Odjeljak Uvodni pregled razmatra dva vrlo jednostavni primjeri(preuzeto od Shumway, 1988) da bi se ilustrovala priroda spektralne analize i interpretacije rezultata. Ako niste upoznati s ovom metodom, preporučuje se da prvo pogledate ovaj odjeljak ovog poglavlja.

Pregled i fajl sa podacima. Fajl Sunspot.sta sadrži dio poznatih brojeva sunčevih pjega (Wolfer) od 1749. do 1924. (Anderson, 1971.). Ispod je lista prvih nekoliko podataka iz datoteke primjera.

Pretpostavlja se da broj sunčevih pjega utiče na vrijeme na zemlji, kao i na poljoprivredu, telekomunikacije itd. Koristeći ovu analizu, može se pokušati otkriti da li je aktivnost sunčevih pjega zaista ciklična (zapravo, tako je, o ovim podacima se naširoko raspravlja u literaturi; vidjeti, na primjer, Bloomfield, 1976, ili Shumway, 1988).

Definicija analize. Nakon što pokrenete analizu, otvorite datoteku podataka Sunspot.sta. Kliknite na dugme Variables i izaberite varijablu Spots (imajte na umu da ako je datoteka Sunspot.sta sa podacima trenutna otvori datoteku podataka, a varijabla Spots je jedina varijabla u ovoj datoteci, onda kada se otvori dijaloški okvir Analiza vremenske serije, Spotovi će biti odabrani automatski). Sada kliknite na dugme Fourier (spektralna) analiza da otvorite okvir za dijalog Fourier (spektralna) analiza.

Prije primjene spektralne analize, prvo nacrtajte broj sunčevih pjega. Imajte na umu da datoteka Sunspot.sta sadrži odgovarajuće godine kao nazive zapažanja. Da biste koristili ova imena u linijski grafovi, kliknite na karticu Prikaz serije i odaberite Nazivi slučajeva u odjeljku Označite točke. Također, odaberite Postavi skalu osi X ručno i Min. = 1 i Korak = 10. Zatim kliknite na dugme Graf pored dugmeta za izbor prikaza. varijabla.

Čini se da broj sunčevih pjega slijedi ciklički obrazac. Trend nije vidljiv, pa se vratite u prozor Spectralna analiza i poništite odabir opcije Ukloni linearni trend u grupi Transform Source Series.

Očigledno je da je prosjek serije veći od 0 (nula). Stoga ostavite odabranu opciju Oduzmi srednju vrijednost [inače će periodogram biti „začepljen“ vrlo velikim vrhom na frekvenciji 0 (nula)].

Sada ste spremni za početak analize. Sada kliknite OK (jednodimenzionalna Fourierova analiza) da biste prikazali okvir za dijalog Fourier Spectral Analysis Results.

Pogledaj rezultate. Odeljak sa informacijama na vrhu dijaloškog okvira prikazuje neke zbirne statistike za seriju. Takođe prikazuje pet najvećih vrhova u periodogramu (po učestalosti). Tri najveća vrha su na frekvencijama 0,0852, 0,0909 i 0,0114. Ove informacije su često korisne kada se analiziraju vrlo velike serije (na primjer, s više od 100.000 opservacija) koje nije lako nacrtati na jednom grafikonu. U ovom slučaju, međutim, lako je vidjeti vrijednosti periodograma; klikom na dugme Periodogram u odjeljku Periodogram i Grafovi spektralne gustine.

Grafikon periodograma pokazuje dva jasna vrha. Maksimum je na frekvenciji od približno 0,9. Vratite se na prozor Spectral Analysis Results i kliknite na dugme Summary da vidite sve vrednosti periodograma (i druge rezultate) u tabeli rezultata. Ispod je dio tabele rezultata s najvećim vrhom identificiranim iz periodograma.

Kao što je objašnjeno u odeljku Uvodni pregled, učestalost je broj ciklusa po jedinici vremena (gde je svako posmatranje jedna jedinica vremena). Dakle, Frekvencija 0,0909 odgovara vrijednosti od 11 perioda (broj vremenskih jedinica potrebnih za kompletan ciklus). Budući da podaci o sunčevim pjegama u Sunspot.sta predstavljaju godišnja zapažanja, može se zaključiti da postoji jasan 11-godišnji (možda nešto duži od 11-godišnji) ciklus u aktivnosti sunčevih pjega.

Spektralna gustina. Tipično, da bi se izračunale procjene spektralne gustine, periodogram se izglađuje kako bi se uklonile nasumične fluktuacije. Tip ponderisanog pokretnog prosjeka i širina prozora mogu se odabrati u odjeljku Spektralni prozori. Odjeljak Uvodni pregled detaljno razmatra ove opcije. Za naš primjer, ostavimo odabrani zadani prozor (Hamming širina 5) i odaberimo graf spektralne gustine.

Dva vrha su sada još izraženija. Pogledajmo vrijednosti periodograma po periodima. Odaberite polje Period u odjeljku Raspored. Sada odaberite graf spektralne gustine.

Opet se može vidjeti da postoji izražen 11-godišnji ciklus aktivnosti sunčevih pjega; Štaviše, postoje znaci postojanja dužeg ciklusa od otprilike 80-90 godina.

FOURIEROVA TRANSFORMACIJA I KLASIČNA DIGITALNA SPEKTRALNA ANALIZA.
Medvedev S.Yu., Ph.D.

Uvod

Spektralna analiza je jedna od metoda obrade signala koja vam omogućava da karakterizirate frekventni sastav mjerenog signala. Fourierova transformacija je matematički okvir koji povezuje vremenski ili prostorni signal (ili neki model tog signala) sa njegovom reprezentacijom u frekvencijskom domenu. Statističke metode igraju važnu ulogu u spektralnoj analizi, jer su signali, po pravilu, nasumični ili šumni tokom širenja ili mjerenja. Kada bi osnovne statističke karakteristike signala bile precizno poznate, ili bi se mogle odrediti iz konačnog intervala ovog signala, tada bi spektralna analiza predstavljala granu „egzaktne nauke“. Međutim, u stvarnosti, iz segmenta signala može se dobiti samo procjena njegovog spektra. Stoga je praksa spektralne analize vrsta zanata (ili umjetnosti?) prilično subjektivne prirode. Razlika između spektralnih procjena dobijenih kao rezultat obrade istog segmenta signala različitim metodama može se objasniti razlikom u pretpostavkama koje se odnose na podatke, Različiti putevi usrednjavanje itd. Ako karakteristike signala nisu poznate a priori, nemoguće je reći koja je od procjena bolja.

