Množenje matrice brojem. Neka svojstva determinanti Jedinstvenost inverzne matrice

Da biste pomnožili matricu brojem, morate svaki element matrice pomnožiti tim brojem.

Posljedica. Zajednički faktor svih matričnih elemenata može se izvaditi iz predznaka matrice.

Na primjer, .

Kao što vidite, radnje sabiranja, oduzimanja matrice i množenja matrice brojem su slične akcijama na brojevima. Množenje matrice je specifična operacija.

Proizvod dvije matrice.

Ne mogu se sve matrice pomnožiti. Proizvod dvije matrice A I IN navedenim redoslijedom AB moguće samo kada je broj kolona prvog faktora A jednak broju redova drugog faktora IN.

Na primjer, .

Veličina matrice A 33, veličina matrice IN 23. Rad AB nemoguće, rad VA Možda.

Umnožak dviju matrica A i B je treća matrica C, čiji je element C ij jednak zbroju parnih proizvoda elemenata i-tog reda prvog faktora i j-tog stupca drugog faktor.

Pokazalo se da je u ovom slučaju moguć proizvod matrica VA

Iz pravila postojanja proizvoda dvije matrice proizlazi da proizvod dvije matrice u opštem slučaju ne podliježe komutativnom zakonu, tj. AB? VA. Ako se u konkretnom slučaju ispostavi da AB = BA, tada se takve matrice nazivaju permutabilne ili komutativne.

U matričnoj algebri, proizvod dvije matrice može biti nulta matrica čak i kada nijedna od faktorskih matrica nije nula, suprotno običnoj algebri.

Na primjer, pronađimo proizvod matrica AB, Ako

Možete pomnožiti više matrica. Ako možete množiti matrice A, IN a proizvod ovih matrica može se pomnožiti sa matricom WITH, tada je moguće sastaviti proizvod ( AB) WITH I A(Ned). U ovom slučaju se dešava kombinacijski zakon koji se odnosi na množenje ( AB) WITH = A(Ned).

Neka nam je data tabela (nazvana matrica) koja se sastoji od četiri broja:

Matrica ima dva reda i dvije kolone, a brojevi koji čine ovu matricu označeni su slovom sa dva indeksa. Prvi indeks označava broj reda, a drugi broj kolone u kojoj se navedeni broj pojavljuje. Na primjer, znači broj u prvom redu i drugoj koloni; broj u drugom redu i prvoj koloni. Brojeve ćemo nazvati elementima matrice.

Determinanta (ili determinanta) drugog reda koja odgovara datoj matrici je broj koji se dobije na sljedeći način:

Odrednica je označena simbolom

dakle,

Brojevi se nazivaju elementi determinante.

Predstavimo svojstva determinante drugog reda.

Svojstvo 1. Determinanta se ne mijenja ako se njeni redovi zamjene odgovarajućim stupcima, tj.

Nekretnina 2.

Prilikom preuređivanja dva reda (ili kolone), determinanta će promijeniti svoj predznak u suprotan, zadržavajući apsolutnu vrijednost, tj.

Svojstvo 3. Determinanta sa dva identična reda (ili kolone) jednaka je nuli.

Svojstvo 4. Zajednički faktor svih elemenata reda (ili kolone) može se izvaditi iz predznaka determinante:

Svojstvo 5. Ako su svi elementi reda (ili kolone) jednaki nuli, tada je determinanta jednaka nuli.

Svojstvo 6. Ako bilo kojem redu (ili koloni) determinante dodamo odgovarajuće elemente drugog reda (ili kolone), pomnožene istim brojem y, tada determinanta neće promijeniti svoju vrijednost, tj.

Ovdje ćemo opisati ona svojstva koja se obično koriste za izračunavanje determinanti u standardni kurs višu matematiku. Ovo je pomoćna tema na koju ćemo se po potrebi pozivati iz drugih odjeljaka.

Dakle, neka određena kvadratna matrica $A_(n\puta n)=\left(\begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) dati & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \ end( niz) \desno)$. Svaka kvadratna matrica ima karakteristiku koja se zove determinanta (ili determinanta). Ovdje neću ulaziti u suštinu ovog koncepta. Ako je potrebno pojašnjenje, pišite o tome na forumu, a ja ću se detaljnije dotaknuti ovog pitanja.

Determinanta matrice $A$ je označena kao $\Delta A$, $|A|$ ili $\det A$. Determinantni poredak jednak broju redova (kolona) u njemu.

Vrijednost determinante se neće promijeniti ako se njeni redovi zamijene odgovarajućim stupcima, tj. $\Delta A=\Delta A^T$.
prikaži\sakrij

Zamijenimo redove u njemu stupcima prema principu: "bio je prvi red - bio je prvi stupac", "bio je drugi red - bio je drugi stupac":

Izračunajmo rezultujuću determinantu: $\left| \begin(niz) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \end(niz) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. Kao što vidite, vrijednost determinante se nije promijenila zbog zamjene.
Ako zamijenite dva reda (kolone) determinante, predznak determinante će se promijeniti u suprotan.
Primjer korištenja ovog svojstva: show\hide

Razmotrimo determinantu $\left| \begin(niz) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(niz) \right|$. Nađimo njegovu vrijednost koristeći formulu br. 1 iz teme izračunavanja determinanti drugog i trećeg reda:
$$\left| \begin(array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$
Sada zamenimo prvi i drugi red. Dobijamo determinantu $\left| \begin(niz) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(niz) \right|$. Izračunajmo rezultujuću determinantu: $\left| \begin(niz) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(niz) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Dakle, vrijednost originalne determinante je bila (-37), a vrijednost determinante sa promijenjenim redoslijedom je $-(-37)=37$. Predznak determinante se promijenio u suprotan.
Determinanta za koju su svi elementi reda (kolone) jednaki nuli jednaka je nuli.
Primjer korištenja ovog svojstva: show\hide

Pošto je u determinanti $\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|$ svi elementi treće kolone su nula, tada determinanta je nula, tj. $\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(niz) \right|=0$.
Determinanta za koju su svi elementi određenog reda (kolone) jednaki odgovarajućim elementima drugog reda (kolone) jednaka je nuli.
Primjer korištenja ovog svojstva: show\hide

Pošto je u determinanti $\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(niz) \right|$ svi elementi prvog reda su jednaki odgovarajućim elemenata drugog reda, tada je determinanta jednaka nuli, tj. $\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(niz) \right|=0$.
Ako su u determinanti svi elementi jednog reda (kolone) proporcionalni odgovarajućim elementima drugog reda (kolone), onda je takva determinanta jednaka nuli.
Primjer korištenja ovog svojstva: show\hide

