Den innledende oversiktsdelen diskuterer to veldig enkle eksempler(hentet fra Shumway, 1988) for å illustrere arten av spektralanalyse og tolkning av resultater. Hvis du ikke er kjent med denne metoden, anbefales det at du ser på denne delen av dette kapittelet først.

Gjennomgang og datafil. Filen Sunspot.sta inneholder en del av de kjente solflekktallene (Wolfer) fra 1749 til 1924 (Anderson, 1971). Nedenfor er en liste over de første få dataene fra eksempelfilen.

Det antas at antall solflekker påvirker været på jorden, samt landbruk, telekommunikasjon mv. Ved å bruke denne analysen kan man prøve å finne ut om solflekkaktivitet er virkelig syklisk i naturen (faktisk er det, disse dataene er mye diskutert i litteraturen; se for eksempel Bloomfield, 1976, eller Shumway, 1988).

Definisjon av analyse. Etter å ha kjørt analysen åpner du Sunspot.sta-datafilen. Klikk på Variables-knappen og velg Spots-variabelen (merk at hvis Sunspot.sta-datafilen er gjeldende åpen fil data, og Spots-variabelen er den eneste variabelen i denne filen, og når dialogboksen Time Series Analysis åpnes, vil Spots bli valgt automatisk). Klikk nå på knappen Fourier (spektral) analyse for å åpne dialogboksen for Fourier (spektral) analyse.

Før du bruker spektralanalyse, plott først antall solflekker. Merk at Sunspot.sta-filen inneholder de tilsvarende årene som observasjonsnavn. For å bruke disse navnene i linjegrafer, klikk på fanen Vis serier og velg Saksnavn i delen Marker punkter. Velg også Angi X-akseskala manuelt og Min. = 1, og trinn = 10. Klikk deretter på Graf-knappen ved siden av Vis valg-knappen. variabel.

Antallet solflekker ser ut til å følge et syklisk mønster. Trenden er ikke synlig, så gå tilbake til vinduet Spektralanalyse og fjern valget Fjern lineær trend i Transform Source Series-gruppen.

Det er åpenbart at gjennomsnittet av serien er større enn 0 (null). La derfor alternativet Trekk middelverdi være valgt [ellers vil periodogrammet være "tilstoppet" med en veldig stor topp ved frekvens 0 (null)].

Nå er du klar til å starte analysen. Klikk nå OK (én-dimensjonal Fourier-analyse) for å vise dialogboksen Fourier Spectral Analysis Results.

Se resultater. Informasjonsdelen øverst i dialogboksen viser noen oppsummeringsstatistikker for serien. Den viser også de fem største toppene i periodogrammet (etter frekvens). De tre største toppene er ved frekvensene 0,0852, 0,0909 og 0,0114. Denne informasjonen er ofte nyttig når du analyserer veldig store serier (for eksempel med mer enn 100 000 observasjoner) som ikke enkelt plottes på en enkelt graf. I dette tilfellet er det imidlertid lett å se periodogramverdiene; ved å klikke på Periodogram-knappen i delen Periodogram and Spectral Density Graphs.

Periodogramgrafen viser to tydelige topper. Maksimum er ved en frekvens på omtrent 0,9. Gå tilbake til vinduet Spektralanalyseresultater og klikk på Sammendrag-knappen for å se alle periodogramverdier (og andre resultater) i resultattabellen. Nedenfor er en del av resultattabellen med den største toppen identifisert fra periodogrammet.

Som diskutert i avsnittet om innledende gjennomgang, er Frekvens antall sykluser per tidsenhet (der hver observasjon er én tidsenhet). Dermed tilsvarer Frekvens 0,0909 verdien av 11 perioder (antall tidsenheter som kreves for en fullstendig syklus). Siden solflekkdataene i Sunspot.sta representerer årlige observasjoner, kan det konkluderes med at det er en tydelig 11-års (kanskje litt lengre enn 11-års) syklus i solflekkaktivitet.

Spektral tetthet. Vanligvis, for å beregne spektraltetthetsestimater, jevnes periodogrammet for å fjerne tilfeldige svingninger. Den veide glidende gjennomsnittstypen og vindusbredden kan velges i delen Spektralvinduer. Den innledende oversiktsdelen diskuterer disse alternativene i detalj. For vårt eksempel, la oss la standardvinduet være valgt (Hamming width 5) og velg Spectral Density-grafen.

De to toppene er nå enda mer distinkte. La oss se på periodogramverdiene etter periode. Velg Periode-feltet i Tidsplan-delen. Velg nå grafen Spectral Density.

Igjen kan man se at det er en uttalt 11-års syklus i solflekkaktivitet; Dessuten er det tegn på at det eksisterer en lengre syklus på omtrent 80-90 år.

FOURIER TRANSFORM OG KLASSISK DIGITAL SPEKTRAL ANALYSE.
Medvedev S.Yu., Ph.D.

Introduksjon

Spektralanalyse er en av signalbehandlingsmetodene som lar deg karakterisere frekvenssammensetningen til det målte signalet. Fourier-transformasjonen er et matematisk rammeverk som relaterer et tidsmessig eller romlig signal (eller en modell av det signalet) til dets frekvensdomenerepresentasjon. Statistiske metoder spiller en viktig rolle i spektralanalyse, siden signaler som regel er tilfeldige eller støyende under forplantning eller måling. Hvis de grunnleggende statistiske egenskapene til et signal var nøyaktig kjent, eller de kunne bestemmes fra et begrenset intervall av dette signalet, ville spektralanalyse representert en gren av "eksakt vitenskap." Imidlertid kan man i virkeligheten bare få et estimat av spekteret fra et signalsegment. Derfor er utøvelse av spektralanalyse et slags håndverk (eller kunst?) av ganske subjektiv karakter. Forskjellen mellom spektralestimatene oppnådd som et resultat av å behandle det samme signalsegmentet ved forskjellige metoder kan forklares med forskjellen i antagelsene som er gjort angående dataene, forskjellige måter gjennomsnitt, etc. Hvis signalkarakteristikkene ikke er kjent på forhånd, er det umulig å si hvilket av estimatene som er bedre.

Fouriertransformasjon - det matematiske grunnlaget for spektralanalyse
La oss kort diskutere forskjellige typer Fourier-transformasjoner (for mer detaljer, se).
La oss starte med Fourier-transformasjonen av et tidskontinuerlig signal

, (1)

som identifiserer frekvensene og amplitudene til de komplekse sinusoidene (eksponentene) som noen vilkårlig oscillasjon dekomponeres i.
Omvendt konvertering

. (2)

Eksistensen av direkte og inverse Fourier-transformasjoner (som vi videre vil kalle den kontinuerlige-tids Fourier-transformasjonen - CTFT) bestemmes av en rekke forhold. Tilstrekkelig - absolutt signalintegrerbarhet

. (3)

En mindre restriktiv tilstrekkelig betingelse er endeligheten til signalenergien

. (4)

La oss presentere en rekke grunnleggende egenskaper ved Fourier-transformasjonen og funksjonene som brukes nedenfor, og merker at et rektangulært vindu er definert av uttrykket

(5)

og sinc-funksjonen er uttrykket

(6)

Tidsdomenesamplingsfunksjonen er gitt av

(7)

Denne funksjonen kalles noen ganger også den periodiske fortsettelsesfunksjonen.

