각 편도함수( 엑스그리고 와이)는 두 변수의 함수 중 다른 변수의 고정 값에 대한 한 변수의 함수의 일반 도함수입니다.

(어디 와이= const),

(어디 엑스= const).

따라서 부분 도함수는 다음을 사용하여 계산됩니다. 한 변수의 함수의 미분을 계산하기 위한 공식 및 규칙, 다른 변수 상수를 고려하면서.

이에 필요한 사례 분석과 최소한의 이론은 필요하지 않지만 문제에 대한 해결책만 필요한 경우 다음으로 이동하십시오. 온라인 편미분 계산기 .

함수에서 상수가 어디에 있는지 추적하는 데 집중하기 어려운 경우 예제의 초안 솔루션에서 고정 값이 있는 변수 대신 임의의 숫자를 대체할 수 있습니다. 그런 다음 편도함수를 다음과 같이 빠르게 계산할 수 있습니다. 하나의 변수 함수의 일반 도함수. 최종 디자인을 완료할 때 상수(고정된 값을 갖는 변수)를 원래 위치로 되돌려 놓는 것만 기억하면 됩니다.

위에 설명된 편도함수의 속성은 시험 문제에 나타날 수 있는 편도함수의 정의를 따릅니다. 따라서 아래 정의에 익숙해지기 위해 이론적 참고 자료를 열 수 있습니다.

기능의 연속성의 개념 지= 에프(엑스, 와이) 점에서 하나의 변수의 함수에 대한 이 개념과 유사하게 정의됩니다.

기능 지 = 에프(엑스, 와이)는 다음과 같은 경우 한 지점에서 연속이라고 합니다.

차이 (2)를 함수의 총 증분이라고 합니다. 지(두 인수의 증가 결과로 얻어집니다).

기능을 부여하자 지= 에프(엑스, 와이) 및 기간

기능이 변경된 경우 지인수 중 하나만 변경될 때 발생합니다. 예를 들어, 엑스, 다른 인수의 고정 값 포함 와이, 그러면 함수는 증분을 받습니다.

기능의 부분적 증가라고 함 에프(엑스, 와이) 에 의해 엑스.

기능 변경을 고려 지인수 중 하나만 변경하면 효과적으로 한 변수의 함수로 변경됩니다.

유한한 한계가 있는 경우

그런 다음 이를 함수의 부분 도함수라고 합니다. 에프(엑스, 와이) 인수로 엑스기호 중 하나로 표시됩니다.

(4)

부분 증분도 비슷하게 결정됩니다. 지에 의해 와이:

부분도함수 에프(엑스, 와이) 에 의해 와이:

(6)

예시 1.

해결책. 변수 "x"에 대한 편도함수를 구합니다.

(와이결정된);

변수 "y"에 대한 편미분을 구합니다.

(엑스결정된).

보시다시피, 변수가 어느 정도 고정되어 있는지는 중요하지 않습니다. 이 경우 편도함수를 찾는 변수의 요소(일반 도함수의 경우처럼)인 특정 숫자일 뿐입니다. . 고정 변수에 부분 도함수를 찾는 변수를 곱하지 않으면 일반 도함수의 경우처럼 어느 정도까지 이 외로운 상수가 사라집니다.

예시 2.주어진 함수

편도함수 찾기

(X 기준) 및 (Y 기준) 및 해당 지점의 값을 계산합니다. ㅏ (1; 2).

해결책. 고정시 와이첫 번째 항의 도함수는 검정력 함수의 도함수로 구됩니다( 한 변수의 미분 함수 표):

.

고정시 엑스첫 번째 항의 도함수는 지수 함수의 도함수로 발견되고 두 번째 항은 상수의 도함수로 나타납니다.

이제 해당 지점에서 이러한 편도함수 값을 계산해 보겠습니다. ㅏ (1; 2):

편도함수 문제에 대한 해결책은 다음에서 확인할 수 있습니다. 온라인 편미분 계산기 .

예시 3.함수의 편도함수 찾기

해결책. 한 단계에서 우리는

(와이 엑스, 마치 사인의 인수가 5인 것처럼 엑스: 같은 방식으로 기능 기호 앞에 5가 나타납니다);

(엑스고정되어 있으며 이 경우 승수입니다. 와이).

편도함수 문제에 대한 해결책은 다음에서 확인할 수 있습니다. 온라인 편미분 계산기 .

3개 이상의 변수로 구성된 함수의 편도함수도 유사하게 정의됩니다.

각 값 집합이 ​​( 엑스; 와이; ...; 티) 세트의 독립 변수 디하나의 특정 값에 해당 유많은 사람들로부터 이자형, 저것 유변수의 함수라고 불림 엑스, 와이, ..., 티그리고 표시하다 유= 에프(엑스, 와이, ..., 티).

