. systémy S, může být reprezentován jako soubor množství,

popisující proces fungování reálného systému a jeho formování

obecně následující podmnožiny:

· totalita vstupní vlivy na systém

Xi,еХ,(E- postava patří)i=1; nx

· totalita vlivy prostředí

protil ePROTIl=1; nv

· totalita vnitřní (vlastní) parametry systémy

hkeHk = 1; nh

· totalita výstupní charakteristiky systémy

yJeYj=l;ny

Lze rozlišit ovladatelné a neovladatelné proměnné.

Při modelování systémů obsahují vstupní vlivy, vnější vlivy prostředí a vnitřní parametry jak deterministické, tak stochastické složky.

vstupní vlivy, vlivy prostředí E a vnitřní parametry systému jsou nezávislé (exogenní) proměnné.

Proces provozu systému S popsaný včas provozovatelem fs, který obecně transformuje exogenní proměnné na endogenní v souladu se vztahy ve tvaru:

y(t)=Fs(X,v, h,t) – vše s vekTori.

Operační zákon systému Fs může být specifikován ve formě funkce, funkcionálu, logických podmínek, v algoritmické a tabulkové formě nebo ve formě slovního korespondenčního pravidla.

Koncept funkčního algoritmu As - způsob získávání výstupních charakteristik zohledňující vstupní vlivy, vnější vlivy prostředí a vlastní parametry systému.

Jsou také představeny stavy systému - vlastnosti systému v konkrétních okamžicích.

Množina všech možných stavových hodnot tvoří stavový prostor objektu.

Řetězec rovnic objektu „vstup - stavy - výstup“ nám tedy umožňuje určit vlastnosti systému:

Tedy pod matematický model objektu(reálný systém) rozumět konečné podmnožině proměnných (x (t), v (t), h(t)) spolu s matematickými souvislostmi mezi nimi a charakteristikami y(t).

Typická schémata

V počátečních fázích studie se používají standardní schémata : diferenciální rovnice, konečné a pravděpodobnostní automaty, systémy řazení, Petriho sítě atd.

Jako deterministické modely, kdy se při studiu neberou v úvahu náhodné faktory, se používají diferenciální, integrální, integrodiferenciální a další rovnice k reprezentaci systémů pracujících ve spojitém čase a k reprezentaci systémů pracujících v diskrétním čase - konečných automatů a schémata konečných rozdílů.

Jako stochastické modely (s přihlédnutím k náhodným faktorům) se pro reprezentaci systémů s diskrétním časem používají pravděpodobnostní automaty a pro reprezentaci systémů se spojitým časem systémy řazení atd.

Při konstrukci matematických modelů procesů fungování systémů lze tedy rozlišovat tyto hlavní přístupy: spojité-deterministické (například diferenciální rovnice); diskrétně-deterministické (konečné automaty); diskrétně-stochastické (pravděpodobnostní automaty); kontinuálně-stochastické (systémy řazení); zobecněné nebo univerzální (agregátní systémy).

Kontinuálně deterministické modely

Podívejme se na rysy spojitě deterministického přístupu na příkladu s použitím Mat. modely diferenciální rovnice.

Diferenciální rovnice jsou takové rovnice, ve kterých funkce jedné proměnné nebo několika proměnných nejsou známy a rovnice zahrnuje nejen jejich funkce, ale i jejich derivace různých řádů.

Pokud jsou neznámé funkcemi mnoha proměnných, pak se rovnice nazývají - parciální diferenciální rovnice. Pokud neznámé funkce jedné nezávislé proměnné, pak obyčejné diferenciální rovnice.

Matematický vztah pro deterministické systémy v obecném tvaru:

Diskrétně-deterministické modely.

DDM jsou předmětem úvahy teorie automatů (TA). TA je část teoretické kybernetiky, která studuje zařízení, která zpracovávají diskrétní informace a měnit své vnitřní stavy pouze v přijatelných časech.

Státní stroj je automat, jehož množina vnitřních stavů a ​​vstupních signálů (a tedy množina výstupních signálů) jsou konečné množiny.

Státní stroj má množinu vnitřních stavů a ​​vstupních signálů, což jsou konečné množiny. Stroj je dáno F-schémem: F= ,

kde z, x, y jsou v tomto pořadí konečné množiny vstupních a výstupních signálů (abecedy) a konečná množina vnitřních stavů (abeceda). z0ÎZ - počáteční stav; j(z, x) - přechodová funkce; y(z, x) - výstupní funkce.

Automat pracuje v diskrétním čase automatu, jehož momenty jsou hodinové cykly, tj. stejné časové intervaly vedle sebe, z nichž každý odpovídá konstantním hodnotám vstupního, výstupního signálu a vnitřního stavu. Abstraktní automat má jeden vstupní a jeden výstupní kanál.

Pro specifikaci F automatu je nutné popsat všechny prvky množiny F= , tedy vstupní, interní a výstupní abecedy a také přechodové a výstupní funkce. Pro upřesnění provozu F-automatů se nejčastěji používají tabulkové, grafické a maticové metody.

Při tabulkovém způsobu nastavení jsou použity tabulky přechodů a výstupů, jejichž řádky odpovídají vstupním signálům stroje a sloupce jeho stavům.

Popis práce F- automatický stroj Mili tabulky přechodů j a výstupů y znázorňuje tabulka (1) a popis F - Mooreova stroje - tabulka přechodů (2).

stůl 1

Přechody
…………………………………………………………
…………………………………………………………

tabulka 2

…………………………………………………………

Příklady tabulkové metody pro specifikaci F - stroj Mealy F1 se třemi stavy, dvěma vstupními a dvěma výstupními signály jsou uvedeny v tabulce 3 a pro F - stroj Moore F2 - v tabulce 4.

Tabulka 3

Přechody

Tabulka 4

Jiný způsob specifikace konečného automatu využívá koncept orientovaného grafu. Graf automatu je množina vrcholů odpovídajících různým stavům automatu a spojujících vrcholy oblouků grafu odpovídajících určitým přechodům automatu. Jestliže vstupní signál xk způsobí přechod ze stavu zi do stavu zj, pak je na grafu automatu oblouk spojující vrchol zi s vrcholem zj označen xk. Aby bylo možné specifikovat přechodovou funkci, musí být oblouky grafu označeny odpovídajícími výstupními signály.

Rýže. 1. Grafy automatů Mealy (a) a Moore (b).

Při řešení úloh modelování je často vhodnější maticová specifikace konečného automatu. V tomto případě je spojovací maticí automatu čtvercová matice C=|| cij ||, jehož řádky odpovídají počátečním stavům a sloupce odpovídají přechodovým stavům.

Příklad. Pro dříve uvažovaný Mooreův automat F2 napíšeme stavovou matici a výstupní vektor:

;

Diskrétně-stochastické modely

Nechť Ф je množina všech možných dvojic tvaru (zk, yi), kde уi je prvek výstupu

podmnožina Y. Požadujeme, aby jakýkoli prvek množiny G indukoval

na množině Ф nějaký distribuční zákon následujícího tvaru:

Prvky z Ф (z1, y2) (z1, y2zk, yJ-1) (zK, yJ)

(xi, zs) b11 b1bK(J-1) bKJ

Informační sítě" href="/text/category/informatcionnie_seti/" rel="bookmark">zpracování počítačových informací ze vzdálených terminálů atd.

Zároveň charakteristické pro

provoz takových objektů je náhodný vzhled aplikací (požadavek) pro

údržbu a dokončení servisu v náhodné okamžikyčas,

tj. stochastický charakter procesu jejich fungování.

QS je chápán jako dynamický systém navržený pro efektivní obsluhu náhodného toku požadavků s omezenými systémovými zdroji. Zobecněná struktura QS je znázorněno na obrázku 3.1.

Rýže. 3.1. schéma SMO.

Homogenní požadavky přicházející na vstup QS se v závislosti na vyvolávající příčině dělí na typy, intenzita toku požadavků typu i (i=1...M) se označuje li. Souhrn požadavků všech typů je příchozím tokem QS.

Přihlášky se zpracovávají m kanály.

Existují univerzální a specializované servisní kanály. Pro univerzální kanál typu j jsou distribuční funkce Fji(t) doby trvání požadavků na obsluhu libovolného typu považovány za známé. U specializovaných kanálů jsou funkce pro rozdělení doby trvání obslužných kanálů požadavků některých typů nejisté, přiřazení těchto požadavků danému kanálu.

Q-obvody lze studovat analyticky a pomocí simulačních modelů. Poslední jmenovaný poskytuje větší všestrannost.

Podívejme se na koncept fronty.

V každém základním aktu doručení lze rozlišit dvě hlavní složky: očekávání doručení aplikací a skutečné doručení aplikace. To lze zobrazit ve formě nějakého i-tého servisního zařízení Pi, sestávajícího z akumulátoru reklamací, který může současně obsahovat li=0...LiH reklamace, kde LiH je kapacita i-tého paměťového zařízení, a reklamační kanál, ki.

Rýže. 3.2. Schéma zařízení SMO

Každý prvek obslužného zařízení Pi přijímá toky událostí: jednotka Hi přijímá tok požadavků wi a kanál ki přijímá tok služeb ui.

Tok událostí(PS) je sled událostí, které se odehrávají jedna po druhé v určitých náhodných okamžicích. Existují proudy homogenních a heterogenních událostí. Homogenní PS je charakterizován pouze okamžiky příchodu těchto událostí (způsobující momenty) a je dán posloupností (tn)=(0£t1£t2…£tn£…), kde tn je okamžik příchodu n-tého. událost - nezáporné reálné číslo. OPS lze také specifikovat jako sekvenci časových intervalů mezi n-tou a n-1 událostí (tn).

Heterogenní PS se nazývá posloupnost (tn, fn), kde tn jsou příčinné momenty; fn je sada atributů události. Například může být specifikována příslušnost ke konkrétnímu zdroji požadavků, přítomnost priority, schopnost být obsluhován konkrétním typem kanálu atd.