Tabell 1. Hovedegenskaper til NVPF og funksjoner

Eiendom, funksjon	Funksjon	Omdannelse
Linearitet	ag(t) + bh(t)	aG(f) + bH(f)
Tidsforskyvning	h (t - t 0)	H(f)exp(-j2pf t 0)
Frekvensskift (modulasjon)	h (t)exp(j2pf0 t)	H(f - f 0)
Skalering	(1 / |a|)h(t / a)	H(af)
Tidsdomene konvolusjonsteorem	g(t)*h(t)	G(f)H(f)
Frekvensdomene konvolusjonsteorem	g(t) h(t)	G(f)*H(f)
Vindusfunksjon	Aw(t/T)	2ATsinc(2Tf)
Sinc funksjon	2AFsinc(2Ft)	Aw(f/F)
Pulsfunksjon	Annonse(t)
Tellefunksjon	T(f)	FF(f), F=1/T

En annen viktig egenskap er etablert av Parsevals teorem for to funksjoner g(t) og h(t):

. (8)

Hvis vi setter g(t) = h(t), reduseres Parsevals teorem til teoremet for energi

. (9)

Uttrykk (9) er i hovedsak bare en formulering av loven om bevaring av energi i to domener (tid og frekvens). I (9) til venstre er den totale signalenergien, dermed funksjonen

(10)

beskriver frekvensfordelingen av energi for et deterministisk signal h(t) og kalles derfor spektralenergitettheten (SED). Bruke uttrykk

(11)

amplitude- og fasespektrene til signalet h(t) kan beregnes.

Prøvetaking og vekting

I neste avsnitt vil vi introdusere den diskrete-tids Fourier-serien (DTFS) eller på annen måte den diskrete Fourier-transformasjonen (DFT) som et spesialtilfelle av den kontinuerlige Fourier-transformasjonen (CTFT) ved bruk av to grunnleggende signalbehandlingsoperasjoner - å ta prøver ( prøvetaking) Og veiing ved hjelp av et vindu. Her vurderer vi påvirkningen av disse operasjonene på signalet og dets transformasjon. Tabell 2 viser funksjonene som utfører vekting og prøvetaking.

For jevne avlesninger med et intervall på T sekunder er samplingsfrekvensen F lik 1/T Hz. Merk at vektingsfunksjonen og samplingsfunksjonen i tidsdomenet er betegnet henholdsvis TW (tidsvindu) og TS (tidssampling), og i frekvensdomenet - FW (frekvensvindu) og FS (frekvenssampling).

Tabell 2. Vekt- og prøvetakingsfunksjoner

Operasjon	Tidsfunksjon	Omdannelse
Tidsdomenevekting (vindusbredde NT sek)	TW=w(2t / NT - 1)	F(TW)=NTsinc(NTf)exp(-jpNTf)
Frekvensdomenevekting (vindusbredde 1/T Hz)		FW=w(2Tf)
Teller i tid (intervall T sek)	TS=T T(t)
Frekvenssampling (ved 1/NT Hz intervaller)

La oss anta at det tas prøver av et kontinuerlig reelt signal x(t) med et begrenset spektrum, hvis øvre frekvens er lik F0. NVFT til et reelt signal er alltid en symmetrisk funksjon med full bredde på 2F0, se fig. 1.
Prøver av signalet x(t) kan oppnås ved å multiplisere dette signalet med prøvefunksjonen:

(12)

Fig. 1 - illustrasjon av samplingsteoremet i tidsdomenet for et reelt signal med et begrenset spektrum:
a - den opprinnelige tidsfunksjonen og dens Fourier-transformasjon;
b - funksjon av prøver i tid og dens Fourier-transformasjon;
tidsprøver av den opprinnelige funksjonen og dens periodiske fortsatte Fourier-transformasjon for tilfellet med Fo<1/2T;
d - frekvensvindu (ideelt lavpassfilter) og Fourier-transformasjonen (sinc-funksjon);
d - den opprinnelige tidsfunksjonen gjenopprettet gjennom konvolusjonsoperasjonen med sinc-funksjonen.

I henhold til frer FTFT av signal x(t) ganske enkelt konvolusjonen av spekteret til signal x(t) og Fourier-transformasjonen av tidsprøven (TS) funksjonen:

. (13)

Konvolusjonen av X(f) med Fourier-transformasjonen av prøvefunksjonen F (TS)=Y1/T(f) fortsetter ganske enkelt periodisk X(f) med et frekvensintervall på 1/T Hz. Derfor er XS(f) et periodisk utvidet spektrum av X(f). Generelt fører prøver i ett domene (for eksempel tid) til periodisk fortsettelse i transformasjonsdomenet (for eksempel frekvens). Hvis prøvehastigheten er valgt lavt nok (F< 2Fo), то периодически продолженные спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название эффекта наложения в частотной области.
For å gjenopprette det opprinnelige tidssignalet fra dets samples, dvs. for å interpolere et visst kontinuum av verdier mellom disse prøvene, kan du sende de samplede dataene gjennom et ideelt lavpassfilter med en rektangulær frekvensrespons (fig. 1d)

. (14)

Som et resultat (se fig. 1 d), blir den opprinnelige Fourier-transformasjonen gjenopprettet. Ved å bruke konvolusjonsteoremer i tids- og frekvensdomenene får vi

. (15)

Uttrykk (15) er en matematisk notasjon tidsdomene prøvetaking teoremer(teoremet til Whittaker, Kotelnikov, Shannon - UKSH), som sier at ved å bruke interpolasjonsformelen (15) kan et reelt signal med et begrenset spektrum gjenopprettes nøyaktig med uendelig antall kjente tidsprøver tatt med frekvens F = 2F0. Dualen til teorem (15) er teoremet samples i frekvensdomenet for signaler med begrenset varighet.
Operasjoner i tidsdomenet, lik (14), er beskrevet av uttrykket

, (16)

og de tilsvarende transformasjonene er uttrykk

Dermed kan NVPF X(f) til et eller annet signal med begrenset varighet utvetydig gjenopprettes fra ekvidistante prøver av spekteret til et slikt signal hvis det valgte frekvenssamplingsintervallet tilfredsstiller betingelsen F1/2T 0 Hz, hvor T 0 er signalet varighet.

