Ikkilik arifmetika

Parametr nomi	Ma'nosi
Maqola mavzusi:	Ikkilik arifmetika
Rubrika (tematik toifa)	Kompyuter fanlari

Ikkilik sanoq sistemasi

Kompyuterlar bilan ishlashda foydalaniladigan sanoq sistemalari

Baza P = 2. Alifbo ikkita ikkilik raqamni o'z ichiga oladi: 0, 1. Har qanday son C = C n C n-1 ...C 1 C 0 C -1 C -m P = 2 sonining darajalari yig'indisi. ,

C = C n × 2 n +C n-1 × 2 n-1 +…+C 1 × 2 1 +C 0 × 2 0 +C -1 × 2 -1 +…+C -m × 2 -m

3.6-misol.

101011.11 2 =1×2 5 + 0×2 4 + 1×2 3 + 0×2 2 +1×2 1 + 1×2 0 +1×2 -1 + 1×2 -2 = 32+8 +2 +1+0,5+0,25=43,75 10.

Ikkilik sanoq sistemasidagi raqamlarning og‘irliklari o‘nli kasrning chap tomonida 1, 4, 8,16,... va 0,5; 0,25; 0,125; 0,625;... kasrning o'ng tomonida.

Ba'zan dasturlashda qo'llaniladi o'n oltilik yozuv. O'n oltilik sanoq sistemasida 9 dan katta raqamlarni ifodalash uchun lotin harflari A, B, C, D, E, F qo'llaniladi.O'nlik, ikkilik va o'n oltilik sanoq sistemalarida birinchi o'n olti sonning tasvirlari Jadvalda keltirilgan. 2.

Kod jadvali turli tizimlar o'lik hisob

jadval 2

O'nlik sistema	Ikkilik tizim	O'n oltilik tizim	O'nlik sistema	Ikkilik tizim	O'n oltilik tizim
					A
					B
					C
					D
					E
					F

Ikkilik oʻnlik Sanoq sistemasi zamonaviy kompyuterlarda o‘nlik sanoq sistemasiga o‘tkazish qulayligi va aksincha tufayli keng tarqaldi. Mashinaning texnik tuzilishining soddaligiga emas, balki foydalanuvchining qulayligiga asosiy e'tibor qaratiladigan joylarda qo'llaniladi. Bu sanoq sistemasida barcha o'nlik raqamlar alohida to'rtta ikkilik raqam bilan kodlangan.

3.7-misol.

BCD dagi 9703 o'nlik soni quyidagicha ko'rinadi: 1001 0111 0000 0011.

Raqamli kompyuter nuqtai nazaridan ikkilik sanoq sistemasining o‘nlik sanoq sistemasiga nisbatan afzalligi quyidagilardan iborat:

• ikkita barqaror holatga ega elementlar talab qilinadi;
• arifmetik amallar sezilarli darajada soddalashtirilgan;
• 1,5 baravar kam uskunalar talab qilinadi;
• sxemalarni tahlil qilish va sintez qilish uchun matematik mantiq apparatidan foydalanish imkonini beradi.

Ikkilik sanoq sistemasining kamchiliklari quyidagilardan iborat:

• katta raqam yozish uzunligi;
• Ma'lumotni kiritish va chiqarishda o'nlik sanoq tizimiga o'tkazish talab qilinadi.

Ikkilik arifmetikada asosiy amallar qanday bajarilishini ko'rib chiqamiz.

Barcha pozitsion sanoq sistemalarida arifmetika qoidalari bir xil, ᴛ.ᴇ. qo'shish, ko'paytirish va ayirish eng kichik raqamlardan, bo'lish - eng yuqori raqamlardan boshlanadi.

Qo'shish paytida tashish birligi qo'shni eng muhim raqamning raqamlariga qo'shiladi. Ayirilganda, eng yuqori raqamdagi qarz birligi eng past qo'shni raqamda ikkita birlikni beradi.

3.8-misol

Ikkilik sonlarni ko'paytirish o'nlik sonlarni ko'paytirishga o'xshaydi, lekin... Agar biz faqat 0 va 1 ga ko'paytirsak, u holda ko'paytirish siljish va qo'shish operatsiyasiga kamayadi.

3.9-misol

Binar arifmetika - tushunchasi va turlari. "Ikkilik arifmetika" toifasining tasnifi va xususiyatlari 2017, 2018.

- Ikkilik arifmetika

Chunki axborot jarayonlari V raqamli tizimlar faqat 0 va 1 qiymatlarini oling, keyin ma'lumotlarni taqdim etish ikkilik raqamlar yordamida amalga oshiriladi. Ikkilik sonlarni qo'shish va ayirish, shuningdek, barcha boshqa arifmetik amallar xuddi... kabi qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi.

- Ikkilik sanoq sistemasi va ikkilik arifmetika

Ikkilik sanoq sistemasida o‘nlik sanoq sistemasidagi kabi sonlar bilan amallarni bajarish mumkin. Qo'shish o'nlik sanoq sistemasidagi kabi printsip asosida amalga oshiriladi: agar berilgan raqam unga mos kelmaydigan miqdorni hosil qilsa, u holda ...

, "Dars uchun taqdimot" tanlovi

Dars uchun taqdimot

Orqaga oldinga

Diqqat! Ko‘rib chiqish Slaydlar faqat ma'lumot uchun mo'ljallangan va taqdimotning barcha xususiyatlarini aks ettirmasligi mumkin. Agar qiziqsangiz bu ish, iltimos, toʻliq versiyasini yuklab oling.

Darsning maqsadi: (2-slayd)

1. Talabalarni ikkilik sanoq sistemasi bilan tanishtirish.
2. Ikkilik sonlar bilan arifmetik amallarni bajarish malakalarini shakllantirish

Darslar davomida

I. Darsning boshlanishi

O'qituvchi: Ikkilik sanoq tizimini yaxshiroq o'zlashtirish uchun ikkilik sonlar ustida arifmetik amallarni bajarishni o'zlashtirish kerak.

Barcha pozitsion sanoq tizimlari "bir xil", ya'ni ularning barchasida arifmetik amallar bir xil qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi:

• arifmetikaning bir xil qonunlari amal qiladi: kommutativ, assotsiativ, distributiv;
• qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish qoidalari amal qiladi;
• Arifmetik amallarni bajarish qoidalari qo'shish va ko'paytirish jadvallariga asoslanadi.

