Linearna funkcija naziva se funkcija forme y = kx + b, definisan na skupu svih realnih brojeva. Evo k– nagib (stvarni broj), b – slobodni termin (stvarni broj), x- nezavisna varijabla.

U posebnom slučaju, ako k = 0, dobijamo konstantnu funkciju y = b, čiji je graf prava linija paralelna s osi Ox koja prolazi kroz tačku s koordinatama (0; b).

Ako b = 0, tada dobijamo funkciju y = kx, koji je direktnu proporcionalnost.

b – dužina segmenta, koji je odsječen ravnom linijom duž ose Oy, računajući od početka.

Geometrijsko značenje koeficijenta k – ugao nagiba ravno u pozitivnom smjeru ose Ox, posmatrano u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Svojstva linearne funkcije:

1) Područje definicije linearne funkcije je cijela realna os;

2) Ako k ≠ 0, tada je raspon vrijednosti linearne funkcije cijela realna os. Ako k = 0, tada se raspon vrijednosti linearne funkcije sastoji od broja b;

3) Parnost i neparnost linearne funkcije ovise o vrijednostima koeficijenata k I b.

a) b ≠ 0, k = 0, dakle, y = b – paran;

b) b = 0, k ≠ 0, dakle y = kx – neparan;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, dakle y = kx + b – funkcija opšteg oblika;

d) b = 0, k = 0, dakle y = 0 – i parne i neparne funkcije.

4) Linearna funkcija nema svojstvo periodičnosti;

5) Tačke ukrštanja sa koordinatnim osama:

vol: y = kx + b = 0, x = -b/k, dakle (-b/k; 0)– tačka preseka sa osom apscise.

oy: y = 0k + b = b, dakle (0; b)– tačka preseka sa ordinatnom osom.

Napomena: Ako b = 0 I k = 0, zatim funkciju y = 0 ide na nulu za bilo koju vrijednost varijable X. Ako b ≠ 0 I k = 0, zatim funkciju y = b ne nestaje ni za jednu vrijednost varijable X.

6) Intervali konstantnosti predznaka zavise od koeficijenta k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b– pozitivno kada x od (-b/k; +∞),

y = kx + b– negativno kada x od (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b– pozitivno kada x od (-∞; -b/k),

y = kx + b– negativno kada x od (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b pozitivno u cijelom rasponu definicija,

k = 0, b< 0; y = kx + b negativan u cijelom rasponu definicija.

7) Intervali monotonosti linearne funkcije zavise od koeficijenta k.

k > 0, dakle y = kx + b povećava se u cijelom domenu definicije,

k< 0 , dakle y = kx + b opada u cijelom domenu definicije.

8) Grafikon linearne funkcije je prava linija. Za konstruisanje prave linije dovoljno je poznavati dve tačke. Položaj prave linije na koordinatnoj ravni ovisi o vrijednostima koeficijenata k I b. Ispod je tabela koja to jasno ilustruje.

Linearna funkcija je funkcija oblika y=kx+b, gdje je x nezavisna varijabla, k i b su bilo koji brojevi.
Grafikon linearne funkcije je prava linija.

1. Da nacrtate graf funkcije, potrebne su nam koordinate dvije tačke koje pripadaju grafu funkcije. Da biste ih pronašli, trebate uzeti dvije vrijednosti x, zamijeniti ih u jednadžbu funkcije i koristiti ih za izračunavanje odgovarajućih y vrijednosti.

Na primjer, za crtanje funkcije y= x+2, zgodno je uzeti x=0 i x=3, tada će ordinate ovih tačaka biti jednake y=2 i y=3. Dobijamo tačke A(0;2) i B(3;3). Povežimo ih i dobijemo graf funkcije y= x+2:

2. U formuli y=kx+b, broj k se naziva koeficijent proporcionalnosti:
ako je k>0, tada funkcija y=kx+b raste
ako k
Koeficijent b pokazuje pomak grafa funkcije duž ose OY:
ako je b>0, tada se graf funkcije y=kx+b dobija iz grafa funkcije y=kx pomicanjem b jedinica prema gore duž ose OY
ako b
Na slici ispod prikazani su grafovi funkcija y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3

Imajte na umu da je u svim ovim funkcijama koeficijent k iznad nule, a funkcije su povećanje.Štaviše, što je veća vrijednost k, veći je ugao nagiba prave linije u pozitivnom smjeru ose OX.

U svim funkcijama b=3 - i vidimo da svi grafovi sijeku osu OY u tački (0;3)

Sada razmotrite grafove funkcija y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

Ovaj put u svim funkcijama koeficijent k manje od nule i funkcije se smanjuju. Koeficijent b=3, a grafovi, kao iu prethodnom slučaju, sijeku osu OY u tački (0;3)

Razmotrimo grafove funkcija y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Sada su u svim jednadžbama funkcije koeficijenti k jednaki 2. I dobili smo tri paralelne prave.