Forhold mellom kontinuerlige og diskrete transformasjoner

Et par transformasjoner for den konvensjonelle definisjonen av N-punkts diskret Fourier-transformasjon (DFT) tidssekvens x[n] og det tilsvarende N-punktet Fourier-transformasjonssekvenser X[k] er gitt av uttrykkene

, (18)
. (19)

For å få spektrale estimater fra dataprøver i de tilsvarende enhetene for energi eller kraft, skriver vi en diskret-tids Fourier-serie (DTFS), som kan betraktes som en tilnærming av den kontinuerlige-tids Fourier-transformasjonen (CTFT), basert på bruk av et begrenset antall dataeksempler:

For å vise arten av samsvar med DVRF ( diskret funksjoner i både tids- og frekvensdomenene) og CVDF-er (kontinuerlige funksjoner i tids- og frekvensdomenene), trenger vi en sekvens av fire lineære kommutative operasjoner: vekting i tids- og frekvensdomenene og prøvetaking eller prøvetaking både i tids- og frekvensdomenene. Hvis en vektoperasjon utføres i en av disse områdene, vil den ifølge konvolusjonsteoremet tilsvare en filtreringsoperasjon (convolution) i en annen region med sinc-funksjonen. Tilsvarende, hvis diskretisering utføres i en region, utføres en periodisk fortsettelsesoperasjon i en annen. Siden veiing og prøvetaking er lineære og kommutative operasjoner, er forskjellige måter å bestille dem på mulig, og gir samme sluttresultat med forskjellige mellomresultater. Figur 2 viser to mulige sekvenser for å utføre disse fire operasjonene.

Ris. 2. To mulige sekvenser av to veieoperasjoner og to prøvetakingsoperasjoner, som forbinder NVPF og DVRF: FW - bruk av et vindu i frekvensdomenet; TW - bruk av et vindu i tidsdomenet; FS - ta prøver i frekvensdomenet; TS - ta prøver i tidsdomenet.
1 - kontinuerlig tid Fourier-transformasjon, ligning (1);
4 - diskret-tids Fourier-transformasjon, ligning (22);
5 - Fourierserier med kontinuerlig tid, ligning (25);
8 - Fourierserier med diskret tid, ligning (27)

Som et resultat av å utføre veie- og prøvetakingsoperasjoner ved nodene 1, 4, 5 og 8, vil fire forskjellige typer Fourier-relasjoner oppstå. Noder som funksjonen er i frekvensdomene er kontinuerlig, referere til transformasjoner Fourier, og nodene der funksjonen er i frekvensdomenet diskret referere til Fourier-serien(for flere detaljer se).
Således, i node 4, genererer vekting i frekvensdomenet og sampling i tidsdomenet diskret tidskonvertering Fouriertransformasjon (FTFT), som er preget av en periodisk spektrumfunksjon i frekvensdomenet med en periode på 1/T Hz:

(22)

(23)

Merk at uttrykk (22) definerer en viss periodisk funksjon som sammenfaller med den opprinnelige transformerte funksjonen spesifisert i node 1 kun i frekvensområdet fra -1/2T til 1/2T Hz. Uttrykk (22) er relatert til Z-transformasjonen av den diskrete sekvensen x[n] ved relasjonen

(24)

Så DVFT er ganske enkelt Z-transformen beregnet på enhetssirkelen og multiplisert med T.
Hvis vi beveger oss fra node 1 til node 8 i fig. 2 langs den nedre grenen, i node 5 genererer operasjonene med vekting i tidsdomenet (begrenser signalvarigheten) og sampling i frekvensdomenet en kontinuerlig-tids Fourier-serie (CFTS). ). Ved å bruke egenskapene og definisjonene av funksjoner gitt i tabell 1 og 2, får vi følgende par transformasjoner
(25)
(26)

Merk at uttrykk (26) definerer en viss periodisk funksjon, som sammenfaller med den opprinnelige (ved node 1) bare i tidsintervallet fra 0 til NT.
Uansett hvilken av de to sekvensene av fire operasjoner som velges, vil sluttresultatet ved node 8 være det samme - diskret-tids Fourier-serie, som tilsvarer følgende par transformasjoner oppnådd ved bruk av egenskapene angitt i tabell 1.

, (27)

hvor k=-N/2, . . . ,N/2-1

, (28)

hvor n=0, . . . ,N-1,
Energiteoremet for denne DVRF er:

, (29)

og karakteriserer energien til en sekvens av N dataprøver. Begge sekvensene x[n] og X[k] er periodisk modulo N, så (28) kan skrives på formen

, (30)

hvor 0 n N. Faktoren T i (27) - (30) er nødvendig slik at (27) og (28) faktisk er en tilnærming av integraltransformasjonen i integrasjonsdomenet

.(31)

Null polstring

Gjennom en prosess kalt utfylling med nuller, kan den diskrete-tids Fourier-serien modifiseres for å interpolere mellom N verdier av den opprinnelige transformasjonen. La de tilgjengelige dataprøvene x,...,x suppleres med nullverdier x[N],...X. DVRF for denne nullpolstrede 2N-punkts datasekvensen vil bli gitt av

(32)

hvor den øvre grensen for summen til høyre er modifisert for å imøtekomme tilstedeværelsen av nulldata. La k=2m, altså

, (33)

hvor m=0,1,...,N-1, definerer jevne verdier av X[k]. Dette viser at for jevne verdier av indeksen k, reduseres 2N-punkts diskret-tids Fourier-serien til en N-punkts diskret-tidsserie. Odd-verdier av indeksen k tilsvarer interpolerte DVRF-verdier plassert mellom verdiene til den opprinnelige N-punkts DVRF. Ettersom flere og flere nuller legges til den opprinnelige N-punktsekvensen, kan enda flere interpolerte data oppnås. I det begrensende tilfellet med et uendelig antall inngangsnuller, kan DVRF betraktes som en diskret-tids Fourier-transformasjon av en N-punkts datasekvens:

. (34)

Transformasjon (34) tilsvarer node 6 i fig. 2.
Det er en misforståelse at null polstring forbedrer oppløsningen fordi den øker lengden på datasekvensen. Imidlertid, som følger fra fig. 3, polstring med nuller blir ikke bedre oppløsning av transformasjonen oppnådd fra en gitt endelig datasekvens. Null polstring gir rett og slett mulighet for en interpolert konvertering mer glatt form. I tillegg eliminerer den usikkerheten forårsaket av tilstedeværelsen av smalbåndssignalkomponenter hvis frekvenser ligger mellom N-punktene som tilsvarer de estimerte frekvensene til den originale DVRF. Ved utfylling med nuller øker også nøyaktigheten av å estimere frekvensen av spektrale topper. Med begrepet spektral oppløsning vil vi mene evnen til å skille mellom spektralresponsene til to harmoniske signaler. En generelt akseptert tommelfingerregel, ofte brukt i spektralanalyse, er at frekvensseparasjonen til utmerkede sinusoider ikke kan være mindre enn tilsvarende vindusbredde, gjennom hvilke segmenter (seksjoner) av disse sinusoidene observeres.