Arifmetik amallarni bajarish qoidalarini ko'rib chiqamiz

II. Yangi materialni o'rganish

Ustunga bo'lishda siz oraliq natijalar sifatida ko'paytirish va ayirish amallarini bajarishingiz kerak. Ammo ikkilik sanoq tizimida oraliq ko'paytirishlar bo'luvchini 0 yoki 1 ga ko'paytirishga qisqartiriladi, shuning uchun eng qiyin operatsiya ayirish bo'lib qoladi, siz buni aniq bajarishni o'rganishingiz kerak.

III. O'rganilgan narsalarni mustahkamlash. (slayd 12)

Yigitlar ishni o'zlari bajaradilar. Keyin javoblar bilan slaydni oching.

Javoblar. (13-slayd)

IV. Uyga vazifa (14-slayd)

1. Ikkilik sanoq sistemasida arifmetik amallarni bajarish qoidalarini bilib oling.

2. Quyidagi amallarni bajaring:

1. 110010+11,01
2. 1111001-1101
3. 10101,1*11
4. 10101110:101

uy \ Hujjatlar \ Informatika o'qituvchisi uchun

Ushbu saytdagi materiallardan foydalanganda - va banner qo'yish MAJburiy!!!

Ikkilik arifmetika

Biz foydalanishga odatlangan raqamlar o'nlik deb ataladi va biz foydalanadigan arifmetik ham o'nlik deb ataladi. Buning sababi shundaki, har bir raqam 10 ta belgidan iborat raqamlar to'plamidan tuzilishi mumkin - raqamlar - "0123456789".

Matematika shunday rivojlanganki, bu alohida to'plam asosiy bo'ldi, lekin o'nlik arifmetika yagona emas. Agar biz faqat beshta raqamni olsak, ular asosida besh xonali arifmetikani va etti raqamdan etti xonali arifmetikani qurishimiz mumkin. Bilan bog'liq bo'lgan sohalarda kompyuter uskunalari raqamlar o'n olti raqamdan iborat bo'lgan arifmetika ko'pincha ishlatiladi; shunga ko'ra, bu arifmetika o'n oltilik deb ataladi. O'nlik bo'lmagan arifmetikada son nima ekanligini tushunish uchun avvalo o'nlik arifmetikada son nima ekanligini bilib olamiz.

Masalan, 246 raqamini olaylik. Bu belgi raqamda ikki yuzlik, to‘rtta o‘nlik va oltita birlik borligini bildiradi. Shunday qilib, biz quyidagi tenglikni yozishimiz mumkin:

246 = 200 + 40 + 6 = 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0

Bu erda teng belgilar bir xil raqamni yozishning uchta usulini ajratib turadi. Belgilanishning uchinchi shakli biz uchun hozir eng qiziq: 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0 . U quyidagicha tuzilgan:

Bizning raqamimiz uchta raqamdan iborat. Etakchi raqam "2" raqami 3. Shunday qilib, ikkinchi darajaga 10 ga ko'paytiriladi. Keyingi raqam "4" 2 seriya raqamiga ega va birinchisida 10 ga ko'paytiriladi. Raqamlar raqamning seriya raqamidan bir kam bo'lgan darajaga o'nga ko'paytirilishi allaqachon aniq. Yuqoridagilarni tushunib, biz o'nlik sonni ifodalashning umumiy formulasini yozishimiz mumkin. Keling, N ta raqamli raqam berilsin. belgilaymiz i-raqam i orqali. Keyin sonni quyidagi shaklda yozish mumkin: a n a n-1 ....a 2 a 1 . Bu birinchi shakl va uchinchi ariza shakli quyidagicha ko'rinadi:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 10 n-1 + a n-1 * 10 n-2 + …. + a 2 * 10 1 + a 1 * 10 0

bu erda a i "0123456789" to'plamidagi belgidir

Ushbu yozuvda o'nlikning roli juda aniq ko'rinadi. O'n sonlarni shakllantirish uchun asosdir. Aytgancha, u "sanoq tizimining asosi" deb ataladi va sanoq tizimining o'zi nima uchun "o'nlik" deb nomlanadi. Albatta, o'n raqam hech qanday maxsus xususiyatlarga ega emas. Biz o'nni osongina boshqa istalgan raqam bilan almashtira olamiz. Masalan, besh xonali sanoq sistemasidagi sonni quyidagicha yozish mumkin:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 5 n-1 + a n-1 * 5 n-2 + …. + a 2 * 5 1 + a 1 * 5 0

bu erda a i "01234" to'plamidagi belgidir

Umuman olganda, biz 10 ni istalgan boshqa raqam bilan almashtiramiz va butunlay boshqa sanoq tizimi va boshqa arifmetikani olamiz. Eng oddiy arifmetika 10 soni 2 ga almashtirilsa olinadi. Hosil bolgan sanoq sistemasi ikkilik deb ataladi va undagi son quyidagicha aniqlanadi:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 2 n-1 + a n-1 * 2 n-2 + …. + a 2 * 2 1 + a 1 * 2 0

bu erda a i "01" to'plamidagi belgidir

Bu tizim mumkin bo'lgan eng oddiy tizimdir, chunki unda har qanday raqam faqat ikkita 0 va 1 raqamlaridan hosil bo'ladi. Bu oddiyroq bo'lishi mumkin emasligi aniq. Ikkilik sonlarga misollar: 10, 111, 101.

Juda muhim savol. Ikkilik sonni o'nlik son sifatida va aksincha ko'rsatish mumkinmi? kasrli raqam uni ikkilik shaklda ifodalang.

Ikkilikdan o'nlikgacha. Bu juda oddiy. Bunday tarjima qilish usuli raqamlarni yozish usuli bilan berilgan. Masalan, quyidagi ikkilik sonni olaylik 1011. Keling, uni ikkita darajaga kengaytiramiz. Biz quyidagilarni olamiz:

1011 = 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0

Keling, barcha qayd etilgan amallarni bajaramiz va olamiz:

1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0 = 8 + 0+ 2 + 1 = 11. Shunday qilib, biz 1011 (ikkilik) = 11 (o'nlik) ni olamiz. Ikkilik tizimning engil noqulayligi darhol ko'rinadi. Ikkilik tizimda bir raqam bilan o'nli tizimda yozilgan bir xil raqam uni yozish uchun to'rtta raqamni talab qiladi. Lekin bu oddiylik uchun narx (hech narsa bepul kelmaydi). Ammo ikkilik tizim arifmetik operatsiyalarda katta daromad beradi. Va buni keyinroq ko'ramiz.

