선형 함수형태의 함수라고 불린다. y = kx + b, 모든 실수 집합에 정의됩니다. 여기 케이– 기울기(실수), 비 – 자유 기간(실수), 엑스- 독립 변수.

특별한 경우에는 k = 0, 우리는 상수 함수를 얻습니다 와이 = b, 그래프는 좌표가 있는 점을 통과하는 Ox 축과 평행한 직선입니다. (0;비).

만약에 b = 0, 그러면 우리는 함수를 얻습니다 y = kx, 이는 직접적인 비례.

비 – 세그먼트 길이, 원점에서 계산하여 Oy 축을 따라 직선으로 절단됩니다.

계수의 기하학적 의미 케이 – 경사각시계 반대 방향으로 간주하여 Ox 축의 양의 방향으로 직선입니다.

선형 함수의 속성:

1) 선형 함수의 정의 영역은 전체 실수 축입니다.

2) 만약에 k ≠ 0, 선형 함수 값의 범위는 전체 실제 축입니다. 만약에 k = 0, 선형 함수 값의 범위는 다음과 같은 숫자로 구성됩니다. 비;

3) 선형 함수의 균등성과 홀수성은 계수 값에 따라 달라집니다. 케이그리고 비.

ㅏ) b ≠ 0, k = 0,따라서, y = b – 짝수;

비) b = 0, k ≠ 0,따라서 y = kx – 홀수;

씨) b ≠ 0, k ≠ 0,따라서 y = kx + b – 일반 형식의 함수;

디) b = 0, k = 0,따라서 y = 0 – 짝수 함수와 홀수 함수 모두.

4) 선형 함수에는 주기성 속성이 없습니다.

5) 좌표축이 있는 교차점:

황소: y = kx + b = 0, x = -b/k, 따라서 (-b/k; 0)– 가로축과의 교차점.

아야: y = 0k + b = b, 따라서 (0;비)– 세로축과의 교차점.

참고: 만약 b = 0그리고 k = 0, 다음 기능 와이 = 0변수의 모든 값에 대해 0이 됩니다. 엑스. 만약에 b ≠ 0그리고 k = 0, 다음 기능 와이 = b변수의 어떤 값에도 사라지지 않습니다. 엑스.

6) 부호의 불변성 간격은 계수 k에 따라 달라집니다.

ㅏ) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b– 긍정적인 경우 엑스~에서 (-b/k; +무한대),

y = kx + b– 부정적인 경우 엑스~에서 (-무한대; -b/k).

비) 케이< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b– 긍정적인 경우 엑스~에서 (-무한대; -b/k),

y = kx + b– 부정적인 경우 엑스~에서 (-b/k; +무한대).

씨) k = 0, b > 0; y = kx + b전체 정의 범위에 걸쳐 양수,

k = 0, b< 0; y = kx + b 정의의 전체 범위에 걸쳐 부정적입니다.

7) 선형 함수의 단조성 간격은 계수에 따라 달라집니다. 케이.

케이 > 0, 따라서 y = kx + b전체 정의 영역에 걸쳐 증가합니다.

케이< 0 , 따라서 y = kx + b전체 정의 영역에 걸쳐 감소합니다.

8) 선형함수의 그래프는 직선이다. 직선을 구성하려면 두 점만 알면 충분합니다. 좌표평면에서 직선의 위치는 계수의 값에 따라 달라집니다. 케이그리고 비. 아래는 이를 명확하게 보여주는 표입니다.

선형 함수는 y=kx+b 형식의 함수입니다. 여기서 x는 독립 변수이고, k와 b는 임의의 숫자입니다.
선형함수의 그래프는 직선이다.

1. 함수 그래프를 그리려면,함수 그래프에 속하는 두 점의 좌표가 필요합니다. 이를 찾으려면 두 개의 x 값을 가져와 함수 방정식에 대입하고 이를 사용하여 해당 y 값을 계산해야 합니다.

예를 들어, 함수 y= x+2를 플롯하려면 x=0 및 x=3을 사용하는 것이 편리합니다. 그러면 이 점의 세로 좌표는 y=2 및 y=3과 같습니다. 우리는 점 A(0;2)와 B(3;3)을 얻습니다. 이들을 연결하여 함수 y= x+2의 그래프를 얻습니다.

2. 공식 y=kx+b에서 숫자 k를 비례 계수라고 합니다.
k>0이면 함수 y=kx+b가 증가합니다.
만약 k라면
계수 b는 OY 축을 따른 함수 그래프의 변위를 보여줍니다.
b>0이면 함수 y=kx+b의 그래프는 OY 축을 따라 b 단위를 위쪽으로 이동하여 함수 y=kx의 그래프에서 얻습니다.
만일 b
아래 그림은 y=2x+3 함수의 그래프를 보여줍니다. y= ½ x+3; y=x+3

이 모든 함수에서 계수 k는 0 이상,그리고 기능은 증가.또한 k 값이 클수록 OX 축의 양의 방향에 대한 직선의 경사각이 커집니다.

모든 함수에서 b=3 - 모든 그래프가 (0;3) 지점에서 OY 축과 교차하는 것을 볼 수 있습니다.

이제 함수 y=-2x+3의 그래프를 살펴보겠습니다. y=- ½ x+3; y=-x+3

이번에는 모든 함수에서 계수 k 0보다 작음및 기능 감소하고 있습니다.계수 b=3, 이전 사례와 마찬가지로 그래프는 (0;3) 지점에서 OY 축과 교차합니다.

함수 y=2x+3의 그래프를 생각해 보세요. y=2x; y=2x-3

이제 모든 함수 방정식에서 계수 k는 2입니다. 그리고 우리는 세 개의 평행선을 얻었습니다.

그러나 계수 b는 다르며 이 그래프는 서로 다른 지점에서 OY 축과 교차합니다.
함수 y=2x+3(b=3)의 그래프는 OY 축과 지점(0;3)과 교차합니다.
함수 y=2x(b=0)의 그래프는 원점(0;0)에서 OY 축과 교차합니다.
함수 y=2x-3(b=-3)의 그래프는 점(0;-3)에서 OY 축과 교차합니다.

따라서 계수 k와 b의 부호를 알면 y=kx+b 함수의 그래프가 어떻게 생겼는지 즉시 상상할 수 있습니다.
만약에 케이 0

만약에 k>0 및 b>0, y=kx+b 함수의 그래프는 다음과 같습니다.

만약에 k > 0 및 b, y=kx+b 함수의 그래프는 다음과 같습니다.

만약에 k이면 함수 y=kx+b의 그래프는 다음과 같습니다.

만약에 k=0, 그러면 함수 y=kx+b는 함수 y=b로 바뀌고 해당 그래프는 다음과 같습니다.

함수 y=b의 그래프에 있는 모든 점의 세로 좌표는 b와 같습니다. b=0, 그러면 함수 y=kx(정비례)의 그래프가 원점을 통과합니다.

3. 방정식 x=a의 그래프를 별도로 살펴보겠습니다.이 방정식의 그래프는 OY축에 평행한 직선이며, 모든 점은 가로축 x=a를 갖습니다.

예를 들어 방정식 x=3의 그래프는 다음과 같습니다.
주목!방정식 x=a는 함수가 아니므로 인수의 한 값은 함수의 정의에 해당하지 않는 함수의 다른 값에 해당합니다.

4. 두 줄의 병렬성 조건:

함수 y=k 1 x+b 1의 그래프는 k 1 =k 2인 경우 함수 y=k 2 x+b 2의 그래프와 평행합니다.

5. 두 직선이 수직인 조건은 다음과 같습니다.

k 1 *k 2 =-1 또는 k 1 =-1/k 2인 경우 함수 y=k 1 x+b 1의 그래프는 함수 y=k 2 x+b 2의 그래프에 수직입니다.

6. 함수 y=kx+b의 그래프와 좌표축의 교차점입니다.

OY 축 포함. OY 축에 속하는 모든 점의 가로좌표는 0과 같습니다. 따라서 OY 축과의 교차점을 찾으려면 함수 방정식에서 x 대신 0을 대체해야 합니다. 우리는 y=b를 얻습니다. 즉, OY축과의 교점은 (0;b)좌표를 갖는다.

OX 축 사용: OX 축에 속하는 모든 점의 세로 좌표는 0입니다. 따라서 OX 축과의 교차점을 찾으려면 함수 방정식에서 y 대신 0을 대체해야 합니다. 0=kx+b를 얻습니다. 따라서 x=-b/k입니다. 즉, OX 축과의 교차점 좌표는 (-b/k;0)입니다.

선형 함수의 정의

선형 함수의 정의를 소개하겠습니다.

정의

$k$가 0이 아닌 $y=kx+b$ 형식의 함수를 선형 함수라고 합니다.

선형함수의 그래프는 직선이다. $k$라는 숫자를 선의 기울기라고 합니다.

$b=0$일 때 선형 함수는 정비례 함수 $y=kx$라고 합니다.

그림 1을 고려해보세요.

쌀. 1. 선의 기울기의 기하학적 의미

삼각형 ABC를 고려해보세요. $ВС=kx_0+b$를 확인하세요. $y=kx+b$ 선과 $Ox$ 축의 교차점을 찾아보겠습니다.

\ \

따라서 $AC=x_0+\frac(b)(k)$. 이 변의 비율을 찾아 보겠습니다.

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

반면 $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$입니다.

따라서 우리는 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다.

결론

계수 $k$의 기하학적 의미. 직선 $k$의 각도 계수는 $Ox$ 축에 대한 이 직선의 경사각의 탄젠트와 같습니다.

선형 함수 $f\left(x\right)=kx+b$ 및 해당 그래프 연구

먼저, $k > 0$인 $f\left(x\right)=kx+b$ 함수를 고려해 보세요.

1. $f"\왼쪽(x\오른쪽)=(\왼쪽(kx+b\오른쪽))"=k>0$. 따라서, 이 기능전체 정의 영역에 걸쳐 증가합니다. 극단적인 점은 없습니다.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. 그래프(그림 2).

쌀. 2. $k > 0$에 대한 함수 $y=kx+b$의 그래프.

이제 $f\left(x\right)=kx$ 함수를 생각해 보세요. 여기서 $k

1. 정의 영역은 모든 숫자입니다.
2. 값의 범위는 모두 숫자입니다.
3. $f\왼쪽(-x\오른쪽)=-kx+b$. 함수는 짝수도 홀수도 아닙니다.
4. $x=0,f\left(0\right)=b$의 경우. $y=0.0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$일 때.

좌표축이 있는 교차점: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ 및 $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\왼쪽(x\오른쪽)=(\왼쪽(kx\오른쪽))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. 따라서 함수에는 변곡점이 없습니다.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. 그래프(그림 3).