การบรรยายครั้งที่ 1 ทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวและหลายตัวแปร (TFNP) 1. แนวคิดของ FNP 2. ขีดจำกัด FNP 3. ความต่อเนื่องของ FNP 4. ลำดับแรกอนุพันธ์บางส่วน 5. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน 6. อนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัย 7. อนุพันธ์ลำดับที่สูงขึ้น

1. แนวคิดของ FNP ให้เซต D เป็นขอบเขตบนระนาบ คำนิยาม. หากมีการเชื่อมโยงตัวเลขเข้าด้วยกัน พวกเขาบอกว่าฟังก์ชันตัวเลข D ถูกกำหนดให้กับเซต D ซึ่งเป็นโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน

หากเป็นจุด การทำแผนที่จะถูกระบุด้วยพิกัดสองพิกัดซึ่งเป็นฟังก์ชันของตัวแปร 2 ตัว กราฟของฟังก์ชันดังกล่าวจะเป็นเซตของจุดที่มีพิกัด x, y, z - พื้นผิวในอวกาศ

การตีความทางเรขาคณิตของ f(x, y) D – บางส่วนของระนาบ 0 KhY z D – เส้นโครงของกราฟของฟังก์ชัน f(x, y) ลงบนระนาบ 0 KhY z f О x D x y y กราฟของฟังก์ชันคือพื้นผิวในอวกาศ

2. ขีดจำกัดของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว ปล่อยให้จุด ชุดของจุดถูกเรียกว่าเป็นบริเวณใกล้เคียงของจุด

คำนิยาม. ปล่อยให้จุด ถ้าแล้วจุด P เรียกว่าจุดภายในของเซต D คำจำกัดความ หากจุด D ทั้งหมดอยู่ภายในชุดนี้ จะเรียกว่าเปิด คำนิยาม. ชุดเปิดใดๆ ที่มีจุดเรียกว่าบริเวณใกล้เคียง

คำนิยาม. ชุดของจุดสองจุดใดๆ ที่สามารถเชื่อมต่อกันด้วยเส้นโค้งต่อเนื่องที่อยู่ในเซตนี้ เรียกว่า เชื่อมต่อกัน คำนิยาม. ชุดเชื่อมต่อแบบเปิดเรียกว่าขอบเขต

ปล่อยให้ฟังก์ชันในบริเวณใกล้เคียงของจุดหนึ่งถูกกำหนดไว้ที่จุดใดจุดหนึ่ง (ไม่จำเป็นต้องอยู่ที่จุดนั้นเอง) เลข A เรียกว่าลิมิตของฟังก์ชันตามที่มีแนวโน้มว่า

การกำหนด ความคิดเห็น ความทะเยอทะยานสามารถเกิดขึ้นได้ตามกฎและทิศทางใด ๆ ในขณะที่ค่าจำกัดทั้งหมดมีอยู่และเท่ากับ A

ตัวอย่าง. ลองพิจารณาฟังก์ชัน ลองพิจารณาแนวโน้มที่ผ่าน t (0, 0): ตามเส้นตรง ค่าของ A ขึ้นอยู่กับว่าเป็นอย่างไร

3. ความต่อเนื่องของ FNP ฟังก์ชันจะถูกเรียกว่าต่อเนื่องที่จุดหนึ่ง ถ้าเงื่อนไข 1 -3 ละเมิดอย่างน้อยหนึ่งข้อ แสดงว่าเป็นจุดไม่ต่อเนื่อง

จุดแตกหักสามารถแยกออกได้ สร้างเส้นแบ่ง พื้นผิวที่แตกหัก ตัวอย่าง. a) จุดพัก – (แยก) b) - เส้นแบ่ง

คำนิยาม. ผลต่างนี้เรียกว่าการเพิ่มขึ้นรวมของฟังก์ชัน คำนิยาม. ลิมิตเรียกว่าอนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชัน (สมมติว่ามีอยู่)

กฎสำหรับการคำนวณอนุพันธ์บางส่วนของ FNP ตรงกับกฎที่เกี่ยวข้องสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัว ความคิดเห็น เมื่อคำนวณอนุพันธ์ของ FNP เทียบกับตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง ตัวแปรอื่นๆ ทั้งหมดจะถือเป็นค่าคงที่ ตัวอย่าง.

คำนิยาม. ส่วนหลัก (เชิงเส้น) ของการเพิ่มขึ้นรวมของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งเรียกว่า เฟืองท้ายเต็มฟังก์ชั่น ณ จุดนี้

5. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน ลองพิจารณาฟังก์ชันโดยที่ i.e. z เป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนของ x, y อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันเชิงซ้อนเทียบกับตัวแปร x และ y มีการคำนวณดังนี้ (เช่น ในกรณีของฟังก์ชันเชิงซ้อนของตัวแปรตัวเดียว)

อนุพันธ์รวม a) โดยที่เช่น z เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนของหนึ่งอาร์กิวเมนต์ t แล้วคืออนุพันธ์รวมของฟังก์ชันเทียบกับอาร์กิวเมนต์ t

เมื่อศึกษารูปแบบต่างๆ ในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและเศรษฐศาสตร์ เราต้องเผชิญกับฟังก์ชันของตัวแปรอิสระสองตัว (หรือมากกว่า)

คำจำกัดความ (สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว)อนุญาต เอ็กซ์ , ย และ ซี - ฝูงชน ถ้าแต่ละคู่. (x, ย) องค์ประกอบจากเซตตามลำดับ เอ็กซ์ และ ย โดยอาศัยอำนาจตามกฎหมายบางประการ ฉ ตรงกับองค์ประกอบเดียวเท่านั้น z จากหลาย ๆ คน ซี แล้วพวกเขาก็พูดอย่างนั้น จะได้ฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวมา z = ฉ(x, ย) .

โดยทั่วไปแล้ว โดเมนของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว ทางเรขาคณิตสามารถแสดงด้วยชุดจุดบางจุด ( x; ย) เครื่องบิน xOy .

คำจำกัดความพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวเป็นลักษณะทั่วไปของตัวแปรที่สอดคล้องกัน คำจำกัดความของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัว .

พวงของ ดีเรียกว่า โดเมนของฟังก์ชัน zและชุด อี – ความหมายมากมายของมัน. ตัวแปร xและ ยสัมพันธ์กับฟังก์ชัน zเรียกว่าข้อโต้แย้งของมัน ตัวแปร zเรียกว่าตัวแปรตาม

ค่าส่วนตัวของการโต้แย้ง

สอดคล้องกับค่าส่วนตัวของฟังก์ชัน

โดเมนของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว

ถ้า ฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว (เช่น ตัวแปรสองตัว) กำหนดโดยสูตร z = ฉ(x, ย) , ที่ พื้นที่ของคำจำกัดความ คือเซตของจุดดังกล่าวทั้งหมดของระนาบ x0yซึ่งการแสดงออก ฉ(x, ย) สมเหตุสมผลและยอมรับ คุณค่าที่แท้จริง. กฎทั่วไปสำหรับโดเมนของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวได้มาจากกฎทั่วไปสำหรับ โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัว. ข้อแตกต่างก็คือสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว โดเมนของคำจำกัดความคือชุดของจุดบนระนาบ ไม่ใช่เส้นตรงสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรสามตัว โดเมนของคำจำกัดความคือเซตของจุดที่สอดคล้องกันในปริภูมิสามมิติ และสำหรับฟังก์ชันหนึ่ง nตัวแปร - ชุดจุดที่สอดคล้องกันของนามธรรม n-พื้นที่มิติ

โดเมนของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวที่มีรูท nปริญญา

ในกรณีที่กำหนดฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวโดยสูตร และ n - จำนวนธรรมชาติ :

ถ้า nเป็นเลขคู่ ดังนั้นโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันคือเซตของจุดของระนาบที่สอดคล้องกับค่าทั้งหมดของนิพจน์รากที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์นั่นคือ

ถ้า nเป็นเลขคี่ ดังนั้นโดเมนของนิยามของฟังก์ชันคือเซตของค่าใดๆ ซึ่งก็คือระนาบทั้งหมด x0y .