Fourierova transformacija - matematička osnova spektralne analize
Hajde da ukratko razgovaramo o različitim tipovima Fourierove transformacije (za više detalja pogledajte).
Počnimo s Fourierovom transformacijom vremenski kontinuiranog signala

, (1)

koji identifikuje frekvencije i amplitude onih složenih sinusoida (eksponenata) na koje se razlaže neka proizvoljna oscilacija.
Reverzna konverzija

. (2)

Postojanje direktnih i inverznih Fourierovih transformacija (koju ćemo dalje zvati Fourierova transformacija kontinuiranog vremena - CTFT) određeno je nizom uslova. Dovoljna - apsolutna integrabilnost signala

. (3)

Manje restriktivan dovoljan uslov je konačnost energije signala

. (4)

Predstavimo niz osnovnih svojstava Fourierove transformacije i funkcija korištenih u nastavku, uz napomenu da je pravokutni prozor definiran izrazom

(5)

a sinc funkcija je izraz

(6)

Funkcija uzorkovanja vremenske domene je data sa

(7)

Ova funkcija se ponekad naziva i funkcija periodičnog nastavka.

Tabela 1. Glavna svojstva NVPF-a i funkcije

Vlasništvo, funkcija	Funkcija	Konverzija
Linearnost	ag(t) + bh(t)	aG(f) + bH(f)
Vremenski pomak	h (t - t 0)	H(f)exp(-j2pf t 0)
Frekvencijski pomak (modulacija)	h (t)exp(j2pf0 t)	H(f - f 0)
Skaliranje	(1 / |a|)h(t/a)	H(af)
Teorema konvolucije u vremenskom domenu	g(t)*h(t)	G(f)H(f)
Teorema konvolucije u frekvencijskom domenu	g(t) h(t)	G(f)*H(f)
Funkcija prozora	Aw(t/T)	2ATsinc(2Tf)
Sinc funkcija	2AFsinc(2Ft)	aw(f/F)
Pulsna funkcija	oglas(t)
Funkcija brojanja	T(f)	FF(f), F=1/T

Još jedno važno svojstvo utvrđeno je Parsevalovom teoremom za dvije funkcije g(t) i h(t):

. (8)

Ako stavimo g(t) = h(t), onda se Parsevalov teorem svodi na teoremu za energiju

. (9)

Izraz (9) je, u suštini, jednostavno formulacija zakona održanja energije u dva domena (vreme i frekvencija). U (9) lijevo je ukupna energija signala, dakle funkcija

(10)

opisuje frekvencijsku distribuciju energije za deterministički signal h(t) i stoga se naziva spektralna gustoća energije (SED). Korištenje izraza

(11)

amplituda i fazni spektri signala h(t) mogu se izračunati.

Operacije uzorkovanja i ponderiranja

U sljedećem odjeljku ćemo predstaviti Fourierov red s diskretnim vremenom (DTFS) ili na neki drugi način diskretnu Fourierovu transformaciju (DFT) kao poseban slučaj Fourierove transformacije sa kontinuiranim vremenom (CTFT) koristeći dvije osnovne operacije obrade signala - uzimanje uzoraka ( uzorkovanje) I vaganje koristeći prozor. Ovdje razmatramo utjecaj ovih operacija na signal i njegovu transformaciju. Tabela 2 navodi funkcije koje vrše ponderiranje i uzorkovanje.

Za ujednačena očitavanja sa intervalom od T sekundi, frekvencija uzorkovanja F je jednaka 1/T Hz. Imajte na umu da su težinska funkcija i funkcija uzorkovanja u vremenskom domenu označene kao TW (vremenski prozor) i TS (vremensko uzorkovanje), respektivno, au frekvencijskom domenu - FW (frekvencijski prozor) i FS (uzorkovanje frekvencije).

Tabela 2. Funkcije ponderiranja i uzorkovanja

Operacija	Funkcija vremena	Konverzija
Ponderiranje vremenske domene (širina prozora NT sec)	TW=w(2t / NT - 1)	F(TW)=NTsinc(NTf)exp(-jpNTf)
Ponderiranje frekvencijskog domena (širina prozora 1/T Hz)		FW=w(2Tf)
Odbrojavanje u vremenu (interval T s)	TS=T T(t)
Uzorkovanje frekvencije (u intervalima od 1/NT Hz)

Pretpostavimo da su uzeti uzorci kontinuiranog realnog signala x(t) sa ograničenim spektrom čija je gornja frekvencija jednaka F0. NVFT realnog signala je uvijek simetrična funkcija s punom širinom od 2F0, vidi sliku 1.
Uzorci signala x(t) se mogu dobiti množenjem ovog signala sa funkcijom uzorka:

(12)

Slika 1 - ilustracija teoreme uzorkovanja u vremenskoj domeni za stvarni signal sa ograničenim spektrom:
a - izvorna vremenska funkcija i njena Fourierova transformacija;
b - funkcija uzoraka u vremenu i njegova Fourierova transformacija;
vremenski uzorci originalne funkcije i njene periodično nastavljene Fourierove transformacije za slučaj Fo<1/2T;
d - frekvencijski prozor (idealni niskopropusni filter) i njegova Fourierova transformacija (sinc funkcija);
d - izvorna vremenska funkcija vraćena kroz operaciju konvolucije sa sinc funkcijom.

Prema teoremi konvolucije frekvencijskog domena, FTFT signala x(t) je jednostavno konvolucija spektra signala x(t) i Fourierove transformacije funkcije vremenskog uzorka (TS):

. (13)

Konvolucija X(f) sa Fourierovom transformacijom funkcije uzorka F (TS)=Y1/T(f) jednostavno se periodično nastavlja na X(f) sa frekvencijskim intervalom od 1/T Hz. Stoga je XS(f) periodično prošireni spektar X(f). Općenito, uzorci u jednom domenu (na primjer, vrijeme) dovode do periodičnog nastavka u domenu transformacije (na primjer, frekvencija). Ako je brzina uzorkovanja odabrana dovoljno niska (F< 2Fo), то периодически продолженные спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название эффекта наложения в частотной области.
Da bi se povratio originalni vremenski signal iz njegovih uzoraka, tj. da biste interpolirali određeni kontinuum vrijednosti između ovih uzoraka, uzorkovane podatke možete proći kroz idealan niskopropusni filter s pravokutnim frekvencijskim odzivom (slika 1d)

. (14)

Kao rezultat (vidi sliku 1 d), originalna Fourierova transformacija je obnovljena. Koristeći teoreme konvolucije u domenima vremena i frekvencije, dobijamo

. (15)

Izraz (15) je matematička notacija teoreme uzorkovanja u vremenskom domenu(teorema Whittakera, Kotelnikova, Shannon - UKSH), koja kaže da se korištenjem interpolacijske formule (15) može precizno vratiti pravi signal ograničenog spektra beskonačnim brojem poznati vremenski uzorci uzeti sa frekvencijom F = 2F0. Dvostruka teorema (15) je teorema uzorci u frekvencijskom domenu za signale ograničenog trajanja.
Operacije u vremenskom domenu, slične (14), opisuju se izrazom

, (16)

a odgovarajuće transformacije su izrazi

Dakle, NVPF X(f) nekog signala ograničenog trajanja može se nedvosmisleno vratiti iz ekvidistantnih uzoraka spektra takvog signala ako odabrani interval uzorkovanja frekvencije zadovoljava uvjet F1/2T 0 Hz, gdje je T 0 signal trajanje.

