ฟังก์ชันเชิงเส้นและกราฟ ฟังก์ชันเชิงเส้น ฟังก์ชันเชิงเส้น y 3 5x

ฟังก์ชันเชิงเส้นเรียกว่าฟังก์ชันของแบบฟอร์ม y = kx + ขซึ่งกำหนดบนเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ที่นี่ เค– ความชัน (จำนวนจริง) เทอมอิสระ (จำนวนจริง) x– ตัวแปรอิสระ

ในกรณีพิเศษหาก เค = 0เราได้รับฟังก์ชันคงที่ ย = ขซึ่งเป็นกราฟที่เป็นเส้นตรงขนานกับแกนวัวที่ผ่านจุดที่มีพิกัด (0; ข).

ถ้า ข = 0แล้วเราจะได้ฟังก์ชัน y = kx, ซึ่งเป็น สัดส่วนโดยตรง

ความยาวส่วนซึ่งถูกตัดออกเป็นเส้นตรงตามแนวแกนออยนับจากจุดกำเนิด

ความหมายทางเรขาคณิตของสัมประสิทธิ์ เคมุมเอียงตรงไปยังทิศทางบวกของแกน Ox พิจารณาทวนเข็มนาฬิกา

คุณสมบัติของฟังก์ชันเชิงเส้น:

1) ขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันเชิงเส้นคือแกนจริงทั้งหมด

2) ถ้า เค ≠ 0จากนั้นช่วงของค่าของฟังก์ชันเชิงเส้นคือแกนจริงทั้งหมด ถ้า เค = 0จากนั้นช่วงของค่าของฟังก์ชันเชิงเส้นจะประกอบด้วยตัวเลข ;

3) ความสม่ำเสมอและความคี่ของฟังก์ชันเชิงเส้นขึ้นอยู่กับค่าของสัมประสิทธิ์ เคและ .

ก) ข ≠ 0, k = 0,เพราะฉะนั้น, y = b – คู่;

ข) ข = 0, k ≠ 0,เพราะฉะนั้น y = kx – คี่;

ค) ข ≠ 0, เค ≠ 0,เพราะฉะนั้น y = kx + b – ฟังก์ชันรูปแบบทั่วไป

ง) ข = 0, k = 0,เพราะฉะนั้น y = 0 – ทั้งฟังก์ชันคู่และคี่

4) ฟังก์ชันเชิงเส้นไม่มีคุณสมบัติของคาบ

5) จุดตัดกับแกนพิกัด:

วัว: y = kx + b = 0, x = -b/k, เพราะฉะนั้น (-b/k; 0)– จุดตัดกับแกนแอบซิสซา

อ๋อ: y = 0k + b = ข, เพราะฉะนั้น (0; ข)– จุดตัดกับแกนพิกัด

หมายเหตุ: ถ้า ข = 0และ เค = 0จากนั้นฟังก์ชัน ย = 0ไปที่ศูนย์สำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร เอ็กซ์. ถ้า ข ≠ 0และ เค = 0จากนั้นฟังก์ชัน ย = ขจะไม่หายไปจากค่าใดๆ ของตัวแปร เอ็กซ์.

6) ช่วงความคงตัวของเครื่องหมายขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์ k

ก) เค > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k

y = kx + ข– บวกเมื่อ xจาก (-b/k; +∞),

y = kx + ข– ลบเมื่อ xจาก (-∞; -b/k).

ข) เค< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + ข– บวกเมื่อ xจาก (-∞; -b/k),

y = kx + ข– ลบเมื่อ xจาก (-b/k; +∞).

ค) เค = 0, ข > 0; y = kx + ขเป็นบวกตลอดช่วงคำจำกัดความทั้งหมด

เค = 0, ข< 0; y = kx + b เชิงลบตลอดช่วงคำจำกัดความทั้งหมด

7) ช่วงเวลาของความน่าเบื่อของฟังก์ชันเชิงเส้นขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์ เค.

เค > 0, เพราะฉะนั้น y = kx + ขเพิ่มขึ้นตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด

เค< 0 , เพราะฉะนั้น y = kx + ขลดลงทั่วทั้งขอบเขตคำจำกัดความ

8) กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นเส้นตรง ในการสร้างเส้นตรง แค่รู้จุดสองจุดก็เพียงพอแล้ว ตำแหน่งของเส้นตรงบนระนาบพิกัดขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์ เคและ . ด้านล่างนี้เป็นตารางที่แสดงให้เห็นอย่างชัดเจน

ฟังก์ชันเชิงเส้นคือฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ y=kx+b โดยที่ x คือตัวแปรอิสระ k และ b คือตัวเลขใดๆ
กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นจะเป็นเส้นตรง

1. ในการพล็อตกราฟฟังก์ชันเราต้องการพิกัดของจุดสองจุดที่เป็นของกราฟของฟังก์ชัน ในการค้นหา คุณต้องนำค่า x สองค่ามาแทนที่ลงในสมการของฟังก์ชัน และใช้ค่าเหล่านี้ในการคำนวณค่า y ที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างเช่น หากต้องการพล็อตฟังก์ชัน y= x+2 จะสะดวกที่จะใช้ x=0 และ x=3 จากนั้นพิกัดของจุดเหล่านี้จะเท่ากับ y=2 และ y=3 เราได้คะแนน A(0;2) และ B(3;3) มาเชื่อมต่อพวกมันและรับกราฟของฟังก์ชัน y= x+2:

2. ในสูตร y=kx+b ตัวเลข k เรียกว่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน:
ถ้า k>0 ฟังก์ชัน y=kx+b จะเพิ่มขึ้น
ถ้าเค
ค่าสัมประสิทธิ์ b แสดงการกระจัดของกราฟฟังก์ชันตามแกน OY:
ถ้า b>0 ดังนั้นกราฟของฟังก์ชัน y=kx+b จะได้มาจากกราฟของฟังก์ชัน y=kx โดยการขยับหน่วย b ขึ้นไปตามแกน OY
ถ้าข
รูปด้านล่างแสดงกราฟของฟังก์ชัน y=2x+3; y= ½ x+3; ย=x+3

โปรดทราบว่าในฟังก์ชันทั้งหมดนี้สัมประสิทธิ์ k เหนือศูนย์และฟังก์ชั่นก็คือ เพิ่มขึ้น.ยิ่งไปกว่านั้น ยิ่งค่า k ยิ่งมาก มุมเอียงของเส้นตรงไปยังทิศทางบวกของแกน OX ก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

ในทุกฟังก์ชัน b=3 - และเราเห็นว่ากราฟทั้งหมดตัดกันแกน OY ที่จุด (0;3)

ตอนนี้ให้พิจารณากราฟของฟังก์ชัน y=-2x+3; y=- ½ x+3; ย=-x+3

คราวนี้ในทุกฟังก์ชันจะมีค่าสัมประสิทธิ์ k น้อยกว่าศูนย์และฟังก์ชั่น กำลังลดลงสัมประสิทธิ์ b=3 และกราฟตัดแกน OY ที่จุด (0;3) เช่นเดียวกับในกรณีก่อนหน้า

พิจารณากราฟของฟังก์ชัน y=2x+3; y=2x; y=2x-3

ทีนี้ ในสมการฟังก์ชันทั้งหมด ค่าสัมประสิทธิ์ k เท่ากับ 2 และเราได้เส้นขนานสามเส้น

แต่ค่าสัมประสิทธิ์ b ต่างกัน และกราฟเหล่านี้ตัดแกน OY ที่จุดต่างกัน:
กราฟของฟังก์ชัน y=2x+3 (b=3) ตัดกับแกน OY ที่จุด (0;3)
กราฟของฟังก์ชัน y=2x (b=0) ตัดแกน OY ที่จุด (0;0) - จุดกำเนิด
กราฟของฟังก์ชัน y=2x-3 (b=-3) ตัดกับแกน OY ที่จุด (0;-3)

ดังนั้น หากเรารู้สัญญาณของสัมประสิทธิ์ k และ b เราก็สามารถจินตนาการได้ทันทีว่ากราฟของฟังก์ชัน y=kx+b เป็นอย่างไร
ถ้า เค 0

ถ้า k>0 และ b>0จากนั้นกราฟของฟังก์ชัน y=kx+b จะเป็นดังนี้:

ถ้า k>0 และขจากนั้นกราฟของฟังก์ชัน y=kx+b จะเป็นดังนี้:

ถ้า k ดังนั้นกราฟของฟังก์ชัน y=kx+b จะเป็นดังนี้:

ถ้า เค=0จากนั้นฟังก์ชัน y=kx+b จะกลายเป็นฟังก์ชัน y=b และกราฟของฟังก์ชันจะเป็นดังนี้:

พิกัดของจุดทั้งหมดบนกราฟของฟังก์ชัน y=b เท่ากับ b If ข=0จากนั้นกราฟของฟังก์ชัน y=kx (สัดส่วนโดยตรง) จะผ่านจุดกำเนิด:

3. ให้เราแยกกราฟของสมการ x=a ออกจากกันกราฟของสมการนี้เป็นเส้นตรงขนานกับแกน OY โดยทุกจุดจะมีค่า Abscissa x=a

ตัวอย่างเช่น กราฟของสมการ x=3 มีลักษณะดังนี้:
ความสนใจ!สมการ x=a ไม่ใช่ฟังก์ชัน ดังนั้นค่าหนึ่งของอาร์กิวเมนต์จึงสอดคล้องกับค่าต่างๆ ของฟังก์ชัน ซึ่งไม่สอดคล้องกับคำจำกัดความของฟังก์ชัน


4. เงื่อนไขความขนานของเส้นสองเส้น:

กราฟของฟังก์ชัน y=k 1 x+b 1 ขนานกับกราฟของฟังก์ชัน y=k 2 x+b 2 ถ้า k 1 =k 2

5. เงื่อนไขที่เส้นตรงสองเส้นจะตั้งฉากกัน:

กราฟของฟังก์ชัน y=k 1 x+b 1 ตั้งฉากกับกราฟของฟังก์ชัน y=k 2 x+b 2 ถ้า k 1 *k 2 =-1 หรือ k 1 =-1/k 2

6. จุดตัดกันของกราฟของฟังก์ชัน y=kx+b กับแกนพิกัด

ด้วยแกน OY ค่า Abscissa ของจุดใดๆ ที่เป็นของแกน OY มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น หากต้องการหาจุดตัดกับแกน OY คุณต้องแทนที่ศูนย์ในสมการของฟังก์ชันแทน x เราได้ y=b นั่นคือจุดตัดกับแกน OY มีพิกัด (0; b)

ด้วยแกน OX: พิกัดของจุดใดๆ ที่เป็นของแกน OX จะเป็นศูนย์ ดังนั้น หากต้องการหาจุดตัดกับแกน OX คุณต้องแทนที่ศูนย์ในสมการของฟังก์ชันแทน y เราได้ 0=kx+b ดังนั้น x=-b/k นั่นคือจุดตัดกับแกน OX มีพิกัด (-b/k;0):

ความหมายของฟังก์ชันเชิงเส้น

ให้เราแนะนำคำจำกัดความของฟังก์ชันเชิงเส้น

คำนิยาม

ฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ $y=kx+b$ โดยที่ $k$ ไม่ใช่ศูนย์ เรียกว่าฟังก์ชันเชิงเส้น

กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นจะเป็นเส้นตรง ตัวเลข $k$ เรียกว่าความชันของเส้นตรง

เมื่อ $b=0$ ฟังก์ชันเชิงเส้นเรียกว่าฟังก์ชันที่มีสัดส่วนโดยตรง $y=kx$

พิจารณารูปที่ 1

ข้าว. 1. ความหมายทางเรขาคณิตของความชันของเส้นตรง

พิจารณาสามเหลี่ยม ABC เราจะเห็นว่า $ВС=kx_0+b$ ลองหาจุดตัดของเส้น $y=kx+b$ กับแกน $Ox$:

\ \

ดังนั้น $AC=x_0+\frac(b)(k)$ ลองหาอัตราส่วนของด้านเหล่านี้:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

ในทางกลับกัน $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$

ดังนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้:

บทสรุป

ความหมายทางเรขาคณิตของสัมประสิทธิ์ $k$ ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรง $k$ เท่ากับแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงนี้กับแกน $Ox$

ศึกษาฟังก์ชันเชิงเส้น $f\left(x\right)=kx+b$ และกราฟ

ขั้นแรก ให้พิจารณาฟังก์ชัน $f\left(x\right)=kx+b$ โดยที่ $k > 0$

  1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. เพราะฉะนั้น, ฟังก์ชั่นนี้เพิ่มขึ้นตลอดทั้งขอบเขตของคำจำกัดความ ไม่มีจุดที่รุนแรง
  2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
  3. กราฟ (รูปที่ 2)

ข้าว. 2. กราฟของฟังก์ชัน $y=kx+b$ สำหรับ $k > 0$

ตอนนี้ให้พิจารณาฟังก์ชัน $f\left(x\right)=kx$ โดยที่ $k

  1. โดเมนของคำจำกัดความคือตัวเลขทั้งหมด
  2. ช่วงของค่าเป็นตัวเลขทั้งหมด
  3. $f\ซ้าย(-x\right)=-kx+b$. ฟังก์ชันไม่เป็นคู่หรือคี่
  4. สำหรับ $x=0,f\left(0\right)=b$ เมื่อ $y=0.0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$

จุดตัดที่มีแกนพิกัด: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ และ $\left(0,\ b\right)$

  1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
  2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$ ดังนั้น ฟังก์ชันนี้จึงไม่มีจุดเปลี่ยนเว้า
  3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
  4. กราฟ (รูปที่ 3)