Požadavky obsluhované kanálem ki a požadavky, které opustily zařízení Pi z různých důvodů, nejsou obsluhovány, tvoří výstupní tok yiÎY.

Proces fungování obslužného zařízení Pi lze znázornit jako proces změny stavů jeho prvků v čase Zi(t). Přechod do nového stavu pro Pi znamená změnu v počtu požadavků, které se v něm nacházejí (v kanálu ki a úložišti Hi). Že. stavový vektor pro Pi má tvar: , kde jsou stavy disku, (https://pandia.ru/text/78/362/images/image010_20.gif" width="24 height=28" height="28" >=1 - v měniči je jeden požadavek..., =- měnič je zcela obsazený - stav kanálu ki (=0 - kanál je volný, =1 kanál je obsazen).

Q-schémata reálných objektů jsou tvořena složením mnoha elementárních obslužných zařízení Pi. Pokud jsou ki různých servisních zařízení připojena paralelně, pak probíhá vícekanálová služba (vícekanálové Q-schéma), a pokud jsou zařízení Pi a jejich paralelní složení zapojena do série, probíhá vícefázová služba (vícefázové Q-schéma).

Pro definici Q-schéma je také nutné popsat algoritmy pro jeho fungování, které určují pravidla pro chování aplikací v různých nejednoznačných situacích.

V závislosti na umístění takových situací existují algoritmy (disciplíny) pro čekání na požadavky v zásobníku Hi a požadavky na obsluhu kanálem ki. Heterogenita toku aplikací je zohledněna zavedením prioritní třídy – relativní a absolutní priority.

Že. Schéma Q, které popisuje proces fungování QS jakékoli složitosti, je jednoznačně specifikováno jako množina množin: Q = .

Síťové modely.

K formálnímu popisu struktury a interakce paralelních systémů a procesů, stejně jako k analýze vztahů příčiny a následku ve složitých systémech, se používají Petriho sítě, nazývané N-schéma.

Formálně je N-schéma dáno čtyřnásobkem tvaru

N= ,

kde B je konečná množina symbolů nazývaných pozice, B ≠ O;

D je konečná množina symbolů nazývaných přechody D ≠ O,

B ∩ D ≠ O; I – vstupní funkce (funkce přímého dopadu)

I: B x D -> (0, 1); О – výstupní funkce (funkce inverzního dopadu),

O: B × D → (0, 1). Vstupní funkce I tedy mapuje přechod dj na

množina vstupních pozic bj I(dj) a výstupní funkce O odráží

přechod dj do množiny výstupních poloh bj O(dj). Pro každý přechod

dj https://pandia.ru/text/78/362/images/image013_14.gif" width="13" height="13"> B | I(bi, dj) = 1 ),

O(dj) = (bi B | O(dj, bi) = 1),

i = 1, n; j = 1,m; n = | B |, m = | D|.

Podobně jsou pro každou pozici bi B zavedeny definice

množina vstupních přechodů polohy I(bi) a výstupních přechodů

pozice O(bi):

I(bi) = ( dj D | I(dj, bi,) = 1),

O(bi) = (dj D | O(bi, dj) = 1).

Petriho síť je bipartitní orientovaný graf skládající se z vrcholů dvou typů - poloh a přechodů, spojených oblouky, vrcholy stejného typu nelze spojovat přímo.

Příklad Petriho sítě. Bílé kruhy označují pozice, pruhy označují přechody, černé kruhy označují značky.

Orientační oblouky spojují pozice a přechody, přičemž každý oblouk směřuje z prvku jedné sady (pozice nebo přechod) k prvku jiné sady

(přechod nebo poloha). Graf N-schéma je multigraf, protože je

umožňuje existenci více oblouků z jednoho vrcholu do druhého.

Dekompozice" href="/text/category/dekompozitciya/" rel="bookmark">Dekompozice představuje komplexní systém jako víceúrovňovou strukturu vzájemně propojených prvků spojených do subsystémů různých úrovní.

Agregát funguje jako prvek A-schémy a spojení mezi agregáty (v rámci systému S a s vnějším prostředím E) se provádí pomocí konjugačního operátoru R.

Každá jednotka je charakterizována následujícími množinami: časové okamžiky T, vstupní signály X a výstupní signály Y, stavy Z v každém časovém okamžiku t. Stav jednotky v čase tT je označen jako z(t) Z,

a vstupní a výstupní signály jsou x(t) X respektive y(t) Y.

Budeme předpokládat, že k přechodu agregátu ze stavu z(t1) do stavu z(t2)≠z(t1) dojde v krátkém časovém intervalu, tj. dojde ke skoku v δz.

Přechody jednotky ze stavu z(t1) do z(t2) jsou určeny vlastními (vnitřními) parametry samotné jednotky h(t) H a vstupními signály x(t) X.

V počátečním okamžiku času t0 mají stavy z hodnoty rovné z0, tj. z0=z(t0), určené distribučním zákonem procesu z(t) v čase t0, konkrétně J. Předpokládejme, že proces fungování jednotky v případě nárazu vstupního signálu xn je popsán náhodným operátorem V. Poté v okamžiku, kdy do jednotky vstupuje vstupní signál tnT

xn můžete určit stav

z(tn + 0) = V.

Označme poločasový interval t1< t ≤ t2 как (t1, t2], а полуинтервал

t1 ≤ t< t2 как .

Množina náhodných operátorů V a U je považována za operátor přechodů agregátu do nových stavů. V tomto případě se proces fungování jednotky skládá ze skoků ve stavech δz v okamžicích příchodu vstupních signálů x (operátor V) a změn stavů mezi těmito momenty tn a tn+1 (operátor U). Na operátor U nejsou kladena žádná omezení, proto jsou povoleny skoky ve stavech δz v okamžicích, které nejsou okamžiky příchodu vstupních signálů x. V následujícím textu budou momenty skoků δz nazývány speciálními okamžiky času tδ a stavy z(tδ) budou nazývány speciálními stavy A-schémy. Pro popis stavových skoků δz ve speciálních okamžicích času tδ použijeme náhodný operátor W, což je speciální případ operátoru U, tzn.

z(t5 + 0) = W.

V množině stavů Z je podmnožina Z(Y) přidělena tak, že pokud z(tδ) dosáhne Z(Y), pak tento stav je okamžikem vydání výstupního signálu určeného výstupním operátorem.

y = G.

Agregátem tedy rozumíme jakýkoli objekt definovaný uspořádaným souborem uvažovaných množin T, X, Y, Z, Z(Y), H a náhodných operátorů V, U, W, G.

Sekvence vstupních signálů uspořádaných v pořadí jejich příchodu do A-obvodu se bude nazývat vstupní zpráva nebo zpráva x. Posloupnost výstupních signálů seřazená vzhledem k času vydání nazýváme výstupní zprávou nebo zprávou y.

KDYŽ VE KRÁTCE

Spojitě deterministické modely (D-schéma)

Používají se ke studiu systémů pracujících v nepřetržitém čase. K popisu takových systémů se používají především diferenciální, integrální a integro-diferenciální rovnice. Obyčejné diferenciální rovnice uvažují funkci pouze jedné nezávisle proměnné, zatímco parciální diferenciální rovnice uvažují funkce více proměnných.

Příkladem využití D-modelů je studium činnosti mechanického kyvadla nebo elektrického oscilačního obvodu. Technický základ D-modelů je analogový počítacích strojů(AVM) nebo v současnosti rychle se rozvíjející hybridní počítače (HCM). Jak známo, základní princip počítačového výzkumu spočívá v tom, že pomocí daných rovnic sestaví výzkumník (uživatel počítače) obvod z jednotlivých standardních jednotek - operační zesilovače se zahrnutím škálování, tlumení, aproximačních obvodů atd.

Struktura AVM se mění v souladu s typem reprodukovatelných rovnic.

V digitálním počítači zůstává struktura nezměněna, ale pořadí provozu jeho uzlů se mění v souladu s programem, který je v něm vložen. Srovnání AVM a CVM jasně ukazuje rozdíl mezi simulací a statistickým modelováním.

ABM implementuje simulační model, ale zpravidla nepoužívá principy statistického modelování. V digitálních počítačích je většina simulačních modelů založena na studiu náhodných čísel a procesů, tedy na statistickém modelování. Kontinuálně deterministické modely jsou široce používány ve strojírenství při studiu systémů automatické ovládání, výběr systémů tlumení nárazů, identifikace rezonančních jevů a vibrací v technice
a tak dále.

Diskrétní deterministické modely (F-schéma)

Pracujte s diskrétním časem. Tyto modely jsou základem pro studium provozu dnes extrémně důležité a rozšířené třídy diskrétních automatizačních systémů. Pro účely jejich studia byl vyvinut samostatný matematický aparát teorie automatů. Na základě této teorie je systém považován za automat, který zpracovává diskrétní informace a mění své vnitřní stavy v závislosti na výsledcích jejich zpracování.

Tento model je založen na principech minimalizace počtu prvků a uzlů v obvodu, zařízení, optimalizace zařízení jako celku a sledu činnosti jeho uzlů. Vedle elektronických obvodů je výrazným představitelem strojů popsaných tímto modelem robot, který řídí (podle daného programu) technologických postupů v dané deterministické posloupnosti.

Stroj s numerickým programově řízené je také popsána tímto modelem. Volba sekvence zpracování dílů na tomto stroji se provádí nastavením řídicí jednotky (řadiče), která v určitých okamžicích generuje řídicí signály /4/.

Teorie automatů využívá matematický aparát booleovských funkcí, které pracují se dvěma možnými hodnotami signálu 0 a 1.