3개 이상의 변수로 구성된 함수의 경우 기하학적 해석이 없습니다.

여러 변수의 함수에 대한 부분 도함수도 독립 변수 중 하나만 변경되고 다른 변수는 고정된다는 가정 하에 결정 및 계산됩니다.

예시 4.함수의 편도함수 찾기

.

해결책. 와이그리고 지결정된:

엑스그리고 지결정된:

엑스그리고 와이결정된:

편도함수를 직접 찾은 다음 해를 살펴보세요.

실시예 5.

실시예 6.함수의 편도함수를 찾습니다.

여러 변수의 함수의 편도함수는 다음과 같습니다. 기계적 의미는 하나의 변수에 대한 함수의 미분과 동일합니다.는 인수 중 하나의 변경에 대한 함수의 변경 비율입니다.

실시예 8.흐름의 정량적 가치 피철도 승객은 함수로 표현할 수 있습니다

어디 피– 승객 수, N– 특파원 거주자 수, 아르 자형– 점 사이의 거리.

함수의 편도함수 피에 의해 아르 자형, 동일한

이는 승객 흐름의 감소가 동일한 거주자 수를 가진 해당 지점 사이의 거리의 제곱에 반비례한다는 것을 보여줍니다.

편도함수 피에 의해 N, 동일한

승객 흐름의 증가는 지점 간 동일한 거리에 있는 정착지 거주자 수의 두 배에 비례한다는 것을 보여줍니다.

편도함수 문제에 대한 해결책은 다음에서 확인할 수 있습니다. 온라인 편미분 계산기 .

완전 차동

편도함수와 해당 독립변수의 증분을 곱한 것을 편미분이라고 합니다. 편미분은 다음과 같이 표시됩니다.

모든 독립 변수에 대한 편미분의 합은 총 미분을 제공합니다. 두 개의 독립 변수의 함수에 대해 총 미분은 다음과 같이 표현됩니다.

(7)

실시예 9.함수의 완전미분 구하기

해결책. 공식(7)을 사용한 결과:

특정 정의역의 모든 점에서 전체 미분을 갖는 함수를 해당 정의역에서 미분 가능하다고 합니다.

전체 차이를 직접 찾은 다음 솔루션을 살펴보세요.

하나의 변수로 구성된 함수의 경우와 마찬가지로 특정 영역에서 함수의 미분 가능성은 이 영역에서의 연속성을 의미하지만 그 반대는 아닙니다.

증명 없이 함수의 미분가능성에 대한 충분조건을 공식화해 보겠습니다.

정리.기능의 경우 지= 에프(엑스, 와이) 연속 부분 도함수가 있습니다

주어진 지역에서, 이 지역에서 미분 가능하며 그 미분은 식 (7)로 표현됩니다.

한 변수의 함수의 경우와 마찬가지로 함수의 미분은 함수 증분의 주요 선형 부분이므로 여러 변수의 함수의 경우 총 미분은 다음과 같습니다. 독립 변수의 증분에 대한 주요 선형, 함수의 전체 증분의 일부입니다.

두 변수의 함수의 경우 함수의 총 증분은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

(8)

여기서 α와 β는 와 에서 극미량입니다.

고차 편도함수

부분 도함수 및 함수 에프(엑스, 와이) 자체는 동일한 변수의 일부 함수이며, 차례로 다른 변수에 대한 도함수를 가질 수 있으며 이를 고차 부분 도함수라고 합니다.

기능을 부여해 보겠습니다. x와 y는 독립 변수이므로 둘 중 하나는 변경되고 다른 하나는 값을 유지할 수 있습니다. y의 값은 그대로 유지하면서 독립변수 x에 증분을 가해 보겠습니다. 그런 다음 z는 x에 대한 z의 부분 증분이라고 하는 증분을 받게 되며 로 표시됩니다. 그래서, .

마찬가지로 y에 대한 z의 부분 증분을 얻습니다.

함수 z의 총 증분은 같음에 의해 결정됩니다.

한계가 있는 경우 이를 변수 x에 대한 한 점에서 함수의 편도함수라고 하며 다음 기호 중 하나로 표시됩니다.

.

한 점에서 x에 대한 부분 도함수는 일반적으로 다음 기호로 표시됩니다. .

변수 y에 대한 의 편도함수는 다음과 같이 정의되고 표시됩니다.

따라서 여러 (2개, 3개 이상) 변수의 함수의 부분 도함수는 나머지 독립 변수의 값이 일정하다면 이러한 변수 중 하나의 함수의 도함수로 정의됩니다. 따라서 함수의 부분 도함수는 한 변수의 함수 도함수를 계산하는 공식과 규칙을 사용하여 찾습니다(이 경우 x 또는 y는 각각 상수 값으로 간주됩니다).