Fig.3. Interpolering ved bruk av nullpolstring:
a - DVRF-modul for 16-punkts dataopptak som inneholder tre sinusoider uten polstring med nuller (usikkerheter er synlige: det er umulig å si hvor mange sinusoider som er i signalet - to, tre eller fire);
b - DVRF-modul i samme sekvens etter å ha doblet antallet prøver på grunn av tillegg av 16 nuller (usikkerhet er løst, siden alle tre sinusoidene kan skilles;
c - DVRF-modul av samme sekvens etter en firedobling i antall prøver på grunn av tillegg av nuller.

Ekvivalent vindusbåndbredde kan defineres som
hvor W(f) er den diskrete-tids Fourier-transformasjonen av vindusfunksjonen, for eksempel rektangulær (5). På samme måte kan du gå inn tilsvarende vindusvarighet

Det kan vises at den ekvivalente varigheten av et vindu (eller et hvilket som helst annet signal) og den ekvivalente båndbredden til transformasjonen er gjensidig inverse størrelser: TeBe=1.

Rask Fourier-transformasjon

Fast Fourier Transform (FFT) er ikke en annen type Fourier-transform, men navnet på en rekke effektive algoritmer, designet for rask beregning av diskret-tids Fourier-serier. Hovedproblemet som oppstår i den praktiske implementeringen av DVRF ligger i det store antallet beregningsoperasjoner proporsjonalt med N2. Selv om det lenge før fremkomsten av datamaskiner ble foreslått flere effektive datasystemer som kunne redusere antallet beregningsoperasjoner betydelig, ble det gjort en reell revolusjon ved publiseringen i 1965 av en artikkel av Cooly og Tukey med en praktisk algoritme for rask (antall operasjoner) Nlog 2 N) beregninger av DVRF . Etter dette ble mange varianter, forbedringer og tillegg til den grunnleggende ideen utviklet, og dannet en klasse av algoritmer kjent som den raske Fourier-transformasjonen. Den grunnleggende ideen til FFT er å dele en N-punkts DVRF i to eller flere mindre DVRF-er, som hver kan beregnes separat og deretter lineært summeres med de andre for å oppnå DVRF for den opprinnelige N-punktssekvensen.
La oss representere den diskrete Fourier-transformasjonen (DFFT) i formen

, (35)

hvor verdien W N =exp(-j2 /N) kalles dreiefaktoren (heretter i dette avsnittet er samplingsperioden T=1). La oss velge elementer med partall og oddetall fra rekkefølgen x[n]

. (36)

Men siden da
. Derfor kan (36) skrives i formen

, (37)

hvor hvert ledd er en transformasjon av lengde N/2

(38)

Merk at sekvensen (WN/2) nk er periodisk i k med periode N/2. Derfor, selv om tallet k i uttrykk (37) tar verdier fra 0 til N-1, beregnes hver av summene for verdier av k fra 0 til N/2-1. Det er mulig å estimere antallet komplekse multiplikasjons- og addisjonsoperasjoner som kreves for å beregne Fourier-transformasjonen i samsvar med algoritme (37)-(38). To N/2-punkts Fourier-transformasjoner i henhold til formlene (38) innebærer å utføre 2(N/2) 2 multiplikasjoner og omtrent like mange addisjoner. Å kombinere to N/2-punkts transformasjoner ved bruk av formel (37) krever ytterligere N multiplikasjoner og N addisjoner. Derfor, for å beregne Fourier-transformasjonen for alle N verdier av k, er det nødvendig å utføre N+N 2/2 multiplikasjoner og addisjoner. Samtidig krever direkte beregning ved bruk av formel (35) N 2 multiplikasjoner og addisjoner. Allerede for N>2 er ulikheten N+N 2 /2 tilfredsstilt< N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям:

, (39)
(40)

I dette tilfellet, på grunn av periodisiteten til sekvensen W nk N/4 i k med periode N/4, må summer (40) bare beregnes for verdier av k fra 0 til N/4-1. Derfor krever beregning av sekvensen X[k] ved bruk av formlene (37), (39) og (40), som det er enkelt å beregne, allerede 2N+N 2 /4 multiplikasjons- og addisjonsoperasjoner.
Ved å følge denne banen kan mengden av beregning X[k] reduseres mer og mer. Etter m=log 2 N utvidelser kommer vi til topunkts Fourier-transformasjoner av formen

(41)

hvor "ettpunktstransformasjonene" X 1 ganske enkelt er eksempler på signalet x[n]:

Xl = x[q]/N, q=0,1,...,N-1. (42)

Som et resultat kan vi skrive FFT-algoritmen, som av åpenbare grunner kalles tidsuttynningsalgoritme :

X 2 = (x[p] + W k 2 x) / N,

hvor k=0,1, p=0,1,...,N/2-1;

X 2N/M =X N/M + W k 2N/M X N/M ,

hvor k=0,1,...,2N/M-1, p=0,1,...,M/2-1;

X[k] = X N [k] =X N/2 + W k N X N/2 , (43)

hvor k=0,1,...,N-1

På hvert trinn av beregningene utføres N komplekse multiplikasjoner og addisjoner. Og siden antall dekomponeringer av den opprinnelige sekvensen i halvlengde undersekvenser er lik log 2 N, så er det totale antallet muli FFT-algoritmen lik Nlog 2 N. For stor N er det en signifikant sparing i beregningsoperasjoner sammenlignet med direkte DFT-beregninger. For eksempel, når N = 2 10 = 1024 reduseres antall operasjoner med 117 ganger.
Den tidsdesimerte FFT-algoritmen vi vurderte er basert på å beregne Fourier-transformasjonen ved å danne undersekvenser av inngangssekvensen x[n]. Det er imidlertid også mulig å bruke en undersekvensdekomponering av Fourier-transformasjonen X[k]. FFT-algoritmen basert på denne prosedyren kalles c frekvens tynning. Du kan lese mer om den raske Fourier-transformasjonen, for eksempel i.

Tilfeldige prosesser og effektspektral tetthet

Diskret tilfeldig prosess x kan betraktes som et visst sett, eller ensemble, av reelle eller komplekse diskrete tidssekvenser (eller romlige) sekvenser, som hver kan observeres som et resultat av et eksperiment (n er tidsindeksen, i er observasjonstallet). Sekvensen oppnådd som et resultat av en av observasjonene vil bli betegnet med x[n]. Operasjonen med å beregne gjennomsnitt over ensemblet (dvs. statistisk gjennomsnitt) vil bli angitt av operatøren<>. Dermed, - gjennomsnittsverdien av den tilfeldige prosessen x[n] på tidspunktet n. Autokorrelasjon tilfeldig prosess på to forskjellige tidspunkter n1 og n2 bestemmes av uttrykket r xx = .

