ตัวอย่างของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ความหมาย การจำแนกประเภท และคุณลักษณะ แนวทางพื้นฐานในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบ แผนภาพกราฟิกของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

16 แผนการทางคณิตศาสตร์สำหรับระบบการสร้างแบบจำลอง

แนวทางพื้นฐานในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบ แบบจำลองที่กำหนดอย่างต่อเนื่อง โมเดลที่กำหนดแบบไม่ต่อเนื่อง โมเดลสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง โมเดลสุ่มต่อเนื่อง โมเดลเครือข่าย โมเดลรวม

แนวทางพื้นฐานในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบ

ข้อมูลเบื้องต้นเมื่อสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการทำงานของระบบคือข้อมูลเกี่ยวกับวัตถุประสงค์และสภาวะการทำงานของระบบที่กำลังศึกษา (ออกแบบ) ส.

แผนการทางคณิตศาสตร์

กระบวนการจริงจะแสดงในรูปแบบของไดอะแกรมเฉพาะ เสื่อ. ไดอะแกรม – การเปลี่ยนจากคำอธิบายที่มีความหมายไปเป็นคำอธิบายที่เป็นทางการของระบบ โดยคำนึงถึงอิทธิพลของสภาพแวดล้อม

แบบจำลองวัตถุที่เป็นทางการ

แบบจำลองวัตถุจำลอง

นั่นคือระบบ ส,สามารถแสดงเป็นชุดของปริมาณได้

อธิบายกระบวนการทำงานของระบบจริงและการขึ้นรูป

โดยทั่วไปแล้วจะมีชุดย่อยดังต่อไปนี้:

· จำนวนทั้งสิ้น อิทธิพลอินพุตต่อระบบ

เอ็กซ์ฉัน,เอ๊ะ,(จ-ตัวละครเป็น)ฉัน=1; nx

· จำนวนทั้งสิ้น อิทธิพลของสิ่งแวดล้อม

โวลต์ฉันวีล.=1;nv

· จำนวนทั้งสิ้น พารามิเตอร์ภายใน (ของตัวเอง)ระบบ

hkeHk=1;น

· จำนวนทั้งสิ้น ลักษณะเอาต์พุตระบบ

คุณเจเจ=1;นิวยอร์ก

สามารถแยกแยะตัวแปรที่ควบคุมได้และควบคุมไม่ได้ได้

เมื่อระบบการสร้างแบบจำลอง อิทธิพลของอินพุต อิทธิพลของสภาพแวดล้อมภายนอก และพารามิเตอร์ภายในมีทั้งองค์ประกอบที่กำหนดและสุ่ม

อิทธิพลของอินพุต อิทธิพลของสิ่งแวดล้อม อีและพารามิเตอร์ภายในของระบบคือ ตัวแปรอิสระ (ภายนอก)

ขั้นตอนการทำงานของระบบ สอธิบายในเวลาโดยผู้ดำเนินการ เอฟเอสซึ่งโดยทั่วไปจะเปลี่ยนตัวแปรภายนอกให้เป็นตัวแปรภายนอกตามความสัมพันธ์ของรูปแบบ:

ย(t)=Fs(x,v, h,t) – ทั้งหมดมี veเคโทริ.

กฎการปฏิบัติงานของระบบ Fs สามารถระบุได้ในรูปแบบของฟังก์ชัน เงื่อนไขการทำงาน ตรรกะ ในรูปแบบอัลกอริทึมและตาราง หรือในรูปแบบของกฎการติดต่อทางวาจา

แนวคิดของอัลกอริทึมการทำงาน As -วิธีการรับคุณลักษณะเอาต์พุตโดยคำนึงถึงอิทธิพลของอินพุต อิทธิพลของสภาพแวดล้อมภายนอก และพารามิเตอร์ของระบบเอง

นอกจากนี้ยังมีการแนะนำสถานะของระบบ - คุณสมบัติของระบบ ณ จุดเวลาที่กำหนด

ชุดของค่าสถานะที่เป็นไปได้ทั้งหมดถือเป็นพื้นที่สถานะของวัตถุ

ดังนั้นห่วงโซ่สมการของวัตถุ "อินพุต - สถานะ - เอาต์พุต" ช่วยให้สามารถกำหนดลักษณะของระบบ:

ดังนั้นภายใต้ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของวัตถุ(ระบบจริง) เข้าใจเซตย่อยของตัวแปรที่มีขอบเขตจำกัด (x (t),v (t), ชม(t)) ร่วมกับการเชื่อมโยงทางคณิตศาสตร์ระหว่างสิ่งเหล่านั้นกับคุณลักษณะ ใช่(t)

แผนการทั่วไป

ในระยะเริ่มแรกของการศึกษาจะใช้แบบแผนมาตรฐาน : สมการเชิงอนุพันธ์ ออโตมาตาจำกัดและความน่าจะเป็น ระบบคิว ตาข่ายเพาะเชื้อ ฯลฯ

ในฐานะที่เป็นแบบจำลองที่กำหนดขึ้น เมื่อไม่ได้คำนึงถึงปัจจัยสุ่มในการศึกษานี้ สมการเชิงอนุพันธ์ อินทิกรัล อินทิกรัลดิฟเฟอเรนเชียล และสมการอื่นๆ จะถูกใช้เพื่อเป็นตัวแทนของระบบที่ทำงานในเวลาต่อเนื่องกัน และเพื่อเป็นตัวแทนของระบบที่ทำงานในเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง - เครื่องจักรสถานะจำกัดและแผนผลต่างอันจำกัด

เนื่องจากแบบจำลองสุ่ม (โดยคำนึงถึงปัจจัยสุ่ม) ออโตมาตาความน่าจะเป็นจึงถูกนำมาใช้เพื่อเป็นตัวแทนของระบบเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง และระบบการเข้าคิว ฯลฯ ถูกนำมาใช้เพื่อเป็นตัวแทนของระบบเวลาต่อเนื่อง

ดังนั้น เมื่อสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการทำงานของระบบ แนวทางหลักต่อไปนี้สามารถแยกแยะได้: กำหนดอย่างต่อเนื่อง (เช่น สมการเชิงอนุพันธ์) ไม่ต่อเนื่องกำหนด (เครื่องจักรสถานะจำกัด); discrete-stochastic (ออโตมาตะที่น่าจะเป็น); สุ่มต่อเนื่อง (ระบบคิว); ทั่วไปหรือสากล (ระบบรวม)

แบบจำลองที่กำหนดอย่างต่อเนื่อง

ให้เราพิจารณาคุณสมบัติของแนวทางที่กำหนดอย่างต่อเนื่องโดยใช้ตัวอย่างโดยใช้ Mat โมเดล สมการเชิงอนุพันธ์.

สมการเชิงอนุพันธ์คือสมการที่ไม่ทราบฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งหรือหลายตัวแปร และสมการนี้ไม่เพียงแต่รวมฟังก์ชันของตัวแปรเหล่านั้นเท่านั้น แต่ยังรวมอนุพันธ์ของตัวแปรที่มีลำดับต่างกันด้วย

หากค่าที่ไม่ทราบเป็นฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว สมการจะเรียกว่า - สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยหากไม่ทราบฟังก์ชันของตัวแปรอิสระตัวหนึ่งแล้ว สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ

ความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์สำหรับระบบกำหนดรูปแบบทั่วไป:

โมเดลที่กำหนดแบบไม่ต่อเนื่อง

DDM อยู่ระหว่างการพิจารณา ทฤษฎีออโตมาตะ (TA). TA เป็นส่วนหนึ่งของไซเบอร์เนติกส์เชิงทฤษฎีที่ศึกษาอุปกรณ์ที่ประมวลผล ข้อมูลที่ไม่ต่อเนื่องและเปลี่ยนสภาพภายในในเวลาที่ยอมรับได้เท่านั้น

เครื่องของรัฐ เป็นหุ่นยนต์ที่มีเซตของสถานะภายในและสัญญาณอินพุต (และด้วยเหตุนี้เซตของสัญญาณเอาท์พุต) จึงเป็นเซตที่มีขอบเขตจำกัด

เครื่องของรัฐมีชุดสถานะภายในและสัญญาณอินพุต ซึ่งเป็นชุดจำกัด เครื่องจักรได้รับจาก F-scheme: F= ,

โดยที่ z, x, y คือเซตจำกัดของสัญญาณอินพุตและเอาท์พุต (ตัวอักษร) และเซตจำกัดของสถานะภายใน (ตัวอักษร) z0ÎZ - สถานะเริ่มต้น; j(z, x) - ฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลง; y(z, x) - ฟังก์ชันเอาต์พุต

หุ่นยนต์ทำงานในเวลาออโตเมติกที่ไม่ต่อเนื่องซึ่งช่วงเวลานั้นเป็นรอบนาฬิกาเช่น ช่วงเวลาที่เท่ากันซึ่งอยู่ติดกันซึ่งแต่ละค่าจะสอดคล้องกับค่าคงที่ของอินพุตสัญญาณเอาต์พุตและสถานะภายใน หุ่นยนต์นามธรรมมีหนึ่งอินพุตและหนึ่งช่องสัญญาณเอาท์พุต

ในการระบุหุ่นยนต์ F จำเป็นต้องอธิบายองค์ประกอบทั้งหมดของชุด F= เช่น ตัวอักษรอินพุต ตัวอักษรภายใน และเอาต์พุต ตลอดจนฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านและเอาต์พุต เพื่อระบุการทำงานของ F-automata มักใช้วิธีแบบตาราง กราฟิก และเมทริกซ์

ในวิธีการตั้งค่าแบบตาราง จะใช้ตารางการเปลี่ยนภาพและเอาต์พุต แถวที่สอดคล้องกับสัญญาณอินพุตของเครื่อง และคอลัมน์สอดคล้องกับสถานะของเครื่อง

รายละเอียดของงาน เอฟ- เครื่องมิลี่อัตโนมัติตารางการเปลี่ยนภาพ j และผลลัพธ์ y แสดงโดยตาราง (1) และคำอธิบายของ F - เครื่อง Moore - ตามตารางการเปลี่ยนภาพ (2)

ตารางที่ 1



การเปลี่ยนผ่าน


…………………………………………………………



…………………………………………………………

ตารางที่ 2






…………………………………………………………

ตัวอย่างของวิธีการแบบตารางสำหรับการระบุ F - เครื่อง Mealy F1 ที่มีสามสถานะ สัญญาณอินพุตสองสัญญาณและสัญญาณเอาต์พุตสองสัญญาณแสดงไว้ในตารางที่ 3 และสำหรับ F - เครื่อง Moore F2 - ในตารางที่ 4

ตารางที่ 3



การเปลี่ยนผ่าน

ตารางที่ 4

อีกวิธีหนึ่งในการระบุหุ่นยนต์ที่มีขอบเขตจำกัดคือการใช้แนวคิดของกราฟกำกับ กราฟของหุ่นยนต์คือชุดของจุดยอดที่สอดคล้องกับสถานะต่างๆ ของหุ่นยนต์และการเชื่อมต่อจุดยอดของส่วนโค้งของกราฟที่สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงบางอย่างของหุ่นยนต์ หากสัญญาณอินพุต xk ทำให้เกิดการเปลี่ยนจากสถานะ zi เป็นสถานะ zj ดังนั้นบนกราฟออโตมาตัน ส่วนโค้งที่เชื่อมต่อจุดยอด zi ไปยังจุดสุดยอด zj จะแสดงเป็น xk เพื่อระบุฟังก์ชันการเปลี่ยนแปลง ส่วนโค้งของกราฟจะต้องถูกทำเครื่องหมายด้วยสัญญาณเอาท์พุตที่สอดคล้องกัน

ข้าว. 1. กราฟของ Mealy (a) และ Moore (b) ออโตมาตา

เมื่อแก้ไขปัญหาการสร้างแบบจำลอง ข้อมูลจำเพาะเมทริกซ์ของออโตมาตอนจำกัดมักจะเป็นรูปแบบที่สะดวกกว่า ในกรณีนี้ เมทริกซ์การเชื่อมต่อของหุ่นยนต์คือเมทริกซ์จัตุรัส C=|| cij || แถวที่สอดคล้องกับสถานะเริ่มต้น และคอลัมน์สอดคล้องกับสถานะการเปลี่ยนแปลง

ตัวอย่าง. สำหรับ Moore automaton F2 ที่พิจารณาก่อนหน้านี้ เราจะเขียนเมทริกซ์สถานะและเวกเตอร์เอาต์พุต:

;

โมเดลสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ให้ Ф เป็นเซตของคู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของรูปแบบ (zk, yi) โดยที่ уi เป็นองค์ประกอบของเอาต์พุต

เซตย่อย Y เราต้องการให้สมาชิกใดๆ ของเซต G เหนี่ยวนำ

ในชุด Ф กฎการกระจายบางส่วนในรูปแบบต่อไปนี้:

องค์ประกอบจาก Ф (z1, y2) (z1, y2zk, yJ-1) (zK, yJ)

(xi, zs) b11 b1bK(J-1) bKJ

เครือข่ายข้อมูล" href="/text/category/informatcionnie_seti/" rel="bookmark">การประมวลผลข้อมูลคอมพิวเตอร์จากเทอร์มินัลระยะไกล ฯลฯ

ขณะเดียวกันก็มีลักษณะของ

การทำงานของวัตถุดังกล่าวเป็นลักษณะสุ่มของการใช้งาน (ข้อกำหนด) สำหรับ

การบำรุงรักษาและความสมบูรณ์ของการบริการใน ช่วงเวลาที่สุ่มเวลา,

นั่นคือลักษณะสุ่มของกระบวนการทำงาน

QS เข้าใจว่าเป็นระบบไดนามิกที่ออกแบบมาเพื่อให้บริการคำขอแบบสุ่มด้วยทรัพยากรระบบที่จำกัดอย่างมีประสิทธิภาพ โครงสร้างทั่วไป QS แสดงในรูปที่ 3.1

ข้าว. 3.1. โครงการ SMO

คำขอที่เป็นเนื้อเดียวกันที่มาถึงอินพุตของ QS ขึ้นอยู่กับสาเหตุของการสร้าง จะถูกแบ่งออกเป็นประเภท ความเข้มของโฟลว์ของคำขอประเภท i (i=1...M) ถูกกำหนดเป็น li จำนวนรวมของคำขอทุกประเภทคือกระแสขาเข้าของ QS

กำลังดำเนินการแอปพลิเคชัน มช่อง.

มีช่องทางบริการที่เป็นสากลและเฉพาะทาง สำหรับช่องสัญญาณสากลประเภท j ถือว่าทราบฟังก์ชันการกระจาย Fji(t) ของระยะเวลาการให้บริการคำขอประเภทใดก็ได้ สำหรับช่องทางพิเศษ ฟังก์ชั่นในการกระจายระยะเวลาการให้บริการช่องทางคำขอบางประเภทมีความไม่แน่นอน การกำหนดคำขอเหล่านี้ไปยังช่องทางที่กำหนด

สามารถศึกษาวงจร Q ได้ในเชิงวิเคราะห์และด้วยแบบจำลองสถานการณ์ อย่างหลังให้ความคล่องตัวที่มากขึ้น

เรามาพิจารณาแนวคิดเรื่องการเข้าคิวกันดีกว่า

ในการให้บริการขั้นพื้นฐานใดๆ สามารถแยกแยะองค์ประกอบหลักได้สองส่วน: ความคาดหวังในการบริการจากแอปพลิเคชัน และบริการที่แท้จริงของแอปพลิเคชัน ข้อมูลนี้สามารถแสดงในรูปแบบของอุปกรณ์ให้บริการ i-th Pi บางตัว ซึ่งประกอบด้วยตัวสะสมการอ้างสิทธิ์ ซึ่งสามารถประกอบด้วยการอ้างสิทธิ์ li=0...LiH พร้อมกัน โดยที่ LiH คือความจุของอุปกรณ์จัดเก็บข้อมูล i-th และ ช่องทางการรับเคลม ki.

