For å bestemme stabilitet er det ikke nødvendig å konstruere en hodograf. For å gjøre dette er det nok å analysere frekvensresponsen og faseresponsen. Derfor er den tredje alternative formuleringen av Nyquist-kriteriet: hvis frekvensresponsen er større enn enhet ved frekvenser der faseresponsen er 0 eller Hvor n € z, da er ikke tilbakemeldingssystemet stabilt, ellers er det stabilt (Figur 3.10).

Ris. 3.9 Frekvensrespons og faserespons for et åpent sløyfesystem med tilbakemelding

4 Passering av tilfeldige signaler gjennom lineære stasjonære kretser

Hovedkarakteristikkene til en tilfeldig prosess er sannsynlighetstettheten for øyeblikkelige signalverdier, korrelasjonsfunksjonen og effektspektraltettheten. Finne sannsynlighetstettheten for øyeblikkelige utgangssignalverdier lineær krets basert på den kjente sannsynlighetstettheten ved inngangen til kretsen og de kjente egenskapene til kretsen, er det en svært vanskelig oppgave. Men hvis inngangssignalet er gaussisk, vil utgangssignalet også alltid være gaussisk. Dette betyr at løsningen av problemet forenkles og reduseres til å finne parametrene til utgangssignalet (matematisk forventning og varians).

Oppgaven med å finne korrelasjonsfunksjonen og effektspektraltettheten til utgangssignalet er mye enklere.

Inverse Fourier-transformasjoner av kraftspektral tetthet i henhold til Wiener-Khinchin-teorien:

– signalkorrelasjonsfunksjon

Inverse Fourier-transformasjoner av kraftforsterkning:

– korrelasjonsfunksjon av impulsresponsen til signalet

Siden produktet av spektrene til to signaler er lik spekteret av konvolusjonen til disse signalene, kan vi skrive:

Det vil si at korrelasjonsfunksjonen til signalet ved utgangen av en lineær krets er lik konvolusjonen av korrelasjonsfunksjonen til signalet ved inngangen til kretsen og korrelasjonsfunksjonen til impulsresponsen til kretsen.

Når man analyserer ulike systemer Interferensen er ofte hvit støy, som har en konstant effektspektral tetthet over hele frekvensområdet:

og korrelasjonsfunksjon

Følgelig er korrelasjonsfunksjonen til utgangssignalet lik autokorrelasjonsfunksjonen til impulsresponsen med koeffisient.

5 Passering av signaler gjennom ikke-lineære kretser

Lineære stasjonære kretser endrer ikke den spektrale sammensetningen av signalet. De viktigste radiotekniske transformasjonene knyttet til endringer i den spektrale sammensetningen av signalet utføres enten ved bruk av ikke-lineære kretser eller lineære kretser med variable parametere.

Studiet av ikke-lineære kretser er en kompleks oppgave som består i å løse ikke-lineære differensialligninger. Analysen av ikke-lineære kretser forenkles hvis det ikke-lineære elementet er treghetsløst, det vil si at responsen på en endring i inngangshandlingen skjer umiddelbart. Strengt tatt er det ingen treghetsfrie elementer (FFE), men i det tilfellet når tidspunktet for endring av inngangssignalet vesentlig overstiger tidspunktet for etablering av prosessen i det ikke-lineære elementet, kan elementet anses som treghetsfritt. I radioteknikk brukes oftest ikke-lineære elementer halvlederenheter(dioder, transistorer). For å beskrive slike enheter brukes strøm-spenningskarakteristikk, som relaterer spenningene som påføres enhetene og strømmene som flyter gjennom enhetene.

Tenk på et lineært treghetssystem med en kjent overføringsfunksjon eller impulsrespons. La inngangen til et slikt system være en stasjonær tilfeldig prosess med gitte egenskaper: sannsynlighetstetthet, korrelasjonsfunksjon eller energispekter. La oss bestemme egenskapene til prosessen ved utgangen av systemet: , og .

Den enkleste måten å finne energispekteret til prosessen er ved utgangen av systemet. Faktisk er individuelle implementeringer av inndataprosessen deterministiske

funksjoner, og Fourier-apparatet kan brukes på dem. La være en avkortet gjennomføring av varighet T tilfeldig prosess ved inngangen, og

Dens spektrale tetthet. Den spektrale tettheten til implementeringen ved utgangen av det lineære systemet vil være lik

Energispekteret til prosessen ved utgangen i henhold til (3.3.3) vil bli bestemt av uttrykket

(3.4.3)

de. vil være lik energispekteret til prosessen ved inngangen, multiplisert med kvadratet av amplitude-frekvenskarakteristikken til systemet, og vil ikke avhenge av fase-frekvenskarakteristikken.

Korrelasjonsfunksjonen til prosessen ved utgangen av det lineære systemet kan defineres som Fourier-transformasjonen av energispekteret:

(3.4.4)

Følgelig, når en tilfeldig stasjonær prosess virker på et lineært system, produserer utgangen også en stasjonær tilfeldig prosess med et energispektrum og en korrelasjonsfunksjon definert av uttrykk (3.4.3) og (3.4.4). Prosesseffekten ved systemutgangen vil være lik

(3.4.5)

Sannsynlighetsfordelingstetthet og numeriske karakteristikker til signalet ved utgangen til en treghetsfri ikke-lineær krets.

Baskakov s. 300 – 302

Passering av tilfeldige signaler gjennom ikke-lineære treghetsfrie kretser.

La oss nå vurdere problemet med passering av en tilfeldig prosess gjennom et ikke-lineært system. I det generelle tilfellet er dette problemet veldig komplekst, men det er sterkt forenklet når det ikke-lineære systemet er treghetsfritt. I treghetsfrie ikke-lineære systemer er verdiene til utgangsprosessen i dette øyeblikket tid bestemmes av verdiene til inndataprosessen på samme tidspunkt. For ikke-lineære treghetsfrie transformasjoner er en enklere oppgave å bestemme utgangsfordelingsfunksjonene i en mye mer kompleks - å bestemme korrelasjonsfunksjonen eller energispekteret.

Som nevnt ovenfor, er den n-dimensjonale fordelingsfunksjonen til en tilfeldig prosess i hovedsak en fordelingsfunksjon av n tilfeldige variabler som representerer verdiene til den tilfeldige prosessen på n forskjellige tidspunkter. Å bestemme distribusjonslovene til funksjonelt transformerte tilfeldige variabler er en relativt enkel oppgave.

La oss vurdere enkleste eksempelet endimensjonal tilfeldig variabel. La være sannsynlighetstettheten til den tilfeldige variabelen ζ, som er gjenstand for en ikke-lineær transformasjon. La oss bestemme sannsynlighetstettheten til den tilfeldige variabelen η. La oss anta at funksjonen er slik at dens inverse funksjon er unik.

Hvis den tilfeldige variabelen ζ er i et tilstrekkelig lite intervall , så på grunn av det unike funksjonelle forholdet mellom ζ og η, vil den tilfeldige variabelen η nødvendigvis være i intervallet , hvor , sannsynlighetene for disse hendelsene må være de samme, dvs. (3.4.13)

hvor finner vi det fra?

(3.4.14)

Den deriverte i det siste uttrykket tas av dens absolutte verdi, siden sannsynlighetstettheten ikke kan være negativ. Hvis den inverse funksjonen er tvetydig, dvs. har flere grener, så for sannsynlighetstettheten ved hjelp av sannsynlighetsaddisjonsteoremet kan man få

(3.4.15)

Merk at for å bestemme de numeriske egenskapene til ikke-lineært transformerte tilfeldige prosesser er det ikke nødvendig å bestemme sannsynlighetstetthetene deres. Faktisk, i det generelle tilfellet, for det første øyeblikket av den kth orden vi har

(3.4.16)

Men ifølge (3.4.13) Og . Derfor kan det siste uttrykket skrives om

(3.4.17)

De resulterende uttrykkene (3.4.14) og (3.4.15) kan enkelt utvides til tilfellet med flere størrelser. Vi presenterer her bare det endelige resultatet for det todimensjonale tilfellet. Hvis tilfeldige variabler har en felles sannsynlighetstetthet, så for tilfeldige variabler

(3.4.18)

når de inverse funksjonene er unike

leddsannsynlighetstettheten vil være gitt av uttrykket

Hvor er størrelsen

kalles transformasjonens Jacobian og representerer forholdet mellom elementære områder når man beveger seg fra ett koordinatsystem til et annet. Hvis , så er likheten sann

Hvor

Spørsmål nr. 23

Diskret pulssekvens, deres spektrum.