Pošto je u determinanti $\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(niz) \right|$ Drugi i treći red su proporcionalni, tj. $r_3=-3\cdot(r_2)$, tada je determinanta jednaka nuli, tj. $\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(niz) \right|=0$.
Ako svi elementi reda (kolone) imaju zajednički faktor, onda se ovaj faktor može izbaciti iz predznaka determinante.
Primjer korištenja ovog svojstva: show\hide

Razmotrimo determinantu $\left| \begin(niz) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(niz) \right|$. Obratite pažnju da su svi elementi u drugom redu djeljivi sa 3:
$$\left| \begin(niz) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(niz) \right|=\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|$$
Broj 3 je zajednički faktor svih elemenata drugog reda. Uzmimo tri iz predznaka determinante:
$$\left| \begin(niz) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(niz) \right|=\left| \begin(niz) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|= 3\cdot \left| \begin(niz) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \end(niz) \right| $$
Odrednica se neće promijeniti ako svim elementima određenog reda (kolone) dodamo odgovarajuće elemente drugog reda (kolone), pomnožene proizvoljnim brojem.
Primjer korištenja ovog svojstva: show\hide

Razmotrimo determinantu $\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(niz) \right|$. Dodajmo elementima drugog reda odgovarajuće elemente trećeg reda, pomnožene sa 5. Ova akcija se piše na sljedeći način: $r_2+5\cdot(r_3)$. Drugi red će biti promijenjen, preostali redovi će ostati nepromijenjeni.
$$\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(niz) \right| \begin(niz) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(array)= \left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end (niz) \desno|= \lijevo| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end(niz) \right|. $$
Ako je određeni red (kolona) u determinanti linearna kombinacija drugih redova (kolona), tada je determinanta jednaka nuli.
Primjer korištenja ovog svojstva: show\hide

Dozvolite mi da odmah objasnim šta znači izraz "linearna kombinacija". Neka imamo s redova (ili kolona): $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. Izraz
$$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$
gdje se $k_i\in R$ naziva linearna kombinacija redova (kolona) $A_1$, $A_2$,..., $A_s$.

Na primjer, razmotrite sljedeću odrednicu:
$$\left| \begin(niz) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end(niz) \desno| $$
U ovoj determinanti, četvrti red se može izraziti kao linearna kombinacija prva tri linije:
$$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$
Dakle, predmetna determinanta je jednaka nuli.
Ako je svaki element određenog k-tog reda (k-tog stupca) determinante jednak zbiru dva člana, onda je takva determinanta jednaka zbroju determinanti, od kojih prva ima kth linija (kth kolona) imaju prve članove, a druga determinanta ima druge članove u k-tom redu (k-toj koloni). Ostali elementi ovih determinanti su isti.
Primjer korištenja ovog svojstva: show\hide

Razmotrimo determinantu $\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(niz) \right|$. Zapišimo elemente druge kolone ovako: $\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(niz) \right|$. Tada je takva determinanta jednaka zbroju dvije determinante:
$$\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(niz) \right|= \left| \begin(niz) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(niz) \right|= \left| \begin(niz) (ccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(niz) \right|+ \left| \begin(niz) (ccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end(niz) \right| $$
Determinanta proizvoda dvije kvadratne matrice istog reda jednaka je proizvodu determinanti ovih matrica, tj. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. Iz ovog pravila možemo dobiti sljedeću formulu: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
Ako je matrica $A$ nesingularna (tj. njena determinanta nije jednaka nuli), onda je $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$.

Formule za izračunavanje determinanti

Za determinante drugog i trećeg reda ispravne su sljedeće formule:

\begin(jednačina) \Delta A=\lijevo| \begin(array) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \end(array) \right|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \end(jednačina) \begin(jednačina) \begin(poravnano) & \Delta A=\lijevo| \begin(niz) (ccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(array) \right|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21 )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33 )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11)\end(poravnano)\end(jednačina)

Primjeri korištenja formula (1) i (2) nalaze se u temi "Formule za izračunavanje determinanti drugog i trećeg reda. Primjeri izračunavanja determinanti".

Determinanta matrice $A_(n\puta n)$ može se proširiti i-ti red koristeći sljedeću formulu:

\begin(jednačina)\Delta A=\sum\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \end(jednačina)

Analog ove formule postoji i za kolone. Formula za proširenje determinante u j-tom stupcu je sljedeća:

\begin(equation)\Delta A=\sum\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(jednadžba)

Pravila izražena formulama (3) i (4) detaljno su ilustrovana primjerima i objašnjena u temi Redukcija reda determinante. Dekompozicija determinante u nizu (kolona).

Naznačimo još jednu formulu za izračunavanje determinanti gornje trouglaste i donje trouglaste matrice (za objašnjenje ovih pojmova vidi temu „Matrice. Vrste matrica. Osnovni pojmovi”). Odrednica takve matrice jednaka je umnošku elemenata na glavnoj dijagonali. primjeri:

\begin(poravnano) &\lijevo| \begin(niz) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end(niz) \desno|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\left| \begin(niz) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \end(niz) \ desno|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \end (poravnano)

- Pusti sise u sigurnu smrt!
Neka je sloboda miluje!
I brod plovi, i reaktor buči...
- Pash, jesi li tvrdoglav?

Sjećam se da algebru nisam volio do 8. razreda. Uopste mi se nije svidelo. Iznervirala me je. Jer ja tu ništa nisam razumeo.

A onda se sve promijenilo jer sam otkrio jedan trik:

U matematici općenito (i algebri posebno) sve je izgrađeno na kompetentnom i dosljednom sistemu definicija. Ako znate definicije, razumijete njihovu suštinu, neće biti teško dokučiti ostalo.

Tako je to sa temom današnjeg časa. Detaljno ćemo razmotriti nekoliko povezanih pitanja i definicija, zahvaljujući kojima ćete jednom zauvijek razumjeti matrice, determinante i sva njihova svojstva.

Determinante su centralni koncept u matričnoj algebri. Poput skraćenih formula za množenje, one će vas proganjati tokom kursa više matematike. Stoga, čitamo, gledamo i razumijemo temeljno. :)

A počećemo s najintimnijim – šta je matrica? I kako pravilno raditi s njim.

Ispravan položaj indeksa u matrici

Matrica je jednostavno tabela ispunjena brojevima. Neo nema ništa s tim.

Jedna od ključnih karakteristika matrice je njena dimenzija, tj. broj redova i kolona od kojih se sastoji. Obično kažemo da određena matrica $A$ ima veličinu $\left[ m\times n \right]$ ako ima $m$ redova i $n$ kolona. Napišite to ovako:

ili ovako:

Postoje i druge oznake - sve zavisi od preferencija predavača/seminarista/autora udžbenika. Ali u svakom slučaju, sa svim ovim $\left[ m\times n \right]$ i $((a)_(ij))$ javlja se isti problem:

Koji je indeks za šta odgovoran? Da li je prvi broj reda, a zatim broj kolone? Ili obrnuto?