ข้าว. 3.2. แผนภาพอุปกรณ์ SMO

แต่ละองค์ประกอบของอุปกรณ์ให้บริการ Pi ได้รับสตรีมของเหตุการณ์: ไดรฟ์ Hi ได้รับสตรีมคำขอ wi และช่อง ki ได้รับ UI สตรีมบริการ

กระแสของเหตุการณ์(PS) คือลำดับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นต่อเนื่องกัน ณ ช่วงเวลาหนึ่งโดยบังเอิญ มีกระแสของเหตุการณ์ที่เป็นเนื้อเดียวกันและต่างกัน เป็นเนื้อเดียวกัน PS มีลักษณะเฉพาะเฉพาะช่วงเวลาที่มาถึงของเหตุการณ์เหล่านี้ (ทำให้เกิดช่วงเวลา) และกำหนดโดยลำดับ (tn)=(0£t1£t2…£tn£…) โดยที่ tn คือช่วงเวลาที่ n มาถึง เหตุการณ์ - จำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ OPS ยังสามารถระบุเป็นลำดับของช่วงเวลาระหว่างเหตุการณ์ที่ n และ n-1 (tn)

ต่างกัน PS เรียกว่าลำดับ (tn, fn) โดยที่ tn เป็นโมเมนต์สาเหตุ fn คือชุดของคุณลักษณะเหตุการณ์ ตัวอย่างเช่น การอยู่ในแหล่งที่มาของคำขอเฉพาะ การมีอยู่ของลำดับความสำคัญ ความสามารถในการให้บริการตามช่องทางประเภทใดประเภทหนึ่ง ฯลฯ สามารถระบุได้

คำขอที่ให้บริการโดยช่อง ki และคำขอที่ออกจากอุปกรณ์ Pi ด้วยเหตุผลหลายประการที่ไม่ได้รับการบริการจากสตรีมเอาต์พุต yiÎY

กระบวนการทำงานของอุปกรณ์บริการ Pi สามารถแสดงเป็นกระบวนการเปลี่ยนสถานะขององค์ประกอบในเวลา Zi(t) การเปลี่ยนไปสู่สถานะใหม่สำหรับ Pi หมายถึงการเปลี่ยนแปลงจำนวนคำขอที่อยู่ในนั้น (ในช่อง ki และที่เก็บข้อมูล Hi) ที่. เวกเตอร์สถานะของ Pi มีรูปแบบ: โดยที่สถานะของไดรฟ์ (https://pandia.ru/text/78/362/images/image010_20.gif" width="24 height=28" height="28" >=1 - มีหนึ่งคำขอในไดรฟ์..., =- ไดรฟ์ถูกครอบครองโดยสมบูรณ์ - สถานะช่อง ki (=0 - ช่องว่าง =1 ช่องไม่ว่าง)

โครงร่าง Q ของวัตถุจริงเกิดขึ้นจากองค์ประกอบของอุปกรณ์บริการพื้นฐานจำนวนมาก Pi หาก ki อุปกรณ์บริการที่แตกต่างกันเชื่อมต่อแบบขนาน บริการหลายช่องสัญญาณจะเกิดขึ้น (โครงการ Q หลายช่องสัญญาณ) และหากอุปกรณ์ Pi และองค์ประกอบแบบขนานเชื่อมต่อเป็นอนุกรม บริการหลายเฟสจะเกิดขึ้น (หลายเฟส โครงการ Q)

ในการกำหนด Q-scheme จำเป็นต้องอธิบายอัลกอริธึมสำหรับการทำงานซึ่งกำหนดกฎสำหรับพฤติกรรมของแอปพลิเคชันในสถานการณ์ที่ไม่ชัดเจนต่างๆ

ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของสถานการณ์ดังกล่าว มีอัลกอริทึม (วินัย) สำหรับการรอคำขอในถังเก็บ Hi และคำขอบริการโดยช่อง ki ความหลากหลายของแอปพลิเคชันถูกนำมาพิจารณาโดยการแนะนำคลาสลำดับความสำคัญ - ลำดับความสำคัญแบบสัมพัทธ์และแบบสัมบูรณ์

ที่. โครงการ Q ที่อธิบายกระบวนการทำงานของ QS ที่มีความซับซ้อนใดๆ จะถูกระบุเป็นชุดชุดโดยไม่ซ้ำกัน: Q = .

โมเดลเครือข่าย

เพื่ออธิบายโครงสร้างและปฏิสัมพันธ์ของระบบและกระบวนการคู่ขนานอย่างเป็นทางการ ตลอดจนวิเคราะห์ความสัมพันธ์ระหว่างเหตุและผลในระบบที่ซับซ้อน จึงมีการใช้ Petri Nets ที่เรียกว่า N-schemes

อย่างเป็นทางการ N-scheme ถูกกำหนดโดยรูปแบบสี่เท่า

น= ,

โดยที่ B คือชุดสัญลักษณ์ที่มีขอบเขตจำกัดที่เรียกว่าตำแหน่ง B ≠ O;

D คือชุดสัญลักษณ์จำนวนจำกัดที่เรียกว่าการเปลี่ยนภาพ D ≠ O

บี ∩ ง ≠ โอ; ฉัน – ฟังก์ชันอินพุต (ฟังก์ชันอุบัติการณ์โดยตรง)

ฉัน: B × D → (0, 1); О – ฟังก์ชันเอาต์พุต (ฟังก์ชันอุบัติการณ์ผกผัน)

O: B × D → (0, 1) ดังนั้นฟังก์ชันอินพุต I จะจับคู่ดีเจช่วงการเปลี่ยนภาพเป็น

ชุดของตำแหน่งอินพุต bj I(dj) และฟังก์ชันเอาต์พุต O สะท้อนกลับ

เปลี่ยน dj เป็นชุดของตำแหน่งเอาต์พุต bj O(dj) สำหรับการเปลี่ยนแปลงแต่ละครั้ง

ดีเจ https://pandia.ru/text/78/362/images/image013_14.gif" width="13" height="13"> B | ฉัน(ไบ, ดีเจ) = 1 ),

O(dj) = ( บี B | O(dj, บี) = 1 ),

ผม = 1,n; เจ = 1,ม.; น = | บี |, ม. = | ง|.

ในทำนองเดียวกัน สำหรับแต่ละตำแหน่ง bi B จะมีการแนะนำคำจำกัดความ

ชุดการเปลี่ยนอินพุตของตำแหน่ง I(bi) และการเปลี่ยนเอาท์พุต

ตำแหน่ง O(bi):

ฉัน(บี) = ( ดีเจ D | ฉัน(ดีเจ, ไบ,) = 1 ),

O(บี) = ( ดีเจ D | O(ไบ, ดีเจ) = 1 )

Petri net เป็นกราฟที่มีทิศทางแบบสองฝ่าย ซึ่งประกอบด้วยจุดยอดสองประเภท - ตำแหน่งและการเปลี่ยนภาพ ซึ่งเชื่อมต่อกันด้วยส่วนโค้ง โดยจุดยอดประเภทเดียวกันไม่สามารถเชื่อมต่อโดยตรงได้

ตัวอย่างของ Petri net วงกลมสีขาวแสดงถึงตำแหน่ง แถบแสดงถึงการเปลี่ยน วงกลมสีดำแสดงถึงเครื่องหมาย

ส่วนโค้งการวางแนวจะเชื่อมโยงตำแหน่งและการเปลี่ยนผ่าน โดยแต่ละส่วนโค้งจะนำทางจากองค์ประกอบของชุดหนึ่ง (ตำแหน่งหรือการเปลี่ยนผ่าน) ไปยังองค์ประกอบของอีกชุดหนึ่ง

(การเปลี่ยนแปลงหรือตำแหน่ง) กราฟ N-scheme เป็นกราฟหลายกราฟเพราะมัน

อนุญาตให้มีหลายส่วนโค้งจากจุดยอดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง

การสลายตัว" href="/text/category/dekompozitciya/" rel="bookmark">การสลายตัวแสดงถึงระบบที่ซับซ้อนในฐานะโครงสร้างหลายระดับขององค์ประกอบที่เชื่อมต่อถึงกันรวมกันเป็นระบบย่อยในระดับต่างๆ

มวลรวมทำหน้าที่เป็นองค์ประกอบของโครงการ A และการเชื่อมต่อระหว่างมวลรวม (ภายในระบบ S และกับสภาพแวดล้อมภายนอก E) ดำเนินการโดยใช้ตัวดำเนินการผันคำกริยา R

หน่วยใดๆ มีลักษณะเฉพาะด้วยชุดต่อไปนี้: โมเมนต์ของเวลา T สัญญาณอินพุต X และเอาต์พุต Y ระบุ Z ในแต่ละช่วงเวลา t สถานะของหน่วย ณ เวลา tT แสดงเป็น z(t) Z

และสัญญาณอินพุตและเอาต์พุตคือ x(t) X และ y(t) Y ตามลำดับ

เราจะถือว่าการเปลี่ยนแปลงของการรวมจากสถานะ z(t1) ไปเป็นสถานะ z(t2)≠z(t1) เกิดขึ้นในช่วงเวลาสั้น ๆ กล่าวคือ มีการกระโดดใน δz

การเปลี่ยนหน่วยจากสถานะ z(t1) ถึง z(t2) ถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์ของตัวเอง (ภายใน) ของหน่วยเอง h(t) H และสัญญาณอินพุต x(t) X

ณ เวลาเริ่มต้น t0 สถานะ z มีค่าเท่ากับ z0 เช่น z0=z(t0) ระบุโดยกฎการกระจายของกระบวนการ z(t) ณ เวลา t0 คือ J ให้เราสมมติว่า กระบวนการทำงานของหน่วยในกรณีที่สัญญาณอินพุตกระทบ xn อธิบายโดยตัวดำเนินการสุ่ม V จากนั้นในขณะที่สัญญาณอินพุต tnT เข้าสู่หน่วย

xn คุณสามารถกำหนดสถานะได้

z(tn + 0) = V.

ให้เราแสดงช่วงพักครึ่งเวลา t1< t ≤ t2 как (t1, t2], а полуинтервал

เสื้อ1 ≤ เสื้อ< t2 как .

เซตของตัวดำเนินการสุ่ม V และ U ถือเป็นตัวดำเนินการเปลี่ยนสถานะรวมเป็นสถานะใหม่ ในกรณีนี้ กระบวนการทำงานของหน่วยประกอบด้วยการกระโดดในสถานะ δz ณ เวลาที่สัญญาณอินพุต x (ตัวดำเนินการ V) มาถึง และการเปลี่ยนแปลงในสถานะระหว่างช่วงเวลาเหล่านี้ tn และ tn+1 (ตัวดำเนินการ U) ไม่มีข้อจำกัดใดๆ กำหนดไว้กับโอเปอเรเตอร์ U ดังนั้น อนุญาตให้กระโดดในสถานะ δz ในช่วงเวลาที่ไม่ใช่ช่วงเวลาที่สัญญาณอินพุต x มาถึง ต่อไปนี้ โมเมนต์ของการกระโดด δz จะถูกเรียกว่าช่วงเวลาพิเศษของเวลา tδ และสถานะ z(tδ) จะถูกเรียกว่าสถานะพิเศษของโครงการ A เพื่ออธิบายสถานะการกระโดด δz ในช่วงเวลาพิเศษ tδ เราจะใช้ตัวดำเนินการสุ่ม W ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของตัวดำเนินการ U เช่น

z(tδ + 0) = W.

ในชุดของสถานะ Z เซตย่อย Z(Y) จะถูกจัดสรรในลักษณะที่ว่าถ้า z(tδ) ถึง Z(Y) สถานะนี้จะเป็นโมเมนต์ของการส่งสัญญาณเอาท์พุตที่กำหนดโดยตัวดำเนินการเอาท์พุต

ย = ช.

ดังนั้น โดยผลรวม เราจะเข้าใจวัตถุใดๆ ที่กำหนดโดยชุดเรียงลำดับของชุดที่พิจารณา T, X, Y, Z, Z(Y), H และตัวดำเนินการสุ่ม V, U, W, G

ลำดับของสัญญาณอินพุตที่จัดเรียงตามลำดับการมาถึงของวงจร A จะเรียกว่าข้อความอินพุตหรือข้อความ x เราเรียกลำดับของสัญญาณเอาท์พุต ซึ่งเรียงลำดับสัมพันธ์กับเวลาที่เกิดปัญหา เช่น ข้อความเอาท์พุต หรือข้อความ y

หากโดยย่อ

แบบจำลองที่กำหนดอย่างต่อเนื่อง (D-schemes)

ใช้เพื่อศึกษาระบบการทำงานในเวลาต่อเนื่องกัน ในการอธิบายระบบดังกล่าว จะใช้สมการเชิงอนุพันธ์ อินทิกรัล และอินทิโกร-ดิฟเฟอเรนเชียลเป็นหลัก สมการเชิงอนุพันธ์สามัญพิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรอิสระเพียงตัวเดียว ในขณะที่สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยพิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว

ตัวอย่างของการใช้รุ่น D คือการศึกษาการทำงานของลูกตุ้มเชิงกลหรือวงจรออสซิลเลเตอร์ไฟฟ้า พื้นฐานทางเทคนิคของรุ่น D เป็นแบบอะนาล็อก เครื่องคอมพิวเตอร์(AVM) หรือคอมพิวเตอร์ไฮบริด (HCM) ที่มีการพัฒนาอย่างรวดเร็วในปัจจุบัน ดังที่ทราบ หลักการพื้นฐานของการวิจัยคอมพิวเตอร์คือ นักวิจัย (ผู้ใช้คอมพิวเตอร์) ประกอบวงจรจากหน่วยมาตรฐานแต่ละหน่วยโดยใช้สมการที่กำหนด - เครื่องขยายเสียงในการดำเนินงานด้วยการรวมสเกล การหน่วง การประมาณวงจร ฯลฯ

โครงสร้างของ AVM เปลี่ยนแปลงไปตามประเภทของสมการที่ทำซ้ำได้

ในคอมพิวเตอร์ดิจิทัล โครงสร้างยังคงไม่เปลี่ยนแปลง แต่ลำดับการทำงานของโหนดจะเปลี่ยนไปตามโปรแกรมที่ฝังอยู่ในนั้น การเปรียบเทียบ AVM และ CVM แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงความแตกต่างระหว่างการจำลองและการสร้างแบบจำลองทางสถิติ

ABM ใช้แบบจำลองการจำลอง แต่ตามกฎแล้ว ไม่ได้ใช้หลักการของแบบจำลองทางสถิติ ในคอมพิวเตอร์ดิจิทัล แบบจำลองส่วนใหญ่จะขึ้นอยู่กับการศึกษาตัวเลขและกระบวนการสุ่ม เช่น การสร้างแบบจำลองทางสถิติ แบบจำลองที่กำหนดอย่างต่อเนื่องถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในวิศวกรรมเครื่องกลในการศึกษาระบบ ควบคุมอัตโนมัติการเลือกระบบดูดซับแรงกระแทก การระบุปรากฏการณ์เรโซแนนซ์และการสั่นสะเทือนในเทคโนโลยี
และอื่น ๆ

โมเดลที่กำหนดแบบไม่ต่อเนื่อง (F-schemes)

ดำเนินงานโดยใช้เวลาไม่ต่อเนื่อง โมเดลเหล่านี้เป็นพื้นฐานสำหรับการศึกษาการทำงานของระบบออโตมาตะแบบแยกที่สำคัญและแพร่หลายในปัจจุบัน เพื่อวัตถุประสงค์ในการศึกษาของพวกเขา ได้มีการพัฒนาเครื่องมือทางคณิตศาสตร์อิสระของทฤษฎีออโตมาตะ ตามทฤษฎีนี้ ระบบถือเป็นหุ่นยนต์ที่ประมวลผลข้อมูลที่ไม่ต่อเนื่องและเปลี่ยนแปลงสถานะภายใน ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของการประมวลผล

แบบจำลองนี้ใช้หลักการลดจำนวนองค์ประกอบและโหนดในวงจร อุปกรณ์ การเพิ่มประสิทธิภาพอุปกรณ์โดยรวม และลำดับการทำงานของโหนด นอกจากวงจรอิเล็กทรอนิกส์แล้ว ตัวแทนที่โดดเด่นของเครื่องจักรที่อธิบายโดยรุ่นนี้ก็คือหุ่นยนต์ที่ควบคุม (ตามโปรแกรมที่กำหนด) กระบวนการทางเทคโนโลยีในลำดับที่กำหนดไว้

เครื่องมีตัวเลข โปรแกรมควบคุมรุ่นนี้อธิบายไว้ด้วย การเลือกลำดับของชิ้นส่วนการประมวลผลบนเครื่องนี้ทำได้โดยการตั้งค่าชุดควบคุม (คอนโทรลเลอร์) ซึ่งจะสร้างสัญญาณควบคุมที่จุดใดจุดหนึ่งของเวลา / 4 /

ทฤษฎีออโตมาตาใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันบูลีนที่ทำงานด้วยค่าสัญญาณที่เป็นไปได้สองค่า 0 และ 1

ออโตมาตะแบ่งออกเป็นออโตมาตะที่ไม่มีหน่วยความจำ และออโตมาตะที่มีหน่วยความจำ การดำเนินการของพวกเขาอธิบายโดยใช้ตาราง เมทริกซ์ และกราฟที่แสดงการเปลี่ยนของเครื่องจากสถานะหนึ่งไปอีกสถานะหนึ่ง การประมาณการเชิงวิเคราะห์สำหรับคำอธิบายการทำงานของเครื่องทุกประเภทนั้นยุ่งยากมากและถึงแม้จะมีองค์ประกอบและโหนดจำนวนค่อนข้างน้อยที่สร้างอุปกรณ์ แต่ก็เป็นไปไม่ได้ในทางปฏิบัติ ดังนั้นการศึกษา วงจรที่ซับซ้อนเครื่องจักรอัตโนมัติซึ่งรวมถึงอุปกรณ์หุ่นยนต์อย่างไม่ต้องสงสัย ผลิตขึ้นโดยใช้การสร้างแบบจำลองจำลอง

โมเดลสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง (P-schemes)

ใช้เพื่อศึกษาการทำงานของออโตมาตาความน่าจะเป็น ในเครื่องประเภทนี้ การเปลี่ยนจากสถานะหนึ่งไปอีกสถานะหนึ่งจะดำเนินการภายใต้อิทธิพลของสัญญาณภายนอก และคำนึงถึงสถานะภายในของเครื่องด้วย อย่างไรก็ตาม การเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ไม่เหมือนกับ G-automata ตรงที่ไม่ได้กำหนดไว้อย่างเคร่งครัด แต่สามารถดำเนินการได้ด้วยความน่าจะเป็นบางประการ

ตัวอย่างของแบบจำลองดังกล่าวคือลูกโซ่มาร์คอฟที่ไม่ต่อเนื่องซึ่งมีเซตสถานะที่มีขอบเขตจำกัด การวิเคราะห์แผน F ขึ้นอยู่กับการประมวลผลและการแปลงเมทริกซ์ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงและการวิเคราะห์กราฟความน่าจะเป็น สำหรับการวิเคราะห์เปรียบเทียบแล้ว อุปกรณ์ง่ายๆซึ่งเป็นพฤติกรรมที่อธิบายโดย F-schemes ขอแนะนำให้ใช้แบบจำลองการจำลอง ตัวอย่างของการสร้างแบบจำลองดังกล่าวได้รับในย่อหน้าที่ 2.4

โมเดลสุ่มต่อเนื่อง (Q-schemes)

ใช้ในการวิเคราะห์ระบบประเภทกว้างซึ่งถือเป็นระบบคิว ในฐานะกระบวนการบริการ กระบวนการที่มีลักษณะทางกายภาพที่แตกต่างกันสามารถแสดงได้: การไหลของการส่งมอบผลิตภัณฑ์ไปยังองค์กร การไหลของส่วนประกอบและผลิตภัณฑ์ที่ทำขึ้นเอง การไหลของชิ้นส่วนในสายการประกอบ การไหลของการดำเนินการควบคุมจากศูนย์ควบคุมของระบบอัตโนมัติ ระบบควบคุมไปยังสถานที่ทำงานและส่งคืนคำขอประมวลผลข้อมูลในคอมพิวเตอร์ เป็นต้น

โดยทั่วไปแล้ว โฟลว์เหล่านี้ขึ้นอยู่กับหลายปัจจัยและสถานการณ์เฉพาะ ดังนั้นในกรณีส่วนใหญ่ กระแสเหล่านี้จะเป็นแบบสุ่มตามเวลาและมีความเป็นไปได้ที่จะเปลี่ยนแปลงได้ตลอดเวลา การวิเคราะห์โครงร่างดังกล่าวดำเนินการบนพื้นฐานของเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีการเข้าคิว ซึ่งรวมถึงห่วงโซ่มาร์คอฟแบบต่อเนื่อง แม้จะมีความก้าวหน้าที่สำคัญในการพัฒนาวิธีการวิเคราะห์ แต่ทฤษฎีการเข้าคิวและการวิเคราะห์แผน Q โดยวิธีการวิเคราะห์สามารถทำได้ภายใต้สมมติฐานและสมมติฐานที่ทำให้ง่ายขึ้นอย่างมีนัยสำคัญเท่านั้น การศึกษารายละเอียดของแผนส่วนใหญ่เหล่านี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งแผนที่ซับซ้อน เช่น ระบบควบคุมกระบวนการอัตโนมัติและระบบหุ่นยนต์ สามารถทำได้โดยใช้การสร้างแบบจำลองจำลองเท่านั้น

โมเดลทั่วไป (A-schemes)

อิงตามคำอธิบายกระบวนการทำงานของระบบใดๆ ตามวิธีการรวม ด้วยคำอธิบายแบบรวม ระบบจะแบ่งออกเป็นระบบย่อยแยกกัน ซึ่งถือว่าสะดวกสำหรับการอธิบายทางคณิตศาสตร์ อันเป็นผลมาจากการแบ่งพาร์ติชัน (การสลายตัว) ระบบที่ซับซ้อนจะถูกนำเสนอเป็นระบบหลายระดับซึ่งแต่ละระดับ (มวลรวม) ซึ่งสามารถวิเคราะห์ได้ จากการวิเคราะห์แต่ละหน่วยและคำนึงถึงกฎความสัมพันธ์ระหว่างหน่วยเหล่านี้ จึงเป็นไปได้ที่จะดำเนินการศึกษาระบบทั้งหมดอย่างครอบคลุม

,ระบบยาโคฟเลฟ. ฉบับที่ 4 – ม.: มัธยมปลาย, 2548. – หน้า 45-82.

การใช้คอมพิวเตอร์ในการแก้ปัญหาประยุกต์ ประการแรกปัญหาที่ใช้ต้องได้รับการ “แปล” เป็นภาษาคณิตศาสตร์ที่เป็นทางการ กล่าวคือ สำหรับวัตถุ กระบวนการ หรือระบบที่แท้จริงนั้นจะต้องถูกสร้างขึ้น แบบจำลองทางคณิตศาสตร์.

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในรูปแบบเชิงปริมาณโดยใช้โครงสร้างเชิงตรรกะและคณิตศาสตร์ อธิบายคุณสมบัติพื้นฐานของวัตถุ กระบวนการหรือระบบ พารามิเตอร์ การเชื่อมต่อภายในและภายนอก

สำหรับ การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์จำเป็น:

วิเคราะห์วัตถุหรือกระบวนการจริงอย่างรอบคอบ
เน้นคุณสมบัติและคุณสมบัติที่สำคัญที่สุด
กำหนดตัวแปร เช่น พารามิเตอร์ที่มีค่าส่งผลต่อคุณสมบัติหลักและคุณสมบัติของวัตถุ
อธิบายการพึ่งพาคุณสมบัติพื้นฐานของวัตถุกระบวนการหรือระบบกับค่าของตัวแปรโดยใช้ความสัมพันธ์เชิงตรรกะ - คณิตศาสตร์ (สมการความเท่าเทียมกันอสมการการสร้างเชิงตรรกะ - คณิตศาสตร์)
ไฮไลท์ การสื่อสารภายใน วัตถุ กระบวนการ หรือระบบที่ใช้ข้อจำกัด สมการ ความเสมอภาค อสมการ โครงสร้างเชิงตรรกะและคณิตศาสตร์
ระบุความเชื่อมโยงภายนอกและอธิบายโดยใช้ข้อจำกัด สมการ ความเท่าเทียมกัน อสมการ การสร้างเชิงตรรกะและคณิตศาสตร์

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์นอกเหนือจากการศึกษาวัตถุ กระบวนการ หรือระบบ และจัดทำคำอธิบายทางคณิตศาสตร์แล้ว ยังรวมถึง:

การสร้างอัลกอริทึมที่จำลองพฤติกรรมของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบ
การตรวจสอบ ความเพียงพอของแบบจำลองและวัตถุ กระบวนการ หรือระบบที่อยู่บนพื้นฐานของการทดลองทางคอมพิวเตอร์และธรรมชาติ
การปรับโมเดล
โดยใช้แบบจำลอง

คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการและระบบที่กำลังศึกษาขึ้นอยู่กับ:

ธรรมชาติของกระบวนการหรือระบบจริง และรวบรวมบนพื้นฐานของกฎฟิสิกส์ เคมี กลศาสตร์ อุณหพลศาสตร์ อุทกพลศาสตร์ วิศวกรรมไฟฟ้า ทฤษฎีพลาสติก ทฤษฎีความยืดหยุ่น ฯลฯ
ความน่าเชื่อถือและความถูกต้องที่ต้องการของการศึกษาและการวิจัยกระบวนการและระบบจริง

ในขั้นตอนของการเลือกแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ จะมีการสร้างสิ่งต่อไปนี้: ความเป็นเชิงเส้นและไม่เชิงเส้นของวัตถุ กระบวนการหรือระบบ ไดนามิสซึมหรือความคงที่ ความคงที่หรือไม่คงที่ รวมถึงระดับของการกำหนดของวัตถุหรือกระบวนการที่กำลังศึกษา ในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ คนจงใจสรุปลักษณะทางกายภาพเฉพาะของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบ และมุ่งเน้นไปที่การศึกษาการพึ่งพาเชิงปริมาณระหว่างปริมาณที่อธิบายกระบวนการเหล่านี้เป็นหลัก

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์จะไม่เหมือนกับวัตถุ กระบวนการ หรือระบบที่เป็นปัญหาโดยสิ้นเชิง ขึ้นอยู่กับการทำให้เข้าใจง่าย อุดมคติ มันเป็นคำอธิบายโดยประมาณของวัตถุ ดังนั้นผลลัพธ์ที่ได้จากการวิเคราะห์แบบจำลองจึงเป็นค่าประมาณ ความแม่นยำถูกกำหนดโดยระดับความเพียงพอ (การปฏิบัติตาม) ระหว่างแบบจำลองกับวัตถุ

โดยปกติจะเริ่มต้นด้วยการสร้างและการวิเคราะห์แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุดและหยาบที่สุดของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบที่เป็นปัญหา ในอนาคต หากจำเป็น โมเดลจะได้รับการปรับปรุงและทำให้การโต้ตอบกับวัตถุมีความสมบูรณ์มากขึ้น

ลองยกตัวอย่างง่ายๆ จำเป็นต้องกำหนดพื้นที่ผิวของโต๊ะ โดยทั่วไปทำได้โดยการวัดความยาวและความกว้าง แล้วคูณตัวเลขผลลัพธ์ ขั้นตอนเบื้องต้นนี้แท้จริงแล้วหมายถึงสิ่งต่อไปนี้: วัตถุจริง (พื้นผิวตาราง) ถูกแทนที่ด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงนามธรรม - สี่เหลี่ยมผืนผ้า ขนาดที่ได้จากการวัดความยาวและความกว้างของพื้นผิวโต๊ะถูกกำหนดให้กับสี่เหลี่ยมผืนผ้า และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมดังกล่าวจะถูกประมาณว่าเป็นพื้นที่ที่ต้องการของตาราง

อย่างไรก็ตาม โมเดลสี่เหลี่ยมสำหรับโต๊ะนั้นเป็นโมเดลที่ง่ายที่สุดและหยาบที่สุด หากคุณใช้แนวทางแก้ไขปัญหาที่จริงจังกว่านี้ ก่อนที่จะใช้แบบจำลองสี่เหลี่ยมผืนผ้าเพื่อกำหนดพื้นที่ของตาราง จะต้องตรวจสอบแบบจำลองนี้ก่อน การตรวจสอบสามารถทำได้ดังนี้: วัดความยาวของด้านตรงข้ามของโต๊ะตลอดจนความยาวของเส้นทแยงมุมแล้วเปรียบเทียบกัน หากด้วยระดับความแม่นยำที่ต้องการ ความยาวของด้านตรงข้ามและความยาวของเส้นทแยงมุมเท่ากันเป็นคู่ พื้นผิวของโต๊ะก็ถือได้ว่าเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าจริงๆ มิฉะนั้น แบบจำลองสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะต้องถูกปฏิเสธและแทนที่ด้วยแบบจำลองรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ปริทัศน์. เพิ่มเติมด้วย ความต้องการสูงเพื่อปรับปรุงความแม่นยำ อาจจำเป็นต้องปรับแต่งโมเดลเพิ่มเติม เช่น โดยคำนึงถึงการปัดเศษของมุมโต๊ะ

ด้วยตัวอย่างง่ายๆนี้แสดงให้เห็นว่า แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ไม่ได้ถูกกำหนดโดยวัตถุ กระบวนการ หรือระบบที่กำลังศึกษาอยู่โดยเฉพาะ สำหรับตารางเดียวกัน เราสามารถใช้แบบจำลองสี่เหลี่ยมผืนผ้า หรือแบบจำลองที่ซับซ้อนกว่าของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนทั่วไป หรือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีมุมโค้งมนก็ได้ การเลือกรุ่นใดรุ่นหนึ่งขึ้นอยู่กับข้อกำหนดด้านความแม่นยำ ด้วยความแม่นยำที่เพิ่มขึ้น แบบจำลองจึงต้องมีความซับซ้อน โดยคำนึงถึงคุณลักษณะใหม่และใหม่ของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบที่กำลังศึกษา

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง: ศึกษาการเคลื่อนที่ของกลไกข้อเหวี่ยง (รูปที่ 2.1)

ข้าว. 2.1.

สำหรับการวิเคราะห์จลนศาสตร์ของกลไกนี้ ประการแรก จำเป็นต้องสร้างแบบจำลองจลนศาสตร์ของมัน สำหรับสิ่งนี้:

เราแทนที่กลไกด้วยแผนภาพจลนศาสตร์โดยแทนที่ลิงก์ทั้งหมด ความสัมพันธ์ที่แน่นแฟ้น;
จากแผนภาพนี้ เราได้สมการการเคลื่อนที่ของกลไกมา
การแยกความแตกต่างอย่างหลังทำให้เราได้สมการของความเร็วและความเร่งซึ่งเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับที่ 1 และ 2

ลองเขียนสมการเหล่านี้:

โดยที่ C 0 คือตำแหน่งขวาสุดของแถบเลื่อน C:

r – รัศมีข้อเหวี่ยง AB;

ล. - ความยาวก้านสูบ BC;

– มุมการหมุนข้อเหวี่ยง

ได้รับ สมการเหนือธรรมชาตินำเสนอแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของการเคลื่อนที่ของกลไกข้อเหวี่ยงแนวแกนเรียบ โดยอาศัยสมมติฐานที่ทำให้ง่ายขึ้นดังต่อไปนี้:

เราไม่สนใจรูปแบบโครงสร้างและการจัดเรียงมวลที่รวมอยู่ในกลไกของร่างกาย และเราแทนที่ร่างกายทั้งหมดของกลไกด้วยส่วนที่เป็นเส้นตรง ในความเป็นจริงการเชื่อมโยงทั้งหมดของกลไกมีมวลและรูปร่างค่อนข้างซับซ้อน ตัวอย่างเช่นก้านสูบเป็นชุดประกอบที่ซับซ้อนซึ่งแน่นอนว่ารูปร่างและขนาดจะส่งผลต่อการเคลื่อนที่ของกลไก
เมื่อพิจารณาการเคลื่อนย้ายกลไก เราไม่ได้คำนึงถึงความยืดหยุ่นของร่างกายที่รวมอยู่ในกลไกด้วย เช่น ลิงก์ทั้งหมดถือเป็นเนื้อหาที่แข็งทื่อแบบนามธรรม ในความเป็นจริง วัตถุทั้งหมดที่รวมอยู่ในกลไกนี้เป็นวัตถุที่ยืดหยุ่น เมื่อกลไกเคลื่อนที่กลไกเหล่านี้จะเสียรูปและอาจเกิดการสั่นสะเทือนแบบยืดหยุ่นได้ แน่นอนว่าทั้งหมดนี้ก็จะส่งผลต่อการเคลื่อนไหวของกลไกด้วย
เราไม่ได้คำนึงถึงข้อผิดพลาดในการผลิตของข้อต่อ ช่องว่างในคู่คิเนเมติกส์ A, B, C ฯลฯ

ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญที่ต้องย้ำอีกครั้งว่ายิ่งข้อกำหนดสำหรับความถูกต้องแม่นยำของผลลัพธ์ของการแก้ปัญหายิ่งสูงเท่าไรก็ยิ่งจำเป็นต้องคำนึงถึงมากขึ้นเท่านั้น การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์คุณลักษณะของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบที่กำลังศึกษา อย่างไรก็ตาม สิ่งสำคัญคือต้องหยุดที่นี่ให้ตรงเวลา เนื่องจากเป็นเรื่องยาก แบบจำลองทางคณิตศาสตร์อาจกลายเป็นปัญหาที่ยากจะแก้ไขได้

แบบจำลองจะถูกสร้างขึ้นได้ง่ายที่สุดเมื่อกฎที่กำหนดพฤติกรรมและคุณสมบัติของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว และมีประสบการณ์ในทางปฏิบัติอย่างกว้างขวางในการใช้งาน

สถานการณ์ที่ซับซ้อนมากขึ้นเกิดขึ้นเมื่อความรู้ของเราเกี่ยวกับวัตถุ กระบวนการ หรือระบบที่กำลังศึกษาไม่เพียงพอ ในกรณีนี้เมื่อไร การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์มีความจำเป็นต้องตั้งสมมติฐานเพิ่มเติมซึ่งอยู่ในลักษณะของสมมติฐานแบบจำลองดังกล่าวเรียกว่าสมมุติฐาน ข้อสรุปที่ได้รับจากการศึกษาแบบจำลองสมมุติฐานดังกล่าวนั้นมีเงื่อนไข ในการตรวจสอบข้อสรุปจำเป็นต้องเปรียบเทียบผลการศึกษาแบบจำลองบนคอมพิวเตอร์กับผลการทดลองเต็มรูปแบบ ดังนั้น คำถามของการประยุกต์แบบจำลองทางคณิตศาสตร์บางอย่างกับการศึกษาวัตถุ กระบวนการ หรือระบบที่กำลังพิจารณาจึงไม่ใช่คำถามทางคณิตศาสตร์และไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีทางคณิตศาสตร์

เกณฑ์หลักของความจริงคือการทดลอง การฝึกฝนในความหมายที่กว้างที่สุดของคำ

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในงานประยุกต์ – หนึ่งในขั้นตอนที่ซับซ้อนและสำคัญที่สุดของงาน ประสบการณ์แสดงให้เห็นว่าในหลายกรณี การเลือกรุ่นที่ถูกต้องหมายถึงการแก้ปัญหามากกว่าครึ่งหนึ่ง ความยากของขั้นตอนนี้คือต้องอาศัยการผสมผสานระหว่างความรู้ทางคณิตศาสตร์และความรู้พิเศษ ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญมากที่เมื่อแก้ไขปัญหาประยุกต์ นักคณิตศาสตร์มีความรู้พิเศษเกี่ยวกับวัตถุ และคู่ค้า ผู้เชี่ยวชาญ มีวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์ ประสบการณ์การวิจัยในสาขาของตน ความรู้เกี่ยวกับคอมพิวเตอร์และการเขียนโปรแกรม

ความยากลำบากที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและข้อผิดพลาดที่ร้ายแรงที่สุดในการสร้างแบบจำลองเกิดขึ้นระหว่างการเปลี่ยนจากคำอธิบายที่มีความหมายไปเป็นคำอธิบายที่เป็นทางการของวัตถุการวิจัยซึ่งอธิบายโดยการมีส่วนร่วมในกระบวนการสร้างสรรค์ของทีมงานที่มีความเชี่ยวชาญที่แตกต่างกัน: ผู้เชี่ยวชาญในสาขาระบบที่จำเป็นต้องมี โมเดล (ลูกค้า) และผู้เชี่ยวชาญในสาขาการสร้างแบบจำลองเครื่องจักร (นักแสดง) ). วิธีที่มีประสิทธิภาพในการค้นหาความเข้าใจร่วมกันระหว่างกลุ่มผู้เชี่ยวชาญเหล่านี้คือภาษาของโครงร่างทางคณิตศาสตร์ซึ่งช่วยให้เราสามารถถามคำถามระดับแนวหน้าเกี่ยวกับความเพียงพอของการเปลี่ยนจากคำอธิบายที่มีความหมายของระบบไปเป็นโครงร่างทางคณิตศาสตร์ของมันเท่านั้น ตัดสินใจเลือกวิธีการเฉพาะในการรับผลลัพธ์โดยใช้คอมพิวเตอร์: การวิเคราะห์หรือการจำลอง และอาจรวมกันได้ เช่น การจำลองเชิงวิเคราะห์ ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับวัตถุการสร้างแบบจำลองเฉพาะ เช่น ระบบที่ซับซ้อน ผู้พัฒนาแบบจำลองควรได้รับความช่วยเหลือจากแผนการทางคณิตศาสตร์เฉพาะที่ได้รับการทดสอบแล้วสำหรับระบบระดับที่กำหนด ซึ่งได้แสดงให้เห็นถึงประสิทธิภาพในการวิจัยประยุกต์บนคอมพิวเตอร์และถูกเรียกว่า แผนการทางคณิตศาสตร์มาตรฐาน

แนวทางพื้นฐานในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบ

ข้อมูลเริ่มต้นเมื่อสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการทำงานของระบบคือข้อมูลเกี่ยวกับวัตถุประสงค์และสภาวะการทำงานของระบบภายใต้การศึกษา (การออกแบบ) 5. ข้อมูลนี้จะกำหนดเป้าหมายหลักของการสร้างแบบจำลองระบบ £ และช่วยให้เรากำหนดข้อกำหนดสำหรับคณิตศาสตร์ที่พัฒนาแล้ว รุ่น A/. นอกจากนี้ ระดับของนามธรรมยังขึ้นอยู่กับช่วงของคำถามที่ผู้วิจัยระบบต้องการตอบโดยใช้แบบจำลอง และในระดับหนึ่งจะกำหนดทางเลือกของโครงร่างทางคณิตศาสตร์

แผนการทางคณิตศาสตร์

การแนะนำแนวคิดของ "โครงร่างทางคณิตศาสตร์" ช่วยให้พิจารณาคณิตศาสตร์ไม่ใช่วิธีการคำนวณ แต่เป็นวิธีคิดเป็นวิธีการกำหนดแนวคิดซึ่งสำคัญที่สุดในการเปลี่ยนจากคำอธิบายทางวาจาของระบบ เพื่อเป็นตัวแทนอย่างเป็นทางการของกระบวนการทำงานในรูปแบบของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์บางอย่าง (การวิเคราะห์หรือการจำลอง) . เมื่อใช้โครงร่างทางคณิตศาสตร์ ผู้วิจัยระบบ 5* ควรสนใจคำถามเกี่ยวกับความเพียงพอของการเป็นตัวแทนในรูปแบบของแผนภาพเฉพาะของกระบวนการจริงในระบบที่กำลังศึกษาอยู่เป็นหลัก ไม่ใช่ความเป็นไปได้ที่จะได้รับคำตอบ (ผลการแก้ปัญหา) ต่อคำถามวิจัยเฉพาะ ตัวอย่างเช่นการแสดงกระบวนการการทำงานของระบบคอมพิวเตอร์ข้อมูลที่ใช้ร่วมกันในรูปแบบของเครือข่ายของโครงร่างการจัดคิวทำให้สามารถอธิบายกระบวนการที่เกิดขึ้นในระบบได้ดี แต่ด้วยกฎหมายที่ซับซ้อนในการกระจายของกระแสขาเข้าและกระแสบริการ ไม่ได้ทำให้ได้รับผลลัพธ์ที่ชัดเจน

โครงการทางคณิตศาสตร์สามารถกำหนดเป็นลิงค์ในการเปลี่ยนจากคำอธิบายที่มีความหมายไปเป็นคำอธิบายอย่างเป็นทางการของกระบวนการทำงานของระบบโดยคำนึงถึงอิทธิพลของสภาพแวดล้อมภายนอกเช่น มีห่วงโซ่ "แบบจำลองเชิงพรรณนา - รูปแบบทางคณิตศาสตร์ - ทางคณิตศาสตร์ [ แบบจำลองการวิเคราะห์และ/หรือจำลอง”

ระบบ L1 เฉพาะแต่ละระบบมีลักษณะเฉพาะด้วยชุดคุณสมบัติซึ่งเข้าใจว่าเป็นปริมาณที่สะท้อนพฤติกรรมของวัตถุจำลอง (ระบบจริง) และคำนึงถึงเงื่อนไขการทำงานในการโต้ตอบกับสภาพแวดล้อมภายนอก (ระบบ) อี.เมื่อสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบ จำเป็นต้องแก้ไขปัญหาความสมบูรณ์ของระบบ ความสมบูรณ์ของแบบจำลองนั้นส่วนใหญ่ควบคุมโดยการเลือกขอบเขต“ system.U-environment £>> ปัญหาในการลดความซับซ้อนของแบบจำลองจะต้องได้รับการแก้ไขด้วยซึ่งจะช่วยเน้นคุณสมบัติหลักของระบบโดยละทิ้งคุณสมบัติรอง นอกจากนี้ การจำแนกคุณสมบัติของระบบเป็นคุณสมบัติพื้นฐานหรือรองอย่างมีนัยสำคัญขึ้นอยู่กับวัตถุประสงค์ของการสร้างแบบจำลองระบบ (เช่น การวิเคราะห์คุณลักษณะเวลาความน่าจะเป็นของกระบวนการทำงานของระบบ การสังเคราะห์โครงสร้างระบบ เป็นต้น)

แบบจำลองที่เป็นทางการของวัตถุ แบบจำลองของวัตถุการสร้างแบบจำลอง เช่น ระบบ 5 สามารถแสดงเป็นชุดของปริมาณที่อธิบายกระบวนการการทำงานของระบบและรูปแบบจริง ในกรณีทั่วไป กำลังติดตามเซ็ตย่อย: คอลเลกชัน อิทธิพลอินพุตต่อระบบ

จำนวนทั้งสิ้น อิทธิพลของสิ่งแวดล้อม

จำนวนทั้งสิ้น พารามิเตอร์ภายใน (ของตัวเอง)ระบบ

จำนวนทั้งสิ้น ลักษณะเอาต์พุตระบบ

ในกรณีนี้ ในชุดย่อยที่อยู่ในรายการ สามารถแยกแยะตัวแปรที่มีการควบคุมและที่ไม่สามารถควบคุมได้ ในกรณีทั่วไป x„ r/, A*,

ที่ y เป็นองค์ประกอบของเซตย่อยที่ไม่เป็นสมาชิกร่วมและมีทั้งส่วนประกอบที่กำหนดขึ้นและสุ่ม

เมื่อสร้างแบบจำลองอิทธิพลอินพุต 5 ระบบ อิทธิพลสิ่งแวดล้อมภายนอก อีและพารามิเตอร์ภายในของระบบคือ ตัวแปรอิสระ (ภายนอก)ซึ่งในรูปแบบเวกเตอร์จะมีรูปแบบที่สอดคล้องกัน x (/) = (*! (O, x 2 (0> -" x *x(0)*

" (0=("1 (0. "2(0. . "^(0; l (/)=(*! (0. L 2 (0. ■ . L -N (0)) และคุณลักษณะเอาต์พุตของ ระบบอยู่ ตัวแปรตาม (ภายนอก)และในรูปแบบเวกเตอร์พวกมันจะมีลักษณะเช่นนี้ ปี (0=(ปี 1 0), ปี 2 ( 0" > U.gSh

กระบวนการการทำงานของระบบ 5 ได้รับการอธิบายตามเวลาโดยผู้ปฏิบัติงาน /* 5 ซึ่งในกรณีทั่วไปจะเปลี่ยนตัวแปรภายนอกให้เป็นตัวแปรภายนอกตามความสัมพันธ์ของรูปแบบ

ชุดของการพึ่งพาคุณลักษณะเอาต์พุตของระบบตรงเวลา yDg) สำหรับทุกประเภท y = 1 พี วายเรียกว่า วิถีเอาท์พุต y (()การพึ่งพา (2.1) เรียกว่า กฎการทำงานของระบบ Bและถูกกำหนดไว้ ช 5.โดยทั่วไปแล้วกฎการทำงานของระบบ อี 5สามารถระบุได้ในรูปแบบของฟังก์ชัน เงื่อนไขการทำงาน ตรรกะ ในรูปแบบอัลกอริทึมและตาราง หรือในรูปแบบของกฎการจับคู่ด้วยวาจา

สิ่งที่สำคัญมากสำหรับการอธิบายและการศึกษาระบบ 5 คือแนวคิด อัลกอริธึมการทำงาน L 5,ซึ่งเข้าใจว่าเป็นวิธีการรับลักษณะเอาต์พุตโดยคำนึงถึงอิทธิพลของอินพุต เอ็กซ์(/) อิทธิพลของสิ่งแวดล้อม วี(d) และพารามิเตอร์ของระบบเอง และ(/) เห็นได้ชัดว่าสามารถปฏิบัติตามกฎการดำเนินงานเดียวกันของระบบ 5 ได้ วิธีทางที่แตกต่างนั่นคือการใช้อัลกอริธึมการทำงานที่แตกต่างกันมากมาย แอล$.

ความสัมพันธ์ (2.1) เป็นคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของพฤติกรรมของวัตถุการสร้างแบบจำลอง (ระบบ) ในเวลา / นั่นคือสะท้อนถึงคุณสมบัติไดนามิกของมัน ดังนั้นจึงมักเรียกแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ประเภทนี้ โมเดลไดนามิก (ระบบ) .

สำหรับแบบจำลองคงที่ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (2.1) เป็นการแมประหว่างสองชุดย่อยของคุณสมบัติของวัตถุแบบจำลอง ยูและ (เอ็กซ์, วี, I) ซึ่งในรูปแบบเวกเตอร์สามารถเขียนได้เป็น

สามารถระบุความสัมพันธ์ (2.1) และ (2.2) ได้หลายวิธี: เชิงวิเคราะห์ (โดยใช้สูตร) แบบกราฟิก แบบตาราง ฯลฯ สามารถรับความสัมพันธ์ดังกล่าวได้ในหลายกรณี

ผ่านคุณสมบัติของระบบ 5 ณ จุดใดจุดหนึ่งเรียกว่า รัฐสถานะของระบบ 5 มีลักษณะเป็นเวกเตอร์

ที่ไหน *; = *!(/"), *2=*2(0" " **=**(0 ในขณะนี้ /"e(/ 0 , 7); *1 =^(0, *2=*2(P", *£=**(*") ในขณะนี้ /"b(/ 0, 7) ฯลฯ £=1, พี ก.

หากเราพิจารณากระบวนการทำงานของระบบ 5 เป็นการเปลี่ยนแปลงสถานะตามลำดับ (/), r 2 (/) ชพวกเขาเป็นใคร

สามารถตีความได้ว่าเป็นพิกัดของจุดในปริภูมิเฟส ^-มิติ และการดำเนินการแต่ละกระบวนการจะสอดคล้องกับวิถีเฟสที่แน่นอน ชุดของค่าสถานะที่เป็นไปได้ทั้งหมด (ช)เรียกว่า พื้นที่ของรัฐการสร้างแบบจำลองวัตถุ Ztและ ก. ถึงจ ซี.