โดเมนของฟังก์ชันยกกำลังของตัวแปรสองตัวที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม

:

ถ้า ก- บวก ดังนั้นโดเมนของนิยามของฟังก์ชันคือระนาบทั้งหมด x0y ;

ถ้า ก- ลบ ดังนั้นโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันคือชุดของค่าที่แตกต่างจากศูนย์:

โดเมนของฟังก์ชันยกกำลังของตัวแปรสองตัวที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน

ในกรณีที่กำหนดฟังก์ชันตามสูตร :

ถ้าเป็นบวกโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันคือชุดของจุดเหล่านั้นในระนาบที่รับค่าที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์: ;

ถ้า - เป็นลบโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันคือชุดของจุดเหล่านั้นในระนาบที่รับค่าที่มากกว่าศูนย์: .

โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันลอการิทึมของตัวแปรสองตัว

ฟังก์ชันลอการิทึมของตัวแปรสองตัว ถูกกำหนดโดยมีเงื่อนไขว่าอาร์กิวเมนต์เป็นบวกนั่นคือโดเมนของคำจำกัดความคือชุดของจุดเหล่านั้นในระนาบที่ใช้ค่าที่มากกว่าศูนย์: .

โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติของตัวแปรสองตัว

โดเมนฟังก์ชัน - เครื่องบินทั้งหมด x0y .

โดเมนฟังก์ชัน - เครื่องบินทั้งหมด x0y .

ขอบเขตของนิยามของฟังก์ชันคือระนาบทั้งหมด x0y

โดเมนฟังก์ชัน - เครื่องบินทั้งหมด x0yยกเว้นคู่ตัวเลขที่รับค่า

โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันของตัวแปรสองตัว

โดเมนฟังก์ชัน .

โดเมนฟังก์ชัน - ชุดของคะแนนบนเครื่องบินซึ่ง .

โดเมนฟังก์ชัน - เครื่องบินทั้งหมด x0y .

โดเมนฟังก์ชัน - เครื่องบินทั้งหมด x0y .

โดเมนของคำจำกัดความของเศษส่วนที่เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว

ถ้าสูตรกำหนดฟังก์ชัน โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันคือจุดทั้งหมดของระนาบโดยที่

โดเมนของฟังก์ชันเชิงเส้นของตัวแปรสองตัว

ถ้าฟังก์ชันถูกกำหนดโดยสูตรของแบบฟอร์ม z = ขวาน + โดย + ค ดังนั้นโดเมนของนิยามของฟังก์ชันคือระนาบทั้งหมด x0y .

ตัวอย่างที่ 1

สารละลาย. ตามกฎสำหรับโดเมนของคำจำกัดความ เราจะสร้างอสมการสองเท่าขึ้นมา

เราคูณอสมการทั้งหมดด้วยและได้

นิพจน์ผลลัพธ์จะระบุโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้ของตัวแปรสองตัว

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาโดเมนของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว

(บรรยายครั้งที่ 1)

ฟังก์ชันของ 2 ตัวแปร

ตัวแปร z เรียกว่าฟังก์ชันของตัวแปร 2 ตัว f(x,y) หากคู่ของค่าใดๆ (x,y) G ค่าที่แน่นอนของตัวแปร z เชื่อมโยงกัน

Def.พื้นที่ใกล้เคียงของจุด p 0 คือวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด p 0 และมีรัศมี = (x-x 0 ) 2 +(โอ้. 0 ) 2

ของจำนวนที่น้อยโดยพลการเราสามารถระบุตัวเลข ()>0 เพื่อให้ค่าทั้งหมดของ x และ y ซึ่งระยะห่างจาก t.p ถึง p0 น้อยกว่าความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้จะคงอยู่: f(x,y) A , เช่น. สำหรับจุดทั้งหมด p ที่ตกอยู่ใกล้จุด p 0 โดยมีรัศมี ค่าของฟังก์ชันจะแตกต่างจาก A น้อยกว่าค่าสัมบูรณ์ และนี่หมายความว่าเมื่อจุด p เข้าใกล้จุด p 0 ด้วย ใครก็ได้

ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

กำหนดให้ฟังก์ชัน z=f(x,y) กำหนดให้ p(x,y) คือจุดปัจจุบัน p 0 (x 0 ,y 0) คือจุดที่กำลังพิจารณา

Def.

3) ลิมิตเท่ากับค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้: = f(x 0 ,y 0);

ลิม f(x,y) = f(x 0 ,ย 0 );

หน้า 0

อนุพันธ์บางส่วน

ลองให้อาร์กิวเมนต์ x เพิ่มขึ้นจาก x; x+x เราได้จุด p 1 (x+x,y) คำนวณความแตกต่างระหว่างค่าของฟังก์ชันที่จุด p:

x z = f(p1)-f(p) = f(x+x,y) - f(x,y) การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชันที่สอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ x

z= ลิม x z

z = ลิม ฉ(x+x,y) - ฉ(x,y)

เอ็กซ์ x0 เอ็กซ์

การกำหนดฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว

เมื่อพิจารณาประเด็นต่างๆ จากความรู้ต่างๆ มากมาย จำเป็นต้องศึกษาการขึ้นต่อกันระหว่างตัวแปรดังกล่าวเมื่อใด ค่าตัวเลขหนึ่งในนั้นถูกกำหนดโดยคุณค่าของอีกหลายคนอย่างสมบูรณ์

ตัวอย่างเช่นเมื่อศึกษาสภาพร่างกายเราต้องสังเกตการเปลี่ยนแปลงคุณสมบัติจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง แต่ละจุดของร่างกายจะถูกระบุด้วยพิกัดสามจุด: x, y, z ดังนั้น เมื่อศึกษาการกระจายความหนาแน่น เราสรุปได้ว่าความหนาแน่นของร่างกายขึ้นอยู่กับตัวแปรสามตัว: x, y, z หากสถานะทางกายภาพของร่างกายเปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา t ความหนาแน่นเดียวกันจะขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปรสี่ตัว: x, y, z, t

ตัวอย่างอื่น: มีการศึกษาต้นทุนการผลิตในการผลิตหน่วยของผลิตภัณฑ์บางประเภท ปล่อยให้เป็น:

x - ต้นทุนวัสดุ

y - ค่าใช้จ่ายในการชำระเงิน ค่าจ้างพนักงาน,

z - ค่าเสื่อมราคา

เห็นได้ชัดว่าต้นทุนการผลิตขึ้นอยู่กับค่าของพารามิเตอร์ที่มีชื่อ x, y, z

คำจำกัดความ 1.1ถ้าสำหรับแต่ละชุดของค่า "n" ตัวแปร

จากเซต D บางชุดของคอลเลกชันเหล่านี้สอดคล้องกับค่าเฉพาะของตัวแปร z จากนั้นพวกเขาบอกว่าฟังก์ชันถูกกำหนดให้กับเซต D

ตัวแปร "n"

เซต D ที่ระบุในคำจำกัดความ 1.1 เรียกว่าโดเมนของคำจำกัดความหรือโดเมนของการดำรงอยู่ของฟังก์ชันนี้

หากพิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว แสดงว่าการรวบรวมตัวเลข

ตามกฎแล้วจะแสดงแทน (x, y) และถูกตีความว่าเป็นจุดของระนาบพิกัด Oxy และโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน z = f (x, y) ของตัวแปรสองตัวจะแสดงเป็นชุดจุดที่กำหนด บนเครื่องบิน Oxy

ตัวอย่างเช่น โดเมนของนิยามของฟังก์ชัน

คือเซตของจุดบนระนาบ Oxy ซึ่งพิกัดเป็นไปตามความสัมพันธ์

กล่าวคือ มันคือวงกลมรัศมี r โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด

สำหรับฟังก์ชั่น

ขอบเขตของคำจำกัดความคือจุดที่ตรงตามเงื่อนไข

นั่นคือภายนอกด้วยความเคารพต่อวงกลมที่กำหนด

บ่อยครั้งฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวจะถูกระบุโดยปริยาย กล่าวคือ เป็นสมการ