En tilfeldig prosess kalles stasjonær i i vid forstand, hvis gjennomsnittsverdien er konstant (uavhengig av tid), og autokorrelasjon avhenger bare av forskjellen i tidsindekser m=n1-n2 (tidsforskyvning eller forsinkelse mellom sampler). Således er en stort sett stasjonær diskret tilfeldig prosess x[n] karakterisert ved en konstant gjennomsnittsverdi =Og autokorrelasjonssekvens(Automatisk overføring)

r xx [m] =< xx*[n] >. (44)

La oss merke seg følgende egenskaper til automatgiret:

r xx |r xx [m]| , r xx [-m] = r* xx [m], (45)

som gjelder for alle m.
Effektspektraltetthet (PSD) er definert som den diskrete-tids Fourier-transformasjonen (DTFT) av en autokorrelasjonssekvens

. (46)

PSD, hvis bredde antas å være begrenset til ±1/2T Hz, er en periodisk funksjon av frekvens med en periode på 1/T Hz. PSD-funksjonen beskriver frekvensfordelingen av kraften til en tilfeldig prosess. For å bekrefte navnet som er valgt for det, bør du vurdere den omvendte DVFT

(47)

beregnet til m=0

(48)

Autokorrelasjon ved null skift karakteriserer gjennomsnittlig kraft tilfeldig prosess. I følge (48) karakteriserer arealet under kurven P xx (f) gjennomsnittseffekten, så P xx (f) er en tetthetsfunksjon (effekt per enhet frekvens) som karakteriserer frekvensfordelingen av effekt. Paret av transformasjoner (46) og (47) kalles ofte Wiener-Khinchin teorem for diskret tid. Siden r xx [-m]=r* xx [m], så må PSD være en strengt tatt reell positiv funksjon. Hvis ACP er en strengt tatt reell funksjon, kan r xx [-m]=r xx [m] og PSD skrives i form av Fourier cosinustransformasjonen

,

som også betyr at P xx (f) = P xx (-f), dvs. SPM er en jevn funksjon.
Inntil nå, når vi bestemte gjennomsnittsverdien, korrelasjonen og kraftspektraltettheten til en tilfeldig prosess, brukte vi statistisk gjennomsnitt over ensemblet. Imidlertid er det i praksis vanligvis ikke mulig å få et ensemble av implementeringer av den nødvendige prosessen som disse statistiske egenskapene kan beregnes ut fra. Det er tilrådelig å evaluere alle statistiske egenskaper ved å bruke én prøverealisering x(t), og erstatte y ensemble midler tid midler. Egenskapen som gjør at en slik utskifting kan gjøres, kalles ergodisitet. En tilfeldig prosess sies å være ergodisk hvis, med sannsynlighet lik én, alle dens statistiske egenskaper kan forutsies fra én implementering fra ensemblet ved bruk av tidsmidler. Med andre ord, tidsgjennomsnittene for nesten alle mulige implementeringer av prosessen konvergerer med sannsynlighet en til samme konstante verdi - ensemblegjennomsnittet

. (49)

Denne grensen, hvis den eksisterer, konvergerer til det sanne gjennomsnittet hvis og bare hvis tidsvariansen til gjennomsnittet har en tendens til null, noe som betyr at følgende betingelse gjelder:

. (50)

Her er c xx [m] den sanne verdien av kovariansen til prosess x[n].
På samme måte, ved å observere verdien av produktet av prosessprøver x[n] på to tidspunkter, kan man forvente at gjennomsnittsverdien vil være lik

(51)

Ergodisitetsantagelsen tillater oss ikke bare å introdusere, gjennom tidsgjennomsnitt, definisjonene for gjennomsnitt og autokorrelasjon, men også å gi en lignende definisjon for effektspektral tetthet

. (52)

Denne ekvivalente formen for PSD oppnås ved statistisk gjennomsnitt av DVFT-modulen til det vektede datasettet delt på lengden på dataposten, for tilfellet hvor antall samples øker til uendelig. Statistisk gjennomsnitt er nødvendig her fordi DVFT i seg selv er en tilfeldig variabel som endres for hver realisering av x[n]. For å vise at (52) er ekvivalent med Wiener-Khinchin-teoremet, representerer vi kvadratet til DVFT-modulen som et produkt av to serier og endrer rekkefølgen på summerings- og statistiske gjennomsnittsoperasjoner:

(53)

Ved å bruke det kjente uttrykket

, (54)

relasjon (53) kan reduseres til følgende:

(55)

Legg merke til at på det siste stadiet av derivering (55) ble antagelsen brukt om at autokorrelasjonssekvensen "forfaller", slik at

. (56)

Forholdet mellom de to definisjonene av PSD (46) og (52) er tydelig vist av diagrammet presentert i figur 4.
Hvis vi i uttrykk (52) ikke tar hensyn til driften av matematisk forventning, får vi SPM-estimatet

, (57)

som kalles prøvespektrum.

Ris. 4. Sammenheng mellom to metoder for å estimere effektspektral tetthet

Periodogram metode for spektral estimering

Ovenfor introduserte vi to formelle ekvivalente metoder for å bestemme kraftspektraltetthet (PSD). Den indirekte metoden er basert på bruk av en uendelig sekvens av data for å beregne en autokorrelasjonssekvens, hvis Fourier-transformasjon gir ønsket PSD. Den direkte metoden for å bestemme PSD er basert på å beregne kvadratmodulen til Fourier-transformasjonen for en uendelig sekvens av data ved å bruke passende statistisk gjennomsnitt. PSD oppnådd uten slik gjennomsnittsberegning viser seg å være utilfredsstillende, siden rot-middel-kvadratfeilen til et slikt estimat er sammenlignbar med gjennomsnittsverdien. Nå vil vi vurdere gjennomsnittsmetoder som gir jevne og statistisk stabile spektrale estimater over et begrenset antall prøver. SPD-estimater basert på direkte datatransformasjon og påfølgende gjennomsnittsberegning kalles periodogrammer. PSD-estimater, for hvilke korrelasjonsestimater først dannes fra de første dataene, kalles korrelogram. Når du bruker en hvilken som helst PSD-estimeringsmetode, må brukeren ta mange avveiningsbeslutninger for å oppnå statistisk stabile spektrale estimater med høyest mulig oppløsning fra et begrenset antall prøver. Disse avveiningene inkluderer, men er ikke begrenset til, valg av vindu for datavekting og korrelasjonsestimater, og tidsdomene- og frekvensdomene-gjennomsnittsparametere som balanserer kravene for å redusere sidelober på grunn av vekting, utføre effektiv gjennomsnittsberegning, og gir akseptabel spektral oppløsning. I fig. 5 er et diagram som viser hovedtrinnene periodogram metode