สถานะของระบบ 5 ณ ขณะนั้นโดยสมบูรณ์

ถูกกำหนดโดยเงื่อนไขเริ่มต้น 7° = (2° 1,. 2 2°, ช° k) [ที่ไหน

*°1 = *1(*o)" *°g = *2 (^o)" -" *°*=**(*o)]" โดยอิทธิพลของอินพุต เอ็กซ์(/) พารามิเตอร์ภายใน ถึง(/) และอิทธิพลของสิ่งแวดล้อม วี(0 ซึ่งเกิดขึ้นในช่วงเวลา - / 0 โดยใช้สมการเวกเตอร์สองตัว

สมการแรกสำหรับสถานะเริ่มต้น ก°และตัวแปรภายนอก x, วี, ฉันกำหนดฟังก์ชันเวกเตอร์ (/) และฟังก์ชันที่สองตามค่าที่ได้รับของสถานะ ช(/) - ตัวแปรภายนอกที่เอาต์พุตของระบบ ที่(/) ดังนั้นห่วงโซ่สมการของวัตถุ "อินพุต - สถานะ - เอาต์พุต" จึงอนุญาต กำหนดลักษณะระบบ

โดยทั่วไปเวลาในรูปแบบระบบ ฉันสามารถพิจารณาได้ตลอดช่วงการสร้างแบบจำลอง (O, ที)ทั้งต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่อง เช่น ปริมาณเป็นลบ การตัดงเส้น A/ หน่วยเวลาแต่ละหน่วยเมื่อใด T=tA1,ที่ไหน ที- 1, ที ต- จำนวนช่วงการสุ่มตัวอย่าง

ดังนั้นภายใต้ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของวัตถุ(ระบบจริง) เข้าใจเซตย่อยของตัวแปรที่มีขอบเขตจำกัด (เอ็กซ์ (/), ข (/), และ(d)) พร้อมกับการเชื่อมโยงทางคณิตศาสตร์ระหว่างพวกเขากับคุณลักษณะ ที่ (/) .

หากคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของวัตถุการสร้างแบบจำลองไม่มีองค์ประกอบแบบสุ่มหรือไม่ได้นำมาพิจารณา เช่น ถ้า

เราสามารถสรุปได้ว่าในกรณีนี้อิทธิพลสุ่มของสภาพแวดล้อมภายนอก วี(/) และพารามิเตอร์ภายในสุ่ม และ(/) หายไป จึงเรียกโมเดล กำหนดไว้ในแง่ที่ว่าลักษณะเฉพาะถูกกำหนดโดยอิทธิพลของอินพุตที่กำหนดโดยเฉพาะ

เห็นได้ชัดว่าแบบจำลองที่กำหนดขึ้นเป็นกรณีพิเศษของแบบจำลองสุ่ม

แผนการทั่วไป

ความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ที่นำเสนอแสดงถึงโครงร่างทางคณิตศาสตร์ทั่วไป และทำให้สามารถอธิบายระบบประเภทต่างๆ ได้อย่างกว้างขวาง อย่างไรก็ตามในทางปฏิบัติการสร้างแบบจำลองวัตถุในด้านวิศวกรรมระบบและการวิเคราะห์ระบบในขั้นตอนเริ่มต้นของการวิจัยระบบจะมีเหตุผลมากกว่าที่จะใช้ แผนการทางคณิตศาสตร์ทั่วไป:สมการเชิงอนุพันธ์ ออโตมาตาจำกัดและความน่าจะเป็น ระบบคิว ตาข่ายเพาะเชื้อ ฯลฯ

แผนการทางคณิตศาสตร์ทั่วไปไม่มีระดับทั่วไปเหมือนกับแบบจำลองที่พิจารณา มีข้อดีคือความเรียบง่ายและชัดเจน แต่มีความเป็นไปได้ในการใช้งานที่แคบลงอย่างมาก ในฐานะแบบจำลองที่กำหนดขึ้น เมื่อไม่ได้คำนึงถึงปัจจัยสุ่มในการศึกษา จะใช้สมการเชิงอนุพันธ์ อินทิกรัล ดิฟเฟอเรนเชียลจำนวนเต็ม และสมการอื่นๆ เพื่อเป็นตัวแทนของระบบที่ทำงานในเวลาที่ต่อเนื่องกัน และออโตมาตาผลต่างอันจำกัดถูกใช้เพื่อเป็นตัวแทนของระบบที่ทำงานในเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง . โครงการ เนื่องจากแบบจำลองสุ่ม (โดยคำนึงถึงปัจจัยสุ่ม) ออโตมาตาความน่าจะเป็นจึงถูกนำมาใช้เพื่อเป็นตัวแทนของระบบเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง และระบบการเข้าคิว ฯลฯ ถูกนำมาใช้เพื่อเป็นตัวแทนของระบบเวลาต่อเนื่อง

แผนการทางคณิตศาสตร์มาตรฐานที่ระบุไว้โดยธรรมชาติแล้วไม่สามารถอ้างได้ว่าสามารถอธิบายกระบวนการทั้งหมดที่เกิดขึ้นในระบบข้อมูลและการควบคุมขนาดใหญ่บนพื้นฐานของมันได้ สำหรับระบบดังกล่าว ในบางกรณี การใช้แบบจำลองเชิงรวมมีแนวโน้มที่ดีกว่า แบบจำลองรวม (ระบบ) ทำให้สามารถอธิบายวัตถุการวิจัยได้หลากหลาย ซึ่งสะท้อนถึงลักษณะเชิงระบบของวัตถุเหล่านี้ มันมีคำอธิบายโดยรวม วัตถุที่ซับซ้อน(ระบบ) ถูกแบ่งออกเป็นส่วนจำนวนจำกัด (ระบบย่อย) ในขณะที่ยังคงรักษาการเชื่อมต่อที่รับประกันปฏิสัมพันธ์ของส่วนต่างๆ

รูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่กล่าวถึงในย่อหน้าถัดไปของบทนี้ควรช่วยในการดำเนินการด้วยแนวทางต่างๆ งานภาคปฏิบัติเมื่อสร้างแบบจำลองระบบเฉพาะ

จำเป็นต้องจำแนกประเภทความรู้ในสาขาใด ๆ ช่วยให้คุณสามารถสรุปประสบการณ์ที่สะสมและจัดระเบียบแนวคิดของสาขาวิชาได้ การพัฒนาอย่างรวดเร็วของวิธีการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และการประยุกต์ใช้งานที่หลากหลายทำให้เกิดแบบจำลองจำนวนมากหลายประเภท และจำเป็นต้องจำแนกแบบจำลองออกเป็นหมวดหมู่ที่เป็นสากลสำหรับทุกรุ่นหรือจำเป็นใน ฟิลด์ของแบบจำลองที่สร้างขึ้น เป็นต้น นี่คือตัวอย่างบางหมวดหมู่: พื้นที่ใช้งาน; โดยคำนึงถึงปัจจัยด้านเวลา (ไดนามิก) ในแบบจำลอง สาขาวิชาความรู้ วิธีการนำเสนอแบบจำลอง การมีหรือไม่มีปัจจัยสุ่ม (หรือไม่แน่ใจ) ประเภทของเกณฑ์ประสิทธิภาพและข้อจำกัดที่กำหนด ฯลฯ

จากการวิเคราะห์วรรณกรรมทางคณิตศาสตร์ เราได้ระบุคุณลักษณะการจำแนกประเภทที่พบบ่อยที่สุด:

1. ตามวิธีการดำเนินการ (รวมถึงภาษาที่เป็นทางการ) แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็น การวิเคราะห์และอัลกอริทึม

การวิเคราะห์ – แบบจำลองที่ใช้ภาษาทางคณิตศาสตร์มาตรฐาน โมเดลจำลองคือโมเดลที่ใช้ภาษาการสร้างแบบจำลองพิเศษหรือภาษาการเขียนโปรแกรมสากล

แบบจำลองเชิงวิเคราะห์สามารถเขียนได้ในรูปแบบของนิพจน์เชิงวิเคราะห์ เช่น ในรูปแบบของนิพจน์ที่มีจำนวนการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่นับได้และการเปลี่ยนไปสู่ขีด จำกัด ตัวอย่างเช่น: นิพจน์พีชคณิตเป็นกรณีพิเศษของนิพจน์เชิงวิเคราะห์ ซึ่งให้ผลลัพธ์ที่แน่ชัด นอกจากนี้ยังมีโครงสร้างที่ช่วยให้คุณสามารถค้นหาค่าผลลัพธ์ด้วยความแม่นยำที่กำหนด (เช่น การขยายฟังก์ชันพื้นฐานเป็นอนุกรมกำลัง) โมเดลที่ใช้เทคนิคนี้เรียกว่าการประมาณ

ในทางกลับกัน แบบจำลองการวิเคราะห์จะแบ่งออกเป็น เชิงทฤษฎีและเชิงประจักษ์โมเดล แบบจำลองทางทฤษฎีสะท้อนถึงโครงสร้างและกระบวนการที่แท้จริงในวัตถุที่กำลังศึกษา นั่นคือพวกมันอยู่บนพื้นฐานของทฤษฎีการดำเนินงาน แบบจำลองเชิงประจักษ์สร้างขึ้นจากการศึกษาปฏิกิริยาของวัตถุต่อการเปลี่ยนแปลงของสภาพแวดล้อม ในกรณีนี้จะไม่พิจารณาทฤษฎีการทำงานของวัตถุ ตัววัตถุนั้นเรียกว่า "กล่องดำ" และแบบจำลองนั้นขึ้นอยู่กับการประมาณค่าบางประเภท แบบจำลองเชิงประจักษ์สามารถสร้างขึ้นได้จากข้อมูลการทดลอง ข้อมูลเหล่านี้ได้โดยตรงจากวัตถุที่กำลังศึกษาหรือใช้งาน โมเดลทางกายภาพ.

หากไม่สามารถอธิบายกระบวนการในรูปแบบของแบบจำลองการวิเคราะห์ได้ กระบวนการนั้นจะถูกอธิบายโดยใช้อัลกอริธึมหรือโปรแกรมพิเศษ โมเดลนี้เป็นอัลกอริทึม เมื่อสร้างโมเดลอัลกอริธึม จะใช้วิธีการเชิงตัวเลขหรือการจำลอง ในแนวทางเชิงตัวเลข ชุดของความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์จะถูกแทนที่ด้วยอะนาล็อกที่มีมิติจำกัด (เช่น การเปลี่ยนจากฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ต่อเนื่องไปเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ที่ไม่ต่อเนื่อง) จากนั้นจึงสร้างอัลกอริธึมการคำนวณขึ้นเช่น ลำดับของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และตรรกะ วิธีแก้ไขปัญหาที่พบของอะนาล็อกแบบแยกนั้นถือเป็นวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณของปัญหาดั้งเดิม ในแนวทางการจำลอง ออบเจ็กต์การสร้างแบบจำลองจะถูกแยกออกไป และแบบจำลองของแต่ละองค์ประกอบของระบบจะถูกสร้างขึ้น

2. ตามรูปแบบการนำเสนอแบบจำลองทางคณิตศาสตร์มีความโดดเด่น:

1) แบบจำลองคงที่ – แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่แสดงโดยระบบสมการ (ดิฟเฟอเรนเชียล, พีชคณิต) โดยไม่คำนึงถึงวิธีการแก้สมการเหล่านี้

2) โมเดลพีชคณิต - ความสัมพันธ์ของโมเดลนั้นสัมพันธ์กับวิธีการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขที่เลือกและเขียนในรูปแบบของอัลกอริทึม (ลำดับของการคำนวณ)

3) แบบจำลองการวิเคราะห์ - แสดงถึงการพึ่งพาอย่างชัดเจนของตัวแปรที่ต้องการในค่าที่กำหนด แบบจำลองดังกล่าวได้มาจากกฎฟิสิกส์ หรือเป็นผลมาจากการอินทิเกรตโดยตรงของสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมโดยใช้อินทิกรัลแบบตาราง รวมถึงแบบจำลองการถดถอยที่ได้รับจากผลการทดลองด้วย

4) แบบจำลองกราฟิกถูกนำเสนอในรูปแบบของกราฟ วงจรสมมูล ไดอะแกรม และอื่นๆ ที่คล้ายคลึงกัน ในการใช้แบบจำลองกราฟิก จะต้องมีกฎความสอดคล้องที่ชัดเจนระหว่างรูปภาพทั่วไปขององค์ประกอบของแบบจำลองกราฟิกและส่วนประกอบของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ไม่แปรเปลี่ยน

3. ขึ้นอยู่กับประเภทของเกณฑ์ประสิทธิภาพและข้อจำกัดที่กำหนด แบบจำลองจะถูกแบ่งออกเป็น เชิงเส้นและไม่เชิงเส้นในโมเดลเชิงเส้น เกณฑ์ประสิทธิภาพและข้อจำกัดที่กำหนดคือฟังก์ชันเชิงเส้นของตัวแปรโมเดล (หรือที่เรียกว่าโมเดลไม่เชิงเส้น) ข้อสันนิษฐานของการพึ่งพาเชิงเส้นของเกณฑ์ประสิทธิภาพและชุดของข้อจำกัดที่กำหนดในตัวแปรแบบจำลองนั้นค่อนข้างเป็นที่ยอมรับในทางปฏิบัติ สิ่งนี้ช่วยให้คุณใช้เครื่องมือการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นที่ได้รับการพัฒนามาอย่างดีเพื่อพัฒนาโซลูชัน

4.เมื่อพิจารณาปัจจัยด้านเวลาและพื้นที่การใช้งานแล้วก็มี โมเดลคงที่และไดนามิก. หากปริมาณทั้งหมดที่รวมอยู่ในแบบจำลองไม่ขึ้นอยู่กับเวลา เราก็จะมีแบบจำลองคงที่ของวัตถุหรือกระบวนการ (ภาพรวมของข้อมูลบนวัตถุเพียงครั้งเดียว) เหล่านั้น. แบบจำลองคงที่คือแบบจำลองที่เวลาไม่ใช่ตัวแปร โมเดลไดนามิกช่วยให้คุณเห็นการเปลี่ยนแปลงในวัตถุเมื่อเวลาผ่านไป

5. ขึ้นอยู่กับจำนวนฝ่ายที่ตัดสินใจ มีแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สองประเภท: พรรณนาและเป็นบรรทัดฐาน. ในรูปแบบเชิงพรรณนาไม่มีผู้มีอำนาจตัดสินใจ อย่างเป็นทางการ จำนวนฝ่ายดังกล่าวในแบบจำลองเชิงพรรณนาคือศูนย์ ตัวอย่างทั่วไปของโมเดลดังกล่าวคือโมเดลของระบบคิว การสร้างแบบจำลองเชิงพรรณนาสามารถใช้ทฤษฎีความน่าเชื่อถือ ทฤษฎีกราฟ ทฤษฎีความน่าจะเป็น และวิธีการทดสอบทางสถิติ (วิธีมอนติคาร์โล) ได้

โมเดลเชิงบรรทัดฐานมีหลายแง่มุม โดยหลักการแล้ว โมเดลเชิงบรรทัดฐานสองประเภทสามารถแยกแยะได้: โมเดลการปรับให้เหมาะสมที่สุดและโมเดลทฤษฎีเกม ในโมเดลการปรับให้เหมาะสม งานหลักของการพัฒนาโซลูชันจะลดลงในทางเทคนิคเป็นการเพิ่มหรือลดเกณฑ์ประสิทธิภาพอย่างเข้มงวด เช่น ค่าดังกล่าวของตัวแปรควบคุมจะถูกกำหนดโดยที่เกณฑ์ประสิทธิภาพถึงค่าสูงสุด (สูงสุดหรือต่ำสุด)

ในการพัฒนาโซลูชันที่แสดงโดยแบบจำลองการปรับให้เหมาะสม ควบคู่ไปกับวิธีการแปรผันแบบดั้งเดิมและแบบใหม่ (การค้นหาขั้นสุด) วิธีการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ (เชิงเส้น ไม่เชิงเส้น ไดนามิก) ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลาย รูปแบบทฤษฎีเกมมีลักษณะเฉพาะโดยมีหลายฝ่าย (อย่างน้อยสองฝ่าย) หากมีสองฝ่ายที่มีผลประโยชน์ตรงกันข้าม ทฤษฎีเกมจะถูกใช้ หากจำนวนฝ่ายมากกว่าสองฝ่ายและพันธมิตรและการประนีประนอมเป็นไปไม่ได้ระหว่างพวกเขา ทฤษฎีของเกมที่ไม่ร่วมมือจะถูกใช้ nบุคคล

6. ขึ้นอยู่กับการมีหรือไม่มีปัจจัยสุ่ม (หรือไม่แน่ใจ) กำหนดและสุ่มแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ในโมเดลเชิงกำหนด ความสัมพันธ์ ตัวแปร และค่าคงที่ทั้งหมดจะถูกระบุอย่างแม่นยำ ซึ่งนำไปสู่คำจำกัดความที่ชัดเจนของฟังก์ชันผลลัพธ์ แบบจำลองเชิงกำหนดจะถูกสร้างขึ้นในกรณีที่ปัจจัยที่มีอิทธิพลต่อผลลัพธ์ของการดำเนินการสามารถวัดหรือประเมินได้อย่างแม่นยำ และไม่มีปัจจัยสุ่มหรือสามารถละเลยได้

หากพารามิเตอร์บางส่วนหรือทั้งหมดที่รวมอยู่ในแบบจำลองเป็นตัวแปรสุ่มหรือฟังก์ชันสุ่มโดยธรรมชาติ โมเดลนั้นจะถูกจัดประเภทเป็นแบบจำลองสุ่ม ในแบบจำลองสุ่มจะมีการระบุกฎของการแจกแจงของตัวแปรสุ่มซึ่งนำไปสู่การประเมินความน่าจะเป็นของฟังก์ชันผลลัพธ์และความเป็นจริงจะแสดงเป็นค่าที่แน่นอน กระบวนการสุ่มหลักสูตรและผลลัพธ์ซึ่งอธิบายโดยคุณลักษณะบางอย่างของตัวแปรสุ่ม: ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน ฟังก์ชันการแจกแจง ฯลฯ การสร้างแบบจำลองดังกล่าวเป็นไปได้หากมีข้อเท็จจริงเพียงพอที่จะประมาณการแจกแจงความน่าจะเป็นที่จำเป็น หรือหากทฤษฎีของปรากฏการณ์ที่กำลังพิจารณาอนุญาตให้มีการแจกแจงเหล่านี้ตามทฤษฎี (ขึ้นอยู่กับสูตรของทฤษฎีความน่าจะเป็น ทฤษฎีบทขีดจำกัด ฯลฯ) .