Baskakov s. 382-383

Sampling av periodiske signaler. Diskret Fourier Transform (DFT). Gjenopprette det opprinnelige signalet ved hjelp av DFT. Invers diskret Fourier-transformasjon (IDFT).

Baskakov s. 388-392

Spørsmål nr. 24

Prinsipp digital behandling(DC)-signaler basert på diskret Fourier-transformasjon.

Baskakov s. 400-405

Implementering av digitale filtreringsalgoritmer (transversale digitale filtre, rekursive digitale filtre, impulsrespons, utgangssignal)

Digitale filtre avhengig av tilbakemelding Det er rekursive (RF) og ikke-rekursive (NF).

Fordelene med ikke-rekursive filtre fremfor rekursive er som følger:

Ikke-rekursive filtre kan ha en nøyaktig lineær faserespons;

Den iboende støystyrken til NF er som regel mye mindre enn RF;

For NF er det lettere å beregne koeffisienter.

Ulempene med ikke-rekursive filtre sammenlignet med rekursive er som følger:

Rekursive filtre tillater signalbehandling med høyere nøyaktighet, siden de tillater en mer korrekt implementering av impulsresponsen uten å forkaste "halen";

Kretsimplementeringen av RF er mye enklere enn NF;

Rekursive filtre gjør det mulig å implementere algoritmer som ikke kan implementeres i det hele tatt ved bruk av ikke-rekursive filtre.

Impulsrespons et rekursivt filter er uendelig, og et ikke-rekursivt filter er endelig.

Baskakov s. 405-408, 409-411, 413

Spørsmål nr. 25

Konsept for signal-til-støy-forhold, filtrering og optimalt filter.

Signal til støyforhold- dimensjonsløs mengde lik forholdet mellom den nyttige signaleffekten og støyeffekten.

Filtrering er en behandlingsprosess signal frekvensselektive enheter for å endre den spektrale sammensetningen av signalet.

Optimalt lineært filter kalles et frekvensselektivt system som behandler summen av signal og støy på en best mulig måte. Utgangen maksimerer signal-til-støy-forholdet.

Baskakov s. 423-424

Signal-til-støy-forhold ved utgangen av et tilpasset filter.

Baskakov s. 425, 431-432

Egenskaper for et optimalt (matchet) filter for signaler med kjent form (AFC, PFC, IR).

Signal ved utgangen til det tilpassede filteret.

Målet med arbeidet: Tilegne seg primære ferdigheter i å studere de statistiske egenskapene til tilfeldige signaler. Bestem eksperimentelt lovene for distribusjon av tilfeldige signaler ved utgangen av lineære og ikke-lineære radiokretser.

KORT TEORETISK INFORMASJON

1. Klassifisering av radiokretser

Radiokretser som brukes til signalkonvertering er svært forskjellige i sammensetning, struktur og egenskaper. I prosessen med utvikling og analytisk forskning brukes ulike matematiske modeller som tilfredsstiller kravene til tilstrekkelighet og enkelhet. Generelt kan enhver radiokrets beskrives ved et formalisert forhold som bestemmer transformasjonen av inngangssignalet x(t) til utgangen y(t), som symbolsk kan representeres som

y(t) = T,

Hvor T er en operator som definerer regelen som inngangssignalet konverteres etter.

Altså, som matematisk modell en radioteknisk krets kan være en kombinasjon av operatøren T og to sett X=(xi(t)) og Y=(yi(t)) av signaler ved inngangen og utgangen til kretsen slik at

(yJeg(t)) = T(xJeg(t)).

I henhold til typen transformasjon av inngangssignaler til utgangssignaler, det vil si i henhold til typen operatør T, klassifiseres radiotekniske kretser.

En radiokrets er lineær hvis operatøren T er slik at kretsen tilfredsstiller betingelsene for additivitet og homogenitet, det vil si at likhetene er gyldige

T = T : T = c T

Jeg Jeg

Hvor c er en konstant.

Disse forholdene uttrykker essensen av superposisjonsprinsippet, som bare er karakteristisk for lineære kretsløp.

Funksjonen til lineære kretser beskrives ved lineære differensialligninger med konstante koeffisienter. Det er karakteristisk at den lineære transformasjonen av et signal av hvilken som helst form ikke er ledsaget av utseendet til harmoniske komponenter med nye frekvenser i spekteret til utgangssignalet, det vil si at det ikke fører til en berikelse av signalspekteret.

Radiokretsen er Ikke-lineær, hvis operatøren T ikke sikrer oppfyllelsen av betingelsene for additivitet og homogenitet. Funksjonen til slike kretser er beskrevet av ikke-lineære differensialligninger.

Strukturelt sett inneholder lineære kretser bare lineære enheter (forsterkere, filtre, lange linjer, etc.). Ikke-lineære kretser inneholder en eller flere ikke-lineære enheter (generatorer, detektorer, multiplikatorer, begrensere, etc.)

Basert på arten av tidsavhengigheten til utgangssignalet på inngangssignalet, skilles treghets- og treghetsløse radiokretser.

En radiokrets, verdien av utgangssignalet y(t) i øyeblikket t=t0 avhenger ikke bare av verdien til inngangssignalet x(t) på dette tidspunktet, men også av verdiene til x( t) i tidspunktene som går foran øyeblikket t0 kalles Treghet kjede. Hvis verdien av utgangssignalet y(t) og øyeblikket t=t0 er fullstendig bestemt av verdien x(t) samtidig t0, kalles en slik krets Treghetsløs.

2. Transformasjon av tilfeldige prosesser i lineære kretsløp

Problemet med å transformere tilfeldige prosesser i lineære radiokretser i det generelle tilfellet vurderes i følgende formulering. La en tilfeldig prosess x(t) med gitte statistiske egenskaper komme til inngangen til en lineær krets med frekvensrespons K(jw). Det er nødvendig å bestemme de statistiske egenskapene til den tilfeldige prosessen y(t) ved utgangen av kretsen. Avhengig av de analyserte egenskapene til tilfeldige prosesser x(t) og y(t), vurderes to varianter av det generelle problemet:

1. Bestemmelse av energispekteret og korrelasjonsfunksjonen til en tilfeldig prosess ved utgangen av en lineær krets.

2. Bestemmelse av lovene for sannsynlighetsfordeling av en tilfeldig prosess ved utgangen av en lineær kjede.

Den enkleste er den første oppgaven. Dens løsning i frekvensdomenet er basert på det faktum at energispekteret til en tilfeldig prosess ved utgangen av en lineær krets Wy(w) i en stasjonær modus er lik energispekteret til inngangsprosessen Wx(w) multiplisert med kvadratet på modulen til frekvenskarakteristikken til kretsen, det vil si

Wy(W)= Wx(W) ∙│ K(Jw)│ EN (1)

Det er kjent at energispekteret Wx(w) til en tilfeldig prosess x(t) med matematisk forventning mx=0 er assosiert med dens kovariansfunksjon Bx(t) ved Fourier-transformasjoner, dvs.

Wx(W)= IX(T) E— JWTDT

IX(T)= Wx(W) EjWTDW.