การเชื่อมต่อสามตัวแปร ในกรณีนี้ แต่ละปริมาณ x, y, z ถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันโดยนัยของอีกสองตัวที่เหลือ

ภาพเรขาคณิต (กราฟ) ของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว z = f (x, y) คือเซตของจุด P (x, y, z) ในพื้นที่สามมิติ Oxyz ซึ่งเป็นพิกัดที่เป็นไปตามสมการ z = f (x, ย)

ตามกฎแล้วกราฟของฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ต่อเนื่องคือพื้นผิวที่แน่นอนในปริภูมิ Oxyz ซึ่งฉายบนระนาบพิกัด Oxy ในโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน z= f (x, y)

ตัวอย่างเช่น (รูปที่ 1.1) กราฟของฟังก์ชัน

คือครึ่งบนของทรงกลม และกราฟของฟังก์ชัน

ครึ่งล่างของทรงกลม

กำหนดการ ฟังก์ชันเชิงเส้น z = ax + by + с คือระนาบในปริภูมิ Oxyz และกราฟของฟังก์ชัน z = const คือระนาบที่ขนานกับระนาบพิกัด Oxyz

โปรดทราบว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะพรรณนาฟังก์ชันของตัวแปรสามตัวขึ้นไปในรูปแบบของกราฟในพื้นที่สามมิติด้วยสายตา

ต่อไปนี้ เราจะจำกัดตัวเองให้พิจารณาฟังก์ชันของตัวแปร 2 หรือ 3 ตัวเป็นหลัก เนื่องจากการพิจารณากรณีของตัวแปรจำนวนมากกว่า (แต่จำกัด) จะดำเนินการในทำนองเดียวกัน

นิยามฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว

(บรรยายครั้งที่ 1)

ตัวแปร u เรียกว่า f(x,y,z,..,t) หากชุดของค่าใดๆ (x,y,z,..,t) มีความเกี่ยวข้องกันกับค่าที่กำหนดไว้อย่างดีของตัวแปร u

ชุดคอลเลกชันของค่าของตัวแปรเรียกว่าโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน

G - set (x,y,z,..,t) - โดเมนของคำจำกัดความ

ฟังก์ชันของ 2 ตัวแปร

ตัวแปร z เรียกว่าฟังก์ชันของตัวแปร 2 ตัว f(x,y) หากคู่ของค่าใดๆ (x,y) О G ค่าที่แน่นอนของตัวแปร z เชื่อมโยงกัน

ขีดจำกัดของฟังก์ชันของ 2 ตัวแปร

กำหนดให้ฟังก์ชัน z=f(x,y) กำหนดให้ p(x,y) คือจุดปัจจุบัน p 0 (x 0 ,y 0) คือจุดที่กำลังพิจารณา

Def.พื้นที่ใกล้เคียงของจุด p 0 คือวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด p 0 และมีรัศมี r ร= Ö (x-x 0 ) 2 +(โอ้. 0 ) 2 Ø

หมายเลข A เรียกว่าขีด จำกัด ของฟังก์ชัน | ณ จุด p 0 หากมี

สำหรับจำนวน e ที่น้อยโดยพลการเราสามารถระบุตัวเลข r (e)>0 ดังนั้นสำหรับค่าทั้งหมดของ x และ y ซึ่งระยะห่างจาก t p ถึง p0 น้อยกว่า r ความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้จะคงอยู่: ½f(x,y) - A½0 โดยมีรัศมี r ค่าของฟังก์ชันจะแตกต่างจาก A น้อยกว่า e ในค่าสัมบูรณ์ และนี่หมายความว่าเมื่อจุด p เข้าใกล้จุด p 0 ด้วย ใครก็ได้ path ค่าของฟังก์ชันจะเข้าใกล้ตัวเลข A อย่างไม่มีกำหนด

ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

กำหนดให้ฟังก์ชัน z=f(x,y) กำหนดให้ p(x,y) คือจุดปัจจุบัน p 0 (x 0 ,y 0) คือจุดที่กำลังพิจารณา

Def.ฟังก์ชัน z=f(x,y) เรียกว่าต่อเนื่องที่ t p 0 หากตรงตามเงื่อนไข 3 ข้อ:

1) ฟังก์ชั่นถูกกำหนด ณ จุดนี้ ฉ(พี 0) = ฉ(x,y);

2)f-i มีขีดจำกัด ณ จุดนี้

3) ลิมิตเท่ากับค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้: b = f(x 0 ,y 0);

ลิม f(x,y)= ฉ(x 0 ,ย 0 ) ;

พีà พี 0

หากมีการละเมิดเงื่อนไขความต่อเนื่องอย่างน้อย 1 ข้อ จุด p จะเรียกว่าจุดพัก สำหรับฟังก์ชันของ 2 ตัวแปร สามารถแยกจุดพักและเส้นแบ่งทั้งหมดได้

แนวคิดเรื่องขีดจำกัดและความต่อเนื่องสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรจำนวนมากถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน

ฟังก์ชันของตัวแปร 3 ตัวไม่สามารถแสดงเป็นภาพกราฟิกได้ ซึ่งแตกต่างจากฟังก์ชันของ 2 ตัวแปร

สำหรับฟังก์ชัน 3 ตัวแปร อาจมีจุดไม่ต่อเนื่อง เส้นไม่ต่อเนื่อง และพื้นผิวไม่ต่อเนื่อง

อนุพันธ์บางส่วน

ลองพิจารณาฟังก์ชัน z=f(x,y), p(x,y) เป็นจุดที่กำลังพิจารณา

ลองให้อาร์กิวเมนต์ x ส่วนเพิ่ม Dx; x+Dx เราได้จุด p 1 (x+Dx,y) คำนวณความแตกต่างในค่าของฟังก์ชันที่จุด p:

D x z = f(p1)-f(p) = f(x+Dx,y) - f(x,y) - การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชันที่สอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ x

Def. ผลหารของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน z=f(x,y) เทียบกับตัวแปร x เรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนของส่วนเพิ่มบางส่วนของฟังก์ชันนี้เทียบกับตัวแปร x ต่อส่วนเพิ่มนี้เมื่อส่วนหลังมีแนวโน้มที่จะ ศูนย์.

¶ z= ลิม ดี x z

à ¶ z = ลิม ฉ(x+ ดี x,y) - ฉ(x,y)

¶ x ดีx® 0 ดีx

ในทำนองเดียวกัน เราหาผลหารของอนุพันธ์เทียบกับตัวแปร y

การหาอนุพันธ์ย่อย

เมื่อพิจารณาอนุพันธ์บางส่วน จะมีตัวแปรเพียงตัวเดียวเท่านั้นที่เปลี่ยนแปลงในแต่ละครั้ง ตัวแปรที่เหลือจะถือเป็นค่าคงที่ เป็นผลให้แต่ละครั้งที่เราพิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรเพียงตัวเดียวและอนุพันธ์ย่อยเกิดขึ้นพร้อมกับอนุพันธ์ปกติของฟังก์ชันนี้ของตัวแปรตัวเดียว ดังนั้นกฎในการค้นหาอนุพันธ์ย่อย: อนุพันธ์ย่อยเทียบกับตัวแปรที่พิจารณาจะถูกหาให้เป็นอนุพันธ์สามัญของฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว ตัวแปรที่เหลือจะถือเป็นค่าคงที่ ในกรณีนี้ สูตรทั้งหมดสำหรับสร้างความแตกต่างฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว (อนุพันธ์ของผลรวม ผลิตภัณฑ์ ผลหาร) ถือว่าใช้ได้

แนวคิดของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว

หากแต่ละจุด X = (x 1, x 2, ... xn) จากเซต (X) ของจุดของปริภูมิ n มิติสัมพันธ์กับค่าที่กำหนดอย่างดีค่าหนึ่งของตัวแปร z แล้วพวกเขาจะบอกว่าค่าที่กำหนด ฟังก์ชันของตัวแปร n ตัว z = ฉ(x 1, x 2, ...x n) = ฉ (X)

