Binārā aritmētika

Parametra nosaukums	Nozīme
Raksta tēma:	Binārā aritmētika
Rubrika (tematiskā kategorija)	Datorzinātne

Binārā skaitļu sistēma

Darbā ar datoriem izmantotās skaitļu sistēmas

Bāze P = 2. Alfabēts ietver divus bināros ciparus: 0, 1. Jebkurš skaitlis C = C n C n-1 ...C 1 C 0 C -1 C -m ir skaitļa P = 2 pakāpju summa. ,

C = C n × 2 n + C n-1 × 2 n-1 +…+C 1 × 2 1 + C 0 × 2 0 + C -1 × 2 -1 +…+C -m × 2 -m

Piemērs 3.6.

101011.11 2 =1 × 2 5 + 0 × 2 4 + 1 × 2 3 + 0 × 2 2 +1 × 2 1 + 1 × 2 0 +1 × 2 -1 + 1 × 2 -2 = 32 + 8 +2 +1+0,5+0,25=43,75 10.

Ciparu svari binārajā skaitļu sistēmā ir 1, 4, 8,16,... pa kreisi no komata un 0,5; 0,25; 0,125; 0,625;... pa labi no komata.

Dažreiz izmanto programmēšanai heksadecimāls apzīmējums. Lai heksadecimālajā skaitļu sistēmā attēlotu skaitļus, kas lielāki par 9, tiek izmantoti latīņu burti A, B, C, D, E, F. Pirmo sešpadsmit skaitļu attēli decimālajā, binārajā un heksadecimālajā skaitļu sistēmā ir sniegti tabulā. 2.

Kodu tabula iekšā dažādas sistēmas miris izrēķināšanās

2. tabula

Decimālsistēma	Binārā sistēma	Heksadecimālā sistēma	Decimālsistēma	Binārā sistēma	Heksadecimālā sistēma
					A
					B
					C
					D
					E
					F

Binārā decimāldaļa Skaitļu sistēma ir kļuvusi plaši izplatīta mūsdienu datoros, pateicoties vienkāršai pārveidei par decimāldaļu sistēmu un otrādi. To izmanto tur, kur galvenā uzmanība tiek pievērsta nevis mašīnas tehniskās konstrukcijas vienkāršībai, bet gan lietotāja ērtībām. Šajā skaitļu sistēmā visi decimālskaitļi ir atsevišķi kodēti ar četriem bināriem cipariem.

Piemērs 3.7.

Decimālskaitlis 9703 BCD izskatās šādi: 1001 0111 0000 0011.

Bināro skaitļu sistēmas priekšrocība salīdzinājumā ar decimālo skaitļu sistēmu no digitālā datora viedokļa ir šāda:

• nepieciešami elementi ar diviem stabiliem stāvokļiem;
• aritmētiskās darbības ir ievērojami vienkāršotas;
• nepieciešams 1,5 reizes mazāk aprīkojuma;
• ļauj izmantot matemātiskās loģikas aparātu ķēžu analīzei un sintēzei.

Bināro skaitļu sistēmas trūkumi ir šādi:

• liela skaita ieraksta garums;
• Ievadot un izvadot informāciju, ir nepieciešama konvertēšana uz decimālo skaitļu sistēmu.

Apskatīsim, kā binārajā aritmētikā tiek veiktas pamatoperācijas.

Aritmētikas likumi visās pozicionālo skaitļu sistēmās ir vienādi, ᴛ.ᴇ. saskaitīšana, reizināšana un atņemšana sākas no zemākajiem cipariem, dalīšana - no lielākajiem.

Pievienojot, pārnēsāšanas vienība tiek pievienota blakus esošā visnozīmīgākā cipara cipariem. Ja to atņem, aizņēmuma vienība augstākajā ciparā dod divas vienības zemākajā blakus esošajā ciparā.

Piemērs 3.8

Bināro skaitļu reizināšana ir līdzīga decimālskaitļu reizināšanai, bet... Ja reizinām tikai ar 0 un 1, tad reizināšana tiek reducēta līdz nobīdes un saskaitīšanas operācijai.

Piemērs 3.9

Binārā aritmētika - jēdziens un veidi. Kategorijas "Binārā aritmētika" klasifikācija un pazīmes 2017, 2018.

- Binārā aritmētika

Jo informācijas procesi V digitālās sistēmasņem vērtības tikai 0 un 1, tad datu attēlojums tiek veikts, izmantojot bināros skaitļus. Bināro skaitļu saskaitīšana un atņemšana, kā arī visas pārējās aritmētiskās darbības tiek veiktas pēc tiem pašiem noteikumiem kā... .

- Binārā skaitļu sistēma un binārā aritmētika

Binārajā skaitļu sistēmā ar skaitļiem var veikt tādas pašas darbības kā decimālskaitļu sistēmā. Saskaitīšana tiek veikta pēc tāda paša principa kā decimālo skaitļu sistēmā: tikai tad, ja dots cipars rada summu, kas tajā neiederas, tad...

, Konkurss "Prezentācija nodarbībai"

Prezentācija nodarbībai

Atpakaļ uz priekšu

Uzmanību! Priekšskatījums Slaidiem ir tikai informatīvs nolūks, un tie var neatspoguļot visas prezentācijas funkcijas. Ja jūs interesē Šis darbs, lūdzu, lejupielādējiet pilno versiju.

Nodarbības mērķi: (2. slaids)

1. Iepazīstināt skolēnus ar bināro skaitļu sistēmu.
2. Attīstīt iemaņas aritmētisko darbību veikšanā ar binārajiem skaitļiem

Nodarbību laikā

I. Nodarbības sākums

Skolotājs: Lai labāk apgūtu bināro skaitļu sistēmu, jums jāiemācās veikt aritmētiskās darbības ar binārajiem skaitļiem.

Visas pozicionālo skaitļu sistēmas ir “vienādas”, proti, visās aritmētiskās darbības tiek veiktas pēc vieniem un tiem pašiem noteikumiem:

• spēkā ir tie paši aritmētikas likumi: komutatīvais, asociatīvais, sadalošais;
• ir spēkā saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas un dalīšanas noteikumi;
• Aritmētisko darbību veikšanas noteikumi ir balstīti uz saskaitīšanas un reizināšanas tabulām.

