Lai gan šī saikne no pirmā acu uzmetiena šķiet pilnīgi nepārprotama (šķiet, ka zinātniskā matemātika ir viena lieta, bet ekonomika un finanses ir pavisam kas cits), taču, izpētot šī skaitļa “atklāšanas” vēsturi, viss kļūst acīmredzams. Faktiski neatkarīgi no tā, kā zinātnes tiek sadalītas dažādās šķietami nesaistītās nozarēs, vispārējā paradigma joprojām būs tāda pati (jo īpaši patērētāju sabiedrībai - “patērētāju” matemātika).

Sāksim ar definīciju. e ir naturālā logaritma bāze, matemātiskā konstante, iracionāls un pārpasaulīgs skaitlis. Dažreiz skaitli e sauc par Eilera skaitli vai Napier skaitli. Apzīmē ar mazo latīņu burtu “e”.

Tā kā eksponenciālā funkcija e^x ir integrēta un diferencēta “sevī”, logaritmi, kuru pamatā ir e bāze, tiek pieņemti kā dabiski (lai gan par pašu “dabiskuma” nosaukumu vajadzētu būt lielām šaubām, jo ​​visa matemātika būtībā balstās uz mākslīgi izgudrotu. tie, kas ir atdalīti no dabas fiktīviem principiem un nepavisam nav uz dabiskiem).

Šo skaitli dažreiz sauc par Nepjē par godu skotu zinātniekam Napieram, darba “Apbrīnojamās logaritmu tabulas apraksts” (1614) autoram. Tomēr šis nosaukums nav pilnīgi pareizs, jo Napier tieši neizmantoja pašu numuru.

Konstante vispirms klusējot parādās 1618. gadā publicētā Napiera iepriekšminētā darba tulkojuma angļu valodā pielikumā. Aizkulisēs, jo tajā ir tikai no KINEMĀTISKIEM apsvērumiem noteikta naturālo logaritmu tabula, bet pašas konstantes nav.

Pašu konstanti pirmais aprēķināja Šveices matemātiķis Bernulli (pēc oficiālās versijas 1690. gadā), risinot PROCENTU IENĀKUMU ierobežojošās vērtības problēmu. Viņš atklāja, ka, ja sākotnējā summa bija 1 ASV dolārs (valūta ir pilnīgi nesvarīga) un vienu reizi gada beigās saliktu 100% gadā, galīgā summa būtu 2 ASV dolāri. Bet, ja vieni un tie paši procenti tiek pieskaitīti divas reizes gadā, tad 1 ASV dolārs tiek reizināts ar 1,5 divreiz, kā rezultātā tiek iegūti 1,00 $ x 1,5² = 2,25 ASV dolāri. Salikto procentu ceturkšņa rezultāti ir USD 1,00 x 1,254 = USD 2,44140625 utt. Bernulli parādīja, ka, ja procentu aprēķināšanas biežums PALIELINĀS BEZGALĪGI, tad procentu ienākumiem salikto procentu gadījumā ir limits - un šī robeža ir vienāda ar 2,71828...

1,00 ASV dolāri × (1+1/12)12 = 2,613035 ASV dolāri…

1,00 ASV dolāri × (1+1/365)365 = 2,714568 ASV dolāri… — limitā skaitlis e

Tādējādi skaitlis e faktiski vēsturiski nozīmē maksimālo iespējamo GADA PEĻŅU 100% gadā un maksimālo procentu kapitalizācijas biežumu. Un kāds ar to sakars Visuma likumiem? Skaitlis e ir viens no svarīgākajiem pamatelementiem kredītprocentu monetārās ekonomikas pamatos patērētāju sabiedrībā, kurā jau no paša sākuma pat mentālās filozofijas līmenī visa mūsdienās lietotā matemātika tika koriģēta un saasināta vairākus gadsimtus. pirms.

Pirmais zināmais šīs konstantes lietojums, kur tas tika apzīmēts ar burtu b, parādās Leibnica vēstulēs Huygensam, 1690-1691.

Eilers sāka lietot burtu e 1727. gadā, tas pirmo reizi parādās Eilera vēstulē vācu matemātiķim Goldbaham, kas datēta 1731. gada 25. novembrī, un pirmā publikācija ar šo vēstuli bija viņa darbs “Mehānika jeb kustības zinātne, analītiski izskaidrota. ”, 1736. Attiecīgi e parasti sauc par Eilera skaitli. Lai gan daži zinātnieki vēlāk izmantoja burtu c, burts e tika lietots biežāk un mūsdienās ir standarta apzīmējums.

Nav precīzi zināms, kāpēc izvēlēts burts e. Varbūt tas ir saistīts ar faktu, ka vārds eksponenciāls (“indikatīvais”, “eksponenciāls”) sākas ar to. Vēl viens ieteikums ir tāds, ka burti a, b, c un d jau bija diezgan plaši izmantoti citiem mērķiem, un e bija pirmais "bezmaksas" burts. Jāatzīmē arī tas, ka burts e ir pirmais burts uzvārdā Euler.

Bet jebkurā gadījumā teikt, ka skaitlis e kaut kādā veidā attiecas uz Visuma un dabas universālajiem likumiem, ir vienkārši absurdi. Šis skaitlis pēc paša jēdziena sākotnēji bija saistīts ar kredītu un finanšu monetāro sistēmu, un jo īpaši caur šo skaitli (bet ne tikai) kredītu un finanšu sistēmas ideoloģija netieši ietekmēja visas pārējās matemātikas veidošanos un attīstību, un caur to visas pārējās zinātnes (galu galā, bez izņēmuma zinātne kaut ko aprēķina, izmantojot matemātikas noteikumus un pieejas). Skaitlim e ir liela nozīme diferenciālrēķinos un integrālrēķinos, kas caur to faktiski ir saistīts arī ar procentu ienākumu maksimizēšanas ideoloģiju un filozofiju (varētu pat teikt, ka tas ir saistīts zemapziņā). Kā ir saistīts naturālais logaritms? Nosakot e kā konstanti (kopā ar visu pārējo), domāšanā izveidojās netiešas sakarības, saskaņā ar kurām visa esošā matemātika vienkārši nevar pastāvēt atrauti no monetārās sistēmas! Un šajā gaismā nemaz nav pārsteidzoši, ka senie slāvi (un ne tikai viņi) lieliski tika galā bez konstantēm, iracionāliem un pārpasaulīgiem skaitļiem un pat bez skaitļiem un cipariem vispār (senos laikos burti darbojās kā cipari), atšķirīga loģika, atšķirīga domāšana sistēmā naudas trūkuma gadījumā (un līdz ar to viss, kas ar to saistīts) visu iepriekš minēto padara vienkārši nevajadzīgu.

Aprakstot e kā “konstanti, kas aptuveni vienāda ar 2,71828...” ir tas pats, kas saukt pi “neracionālu skaitli, kas aptuveni vienāds ar 3,1415...”. Tā neapšaubāmi ir taisnība, taču būtība mums joprojām nav aktuāla.

Pi ir apkārtmēra attiecība pret diametru, vienāda visiem apļiem. Tā ir pamata proporcija, kas ir kopīga visiem apļiem, un tāpēc tā ir iesaistīta apkārtmēra, laukuma, tilpuma un virsmas laukuma aprēķināšanā apļiem, sfērām, cilindriem utt. Pi parāda, ka visi apļi ir saistīti, nemaz nerunājot par trigonometriskajām funkcijām, kas iegūtas no apļiem (sinuss, kosinuss, tangenss).

Skaitlis e ir pamata pieauguma koeficients visiem nepārtraukti augošajiem procesiem. E skaitlis ļauj ņemt vienkāršu pieauguma tempu (kur atšķirība ir redzama tikai gada beigās) un aprēķināt šī rādītāja sastāvdaļas, normālu izaugsmi, kurā ar katru nanosekundi (vai pat ātrāk) viss nedaudz aug. vairāk.

Skaitlis e ir iesaistīts gan eksponenciālās, gan nemainīgās pieauguma sistēmās: iedzīvotāju skaits, radioaktīvā sabrukšana, procentuālais aprēķins un daudzi, daudzi citi. Pat pakāpju sistēmas, kas neaug vienmērīgi, var tuvināt, izmantojot skaitli e.

Tāpat kā jebkuru skaitli var uzskatīt par 1 (pamatvienības) "mērogotu" versiju, jebkuru apli var uzskatīt par vienības apļa "mērogotu" versiju (ar rādiusu 1). Un jebkuru augšanas faktoru var uzskatīt par e ("vienības" augšanas faktora) "mērogotu" versiju.

Tātad skaitlis e nav nejaušs skaitlis, kas ņemts nejauši. Skaitlis e iemieso ideju, ka visas nepārtraukti augošās sistēmas ir viena un tā paša metrikas mērogotas versijas.

Eksponenciālās izaugsmes jēdziens

Sāksim, aplūkojot pamata sistēmu, kas dubultspēlēs uz noteiktu laiku. Piemēram:

• Baktērijas dalās un “dubultojas” ik pēc 24 stundām
• Mēs iegūstam divreiz vairāk nūdeles, ja tās sadalām uz pusēm
• Jūsu nauda katru gadu dubultojas, ja gūstat 100% peļņu (veiksmi!)

Un tas izskatās apmēram šādi:

Dalīšana ar diviem vai dubultošana ir ļoti vienkārša progresēšana. Protams, mēs varam trīskāršot vai četrkāršot, bet dubultošana ir ērtāka skaidrojumam.

Matemātiski, ja mums ir x sadalījums, mēs iegūstam 2^x reizes vairāk labuma, nekā mēs sākām. Ja tiek izveidots tikai 1 nodalījums, mēs iegūstam 2^1 reizi vairāk. Ja ir 4 nodalījumi, mēs iegūstam 2^4=16 daļas. Vispārējā formula izskatās šādi:

augstums= 2 x

Citiem vārdiem sakot, dubultošana ir 100% pieaugums. Mēs varam pārrakstīt šo formulu šādi:

augstums= (1+100%) x

Šī ir tā pati vienlīdzība, mēs vienkārši sadalījām “2” tā sastāvdaļās, kas būtībā ir šis skaitlis: sākotnējā vērtība (1) plus 100%. Gudri, vai ne?

Protams, mēs varam aizstāt 100% vietā jebkuru citu skaitli (50%, 25%, 200%) un iegūt šī jaunā koeficienta pieauguma formulu. Vispārīgā formula laika rindas x periodiem būs:

augstums = (1+izaugsmi)x

Tas vienkārši nozīmē, ka mēs izmantojam atdeves likmi (1 + pieaugums), "x" reizes pēc kārtas.

Apskatīsim tuvāk

Mūsu formula pieņem, ka izaugsme notiek atsevišķos posmos. Mūsu baktērijas gaida un gaida, un tad bam!, un pēdējā brīdī to skaits dubultojas. Mūsu peļņa no depozīta procentiem maģiski parādās tieši pēc 1 gada. Pamatojoties uz iepriekš uzrakstīto formulu, peļņa pieaug pakāpeniski. Pēkšņi parādās zaļi punktiņi.

Bet pasaule ne vienmēr ir tāda. Ja mēs pietuvinām, mēs varam redzēt, ka mūsu baktēriju draugi pastāvīgi dalās:

Zaļais puisis nerodas no nekā: viņš lēnām izaug no zilā vecāka. Pēc 1 laika perioda (mūsu gadījumā 24 stundas) zaļais draugs jau ir pilnībā nogatavojies. Nobriedis, viņš kļūst par pilntiesīgu zilo ganāmpulka pārstāvi un pats var izveidot jaunas zaļās šūnas.

Vai šī informācija kaut kādā veidā mainīs mūsu vienādojumu?

Nē. Baktēriju gadījumā pusveidotās zaļās šūnas joprojām neko nevar darīt, kamēr tās nav izaugušas un pilnībā atdalās no zilajiem vecākiem. Tātad vienādojums ir pareizs.

Pirms naturālā logaritma jēdziena ieviešanas aplūkosim konstanta skaitļa $e$ jēdzienu.

Numurs $e$

1. definīcija

Numurs $e$ ir matemātiska konstante, kas ir pārpasaulīgs skaitlis un ir vienāds ar $e\apmēram 2,718281828459045\ldots$.

2. definīcija

Transcendents ir skaitlis, kas nav polinoma sakne ar veseliem skaitļiem.

1. piezīme

Pēdējā formula apraksta otrā brīnišķīgā robeža.

Tiek saukts arī skaitlis e Eilera skaitļi, un dažreiz Napier skaitļi.

2. piezīme

Lai atcerētos skaitļa $е$ pirmos ciparus, bieži tiek izmantota šāda izteiksme: "$2$, $7$, divreiz Ļevs Tolstojs". Protams, lai to varētu izmantot, jāatceras, ka Ļevs Tolstojs ir dzimis $1828$ Tieši šie skaitļi atkārtojas divreiz skaitļa $e$ vērtībā aiz veselās daļas $2$ un decimāldaļa $7$.

Mēs sākām apsvērt skaitļa $e$ jēdzienu, pētot naturālo logaritmu tieši tāpēc, ka tas atrodas logaritma $\log_(e)⁡a$ pamatā, ko parasti sauc dabisks un ierakstiet to formā $\ln⁡a$.

Dabiskais logaritms

Bieži vien aprēķinos tiek izmantoti logaritmi, kuru bāze ir skaitlis $е$.

4. definīcija

Tiek izsaukts logaritms ar bāzi $e$ dabisks.

Tie. naturālo logaritmu var apzīmēt kā $\log_(e)⁡a$, bet matemātikā ierasts lietot apzīmējumu $\ln ⁡a$.

Dabiskā logaritma īpašības

Jo logaritms jebkurai vienības bāzei ir vienāds ar $0$, tad vienības naturālais logaritms ir vienāds ar $0$:

Skaitļa $е$ naturālais logaritms ir vienāds ar vienu:

Divu skaitļu reizinājuma naturālais logaritms ir vienāds ar šo skaitļu naturālo logaritmu summu:

$\ln⁡(ab)=\ln⁡a+\ln⁡b$.

Divu skaitļu koeficienta naturālais logaritms ir vienāds ar šo skaitļu naturālo logaritmu starpību:

$\ln⁡\frac(a)(b)=\ln⁡a-\ln⁡ b$.

Skaitļa pakāpes naturālo logaritmu var attēlot kā eksponenta un apakšlogaritmiskā skaitļa naturālā logaritma reizinājumu:

$\ln⁡ a^s=s \cdot \ln⁡ a$.

1. piemērs

Vienkāršojiet izteiksmi $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)$.

Risinājums.

Pielietosim reizinājuma logaritma īpašību pirmajam logaritmam skaitītājā un saucējā un jaudas logaritma īpašību otrajam skaitītāja un saucēja logaritmam:

$\frac(2 \ln⁡4e-\ln⁡16)(\ln⁡5e-\frac(1)(2) \ln⁡25)=\frac(2(\ln⁡4+\ln⁡e) -\ln⁡ 4^2)(\ln⁡5+\ln⁡e-\frac(1)(2) \ln⁡ 5^2)=$

Atvērsim iekavas un parādīsim līdzīgus terminus, kā arī lietosim rekvizītu $\ln ⁡e=1$:

$=\frac(2 \ln ⁡4+2-2 \ln ⁡4)(\ln ⁡5+1-\frac(1)(2) \cdot 2 \ln ⁡5)=\frac(2)( \ln⁡5+1-\ln⁡5)=2$.

Atbilde: $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=2$.

2. piemērs

Atrodiet izteiksmes $\ln⁡ 2e^2+\ln \frac(1)(2e)$ vērtību.

Risinājums.

Pielietosim logaritmu summas formulu:

$\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=\ln 2e^2 \cdot \frac(1)(2e)=\ln ⁡e=1$.

Atbilde: $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=1$.

3. piemērs

Aprēķiniet logaritmiskās izteiksmes vērtību $2 \lg ⁡0.1+3 \ln⁡ e^5$.

Risinājums.

Pielietosim pakāpju logaritma īpašību:

$2 \lg ⁡0.1+3 \ln e^5=2 \lg 10^(-1)+3 \cdot 5 \ln ⁡e=-2 \lg ⁡10+15 \ln ⁡e=-2+ 15= 13 $.

Atbilde: 2 $ \lg ⁡0,1+3 \ln e^5=13 $.

4. piemērs

Vienkāršojiet logaritmisko izteiksmi $\ln \frac(1)(8)-3 \ln ⁡4$.

$3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=3 \ln (\frac(3)(e))^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \ frac(3)(e)-2 \cdot 3 \ln ⁡3=6 \ln \frac(3)(e)-6 \ln ⁡3=$

Pirmajam logaritmam piemērojam koeficienta logaritma īpašību:

$=6(\ln⁡3-\ln⁡e)-6 \ln⁡ 3=$

Atvērsim iekavas un parādīsim līdzīgus terminus:

$=6 \ln ⁡3-6 \ln ⁡e-6 \ln ⁡3=-6 $.

Atbilde: $3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=-6$.

Katra no funkcijām E pārbauda norādīto vērtību un atkarībā no rezultāta atgriež TRUE vai FALSE. Piemēram, funkcija TUKŠS atgriež Būla vērtību TRUE, ja pārbaudāmā vērtība ir atsauce uz tukšu šūnu; pretējā gadījumā tiek atgriezta Būla vērtība FALSE.

Funkcijas E tiek izmantoti, lai iegūtu informāciju par vērtību pirms aprēķina vai citas darbības ar to. Piemēram, lai veiktu citu darbību, kad rodas kļūda, varat izmantot funkciju KĻŪDA kombinācijā ar funkciju JA:

= IF( KĻŪDA(A1); "Radās kļūda."; A1*2)

Šī formula pārbauda, ​​vai šūnā A1 nav kļūdu. Ja rodas kļūda, funkcija JA atgriež ziņojumu "Radās kļūda." Ja kļūdu nav, funkcija JA aprēķina reizinājumu A1*2.

Sintakse

EMPTY(vērtība)

EOS (vērtība)

KĻŪDA(vērtība)

ELOGIC(vērtība)

UNM(vērtība)

TĪKSTOKS(vērtība)

ETEKSTS(vērtība)

funkcijas arguments E ir aprakstīti zemāk.

nozīmē Nepieciešamais arguments. Vērtība tiek pārbaudīta. Šī argumenta vērtība var būt tukša šūna, kļūdas vērtība, Būla vērtība, teksts, skaitlis, atsauce uz kādu no uzskaitītajiem objektiem vai šāda objekta nosaukums.

Funkcija	Atgriež TRUE, ja
	Vērtības arguments attiecas uz tukšu šūnu
	Vērtības arguments attiecas uz jebkuru kļūdas vērtību, kas nav #N/A
	Vērtības arguments attiecas uz jebkuru kļūdas vērtību (#N/A, #VALUE!, #REF!, #DIV/0!, #NUM!, #NAME? vai #EMPTY!)
	Vērtības arguments attiecas uz Būla vērtību
	Vērtības arguments attiecas uz #N/A kļūdas vērtību (vērtība nav pieejama)
ENETEKSTS	Vērtības arguments attiecas uz jebkuru elementu, kas nav teksts. (Ņemiet vērā, ka funkcija atgriež TRUE, ja arguments attiecas uz tukšu šūnu.)
	Vērtības arguments attiecas uz skaitli
	Vērtības arguments attiecas uz tekstu

Piezīmes

Argumenti funkcijās E netiek pārvērsti. Jebkuri skaitļi pēdiņās tiek uzskatīti par tekstu. Piemēram, lielākajā daļā citu funkciju, kurām nepieciešams skaitlisks arguments, teksta vērtība"19" pārvērš par skaitli 19. Tomēr formulā ISNUMBER("19") šī vērtība netiek pārvērsta no teksta par skaitli, un funkcija ISNUMBER atgriež FALSE.

Funkciju izmantošana E Aprēķinu rezultātus ir ērti pārbaudīt formulās. Apvienojot šīs funkcijas ar funkciju JA, jūs varat atrast kļūdas formulās (skatiet piemērus tālāk).

Piemēri

1. piemērs

Kopējiet parauga datus no šīs tabulas un ielīmējiet tos jaunas Excel darblapas šūnā A1. Lai parādītu formulu rezultātus, atlasiet tās un nospiediet taustiņu F2, pēc tam nospiediet taustiņu Enter. Ja nepieciešams, mainiet kolonnu platumu, lai redzētu visus datus.

Kopējiet parauga datus no tālāk esošās tabulas un ielīmējiet tos jaunas Excel darblapas šūnā A1. Lai parādītu formulu rezultātus, atlasiet tās un nospiediet taustiņu F2, pēc tam nospiediet taustiņu Enter. Ja nepieciešams, mainiet kolonnu platumu, lai redzētu visus datus.

Dati
Formula	Apraksts	Rezultāts
TUKŠS(A2)	Pārbauda, ​​vai šūna C2 ir tukša
KĻŪDA (A4)	Pārbauda, ​​vai vērtība šūnā A4 (#REF!) ir kļūdas vērtība
	Pārbauda, ​​vai vērtība šūnā A4 (#REF!) ir kļūdas vērtība #N/A
	Pārbauda, ​​vai vērtība šūnā A6 (#N/A) ir kļūdas vērtība #N/A
	Pārbauda, ​​vai vērtība šūnā A6 (#N/A) ir kļūdas vērtība
ISNUMBER(A5)	Pārbauda, ​​vai vērtība šūnā A5 (330.92) ir skaitlis
ETEKSTS(A3)	Pārbauda, ​​vai vērtība šūnā A3 ("Reģions1") ir teksts

y (x) = e x, kuras atvasinājums ir vienāds ar pašu funkciju.

Eksponents ir apzīmēts kā , vai .

Numurs e

Eksponenta pakāpes pamats ir numurs e. Tas ir neracionāls skaitlis. Tas ir aptuveni vienāds
e ≈ 2,718281828459045...

Skaitlis e tiek noteikts, izmantojot secības robežu. Šis ir tā sauktais otrā brīnišķīgā robeža:
.

Skaitli e var attēlot arī kā sēriju:
.

Eksponenciālais grafiks

Eksponenciālais grafiks, y = e x .

Grafikā parādīts eksponenciāls e līdz pakāpei X.
y (x) = e x
Grafikā redzams, ka eksponents palielinās monotoni.

Formulas

Pamatformulas ir tādas pašas kā eksponenciālajai funkcijai ar e pakāpes bāzi.

;
;
;

Eksponenciālas funkcijas ar patvaļīgu a pakāpes bāzi izteiksme caur eksponenciālu:
.

Privātās vērtības

Ļaujiet y (x) = e x. Tad
.

Eksponentu īpašības

Eksponentam ir eksponenciālas funkcijas īpašības ar jaudas bāzi e > 1 .

Domēns, vērtību kopa

Eksponents y (x) = e x definēts visiem x.
Tās definīcijas joma:
- ∞ < x + ∞ .
Tās daudzās nozīmes:
0 < y < + ∞ .

Galējības, pieaug, samazinās

Eksponenciālais ir monotoni pieaugoša funkcija, tāpēc tai nav ekstrēmu. Tās galvenās īpašības ir parādītas tabulā.

Apgrieztā funkcija

Eksponenta apgrieztā vērtība ir naturālais logaritms.
;
.

Eksponenta atvasinājums

Atvasinājums e līdz pakāpei X vienāds ar e līdz pakāpei X :
.
N-tās kārtas atvasinājums:
.
Formulu atvasināšana >>>

Integrāls

Kompleksie skaitļi

Darbības ar kompleksajiem skaitļiem tiek veiktas, izmantojot Eilera formulas:
,
kur ir iedomātā vienība:
.

Izteiksmes, izmantojot hiperboliskās funkcijas

; ;
.

Izteiksmes, izmantojot trigonometriskās funkcijas

; ;
;
.

Jaudas sērijas paplašināšana

Atsauces:
I.N. Bronšteins, K.A. Semendjajevs, Matemātikas rokasgrāmata inženieriem un koledžas studentiem, “Lan”, 2009.