Automaty se dělí na automaty bez paměti a automaty s pamětí. Jejich činnost je popsána pomocí tabulek, matic a grafů, které zobrazují přechody stroje z jednoho stavu do druhého. Analytické odhady pro jakýkoli typ popisu činnosti stroje jsou velmi těžkopádné a i při relativně malém počtu prvků a uzlů tvořících zařízení jsou prakticky nemožné. Proto studie složité obvody automatické stroje, mezi které nepochybně patří robotická zařízení, jsou vyráběny pomocí simulačního modelování.

Diskrétní-stochastické modely (P-schémata)

Používají se ke studiu činnosti pravděpodobnostních automatů. U strojů tohoto typu se přechody z jednoho stavu do druhého provádějí pod vlivem vnějších signálů a s přihlédnutím k vnitřnímu stavu stroje. Na rozdíl od G-automatů však tyto přechody nejsou striktně deterministické, ale mohou být provedeny s určitou pravděpodobností.

Příkladem takového modelu je diskrétní Markovův řetězec s konečnou množinou stavů. Analýza F-schémat je založena na zpracování a transformaci matic pravděpodobnosti přechodu a analýze pravděpodobnostních grafů. Již pro srovnávací analýzu jednoduchá zařízení, jehož chování je popsáno pomocí F-schémat, je vhodné použít simulační modelování. Příklad takového modelování je uveden v odstavci 2.4.

Spojité-stochastické modely (Q-schémata)

Používají se při analýze široké třídy systémů považovaných za systémy hromadné obsluhy. Jako servisní proces lze reprezentovat procesy různé fyzické povahy: toky dodávek produktů do podniku, toky zakázkově vyrobených komponent a produktů, toky dílů na montážní lince, toky kontrolních akcí z řídicího centra automatizovaného řídicí systém na pracoviště a zpětné požadavky na zpracování informací v počítači atd.

Tyto toky obvykle závisí na mnoha faktorech a konkrétních situacích. Proto jsou tyto toky ve většině případů náhodné v čase s možností změn v každém okamžiku. Analýza těchto schémat se provádí na základě matematického aparátu teorie front. Patří mezi ně souvislý Markovův řetězec. Navzdory významným pokrokům dosaženým ve vývoji analytických metod lze teorii řazení do front a analýzu Q-schémat analytickými metodami provádět pouze za podstatných zjednodušujících předpokladů a předpokladů. Detailní studium většiny těchto schémat, zejména tak složitých, jako jsou automatizované systémy řízení procesů a robotické systémy, lze provést pouze pomocí simulačního modelování.

Generalizované modely (A-schémata)

Na základě popisu procesů fungování libovolného systému založeného na agregační metodě. Souhrnným popisem je systém rozdělen na samostatné podsystémy, které lze považovat za vhodné pro matematický popis. Výsledkem takového rozdělení (dekompozice) je komplexní systém prezentován jako víceúrovňový systém, jehož jednotlivé úrovně (agregáty) jsou přístupné analýze. Na základě analýzy jednotlivých jednotek a zohlednění zákonitostí vzájemných vztahů těchto jednotek je možné provést komplexní studii celého systému.

, Jakovlevovy systémy. 4. vyd. – M.: Vyšší škola, 2005. – S. 45-82.

Pro využití počítače při řešení aplikovaných úloh je nejprve nutné aplikovaný problém „přeložit“ do formálního matematického jazyka, tzn. pro skutečný objekt, proces nebo systém musí být postaven matematický model.

Matematické modely v kvantitativní podobě pomocí logických a matematických konstrukcí popisují základní vlastnosti objektu, procesu nebo systému, jeho parametry, vnitřní a vnější souvislosti.

Pro sestavení matematického modelu nutné:

1. pečlivě analyzovat skutečný objekt nebo proces;
2. zvýraznit jeho nejvýznamnější rysy a vlastnosti;
3. definovat proměnné, tzn. parametry, jejichž hodnoty ovlivňují hlavní rysy a vlastnosti objektu;
4. popsat závislost základních vlastností objektu, procesu nebo systému na hodnotách proměnných pomocí logicko-matematických vztahů (rovnice, rovnosti, nerovnice, logicko-matematické konstrukce);
5. zvýraznit interní komunikace objekt, proces nebo systém využívající omezení, rovnice, rovnosti, nerovnice, logické a matematické konstrukce;
6. identifikovat vnější souvislosti a popsat je pomocí omezení, rovnic, rovnosti, nerovnic, logických a matematických konstrukcí.

Matematické modelování, kromě studia objektu, procesu nebo systému a sestavení jejich matematického popisu také zahrnuje:

1. vytvoření algoritmu, který modeluje chování objektu, procesu nebo systému;
2. zkouška přiměřenost modelu a objekt, proces nebo systém založený na výpočetním a přirozeném experimentu;
3. úprava modelu;
4. pomocí modelu.

Matematický popis studovaných procesů a systémů závisí na:

1. povahy reálného procesu nebo systému a je sestaven na základě zákonů fyziky, chemie, mechaniky, termodynamiky, hydrodynamiky, elektrotechniky, teorie plasticity, teorie pružnosti atd.
2. požadovaná spolehlivost a přesnost studia a výzkumu reálných procesů a systémů.

Ve fázi výběru matematického modelu se stanoví: linearita a nelinearita objektu, procesu nebo systému, dynamičnost nebo statičnost, stacionarita nebo nestacionarita a také stupeň determinismu studovaného objektu nebo procesu. V matematickém modelování se záměrně abstrahuje od specifické fyzikální podstaty objektů, procesů nebo systémů a zaměřuje se především na studium kvantitativních závislostí mezi veličinami, které tyto procesy popisují.

Matematický model není nikdy zcela identický s daným objektem, procesem nebo systémem. Na základě zjednodušení, idealizace jde o přibližný popis objektu. Výsledky získané analýzou modelu jsou proto přibližné. Jejich přesnost je dána mírou přiměřenosti (shody) mezi modelem a objektem.

Obvykle začíná konstrukcí a analýzou nejjednoduššího, nejhrubšího matematického modelu daného objektu, procesu nebo systému. V budoucnu, pokud je to nutné, je model zpřesněn a jeho korespondence s objektem je kompletnější.

Vezměme si jednoduchý příklad. Je nutné určit povrch stolu. Obvykle se to provádí měřením jeho délky a šířky a následným vynásobením výsledných čísel. Tento elementární postup ve skutečnosti znamená následující: skutečný objekt (plocha stolu) je nahrazen abstraktním matematickým modelem - obdélníkem. Rozměry získané měřením délky a šířky povrchu stolu jsou přiřazeny k obdélníku a plocha takového obdélníku se přibližně považuje za požadovanou plochu stolu.

Obdélníkový model pro stůl je však nejjednodušší a nejhrubší model. Pokud k problému přistoupíte vážněji, před použitím obdélníkového modelu k určení oblasti stolu je třeba tento model zkontrolovat. Kontroly lze provádět následovně: změřte délky protilehlých stran stolu a také délky jeho úhlopříček a vzájemně je porovnejte. Pokud jsou s požadovanou mírou přesnosti délky protilehlých stran a délky úhlopříček stejné ve dvojicích, pak lze povrch stolu skutečně považovat za obdélník. V opačném případě bude muset být obdélníkový model odmítnut a nahrazen čtyřúhelníkovým modelem obecný pohled. S více vysoké nároky Pro zlepšení přesnosti může být nutné model ještě dále zpřesnit, například vzít v úvahu zaoblení rohů stolu.

Na tomto jednoduchém příkladu se to ukázalo matematický model není jednoznačně určeno studovaným objektem, procesem nebo systémem. Pro stejnou tabulku můžeme použít buď obdélníkový model, nebo složitější model obecného čtyřúhelníku nebo čtyřúhelník se zaoblenými rohy. Výběr jednoho nebo druhého modelu je dán požadavkem na přesnost. Se vzrůstající přesností se model musí komplikovat, zohledňovat nové a nové vlastnosti studovaného objektu, procesu nebo systému.

Uvažujme další příklad: studium pohybu klikového mechanismu (obr. 2.1).

Rýže. 2.1.

Pro kinematickou analýzu tohoto mechanismu je nejprve nutné sestrojit jeho kinematický model. Pro tohle:

1. Mechanismus nahrazujeme jeho kinematickým schématem, kde jsou nahrazeny všechny články tvrdé vazby;
2. Pomocí tohoto diagramu odvodíme pohybovou rovnici mechanismu;
3. Jejich derivováním získáme rovnice rychlostí a zrychlení, což jsou diferenciální rovnice 1. a 2. řádu.

Napišme tyto rovnice:

kde C 0 je krajní pravá poloha jezdce C:

r – poloměr kliky AB;

l – délka ojnice BC;

– úhel natočení kliky;

Přijato transcendentální rovnice předložit matematický model pohybu plochého axiálního klikového mechanismu, založený na následujících zjednodušujících předpokladech:

1. nezajímaly nás konstrukční formy a uspořádání hmot obsažených v mechanismu těles a všechna tělesa mechanismu jsme nahradili přímými segmenty. Ve skutečnosti mají všechny články mechanismu hmotnost a poměrně složitý tvar. Například ojnice je složitá sestava, jejíž tvar a rozměry samozřejmě ovlivní pohyb mechanismu;
2. Při pohybu uvažovaného mechanismu jsme také nebrali v úvahu pružnost těles obsažených v mechanismu, tzn. všechny články byly považovány za abstraktní absolutně tuhá tělesa. Ve skutečnosti jsou všechna tělesa obsažená v mechanismu elastická tělesa. Při pohybu mechanismu se nějak zdeformují a může v nich docházet i k elastickým vibracím. To vše samozřejmě ovlivní i pohyb mechanismu;
3. nebrali jsme v úvahu výrobní chybu článků, mezery v kinematických dvojicích A, B, C atp.

