ฟังก์ชันเชิงเส้นและกราฟ ฟังก์ชันเชิงเส้น ฟังก์ชันเชิงเส้น y 3 5x
ฟังก์ชันเชิงเส้นเรียกว่าฟังก์ชันของแบบฟอร์ม y = kx + ขซึ่งกำหนดบนเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ที่นี่ เค– ความชัน (จำนวนจริง) ข – เทอมอิสระ (จำนวนจริง) x– ตัวแปรอิสระ
ในกรณีพิเศษหาก เค = 0เราได้รับฟังก์ชันคงที่ ย = ขซึ่งเป็นกราฟที่เป็นเส้นตรงขนานกับแกนวัวที่ผ่านจุดที่มีพิกัด (0; ข).
ถ้า ข = 0แล้วเราจะได้ฟังก์ชัน y = kx, ซึ่งเป็น สัดส่วนโดยตรง
ข – ความยาวส่วนซึ่งถูกตัดออกเป็นเส้นตรงตามแนวแกนออยนับจากจุดกำเนิด
ความหมายทางเรขาคณิตของสัมประสิทธิ์ เค – มุมเอียงตรงไปยังทิศทางบวกของแกน Ox พิจารณาทวนเข็มนาฬิกา
คุณสมบัติของฟังก์ชันเชิงเส้น:
1) ขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันเชิงเส้นคือแกนจริงทั้งหมด
2) ถ้า เค ≠ 0จากนั้นช่วงของค่าของฟังก์ชันเชิงเส้นคือแกนจริงทั้งหมด ถ้า เค = 0จากนั้นช่วงของค่าของฟังก์ชันเชิงเส้นจะประกอบด้วยตัวเลข ข;
3) ความสม่ำเสมอและความคี่ของฟังก์ชันเชิงเส้นขึ้นอยู่กับค่าของสัมประสิทธิ์ เคและ ข.
ก) ข ≠ 0, k = 0,เพราะฉะนั้น, y = b – คู่;
ข) ข = 0, k ≠ 0,เพราะฉะนั้น y = kx – คี่;
ค) ข ≠ 0, เค ≠ 0,เพราะฉะนั้น y = kx + b – ฟังก์ชันรูปแบบทั่วไป
ง) ข = 0, k = 0,เพราะฉะนั้น y = 0 – ทั้งฟังก์ชันคู่และคี่
4) ฟังก์ชันเชิงเส้นไม่มีคุณสมบัติของคาบ
5) จุดตัดกับแกนพิกัด:
วัว: y = kx + b = 0, x = -b/k, เพราะฉะนั้น (-b/k; 0)– จุดตัดกับแกนแอบซิสซา
อ๋อ: y = 0k + b = ข, เพราะฉะนั้น (0; ข)– จุดตัดกับแกนพิกัด
หมายเหตุ: ถ้า ข = 0และ เค = 0จากนั้นฟังก์ชัน ย = 0ไปที่ศูนย์สำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร เอ็กซ์. ถ้า ข ≠ 0และ เค = 0จากนั้นฟังก์ชัน ย = ขจะไม่หายไปจากค่าใดๆ ของตัวแปร เอ็กซ์.
6) ช่วงความคงตัวของเครื่องหมายขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์ k
ก) เค > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k
y = kx + ข– บวกเมื่อ xจาก (-b/k; +∞),
y = kx + ข– ลบเมื่อ xจาก (-∞; -b/k).
ข) เค< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + ข– บวกเมื่อ xจาก (-∞; -b/k),
y = kx + ข– ลบเมื่อ xจาก (-b/k; +∞).
ค) เค = 0, ข > 0; y = kx + ขเป็นบวกตลอดช่วงคำจำกัดความทั้งหมด
เค = 0, ข< 0; y = kx + b เชิงลบตลอดช่วงคำจำกัดความทั้งหมด
7) ช่วงเวลาของความน่าเบื่อของฟังก์ชันเชิงเส้นขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์ เค.
