อนุพันธ์ย่อยแต่ละรายการ (โดย xและโดย ย) ของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวคืออนุพันธ์สามัญของฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่งสำหรับค่าคงที่ของตัวแปรอีกตัวหนึ่ง:

(ที่ไหน ย= const)

(ที่ไหน x= ค่าคงที่)

ดังนั้นจึงคำนวณอนุพันธ์บางส่วนโดยใช้ สูตรและกฎเกณฑ์ในการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียวขณะพิจารณาค่าคงที่ของตัวแปรอื่นๆ

หากคุณไม่ต้องการการวิเคราะห์ตัวอย่างและทฤษฎีขั้นต่ำที่จำเป็นสำหรับสิ่งนี้ แต่ต้องการเพียงวิธีแก้ไขปัญหาของคุณเท่านั้น ให้ไปที่ เครื่องคำนวณอนุพันธ์บางส่วนออนไลน์ .

หากเป็นเรื่องยากที่จะมีสมาธิในการติดตามว่าค่าคงที่อยู่ที่ใดในฟังก์ชัน คุณสามารถแทนที่ตัวเลขใดก็ได้ในวิธีแก้ปัญหาแบบร่างของตัวอย่างแทนตัวแปรที่มีค่าคงที่ จากนั้นคุณสามารถคำนวณอนุพันธ์ย่อยได้อย่างรวดเร็วดังนี้ อนุพันธ์สามัญของฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง คุณเพียงแค่ต้องจำไว้ว่าให้คืนค่าคงที่ (ตัวแปรที่มีค่าคงที่) ไปยังตำแหน่งเมื่อเสร็จสิ้นการออกแบบขั้นสุดท้าย

คุณสมบัติของอนุพันธ์บางส่วนที่อธิบายไว้ข้างต้นเป็นไปตามคำจำกัดความของอนุพันธ์บางส่วนซึ่งอาจปรากฏในคำถามสอบ ดังนั้น เพื่อทำความคุ้นเคยกับคำจำกัดความด้านล่าง คุณสามารถเปิดข้อมูลอ้างอิงทางทฤษฎีได้

แนวคิดเรื่องความต่อเนื่องของฟังก์ชัน z= ฉ(x, ย) ณ จุดหนึ่งถูกกำหนดในลักษณะเดียวกันกับแนวคิดนี้สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง

การทำงาน z = ฉ(x, ย) เรียกว่าต่อเนื่องที่จุดถ้า

ส่วนต่าง (2) เรียกว่าการเพิ่มขึ้นรวมของฟังก์ชัน z(ได้มาจากการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ทั้งสอง)

ปล่อยให้ฟังก์ชันได้รับ z= ฉ(x, ย) และช่วงเวลา

หากฟังก์ชั่นเปลี่ยนไป zเกิดขึ้นเมื่ออาร์กิวเมนต์ตัวใดตัวหนึ่งมีการเปลี่ยนแปลง เช่น xด้วยค่าคงที่ของอาร์กิวเมนต์อื่น ยจากนั้นฟังก์ชันจะได้รับการเพิ่มขึ้น

เรียกว่าการเพิ่มฟังก์ชันบางส่วน ฉ(x, ย) โดย x.

พิจารณาการเปลี่ยนแปลงฟังก์ชั่น zขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงอาร์กิวเมนต์เพียงตัวเดียว เราจะเปลี่ยนเป็นฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียวได้อย่างมีประสิทธิภาพ

หากมีขอบเขตจำกัด

แล้วเรียกว่าอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน ฉ(x, ย) โดยการโต้แย้ง xและระบุด้วยสัญลักษณ์ใดสัญลักษณ์หนึ่ง

(4)

การเพิ่มขึ้นบางส่วนถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน zโดย ย:

และอนุพันธ์บางส่วน ฉ(x, ย) โดย ย:

(6)

ตัวอย่างที่ 1

สารละลาย. เราค้นหาอนุพันธ์บางส่วนด้วยความเคารพต่อตัวแปร "x":

(ยที่ตายตัว);

เราค้นหาอนุพันธ์บางส่วนด้วยความเคารพต่อตัวแปร "y":

(xที่ตายตัว).

อย่างที่คุณเห็น ไม่สำคัญว่าตัวแปรจะได้รับการแก้ไขในระดับใด ในกรณีนี้ มันเป็นเพียงตัวเลขจำนวนหนึ่งที่เป็นปัจจัย (เช่นในกรณีของอนุพันธ์สามัญ) ของตัวแปรที่เราพบอนุพันธ์บางส่วน . หากตัวแปรคงที่ไม่ได้คูณด้วยตัวแปรที่เราพบอนุพันธ์ย่อย ค่าคงที่เดี่ยว ๆ นี้จะหายไป ไม่ว่าในกรณีของอนุพันธ์สามัญจะขนาดไหนก็ตาม

ตัวอย่างที่ 2กำหนดให้มีฟังก์ชัน

ค้นหาอนุพันธ์บางส่วน

(โดย X) และ (โดย Y) และคำนวณค่า ณ จุดนั้น ก (1; 2).

สารละลาย. คงที่ ยอนุพันธ์ของเทอมแรกพบว่าเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง ( ตารางฟังก์ชันอนุพันธ์ของตัวแปรหนึ่งตัว):

.

คงที่ xอนุพันธ์ของเทอมแรกพบว่าเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและอันที่สอง - เป็นอนุพันธ์ของค่าคงที่:

ทีนี้ลองคำนวณค่าของอนุพันธ์บางส่วนเหล่านี้ ณ จุดนั้น ก (1; 2):

สามารถตรวจสอบแนวทางแก้ไขปัญหาอนุพันธ์บางส่วนได้ที่ เครื่องคำนวณอนุพันธ์บางส่วนออนไลน์ .

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน

สารละลาย. ในขั้นตอนเดียวเราพบว่า

(ย xราวกับว่าอาร์กิวเมนต์ของไซน์คือ 5 x: ในทำนองเดียวกัน 5 จะปรากฏก่อนเครื่องหมายฟังก์ชัน);

(xได้รับการแก้ไขแล้วและในกรณีนี้คือตัวคูณที่ ย).