Kada čitate predavanja i udžbenike, odgovor će se činiti očiglednim. Ali kada na ispitu imate samo list papira sa zadatkom pred sobom, možete se preuzbuditi i odjednom se zbuniti.

Pa hajde da rešimo ovo pitanje jednom za svagda. Za početak, prisjetimo se uobičajenog koordinatnog sistema iz školskog tečaja matematike:

Uvođenje koordinatnog sistema na ravni

Sjećaš li je se? Ima ishodište (tačka $O=\left(0;0 \right)$) osi $x$ i $y$, a svaka tačka na ravni je jedinstveno određena koordinatama: $A=\left( 1;2 \ desno)$, $B=\lijevo(3;1 \desno)$, itd.

Sada uzmimo ovu konstrukciju i postavimo je pored matrice tako da je ishodište koordinata u gornjem lijevom uglu. Zašto tamo? Da, jer kada otvaramo knjigu, počinjemo čitati upravo iz gornjeg lijevog ugla stranice - zapamtiti ovo je lako.

Ali kuda treba da budu usmerene ose? Usmjerit ćemo ih tako da nam cijela virtualna „stranica“ bude pokrivena tim osama. Istina, za to ćemo morati rotirati naš koordinatni sistem. Samo moguća varijanta ova lokacija:

Preklapanje koordinatnog sistema na matricu

Sada svaka ćelija matrice ima jedinstvene koordinate $x$ i $y$. Na primjer, pisanje $((a)_(24))$ znači da pristupamo elementu sa koordinatama $x=2$ i $y=4$. Dimenzije matrice su takođe jedinstveno određene parom brojeva:

Definiranje indeksa u matrici

Samo pažljivo pogledajte ovu sliku. Poigrajte se koordinatama (posebno kada radite sa realnim matricama i determinantama) - i vrlo brzo ćete shvatiti da čak iu najsloženijim teoremama i definicijama savršeno dobro razumijete ono što se govori.

Jasno? Pa, idemo na prvi korak prosvjetljenja - geometrijsku definiciju determinante. :)

Geometrijska definicija

Prije svega, želio bih napomenuti da determinanta postoji samo za kvadratne matrice oblika $\left[ n\times n \right]$. Determinanta je broj koji se računa prema određenim pravilima i jedna je od karakteristika ove matrice (postoje i druge karakteristike: rang, sopstveni vektori, ali o tome više u drugim lekcijama).

Dakle, koja je to karakteristika? Šta to znači? jednostavno je:

Determinanta kvadratne matrice $A=\left[ n\times n \right]$ je volumen $n$-dimenzionalnog paralelepipeda, koji se formira ako redove matrice smatramo vektorima koji formiraju rubove ovog paralelepiped.

Na primjer, determinanta matrice 2x2 je jednostavno površina paralelograma, ali za matricu 3x3 to je već volumen 3-dimenzionalnog paralelepipeda - istog onoga koji razbjesni sve srednjoškolce na časovima stereometrije .

Na prvi pogled, ova definicija može izgledati potpuno neadekvatna. Ali nemojmo žuriti sa zaključcima – pogledajmo primjere. U stvari, sve je elementarno, Watsone:

Zadatak. Naći determinante matrica:

\[\lijevo| \begin(matrica) 1 & 0 \\ 0 & 3 \\\end(matrica) \right|\quad \left| \begin(matrica) 1 & -1 \\ 2 & 2 \\\end(matrica) \right|\quad \left| \begin(matrica)2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\\end(matrica) \right|\]

Rješenje. Prve dvije determinante imaju veličinu 2x2. Dakle, ovo su jednostavno površine paralelograma. Nacrtajmo ih i izračunajmo površinu.

Prvi paralelogram je izgrađen na vektorima $((v)_(1))=\left(1;0 \right)$ i $((v)_(2))=\left(0;3 \right) $:
Odrednica 2x2 je površina paralelograma
Očigledno, ovo nije samo paralelogram, već pravi pravougaonik. Njegova površina je

Drugi paralelogram je izgrađen na vektorima $((v)_(1))=\left(1;-1 \right)$ i $((v)_(2))=\left(2;2 \right) )$. Pa, pa šta? Ovo je također pravougaonik:
Još jedna determinanta 2x2
Stranice ovog pravokutnika (u suštini dužine vektora) se lako izračunavaju pomoću Pitagorine teoreme:

\[\početi(poravnati) & \lijevo| ((v)_(1)) \right|=\sqrt(((1)^(2))+((\left(-1 \right))^(2)))=\sqrt(2); \\ & \lijevo| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(((2)^(2))+((2)^(2)))=\sqrt(8)=2\sqrt(2); \\&S=\lijevo| ((v)_(1)) \desno|\cdot \lijevo| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(2)\cdot 2\sqrt(2)=4. \\\end(poravnati)\]

Ostaje da se pozabavimo posljednjom determinantom - ona već sadrži matricu 3x3. Morat ćete zapamtiti stereometriju:

Odrednica 3x3 je zapremina paralelepipeda
Izgleda zapanjujuće, ali u stvari dovoljno je zapamtiti formulu za volumen paralelepipeda:

gdje je $S$ površina baze (u našem slučaju, ovo je površina paralelograma na ravni $OXY$), $h$ je visina povučena do ove baze (u stvari, $ z$-koordinata vektora $((v)_(3) )$).

Površina paralelograma (nacrtali smo ga zasebno) je također lako izračunati:

\[\begin(align) & S=2\cdot 3=6; \\ & V=S\cdot h=6\cdot 4=24. \\\end(poravnati)\]

To je sve! Zapisujemo odgovore.

Odgovor: 3; 4; 24.

Mala napomena o sistemu notacije. Nekima se vjerovatno neće svidjeti činjenica da ignorišem "strelice" iznad vektora. Navodno možete pobrkati vektor sa tačkom ili nečim drugim.

Ali budimo ozbiljni: mi smo već odrasli dečaci i devojčice, pa iz konteksta savršeno razumemo kada je reč o vektoru, a kada o tački. Strelice samo začepljuju narativ koji je već do vrha ispunjen matematičkim formulama.

I dalje. U principu, ništa nas ne sprječava da razmotrimo determinantu matrice 1x1 - takva matrica je jednostavno jedna ćelija, a broj napisan u ovoj ćeliji bit će determinanta. Ali ovdje postoji važna napomena:

Za razliku od klasičnog volumena, determinanta će nam dati tzv. orijentisani volumen“, tj. volumen uzimajući u obzir redoslijed razmatranja vektora reda.