Odnosi između kontinuiranih i diskretnih transformacija

Par transformacija za konvencionalnu definiciju diskretne Fourierove transformacije u N-tačkama (DFT) vremenska sekvenca x[n] i odgovarajuću N-tačku Fourierove transformacijske sekvence X[k] je dato izrazima

, (18)
. (19)

Da bismo dobili spektralne procjene iz uzoraka podataka u odgovarajućim jedinicama energije ili snage, pišemo Fourierov niz sa diskretnim vremenom (DTFS), koji se može smatrati nekom aproksimacijom Fourierove transformacije kontinuiranog vremena (CTFT), zasnovan na korištenje konačnog broja uzoraka podataka:

Kako bi se pokazala priroda usklađenosti sa DVRF ( diskretno funkcije u vremenskom i frekvencijskom domenu) i CVDF (kontinuirane funkcije u vremenskom i frekvencijskom domenu), potreban nam je niz od četiri linearne komutativne operacije: ponderiranje u vremenskom i frekvencijskom domenu i uzorkovanje ili uzorkovanje kako u vremenskom tako i u frekvencijskom domenu. Ako se operacija ponderisanja izvrši u jednom od ovih regiona, onda će, prema teoremu konvolucije, odgovarati operaciji filtriranja (konvoluciji) u drugom regionu sa sinc funkcijom. Slično, ako se diskretizacija vrši u jednom regionu, onda se periodična operacija nastavljanja izvodi u drugom. Budući da su vaganje i uzimanje uzoraka linearne i komutativne operacije, mogući su različiti načini njihovog poređenja, dajući isti konačni rezultat sa različitim međurezultatima. Slika 2 prikazuje dvije moguće sekvence za izvođenje ove četiri operacije.

Rice. 2. Dvije moguće sekvence dvije operacije vaganja i dvije operacije uzorkovanja, povezujući NVPF i DVRF: FW - primjena prozora u frekvencijskom domenu; TW - primjena prozora u vremenskom domenu; FS - uzimanje uzoraka u frekvencijskom domenu; TS - uzimanje uzoraka u vremenskom domenu.
1 - kontinuirana vremenska Fourierova transformacija, jednačina (1);
4 - Fourierova transformacija diskretnog vremena, jednačina (22);
5 - Fourierov red sa kontinuiranim vremenom, jednačina (25);
8 - Fourierov red sa diskretnim vremenom, jednadžba (27)

Kao rezultat izvođenja operacija vaganja i uzorkovanja na čvorovima 1, 4, 5 i 8, pojavit će se četiri različita tipa Fourierovih relacija. Čvorovi u kojima je funkcija frekvencijski domen je kontinuiran, pogledajte transformacije Fourier, i čvorovi na kojima se funkcija nalazi u frekvencijskom domenu diskretno referirati na Fourierova serija(za više detalja pogledajte).
Tako se u čvoru 4 generiše ponderisanje u frekvencijskom domenu i uzorkovanje u vremenskom domenu diskretna vremenska konverzija Fourierova transformacija (FTFT), koju karakterizira periodična funkcija spektra u frekvencijskom domenu s periodom od 1/T Hz:

(22)

(23)

Imajte na umu da izraz (22) definira određenu periodičnu funkciju koja se poklapa sa originalnom transformiranom funkcijom navedenom u čvoru 1 samo u opsegu frekvencija od -1/2T do 1/2T Hz. Izraz (22) povezan je sa Z-transformacijom diskretnog niza x[n] relacijom

(24)

Dakle, DVFT je jednostavno Z-transformacija izračunata na jediničnom krugu i pomnožena sa T.
Ako se pomaknemo od čvora 1 do čvora 8 na slici 2 duž donje grane, u čvoru 5 operacije ponderiranja u vremenskom domenu (ograničavanje trajanja signala) i uzorkovanja u frekvencijskom domenu generiraju kontinuirani vremenski Fourierov niz (CFTS). ). Koristeći svojstva i definicije funkcija date u tabelama 1 i 2, dobijamo sljedeći par transformacija
(25)
(26)

Imajte na umu da izraz (26) definira određenu periodičnu funkciju, koja se poklapa s originalnom (u čvoru 1) samo u vremenskom intervalu od 0 do NT.
Bez obzira koji od dva niza od četiri operacije bude izabran, konačni rezultat na čvoru 8 će biti isti - Fourierov red sa diskretnim vremenom, što odgovara sljedećem paru transformacija dobivenih korištenjem svojstava navedenih u tabeli 1.

, (27)

gdje je k=-N/2, . . . ,N/2-1

, (28)

gdje je n=0, . . . ,N-1 ,
Energetska teorema za ovaj DVRF je:

, (29)

i karakterizira energiju niza od N uzoraka podataka. Oba niza x[n] i X[k] su periodični po modulu N, pa se (28) može zapisati u obliku

, (30)

gdje je 0 n N. Faktor T u (27) - (30) je neophodan tako da su (27) i (28) zapravo aproksimacija integralne transformacije u domeni integracije

.(31)

Zero padding

Kroz proces tzv popunjavanje nulama, Fourierov red s diskretnim vremenom može se modificirati da interpolira između N vrijednosti originalne transformacije. Neka se dostupni uzorci podataka x,...,x dopune nultim vrijednostima x[N],...X. DVRF ovog niza podataka od 2N tačaka sa nulom podstavljenog će biti dat sa

(32)

gdje je gornja granica sume na desnoj strani modificirana kako bi se prilagodila prisutnost nultih podataka. Neka je k=2m, dakle

, (33)

gdje je m=0,1,...,N-1, definira parne vrijednosti X[k]. Ovo pokazuje da se za parne vrijednosti indeksa k, Fourierov niz s diskretnim vremenom od 2N tačaka svodi na niz s diskretnim vremenom od N tačaka. Neparne vrijednosti indeksa k odgovaraju interpoliranim DVRF vrijednostima lociranim između vrijednosti originalne N-tačke DVRF. Kako se sve više i više nula dodaje originalnom nizu N tačaka, može se dobiti još više interpoliranih podataka. U graničnom slučaju beskonačnog broja ulaznih nula, DVRF se može smatrati Fourierovom transformacijom u diskretnom vremenu niza podataka u N-tačkama:

. (34)

Transformacija (34) odgovara čvoru 6 na slici 2.
Postoji zabluda da nulti padding poboljšava rezoluciju jer povećava dužinu niza podataka. Međutim, kao što slijedi iz slike 3, popunjavanje nulama ne poboljšava rezolucija transformacije dobijene iz datog konačnog niza podataka. Zero padding jednostavno omogućava interpoliranu konverziju uglađeniji oblik. Osim toga, eliminiše nesigurnosti uzrokovane prisustvom uskopojasnih komponenti signala čije se frekvencije nalaze između N tačaka koje odgovaraju procijenjenim frekvencijama originalnog DVRF-a. Prilikom popunjavanja nulama, povećava se i tačnost procjene frekvencije spektralnih pikova. Pod pojmom spektralna rezolucija podrazumijevat ćemo sposobnost razlikovanja spektralnih odgovora dva harmonijska signala. Općenito prihvaćeno pravilo, koje se često koristi u spektralnoj analizi, je da frekvencijsko razdvajanje istaknutih sinusoida ne može biti manje od ekvivalentna širina prozora, kroz koje se posmatraju segmenti (preseci) ovih sinusoida.