Quyidagi ikkilik sonlarni kasr shaklida ifodalang.

a) 10010 b) 11101 c) 1010 c) 1110 d) 100011 e) 1100111 f) 1001110

Ikkilik sonlarni qo'shish.

Ustun qo'shish usuli odatda o'nlik son bilan bir xil. Ya'ni qo'shish eng kam muhim raqamdan boshlab bit bo'yicha amalga oshiriladi. Agar ikkita raqam qo'shilganda, SUM to'qqizdan katta bo'lsa, unda = SUM - 10 raqami yoziladi va eng muhim raqamga BUTUN QISM (SUM / 10) qo'shiladi. (Ustunga bir nechta raqam qo'shing, bu qanday amalga oshirilishini eslang.) Ikkilik raqam bilan ham xuddi shunday. Eng past raqamdan boshlab birma-bir qo'shing. Agar natija 1 dan ortiq bo'lsa, u holda 1 yoziladi va eng muhim raqamga 1 qo'shiladi (ular "boshimning tepasida" deyishadi).

Keling, misol qilaylik: 10011 + 10001.

Birinchi toifa: 1+1 = 2. 0 va 1 ni xayolimizga kelgandek yozamiz.

Ikkinchi toifa: 1+0+1(xotira birligi) =2. Biz 0 va 1 ni yozamiz, bu xayolga keldi.

Uchinchi toifa: 0+0+1(xotira birligi) = 1. 1ni yozing.

To'rtinchi toifa 0+0=0. Biz 0 yozamiz.

Beshinchi toifa 1+1=2. Biz 0 ni yozamiz va oltinchi raqamga 1 qo'shamiz.

Keling, uchta sonni ham o'nlik kasr tizimiga o'tkazamiz va qo'shishning to'g'riligini tekshiramiz.

10011 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 16 + 2 + 1 =19

10001 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 16 + 1 = 17

100100 = 1*2 5 + 0*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0 =32+4=36

17 + 19 = 36 to'g'ri tenglik

Mustaqil yechimlarga misollar:

a) 11001 +101 =

b) 11001 +11001 =

c) 1001 + 111 =

e) 10011 + 101 =

e) 11011 + 1111 =

e) 11111 + 10011 =

O'nlik sonni ikkilik songa qanday o'zgartirish mumkin. Keyingi operatsiya ayirishdir. Ammo biz bu operatsiya bilan biroz keyinroq shug'ullanamiz va endi o'nlik sonni ikkilik tizimga o'tkazish usulini ko'rib chiqamiz.

O'nlik sonni ikkilik sanoqqa aylantirish uchun uni ikki darajali darajaga kengaytirish kerak. Ammo agar o'nta kuchlarning kengayishi darhol qo'lga kiritilgan bo'lsa, unda ikkita kuchni qanday kengaytirish haqida biroz o'ylash kerak. Birinchidan, tanlov usuli yordamida buni qanday qilishni ko'rib chiqaylik. 12 o'nlik sonini olaylik.

Birinchi qadam. 2 2 = 4, bu etarli emas. Bundan tashqari, 2 3 = 8 etarli emas, lekin 2 4 = 16 allaqachon juda ko'p. Shuning uchun biz 2 3 = 8 qoldiramiz. 12 - 8 = 4. Endi siz uni ikki 4 ning kuchi sifatida ko'rsatishingiz kerak.

Ikkinchi qadam. 4 = 2 2 .

Keyin bizning raqamimiz 12 = 2 3 + 2 2. Eng yuqori raqam 4 raqamiga ega, eng yuqori daraja = 3, shuning uchun ikkita 1 va 0 vakolatli atamalar bo'lishi kerak. Lekin bizga kerak emas, shuning uchun keraksiz darajalardan xalos bo'lish va keraklilarini qoldirish uchun , sonni shunday yozamiz: 1*2 3 + 1* 2 2 +0*2 1 + 0*2 0 = 1100 - bu 12 sonining ikkilik koʻrinishi. Har bir ketma-ket quvvat teng ekanligini payqash oson. ikkining eng katta kuchi, bu parchalangan sondan kichikdir. Usulni mustahkamlash uchun boshqa misolni ko'rib chiqaylik. 23 raqami.

1-qadam. Ikkining eng yaqin kuchi 2 4 = 16. 23 -16 = 7.

2-qadam. Ikkining eng yaqin kuchi 2 2 = 4. 7 - 4 = 3

3-qadam. Ikkining eng yaqin kuchi 2 1 = 2. 3 - 2 = 1

4-qadam. Ikkining eng yaqin kuchi 2 0 =1 1 - 1 =0

Biz quyidagi kengaytmani olamiz: 1*2 4 + 0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +1*2 0

Va biz xohlagan ikkilik raqam 10111

Yuqorida ko'rib chiqilgan usul unga berilgan muammoni yaxshi hal qiladi, lekin juda yaxshi algoritmlangan usul mavjud. Ushbu usulning algoritmi quyida yozilgan:

NUMBER noldan katta bo'lsa, shunday qiling

NEXT DIGIT = 2 ga bo'lingan NUMBER ning qoldig'i

NUMBER = NUMBER ning 2 ga bo'lingan butun qismi

Ushbu algoritm o'z ishini tugatgandan so'ng, hisoblangan NEXT DIGITS ketma-ketligi ikkilik sonni ifodalaydi. Masalan, 19 raqami bilan ishlaylik.

Algoritm boshlanishi NUMBER = 19

KEYINGI RAQAM = 1

KEYINGI RAQAM = 1

KEYINGI RAQAM = 0

KEYINGI RAQAM = 0

KEYINGI RAQAM = 1

Shunday qilib, natijada biz quyidagi raqamga ega bo'lamiz 10011. E'tibor bering, muhokama qilingan ikkita usul keyingi raqamlarni olish tartibida farqlanadi. Birinchi usulda olingan birinchi raqam ikkilik sonning eng muhim raqami bo'lib, ikkinchi usulda olingan birinchi raqam, aksincha, eng kam ahamiyatga ega.

O'nli sonlarni ikki usulda ikkilik sanoqli tizimga o'tkazing

a) 14 b) 29 c) 134 d) 158 f) 1190 g) 2019 yil

Kasrni o'nlik songa qanday aylantirish mumkin.