A ako želite dobiti volumen u klasičnom smislu riječi, morat ćete uzeti modul determinante, ali sada nema potrebe da brinete o tome - u svakom slučaju, za nekoliko sekundi naučit ćemo kako izračunati bilo koju determinantu sa bilo kojim znakovima, veličinama itd. :)

Algebarska definicija

Uz svu ljepotu i jasnoću geometrijskog pristupa, on ima ozbiljan nedostatak: ne govori nam ništa o tome kako izračunati upravo ovu determinantu.

Stoga ćemo sada analizirati alternativnu definiciju - algebarsku. Za to će nam trebati kratka teorijska priprema, ali na kraju ćemo dobiti alat koji nam omogućava da u matricama izračunamo šta god i kako želimo.

Istina, tu će se pojaviti novi problem... ali prvo.

Permutacije i inverzije

Zapišimo brojeve od 1 do $n$ na liniji. Dobićete nešto ovako:

Sada (samo iz zabave) hajde da zamijenimo nekoliko brojeva. Možete promijeniti susjedne:

Ili možda - ne posebno susjedni:

I pogodi šta? Ništa! U algebri se ovo sranje zove permutacija. I ima mnogo svojstava.

Definicija. Permutacija dužine $n$ je niz od $n$ različitih brojeva napisanih bilo kojim redoslijedom. Obično se razmatraju prvi $n$ prirodni brojevi(tj. samo brojevi 1, 2, ..., $n$), a zatim se miješaju kako bi se dobila željena permutacija.

Permutacije se označavaju na isti način kao i vektori - jednostavno slovom i sekvencijalnim popisom njihovih elemenata u zagradama. Na primjer: $p=\left(1;3;2 \right)$ ili $p=\left(2;5;1;4;3 \right)$. Pismo može biti bilo koje, ali neka bude $p$. :)

Nadalje, radi jednostavnosti prezentacije, radit ćemo s permutacijama dužine 5 - one su već dovoljno ozbiljne da uoče bilo kakve sumnjive efekte, ali još nisu tako ozbiljne za krhki mozak kao permutacije dužine 6 ili više. Evo primjera takvih permutacija:

\[\begin(poravnati) & ((p)_(1))=\left(1;2;3;4;5 \desno) \\ & ((p)_(2))=\left(1 ;3;2;5;4 \desno) \\ & ((p)_(3))=\left(5;4;3;2;1 \desno) \\\end(poravnati)\]

Naravno, permutacija dužine $n$ može se smatrati funkcijom koja je definirana na skupu $\left$ 1;2;...;n \right$$ i bijektivno preslikava ovaj skup na sebe. Vraćajući se na upravo zapisane permutacije $((p)_(1))$, $((p)_(2))$ i $((p)_(3))$, možemo sasvim legitimno napisati:

\[((p)_(1))\left(1 \right)=1;((p)_(2))\left(3 \right)=2;((p)_(3))\ lijevo(2 \desno)=4;\]

Broj različitih permutacija dužine $n$ je uvijek ograničen i jednak $n!$ - ovo je lako dokaziva činjenica iz kombinatorike. Na primjer, ako želimo da zapišemo sve permutacije dužine 5, onda ćemo mnogo oklijevati, jer će biti takvih permutacija

Jedna od ključnih karakteristika svake permutacije je broj inverzija u njoj.

Definicija. Inverzija u permutaciji $p=\left(((a)_(1));((a)_(2));...;((a)_(n)) \right)$ — bilo koji par $ \left(((a)_(i));((a)_(j)) \right)$ tako da je $i \lt j$, ali $((a)_(i)) \gt ( (a)_(j))$. Jednostavno rečeno, inverzija je kada je veći broj lijevo od manjeg (ne nužno njegovog susjeda).

Označit ćemo sa $N\left(p \right)$ broj inverzija u permutaciji $p$, ali budite spremni da naiđete na druge notacije u različitim udžbenicima i različitim autorima - ovdje ne postoje jedinstveni standardi. Tema inverzija je vrlo opsežna, te će joj biti posvećena posebna lekcija. Sada je naš zadatak jednostavno naučiti kako ih prebrojati u stvarnim problemima.

Na primjer, izbrojimo broj inverzija u permutaciji $p=\left(1;4;5;3;2 \right)$:

\[\left(4;3 \right);\left(4;2 \right);\left(5;3 \right);\left(5;2 \right);\left(3;2 \right) ).\]

Dakle, $N\left(p \right)=5$. Kao što vidite, u ovome nema ništa loše. Odmah ću reći: od sada će nas zanimati ne toliko sam broj $N\left(p \right)$, koliko njegova parnost/neparnost. I ovdje glatko prelazimo na ključni termin današnje lekcije.

Šta je determinanta

Neka je data kvadratna matrica $A=\left[ n\puta n \right]$. onda:

Definicija. Determinanta matrice $A=\left[ n\times n \right]$ je algebarski zbir $n!$ članova sastavljen na sledeći način. Svaki član je proizvod $n$ elemenata matrice, uzetih po jedan iz svakog reda i svakog stupca, pomnoženih sa (−1) na stepen broja inverzija:

\[\lijevo| A\desno|=\suma\ograničenja_(n{{{\left(-1 \right)}^{N\left(p \right)}}\cdot {{a}_{1;p\left(1 \right)}}\cdot {{a}_{2;p\left(2 \right)}}\cdot ...\cdot {{a}_{n;p\left(n \right)}}}\]!}

Osnovna tačka pri odabiru faktora za svaki pojam u determinanti je činjenica da se dva faktora ne pojavljuju u istom redu ili u istoj koloni.

Zahvaljujući tome, možemo pretpostaviti bez gubitka općenitosti da indeksi $i$ faktora $((a)_(i;j))$ "prolaze" kroz vrijednosti 1, ..., $n$ , a indeksi $j$ su neka permutacija prvog:

A kada postoji permutacija $p$, lako možemo izračunati inverzije $N\left(p \right)$ - i sljedeći član determinante je spreman.

Naravno, niko ne zabranjuje zamjenu faktora ni u jednom terminu (ili u svim odjednom – zašto gubiti vrijeme na sitnice?), a onda će i prvi indeksi predstavljati neku vrstu prestrojavanja. Ali na kraju se ništa neće promijeniti: ukupan broj inverzija u indeksima $i$ i $j$ zadržava paritet pod takvim distorzijama, što je sasvim u skladu sa starim dobrim pravilom:

Preuređivanje faktora ne mijenja proizvod brojeva.

