Iako se ova veza na prvi pogled čini potpuno neočigledna (naučna matematika je, čini se, jedno, a ekonomija i finansije sasvim drugo), ali kada proučite povijest "otkrića" ovog broja, sve postaje očigledno. Zapravo, bez obzira na to kako su nauke podijeljene u različite naizgled nepovezane grane, opća paradigma će i dalje biti ista (posebno za potrošačko društvo - „potrošačka“ matematika).

Počnimo s definicijom. e je baza prirodnog logaritma, matematička konstanta, iracionalni i transcendentalni broj. Ponekad se broj e naziva Eulerov ili Napierov broj. Označava se malim latiničnim slovom “e”.

Pošto je eksponencijalna funkcija e^x integrisana i diferencirana „u sebe“, logaritmi zasnovani na osnovi e se prihvataju kao prirodni (iako bi sam naziv „prirodnosti“ trebalo da bude pod velikom sumnjom, jer se sva matematika u suštini zasniva na veštački izmišljenim one, odvojene od prirode fiktivnim principima, a nikako na prirodnim).

Ovaj broj se ponekad naziva i Nepier u čast škotskog naučnika Napiera, autora djela "Opis nevjerovatne tablice logaritama" (1614.). Međutim, ovo ime nije sasvim tačno, jer Napier nije direktno koristio sam broj.

Konstanta se prvi put prešutno pojavljuje u dodatku engleskog prijevoda Napierovog gore spomenutog djela, objavljenog 1618. Iza kulisa, jer sadrži samo tabelu prirodnih logaritama određenih iz KINEMATIČKIH razmatranja, ali sama konstanta nije prisutna.

Samu konstantu prvi je izračunao švajcarski matematičar Bernuli (prema zvaničnoj verziji 1690. godine) dok je rešavao problem granične vrednosti PRIHODA OD KAMATA. Otkrio je da ako je prvobitni iznos bio 1 dolar (valuta je potpuno nevažna) i kada se na kraju godine povećao 100% godišnje, konačni iznos bi bio 2 dolara. Ali ako se ista kamata naplaćuje dva puta godišnje, tada se 1 dolar pomnoži sa 1,5 dvaput, što rezultira 1,00 dolara x 1,5² = 2,25 dolara. Složena kamata kvartalno rezultira 1,00 USD x 1,254 = 2,44140625 USD, i tako dalje. Bernuli je pokazao da ako se učestalost obračuna kamate BESKONAČNO POVEĆA, onda prihod od kamata u slučaju složene kamate ima granicu - a ta granica je jednaka 2,71828...

1,00 USD×(1+1/12)12 = 2,613035 USD…

$1.00×(1+1/365)365 = $2.714568… - u limitu broj e

Dakle, broj e zapravo istorijski znači maksimalan mogući GODIŠNJI PROFIT od 100% godišnje i maksimalnu učestalost kapitalizacije kamata. I kakve veze imaju zakoni Univerzuma s tim? Broj e je jedan od važnih gradivnih blokova u temelju monetarne ekonomije kreditnih kamata u potrošačkom društvu, pod kojim je od samog početka, pa i na mentalno-filozofskom nivou, sva matematika koja se danas koristi nekoliko stoljeća prilagođavana i oštrila. prije.

Prva poznata upotreba ove konstante, gdje je označena slovom b, pojavljuje se u Leibnizovim pismima Huygensu, 1690-1691.

Ojler je počeo da koristi slovo e 1727. godine, ono se prvi put pojavljuje u Ojlerovom pismu nemačkom matematičaru Goldbachu od 25. novembra 1731. godine, a prva publikacija sa ovim slovom bio je njegov rad „Mehanika, ili nauka o kretanju, objašnjeno analitički “, 1736. Prema tome, e se obično naziva Ojlerovim brojem. Iako su neki naučnici kasnije koristili slovo c, slovo e se češće koristilo i danas je standardna oznaka.

Ne zna se tačno zašto je odabrano slovo e. Možda je to zbog činjenice da riječ eksponencijalno („indikativno“, „eksponencijalno“) počinje s njom. Drugi prijedlog je da su slova a, b, c i d već bila u prilično uobičajenoj upotrebi u druge svrhe, a e je bilo prvo "slobodno" slovo. Također je važno napomenuti da je slovo e prvo slovo u prezimenu Euler.