Fig.3. Interpolacija koristeći nulti padding:
a - DVRF modul za snimanje podataka u 16 tačaka koji sadrži tri sinusoide bez popunjavanja nulama (nesigurnosti su vidljive: nemoguće je reći koliko je sinusoida u signalu - dva, tri ili četiri);
b - DVRF modul istog niza nakon udvostručavanja broja njegovih uzoraka zbog dodavanja 16 nula (nesigurnosti su riješene, jer se sve tri sinusoide mogu razlikovati;
c - DVRF modul iste sekvence nakon četvorostrukog povećanja broja njegovih uzoraka zbog dodavanja nula.

Ekvivalentni propusni opseg prozora može se definirati kao
gdje je W(f) Fourierova transformacija funkcije prozora s diskretnim vremenom, na primjer, pravokutne (5). Slično, možete ući ekvivalentno trajanje prozora

Može se pokazati da su ekvivalentno trajanje prozora (ili bilo kojeg drugog signala) i ekvivalentna širina pojasa njegove transformacije međusobno inverzne veličine: TeBe=1.

Brza Fourierova transformacija

Brza Fourierova transformacija (FFT) nije druga vrsta Fourierove transformacije, već je naziv brojnih efektivnih algoritmi, dizajniran za brzo izračunavanje Fourierove serije sa diskretnim vremenom. Glavni problem koji se javlja u praktičnoj implementaciji DVRF-a leži u velikom broju računskih operacija proporcionalnih N2. Iako je mnogo prije pojave kompjutera predloženo nekoliko efikasnih računskih shema koje su mogle značajno smanjiti broj računskih operacija, pravu revoluciju je napravilo objavljivanje članka Coolyja i Tukeya 1965. godine s praktičnim algoritmom za brzu (broj operacija). Nlog 2 N) proračuni DVRF . Nakon toga, razvijene su mnoge varijante, poboljšanja i dodaci osnovne ideje, formirajući klasu algoritama poznatu kao brza Fourierova transformacija. Osnovna ideja FFT-a je podijeliti DVRF u N-tačkama na dva ili više manjih DVRF-a, od kojih se svaki može zasebno izračunati i zatim linearno zbrojiti s ostalima kako bi se dobio DVRF originalne sekvence N-tačaka.
Predstavimo diskretnu Fourierovu transformaciju (DFFT) u obliku

, (35)

gdje se vrijednost W N =exp(-j2 /N) naziva faktor okretanja (u daljem tekstu u ovom dijelu, period uzorkovanja je T=1). Odaberimo elemente sa parnim i neparnim brojevima iz niza x[n]

. (36)

Ali od tada
. Stoga se (36) može zapisati u obliku

, (37)

gdje je svaki član transformacija dužine N/2

(38)

Imajte na umu da je niz (WN/2) nk periodičan u k sa periodom N/2. Stoga, iako broj k u izrazu (37) poprima vrijednosti od 0 do N-1, svaki od suma se računa za vrijednosti k od 0 do N/2-1. Moguće je procijeniti broj složenih operacija množenja i sabiranja potrebnih za izračunavanje Fourierove transformacije u skladu sa algoritmom (37)-(38). Dvije Fourierove transformacije N/2 tačke prema formulama (38) uključuju izvođenje 2(N/2) 2 množenja i približno istog broja sabiranja. Kombinovanje dve transformacije N/2 tačke korišćenjem formule (37) zahteva još N množenja i N sabiranja. Dakle, da bi se izračunala Fourierova transformacija za svih N vrijednosti k, potrebno je izvršiti N+N 2 /2 množenja i sabiranja. Istovremeno, direktno izračunavanje pomoću formule (35) zahtijeva N 2 množenja i sabiranja. Već za N>2 nejednakost N+N 2 /2 je zadovoljena< N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям:

, (39)
(40)

U ovom slučaju, zbog periodičnosti niza W nk N/4 u k sa periodom N/4, sume (40) treba izračunati samo za vrijednosti k od 0 do N/4-1. Stoga, izračunavanje niza X[k] pomoću formula (37), (39) i (40) zahtijeva, kao što je lako izračunati, već 2N+N 2 /4 operacija množenja i sabiranja.
Prateći ovaj put, količina proračuna X[k] se može sve više i više smanjiti. Nakon m=log 2 N ekspanzija dolazimo do Fourierove transformacije u dvije tačke oblika

(41)

gdje su "transformacije u jednoj tački" X 1 jednostavno uzorci signala x[n]:

X 1 = x[q]/N, q=0,1,...,N-1. (42)

Kao rezultat, možemo napisati FFT algoritam, koji se iz očiglednih razloga zove algoritam za smanjenje vremena :

X 2 = (x[p] + W k 2 x) / N,

gdje je k=0,1, p=0,1,...,N/2 -1;

X 2N/M =X N/M + W k 2N/M X N/M ,

gdje je k=0,1,...,2N/M -1, p=0,1,...,M/2 -1;

X[k] = X N [k] =X N/2 + W k N X N/2 , (43)

gdje je k=0,1,...,N-1

U svakoj fazi proračuna vrši se N kompleksnih množenja i sabiranja. A pošto je broj dekompozicija originalnog niza na podnizove do pola dužine jednak log 2 N, onda je ukupan broj operacija množenja-sabiranja u FFT algoritmu jednak Nlog 2 N. Za veliki N postoji značajan broj ušteda u računskim operacijama u poređenju sa direktnim DFT proračunima. Na primjer, kada je N = 2 10 = 1024 broj operacija se smanjuje za 117 puta.
Vremenski desetkovani FFT algoritam koji smo razmatrali zasniva se na izračunavanju Fourierove transformacije formiranjem podniza ulaznog niza x[n]. Međutim, moguće je koristiti i dekompoziciju podniza Fourierove transformacije X[k]. FFT algoritam zasnovan na ovoj proceduri naziva se c stanjivanje frekvencije. Više o brzoj Fourier transformaciji možete pročitati, na primjer, u.

Slučajni procesi i spektralna gustina snage

Diskretno slučajni proces x se može smatrati određenim skupom, ili ansamblom, realnih ili složenih diskretnih vremenskih (ili prostornih) sekvenci, od kojih se svaki može posmatrati kao rezultat nekog eksperimenta (n je vremenski indeks, i je broj posmatranja). Niz dobijen kao rezultat jednog od posmatranja biće označen sa x[n]. Operacija usrednjavanja po ansamblu (tj. statističko usrednjavanje) će biti označen operatorom<>. dakle, - prosječna vrijednost slučajnog procesa x[n] u trenutku n. Autokorelacija slučajni proces u dva različita vremena n1 i n2 određen je izrazom r xx = .