Ali koeficijenti b su različiti, a ovi grafovi sijeku os OY u različitim tačkama:
Grafikon funkcije y=2x+3 (b=3) siječe osu OY u tački (0;3)
Grafikon funkcije y=2x (b=0) siječe osu OY u tački (0;0) - ishodištu.
Grafikon funkcije y=2x-3 (b=-3) siječe osu OY u tački (0;-3)

Dakle, ako znamo predznake koeficijenata k i b, onda možemo odmah zamisliti kako izgleda grafik funkcije y=kx+b.
Ako k 0

Ako k>0 i b>0, tada graf funkcije y=kx+b izgleda ovako:

Ako k>0 i b, tada graf funkcije y=kx+b izgleda ovako:

Ako k, tada grafik funkcije y=kx+b izgleda ovako:

Ako k=0, tada se funkcija y=kx+b pretvara u funkciju y=b i njen graf izgleda ovako:

Ordinate svih tačaka na grafu funkcije y=b jednake su b If b=0, tada graf funkcije y=kx (direktna proporcionalnost) prolazi kroz ishodište:

3. Zabilježimo posebno grafik jednačine x=a. Grafikon ove jednačine je prava linija paralelna sa OY osi, čije sve tačke imaju apscisu x=a.

Na primjer, graf jednadžbe x=3 izgleda ovako:
Pažnja! Jednadžba x=a nije funkcija, tako da jedna vrijednost argumenta odgovara različitim vrijednostima funkcije, što ne odgovara definiciji funkcije.

4. Uslov za paralelnost dve prave:

Grafikon funkcije y=k 1 x+b 1 je paralelan sa grafikom funkcije y=k 2 x+b 2 ako je k 1 =k 2

5. Uslov da dve prave budu okomite:

Grafikon funkcije y=k 1 x+b 1 je okomit na grafik funkcije y=k 2 x+b 2 ako je k 1 *k 2 =-1 ili k 1 =-1/k 2

6. Tačke presjeka grafa funkcije y=kx+b sa koordinatnim osa.

Sa OY osom. Apscisa bilo koje tačke koja pripada osi OY jednaka je nuli. Stoga, da biste pronašli točku presjeka sa OY osom, trebate zamijeniti nulu u jednadžbi funkcije umjesto x. Dobijamo y=b. To jest, tačka preseka sa OY osom ima koordinate (0; b).

Sa OX osom: Ordinata bilo koje tačke koja pripada OX osi je nula. Stoga, da biste pronašli točku presjeka sa OX osom, trebate zamijeniti nulu u jednadžbi funkcije umjesto y. Dobijamo 0=kx+b. Dakle, x=-b/k. To jest, tačka preseka sa OX osom ima koordinate (-b/k;0):

Definicija linearne funkcije

Hajde da uvedemo definiciju linearne funkcije

Definicija

Funkcija oblika $y=kx+b$, gdje je $k$ različit od nule, naziva se linearna funkcija.

Grafikon linearne funkcije je prava linija. Broj $k$ naziva se nagib prave.

Kada je $b=0$ linearna funkcija se naziva funkcijom direktne proporcionalnosti $y=kx$.

Razmotrite sliku 1.

Rice. 1. Geometrijsko značenje nagiba prave

Razmotrimo trougao ABC. Vidimo da je $VS=kx_0+b$. Nađimo tačku preseka prave $y=kx+b$ sa osom $Ox$:

\ \

Dakle, $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Nađimo omjer ovih strana:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

S druge strane, $\frac(BC)(AC)=tg\ugao A$.

Dakle, možemo izvući sljedeći zaključak:

Zaključak

Geometrijsko značenje koeficijenta $k$. Ugaoni koeficijent prave $k$ jednak je tangenti ugla nagiba ove prave na osu $Ox$.

Proučavanje linearne funkcije $f\left(x\right)=kx+b$ i njenog grafa

Prvo, razmotrite funkciju $f\left(x\right)=kx+b$, gdje je $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. dakle, ovu funkciju povećava se kroz čitav domen definicije. Ne postoje ekstremne tačke.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Grafikon (slika 2).

Rice. 2. Grafovi funkcije $y=kx+b$, za $k > 0$.

Sada razmotrite funkciju $f\left(x\right)=kx$, gdje je $k

1. Domen definicije su svi brojevi.
2. Raspon vrijednosti su svi brojevi.
3. $f\levo(-x\desno)=-kx+b$. Funkcija nije ni parna ni neparna.
4. Za $x=0,f\left(0\right)=b$. Kada je $y=0.0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Točke preseka sa koordinatnim osama: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ i $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Dakle, funkcija nema prevojne tačke.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Grafikon (slika 3).