Je tedy důležité ještě jednou zdůraznit, že čím vyšší jsou požadavky na přesnost výsledků řešení problému, tím větší je potřeba brát v úvahu při sestavení matematického modelu vlastnosti studovaného objektu, procesu nebo systému. Je však důležité se zde zastavit včas, protože je to obtížné matematický model se může změnit v těžko řešitelný problém.

Model je nejsnáze konstruován, když jsou dobře známé zákony, které určují chování a vlastnosti objektu, procesu nebo systému, a existují rozsáhlé praktické zkušenosti s jejich aplikací.

Složitější situace nastává, když naše znalosti o studovaném objektu, procesu nebo systému jsou nedostatečné. V tomto případě, kdy sestavení matematického modelu je nutné učinit další předpoklady, které mají povahu hypotéz, takový model se nazývá hypotetický. Závěry získané jako výsledek studia takového hypotetického modelu jsou podmíněné. Pro ověření závěrů je nutné porovnat výsledky studia modelu na počítači s výsledky celoplošného experimentu. Otázka použitelnosti určitého matematického modelu pro studium uvažovaného objektu, procesu nebo systému tedy není matematickou otázkou a nelze ji řešit matematickými metodami.

Hlavním kritériem pravdy je experiment, praxe v nejširším slova smyslu.

Sestavení matematického modelu v aplikovaných úlohách – jedna z nejsložitějších a nejkritičtějších fází práce. Zkušenosti ukazují, že výběr správného modelu v mnoha případech znamená vyřešení problému z více než poloviny. Obtížnost této fáze spočívá v tom, že vyžaduje kombinaci matematických a speciálních znalostí. Proto je velmi důležité, aby při řešení aplikovaných úloh měli matematici speciální znalosti o objektu a jejich partneři, specialisté, měli určitou matematickou kulturu, výzkumné zkušenosti ve svém oboru, znalost počítačů a programování.

Největší potíže a nejzávažnější chyby v modelování vznikají při přechodu od smysluplného k formálnímu popisu výzkumných objektů, což je vysvětleno účastí na tomto tvůrčím procesu týmů různých specializací: specialistů v oblasti systémů, které je třeba modelované (zákazníci) a specialisté v oblasti strojového modelování (výkonní umělci). Účinným prostředkem k nalezení vzájemného porozumění mezi těmito skupinami specialistů je jazyk matematických schémat, který nám umožňuje postavit do popředí otázku adekvátnosti přechodu od smysluplného popisu systému k jeho matematickému schématu, a teprve poté rozhodnout o konkrétní metodě získávání výsledků pomocí počítače: analytické nebo simulační, případně kombinované, tedy analyticko-simulační. Ve vztahu ke konkrétnímu modelovacímu objektu, tedy složitému systému, by vývojáři modelu měla pomoci konkrétní matematická schémata, která již byla pro danou třídu systémů vyzkoušena a která prokázala svou účinnost v aplikovaném výzkumu na počítači a jsou tzv. standardní matematická schémata.

ZÁKLADNÍ PŘÍSTUPY KE KONSTRUKCI MATEMATICKÝCH MODELŮ SYSTÉMŮ

Výchozí informací při konstrukci matematických modelů procesů fungování systémů jsou údaje o účelu a podmínkách provozu studovaného (navrhovaného) systému 5. Tyto informace určují hlavní cíl modelování systému £ a umožňují formulovat požadavky na vyvíjené matematické model A/. Úroveň abstrakce navíc závisí na rozsahu otázek, které chce systémový výzkumník pomocí modelu zodpovědět, a do jisté míry určuje výběr matematického schématu.

Matematická schémata.

Zavedení pojmu „matematické schéma“ nám umožňuje považovat matematiku nikoli za metodu výpočtu, ale za metodu myšlení, za prostředek formulování pojmů, což je nejdůležitější při přechodu od slovního popisu systému. k formálnímu znázornění procesu jeho fungování ve formě nějakého matematického modelu (analytického nebo simulačního) . Při použití matematického schématu by se měl výzkumník 5* systému zajímat především o otázku adekvátnosti zobrazení ve formě konkrétních diagramů reálných procesů ve zkoumaném systému, nikoli o možnost získat odpověď. (výsledek řešení) na konkrétní výzkumnou otázku. Například znázornění procesu fungování sdíleného informačního výpočetního systému ve formě sítě frontových schémat umožňuje dobře popsat procesy probíhající v systému, ale se složitými zákony distribuce příchozích toků a toků služeb, neumožňuje explicitně získat výsledky.

Matematické schéma lze definovat jako článek přechodu od smysluplného k formálnímu popisu procesu fungování systému s přihlédnutím k vlivu vnějšího prostředí, tj. existuje řetězec „popisný model - matematické schéma - matematický [ analytický a/nebo simulační] model“.

Každý konkrétní L1 systém je charakterizován souborem vlastností, které jsou chápány jako veličiny odrážející chování simulovaného objektu (reálného systému) a zohledňující podmínky jeho fungování v interakci s vnějším prostředím (systémem) E. Při konstrukci matematického modelu systému je nutné vyřešit otázku jeho úplnosti. Úplnost modelu je regulována především volbou hranice „systém.U-prostředí £>> Dále je třeba vyřešit problém zjednodušení modelu, který pomáhá zvýraznit hlavní vlastnosti systému, odhodit vedlejší Navíc klasifikace vlastností systému na základní nebo sekundární výrazně závisí na účelu modelování systému (např. analýza pravděpodobnostně-časových charakteristik procesu fungování systému, syntéza struktury systému atd.).

Formální model objektu. Model modelovacího objektu, tj. systému 5, lze reprezentovat jako soubor veličin, které popisují proces fungování reálného systému a formy, v obecném případě, Následující podmnožiny: kolekce vstupní vlivy na systém

celek vlivy prostředí

celek vnitřní (vlastní) parametry systémy

celek výstupní charakteristiky systémy

V tomto případě lze v uvedených podmnožinách rozlišit řízené a neovladatelné proměnné. V obecném případě x„ r/, A*,

na y jsou prvky disjunktních podmnožin a obsahují jak deterministické, tak stochastické složky.

Při modelování systému 5 vstupních vlivů, vnější vlivy prostředí E a vnitřní parametry systému jsou nezávislé (exogenní) proměnné, které ve vektorovém tvaru mají odpovídající tvar x (/) = (*! (O, x 2 (0> -" x *x(0)*

" (0=("1) (0. "2(0. . "^(0; l (/)=(*! 0. L 2 (0. ■ . L -N (0). a výstupní charakteristiky systém jsou závislé (endogenní) proměnné a ve vektorové podobě vypadají y (0 = (y 1 0), y 2 ( 0" > U.gSh

Proces fungování systému 5 je popsán v čase operátorem /* 5, který v obecném případě transformuje exogenní proměnné na endogenní v souladu se vztahy tvaru

Soubor závislostí výstupních charakteristik systému na čase yDg) pro všechny typy y = 1, p y volal výstupní trajektorie y ((). Zavolá se závislost (2.1). zákon fungování systému B a je určeno G 5. Obecně zákon fungování systému E 5 mohou být specifikovány ve formě funkce, funkcionálních, logických podmínek, v algoritmické a tabulkové formě nebo ve formě slovního párovacího pravidla.

Velmi důležitý pro popis a studium systému 5 je koncept funkční algoritmus L 5, což je chápáno jako metoda pro získání výstupních charakteristik zohledňující vstupní vlivy X(/), vlivy prostředí PROTI d) a vlastní parametry systému A(/). Je zřejmé, že stejný zákon fungování systému 5 lze implementovat různé způsoby, tj. pomocí mnoha různých operačních algoritmů L$.

Relace (2.1) jsou matematickým popisem chování modelujícího objektu (systému) v čase / tj. odrážejí jeho dynamické vlastnosti. Proto se obvykle nazývají matematické modely tohoto typu dynamické modely (systémy) .

U statických modelů je matematický model (2.1) mapováním mezi dvěma podmnožinami vlastností modelovaného objektu U A (X, V, I), které ve vektorové podobě lze zapsat jako

Vztahy (2.1) a (2.2) lze specifikovat různými způsoby: analyticky (pomocí vzorců), graficky, tabulkově atd. Takové vztahy lze v řadě případů získat

prostřednictvím vlastností systému 5 v určitých okamžicích, tzv státy. Stav systému 5 je charakterizován vektory

Kde *; = *!(/"), *2=*2(0" " **=**(v tuto chvíli 0 /"e(/ 0 , 7); *1 =^(0, *2=*2(P", *£=**(*") v tuto chvíli /"b(/ 0, 7) atd., £=1, p g

Uvažujeme-li proces fungování systému 5 jako sekvenční změnu stavů (/), r 2 (/), G Kdo jsou oni

lze interpretovat jako souřadnice bodu v ^-rozměrném fázovém prostoru a každá implementace procesu bude odpovídat určité fázové trajektorii. Množina všech možných hodnot stavu (G) volal státní prostor modelovací objekt Zt a g do E Z.

Stav systému 5 v daném okamžiku úplně

jsou určeny počátečními podmínkami 7° = (2° 1,. 2 2°, G° k) [kde

*°1 = *1(*o)" *°g = *2 (^o)" -" *°*=**(*o)]" podle vstupních vlivů X(/), vnitřní parametry Na(/) a vlivy prostředí PROTI(0, ke kterému došlo během časového období - / 0, pomocí dvou vektorových rovnic

První rovnice pro počáteční stav g° a exogenních proměnných x, V, I určuje vektorovou funkci (/) a druhou na základě získané hodnoty stavů G(/) - endogenní proměnné na výstupu systému na(/). To umožňuje řetězec rovnic objektu „vstup - stavy - výstup“. definovat charakteristiky systému

Obecně čas v modelu systému já lze uvažovat v průběhu modelovacího intervalu (O, T) spojité i diskrétní, tj. kvantované v záporu řezání dřádek A/ časové jednotky každý, kdy T=tA1, Kde T- 1, t T- počet vzorkovacích intervalů.