Følgelig kan kovariansfunksjonen Вy(t) til en tilfeldig prosess ved utgangen av en lineær kjede bestemmes som følger:

IY(T)= Wy(W) EjWTDW= Wx(W))│ K(Jw)│ EN EjWTDW

Ry(T)=BY(T)+ Mya.

I dette tilfellet er variansen Dy og den matematiske forventningen my til den tilfeldige utdataprosessen like

Dy= Ry(0)= Bx(w)) │K(jw)│adw

Min= Mx∙ K(0) .

Der mx er den matematiske forventningen til den tilfeldige inndataprosessen:

K(0) - overføringskoeffisient for en lineær krets iht DC, det er

K(0)= K(Jw)/ W=0

Formler (1,2,3,4) er i hovedsak komplett løsning tildelt oppgave i frekvensdomenet.

En metode for å løse det andre problemet, som vil tillate en direkte å finne sannsynlighetstettheten til prosessen y(t) ved utgangen av en lineær treghetskrets fra en gitt sannsynlighetstetthet av prosessen x(t) ved inngangen, i generelt syn eksisterer ikke. Problemet løses kun for noen spesielle tilfeller og for tilfeldige prosesser med en Gaussisk (normal) distribusjonslov, samt Markov tilfeldige prosesser.

I forhold til prosessen med normalfordeling er løsningen forenklet ut fra at når lineær transformasjon En slik prosess endrer ikke fordelingsloven. Siden en normal prosess er fullstendig bestemt av den matematiske forventningen og korrelasjonsfunksjonen, er det nok å beregne dens matematiske forventning og korrelasjonsfunksjonen for å finne sannsynlighetstettheten til prosessen.

Loven om sannsynlighetsfordeling av signalet ved utgangen av en lineær treghetsfri krets faller i funksjonell forstand sammen med loven for distribusjon av inngangssignalet. Bare noen av parameterne endres. Således, hvis en lineær treghetsfri krets implementerer en funksjonell transformasjon av formen y(t) = a x(t) + b, hvor a og b er konstante koeffisienter, vil sannsynlighetstettheten p(y) for en tilfeldig prosess ved utgangen av kjeden bestemmes av den velkjente funksjonelle transformasjonsformelen tilfeldige prosesser

P(Y)= =

Hvor p(x) er sannsynlighetstettheten til den tilfeldige prosessen x(t) ved inngangen til kretsen.

I noen tilfeller kan problemet med å bestemme de sannsynlige egenskapene til en tilfeldig prosess ved utgangen av treghetskretser tilnærmet løses ved å bruke effekten av normalisering av en tilfeldig prosess av treghetssystemer. Hvis en ikke-gaussisk prosess x(t1) med et korrelasjonsintervall tk virker på en treghetslineær kjede med en tidskonstant t»tk (i dette tilfellet er bredden på energispekteret til den tilfeldige prosessen x(t) større enn båndbredden til kjeden), så nærmer prosessen y(t) ved utgangen av en slik kjede Gaussisk når t/tk-forholdet øker. Dette resultatet kalles den tilfeldige prosessnormaliseringseffekten. Normaliseringseffekten er mer uttalt jo smalere kretsbåndbredden er.

3. Transformasjon av tilfeldige prosesser i ikke-lineære kretsløp

Ikke-lineære treghetstransformasjoner vurderes i løpet av analysen av ikke-lineære kretser, hvis treghet under gitte påvirkninger ikke kan neglisjeres. Oppførselen til slike kretser er beskrevet av ikke-lineære differensialligninger, de generelle metodene for å løse som ikke eksisterer. Derfor løses problemer knyttet til studiet av ikke-lineære treghetstransformasjoner av tilfeldige prosesser nesten alltid tilnærmet ved bruk av forskjellige kunstige teknikker.

En av disse teknikkene er å representere en ikke-lineær treghetskjede ved en kombinasjon av lineære treghetskjeder og ikke-lineære treghetsløse kjeder. Problemet med å studere virkningen av tilfeldige prosesser på en lineær kjede ble vurdert ovenfor. Det ble vist at i dette tilfellet er det ganske enkelt å bestemme spektraltettheten (eller korrelasjonsfunksjonen) til utgangssignalet, men vanskelig å bestemme distribusjonsloven. I ikke-lineære treghetsfrie kretser er hovedvanskeligheten å finne korrelasjonsfunksjonen. Imidlertid er det ingen generelle metoder for å analysere virkningen av tilfeldige signaler på ikke-lineære kretser. De er begrenset til å løse noen spesielle problemer av praktisk interesse.

3.1. Statistiske kjennetegn ved en tilfeldig prosess ved utgangen av ikke-lineære kretser

La oss vurdere transformasjonen av en tilfeldig prosess med en endimensjonal sannsynlighetstetthet av en ikke-lineær treghetsfri kjede med karakteristikken

Y= f(x).

Det er åpenbart at enhver realisering av en tilfeldig prosess x(t) transformeres til den tilsvarende realiseringen av en ny tilfeldig prosess y(t), dvs.

y(t)=F[ X(T)] .

A. Bestemmelse av fordelingsloven for den tilfeldige prosessen y(t)

La sannsynlighetstettheten p(x) for den tilfeldige prosessen x(t) være kjent. Det er nødvendig å bestemme sannsynlighetstettheten p(y) for den tilfeldige prosessen y(t). La oss vurdere tre typiske tilfeller.

1. Funksjonen y= f(x) til en ikke-lineær kjede bestemmer en en-til-en korrespondanse mellom x(t) og y(t). Vi tror at det er en invers funksjon x = j(y), som også bestemmer en en-til-en-korrespondanse mellom y(t) og x(t). I dette tilfellet er sannsynligheten for å finne en realisering av en tilfeldig prosess x(t) i intervallet (x0, x0+dx) lik sannsynligheten for å finne en realisering av en tilfeldig prosess y(t)=f i intervallet (y0, y0+dу) med y0= f(x0) og y0+dy= f(x0+dx), dvs.

P(X) Dx= P(Y) Dy

Derfor,

P(Y)= .

Den deriverte er tatt i absolutt verdi fordi sannsynlighetstettheten p(y) > 0, mens den deriverte kan være negativ.

2. Den inverse funksjonen x = j(y) er tvetydig, det vil si at én verdi av y tilsvarer flere verdier av x. La for eksempel verdien y1=y0 tilsvare verdiene x= x1, x2,...,xn.

Så fra det faktum at y0≤ y(t)≤ y0+dy, følger en av n gjensidig uforenlige muligheter

X1 ≤ X(T)≤ X1 + Dx, eller X2 ≤ X(T)≤ X2 + Dx, eller … Xn≤ X(T)≤ Xn+ Dx.

Ved å bruke regelen om å legge til sannsynligheter får vi

P(Y)= + +…+ .

/ X= X1 / X= X2 / X= Xn

3, Karakteristikk for et ikke-lineært element y= f(x) har ett eller flere horisontale snitt (snitt hvor y= konst.). Så uttrykket

P(Y)=

Det bør suppleres med et ledd som tar hensyn til sannsynligheten for at y(t) er i intervallet hvor y = konst.

Den enkleste måten å vurdere denne saken på er med et eksempel.

La funksjonen y= f(x) ha formen vist i fig. 1 og formelen

Ris. 1 Virkningen av en tilfeldig prosess på en toveisbegrenser.

Ved x(t)<а выходной сигнал y(t)=0, Это значит, что вероятность принятия случайным процессом y(t) нулевого значения равна

P1= P= P= P(x)dx,

Og sannsynlighetstettheten

P1(y) = P1∙δ(y).

Ved å argumentere på samme måte for tilfellet x(t)> b, får vi

Pa= P= P= P(x)dx,

pa(Y) = Pa∙ δ (Y— C).