ในกรณีนี้ จะมีการเรียกตัวแปร x 1, x 2, ... xn ตัวแปรอิสระหรือ ข้อโต้แย้งฟังก์ชั่น z - ตัวแปรตามและสัญลักษณ์ f หมายถึง กฎหมายการติดต่อสื่อสาร. เซต (X) เรียกว่า ขอบเขตของคำจำกัดความฟังก์ชั่น (นี่คือเซตย่อยหนึ่งของปริภูมิ n มิติ)

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน z = 1/(x 1 x 2) เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว อาร์กิวเมนต์ของมันคือตัวแปร x 1 และ x 2 และ z เป็นตัวแปรตาม โดเมนของคำจำกัดความคือระนาบพิกัดทั้งหมด ยกเว้นเส้นตรง x 1 = 0 และ x 2 = 0 เช่น โดยไม่มีแกน x และพิกัด โดยการแทนที่จุดใดๆ จากโดเมนของคำจำกัดความลงในฟังก์ชัน เราจะได้ตัวเลขจำนวนหนึ่งตามกฎหมายการติดต่อสื่อสาร ตัวอย่างเช่น การหาประเด็น (2; 5) เช่น x 1 = 2, x 2 = 5 เราได้
z = 1/(2*5) = 0.1 (เช่น z(2; 5) = 0.1)

ฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ z = a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n + b โดยที่ 1, a 2,... และ n, b เป็นจำนวนคงที่ เรียกว่า เชิงเส้น. ถือได้ว่าเป็นผลรวมของฟังก์ชันเชิงเส้น n ของตัวแปร x 1, x 2, ... x n ฟังก์ชันอื่นๆ ทั้งหมดจะถูกเรียกว่า ไม่เชิงเส้น.

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน z = 1/(x 1 x 2) ไม่เป็นเชิงเส้น และฟังก์ชัน z =
= x 1 + 7x 2 - 5 – เชิงเส้น

ฟังก์ชันใด ๆ z = f (X) = f(x 1, x 2, ... x n) สามารถเชื่อมโยงกับฟังก์ชัน n ของตัวแปรหนึ่งได้หากเราแก้ไขค่าของตัวแปรทั้งหมดยกเว้นหนึ่งตัว

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันของตัวแปร 3 ตัว z = 1/(x 1 x 2 x 3) สามารถเชื่อมโยงกับฟังก์ชัน 3 ตัวของตัวแปรตัวเดียวได้ หากเราแก้ไข x 2 = a และ x 3 = b แล้วฟังก์ชันจะอยู่ในรูปแบบ z = 1/(abx 1); ถ้าเราแก้ไข x 1 = a และ x 3 = b แล้วมันจะอยู่ในรูปแบบ z = 1/(abx 2); หากเราแก้ไข x 1 = a และ x 2 = b มันจะอยู่ในรูปแบบ z = 1/(abx 3) ในกรณีนี้ทั้งสามฟังก์ชันจะมีรูปแบบเดียวกัน มันไม่เป็นเช่นนั้นเสมอไป ตัวอย่างเช่น หากเราแก้ไข x 2 = a สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว มันจะอยู่ในรูปแบบ z = 5x 1 a นั่นคือ ฟังก์ชันกำลัง และถ้าเราแก้ไข x 1 = a มันจะอยู่ในรูปแบบ นั่นคือ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

กำหนดการฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว z = f(x, y) คือเซตของจุดในปริภูมิสามมิติ (x, y, z) โดยที่ z จะใช้สัมพันธ์กับ abscissa x และกำหนด y ด้วยความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน
z = ฉ (x, y) กราฟนี้แสดงถึงพื้นผิวบางส่วนในพื้นที่สามมิติ (เช่น ในรูปที่ 5.3)

สามารถพิสูจน์ได้ว่าถ้าฟังก์ชันเป็นเส้นตรง (เช่น z = ax + x + c) กราฟของฟังก์ชันจะเป็นระนาบในปริภูมิสามมิติ ตัวอย่างอื่นๆ กราฟ 3 มิติแนะนำให้ศึกษาด้วยตนเองโดยใช้ตำราเรียนของเครเมอร์ (หน้า 405-406)

หากมีตัวแปรมากกว่าสองตัว (n ตัวแปร) แล้ว กำหนดการฟังก์ชันคือเซตของจุดในปริภูมิมิติ (n+1) ซึ่งพิกัด x n+1 ถูกคำนวณตามกฎการทำงานที่กำหนด กราฟดังกล่าวเรียกว่า ไฮเปอร์เซอร์เฟซ(สำหรับฟังก์ชันเชิงเส้น – ไฮเปอร์เพลน) และยังแสดงถึงนามธรรมทางวิทยาศาสตร์ด้วย (เป็นไปไม่ได้ที่จะบรรยาย)

รูปที่ 5.3 – กราฟของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวในพื้นที่สามมิติ

พื้นผิวระดับฟังก์ชันของตัวแปร n คือเซตของจุดในปริภูมิ n มิติ โดยที่จุดเหล่านี้ทั้งหมด ค่าของฟังก์ชันจะเท่ากันและเท่ากับ C ตัวตัวเลข C ในกรณีนี้เรียกว่า ระดับ.

โดยปกติแล้ว สำหรับฟังก์ชันเดียวกัน เป็นไปได้ที่จะสร้างพื้นผิวระดับจำนวนอนันต์ (สอดคล้องกับระดับที่ต่างกัน)

สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว ระดับพื้นผิวจะอยู่ในรูปแบบ เส้นระดับ.

ตัวอย่างเช่น พิจารณา z = 1/(x 1 x 2) สมมติว่า C = 10 เช่น 1/(x 1 x 2) = 10 จากนั้น x 2 = 1/(10x 1) กล่าวคือ บนระนาบ เส้นระดับจะอยู่ในรูปแบบที่แสดงในรูปที่ 5.4 เป็นเส้นทึบ ในอีกระดับหนึ่ง เช่น C = 5 เราจะได้เส้นระดับในรูปแบบกราฟของฟังก์ชัน x 2 = 1/(5x 1) (แสดงด้วยเส้นประในรูปที่ 5.4)

รูปที่ 5.4 - เส้นระดับฟังก์ชัน z = 1/(x 1 x 2)

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่ง ให้ z = 2x 1 + x 2 สมมติว่า C = 2 นั่นคือ 2x 1 + x 2 = 2 จากนั้น x 2 = 2 - 2x 1 เช่น บนระนาบ เส้นระดับจะอยู่ในรูปของเส้นตรง แสดงในรูปที่ 5.5 เป็นเส้นทึบ ในอีกระดับหนึ่ง เช่น C = 4 เราจะได้เส้นระดับในรูปแบบของเส้นตรง x 2 = 4 - 2x 1 (แสดงด้วยเส้นประในรูปที่ 5.5) เส้นระดับสำหรับ 2x 1 + x 2 = 3 แสดงในรูปที่ 5.5 เป็นเส้นประ

เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าสำหรับฟังก์ชันเชิงเส้นของตัวแปรสองตัว เส้นระดับใดๆ จะเป็นเส้นตรงบนระนาบ และเส้นระดับทั้งหมดจะขนานกัน

รูปที่ 5.5 - เส้นระดับฟังก์ชัน z = 2x 1 + x 2

) เราพบอนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันที่ซับซ้อนซ้ำแล้วซ้ำเล่า เช่น ตัวอย่างที่ยากกว่า แล้วจะคุยอะไรอีกล่ะ! ...และทุกสิ่งก็เหมือนในชีวิต - ไม่มีความซับซ้อนที่ไม่สามารถซับซ้อนได้ =) แต่คณิตศาสตร์คือสิ่งที่คณิตศาสตร์มีไว้ เพื่อปรับความหลากหลายของโลกของเราให้อยู่ในกรอบที่เข้มงวด และบางครั้งสามารถทำได้ด้วยประโยคเดียว:

โดยทั่วไปฟังก์ชันเชิงซ้อนจะมีรูปแบบ , ที่ไหน, อย่างน้อยหนึ่งของตัวอักษรแสดงถึง การทำงานซึ่งอาจขึ้นอยู่กับ โดยพลการจำนวนตัวแปร

ตัวเลือกขั้นต่ำและง่ายที่สุดคือฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่คุ้นเคยมานานของตัวแปรหนึ่งตัว อนุพันธ์ของใครเราเรียนรู้วิธีค้นหาภาคเรียนที่แล้ว คุณยังมีทักษะในการแยกแยะฟังก์ชันต่างๆ (ลองดูฟังก์ชั่นเดียวกัน ) .