Samo nemojte povezivati ovo pravilo sa množenjem matrice - za razliku od množenja brojeva, ono nije komutativno. Ali skrećem pažnju. :)

Matrix 2x2

U stvari, možete uzeti u obzir i matricu 1x1 - to će biti jedna ćelija, a njena determinanta je, kao što možete pretpostaviti, jednaka broju napisanom u ovoj ćeliji. Nistai nteresantno.

Dakle, razmotrimo kvadratnu matricu 2x2:

\[\left[ \begin(matrica) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\kraj (matrica) \desno]\]

Pošto je broj redova u njemu $n=2$, determinanta će sadržavati $n!=2!=1\cdot 2=2$ pojmove. Hajde da ih zapišemo:

\[\begin(align) & ((\left(-1 \right))^(N\left(1;2 \right)))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a) _(22))=((\left(-1 \desno))^(0))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a)_(22))=((a)_ (11))((a)_(22)); \\ & ((\left(-1 \right))^(N\left(2;1 \right)))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21)) =((\left(-1 \desno))^(1))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21))=((a)_(12))( (a)_(21)). \\\end(poravnati)\]

Očigledno, u permutaciji $\left(1;2 \right)$, koja se sastoji od dva elementa, nema inverzija, tako da $N\left(1;2 \right)=0$. Ali u permutaciji $\left(2;1 \right)$ postoji jedna inverzija (u stvari, 2< 1), поэтому $N\left(2;1 \right)=1.$

Ukupno, univerzalna formula za izračunavanje determinante za matricu 2x2 izgleda ovako:

\[\lijevo| \begin(matrica) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\end( matrica) \right|=((a)_(11))((a)_(22))-((a)_(12))((a)_(21))\]

Grafički, ovo se može predstaviti kao proizvod elemenata na glavnoj dijagonali, minus proizvod elemenata na bočnoj dijagonali:

Determinanta matrice 2x2

Pogledajmo nekoliko primjera:

\[\lijevo| \begin(matrica) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end(matrica) \right|;\quad \left| \begin(matrica) 7 & 12 \\ 14 & 1 \\\end(matrica) \right|.\]

Rješenje. Sve se broji u jednom redu. Prva matrica:

i drugi:

Odgovor: −3; −161.

Međutim, bilo je previše jednostavno. Pogledajmo matrice 3x3 - već je zanimljivo.

Matrix 3x3

Sada razmotrite kvadratnu matricu 3x3:

\[\left[ \begin(matrica) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & ((a)_(33) ) \\\end(matrica) \desno]\]

Prilikom izračunavanja njegove determinante, dobijamo $3!=1\cdot 2\cdot 3=6$ pojmova - ne previše za paniku, ali dovoljno da počnemo tražiti neke obrasce. Prvo, napišimo sve permutacije tri elementa i izbrojimo inverzije u svakom od njih:

\[\begin(align) & ((p)_(1))=\left(1;2;3 \right)\Strelica desno N\left(((p)_(1)) \right)=N\ lijevo(1;2;3 \desno)=0; \\ & ((p)_(2))=\left(1;3;2 \desno)\Strelica desno N\left(((p)_(2)) \right)=N\left(1;3 ;2 \desno)=1; \\ & ((p)_(3))=\left(2;1;3 \desno)\Strelica desno N\left(((p)_(3)) \right)=N\left(2;1 ;3 \desno)=1; \\ & ((p)_(4))=\left(2;3;1 \desno)\Strelica desno N\left(((p)_(4)) \right)=N\left(2;3 ;1 \desno)=2; \\ & ((p)_(5))=\left(3;1;2 \desno)\Strelica desno N\left(((p)_(5)) \right)=N\left(3;1 ;2 \desno)=2; \\ & ((p)_(6))=\left(3;2;1 \desno)\Strelica desno N\left(((p)_(6)) \right)=N\left(3;2 ;1 \desno)=3. \\\end(poravnati)\]

Kao što se očekivalo, ispisano je ukupno 6 permutacija: $((p)_(1))$, ... $((p)_(6))$ (naravno, bilo bi ih moguće ispisati u drugačiji redoslijed - to nema razlike će se promijeniti), a broj inverzija u njima varira od 0 do 3.

Generalno, imaćemo tri člana sa „plusom“ (gde je $N\left(p \right)$ paran) i još tri sa „minusom“. Općenito, determinanta će se izračunati prema formuli:

\[\lijevo| \begin(matrica) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a) _(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & ((a)_(33)) \\\end (matrica) \right|=\begin(matrica) ((a)_(11))((a)_(22))((a)_(33))+((a)_(12))( (a)_(23))((a)_(31))+((a)_(13))((a)_(21))((a)_(32))- \\ -( (a)_(13))((a)_(22))((a)_(31))-((a)_(12))((a)_(21))((a)_ (33))-((a)_(11))((a)_(23))((a)_(32)) \\\end(matrica)\]

Samo nemojte sad sjesti i bijesno trpati sve ove indekse! Umjesto nerazumljivih brojeva, bolje je zapamtiti sljedeće mnemoničko pravilo:

Pravilo trougla. Da biste pronašli determinantu matrice 3x3, morate dodati tri proizvoda elemenata koji se nalaze na glavnoj dijagonali i na vrhovima jednakokračnih trokuta sa stranicom koja je paralelna ovoj dijagonali, a zatim oduzeti ista tri proizvoda, ali na sekundarnoj dijagonali . Šematski to izgleda ovako:

Determinanta matrice 3x3: pravilo trokuta

Upravo te trouglove (ili pentagrame, kako god želite) ljudi vole crtati u svim vrstama udžbenika i priručnika iz algebre. Međutim, da ne pričamo o tužnim stvarima. Hajde bolje da izračunamo jednu takvu odrednicu - da se zagrejemo pred pravim teškim stvarima. :)

Zadatak. Izračunaj determinantu:

\[\lijevo| \begin(matrica) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \\\end(matrica) \right|\]

Rješenje. Radimo po pravilu trouglova. Prvo, izbrojimo tri člana sastavljena od elemenata na glavnoj dijagonali i paralelno s njom:

\[\početak(poravnati) & 1\cdot 5\cdot 1+2\cdot 6\cdot 7+3\cdot 4\cdot 8= \\ & =5+84+96=185 \\\end(poravnati) \]

Sada pogledajmo bočnu dijagonalu:

\[\početak(poravnati) & 3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot 1+1\cdot 6\cdot 8= \\ & =105+8+48=161 \\\end(poravnati) \]

Ostaje samo da oduzmemo drugi od prvog broja - i dobićemo odgovor:

To je sve!