Ma'lumki, har qanday ratsional sonni o'nli kasr va oddiy kasr sifatida ifodalash mumkin. Oddiy kasr, ya'ni A/B ko'rinishdagi kasr muntazam va noto'g'ri bo'lishi mumkin. Kasr to'g'ri deyiladi, agar A bo'lsa<В и неправильной если А>IN.

Agar ratsional son noto'g'ri kasr bilan ifodalangan bo'lsa va kasrning soni maxrajga butunga bo'lingan bo'lsa, bu ratsional son butun sondir, qolgan barcha hollarda kasr qismi paydo bo'ladi. Kasr qismi ko'pincha juda uzun son va hatto cheksizdir (cheksiz davriy kasr, masalan, 20/6), shuning uchun kasr bo'limida biz faqat bitta vakillikni boshqasiga tarjima qilish vazifasini bajarmaymiz, balki bir ko'rinish bilan tarjima qilishimiz kerak. ma'lum aniqlik.

Aniqlik qoidasi. Aytaylik, sizga N ta raqam aniqligi bilan o'nli kasr sifatida ko'rsatilishi mumkin bo'lgan o'nlik son berilgan. Tegishli ikkilik son bir xil aniqlikda bo'lishi uchun unga M - belgilarini yozish kerak, shunda

Endi tarjima qoidasini olishga harakat qilaylik va avval 5,401-misolni ko'rib chiqamiz

Yechim:

Biz butun sonni bizga ma'lum bo'lgan qoidalarga muvofiq olamiz va u 101 ikkilik raqamiga teng. Va kasr qismini 2 ning darajasida kengaytiramiz.

1-qadam: 2 -2 = 0,25; 0,401 - 0,25 = 0,151. - bu qolgan.

2-qadam: Endi biz 0,151 ni ikkining kuchi sifatida ifodalashimiz kerak. Buni qilaylik: 2 -3 = 0,125; 0,151 - 0,125 = 0,026

Shunday qilib, asl kasr qismini 2 -2 +2 -3 sifatida ifodalash mumkin. Xuddi shu narsani bu ikkilik raqamda yozish mumkin: 0,011. Birinchi kasr raqami nolga teng, chunki bizning kengayishimizda 2 -1 kuchi yo'q.

Birinchi va ikkinchi bosqichlardan ko'rinib turibdiki, bu vakillik to'g'ri emas va kengaytirishni davom ettirish maqsadga muvofiq bo'lishi mumkin. Keling, qoidani ko'rib chiqaylik. Unda aytilishicha, bizga M ning shunchalik ko'p belgilari kerakki, 10 3 2 M dan kichik. Ya'ni, 1000<2 M . То есть в двоичном разложении у нас должно быть не менее десяти знаков, так как 2 9 = 512 и только 2 10 = 1024. Продолжим процесс.

3-qadam: Endi biz 0,026 raqami bilan ishlaymiz. Bu raqamga ikkitaning eng yaqin kuchi 2 -6 = 0,015625; 0,026 - 0,015625 = 0,010375 Endi bizning aniqroq ikkilik raqamimiz: 0,011001. Kasrdan keyin oltita joy bor, ammo bu hali etarli emas, shuning uchun biz yana bir qadamni bajaramiz.

4-qadam: Endi biz 0.010375 raqami bilan ishlaymiz. Bu raqamga ikkitaning eng yaqin kuchi 2 -7 = 0,0078125;

0,010375 - 0,0078125 = 0,0025625

5-qadam: Endi biz 0.0025625 raqami bilan ishlaymiz. Bu raqamga ikkitaning eng yaqin kuchi 2 -9 = 0,001953125;

0,0025625 - 0,001953125 = 0,000609375

Oxirgi qoldiq 2 -10 dan kam va agar biz asl raqamga yaqinlashishni davom ettirmoqchi bo'lsak, bizga 2 -11 kerak bo'ladi, lekin bu allaqachon kerakli aniqlikdan oshib ketgan va shuning uchun hisob-kitoblarni to'xtatish va yakuniy ikkilik ko'rinishni olish mumkin. kasr qismini yozish mumkin.

0,401 = 0,011001101

Ko'rib turganingizdek, o'nlik sonning kasr qismini ikkilik tizimga o'tkazish butun sonni aylantirishdan ko'ra biroz murakkabroq. Ma'ruza oxirida ikkita kuchlar jadvali.

Endi konvertatsiya qilish algoritmini yozamiz:

Algoritmning dastlabki ma'lumotlari: A orqali biz o'nlik shaklda yozilgan asl to'g'ri o'nli kasrni belgilaymiz. Bu kasr N ta belgidan iborat bo'lsin.

Algoritm

Harakat 1. 10 N tengsizlikdan M kerakli ikkilik raqamlar sonini aniqlang< 2 M

2-harakat: Ikkilik ko'rinishning raqamlarini hisoblash tsikli (noldan keyingi raqamlar). Raqamli raqam K belgisi bilan belgilanadi.

1. Raqamli raqam = 1
2. Agar 2 -K > A

Keyin ikkilik raqamga nol qo'shamiz

• ikkilik raqamga 1 qo'shing
• A = A - 2 -K

1. K = K + 1
2. Agar K > M

• keyin algoritm tugallanadi
• Aks holda, 2-bandga o'ting.

O'nli sonlarni ikkilik sanoqli sanoqli sonlarga o'tkazish

a) 3,6 b) 12,0112 c) 0,231 d) 0,121 d) 23,0091

Ikkilik sonlarni ayirish. Ustundagi raqamlarni ham ayirib tashlaymiz va umumiy qoida o'nlik sonlar bilan bir xil bo'ladi, ayirish asta-sekin bajariladi va agar o'rinda bitta etarli bo'lmasa, u eng yuqorisida amalga oshiriladi. Keling, quyidagi misolni hal qilaylik:

Birinchi toifa. 1 - 0 =1. Biz 1 ni yozamiz.

Ikkinchi toifa 0 -1. Bittasi yo‘q. Biz uni kattalar toifasida egallaymiz. Katta raqamdan birlik ikkita birlik kabi kichik raqamga o'tadi (chunki katta raqam yuqori darajadagi ikkitasi bilan ifodalanadi) 2-1 = 1. Biz 1 ni yozamiz.

Uchinchi toifa. Biz ushbu darajaning birligini egallagan edik, shuning uchun endi 0-darajada eng yuqori darajali birlikni egallashga ehtiyoj bor. 2-1 =1. Biz 1 ni yozamiz.

Natijani o'nlik sistemada tekshiramiz

1101 - 110 = 13 - 6 = 7 (111) To'g'ri tenglik.