ดังนั้นตอนนี้เราจะสนใจเฉพาะกรณีนี้ เนื่องจากฟังก์ชันที่ซับซ้อนมีหลากหลาย สูตรทั่วไปสำหรับอนุพันธ์จึงยุ่งยากมากและย่อยยาก ในเรื่องนี้ ข้าพเจ้าจะจำกัดตัวเองอยู่เพียงตัวอย่างเฉพาะที่ท่านสามารถเข้าใจได้ หลักการทั่วไปค้นหาอนุพันธ์เหล่านี้:

ตัวอย่างที่ 1

รับฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่ไหน . ที่จำเป็น:
1) ค้นหาอนุพันธ์ของมันและเขียนผลต่างรวมลำดับที่ 1
2) คำนวณมูลค่าของอนุพันธ์ที่

สารละลาย: ก่อนอื่น มาดูฟังก์ชันกันก่อน เราได้รับฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับ และ ซึ่งในทางกลับกัน เป็นฟังก์ชันตัวแปรหนึ่ง:

ประการที่สอง ให้ความสนใจกับงานอย่างใกล้ชิด - เราต้องค้นหา อนุพันธ์นั่นคือเราไม่ได้พูดถึงอนุพันธ์บางส่วนซึ่งเราคุ้นเคยกับการค้นหา! ตั้งแต่ฟังก์ชั่น จริงๆ แล้วขึ้นอยู่กับตัวแปรเพียงตัวเดียว ดังนั้นคำว่า “อนุพันธ์” จึงหมายถึง อนุพันธ์ทั้งหมด. จะหาเธอได้อย่างไร?

สิ่งแรกที่นึกถึงคือการทดแทนโดยตรงและการสร้างความแตกต่างเพิ่มเติม มาทดแทนกันเถอะ ในการทำงาน:
หลังจากนั้นก็ไม่มีปัญหากับอนุพันธ์ที่ต้องการ:

และผลต่างรวม:

วิธีแก้ปัญหานี้ถูกต้องตามหลักคณิตศาสตร์ แต่มีข้อแม้เล็กน้อยคือเมื่อปัญหาได้รับการกำหนดตามวิธีที่กำหนด ไม่มีใครคาดหวังความป่าเถื่อนดังกล่าวจากคุณ =) แต่เอาจริง ๆ คุณจะพบข้อผิดพลาดได้ที่นี่ ลองนึกภาพว่าฟังก์ชันหนึ่งอธิบายการบินของผึ้งบัมเบิลบี และฟังก์ชันที่ซ้อนกันจะเปลี่ยนแปลงไปตามอุณหภูมิ ดำเนินการทดแทนโดยตรง เราได้รับเท่านั้น ข้อมูลส่วนตัวซึ่งแสดงลักษณะการบินเฉพาะในสภาพอากาศร้อนเท่านั้น ยิ่งกว่านั้นหากบุคคลที่ไม่มีความรู้เกี่ยวกับผึ้งบัมเบิลบีถูกนำเสนอพร้อมกับผลลัพธ์ที่เสร็จสมบูรณ์และยังบอกว่าฟังก์ชันนี้คืออะไร เขาก็จะไม่ได้เรียนรู้อะไรเกี่ยวกับกฎพื้นฐานของการบินเลย!

ดังนั้นโดยไม่คาดคิดเลยพี่ชายที่ส่งเสียงพึมพำของเราช่วยให้เราเข้าใจความหมายและความสำคัญของสูตรสากล:

ทำความคุ้นเคยกับสัญกรณ์ "สองชั้น" สำหรับอนุพันธ์ - ในงานที่อยู่ระหว่างการพิจารณานั้นเป็นงานที่ใช้งานอยู่ ในกรณีนี้ควรจะเป็น เรียบร้อยมากในรายการ: อนุพันธ์ที่มีสัญลักษณ์ตรง “de” คือ อนุพันธ์ที่สมบูรณ์และอนุพันธ์ที่มีไอคอนโค้งมนคือ อนุพันธ์บางส่วน. เริ่มจากอันสุดท้ายกันก่อน:

โดยทั่วไปแล้วทุกอย่างจะเป็น "ก้อย" โดยทั่วไป:

ลองแทนที่อนุพันธ์ที่พบเป็นสูตรของเรา:

เมื่อฟังก์ชันถูกเสนอในตอนแรกด้วยวิธีที่ซับซ้อน มันจะเป็นตรรกะ (และนี่คือคำอธิบายข้างต้น!)ปล่อยให้ผลลัพธ์เป็นดังนี้:

ในเวลาเดียวกันในคำตอบที่ "ซับซ้อน" เป็นการดีกว่าที่จะละเว้นจากการทำให้เข้าใจง่ายน้อยที่สุด (เช่นที่นี่ขอให้ลบ 3 minuses)- และคุณมีงานน้อยลงและเพื่อนขนปุยของคุณก็ยินดีที่จะตรวจสอบงานได้ง่ายขึ้น

อย่างไรก็ตามการตรวจสอบอย่างคร่าวๆจะไม่ฟุ่มเฟือย มาทดแทนกันเถอะ เข้าไปในอนุพันธ์ที่พบและดำเนินการลดความซับซ้อน:


(ในขั้นตอนสุดท้ายที่เราใช้ สูตรตรีโกณมิติ , )

เป็นผลให้ได้ผลลัพธ์เช่นเดียวกับวิธีการแก้ปัญหาแบบ "ป่าเถื่อน"

ลองคำนวณอนุพันธ์ ณ จุดนั้นดู ขั้นแรก จะสะดวกในการค้นหาค่า "การขนส่ง" (ค่าฟังก์ชัน ) :

ตอนนี้เราจัดทำการคำนวณขั้นสุดท้ายซึ่งในกรณีนี้สามารถทำได้หลายวิธี ฉันใช้เทคนิคที่น่าสนใจโดยที่ "พื้น" ที่ 3 และ 4 ถูกทำให้ง่ายขึ้นไม่เป็นไปตามกฎปกติ แต่ถูกแปลงเป็นผลหารของตัวเลขสองตัว:

และแน่นอนว่า การไม่ตรวจสอบโดยใช้สัญลักษณ์ที่กะทัดรัดกว่านี้ถือเป็นบาป :

คำตอบ:

มันเกิดขึ้นที่มีการเสนอปัญหาในรูปแบบ "กึ่งทั่วไป":

“จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยที่ »

นั่นคือไม่ได้ให้ฟังก์ชัน "หลัก" แต่ "ส่วนแทรก" นั้นค่อนข้างเฉพาะเจาะจง ควรให้คำตอบในลักษณะเดียวกัน:

นอกจากนี้ เงื่อนไขยังสามารถเข้ารหัสได้เล็กน้อย:

“จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน »

ในกรณีนี้คุณต้องการ ด้วยตัวเองกำหนดฟังก์ชันที่ซ้อนกันด้วยตัวอักษรที่เหมาะสมบางตัว เช่น ผ่าน และใช้สูตรเดียวกัน:

โดยวิธีการเกี่ยวกับการกำหนดตัวอักษร ฉันเตือนซ้ำแล้วซ้ำเล่าว่าอย่า "ยึดติดกับจดหมาย" ราวกับว่ามันเป็นเครื่องช่วยชีวิต และตอนนี้สิ่งนี้มีความเกี่ยวข้องอย่างยิ่ง! เมื่อวิเคราะห์แหล่งข้อมูลต่าง ๆ ในหัวข้อนี้ ฉันมักจะรู้สึกว่าผู้เขียน "บ้าไปแล้ว" และเริ่มโยนนักเรียนลงสู่ห้วงคณิตศาสตร์ที่เต็มไปด้วยพายุอย่างไร้ความปราณี =) ดังนั้นยกโทษให้ฉันด้วย :))

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน , ถ้า

การกำหนดอื่น ๆ ไม่ควรสับสน! ทุกครั้งที่คุณเจองานแบบนี้ คุณจะต้องตอบคำถามง่ายๆ สองข้อ:

1) ฟังก์ชั่น "หลัก" ขึ้นอยู่กับอะไร?ในกรณีนี้ ฟังก์ชัน “zet” ขึ้นอยู่กับสองฟังก์ชัน (“y” และ “ve”)

2) ฟังก์ชันที่ซ้อนกันขึ้นอยู่กับตัวแปรใดบ้างในกรณีนี้ “ส่วนแทรก” ทั้งสองจะขึ้นอยู่กับ “X” เท่านั้น

ดังนั้นคุณจึงไม่มีปัญหาในการปรับสูตรให้เข้ากับงานนี้!

คำตอบสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

สามารถดูตัวอย่างเพิ่มเติมของประเภทแรกได้ใน หนังสือปัญหาของ Ryabushko (IDZ 10.1)เรากำลังมุ่งหน้าไป ฟังก์ชันของตัวแปรทั้งสาม:

ตัวอย่างที่ 3

รับฟังก์ชันโดยที่ .
คำนวณอนุพันธ์ ณ จุด

สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนตามที่หลายๆ คนคาดเดามีรูปแบบที่เกี่ยวข้องกัน:

ตัดสินใจเมื่อคุณเดา =)

ในกรณีนี้ ฉันจะให้สูตรทั่วไปสำหรับฟังก์ชันนี้:
แม้ว่าในทางปฏิบัติ คุณไม่น่าจะเห็นอะไรนานกว่าตัวอย่างที่ 3 เลย

นอกจากนี้บางครั้งจำเป็นต้องแยกความแตกต่างของเวอร์ชันที่ "ถูกตัดทอน" - ตามกฎแล้วฟังก์ชันของแบบฟอร์มหรือ ฉันฝากคำถามนี้ไว้ให้คุณศึกษาด้วยตัวเอง - คิดตัวอย่างง่ายๆ คิด ทดลอง และรับสูตรย่อสำหรับอนุพันธ์

หากยังไม่ชัดเจน โปรดค่อยๆ อ่านและทำความเข้าใจส่วนแรกของบทเรียนใหม่ เพราะตอนนี้งานจะซับซ้อนมากขึ้น:

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันเชิงซ้อนโดยที่

สารละลาย: ฟังก์ชั่นนี้มีรูปแบบ และหลังจากการทดแทนโดยตรงและเราได้รับฟังก์ชันปกติของตัวแปรสองตัว:

แต่ความกลัวดังกล่าวไม่เพียงแต่ไม่ได้รับการยอมรับเท่านั้น แต่ยังไม่มีใครต้องการแยกความแตกต่างอีกต่อไป =) ดังนั้นเราจะใช้สูตรสำเร็จรูป เพื่อช่วยให้คุณเข้าใจรูปแบบได้อย่างรวดเร็ว ฉันจะจดบันทึกไว้:

ดูภาพอย่างละเอียดจากบนลงล่างและซ้ายไปขวา….

ก่อนอื่น เรามาค้นหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน "main" กันก่อน:

ตอนนี้เราพบอนุพันธ์ของ "X" ของ "liners":

และเขียนอนุพันธ์ตัวสุดท้าย “X”:

ในทำนองเดียวกันกับ "เกม":

และ

คุณสามารถยึดติดกับสไตล์อื่นได้ - ค้นหา "ก้อย" ทั้งหมดในคราวเดียว แล้วเขียนอนุพันธ์ทั้งสองลงไป

คำตอบ:

เกี่ยวกับการทดแทน ฉันไม่คิดถึงมันเลย =) =) แต่คุณสามารถปรับแต่งผลลัพธ์ได้เล็กน้อย แม้ว่าอีกครั้งทำไม? – เพียงแต่ทำให้ครูตรวจสอบได้ยากขึ้นเท่านั้น

หากจำเป็นแล้ว เฟืองท้ายเต็มที่นี่เขียนตามสูตรปกติและในขั้นตอนนี้เครื่องสำอางเนื้อบางเบาก็เหมาะสม:


นี่คือ... ...โลงศพติดล้อ

เนื่องจากความนิยมของประเภทของฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่อยู่ระหว่างการพิจารณา จึงมีงานสองสามอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ ตัวอย่างที่ง่ายกว่าในรูปแบบ "กึ่งทั่วไป" คือการทำความเข้าใจสูตรเอง ;-):

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันโดยที่

และซับซ้อนยิ่งขึ้น - ด้วยการรวมเทคนิคการสร้างความแตกต่าง:

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาส่วนต่างที่สมบูรณ์ของฟังก์ชัน , ที่ไหน

ไม่ ฉันไม่ได้พยายาม "ส่งคุณไปที่จุดต่ำสุด" เลย - ตัวอย่างทั้งหมดนำมาจาก งานจริงและ "ในทะเลหลวง" คุณสามารถเจอตัวอักษรใดก็ได้ ไม่ว่าในกรณีใดคุณจะต้องวิเคราะห์ฟังก์ชัน (ตอบคำถาม 2 ข้อ – ดูด้านบน)นำเสนอมันใน ปริทัศน์และปรับเปลี่ยนสูตรอนุพันธ์บางส่วนอย่างระมัดระวัง ตอนนี้คุณอาจสับสนเล็กน้อย แต่คุณจะเข้าใจหลักการก่อสร้างของพวกเขา! เพราะความท้าทายที่แท้จริงเพิ่งเริ่มต้น :)))

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาอนุพันธ์ย่อยและสร้างอนุพันธ์ที่สมบูรณ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน
, ที่ไหน

สารละลาย: ฟังก์ชัน "main" มีรูปแบบและยังคงขึ้นอยู่กับตัวแปรสองตัวคือ "x" และ "y" แต่เมื่อเทียบกับตัวอย่างที่ 4 มีการเพิ่มฟังก์ชันที่ซ้อนกันอีกฟังก์ชันหนึ่ง ดังนั้นสูตรอนุพันธ์บางส่วนจึงยาวขึ้นด้วย ดังเช่นในตัวอย่างนี้ เพื่อให้มองเห็นรูปแบบได้ดีขึ้น ฉันจะเน้นอนุพันธ์บางส่วน "หลัก" ในสีต่างๆ:

และขอย้ำอีกครั้งว่าให้ศึกษาบันทึกอย่างละเอียดจากบนลงล่างและจากซ้ายไปขวา

เนื่องจากปัญหาถูกกำหนดไว้ในรูปแบบ "กึ่งทั่วไป" งานทั้งหมดของเราจึงถูกจำกัดอยู่เพียงการค้นหาอนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันที่ฝังตัว:

นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 สามารถจัดการ:

และแม้แต่ดิฟเฟอเรนเชียลแบบเต็มก็ยังออกมาค่อนข้างดี:

ฉันไม่ได้เสนอฟังก์ชันเฉพาะใด ๆ ให้คุณโดยเจตนา - เพื่อให้ความยุ่งเหยิงที่ไม่จำเป็นไม่รบกวนความเข้าใจที่ดี แผนภาพงาน

คำตอบ:

บ่อยครั้งคุณจะพบการลงทุนแบบ "คละขนาด" เช่น:

ที่นี่ฟังก์ชัน "main" แม้ว่าจะมีรูปแบบ แต่ก็ยังขึ้นอยู่กับทั้ง "x" และ "y" ดังนั้นสูตรเดียวกันจึงใช้งานได้ - อนุพันธ์บางส่วนจะเท่ากับศูนย์ นอกจากนี้ สิ่งนี้ยังเกิดขึ้นจริงสำหรับฟังก์ชันเช่น ซึ่งแต่ละ “ไลเนอร์” ขึ้นอยู่กับตัวแปรตัวเดียว

สถานการณ์ที่คล้ายกันเกิดขึ้นในสองตัวอย่างสุดท้ายของบทเรียน:

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาผลต่างรวมของฟังก์ชันเชิงซ้อนที่จุดหนึ่ง

สารละลาย: เงื่อนไขถูกกำหนดในลักษณะ "งบประมาณ" และเราต้องติดป้ายกำกับฟังก์ชันที่ซ้อนกันด้วยตนเอง ฉันคิดว่านี่เป็นตัวเลือกที่ดี:

“ส่วนแทรก” ประกอบด้วย ( ความสนใจ!) ตัวอักษรสามตัวคือ "X-Y-Z" แบบเก่าที่ดี ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชัน "main" จริงๆ แล้วขึ้นอยู่กับตัวแปรสามตัว สามารถเขียนใหม่อย่างเป็นทางการเป็น และอนุพันธ์ย่อยในกรณีนี้ถูกกำหนดโดยสูตรต่อไปนี้:

เราสแกน เราเจาะลึก เราจับภาพ….