Slučajni proces se naziva stacionarnim u u širem smislu, ako je njegova prosječna vrijednost konstantna (neovisna o vremenu), a autokorelacija ovisi samo o razlici vremenskih indeksa m=n1-n2 (vremenski pomak ili kašnjenje između uzoraka). Dakle, široko stacionarni diskretni slučajni proces x[n] karakterizira konstantna prosječna vrijednost =I autokorelacioni niz(AKP)

r xx [m] =< xx*[n] >. (44)

Zapazimo sljedeće karakteristike automatskog mjenjača:

r xx |r xx [m]| , r xx [-m] = r* xx [m] , (45)

koji vrijede za sve m.
Spektralna gustina snage (PSD) je definirana kao Fourierova transformacija diskretnog vremena (DTFT) autokorelacijske sekvence

. (46)

PSD, čija se širina pretpostavlja da je ograničena na ±1/2T Hz, je periodična funkcija frekvencije sa periodom od 1/T Hz. PSD funkcija opisuje frekvencijsku distribuciju snage slučajnog procesa. Da biste potvrdili ime odabrano za njega, razmotrite inverzni DVFT

(47)

izračunato na m=0

(48)

Autokorelacija pri pomaku nule karakteriše prosečna snaga slučajni proces. Prema (48), površina ispod krive P xx (f) karakterizira prosječnu snagu, pa je P xx (f) funkcija gustine (snaga po jediničnoj frekvenciji) koja karakterizira frekventnu distribuciju snage. Par transformacija (46) i (47) se često naziva Wiener-Khinchinova teorema za slučaj diskretnog vremena. Pošto je r xx [-m]=r* xx [m], onda PSD mora biti striktno realna pozitivna funkcija. Ako je ACP striktno realna funkcija, tada je r xx [-m]=r xx [m] i PSD se može napisati u obliku Fourierove kosinusne transformacije

,

što takođe znači da je P xx (f) = P xx (-f), tj. SPM je ravnomjerna funkcija.
Do sada smo pri određivanju prosječne vrijednosti, korelacije i spektralne gustine snage slučajnog procesa koristili statističko prosječenje po ansamblu. Međutim, u praksi obično nije moguće dobiti ansambl implementacija traženog procesa iz kojeg bi se mogle izračunati ove statističke karakteristike. Preporučljivo je procijeniti sva statistička svojstva koristeći jednu realizaciju uzorka x(t), zamjenjujući y ansambl usrednjavanje vremena usrednjavanje. Svojstvo koje omogućava da se izvrši takva zamena naziva se ergodičnost. Za slučajni proces se kaže da je ergodičan ako se, sa vjerovatnoćom jednakom jedan, sve njegove statističke karakteristike mogu predvidjeti iz jedne implementacije iz ansambla korištenjem vremenskog prosjeka. Drugim riječima, vremenski prosjeci gotovo svih mogućih implementacija procesa konvergiraju sa vjerovatnoćom jedan na istu konstantnu vrijednost - prosjek ansambla

. (49)

Ova granica, ako postoji, konvergira pravoj sredini ako i samo ako vremenska varijansa srednje vrijednosti teži nuli, što znači da vrijedi sljedeći uvjet:

. (50)

Ovdje je c xx [m] prava vrijednost kovarijanse procesa x[n].
Slično, posmatrajući vrijednost proizvoda procesnih uzoraka x[n] u dvije vremenske tačke, može se očekivati ​​da će prosječna vrijednost biti jednaka

(51)

Pretpostavka ergodičnosti nam omogućava ne samo da uvedemo, kroz vremensko usrednjavanje, definicije za srednju vrednost i autokorelaciju, već i da damo sličnu definiciju za spektralnu gustinu snage

. (52)

Ovaj ekvivalentni oblik PSD-a se dobija statističkim usrednjavanjem DVFT modula ponderisanog skupa podataka podeljenog sa dužinom zapisa podataka, za slučaj kada se broj uzoraka povećava do beskonačnosti. Statističko prosječenje je ovdje neophodno jer je sam DVFT slučajna varijabla koja se mijenja za svaku realizaciju x[n]. Da bismo pokazali da je (52) ekvivalentno Wiener-Khinchinovoj teoremi, kvadrat DVFT modula predstavljamo kao proizvod dva niza i mijenjamo redosljed operacija sumiranja i statističkog usrednjavanja:

(53)

Koristeći poznati izraz

, (54)

relacija (53) se može svesti na sljedeće:

(55)

Napominjemo da je u posljednjoj fazi derivacije (55) korištena pretpostavka da se autokorelacijski niz „raspada“, tako da

. (56)

Odnos između dvije definicije PSD (46) i (52) jasno je prikazan dijagramom prikazanim na slici 4.
Ako u izrazu (52) ne uzmemo u obzir operaciju matematičkog očekivanja, dobijamo SPM procjenu

, (57)

koji se zove spektar uzorka.

Rice. 4. Odnos između dvije metode za procjenu spektralne gustine snage

Periodogramska metoda spektralne procjene

Gore smo uveli dvije formalne ekvivalentne metode za određivanje spektralne gustine snage (PSD). Indirektni metod se zasniva na upotrebi beskonačnog niza podataka za izračunavanje autokorelacionog niza, čija Fourierova transformacija daje željeni PSD. Direktna metoda za određivanje PSD-a zasniva se na izračunavanju kvadratnog modula Fourierove transformacije za beskonačan niz podataka korištenjem odgovarajućeg statističkog prosječenja. PSD dobijen bez takvog usrednjavanja ispada nezadovoljavajućim, jer je srednja kvadratna greška takve procene uporediva sa njenom prosečnom vrednošću. Sada ćemo razmotriti metode usrednjavanja koje daju glatke i statistički stabilne spektralne procjene za konačan broj uzoraka. SPD procjene zasnovane na direktnoj transformaciji podataka i naknadnom usrednjavanju nazivaju se periodogrami. PSD procjene, za koje se prvo formiraju procjene korelacije iz početnih podataka, nazivaju se korelogram. Kada koristi bilo koju metodu PSD procjene, korisnik mora donijeti mnoge kompromisne odluke kako bi dobio statistički stabilne spektralne procjene sa najvećom mogućom rezolucijom iz konačnog broja uzoraka. Ovi kompromisi uključuju, ali nisu ograničeni na, izbor prozora za ponderisanje podataka i procene korelacije i parametara usrednjavanja u vremenskom domenu i frekvencijskom domenu koji balansiraju zahteve smanjenja bočnih režnjeva usled ponderisanja, izvođenja efikasnog usrednjavanja i obezbeđivanja prihvatljiva spektralna rezolucija. Na sl. Slika 5 prikazuje dijagram koji prikazuje glavne faze periodogram metoda