/ Y= C

For tilfellet a≤ x≤ b er formelen gyldig

Pa(Y) =

/0≤ Y≤ C

Generelt bestemmes sannsynlighetstettheten til utgangsprosessen av uttrykket

P(Y)= P1 ∙ δ (Y)+ Pa∙ δ (Y— C)+ .

Merk at for å få det endelige uttrykket, er det nødvendig å transformere de funksjonelle avhengighetene p(x) og dy/dx, som er funksjoner av x, til funksjoner av y, ved å bruke den inverse funksjonen x = j(y). Dermed er problemet med å bestemme distribusjonstettheten til en tilfeldig prosess ved utgangen av en ikke-lineær treghet-fri krets løst analytisk for ganske enkle karakteristikker y = f(x).

B. Bestemmelse av energispekteret og korrelasjonsfunksjonen til den tilfeldige prosessen y(t)

Det er ikke mulig å direkte bestemme energispekteret til en tilfeldig prosess ved utgangen til en ikke-lineær krets. Det er bare én metode - å bestemme korrelasjonsfunksjonen til signalet ved utgangen av kretsen og deretter bruke den direkte Fourier-transformasjonen for å bestemme spekteret.

Hvis en stasjonær tilfeldig prosess x(t) kommer til inngangen til en ikke-lineær treghetsfri krets, kan korrelasjonsfunksjonen til den tilfeldige prosessen y(t) ved utgangen representeres som

Ry(T)= Av(T)- Min2 ,

Hvor By(t) er kovariansfunksjonen;

min er den matematiske forventningen til den tilfeldige prosessen y(t). Kovariansfunksjonen til en tilfeldig prosess er det statistisk gjennomsnittlige produktet av verdiene til den tilfeldige prosessen y(t) i øyeblikkene t og t+t, dvs.

Av(T)= M[ Y(T)∙ Y(T+ T)].

For implementeringer av den tilfeldige prosessen y(t), er produktet y(t)∙y(t+t) et tall. For en prosess som et sett med implementeringer, danner dette produktet en tilfeldig variabel, fordelingen av denne er karakterisert ved en todimensjonal sannsynlighetstetthet p2 (y1, y2, t), hvor y1= y(t), ya= y( t+t). Merk at i den siste formelen vises ikke variabelen t, siden prosessen er stasjonær - resultatet avhenger ikke av t.

For en gitt funksjon р2 (у1, у2, t), utføres operasjonen med gjennomsnittsberegning over et sett i henhold til formelen

Av(T)=У1∙у2∙р2 (у1, у2,T) Dy1 Dy2 = F(X1 )∙ F(X2 )∙ P(X1 , X2 , T) Dx1 Dx2 .

Den matematiske forventningen min er gitt av følgende uttrykk:

Min= Y∙ P(Y) Dy.

Tar vi i betraktning at p(y)dy = p(x)dx, får vi

Min= F(X)∙ P(X) Dx.

Energispekteret til utgangssignalet, i samsvar med Wiener-Khinchin-teoremet, finnes som en direkte Fourier-transformasjon av kovariansfunksjonen, dvs.

Wy(W)= Av(T) E— JWTDT

Praktisk bruk denne metoden vanskelig, siden dobbeltintegralet for By(t) ikke alltid kan beregnes. Det er nødvendig å bruke ulike forenklingsmetoder knyttet til spesifikasjonene til problemet som skal løses.

3.2. Påvirkning av smalbåndsstøy på en amplitudedetektor

I statistisk radioteknikk skilles det mellom bredbånds- og smalbånds tilfeldige prosesser.

La ∆ fe være bredden av energispekteret til den tilfeldige prosessen, bestemt av formelen (fig. 2.)

Ris. 2. Bredde på energispekteret til en tilfeldig prosess

Smalt bånd en tilfeldig prosess er en prosess der ∆fе «f0, hvor f0 er frekvensen som tilsvarer maksimum av energispekteret. En tilfeldig prosess hvis energispekterbredde ikke tilfredsstiller denne betingelsen er Bredbånd.

En smalbåndet tilfeldig prosess er vanligvis representert som en høyfrekvent oscillasjon med sakte varierende (sammenlignet med oscillasjonen ved frekvens f0) amplitude og fase, dvs.

X(t)= A(t)∙cos,

Der A(t) = √x2(t) + z2(t) ,

J(t) = arktan,

z(t) er den Hilbert-konjugerte funksjonen til den opprinnelige funksjonen x(t), da

z(t)= —DT

Alle parametere for denne oscillasjonen (amplitude, frekvens og fase) er tilfeldige funksjoner av tid.

Amplitudedetektor, som er integrert del Mottaksbanen er en kombinasjon av et ikke-lineært treghetsfritt element (for eksempel en diode) og en treghetslineær krets (lavpassfilter). Spenningen ved detektorutgangen reproduserer amplitudeomhyllingen til den høyfrekvente oscillasjonen ved inngangen.

La et smalbåndet tilfeldig signal komme til inngangen til amplitudedetektoren (for eksempel fra utgangen til forsterkeren, som har en smal båndbredde i forhold til mellomfrekvensen), som har egenskapene til en ergodisk tilfeldig prosess med en normal distribusjonsloven. Det er klart at signalet ved utgangen til detektoren vil være omhyllingen til det tilfeldige inngangssignalet, som også er en tilfeldig funksjon av tiden. Det er bevist at denne konvolutten, det vil si konvolutten til en smalbåndet tilfeldig prosess, er preget av en sannsynlighetstetthet kalt Rayleigh-fordelingen og har formen:

Hvor A er konvoluttverdiene;

Sx2 er spredningen av det tilfeldige signalet ved detektorinngangen.

Rayleigh-fordelingsplottet er vist i fig. 3.

Fig.3. Rayleigh distribusjonslovgraf

Funksjonen p(A) har en maksimal verdi lik

Når A = sx. Dette betyr at verdien av A = sx og er den mest sannsynlige verdien av konvolutten.

Matematisk forventning om konvolutten til en tilfeldig prosess

M.A.= = =

Dermed er konvolutten til en smalbåndet tilfeldig prosess med en normal distribusjonslov en tilfeldig funksjon av tid, hvis distribusjonstetthet er beskrevet av Rayleighs lov.

3.3. Loven om distribusjon av konvolutten av summen av et harmonisk signal og smalbåndet tilfeldig støy

Problemet med å bestemme loven for distribusjon av konvolutten av summen av et harmonisk signal og smalbånds tilfeldig støy oppstår når man analyserer prosessen med lineær deteksjon i radar- og kommunikasjonssystemer som opererer under forhold der indre eller ekstern støy er sammenlignbar i nivå med det nyttige signalet.

La mottakerinngangen motta summen av et harmonisk signal a(t)=E∙cos(wt) og smalbåndsstøy x(t)=A(t)∙cos med en normalfordelingslov. Den totale oscillasjonen i dette tilfellet kan skrives

N(T) = S(T)+ X(T)= E∙coS(Wt)+ EN(T)∙ Cos[ Wt+ J(T)]=

=[E+EN(T)∙ Cos(J(T))]∙såS(Wt)- EN(T)∙ Synd(J(T))∙ Synd(Wt)= U(T)∙ Cos[ Wt+ J(T)],

Hvor U(t) og j(t) er omhyllingen og fasen til det totale signalet, bestemt av uttrykkene

U(T)= ;

J(T)= Arctg

Når den totale oscillasjonen u(t) virker på amplitudedetektoren, dannes en omhylling ved utgangen til sistnevnte. Sannsynlighetstettheten p(U) for denne konvolutten bestemmes av formelen

P(U)= (5)

Hvor sxa er støyvariansen x(t);

I0 - Bessel-funksjon av null orden (modifisert).

Sannsynlighetstettheten bestemt av denne formelen kalles den generaliserte Rayleigh-loven, eller Rices lov. Grafer for funksjonen p(U) for flere verdier av signal/støyforholdet E/sx er vist i fig. 4.