Tedy pod matematický model objektu(reálný systém) rozumět konečné podmnožině proměnných (X (/), b (/), A d)) spolu s matematickými souvislostmi mezi nimi a charakteristikami na (/) .

Pokud matematický popis modelovacího objektu neobsahuje náhodné prvky nebo nejsou brány v úvahu, tzn.

můžeme předpokládat, že v tomto případě stochastické vlivy vnějšího prostředí PROTI(/) a stochastické vnitřní parametry A(/) chybí, pak se zavolá model deterministický v tom smyslu, že charakteristiky jsou jednoznačně určeny deterministickými vstupními vlivy

Je zřejmé, že deterministický model je speciálním případem stochastického modelu.

Typická schémata.

Uvedené matematické vztahy představují obecná matematická schémata a umožňují popsat širokou třídu systémů. V praxi modelování objektů v oblasti systémového inženýrství a systémové analýzy je však v počátečních fázích systémového výzkumu racionálnější použít typická matematická schémata: diferenciální rovnice, konečné a pravděpodobnostní automaty, systémy řazení, Petriho sítě atd.

Typická matematická schémata, která nemají stejný stupeň obecnosti jako uvažované modely, mají výhody jednoduchosti a srozumitelnosti, ale s výrazným zúžením aplikačních možností. Jako deterministické modely, kdy se ve studii neberou v úvahu náhodné faktory, se používají diferenciální, integrální, integro-diferenciální a další rovnice k reprezentaci systémů pracujících ve spojitém čase a automaty konečných rozdílů se používají k reprezentaci systémů pracujících v diskrétním čase. schéma. Jako stochastické modely (s přihlédnutím k náhodným faktorům) se pro reprezentaci systémů s diskrétním časem používají pravděpodobnostní automaty a pro reprezentaci systémů se spojitým časem systémy řazení atd.

Uvedená standardní matematická schémata si přirozeně nemohou tvrdit, že jsou schopna na jejich základě popsat všechny procesy probíhající ve velkých informačních a řídicích systémech. Pro takové systémy je v některých případech slibnější použití agregačních modelů. Agregátní modely (systémy) umožňují popsat širokou škálu výzkumných objektů, odrážejících systémovou povahu těchto objektů. Je se souhrnným popisem komplexní objekt(systém) je rozdělen na konečný počet částí (subsystémů), přičemž jsou zachovány vazby, které zajišťují interakci částí.

Při konstrukci matematických modelů procesů fungování systémů lze tedy rozlišovat tyto hlavní přístupy: spojité-deterministické (například diferenciální rovnice); diskrétně-deterministické (konečné automaty); diskrétně-stochastické (pravděpodobnostní automaty); kontinuálně-stochastické (systémy řazení); zobecněné nebo univerzální (agregátní systémy).

Matematická schémata probíraná v následujících odstavcích této kapitoly by měla pomoci pracovat s různými přístupy praktická práce při modelování konkrétních systémů.

Klasifikace v jakékoli oblasti znalostí je nezbytná. Umožňuje zobecnit nasbírané zkušenosti a uspořádat koncepty předmětné oblasti. Rychlý rozvoj metod matematického modelování a rozmanitost oblastí jejich použití vedly ke vzniku velkého množství modelů různých typů a k potřebě klasifikovat modely do těch kategorií, které jsou univerzální pro všechny modely nebo jsou nezbytné v například pole konstruovaného modelu. Zde je příklad některých kategorií: oblast použití; zohlednění časového faktoru (dynamiky) v modelu; obor vědění; způsob prezentace modelů; přítomnost nebo nepřítomnost náhodných (nebo nejistých) faktorů; typ kritéria účinnosti a uložená omezení atd.

Analýzou matematické literatury jsme identifikovali nejběžnější klasifikační znaky:

1. Podle způsobu implementace (včetně formálního jazyka) lze rozdělit všechny matematické modely na analytické a algoritmické.

Analytické – modely, které používají standardní matematický jazyk. Simulační modely jsou modely, které používají speciální modelovací jazyk nebo univerzální programovací jazyk.

Analytické modely lze psát ve formě analytických výrazů, tzn. ve formě výrazů obsahujících spočetný počet aritmetických operací a přechodů do limity, například: . Algebraický výraz je speciální případ analytického výrazu, ve výsledku poskytuje přesnou hodnotu. Existují i ​​konstrukce, které umožňují najít výslednou hodnotu s danou přesností (například rozšíření elementární funkce do mocninné řady). Modely využívající tuto techniku ​​se nazývají přibližné.

Analytické modely se zase dělí na teoretické a empirické modely. Teoretické modely odrážejí skutečné struktury a procesy ve studovaných objektech, to znamená, že jsou založeny na teorii jejich fungování. Empirické modely jsou postaveny na základě studia reakcí objektu na změny podmínek prostředí. V tomto případě se nebere v úvahu teorie fungování objektu, samotný objekt je tzv. „černá skříňka“ a model je nějaký druh interpolační závislosti. Empirické modely lze sestavit na základě experimentálních dat. Tato data jsou získávána přímo ze studovaných objektů nebo je využívají. fyzikální modely.

Pokud proces nelze popsat ve formě analytického modelu, je popsán pomocí speciálního algoritmu nebo programu. Tento model je algoritmický. Při konstrukci algoritmických modelů se používají numerické nebo simulační přístupy. V numerickém přístupu je množina matematických vztahů nahrazena konečnorozměrnou analogií (např. přechod z funkce spojitého argumentu k funkci diskrétního argumentu). Poté je sestaven výpočetní algoritmus, tzn. posloupnosti aritmetických a logických operací. Nalezené řešení diskrétního analogu je bráno jako přibližné řešení původního problému. V simulačním přístupu je samotný modelovací objekt diskretizován a jsou sestavovány modely jednotlivých prvků systému.

2. Podle formy prezentace matematických modelů se rozlišují:

1) Invariantní model – matematický model reprezentovaný soustavou rovnic (diferenciálních, algebraických) bez zohlednění metod řešení těchto rovnic.

2) Algebraický model - vztahy modelů jsou spojeny s vybranou numerickou metodou řešení a jsou zapsány ve formě algoritmu (sekvence výpočtů).

3) Analytický model – představuje explicitní závislosti hledaných proměnných na daných hodnotách. Takové modely jsou získávány na základě fyzikálních zákonů nebo jako výsledek přímé integrace původních diferenciálních rovnic pomocí tabulkových integrálů. Patří sem i regresní modely získané na základě výsledků experimentu.

4) Grafický model je prezentován ve formě grafů, náhradních obvodů, schémat a podobně. Pro použití grafických modelů musí existovat pravidlo jednoznačné shody mezi konvenčními obrazy prvků grafického modelu a složkami invariantního matematického modelu.

3. V závislosti na typu kritéria účinnosti a uložených omezení se modely dělí na lineární a nelineární. V lineárních modelech jsou kritériem výkonu a uloženými omezeními lineární funkce proměnných modelu (neboli nelineární modely). Předpoklad lineární závislosti kritéria účinnosti a souboru zavedených omezení na modelové proměnné je v praxi vcelku přijatelný. To vám umožňuje používat dobře vyvinutý lineární programovací aparát k vývoji řešení.

4. S ohledem na časový faktor a oblast použití existují statické a dynamické modely. Pokud všechny veličiny zahrnuté v modelu nezávisí na čase, pak máme statický model objektu nebo procesu (jednorázový snímek informací o objektu). Tito. statický model je model, ve kterém čas není proměnná. Dynamický model umožňuje vidět změny v objektu v průběhu času.

5. V závislosti na počtu rozhodovacích stran existují dva typy matematických modelů: deskriptivní a normativní. V deskriptivním modelu nejsou žádní rozhodovatelé. Formálně je počet takových stran v deskriptivním modelu nulový. Typickým příkladem takových modelů je model systémů hromadné obsluhy. K sestavení deskriptivních modelů lze také použít teorii spolehlivosti, teorii grafů, teorii pravděpodobnosti a statistickou testovací metodu (metoda Monte Carlo).

Normativní model má mnoho aspektů. V zásadě lze rozlišit dva typy normativních modelů: optimalizační modely a herně teoretické modely. V optimalizačních modelech je hlavní úkol vývoje řešení technicky redukován na striktní maximalizaci nebo minimalizaci kritéria účinnosti, tzn. jsou určeny takové hodnoty regulovaných veličin, při kterých kritérium účinnosti dosáhne extrémní hodnoty (maximum nebo minimum).

Pro vývoj řešení zobrazených pomocí optimalizačních modelů se vedle klasických i nových variačních metod (extrémní vyhledávání) nejvíce používají metody matematického programování (lineární, nelineární, dynamické). Herně-teoretický model se vyznačuje velkým počtem stran (nejméně dvěma). Pokud existují dvě strany s protichůdnými zájmy, použije se teorie her, pokud je počet stran větší než dvě a koalice a kompromisy mezi nimi nejsou možné, použije se teorie nekooperativních her. n osob

6. V závislosti na přítomnosti nebo nepřítomnosti náhodných (nebo nejistých) faktorů, deterministické a stochastické matematické modely. V deterministických modelech jsou všechny vztahy, proměnné a konstanty přesně specifikovány, což vede k jednoznačné definici výsledné funkce. Deterministický model je konstruován v případech, kdy faktory ovlivňující výsledek operace lze změřit nebo posoudit poměrně přesně a náhodné faktory buď chybí, nebo je lze zanedbat.