Rice. 5. Glavne faze procjene PSD metodom periodograma

Primjena metode počinje prikupljanjem N uzoraka podataka, koji se uzimaju u intervalu od T sekundi po uzorku, nakon čega (opcionalno) slijedi korak detrendiranja. Da bi se dobila statistički stabilna spektralna procjena, raspoloživi podaci moraju biti podijeljeni u segmente koji se preklapaju (ako je moguće) i naknadno usrednjeni spektri uzorka dobijeni za svaki takav segment. Parametri ovog usrednjavanja se menjaju odgovarajućim odabirom broja uzoraka po segmentu (NSAMP) i broja uzoraka za koji se početak sledećeg segmenta mora pomeriti (NSHIFT), vidi sl. 6. Broj segmenata se bira u zavisnosti od potrebnog stepena glatkoće (disperzije) spektralne procjene i tražene spektralne rezolucije. Mala vrijednost za NSAMP parametar rezultira više segmenata na kojima će se vršiti usrednjavanje, pa će se stoga dobiti procjene sa manjom varijansom, ali i manjom frekvencijskom rezolucijom. Povećanje dužine segmenta (NSAMP parametar) povećava rezoluciju, prirodno zbog povećanja varijanse procjene zbog manjeg broja prosjeka. Strelica za povratak na slici 5 ukazuje na potrebu za nekoliko ponovljenih prolaza kroz podatke na različitim dužinama i brojem segmenata, što nam omogućava da dobijemo više informacija o procesu koji se proučava.

Fig.6. Podjela podataka na segmente za izračunavanje periodograma

Prozor

Jedno od važnih pitanja koje je zajedničko svim klasičnim metodama spektralne procjene odnosi se na ponderiranje podataka. Prozor se koristi za kontrolu efekata bočnih režnja u spektralnim procjenama. Imajte na umu da je zgodno smatrati postojeći konačni zapis podataka kao dio odgovarajućeg beskonačnog niza, vidljivog kroz primijenjeni prozor. Dakle, niz posmatranih podataka x 0 [n] iz N uzoraka može se matematički napisati kao proizvod beskonačnog niza x[n] i pravokutne funkcije prozora

X 0 [n]=x[n] pravokutni[n].
Ovo čini očiglednu pretpostavku da su svi neopaženi uzorci jednaki nuli, bez obzira da li je to zapravo slučaj. Fourierova transformacija s diskretnim vremenom ponderiranog niza jednaka je konvoluciji transformacija niza x[n] i pravokutnog prozora rect[n]

X 0 (f)=X(f)*D N (f) , gdje je
D N (f)= Texp(-j2pfT)sin(pfTN)/sin(pfT).

Funkcija D N (f), nazvana diskretna sinc funkcija, ili Dirichletovo jezgro, je DCFT pravokutne funkcije. Transformacija posmatranog konačnog niza je iskrivljena verzija transformacije beskonačnog niza. Uticaj pravougaonog prozora na sinusoidu diskretnog vremena sa frekvencijom f 0 ilustrovan je na slici 7.

Fig.7. Ilustracija pristranosti Fourierove transformacije diskretnog vremena zbog curenja zbog ponderisanja podataka: a, b - originalne i ponderisane sekvence; b, d - njihove Fourierove transformacije.

Sa slike se može vidjeti da su oštri spektralni vrhovi DTFT beskonačnog sinusnog niza prošireni zbog konvolucije sa transformacijom prozora. Dakle, minimalna širina spektralnih pikova sekvence ponderisane prozorom određena je širinom glavnog transformacionog režnja tog prozora i nezavisna je od podataka. Bočni lobovi transformacije prozora će promijeniti amplitude susjednih spektralnih pikova (ponekad se nazivaju bleed-through). Pošto je DVFT periodična funkcija, preklapanje bočnih režnjeva iz susjednih perioda može dovesti do dodatne pristranosti. Povećanjem stope uzorkovanja smanjuje se efekat aliasinga bočnog režnja. Slična izobličenja će se prirodno uočiti u slučaju nesinusoidnih signala. Krvarenje ne samo da unosi amplitudne greške u spektre diskretnih signala, već može i prikriti prisutnost slabi signali. Postoji niz drugih karakteristika prozora koje se mogu ponuditi koje mogu smanjiti bočne režnjeve u odnosu na pravokutni prozor. Smanjenje nivoa bočnih režnjeva će smanjiti pomak u procjeni spektra, ali to dolazi po cijenu proširenja glavnog režnja spektra prozora, što prirodno dovodi do pogoršanja rezolucije. Shodno tome, i ovdje se mora izabrati neki kompromis između širine glavnog režnja i nivoa bočnih režnjeva. Za procjenu kvaliteta prozora koristi se nekoliko parametara. Tradicionalni indikator je širina pojasa glavnog režnja pri pola snage. Drugi indikator je ekvivalentna širina pojasa uvedena gore. Dva indikatora se također koriste za procjenu karakteristika bočnih režnjeva. Prvi je njihov maksimalni nivo, drugi je stopa raspada, koja karakterizira brzinu kojom se bočni režnjevi smanjuju s udaljenosti od glavnog režnja. Tabela 3 prikazuje definicije nekih često korištenih funkcija prozora diskretnog vremena, a tabela 4 prikazuje njihove karakteristike.
Tablica 3. Definicije tipičnih prozora diskretnog vremena u N-tačkamaMaks. nivo bočnog režnja, dB -31,5

. (46)

Korelogramska metoda procjena PSD-a je jednostavno supstituiranje u izraz (46) konačnog niza vrijednosti za procjenu autokorelacije ( korelogrami) umjesto beskonačnog niza nepoznatih pravih vrijednosti autokorelacije. Više informacija o korelogramskoj metodi spektralne procjene možete pronaći u.

Književnost

1. Rabiner L., Gould B. Teorija i primjena digitalne obrade signala. M.: Mir, 1978.

2. Marple Jr. S.L. Digitalna spektralna analiza i njene primjene: Transl. sa engleskog -M.: Mir, 1990.

3. Goldberg L.M., Matyushkin B.D., Polyak M.N., Digitalna obrada signali - M.: Radio i komunikacija, 1990.

4. Otnes R., Enokson L. Primijenjena analiza vremenskih serija - M.: Mir, 1982.

Spektralna analiza

Spektralna analiza je široka klasa metoda obrade podataka zasnovanih na njihovoj frekvencijskoj reprezentaciji ili spektru. Spektar se dobija dekomponovanjem originalne funkcije, koja zavisi od vremena (vremenske serije) ili prostornih koordinata (na primer, slika), u osnovu neke periodične funkcije. Najčešće se za spektralnu obradu koristi Fourierov spektar dobiven na bazi sinusne osnove (Fourierova dekompozicija, Fourierova transformacija).