Apskatīsim aritmētisko darbību veikšanas noteikumus

II. Jauna materiāla apgūšana

Dalot ar kolonnu, kā starprezultātu jāveic reizināšana un atņemšana. Bet binārajā skaitļu sistēmā starpreizināšanas reizes tiek reducētas līdz dalītāja reizināšanai ar 0 vai 1, tāpēc visgrūtākā darbība paliek atņemšana, kas jums jāiemācās veikt precīzi.

III. Apgūtā nostiprināšana. (12. slaids)

Puiši darbu veic paši. Pēc tam atveriet slaidu ar atbildēm.

Atbildes. (13. slaids)

IV. Mājas darbs (14. slaids)

1. Apgūstiet aritmētisko darbību veikšanas noteikumus bināro skaitļu sistēmā.

2. Izpildiet šīs darbības:

1. 110010+11,01
2. 1111001-1101
3. 10101,1*11
4. 10101110:101

mājas \ Dokumentācija \ Informātikas skolotājam

Izmantojot materiālus no šīs vietnes - un banera izvietošana OBLIGĀTA!!!

Binārā aritmētika

Skaitļus, ko esam pieraduši lietot, sauc par decimāldaļu, un aritmētiku, ko mēs izmantojam, sauc arī par decimālo. Tas ir tāpēc, ka katru numuru var izveidot no skaitļu kopas, kas satur 10 rakstzīmes - skaitļus - "0123456789".

Matemātika attīstījās tā, ka šī konkrētā kopa kļuva par galveno, bet decimāldaļaritmētika nav vienīgā. Ja ņemam tikai piecus ciparus, tad uz to pamata varam izveidot piecciparu aritmētiku, bet no septiņiem cipariem – septiņciparu aritmētiku. Zināšanu jomās, kas saistītas ar datortehnika Bieži tiek izmantota aritmētika, kurā skaitļi sastāv no sešpadsmit cipariem; attiecīgi šo aritmētiku sauc par heksadecimālu. Lai saprastu, kas ir skaitlis aritmētikā, kas nav decimāldaļa, vispirms noskaidrojam, kas ir skaitlis decimālajā aritmētikā.

Ņemiet, piemēram, skaitli 246. Šis apzīmējums nozīmē, ka skaitļā ir divi simti, četri desmiti un seši vieninieki. Tāpēc mēs varam uzrakstīt šādu vienādību:

246 = 200 + 40 + 6 = 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0

Šeit vienādības zīmes atdala trīs viena un tā paša skaitļa rakstīšanas veidus. Mums šobrīd visinteresantākā ir trešā apzīmējuma forma: 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0 . Tas ir strukturēts šādi:

Mūsu numuram ir trīs cipari. Galvenais cipars "2" ir skaitlis 3. Tātad tas tiek reizināts ar 10 ar otro pakāpi. Nākamajam ciparam "4" ir sērijas numurs 2, un pirmajā tiek reizināts ar 10. Jau tagad ir skaidrs, ka cipari tiek reizināti ar desmit līdz vienam mazākam par cipara kārtas numuru. Saprotot iepriekš minēto, mēs varam pierakstīt vispārīgo formulu decimālskaitļa attēlošanai. Dosim skaitli ar N cipariem. Mēs apzīmēsim i-tais cipars caur i. Tad skaitli var uzrakstīt šādā formā: a n a n-1 ....a 2 a 1 . Šī ir pirmā veidlapa, un trešā pieteikuma veidlapa izskatīsies šādi:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 10 n-1 + a n-1 * 10 n-2 + …. + a 2 * 10 1 + a 1 * 10 0

kur i ir rakstzīme no kopas "0123456789"

Šajā ierakstā ļoti skaidri redzama desmitnieka loma. Desmits ir skaitļu veidošanās pamats. Un, starp citu, to sauc par “skaitļu sistēmas bāzi”, un pati skaitļu sistēma ir iemesls, kāpēc to sauc par “decimāldaļu”. Protams, skaitlim desmit nav īpašu īpašību. Mēs varam viegli aizstāt desmit ar jebkuru citu skaitli. Piemēram, skaitli piecciparu skaitļu sistēmā var uzrakstīt šādi:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 5 n-1 + a n-1 * 5 n-2 + …. + a 2 * 5 1 + a 1 * 5 0

kur i ir rakstzīme no kopas "01234"

Kopumā mēs aizstājam 10 ar jebkuru citu skaitli un iegūstam pilnīgi citu skaitļu sistēmu un citu aritmētiku. Visvienkāršāko aritmētiku iegūst, ja 10 aizstāj ar 2. Iegūto skaitļu sistēmu sauc par bināro un skaitli tajā definē šādi:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 2 n-1 + a n-1 * 2 n-2 + …. + a 2 * 2 1 + a 1 * 2 0

kur i ir rakstzīme no kopas "01"

Šī sistēma ir vienkāršākā no visām iespējamajām, jo ​​tajā jebkurš skaitlis veidojas tikai no diviem cipariem 0 un 1. Skaidrs, ka vienkāršāk nevar būt. Bināro skaitļu piemēri: 10, 111, 101.

Ļoti svarīgs jautājums. Vai ir iespējams attēlot bināro skaitli kā decimālo skaitli un otrādi? decimālskaitlis attēlo to binārā formā.

Binārs līdz decimāldaļai. Tas ir ļoti vienkārši. Šādas tulkošanas metodi nosaka mūsu skaitļu rakstīšanas veids. Ņemsim, piemēram, šādu bināro skaitli 1011. Izvērsīsim to divos pakāpēs. Mēs iegūstam sekojošo:

1011 = 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0

Veiksim visas ierakstītās darbības un iegūsim:

1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0 = 8 + 0+ 2 + 1 = 11. Tādējādi mēs iegūstam, ka 1011 (binārais) = 11 (decimālskaitlis). Uzreiz ir redzamas nelielas binārās sistēmas neērtības. Tāda paša skaitļa, kas binārajā sistēmā ierakstīts decimālajā sistēmā ar vienu ciparu, ierakstīšanai nepieciešami četri cipari. Bet tā ir cena par vienkāršību (nekas nav par velti). Bet binārā sistēma sniedz milzīgu ieguvumu aritmētiskajās darbībās. Un mēs to redzēsim vēlāk.