ในงานของเรา:

คำนิยาม. ตัวแปร z(พร้อมพื้นที่เปลี่ยน ซี) เรียกว่า ฟังก์ชันของตัวแปรอิสระสองตัว เอ็กซ์, ยในความอุดมสมบูรณ์ มถ้าแต่ละคู่ ( เอ็กซ์, ย) จากหลายๆ คน ม zจาก ซี.

คำนิยาม. พวงของ มซึ่งมีการระบุตัวแปรไว้ เอ็กซ์, วาย,เรียกว่า โดเมนของฟังก์ชัน, ตั้ง Z – ช่วงฟังก์ชันและตัวพวกเขาเอง เอ็กซ์, ย- ของเธอ ข้อโต้แย้ง.

การกำหนด: z = ฉ(x,y), z = z(x,y)

ตัวอย่าง.

คำนิยาม . ตัวแปร z(พร้อมพื้นที่เปลี่ยน ซี) เรียกว่า ฟังก์ชันของตัวแปรอิสระหลายตัวในความอุดมสมบูรณ์ มถ้าแต่ละชุดมีตัวเลขจากชุด มตามกฎหรือกฎหมายบางอย่าง จะมีการกำหนดค่าเฉพาะหนึ่งค่าไว้ zจาก ซี.แนวคิดเรื่องอาร์กิวเมนต์ โดเมนของคำจำกัดความ และโดเมนของค่าถูกนำมาใช้ในลักษณะเดียวกับฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว

การกำหนด: ซ = ฉ, ซ = ซ.

ความคิดเห็น เนื่องจากตัวเลขสองสามตัว ( เอ็กซ์, ย) ถือได้ว่าเป็นพิกัดของจุดใดจุดหนึ่งบนระนาบ ต่อมาเราจะใช้คำว่า "จุด" สำหรับอาร์กิวเมนต์คู่ของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว รวมถึงชุดตัวเลขที่เรียงลำดับซึ่งเป็นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน ของตัวแปรหลายๆ ตัว

การแสดงเรขาคณิตของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว

พิจารณาฟังก์ชัน

z = ฉ(x,y), (15.1)

ที่กำหนดไว้ในบางพื้นที่ มบนเครื่องบิน O เอ็กซ์ซี. จากนั้นเซตของจุดในปริภูมิสามมิติที่มีพิกัด ( x,y,z)โดยที่ คือกราฟของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว เนื่องจากสมการ (15.1) กำหนดพื้นผิวที่แน่นอนในปริภูมิสามมิติ มันจะเป็นเช่นนี้ ภาพเรขาคณิตฟังก์ชั่นที่เป็นปัญหา

โดเมนฟังก์ชัน z = ฉ(x,y)ในกรณีที่ง่ายที่สุด มันเป็นส่วนหนึ่งของระนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งปิด และจุดของเส้นโค้งนี้ (ขอบเขตของขอบเขต) อาจเป็นหรืออาจจะไม่อยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความ หรือทั้งระนาบ หรือ สุดท้ายคือชุดของหลายส่วนของระนาบ xOy

z = ฉ(x,y)

ตัวอย่างได้แก่สมการของระนาบ z = ขวาน + โดย + c

และพื้นผิวลำดับที่สอง: ซ = x² + ย² (พาราโบลาแห่งการปฏิวัติ)

(กรวย) เป็นต้น

ความคิดเห็น สำหรับฟังก์ชันที่มีตัวแปรตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไป เราจะใช้คำว่า "พื้นผิวใน" n-พื้นที่มิติ” แม้ว่าจะเป็นไปไม่ได้ที่จะพรรณนาถึงพื้นผิวดังกล่าวก็ตาม

เส้นระดับและพื้นผิว

สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวที่กำหนดโดยสมการ (15.1) เราสามารถพิจารณาเซตของจุด ( เอ็กซ์, ย)โอ้เครื่องบิน เอ็กซ์ซี, ซึ่ง zรับค่าคงที่เดียวกันนั่นคือ z= ค่าคงที่ จุดเหล่านี้ก่อตัวเป็นเส้นบนระนาบที่เรียกว่า เส้นระดับ.

ตัวอย่าง.

ค้นหาเส้นระดับของพื้นผิว ซี = 4 – x² - ย². สมการของพวกเขาดูเหมือน x² + ย² = 4 – ค(ค=const) – สมการของวงกลมศูนย์กลางที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและมีรัศมี เช่น เมื่อใด กับ=0 เราได้วงกลม x² + ย² = 4

สำหรับฟังก์ชันของตัวแปร 3 ตัว คุณ = คุณ(x, y, z)สมการ คุณ(x, y, z) = คกำหนดพื้นผิวในปริภูมิสามมิติซึ่งเรียกว่า พื้นผิวระดับ.

ตัวอย่าง.

สำหรับฟังก์ชั่น คุณ = 3x + 5ย – 7zพื้นผิวระดับ –12 จะเป็นตระกูลของระนาบขนานที่กำหนดโดยสมการที่ 3 x + 5ย – 7z –12 + กับ = 0.

ขีดจำกัดและความต่อเนื่องของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว

เรามาแนะนำแนวคิดกัน δ-บริเวณใกล้เคียงคะแนน ม 0 (x 0, ย 0)บนเครื่องบิน O เอ็กซ์ซีเป็นวงกลมรัศมี δ โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดที่กำหนด ในทำนองเดียวกัน เราสามารถกำหนด δ-บริเวณใกล้เคียงในพื้นที่สามมิติเป็นลูกบอลรัศมี δ โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด ม 0 (x 0, ย 0, z 0). สำหรับ n-ปริภูมิมิติ เราจะเรียกว่า δ-พื้นที่ใกล้เคียงของจุด ม 0 ชุดคะแนน มโดยมีพิกัดตรงตามเงื่อนไข

พิกัดของจุดอยู่ที่ไหน ม 0 . บางครั้งชุดนี้เรียกว่า “ลูกบอล” ค่ะ n-พื้นที่มิติ

คำนิยาม. เรียกว่าหมายเลข A ขีด จำกัดฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว ฉตรงจุด ม 0 ถ้าเป็นเช่นนั้น | ฉ(ม) – ก| < ε для любой точки มจาก δ-บริเวณใกล้เคียง ม 0 .

การกำหนด: .

จะต้องคำนึงถึงว่าในกรณีนี้ประเด็น มอาจจะใกล้เข้ามาแล้ว ม 0 ซึ่งค่อนข้างจะพูดตามวิถีใดๆ ภายใน δ-บริเวณใกล้เคียงของจุด ม 0 . ดังนั้นจึงควรแยกแยะขีดจำกัดของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวในความหมายทั่วไปออกจากสิ่งที่เรียกว่า ขีดจำกัดซ้ำแล้วซ้ำอีกได้รับจากข้อความต่อเนื่องจนถึงขีดจำกัดสำหรับแต่ละอาร์กิวเมนต์แยกกัน

ตัวอย่าง.

ความคิดเห็น สามารถพิสูจน์ได้ว่าจากการดำรงอยู่ของขีดจำกัด ณ จุดที่กำหนดในความหมายปกติ และการดำรงอยู่ ณ จุดนี้ของขีดจำกัดในแต่ละข้อโต้แย้ง การดำรงอยู่และความเท่าเทียมกันของขีดจำกัดซ้ำๆ จะตามมา ข้อความย้อนกลับไม่เป็นความจริง

คำนิยาม การทำงาน ฉเรียกว่า อย่างต่อเนื่องตรงจุด ม 0 ถ้า (15.2)

หากเราแนะนำสัญลักษณ์ เงื่อนไข (15.2) ก็สามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบ (15.3)

คำนิยาม . จุดภายใน ม 0โดเมนฟังก์ชัน z = ฉ(M)เรียกว่า จุดพักฟังก์ชันถ้าเงื่อนไข (15.2), (15.3) ไม่เป็นที่พอใจ ณ จุดนี้

ความคิดเห็น จุดความไม่ต่อเนื่องหลายจุดสามารถเกิดขึ้นได้บนเครื่องบินหรือในอวกาศ เส้นหรือ พื้นผิวแตกหัก.