Pokud některé nebo všechny parametry zahrnuté v modelu jsou ze své podstaty náhodné proměnné nebo náhodné funkce, pak je model klasifikován jako stochastický model. Ve stochastických modelech jsou specifikovány zákony rozdělení náhodných veličin, což vede k pravděpodobnostnímu posouzení výsledné funkce a realita je zobrazena jako určitá náhodný proces, jehož průběh a výsledek popisují určité charakteristiky náhodných veličin: matematická očekávání, rozptyly, distribuční funkce atp. Konstrukce takového modelu je možná, pokud existuje dostatek faktografických materiálů pro odhad potřebných rozdělení pravděpodobnosti nebo pokud teorie uvažovaného jevu umožňuje tato rozdělení teoreticky určit (na základě vzorců teorie pravděpodobnosti, limitních vět atd.) .

7. V závislosti na účelech modelování existují popis, optimalizace a řízení modely. V deskriptivních (z latinského descriptio - popis) modelech se studují zákonitosti změny parametrů modelu. Například model pohybu hmotného bodu pod vlivem působících sil na základě druhého Newtonova zákona: . Určení polohy a zrychlení bodu v tento momentčas (vstupní parametry), hmotnost (vlastní parametr) a zákon změny působících sil (vnější vlivy), souřadnice bodu a rychlost můžete určit kdykoliv (výstupní data).

Optimalizační modely slouží k určení toho nejlepšího (optimálního), na základě nějakého kritéria, parametrů modelovaného objektu nebo způsobů řízení tohoto objektu. Optimalizační modely jsou sestaveny pomocí jednoho nebo více popisných modelů a mají několik kritérií pro určení optimality. Na rozsah hodnot vstupních parametrů lze uložit omezení ve formě rovností nebo nerovností souvisejících s charakteristikami uvažovaného objektu nebo procesu. Příkladem optimalizačního modelu je příprava stravy pro konkrétní dietu (vstupními údaji jsou kalorický obsah výrobku, cenové hodnoty atd.).

Modely řízení se používají k rozhodování v různých oblastech cílevědomé lidské činnosti, kdy je z celé množiny alternativ vybráno několik a celkový rozhodovací proces je sledem těchto alternativ. Například výběr zprávy pro propagaci z několika připravených studenty. Složitost úkolu spočívá jak v nejistotě ohledně vstupních dat (zda byla zpráva zpracována samostatně, nebo byla použita práce někoho jiného), tak v cílech (vědecká povaha práce a její struktura, úroveň prezentace a úroveň přípravy). studenta, výsledky experimentu a získané závěry). Protože optimalitu rozhodnutí učiněného ve stejné situaci lze interpretovat různými způsoby, není typ kritéria optimality v modelech řízení předem pevně stanoven. Metody tvorby kritérií optimality v závislosti na typu nejistoty jsou uvažovány v teorii volby a rozhodování, založené na teorii her a operačním výzkumu.

8. Podle výzkumné metody rozlišují analytické, numerické a simulační modely. Analytický model je formalizovaný popis systému, který umožňuje získat explicitní řešení rovnice pomocí dobře známého matematického aparátu. Numerický model se vyznačuje závislostí, která umožňuje pouze dílčí numerická řešení pro konkrétní počáteční podmínky a kvantitativní parametry modelu. Simulační model je soubor popisů systému a vnějších vlivů, algoritmů pro fungování systému nebo pravidel pro změnu stavu systému pod vlivem vnějších a vnitřních poruch. Tyto algoritmy a pravidla neumožňují použití stávajících matematických metod pro analytická a numerická řešení, ale umožňují simulovat proces fungování systému a zaznamenávat zájmové charakteristiky. Dále budou podrobněji prozkoumány některé analytické a simulační modely, přičemž studium těchto konkrétních typů modelů souvisí se specifiky odborných činností studentů v této oblasti vzdělávání.

1.4. Grafické znázornění matematických modelů

V matematice lze formy vztahů mezi veličinami reprezentovat rovnicemi na formě nezávisle proměnné (argument), y– závislá proměnná (funkce). V teorii matematického modelování se nezávislá proměnná nazývá faktor a závislá proměnná se nazývá odezva. Navíc v závislosti na oblasti konstrukce matematického modelu se terminologie poněkud mění. Některé příklady definic faktorů a reakcí v závislosti na oboru studia jsou uvedeny v tabulce 1.

Tabulka 1. Některé definice pojmů „faktor“ a „odpověď“

Při grafickém znázornění matematického modelu budeme faktory a odezvy považovat za proměnné, jejichž hodnoty patří do množiny reálných čísel.

Grafické znázornění matematického modelu je nějaká reakční plocha odpovídající umístění bodů v k- prostor dimenzionálního faktoru X. Vizualizovat lze pouze jednorozměrné a dvourozměrné povrchy odezvy. V prvním případě se jedná o množinu bodů na skutečné rovině a v druhém o množinu bodů tvořících plochu v prostoru (k zobrazení takových bodů je vhodné použít úrovňové čáry - způsob zobrazení reliéfu povrchu prostoru konstruovaného ve dvourozměrném faktorovém prostoru X(obr. 8).

Oblast, ve které je definována odezvová plocha, se nazývá doména definice X *. Tato oblast je zpravidla pouze částí celého faktorového prostoru X(X*Ì X) a je zvýrazněn pomocí omezení uložených na řídicí proměnné x i, napsaný ve formě rovnosti:

x i = Ci , i = 1,…, m;

f j(X) = C j, j = 1,…, l

nebo nerovnosti:

x i min £ x i£ x i max, i= 1,…, k;

f j(X) £ C j, j = 1,…, n,

Zároveň funkce f j(X) může záviset jak na všech proměnných současně, tak na některých z nich.

Omezení typu nerovností charakterizují buď fyzická omezení procesů ve zkoumaném objektu (například teplotní omezení), nebo technická omezení spojená s provozními podmínkami objektu (např. nejvyšší rychlostřezání, omezení zásob surovin).

Možnosti studia modelů výrazně závisí na vlastnostech (reliéfu) reakční plochy, zejména na počtu na ní přítomných „vrcholů“ a jejich kontrastu. Počet vrcholů (údolí) určuje modalita reakční plochy. Pokud existuje jeden vrchol (údolí) v doméně definice na povrchu odezvy, je volán model unimodální.

Charakter změny funkce může být různý (obr. 9).

Model může mít body nespojitosti prvního druhu (obr. 9(a)), body nespojitosti druhého druhu (obr. 9(b)). Obrázek 9(c) ukazuje spojitě diferencovatelný unimodální model.

Pro všechny tři případy uvedené na obrázku 9 je splněn obecný požadavek na unimodalitu:

je-li W(x*) extrémem W, pak z podmínky x 1< x 2 < x* (x 1 >x 2 > x*) následuje po W(x 1)< W(x 2) < W(x*) , если экстремум – максимум, или W(x 1) >W(x 2) > W(x*), pokud je extrém minimum, to znamená, že jak se vzdalujeme od krajního bodu, hodnota funkce W(x) plynule klesá (roste).

Spolu s unimodálními jsou uvažovány modely polymodální (obr. 10).

Další důležitou vlastností plochy odezvy je její kontrast, který ukazuje citlivost výsledné funkce na změny faktorů. Kontrast je charakterizován hodnotami jeho derivátů. Ukažme si kontrastní charakteristiky na příkladu dvourozměrné odezvové plochy (obr. 11).

Tečka A umístěné na „svahu“ charakterizujícím stejný kontrast pro všechny proměnné x i (i=1,2), bod b nachází se v „rokli“, ve které je rozdílný kontrast pro různé proměnné (máme špatnou podmíněnost funkce), bod S nachází se na „náhorní plošině“, kde je nízký kontrast pro všechny proměnné x i označuje blízkost extrému.

1.5. Základní metody konstrukce matematických modelů

Uveďme klasifikaci metod pro formalizovanou reprezentaci simulovaných systémů od V. N. Volkové. a Denisova A.A.. Autoři identifikovali analytické, statistické, množinové, lingvistické, logické a grafické metody. Základní terminologie, příklady teorií rozvíjejících se na základě popsaných tříd metod, jakož i rozsah a možnosti jejich aplikace jsou navrženy v příloze 1.

V praxi systémového modelování se nejvíce používají analytické a statistické metody.

1) Analytické metody pro konstrukci matematických modelů.

Základem terminologického aparátu analytických metod pro konstrukci matematických modelů jsou pojmy klasické matematiky (vzorec, funkce, rovnice a soustava rovnic, nerovnice, derivace, integrál atd.). Tyto metody se vyznačují srozumitelností a platností terminologie využívající jazyk klasické matematiky.

Na základě analytických konceptů vznikaly a byly rozvíjeny takové matematické teorie jako klasická matematická analýza (např. metody studia funkcí) a moderní základy matematického programování a teorie her. Matematické programování (lineární, nelineární, dynamické, celočíselné atd.) navíc obsahuje jak prostředky formulace problému, tak rozšiřuje možnosti dokazování adekvátnosti modelu na rozdíl od řady jiných oblastí matematiky. Myšlenky optimálního matematického programování pro řešení ekonomických (zejména řešení problému optimálního řezání překližky) problémů navrhl L.V. Kantorovič.

Vysvětleme vlastnosti metody na příkladu.

Příklad. Předpokládejme, že pro výrobu dvou typů výrobků A A V musí být použity tři druhy surovin. Současně pro výrobu jednotky výrobku typu A Spotřebovávají se 4 jednotky. suroviny prvního typu, 2 jednotky. 2. a 3. jednotka. 3. typ. Pro výrobu jednotky produktu typu V Jsou spotřebovány 2 jednotky. suroviny 1. druhu, 5 ks. 2. typ a 4 jednotky. 3. druh suroviny. V továrním skladu je 35 jednotek. suroviny 1. druhu, 43 - 2., 40 - 3. druhu. Z prodeje jednotky produktu typu A továrna má zisk 5 tisíc rublů az prodeje jednotky výrobku typu V zisk je 9 tisíc rublů. Je nutné vytvořit matematický model problému, který zajistí dosažení maximálního zisku.