Ris. 5. Hovedstadier for å estimere PSD ved hjelp av periodogrammetoden

Anvendelsen av metoden begynner med innsamling av N dataprøver, som tas med et intervall på T sekunder per prøve, etterfulgt (valgfritt) av et avtrekkstrinn. For å oppnå et statistisk stabilt spektralt estimat, må de tilgjengelige dataene deles inn i overlappende (hvis mulig) segmenter og deretter gjennomsnittsberegnes prøvespektrene oppnådd for hvert slikt segment. Parametrene for denne gjennomsnittsberegningen endres ved å velge antall prøver per segment (NSAMP) og antall prøver som begynnelsen av neste segment må forskyves med (NSHIFT), se fig. 6. Antall segmenter velges avhengig av nødvendig grad av glatthet (spredning) av spektralestimatet og den nødvendige spektrale oppløsningen. En liten verdi for NSAMP-parameteren resulterer i flere segmenter som gjennomsnittsberegning vil bli utført over, og derfor vil estimater med mindre varians, men også mindre frekvensoppløsning, oppnås. Økning av segmentlengden (NSAMP-parameter) øker oppløsningen, naturlig nok på grunn av en økning i variansen til estimatet på grunn av et mindre antall gjennomsnitt. Returpilen i fig. 5 indikerer behovet for flere gjentatte passeringer gjennom dataene ved forskjellige lengder og antall segmenter, noe som gjør at vi kan få mer informasjon om prosessen som studeres.

Fig.6. Splitte data i segmenter for å beregne et periodogram

Vindu

En av de viktige problemstillingene som er felles for alle klassiske spektralestimeringsmetoder er relatert til datavekting. Windowing brukes til å kontrollere sidelobeffekter i spektrale estimater. Merk at det er praktisk å betrakte den eksisterende endelige dataposten som en del av den tilsvarende uendelige sekvensen, synlig gjennom det brukte vinduet. Dermed kan sekvensen av observerte data x 0 [n] fra N prøver skrives matematisk som produktet av en uendelig sekvens x[n] og en rektangulær vindusfunksjon

X 0 [n]=x[n] rekt[n].
Dette gjør den åpenbare antagelsen at alle uobserverte prøver er lik null, uavhengig av om dette faktisk er tilfelle. Den tidsdiskrete Fourier-transformasjonen av en vektet sekvens er lik konvolusjonen av transformasjonene av sekvensen x[n] og det rektangulære vinduet rect[n]

X0(f)=X(f)*DN(f), hvor
D N (f)= Texp(-j2pfT)sin(pfTN)/sin(pfT).

Funksjonen D N (f), kalt den diskrete sinc-funksjonen, eller Dirichlet-kjernen, er en DCFT av en rektangulær funksjon. Transformasjonen av en observert endelig sekvens er en forvrengt versjon av transformasjonen av en uendelig sekvens. Effekten av et rektangulært vindu på en tidsdiskret sinusoid med frekvens f 0 er illustrert i fig. 7.

Fig.7. Illustrasjon av diskret-tids Fourier-transformasjonsskjevhet på grunn av lekkasje på grunn av datavekting: a, b - originale og vektede sekvenser; b, d - deres Fourier-transformasjoner.

Det kan sees fra figuren at de skarpe spektraltoppene til DTFT til den uendelige sinusbølgesekvensen utvides på grunn av konvolusjonen med vindustransformasjonen. Således bestemmes minimumsbredden til spektraltoppene til en vindusvektet sekvens av bredden til hovedtransformasjonsloben til det vinduet og er uavhengig av dataene. Sidelapper vindustransformasjoner vil endre amplitudene til tilstøtende spektrale topper (noen ganger kalt gjennomstrømming). Siden DVFT er en periodisk funksjon, kan overlagring av sidelober fra naboperioder føre til ytterligere skjevhet. Økning av samplingsfrekvensen reduserer sidesløyfe-aliasing-effekten. Lignende forvrengninger vil naturlig bli observert ved ikke-sinusformede signaler. Blødning introduserer ikke bare amplitudefeil i spektrene til diskrete signaler, men kan også maskere tilstedeværelsen svake signaler. Det er en rekke andre vindusfunksjoner som kan tilbys som kan redusere sideflis sammenlignet med et rektangulært vindu. Å redusere nivået av sidelober vil redusere skiftet i spektralestimatet, men dette kommer på bekostning av utvidelse av hovedloben til vindusspekteret, noe som naturlig nok fører til en forringelse av oppløsningen. Følgelig må det også her velges et kompromiss mellom bredden på hovedloben og nivået på sidelobene. Flere parametere brukes for å evaluere kvaliteten på vinduer. Den tradisjonelle indikatoren er hovedlobens båndbredde ved halv effekt. Den andre indikatoren er den tilsvarende båndbredden introdusert ovenfor. To indikatorer brukes også for å evaluere egenskapene til sidelappene. Den første er deres maksimale nivå, den andre er forfallshastigheten, som karakteriserer hastigheten som sidelobene avtar med avstanden fra hovedloben. Tabell 3 viser definisjoner av noen vanlig brukte tidsdiskrete vindufunksjoner, og tabell 4 viser deres egenskaper.
Tabell 3. Definisjoner av typiske N-punkts diskret-tidsvinduer Maks. sidesløjfenivå, dB -31,5

. (46)

Korrelogrammetodeå estimere PSD er ganske enkelt å erstatte autokorrelasjonsestimatet i uttrykk (46) en begrenset sekvens av verdier ( korrelogrammer) i stedet for en uendelig sekvens av ukjente sanne autokorrelasjonsverdier. Mer informasjon om korrelogrammetoden for spektralestimering kan finnes i.

Litteratur

1. Rabiner L., Gould B. Teori og anvendelse av digital signalbehandling. M.: Mir, 1978.

2. Marple Jr. S.L. Digital spektralanalyse og dens anvendelser: Transl. fra engelsk -M.: Mir, 1990.

3. Goldberg L.M., Matyushkin B.D., Polyak M.N., Digital behandling signaler - M.: Radio og kommunikasjon, 1990.

4. Otnes R., Enokson L. Anvendt analyse av tidsserier - M.: Mir, 1982.

Spektralanalyse

Spektralanalyse er en bred klasse av databehandlingsmetoder basert på deres frekvensrepresentasjon, eller spektrum. Spekteret oppnås ved å dekomponere den opprinnelige funksjonen, som avhenger av tid (tidsserier) eller romlige koordinater (for eksempel et bilde), til grunnlaget for en periodisk funksjon. Oftest for spektral prosessering brukes Fourier-spekteret oppnådd på grunnlag av sinusgrunnlaget (Fourier-dekomponering, Fourier-transformasjon).