สามารถตรวจสอบแนวทางแก้ไขปัญหาอนุพันธ์บางส่วนได้ที่ เครื่องคำนวณอนุพันธ์บางส่วนออนไลน์ .

อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันของตัวแปรตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไปถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน

หากแต่ละชุดของค่า ( x; ย; ...; ที) ตัวแปรอิสระจากเซต ดีสอดคล้องกับค่าเฉพาะค่าหนึ่ง ยูจากหลาย ๆ คน อี, ที่ ยูเรียกว่าฟังก์ชันของตัวแปร x, ย, ..., ทีและแสดงถึง ยู= ฉ(x, ย, ..., ที).

สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไป จะไม่มีการตีความทางเรขาคณิต

อนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวยังถูกกำหนดและคำนวณภายใต้สมมติฐานว่าตัวแปรอิสระตัวใดตัวหนึ่งเท่านั้นที่เปลี่ยนแปลง ในขณะที่ตัวอื่นๆ ได้รับการแก้ไข

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน

.

สารละลาย. ยและ zที่ตายตัว:

xและ zที่ตายตัว:

xและ ยที่ตายตัว:

ค้นหาอนุพันธ์ย่อยด้วยตัวเองแล้วดูวิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 5

ตัวอย่างที่ 6ค้นหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวมีค่าเท่ากัน ความหมายเชิงกลเหมือนกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่งคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับการเปลี่ยนแปลงในอาร์กิวเมนต์ตัวใดตัวหนึ่ง

ตัวอย่างที่ 8ค่าเชิงปริมาณของการไหล ปผู้โดยสารรถไฟสามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชัน

ที่ไหน ป– จำนวนผู้โดยสาร เอ็น– จำนวนผู้อยู่อาศัยในจุดผู้สื่อข่าว ร– ระยะห่างระหว่างจุด

อนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชัน ปโดย ร, เท่ากัน

แสดงให้เห็นว่าจำนวนผู้โดยสารที่ลดลงนั้นแปรผกผันกับกำลังสองของระยะห่างระหว่างจุดที่สอดคล้องกันกับจำนวนผู้อยู่อาศัยในจุดเท่ากัน

อนุพันธ์บางส่วน ปโดย เอ็น, เท่ากัน

แสดงให้เห็นว่าจำนวนผู้โดยสารที่เพิ่มขึ้นนั้นเป็นสัดส่วนกับสองเท่าของจำนวนผู้อยู่อาศัยในการตั้งถิ่นฐานที่ระยะห่างเท่ากันระหว่างจุดต่างๆ

สามารถตรวจสอบแนวทางแก้ไขปัญหาอนุพันธ์บางส่วนได้ที่ เครื่องคำนวณอนุพันธ์บางส่วนออนไลน์ .

เฟืองท้ายเต็ม

ผลคูณของอนุพันธ์ย่อยและการเพิ่มขึ้นของตัวแปรอิสระที่สอดคล้องกันเรียกว่าส่วนต่างย่อย ส่วนต่างบางส่วนแสดงดังนี้:

ผลรวมของส่วนต่างย่อยของตัวแปรอิสระทั้งหมดจะให้ผลรวมส่วนต่าง สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรอิสระสองตัว ผลต่างรวมจะแสดงออกมาด้วยความเท่าเทียมกัน

(7)

ตัวอย่างที่ 9ค้นหาส่วนต่างที่สมบูรณ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. ผลลัพธ์ของการใช้สูตร (7):

ฟังก์ชันที่มีผลต่างรวม ณ ทุกจุดของโดเมนหนึ่งๆ กล่าวกันว่าสามารถหาอนุพันธ์ได้ในโดเมนนั้น

หาผลต่างรวมด้วยตัวเองแล้วดูวิธีแก้ปัญหา

เช่นเดียวกับในกรณีของฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง ความสามารถในการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันในโดเมนหนึ่งๆ จะบ่งบอกถึงความต่อเนื่องของมันในโดเมนนี้ แต่ไม่ใช่ในทางกลับกัน

ขอให้เรากำหนดเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับความแตกต่างของฟังก์ชันโดยไม่ต้องพิสูจน์

ทฤษฎีบท.ถ้าฟังก์ชั่น z= ฉ(x, ย) มีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่องกัน

ในภูมิภาคที่กำหนด จะสามารถหาอนุพันธ์ได้ในภูมิภาคนี้ และส่วนต่างของมันถูกแสดงด้วยสูตร (7)

จะเห็นได้ว่า เช่นเดียวกับในกรณีของฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง ค่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันเป็นส่วนเชิงเส้นหลักของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น ดังนั้นในกรณีของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว ค่าผลต่างรวมคือ หลัก เป็นเส้นตรงที่เกี่ยวข้องกับการเพิ่มขึ้นของตัวแปรอิสระ ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการเพิ่มรวมของฟังก์ชัน

สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว การเพิ่มขึ้นรวมของฟังก์ชันจะมีรูปแบบ

(8)

โดยที่ α และ β มีค่าน้อยมากที่ และ

อนุพันธ์บางส่วนลำดับที่สูงกว่า

อนุพันธ์และฟังก์ชันบางส่วน ฉ(x, ย) เองเป็นฟังก์ชันบางอย่างของตัวแปรเดียวกัน และในทางกลับกัน ก็สามารถมีอนุพันธ์เทียบกับตัวแปรที่ต่างกันได้ ซึ่งเรียกว่าอนุพันธ์ย่อยของลำดับที่สูงกว่า

ปล่อยให้ฟังก์ชันได้รับ เนื่องจาก x และ y เป็นตัวแปรอิสระ ตัวหนึ่งสามารถเปลี่ยนแปลงได้ในขณะที่อีกตัวหนึ่งคงค่าไว้ ลองให้ตัวแปรอิสระเพิ่มขึ้น x โดยคงค่าของ y ไม่เปลี่ยนแปลง จากนั้น z จะได้รับการเพิ่มขึ้น ซึ่งเรียกว่าการเพิ่มขึ้นบางส่วนของ z เทียบกับ x และเขียนแทนด้วย ดังนั้น, .