7. ขึ้นอยู่กับวัตถุประสงค์ของการสร้างแบบจำลองก็มี เชิงพรรณนา การเพิ่มประสิทธิภาพ และการจัดการโมเดล ในแบบจำลองเชิงพรรณนา (จากภาษาละติน descriptio - คำอธิบาย) จะมีการศึกษากฎของการเปลี่ยนแปลงในพารามิเตอร์ของแบบจำลอง ตัวอย่างเช่น แบบจำลองการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุภายใต้อิทธิพลของแรงที่ใช้ตามกฎข้อที่สองของนิวตัน: การระบุตำแหน่งและความเร่งของจุดเข้า ช่วงเวลานี้เวลา (พารามิเตอร์อินพุต) มวล (พารามิเตอร์ของตัวเอง) และกฎการเปลี่ยนแปลงของแรงที่ใช้ (อิทธิพลภายนอก) คุณสามารถกำหนดพิกัดของจุดและความเร็วได้ตลอดเวลา (ข้อมูลเอาต์พุต)

โมเดลการปรับให้เหมาะสมใช้เพื่อกำหนดสิ่งที่ดีที่สุด (เหมาะสมที่สุด) โดยขึ้นอยู่กับเกณฑ์ พารามิเตอร์ของออบเจ็กต์ที่สร้างโมเดล หรือวิธีการควบคุมออบเจ็กต์นี้ โมเดลการปรับให้เหมาะสมถูกสร้างขึ้นโดยใช้โมเดลเชิงอธิบายตั้งแต่หนึ่งโมเดลขึ้นไป และมีเกณฑ์หลายประการในการพิจารณาการปรับให้เหมาะสมที่สุด ข้อ จำกัด ในรูปแบบของความเท่าเทียมกันหรือความไม่เท่าเทียมกันที่เกี่ยวข้องกับลักษณะของวัตถุหรือกระบวนการที่พิจารณาสามารถกำหนดได้ในช่วงของค่าของพารามิเตอร์อินพุต ตัวอย่างของแบบจำลองการปรับให้เหมาะสมที่สุดคือการเตรียมอาหารสำหรับอาหารเฉพาะ (ปริมาณแคลอรี่ของผลิตภัณฑ์ ค่าราคา ฯลฯ เป็นข้อมูลที่ป้อน)

โมเดลการจัดการใช้ในการตัดสินใจในด้านต่างๆ ของกิจกรรมของมนุษย์โดยมีจุดประสงค์ เมื่อมีการเลือกหลายรายการจากทางเลือกทั้งหมด และกระบวนการตัดสินใจโดยรวมเป็นลำดับของทางเลือกดังกล่าว เช่น การเลือกรายงานการเลื่อนตำแหน่งจากนักศึกษาหลายท่านที่จัดทำขึ้น ความซับซ้อนของงานอยู่ที่ความไม่แน่นอนเกี่ยวกับข้อมูลอินพุต (ไม่ว่าจะจัดทำรายงานโดยอิสระหรือใช้งานของบุคคลอื่น) และเป้าหมาย (ลักษณะทางวิทยาศาสตร์ของงานและโครงสร้างของงาน ระดับของการนำเสนอ และระดับของการเตรียมการ ของนักเรียน ผลการทดลอง และข้อสรุปที่ได้รับ) เนื่องจากความเหมาะสมของการตัดสินใจในสถานการณ์เดียวกันสามารถตีความได้หลายวิธี ประเภทของเกณฑ์การเพิ่มประสิทธิภาพในแบบจำลองการจัดการจึงไม่ได้รับการแก้ไขล่วงหน้า วิธีการสร้างเกณฑ์การหาความเหมาะสมที่สุดโดยขึ้นอยู่กับประเภทของความไม่แน่นอนนั้นได้รับการพิจารณาในทฤษฎีการเลือกและการตัดสินใจ โดยอิงตามทฤษฎีเกมและการวิจัยการดำเนินงาน

8. ตามวิธีการวิจัยจะแยกแยะได้ การวิเคราะห์ เชิงตัวเลข และการจำลองโมเดล แบบจำลองเชิงวิเคราะห์คือคำอธิบายอย่างเป็นทางการของระบบที่ช่วยให้สามารถหาคำตอบของสมการได้อย่างชัดเจนโดยใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียง แบบจำลองเชิงตัวเลขมีลักษณะเฉพาะด้วยการพึ่งพาอาศัยกันซึ่งอนุญาตเฉพาะคำตอบเชิงตัวเลขบางส่วนสำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นเฉพาะและพารามิเตอร์เชิงปริมาณของแบบจำลอง แบบจำลองการจำลองคือชุดคำอธิบายของระบบและอิทธิพลภายนอก อัลกอริธึมสำหรับการทำงานของระบบหรือกฎสำหรับการเปลี่ยนสถานะของระบบภายใต้อิทธิพลของการรบกวนภายนอกและภายใน อัลกอริธึมและกฎเหล่านี้ไม่ได้ทำให้เป็นไปได้ที่จะใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์ที่มีอยู่สำหรับการแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์และเชิงตัวเลข แต่ทำให้สามารถจำลองกระบวนการทำงานของระบบและบันทึกคุณลักษณะที่น่าสนใจได้ ต่อไปจะมีการตรวจสอบแบบจำลองเชิงวิเคราะห์และการจำลองบางแบบโดยละเอียดการศึกษาแบบจำลองเฉพาะประเภทนี้เกี่ยวข้องกับลักษณะเฉพาะของกิจกรรมวิชาชีพของนักเรียนในสาขาการฝึกอบรมนี้

1.4. การแสดงแบบจำลองทางคณิตศาสตร์แบบกราฟิก

ในทางคณิตศาสตร์ รูปแบบของความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณสามารถแสดงได้ด้วยสมการของรูปแบบ ตัวแปรอิสระ (อาร์กิวเมนต์) ย– ตัวแปรตาม (ฟังก์ชัน) ในทฤษฎีการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ตัวแปรอิสระเรียกว่าปัจจัย และตัวแปรตามเรียกว่าการตอบสนอง นอกจากนี้ขึ้นอยู่กับพื้นที่ของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์คำศัพท์จะเปลี่ยนไปบ้าง ตัวอย่างบางส่วนของคำจำกัดความของปัจจัยและการตอบสนอง ขึ้นอยู่กับสาขาวิชาที่ศึกษา แสดงไว้ในตารางที่ 1

ตารางที่ 1. คำจำกัดความบางประการของแนวคิด "ปัจจัย" และ "การตอบสนอง"

เป็นตัวแทนของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์แบบกราฟิกเราจะพิจารณาปัจจัยและการตอบสนองต่อตัวแปรที่มีค่าเป็นชุดของจำนวนจริง

การแสดงแบบจำลองทางคณิตศาสตร์แบบกราฟิกคือพื้นผิวตอบสนองบางส่วนที่สอดคล้องกับตำแหน่งของจุดต่างๆ เค-พื้นที่ปัจจัยมิติ เอ็กซ์. สามารถมองเห็นได้เฉพาะพื้นผิวการตอบสนองแบบหนึ่งมิติและสองมิติเท่านั้น ในกรณีแรกนี่คือชุดของจุดบนระนาบจริงและในส่วนที่สองคือชุดของจุดที่ก่อตัวพื้นผิวในอวกาศ (สะดวกในการพรรณนาจุดดังกล่าว เส้นระดับ - วิธีการพรรณนาถึงการบรรเทาพื้นผิว ของพื้นที่ที่สร้างขึ้นในปริภูมิตัวประกอบสองมิติ เอ็กซ์(รูปที่ 8)

เรียกว่าขอบเขตที่กำหนดพื้นผิวการตอบสนอง โดเมนของคำจำกัดความของ X *ตามกฎแล้ว ขอบเขตนี้เป็นเพียงส่วนหนึ่งของพื้นที่ตัวประกอบที่สมบูรณ์เท่านั้น เอ็กซ์(เอ็กซ์*Ì เอ็กซ์) และถูกเน้นโดยใช้ข้อจำกัดที่กำหนดให้กับตัวแปรควบคุม x ฉันเขียนในรูปของความเท่าเทียมกัน:

x ผม = C ผม , ฉัน = 1,…, ม;

เอฟเจ(x) = ซี เจ, เจ = 1,…, ล

หรือความไม่เท่าเทียมกัน:

x ฉันขั้นต่ำ £ x ฉัน£ x ฉันสูงสุด, ฉัน= 1,…, เค;

เอฟเจ(x) £ ซี เจ, เจ = 1,…, n,

ขณะเดียวกันก็มีฟังก์ชั่นต่างๆ เอฟเจ(x) สามารถขึ้นอยู่กับตัวแปรทั้งหมดพร้อมกันและบางตัวได้

ข้อจำกัดของประเภทของความไม่เท่าเทียมกันนั้นกำหนดลักษณะข้อจำกัดทางกายภาพของกระบวนการในวัตถุภายใต้การศึกษา (เช่น ข้อจำกัดด้านอุณหภูมิ) หรือข้อจำกัดทางเทคนิคที่เกี่ยวข้องกับสภาพการทำงานของวัตถุ (เช่น ความเร็วสูงสุดการตัดข้อจำกัดในการสำรองวัตถุดิบ)

ความเป็นไปได้ในการศึกษาแบบจำลองนั้นขึ้นอยู่กับคุณสมบัติ (การผ่อนปรน) ของพื้นผิวการตอบสนองอย่างมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับจำนวน "จุดยอด" ที่ปรากฏบนพื้นผิวและความเปรียบต่าง กำหนดจำนวนยอดเขา (หุบเขา) กิริยาพื้นผิวตอบสนอง หากมีจุดสูงสุด (หุบเขา) หนึ่งจุดในขอบเขตของคำจำกัดความบนพื้นผิวตอบสนอง แบบจำลองนั้นจะถูกเรียก ยูนิโมดัล.

ลักษณะของการเปลี่ยนแปลงฟังก์ชันอาจแตกต่างกัน (รูปที่ 9)

แบบจำลองอาจมีจุดไม่ต่อเนื่องของประเภทแรก (รูปที่ 9 (a)) จุดไม่ต่อเนื่องของประเภทที่สอง (รูปที่ 9 (b)) รูปที่ 9(c) แสดงแบบจำลอง Unimodal ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง

สำหรับทั้งสามกรณีที่แสดงในรูปที่ 9 เป็นไปตามข้อกำหนดทั่วไปของรูปแบบเดียว:

ถ้า W(x*) เป็นค่าปลายสุดของ W แล้วจากเงื่อนไข x 1< x 2 < x* (x 1 >x 2 > x*) ตามหลัง W(x 1)< W(x 2) < W(x*) , если экстремум – максимум, или W(x 1) >W(x 2) > W(x*) ถ้าค่าสุดขีดคือค่าต่ำสุด นั่นคือเมื่อเราเคลื่อนออกจากจุดสูงสุด ค่าของฟังก์ชัน W(x) จะลดลงอย่างต่อเนื่อง (เพิ่มขึ้น)

นอกจากโมเดลแบบ Unimodal แล้ว ยังมีการพิจารณาโมเดลหลายรูปแบบด้วย (รูปที่ 10)

คุณสมบัติที่สำคัญอีกประการหนึ่งของพื้นผิวตอบสนองคือความเปรียบต่างซึ่งแสดงความไวของฟังก์ชันผลลัพธ์ต่อการเปลี่ยนแปลงของปัจจัย ความคมชัดนั้นโดดเด่นด้วยคุณค่าของอนุพันธ์ ให้เราสาธิตลักษณะคอนทราสต์โดยใช้ตัวอย่างของพื้นผิวการตอบสนองแบบสองมิติ (รูปที่ 11)

จุด กตั้งอยู่บน "ความลาดชัน" ซึ่งแสดงลักษณะคอนทราสต์ที่เท่ากันสำหรับตัวแปรทั้งหมด x ฉัน (ฉัน=1,2) จุด ขตั้งอยู่ใน "หุบเขา" ซึ่งมีความแตกต่างที่แตกต่างกันสำหรับตัวแปรต่าง ๆ (เรามีเงื่อนไขของฟังก์ชันที่ไม่ดี) ชี้ กับตั้งอยู่บน "ที่ราบสูง" ซึ่งมีความเปรียบต่างต่ำสำหรับตัวแปรทั้งหมด x ฉันบ่งบอกถึงความใกล้ชิดของปลายสุด

1.5. วิธีพื้นฐานในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

ให้เรานำเสนอการจำแนกวิธีการสำหรับการนำเสนอระบบจำลองอย่างเป็นทางการโดย V.N. Volkova และ Denisova A.A. ผู้เขียนระบุวิธีการวิเคราะห์ สถิติ เซตทฤษฎี ภาษา ตรรกะ และกราฟิก คำศัพท์พื้นฐานตัวอย่างของทฤษฎีที่พัฒนาบนพื้นฐานของคลาสของวิธีการที่อธิบายไว้ตลอดจนขอบเขตและความเป็นไปได้ของการประยุกต์ใช้มีการเสนอในภาคผนวก 1

ในทางปฏิบัติของการสร้างแบบจำลองระบบนั้นมีการใช้วิธีการวิเคราะห์และสถิติอย่างกว้างขวางที่สุด

1) วิธีการวิเคราะห์เพื่อสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

พื้นฐานของเครื่องมือคำศัพท์ของวิธีวิเคราะห์สำหรับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือแนวคิดของคณิตศาสตร์คลาสสิก (สูตร, ฟังก์ชัน, สมการและระบบสมการ, อสมการ, อนุพันธ์, อินทิกรัล ฯลฯ ) วิธีการเหล่านี้โดดเด่นด้วยความชัดเจนและความถูกต้องของคำศัพท์โดยใช้ภาษาของคณิตศาสตร์คลาสสิก

จากแนวคิดเชิงวิเคราะห์ ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์เช่นการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์คลาสสิก (เช่น วิธีการศึกษาฟังก์ชัน) และรากฐานสมัยใหม่ของการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีเกมเกิดขึ้นและได้รับการพัฒนา นอกจากนี้ การเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ (เชิงเส้น ไม่เชิงเส้น ไดนามิก จำนวนเต็ม ฯลฯ) มีทั้งวิธีการกำหนดปัญหาและขยายความเป็นไปได้ในการพิสูจน์ความเพียงพอของแบบจำลอง ซึ่งแตกต่างจากพื้นที่อื่นๆ ของคณิตศาสตร์ แนวคิดของการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการแก้ปัญหาทางเศรษฐกิจ (โดยเฉพาะการแก้ปัญหาการตัดแผ่นไม้อัดที่เหมาะสมที่สุด) ถูกเสนอโดย L.V. คันโตโรวิช

ให้เราอธิบายคุณสมบัติของวิธีการพร้อมตัวอย่าง

ตัวอย่าง.ให้เราสมมติว่าสำหรับการผลิตผลิตภัณฑ์สองประเภท กและ ในต้องใช้วัตถุดิบสามประเภท ขณะเดียวกันสำหรับการผลิตหน่วยผลิตภัณฑ์ประเภทหนึ่ง กใช้ไป 4 หน่วย วัตถุดิบประเภทแรก 2 หน่วย หน่วยที่ 2 และ 3 ประเภทที่ 3. สำหรับการผลิตเป็นหน่วยของผลิตภัณฑ์ประเภท ในใช้ไป 2 หน่วย วัตถุดิบประเภทที่ 1 จำนวน 5 หน่วย แบบที่ 2 และ 4 ยูนิต วัตถุดิบประเภทที่ 3 โกดังโรงงานมีทั้งหมด 35 ยูนิต วัตถุดิบประเภทที่ 1, 43 - 2, 40 - ประเภทที่ 3 จากการขายหน่วยผลิตภัณฑ์ประเภท กโรงงานมีกำไร 5,000 รูเบิลและจากการขายผลิตภัณฑ์ประเภทหนึ่งหน่วย ในกำไรคือ 9,000 รูเบิล จำเป็นต้องสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาซึ่งให้ผลกำไรสูงสุด

อัตราการใช้วัตถุดิบแต่ละประเภทสำหรับการผลิตหน่วยของผลิตภัณฑ์ประเภทที่กำหนดแสดงไว้ในตาราง นอกจากนี้ยังระบุกำไรจากการขายผลิตภัณฑ์แต่ละประเภทและจำนวนวัตถุดิบรวมประเภทนี้ที่องค์กรสามารถใช้ได้

ให้เราแสดงโดย x1และ x2ปริมาณของผลิตภัณฑ์ที่ผลิต กและ ในตามลำดับ ต้นทุนของวัสดุชั้นหนึ่งสำหรับแผนจะเป็น 4x1 + 2x2และไม่ควรเกินปริมาณสำรอง เช่น 35 กก.:

4x1 + 2x2 35.