Míry spotřeby jednotlivých druhů surovin pro výrobu jednotky daného typu výrobku jsou uvedeny v tabulce. Udává také zisk z prodeje každého druhu výrobku a celkové množství surovin tohoto typu, které může podnik využít.

Označme podle x 1 A x 2 objem vyrobených produktů A A V respektive. Náklady na materiál první třídy pro plán budou 4x 1 + 2x 2, a neměly by překročit rezervy, tzn. 35 kg:

4x 1 + 2x 2 35.

Omezení pro materiál druhé třídy jsou podobná:

2x 1 + 5x 2 43,

a podle materiálu třetí třídy

3x 1 + 4x 2 40.

Zisk z prodeje x 1 jednotky výroby A a x 2 jednotky výroby B budou z = 5x 1+ 9x 2(Objektivní funkce).

Dostali jsme model úlohy:

Grafické řešeníÚlohy jsou znázorněny na obrázku 11.

Optimální (nejlepší, tj. maximální funkce z) řešení úlohy je v bodě A (řešení je vysvětleno v kapitole 5).

Mám to x 1=4,x 2=7, funkční hodnota z v bodě A: .

Hodnota maximálního zisku je tedy 83 tisíc rublů.

Kromě grafické metody existuje řada speciálních metod pro řešení problému (například simplexová metoda) nebo se používají aplikační balíčky, které je implementují. Podle typu účelové funkce se rozlišuje lineární a nelineární programování, podle charakteru proměnných se rozlišuje celočíselné programování.

Můžeme zdůraznit obecné rysy matematického programování:

1) zavedení konceptu objektivní funkce a omezení jsou prostředky k nastolení problému;

2) je možné kombinovat heterogenní kritéria (různé dimenze, v příkladu – zásoby surovin a zisk) v jednom modelu;

3) matematický programovací model umožňuje dosažení hranice oblasti přípustných hodnot proměnných;

4) možnost realizace krok za krokem algoritmus získání výsledků (krok za krokem) optimální řešení);

5) srozumitelnost dosažená geometrickou interpretací problému, která pomáhá v případech, kdy není možné problém formálně vyřešit.

2) Statistické metody pro konstrukci matematických modelů.

Statistické metody pro konstrukci matematických modelů se rozšířily a začaly být široce používány s rozvojem teorie pravděpodobnosti v 19. století. Jsou založeny na pravděpodobnostních vzorcích náhodných (stochastických) událostí, které odrážejí skutečné jevy. Pojem „stochastický“ je objasněním pojmu „náhodný“, označující předem stanovené, specifické příčiny ovlivňující proces, a pojem „náhodný“ je charakterizován nezávislostí na vlivu či nepřítomnosti takových příčin.

Statistické vzory jsou prezentovány ve formě diskrétních náhodných proměnných a vzorců výskytu jejich hodnot nebo ve formě spojitých závislostí rozložení událostí (procesů). Teoretický základ Konstrukce stochastických modelů je podrobně popsána v kapitole 2.

Kontrolní otázky

1. Formulujte hlavní problém matematického modelování.

2. Definujte matematický model.

3. Uveďte hlavní nevýhody experimentálního přístupu ve výzkumu.

4. Uveďte hlavní fáze stavby modelu.

5. Vyjmenujte typy matematických modelů.

6. Dávejte stručný popis typy modelů.

7. Jakou formu má matematický model reprezentovaný geometricky?

8. Jak jsou definovány matematické modely analytického typu?

Úkoly

1. Vytvořte matematický model pro řešení problému a model klasifikujte:

1) Určete maximální kapacitu válcového kbelíku, jehož povrch (bez víka) je roven S.

2) Firma zajišťuje pravidelnou výrobu výrobků s bezproblémovým zásobováním komponentami od dvou subdodavatelů. Pravděpodobnost odmítnutí dodávky od prvního ze subdodavatelů je , a od druhého - . Najděte pravděpodobnost selhání v provozu podniku.

2. Malthusův model (1798) popisuje reprodukci populace rychlostí úměrnou její velikosti. V diskrétní formě je tento zákon geometrickou progresí: ; nebo .Zákon napsaný ve formě diferenciální rovnice je modelem exponenciálního růstu populace a dobře popisuje růst buněčných populací bez jakéhokoli omezení: . Nastavte počáteční podmínky a předveďte model.

MATEMATICKÉ SCHÉMA PRO MODELOVÁNÍ SYSTÉMU

ZÁKLADNÍ PŘÍSTUPY KE KONSTRUKCI MATEMATICKÝCH MODELŮ SYSTÉMŮ

Výchozí informací při konstrukci matematických modelů procesů fungování systémů jsou údaje o účelu a provozních podmínkách studovaného (navrhovaného) systému. S. Tyto informace definují hlavní účel modelování systému S a umožňuje formulovat požadavky na vyvinutý matematický model M.Úroveň abstrakce navíc závisí na rozsahu otázek, které chce systémový výzkumník pomocí modelu zodpovědět, a do jisté míry určuje výběr matematického schématu.

Matematická schémata. Zavedení pojmu matematické schéma nám umožňuje považovat matematiku nikoli za metodu výpočtu, ale za metodu myšlení, za prostředek formulování pojmů, což je nejdůležitější při přechodu od slovního popisu systému k formální reprezentace procesu jeho fungování ve formě nějakého matematického modelu (analytického nebo simulačního). Při použití matematického schématu by se v prvé řadě měla badatele systému S zajímat o otázku adekvátnosti zobrazení ve formě konkrétních diagramů reálných procesů ve zkoumaném systému, nikoli o možnost získat odpověď (výsledek řešení) na konkrétní výzkumnou otázku. Například znázornění procesu fungování sdíleného informačního výpočetního systému ve formě sítě schémat řazení umožňuje dobře popsat procesy probíhající v systému, ale vzhledem ke složitým zákonitostem příchozích toků a toků služeb, neumožňují získat výsledky v explicitní formě.

Matematické schéma lze definovat jako vazbu přechodu od smysluplného k formálnímu popisu procesu fungování systému s přihlédnutím k vlivu vnějšího prostředí, tj. existuje řetězec „popisný model - matematické schéma - matematické (analytické a/ nebo simulační) model“.

Každý konkrétní systém S je charakterizován souborem vlastností, které jsou chápány jako veličiny odrážející chování simulovaného objektu (reálného systému) a zohledňující podmínky jeho fungování v interakci s vnějším prostředím (systémem) E. Při konstrukci matematického modelu systému je nutné vyřešit otázku jeho úplnosti. Úplnost modelu je regulována především volbou hranice „systém S - prostředí“. E» . Musí být také vyřešen problém zjednodušení modelu, což pomáhá zvýraznit hlavní vlastnosti systému a vyřadit ty vedlejší. Klasifikace vlastností systému na primární nebo sekundární navíc výrazně závisí na účelu modelování systému (například analýza pravděpodobnostně-časových charakteristik procesu fungování systému, syntéza struktury systému atd.) .

Formální model objektu. Model modelovacího objektu, tj. systému S, lze reprezentovat jako množinu veličin, které popisují proces fungování reálného systému a obecně tvoří tyto podmnožiny: množina vstupní vlivy na systém

;

celek vlivy prostředí

;

celek vnitřní (vlastní) parametry systémy

;

celek výstupní charakteristiky systémy

.

Navíc v uvedených podmnožinách lze rozlišit řízené a neovladatelné proměnné. Obecně , , , jsou prvky disjunktních podmnožin a obsahují jak deterministické, tak stochastické složky.

Při modelování systému S, vstupní vlivy, vlivy prostředí E a vnitřní parametry systému jsou nezávislé (exogenní) proměnné, které ve vektorové podobě mají tvar , , , resp a výstupní charakteristiky systému jsou závislé (endogenní) proměnné a ve vektorové podobě mají tvar ).

Proces fungování systému S je v čase popsán operátorem F s , který obecně transformuje exogenní proměnné na endogenní v souladu se vztahy formy

. (1)

Sada závislostí výstupních charakteristik systému na čase y j (t) pro všechny typy
volal výstupní cesta
. Závislost (1) se nazývá zákon fungování systémuS a je určeno F s . Obecně zákon fungování systému F s mohou být specifikovány ve formě funkce, funkcionálních, logických podmínek, v algoritmické a tabulkové formě nebo ve formě slovního párovacího pravidla.

Velmi důležitý pro popis a studium systému S je koncept fungující algoritmusA s , což je chápáno jako metoda pro získání výstupních charakteristik zohledňující vstupní vlivy
, vlivy prostředí
a vlastní systémové parametry
. Je zřejmé, že stejný provozní zákon F s systém S může být implementován různými způsoby, tj. pomocí mnoha různých operačních algoritmů A s .

Vztahy (1) jsou matematickým popisem chování modelujícího objektu (systému) v čase t, tj. odrážejí jeho dynamické vlastnosti. Proto se obvykle nazývají matematické modely tohoto typu dynamické modely(systémy).

Pro statické modely matematický model (1) je mapování mezi dvěma podmnožinami vlastností modelovaného objektu Y A { X, PROTI, N), který ve vektorové podobě lze zapsat jako

. (2)

Vztahy (1) a (2) lze specifikovat různými způsoby: analyticky (pomocí vzorců), graficky, tabulkově atd. Takové vztahy lze v řadě případů získat prostřednictvím vlastností systému S v konkrétních časech, tzv. státy. Stav systému S je charakterizován vektory

A
,

Kde
,
, …,
v určitém okamžiku
;
,
, …,
v určitém okamžiku
atd.,
.

Uvažujeme-li proces fungování systému S jako sekvenční změnu stavů
, pak je lze interpretovat jako souřadnice bodu v Na-rozměrný fázový prostor. Navíc každá implementace procesu bude odpovídat určité fázové trajektorii. Množina všech možných hodnot stavu volal státní prostor modelovací objekt Z, a
.