부분도함수를 1차 부분도함수라고 합니다. 의 기능으로 간주될 수 있습니다. 이러한 함수는 2차 부분 도함수라고 불리는 부분 도함수를 가질 수 있습니다. 이는 다음과 같이 정의되고 레이블이 지정됩니다.

; ;

; .

두 변수 함수의 1차 및 2차 미분.

함수(공식 2.5)의 전체 미분을 1차 미분이라고 합니다.

총 차등을 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

(2.5) 또는 , 어디 ,

함수의 편미분.

함수가 2차 연속 부분 도함수를 갖도록 합니다. 2차 미분은 공식에 의해 결정됩니다. 그것을 찾아보자:

여기에서: . 상징적으로는 다음과 같이 쓰여 있습니다.

.

결정되지 않은 적분.

함수의 역도함수, 부정 적분, 속성.

함수 F(x)가 호출됩니다. 역도함수주어진 함수 f(x)에 대해 F"(x)=f(x)이면, 또는 dF(x)=f(x)dx이면 같은 것입니다.

정리. 유한 또는 무한 길이의 일부 간격(X)에 정의된 함수 f(x)가 하나의 역도함수 F(x)를 갖는 경우, 이 함수는 또한 무한히 많은 역도함수를 갖습니다. 이들 모두는 F(x) + C 표현식에 포함되어 있습니다. 여기서 C는 임의의 상수입니다.

특정 구간이나 유한 또는 무한 길이의 세그먼트에서 정의된 주어진 함수 f(x)에 대한 모든 역도함수 집합을 다음과 같이 호출합니다. 부정 적분함수 f(x) [또는 표현 f(x)dx ]에서 ] 기호로 표시됩니다.

F(x)가 f(x)에 대한 역도함수 중 하나인 경우, 역도함수 정리에 따르면

, 여기서 C는 임의의 상수입니다.

역도함수의 정의에 따르면 F"(x)=f(x)이므로 dF(x)=f(x) dx입니다. 공식 (7.1)에서 f(x)는 피적분 함수라고 하며 f( x) dx를 피적분 표현식이라고 합니다.

두 변수의 함수를 고려하십시오.

변수 $x$와 $y$는 독립적이므로 이러한 함수에 대해 편도함수의 개념을 도입할 수 있습니다.

변수 $x$에 대한 $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ 지점에서 $f$ 함수의 편도함수는 다음과 같습니다. 한계

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\델타 x;((y)_(0)) \right))(\델타 x)\]

마찬가지로 $y$ 변수에 대한 편도함수를 정의할 수 있습니다.

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \right))(\Delta y)\]

즉, 여러 변수의 함수의 편도함수를 찾으려면 원하는 변수를 제외한 다른 모든 변수를 고정한 다음 이 원하는 변수에 대한 일반 도함수를 찾아야 합니다.

이는 이러한 도함수를 계산하는 주요 기술로 이어집니다. 간단히 이 변수를 제외한 모든 변수가 상수라고 가정하고 "일반적인" 변수를 하나의 변수로 미분하는 것처럼 함수를 미분합니다. 예를 들어:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2 )) \right))^(\소수 ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\소수 ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ 프라임 ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\프라임 ))_(y)=0+10x=10x. \\end(정렬)$

분명히, 서로 다른 변수에 대한 편도함수는 서로 다른 답을 제공합니다. 이는 정상입니다. 예를 들어 첫 번째 경우 미분 기호 아래에서 $10y$를 차분하게 제거하고 두 번째 경우 첫 번째 항을 완전히 0으로 만든 이유를 이해하는 것이 훨씬 더 중요합니다. 이 모든 것은 차별화가 수행되는 변수를 제외한 모든 문자가 상수로 간주된다는 사실 때문에 발생합니다. 즉, 꺼내거나 "태울"수 있습니다.

"부분 파생물"이란 무엇입니까?

오늘 우리는 여러 변수의 함수와 이들의 편도함수에 대해 이야기하겠습니다. 첫째, 여러 변수의 함수는 무엇입니까? 지금까지 우리는 함수를 $y\left(x \right)$ 또는 $t\left(x \right)$ 또는 모든 변수와 그 중 하나의 단일 함수로 간주하는 데 익숙했습니다. 이제 함수는 하나이지만 변수는 여러 개 있습니다. $y$ 및 $x$가 변경되면 함수의 값도 변경됩니다. 예를 들어 $x$가 두 배로 커지면 함수의 값이 바뀌고, $x$는 변하지만 $y$는 변하지 않으면 함수의 값도 똑같이 바뀌게 됩니다.

물론, 하나의 변수의 함수처럼 여러 변수의 함수도 차별화될 수 있습니다. 그러나 변수가 여러 개 있으므로 변수에 따라 차별화하는 것이 가능합니다. 이 경우 하나의 변수를 구별할 때 존재하지 않았던 특정 규칙이 발생합니다.

우선, 어떤 변수로부터 함수의 도함수를 계산할 때 어떤 변수에 대해 도함수를 계산하는지 표시해야 합니다. 이를 부분 도함수라고 합니다. 예를 들어, 두 개의 변수로 구성된 함수가 있고 이를 $x$와 $y$에서 모두 계산할 수 있습니다(각 변수에 대한 두 개의 편도함수).

둘째, 변수 중 하나를 고정하고 이에 대한 편도함수를 계산하기 시작하자마자 이 함수에 포함된 다른 모든 변수는 상수로 간주됩니다. 예를 들어 $z\left(xy \right)$에서 $x$에 대한 편도함수를 고려하면 $y$를 만날 때마다 이를 상수로 간주하여 상수로 취급합니다. 특히 곱의 도함수를 계산할 때 대괄호에서 $y$를 꺼낼 수 있고(상수가 있음) 합계의 도함수를 계산할 때 어딘가에서 $y$와 $x$를 포함하지 않는 경우 이 표현식의 도함수는 상수의 도함수로서 "0"과 같습니다.

언뜻 보면 뭔가 복잡한 이야기를 하고 있는 것 같아 처음에는 많은 학생들이 혼란스러워합니다. 그러나 편미분에는 초자연적인 것이 없으며 이제 특정 문제의 예를 사용하여 이를 살펴보겠습니다.

근호와 다항식 문제

작업 번호 1

시간을 낭비하지 않기 위해 처음부터 진지한 예부터 시작하겠습니다.

우선 다음 공식을 상기시켜 드리겠습니다.

이것은 표준 코스에서 우리가 알고 있는 표준 테이블 값입니다.

이 경우 미분 $z$는 다음과 같이 계산됩니다.

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\프라임 ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]

다시 해보겠습니다. 루트는 $x$가 아니고 다른 표현식(이 경우 $\frac(y)(x)$이므로 먼저 표준 테이블 값을 사용하고 루트는 다음과 같습니다. $x$가 아니라 다른 표현식을 사용하려면 동일한 변수에 대해 이 표현식의 다른 표현식을 미분과 곱해야 합니다. 먼저 다음을 계산해 보겠습니다.

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

우리는 표현으로 돌아가서 다음과 같이 씁니다.

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\프라임 ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]

기본적으로 그게 전부입니다. 그러나 이 형식으로 두는 것은 잘못된 것입니다. 이러한 구성은 추가 계산에 사용하기 불편하므로 조금 변형해 보겠습니다.

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

답을 찾았습니다. 이제 $y$를 처리해 보겠습니다.

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\프라임 ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]

별도로 적어 보겠습니다.

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

이제 우리는 다음과 같이 적습니다:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\프라임 ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

완료.

문제 2번

이 예제는 이전 예제보다 더 간단하면서도 복잡합니다. 더 많은 작업이 있기 때문에 더 복잡하지만 루트가 없고 함수가 $x$ 및 $y$에 대해 대칭이므로 더 간단합니다. $x$와 $y$를 바꿔도 공식은 변경되지 않습니다. 이 설명은 편미분 계산을 더욱 단순화할 것입니다. 그 중 하나를 세는 것으로 충분하며, 두 번째는 $x$와 $y$를 간단히 교체합니다.

사업을 시작합시다 :

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \right ))^(\소수 ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\소수 ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

세어보자:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

그러나 많은 학생들이 이 표기법을 이해하지 못하므로 다음과 같이 작성해 보겠습니다.

\[((\left(xy \right))^(\프라임 ))_(x)=((\left(x \right))^(\프라임 ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

따라서 우리는 편도함수 알고리즘의 보편성을 다시 한번 확신합니다. 계산 방법에 관계없이 모든 규칙이 올바르게 적용되면 답은 동일할 것입니다.

이제 우리의 큰 공식에서 하나 더 편미분을 살펴보겠습니다.

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\소수 ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \right))^(\프라임 ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\프라임 ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

결과 표현식을 공식으로 대체하고 다음을 얻습니다.

\[\frac(((\left(xy \right))^(\프라임 ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ 오른쪽)-xy((\왼쪽(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \오른쪽))^(\소수 ))_(x))(((\왼쪽 (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \오른쪽))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))(((\ 왼쪽(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \right))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2 )))\]

계산된 $x$를 기준으로 합니다. 그리고 동일한 표현식에서 $y$를 계산하려면 동일한 동작 순서를 수행하지 말고 원래 표현식의 대칭성을 활용하세요. 원래 표현식의 모든 $y$를 $x$로 바꾸거나 그 반대로 바꾸면 됩니다.

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))((( \왼쪽(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \오른쪽))^(2)))\]

대칭으로 인해 이 표현식을 훨씬 빠르게 계산했습니다.

솔루션의 뉘앙스

부분 도함수의 경우 일반적인 공식에 사용하는 모든 표준 공식, 즉 몫의 도함수가 작동합니다. 그러나 동시에 특정 기능이 발생합니다. $x$의 부분 도함수를 고려하면 $x$에서 이를 얻을 때 이를 상수로 간주하므로 해당 도함수는 "0"과 같습니다. .

일반 도함수의 경우와 마찬가지로 몫(동일한 도함수)도 여러 가지 방법으로 계산할 수 있습니다. 예를 들어, 방금 계산한 것과 동일한 구성을 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\프라임 ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

동시에, 미분합의 공식을 사용할 수도 있습니다. 우리가 알고 있듯이 이는 파생상품의 합과 같습니다. 예를 들어 다음과 같이 작성해 보겠습니다.

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\소수 ))_(x)=2x+0+0=2x \]

이제 이 모든 것을 알고 있으므로 실수 부분 도함수는 다항식과 근에만 국한되지 않고 삼각법, 로그 및 지수 함수도 있으므로 좀 더 진지한 표현으로 작업해 보겠습니다. 이제 이렇게 해보겠습니다.

삼각함수와 로그의 문제

작업 번호 1

다음과 같은 표준 공식을 작성해 보겠습니다.

\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

이 지식을 바탕으로 다음 문제를 해결해 보겠습니다.

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

하나의 변수를 별도로 작성해 보겠습니다.

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y)\right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

우리의 디자인으로 돌아가 보겠습니다.

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

그게 다입니다. $x$에 대해 찾았습니다. 이제 $y$에 대해 계산해 보겠습니다.

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

다시 한 가지 표현식을 계산해 보겠습니다.

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \right)\]

원래 표현식으로 돌아가서 솔루션을 계속합니다.

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

완료.

문제 2번

필요한 공식을 적어 보겠습니다.

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

이제 $x$로 계산해 보겠습니다.

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\프라임 ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]

$x$에 대해 찾았습니다. $y$로 계산합니다.

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]

문제가 해결되었습니다.

솔루션의 뉘앙스

따라서 우리가 편미분을 취하는 함수가 무엇이든 삼각법, 근 또는 로그를 사용하여 작업하는지 여부에 관계없이 규칙은 동일하게 유지됩니다.

표준 도함수 작업의 고전적인 규칙, 즉 합과 차이, 몫과 복소 함수의 도함수는 변경되지 않습니다.

마지막 공식은 편미분 문제를 해결할 때 가장 자주 발견됩니다. 우리는 거의 모든 곳에서 그들을 만난다. 우리가 발견하지 못한 작업은 단 하나도 없었습니다. 그러나 어떤 공식을 사용하더라도 여전히 한 가지 요구 사항이 더 추가됩니다. 즉 편도함수 작업의 특이성입니다. 하나의 변수를 수정하면 다른 모든 변수는 상수입니다. 특히 $y$에 대한 표현식 $\cos \frac(x)(y)$의 편도함수를 고려하면 $y$는 변수이고 $x$는 어디에서나 일정하게 유지됩니다. 반대의 경우에도 마찬가지입니다. 미분 기호에서 꺼낼 수 있으며 상수 자체의 미분은 "0"과 같습니다.

이 모든 것은 동일한 표현식의 부분 파생어가 다른 변수에 대해 완전히 다르게 보일 수 있다는 사실로 이어집니다. 예를 들어, 다음 표현식을 살펴보겠습니다.

\[((\왼쪽(x+\ln y \오른쪽))^(\소수 ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

지수 함수 및 로그 문제

작업 번호 1

우선 다음 수식을 작성해 보겠습니다.

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\소수 ))_(x)=((e)^(x))\]

이 사실과 복잡한 함수의 미분을 알고 계산해 봅시다. 이제 두 가지 다른 방법으로 문제를 해결하겠습니다. 첫 번째이자 가장 분명한 것은 제품의 파생물입니다.

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\소수 ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\소수 ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

다음 표현식을 별도로 풀어 보겠습니다.

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

우리는 원래 디자인으로 돌아가서 솔루션을 계속 진행합니다.

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\right)\]

모든 것은 $x$가 계산된 것입니다.

그러나 약속한 대로 이제 동일한 편도함수를 다른 방식으로 계산해 보겠습니다. 이렇게 하려면 다음 사항에 유의하세요.

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

다음과 같이 작성해 보겠습니다.

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]

결과적으로는 똑같은 답변을 받았지만 계산량이 적은 것으로 나타났습니다. 이를 위해서는 제품을 실행할 때 표시기를 추가할 수 있다는 점만 알아두면 충분했습니다.

이제 $y$로 계산해 보겠습니다.

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\소수 ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\소수 ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

하나의 표현식을 별도로 풀어 보겠습니다.

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

원래 구성을 계속해서 해결해 보겠습니다.

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \오른쪽)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

물론, 이 동일한 도함수는 두 번째 방법으로 계산할 수 있으며 답은 동일합니다.

문제 2번

$x$로 계산해 보겠습니다.

\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]

하나의 표현식을 별도로 계산해 보겠습니다.

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\프라임 ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\프라임 ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]

원래 구성을 계속해서 해결해 보겠습니다. $$

이것이 답입니다.

$y$를 사용하여 유추하여 찾아야 합니다.

\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]

항상 그렇듯이 하나의 표현식을 별도로 계산합니다.

\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\소수 ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

우리는 기본 디자인을 계속해서 해결합니다.

모든 것이 계산되었습니다. 보시다시피, 차별화를 위해 어떤 변수를 사용하느냐에 따라 답이 완전히 달라집니다.

솔루션의 뉘앙스

다음은 동일한 함수의 도함수를 두 가지 다른 방식으로 계산하는 방법에 대한 놀라운 예입니다. 이봐:

\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ 왼쪽(1+\frac(1)(y) \right)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\소수 ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\소수 ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]

다른 경로를 선택할 때 계산량이 다를 수 있지만 모든 것이 올바르게 수행되면 대답은 동일합니다. 이는 고전 파생 상품과 부분 파생 상품 모두에 적용됩니다. 동시에 다시 한 번 상기시켜 드리겠습니다. 어떤 변수에 따라 파생 상품이 사용되는지, 즉 차별화하면 답이 완전히 달라질 수도 있습니다. 바라보다:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\프라임 ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\프라임 ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\프라임 ))_(y)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\프라임 ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]

결론적으로 이 모든 자료를 통합하기 위해 두 가지 예를 더 계산해 보겠습니다.

삼각함수와 변수가 3개인 함수의 문제

작업 번호 1

다음 수식을 적어 보겠습니다.

\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\프라임 ))=((e)^(x))\]

이제 표현식을 풀어보겠습니다.

\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\프라임 ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

다음 구성을 별도로 계산해 보겠습니다.

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ 왼쪽(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

우리는 계속해서 원래 표현식을 푼다:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

이것은 $x$에 대한 개인 변수의 최종 응답입니다. 이제 $y$로 계산해 보겠습니다.

\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\프라임 ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

하나의 표현식을 별도로 풀어 보겠습니다.

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ 왼쪽(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

우리의 구성을 끝까지 해결해 봅시다:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

문제 2번

언뜻 보면 이 예는 세 가지 변수가 있기 때문에 상당히 복잡해 보일 수 있습니다. 사실 이것은 오늘의 비디오 튜토리얼에서 가장 쉬운 작업 중 하나입니다.

$x$로 찾기:

\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\프라임 ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e)) ^(z)) \right))^(\프라임 ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

이제 $y$를 처리해 보겠습니다.

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\소수 ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\소수 ))_(y)+((\left(y\cdot ((e)^(z)) \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

우리는 답을 찾았습니다.

이제 $z$로 찾는 일만 남았습니다.

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\프라임 ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e )^(z)) \right))^(\프라임 ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\프라임 )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

우리는 두 번째 문제에 대한 해결책을 완성하는 3차 도함수를 계산했습니다.

솔루션의 뉘앙스

보시다시피, 이 두 가지 예에는 복잡한 것이 없습니다. 우리가 확신하는 유일한 것은 복잡한 함수의 도함수가 자주 사용되며 계산하는 부분 도함수에 따라 다른 답을 얻는다는 것입니다.

마지막 작업에서는 세 가지 변수의 함수를 한 번에 처리하라는 요청을 받았습니다. 이것에는 아무런 문제가 없지만 결국 우리는 그것들이 모두 서로 크게 다르다는 것을 확신했습니다.

키 포인트

오늘 비디오 튜토리얼의 마지막 내용은 다음과 같습니다.

1. 편도함수는 일반 함수와 같은 방식으로 계산되지만, 하나의 변수에 대한 편도함수를 계산하기 위해 이 함수에 포함된 다른 모든 변수를 상수로 사용합니다.
2. 부분 도함수를 작업할 때 일반 도함수와 동일한 표준 공식(합, 차이, 곱과 몫의 도함수, 물론 복소 함수의 도함수)을 사용합니다.

물론, 이 비디오 강의를 보는 것만으로는 이 주제를 완전히 이해하는 데 충분하지 않습니다. 따라서 지금 제 웹사이트에는 오늘의 주제와 관련된 이 비디오에 대한 일련의 문제가 있습니다. 들어가서 다운로드하여 문제를 해결하고 답을 확인하세요. . 그 후에는 시험이나 독립 작업에서 부분 파생 상품에 문제가 발생하지 않습니다. 물론 이것은 고등 수학의 마지막 수업이 아니므로 저희 웹사이트를 방문하여 VKontakte를 추가하고 YouTube를 구독하고 좋아요를 누르고 저희와 함께하세요!

부분 도함수는 여러 변수의 함수와 관련된 문제에 사용됩니다. 찾기 규칙은 단일 변수의 함수와 완전히 동일합니다. 유일한 차이점은 미분 시 변수 중 하나가 상수(상수)로 간주되어야 한다는 것입니다.

공식

두 변수 $ z(x,y) $의 함수에 대한 편미분은 $ z"_x, z"_y $ 형식으로 작성되며 공식을 사용하여 찾습니다.

1차 편도함수

$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$

$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$

2차 편도함수

$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$

혼합 파생상품

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$

복소 함수의 편도함수

a) $ z (t) = f(x(t), y(t)) $라고 하면 복소 함수의 미분은 다음 공식에 의해 결정됩니다.

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt)$$

b) $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $라고 하면 함수의 부분 도함수는 다음 공식으로 구됩니다.

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

암시적 함수의 부분 파생물

a) $ F(x,y(x)) = 0 $, 그러면 $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) $ F(x,y,z)=0 $라고 하면 $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

솔루션의 예

실시예 1

1차 편도함수 찾기 $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $

해결책

$ x $에 대한 편도함수를 찾기 위해 $ y $를 상수 값(숫자)으로 간주합니다. $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ $y$에 대한 함수의 편미분을 찾기 위해 $y$를 상수로 정의합니다. $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ 문제를 해결할 수 없다면 저희에게 보내주세요. 상세한 솔루션을 제공해드리겠습니다. 계산 진행 상황과 이득 정보를 볼 수 있습니다. 이렇게 하면 적시에 선생님으로부터 성적을 받는 데 도움이 될 것입니다!

답변

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

실시예 2

2차 함수의 편도함수 찾기 $ z = e^(xy) $

해결책

먼저 1차 도함수를 찾아야 하며, 이를 알면 2차 도함수를 찾을 수 있습니다. $y$를 상수로 둡니다. $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = 예^(xy) $$ 이제 $ x $를 상수 값으로 설정해 보겠습니다. $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ 1차 도함수를 알면 마찬가지로 2차 도함수를 찾을 수 있습니다. $y$를 상수로 설정합니다. $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + 너희^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ $ x $를 상수로 설정합니다. $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ 이제 남은 것은 혼합 파생 상품을 찾는 것입니다. $ z"_x $를 $ y $로 차별화할 수 있고 $ z"_y $를 $ x $로 차별화할 수 있습니다. 왜냐하면 $ z""_(xy) = z""_(yx) $ 정리에 따르기 때문입니다. $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = 너희^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$

답변

$$ z"_x = 너희^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

실시예 4

$ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $이 암시적 함수 $ F(x,y,z) = 0 $을 정의한다고 가정합니다. 1차 부분도함수를 찾아보세요.

해결책

$ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ 형식으로 함수를 작성하고 도함수를 찾습니다. $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

답변

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

양함수(explicit function)의 고차 도함수를 계산하는 예가 고려됩니다. n차 도함수를 계산하는 데 유용한 공식이 제공됩니다.

콘텐츠

고차 파생 상품의 결정

여기서는 변수 y가 변수 x에 명시적으로 의존하는 경우를 고려합니다.
.
변수 x에 대해 함수를 미분하면 1차 도함수 또는 간단히 도함수를 얻을 수 있습니다.
.
결과적으로 우리는 함수의 파생물인 새로운 함수를 얻습니다. 변수 x에 대해 이 새로운 함수를 미분하여 2차 도함수를 얻습니다.
.
함수를 미분하여 3차 도함수를 얻습니다.
.
등등. 원래 함수를 n번 미분하면 n차 도함수 또는 n차 도함수를 얻습니다.
.

파생상품을 표시할 수 있습니다.획, 로마 숫자, 괄호 안의 아라비아 숫자 또는 미분의 분수. 예를 들어, 3차 및 4차 도함수는 다음과 같이 표시할 수 있습니다.
;
.

다음은 고차 도함수를 계산하는 데 유용할 수 있는 공식입니다.

n차 도함수에 대한 유용한 공식

일부 기본 함수의 파생물:
;
;
;
;
.

함수합의 미분:
,
상수는 어디에 있습니까?

라이프니츠 공식 두 함수의 곱의 파생물:
,
어디
- 이항 계수.

실시예 1

다음 함수의 1차 도함수와 2차 도함수를 구합니다.
.

우리는 1차 미분을 찾습니다.미분 기호 외부의 상수를 취하고 미분 표의 공식을 적용합니다.
.
복잡한 기능의 차별화 규칙을 적용합니다.
.
여기 .
우리는 복잡한 함수의 미분 규칙을 적용하고 발견된 도함수를 사용합니다.
.
여기 .

.
2차 도함수를 찾으려면 1차 도함수, 즉 함수의 도함수를 찾아야 합니다.
.
표기법과의 혼동을 피하기 위해 이 함수를 문자로 표시하겠습니다.
(A1.1) .
그 다음에 2차 미분원래 함수에서 함수의 파생물은 다음과 같습니다.
.

함수의 미분을 찾는 것입니다. 이것은 로그 미분을 사용하면 더 쉽습니다. 로그화해보자(A1.1):
.
이제 구별해보자:
(A1.2) .
그러나 그것은 일정합니다. 그 미분은 0입니다. 우리는 이미 파생어를 찾았습니다. 우리는 복소 함수의 미분 규칙을 사용하여 나머지 도함수를 찾습니다.
;
;
.
(A1.2)를 다음과 같이 대체합니다.

.
여기에서
.

;
.

실시예 2

3차 도함수를 구합니다:
.

1차 미분 구하기. 이를 위해 우리는 미분 부호 외부의 상수를 취하고 다음을 사용합니다. 파생 상품 표신청하고 복소 함수의 도함수를 찾는 규칙 .

.
여기 .
그래서 우리는 1차 미분을 찾았습니다.
.

2차 미분 구하기. 이를 위해 우리는 의 미분을 구합니다. 미분 분수 공식을 적용합니다.
.
2차 미분:
.

이제 우리는 우리가 찾고 있는 것을 찾습니다. 3차 미분. 이를 위해 우리는 차별화합니다.
;
;

.

3차 도함수는 다음과 같습니다.
.

실시예 3

다음 함수의 6차 도함수를 구합니다:
.

괄호를 열면 원래 함수가 차수의 다항식이라는 것이 분명해집니다. 이를 다항식으로 작성해 보겠습니다.
,
상수 계수는 어디에 있습니까?

다음으로, 거듭제곱 함수의 n차 도함수에 대한 공식을 적용합니다.
.
6차 도함수의 경우(n = 6 ) 우리는:
.
이것으로부터 . 우리가 가지고 있는 경우:
.

우리는 함수 합의 미분 공식을 사용합니다.

.
따라서 원래 함수의 6차 도함수를 찾으려면 가장 높은 차수의 다항식 계수만 찾으면 됩니다. 우리는 원래 함수의 합의 곱에서 가장 높은 거듭제곱을 곱하여 이를 찾습니다.

.
여기에서. 그 다음에
.

실시예 4

함수의 n차 도함수 찾기
.

솔루션 > > >

실시예 5

다음 함수의 n차 도함수를 구합니다.
,
여기서 및 는 상수입니다.

이 예에서는 복소수를 사용하여 계산을 수행하는 것이 편리합니다. 좀 복잡한 기능을 해보자
(A5.1) ,
여기서 및 는 실제 변수 x의 함수입니다.
- 허수 단위, .
(A.1)을 n번 미분하면 다음과 같습니다.
(A5.2) .
때로는 함수의 n차 도함수를 찾는 것이 더 쉽습니다. 그런 다음 함수의 n차 도함수는 n차 도함수의 실수부와 허수부로 정의됩니다.
;
.

이 기술을 사용하여 예제를 해결해 보겠습니다. 기능을 고려하십시오
.
여기서는 오일러의 공식을 적용했습니다.
,
그리고 명칭을 소개했습니다.
.
그런 다음 원래 함수의 n차 도함수는 다음 공식에 의해 결정됩니다.
.

함수의 n번째 도함수를 구해 봅시다
.
이를 위해 다음 공식을 적용합니다.
.
우리의 경우
.
그 다음에
.

그래서 우리는 복소 함수의 n번째 도함수를 찾았습니다.
,
어디 .
함수의 실제 부분을 찾아봅시다.
이를 위해 복소수를 지수 형식으로 표현합니다.
,
어디 ;
; .
그 다음에
;

.

예시 솔루션
.

허락하다 , .
그 다음에 ;
.
에 ,
,
,
.
그리고 우리는 코사인의 n차 도함수에 대한 공식을 얻습니다.
.

,
어디
; .