Ayirishni amalga oshirishning yana bir qiziqarli usuli ikkining to'ldiruvchi kodi tushunchasini o'z ichiga oladi, bu esa ayirishni qo'shishga kamaytirish imkonini beradi. Ikkining to'ldiruvchi kodidagi sonning natijasi juda oddiy: biz raqamni olamiz, nollarni birlar bilan almashtiramiz, aksincha, nollarni nolga almashtiramiz va eng muhim raqamga bitta qo'shamiz. Masalan, 10010, qo'shimcha kod 011011 bo'ladi.

Ikkining to‘ldiruvchisi orqali ayirish qoidasi, agar ayirma ikkining to‘ldiruvchisidagi son bilan almashtirilsa, ayirishni qo‘shish bilan almashtirish mumkinligini bildiradi.

Misol: 34 - 22 = 12

Keling, bu misolni ikkilik shaklda yozamiz. 100010 - 10110 = 1100

10110 raqamining qo'shimcha kodi shunday bo'ladi

01001 + 00001 = 01010. Keyin asl misol quyidagi kabi qo'shimcha bilan almashtirilishi mumkin: 100010 + 01010 = 101100 Keyin, eng muhim raqamga bitta birlikni tashlashingiz kerak. Agar shunday qilsak, biz 001100 ni olamiz. Ahamiyatsiz nollarni tashlab, 1100 ni olamiz, ya'ni misol to'g'ri hal qilindi.

Ayirish amallarini bajaring. Odatdagidek va qo'shimcha kodda o'nlik sonlarni ikkilik tizimga aylantirgan holda:

Ikkilik natijani o'nlik sanoq tizimiga o'tkazish orqali tekshiring.

Ikkilik sanoq sistemasida ko‘paytirish.

Birinchidan, quyidagi qiziqarli faktni ko'rib chiqing. Ikkilik sonni 2 ga ko'paytirish uchun (o'nlik ikkitasi ikkilik tizimda 10 ga teng), ko'paytirilayotgan sonning chap tomoniga bitta nol qo'shish kifoya.

Misol. 10101 * 10 = 101010

Imtihon.

10101 = 1*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 +1*2 0 = 16 + 4 + 1 = 21

101010 =1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 32 + 8 + 2 = 42

Agar har qanday ikkilik sonni ikkita darajaga ko'paytirish mumkinligini eslasak, ikkilik sanoq tizimida ko'paytirish 10 ga (ya'ni o'nlik 2 ga) ko'paytirishga kamayishi aniq bo'ladi va shuning uchun ko'paytirish ketma-ket ketma-ketlik qatoridir. siljishlar. Umumiy qoida shundaki, o'nlik sonlarda bo'lgani kabi, ikkilik ko'paytirish ham bit yo'nalishi bo'yicha amalga oshiriladi. Va ikkinchi multiplikatorning har bir raqami uchun birinchi ko'paytirgichning o'ng tomoniga bitta nol qo'shiladi. Misol (hali ustunda emas):

1011 * 101 Ushbu ko'paytirishni uchta raqamli ko'paytirishning yig'indisiga kamaytirish mumkin:

1011 * 1 + 1011 * 0 + 1011 * 100 = 1011 +101100 = 110111 Xuddi shunday ustunga quyidagicha yozish mumkin:

Imtihon:

101 = 5 (o'nlik)

1011 = 11 (o'nlik)

110111 = 55 (oʻnlik)

5*11 = 55 to'g'ri tenglik

O'zingiz uchun qaror qiling

a) 1101 * 1110 =

b) 1010 * 110 =

e) 101011 * 1101 =

e) 10010 * 1001 =

Eslatma: Aytgancha, ikkilik tizimdagi ko'paytirish jadvali faqat bitta elementdan iborat 1 * 1 = 1

Ikkilik sanoq sistemasida bo'linish.

Biz allaqachon uchta amalni ko'rib chiqdik va menimcha, umuman olganda, ikkilik raqamlardagi harakatlar o'nlik sonlardagi harakatlardan unchalik farq qilmaydi. Yagona farq shundaki, ikkita raqam bor, o'nta emas, lekin bu faqat arifmetik amallarni soddalashtiradi. Vaziyat bo'linish bilan bir xil, ammo yaxshiroq tushunish uchun biz bo'linish algoritmini batafsilroq tahlil qilamiz. Aytaylik, ikkita o'nlik sonni ajratishimiz kerak, masalan, 234 ni 7 ga bo'lish. Buni qanday qilamiz.

Biz o'ngga (eng muhim raqamdan) shunday raqamlarni tanlaymizki, natijada olingan raqam imkon qadar kichik va ayni paytda bo'luvchidan kattaroq bo'ladi. 2 bo'luvchidan kichik, shuning uchun bizga kerak bo'lgan son 23. Keyin olingan sonni bo'linuvchiga qoldiq bilan ajratamiz. Biz quyidagi natijani olamiz:

Olingan qoldiq bo'luvchidan kichik bo'lguncha tasvirlangan amalni takrorlaymiz. Bu sodir bo'lganda, chiziq ostida olingan raqam qism bo'lib, oxirgi qoldiq esa operatsiyaning qolgan qismidir. Demak, ikkilik sonni bo'lish amali aynan shu tarzda bajariladi. Kel urinib ko'ramiz

Misol: 10010111 / 101

Biz birinchi raqami bo'luvchidan katta bo'lgan raqamni qidiramiz. Bu to'rt xonali raqam 1001. U ta'kidlangan qalin. Endi siz tanlangan raqam uchun bo'linuvchini topishingiz kerak. Va bu erda biz o'nlik tizim bilan taqqoslaganda yana g'alaba qozonamiz. Gap shundaki, tanlangan bo'luvchi albatta raqam bo'lib, bizda faqat ikkita raqam bor. 1001 101 dan aniq katta bo'lganligi sababli, bo'linuvchi bilan hamma narsa aniq: 1. Operatsiya bosqichini bajaramiz.

Shunday qilib, tugallangan operatsiyaning qolgan qismi 100. Bu 101 dan kichik, shuning uchun ikkinchi bo'linish bosqichini bajarish uchun keyingi raqamni 100 ga qo'shish kerak, bu 0 raqami. Endi bizda quyidagi raqam mavjud:

1000 101 dan katta, shuning uchun ikkinchi bosqichda biz yana 1 raqamini qismga qo'shamiz va quyidagi natijani olamiz (bo'sh joyni tejash uchun biz darhol keyingi raqamni qoldiramiz).