Hovedbetydningen av Fourier-transformasjonen er at den opprinnelige ikke-periodiske funksjonen til en vilkårlig form, som ikke kan beskrives analytisk og derfor er vanskelig å behandle og analysere, er representert som et sett av sinus eller cosinus med forskjellige frekvenser, amplituder og initialer. faser.

Med andre ord, en kompleks funksjon forvandles til mange enklere. Hver sinusbølge (eller cosinusbølge) med en viss frekvens og amplitude, oppnådd som et resultat av Fourier-ekspansjon, kalles spektral komponent eller harmonisk. Spektralkomponentene dannes Fourierspekter.

Visuelt presenteres Fourier-spekteret i form av en graf der den sirkulære frekvensen, betegnet med den greske bokstaven "omega", er plottet langs den horisontale aksen, og amplituden til spektralkomponentene, vanligvis betegnet med den latinske bokstaven A , plottes langs den vertikale aksen. Deretter kan hver spektral komponent representeres som en telling, posisjon som horisontalt tilsvarer dens frekvens, og høyde - dens amplitude. En harmonisk med null frekvens kalles konstant komponent(i temporal representasjon er dette en rett linje).

Selv en enkel visuell analyse av spekteret kan fortelle mye om arten av funksjonen som den ble oppnådd på grunnlag av. Det er intuitivt klart at raske endringer i de initiale dataene gir opphav til komponenter i spekteret med høy frekvens, og langsomme - med lav. Derfor, hvis amplituden til komponentene avtar raskt med økende frekvens, er den opprinnelige funksjonen (for eksempel en tidsserie) jevn, og hvis spekteret inneholder høyfrekvente komponenter med stor amplitude, vil den opprinnelige funksjonen inneholde skarpe svingninger . For en tidsserie kan dette således indikere en stor tilfeldig komponent, ustabilitet i prosessene den beskriver, eller tilstedeværelse av støy i dataene.

Spektralbehandling er basert på spektrummanipulasjon. Faktisk, hvis du reduserer (undertrykker) amplituden til høyfrekvente komponenter, og deretter, basert på det endrede spekteret, gjenoppretter den opprinnelige funksjonen ved å utføre en invers Fourier-transformasjon, vil den bli jevnere på grunn av fjerning av høyfrekvensen komponent.

For en tidsserie betyr dette for eksempel å fjerne informasjon om daglig salg, som er svært utsatt for tilfeldige faktorer, og etterlate mer konsistente trender, for eksempel sesongvariasjoner. Du kan tvert imot undertrykke lavfrekvente komponenter, noe som vil fjerne langsomme endringer og bare etterlate raske. Når det gjelder en tidsserie, vil dette bety undertrykkelse av sesongkomponenten.

Ved å bruke spekteret på denne måten kan du oppnå ønsket endring i de opprinnelige dataene. Den vanligste bruken er å jevne ut tidsserier ved å fjerne eller redusere amplituden til høyfrekvente komponenter i spekteret.

For å manipulere spektre brukes filtre - algoritmer som kan kontrollere formen på spekteret, undertrykke eller forbedre dets komponenter. Hoved eiendom noen filter er dens amplitude-frekvensrespons (AFC), hvis form bestemmer transformasjonen av spekteret.

Hvis et filter bare passerer spektrale komponenter med en frekvens under en viss grensefrekvens, kalles det et lavpassfilter (LPF), og det kan brukes til å jevne ut dataene, fjerne dem for støy og unormale verdier.

Hvis et filter passerer spektrale komponenter over en viss grensefrekvens, kalles det et høypassfilter (HPF). Den kan brukes til å undertrykke langsomme endringer, for eksempel sesongvariasjoner i dataserier.

I tillegg brukes mange andre typer filtre: midtpassfiltre, stoppfiltre og båndpassfiltre, samt mer komplekse, som brukes i signalbehandling i radioelektronikk. Velge type og form frekvensrespons filter, kan du oppnå ønsket transformasjon av de originale dataene gjennom spektral prosessering.

Når du utfører frekvensfiltrering av data for å jevne ut og fjerne støy, er det nødvendig å spesifisere lavpassfilterets båndbredde riktig. Hvis du velger det for høyt, vil utjevningsgraden være utilstrekkelig, og støyen vil ikke bli fullstendig undertrykt. Hvis det er for smalt, så sammen med støy, endringer som bringer nyttig informasjon. Hvis i tekniske applikasjoner Det er strenge kriterier for å bestemme de optimale egenskapene til filtre, så i analytiske teknologier er det nødvendig å bruke hovedsakelig eksperimentelle metoder.

Spektralanalyse er en av de mest effektive og velutviklede databehandlingsmetodene. Frekvensfiltrering er bare en av de mange bruksområdene. I tillegg brukes den i korrelasjon og statistisk analyse, syntese av signaler og funksjoner, bygging av modeller m.m.

Analysemetoden var basert på den såkalte Fourier-serien. Serien begynner med dekomponering av komplekse former til enkle. Fourier viste at en kompleks bølgeform kan representeres som en sum av enkle bølger. Som regel kan ligningene som beskriver klassiske systemer lett løses for hver av disse enkle bølgene. Videre viste Fourier hvordan disse enkle løsninger kan oppsummeres for å få en løsning på hele det komplekse problemet som helhet. (Matematisk sett er Fourier-serien en metode for å representere en funksjon som en sum av harmoniske - sinus og cosinus, og det er grunnen til at Fourier-analyse også ble kjent som "harmonisk analyse".)

I følge Fourier-hypotesen er det ingen funksjon som ikke kan utvides til en trigonometrisk serie. La oss vurdere hvordan denne dekomponeringen kan utføres. Tenk på følgende system med ortonormale funksjoner i intervallet [–π, π]: (1, cos(t),
synd(t),
cos(2t),
synd(2t),
cos(3t),
synd(3t), …,
cos(nt),
synd(nt),...).

Veiledet av det faktum at dette systemet funksjoner er ortonormale, funksjonen f(t) på intervallet [π, –π] kan tilnærmes som følger:

f(t) = α0 + α1
cos(t) + α2
cos(2t) +
α3 cos(3t) + …

... + β1
sin(t) + β2
sin(2t) + β3
sin(3t)+… (6)

Koeffisientene α n, β n beregnes gjennom skalarproduktet til funksjonen og basisfunksjonen i henhold til formlene diskutert tidligere og uttrykkes som følger:

α 0 = , 1> =
,

α n = , cos(nt) > =
,

β n = , sin(nt) > =
.

Uttrykk (6) kan skrives i komprimert form som følger:

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(t) + a 2 cos(2t) + a 3 cos(3t) + …

B 1 sin(t) + b 2 sin(2t) + b 3 sin(3t)+… (7)

a 0 = 2α 0 =
,

og n =
α n =
, (8)

b n=
β n=
. (9)

Siden ved n = 0 cos(0) = 1, uttrykker konstanten a 0 /2 generell form koeffisient a n for n = 0.