Izsakiet šādus bināros skaitļus kā decimāldaļu.

a) 10010 b) 11101 c) 1010 c) 1110 d) 100011 e) 1100111 f) 1001110

Bināro skaitļu saskaitīšana.

Kolonnu pievienošanas metode parasti ir tāda pati kā decimālskaitļa gadījumā. Tas nozīmē, ka saskaitīšana tiek veikta bitu veidā, sākot ar vismazāko ciparu. Ja, saskaitot divus ciparus, SUMMA ir lielāka par deviņiem, tad raksta cipars = SUM - 10, un VISĀ DAĻA (SUM / 10) tiek pievienota nozīmīgākajā ciparā. (Pievienojiet pāris skaitļus kolonnā, atcerieties, kā tas tiek darīts.) Tas pats ar bināro skaitli. Pievienojiet pa vienam, sākot ar zemāko ciparu. Ja rezultāts ir lielāks par 1, tad 1 tiek pierakstīts un 1 tiek pievienots nozīmīgākajam ciparam (saka "no manas galvas").

Veiksim piemēru: 10011 + 10001.

Pirmā kategorija: 1+1 = 2. Mēs rakstām 0 un 1, kā ienāk prātā.

Otrā kategorija: 1+0+1 (iegaumētā vienība) =2. Pierakstām 0 un 1, ienāca prātā.

Trešā kategorija: 0+0+1 (iegaumētā vienība) = 1. Ierakstiet 1.

Ceturtā kategorija 0+0=0. Mēs rakstām 0.

Piektā kategorija 1+1=2. Mēs pierakstām 0 un pievienojam 1 sestajam ciparam.

Pārveidosim visus trīs skaitļus decimālajā sistēmā un pārbaudīsim saskaitījuma pareizību.

10011 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 16 + 2 + 1 =19

10001 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 16 + 1 = 17

100100 = 1*2 5 + 0*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0 =32+4=36

17 + 19 = 36 pareiza vienlīdzība

Neatkarīgu risinājumu piemēri:

a) 11001 +101 =

b) 11001 +11001 =

c) 1001 + 111 =

e) 10011 + 101 =

e) 11011 + 1111 =

e) 11111 + 10011 =

Kā pārvērst decimālo skaitli binārā. Nākamā darbība ir atņemšana. Bet mēs izskatīsim šo darbību nedaudz vēlāk, un tagad mēs apsvērsim metodi decimālskaitļa pārvēršanai binārā.

Lai decimālo skaitli pārvērstu par bināru, tas ir jāpaplašina līdz diviem. Bet, ja desmit pakāpju izvērsumu iegūst uzreiz, tad, kā paplašināt pakāpēs no diviem, ir nedaudz jāpadomā. Vispirms apskatīsim, kā to izdarīt, izmantojot atlases metodi. Ņemsim decimālskaitli 12.

Pirmais solis. 2 2 = 4, ar to nepietiek. Arī 2 3 = 8 ir par maz, bet 2 4 = 16 jau ir daudz. Tāpēc mēs atstājam 2 3 =8. 12 - 8 = 4. Tagad jums tas ir jāattēlo kā divu 4 pakāpiens.

Otrais solis. 4 = 2 2 .

Tad mūsu skaitlis ir 12 = 2 3 + 2 2. Augstākajam ciparam ir skaitlis 4, augstākajai pakāpei = 3, tāpēc ir jābūt terminiem ar pakāpēm divi 1 un 0. Bet tie mums nav vajadzīgi, tāpēc, lai atbrīvotos no nevajadzīgiem grādiem un atstātu nepieciešamos , mēs rakstām skaitli šādi: 1*2 3 + 1* 2 2 +0*2 1 + 0*2 0 = 1100 - tas ir skaitļa 12 binārais attēlojums. Ir viegli pamanīt, ka katrs nākamais pakāpe ir lielākais divnieks, kas ir mazāks par sadalīto skaitli. Lai konsolidētu metodi, apskatīsim citu piemēru. 23. numurs.

1. darbība. Divu tuvākā pakāpe ir 2 4 = 16. 23 -16 = 7.

2. darbība. Divu tuvākā jauda 2 2 = 4. 7 - 4 = 3

3. darbība. Divu tuvākā jauda 2 1 = 2. 3 - 2 = 1

4. solis. Divu tuvākā jauda 2 0 =1 1 - 1 =0

Mēs iegūstam šādu paplašinājumu: 1*2 4 + 0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +1*2 0

Un mūsu vēlamais binārais skaitlis ir 10111

Iepriekš apskatītā metode labi atrisina tai uzticēto problēmu, taču ir metode, kas ir daudz labāk algoritmizēta. Šīs metodes algoritms ir uzrakstīts zemāk:

Kamēr SKAITS ir lielāks par nulli, rīkojieties šādi

NĀKAMAIS CIPARS = NUMBER atlikums dalīts ar 2

NUMBER = vesela skaitļa daļa no NUMBER, dalīta ar 2

Kad šis algoritms pabeigs savu darbu, aprēķināto NEXT CIPARU secība būs binārs skaitlis. Piemēram, strādāsim ar skaitli 19.

Algoritma sākuma SKAITS = 19

NĀKAMAIS CIPARS = 1

NĀKAMAIS CIPARS = 1

NĀKAMAIS CIPARS = 0

NĀKAMAIS CIPARS = 0

NĀKAMAIS CIPARS = 1

Tā rezultātā mums ir šāds skaitlis 10011. Ņemiet vērā, ka abas apspriestās metodes atšķiras secībā, kādā tiek iegūti nākamie cipari. Pirmajā metodē pirmais saņemtais cipars ir visnozīmīgākais binārā skaitļa cipars, bet otrajā metodē pirmais saņemtais cipars ir, gluži pretēji, vismazāk nozīmīgākais.

Pārvērtiet decimālskaitļus bināros divos veidos

a) 14 b) 29 c) 134 d) 158 f) 1190 g) 2019. g.

Kā pārvērst daļu decimālskaitlī.