Uchinchi qadam. Olingan 110 soni 101 dan katta, shuning uchun bu bosqichda biz qismga 1 ni yozamiz, u quyidagicha chiqadi:

Olingan 11 raqami 101 dan kichik, shuning uchun biz 0 raqamini qismga yozamiz va keyingi raqamni pastga tushiramiz. Bu shunday chiqadi:

Olingan son 101 dan katta, shuning uchun biz 1 raqamini qismga yozamiz va amallarni yana bajaramiz. Bu rasm chiqadi:

1

0

Olingan 10 qoldig'i 101 dan kichik, ammo dividenddagi raqamlarimiz tugadi, shuning uchun 10 - yakuniy qoldiq va 1110 - kerakli bo'lim.

Keling, o'nlik sonlarni tekshiramiz

Bu ikkilik arifmetikadan foydalanish uchun bilishingiz kerak bo'lgan eng oddiy arifmetik amallarning tavsifini yakunlaydi va endi biz "ikkilik arifmetika nima uchun kerak?" Degan savolga javob berishga harakat qilamiz. Albatta, ikkilik tizimda raqamni yozish arifmetik amallarni sezilarli darajada soddalashtirishi yuqorida ko'rsatilgan, lekin shu bilan birga yozuvning o'zi ancha uzoqroq bo'lib, natijada olingan soddalashtirishning qiymatini kamaytiradi, shuning uchun izlash kerak. ikkilik sonlarda yechimi ancha sodda bo‘lgan masalalar.

1-topshiriq: Barcha namunalarni olish

Ko'pincha muammolar mavjud bo'lib, ularda siz berilgan ob'ektlar to'plamidan barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalarni qurishingiz kerak bo'ladi. Masalan, bu vazifa:

Katta toshlar to'plamini hisobga olgan holda, toshlarni ikkita qoziqga joylashtiring, shunda ikkita qoziqning massasi imkon qadar teng bo'ladi.

Bu vazifani quyidagicha shakllantirish mumkin:

Katta qoziqdan toshlar tanlovini toping, shunda uning umumiy massasi katta qoziqning yarmi massasidan imkon qadar kamroq farq qiladi.

Bunday vazifalar juda ko'p. Va ularning barchasi, yuqorida aytib o'tilganidek, ma'lum bir elementlar to'plamidan barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalarni (bundan keyin biz ularni namunalar deb ataymiz) olish qobiliyatiga tushadi. Va endi biz ikkilik qo'shish operatsiyasidan foydalangan holda barcha mumkin bo'lgan namunalarni olishning umumiy usulini ko'rib chiqamiz. Keling, misol bilan boshlaylik. Uchta ob'ekt to'plami bo'lsin. Keling, barcha mumkin bo'lgan namunalarni tuzamiz. Ob'ektlarni seriya raqamlari bilan belgilaymiz. Ya'ni, quyidagi elementlar mavjud: 1, 2, 3.

Namunalar: (0, 0, 1); (0, 1, 0); (0, 1, 1); (100); (1, 0, 1); (1, 1, 0); (1, 1, 1);

Agar keyingi raqamga ega pozitsiya bitta bo'lsa, bu tanlovda shu pozitsiyaga teng raqamga ega bo'lgan element mavjudligini anglatadi va agar nol bo'lsa, unda element mavjud emas. Masalan, namuna (0, 1, 0); 2 raqamiga ega bo'lgan bitta elementdan iborat va tanlov (1, 1, 0); 1 va 2 raqamlari bo'lgan ikkita elementdan iborat.

Ushbu misol namunani ikkilik raqam sifatida ko'rsatish mumkinligini aniq ko'rsatadi. Bundan tashqari, barcha mumkin bo'lgan bir, ikki va uch xonali ikkilik raqamlar yuqorida yozilganligini ko'rish oson. Keling, ularni quyidagicha qayta yozamiz:

001; 010; 011; 100; 101; 110; 111

1; 10; 11; 100; 101; 110; 111

Biz bir qator ketma-ket ikkilik raqamlarni oldik, ularning har biri oldingisidan bittasini qo'shish orqali olinadi. Buni tekshirishingiz mumkin. Ushbu kuzatilgan naqshdan foydalanib, biz namunalarni olish uchun quyidagi algoritmni qurishimiz mumkin.

Algoritm kiritish ma'lumotlari

Berilgan ob'ektlar to'plami N - dona. Quyida biz bu to'plamni boshlang'ich elementlar to'plami deb ataymiz. Dastlabki to‘plamning barcha elementlarini 1 dan N gacha raqamlaymiz. N arzimas noldan ikkilik son yasaymiz. 0000… 0 N Bu nol ikkilik raqam namuna olish jarayoni boshlanadigan nol namunani bildiradi. Raqamning raqamlari o'ngdan chapga sanaladi, ya'ni eng chap raqam eng muhim hisoblanadi.

Keling, bu ikkilik sonni BINARY bosh harflar bilan belgilashga rozilik beraylik

Algoritm

Agar BINARY raqam butunlay birlardan iborat bo'lsa

Keyin biz algoritmni to'xtatamiz

• Ikkilik arifmetika qoidalariga ko'ra BINAR songa bitta qo'shamiz.
• Olingan BINARY raqamdan biz yuqorida aytib o'tilganidek, keyingi namunani qilamiz.

2-masala: Katta tub sonlarni topish

Boshlash uchun, tub son faqat 1 ga va o'ziga bo'linadigan natural son ekanligini eslaylik. Tug sonlarga misollar: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31

Katta tub sonlarni topish juda muhim matematik muammodir. Ba'zi shifrlash algoritmlari xabarlarni xavfsiz shifrlash uchun katta asosiy raqamlar kerak bo'ladi. Bundan tashqari, nafaqat katta raqamlar, balki juda katta raqamlar ham kerak. Raqam qanchalik katta bo'lsa, ushbu raqamga qurilgan shifr shunchalik ishonchli bo'ladi.

Eslatma. Kuchli shifr - bu shifrlash juda uzoq vaqt talab qiladigan shifrdir.

Nega? Asosiy raqam shifrlash va shifrni ochish uchun kalit vazifasini bajaradi. Bundan tashqari, biz tub sonlar qatorda uchrashini bilamiz natural sonlar tez-tez emas. Birinchi mingta orasida ularning ko'pi bor, keyin ularning soni tezda kamayishni boshlaydi. Shuning uchun, agar biz unchalik katta bo'lmagan raqamni kalit sifatida olsak, deşifrlovchi, hatto unchalik katta bo'lmagan raqam yordamida, tez kompyuter cheklangan vaqt ichida (barcha oddiylarini kalit sifatida birin-ketin sinab ko'rish orqali) erisha oladi.

Agar siz oddiy kodni, masalan, 150 belgini olsangiz, juda ishonchli kodni olish mumkin. Biroq, bunday oddiy narsani topish unchalik oson emas. Aytaylik, ma'lum bir A sonini (juda katta) birlamchiligini tekshirish kerak. Bu uning bo'luvchilarini qidirish bilan bir xil. Agar A ning kvadrat ildizigacha bo‘lgan oraliqda bo‘luvchilarni topsak, u tub emas. Keling, A sonini bo'lish qobiliyatini sinab ko'rish kerak bo'lgan sonlar sonini hisoblaylik.

Aytaylik, A raqamida 150 ta raqam bor. Uning kvadrat ildizi kamida 75 ta belgidan iborat bo'ladi. Bunday ko'p sonli bo'luvchilarni sanab o'tish uchun bizga juda kerak bo'ladi kuchli kompyuter va juda katta vaqt, ya'ni muammoni amalda hal qilib bo'lmaydi.

Bu bilan qanday kurashish kerak.

Birinchidan, siz bir raqamning ikkinchisiga bo'linuvchanligini tezda tekshirishni o'rganishingiz mumkin, ikkinchidan, siz A raqamini yuqori ehtimollik darajasi bilan tub bo'ladigan tarzda tanlashga harakat qilishingiz mumkin. Ma'lum bo'lishicha, bu mumkin. Matematik Mersen quyidagi shakldagi sonlarni kashf etdi

Ular yuqori ehtimollik darajasi bilan oddiy.

Yuqorida yozilgan iborani tushunish uchun birinchi mingda nechta tub son va bir xil mingda nechta Mersen soni tub ekanligini hisoblaylik. Shunday qilib, birinchi minglikdagi Mersen raqamlari quyidagicha:

2 1 - 1 = 1 ; 2 2 -1 = 3 ; 2 3 - 1 = 7 ; 2 4 - 1 = 15; 2 5 - 1 = 31 ; 2 6 -1 = 63;

2 7 - 1 =127 ; 2 8 -1 = 255; 2 9 - 1 = 511;

Oddiy raqamlar qalin harf bilan belgilanadi. 9 ta Mersen soni uchun 5 ta tub son mavjud. Foiz sifatida bu 5/9 * 100 = 55,6% ni tashkil qiladi. Shu bilan birga, har 1000 ta birinchi natural songa atigi 169 ta tub son to'g'ri keladi. Foiz sifatida bu 169/1000 * 100 = 16,9% ni tashkil qiladi. Ya'ni, birinchi mingda, foizlarda Mersen sonlari orasidagi tub sonlar oddiy natural sonlarga qaraganda deyarli 4 marta tez-tez uchraydi.

___________________________________________________________

Endi aniq bir Mersen sonini olaylik, masalan 2 4 - 1. Uni ikkilik son sifatida yozamiz.

2 4 - 1 = 10000 - 1 = 1111

Quyidagi 2 5 -1 Mersen sonini olib, uni ikkilik son sifatida yozamiz. Biz quyidagilarni olamiz:

2 5 -1 = 100000 - 1 = 11111

Barcha Mersen raqamlari birlar ketma-ketligi ekanligi allaqachon aniq va bu faktning o'zi katta daromad beradi. Birinchidan, ikkilik sanoq sistemasida keyingi Mersen sonini olish juda oddiy, keyingi songa bittasini qo‘shish kifoya, ikkinchidan, ikkilik sistemada bo‘luvchilarni qidirish o‘nlik sanoq sistemasiga qaraganda ancha oson.

Tez o'nlikdan ikkilikka aylantirish

Ikkilik sanoq sistemasidan foydalanishdagi asosiy muammolardan biri o‘nlik sonni ikkilik sanoq tizimiga o‘tkazishdagi qiyinchilikdir. Bu ancha mehnat talab qiladigan ish. Albatta, uch yoki to'rtta raqamdan iborat kichik raqamlarni tarjima qilish unchalik qiyin emas, lekin 5 yoki undan ortiq raqamli o'nlik raqamlar uchun bu allaqachon qiyin. Ya'ni, katta o'nli sonlarni ikkilik sonlarga tezda aylantirish usuli kerak.

Bu usulni frantsuz matematigi Legendre ixtiro qilgan. Misol uchun, 11183445 raqami berilsin. Biz uni 64 ga bo'lamiz, biz 21 ning qoldig'ini olamiz va qism 174741 ga teng bo'ladi. Bu raqamni yana 64 ga bo'lamiz, biz 21 ning qoldig'ini va 2730 qismini olamiz. , 2730 ni 64 ga bo‘lish 42 ning qoldig‘ini va 42 ga bo‘linishini beradi. Lekin ikkilik tizimda 64 soni 1000000, ikkilik tizimida 21 soni 10101 va 42 soni 101010 ga teng, Shuning uchun asl son ikkilik tizimda quyidagicha yoziladi:

101010 101010 010101 010101

Buni aniqroq qilish uchun kichikroq raqamga ega bo'lgan yana bir misol. 235 sonining ikkilik ko'rinishini o'zgartiramiz. 235 ni 64 ga qoldiq bilan bo'ling. Biz olamiz:

QUANTIATE = 3, ikkilik 11 yoki 000011

REMAINDER = 43, ikkilik 101011

Keyin 235 = 11101011. Keling, ushbu natijani tekshiramiz:

11101011 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 1 + 2 0 = 128+64+32+8+2+1 = 235

Eslatmalar:

1. Yakuniy ikkilik son barcha qoldiqlarni va oxirgi bosqichda qoldiqni ham, qismni ham o'z ichiga olganligini ko'rish oson.
2. Qolgan qismidan oldin qism yoziladi.
3. Agar natijada olingan qism yoki qoldiq ikkilik ko'rinishda 6 tadan kam bo'lsa (6 nol 64 = 1000000 raqamining ikkilik ko'rinishini o'z ichiga oladi), unda unga ahamiyatsiz nollar qo'shiladi.

Va yana bir murakkab misol. Raqam 25678425.