ในทำนองเดียวกัน เราได้รับการเพิ่มขึ้นบางส่วนของ z ส่วน y:

การเพิ่มขึ้นทั้งหมดของฟังก์ชัน z ถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน

หากมีขีดจำกัด จะเรียกว่าอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน ณ จุดที่สัมพันธ์กับตัวแปร x และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ตัวใดตัวหนึ่ง:

.

อนุพันธ์บางส่วนที่เกี่ยวข้องกับ x ณ จุดหนึ่งมักจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ .

อนุพันธ์ย่อยของตัวแปร y ถูกกำหนดและเขียนแทนในทำนองเดียวกัน:

ดังนั้นอนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว (สอง, สามหรือมากกว่า) จึงถูกกำหนดให้เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งเหล่านี้โดยมีเงื่อนไขว่าค่าของตัวแปรอิสระที่เหลือนั้นคงที่ ดังนั้นจึงพบอนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันโดยใช้สูตรและกฎในการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัว (ในกรณีนี้ x หรือ y ถือเป็นค่าคงที่ตามลำดับ)

อนุพันธ์บางส่วนเรียกว่าอนุพันธ์บางส่วนอันดับหนึ่ง พวกมันถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันของ ฟังก์ชันเหล่านี้สามารถมีอนุพันธ์บางส่วนได้ ซึ่งเรียกว่าอนุพันธ์บางส่วนอันดับสอง มีการกำหนดและติดป้ายกำกับดังนี้:

; ;

; .

ส่วนต่างของลำดับที่ 1 และ 2 ของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว

ผลรวมของฟังก์ชัน (สูตร 2.5) เรียกว่าส่วนต่างลำดับที่หนึ่ง

สูตรคำนวณผลต่างรวมมีดังนี้:

(2.5) หรือ , ที่ไหน ,

ส่วนต่างบางส่วนของฟังก์ชัน

ปล่อยให้ฟังก์ชันมีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่องของลำดับที่สอง ส่วนต่างลำดับที่สองถูกกำหนดโดยสูตร มาหากัน:

จากที่นี่: . โดยเชิงสัญลักษณ์จะเขียนดังนี้:

.

ปริพันธ์ไม่บึกบึน

แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน อินทิกรัลไม่จำกัด คุณสมบัติ

ฟังก์ชัน F(x) ถูกเรียก แอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันที่กำหนด f(x) ถ้า F"(x)=f(x) หรืออะไรจะเหมือนกัน ถ้า dF(x)=f(x)dx

ทฤษฎีบท. ถ้าฟังก์ชัน f(x) ซึ่งกำหนดไว้ในช่วงใดช่วงหนึ่ง (X) ที่มีความยาวจำกัดหรือไม่จำกัด มีแอนติเดริเวทีฟเพียงตัวเดียว นั่นคือ F(x) แสดงว่าฟังก์ชันนั้นก็มีแอนติเดริเวทีฟหลายตัวด้วย ทั้งหมดนี้มีอยู่ในนิพจน์ F(x) + C โดยที่ C เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ

เซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดสำหรับฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนดให้ ซึ่งกำหนดในช่วงเวลาหนึ่งหรือบนส่วนของความยาวจำกัดหรืออนันต์ เรียกว่า อินทิกรัลไม่ จำกัดจากฟังก์ชัน f(x) [หรือจากนิพจน์ f(x)dx ] และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

ถ้า F(x) เป็นหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟสำหรับ f(x) ดังนั้นตามทฤษฎีบทแอนติเดริเวทีฟ

โดยที่ C เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ

ตามคำจำกัดความของแอนติเดริเวทีฟ F"(x)=f(x) และด้วยเหตุนี้ dF(x)=f(x) dx ในสูตร (7.1) f(x) เรียกว่าฟังก์ชันจำนวนเต็ม และ f( x) dx เรียกว่านิพจน์จำนวนเต็ม

พิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว:

เนื่องจากตัวแปร $x$ และ $y$ มีความเป็นอิสระ สำหรับฟังก์ชันดังกล่าว เราจึงสามารถแนะนำแนวคิดของอนุพันธ์บางส่วนได้:

อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน $f$ ที่จุด $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ เทียบกับตัวแปร $x$ คือ ขีด จำกัด

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\เดลต้า x;((y)_(0)) \right))(\เดลต้า x)\]

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถกำหนดอนุพันธ์บางส่วนที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร $y$ :

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\เดลต้า y \right))(\เดลต้า y)\]

กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากต้องการค้นหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว คุณต้องแก้ไขตัวแปรอื่นๆ ทั้งหมดยกเว้นตัวแปรที่ต้องการ จากนั้นจึงหาอนุพันธ์สามัญเทียบกับตัวแปรที่ต้องการ

สิ่งนี้นำไปสู่เทคนิคหลักในการคำนวณอนุพันธ์ดังกล่าว เพียงสมมติว่าตัวแปรทั้งหมดยกเว้นตัวแปรนี้เป็นค่าคงที่ จากนั้นจึงแยกความแตกต่างของฟังก์ชันตามที่คุณต้องการแยกความแตกต่างจากตัวแปร "ธรรมดา" ด้วยตัวแปรตัวเดียว ตัวอย่างเช่น:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2 )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ ไพรม์ ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(จัด)$

แน่นอนว่าอนุพันธ์บางส่วนที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรต่างๆ ให้คำตอบที่แตกต่างกัน ซึ่งเป็นเรื่องปกติ มันสำคัญกว่ามากที่จะต้องเข้าใจว่าเหตุใดในกรณีแรกเราจึงลบ $10y$ ออกจากใต้เครื่องหมายอนุพันธ์อย่างใจเย็น และในกรณีที่สองเราทำให้เทอมแรกเป็นศูนย์โดยสิ้นเชิง ทั้งหมดนี้เกิดขึ้นเนื่องจากความจริงที่ว่าตัวอักษรทั้งหมดยกเว้นตัวแปรที่ใช้สร้างความแตกต่างนั้นถือเป็นค่าคงที่: สามารถนำออกมา "เผา" ฯลฯ

"อนุพันธ์บางส่วน" คืออะไร?