Međutim, determinante matrica 3x3 još uvijek nisu vrhunac vještine. Ono najzanimljivije nas čeka dalje. :)

Opća shema za izračunavanje determinanti

Kao što znamo, kako se dimenzija matrice $n$ povećava, broj članova u determinanti je $n!$ i brzo raste. Ipak, faktorijal nije sranje; to je prilično brzo rastuća funkcija.

Već za matrice 4x4, direktno brojanje determinanti (tj. kroz permutacije) postaje nekako ne baš dobro. Uglavnom ćutim o 5x5 i više. Stoga neka svojstva determinante dolaze u igru, ali njihovo razumijevanje zahtijeva malu teorijsku pripremu.

Spreman? Idi!

Šta je matrix minor?

Neka je data proizvoljna matrica $A=\left[ m\times n \right]$. Napomena: nije nužno kvadratno. Za razliku od determinanti, minori su tako slatke stvari koje postoje ne samo u grubim kvadratnim matricama. Odaberimo nekoliko (na primjer, $k$) redova i stupaca u ovoj matrici, sa $1\le k\le m$ i $1\le k\le n$. onda:

Definicija. Minor reda $k$ je determinanta kvadratne matrice koja nastaje na presjeku odabranih $k$ kolona i redova. Ovu novu matricu takođe ćemo nazvati minornom.

Takav minor je označen sa $((M)_(k))$. Naravno, jedna matrica može imati čitav niz minora reda $k$. Evo primjera minora reda 2 za matricu $\left[ 5\times 6 \right]$:
Odabirom $k = 2$ kolona i redaka za formiranje minora

Uopšte nije neophodno da izabrani redovi i kolone budu jedan pored drugog, kao u primeru o kome se govori. Glavna stvar je da je broj odabranih redova i kolona isti (ovo je broj $k$).

Postoji još jedna definicija. Možda će se nekome više dopasti:

Definicija. Neka je data pravougaona matrica $A=\left[ m\times n \right]$. Ako se nakon brisanja jednog ili više stupaca i jednog ili više redova formira kvadratna matrica veličine $\left[ k\times k \right]$, tada je njena determinanta minor $((M)_(k)) $ . Ponekad ćemo i samu matricu nazvati minornom - to će biti jasno iz konteksta.

Kao što je moja mačka rekla, ponekad je bolje vratiti se sa 11. sprata da pojedeš hranu nego da mjaučeš dok sediš na balkonu.

Primjer. Neka je data matrica

Odabirom reda 1 i kolone 2, dobijamo minor prvog reda:

\[((M)_(1))=\lijevo| 7\desno|=7\]

Odabirom redova 2, 3 i stupaca 3, 4 dobijamo minor drugog reda:

\[((M)_(2))=\lijevo| \begin(matrica) 5 & 3 \\ 6 & 1 \\\end(matrica) \right|=5-18=-13\]

A ako odaberete sva tri reda, kao i kolone 1, 2, 4, postojat će manji trećeg reda:

\[((M)_(3))=\lijevo| \begin(matrica) 1 & 7 & 0 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\\end(matrica) \right|\]

Čitaocu neće biti teško pronaći druge maloljetnike redova 1, 2 ili 3. Dakle, idemo dalje.

Algebarski dodaci

“Pa dobro, šta nam daju ovi manji sluge?” - verovatno pitate. Sami po sebi - ništa. Ali u kvadratnim matricama, svaki minor ima "pratioca" - dodatni minor, kao i algebarski komplement. A zajedno, ova dva trika će nam omogućiti da razbijemo determinante kao orahe.

Definicija. Neka je data kvadratna matrica $A=\left[ n\times n \right]$, u kojoj je odabran minor $((M)_(k))$. Tada je dodatni minor za minor $((M)_(k))$ dio originalne matrice $A$, koji će ostati nakon brisanja svih redova i stupaca uključenih u sastavljanje minora $((M)_ (k))$:
Dodatni minor na minor $((M)_(2))$
Da pojasnimo jednu stvar: dodatni mol nije samo „komad matrice“, već determinanta ovog dela.

Dodatni maloljetnici su označeni zvjezdicom: $M_(k)^(*)$:

pri čemu operacija $A\nabla ((M)_(k))$ doslovno znači “brisati iz $A$ redove i kolone uključene u $((M)_(k))$”. Ova operacija nije opšte prihvaćena u matematici - upravo sam je sam izmislio radi lepote priče. :)

Dodatni maloljetnici rijetko se koriste sami. Oni su dio složenije konstrukcije - algebarskog komplementa.

Definicija. Algebarski komplement minora $((M)_(k))$ je dodatni minor $M_(k)^(*)$ pomnožen vrijednošću $((\left(-1 \right))^(S ))$ , gdje je $S$ zbir brojeva svih redova i stupaca uključenih u originalni minor $((M)_(k))$.

Po pravilu, algebarski komplement malog $((M)_(k))$ označava se sa $((A)_(k))$. Zbog toga:

\[((A)_(k))=((\left(-1 \desno))^(S))\cdot M_(k)^(*)\]

Tesko? Na prvi pogled, da. Ali nije baš. Jer u stvarnosti je sve lako. Pogledajmo primjer:

Primjer. Date 4x4 matricu:

Odaberimo drugi red minor

\[((M)_(2))=\lijevo| \begin(matrica) 3 & 4 \\ 15 & 16 \\\end(matrica) \right|\]

Kapetan Očevidnost kao da nam nagovještava da su prilikom sastavljanja ovog mola bili uključeni redovi 1 i 4, kao i kolone 3 i 4. Precrtajte ih i dobili smo dodatni mol:

Ostaje pronaći broj $S$ i dobiti algebarski komplement. Pošto znamo koji su brojevi redova (1 i 4) i stupaca (3 i 4) uključeni, sve je jednostavno:

\[\begin(align) & S=1+4+3+4=12; \\ & ((A)_(2))=((\left(-1 \right))^(S))\cdot M_(2)^(*)=((\left(-1 \right) )^(12))\cdot \left(-4 \right)=-4\end(align)\]

Odgovor: $((A)_(2))=-4$

To je sve! Zapravo, cijela razlika između dodatnog mola i algebarskog komplementa je samo u minusu na prednjoj strani, pa čak ni tada ne uvijek.

Laplaceov teorem

I tako smo došli do tačke zašto su, u stvari, svi ti minori i algebarski dodaci bili potrebni.