1-qadam: 25678425 64 ga bo'lingan

Shaxsiy = 401225

Qolgan = 25 = 011001

2-qadam: 401225 64 ga bo'lingan

Hissa = 6269

Qoldiq = 9 = 001001

3-qadam: 6269 64 ga bo'lingan

Hissa = 97

Qolgan = 61 = 111101

4-qadam: 97 ni 64 ga bo'lish

Quotient = 1 = 000001

Qolgan = 33 = 100001

Raqam natijasi = 1.100001.111101.001001.011001

Bu raqamda unga kiritilgan oraliq natijalar nuqta bilan ajratilgan.

Raqamlarni ikkilik tasvirga aylantirish:

ILOVA: 1-JADVAL

		0,015625
		0,0078125
		0,00390625
		0,001953125
		0,0009765625
		0,00048828125
		0,000244140625
		0,0001220703125
		0,00006103515625
		0,000030517578125
		0,0000152587890625
		0,00000762939453125
		0,000003814697265625
		0,0000019073486328125
		0,00000095367431640625
		0,000000476837158203125

Har qanday pozitsion sanoq sistemasida arifmetik amallarni bajarish o'nlik sanoq sistemasida qo'llaniladigan qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi.

Xuddi o'nlik sanoq sistemasidagi kabi arifmetik amallarni bajarish uchun qo'shish (ayirish) va ko'paytirish jadvallarini bilish kerak.

Ikkilik sanoq sistemasi uchun qo'shish, ayirish va ko'paytirish jadvali

Ikkilik raqamlarni qo'shish

Ikkilik sanoq sistemasida qo‘shish o‘nlik sanoq sistemasidagi kabi qoidalarga amal qiladi. Ikkita raqam butun va kasr qismlarini ajratuvchi bilan tekislangan ustunga yoziladi va agar kerak bo'lsa, o'ng tomonda ahamiyatsiz nollar bilan to'ldiriladi. Qo'shish eng o'ngdagi raqamdan boshlanadi. Ikki pastki tartibli birlik yuqori tartibli birlikka birlashtirilgan.

Misol: 1011,1 2 + 1010,11 2

Ikkitadan ortiq raqam qo'shilsa, vaziyat ham qiziq. Bunday holda, bir nechta raqam orqali o'tkazish mumkin.
Misol: 111,1 2 + 111 2 + 101,1 2

Birlar o'rniga qo'shganda (bit 0) 4 ta birlik mavjud bo'lib, ular birlashganda beradi. 100 2 . Shuning uchun u nol raqamdan birinchi raqamga o'tkaziladi 0 , ikkinchisida esa - 1 .
Xuddi shunday holat ikkinchi raqamda yuzaga keladi, bu erda ikkita uzatilgan birlikni hisobga olgan holda raqam olinadi. 5 = 101 2 . 1 ikkinchi toifada qoladi, 0 uchinchisiga o'tkaziladi va 1 to'rtinchisiga o'tkazildi.

Ikkilik sonlarni ayirish

Katta toifadagi birlik shug'ullanadigan hollarda, u kichik toifadagi ikkita birlikni beradi. Agar birlik bir nechta toifalardan keyin o'rganilsa, u barcha oraliq nol toifalarda bitta birlikni va o'rganilgan toifadagi ikkita birlikni beradi.
Misol: 10110,01 2 — 1001,1 2

Barcha pozitsion sanoq sistemalarida arifmetik amallar sizga yaxshi ma'lum bo'lgan bir xil qoidalar bo'yicha bajariladi.

Qo'shish. Ikkilik sanoq sistemasida sonlarni qo‘shishni ko‘rib chiqamiz. U bir xonali ikkilik sonlarni qo'shish jadvaliga asoslangan :

Ikkitasini qo'shganda, raqam toshib ketishi va eng muhim raqamga o'tkazilishiga e'tibor berish kerak. Raqam to'lib ketishi undagi raqamning qiymati bazaga teng yoki undan katta bo'lganda sodir bo'ladi.

Ko'p bitli ikkilik raqamlarni qo'shish yuqoridagi qo'shish jadvaliga muvofiq, past tartibli raqamlardan yuqori tartibli raqamlarga mumkin bo'lgan o'tkazmalarni hisobga olgan holda amalga oshiriladi.

Misol tariqasida, 110 2 va 11 2 ikkilik raqamlarini ustunga qo'shamiz. :

O‘nlik sanoq sistemasiga qo‘shish orqali hisob-kitoblarning to‘g‘riligini tekshiramiz. Keling, ikkilik sonlarni o‘nlik sanoq sistemasiga aylantiramiz va keyin ularni qo‘shamiz:

110 2 =1*2 2 + 1*2 1 + 0*2 0 = 6 10 ;

11 2 = 1*2 1 + 1*2 0 = 3 10 ;

6 10 + 3 10 = 9 10 .

Endi ikkilik qo‘shish natijasini o‘nlik songa aylantiramiz:

1001 2 = 1*2 3 +0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 9 10 /

Keling, natijalarni taqqoslaylik - qo'shimcha to'g'ri bajarildi.

Ayirish. Keling, ikkilik sonlarni ayirishni ko'rib chiqaylik. U bir xonali ikkilik sonlarni ayirish jadvaliga asoslanadi. Kichikroq raqamdan (0) kattaroq raqamni (1) ayirishda eng yuqori raqamdan qarz olinadi. Jadvalda kredit 1 qator bilan belgilangan:

Ko'p bitli ikkilik raqamlarni ayirish yuqoridagi ayirish jadvaliga muvofiq, eng muhim bitlardan mumkin bo'lgan qarzlarni hisobga olgan holda amalga oshiriladi. Misol tariqasida 110 2 va 11 2 ikkilik sonlarini ayirib olaylik:

Ko'paytirish. Ko'paytirish bir xonali ikkilik sonlarni ko'paytirish jadvaliga asoslanadi:

Ko'p xonali ikkilik sonlarni ko'paytirish yuqoridagi ko'paytirish jadvaliga muvofiq o'nlik sanoq tizimida ishlatiladigan odatiy sxema bo'yicha ko'paytiruvchini ko'paytiruvchining raqamlariga ketma-ket ko'paytirish bilan sodir bo'ladi. Misol tariqasida, keling, ikkilik sonlarni ko'paytiramiz va:

Bo'lim. Bo‘lish amali o‘nlik sanoq sistemasidagi bo‘lish amalini bajarish algoritmiga o‘xshash algoritm yordamida bajariladi. Misol tariqasida 110 2 va 11 2 ikkilik sonini ajratamiz: