강의 1 2개 변수와 여러 변수의 함수 이론(TFNP). 1. FNP의 개념. 2. FNP 한도. 3. FNP의 연속성. 4. 1차 편도함수. 5. 복잡한 함수의 파생물. 6. 암시적 함수의 파생물입니다. 7. 고차 파생상품.

1. FNP의 개념. 집합 D를 평면 위의 영역으로 설정합니다. 정의. 숫자가 연관되어 있으면 숫자 함수 D가 함수 정의 영역인 세트 D에 제공된다고 말합니다.

점인 경우 매핑은 2개의 변수 함수인 2개의 좌표로 지정됩니다. 이러한 함수의 그래프는 x, y, z 좌표(공간 표면)를 갖는 점 집합이 됩니다.

f(x, y)의 기하학적 해석. D – 평면 0 ХY z D – 함수 f(x, y) 그래프를 평면 0 ХY z f О x D x y y에 투영한 함수 그래프는 공간의 표면입니다.

2. 두 변수의 함수의 한계. 점을 점이라고 합시다. 점의 이웃인 점 집합을 호출합니다.

정의. 점 P를 집합 D의 내부 점이라고 부르십시오. 정의. 모든 점 D가 이 세트 내부에 있으면 이를 개방형이라고 합니다. 정의. 점을 포함하는 열린 집합을 이웃이라고 합니다.

정의. 이 집합에 있는 연속 곡선으로 연결될 수 있는 두 점의 집합을 연결이라고 합니다. 정의. 열린 연결 집합을 영역이라고 합니다.

한 점 근처에 있는 함수를 어떤 점에서 정의하도록 하십시오(반드시 점 자체에서는 필요하지 않음) 숫자 A는 다음과 같은 경향이 있기 때문에 함수의 극한이라고 합니다.

지정. 논평. 흡인은 모든 법칙과 방향에 따라 발생할 수 있지만 모든 제한 값이 존재하며 A와 같습니다.

예. 함수를 생각해 봅시다. t를 통과하는 경향을 생각해 봅시다. (0, 0): 직선을 따라 A의 값은 어떻게 하느냐에 따라 달라집니다.

3. FNP의 연속성. 조건 1~3 중 하나라도 위반되면 불연속 지점이 되는 함수를 한 지점에서 연속이라고 합니다.

중단점은 분리될 수 있으며 중단선, 중단 표면을 형성할 수 있습니다. 예. a) 중단점 - (격리됨) b) - 중단선

정의. 그 차이를 함수의 총 증분이라고 합니다. 정의. 극한은 함수의 편도함수라고 합니다(존재한다고 가정).

FNP의 편도함수를 계산하는 규칙은 하나의 변수 함수에 대한 해당 규칙과 일치합니다. 논평. 변수 중 하나에 대한 FNP의 미분을 계산할 때 다른 모든 변수는 상수로 간주됩니다. 예.

정의. 한 지점에서 함수의 총 증분 중 주요(선형) 부분을 호출합니다. 완전 차동이 시점에서 기능합니다.

5. 복잡한 함수의 파생물. 즉, z가 x, y의 복소 함수인 함수를 고려해 보겠습니다. 변수 x 및 y에 대한 복소 함수의 편도함수는 다음과 같이 계산됩니다. (단일 변수의 복소 함수의 경우)

총 도함수 a) 여기서, 즉 z는 하나의 인수 t의 복소 함수입니다. 그런 다음 인수 t에 대한 함수의 전체 도함수입니다.

자연과학과 경제학의 다양한 패턴을 연구할 때 두 개(또는 그 이상)의 독립 변수의 함수를 접하게 됩니다.

정의(두 변수의 함수에 대한)허락하다 엑스 , 와이 그리고 지 - 다수. 커플이라면 각각 (엑스, 와이) 각각 세트의 요소 엑스 그리고 와이 어떤 법에 의해서 에프 단 하나의 요소와 일치합니다. 지 많은 사람들로부터 지 , 그러면 그들은 이렇게 말해요 두 변수의 함수가 주어진다 지 = 에프(엑스, 와이) .

일반적으로 두 변수의 함수 영역 기하학적으로 특정 점 집합으로 표현될 수 있습니다( 엑스; 와이) 비행기 xOy .

여러 변수의 함수와 관련된 기본 정의는 해당 변수의 일반화입니다. 하나의 변수의 함수에 대한 정의 .

한 무리의 디~라고 불리는 함수의 영역 지, 그리고 세트 이자형 – 그 많은 의미. 변수 엑스그리고 와이기능과 관련하여 지인수라고 합니다. 변하기 쉬운 지종속변수라고 합니다.

인수의 비공개 값

함수의 비공개 값에 해당합니다.

여러 변수의 함수 영역

만약에 여러 변수의 함수(예: 두 변수) 공식에 의해 주어진 지 = 에프(엑스, 와이) , 저것 정의 영역 평면의 모든 점의 집합입니다. x0y, 이에 대한 표현식은 에프(엑스, 와이) 이해가 되고 받아들인다 실제 가치. 여러 변수의 함수 영역에 대한 일반 규칙은 다음의 일반 규칙에서 파생됩니다. 하나의 변수에 대한 함수 정의 영역. 차이점은 두 변수의 함수의 경우 정의 영역은 하나의 변수 함수의 경우처럼 직선이 아니라 평면 위의 특정 점 집합이라는 것입니다. 세 변수의 함수의 경우 정의 영역은 3차원 공간의 해당 점 집합이고 함수의 경우 N변수 - 초록의 해당 포인트 세트 N-차원 공간.

근이 있는 두 변수의 함수 영역 N학위

두 변수의 함수가 공식으로 주어지는 경우 N - 자연수 :

만약에 N짝수이면 함수 정의 영역은 0보다 크거나 같은 근호 표현의 모든 값에 해당하는 평면의 점 집합입니다.

만약에 N가 홀수인 경우 함수 정의 영역은 모든 값의 집합, 즉 전체 평면입니다. x0y .

정수 지수를 갖는 두 변수의 거듭제곱 함수의 영역

:

만약에 ㅏ- 양수이면 함수 정의 영역은 전체 평면입니다. x0y ;

만약에 ㅏ- 음수인 경우 함수 정의 영역은 0과 다른 값 집합입니다.

분수 지수가 있는 두 변수의 검정력 함수 영역

함수가 공식으로 주어지는 경우 :

만약 양수라면, 함수의 정의 영역은 0보다 크거나 같은 값을 취하는 평면의 점들의 집합입니다: ;

-가 음수이면 함수 정의 영역은 0보다 큰 값을 취하는 평면의 점 집합입니다.

두 변수의 로그 함수 정의 영역

두 변수의 로그 함수 즉, 정의 영역은 0보다 큰 값을 취하는 평면의 점 집합입니다.

두 변수의 삼각 함수 정의 영역

기능 영역 - 비행기 전체 x0y .

기능 영역 - 비행기 전체 x0y .

함수 정의 영역은 전체 평면입니다. x0y

기능 영역 - 비행기 전체 x0y, 값을 취하는 숫자 쌍은 제외됩니다.

두 변수의 역삼각함수 정의 영역

기능 영역 .

기능 영역 - 평면상의 점 집합 .

기능 영역 - 비행기 전체 x0y .

기능 영역 - 비행기 전체 x0y .

두 변수의 함수로 분수를 정의하는 영역

함수가 공식으로 주어지면 함수 정의 영역은 가 있는 평면의 모든 점입니다.

두 변수의 선형 함수의 영역

함수가 다음 형식의 공식으로 제공되는 경우 지 = 도끼 + ~에 의해 + 씨 이면 함수 정의 영역은 전체 평면입니다. x0y .

예시 1.

해결책. 정의 영역의 규칙에 따라 우리는 이중 불평등을 구성합니다.

우리는 전체 불평등을 곱하여 다음을 얻습니다.

결과 표현식은 두 변수의 이 함수 정의 영역을 지정합니다.

예시 2.두 변수로 구성된 함수의 정의역을 구합니다.

(강의1)

2개의 변수의 기능.

변수 z는 값 쌍 (x,y) G에 대해 변수 z의 특정 값이 연관되어 있는 경우 2개의 변수 f(x,y)의 함수라고 합니다.

데프.점 p 0의 근방은 점 p 0을 중심으로 하고 반지름을 갖는 원입니다. = (더블 엑스 0 ) 2 +(오오오 0 ) 2

임의로 작은 숫자의 경우 t.p에서 p0까지의 거리가 더 작은 x 및 y의 모든 값에 대해 다음 부등식이 유지되도록 숫자 ()>0을 지정할 수 있습니다. f(x,y) A , 즉. 반경이 있는 점 p 0 근처에 있는 모든 점 p에 대해 함수 값은 절대값보다 작은 차이로 A와 다릅니다. 그리고 이는 점 p가 점 p 0에 접근할 때 다음과 같이 의미합니다. 누구나

기능의 연속성.

함수 z=f(x,y)가 주어지면 p(x,y)는 현재 지점이고 p 0 (x 0 ,y 0)은 고려 중인 지점입니다.

데프.

3) 극한은 이 시점의 함수 값과 같습니다: = f(x 0 ,y 0);

임 f(x,y) = f(x 0 ,와이 0 );

PP 0

부분 파생.

인수 x에 x의 증분을 부여해 보겠습니다. x+x, 점 p 1 (x+x,y)를 얻고, 점 p에서 함수 값 간의 차이를 계산합니다.

x z = f(p1)-f(p) = f(x+x,y) - f(x,y) 인수 x의 증분에 해당하는 함수의 부분 증분입니다.

지= 임 엑스 지

지 = 임 f(x+x,y) - f(x,y)

Xx0X

여러 변수의 함수 정의

다양한 지식 분야의 많은 문제를 고려할 때 변수 간의 종속성을 연구하는 것이 필요합니다. 숫자 값그 중 하나는 다른 여러 가치에 의해 완전히 결정됩니다.

예를 들어신체의 물리적 상태를 연구할 때, 지점마다 그 특성의 변화를 관찰해야 합니다. 몸체의 각 지점은 x, y, z의 세 좌표로 지정됩니다. 따라서 밀도 분포를 연구하면 신체의 밀도가 x, y, z의 세 가지 변수에 따라 달라진다는 결론을 내릴 수 있습니다. 신체의 물리적 상태도 시간 t에 따라 변한다면 동일한 밀도는 x, y, z, t의 네 가지 변수 값에 따라 달라집니다.

다른 예시: 특정 유형의 제품 단위를 생산하는 데 드는 생산 비용을 연구합니다. 하자:

x - 재료비,

y - 지불 비용 임금직원,

z - 감가상각비.

생산 비용은 명명된 매개변수 x, y, z의 값에 따라 달라지는 것이 분명합니다.

정의 1.1각 값 세트에 대해 "n"개의 변수가 있는 경우

이 컬렉션 중 일부 세트 D에서 변수 z의 고유 값에 해당하면 함수가 세트 D에 제공된다고 말합니다.

"n" 변수.

정의 1.1에 명시된 집합 D를 이 함수의 정의 영역 또는 존재 영역이라고 합니다.

두 변수의 함수를 고려하면 숫자 모음은 다음과 같습니다.

일반적으로 (x, y)로 표시되고 Oxy 좌표 평면의 점으로 해석되며 두 변수의 함수 z = f (x, y) 정의 영역은 특정 점 집합으로 표시됩니다. 옥시 비행기에서.

예를 들어, 함수 정의 영역은

좌표가 관계를 만족하는 옥시 평면의 점 집합입니다.

즉, 중심이 원점에 있는 반지름 r의 원입니다.

기능을 위해

정의 영역은 조건을 만족하는 점입니다.

즉, 주어진 원에 대해 외부적입니다.

종종 두 변수의 함수는 암시적으로 지정됩니다. 즉, 방정식

세 가지 변수를 연결합니다. 이 경우 x, y, z 각각의 수량은 다른 두 수량의 암시적 함수로 간주될 수 있습니다.

두 변수 z = f(x, y)의 함수에 대한 기하학적 이미지(그래프)는 3차원 공간 Oxyz의 점 P(x, y, z) 집합으로, 그 좌표는 방정식 z = f를 충족합니다. (x, y).

일반적으로 연속 인수 함수의 그래프는 Oxyz 공간의 특정 표면이며 좌표 평면 Oxy에 함수 z= f (x, y)의 정의 영역으로 투영됩니다.

예를 들어 (그림 1.1) 함수 그래프는

는 구의 위쪽 절반이고 함수의 그래프입니다.

구의 아래쪽 절반입니다.

일정 선형 함수 z = ax + by + с는 Oxyz 공간의 평면이고, 함수 z = const의 그래프는 Oxyz 좌표 평면에 평행한 평면입니다.

3개 이상의 변수로 구성된 함수를 3차원 공간에서 그래프 형태로 시각적으로 표현하는 것은 불가능합니다.

다음에서는 더 큰(그러나 유한한) 수의 변수에 대한 고려가 유사하게 수행되기 때문에 주로 두 개 또는 세 개의 변수의 함수에 대한 고려로 제한할 것입니다.

여러 변수의 함수 정의.

(강의1)

임의의 값 세트(x,y,z,..,t)에 대해 변수 u의 잘 정의된 값이 연관된 경우 변수 u를 f(x,y,z,..,t)라고 합니다.

변수 값의 집합 집합을 함수 정의 영역이라고 합니다.

G - 집합 (x,y,z,..,t) - 정의 영역.

2개의 변수의 기능.

변수 z는 값 쌍에 대해 (x,y) О G 변수 z의 특정 값이 연관되어 있는 경우 2개의 변수 f(x,y)의 함수라고 합니다.

2변수 함수의 한계.

함수 z=f(x,y)가 주어지면 p(x,y)는 현재 지점이고 p 0 (x 0 ,y 0)은 고려 중인 지점입니다.

데프.점 p 0의 이웃은 점 p 0에 중심이 있고 반지름이 r인 원입니다. 아르 자형= Ö (더블 엑스 0 ) 2 +(오오오 0 ) 2 Ø

숫자 A는 p 0 지점에서 함수 |의 극한이라고 합니다.

임의로 작은 숫자 e의 경우, t.p에서 p0까지의 거리가 r보다 작은 x와 y의 모든 값에 대해 다음 불평등이 유지되도록 숫자 r(e)>0을 지정할 수 있습니다. ½f(x,y) - A½0, 반지름 r인 경우 함수 값은 절댓값에서 e보다 작은 만큼 A와 다릅니다. 그리고 이는 점 p가 점 p 0에 접근할 때 다음과 같이 의미합니다. 누구나경로에서 함수의 값은 숫자 A에 무기한 접근합니다.

기능의 연속성.

함수 z=f(x,y)가 주어지면 p(x,y)는 현재 지점이고 p 0 (x 0 ,y 0)은 고려 중인 지점입니다.

데프.함수 z=f(x,y)는 3가지 조건이 충족되는 경우 t.p 0에서 연속이라고 합니다.

1) 이 시점에서 함수가 정의됩니다. f(p 0) = f(x,y);

2)f-i에는 이 시점에서 한계가 있습니다.

3) 극한은 이 시점의 함수 값과 같습니다. b = f(x 0 ,y 0);

임 f(x,y)= 에프(엑스 0 ,와이 0 ) ;

피à 피 0

연속성 조건 중 하나 이상을 위반하면 지점 p를 중단점이라고 합니다. 2개의 변수로 구성된 함수의 경우 별도의 중단점과 전체 중단선이 있을 수 있습니다.

더 많은 수의 변수로 구성된 함수에 대한 극한 및 연속성의 개념은 유사하게 정의됩니다.

3변수 함수는 2변수 함수와 달리 그래픽으로 표시할 수 없습니다.

3변수 함수의 경우 불연속점, 불연속선 및 불연속면이 있을 수 있습니다.

부분 파생.

함수 z=f(x,y), p(x,y)가 고려 중인 점이라고 가정해 보겠습니다.

인수 x에 증분 Dx를 부여해 보겠습니다. x+Dx, 점 p 1 (x+Dx,y)를 얻고, 점 p에서 함수 값의 차이를 계산합니다.

D x z = f(p1)-f(p) = f(x+Dx,y) - f(x,y) - 인수 x의 증분에 해당하는 함수의 부분 증분입니다.

데프. 변수 x에 대한 함수 z=f(x,y)의 도함수의 몫은 변수 x에 대한 이 함수의 부분 증분과 후자가 다음과 같은 경향이 있을 때 이 증분에 대한 비율의 한계라고 합니다. 영.

¶ 지= 임 디 엑스 지

à ¶ 지 = 임 에프(엑스+ 디 x,y) - f(x,y)

¶ 엑스 디엑스® 0 디엑스

마찬가지로 변수 y에 대한 도함수의 몫을 결정합니다.

편도함수 찾기.

편도함수를 결정할 때 매번 하나의 변수만 변경되고 나머지 변수는 상수로 처리됩니다. 결과적으로, 우리는 단지 하나의 변수의 함수를 고려할 때마다 부분 도함수는 이 하나의 변수 함수의 일반적인 도함수와 일치합니다. 따라서 부분 도함수를 찾는 규칙: 고려 중인 변수에 대한 부분 도함수는 이 변수의 함수의 일반 도함수로 구하고 나머지 변수는 상수로 처리됩니다. 이 경우 하나의 변수(합계, 곱, 몫의 파생물)의 함수를 미분하는 모든 공식이 유효한 것으로 나타납니다.

여러 변수의 함수 개념

n차원 공간의 점 집합(X)에서 각 점 X = (x 1, x 2, ... x n)이 변수 z의 하나의 잘 정의된 값과 연관되어 있는 경우 그들은 다음과 같이 말합니다. n 변수의 함수 z = f(x 1, x 2, ...x n) = f (X).

이 경우 변수 x 1, x 2, ... x n이 호출됩니다. 독립 변수또는 인수함수, z - 종속변수, 기호 f는 대응의 법칙. 집합(X)은 다음과 같다. 정의 영역함수(이것은 n차원 공간의 특정 하위 집합입니다).

예를 들어, 함수 z = 1/(x 1 x 2)는 두 변수의 함수입니다. 인수는 변수 x 1 및 x 2이고 z는 종속 변수입니다. 정의 영역은 직선 x 1 = 0 및 x 2 = 0을 제외한 전체 좌표 평면입니다. x축과 세로축이 없습니다. 대응법칙에 따라 정의 영역의 임의의 점을 함수로 대체함으로써 특정 숫자를 얻습니다. 예를 들어 점 (2; 5)를 취하면 다음과 같습니다. x 1 = 2, x 2 = 5, 우리는
z = 1/(2*5) = 0.1(즉, z(2; 5) = 0.1)

z = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + an x ​​n + b 형식의 함수(여기서 a 1, a 2,… 및 n, b는 상수임)라고 합니다. 선의. 이는 변수 x 1, x 2, ... x n의 n 선형 함수의 합으로 간주될 수 있습니다. 다른 모든 함수는 호출됩니다. 비선형.

예를 들어, 함수 z = 1/(x 1 x 2)는 비선형이고 함수 z =
= x 1 + 7x 2 - 5 – 선형.

하나를 제외한 모든 변수의 값을 고정하면 모든 함수 z = f (X) = f(x 1, x 2, ... x n)은 하나의 변수의 n 함수와 연관될 수 있습니다.

예를 들어, 3개 변수 z = 1/(x 1 x 2 x 3)의 함수는 1개 변수의 3개 함수와 연관될 수 있습니다. x 2 = a와 x 3 = b를 고정하면 함수는 z = 1/(abx 1); 형식을 취합니다. x 1 = a와 x 3 = b를 고정하면 z = 1/(abx 2) 형식을 취하게 됩니다. x 1 = a와 x 2 = b를 고정하면 z = 1/(abx 3) 형식을 취하게 됩니다. 이 경우 세 가지 함수는 모두 동일한 형식을 갖습니다. 항상 그런 것은 아닙니다. 예를 들어, 두 변수의 함수에 대해 x 2 = a를 고정하면 z = 5x 1 a 형식을 취합니다. 거듭제곱 함수이고 x 1 = a를 고정하면 다음과 같은 형식을 취하게 됩니다. 지수 함수.

일정두 변수 z = f(x, y)의 함수는 3차원 공간(x, y, z)의 점 집합이며, 해당 z는 함수 관계에 의해 가로좌표 x 및 세로좌표 y와 관련됩니다.
z = f(x, y). 이 그래프는 3차원 공간의 일부 표면을 나타냅니다(예: 그림 5.3 참조).

함수가 선형(예: z = ax + by + c)인 경우 해당 그래프는 3차원 공간의 평면이라는 것이 증명될 수 있습니다. 다른 예 3D 그래프 Kremer의 교과서(pp. 405-406)를 사용하여 독립적으로 공부하는 것이 좋습니다.

변수가 2개 이상인 경우(n개 변수) 일정함수는 x 좌표 n+1이 주어진 함수 법칙에 따라 계산되는 (n+1)차원 공간의 점 집합입니다. 그러한 그래프를 이렇게 부른다. 초표면(선형 함수의 경우 – 초평면), 또한 과학적 추상화를 나타냅니다(묘사하는 것은 불가능합니다).

그림 5.3 - 3차원 공간에서 두 변수의 함수 그래프

평평한 표면 n 변수의 함수는 n차원 공간의 점 집합으로, 이 모든 점에서 함수의 값은 C와 동일합니다. 이 경우 숫자 C 자체를 호출합니다. 수준.

일반적으로 동일한 기능에 대해 (다른 레벨에 해당하는) 무한한 수의 레벨 표면을 구성하는 것이 가능합니다.

두 변수의 함수에 대해 레벨 표면은 다음 형식을 취합니다. 레벨 라인.

예를 들어, z = 1/(x 1 x 2)를 생각해 보세요. C = 10, 즉 1/(x 1 x 2) = 10. 그러면 x 2 = 1/(10x 1), 즉 평면에서 레벨 라인은 그림 5.4에 실선으로 표시된 형태를 취합니다. 예를 들어 C = 5와 같은 다른 수준을 취하면 함수 x 2 = 1/(5x 1)의 그래프 형태로 수준선을 얻습니다(그림 5.4에서 점선으로 표시).

그림 5.4 - 기능 수준 선 z = 1/(x 1 x 2)

또 다른 예를 살펴보겠습니다. z = 2x 1 + x 2라고 합니다. C = 2, 즉 2x 1 + x 2 = 2. 그러면 x 2 = 2 - 2x 1, 즉 평면에서 레벨 라인은 그림 5.5에서 실선으로 표시된 직선 형태를 취합니다. 예를 들어 C = 4와 같은 다른 레벨을 사용하면 직선 x 2 = 4 - 2x 1 형태의 레벨 선을 얻습니다(그림 5.5에서 점선으로 표시). 2x 1 + x 2 = 3에 대한 레벨 라인은 그림 5.5에서 점선으로 표시됩니다.

두 변수의 선형 함수의 경우 모든 레벨 라인이 평면에서 직선이 되고 모든 레벨 라인이 서로 평행하다는 것을 쉽게 확인할 수 있습니다.

그림 5.5 - 기능 수준 라인 z = 2x 1 + x 2

) 우리는 이미 더 어려운 예와 같은 복잡한 함수의 부분 파생물을 반복적으로 접했습니다. 그럼 또 무슨 얘기를 할 수 있겠어?! ...그리고 모든 것이 인생과 같습니다. 복잡할 수 없는 복잡성은 없습니다 =) 그러나 수학은 우리 세계의 다양성을 엄격한 틀에 맞추는 수학의 목적입니다. 때로는 다음과 같은 단 하나의 문장으로 이 작업을 수행할 수도 있습니다.

일반적으로 복소 함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다. , 어디, 적어도 하나문자의 나타냅니다 기능, 이는 다음에 따라 달라질 수 있습니다. 임의의변수의 수.

최소의 가장 간단한 옵션은 오랫동안 친숙한 하나의 변수에 대한 복잡한 함수입니다. 누구의 파생물우리는 지난 학기에 찾는 방법을 배웠습니다. 기능을 구별하는 능력도 가지고 있습니다. (동일한 기능을 살펴보십시오. ) .

따라서 이제 우리는 단지 사건에만 관심을 가질 것입니다. 매우 다양한 복잡한 함수로 인해 파생 함수의 일반 공식은 매우 번거롭고 소화하기 어렵습니다. 이와 관련하여 나는 귀하가 이해할 수 있는 구체적인 사례로 제한하겠습니다. 일반 원칙다음 파생 상품 찾기:

실시예 1

복잡한 함수가 주어지면 . 필수의:
1) 그 도함수를 찾고 1차 총 미분을 적습니다.
2) 에서 미분값을 계산합니다.

해결책: 먼저, 함수 자체를 살펴보겠습니다. 우리는 및 에 따라 기능을 제공합니다. 함수입니다하나의 변수:

둘째, 작업 자체에 세심한 주의를 기울이자. 유도체, 즉, 우리는 우리가 찾는 데 익숙한 부분 파생물에 대해 말하는 것이 아닙니다! 기능 이후 실제로는 하나의 변수에만 의존하는 경우 "파생"이라는 단어는 다음을 의미합니다. 총 파생 상품. 그녀를 찾는 방법?

가장 먼저 떠오르는 것은 직접 대체와 추가적인 차별화다. 대체하자 기능하려면:
, 그 후에는 원하는 파생물에 문제가 없습니다.

따라서 총 차이는 다음과 같습니다.

이 솔루션은 수학적으로 정확하지만 작은 뉘앙스는 문제가 공식화 된 방식으로 공식화 될 때 아무도 그러한 야만성을 기대하지 않는다는 것입니다 =) 그러나 진지하게 여기에서 실제로 결점을 찾을 수 있습니다. 함수가 꿀벌의 비행을 설명하고 중첩된 함수가 온도에 따라 변경된다고 가정해 보세요. 직접 대체 수행 , 우리는 단지 얻을 개인 정보, 예를 들어 더운 날씨에만 비행을 특징으로 합니다. 더욱이, 호박벌에 대해 잘 모르는 사람에게 완성된 결과를 제시하고 심지어 이 기능이 무엇인지 말해 준다면, 그 사람은 비행의 기본 법칙에 대해 전혀 배우지 못할 것입니다!

그래서 전혀 예상치 못하게, 우리의 윙윙거리는 형제는 우리가 보편적 공식의 의미와 중요성을 이해하도록 도와주었습니다.

파생 상품에 대한 "2층" 표기법에 익숙해지십시오. 고려 중인 작업에서는 파생 상품이 사용됩니다. 이 경우 다음 중 하나가 되어야 합니다. 매우 깔끔한항목에서: 직접 기호 "de"가 있는 파생 상품은 다음과 같습니다. 완전 파생상품, 둥근 아이콘이 있는 파생 상품은 부분 파생 상품. 마지막 것부터 시작해 보겠습니다.

글쎄, "꼬리"를 사용하면 모든 것이 일반적으로 기본입니다.

발견된 파생 상품을 공식에 ​​대체해 보겠습니다.

처음에 기능이 복잡한 방식으로 제안되면 논리적입니다. (그리고 이것은 위에서 설명되었습니다!)결과를 그대로 두십시오.

동시에 "정교한" 답변에서는 최소한의 단순화도 자제하는 것이 좋습니다. (예를 들어 여기서는 마이너스 3개를 제거해 달라고 요청합니다)- 그리고 당신의 작업량이 줄어들고, 당신의 털복숭이 친구는 작업을 더 쉽게 검토하게 되어 기뻐합니다.

그러나 대략적인 확인은 불필요하지 않습니다. 대체하자 발견된 파생물에 단순화를 수행합니다.


(마지막 단계에서 우리가 사용한 삼각법 공식 , )

그 결과, "야만적인" 해결 방법과 동일한 결과를 얻었습니다.

그 점에서 도함수를 계산해 봅시다. 먼저 "운송" 값을 알아내는 것이 편리합니다. (함수 값 ) :

이제 우리는 최종 계산을 작성하는데, 이 경우에는 다른 방식으로 수행할 수 있습니다. 나는 3층과 4층을 일반적인 규칙에 따르지 않고 단순화하고 두 숫자의 몫으로 변환하는 흥미로운 기술을 사용합니다.

그리고 물론 더 간결한 표기법을 사용하여 확인하지 않는 것은 죄악입니다. :

답변:

문제가 "반일반" 형식으로 제안되는 경우가 있습니다.

"함수의 미분을 찾아보세요. »

즉, "주" 기능은 제공되지 않지만 "삽입"은 매우 구체적입니다. 답변은 동일한 스타일로 제공되어야 합니다.

또한 조건은 약간 암호화될 수 있습니다.

"함수의 미분을 찾아라. »

이 경우에는 다음이 필요합니다. 스스로예를 들어 다음과 같이 적절한 문자로 중첩된 기능을 지정합니다. 동일한 공식을 사용합니다.

그건 그렇고, 문자 지정에 대해. 나는 마치 생명을 구하는 것처럼 “편지에 집착”하지 말라고 반복해서 촉구했는데, 이제 이것은 특히 관련이 있습니다! 주제에 대한 다양한 출처를 분석하면서 저는 일반적으로 저자가 "미쳤습니다"라는 인상을 받았으며 학생들을 폭풍우가 치는 수학 심연에 무자비하게 던지기 시작했습니다 =) 그러니 용서해주세요 :))

실시예 2

함수의 도함수 찾기 , 만약에

다른 명칭을 혼동해서는 안 됩니다! 이와 같은 작업에 직면할 때마다 다음 두 가지 간단한 질문에 답해야 합니다.

1) “main” 기능은 무엇에 의존합니까?이 경우 함수 "zet"는 두 함수("y" 및 "ve")에 따라 달라집니다.

2) 중첩 함수는 어떤 변수에 의존합니까?이 경우 두 "삽입"은 모두 "X"에만 의존합니다.

따라서 이 작업에 공식을 적용하는 데 어려움이 없어야 합니다!

수업이 끝나면 간단한 해결책과 답변을 제공합니다.

첫 번째 유형의 추가 예는 다음에서 찾을 수 있습니다. Ryabushko의 문제집 (IDZ 10.1), 음, 우리는 다음으로 향하고 있습니다 세 가지 변수의 함수:

실시예 3

함수가 주어지면 .
점에서 미분 계산

많은 사람들이 추측하는 것처럼 복잡한 함수의 미분 공식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

한번 생각해보시고 결정하세요 =)

혹시라도 함수에 대한 일반 공식을 제공하겠습니다.
, 실제로는 예제 3보다 긴 내용을 볼 가능성이 거의 없습니다.

또한 일반적으로 형식의 기능인 "잘린" 버전을 구별해야 하는 경우도 있습니다. 이 질문은 여러분이 스스로 공부할 수 있도록 남겨 둡니다. 몇 가지 간단한 예를 생각해 보고, 생각하고, 실험하고, 파생 상품에 대한 단축 공식을 도출해 보세요.

여전히 명확하지 않은 부분이 있으면 강의의 첫 번째 부분을 천천히 다시 읽고 이해하시기 바랍니다. 이제 작업이 더욱 복잡해지기 때문입니다.

실시예 4

복소 함수의 편도함수를 구합니다. 여기서

해결책: 이 기능형식을 가지며, 직접 대체한 후 두 변수의 일반적인 기능을 얻습니다.

그러나 그러한 두려움은 받아들여지지 않을 뿐만 아니라 더 이상 차별화를 원하지 않습니다 =) 따라서 우리는 기성 공식을 사용할 것입니다. 패턴을 빠르게 파악하는 데 도움이 되도록 몇 가지 메모를 하겠습니다.

그림을 위에서 아래로, 왼쪽에서 오른쪽으로 자세히 살펴보세요.

먼저, "main" 함수의 편도함수를 찾아보겠습니다.

이제 "라이너"의 "X" 파생어를 찾습니다.

그리고 마지막 "X" 파생어를 적어보세요.

마찬가지로 "게임"도 마찬가지입니다.

그리고

다른 스타일을 고수할 수 있습니다. 모든 "꼬리"를 한 번에 찾으세요 그런 다음 두 파생 상품을 모두 적어보세요.

답변:

대체에 대해 어쨌든 나는 그것에 대해 전혀 생각하지 않습니다 =) =) 그러나 결과를 약간 조정할 수 있습니다. 그런데 왜 또? – 선생님이 확인하기 더 어렵게 만드세요.

필요하다면 완전 차동여기에는 일반적인 공식에 따라 작성되었으며, 그런데 가벼운 화장품이 적절해지는 것은 이 단계입니다.


이건... ...바퀴가 달린 관입니다.

고려 중인 복잡한 기능 유형의 인기로 인해 독립적인 솔루션에 대한 몇 가지 작업이 있습니다. "반일반" 형식의 더 간단한 예는 공식 자체를 이해하기 위한 것입니다.-):

실시예 5

함수의 편도함수를 구합니다. 여기서

그리고 더 복잡합니다 - 차별화 기술을 포함하면 다음과 같습니다.

실시예 6

함수의 완전미분 구하기 , 어디

아니요, 저는 "당신을 맨 아래로 보내려는" 것이 전혀 아닙니다. 모든 예는 다음에서 가져왔습니다. 진짜 일, 그리고 "공해에서" 어떤 글자라도 만날 수 있습니다. 어쨌든 함수를 분석해야 합니다. (2개의 질문에 답하기 - 위 내용 참조), 그것을 제시하다 일반적인 견해편도함수 공식을 주의 깊게 수정하세요. 지금은 약간 혼란스러울 수도 있지만 구성 원리를 이해하게 될 것입니다! 진짜 도전은 이제 막 시작되었기 때문입니다 :)))

실시예 7

편도함수를 찾고 복소 함수의 완전미분 생성
, 어디

해결책: "main" 함수는 다음과 같은 형태를 가지며 여전히 "x"와 "y"라는 두 변수에 의존합니다. 하지만 예제 4와 비교하면 또 다른 중첩 함수가 추가되어 편도함수 공식도 길어졌습니다. 해당 예에서와 같이 패턴을 더 잘 시각화하기 위해 "주요" 편도함수를 다양한 색상으로 강조 표시하겠습니다.

그리고 다시 위에서 아래로, 왼쪽에서 오른쪽으로 기록을 주의 깊게 연구하십시오.

문제가 "반일반" 형식으로 공식화되었기 때문에 우리의 모든 작업은 본질적으로 내장 함수의 편도함수를 찾는 것으로 제한됩니다.

1학년은 다음을 처리할 수 있습니다.

그리고 전체 차동 장치조차도 꽤 훌륭했습니다.

의도적으로 특정 기능을 제공하지 않았습니다. 불필요한 혼란이 이해를 방해하지 않도록 하기 위함입니다. 개략도작업.

답변:

다음과 같은 "혼합 규모" 투자를 자주 찾을 수 있습니다.

여기서 "main" 함수는 형태가 있지만 여전히 "x"와 "y"에 의존합니다. 따라서 동일한 공식이 작동합니다. 일부 부분 도함수만 0과 같습니다. 게다가 이는 다음과 같은 기능에도 해당됩니다. , 각 "라이너"는 하나의 변수에 따라 달라집니다.

수업의 마지막 두 가지 예에서도 비슷한 상황이 발생합니다.

실시예 8

한 점에서 복소 함수의 총 미분 구하기

해결책: 조건은 "예산" 방식으로 공식화되며 중첩된 함수에 라벨을 직접 지정해야 합니다. 나는 이것이 좋은 선택이라고 생각합니다.

"삽입물"에는 ( 주목!) 세 글자는 오래된 "X-Y-Z"입니다. 이는 "주요" 기능이 실제로 세 가지 변수에 의존한다는 것을 의미합니다. 공식적으로 다음과 같이 다시 작성할 수 있으며, 이 경우 부분 도함수는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

우리는 스캔하고, 조사하고, 캡처합니다…

우리 작업에서:

정의. 변하기 쉬운 지(변경 구역 있음 지) ~라고 불리는 두 독립변수의 함수 x,y풍부하게 중, 각 쌍( x,y) 많은 사람들로부터 중 지~에서 지.

정의. 한 무리의 중, 변수가 지정됨 x,y,~라고 불리는 함수의 영역, Z를 설정 – 기능 범위, 그리고 그들 자신 x,y- 그녀의 인수.

명칭: z = f(x,y), z = z(x,y).

예.

정의 . 변하기 쉬운 지(변경 구역 있음 지) ~라고 불리는 여러 독립변수의 함수풍부하게 중, 세트의 각 숫자 세트인 경우 중일부 규칙이나 법률에 따라 하나의 특정 값이 할당됩니다. 지~에서 지.논증, 정의 영역, 가치 영역의 개념은 두 변수의 함수와 동일한 방식으로 도입됩니다.

명칭: z = f, z = z.

논평. 몇 개의 숫자( x,y)는 평면 위의 특정 점의 좌표로 간주될 수 있으므로 이후에 두 변수의 함수에 대한 인수 쌍과 함수에 대한 인수인 순서가 지정된 숫자 집합에 대해 "점"이라는 용어를 사용합니다. 여러 변수 중.

두 변수 함수의 기하학적 표현

기능을 고려하십시오

z = f(x,y), (15.1)

일부 영역에서 정의됨 중 O 비행기에서 xy. 그런 다음 좌표가 있는 3차원 공간의 점 집합( x,y,z), 여기서 는 두 변수의 함수 그래프입니다. 방정식 (15.1)은 3차원 공간의 특정 표면을 정의하므로 다음과 같습니다. 기하학적 이미지문제의 기능.

기능 영역 z = f(x,y)가장 간단한 경우에는 닫힌 곡선으로 둘러싸인 평면의 일부이고 이 곡선의 점(영역의 경계)은 정의 영역에 속하거나 속하지 않을 수도 있고 전체 평면에 속할 수도 있습니다. 마지막으로 xOy 평면의 여러 부분 세트입니다.

z = f(x,y)

예에는 평면 방정식이 포함됩니다. z = 도끼 + by + c

2차 표면: z = 엑스² + 와이²(회전 포물면),

(원뿔) 등

논평. 3개 이상의 변수로 구성된 함수의 경우 "표면"이라는 용어를 사용합니다. N-차원 공간'이지만 그러한 표면을 묘사하는 것은 불가능합니다.

레벨 선 및 표면

방정식 (15.1)에 의해 주어진 두 변수의 함수에 대해 우리는 점 집합을 고려할 수 있습니다( x,y)오플레인 xy, 이를 위해 지동일한 상수 값을 취합니다. 지= const. 이 점들은 평면에 선을 형성합니다. 레벨 라인.

예.

표면의 레벨 라인 찾기 z = 4 – 엑스² - 와이². 그들의 방정식은 다음과 같습니다 엑스² + 와이² = 4 - 씨(씨=const) – 원점에 중심이 있고 반지름이 있는 동심원 방정식입니다. 예를 들어, 와 함께=0 우리는 원을 얻습니다 엑스² + 와이² = 4.

세 변수의 함수에 대해 유 = 유(x, y, z)방정식 유(x, y, z) = c 3차원 공간에서 표면을 정의합니다. 평평한 표면.

예.

기능을 위해 당신 = 3엑스 + 5와이 – 7지–12 레벨 표면은 방정식 3으로 주어진 평행 평면군이 됩니다. 엑스 + 5와이 – 7지 –12 + 와 함께 = 0.

여러 변수의 함수의 극한과 연속성

컨셉을 소개하자면 δ-이웃포인트들 중 0 (x 0, y 0) O 비행기에서 xy주어진 지점에 중심이 있는 반경 δ의 원으로. 마찬가지로, 3차원 공간에서 δ-이웃을 점에 중심이 있는 반경 δ의 공으로 정의할 수 있습니다. 중 0 (x0, y0, z0). 을 위한 N-차원 공간은 점의 δ-이웃이라고 부를 것입니다. 중포인트 0세트 중조건을 만족하는 좌표로

점의 좌표는 어디에 있나요? 중 0 . 때때로 이 세트는 "공"이라고 불립니다. N-차원 공간.

정의. 숫자 A라고 불린다. 한계여러 변수의 함수 에프그 시점에 중그렇다면 0 | 에프(엠) – 에이| < ε для любой точки 중δ-이웃에서 중 0 .

명칭: .

이 경우 요점은 다음과 같습니다. 중다가오고 있을지도 모른다 중 0, 상대적으로 말하자면, 점의 δ-이웃 내부의 모든 궤적을 따라 중 0 . 그러므로 일반적인 의미에서 여러 변수의 함수의 극한을 소위 극한과 구별해야 합니다. 반복된 한계각 인수에 대한 한계까지 연속적으로 통과하여 얻은 것입니다.

예.

논평. 일반적인 의미에서 주어진 지점에 극한이 존재하고 개별 주장에 대한 이 지점에 극한이 존재한다는 것으로부터 반복 극한의 존재와 동등성이 따른다는 것을 증명할 수 있습니다. 반대 진술은 사실이 아닙니다.

정의 기능 에프~라고 불리는 마디 없는그 시점에 중(15.2)인 경우 0

표기법을 도입하면 조건 (15.2)는 (15.3) 형식으로 다시 작성될 수 있습니다.

정의 . 내부점 남 0기능 영역 z = f(M)~라고 불리는 중단점이 시점에서 조건 (15.2), (15.3)이 충족되지 않으면 함수가 작동합니다.

논평. 평면이나 공간에 많은 불연속점이 형성될 수 있습니다. 윤곽또는 골절 표면.

예.

극한 및 연속 함수의 속성

여러 변수의 함수에 대한 극한 및 연속성의 정의는 실제로 하나의 변수 함수에 대한 해당 정의와 일치하므로 여러 변수의 함수에 대해 과정의 첫 번째 부분에서 입증된 극한 및 연속 함수의 모든 속성이 보존됩니다. , 즉:

1) 존재한다면 존재하고 (if)입니다.

2) 만약 a와 for any 나한계가 있고 거기에는 남 0, 그러면 에서 복잡한 함수의 한계가 있습니다. 여기서 점의 좌표는 어디입니까? 아르 자형 0 .

3) 기능의 경우 에프(엠)그리고 g(M)한 지점에서 연속 중 0이면 이 시점에서 함수도 연속적입니다. f(M) + g(M), kf(M), f(M) g(M), f(M)/g(M)(만약에 지(엠 0) ≠ 0).

4) 해당 시점에서 기능이 연속되는 경우 피 0, 함수는 그 점에서 연속입니다. 남 0, 여기서 , 그러면 복소 함수는 점에서 연속입니다. R 0 .

5) 폐쇄된 제한된 공간에서 기능이 연속됩니다. 디, 이 영역에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 취합니다.

6) 폐쇄된 제한구역에서 기능이 계속되는 경우 디, 이 영역에서 값을 취합니다. ㅏ그리고 안에, 그런 다음 그녀는 그 지역을 차지합니다 디사이에 있는 중간 값 ㅏ그리고 안에.

7) 폐쇄된 제한구역에서 기능이 계속되는 경우 디, 이 영역에서 다양한 부호의 값을 취하면 적어도해당 지역에서 한 지점 디, 여기서 에프 = 0.

부분 파생 상품

인수 중 하나만 증가분을 지정할 때 함수를 변경하는 것을 고려해 보겠습니다. x 나는, 그리고 그것을 이라고 부르자.

정의 . 편미분인수별 함수 x 나는라고 불리는 .

명칭: .

따라서 여러 변수의 함수의 부분 도함수는 실제로 다음 함수의 도함수로 정의됩니다. 하나의 변수 - x i. 따라서 하나의 변수의 함수에 대해 입증된 도함수의 모든 속성은 해당 변수에 대해 유효합니다.

논평. 부분 도함수의 실제 계산에서는 미분을 수행하는 인수가 변수이고 나머지 인수가 일정하다는 가정 하에 한 변수의 함수를 미분하는 일반적인 규칙을 사용합니다.

예 .

1. z = 2엑스² + 3 xy –12와이² + 5 엑스 – 4와이 +2,

2. z = XY,

두 변수 함수의 편도함수에 대한 기하학적 해석

표면 방정식을 고려하십시오. z = f(x,y)그리고 비행기를 그려요 x = const. 평면과 곡면의 교선 위의 점을 선택해 보겠습니다. 남(x,y). 주장을 펼친다면 ~에증분 Δ ~에좌표가 있는 곡선의 점 T를 고려합니다( 엑스, 와이+Δ 와이, z+Δy 지), O축의 양의 방향과 시컨트 MT에 의해 형성된 각도의 접선 ~에, 와 같을 것이다. 에서 극한을 통과하면 편미분은 점에서 결과 곡선에 대한 접선에 의해 형성된 각도의 접선과 동일하다는 것을 알 수 있습니다. 중 O축의 양의 방향 유.따라서 편도함수는 O축과 각도의 접선과 같습니다. 엑스표면을 분할한 결과 얻은 곡선에 접하는 것 z = f(x,y)비행기 와이 = const.

여러 변수의 함수의 미분성

미분가능성과 관련된 문제를 연구할 때, 우리는 세 변수의 함수의 경우로 제한할 것입니다. 더변수도 같은 방식으로 수행됩니다.

정의 . 전체 증가기능 u = f(x, y, z)~라고 불리는

정리 1. 점( x0, y0, z0)와 그 이웃 중 일부에서는 점( x 0 , y 0 , z 0)은 제한됩니다(모듈이 1을 초과하지 않기 때문에).

그러면 정리 1의 조건을 만족하는 함수의 증분은 다음과 같이 표현될 수 있다: , (15.6)

정의 . 함수가 증가하면 u = f(x, y, z)지점에서 ( x 0 , y 0 , z 0)(15.6), (15.7) 형식으로 표현될 수 있으며, 함수가 호출됩니다. 미분가능한이 시점에서 표현은 다음과 같습니다. 증분의 주요 선형 부분또는 완전 차동문제의 기능.

명칭: du, df(x0, y0, z0).

단일 변수 함수의 경우와 마찬가지로 독립 변수의 미분은 임의의 증분으로 간주됩니다.

참고 1. 따라서 "함수는 미분 가능하다"라는 진술은 "함수에 부분 도함수가 있습니다"라는 진술과 동일하지 않습니다. 미분 가능성을 위해서는 문제의 지점에서 이러한 도함수의 연속성도 필요합니다.

.

기능을 고려해서 선택하세요 x 0 = 1, 와이 0 = 2. 그러면 Δ x = 1.02 – 1 = 0.02; Δ 와이 = 1.97 – 2 = -0.03. 찾아보자

그러므로, 에프 ( 1, 2) = 3, 우리는 얻습니다.