วันนี้เราจะพูดถึงฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวและอนุพันธ์บางส่วนของตัวแปรเหล่านั้น ประการแรก ฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวคืออะไร? จนถึงตอนนี้ เราคุ้นเคยกับการพิจารณาฟังก์ชันเป็น $y\left(x \right)$ หรือ $t\left(x \right)$ หรือตัวแปรใดๆ และฟังก์ชันเดียวของฟังก์ชันนั้น ตอนนี้เราจะมีฟังก์ชันเดียว แต่มีตัวแปรหลายตัว เมื่อ $y$ และ $x$ เปลี่ยนแปลง ค่าของฟังก์ชันก็จะเปลี่ยนไป ตัวอย่างเช่น หาก $x$ เพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า ค่าของฟังก์ชันจะเปลี่ยน และหาก $x$ เปลี่ยนแปลง แต่ $y$ ไม่เปลี่ยนแปลง ค่าของฟังก์ชันจะเปลี่ยนในลักษณะเดียวกัน

แน่นอนว่าฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวสามารถแยกความแตกต่างได้เช่นเดียวกับฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว อย่างไรก็ตาม เนื่องจากมีหลายตัวแปร จึงเป็นไปได้ที่จะแยกความแตกต่างตามตัวแปรที่ต่างกัน ในกรณีนี้ มีกฎเฉพาะเกิดขึ้นซึ่งไม่มีอยู่เมื่อแยกตัวแปรหนึ่งตัวแปร

ก่อนอื่น เมื่อเราคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันจากตัวแปรใดๆ เราจำเป็นต้องระบุว่าเรากำลังคำนวณอนุพันธ์ของตัวแปรใด ซึ่งเรียกว่าอนุพันธ์ย่อย ตัวอย่างเช่น เรามีฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว และเราสามารถคำนวณได้ทั้งในรูป $x$ และใน $y$ ซึ่งเป็นอนุพันธ์ย่อยสองตัวสำหรับตัวแปรแต่ละตัว

ประการที่สอง ทันทีที่เราแก้ไขตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งและเริ่มคำนวณอนุพันธ์ย่อยตามตัวแปรนั้น ตัวแปรอื่นๆ ทั้งหมดที่รวมอยู่ในฟังก์ชันนี้จะถือเป็นค่าคงที่ ตัวอย่างเช่น ใน $z\left(xy \right)$ ถ้าเราพิจารณาอนุพันธ์ย่อยด้วยความเคารพต่อ $x$ ดังนั้นเมื่อใดก็ตามที่เราเจอ $y$ เราจะถือว่ามันเป็นค่าคงที่และปฏิบัติต่อมันเช่นนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อคำนวณอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ เราสามารถนำ $y$ ออกจากวงเล็บ (เรามีค่าคงที่) และเมื่อคำนวณอนุพันธ์ของผลรวม หากที่ไหนสักแห่งที่เราได้รับอนุพันธ์ของนิพจน์ที่มี $y$ และ ที่ไม่มี $x$ ดังนั้นอนุพันธ์ของนิพจน์นี้จะเท่ากับ "ศูนย์" ซึ่งเป็นอนุพันธ์ของค่าคงที่

เมื่อมองแวบแรกอาจดูเหมือนว่าฉันกำลังพูดถึงสิ่งที่ซับซ้อนและนักเรียนหลายคนสับสนในตอนแรก อย่างไรก็ตาม ไม่มีอะไรเหนือธรรมชาติในอนุพันธ์ย่อย และตอนนี้เราจะเห็นสิ่งนี้โดยใช้ตัวอย่างของปัญหาเฉพาะ

ปัญหาเกี่ยวกับรากและพหุนาม

ภารกิจที่ 1

เพื่อไม่ให้เป็นการเสียเวลาเรามาเริ่มกันตั้งแต่ต้นด้วยตัวอย่างที่จริงจัง

ก่อนอื่น ฉันขอเตือนคุณถึงสูตรนี้:

นี่คือค่าตารางมาตรฐานที่เราทราบจากหลักสูตรมาตรฐาน

ในกรณีนี้ อนุพันธ์ $z$ จะถูกคำนวณดังนี้:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]

ลองทำใหม่อีกครั้ง เนื่องจากรูทไม่ใช่ $x$ แต่เป็นนิพจน์อื่น ในกรณีนี้ $\frac(y)(x)$ จากนั้นเราจะใช้ค่าตารางมาตรฐานก่อน จากนั้น เนื่องจากรูทคือ ไม่ใช่ $x $ และอีกนิพจน์หนึ่ง เราต้องคูณอนุพันธ์ของเราด้วยนิพจน์นี้อีกตัวหนึ่งเทียบกับตัวแปรเดียวกัน ก่อนอื่นมาคำนวณสิ่งต่อไปนี้:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

เรากลับมาที่การแสดงออกของเราและเขียน:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]

โดยพื้นฐานแล้วนั่นคือทั้งหมด อย่างไรก็ตามมันเป็นเรื่องผิดที่จะปล่อยไว้ในรูปแบบนี้: โครงสร้างดังกล่าวไม่สะดวกที่จะใช้สำหรับการคำนวณเพิ่มเติมดังนั้นเรามาเปลี่ยนกันสักหน่อย:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

พบคำตอบแล้ว ตอนนี้เรามาจัดการกับ $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]

มาเขียนแยกกัน:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

ตอนนี้เราเขียนลงไป:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

เสร็จแล้ว.

ปัญหาหมายเลข 2

ตัวอย่างนี้ทั้งเรียบง่ายและซับซ้อนกว่าตัวอย่างก่อนหน้า มันซับซ้อนกว่าเพราะมีการกระทำมากกว่า แต่มันง่ายกว่าเพราะไม่มีรูท และนอกจากนี้ ฟังก์ชันยังสมมาตรเมื่อเทียบกับ $x$ และ $y$ เช่น ถ้าเราสลับ $x$ และ $y$ สูตรจะไม่เปลี่ยนแปลง หมายเหตุนี้จะทำให้การคำนวณอนุพันธ์บางส่วนของเราง่ายขึ้น เช่น แค่นับหนึ่งอันก็เพียงพอแล้ว และอันที่สองก็แค่สลับ $x$ และ $y$

มาทำธุรกิจกันเถอะ:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \right ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\ไพรม์ ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

มานับกัน:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

อย่างไรก็ตาม นักเรียนหลายคนไม่เข้าใจสัญลักษณ์นี้ ดังนั้นลองเขียนดังนี้:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