เค > 0, เพราะฉะนั้น y = kx + ขเพิ่มขึ้นตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด
เค< 0 , เพราะฉะนั้น y = kx + ขลดลงทั่วทั้งขอบเขตคำจำกัดความ
8) กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นเส้นตรง ในการสร้างเส้นตรง แค่รู้จุดสองจุดก็เพียงพอแล้ว ตำแหน่งของเส้นตรงบนระนาบพิกัดขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์ เคและ ข. ด้านล่างนี้เป็นตารางที่แสดงให้เห็นอย่างชัดเจน
ฟังก์ชันเชิงเส้นคือฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ y=kx+b โดยที่ x คือตัวแปรอิสระ k และ b คือตัวเลขใดๆ
กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นจะเป็นเส้นตรง
1. ในการพล็อตกราฟฟังก์ชันเราต้องการพิกัดของจุดสองจุดที่เป็นของกราฟของฟังก์ชัน ในการค้นหา คุณต้องนำค่า x สองค่ามาแทนที่ลงในสมการของฟังก์ชัน และใช้ค่าเหล่านี้ในการคำนวณค่า y ที่สอดคล้องกัน
ตัวอย่างเช่น หากต้องการพล็อตฟังก์ชัน y= x+2 จะสะดวกที่จะใช้ x=0 และ x=3 จากนั้นพิกัดของจุดเหล่านี้จะเท่ากับ y=2 และ y=3 เราได้คะแนน A(0;2) และ B(3;3) มาเชื่อมต่อพวกมันและรับกราฟของฟังก์ชัน y= x+2:
2.
ในสูตร y=kx+b ตัวเลข k เรียกว่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน:
ถ้า k>0 ฟังก์ชัน y=kx+b จะเพิ่มขึ้น
ถ้าเค
ค่าสัมประสิทธิ์ b แสดงการกระจัดของกราฟฟังก์ชันตามแกน OY:
ถ้า b>0 ดังนั้นกราฟของฟังก์ชัน y=kx+b จะได้มาจากกราฟของฟังก์ชัน y=kx โดยการขยับหน่วย b ขึ้นไปตามแกน OY
ถ้าข
รูปด้านล่างแสดงกราฟของฟังก์ชัน y=2x+3; y= ½ x+3; ย=x+3
โปรดทราบว่าในฟังก์ชันทั้งหมดนี้สัมประสิทธิ์ k เหนือศูนย์และฟังก์ชั่นก็คือ เพิ่มขึ้น.ยิ่งไปกว่านั้น ยิ่งค่า k ยิ่งมาก มุมเอียงของเส้นตรงไปยังทิศทางบวกของแกน OX ก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น
ในทุกฟังก์ชัน b=3 - และเราเห็นว่ากราฟทั้งหมดตัดกันแกน OY ที่จุด (0;3)
ตอนนี้ให้พิจารณากราฟของฟังก์ชัน y=-2x+3; y=- ½ x+3; ย=-x+3
คราวนี้ในทุกฟังก์ชันจะมีค่าสัมประสิทธิ์ k น้อยกว่าศูนย์และฟังก์ชั่น กำลังลดลงสัมประสิทธิ์ b=3 และกราฟตัดแกน OY ที่จุด (0;3) เช่นเดียวกับในกรณีก่อนหน้า
พิจารณากราฟของฟังก์ชัน y=2x+3; y=2x; y=2x-3
ทีนี้ ในสมการฟังก์ชันทั้งหมด ค่าสัมประสิทธิ์ k เท่ากับ 2 และเราได้เส้นขนานสามเส้น
แต่ค่าสัมประสิทธิ์ b ต่างกัน และกราฟเหล่านี้ตัดแกน OY ที่จุดต่างกัน:
กราฟของฟังก์ชัน y=2x+3 (b=3) ตัดกับแกน OY ที่จุด (0;3)
กราฟของฟังก์ชัน y=2x (b=0) ตัดแกน OY ที่จุด (0;0) - จุดกำเนิด
กราฟของฟังก์ชัน y=2x-3 (b=-3) ตัดกับแกน OY ที่จุด (0;-3)
ดังนั้น หากเรารู้สัญญาณของสัมประสิทธิ์ k และ b เราก็สามารถจินตนาการได้ทันทีว่ากราฟของฟังก์ชัน y=kx+b เป็นอย่างไร
ถ้า เค 0
ถ้า k>0 และ b>0จากนั้นกราฟของฟังก์ชัน y=kx+b จะเป็นดังนี้:
ถ้า k>0 และขจากนั้นกราฟของฟังก์ชัน y=kx+b จะเป็นดังนี้:
ถ้า k ดังนั้นกราฟของฟังก์ชัน y=kx+b จะเป็นดังนี้:
ถ้า เค=0จากนั้นฟังก์ชัน y=kx+b จะกลายเป็นฟังก์ชัน y=b และกราฟของฟังก์ชันจะเป็นดังนี้:
พิกัดของจุดทั้งหมดบนกราฟของฟังก์ชัน y=b เท่ากับ b If ข=0จากนั้นกราฟของฟังก์ชัน y=kx (สัดส่วนโดยตรง) จะผ่านจุดกำเนิด:
3. ให้เราแยกกราฟของสมการ x=a ออกจากกันกราฟของสมการนี้เป็นเส้นตรงขนานกับแกน OY โดยทุกจุดจะมีค่า Abscissa x=a
ตัวอย่างเช่น กราฟของสมการ x=3 มีลักษณะดังนี้:
ความสนใจ!สมการ x=a ไม่ใช่ฟังก์ชัน ดังนั้นค่าหนึ่งของอาร์กิวเมนต์จึงสอดคล้องกับค่าต่างๆ ของฟังก์ชัน ซึ่งไม่สอดคล้องกับคำจำกัดความของฟังก์ชัน
4. เงื่อนไขความขนานของเส้นสองเส้น:
กราฟของฟังก์ชัน y=k 1 x+b 1 ขนานกับกราฟของฟังก์ชัน y=k 2 x+b 2 ถ้า k 1 =k 2
5. เงื่อนไขที่เส้นตรงสองเส้นจะตั้งฉากกัน:
กราฟของฟังก์ชัน y=k 1 x+b 1 ตั้งฉากกับกราฟของฟังก์ชัน y=k 2 x+b 2 ถ้า k 1 *k 2 =-1 หรือ k 1 =-1/k 2
6. จุดตัดกันของกราฟของฟังก์ชัน y=kx+b กับแกนพิกัด
ด้วยแกน OY ค่า Abscissa ของจุดใดๆ ที่เป็นของแกน OY มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น หากต้องการหาจุดตัดกับแกน OY คุณต้องแทนที่ศูนย์ในสมการของฟังก์ชันแทน x เราได้ y=b นั่นคือจุดตัดกับแกน OY มีพิกัด (0; b)
ด้วยแกน OX: พิกัดของจุดใดๆ ที่เป็นของแกน OX จะเป็นศูนย์ ดังนั้น หากต้องการหาจุดตัดกับแกน OX คุณต้องแทนที่ศูนย์ในสมการของฟังก์ชันแทน y เราได้ 0=kx+b ดังนั้น x=-b/k นั่นคือจุดตัดกับแกน OX มีพิกัด (-b/k;0):
ความหมายของฟังก์ชันเชิงเส้น
ให้เราแนะนำคำจำกัดความของฟังก์ชันเชิงเส้น
คำนิยาม
ฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ $y=kx+b$ โดยที่ $k$ ไม่ใช่ศูนย์ เรียกว่าฟังก์ชันเชิงเส้น
กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นจะเป็นเส้นตรง ตัวเลข $k$ เรียกว่าความชันของเส้นตรง
เมื่อ $b=0$ ฟังก์ชันเชิงเส้นเรียกว่าฟังก์ชันที่มีสัดส่วนโดยตรง $y=kx$
พิจารณารูปที่ 1
ข้าว. 1. ความหมายทางเรขาคณิตของความชันของเส้นตรง
พิจารณาสามเหลี่ยม ABC เราจะเห็นว่า $ВС=kx_0+b$ ลองหาจุดตัดของเส้น $y=kx+b$ กับแกน $Ox$:
\ \
ดังนั้น $AC=x_0+\frac(b)(k)$ ลองหาอัตราส่วนของด้านเหล่านี้:
\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]
ในทางกลับกัน $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$
ดังนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้:
บทสรุป
ความหมายทางเรขาคณิตของสัมประสิทธิ์ $k$ ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรง $k$ เท่ากับแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงนี้กับแกน $Ox$
ศึกษาฟังก์ชันเชิงเส้น $f\left(x\right)=kx+b$ และกราฟ
ขั้นแรก ให้พิจารณาฟังก์ชัน $f\left(x\right)=kx+b$ โดยที่ $k > 0$
- $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. เพราะฉะนั้น, ฟังก์ชั่นนี้เพิ่มขึ้นตลอดทั้งขอบเขตของคำจำกัดความ ไม่มีจุดที่รุนแรง
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
- กราฟ (รูปที่ 2)
ข้าว. 2. กราฟของฟังก์ชัน $y=kx+b$ สำหรับ $k > 0$
ตอนนี้ให้พิจารณาฟังก์ชัน $f\left(x\right)=kx$ โดยที่ $k
- โดเมนของคำจำกัดความคือตัวเลขทั้งหมด
- ช่วงของค่าเป็นตัวเลขทั้งหมด
- $f\ซ้าย(-x\right)=-kx+b$. ฟังก์ชันไม่เป็นคู่หรือคี่
- สำหรับ $x=0,f\left(0\right)=b$ เมื่อ $y=0.0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$
จุดตัดที่มีแกนพิกัด: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ และ $\left(0,\ b\right)$
- $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
- $f^("")\left(x\right)=k"=0$ ดังนั้น ฟังก์ชันนี้จึงไม่มีจุดเปลี่ยนเว้า
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
- กราฟ (รูปที่ 3)