Laplaceov teorem o dekompoziciji determinante. Neka su $k$ redovi (kolone) odabrani u matrici veličine $\left[ n\puta n \right]$, sa $1\le k\le n-1$. Tada je determinanta ove matrice jednaka zbroju svih proizvoda minora reda $k$ sadržanih u odabranim redovima (stupcima) i njihovih algebarskih komplemenata:

\[\lijevo| A \right|=\sum(((M)_(k))\cdot ((A)_(k)))\]

Štaviše, postojaće tačno $C_(n)^(k)$ takvih termina.

Dobro, dobro: o $C_(n)^(k)$ - već se hvalim, ništa slično nije bilo u Laplaceovoj originalnoj teoremi. Ali kombinatoriku niko nije otkazao, a bukvalno brzi pogled na stanje omogućit će vam da se i sami uvjerite da će biti tačno toliko pojmova. :)

Nećemo to dokazivati, iako ne predstavlja neku posebnu poteškoću – svi proračuni se svode na dobre stare permutacije i parne/neparne inverzije. Međutim, dokaz će biti predstavljen u posebnom pasusu, a danas imamo čisto praktičnu lekciju.

Stoga prelazimo na poseban slučaj ove teoreme, kada su minori pojedinačne ćelije matrice.

Dekompozicija determinante u redu i koloni

Ono o čemu ćemo sada pričati je upravo glavni alat za rad sa determinantama, zbog kojeg su i pokrenute sve ove gluposti sa permutacijama, minorima i algebarskim sabiranjem.

Čitajte i uživajte:

Posljedica Laplaceove teoreme (dekompozicija determinante u red/kolona). Neka je jedan red odabran u matrici veličine $\left[ n\puta n \right]$. Minori u ovom redu će biti $n$ pojedinačnih ćelija:

\[((M)_(1))=((a)_(ij)),\quad j=1,...,n\]

Dodatne manje vrijednosti je također lako izračunati: samo uzmite originalnu matricu i precrtajte red i stupac koji sadrže $((a)_(ij))$. Nazovimo takve minore $M_(ij)^(*)$.

Za algebarski komplement i dalje nam je potreban broj $S$, ali u slučaju minora reda 1 to je jednostavno zbir "koordinata" ćelije $((a)_(ij))$:

I tada se originalna determinanta može napisati u terminima $((a)_(ij))$ i $M_(ij)^(*)$ prema Laplaceovoj teoremi:

\[\lijevo| A \right|=\sum\limits_(j=1)^(n)(((a)_(ij))\cdot ((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot ((M)_(ij)))\]

To je ono što je formula za dekomponovanje determinante u nizu. Ali isto važi i za kolone.

Iz ove posljedice odmah se može izvući nekoliko zaključaka:

Ova šema radi podjednako dobro i za redove i za stupce. U stvari, najčešće će se razlaganje odvijati upravo duž kolona, a ne duž redova.
Broj pojmova u proširenju je uvijek tačno $n$. Ovo je znatno manje od $C_(n)^(k)$ i još više od $n!$.
Umjesto jedne determinante $\left[ n\times n \right]$ morat ćete uzeti u obzir nekoliko determinanti veličine za jednu manje: $\left[ \left(n-1 \right)\times \left(n-1 \ desno) \desno ]$.

Posljednja činjenica je posebno važna. Na primjer, umjesto brutalne determinante 4x4, sada će biti dovoljno izbrojati nekoliko odrednica 3x3 - s njima ćemo se nekako nositi. :)

Zadatak. Pronađite odrednicu:

\[\lijevo| \begin(matrica) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\\end(matrica) \right|\]

Rješenje. Proširimo ovu determinantu duž prvog reda:

\[\početi(poravnati) \lijevo| A \right|=1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrica) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end(matrica) \right|+ & \\ 2\cdot ((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \levo| \begin(matrica) 4 & 6 \\ 7 & 9 \\\end(matrica) \right|+ & \\ 3\cdot ((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \levo| \begin(matrica) 4 & 5 \\ 7 & 8 \\\end(matrica) \right|= & \\\end(align)\]

\[\begin(align) & =1\cdot \left(45-48 \right)-2\cdot \left(36-42 \right)+3\cdot \left(32-35 \right)= \\ & =1\cdot \left(-3 \right)-2\cdot \left(-6 \right)+3\cdot \left(-3 \right)=0. \\\end(poravnati)\]

Zadatak. Pronađite odrednicu:

\[\lijevo| \begin(matrica) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matrica) \right|\ ]

Rješenje. Za promenu, hajde da ovaj put radimo sa kolonama. Na primjer, posljednja kolona sadrži dvije nule odjednom - očigledno će to značajno smanjiti proračune. Sad ćeš vidjeti zašto.

Dakle, proširujemo determinantu u četvrtoj koloni:

\[\početi(poravnati) \lijevo| \begin(matrica) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matrica) \right|= 0\cdot ((\lijevo(-1 \desno))^(1+4))\cdot \lijevo| \begin(matrica) 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrica) \right|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \ desno))^(2+4))\cdot \lijevo| \begin(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrica) \right|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \ desno))^(3+4))\cdot \lijevo| \begin(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrica) \right|+ & \\ +0\cdot ((\left(-1 \ desno))^(4+4))\cdot \levo| \begin(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrica) \right| & \\\end(poravnati)\]

A onda - o, čudo! - dva termina odmah odlaze u vodu, jer sadrže faktor “0”. Ostale su još dvije 3x3 odrednice s kojima se lako možemo nositi:

\[\početi(poravnati) & \lijevo| \begin(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=0+0+1-1-1-0=-1; \\ & \lijevo| \begin(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrica) \right|=0+1+1-0-0-1=1. \\\end(poravnati)\]

Vratimo se izvoru i pronađemo odgovor:

\[\lijevo| \begin(matrica) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matrica) \right|= 1\cdot \left(-1 \right)+\left(-1 \right)\cdot 1=-2\]

OK, sve je gotovo. I ne 4! = 24 termina nisu morala da se računaju. :)

Odgovor: −2

Osnovna svojstva determinante

U posljednjem problemu vidjeli smo kako prisustvo nula u redovima (stupcima) matrice dramatično pojednostavljuje dekompoziciju determinante i, općenito, sve proračune. Postavlja se prirodno pitanje: da li je moguće učiniti da se ove nule pojavljuju čak i u matrici gdje ih prvobitno nije bilo?

Odgovor je jasan: Može. I tu nam u pomoć priskaču svojstva determinante:

Ako zamijenite dva reda (kolone), determinanta se neće promijeniti;
Ako se jedan red (kolona) pomnoži sa brojem $k$, tada će se cijela determinanta također pomnožiti brojem $k$;
Ako uzmete jednu liniju i dodate (oduzmete) je onoliko puta koliko želite od druge, determinanta se neće promijeniti;
Ako su dva reda determinante ista, ili proporcionalna, ili je jedan od redova popunjen nulama, onda je cijela determinanta jednaka nuli;
Sva gore navedena svojstva vrijede i za stupce.
Kada se transponuje matrica, determinanta se ne menja;
Determinanta proizvoda matrica jednaka je proizvodu determinanti.