I fravær av et nyttig signal, det vil si når E/sx=0, har uttrykk (5) formen

P(U)=

Det vil si at konvolutten til det resulterende signalet er fordelt i dette tilfellet i henhold til Rayleighs lov.

Fig.4. Grafer over den generaliserte Rayleigh-distribusjonsloven

Hvis amplituden til det nyttige signalet overstiger rot-middel-kvadrat-støynivået, det vil si E/sx»1, kan du for U≃E bruke den asymptotiske representasjonen av Bessel-funksjonen med et stort argument, dvs.

≃≃.

Ved å erstatte dette uttrykket med (5), har vi

P(U)= ,

Det vil si at innhyllingen til det resulterende signalet er beskrevet av en normalfordelingslov med spredning sx2 og matematisk forventning E. I praksis antas det at allerede ved E/sx = 3 er innhyllingen til det resulterende signalet normalisert.

4. Eksperimentell bestemmelse av lovene for distribusjon av tilfeldige prosesser

En av metodene for eksperimentelt å bestemme fordelingsfunksjonen til en tilfeldig prosess x(t) er en metode basert på bruk av en tilfeldig hjelpefunksjon z(t) av formen

Hvor x er verdien av funksjonen x(t), som z(t) beregnes for.

Som følger av det semantiske innholdet i funksjonen z(t), bestemmes dens statistiske parametere av parametrene til den tilfeldige prosessen x(t), siden endringer i verdiene til z(t) oppstår i øyeblikkene når den tilfeldige prosess x(t) krysser nivå x. Følgelig, hvis x(t) er en ergodisk tilfeldig prosess med en fordelingsfunksjon F(x), så vil funksjonen z(t) også beskrive en ergodisk tilfeldig prosess med samme distribusjonsfunksjon.

Figur 5 viser implementeringer av tilfeldige prosesser x(t) og z(t), som illustrerer åpenheten av sammenhengen

P[ Z(T)=1]= P[ X(T)< X]= F(X);

P[ Z(T)=0]= P[ X(T)≥ X]= 1- F(X).

Fig.5 Realiseringer av tilfeldige prosesser x(t), z(t), z1(t)

Den matematiske forventningen (statistisk gjennomsnitt) til funksjonen z(t), som har to diskrete verdier, bestemmes i samsvar med formelen (se tabell 1)

M[ Z(T)]=1∙ P[ Z(T)=1]+0 ∙ P[ Z(T)=0]= F(X).

På den annen side, for en ergodisk tilfeldig prosess

Dermed,

Analyserer dette uttrykket, kan vi konkludere med at en enhet for å måle fordelingsfunksjonen til en ergodisk tilfeldig prosess x(t) må inneholde en nivådiskriminator for å oppnå en tilfeldig prosess beskrevet av funksjonen z(t) i samsvar med uttrykk (6), og en integrerende prosess. enhet laget for eksempel i form av et lavpassfilter.

Metoden for eksperimentelt å bestemme distribusjonstettheten til en tilfeldig prosess x(t) er i hovedsak lik den som er diskutert ovenfor. I dette tilfellet brukes en tilfeldig hjelpefunksjon z1(t) av skjemaet

Den matematiske forventningen til funksjonen z1(t), som har to diskrete verdier (fig. 5), er lik

M[ Z1 (T)]=1∙ P[ Z1 (T)=1]+0 ∙ P[ Z1 (T)=0]= P[ X< X(T)< X+∆ X].

Ta i betraktning ergodisiteten til den tilfeldige prosessen beskrevet av funksjonen z1(t), kan vi skrive

Dermed,

Det er kjent at

P(X≤ X(T)< X+∆ X) ≃ P(X)∙∆ X.

Derfor,

Anordningen for måling av distribusjonstettheten til en ergodisk tilfeldig prosess x(t) har således samme struktur og sammensetning som anordningen for måling av fordelingsfunksjonen.

Målenøyaktigheten til F(x) og p(x) avhenger av varigheten av observasjonsintervallet og kvaliteten på integrasjonsoperasjonen. Det er helt åpenbart at vi under reelle forhold får Vurderinger distribusjonslover, siden gjennomsnittstiden (integrasjon) er begrenset. Gå tilbake til uttrykk (6) og fig. 5. merk at

Z(T) Dt= ∆ T1 ,

Hvor ∆ t1 er det 1. tidsintervallet når funksjonen x(t) er under nivå x, det vil si tidsintervallet når funksjonen z(t)=l.

Gyldigheten til denne formelen bestemmes av den geometriske betydningen av et visst integral (arealet av figuren begrenset av funksjonen z(t) og segmentet (0,T) av tidsaksen).

Dermed kan vi skrive

Det vil si at fordelingsfunksjonen til en tilfeldig prosess x(t) er lik den relative oppholdstiden for prosessimplementeringen i intervallet -¥< x(t) < х.

Argumenterer på samme måte, kan vi få

Hvor ∆ t1 er det første tidsintervallet til funksjonen x(t) som er innenfor (x, x+∆x).

I den praktiske implementeringen av den betraktede metoden for eksperimentell bestemmelse av distribusjonslovene til en tilfeldig prosess, analyseres et tilfeldig signal x(t) innenfor området for endringer i dets øyeblikkelige verdier fra xmin til xmax (fig. 6). Innenfor disse grensene er hovedsettet (i sannsynlig forstand) av øyeblikkelige verdier for prosessen x(t) konsentrert.

Verdiene for xmin og xmax velges basert på den nødvendige målenøyaktigheten til distribusjonslovene. I dette tilfellet vil trunkerte fordelinger bli undersøkt slik at

F(Xmin)+<<1.

Hele området (xmin, xmax) av x(t)-verdier er delt inn i N like intervaller ∆x, dvs.

XMaks— Xmin= N∙∆ X.

Ris. 6. Fordelingsfunksjon (a), sannsynlighetstetthet (b) og implementering (c) av en tilfeldig prosess x(t)

Intervaller spesifiserer bredden på differensialkorridorene der målingene utføres. Sannsynlighetsestimatet bestemmes

Pi* ≃ P[ Xi-∆ X/2≤ X(T)< Xi-∆ X/2]

Oppholdet av realiseringen x(t) innenfor differensialkorridoren med gjennomsnittsverdien av x(t) innenfor den lik xi. Estimatet Pi* bestemmes ved å måle den relative oppholdstiden for implementeringen x(t) i hver av differensialkorridorene, dvs.

Pi*=1/T Zi(t)dt= ,

I= 1,…,N.

Vurderer

Pi* ≃ P1 = P(X) Dx,

Du kan bestemme fordelingstetthetsestimater i hver av differensialkorridorene

Pi* (X)= Pi*/∆ X.

Ved å bruke de oppnådde resultatene, det vil si verdiene til pi*(x), xi, ∆x, konstrueres en trinnkurve p*(x), som kalles d(se fig. 7).

Fig.7. Distribusjonstetthet histogram

Arealet under hvert fragment av histogrammet innenfor ∆x er numerisk lik arealet som okkuperes av den sanne distribusjonskurven p(x) i et gitt intervall.

Antall N differensialkorridorer bør være innenfor 10...20. En ytterligere økning i antallet fører ikke til en mer nøyaktig lov p(x), siden med økende N avtar verdien av intervallet ∆x, noe som forverrer betingelsene for nøyaktig måling av ∆ti.

Resultatene som er oppnådd tillater oss å beregne estimater av den matematiske forventningen og variansen til den tilfeldige prosessen x(t)

Mx* = Xi∙ Pi* ; Dx* = (Xi— Mx* )2∙ Pi* .

Ved beregning Mx* Og Dx* Disse formlene tar i betraktning at hvis verdien av realiseringen av den tilfeldige prosessen x(t) faller inn i den første differensialkorridoren, blir den tildelt verdien og (midten av differensialkorridoren).

Den vurderte metoden for å bestemme distribusjonslovene til tilfeldige prosesser danner grunnlaget for driften av den statistiske analysatoren som brukes i dette laboratoriearbeidet.

BESKRIVELSE AV LABORATORIEINSTALLASJONEN

Studiet av lovene for distribusjon av tilfeldige signaler utføres ved hjelp av et laboratorieoppsett, som inkluderer en laboratoriemodell, en statistisk analysator og et S1-72 oscilloskop (fig. 8).

Fig.8. Laboratorieoppsettdiagram

Laboratoriemodellen genererer og transformerer tilfeldige signaler, gir deres statistiske analyse, konstruerer histogrammer av distribusjonslover og viser grafisk disse lovene på indikatoren til en statistisk analysator. Den inneholder følgende funksjonelle enheter:

EN. Blokk av signalgeneratorer. Genererer fire forskjellige tilfeldige signaler.

— Signal x1(t)= A∙sin er en harmonisk oscillasjon med en tilfeldig startfase, hvis distribusjonslov Uniform i intervallet 0

P(J)= 1/2 P, 0< J<2 P.

Sannsynlighetstettheten for øyeblikkelige verdier for et slikt signal er lik

— Signal x2(t) — periodisk sagtannspenning med konstant amplitude A og tilfeldig skiftparameter q, distribusjonslov
hvem Uniform i intervallet , der T0 er perioden for signalet, det vil si at sannsynlighetstettheten er lik

P(Q)= 1/ T0 ; 0< Q≤ T0 .

Sannsynlighetens tetthet for øyeblikkelige verdier av et slikt signal bestemmes av uttrykket

— Signal x3(t) er et tilfeldig signal med en normalfordelingslov (Gauss lov) av øyeblikkelige verdier, dvs.

Pa(X)= ,

Der mx, sx er den matematiske forventningen og variansen til det tilfeldige signalet x3(t).

— Signal x4(t) er et tilfeldig klippet signal, som er en sekvens av rektangulære pulser med konstant amplitude A og tilfeldig varighet, som forekommer på tilfeldige tidspunkter. Et slikt signal vises ved utgangen av en ideell begrenser når en tilfeldig prosess med en normal distribusjonslov virker på inngangen. Transformasjonskarakteristikken har formen

Hvor x er restriksjonsnivået.

Dermed tar den tilfeldige prosessen x4(t) to verdier (A og - A) med sannsynligheter

P= P= F3(x);

P= P= 1-F3(x);

Hvor F3(x) er integralfordelingsloven til den tilfeldige prosessen x3(t).

Ta hensyn til det ovennevnte, er sannsynlighetstettheten til det klippede signalet lik

P4(x)= F3(x)∙D(x+ A)+ ∙D(x - A).

Figur 9 viser implementeringer av hvert av de tilfeldige signalene generert av iteratoren til laboratorieoppsettet og deres sannsynlighetstettheter.

Disse signalene, som hver er preget av sin egen distribusjonstetthet, kan mates til inngangene til typiske elementer i radiotekniske enheter for å konvertere og studere lovene for signaldistribusjon ved deres utganger.

B. Lineær signalblander. Genererer summen av to tilfeldige signaler xi(t) og x1(t) som leveres til inngangene i samsvar med relasjonen

Y(T)= R∙ Xi(T)+ (1- R)∙ X1 (T),

Hvor R er koeffisienten satt av potensiometerknappen innenfor området 0...1.

Brukes til å studere lovene for distribusjon av summen av to tilfeldige signaler.

I. Stikkontakter for tilkobling av ulike fireterminalnettverk - funksjonelle omformere. Laboratorieinstallasjonssettet inkluderer 4 funksjonelle omformere (fig. 10).

Ris. 9. Realiseringer av tilfeldige prosesser x1(t), x2(t), x3(t), x4(t) og deres sannsynlighetstettheter

Forsterker - limiter (limiter) med konverteringskarakteristikk

Hvor U1, U2 er henholdsvis nedre og øvre grensenivå;

k er en koeffisient lik tg av helningsvinkelen til transformasjonskarakteristikken.

Utfører ikke-lineær, treghetsfri transformasjon av inngangssignaler.

Smalbåndsfilter (F1) med resonansfrekvens f0=20 kHz. Brukes til å generere smalbånds tilfeldige prosesser med en distribusjonslov nær normalen.

Typisk bane for en AM-oscillasjonsmottaker (smalbåndsfilter F1 - lineær detektor D - lavpassfilter F2). Utfører dannelsen av konvolutten til et smalbånds tilfeldig signal under lineær deteksjon.

Strukturelt er de betraktede funksjonelle omformere laget i form av små utskiftbare blokker.

Som en annen funksjonell omformer brukes en "ideell" forsterker - en begrenser (elektronisk nøkkel), som er en del av signalgeneratorblokken til prototypen. Det gir dannelsen av et klippet signal, som er en ikke-lineær treghetsfri omformer av et tilfeldig inngangssignal.

Ris. 10. Funksjonelle omformere

G. Matchende forsterker. Gir koordinering mellom verdiområdet til signalet som studeres og amplitudeområdet til den statistiske analysatoren. Koordinering utføres ved hjelp av potensiometrene “Gain” og “Offset” når bryter P1 (fig. 8) er satt til “Calibration”-posisjon.

Den matchende forsterkeren brukes også som en funksjonell omformer (bortsett fra de fire diskuterte ovenfor), og gir lineær, treghetsfri konvertering i samsvar med formelen

Y(T)= EN∙ X(T)= B,

Hvor a er forsterkningsfaktoren som er satt med "Gain"-knappen;

b er den konstante komponenten av signalet, innstilt med "Offset"-knappen.

Analysatorblokken vist i diagrammet i fig. 8 som en del av oppsettet brukes ikke i dette arbeidet. Laboratorieinstallasjonen innebærer bruk av en digital statistisk analysator, utformet som en separat enhet.

D. En digital statistisk analysator brukes til å måle og formulere lover for distribusjon av signalverdier som leveres til inngangen. Analysatoren fungerer som følger.

Analysatoren slås på til målemodus ved hjelp av "Start"-knappen. Måletiden er 20 s. I løpet av denne tiden tas prøver av inngangssignalverdiene (til tilfeldige tidspunkter), hvorav det totale antallet N er 1 million. Prøvene samples etter nivå slik at hver av dem faller inn i ett av 32 intervaller (kalt differensial) korridorer eller prøveverdier for grupperingsintervaller). Intervallene er nummerert fra 0 til 31, deres bredde er 0,1 V, og nedre grense for 0. intervall er 0 V, øvre grense for 31. intervall er +3,2 V. I løpet av måletiden telles antall tellinger ni inkludert i hvert intervall. Måleresultatet vises i form av et distribusjonshistogram på monitorskjermen, der den horisontale aksen til skalanettet er aksen for signalverdier innenfor 0...+3,2 V, den vertikale aksen er relativaksen frekvenser ni/N, i = 0,1...31.

For å lese måleresultatene i digital form, bruk en digital indikator, som viser nummeret på det valgte intervallet og den tilsvarende frekvensen (sannsynlighetsestimat) ni/N. Valget av intervallnummer for den digitale indikatoren utføres ved hjelp av bryteren "Intervall". I dette tilfellet er det valgte intervallet merket med en markør på LCD-skjermen.

Ved å bruke "Multiplier"-bryteren kan du velge en histogramskala som er praktisk for observasjon langs den vertikale aksen.

Når du utfører dette arbeidet, må bryteren for analysatorinngangsspenningsområde (analog-til-digital konverteringsområde) settes til posisjon 0...+3,2 V. Før hver måling må du vekselvis trykke på knappene "Reset" og "Start" (når du trykker på "Tilbakestill"-knappen Minneenheten tilbakestilles til null, og resultatene fra forrige måling skrives om til stabelminnet, hvorfra de kan hentes frem ved å bruke "Side"-bryteren).

Det generelle problemet med å studere passasjen av tilfeldige signaler gjennom ikke-lineære

kretsen består i å finne de statistiske karakteristikkene til utgangssignalet fra de kjente kretsdataene og de statistiske karakteristikkene til signalet. Denne oppgaven bør brytes ned i en rekke separate oppgaver basert på egenskaper knyttet til egenskapene til inngangssignalet, egenskapene til kretsen og de opprinnelige egenskapene til utgangssignalet.

Ikke-lineære kretser representerer et forhold mellom ikke-lineære elementer med en entydig strøm-spenningskarakteristikk og er definert som treghetsfrie.

I henhold til de ønskede statistiske egenskapene til utgangssignalet, bør man skille mellom oppgaver ved hjelp av hvilke distribusjonsloven for øyeblikkelige verdier eller konvolutten må finnes, og oppgaver når det er nok til å bestemme de første øyeblikkene av disse lovene .

Analyse av forskning og publikasjoner. Avhengig av metodene for å behandle signaler fra ulike kilder, blir det nødvendig å utføre slike matematiske operasjoner på dem som for eksempel divisjon, multiplikasjon osv. Slike matematiske operasjoner på signaler kan teknisk implementeres ved bruk av ikke-lineære treghetsfrie enheter. Som et resultat kan problemet med å studere passasjen av tilfeldige signaler gjennom ikke-lineære kretser ved bruk av matematiske operasjoner alltid bringes til en løsning i en akseptabel form.

Generelt er den grunnleggende løsningen på problemet med ikke-lineære treghetsfrie transformasjoner av tilfeldige prosesser produsert av den velkjente egenskapen til invarians av sannsynlighetsdifferensialen. Imidlertid forårsaker anvendelsen av denne egenskapen på praktisk talt interessante ikke-lineære transformasjoner store vanskeligheter. Derfor, på grunn av kompleksiteten ved å beregne sannsynlighetstettheten, er de ofte begrenset til å finne enklere, ikke mindre komplette statistiske egenskaper for utgangssignalet.

Formulering av problemet. Operasjonen med å dele to tilfeldige signaler kan tilskrives problemet med å syntetisere en ikke-lineær krets for en gitt transformasjon av inngangssignalet, som inkluderer å etablere typen karakteristikk til kretsen som utfører denne transformasjonen, og deretter implementere den resulterende karakteristikken. Med to inngangssignaler som representerer tilfeldige prosesser, for eksempel, utføres multiplikasjonsoperasjonen ved å bruke et ikke-lineært deterministisk treghetsfritt system, som er presentert i fig. 1. Den består av to logaritmatorer 1, 2 (enheter med en logaritmisk amplitudekarakteristikk), en adderer og en utstiller 3, en enhet med en eksponentiell amplitudekarakteristikk. Denne tilnærmingen til å løse problemet er basert på det faktum at den ikke-lineære treghetsfrie transformasjonen av en tilfeldig prosess ikke introduserer ytterligere midlertidige forbindelser. Det vil si at hvis prosessen før den treghetsfrie transformasjonen var preget av en n-dimensjonal fordeling, så vil prosessen etter den være karakterisert av en n-te ordens fordeling.

Det er kjent at loven om sannsynlighetsfordeling av summen av to tilfeldige prosesser med normalfordelingslover også er normal. Derfor kan vi anta at signalet ved utstillerinngangen har en normalfordeling av sannsynlighetstettheter.

Det oppnådde resultatet har en så enkel løsning som eksklusjon og skjer bare med en eksponentiell transformasjon av en normal stasjonær prosess.

Imidlertid har dette resultatet en relativt generell betydning, siden egenskapene til ikke-lineære elementer ofte kan tilnærmes med en sum som inneholder to til tre eksponentielle termer; med denne tilnærmingen vil den totale korrelasjonsfunksjonen til utgangsprosessen være lik summen av korrelasjonsfunksjonene beregnet for hvert eksponentielt ledd separat.

Problemene med å studere passering av tilfeldige signaler gjennom ikke-lineære treghetsfrie kretser som utfører matematiske operasjoner på signaler, for eksempel å dele eller multiplisere to signaler, kan ikke alltid løses i direkte form. Å oppnå resultatet av å løse problemet med å bestemme statistiske egenskaper i disse tilfellene kan imidlertid oppnås ved å løse problemet med å syntetisere ikke-lineære kretser for en gitt transformasjon av inngangssignaler, som inkluderer å etablere typen karakteristikk til individuelle kretselementer som utfører dette signaltransformasjon. Med denne tilnærmingen vil oppgaven med å bestemme det resulterende signalet bli bestemt ved utgangen til hvert element som utfører sin tildelte funksjon.

Det er ingen generell prosedyre for å bestemme distribusjonsloven for responsen til en lineær FU på en vilkårlig tilfeldig påvirkning. Imidlertid er korrelasjonsanalyse mulig, det vil si beregning av korrelasjonsfunksjonen til reaksjonen fra en gitt korrelasjonsfunksjon av effekten, som enkelt utføres ved spektralmetoden i henhold til skjemaet vist i fig. 5.5.

For å beregne energispekteret GY(f) reaksjoner av lineær FU med overføringsfunksjon H(jω) bruker vi dens definisjon (4.1)

Korrelasjonsfunksjon AV(t) vi definerer ved Fourier-transformasjonen av energispekteret GY(f)

.

La oss gå tilbake til definisjonen av distribusjonsloven for reaksjonen til en lineær FU i visse spesielle tilfeller:

1. En lineær transformasjon av en normal SP genererer også en normal prosess. Bare parametrene for distribusjonen kan endres.

2. Summen av normale SP-er (reaksjon av addereren) er også en normal prosess.

3. Når en SP med en vilkårlig fordeling passerer gjennom et smalbåndsfilter (dvs. med en filterbåndbredde D F betydelig mindre bredde av energispekteret for påvirkning D f X) fenomenet normalisering av reaksjonsfordelingen observeres Y(t). Det ligger i at reaksjonsfordelingsloven nærmer seg det normale. Graden av denne tilnærmingen er større, jo sterkere ulikheten er D F<< Df X(Fig. 5.6).

Dette kan forklares som følger. Som et resultat av passasjen av SP gjennom et smalbåndsfilter, oppstår en betydelig reduksjon i bredden av energispekteret (med D f X til D F) og følgelig en økning i korrelasjonstiden (ct X til T Y). Som et resultat mellom ukorrelerte filterresponsprøver Y(k t Y) ligger omtrent D f X / D F ukorrelerte effektavlesninger X(l t X), som hver bidrar til dannelsen av en enkelt reaksjonsprøve med en vekt bestemt av typen filterimpulsrespons.

Altså i ukorrelerte seksjoner Y(k t Y) er det en summering av et stort antall også ukorrelerte tilfeldige variabler X(l t X) med begrensede matematiske forventninger og varianser, som i samsvar med den sentrale grensesetningen (A.M. Lyapunov) sikrer at fordelingen av summen deres nærmer seg normal med en økning i antall ledd.

5.3. Smalbånds tilfeldige prosesser

JV X(t) med et relativt smalt energispektrum (D f X << f c) som smalbåndsdeterministiske signaler, er det praktisk å representere dem i kvasi-harmonisk form (se avsnitt 2.5)

hvor er konvolutten EN(t), fase Y( t) og innledende fase j( t) er tilfeldige prosesser, og ω c er en frekvens valgt vilkårlig (vanligvis som gjennomsnittsfrekvensen til spekteret).

For å definere konvolutten EN(t) og fase Y( t) er det tilrådelig å bruke den analytiske SP

, (5.4)

Hovedmomentfunksjoner til analytisk SP:

1. Matematisk forventning

2. Varians

3. Korrelasjonsfunksjon

,

,

.

En analytisk SP kalles stasjonær hvis

,

,

La oss vurdere det typiske problemet innen kommunikasjonsteknologi med å føre en normal SP gjennom et båndpassfilter (BF), amplitude (AM) og fase (PD) detektorer (fig. 5.7). Signalet ved utgangen av PF blir smalbånd, noe som betyr at dens konvolutt EN(t) og innledende fase j( t) vil være sakte varierende funksjoner av tid sammenlignet med , hvor er gjennomsnittsfrekvensen til PF-passbåndet. Per definisjon vil signalet ved utgangen av IM være proporsjonalt med innhyllingen til inngangssignalet EN(t), og ved PD-utgangen - dens innledende fase j( t). For å løse dette problemet er det derfor tilstrekkelig å beregne fordelingen av konvolutten EN(t) og fase Y( t) (initialfasefordeling skiller seg fra fordelingen Y( t) bare ved matematisk forventning).

Formulering av problemet

Gitt:

1) X(t) = EN(t)koselig( t) – smalbåndssentrert stasjonær normal SP (ved PF-utgangen),

2) .

Definere:

1) w(EN) – endimensjonal sannsynlighetstetthet av konvolutten,

2) w(Y) – endimensjonal fasesannsynlighetstetthet.

For å løse dette problemet skisserer vi tre stadier:

1. Overgang til analytisk SP og bestemmelse av leddsannsynlighetstetthet.

2. Beregning av leddsannsynlighetstettheten basert på forbindelsene beregnet på første trinn EN(t), Y( t) med (5.3) ÷ (5.6) .

3. Bestemmelse av endimensjonale sannsynlighetstettheter w(EN) Og w(Y) fra den beregnede leddsannsynlighetstettheten.

Løsning

1. stadie. La oss finne den endimensjonale sannsynlighetstettheten til prosessen. Basert på lineariteten til Hilbert-transformasjonen vi konkluderer med at dette er et vanlig joint venture. Videre, med tanke på det , vi får , og konsekvent

Slik har vi

.

La oss bevise at det ikke er korrelert på sammenfallende tidspunkt, dvs. at .

.

Etter å ha erstattet , , , tatt i betraktning at for , får vi

Den ukorrelerte naturen til tverrsnittene til normale prosesser innebærer derfor deres uavhengighet

.

Trinn 2. Beregning av leddsannsynlighetstetthet

,

hvor i henhold til (5.2), (5.5) og (5.6)

.

Derfor har vi tatt i betraktning (5.3).

. (5.7)

Trinn 3. Definisjon av endimensjonale sannsynlighetstettheter

Endelig

, (5.8)

. (5.9)

Uttrykk (5.8) er kjent som Rayleigh distribusjon, er grafen vist i fig. 5.8. I fig. Figur 5.9 viser en graf over den jevne fasefordelingen (5.9).

Uttrykk (5.7) kan representeres som produktet av (5.8) og (5.9)

som innebærer konvoluttens uavhengighet EN(t) og faser w(Y) normal SP.

La oss vurdere det mer komplekse problemet med å sende en additiv blanding av den ovennevnte normale SP med et harmonisk signal gjennom IM og PD. Problemformuleringen forblir den samme bortsett fra den opprinnelige prosessen Y(t) som har formen

Hvor X(t) – sentrert normal SP.

Fordi det

.

La oss skrive det ned Y(t) i kvasi-harmonisk form

og vi vil løse problemet med å bestemme sannsynlighetstettheter w(EN) Og w(j) i henhold til planen ovenfor.

La oss skrive det ned på forhånd X(t) i kvasi-harmonisk form og gjennom dens kvadraturkomponenter

, (5.10)

(5.11)

For å finne, la oss gå til den analytiske SP

.

Fra uttrykket er det klart at de er lineære transformasjoner av den sentrerte normale SP X(t):

og har derfor en normalfordeling med varianser

.

La oss bevise deres ukorrelasjon (og derfor uavhengighet) på sammenfallende tidspunkter

.

Her er det tatt hensyn til at B(t) og θ( t) – konvolutten og fasen til den normale SP er, som fastsatt ovenfor, uavhengige.

Dermed,

og under hensyntagen til (5.10) og (5.11) får vi

. (5.12)

Siden uttrykk (5.12) ikke kan representeres som et produkt av endimensjonale funksjoner, kan vi konkludere med at prosessene er avhengige av .

For å finne fordelingen av konvolutten til summen av en sentrert normal SP med et harmonisk signal, integrerer vi (5.12) over alle mulige verdier av den tilfeldige fasen j( t)

.

Integral av skjemaet

kjent i matematikk som den nullte ordens modifiserte Bessel-funksjonen. Tar vi det i betraktning, har vi endelig

. (5.13)

Uttrykk (5.13) kalles generalisert Rayleigh-distribusjon eller Risdistribusjon. Grafene for dette uttrykket er vist i fig. 5.10 for følgende spesielle tilfeller:

1) U = 0 – ordinær Rayleigh-distribusjon,

2) – tilfelle av fravær fra Y(t) SP X(t),

3)
– generalisert Rayleigh (ris) distribusjon.

Det er tydelig fra grafene at jo høyere signal-til-støy-forholdet er, jo mer til høyre forskyves maksimum av sannsynlighetstettheten og jo mer symmetrisk (nærmere normalfordelingen) er kurven.

konklusjoner

1. Hvis de øyeblikkelige verdiene til den sentrerte SP X(t) har en normalfordeling, deretter konvolutten EN(t) distribuert i henhold til Rayleighs lov

,

og fase Y( t) jevnt

2. Fordelingen av konvolutten til additivblandingen av den sentrerte normale SP og det harmoniske signalet følger den generaliserte Rayleigh-fordelingen (også kjent som risfordelingen)

.

Kontrollspørsmål

1. Formuler problemet med å analysere overgangen til et joint venture gjennom en gitt funksjonell enhet.

2. Hvordan beregne sannsynlighetstettheten w(y) reaksjon av en treghetsfri kjede i henhold til en kjent sannsynlighetstetthet w(x) innvirkning?

3. Hvordan beregne den matematiske forventningen til reaksjonen til en treghetsfri kjede til et tilfeldig støt X(t)?

4. Hvordan beregne spredningen av reaksjonen til en treghetsfri kjede til et tilfeldig støt X(t)?

5. Hvordan beregne korrelasjonsfunksjonen til reaksjonen til en treghetsfri kjede til et tilfeldig støt X(t)?

6. Hvordan beregne felles sannsynlighetstetthet w(på 1 , på 2; t) to joint ventures Y 1 (t) Og Y 2 (t), relatert til kjente funksjonelle avhengigheter Og med to andre joint ventures X 1 (t) Og X 2 (t)?

7. Hvordan endres fordelingen av en normal SP når den passerer gjennom en lineær kjede?

8. Hvordan endres den vilkårlige fordelingen av SP når den passerer gjennom et smalbåndsfilter?

9. Hva er essensen av fenomenet normalisering av en bredbåndsprosess når den passerer gjennom et smalbåndsfilter? Gi et matematisk grunnlag for dette fenomenet.

10. Beskriv fremgangsmåten for korrelasjonsanalyse av passasje av et joint venture gjennom en lineær krets.

11. Definer konvolutten og fasen til SP.

12. Definer analytisk SP, dens matematiske forventning, spredning og korrelasjonsfunksjon.

13. Hvilke betingelser tilfredsstiller en stasjonær analytisk SP?

14. Hva er fordelingen av konvolutten til en sentrert normal SP?

15. Hva er fasefordelingen til en sentrert normal SP?

16. Hva er fordelingen av envelope av summen av den sentrerte normalen SP og det harmoniske signalet?

17. Skriv et analytisk uttrykk for Rayleighs lov. Hva slags fellesforetak kjennetegner det?

18. Skriv et analytisk uttrykk for den generaliserte Rayleigh-loven (Rice’s lov). Hva slags fellesforetak kjennetegner det?