Koeffisientene a n og b n kalles Fourier-koeffisienter, og representasjonen av funksjonen f(t) i henhold til formel (7) kalles Fourier-serieutvidelsen. Noen ganger kalles en Fourier-serieutvidelse presentert i denne formen en ekte Fourier-serieutvidelse, og koeffisientene kalles virkelige Fourier-koeffisienter. Begrepet "ekte" er introdusert for å skille denne dekomponeringen fra en kompleks dekomponering.

La oss analysere uttrykk (8) og (9). Koeffisient 0 representerer gjennomsnittsverdien av funksjonen f(t) på segmentet [–π,π] eller den konstante komponenten til signalet f(t). Koeffisientsa n og b n (ved n> 0) er amplitudene til cosinus- og sinuskomponentene til funksjonen (signalet) f(t) med en vinkelfrekvens lik n. Med andre ord spesifiserer disse koeffisientene størrelsen på frekvenskomponentene til signalene. For eksempel, når vi snakker om et lavfrekvent lydsignal (for eksempel lyden av en bassgitar), betyr dette at koeffisientene a n og b n er større for mindre verdier av n, og omvendt - i høy- frekvenslydvibrasjoner (for eksempel lyden av en fiolin) de er større for større verdier på n.

Svingningen til den lengste perioden (eller laveste frekvens), representert ved summen av a 1 cos(t) og b 1 sin(t), kalles oscillasjonen til grunnfrekvensen eller den første harmoniske. En oscillasjon med en periode lik halve perioden til grunnfrekvensen er en andre harmonisk, en oscillasjon med en periode lik 1/n av grunnfrekvensen er en n-harmonisk. Ved å bruke utvidelsen av funksjonen f(t) til en Fourier-serie kan vi altså gjøre overgangen fra tidsdomenet til frekvensdomenet. Denne overgangen er vanligvis nødvendig for å identifisere signalfunksjoner som er "usynlige" i tidsdomenet.

Vær oppmerksom på at formlene (8) og (9) gjelder for et periodisk signal med en periode lik 2π. I det generelle tilfellet kan et periodisk signal med periode T utvides til en Fourier-serie, deretter brukes segmentet [–T/2, T/2] i utvidelsen. Perioden til den første harmoniske er lik T og komponentene har formen cos(2πt/T) og sin(2πt/T), komponentene til n-harmoniske er cos(2πtn/T) og sin(2πtn/T ).

Funksjonen f(t) på intervallet [–T/2,T/2] kan tilnærmes som følger:

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(2πt/T) + a 2 cos(4πt/T) + a 3 cos(6πt/T) + …

B 1 sin(2πt/T) + b 2 sin(4πt/T) + b 3 sin(6πt/T)+…, (10)

a n =
,

b n=
.

Hvis vi betegner vinkelfrekvensen til den første harmoniske som ω 0 = 2π/T, så har de n-harmoniske komponentene formen cos(ω 0 nt), sin(ω 0 nt) og

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(ω 0 t) + a 2 cos(2ω 0 t) + a 3 cos(3ω 0 t) + …

B 1 sin(ω 0 t) + b 2 sin(2ω 0 t) + b 3 sin(3ω 0 t)+…=

=
, (11)

hvor Fourier-koeffisientene beregnes ved å bruke formlene:

a n =
,

b n =
.

Enhver bølge med kompleks form kan representeres som en sum av enkle bølger.

Joseph Fourier var opptatt av å beskrive i matematiske termer hvordan varme passerer gjennom faste gjenstander ( cm. varmeveksling). Hans interesse for varme kan ha blitt vekket mens han var i Nord-Afrika: Fourier fulgte Napoleon på den franske ekspedisjonen til Egypt og bodde der en stund. For å nå målet sitt måtte Fourier utvikle nye matematiske metoder. Resultatene av hans forskning ble publisert i 1822 i arbeidet "Analytical Theory of Heat" ( Théorie analytique de la chaleur), hvor han forklarte hvordan man analyserer komplekse fysiske problemer ved å dele dem ned i en rekke enklere.

Analysemetoden tok utgangspunkt i den såkalte Fourier-serien. I samsvar med interferensprinsippet begynner serien med dekomponeringen av en kompleks form til enkle - for eksempel forklares en endring i jordoverflaten av et jordskjelv, en endring i bane til en komet forklares av påvirkningen av attraksjonen til flere planeter, skyldes en endring i varmestrømmen dens passasje gjennom en uregelmessig formet hindring laget av varmeisolerende materiale. Fourier viste at en kompleks bølgeform kan representeres som en sum av enkle bølger. Som regel kan ligningene som beskriver klassiske systemer lett løses for hver av disse enkle bølgene. Fourier viste deretter hvordan disse enkle løsningene kan oppsummeres for å gi en løsning på hele det komplekse problemet. (Matematisk sett er en Fourier-serie en metode for å representere en funksjon som en sum av harmoniske - sinus- og cosinusbølger, og det er grunnen til at Fourier-analyse også ble kjent som "harmonisk analyse.")

Før fremkomsten av datamaskiner på midten av det tjuende århundre, var Fourier-metoder og lignende metoder beste våpen i det vitenskapelige arsenalet når man angriper naturens kompleksitet. Siden bruken av komplekse Fourier-metoder, har forskere vært i stand til å bruke dem til å løse ikke bare enkle oppgaver, som kan løses ved direkte anvendelse av Newtons lover for mekanikk og andre fundamentale ligninger. Mange av de store prestasjonene til newtonsk vitenskap på 1800-tallet ville faktisk vært umulige uten bruk av metodene Fourier utviklet. Deretter ble disse metodene brukt til å løse problemer på ulike felt - fra astronomi til maskinteknikk.

Jean-Baptiste Joseph FOURIE
Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830

fransk matematiker. Født i Auxerre; i en alder av ni ble han foreldreløs. Allerede i ung alder viste han evner for matematikk. Fourier ble utdannet ved en kirkeskole og en militærskole, og jobbet deretter som matematikklærer. Hele livet var han aktivt engasjert i politikken; ble arrestert i 1794 for å forsvare ofre for terror. Etter Robespierres død ble han løslatt fra fengselet; deltok i opprettelsen av den berømte polytekniske skolen (Ecole Polytechnique) i Paris; hans stilling ga ham et springbrett for avansement under Napoleons regime. Han fulgte Napoleon til Egypt og ble utnevnt til guvernør i Nedre Egypt. Da han kom tilbake til Frankrike i 1801, ble han utnevnt til guvernør i en av provinsene. I 1822 ble han fast sekretær for det franske vitenskapsakademiet, en innflytelsesrik stilling i den franske vitenskapelige verden.