Treće svojstvo je od posebne vrijednosti: možemo oduzimati od jednog reda (kolone) drugog dok se nule ne pojave na pravim mjestima.

Najčešće se proračuni svode na „nuliranje“ cijele kolone svuda osim za jedan element, a zatim širenje determinante preko ove kolone, dobivajući matricu veličine 1 manju.

Pogledajmo kako ovo funkcionira u praksi:

Zadatak. Pronađite odrednicu:

\[\lijevo| \begin(matrica) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end(matrica) \right|\ ]

Rješenje. Čini se da ovdje uopće nema nula, tako da možete "bušiti" bilo koji red ili stupac - količina izračuna će biti približno ista. Nemojmo gubiti vrijeme na sitnice i “izbrisati” prvi stupac: već ima ćeliju sa jedan, pa samo uzmi prvi red i oduzmi ga 4 puta od drugog, 3 puta od trećeg i 2 puta od posljednjeg.

Kao rezultat, dobićemo novu matricu, ali će njena determinanta biti ista:

\[\begin(matrica) \levo| \begin(matrica) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end(matrica) \right|\ begin(matrica) \downarrow \\ -4 \\ -3 \\ -2 \\\end(matrix)= \\ =\left| \begin(matrica) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4-4\cdot 1 & 1-4\cdot 2 & 2-4\cdot 3 & 3-4\cdot 4 \\ 3-3\cdot 1 & 4-3\cdot 2 & 1-3\cdot 3 & 2-3\cdot 4 \\ 2-2\cdot 1 & 3-2\cdot 2 & 4-2\cdot 3 & 1-2\cdot 4 \ \\end(matrica) \desno|= \\ =\lijevo| \begin(matrica) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ \end(matrica) \desno| \\\kraj (matrica)\]

Sada, s ravnodušnošću Praščića, postavljamo ovu odrednicu duž prve kolone:

\[\begin(matrica) 1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrica) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end(matrica) \right|+0\cdot ((\ lijevo(-1 \desno))^(2+1))\cdot \lijevo| ... \desno|+ \\ +0\cdot ((\left(-1 \right))^(3+1))\cdot \left| ... \right|+0\cdot ((\left(-1 \right))^(4+1))\cdot \left| ... \desno| \\\kraj (matrica)\]

Jasno je da će samo prvi pojam "preživjeti" - za ostale nisam ni napisao odrednice, jer se one i dalje množe sa nulom. Koeficijent ispred determinante jednak je jedan, tj. ne morate to zapisati.

Ali možete izvući „protiv“ iz sva tri reda determinante. U suštini, faktor (−1) smo izvadili tri puta:

\[\lijevo| \begin(matrix) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end(matrix) \right|=\cdot \left| \begin(matrica) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matrica) \right|\]

Dobili smo malu determinantu 3x3, koja se već može izračunati pomoću pravila trokuta. Ali pokušat ćemo ga rastaviti u prvi stupac - na sreću, posljednji red ponosno sadrži jedan:

\[\begin(align) & \left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matrica) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matrica) \right|\begin(matrix) -7 \\ -2 \\ \uparrow \ \\end(matrica)=\left(-1 \desno)\cdot \left| \begin(matrica) 0 & -4 & -36 \\ 0 & 4 & -4 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matrica) \desno|= \\ & =\cdot \left| \begin(matrix) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matrix) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matrica) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matrica) \right| \\\end(poravnati)\]

Možete se, naravno, i dalje zabaviti i proširiti matricu 2x2 duž reda (kolone), ali vi i ja smo adekvatni, pa ćemo samo izračunati odgovor:

\[\left(-1 \desno)\cdot \left| \begin(matrix) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matrix) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left(16+144 \right)=-160\ ]

Ovako se ruše snovi. Samo −160 u odgovoru. :)

Odgovor: −160.

Nekoliko napomena prije nego što pređemo na posljednji zadatak:

Originalna matrica bila je simetrična u odnosu na sekundarnu dijagonalu. Svi minori u ekspanziji su također simetrični u odnosu na istu sekundarnu dijagonalu.
Strogo govoreći, nismo mogli ništa proširiti, već jednostavno svesti matricu na gornji trokutni oblik, kada se ispod glavne dijagonale nalaze pune nule. Tada je (usput rečeno u strogom skladu sa geometrijskom interpretacijom) determinanta jednaka proizvodu $((a)_(ii))$ - brojeva na glavnoj dijagonali.

Zadatak. Pronađite odrednicu:

\[\lijevo| \begin(matrica) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end(matrica) \right|\ ]

Rješenje. Pa, ovdje prvi red samo traži da bude “nultiran”. Uzmite prvi stupac i oduzmite tačno jednom od svih ostalih:

\[\početi(poravnati) & \lijevo| \begin(matrica) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end(matrica) \right|= \\ & =\lijevo| \begin(matrica) 1 & 1-1 & 1-1 & 1-1 \\ 2 & 4-2 & 8-2 & 16-2 \\ 3 & 9-3 & 27-3 & 81-3 \\ 5 & 25-5 & 125-5 & 625-5 \\\end(matrica) \desno|= \\ & =\left| \begin(matrica) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 6 & 14 \\ 3 & 6 & 24 & 78 \\ 5 & 20 & 120 & 620 \\\end(matrica) \right| \\\end(poravnati)\]

Proširujemo duž prvog reda, a zatim iz preostalih redova izvlačimo zajedničke faktore:

\[\cdot \levo| \begin(matrica) 2 & 6 & 14 \\ 6 & 24 & 78 \\ 20 & 120 & 620 \\\end(matrica) \right|=\cdot \left| \begin(matrica) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end(matrica) \right|\]

Opet vidimo "lijepe" brojeve, ali u prvoj koloni - prema njoj postavljamo odrednicu:

\[\begin(align) & 240\cdot \left| \begin(matrica) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end(matrica) \right|\begin(matrica) \downarrow \\ -1 \\ -1 \ \\end(matrix)=240\cdot \left| \begin(matrica) 1 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & 24 \\\end(matrica) \right|= \\ & =240\cdot ((\left(-1 \ desno))^(1+1))\cdot \lijevo| \begin(matrica) 1 & 6 \\ 3 & 24 \\\end(matrica) \right|= \\ & =240\cdot 1\cdot \left(24-18 \right)=1440 \\\end( poravnati)\]

Red. Problem je riješen.

Odgovor: 1440