ตัวอย่าง.

คุณสมบัติของลิมิตและฟังก์ชันต่อเนื่อง

เนื่องจากคำจำกัดความของขีด จำกัด และความต่อเนื่องสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวนั้นเกือบจะตรงกับคำจำกัดความที่สอดคล้องกันสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว ดังนั้นสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว คุณสมบัติทั้งหมดของขีด จำกัด และฟังก์ชันต่อเนื่องที่พิสูจน์แล้วในส่วนแรกของหลักสูตรจะถูกเก็บรักษาไว้ กล่าวคือ:

1) หากมีอยู่ก็จะมีอยู่และ (ถ้า)

2) ถ้า และเพื่อใดๆ ฉันมีขีดจำกัดและมีที่ไหนสักแห่ง ม 0แล้วมีขีดจำกัดของฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่ พิกัดของจุดอยู่ที่ไหน ร 0 .

3) ถ้าฟังก์ชั่น ฉ(ม)และ ก.(ม)อย่างต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง ม 0 จากนั้น ณ จุดนี้ ฟังก์ชันต่างๆ ก็จะต่อเนื่องกันเช่นกัน f(M) + g(M), kf(M), f(M) g(M), f(M)/g(M)(ถ้า ก.(ม 0) ≠ 0).

4) ถ้าฟังก์ชันต่อเนื่องกันที่จุดนั้น พี 0และฟังก์ชันมีความต่อเนื่อง ณ จุดนั้น ม 0โดยที่ ฟังก์ชันเชิงซ้อนจะต่อเนื่องกันที่จุดนั้น อาร์ 0 .

5) ฟังก์ชั่นทำงานต่อเนื่องในพื้นที่จำกัดแบบปิด ดีใช้ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดในภูมิภาคนี้

6) หากฟังก์ชันทำงานต่อเนื่องในพื้นที่จำกัดแบบปิด ดี,รับค่าในภูมิภาคนี้ กและ ในแล้วเธอก็เข้าพื้นที่ ดีและค่ากลางใดๆ ที่อยู่ระหว่างนั้น กและ ใน.

7) หากฟังก์ชันทำงานต่อเนื่องในพื้นที่จำกัดแบบปิด ดี,เอาค่าของเครื่องหมายต่างๆในภูมิภาคนี้แล้วจะมีก อย่างน้อยจุดหนึ่งจากพื้นที่ ดีในที่นั้น ฉ = 0.

อนุพันธ์บางส่วน

ลองพิจารณาเปลี่ยนฟังก์ชันเมื่อระบุส่วนเพิ่มให้กับอาร์กิวเมนต์ตัวใดตัวหนึ่งเท่านั้น - x ฉันและลองเรียกมันว่า

คำนิยาม . อนุพันธ์บางส่วนฟังก์ชั่นตามข้อโต้แย้ง x ฉันเรียกว่า .

การกำหนด: .

ดังนั้นอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวจึงถูกกำหนดให้เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันจริงๆ ตัวแปรหนึ่งตัว – x i. ดังนั้นคุณสมบัติทั้งหมดของอนุพันธ์ที่พิสูจน์แล้วสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งจึงสามารถใช้ได้

ความคิดเห็น ในการคำนวณเชิงปฏิบัติของอนุพันธ์ย่อย เราใช้กฎปกติในการหาความแตกต่างของฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง โดยสมมติว่าอาร์กิวเมนต์ที่ใช้ในการหาอนุพันธ์นั้นเป็นตัวแปร และอาร์กิวเมนต์ที่เหลือจะคงที่

ตัวอย่าง .

1. ซี = 2x² + 3 เอ็กซ์ซี –12ย² + 5 x – 4ย +2,

2. ซี = เอ็กซ์วาย

การตีความทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว

พิจารณาสมการพื้นผิว z = ฉ(x,y)และวาดเครื่องบิน x=ค่าคงที่ ให้เราเลือกจุดบนเส้นตัดของระนาบและพื้นผิว ม(x,ย). ถ้าจะให้โต้แย้ง ที่เพิ่มขึ้น ∆ ที่และพิจารณาจุด T บนเส้นโค้งด้วยพิกัด ( x, y+Δ ใช่, z+∆y z) จากนั้นแทนเจนต์ของมุมที่เกิดจากเส้นตัด MT ที่มีทิศทางบวกของแกน O ที่จะเท่ากับ เมื่อผ่านไปยังขีด จำกัด ที่ เราพบว่าอนุพันธ์บางส่วนเท่ากับแทนเจนต์ของมุมที่เกิดจากแทนเจนต์กับเส้นโค้งผลลัพธ์ที่จุด มโดยมีทิศทางบวกของแกน O ยู.ดังนั้นอนุพันธ์ย่อยจึงเท่ากับแทนเจนต์ของมุมกับแกน O เอ็กซ์แทนเจนต์กับเส้นโค้งที่ได้จากการแบ่งส่วนพื้นผิว z = ฉ(x,y)เครื่องบิน ย =ค่าคงที่

ความแตกต่างของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว

เมื่อศึกษาประเด็นที่เกี่ยวข้องกับความแตกต่าง เราจะจำกัดตัวเองอยู่เพียงกรณีของฟังก์ชันของตัวแปร 3 ตัว เนื่องจากข้อพิสูจน์ทั้งหมดสำหรับ มากกว่าตัวแปรก็ดำเนินการในลักษณะเดียวกัน

คำนิยาม . เพิ่มขึ้นเต็มจำนวนฟังก์ชั่น ยู = ฉ(x, y, z)เรียกว่า

ทฤษฎีบท 1 หากมีอนุพันธ์บางส่วนอยู่ที่จุด ( x 0, ย 0, z 0) และในละแวกใกล้เคียงบางแห่งและต่อเนื่องกันตรงจุด ( x 0 , ย 0 , z 0) จากนั้นจะถูกจำกัด (เนื่องจากโมดูลไม่เกิน 1)

จากนั้น การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่ตรงตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท 1 สามารถแสดงเป็น: , (15.6)

คำนิยาม . ถ้าฟังก์ชันเพิ่มขึ้น คุณ = ฉ (x, y, z)ณ จุด ( x 0 , ปี 0 , z 0)สามารถแสดงได้ในรูปแบบ (15.6), (15.7) จากนั้นจึงเรียกใช้ฟังก์ชัน หาความแตกต่างได้ณ จุดนี้และการแสดงออกคือ ส่วนเชิงเส้นหลักของการเพิ่มขึ้นหรือ เฟืองท้ายเต็มฟังก์ชั่นที่เป็นปัญหา

การกำหนด: ดู่, df (x 0 , y 0 , z 0)

เช่นเดียวกับในกรณีของฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง ค่าดิฟเฟอเรนเชียลของตัวแปรอิสระจะถูกพิจารณาว่าเป็นการเพิ่มขึ้นตามอำเภอใจ ดังนั้น

หมายเหตุ 1. ดังนั้น คำว่า "ฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้" จึงไม่เท่ากับคำว่า "ฟังก์ชันมีอนุพันธ์บางส่วน" - สำหรับความสามารถในการหาอนุพันธ์ จำเป็นต้องมีความต่อเนื่องของอนุพันธ์เหล่านี้ ณ จุดที่เป็นปัญหาด้วย

.

พิจารณาฟังก์ชันแล้วเลือก x 0 = 1, ใช่ 0 = 2. จากนั้น ∆ x= 1.02 – 1 = 0.02; Δ ย = 1.97 – 2 = -0.03 มาหากัน.

ฉะนั้นแล้ว ฉ ( 1, 2) = 3 เราได้