Glavno značenje Fourierove transformacije je da je originalna neperiodična funkcija proizvoljnog oblika, koja se ne može analitički opisati i stoga je teško obraditi i analizirati, predstavljena kao skup sinusa ili kosinusa različitih frekvencija, amplituda i početnih faze.

Drugim riječima, složena funkcija se transformira u mnogo jednostavnijih. Svaki sinusni val (ili kosinusni val) određene frekvencije i amplitude, dobijen kao rezultat Fourierovog proširenja, naziva se spektralna komponenta ili harmonic. Spektralne komponente se formiraju Fourierov spektar.

Vizualno, Fourierov spektar je predstavljen u obliku grafikona na kojem je kružna frekvencija, označena grčkim slovom "omega", ucrtana duž horizontalne ose, a amplituda spektralnih komponenti, obično označena latiničnim slovom A. , iscrtava se duž vertikalne ose.Tada se svaka spektralna komponenta može predstaviti kao broj, položaj koji horizontalno odgovara njenoj frekvenciji, a visina – njenoj amplitudi. Harmonik sa nultom frekvencijom se naziva konstantna komponenta(u vremenskom prikazu ovo je prava linija).

Čak i jednostavna vizuelna analiza spektra može mnogo reći o prirodi funkcije na osnovu koje je dobijen. Intuitivno je jasno da brze promjene u početnim podacima dovode do komponenti u spektru s visoko frekvencije, a spore - sa nisko. Stoga, ako se amplituda njegovih komponenti brzo smanjuje s povećanjem frekvencije, tada je originalna funkcija (na primjer, vremenska serija) glatka, a ako spektar sadrži visokofrekventne komponente sa velikom amplitudom, tada će originalna funkcija sadržavati oštre fluktuacije . Dakle, za vremensku seriju, ovo može ukazivati ​​na veliku nasumične komponente, nestabilnost procesa koje opisuje ili prisustvo šuma u podacima.

Spektralna obrada se zasniva na manipulaciji spektrom. Zaista, ako smanjite (pritisnete) amplitudu visokofrekventnih komponenti, a zatim, na osnovu promijenjenog spektra, vratite prvobitnu funkciju izvođenjem inverzne Fourierove transformacije, tada će ona postati glatkija zbog uklanjanja visokofrekventne komponenta.

Za vremensku seriju, na primjer, to znači uklanjanje informacija o dnevnoj prodaji, koje su vrlo osjetljive na slučajne faktore, i ostavljanje konzistentnijih trendova, kao što je sezonalnost. Možete, naprotiv, potisnuti niskofrekventne komponente, što će ukloniti spore promjene i ostaviti samo brze. U slučaju vremenske serije, to će značiti potiskivanje sezonske komponente.

Korištenjem spektra na ovaj način možete postići željenu promjenu u originalnim podacima. Najčešća upotreba je izglađivanje vremenskih serija uklanjanjem ili smanjenjem amplitude visokofrekventnih komponenti u spektru.

Za manipulaciju spektra koriste se filteri - algoritmi koji mogu kontrolirati oblik spektra, potisnuti ili poboljšati njegove komponente. Main imovine bilo koji filter je njegov amplitudno-frekvencijski odziv (AFC), čiji oblik određuje transformaciju spektra.

Ako filter propušta samo spektralne komponente sa frekvencijom ispod određene granične frekvencije, onda se naziva niskopropusni filter (LPF) i može se koristiti za izglađivanje podataka, čišćenje od šuma i anomalnih vrijednosti.

Ako filter propušta spektralne komponente iznad određene granične frekvencije, tada se naziva visokopropusni filter (HPF). Može se koristiti za suzbijanje sporih promjena, kao što je sezonalnost u serijama podataka.

Osim toga, koriste se i mnoge druge vrste filtera: filteri srednjeg prolaza, filteri za zaustavljanje i propusni filteri, kao i one složenije, koje se koriste u obradi signala u radio elektronici. Odabir vrste i oblika frekvencijski odziv filter, možete postići željenu transformaciju originalnih podataka kroz spektralnu obradu.

Prilikom izvođenja frekventnog filtriranja podataka u svrhu ujednačavanja i uklanjanja šuma, potrebno je pravilno specificirati propusni opseg niskopropusnog filtera. Ako ga odaberete previsoko, stepen izglađivanja će biti nedovoljan, a šum neće biti potpuno potisnut. Ako je preusko, onda uz buku, i promjene koje donose korisne informacije. Ako u tehničke primjene Postoje strogi kriterijumi za određivanje optimalnih karakteristika filtera, tada je u analitičkim tehnologijama neophodno koristiti uglavnom eksperimentalne metode.

Spektralna analiza je jedna od najefikasnijih i dobro razvijenih metoda obrade podataka. Filtriranje frekvencije je samo jedna od njegovih brojnih primjena. Osim toga, koristi se u korelacionoj i statističkoj analizi, sintezi signala i funkcija, izgradnji modela itd.

Metoda analize je bazirana na tzv. Fourierovom redu. Serija počinje dekompozicijom složenih oblika na jednostavne. Fourier je pokazao da se složeni talasni oblik može predstaviti kao zbir jednostavnih talasa. Po pravilu, jednadžbe koje opisuju klasične sisteme mogu se lako riješiti za svaki od ovih jednostavnih valova. Nadalje, Fourier je pokazao kako ovi jednostavna rješenja mogu se sumirati kako bi se dobilo rješenje cijelog kompleksnog problema u cjelini. (Matematički gledano, Fourierov red je metoda predstavljanja funkcije kao sume harmonika - sinusa i kosinusa, zbog čega je Fourierova analiza bila poznata i kao "harmonička analiza".)

Prema Fourierovoj hipotezi, ne postoji funkcija koja se ne može proširiti u trigonometrijski niz. Razmotrimo kako se ova dekompozicija može izvesti. Razmotrimo sljedeći sistem ortonormiranih funkcija na intervalu [–π, π]: (1, cos(t),
sin(t),
cos(2t),
sin(2t),
cos(3t),
sin(3t), …,
cos(nt),
sin(nt),… ).

Rukovodeći se činjenicom da ovaj sistem funkcija je ortonormalna, funkcija f(t) na intervalu [π, –π] može se aproksimirati na sljedeći način:

f(t) = α0 + α1
cos(t) + α2
cos(2t) +
α3 cos(3t) + …

... + β1
sin(t) + β2
sin(2t) + β3
sin(3t)+… (6)

Koeficijenti α n, β n se izračunavaju kroz skalarni proizvod funkcije i osnovne funkcije prema formulama o kojima smo ranije govorili i izražavaju se na sljedeći način:

α 0 = , 1> =
,

α n = , cos(nt) > =
,

β n = , sin(nt) > =
.

Izraz (6) se može napisati u komprimiranom obliku na sljedeći način:

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(t) + a 2 cos(2t) + a 3 cos(3t) + …

B 1 sin(t) + b 2 sin(2t) + b 3 sin(3t)+… (7)

a 0 = 2α 0 =
,

i n =
α n =
, (8)

b n=
β n=
. (9)

Pošto je kod n = 0 cos(0) = 1, konstanta a 0 /2 izražava opšti oblik koeficijent a n za n = 0.

Koeficijenti a n i b n nazivaju se Fourierovi koeficijenti, a reprezentacija funkcije f(t) prema formuli (7) naziva se proširenje Fourierovog reda. Ponekad se ekspanzija Fourierovog reda predstavljena u ovom obliku naziva realna ekspanzija Fourierovog reda, a koeficijenti se nazivaju realni Fourierovi koeficijenti. Termin “stvarno” uvodi se kako bi se ova dekompozicija razlikovala od složene.

Analizirajmo izraze (8) i (9). Koeficijent 0 predstavlja prosječnu vrijednost funkcije f(t) na segmentu [–π,π] ili konstantnu komponentu signala f(t). Koeficijentisa n i b n (pri n> 0) su amplitude kosinusnih i sinusnih komponenti funkcije (signala) f(t) sa ugaonom frekvencijom jednakom n. Drugim riječima, ovi koeficijenti određuju veličinu frekvencijskih komponenti signala. Na primjer, kada govorimo o audio signalu sa niskim frekvencijama (na primjer, zvuk bas gitare), to znači da su koeficijenti a n i b n veći za manje vrijednosti n, i obrnuto - u visokim - frekvencije zvučnih vibracija (na primjer, zvuk violine) one su veće za veće vrijednosti n.

Oscilacija najdužeg perioda (ili najniže frekvencije), predstavljena sumom a 1 cos(t) i b 1 sin(t), naziva se oscilacija osnovne frekvencije ili prvog harmonika. Oscilacija sa periodom jednakim polovini perioda osnovne frekvencije je drugi harmonik, a oscilacija sa periodom jednakim 1/n osnovne frekvencije je n-harmonik. Dakle, koristeći proširenje funkcije f(t) u Fourierov niz, možemo izvršiti prijelaz iz vremenskog u frekvencijski domen. Ovaj prelaz je obično neophodan da bi se identifikovale karakteristike signala koje su „nevidljive“ u vremenskom domenu.

Imajte na umu da su formule (8) i (9) primjenjive za periodični signal s periodom jednakim 2π. U opštem slučaju, periodični signal sa periodom T može se proširiti u Fourierov niz, tada se segment [–T/2, T/2] koristi u proširenju. Period prvog harmonika je jednak T i komponente imaju oblik cos(2πt/T) i sin(2πt/T), komponente n-harmonika su cos(2πtn/T) i sin(2πtn/T ).

Funkcija f(t) na intervalu [–T/2,T/2] može se aproksimirati na sljedeći način:

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(2πt/T) + a 2 cos(4πt/T) + a 3 cos(6πt/T) + …

B 1 sin(2πt/T) + b 2 sin(4πt/T) + b 3 sin(6πt/T)+…, (10)

a n =
,

b n=
.

Ako ugaonu frekvenciju prvog harmonika označimo kao ω 0 = 2π/T, tada n-harmoničke komponente imaju oblik cos(ω 0 nt), sin(ω 0 nt) i

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(ω 0 t) + a 2 cos(2ω 0 t) + a 3 cos(3ω 0 t) + …

B 1 sin(ω 0 t) + b 2 sin(2ω 0 t) + b 3 sin(3ω 0 t)+…=

=
, (11)

gdje se Fourierovi koeficijenti izračunavaju pomoću formula:

a n =
,

b n =
.

Svaki talas složenog oblika može se predstaviti kao zbir jednostavnih talasa.

Joseph Fourier je bio veoma zainteresovan da matematičkim terminima opiše kako toplota prolazi kroz čvrste objekte ( cm. Izmjena toplote). Njegovo zanimanje za vrućinu možda je bilo podstaknuto dok je bio u sjevernoj Africi: Fourier je pratio Napoleona u francuskoj ekspediciji u Egipat i tamo živio neko vrijeme. Da bi postigao svoj cilj, Fourier je morao razviti nove matematičke metode. Rezultati njegovog istraživanja objavljeni su 1822. godine u djelu “Analitička teorija topline” ( Théorie analytique de la chaleur), gdje je objasnio kako analizirati složene fizičke probleme rastavljajući ih na niz jednostavnijih.

Metoda analize zasnivala se na tzv Fourierova serija. U skladu s principom interferencije, serija počinje razlaganjem složenog oblika na jednostavne - na primjer, promjena zemljine površine objašnjava se potresom, promjena orbite komete objašnjava se utjecajem Od privlačenja nekoliko planeta, promjena toka topline je posljedica njenog prolaska kroz prepreku nepravilnog oblika napravljenu od toplotnoizolacionog materijala. Fourier je pokazao da se složeni talasni oblik može predstaviti kao zbir jednostavnih talasa. Po pravilu, jednadžbe koje opisuju klasične sisteme mogu se lako riješiti za svaki od ovih jednostavnih valova. Fourier je zatim pokazao kako se ova jednostavna rješenja mogu sabrati da bi se dobilo rješenje cijelog složenog problema. (Matematički gledano, Fourierov niz je metoda predstavljanja funkcije kao sume harmonika - sinusnih i kosinusnih valova, zbog čega je Fourierova analiza bila poznata i kao "harmonička analiza.")

Prije pojave kompjutera sredinom dvadesetog vijeka, Fourierove metode i slične metode bile su najbolje oružje u naučnom arsenalu kada se napada složenost prirode. Od pojave složenih Fourierovih metoda, naučnici su bili u mogućnosti da ih koriste za rješavanje ne samo jednostavni zadaci, koji se može riješiti direktnom primjenom Newtonovih zakona mehanike i drugih fundamentalnih jednačina. Mnoga od velikih dostignuća Njutnove nauke u 19. veku bila bi zapravo nemoguća bez upotrebe metoda koje je pionir Fourier. Nakon toga, ove metode su korištene za rješavanje problema u različitim oblastima - od astronomije do mašinstva.

Jean-Baptiste Joseph FOURIE
Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830

francuski matematičar. Rođen u Auxerreu; sa devet godina ostao je siroče. Već u mladosti pokazao je sklonost prema matematici. Fourier se školovao u crkvenoj i vojnoj školi, a zatim je radio kao nastavnik matematike. Tokom svog života aktivno se bavio politikom; je uhapšen 1794. godine zbog odbrane žrtava terora. Nakon Robespierreove smrti pušten je iz zatvora; učestvovao u stvaranju čuvene Politehničke škole (Ecole Polytechnique) u Parizu; njegova pozicija mu je pružila odskočnu dasku za napredovanje pod Napoleonovim režimom. Pratio je Napoleona u Egipat i bio je imenovan za guvernera Donjeg Egipta. Po povratku u Francusku 1801. godine postavljen je za guvernera jedne od provincija. Godine 1822. postao je stalni sekretar Francuske akademije nauka, što je bila uticajna pozicija u francuskom naučnom svetu.