ดังนั้นเราจึงมั่นใจอีกครั้งถึงความเป็นสากลของอัลกอริธึมอนุพันธ์บางส่วน: ไม่ว่าเราจะคำนวณมันอย่างไร หากใช้กฎทั้งหมดอย่างถูกต้อง คำตอบก็จะเหมือนเดิม

ตอนนี้เรามาดูอนุพันธ์บางส่วนจากสูตรใหญ่ของเรากันดีกว่า:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

ลองแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสูตรของเราแล้วรับ:

\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ ขวา)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x))(((\ซ้าย (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))(((\ ซ้าย(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \right))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2 )))\]

จากการนับ $x$ และในการคำนวณ $y$ จากนิพจน์เดียวกัน อย่าทำลำดับการกระทำเดียวกัน แต่ใช้ประโยชน์จากความสมมาตรของนิพจน์ดั้งเดิมของเรา - เราเพียงแค่แทนที่ $y$ ทั้งหมดในนิพจน์ดั้งเดิมของเราด้วย $x$ และในทางกลับกัน:

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

เนื่องจากความสมมาตร เราจึงคำนวณนิพจน์นี้ได้เร็วกว่ามาก

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

สำหรับอนุพันธ์ย่อย สูตรมาตรฐานทั้งหมดที่เราใช้สำหรับอนุพันธ์สามัญใช้ได้ผล กล่าวคือ อนุพันธ์ของผลหาร อย่างไรก็ตามในเวลาเดียวกันมีคุณสมบัติเฉพาะเกิดขึ้น: หากเราพิจารณาอนุพันธ์บางส่วนของ $x$ จากนั้นเมื่อเราได้รับจาก $x$ เราจะพิจารณาว่ามันเป็นค่าคงที่และดังนั้นอนุพันธ์ของมันจะเท่ากับ "ศูนย์" .

เช่นเดียวกับในกรณีของอนุพันธ์ทั่วไป ผลหาร (อนุพันธ์เดียวกัน) สามารถคำนวณได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น โครงสร้างเดียวกันกับที่เราเพิ่งคำนวณสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\ไพรม์ ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

ในทางกลับกัน คุณสามารถใช้สูตรจากผลรวมอนุพันธ์ได้ อย่างที่เรารู้ มันเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่น ลองเขียนดังต่อไปนี้:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

เมื่อทราบทั้งหมดนี้แล้ว เรามาลองใช้นิพจน์ที่จริงจังกว่านี้กันดีกว่า เนื่องจากอนุพันธ์ย่อยจริงไม่ได้จำกัดอยู่เพียงพหุนามและรากเท่านั้น ยังมีตรีโกณมิติ ลอการิทึม และฟังก์ชันเลขชี้กำลังด้วย ทีนี้เรามาทำสิ่งนี้กันดีกว่า

ปัญหาเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติและลอการิทึม

ภารกิจที่ 1

ให้เราเขียนสูตรมาตรฐานต่อไปนี้:

\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

ด้วยความรู้นี้เรามาลองแก้กัน:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\ซ้าย (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

ลองเขียนตัวแปรหนึ่งตัวแยกกัน:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y)\right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

กลับไปที่การออกแบบของเรา:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

เพียงเท่านี้ เราพบว่ามีราคา $x$ ตอนนี้มาคำนวณ $y$ กันดีกว่า:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\ซ้าย (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

อีกครั้ง ลองคำนวณหนึ่งนิพจน์:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \right)\]

เรากลับสู่นิพจน์ดั้งเดิมและดำเนินการแก้ไขปัญหาต่อไป:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

เสร็จแล้ว.

ปัญหาหมายเลข 2

มาเขียนสูตรที่เราต้องการ:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

ทีนี้ลองนับ $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\ไพรม์ ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]

พบในราคา $x$ เรานับด้วย $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]

ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

ดังนั้น ไม่ว่าเราจะหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันใดก็ตาม กฎก็ยังคงเหมือนเดิม ไม่ว่าเราจะทำงานกับตรีโกณมิติ ด้วยรากหรือลอการิทึมก็ตาม

กฎคลาสสิกของการทำงานกับอนุพันธ์มาตรฐานยังคงไม่เปลี่ยนแปลง กล่าวคือ อนุพันธ์ของผลรวมและผลต่าง ผลหารและฟังก์ชันเชิงซ้อน

สูตรสุดท้ายมักพบเมื่อแก้ไขปัญหาเกี่ยวกับอนุพันธ์บางส่วน เราพบพวกเขาเกือบทุกที่ ไม่เคยมีงานไหนที่เราไม่เจอเลย แต่ไม่ว่าเราจะใช้สูตรอะไร เรายังคงมีข้อกำหนดเพิ่มเติมอีกประการหนึ่ง กล่าวคือ ลักษณะเฉพาะของการทำงานกับอนุพันธ์บางส่วน เมื่อเราแก้ไขตัวแปรตัวหนึ่งแล้ว ตัวอื่นๆ ทั้งหมดจะเป็นค่าคงที่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเราพิจารณาอนุพันธ์บางส่วนของนิพจน์ $\cos \frac(x)(y)$ เทียบกับ $y$ แล้ว $y$ จะเป็นตัวแปร และ $x$ ยังคงเป็นค่าคงที่ทุกที่ สิ่งเดียวกันทำงานในทางกลับกัน สามารถนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์ได้ และอนุพันธ์ของค่าคงที่นั้นจะเท่ากับ "ศูนย์"

ทั้งหมดนี้นำไปสู่ความจริงที่ว่าอนุพันธ์บางส่วนของนิพจน์เดียวกัน แต่เมื่อพิจารณาจากตัวแปรที่ต่างกัน อาจดูแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง ตัวอย่างเช่น ลองดูที่นิพจน์ต่อไปนี้:

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

ปัญหาเกี่ยวกับฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม

ภารกิจที่ 1

ขั้นแรกให้เขียนสูตรต่อไปนี้:

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

เมื่อรู้ข้อเท็จจริงนี้แล้วลองคำนวณหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนกันดีกว่า ตอนนี้ผมจะแก้มันด้วยสองวิธีที่แตกต่างกัน สิ่งแรกและชัดเจนที่สุดคืออนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์:

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

มาแก้นิพจน์ต่อไปนี้แยกกัน:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

เรากลับไปสู่การออกแบบดั้งเดิมของเราและดำเนินการแก้ไขปัญหาต่อไป:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\right)\]

ทุกอย่าง $x$ ถูกคำนวณแล้ว

อย่างไรก็ตาม ตามที่ผมสัญญาไว้ ตอนนี้เราจะพยายามคำนวณอนุพันธ์ย่อยที่เหมือนกันนี้ด้วยวิธีที่แตกต่างออกไป เมื่อต้องการทำเช่นนี้ โปรดทราบสิ่งต่อไปนี้:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

มาเขียนแบบนี้:

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]

เป็นผลให้เราได้รับคำตอบเดียวกันทุกประการ แต่จำนวนการคำนวณกลับน้อยลง ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะทราบว่าเมื่อใช้งานผลิตภัณฑ์ สามารถเพิ่มตัวบ่งชี้ได้

ทีนี้ลองนับด้วย $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(ป)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

มาแก้สำนวนหนึ่งแยกกัน:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

มาแก้ไขการก่อสร้างดั้งเดิมของเราต่อไป:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

แน่นอนว่า อนุพันธ์เดียวกันนี้สามารถคำนวณได้ด้วยวิธีที่สอง และคำตอบก็จะเหมือนเดิม

ปัญหาหมายเลข 2

ลองนับ $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]

มาคำนวณหนึ่งนิพจน์แยกกัน:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]

มาแก้ไขโครงสร้างเดิมต่อไป: $$

นี่คือคำตอบ

ยังคงค้นหาโดยการเปรียบเทียบโดยใช้ $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]

และเช่นเคย เราจะคำนวณนิพจน์หนึ่งรายการแยกกัน:

\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\ไพรม์ ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

เราดำเนินการแก้ไขการออกแบบพื้นฐานต่อไป:

ทุกอย่างได้รับการคำนวณแล้ว อย่างที่คุณเห็น คำตอบจะแตกต่างกันโดยสิ้นเชิง ขึ้นอยู่กับตัวแปรที่ใช้ในการสร้างความแตกต่าง

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

นี่เป็นตัวอย่างที่ชัดเจนของวิธีการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันเดียวกันในสองวิธีที่แตกต่างกัน ดูนี่:

\[((((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ ซ้าย(1+\frac(1)(y) \right)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( จ)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]

เมื่อเลือกเส้นทางที่แตกต่างกันปริมาณการคำนวณอาจแตกต่างกัน แต่คำตอบหากทำทุกอย่างถูกต้องจะเท่ากัน สิ่งนี้ใช้ได้กับอนุพันธ์ทั้งแบบคลาสสิคและแบบบางส่วน ในเวลาเดียวกัน ฉันขอเตือนคุณอีกครั้ง: ขึ้นอยู่กับตัวแปรที่อนุพันธ์ถูกนำมาใช้ เช่น ความแตกต่างคำตอบอาจแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง ดู:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cดอท 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cดอท 1\]

โดยสรุป เพื่อรวมเนื้อหาทั้งหมดนี้ เรามาลองคำนวณอีกสองตัวอย่างกัน

ปัญหาเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันที่มีตัวแปร 3 ตัว

ภารกิจที่ 1

ลองเขียนสูตรต่อไปนี้:

\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\]

ตอนนี้เรามาแก้นิพจน์ของเรากัน:

\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

มาคำนวณการก่อสร้างต่อไปนี้แยกกัน:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ ซ้าย(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

เรายังคงแก้ไขนิพจน์ดั้งเดิมต่อไป:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

นี่คือการตอบสนองขั้นสุดท้ายของตัวแปรส่วนตัวบน $x$ ทีนี้ลองนับด้วย $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

มาแก้สำนวนหนึ่งแยกกัน:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ ซ้าย(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

มาแก้ไขการก่อสร้างของเราจนจบ:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

ปัญหาหมายเลข 2

เมื่อมองแวบแรก ตัวอย่างนี้อาจดูค่อนข้างซับซ้อนเนื่องจากมีตัวแปรสามตัว อันที่จริง นี่เป็นหนึ่งในงานที่ง่ายที่สุดในวิดีโอสอนวันนี้

ค้นหาโดย $x$:

\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e) ^(z)) \right))^(\ไพรม์ ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

ตอนนี้เรามาจัดการกับ $y$:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot ((e)^(z)) \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\ซ้าย (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

เราได้พบคำตอบแล้ว

ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือค้นหาโดย $z$:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\ไพรม์ ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((อี)^(z))\]

เราได้คำนวณอนุพันธ์อันดับสามแล้ว ซึ่งช่วยแก้ปัญหาข้อที่สองได้สำเร็จ

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรซับซ้อนในสองตัวอย่างนี้ สิ่งเดียวที่เรามั่นใจคืออนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนถูกใช้บ่อยๆ และคำตอบก็ต่างกันขึ้นอยู่กับอนุพันธ์ย่อยที่เราคำนวณ

ในงานสุดท้าย เราถูกขอให้จัดการกับฟังก์ชันของตัวแปรสามตัวพร้อมกัน ไม่มีอะไรผิดปกติในเรื่องนี้ แต่ท้ายที่สุดแล้ว เราก็เชื่อมั่นว่าสิ่งเหล่านี้มีความแตกต่างกันอย่างมาก

ประเด็นสำคัญ

ประเด็นสุดท้ายจากวิดีโอสอนวันนี้มีดังนี้:

1. อนุพันธ์บางส่วนคำนวณในลักษณะเดียวกับอนุพันธ์ทั่วไป แต่ในการคำนวณอนุพันธ์บางส่วนด้วยความเคารพต่อตัวแปรตัวหนึ่ง เราจะนำตัวแปรอื่น ๆ ทั้งหมดที่รวมอยู่ในฟังก์ชันนี้เป็นค่าคงที่
2. เมื่อทำงานกับอนุพันธ์ย่อย เราใช้สูตรมาตรฐานเดียวกันกับอนุพันธ์ทั่วไป ได้แก่ ผลรวม ผลต่าง อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และผลหาร และแน่นอน อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน

แน่นอนว่าการดูบทเรียนวิดีโอนี้เพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอที่จะเข้าใจหัวข้อนี้อย่างถ่องแท้ ดังนั้นตอนนี้บนเว็บไซต์ของฉันจึงมีปัญหามากมายสำหรับวิดีโอนี้ที่เน้นไปที่หัวข้อของวันนี้โดยเฉพาะ - เข้าไป ดาวน์โหลด แก้ไขปัญหาเหล่านี้และตรวจสอบคำตอบ . และหลังจากนี้คุณจะไม่มีปัญหากับอนุพันธ์บางส่วนทั้งในการสอบหรือในงานอิสระ แน่นอนว่านี่ไม่ใช่บทเรียนสุดท้ายในคณิตศาสตร์ชั้นสูง ดังนั้นเยี่ยมชมเว็บไซต์ของเรา เพิ่ม VKontakte สมัครสมาชิก YouTube ถูกใจและอยู่กับเรา!

อนุพันธ์บางส่วนถูกใช้ในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว กฎในการค้นหาจะเหมือนกับฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่งทุกประการ โดยมีข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งจะต้องถือเป็นค่าคงที่ (จำนวนคงที่) ในขณะที่หาความแตกต่าง

สูตร

อนุพันธ์บางส่วนสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว $ z(x,y) $ เขียนในรูปแบบต่อไปนี้ $ z"_x, z"_y $ และพบได้โดยใช้สูตร:

ลำดับแรกอนุพันธ์ย่อยบางส่วน

$$ z"_x = \frac(\บางส่วน z)(\บางส่วน x) $$

$$ z"_y = \frac(\บางส่วน z)(\บางส่วน y) $$

อนุพันธ์ย่อยอันดับสอง

$$ z""_(xx) = \frac(\บางส่วน^2 z)(\บางส่วน x \บางส่วน x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\บางส่วน^2 z)(\บางส่วน y \บางส่วน y) $$

อนุพันธ์ผสม

$$ z""_(xy) = \frac(\บางส่วน^2 z)(\บางส่วน x \บางส่วน y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\บางส่วน^2 z)(\บางส่วน y \บางส่วน x) $$

อนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันเชิงซ้อน

a) ให้ $ z (t) = f(x(t), y(t)) $ จากนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนจะถูกกำหนดโดยสูตร:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\บางส่วน z)(\บางส่วน x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\บางส่วน z)(\บางส่วน y) \cdot \frac (dy)(dt)$$

b) ให้ $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $ จากนั้นสูตรจะพบอนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชัน:

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

อนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันโดยนัย

ก) ให้ $ F(x,y(x)) = 0 $ จากนั้น $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) ให้ $ F(x,y,z)=0 $ จากนั้น $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( ฉ"_z) $$

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่ง $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $

สารละลาย

ในการค้นหาอนุพันธ์บางส่วนเทียบกับ $ x $ เราจะถือว่า $ y $ เป็นค่าคงที่ (ตัวเลข): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ ในการค้นหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันเทียบกับ $y$ เราให้นิยาม $y$ ด้วยค่าคงที่: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ หากคุณไม่สามารถแก้ปัญหาของคุณได้ โปรดส่งมาให้เรา เราจะให้วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด คุณจะสามารถดูความคืบหน้าของการคำนวณและรับข้อมูลได้ วิธีนี้จะช่วยให้คุณได้เกรดจากอาจารย์ได้ทันเวลา!

คำตอบ

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันลำดับที่สอง $ z = e^(xy) $

สารละลาย

ขั้นแรก คุณต้องค้นหาอนุพันธ์อันดับ 1 จากนั้นเมื่อรู้แล้ว คุณก็จะพบอนุพันธ์อันดับ 2 ได้ ให้ $y$ เป็นค่าคงที่: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ใช่^(xy) $$ ให้เราตั้งค่า $ x $ ให้เป็นค่าคงที่: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ เมื่อทราบอนุพันธ์อันดับแรก เราก็จะพบอนุพันธ์อันดับสองเช่นเดียวกัน ตั้งค่า $y$ เป็นค่าคงที่: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ใช่^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ใช่^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ เราตั้งค่า $ x $ เป็นค่าคงที่: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือหาอนุพันธ์แบบผสม คุณสามารถแยกความแตกต่าง $ z"_x $ ด้วย $ y $ และคุณสามารถแยกความแตกต่าง $ z"_y $ ด้วย $ x $ ได้ เนื่องจากตามทฤษฎีบท $ z""_(xy) = z""_(yx) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ใช่^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ใช่แล้ว^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$

คำตอบ

$$ z"_x = ท่าน^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

ตัวอย่างที่ 4

ให้ $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ กำหนดฟังก์ชันโดยนัย $ F(x,y,z) = 0 $ ค้นหาอนุพันธ์ย่อยลำดับที่หนึ่ง

สารละลาย

เราเขียนฟังก์ชันในรูปแบบ: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ และค้นหาอนุพันธ์: $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

คำตอบ

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

มีการพิจารณาตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่าของฟังก์ชันที่ชัดเจน ให้สูตรที่เป็นประโยชน์สำหรับการคำนวณอนุพันธ์ลำดับที่ n

เนื้อหา

การกำหนดอนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่า

ที่นี่เราจะพิจารณากรณีที่ตัวแปร y ขึ้นอยู่กับตัวแปร x อย่างชัดเจน:
.
การหาความแตกต่างของฟังก์ชันด้วยความเคารพต่อตัวแปร x เราจะได้อนุพันธ์อันดับ 1 หรือเพียงแค่อนุพันธ์:
.
เป็นผลให้เราได้รับฟังก์ชันใหม่ซึ่งเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน การสร้างความแตกต่างให้กับฟังก์ชันใหม่นี้ด้วยความเคารพต่อตัวแปร x เราได้อนุพันธ์อันดับสอง:
.
การสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันเราได้รับอนุพันธ์อันดับสาม:
.
และอื่นๆ การแยกความแตกต่างของฟังก์ชันดั้งเดิม n ครั้ง เราได้รับอนุพันธ์ลำดับที่ n หรืออนุพันธ์ลำดับที่ n:
.

อนุพันธ์สามารถแสดงได้เส้นขีด เลขโรมัน เลขอารบิคในวงเล็บหรือเศษส่วนจากส่วนต่าง ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของลำดับที่สามและสี่สามารถแสดงได้ดังนี้:
;
.

ด้านล่างนี้เป็นสูตรที่อาจเป็นประโยชน์ในการคำนวณอนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่า

สูตรที่มีประโยชน์สำหรับอนุพันธ์ลำดับที่ n

อนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานบางตัว:
;
;
;
;
.

อนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชัน:
,
ค่าคงที่อยู่ที่ไหน

สูตรไลบ์นิซ อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชัน:
,
ที่ไหน
- สัมประสิทธิ์ทวินาม

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาอนุพันธ์ลำดับที่หนึ่งและสองของฟังก์ชันต่อไปนี้:
.

เราพบอนุพันธ์อันดับหนึ่งเราใช้ค่าคงที่นอกเครื่องหมายอนุพันธ์และใช้สูตรจากตารางอนุพันธ์:
.
เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:
.
ที่นี่ .
เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อนและใช้อนุพันธ์ที่พบ:
.
ที่นี่ .

.
ในการหาอนุพันธ์อันดับสอง เราจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับ 1 ซึ่งก็คือฟังก์ชัน:
.
เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนกับสัญกรณ์ ให้เราแสดงฟังก์ชันนี้ด้วยตัวอักษร:
(A1.1) .
แล้ว อนุพันธ์อันดับสองจากฟังก์ชันดั้งเดิมคืออนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
.

การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ซึ่งทำได้ง่ายกว่าโดยใช้อนุพันธ์ลอการิทึม ลองลอการิทึม (A1.1):
.
ตอนนี้เรามาแยกความแตกต่างกัน:
(A1.2) .
แต่มันก็สม่ำเสมอ อนุพันธ์ของมันคือศูนย์ เราพบอนุพันธ์ของแล้ว เราค้นหาอนุพันธ์ที่เหลือโดยใช้กฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน
;
;
.
เราเปลี่ยนตัวใน (A1.2):

.
จากที่นี่
.

;
.

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาอนุพันธ์อันดับสาม:
.

การหาอนุพันธ์อันดับหนึ่ง. ในการทำเช่นนี้ เราจะหาค่าคงที่ที่อยู่นอกเครื่องหมายของอนุพันธ์และการใช้งาน ตารางอนุพันธ์และสมัคร กฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน .

.
ที่นี่ .
ดังนั้นเราจึงพบอนุพันธ์อันดับหนึ่ง:
.

การหาอนุพันธ์อันดับสอง. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะหาอนุพันธ์ของ เราใช้สูตรเศษส่วนอนุพันธ์
.
อนุพันธ์อันดับสอง:
.

ตอนนี้เราพบสิ่งที่เรากำลังมองหา อนุพันธ์อันดับสาม. การทำเช่นนี้เราสร้างความแตกต่าง
;
;

.

อนุพันธ์อันดับสามมีค่าเท่ากับ
.

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาอนุพันธ์อันดับหกของฟังก์ชันต่อไปนี้:
.

หากคุณเปิดวงเล็บ จะเห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันดั้งเดิมนั้นเป็นพหุนามของดีกรี ลองเขียนมันเป็นพหุนาม:
,
โดยที่สัมประสิทธิ์คงที่

ต่อไป เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์อันดับที่ n ของฟังก์ชันกำลัง:
.
สำหรับอนุพันธ์อันดับหก (n = 6 ) เรามี:
.
จากนี้จะเห็นได้อย่างชัดเจนว่า ณ. เมื่อเรามี:
.

เราใช้สูตรหาอนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชัน:

.
ดังนั้น เพื่อหาอนุพันธ์อันดับ 6 ของฟังก์ชันดั้งเดิม เราเพียงต้องค้นหาค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่ระดับสูงสุดเท่านั้น เราพบมันโดยการคูณกำลังสูงสุดในผลคูณของผลรวมของฟังก์ชันดั้งเดิม:

.
จากที่นี่. แล้ว
.

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาอนุพันธ์อันดับที่ n ของฟังก์ชัน
.

วิธีแก้ปัญหา > > >

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาอนุพันธ์อันดับที่ n ของฟังก์ชันต่อไปนี้:
,
ที่ไหน และ เป็นค่าคงที่

ในตัวอย่างนี้ จะสะดวกในการคำนวณโดยใช้จำนวนเชิงซ้อน ขอให้เรามีฟังก์ชันที่ซับซ้อนบ้าง
(A5.1) ,
ที่ไหน และ เป็นฟังก์ชันของตัวแปรจริง x;
- หน่วยจินตภาพ, .
การสร้างความแตกต่าง (ก.1) n ครั้ง เรามี:
(A5.2) .
บางครั้งการหาอนุพันธ์ลำดับที่ n ของฟังก์ชันจะง่ายกว่า จากนั้นอนุพันธ์อันดับที่ n ของฟังก์ชันถูกกำหนดให้เป็นส่วนจริงและจินตภาพของอนุพันธ์อันดับที่ n:
;
.

ลองใช้เทคนิคนี้เพื่อแก้ตัวอย่างของเรา พิจารณาฟังก์ชัน
.
ต่อไปนี้เราได้ใช้สูตรของออยเลอร์แล้ว
,
และแนะนำการกำหนด
.
จากนั้นอนุพันธ์อันดับ n ของฟังก์ชันดั้งเดิมจะถูกกำหนดโดยสูตร:
.

ลองหาอนุพันธ์อันดับ n ของฟังก์ชันกัน
.
เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราใช้สูตร:
.
ในกรณีของเรา
.
แล้ว
.

ดังนั้นเราจึงพบอนุพันธ์อันดับที่ n ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:
,
ที่ไหน .
เรามาค้นหาส่วนที่แท้จริงของฟังก์ชันกัน
ในการดำเนินการนี้ เราจะแสดงจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบเลขชี้กำลัง:
,
ที่ไหน ;
; .
แล้ว
;

.

ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหา
.

อนุญาต , .
แล้ว ;
.
ที่ ,
,
,
.
และเราได้สูตรสำหรับอนุพันธ์อันดับ n ของโคไซน์:
.

,
ที่ไหน
; .