Stavy systému S v časovém okamžiku t 0 < t*T jsou zcela určeny výchozími podmínkami
[Kde
,
, …,
], vstupní vlivy
, vlastní systémové parametry
a vlivy prostředí
, které se odehrály v určitém časovém období t*- t 0 , S pomocí dvou vektorových rovnic

; (3)

. (4)

První rovnice pro počáteční stav a exogenních proměnných
definuje vektorovou funkci
, a druhý podle získané hodnoty stavů
- endogenních proměnných na výstupu systému
. Řetězec rovnic objektu „vstup-stavy-výstup“ tedy umožňuje určit vlastnosti systému

. (5)

Obecně lze čas v modelu systému S považovat za modelovací interval (0, T) spojité i diskrétní, tj. kvantované do segmentů délky
časové jednotky pokaždé, když
, Kde
- počet vzorkovacích intervalů.

Tedy pod matematický model objektu(reálného systému) rozumět konečné podmnožině proměnných (
} spolu s matematickými souvislostmi mezi nimi a charakteristikami
.

Pokud matematický popis modelovacího objektu neobsahuje náhodné prvky nebo se s nimi nepočítá, t.j. lze-li předpokládat, že v tomto případě stochastické vlivy vnějšího prostředí
a stochastické vnitřní parametry
chybí, pak je model volán deterministický v tom smyslu, že charakteristiky jsou jednoznačně určeny deterministickými vstupními vlivy

. (6)

Je zřejmé, že deterministický model je speciálním případem stochastického modelu.

Typická schémata. Uvedené matematické vztahy představují obecná matematická schémata a umožňují popsat širokou třídu systémů. V praxi modelování objektů v oblasti systémového inženýrství a systémové analýzy je však v počátečních fázích systémového výzkumu racionálnější použít typická matematická schémata: diferenciální rovnice, konečné a pravděpodobnostní automaty, systémy řazení, Petriho sítě atd.

Typická matematická schémata, která nemají stejný stupeň obecnosti jako uvažované modely, mají výhody jednoduchosti a srozumitelnosti, ale s výrazným zúžením aplikačních možností. Jako deterministické modely, kdy se při studiu neberou v úvahu náhodné faktory, se k reprezentaci systémů pracujících v nepřetržitém čase používají diferenciální, integrální, integrodiferenciální a další rovnice a k reprezentaci systémů pracujících v diskrétním čase se používají schémata konečných rozdílů. Jako stochastické modely (s přihlédnutím k náhodným faktorům) se pro reprezentaci systémů s diskrétním časem používají pravděpodobnostní automaty a pro reprezentaci systémů se spojitým časem systémy řazení atd.

Uvedená standardní matematická schémata si přirozeně nemohou tvrdit, že jsou schopna na jejich základě popsat všechny procesy probíhající ve velkých informačních a řídicích systémech. Pro takové systémy je v některých případech slibnější použití agregačních modelů.

Agregátní modely (systémy) umožňují popsat širokou škálu výzkumných objektů, odrážejících systémovou povahu těchto objektů. Právě agregačním popisem je komplexní objekt (systém) rozdělen na konečný počet částí (subsystémů), přičemž jsou zachovány vazby, které zajišťují interakci částí.

Při konstrukci matematických modelů procesů fungování systémů lze tedy rozlišovat tyto hlavní přístupy: spojité-deterministické (například diferenciální rovnice); diskrétně-deterministické (konečné automaty); diskrétně-stochastické (pravděpodobnostní automaty); kontinuálně-stochastické (systémy řazení); zobecněné nebo univerzální (agregátní systémy).

KONTINUÁLNÍ DETERMINISTICKÉ MODELY (D-SCHÉMA)

Podívejme se na rysy spojitě deterministického přístupu na příkladu použití diferenciálních rovnic jako matematických modelů. Diferenciální rovnice Jedná se o rovnice, ve kterých jsou funkce jedné nebo více proměnných neznámé a rovnice zahrnuje nejen funkce, ale i jejich derivace různých řádů. Jsou-li neznámé funkcemi mnoha proměnných, pak se rovnice nazývají parciální diferenciální rovnice, v opačném případě, při uvažování funkcí pouze jedné nezávisle proměnné, se rovnice nazývají obyčejné diferenciální rovnice.

Základní vztahy. Typicky v takových matematických modelech čas slouží jako nezávislá proměnná, na které závisí neznámé neznámé funkce. t. Potom bude matematický vztah pro deterministické systémy (6) v obecném tvaru

, (7)

Kde
,
A
- P-rozměrné vektory;
- vektorová funkce, která je definována na nějakém ( P+1)-rozměrný
nastaveno a je nepřetržité.

Jelikož matematická schémata tohoto typu odrážejí dynamiku zkoumaného systému, tedy jeho chování v čase, jsou tzv. D- schémata(Angličtina) dynamický).

V nejjednodušším případě má obyčejná diferenciální rovnice tvar

. (8)

Nejdůležitější aplikace pro systémové inženýrství D- schémata jako matematický aparát v teorii automatického řízení. Chcete-li ilustrovat rysy konstrukce a aplikace D-schémů, zvažte nejjednodušší příklad formalizace procesu fungování dvou elementárních systémů různé fyzikální povahy: mechanické S M (kmity kyvadla, obr. 1, a) a elektrický S K (oscilační obvod, obr. 1, b).

Rýže. 1. Elementární systémy

Proces malých kmitů kyvadla popisuje obyčejná diferenciální rovnice

Kde
- hmotnost a délka závěsu kyvadla; G - zrychlení volného pádu;
- úhel vychýlení kyvadla v okamžiku času t.

Z této rovnice pro volné kmitání kyvadla lze nalézt odhady zájmových charakteristik. Například perioda kmitání kyvadla

.

Podobně jsou procesy v elektrickém oscilačním obvodu popsány obyčejnou diferenciální rovnicí

Kde L Na , S Na - indukčnost a kapacita kondenzátoru; q(t) - nabíjení kondenzátoru v čase t.

Z této rovnice lze získat různé odhady charakteristik procesu v oscilačním obvodu. Například perioda elektrických oscilací

.

Je zřejmé, že zavedením notace
,
, ,
, získáme obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu popisující chování tohoto uzavřeného systému:

Kde
- systémové parametry; z(t) - stavu systému v daném okamžiku t.

Chování těchto dvou objektů lze tedy studovat na základě obecného matematického modelu (9). Kromě toho je třeba poznamenat, že chování jednoho ze systémů lze analyzovat pomocí druhého. Například chování kyvadla (systém S M) lze studovat pomocí elektrického oscilačního obvodu (systém S K).

Pokud je studovaný systém S, tedy kyvadlo nebo obvod, interaguje s vnějším prostředím E, pak se objeví vliv vstupu X(t) (vnější síla pro kyvadlo a zdroj energie pro obvod) a spojitě deterministický model takového systému bude mít tvar

Z hlediska obecného schématu matematického modelu X(t) je vstupní (řídící) akce a stav systému S lze v tomto případě považovat za výstupní charakteristiku, tj. předpokládejme, že výstupní proměnná se shoduje se stavem systému v daném časovém okamžiku y =z.

Možné aplikace. Při řešení problémů systémového inženýrství mají velký význam problémy řízení velkých systémů. Věnujte pozornost systémům automatické ovládání- popsaný speciální případ dynamických systémů D- schémata a zařazeny do samostatné třídy modelů kvůli jejich praktické specifičnosti.

Při popisu procesů automatického řízení se obvykle drží zobrazení reálného objektu v podobě dvou systémů: řídícího a řízeného (řídicí objekt). Struktura obecného vícerozměrného automatického řídicího systému je znázorněna na Obr. 2, kde jsou uvedeny endogenních proměnných:
- vektor vstupních (nastavení) vlivů;
- vektor rušivých vlivů;
- vektor chybových signálů;
- vektor řídících akcí; exogenních proměnných:
- vektor stavu systému S;
- vektor výstupních proměnných, obvykle
=
.

Rýže. 2. Struktura systému automatického řízení

Moderní řídicí systém je soubor softwarových a hardwarových nástrojů, které zajišťují, že ovládaný objekt dosáhne určitého cíle. Jak přesně řídicí objekt dosáhne daného cíle, lze u jednorozměrného systému posoudit podle souřadnic stavu y(t). Rozdíl mezi daným na osel (t) a platné y(t) zákon změny regulované veličiny je regulační chybou . Pokud předepsaný zákon změny řízené veličiny odpovídá zákonu změny vstupního (množiny) vlivu, tzn.
, Že
.

Systémy, které řídí chyby
v každé době se nazývají ideální. V praxi je implementace ideálních systémů nemožná. Takže chyba h"(t) - nezbytný prvek automatického řízení na principu záporu zpětná vazba, protože odpovídá výstupní proměnné y(t) jeho nastavená hodnota využívá informaci o odchylce mezi nimi. Úkolem automatického řídicího systému je měnit proměnnou y(t) podle daného zákona s určitou přesností (s přijatelnou chybou). Při návrhu a provozu systémů automatického řízení je nutné zvolit následující parametry systému S, což by zajistilo požadovanou přesnost řízení a také stabilitu systému v přechodném procesu.

Je-li systém stabilní, pak je praktický zájem o chování systému v čase, maximální odchylka řízené veličiny y(t) v přechodovém procesu, doba přechodného děje atd. Závěry o vlastnostech systémů automatického řízení různých tříd lze vyvodit z typu diferenciálních rovnic, které přibližně popisují procesy v systémech. Pořadí diferenciální rovnice a hodnoty jejích koeficientů jsou zcela určeny statickými a dynamickými parametry systému S.

Takže pomocí D- schémata umožňuje formalizovat proces fungování spojitě deterministických systémů S a vyhodnocovat jejich hlavní charakteristiky pomocí analytického nebo simulačního přístupu, implementovaného ve formě vhodného jazyka pro modelování spojitých systémů nebo pomocí analogových a hybridních výpočetních nástrojů.