Ir zināms, ka jebkuru racionālu skaitli var attēlot kā decimāldaļu un parasto daļskaitli. Parasta daļa, tas ir, formas A/B daļa, var būt regulāra un nepareiza. Daļskaitli sauc par pareizu, ja A<В и неправильной если А>IN.

Ja racionāls skaitlis ir attēlots ar nepareizu daļskaitli un daļskaitļa skaitītājs tiek dalīts ar saucēju ar veselu, tad šis racionālais skaitlis ir vesels skaitlis, visos citos gadījumos parādās daļskaitlis. Daļējā daļa bieži ir ļoti garš skaitlis un pat bezgalīgs skaitlis (bezgalīga periodiska daļa, piemēram, 20/6), tāpēc daļdaļas gadījumā mums ir ne tikai uzdevums pārtulkot vienu atveidojumu citā, bet gan tulkot ar noteikta precizitāte.

Precizitātes noteikums. Pieņemsim, ka jums ir dots decimālskaitlis, ko var attēlot kā decimālo daļu ar N ciparu precizitāti. Lai atbilstošais binārais skaitlis būtu ar tādu pašu precizitāti, tajā jāieraksta M - zīmes, lai

Tagad mēģināsim iegūt tulkošanas noteikumu un vispirms apskatīsim piemēru 5401

Risinājums:

Veselo daļu iegūsim pēc mums jau zināmiem noteikumiem, un tā ir vienāda ar bināro skaitli 101. Un daļskaitli paplašināsim pakāpēs no 2.

1. darbība: 2-2 = 0,25; 0,401 - 0,25 = 0,151. - tas ir atlikums.

2. darbība: Tagad mums ir jāattēlo 0,151 kā divu pakāpju. Darīsim šādi: 2 -3 = 0,125; 0,151 - 0,125 = 0,026

Tādējādi sākotnējo daļējo daļu var attēlot kā 2 -2 +2 -3. To pašu var ierakstīt šajā binārajā skaitlī: 0,011. Pirmais daļskaitlis ir nulle, jo mūsu izvērsumā nav jaudas 2 -1.

No pirmā un otrā soļa ir skaidrs, ka šis attēlojums nav precīzs un var būt vēlams turpināt paplašināšanu. Apskatīsim noteikumu. Tajā teikts, ka mums vajag tik daudz M zīmju, ka 10 3 ir mazāks par 2 M. Tas ir, 1000<2 M . То есть в двоичном разложении у нас должно быть не менее десяти знаков, так как 2 9 = 512 и только 2 10 = 1024. Продолжим процесс.

3. darbība: Tagad mēs strādājam ar skaitli 0,026. Šim skaitlim tuvākā pakāpe divi ir 2 -6 = 0,015625; 0,026 - 0,015625 = 0,010375 Tagad mūsu precīzāks binārais skaitlis ir: 0,011001. Pēc komata ir jau sešas vietas, taču ar to vēl ir par maz, tāpēc veicam vēl vienu soli.

4. darbība: Tagad mēs strādājam ar numuru 0.010375. Šim skaitlim tuvākā pakāpe divi ir 2 -7 = 0,0078125;

0,010375 - 0,0078125 = 0,0025625

5. darbība: Tagad mēs strādājam ar numuru 0.0025625. Šim skaitlim tuvākā pakāpe divi ir 2 -9 = 0,001953125;

0,0025625 - 0,001953125 = 0,000609375

Pēdējais iegūtais atlikums ir mazāks par 2 -10, un, ja mēs vēlamies turpināt aproksimēt sākotnējo skaitli, mums būtu nepieciešams 2 -11, taču tas jau pārsniedz nepieciešamo precizitāti, un tāpēc aprēķinus var apturēt un iegūt galīgo bināro attēlojumu. daļdaļu var pierakstīt.

0,401 = 0,011001101

Kā redzat, decimālskaitļa daļdaļas pārvēršana binārā ir nedaudz sarežģītāka nekā vesela skaitļa daļas konvertēšana. Divu pilnvaru tabula lekcijas beigās.

Tagad pierakstīsim konversijas algoritmu:

Algoritma sākotnējie dati: Caur A apzīmēsim sākotnējo īsto decimāldaļdaļu, kas rakstīta decimāldaļā. Ļaujiet šai daļai satur N rakstzīmes.

Algoritms

Darbība 1. No nevienādības 10 N nosakiet nepieciešamo bināro ciparu skaitu M< 2 M

2. darbība: cikls binārā attēlojuma ciparu aprēķināšanai (cipari aiz nulles). Ciparu skaitlis tiks apzīmēts ar simbolu K.

1. Ciparu skaitlis = 1
2. Ja 2 -K > A

Tad binārajam skaitlim pievienojam nulli

• pievienojiet 1 binārajam skaitlim
• A = A - 2 -K

1. K = K + 1
2. Ja K > M

• tad algoritms ir pabeigts
• Pretējā gadījumā pārejiet uz 2. punktu.

Pārvērst decimālskaitļus bināros

a) 3,6 b) 12,0112 c) 0,231 d) 0,121 d) 23,0091

Bināro skaitļu atņemšana. Mēs arī atņemsim skaitļus kolonnā un vispārējais noteikums ir tāds pats kā decimālskaitļiem, atņemšana tiek veikta pa bitam un, ja vietā nav pietiekami daudz, tad to dara lielākajā. Atrisināsim šādu piemēru:

Pirmā kategorija. 1-0 =1. Mēs pierakstām 1.

Otrā kategorija 0 -1. Viena trūkst. Mēs to ieņemam vecākajā kategorijā. Vienība no vecākā cipara nonāk jaunākajā, tāpat kā divas vienības (jo vecākais cipars tiek attēlots ar augstākas pakāpes divi) 2-1 = 1. Mēs pierakstām 1.

Trešā kategorija. Mēs ieņēmām šāda ranga vienību, tāpēc tagad 0 rangā ir nepieciešams ieņemt augstākā ranga vienību. 2-1 =1. Mēs pierakstām 1.

Pārbaudīsim rezultātu decimālajā sistēmā

1101 - 110 = 13 - 6 = 7 (111) Pareiza vienlīdzība.

Vēl viens interesants veids, kā veikt atņemšanu, ietver divu komplementa koda jēdzienu, kas ļauj samazināt atņemšanu līdz saskaitīšanai. Skaitļa rezultāts divnieku komplementa kodā ir ārkārtīgi vienkāršs: mēs ņemam skaitli, aizstājam nulles ar vieniniekiem, gluži pretēji, aizstājam vienus ar nullēm un pievienojam vienu vismazāk nozīmīgajam ciparam. Piemēram, 10010, papildu kods būs 011011.

Noteikums par atņemšanu, izmantojot divu papildinājumu, nosaka, ka atņemšanu var aizstāt ar saskaitīšanu, ja atņemšanas daļa tiek aizstāta ar skaitli divu papildinājumā.

Piemērs: 34–22 = 12

Rakstīsim šo piemēru binārā formā. 100010–10110 = 1100

Numura 10110 papildu kods būs šāds

01001 + 00001 = 01010. Pēc tam sākotnējo piemēru var aizstāt ar saskaitīšanu šādi: 100010 + 01010 = 101100 Tālāk jums ir jāizmet viena vienība nozīmīgākajā ciparā. Ja mēs to darām, mēs iegūstam 001100. Atmetīsim nenozīmīgas nulles un iegūstam 1100, tas ir, piemērs tika atrisināts pareizi

Veiciet atņemšanu. Parastā veidā un papildu kodā, iepriekš pārveidojot decimālskaitļus bināros:

Pārbaudiet, pārvēršot bināro rezultātu decimālo skaitļu sistēmā.

Reizināšana binārajā skaitļu sistēmā.

Pirmkārt, apsveriet šādu interesantu faktu. Lai bināro skaitli reizinātu ar 2 (binārajā sistēmā decimālais divi ir 10), pietiek ar vienu nulli pa kreisi no reizināmā skaitļa.

Piemērs. 10101 * 10 = 101010

Pārbaude.

10101 = 1*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 +1*2 0 = 16 + 4 + 1 = 21

101010 =1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 32 + 8 + 2 = 42

Ja atceramies, ka jebkuru bināro skaitli var paplašināt pakāpēs divi, tad kļūst skaidrs, ka reizināšana binārajā skaitļu sistēmā tiek samazināta līdz reizināšanai ar 10 (tas ir, ar decimāldaļu 2), un tāpēc reizināšana ir secīgu skaitļu sērija. maiņas. Vispārējais noteikums ir tāds, ka, tāpat kā ar decimālskaitļiem, binārā reizināšana tiek veikta bitu veidā. Un katram otrā reizinātāja ciparam tiek pievienota viena nulle pa labi no pirmā reizinātāja. Piemērs (vēl nav kolonnā):

1011 * 101 Šo reizinājumu var samazināt līdz trīs ciparu reizinājumu summai:

1011 * 1 + 1011 * 0 + 1011 * 100 = 1011 +101100 = 110111 To pašu var ierakstīt šādā kolonnā:

Pārbaude:

101 = 5 (decimālzīme)

1011 = 11 (decimāldaļa)

110111 = 55 (decimāldaļa)

5*11 = 55 pareiza vienlīdzība

Izlemiet paši

a) 1101 * 1110 =

b) 1010 * 110 =

e) 101011 * 1101 =

e) 10010 * 1001 =

Piezīme: Starp citu, reizināšanas tabula binārajā sistēmā sastāv tikai no viena vienuma 1 * 1 = 1

Dalījums binārajā skaitļu sistēmā.

Mēs jau esam apskatījuši trīs darbības, un, manuprāt, jau ir skaidrs, ka kopumā darbības ar binārajiem skaitļiem maz atšķiras no darbībām ar decimālskaitļiem. Vienīgā atšķirība ir tā, ka ir divi skaitļi, nevis desmit, bet tas tikai vienkāršo aritmētiskās darbības. Tāda pati situācija ir ar dalīšanu, bet labākai izpratnei mēs sīkāk analizēsim sadalīšanas algoritmu. Pieņemsim, ka mums ir jāsadala divi decimālskaitļi, piemēram, 234 dalīts ar 7. Kā to izdarīt.

Mēs izvēlamies pa labi (no nozīmīgākā cipara) tādu ciparu skaitu, lai iegūtais skaitlis būtu pēc iespējas mazāks un tajā pašā laikā lielāks par dalītāju. 2 ir mazāks par dalītāju, tāpēc mums vajadzīgais skaitlis ir 23. Tad iegūto skaitli dalām ar dalītāju ar atlikumu. Mēs iegūstam šādu rezultātu:

Mēs atkārtojam aprakstīto darbību, līdz iegūtais atlikums ir mazāks par dalītāju. Kad tas notiek, zem rindas iegūtais skaitlis ir koeficients, un pēdējais atlikums ir operācijas atlikums. Tātad bināra skaitļa dalīšanas darbība tiek veikta tieši tādā pašā veidā. Pamēģināsim

Piemērs: 10010111 / 101

Mēs meklējam skaitli, kura pirmais cipars ir lielāks par dalītāju. Šis ir četrciparu skaitlis 1001. Tas ir izcelts treknrakstā. Tagad jums ir jāatrod atlasītā skaitļa dalītājs. Un šeit mēs atkal uzvaram salīdzinājumā ar decimālo sistēmu. Fakts ir tāds, ka izvēlētais dalītājs noteikti ir skaitlis, un mums ir tikai divi skaitļi. Tā kā 1001 ir nepārprotami lielāks par 101, tad ar dalītāju viss ir skaidrs: 1. Veicam darbības soli.

Tātad pabeigtās darbības atlikums ir 100. Tas ir mazāks par 101, tāpēc, lai veiktu otrās dalīšanas darbību, jums jāpievieno nākamais cipars 100, tas ir cipars 0. Tagad mums ir šāds skaitlis:

1000 ir lielāks par 101, tāpēc otrajā solī atkal pievienosim koeficientam skaitli 1 un iegūsim šādu rezultātu (lai ietaupītu vietu, nākamo ciparu uzreiz izlaidīsim).

Trešais solis. Iegūtais skaitlis 110 ir lielāks par 101, tāpēc šajā solī koeficientā ierakstīsim 1. Tas izrādīsies šādi:

Iegūtais skaitlis 11 ir mazāks par 101, tāpēc koeficientā ierakstām skaitli 0 un nākamo skaitli samazinām uz leju. Tas izrādās šādi:

Iegūtais skaitlis ir lielāks par 101, tāpēc koeficientā ierakstām skaitli 1 un veicam darbības vēlreiz. Izrādās šis attēls:

1

0

Rezultātā iegūtais atlikums 10 ir mazāks par 101, bet mums ir beigušies cipari dividendēs, tāpēc 10 ir pēdējais atlikums, bet 1110 ir nepieciešamais koeficients.

Pārbaudīsim decimālskaitļus

Tas noslēdz vienkāršāko aritmētisko darbību aprakstu, kas jums jāzina, lai izmantotu bināro aritmētiku, un tagad mēs mēģināsim atbildēt uz jautājumu "Kāpēc ir nepieciešama binārā aritmētika?" Protams, jau iepriekš tika parādīts, ka skaitļa ierakstīšana binārajā sistēmā ievērojami vienkāršo aritmētiskās darbības, bet tajā pašā laikā pats ieraksts kļūst daudz garāks, kas samazina iegūtā vienkāršojuma vērtību, tāpēc ir jāmeklē problēmas, kuru risinājums bināros skaitļos ir daudz vienkāršāks.

1. uzdevums: visu paraugu izgūšana

Ļoti bieži ir problēmas, kurās jums jāspēj izveidot visas iespējamās kombinācijas no noteiktas objektu kopas. Piemēram, šis uzdevums:

Ņemot vērā lielu akmeņu kaudzi, sakārtojiet akmeņus divās kaudzēs tā, lai abu kaudzes masa būtu pēc iespējas vienāda.

Šo uzdevumu var formulēt šādi:

Atrodiet tādu akmeņu izlasi no lielas kaudzes, lai tā kopējā masa pēc iespējas mazāk atšķirtos no puses no lielās kaudzes masas.

Šāda veida uzdevumu ir diezgan daudz. Un tie visi, kā jau tika teikts, ir saistīti ar spēju iegūt visas iespējamās kombinācijas (turpmāk mēs tās sauksim par paraugiem) no noteiktas elementu kopas. Un tagad mēs apskatīsim vispārējo metodi visu iespējamo paraugu iegūšanai, izmantojot bināro pievienošanas darbību. Sāksim ar piemēru. Lai ir trīs objektu komplekts. Konstruēsim visus iespējamos paraugus. Mēs apzīmēsim objektus ar sērijas numuriem. Tas ir, ir šādi vienumi: 1, 2, 3.

Paraugi: (0, 0, 1); (0, 1, 0); (0, 1, 1); (100); (1, 0, 1); (1, 1, 0); (1, 1, 1);

Ja pozīcija ar nākamo skaitli ir viens, tas nozīmē, ka atlasē ir elements ar skaitli, kas vienāds ar šo pozīciju, un, ja ir nulle, tad elementa nav. Piemēram, paraugs (0, 1, 0); sastāv no viena elementa ar numuru 2, un atlase ir (1, 1, 0); sastāv no diviem elementiem ar skaitļiem 1 un 2.

Šis piemērs skaidri parāda, ka paraugu var attēlot kā bināru skaitli. Turklāt ir viegli redzēt, ka visi iespējamie viena, divu un trīsciparu binārie skaitļi ir uzrakstīti iepriekš. Pārrakstīsim tos šādi:

001; 010; 011; 100; 101; 110; 111

1; 10; 11; 100; 101; 110; 111

Mēs esam saņēmuši virkni secīgu bināro skaitļu, no kuriem katrs tiek iegūts no iepriekšējā, pievienojot vienu. Jūs varat to pārbaudīt. Izmantojot šo novēroto modeli, mēs varam izveidot šādu algoritmu paraugu iegūšanai.

Algoritma ievades dati

Dota objektu kopa N - gabali. Turpmāk šo kopu sauksim par sākotnējo elementu kopu. Numurēsim visus sākotnējās kopas elementus no 1 līdz N. Izveidosim bināru skaitli no N nenozīmīgām nullēm. 0000… 0 N Šis nulles binārais skaitlis apzīmē nulles paraugu, ar kuru sāksies paraugu ņemšanas process. Skaitļa cipari tiek skaitīti no labās puses uz kreiso, tas ir, galējais kreisais cipars ir nozīmīgākais.

Vienosimies apzīmēt šo bināro skaitli ar lielajiem burtiem BINARY

Algoritms

Ja BINĀRAIS skaitlis sastāv tikai no vieniniekiem

Tad mēs pārtraucam algoritmu

• Mēs pievienojam vienu BINĀRAM skaitlim saskaņā ar binārās aritmētikas noteikumiem.
• No iegūtā BINĀRĀ skaitļa mēs veidojam nākamo paraugu, kā aprakstīts iepriekš.

2. uzdevums: lielu pirmskaitļu atrašana

Sākumā atcerēsimies, ka pirmskaitlis ir naturāls skaitlis, kas dalās tikai ar 1 un pats sevi. Pirmskaitļu piemēri: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31

Lielu pirmskaitļu atrašana ir ļoti svarīga matemātiska problēma. Lai droši šifrētu ziņojumus, dažiem šifrēšanas algoritmiem ir nepieciešami lieli pirmskaitļi. Turklāt ir vajadzīgi ne tikai lieli skaitļi, bet arī ļoti lieli. Jo lielāks skaitlis, jo uzticamāks ir šim numuram izveidots šifrs.

Piezīme. Spēcīgs šifrs ir šifrs, kura atšifrēšanai nepieciešams ļoti ilgs laiks.

Kāpēc? Galvenais skaitlis darbojas kā atslēga šifrēšanai un atšifrēšanai. Turklāt mēs zinām, ka sērijās sastopami pirmskaitļi naturālie skaitļi ne pārāk bieži. Starp pirmajiem tūkstošiem viņu ir diezgan daudz, tad to skaits sāk strauji samazināties. Tāpēc, ja par atslēgu ņemam ne pārāk lielu skaitli, atšifrētājs, izmantojot pat ne pārāk lielu, ātrs dators varēs tikt pie tā (izmēģinot visas vienkāršās kā atslēgu vienu pēc otras) ierobežotā laikā.

Diezgan uzticamu kodu var iegūt, ja ņemat vienkāršu, piemēram, 150 rakstzīmes. Tomēr atrast tik vienkāršu nav tik vienkārši. Pieņemsim, ka ir jāpārbauda noteikta skaitļa A (ļoti liela) pirmkārtība. Tas ir tas pats, kas meklēt tā dalītājus. Ja mēs varam atrast dalītājus diapazonā no 2 līdz kvadrātsaknei no A, tad tas nav pirmskaitlis. Novērtēsim skaitļu skaitu, kas jāpārbauda, ​​lai noteiktu spēju dalīt skaitli A.

Pieņemsim, ka skaitlim A ir 150 cipari. Tā kvadrātsaknē būs vismaz 75 rakstzīmes. Lai uzskaitītu šādu iespējamo dalītāju skaitu, mums būs nepieciešams ļoti jaudīgs dators un milzīgs laiks, kas nozīmē, ka problēma ir praktiski neatrisināma.

Kā tikt galā ar šo.

Pirmkārt, jūs varat iemācīties ātri pārbaudīt viena skaitļa dalāmību ar citu, un, otrkārt, varat mēģināt atlasīt skaitli A tā, lai tas būtu pirmskaitlis ar lielu varbūtības pakāpi. Izrādās, ka tas ir iespējams. Matemātiķis Mersens atklāja šādas formas skaitļus

Tie ir vienkārši ar lielu varbūtības pakāpi.

Lai saprastu iepriekš uzrakstīto frāzi, saskaitīsim, cik pirmskaitļu ir pirmajā tūkstotī un cik Mersena skaitļu ir pirmskaitļi tajā pašā tūkstotī. Tātad Mersena skaitļi pirmajā tūkstotī ir šādi:

2 1 - 1 = 1 ; 2 2 -1 = 3 ; 2 3 - 1 = 7 ; 2 4 - 1 = 15; 2 5 - 1 = 31 ; 2 6 -1 = 63;

2 7 - 1 =127 ; 2 8 -1 = 255; 2 9 - 1 = 511;

Pirmskaitļi ir atzīmēti treknrakstā. 9 Mersena skaitļiem ir 5 pirmskaitļi. Procentos tas ir 5/9*100 = 55,6%. Tajā pašā laikā uz katriem 1000 pirmajiem naturālajiem skaitļiem ir tikai 169 pirmskaitļi. Procentos tas ir 169/1000*100 = 16,9%. Tas ir, pirmajā tūkstotī procentu izteiksmē pirmskaitļi starp Mersena skaitļiem tiek atrasti gandrīz 4 reizes biežāk nekā starp vienkāršiem naturāliem skaitļiem

___________________________________________________________

Tagad ņemsim konkrētu Mersena skaitli, piemēram, 2 4 - 1. Rakstīsim to kā bināru skaitli.

2 4 - 1 = 10000 - 1 = 1111

Ņemsim šādu Mersena skaitli 2 5 -1 un ierakstīsim to kā bināru skaitli. Mēs iegūstam sekojošo:

2 5 -1 = 100000 - 1 = 11111

Jau tagad ir skaidrs, ka visi Mersena skaitļi ir vieninieku secība un šis fakts pats par sevi dod lielu ieguvumu. Pirmkārt, binārajā skaitļu sistēmā ir ļoti vienkārši iegūt nākamo Mersena skaitli, vienkārši pieskaitot nākamajam skaitlim vienu, un, otrkārt, dalītāju meklēšana binārajā sistēmā ir daudz vienkāršāka nekā decimālajā sistēmā.

Ātra decimāldaļas konvertēšana uz bināru

Viena no galvenajām problēmām, izmantojot bināro skaitļu sistēmu, ir grūtības pārvērst decimālskaitli binārā. Tas ir diezgan darbietilpīgs uzdevums. Protams, nav pārāk grūti pārtulkot mazus trīs vai četru ciparu skaitļus, bet decimālskaitļiem ar 5 vai vairāk cipariem tas jau ir sarežģīti. Tas ir, mums ir nepieciešams veids, kā ātri pārvērst lielus decimālskaitļus bināros.

Šo metodi izgudroja franču matemātiķis Legendre. Dosim, piemēram, skaitli 11183445. Sadalām ar 64, iegūstam atlikumu 21 un koeficientu 174741. Šo skaitli atkal sadalām ar 64, iegūstam atlikumu 21 un koeficientu 2730. Visbeidzot , 2730 dalīts ar 64, iegūst atlikumu 42 un koeficientu 42, bet 64 binārā ir 1000000, 21 binārā ir 10101 un 42 ir 101010. Tāpēc sākotnējais skaitlis tiek rakstīts binārā veidā:

101010 101010 010101 010101

Lai padarītu to skaidrāku, šeit ir vēl viens piemērs ar mazāku skaitu. Pārveidosim skaitļa 235 bināro attēlojumu. Dalīsim 235 ar 64 ar atlikumu. Mēs iegūstam:

KVANTTIETS = 3, binārs 11 vai 000011

ATLIKUMS = 43, binārais 101011

Tad 235 = 11101011. Pārbaudīsim šo rezultātu:

11101011 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 1 + 2 0 = 128+64+32+8+2+1 = 235

Piezīmes:

1. Ir viegli redzēt, ka galīgais binārais skaitlis ietver visus atlikumus un pēdējā solī gan atlikumu, gan koeficientu.
2. Koeficients tiek uzrakstīts pirms atlikuma.
3. Ja iegūtajā koeficientā vai atlikuma binārajā attēlojumā ir mazāk par 6 cipariem (6 nulles satur skaitļa 64 = 1000000 bināro attēlojumu), tad tam pievieno nenozīmīgas nulles.

Un vēl viens sarežģīts piemērs. Numurs ir 25678425.

1. darbība: 25678425 dalīts ar 64

Privāts = 401225

Atlikušais = 25 = 011001

2. darbība: 401225 dalīts ar 64

Koeficients = 6269

Atlikums = 9 = 001001

3. darbība: 6269 dalīts ar 64

Koeficients = 97

Atlikušais = 61 = 111101

4. darbība: 97 dalīts ar 64

Koeficients = 1 = 000001

Atlikušais = 33 = 100001

Skaitļa rezultāts = 1,100001.111101.001001.011001

Šajā ciparā tajā iekļautie starprezultāti ir atdalīti ar punktu.

Konvertējiet skaitļus bināros attēlojumos:

PIELIKUMS: 1. TABULA

		0,015625
		0,0078125
		0,00390625
		0,001953125
		0,0009765625
		0,00048828125
		0,000244140625
		0,0001220703125
		0,00006103515625
		0,000030517578125
		0,0000152587890625
		0,00000762939453125
		0,000003814697265625
		0,0000019073486328125
		0,00000095367431640625
		0,000000476837158203125

Aritmētisko darbību veikšana jebkurā pozicionālā skaitļu sistēmā tiek veikta saskaņā ar tiem pašiem noteikumiem, kas tiek izmantoti decimālskaitļu sistēmā.

Tāpat kā decimālo skaitļu sistēmā, lai veiktu aritmētiskās darbības, ir jāzina saskaitīšanas (atņemšanas) un reizināšanas tabulas.

Saskaitīšanas, atņemšanas un reizināšanas tabula binārajai skaitļu sistēmai

Bināro skaitļu pievienošana

Saskaitīšana binārajā skaitļu sistēmā notiek saskaņā ar tiem pašiem noteikumiem kā decimālskaitļu sistēmā. Divus skaitļus ieraksta kolonnā, kas izlīdzināta ar veselā skaitļa un daļdaļas atdalītāju un, ja nepieciešams, tiek papildināta labajā pusē ar nebūtiskām nullēm. Pievienošana sākas no galējā labā cipara. Divas zemas kārtas vienības ir apvienotas augstākās kārtas vienībā.

Piemērs: 1011,1 2 + 1010,11 2

Interesanta ir arī situācija, kad tiek saskaitīti vairāk nekā divi skaitļi. Šajā gadījumā ir iespējama pārsūtīšana caur vairākiem cipariem.
Piemērs: 111,1 2 + 111 2 + 101,1 2

Pievienojot vieninieku vietā (bits 0), ir 4, kas, apvienojot, dod 100 2 . Tāpēc tas tiek pārsūtīts no nulles cipara uz pirmo ciparu 0 , un otrajā - 1 .
Līdzīga situācija rodas otrajā ciparā, kur, ņemot vērā divas pārsūtītās vienības, tiek iegūts skaitlis 5 = 101 2 . 1 paliek otrajā kategorijā, 0 pārcelts uz trešo un 1 pārcelts uz ceturto.

Bināro skaitļu atņemšana

Gadījumos, kad tiek piesaistīta vecākās kategorijas vienība, tā dod divas junioru kategorijas vienības. Ja vienība tiek pētīta pēc vairākām kategorijām, tad tā dod vienu vienību visās vidējās nulles kategorijās un divas vienības kategorijā, kurai tā tika pētīta.
Piemērs: 10110,01 2 — 1001,1 2

Aritmētiskās darbības visās pozicionālo skaitļu sistēmās tiek veiktas pēc tiem pašiem noteikumiem, kas jums ir labi zināmi.

Papildinājums. Apsvērsim skaitļu pievienošanu binārajā skaitļu sistēmā. Tas ir balstīts uz tabulu viencipara bināro skaitļu pievienošanai :

Ir svarīgi pievērst uzmanību tam, ka, pievienojot divus, cipars pārplūst un tiek pārsūtīts uz nozīmīgāko ciparu. Ciparu pārpilde notiek, kad tajā esošā skaitļa vērtība kļūst vienāda ar bāzi vai lielāka par to.

Vairāku bitu bināro skaitļu pievienošana notiek saskaņā ar iepriekš minēto saskaitīšanas tabulu, ņemot vērā iespējamo pārsūtīšanu no zemas kārtas uz augstākās kārtas cipariem.

Piemēram, pievienosim kolonnā bināros skaitļus 110 2 un 11 2 :

Pārbaudīsim aprēķinu pareizību, saskaitot decimālskaitļu sistēmā. Pārvērsīsim bināros skaitļus decimālo skaitļu sistēmā un pēc tam pievienosim tos:

110 2 =1*2 2 + 1*2 1 + 0*2 0 = 6 10 ;

11 2 = 1*2 1 + 1*2 0 = 3 10 ;

6 10 + 3 10 = 9 10 .

Tagad pārveidosim binārās saskaitīšanas rezultātu par decimālo skaitli:

1001 2 = 1*2 3 +0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 9 10 /

Salīdzināsim rezultātus – pievienošana tika veikta pareizi.

Atņemšana. Apskatīsim bināro skaitļu atņemšanu. Tas ir balstīts uz tabulu viencipara bināro skaitļu atņemšanai. Atņemot lielāku skaitli (1) no mazāka skaitļa (0), aizdevums tiek veikts no lielākā cipara. Tabulā aizdevums ir apzīmēts ar 1 ar rindu:

Vairāku bitu bināro skaitļu atņemšana notiek saskaņā ar iepriekš minēto atņemšanas tabulu, ņemot vērā iespējamos aizņēmumus no nozīmīgākajiem bitiem. Piemēram, atņemsim bināros skaitļus 110 2 un 11 2:

Reizināšana. Reizināšana balstās uz viencipara bināro skaitļu reizināšanas tabulu:

Daudzciparu bināro skaitļu reizināšana notiek saskaņā ar iepriekš minēto reizināšanas tabulu saskaņā ar parasto shēmu, ko izmanto decimālo skaitļu sistēmā ar reizinātāja secīgu reizināšanu ar reizinātāja cipariem. Piemēram, sareizināsim bināros skaitļus un:

Divīzija. Dalīšanas operācija tiek veikta, izmantojot algoritmu, kas ir līdzīgs dalīšanas darbības veikšanas algoritmam decimālskaitļu sistēmā. Piemēram, sadalīsim bināro skaitli 110 2 un 11 2: