소개 개요 섹션에서는 두 가지 매우 중요한 내용을 설명합니다. 간단한 예(Shumway, 1988에서 가져옴)은 스펙트럼 분석의 특성과 결과 해석을 설명합니다. 이 방법에 익숙하지 않은 경우 먼저 이 장의 이 섹션을 살펴보는 것이 좋습니다.

검토 및 데이터 파일. Sunspot.sta 파일에는 1749년부터 1924년까지 알려진 흑점 번호(Wolfer)의 일부가 포함되어 있습니다(Anderson, 1971). 다음은 예제 파일의 처음 몇 가지 데이터 목록입니다.

흑점의 수는 지구의 날씨는 물론 농업, 통신 등에 영향을 미치는 것으로 추정됩니다. 이 분석을 사용하면 태양 흑점 활동이 실제로 주기적인지 여부를 알아내려고 시도할 수 있습니다(사실 이 데이터는 문헌에서 널리 논의됩니다. 예를 들어 Bloomfield, 1976 또는 Shumway, 1988 참조).

분석의 정의. 분석을 실행한 후 Sunspot.sta 데이터 파일을 엽니다. 변수 버튼을 클릭하고 Spots 변수를 선택합니다(Sunspot.sta 데이터 파일이 현재 파일인 경우 파일 열기데이터이고 Spots 변수가 이 파일의 유일한 변수인 경우 시계열 분석 대화 상자가 열리면 Spots가 자동으로 선택됩니다. 이제 푸리에(스펙트럼) 분석 버튼을 클릭하여 푸리에(스펙트럼) 분석 대화 상자를 엽니다.

스펙트럼 분석을 적용하기 전에 먼저 흑점 수를 플로팅합니다. Sunspot.sta 파일에는 관측 이름으로 해당 연도가 포함되어 있습니다. 이 이름을 사용하려면 선 그래프에서 시리즈 보기 탭을 클릭하고 마크 포인트 섹션에서 케이스 이름을 선택합니다. 또한 X축 배율을 수동으로 설정하고 최소를 선택합니다. = 1, 단계 = 10. 그런 다음 선택 항목 보기 버튼 옆에 있는 그래프 버튼을 클릭합니다. 변하기 쉬운.

흑점의 수는 순환적인 패턴을 따르는 것으로 보입니다. 추세가 표시되지 않으므로 스펙트럼 분석 창으로 돌아가서 소스 계열 변환 그룹에서 선형 추세 제거 옵션을 선택 취소하세요.

계열의 평균이 0(영)보다 크다는 것은 명백합니다. 따라서 평균 빼기 옵션을 선택된 상태로 두십시오. 그렇지 않으면 주기도가 주파수 0(영)에서 매우 큰 피크로 "막히게" 됩니다.

이제 분석을 시작할 준비가 되었습니다. 이제 확인(1차원 푸리에 분석)을 클릭하여 푸리에 스펙트럼 분석 결과 대화 상자를 표시합니다.

결과를 봅니다. 대화 상자 상단의 정보 섹션에는 시리즈에 대한 일부 요약 통계가 표시됩니다. 또한 주기도에서 가장 큰 5개의 피크를 주파수별로 표시합니다. 세 개의 가장 큰 피크는 주파수 0.0852, 0.0909 및 0.0114에 있습니다. 이 정보는 단일 그래프에 쉽게 표시되지 않는 매우 큰 계열(예: 관측치가 100,000개 이상)을 분석할 때 유용합니다. 그러나 이 경우에는 주기도 값을 쉽게 확인할 수 있습니다. 주기도 및 스펙트럼 밀도 그래프 섹션에서 주기도 버튼을 클릭하면 됩니다.

주기도 그래프에는 두 개의 명확한 피크가 표시됩니다. 최대값은 약 0.9의 주파수입니다. 스펙트럼 분석 결과 창으로 돌아가서 요약 버튼을 클릭하면 결과 테이블에서 모든 주기도 값(및 기타 결과)을 볼 수 있습니다. 다음은 주기도에서 식별된 가장 큰 피크가 있는 결과 표의 일부입니다.

입문 검토 섹션에서 설명한 대로 빈도는 단위 시간당 주기 수입니다(여기서 각 관찰은 하나의 시간 단위입니다). 따라서 주파수 0.0909는 11주기(완전한 주기에 필요한 시간 단위 수) 값에 해당합니다. Sunspot.sta의 흑점 데이터는 연간 관측치를 나타내기 때문에 흑점 활동에는 뚜렷한 11년(아마도 11년보다 약간 긴) 주기가 있다는 결론을 내릴 수 있습니다.

스펙트럼 밀도. 일반적으로 스펙트럼 밀도 추정값을 계산하려면 주기도를 평활화하여 무작위 변동을 제거합니다. 가중 이동 평균 유형과 창 너비는 스펙트럼 창 섹션에서 선택할 수 있습니다. 소개 개요 섹션에서는 이러한 옵션에 대해 자세히 설명합니다. 이 예에서는 선택된 기본 창(해밍 폭 5)을 그대로 두고 Spectral Density 그래프를 선택하겠습니다.

이제 두 봉우리가 더욱 뚜렷해졌습니다. 기간별 주기도 값을 살펴보겠습니다. 일정 섹션에서 기간 필드를 선택합니다. 이제 Spectral Density 그래프를 선택하세요.

다시 한 번, 흑점 활동에는 뚜렷한 11년 주기가 있음을 알 수 있습니다. 더욱이, 약 80~90년의 더 긴 주기가 존재한다는 징후가 있습니다.

푸리에 변환 및 고전적인 디지털 스펙트럼 분석.
메드베데프 S.Yu., Ph.D.

소개

스펙트럼 분석은 측정된 신호의 주파수 구성을 특성화할 수 있는 신호 처리 방법 중 하나입니다. 푸리에 변환은 시간적 또는 공간적 신호(또는 해당 신호의 일부 모델)를 주파수 영역 표현과 연관시키는 수학적 프레임워크입니다. 일반적으로 신호는 전파 또는 측정 중에 무작위적이거나 잡음이 많기 때문에 통계적 방법은 스펙트럼 분석에서 중요한 역할을 합니다. 신호의 기본 통계적 특성이 정확하게 알려져 있거나 이 신호의 유한한 간격에서 결정될 수 있다면 스펙트럼 분석은 "정확한 과학"의 한 분야가 될 것입니다. 그러나 실제로는 신호 세그먼트로부터 해당 스펙트럼의 추정치만 얻을 수 있습니다. 따라서 스펙트럼 분석의 실천은 다소 주관적인 성격을 지닌 일종의 기술(또는 예술?)입니다. 동일한 신호 세그먼트를 서로 다른 방법으로 처리한 결과 얻은 스펙트럼 추정치 간의 차이는 데이터에 대한 가정의 차이로 설명할 수 있습니다. 다른 방법들평균화 등 신호 특성이 선험적으로 알려지지 않은 경우 어느 추정치가 더 나은지 말할 수 없습니다.

푸리에 변환 - 스펙트럼 분석의 수학적 기초
다양한 유형의 푸리에 변환에 대해 간략하게 살펴보겠습니다(자세한 내용은 참조).
시간 연속 신호의 푸리에 변환부터 시작해 보겠습니다.

, (1)

임의의 진동이 분해되는 복잡한 정현파(지수)의 주파수와 진폭을 식별합니다.
역변환

. (2)

직접 및 역 푸리에 변환(추가로 연속시간 푸리에 변환(CTFT)이라고 함)의 존재는 여러 조건에 의해 결정됩니다. 충분함 - 절대적인 신호 통합성

. (3)

덜 제한적인 충분 조건은 신호 에너지의 유한성입니다.

. (4)

푸리에 변환의 여러 기본 속성과 아래에 사용되는 함수를 제시하고 직사각형 창은 다음 식으로 정의됩니다.

(5)

sinc 함수는 다음과 같습니다.

(6)

시간 영역 샘플링 함수는 다음과 같이 주어진다.

(7)

이 함수를 주기적 연속 함수라고도 합니다.

표 1. NVPF의 주요 특성 및 기능

속성, 기능	기능	변환
선형성	Ag(티) + BH(티)	aG(f) + bH(f)
시간 이동	h (t - t 0)	H(f)exp(-j2pf t 0)
주파수 편이(변조)	h (t)exp(j2pf0 t)	H(에프 - 에프 0)
스케일링	(1 / |a|)h(t / a)	ㅎ(af)
시간 영역 컨벌루션 정리	g(티)*시간(티)	G(에프)H(에프)
주파수 영역 컨벌루션 정리	g(티) h(티)	G(에프)*H(에프)
창 기능	어(t/T)	2AT싱크(2Tf)
싱크 기능	2AF싱크(2Ft)	앗(f/F)
펄스 기능	광고(t)
카운팅 기능	티(에프)	FF(f), F=1/T

또 다른 중요한 속성은 두 함수 g(t)와 h(t)에 대한 Parseval의 정리에 의해 확립됩니다.

. (8)

g(t) = h(t)라고 하면 Parseval의 정리는 에너지 정리로 축소됩니다.

. (9)

식 (9)는 본질적으로 두 영역(시간과 주파수)에서 에너지 보존 법칙을 공식화한 것입니다. 왼쪽의 (9)에서 총 신호 에너지는 다음과 같습니다.

(10)

결정론적 신호 h(t)에 대한 에너지의 주파수 분포를 설명하므로 스펙트럼 에너지 밀도(SED)라고 합니다. 표현식 사용

(11)

신호 h(t)의 진폭과 위상 스펙트럼을 계산할 수 있습니다.

샘플링 및 가중치 작업

다음 섹션에서는 두 가지 기본 신호 처리 연산인 샘플 추출( 견본 추출) 그리고 계량창문을 사용하여. 여기서는 이러한 작업이 신호와 신호 변환에 미치는 영향을 고려합니다. 표 2에는 가중치 부여 및 샘플링을 수행하는 함수가 나열되어 있습니다.

T초 간격의 균일한 판독값의 경우 샘플링 주파수 F는 1/THz와 같습니다. 시간 영역의 가중치 함수와 샘플링 함수는 각각 TW(시간 창) 및 TS(시간 샘플링)로 지정되고, 주파수 영역에서는 FW(주파수 창) 및 FS(주파수 샘플링)로 지정됩니다.

표 2. 가중치 부여 및 샘플링 기능

작업	시간 기능	변환
시간 영역 가중치(창 너비 NT초)	TW=w(2t / NT - 1)	F(TW)=NTsinc(NTf)exp(-jpNTf)
주파수 영역 가중치(창 너비 1/THz)		FW=w(2Tf)
시간 계산(간격 T 초)	TS=티티(티)
주파수 샘플링(1/NTHz 간격)

제한된 스펙트럼을 갖는 연속 실수 신호 x(t)의 샘플이 취해지며, 그 상위 주파수는 F0와 같다고 가정해 보겠습니다. 실제 신호의 NVFT는 항상 전체 폭이 2F0인 대칭 함수입니다(그림 1 참조).
신호 x(t)의 샘플은 이 신호에 샘플 함수를 곱하여 얻을 수 있습니다.

(12)

그림 1 - 제한된 스펙트럼을 갖는 실제 신호에 대한 시간 영역에서의 샘플링 정리 설명:
a - 원래의 시간 함수와 푸리에 변환
b - 시간에 따른 샘플의 함수 및 푸리에 변환;
Fo의 경우 원래 함수의 시간 샘플과 주기적으로 계속되는 푸리에 변환<1/2T;
d - 주파수 창(이상적인 저역 통과 필터) 및 푸리에 변환(sinc 함수)
d - sinc 함수를 사용한 컨볼루션 연산을 통해 복원된 원래 시간 함수입니다.

주파수 영역 컨볼루션 정리에 따르면 신호 x(t)의 FTFT는 단순히 신호 x(t) 스펙트럼의 컨볼루션과 시간 샘플(TS) 함수의 푸리에 변환입니다.

. (13)

샘플 함수 F(TS)=Y1/T(f)의 푸리에 변환을 사용한 X(f)의 컨볼루션은 단순히 1/THz의 주파수 간격으로 X(f)를 주기적으로 계속합니다. 따라서 XS(f)는 X(f)의 주기적으로 확장된 스펙트럼입니다. 일반적으로 한 영역(예: 시간)의 샘플은 변환 영역(예: 빈도)에서 주기적인 연속으로 이어집니다. 샘플링 속도가 충분히 낮게 선택된 경우(F< 2Fo), то периодически продолженные спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название эффекта наложения в частотной области.
샘플에서 원래 시간 신호를 복원하려면 다음과 같이 하십시오. 이러한 샘플 사이에 특정 연속체 값을 보간하려면 직사각형 주파수 응답을 갖는 이상적인 저역 통과 필터를 통해 샘플링된 데이터를 전달할 수 있습니다(그림 1d).

. (14)

결과적으로(그림 1d 참조) 원래의 푸리에 변환이 복원됩니다. 시간 및 주파수 영역에서 컨볼루션 정리를 사용하여 다음을 얻습니다.

. (15)

식 (15)는 수학적 표기법이다. 시간 영역 샘플링 정리(Whittaker, Kotelnikov, Shannon - UKSH의 정리), 이는 보간 공식(15)을 사용하여 제한된 스펙트럼을 가진 실제 신호를 정확하게 복원할 수 있음을 나타냅니다. 무한대로주파수 F = 2F0으로 얻은 알려진 시간 샘플. 정리 (15)의 쌍대론이 정리이다 주파수 영역의 샘플지속 시간이 제한된 신호의 경우.
(14)와 유사한 시간 영역에서의 연산은 다음 식으로 설명됩니다.

, (16)

해당 변환은 표현식입니다.

따라서, 선택된 주파수 샘플링 간격이 조건 F1/2T 0Hz를 만족하는 경우 제한된 지속 시간을 가진 일부 신호의 NVPF X(f)는 해당 신호 스펙트럼의 등거리 샘플에서 명확하게 복원될 수 있습니다. 여기서 T 0은 신호입니다. 지속.

연속 변환과 이산 변환 간의 관계

N점 이산 푸리에 변환(DFT)의 기존 정의에 대한 한 쌍의 변환 시간 순서 x[n] 및 해당 N 포인트 푸리에 변환 시퀀스 X[k]는 다음 표현식으로 제공됩니다.

, (18)
. (19)

해당 에너지 또는 전력 단위의 데이터 샘플에서 스펙트럼 추정치를 얻기 위해 다음을 기반으로 하는 연속시간 푸리에 변환(CTFT)의 근사치로 간주될 수 있는 이산시간 푸리에 급수(DTFS)를 작성합니다. 유한한 수의 데이터 샘플 사용:

DVRF 준수 성격을 보여주기 위해 ( 이산적인시간 및 주파수 영역의 함수) 및 CVDF(시간 및 주파수 영역의 연속 함수)를 사용하려면 4개의 선형 교환 연산 시퀀스가 ​​필요합니다. 시간 및 주파수 영역에 가중치를 부여하고 샘플링 또는 샘플링시간 영역과 주파수 영역 모두에서요. 이러한 영역 중 하나에서 가중치 연산이 수행되면 컨볼루션 정리에 따라 이는 sinc 함수를 사용하는 다른 영역의 필터링 연산(컨볼루션)에 해당합니다. 마찬가지로, 한 영역에서 이산화가 수행되면 다른 영역에서는 주기적 연속 작업이 수행됩니다. 샘플의 무게 측정과 채취는 선형 및 교환 작업이므로 다양한 주문 방법이 가능하며 중간 결과는 다르지만 동일한 최종 결과를 얻을 수 있습니다. 그림 2는 이러한 네 가지 작업을 수행하는 두 가지 가능한 시퀀스를 보여줍니다.

쌀. 2. NVPF와 DVRF를 연결하는 두 개의 계량 작업과 두 개의 샘플링 작업의 두 가지 가능한 시퀀스: FW - 주파수 영역에서 창 적용; TW - 시간 영역에서 창 적용 FS - 주파수 영역에서 샘플을 채취합니다. TS - 시간 영역에서 샘플을 채취합니다.
1 - 연속 시간 푸리에 변환, 방정식(1);
4 - 이산시간 푸리에 변환, 방정식(22);
5 - 연속 시간을 갖는 푸리에 급수, 방정식(25);
8 - 이산 시간을 갖는 푸리에 급수, 방정식 (27)

노드 1, 4, 5, 8에서 계량 및 샘플링 작업을 수행한 결과 네 가지 유형의 푸리에 관계가 발생합니다. 함수가 있는 노드 주파수 영역은 연속적입니다., 인용하다 변환푸리에 및 함수가 주파수 영역에 있는 노드 이산적인인용하다 푸리에 급수(자세한 내용은 참조).
따라서 노드 4에서는 주파수 영역의 가중치와 시간 영역의 샘플링이 생성됩니다. 이산시간 변환푸리에 변환(FTFT)은 1/THz 주기의 주파수 영역에서 주기적인 스펙트럼 함수를 특징으로 합니다.

(22)

(23)

식 (22)는 -1/2T에서 1/2THz까지의 주파수 범위에서만 노드 1에 지정된 원래 변환 함수와 일치하는 특정 주기 함수를 정의합니다. 식 (22)는 다음 관계에 의해 이산 시퀀스 x[n]의 Z 변환과 관련됩니다.

(24)

따라서 DVFT는 단순히 단위원에서 계산된 Z 변환에 T를 곱한 것입니다.
그림 2의 노드 1에서 하위 분기를 따라 노드 8로 이동하면 노드 5에서 시간 영역의 가중치(신호 기간 제한)와 주파수 영역의 샘플링 작업이 연속시간 푸리에 급수(CFTS)를 생성합니다. ). 표 1과 2에 제공된 함수의 속성과 정의를 사용하여 다음과 같은 변환 쌍을 얻습니다.
(25)
(26)

식 (26)은 0에서 NT까지의 시간 간격에서만 원래 함수(노드 1에서)와 일치하는 특정 주기 함수를 정의합니다.
4개 작업의 두 시퀀스 중 무엇을 선택하든 관계없이 노드 8의 최종 결과는 동일합니다. 이산시간 푸리에 급수이는 표 1에 표시된 속성을 사용하여 얻은 다음 변환 쌍에 해당합니다.

, (27)

여기서 k=-N/2, . . . ,N/2-1

, (28)

여기서 n=0, . . . ,N-1 ,
이 DVRF의 에너지 정리는 다음과 같습니다.

, (29)

N개의 데이터 샘플 시퀀스의 에너지를 특성화합니다. 두 시퀀스 x[n] 및 X[k]는 모두 주기적인 모듈로 N이므로 (28)은 다음 형식으로 작성할 수 있습니다.

, (30)

여기서 0 n N입니다. (27) - (30)의 인수 T는 (27)과 (28)이 실제로 적분 영역에서 적분 변환의 근사값이 되도록 필요합니다.

.(31)

제로 패딩

라는 과정을 거쳐 0으로 채우기, 이산시간 푸리에 급수는 원래 변환의 N 값 사이를 보간하도록 수정될 수 있습니다. 사용 가능한 데이터 샘플 x,...,x에 0 값 x[N],...X를 추가합니다. 제로 패딩된 2N 도트 데이터 시퀀스의 DVRF는 다음과 같이 지정됩니다.

(32)

여기서 오른쪽 합계의 상한은 Null 데이터의 존재를 수용하도록 수정됩니다. k=2m이라고 하면,

, (33)

여기서 m=0,1,...,N-1은 X[k]의 짝수 값을 정의합니다. 이는 인덱스 k의 짝수 값에 대해 2N점 이산시간 푸리에 계열이 N점 이산시간 계열로 축소됨을 보여줍니다. 인덱스 k의 홀수 값은 원래 N-포인트 DVRF의 값 사이에 위치하는 보간된 DVRF 값에 해당합니다. 원래 N-점 시퀀스에 점점 더 많은 0이 추가될수록 더 많은 보간된 데이터를 얻을 수 있습니다. 무한한 입력 0의 제한적인 경우 DVRF는 N 포인트 데이터 시퀀스의 이산 시간 푸리에 변환으로 간주될 수 있습니다.

. (34)

변환(34)은 그림 2의 노드 6에 해당합니다.
제로 패딩이 데이터 시퀀스의 길이를 늘리기 때문에 분해능이 향상된다는 오해가 있습니다. 그러나 그림 3에서 다음과 같이 0으로 패딩한다. 개선되지 않습니다주어진 유한 데이터 시퀀스에서 얻은 변환의 해상도. 제로 패딩은 단순히 보간된 변환을 허용합니다. 좀 더 부드러운 모양. 또한 원래 DVRF의 추정 주파수에 해당하는 N 지점 사이에 주파수가 있는 협대역 신호 성분의 존재로 인한 불확실성을 제거합니다. 0으로 채우면 스펙트럼 피크의 주파수를 추정하는 정확도도 높아집니다. 스펙트럼 분해능이라는 용어는 두 고조파 신호의 스펙트럼 응답을 구별하는 능력을 의미합니다. 스펙트럼 분석에 자주 사용되는 일반적으로 인정되는 경험 법칙은 구별되는 정현파의 주파수 분리가 다음보다 작을 수 없다는 것입니다. 동등한 창 너비, 이를 통해 이러한 정현파의 세그먼트(섹션)가 관찰됩니다.

그림 3. 제로 패딩을 사용한 보간:
a - 0으로 패딩되지 않은 3개의 정현파를 포함하는 16포인트 데이터 기록을 위한 DVRF 모듈(불확실성은 눈에 띕니다. 신호에 정현파가 몇 개 있는지 말할 수 없습니다(2, 3 또는 4)).
b - 16개의 0을 추가하여 샘플 수를 두 배로 늘린 후 동일한 시퀀스의 DVRF 모듈(3개의 정현파가 모두 구별 가능하므로 불확실성이 해결됨)
c - 0 추가로 인해 샘플 수가 4배 증가한 후 동일한 시퀀스의 DVRF 모듈입니다.

등가 창 대역폭은 다음과 같이 정의될 수 있습니다.
여기서 W(f)는 창 함수의 이산시간 푸리에 변환입니다(예: 직사각형(5)). 마찬가지로 다음을 입력할 수 있습니다. 등가 기간

윈도우(또는 다른 신호)의 등가 지속 시간과 해당 변환의 등가 대역폭은 상호 역수(TeBe=1)임을 알 수 있습니다.

고속 푸리에 변환

FFT(Fast Fourier Transform)는 푸리에 변환의 또 다른 유형이 아니라 여러 가지 효과적인 변환의 이름입니다. 알고리즘, 이산시간 푸리에 계열의 빠른 계산을 위해 설계되었습니다. DVRF의 실제 구현에서 발생하는 주요 문제는 N2에 비례하는 많은 계산 연산 수에 있습니다. 컴퓨터가 출현하기 오래 전에 계산 작업 수를 크게 줄일 수 있는 몇 가지 효율적인 컴퓨팅 방식이 제안되었지만 1965년에 Cooly와 Tukey가 빠른 계산을 위한 실용적인 알고리즘을 담은 기사를 출판함으로써 진정한 혁명이 이루어졌습니다. Nlog 2 N) DVRF 계산. 그 후, 기본 아이디어에 대한 많은 변형, 개선 및 추가가 개발되어 고속 푸리에 변환으로 알려진 알고리즘 클래스가 형성되었습니다. FFT의 기본 아이디어는 N-포인트 DVRF를 두 개 이상의 작은 DVRF로 나누는 것입니다. 각 DVRF는 별도로 계산한 다음 다른 DVRF와 선형적으로 합산하여 원래 N-포인트 시퀀스의 DVRF를 얻을 수 있습니다.
이산 푸리에 변환(DFFT)을 다음 형식으로 표현해 보겠습니다.

, (35)

여기서 W N =exp(-j2 /N) 값을 전환 요인이라고 합니다(이하 이 섹션에서는 샘플링 주기를 T=1로 함). x[n] 시퀀스에서 짝수와 홀수를 갖는 요소를 선택해 보겠습니다.

. (36)

하지만 그 이후로
. 따라서 (36)은 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.

, (37)

여기서 각 항은 길이 N/2의 변환입니다.

(38)

시퀀스 (WN/2) nk는 k에서 주기 N/2로 주기적입니다. 따라서 식 (37)의 숫자 k는 0부터 N-1까지의 값을 취하지만, 각각의 합은 0부터 N/2-1까지의 k값에 대해 계산된다. 알고리즘 (37)-(38)에 따라 푸리에 변환을 계산하는 데 필요한 복소 곱셈 및 덧셈 연산의 수를 추정할 수 있습니다. 공식(38)에 따른 2개의 N/2점 푸리에 변환에는 2(N/2) 2 곱셈과 거의 동일한 수의 덧셈을 수행하는 작업이 포함됩니다. 식(37)을 사용하여 두 개의 N/2점 변환을 결합하려면 또 다른 N 곱셈과 N 추가가 필요합니다. 따라서 k의 모든 N 값에 대해 푸리에 변환을 계산하려면 N+N 2 /2 곱셈과 덧셈을 수행해야 합니다. 동시에, 공식(35)을 사용한 직접 계산에는 N 2 곱셈과 덧셈이 필요합니다. N>2에 대해 이미 부등식 N+N 2 /2가 충족됩니다.< N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям:

, (39)
(40)

이 경우, 주기 N/4를 갖는 k의 시퀀스 Wnk N/4의 주기성으로 인해 합계(40)는 0에서 N/4-1까지의 k 값에 대해서만 계산되어야 합니다. 따라서 식 (37), (39) 및 (40)을 사용하여 시퀀스 X[k]를 계산하려면 계산하기 쉽도록 이미 2N+N 2 /4 곱셈 및 덧셈 연산이 필요합니다.
이 경로를 따르면 X[k] 계산량을 점점 더 줄일 수 있습니다. m=log 2 N 확장 후에 우리는 다음 형식의 2점 푸리에 변환에 도달합니다.

(41)

여기서 "1점 변환" X 1 은 단순히 신호 x[n]의 샘플입니다.

X 1 = x[q]/N, q=0,1,...,N-1. (42)

결과적으로 우리는 FFT 알고리즘을 작성할 수 있습니다. 시간 희석 알고리즘 :

X 2 = (x[p] + Wk 2 x) / N,

여기서 k=0.1, p=0.1,...,N/2 -1;

X 2N/M =X N/M + W k 2N/M X N/M ,

여기서 k=0.1,...,2N/M -1, p=0.1,...,M/2 -1;

X[k] = X N [k] =X N/2 + W k N X N/2 , (43)

여기서 k=0,1,...,N-1

계산의 각 단계에서 N개의 복소수 곱셈과 덧셈이 수행됩니다. 그리고 원래 시퀀스를 절반 길이 부분 시퀀스로 분해하는 횟수는 log 2 N과 같으므로 FFT 알고리즘의 총 곱셈-덧셈 연산 횟수는 Nlog 2 N과 같습니다. 큰 N의 경우 상당한 양의 N이 있습니다. 직접 DFT 계산에 비해 계산 작업이 절약됩니다. 예를 들어 N = 2 10 = 1024이면 연산 횟수가 117배로 줄어듭니다.
우리가 고려한 시간 소멸 FFT 알고리즘은 입력 시퀀스 x[n]의 하위 시퀀스를 형성하여 푸리에 변환을 계산하는 것을 기반으로 합니다. 그러나 푸리에 변환 X[k]의 하위 시퀀스 분해를 사용하는 것도 가능합니다. 이 절차를 기반으로 한 FFT 알고리즘을 c라고 합니다. 주파수 얇아짐.예를 들어 고속 푸리에 변환에 대한 자세한 내용을 읽을 수 있습니다.

랜덤 프로세스 및 전력 스펙트럼 밀도

이산형 무작위 과정 x는 실수 또는 복소수 이산 시간(또는 공간) 시퀀스의 특정 세트 또는 앙상블로 간주될 수 있으며, 각 시퀀스는 일부 실험의 결과로 관찰될 수 있습니다(n은 시간 인덱스, i는 관찰 수). 관찰 중 하나의 결과로 얻은 시퀀스는 x[n]으로 표시됩니다. 앙상블에 대한 평균화 작업(예: 통계적 평균)는 연산자로 표시됩니다<>. 따라서, - 시간 n에서의 랜덤 프로세스 x[n]의 평균값입니다. 자기상관서로 다른 두 시간 n1과 n2에서의 무작위 과정은 다음 식으로 결정됩니다. r xx = .

랜덤 프로세스를 고정(stationary) 프로세스라고 합니다. 넓은 의미에서, 평균 값이 일정하고(시간과 무관) 자기상관이 시간 인덱스의 차이에만 의존하는 경우 m=n1-n2(샘플 간의 시간 이동 또는 지연). 따라서 광범위하게 정상인 이산 확률 과정 ​​x[n]은 일정한 평균값을 특징으로 합니다. =그리고 자기상관 시퀀스(AKP)

rxx [m] =< xx*[n] >. (44)

자동 변속기의 다음 속성을 살펴보겠습니다.

r xx |r xx [m]| , r xx [-m] = r* xx [m] , (45)

이는 모든 m에 유효합니다.
전력 스펙트럼 밀도(PSD)는 자기상관 시퀀스의 이산시간 푸리에 변환(DTFT)으로 정의됩니다.

. (46)

PSD는 폭이 ±1/2THz로 제한된다고 가정하며, 주기가 1/THz인 주파수의 주기함수이다. PSD 함수는 랜덤 프로세스 전력의 빈도 분포를 설명합니다. 선택한 이름을 확인하려면 역 DVFT를 고려하십시오.

(47)

m=0에서 계산됨

(48)

제로 시프트에서의 자기상관은 다음과 같습니다. 평균 전력무작위 프로세스. (48)에 따르면, 곡선 Pxx(f) 아래의 면적은 평균 전력을 나타냅니다. 따라서 Pxx(f)는 전력의 주파수 분포를 특징짓는 밀도 함수(단위 주파수당 전력)입니다. 변환 쌍 (46)과 (47)은 종종 다음과 같이 불립니다. Wiener-Khinchin 정리이산시간의 경우. r xx [-m]=r* xx [m]이므로 PSD는 순실양수 함수여야 합니다. ACP가 엄밀한 실수 함수인 경우 r xx [-m]=r xx [m]이고 PSD는 푸리에 코사인 변환 형식으로 작성될 수 있습니다.

,

이는 또한 P xx (f) = P xx (-f)를 의미합니다. 즉 SPM은 짝수 함수입니다.
지금까지는 랜덤 프로세스의 평균값, 상관관계, 전력 스펙트럼 밀도를 결정할 때 앙상블에 대한 통계적 평균을 사용했습니다. 그러나 실제로 이러한 통계적 특성을 계산할 수 있는 필수 프로세스 구현의 앙상블을 얻는 것은 일반적으로 불가능합니다. 하나의 표본 실현 x(t)를 사용하여 모든 통계적 특성을 평가하고 y를 대체하는 것이 좋습니다. 앙상블 평균 시간 평균. 그러한 대체가 가능하게 하는 특성을 에르고딕성(ergodicity)이라고 합니다. 확률이 1인 경우 시간 평균을 사용하여 앙상블의 한 구현에서 모든 통계적 특성을 예측할 수 있는 경우 임의 프로세스를 에르고딕이라고 합니다. 즉, 프로세스의 거의 모든 가능한 구현의 시간 평균은 확률 1과 동일한 상수 값인 앙상블 평균으로 수렴됩니다.

. (49)

이 한계가 존재하는 경우 평균의 시간 분산이 0이 되는 경향이 있는 경우에만 실제 평균으로 수렴됩니다. 이는 다음 조건이 충족됨을 의미합니다.

. (50)

여기서 c xx [m]은 프로세스 x[n]의 공분산의 실제 값입니다.
마찬가지로, 두 시점에서 프로세스 샘플 x[n]의 곱 값을 관찰하면 평균 값이 다음과 같을 것으로 예상할 수 있습니다.

(51)

에르고딕성 가정을 통해 시간 평균화를 통해 평균과 자기상관에 대한 정의를 도입할 수 있을 뿐만 아니라 전력 스펙트럼 밀도에 대해서도 유사한 정의를 제공할 수 있습니다.

. (52)

PSD의 등가 형태는 샘플 수가 무한대로 증가하는 경우 가중치가 부여된 데이터 세트의 DVFT 모듈러스를 데이터 레코드의 길이로 나누어 통계적으로 평균화하여 얻습니다. 여기서는 DVFT 자체가 x[n]이 실현될 때마다 변경되는 랜덤 변수이기 때문에 통계적 평균화가 필요합니다. (52)가 Wiener-Khinchin 정리와 동일하다는 것을 보여주기 위해 DVFT 계수의 제곱을 두 계열의 곱으로 표현하고 합산 및 통계적 평균 연산의 순서를 변경합니다.

(53)

유명한 표현을 사용하여

, (54)

관계식 (53)은 다음과 같이 축소될 수 있습니다.

(55)

유도의 마지막 단계(55)에서 자기상관 시퀀스가 ​​"쇠퇴"한다는 가정이 사용되었음에 유의하십시오.

. (56)

PSD(46)과 (52)의 두 정의 사이의 관계는 그림 4에 제시된 다이어그램에 명확하게 표시됩니다.
식 (52)에서 수학적 기대의 연산을 고려하지 않으면 SPM 추정치를 얻습니다.

, (57)

라고 불리는 샘플 스펙트럼.

쌀. 4. 전력 스펙트럼 밀도를 추정하는 두 가지 방법의 관계

스펙트럼 추정의 주기도 방법

위에서 우리는 전력 스펙트럼 밀도(PSD)를 결정하기 위한 두 가지 형식적 등가 방법을 소개했습니다. 간접 방법은 무한한 데이터 시퀀스를 사용하여 자기상관 시퀀스를 계산하는 데 기반을 두고 있으며, 이 시퀀스의 푸리에 변환은 원하는 PSD를 제공합니다. PSD를 결정하는 직접적인 방법은 적절한 통계적 평균을 사용하여 무한한 데이터 시퀀스에 대한 푸리에 변환의 제곱 계수를 계산하는 것을 기반으로 합니다. 그러한 평균을 구하지 않고 얻은 PSD는 만족스럽지 못한 것으로 나타납니다. 왜냐하면 그러한 추정치의 평균 제곱근 오차가 평균값과 비슷하기 때문입니다. 이제 유한한 수의 샘플에 대해 원활하고 통계적으로 안정적인 스펙트럼 추정치를 제공하는 평균화 방법을 고려해 보겠습니다. 직접적인 데이터 변환 및 후속 평균화를 기반으로 하는 SPD 추정값을 주기도라고 합니다. 초기 데이터로부터 상관 추정이 처음으로 형성되는 PSD 추정을 호출합니다. 상관사각형. PSD 추정 방법을 사용할 때 사용자는 유한한 수의 샘플에서 가능한 가장 높은 분해능으로 통계적으로 안정적인 스펙트럼 추정치를 얻기 위해 많은 절충 결정을 내려야 합니다. 이러한 절충안에는 데이터 가중 및 상관 추정을 위한 창 선택과 가중으로 인한 사이드 로브 감소 요구 사항의 균형을 맞추는 시간 영역 및 주파수 영역 평균 매개변수, 효율적인 평균화 수행 및 제공이 포함되지만 이에 국한되지는 않습니다. 허용 가능한 스펙트럼 해상도. 그림에서. 그림 5는 주요 단계를 보여주는 다이어그램을 보여줍니다. 주기도 방법

쌀. 5. 주기도 방법을 이용한 PSD 추정의 주요 단계

이 방법의 적용은 샘플당 T초 간격으로 수집된 N개의 데이터 샘플 수집으로 시작되며 그 다음에는(선택 사항) 추세 제거 단계가 수행됩니다. 통계적으로 안정적인 스펙트럼 추정치를 얻으려면 사용 가능한 데이터를 겹치는(가능한 경우) 세그먼트로 나누고 이어서 각 세그먼트에 대해 얻은 샘플 스펙트럼의 평균을 구해야 합니다. 이 평균화의 매개변수는 세그먼트당 샘플 수(NSAMP)와 다음 세그먼트의 시작 부분을 이동해야 하는 샘플 수(NSHIFT)를 적절하게 선택하여 변경됩니다. 6. 세그먼트 수는 스펙트럼 추정치의 필요한 평활도(분산) 및 필요한 스펙트럼 분해능에 따라 선택됩니다. NSAMP 매개변수의 값이 작을수록 평균화가 수행되는 세그먼트가 더 많아지므로 분산이 적고 주파수 분해능도 낮은 추정치를 얻을 수 있습니다. 세그먼트 길이(NSAMP 매개변수)를 늘리면 해상도가 증가하는데, 이는 평균 횟수가 적어서 추정치의 분산이 증가하기 때문입니다. 그림 5의 복귀 화살표는 다양한 길이와 세그먼트 수의 데이터를 여러 번 반복적으로 통과해야 함을 나타내며, 이를 통해 연구 중인 프로세스에 대한 더 많은 정보를 얻을 수 있습니다.

그림 6. 데이터를 세그먼트로 분할하여 주기도 계산

창문

모든 기존 스펙트럼 추정 방법에 공통적으로 적용되는 중요한 문제 중 하나는 데이터 가중치와 관련이 있습니다. 윈도우잉은 스펙트럼 추정에서 사이드로브 효과를 제어하는 ​​데 사용됩니다. 기존 유한 데이터 레코드를 적용된 창을 통해 볼 수 있는 해당 무한 시퀀스의 일부로 간주하는 것이 편리합니다. 따라서 N개의 샘플에서 관찰된 데이터 x 0 [n]의 시퀀스는 무한 시퀀스 x[n]과 직사각형 창 함수의 곱으로 수학적으로 작성될 수 있습니다.

X 0 [n]=x[n] 직사각형[n].
이는 실제로 사실인지 여부에 관계없이 관찰되지 않은 모든 샘플이 0과 같다는 명백한 가정을 만듭니다. 가중 시퀀스의 이산시간 푸리에 변환은 시퀀스 x[n]과 직사각형 윈도우 ect[n] 변환의 컨볼루션과 같습니다.

X 0 (f)=X(f)*DN (f) , 여기서
DN(f)= Texp(-j2pfT)sin(pfTN)/sin(pfT).

이산 sinc 함수 또는 Dirichlet 커널이라고 불리는 함수 D N (f)는 직사각형 함수의 DCFT입니다. 관찰된 유한 수열의 변환은 무한 수열 변환의 왜곡된 버전입니다. 주파수 f 0인 이산시간 정현파에 대한 직사각형 창의 효과가 그림 7에 설명되어 있습니다.

그림 7. 데이터 가중으로 인한 누출로 인한 이산시간 푸리에 변환 편향의 예시: a, b - 원본 및 가중 시퀀스; b, d - 푸리에 변환.

무한 사인파 시퀀스의 DTFT의 날카로운 스펙트럼 피크가 윈도우 변환과의 컨볼루션으로 인해 확장되는 것을 그림에서 볼 수 있습니다. 따라서 윈도우 가중치 시퀀스의 스펙트럼 피크의 최소 폭은 해당 윈도우의 기본 변환 로브 폭에 의해 결정되며 데이터와 무관합니다. 측엽창 변환은 인접한 스펙트럼 피크의 진폭을 변경합니다(블리드 스루라고도 함). DVFT는 주기 함수이므로 인접한 주기의 사이드 로브가 겹치면 추가 바이어스가 발생할 수 있습니다. 샘플링 속도를 높이면 사이드로브 앨리어싱 효과가 줄어듭니다. 비정현파 신호의 경우에도 유사한 왜곡이 자연스럽게 관찰됩니다. 블리딩은 개별 신호의 스펙트럼에 진폭 오류를 일으킬 뿐만 아니라 그 존재를 가릴 수도 있습니다. 약한 신호. 직사각형 창에 비해 측면 돌출부를 줄일 수 있는 다양한 창 기능이 제공될 수 있습니다. 사이드 로브의 수준을 줄이면 스펙트럼 추정치의 이동이 줄어들지만 이는 창 스펙트럼의 메인 로브를 확장하는 대가를 치르게 되어 자연스럽게 해상도가 저하됩니다. 결과적으로, 여기서도 메인 로브의 너비와 사이드 로브의 수준 사이에서 어느 정도 절충안을 선택해야 합니다. 창의 품질을 평가하기 위해 여러 매개변수가 사용됩니다. 전통적인 표시기는 절반 전력에서의 메인 로브 대역폭입니다. 두 번째 지표는 위에서 소개한 등가 대역폭입니다. 사이드 로브의 특성을 평가하기 위해 두 가지 지표도 사용됩니다. 첫 번째는 최대 레벨이고, 두 번째는 붕괴율입니다. 이는 메인 로브에서 멀어짐에 따라 사이드 로브가 감소하는 속도를 나타냅니다. 표 3은 일반적으로 사용되는 일부 이산시간 창 함수의 정의를 보여주고, 표 4는 그 특성을 보여줍니다.
표 3. 일반적인 N-포인트 이산 시간 창의 정의Max. 사이드 로브 레벨, dB -31.5

. (46)

상관도표법 PSD를 추정하는 것은 단순히 자기상관 추정값에 대한 유한한 값 시퀀스를 식(46)에 대체하는 것입니다( 상관사각형) 알 수 없는 실제 자기상관 값의 무한한 시퀀스 대신. 스펙트럼 추정의 상관도형 방법에 대한 자세한 내용은 에서 확인할 수 있습니다.

문학

1. Rabiner L., Gould B. 디지털 신호 처리 이론 및 응용. M.: 미르, 1978.

2. 마플 주니어 S.L. 디지털 스펙트럼 분석 및 응용: Transl. 영어로부터 -M.: 미르, 1990.

3. Goldberg L.M., Matyushkin B.D., Polyak M.N., 디지털 처리신호 - M.: 라디오 및 통신, 1990.

4. Otnes R., Enokson L. 시계열 응용 분석 - M.: Mir, 1982.

스펙트럼 분석

스펙트럼 분석은 주파수 표현 또는 스펙트럼을 기반으로 하는 광범위한 데이터 처리 방법입니다. 스펙트럼은 시간(시계열) 또는 공간 좌표(예: 이미지)에 따라 달라지는 원래 함수를 일부 주기 함수를 기반으로 분해하여 얻습니다. 대부분의 경우 스펙트럼 처리에는 사인 기반(푸리에 분해, 푸리에 변환)을 기반으로 얻은 푸리에 스펙트럼이 사용됩니다.

푸리에 변환의 주요 의미는 분석적으로 설명할 수 없어 처리 및 분석이 어려운 임의 형상의 원래 비주기 함수를 서로 다른 주파수, 진폭 및 초기값을 갖는 사인 또는 코사인의 집합으로 표현한다는 것입니다. 단계.

즉, 복잡한 함수가 여러 개의 간단한 함수로 변환됩니다. 푸리에 전개의 결과로 얻은 특정 주파수와 진폭을 갖는 각 사인파(또는 코사인파)를 호출합니다. 스펙트럼 성분또는 고조파. 스펙트럼 구성 요소 형태 푸리에 스펙트럼.

시각적으로 푸리에 스펙트럼은 그리스 문자 "오메가"로 표시되는 원형 주파수가 수평 축을 따라 표시되고 일반적으로 라틴 문자 A로 표시되는 스펙트럼 구성 요소의 진폭이 표시되는 그래프 형태로 표시됩니다. , 는 수직 축을 따라 플롯됩니다. 그러면 각 스펙트럼 구성 요소는 개수, 수평으로 해당 주파수에 해당하는 위치, 높이(진폭)로 표시될 수 있습니다. 주파수가 0인 고조파를 호출합니다. 상수 성분(시간적 표현에서 이는 직선입니다).

스펙트럼을 간단하게 시각적으로 분석해도 스펙트럼을 얻은 기준이 되는 함수의 성격에 대해 많은 것을 알 수 있습니다. 초기 데이터의 급격한 변화로 인해 스펙트럼의 구성 요소가 발생한다는 것은 직관적으로 분명합니다. 높은빈도와 느린 것 - 낮은. 따라서 주파수가 증가함에 따라 해당 구성 요소의 진폭이 급격히 감소하면 원래 함수(예: 시계열)는 매끄럽고 스펙트럼에 진폭이 큰 고주파 구성 요소가 포함되어 있으면 원래 함수에는 급격한 변동이 포함됩니다. . 따라서 시계열의 경우 이는 큰 무작위 구성 요소, 설명하는 프로세스의 불안정성 또는 데이터에 노이즈가 있음을 나타낼 수 있습니다.

스펙트럼 처리는 스펙트럼 조작을 기반으로 합니다. 실제로 고주파 성분의 진폭을 줄인(억제) 후, 변화된 스펙트럼을 바탕으로 역푸리에변환을 수행하여 원래의 함수를 복원하면 고주파 성분이 제거되어 더욱 매끄러워지게 됩니다. 요소.

예를 들어 시계열의 경우 이는 무작위 요인에 매우 민감한 일일 매출 정보를 제거하고 계절성과 같은 보다 일관된 추세를 남겨두는 것을 의미합니다. 반대로, 느린 변화를 제거하고 빠른 변화만 남겨두는 저주파 성분을 억제할 수 있습니다. 시계열의 경우 이는 계절 성분이 억제됨을 의미합니다.

이러한 방식으로 스펙트럼을 사용하면 원본 데이터에서 원하는 변경을 얻을 수 있습니다. 가장 일반적인 용도는 스펙트럼에서 고주파 성분의 진폭을 제거하거나 줄여 시계열을 평활화하는 것입니다.

스펙트럼을 조작하기 위해 스펙트럼의 모양을 제어하고 해당 구성 요소를 억제하거나 강화할 수 있는 알고리즘인 필터가 사용됩니다. 기본 재산어느 필터 AFC(진폭-주파수 응답)는 그 모양에 따라 스펙트럼의 변환이 결정됩니다.

필터가 특정 차단 주파수보다 낮은 주파수를 갖는 스펙트럼 성분만 통과시키는 경우 이를 저역 통과 필터(LPF)라고 하며 데이터를 평활화하고 노이즈 및 비정상적인 값을 제거하는 데 사용할 수 있습니다.

필터가 특정 차단 주파수 이상의 스펙트럼 성분을 통과시키는 경우 이를 고역 통과 필터(HPF)라고 합니다. 데이터 계열의 계절성과 같은 느린 변화를 억제하는 데 사용할 수 있습니다.

또한 중간 통과 필터, 정지 필터 및 기타 다양한 유형의 필터가 사용됩니다. 대역통과 필터, 무선 전자 장치의 신호 처리에 사용되는 더 복잡한 것들도 있습니다. 종류와 모양 선택 주파수 응답필터를 사용하면 스펙트럼 처리를 통해 원본 데이터를 원하는 대로 변환할 수 있습니다.

노이즈를 평활화하고 제거하기 위해 데이터의 주파수 필터링을 수행하는 경우 저역 통과 필터 대역폭을 올바르게 지정해야 합니다. 너무 높게 선택하면 스무딩 정도가 불충분해지고 노이즈가 완전히 억제되지 않습니다. 너무 좁으면 소음과 함께 다음과 같은 변화가 발생합니다. 유용한 정보. 만약에 기술적인 응용필터의 최적 특성을 결정하는 데는 엄격한 기준이 있으며, 분석 기술에서는 주로 실험 방법을 사용해야 합니다.

스펙트럼 분석은 가장 효과적이고 잘 개발된 데이터 처리 방법 중 하나입니다. 주파수 필터링는 수많은 응용 프로그램 중 하나일 뿐입니다. 또한 상관관계 및 통계분석, 신호 및 함수의 합성, 모델 구축 등에 활용됩니다.

분석 방법은 소위 푸리에 급수(Fourier series)를 기반으로 했습니다. 이 시리즈는 복잡한 형태를 단순한 형태로 분해하는 것에서 시작됩니다. 푸리에는 복잡한 파형이 단순한 파동의 합으로 표현될 수 있음을 보여주었습니다. 일반적으로 고전 시스템을 설명하는 방정식은 이러한 단순 파동 각각에 대해 쉽게 풀 수 있습니다. 게다가 푸리에는 이것이 어떻게 나타나는지 보여주었다. 간단한 솔루션전체 복잡한 문제에 대한 해결책을 얻기 위해 요약될 수 있습니다. (수학적으로 말하면, 푸리에 급수는 함수를 사인과 코사인의 고조파의 합으로 표현하는 방법이므로 푸리에 분석을 "고조파 분석"이라고도 합니다.)

푸리에 가설에 따르면 삼각급수로 전개할 수 없는 함수는 없습니다. 이 분해가 어떻게 수행될 수 있는지 살펴보겠습니다. 구간 [–π, π]에서 다음과 같은 정규 직교 함수 시스템을 고려해 보세요. (1, cos(t),
죄(t),
코스(2t),
죄(2t),
코스(3t),
죄(3t), …,
코스(nt),
죄(nt),… ).

이라는 사실에 이끌려 이 시스템함수가 직교 정규인 경우 구간 [π, –π]의 함수 f(t)는 다음과 같이 근사화될 수 있습니다.

f(t) = α0 + α1
코스(t) + α2
코스(2t) +
α3 cos(3t) + …

... +β1
죄(t) + β2
죄(2t) + β3
죄(3t)+… (6)

계수 α n , β n 은 앞서 논의한 공식에 따라 함수와 기저 함수의 스칼라 곱을 통해 계산되며 다음과 같이 표현됩니다.

α 0 = , 1> =
,

α n = , cos(nt) > =
,

β n = , 죄(nt) > =
.

식 (6)은 다음과 같이 압축된 형태로 작성할 수 있습니다.

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(t) + a 2 cos(2t) + a 3 cos(3t) + …

B 1 죄(t) + b 2 죄(2t) + b 3 죄(3t)+… (7)

0 = 2α 0 =
,

그리고 n =
α n =
, (8)

bn=
β N=
. (9)

n = 0 cos(0) = 1이므로 상수 a 0 /2는 다음을 나타냅니다. 일반적인 형태 n = 0에 대한 계수 an.

계수 an과 bn은 푸리에 계수라고 하며, 식(7)에 따른 함수 f(t)의 표현을 푸리에 급수 전개라고 합니다. 때때로 이러한 형태로 표현된 푸리에 급수 전개를 실수 푸리에 급수 전개라고 하며, 계수를 실수 푸리에 계수라고 합니다. 이 분해를 복잡한 분해와 구별하기 위해 "실제"라는 용어가 도입되었습니다.

식 (8)과 (9)를 분석해 보겠습니다. 계수 0은 세그먼트 [–π,π]에 대한 함수 f(t)의 평균 값 또는 신호 f(t)의 상수 구성요소를 나타냅니다. 계수sa n 및 bn (n> 0에서)은 각주파수가 n인 함수(신호) f(t)의 코사인 및 사인 성분의 진폭입니다. 즉, 이러한 계수는 신호의 주파수 구성요소의 크기를 지정합니다. 예를 들어, 낮은 주파수의 오디오 신호(예: 베이스 기타 소리)에 대해 이야기할 때 이는 계수 an 및 bn이 n 값이 작을수록 더 크고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 주파수 소리 진동(예: 바이올린 소리)은 n 값이 클수록 더 커집니다.

a 1 cos(t)와 b 1 sin(t)의 합으로 표시되는 가장 긴 주기(또는 가장 낮은 주파수)의 진동을 기본 주파수의 진동 또는 제1고조파라고 합니다. 기본 주파수 주기의 절반에 해당하는 주기를 갖는 진동은 2차 고조파이고, 기본 주파수의 1/n 주기와 동일한 진동은 n-고조파입니다. 따라서 함수 f(t)를 푸리에 급수로 확장하면 시간 영역에서 주파수 영역으로 전환할 수 있습니다. 이러한 전환은 일반적으로 시간 영역에서 "보이지 않는" 신호 특징을 식별하는 데 필요합니다.

공식 (8)과 (9)는 주기가 2π인 주기 신호에 적용할 수 있습니다. 일반적인 경우, 주기 T를 갖는 주기 신호는 푸리에 급수로 확장될 수 있으며, 그런 다음 세그먼트 [-T/2, T/2]가 확장에 사용됩니다. 첫 번째 고조파의 주기는 T와 같고 구성 요소는 cos(2πt/T) 및 sin(2πt/T) 형식을 취하고, n-고조파의 구성 요소는 cos(2πtn/T) 및 sin(2πtn/T)입니다. ).

구간 [–T/2,T/2]의 함수 f(t)는 다음과 같이 근사화될 수 있습니다.

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(2πt/T) + a 2 cos(4πt/T) + a 3 cos(6πt/T) + …

B 1 죄(2πt/T) + b 2 죄(4πt/T) + b 3 죄(6πt/T)+…, (10)

앤 =
,

bn=
.

첫 번째 고조파의 각주파수를 Ω 0 = 2π/T로 표시하면 n-고조파 구성요소는 cos(Ω 0 nt), sin(Ω 0 nt) 및

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(Ω 0 t) + a 2 cos(2Ω 0 t) + a 3 cos(3Ω 0 t) + …

B 1 죄(Ω 0 t) + b 2 죄(2Ω 0 t) + b 3 죄(3Ω 0 t)+…=

=
, (11)

여기서 푸리에 계수는 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

앤 =
,

b n =
.

복잡한 모양의 모든 파동은 단순한 파동의 합으로 표현될 수 있습니다.

조셉 푸리에(Joseph Fourier)는 열이 고체 물체를 통과하는 방식을 수학적 용어로 설명하는 데 매우 열심이었습니다( 센티미터.열교환). 열에 대한 그의 관심은 그가 북아프리카에 있을 때 촉발되었을 수 있습니다. 푸리에는 프랑스의 이집트 탐험에 나폴레옹과 동행하여 한동안 그곳에서 살았습니다. 그의 목표를 달성하기 위해 푸리에는 새로운 수학적 방법을 개발해야 했습니다. 그의 연구 결과는 1822년에 "열의 분석 이론"(Analytical Theory of Heat)이라는 저서로 출판되었습니다. Théorie Analytique de la Chaleur), 여기서 그는 복잡한 물리적 문제를 일련의 간단한 문제로 나누어 분석하는 방법을 설명했습니다.

분석 방법은 소위 푸리에 급수. 간섭 원리에 따라 시리즈는 복잡한 형태를 단순한 형태로 분해하는 것으로 시작됩니다. 예를 들어 지구 표면의 변화는 지진으로 설명되고 혜성의 궤도 변화는 영향으로 설명됩니다. 여러 행성의 인력으로 인해 열 흐름의 변화는 단열재로 만들어진 불규칙한 모양의 장애물을 통과하기 때문에 발생합니다. 푸리에는 복잡한 파형이 단순한 파동의 합으로 표현될 수 있음을 보여주었습니다. 일반적으로 고전 시스템을 설명하는 방정식은 이러한 단순 파동 각각에 대해 쉽게 풀 수 있습니다. 푸리에는 이러한 간단한 해법을 어떻게 요약하여 전체 복잡한 문제에 대한 해법을 제공할 수 있는지 보여주었습니다. (수학적으로 말하면, 푸리에 급수는 함수를 고조파(사인파와 코사인파)의 합으로 표현하는 방법이므로 푸리에 분석을 "고조파 분석"이라고도 합니다.)

20세기 중반 컴퓨터가 출현하기 전에는 푸리에 방법과 유사한 방법이 사용되었습니다. 최고의 무기자연의 복잡성을 공격할 때 과학 무기고에서. 복잡한 푸리에 방법이 출현한 이후 과학자들은 이를 사용하여 다음 문제를 해결할 수 있을 뿐만 아니라 간단한 작업, 이는 뉴턴의 역학 법칙 및 기타 기본 방정식을 직접 적용하여 해결할 수 있습니다. 19세기 뉴턴 과학의 위대한 성취 중 상당수는 푸리에가 개척한 방법을 사용하지 않았다면 사실상 불가능했을 것입니다. 결과적으로 이러한 방법은 천문학에서 기계 공학에 이르기까지 다양한 분야의 문제를 해결하는 데 사용되었습니다.

장 밥티스트 조제프 푸리
장 밥티스트 조제프 푸리에(Jean-Baptiste Joseph Fourier), 1768-1830

프랑스 수학자. 오세르 출생; 아홉 살 때 그는 고아가 되었습니다. 그는 이미 어린 나이에 수학에 대한 적성을 보였습니다. 푸리에는 교회 학교와 군사 학교에서 교육을 받은 후 수학 교사로 일했습니다. 평생 동안 그는 정치에 적극적으로 참여했습니다. 1794년 테러 피해자를 변호했다는 이유로 체포됐다. Robespierre가 죽은 후 그는 감옥에서 풀려났습니다. 파리에 유명한 폴리테크닉 학교(Ecole Polytechnique) 설립에 참여했습니다. 그의 지위는 그에게 나폴레옹 정권 하에서 출세할 수 있는 발판을 제공했습니다. 그는 나폴레옹과 함께 이집트로 가서 하이집트의 총독으로 임명되었습니다. 1801년 프랑스로 돌아와서 그는 한 지방의 주지사로 임명되었습니다. 1822년에 그는 프랑스 과학계에서 영향력 있는 위치인 프랑스 과학 아카데미의 상임 비서가 되었습니다.