ข้อจำกัดสำหรับวัสดุเกรดสองจะคล้ายกัน:

2x1 + 5x2 43,

และตามวัสดุชั้นที่สาม

3x1 + 4x2 40.

กำไรจากการขาย x1หน่วยการผลิต A และ x2หน่วยการผลิต B จะเป็น z = 5x1+ 9x2(ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์).

เราได้รับโมเดลงาน:

โซลูชันกราฟิกงานแสดงในรูปที่ 11

เหมาะสมที่สุด (ดีที่สุด เช่น ฟังก์ชันสูงสุด z) วิธีแก้ไขปัญหาอยู่ที่จุด A (วิธีแก้ไขอธิบายไว้ในบทที่ 5)

เข้าใจแล้ว x1=4,x2=7 ค่าฟังก์ชัน zที่จุด A: .

ดังนั้นมูลค่าของกำไรสูงสุดคือ 83,000 รูเบิล

นอกเหนือจากวิธีแบบกราฟิกแล้ว ยังมีวิธีพิเศษอีกหลายวิธีในการแก้ปัญหา (เช่น วิธีแบบซิมเพล็กซ์) หรือแพ็คเกจแอปพลิเคชันที่นำไปใช้ ขึ้นอยู่กับประเภทของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ การโปรแกรมเชิงเส้นและไม่เชิงเส้นจะแตกต่างกัน ขึ้นอยู่กับลักษณะของตัวแปร การโปรแกรมจำนวนเต็มจะแตกต่างกัน

เราสามารถเน้นคุณลักษณะทั่วไปของการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ได้:

1) การแนะนำแนวคิดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์และข้อ จำกัด เป็นวิธีการกำหนดปัญหา

2) สามารถรวมเกณฑ์ที่ต่างกันได้ (มิติที่แตกต่างกันในตัวอย่าง – ปริมาณสำรองวัตถุดิบและกำไร) ในรูปแบบเดียว

3) โมเดลการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ช่วยให้เข้าถึงขอบเขตของขอบเขตของค่าตัวแปรที่อนุญาต

4) ความเป็นไปได้ของการดำเนินการ อัลกอริธึมทีละขั้นตอนการได้รับผลลัพธ์ (แนวทางทีละขั้นตอนเพื่อ ทางออกที่ดีที่สุด);

5) ความชัดเจนที่เกิดขึ้นจากการตีความทางเรขาคณิตของปัญหา ช่วยเหลือในกรณีที่ไม่สามารถแก้ไขปัญหาอย่างเป็นทางการได้

2) วิธีทางสถิติสำหรับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

วิธีการทางสถิติสำหรับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เริ่มแพร่หลายและเริ่มใช้กันอย่างแพร่หลายกับการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นในศตวรรษที่ 19 ขึ้นอยู่กับรูปแบบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่ม (สุ่ม) ที่สะท้อนปรากฏการณ์ที่แท้จริง คำว่า "สุ่ม" คือการชี้แจงแนวคิด "สุ่ม" ซึ่งระบุสาเหตุเฉพาะที่กำหนดไว้ล่วงหน้าซึ่งส่งผลต่อกระบวนการ และแนวคิด "สุ่ม" มีลักษณะเฉพาะคือความเป็นอิสระจากอิทธิพลหรือไม่มีสาเหตุดังกล่าว

รูปแบบทางสถิติจะแสดงในรูปแบบของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและรูปแบบการเกิดขึ้นของค่าหรือในรูปแบบของการพึ่งพาอย่างต่อเนื่องของการกระจายของเหตุการณ์ (กระบวนการ) พื้นฐานทางทฤษฎีการสร้างแบบจำลองสุ่มมีรายละเอียดอธิบายไว้ในบทที่ 2

คำถามควบคุม

1. กำหนดปัญหาหลักของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

2. กำหนดแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

3. ระบุข้อเสียเปรียบหลักของวิธีทดลองในการวิจัย

4. ระบุขั้นตอนหลักของการสร้างแบบจำลอง

5. ทำรายการประเภทของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

6. ให้ คำอธิบายสั้น ๆประเภทของรุ่น

7. แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ซึ่งแสดงทางเรขาคณิตมีรูปแบบใด

8. แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ประเภทการวิเคราะห์มีการกำหนดไว้อย่างไร?

งาน

1. สร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับการแก้ปัญหาและจำแนกแบบจำลอง:

1) กำหนดความจุสูงสุดของถังทรงกระบอกที่มีพื้นผิว (ไม่มีฝาปิด) เท่ากับ S

2) บริษัทรับประกันการผลิตผลิตภัณฑ์อย่างสม่ำเสมอโดยการจัดหาส่วนประกอบจากผู้รับเหมาช่วงสองรายโดยปราศจากปัญหา ความน่าจะเป็นของการปฏิเสธการส่งมอบจากผู้รับเหมาช่วงรายแรกคือ และจากวินาที - . ค้นหาความน่าจะเป็นของความล้มเหลวในการดำเนินงานขององค์กร

2. แบบจำลองของมัลธัส (1798) อธิบายการแพร่พันธุ์ของประชากรในอัตราสัดส่วนกับขนาดของประชากร ในรูปแบบที่ไม่ต่อเนื่อง กฎนี้เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต: ; หรือ กฎหมายที่เขียนในรูปสมการเชิงอนุพันธ์เป็นรูปแบบการเติบโตของประชากรแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลและอธิบายการเติบโตของประชากรเซลล์ได้ดีโดยไม่มีข้อจำกัดใดๆ ดังนี้ กำหนดเงื่อนไขเริ่มต้นและสาธิตแบบจำลอง

โครงการทางคณิตศาสตร์สำหรับการสร้างแบบจำลองระบบ

แนวทางพื้นฐานในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบ

ข้อมูลเบื้องต้นเมื่อสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการทำงานของระบบคือข้อมูลเกี่ยวกับวัตถุประสงค์และสภาวะการทำงานของระบบที่กำลังศึกษา (ออกแบบ) ส. ข้อมูลนี้กำหนดวัตถุประสงค์หลักของการสร้างแบบจำลองระบบ สและช่วยให้คุณสามารถกำหนดข้อกำหนดสำหรับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่พัฒนาขึ้นได้ ม.นอกจากนี้ ระดับของนามธรรมยังขึ้นอยู่กับช่วงของคำถามที่ผู้วิจัยระบบต้องการตอบโดยใช้แบบจำลอง และในระดับหนึ่งจะกำหนดทางเลือกของโครงร่างทางคณิตศาสตร์

แผนการทางคณิตศาสตร์การแนะนำแนวคิดของโครงร่างทางคณิตศาสตร์ช่วยให้เราพิจารณาคณิตศาสตร์ไม่ใช่วิธีการคำนวณ แต่เป็นวิธีคิดเป็นวิธีการกำหนดแนวคิดซึ่งเป็นสิ่งสำคัญที่สุดในการเปลี่ยนจากคำอธิบายด้วยวาจาของระบบเป็น การแสดงอย่างเป็นทางการของกระบวนการทำงานในรูปแบบของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์บางอย่าง (การวิเคราะห์หรือการจำลอง) เมื่อใช้โครงร่างทางคณิตศาสตร์ ก่อนอื่นผู้วิจัยของระบบ S ควรสนใจคำถามเกี่ยวกับความเพียงพอของการเป็นตัวแทนในรูปแบบของไดอะแกรมเฉพาะของกระบวนการจริงในระบบที่กำลังศึกษาอยู่ ไม่ใช่ความเป็นไปได้ที่จะได้รับ คำตอบ (ผลการแก้ปัญหา) สำหรับคำถามวิจัยเฉพาะ ตัวอย่างเช่น การแสดงกระบวนการการทำงานของระบบคอมพิวเตอร์ข้อมูลที่ใช้ร่วมกันในรูปแบบของเครือข่ายของแผนการจัดคิว ทำให้สามารถอธิบายกระบวนการที่เกิดขึ้นในระบบได้ดี แต่เมื่อพิจารณาถึงกฎหมายที่ซับซ้อนของกระแสขาเข้าและกระแสบริการ ก็ไม่ ไม่ทำให้ได้ผลลัพธ์ในรูปแบบที่ชัดเจน

โครงการทางคณิตศาสตร์สามารถกำหนดเป็นลิงค์ในการเปลี่ยนจากคำอธิบายที่มีความหมายไปเป็นคำอธิบายอย่างเป็นทางการของกระบวนการทำงานของระบบโดยคำนึงถึงอิทธิพลของสภาพแวดล้อมภายนอกเช่น มีห่วงโซ่ "แบบจำลองเชิงพรรณนา - รูปแบบทางคณิตศาสตร์ - คณิตศาสตร์ (เชิงวิเคราะห์และ/ หรือแบบจำลอง)”

แต่ละระบบเฉพาะ S มีลักษณะเฉพาะด้วยชุดคุณสมบัติซึ่งเข้าใจว่าเป็นปริมาณที่สะท้อนพฤติกรรมของวัตถุจำลอง (ระบบจริง) และคำนึงถึงเงื่อนไขการทำงานในการโต้ตอบกับสภาพแวดล้อมภายนอก (ระบบ) อี.เมื่อสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบ จำเป็นต้องแก้ไขปัญหาความสมบูรณ์ของระบบ ความสมบูรณ์ของแบบจำลองนั้นควบคุมโดยการเลือกขอบเขต "ระบบ S - สภาพแวดล้อม" เป็นหลัก อี» . ปัญหาในการลดความซับซ้อนของแบบจำลองจะต้องได้รับการแก้ไขด้วยซึ่งจะช่วยเน้นคุณสมบัติหลักของระบบโดยละทิ้งคุณสมบัติรอง นอกจากนี้ การจำแนกคุณสมบัติของระบบเป็นคุณสมบัติหลักหรือรองขึ้นอยู่กับวัตถุประสงค์ของการสร้างแบบจำลองระบบ (เช่น การวิเคราะห์ลักษณะความน่าจะเป็น-เวลาของกระบวนการทำงานของระบบ การสังเคราะห์โครงสร้างของระบบ เป็นต้น) .

แบบจำลองที่เป็นทางการของวัตถุแบบจำลองของวัตถุการสร้างแบบจำลอง เช่น ระบบ S สามารถแสดงเป็นชุดของปริมาณที่อธิบายกระบวนการการทำงานของระบบจริง และโดยทั่วไปจะก่อตัวเป็นชุดย่อยต่อไปนี้: set อิทธิพลอินพุตต่อระบบ

;

จำนวนทั้งสิ้น อิทธิพลของสิ่งแวดล้อม

;

จำนวนทั้งสิ้น พารามิเตอร์ภายใน (ของตัวเอง)ระบบ

;

จำนวนทั้งสิ้น ลักษณะเอาต์พุตระบบ

ยิ่งไปกว่านั้น ในชุดย่อยที่อยู่ในรายการ เราสามารถแยกแยะตัวแปรที่มีการควบคุมและตัวแปรที่ไม่สามารถควบคุมได้ โดยทั่วไปแล้ว , , , เป็นองค์ประกอบของเซตย่อยที่ไม่เป็นสมาชิกร่วมและมีทั้งส่วนประกอบที่กำหนดขึ้นและสุ่ม

เมื่อสร้างแบบจำลองระบบ S อิทธิพลของอินพุต อิทธิพลของสิ่งแวดล้อม อีและพารามิเตอร์ภายในของระบบคือ ตัวแปรอิสระ (ภายนอก)ซึ่งในรูปแบบเวกเตอร์จะมีรูปแบบ , , ตามลำดับ และลักษณะเอาต์พุตของระบบคือ ตัวแปรตาม (ภายนอก)และในรูปแบบเวกเตอร์จะมีรูปแบบ )

กระบวนการการทำงานของระบบ S ได้รับการอธิบายตามเวลาโดยผู้ปฏิบัติงาน เอฟ ส , ซึ่งโดยทั่วไปจะเปลี่ยนตัวแปรภายนอกให้เป็นตัวแปรภายนอกตามความสัมพันธ์ของรูปแบบ

. (1)

ชุดของการขึ้นต่อกันของคุณลักษณะเอาต์พุตของระบบตรงเวลา ย เจ (ที) สำหรับทุกประเภท
เรียกว่า เส้นทางออก
. การพึ่งพา (1) เรียกว่า กฎการทำงานของระบบส และถูกกำหนดไว้ เอฟ ส . โดยทั่วไปแล้วกฎการทำงานของระบบ เอฟ ส สามารถระบุได้ในรูปแบบของฟังก์ชัน เงื่อนไขการทำงาน ตรรกะ ในรูปแบบอัลกอริทึมและตาราง หรือในรูปแบบของกฎการจับคู่ด้วยวาจา

สิ่งที่สำคัญมากสำหรับการอธิบายและการศึกษาระบบ S คือแนวคิด อัลกอริธึมการทำงานก ส , ซึ่งเข้าใจว่าเป็นวิธีการรับลักษณะเอาต์พุตโดยคำนึงถึงอิทธิพลของอินพุต
, อิทธิพลของสิ่งแวดล้อม
และพารามิเตอร์ของระบบของตัวเอง
. ปรากฏชัดว่ากฎหมายปฏิบัติการเดียวกัน เอฟ ส system S สามารถนำไปใช้ได้หลายวิธี เช่น การใช้อัลกอริธึมการทำงานที่แตกต่างกันมากมาย ก ส .

ความสัมพันธ์ (1) เป็นคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของพฤติกรรมของวัตถุแบบจำลอง (ระบบ) ในเวลา ที, กล่าวคือ สะท้อนถึงคุณสมบัติไดนามิกของมัน ดังนั้นจึงมักเรียกแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ประเภทนี้ โมเดลไดนามิก(ระบบ).

สำหรับ โมเดลคงที่แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (1) เป็นการแมประหว่างสองชุดย่อยของคุณสมบัติของวัตถุแบบจำลอง ย และ { เอ็กซ์, วี, ยังไม่มีข้อความ)ซึ่งในรูปแบบเวกเตอร์สามารถเขียนได้เป็น

. (2)

สามารถระบุความสัมพันธ์ (1) และ (2) ได้หลายวิธี: เชิงวิเคราะห์ (โดยใช้สูตร), แบบกราฟิก, แบบตาราง ฯลฯ ความสัมพันธ์ดังกล่าวในหลายกรณีสามารถรับได้ผ่านคุณสมบัติของระบบ S ในเวลาที่กำหนดเรียกว่า รัฐสถานะของระบบ S มีลักษณะเป็นเวกเตอร์

และ
,

ที่ไหน
,
, …,
ในช่วงเวลาหนึ่ง
;
,
, …,
ในช่วงเวลาหนึ่ง
ฯลฯ
.

หากเราพิจารณากระบวนการทำงานของระบบ S เป็นการเปลี่ยนแปลงสถานะตามลำดับ
, จากนั้นจึงสามารถตีความได้ว่าเป็นพิกัดของจุดเข้า ถึง- พื้นที่เฟสมิติ นอกจากนี้ การดำเนินการแต่ละกระบวนการจะสอดคล้องกับวิถีระยะที่แน่นอน ชุดของค่าสถานะที่เป็นไปได้ทั้งหมด เรียกว่า พื้นที่ของรัฐการสร้างแบบจำลองวัตถุ ซี, และ
.

สถานะของระบบ S ในขณะนั้น ที 0 < ที*ต ถูกกำหนดโดยเงื่อนไขเริ่มต้นอย่างสมบูรณ์
[ที่ไหน
,
, …,
] อิทธิพลอินพุต
, พารามิเตอร์ระบบของตัวเอง
และอิทธิพลของสิ่งแวดล้อม
, ที่เกิดขึ้นในช่วงระยะเวลาหนึ่ง ที*- ที 0 , กับโดยใช้สมการเวกเตอร์สองตัว

; (3)

. (4)

สมการแรกสำหรับสถานะเริ่มต้น และตัวแปรภายนอก
กำหนดฟังก์ชันเวกเตอร์
, และอันที่สองตามมูลค่าที่ได้รับของรัฐ
- ตัวแปรภายนอกที่เอาต์พุตของระบบ
. ดังนั้นห่วงโซ่สมการของวัตถุ "อินพุต - สถานะ - เอาต์พุต" ทำให้สามารถกำหนดลักษณะของระบบได้

. (5)

โดยทั่วไป เวลาในระบบรุ่น S สามารถพิจารณาได้ตลอดช่วงการสร้างแบบจำลอง (0, ต)ทั้งต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่อง กล่าวคือ แบ่งเป็นส่วนของความยาว
หน่วยเวลาในแต่ละเมื่อ
, ที่ไหน
- จำนวนช่วงการสุ่มตัวอย่าง

ดังนั้นภายใต้ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของวัตถุ(ของระบบจริง) เข้าใจเซตย่อยของตัวแปรที่มีขอบเขตจำกัด (
} พร้อมกับการเชื่อมโยงทางคณิตศาสตร์ระหว่างสิ่งเหล่านี้กับคุณลักษณะ
.

หากคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของวัตถุการสร้างแบบจำลองไม่มีองค์ประกอบแบบสุ่มหรือไม่ได้นำมาพิจารณา เช่น หากสามารถสันนิษฐานได้ว่าในกรณีนี้อิทธิพลสุ่มของสภาพแวดล้อมภายนอก
และพารามิเตอร์ภายในสุ่ม
หายไปจึงเรียกโมเดลว่า กำหนดไว้ในแง่ที่ว่าลักษณะเฉพาะถูกกำหนดโดยอิทธิพลของอินพุตที่กำหนดโดยเฉพาะ

. (6)

เห็นได้ชัดว่าแบบจำลองที่กำหนดขึ้นเป็นกรณีพิเศษของแบบจำลองสุ่ม

แผนการทั่วไปความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ที่นำเสนอแสดงถึงโครงร่างทางคณิตศาสตร์ทั่วไป และทำให้สามารถอธิบายระบบประเภทต่างๆ ได้อย่างกว้างขวาง อย่างไรก็ตามในทางปฏิบัติการสร้างแบบจำลองวัตถุในด้านวิศวกรรมระบบและการวิเคราะห์ระบบในขั้นตอนเริ่มต้นของการวิจัยระบบจะมีเหตุผลมากกว่าที่จะใช้ แผนการทางคณิตศาสตร์ทั่วไป:สมการเชิงอนุพันธ์ ออโตมาตาจำกัดและความน่าจะเป็น ระบบคิว ตาข่ายเพาะเชื้อ ฯลฯ

แผนการทางคณิตศาสตร์ทั่วไปไม่มีระดับทั่วไปเหมือนกับแบบจำลองที่พิจารณา มีข้อดีคือความเรียบง่ายและชัดเจน แต่มีความเป็นไปได้ในการใช้งานที่แคบลงอย่างมาก ในฐานะแบบจำลองที่กำหนดขึ้น เมื่อไม่ได้คำนึงถึงปัจจัยสุ่มในการศึกษา จะใช้สมการเชิงอนุพันธ์ อินทิกรัล อินทิกรอดิฟเฟอเรนเชียล และสมการอื่นๆ เพื่อแสดงระบบที่ทำงานในเวลาต่อเนื่องกัน และใช้โครงร่างผลต่างอันจำกัดเพื่อแทนระบบที่ทำงานในเวลาไม่ต่อเนื่อง เนื่องจากแบบจำลองสุ่ม (โดยคำนึงถึงปัจจัยสุ่ม) ออโตมาตาความน่าจะเป็นจึงถูกนำมาใช้เพื่อเป็นตัวแทนของระบบเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง และระบบการเข้าคิว ฯลฯ ถูกนำมาใช้เพื่อเป็นตัวแทนของระบบเวลาต่อเนื่อง

แบบจำลองรวม (ระบบ) ทำให้สามารถอธิบายวัตถุการวิจัยได้หลากหลาย ซึ่งสะท้อนถึงลักษณะเชิงระบบของวัตถุเหล่านี้ ด้วยคำอธิบายโดยรวมว่าวัตถุที่ซับซ้อน (ระบบ) แบ่งออกเป็นส่วนจำนวนจำกัด (ระบบย่อย) ในขณะที่ยังคงรักษาการเชื่อมต่อที่รับประกันการทำงานร่วมกันของส่วนต่างๆ

โมเดลการกำหนดอย่างต่อเนื่อง (D-SCHEMS)

ให้เราพิจารณาคุณสมบัติของแนวทางกำหนดอย่างต่อเนื่องโดยใช้ตัวอย่างการใช้สมการเชิงอนุพันธ์เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ สมการเชิงอนุพันธ์สมการเหล่านี้เป็นสมการที่ไม่ทราบฟังก์ชันของตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวแปรขึ้นไป และสมการนี้ไม่เพียงแต่รวมถึงฟังก์ชันเท่านั้น แต่ยังรวมถึงอนุพันธ์ของลำดับต่างๆ ด้วย หากค่าที่ไม่ทราบเป็นฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว สมการจะเรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย มิฉะนั้น เมื่อพิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรอิสระเพียงตัวเดียว สมการจะเรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ

ความสัมพันธ์พื้นฐานโดยทั่วไปแล้ว ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ เวลาทำหน้าที่เป็นตัวแปรอิสระที่ขึ้นอยู่กับฟังก์ชันที่ไม่รู้จักที่ไม่รู้จัก ที. จากนั้นความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์สำหรับระบบกำหนด (6) ในรูปแบบทั่วไปจะเป็นดังนี้

, (7)

ที่ไหน
,
และ
- ป- มิติเวกเตอร์;
- ฟังก์ชันเวกเตอร์ที่กำหนดไว้ในบางส่วน ( ป+1)-มิติ
กำหนดและต่อเนื่องกัน

เนื่องจากโครงร่างทางคณิตศาสตร์ประเภทนี้สะท้อนถึงพลวัตของระบบที่กำลังศึกษาอยู่เช่น พฤติกรรมของมันในเวลา พวกเขาถูกเรียกว่า ดี-แผนงาน(ภาษาอังกฤษ) พลวัต).

ในกรณีที่ง่ายที่สุด สมการเชิงอนุพันธ์สามัญจะมีรูปแบบ

. (8)

แอปพลิเคชันที่สำคัญที่สุดสำหรับวิศวกรรมระบบ ดี-แผนงานเป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ในทฤษฎีการควบคุมอัตโนมัติ เพื่ออธิบายคุณลักษณะของการก่อสร้างและการประยุกต์แผน D ให้พิจารณา ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดการทำให้กระบวนการทำงานของระบบพื้นฐานสองระบบที่มีลักษณะทางกายภาพแตกต่างกันอย่างเป็นทางการ: เชิงกล ส ม (การสั่นของลูกตุ้ม รูปที่ 1, a) และไฟฟ้า S K (วงจรออสซิลเลเตอร์, รูปที่ 1, b)

ข้าว. 1. ระบบประถมศึกษา

กระบวนการของการแกว่งเล็กน้อยของลูกตุ้มอธิบายไว้ในสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ

ที่ไหน
- มวลและความยาวของระบบกันสะเทือนของลูกตุ้ม ก - การเร่งความเร็วในการตกอย่างอิสระ
- มุมโก่งของลูกตุ้มในขณะนั้น ที.

จากสมการการแกว่งอิสระของลูกตุ้มนี้ สามารถหาค่าประมาณคุณลักษณะที่น่าสนใจได้ เช่น คาบการแกว่งของลูกตุ้ม

ในทำนองเดียวกัน กระบวนการในวงจรออสซิลเลเตอร์ไฟฟ้าอธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ

ที่ไหน ล ถึง , กับ ถึง - ความเหนี่ยวนำและความจุของตัวเก็บประจุ ถาม(ที) - ค่าตัวเก็บประจุ ณ เวลานั้น ที.

จากสมการนี้เราสามารถหาค่าประมาณต่างๆ ของคุณลักษณะของกระบวนการในวงจรออสซิลเลชันได้ เช่น คาบการสั่นของไฟฟ้า

เห็นได้ชัดว่าโดยการแนะนำสัญกรณ์
,
, ,
, เราได้รับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญของลำดับที่สองที่อธิบายพฤติกรรมของระบบปิดนี้:

ที่ไหน
- พารามิเตอร์ของระบบ z(ที) - สถานะของระบบในขณะนั้น ที.

ดังนั้น พฤติกรรมของวัตถุทั้งสองนี้สามารถศึกษาได้โดยใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ทั่วไป (9) นอกจากนี้ควรสังเกตว่าพฤติกรรมของระบบใดระบบหนึ่งสามารถวิเคราะห์ได้โดยใช้อีกระบบหนึ่ง เช่น พฤติกรรมของลูกตุ้ม (system ส ม) สามารถศึกษาได้โดยใช้วงจรออสซิลเลเตอร์ไฟฟ้า (ระบบ ส เค).

หากระบบกำลังศึกษาอยู่ สเช่น ลูกตุ้มหรือวงจร โต้ตอบกับสภาพแวดล้อมภายนอก อีจากนั้นอิทธิพลของอินพุตจะปรากฏขึ้น เอ็กซ์(ที) (แรงภายนอกสำหรับลูกตุ้มและแหล่งพลังงานสำหรับวงจร) และแบบจำลองที่กำหนดอย่างต่อเนื่องของระบบดังกล่าวจะมีรูปแบบ

จากมุมมองของโครงร่างทั่วไปของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ เอ็กซ์(ที) เป็นการกระทำอินพุต (ควบคุม) และสถานะของระบบ S ในกรณีนี้ถือได้ว่าเป็นคุณลักษณะเอาต์พุต กล่าวคือ สมมติว่าตัวแปรเอาต์พุตเกิดขึ้นพร้อมกันกับสถานะของระบบ ณ จุดเวลาที่กำหนด ย =z.

แอปพลิเคชันที่เป็นไปได้เมื่อแก้ไขปัญหาด้านวิศวกรรมระบบ ปัญหาในการจัดการระบบขนาดใหญ่มีความสำคัญอย่างยิ่ง ให้ความสนใจกับระบบ ควบคุมอัตโนมัติ- อธิบายกรณีพิเศษของระบบไดนามิก ดี-แผนงานและจัดสรรให้กับคลาสโมเดลที่แยกจากกันเนื่องจากความเฉพาะเจาะจงในทางปฏิบัติ

เมื่ออธิบายกระบวนการควบคุมอัตโนมัติ พวกเขามักจะยึดติดกับการแสดงวัตถุจริงในรูปแบบของสองระบบ: การควบคุมและการควบคุม (วัตถุควบคุม) โครงสร้างของระบบควบคุมอัตโนมัติหลายมิติทั่วไปแสดงไว้ในรูปที่ 1 2, ระบุไว้ที่ไหน ตัวแปรภายนอก:
- เวกเตอร์ของอิทธิพลของอินพุต (การตั้งค่า)
- เวกเตอร์ของอิทธิพลที่รบกวน
- เวกเตอร์ของสัญญาณข้อผิดพลาด
- เวกเตอร์ของการดำเนินการควบคุม ตัวแปรภายนอก:
- เวกเตอร์สถานะระบบ S;
- เวกเตอร์ของตัวแปรเอาท์พุต โดยปกติ
=
.

ข้าว. 2. โครงสร้างของระบบควบคุมอัตโนมัติ

ระบบควบคุมที่ทันสมัยคือชุดเครื่องมือซอฟต์แวร์และฮาร์ดแวร์ที่ช่วยให้มั่นใจว่าวัตถุที่ถูกควบคุมจะบรรลุเป้าหมายที่แน่นอน ความแม่นยำของวัตถุควบคุมบรรลุเป้าหมายที่กำหนดสามารถตัดสินได้สำหรับระบบหนึ่งมิติโดยพิกัดของรัฐ ใช่(ที). ความแตกต่างระหว่างที่ได้รับ ที่ ตูด (ที) และถูกต้อง ใช่(ที) กฎแห่งการเปลี่ยนแปลงปริมาณควบคุมถือเป็นข้อผิดพลาดในการควบคุม . หากกฎการเปลี่ยนแปลงที่กำหนดในปริมาณควบคุมสอดคล้องกับกฎแห่งการเปลี่ยนแปลงในอิทธิพลของอินพุต (ชุด) เช่น
, ที่
.

ระบบที่ควบคุมข้อผิดพลาด
ตลอดเวลาเรียกว่าอุดมคติ ในทางปฏิบัติ การนำระบบในอุดมคติไปปฏิบัตินั้นเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นข้อผิดพลาด ชม."(ที) - องค์ประกอบที่จำเป็นของการควบคุมอัตโนมัติตามหลักการลบ ข้อเสนอแนะเนื่องจากเพื่อให้ตรงกับตัวแปรเอาต์พุต ย(ที) ค่าที่ตั้งไว้จะใช้ข้อมูลเกี่ยวกับส่วนเบี่ยงเบนระหว่างค่าเหล่านั้น หน้าที่ของระบบควบคุมอัตโนมัติคือการเปลี่ยนตัวแปร ย(ที) ตามกฎหมายที่กำหนดด้วยความถูกต้องแม่นยำ (มีข้อผิดพลาดที่ยอมรับได้) เมื่อออกแบบและใช้งานระบบควบคุมอัตโนมัติ จำเป็นต้องเลือกพารามิเตอร์ระบบต่อไปนี้ สซึ่งจะให้ความแม่นยำในการควบคุมที่จำเป็น รวมถึงความเสถียรของระบบในกระบวนการชั่วคราว

หากระบบมีเสถียรภาพ พฤติกรรมของระบบในช่วงเวลาหนึ่งซึ่งเป็นค่าเบี่ยงเบนสูงสุดของตัวแปรควบคุมจะเป็นประโยชน์ในทางปฏิบัติ ใช่(ที) ในกระบวนการชั่วคราว เวลาของกระบวนการชั่วคราว เป็นต้น ข้อสรุปเกี่ยวกับคุณสมบัติของระบบควบคุมอัตโนมัติของคลาสต่างๆ สามารถหาได้จากประเภทของสมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายกระบวนการในระบบโดยประมาณ ลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์และค่าสัมประสิทธิ์ถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์คงที่และไดนามิกของระบบ ส.

เลยใช้ ดี-แผนงานช่วยให้คุณสามารถจัดระบบการทำงานของระบบที่กำหนดได้อย่างต่อเนื่องอย่างเป็นทางการ สและประเมินคุณลักษณะหลักโดยใช้วิธีการวิเคราะห์หรือการจำลองซึ่งนำไปใช้ในรูปแบบของภาษาที่เหมาะสมสำหรับการสร้างแบบจำลองระบบต่อเนื่องหรือใช้เครื่องมือคอมพิวเตอร์แอนะล็อกและไฮบริด