Ali u svakom slučaju, reći da se broj e na neki način odnosi na univerzalne zakone Univerzuma i prirode jednostavno je apsurdno. Ovaj broj je, samim konceptom, u početku bio vezan za kreditno-finansijski monetarni sistem, a posebno je kroz ovaj broj (ali ne samo) ideologija kreditno-finansijskog sistema posredno uticala na formiranje i razvoj sve druge matematike, a kroz to sve druge nauke (na kraju krajeva, bez izuzetka, nauka nešto izračunava koristeći pravila i pristupe matematike). Broj e igra važnu ulogu u diferencijalnom i integralnom računu, koji je kroz njega zapravo povezan i sa ideologijom i filozofijom maksimiziranja prihoda od kamata (moglo bi se čak reći da je povezan i podsvjesno). Kako je povezan prirodni logaritam? Uspostavljanje e kao konstante (zajedno sa svim ostalim) dovelo je do formiranja implicitnih veza u mišljenju, prema kojima sva postojeća matematika jednostavno ne može postojati izolovano od monetarnog sistema! I u tom svjetlu nije nimalo iznenađujuće da su se stari Sloveni (i ne samo oni) savršeno dobro snalazili bez konstanti, iracionalnih i transcendentalnih brojeva, pa čak i bez brojeva i brojeva općenito (slova su u antičko doba djelovala kao brojevi), drugačija logika, drugačije razmišljanje u sistemu u nedostatku novca (a samim tim i svega što je s njim povezano) čini sve navedeno jednostavno nepotrebnim.

Opisivanje e kao “konstante približno jednake 2,71828...” je kao da pi zovemo “iracionalnim brojem približno jednakim 3,1415...”. Ovo je nesumnjivo tačno, ali poenta nam još uvek izmiče.

Pi je omjer obima i prečnika, isti za sve krugove. To je osnovna proporcija zajednička svim kružnicama i stoga je uključena u izračunavanje obima, površine, zapremine i površine za krugove, sfere, cilindre itd. Pi pokazuje da su sve kružnice povezane, a da ne spominjemo trigonometrijske funkcije izvedene iz kružnica (sinus, kosinus, tangenta).

Broj e je osnovni omjer rasta za sve kontinuirano rastuće procese. E broj vam omogućava da uzmete jednostavnu stopu rasta (gdje je razlika vidljiva tek na kraju godine) i izračunate komponente ovog indikatora, normalnog rasta, u kojem sa svakom nanosekundom (ili čak i brže) sve malo raste više.

Broj e je uključen i u eksponencijalni i u sistem konstantnog rasta: stanovništvo, radioaktivni raspad, izračun procenta i mnoge, mnoge druge. Čak i sistemi koraka koji ne rastu jednoliko mogu se aproksimirati pomoću broja e.

Baš kao što se bilo koji broj može smatrati "skaliranom" verzijom 1 (osnovna jedinica), bilo koji krug se može smatrati "skaliranom" verzijom jedinične kružnice (sa radijusom 1). I bilo koji faktor rasta može se posmatrati kao "skalarirana" verzija e (faktor rasta "jedinica").

Dakle, broj e nije nasumično uzet broj. Broj e utjelovljuje ideju da su svi kontinuirano rastući sistemi skalirane verzije iste metrike.

Koncept eksponencijalnog rasta

Počnimo sa osvrtom na osnovni sistem koji dubl na određeni vremenski period. Na primjer:

• Bakterije se dijele i "udvostručuju" broj svaka 24 sata
• Dobijamo duplo više rezanaca ako ih prepolovimo
• Vaš novac se udvostručuje svake godine ako ostvarite 100% profit (sreća!)

I izgleda otprilike ovako:

Dijeljenje sa dva ili udvostručavanje je vrlo jednostavna progresija. Naravno, možemo utrostručiti ili četverostruko, ali udvostručavanje je pogodnije za objašnjenje.

Matematički, ako imamo x podjela, na kraju ćemo dobiti 2^x puta više dobrih nego što smo započeli. Ako se napravi samo 1 particija, dobijamo 2^1 puta više. Ako postoje 4 particije, dobijamo 2^4=16 dijelova. Opća formula izgleda ovako:

visina= 2 x

Drugim riječima, udvostručenje je povećanje od 100%. Ovu formulu možemo prepisati ovako:

visina= (1+100%) x

Ovo je ista jednakost, samo smo podijelili “2” na sastavne dijelove, što je u suštini ovaj broj: početna vrijednost (1) plus 100%. Pametno, zar ne?

Naravno, možemo zamijeniti bilo koji drugi broj (50%, 25%, 200%) umjesto 100% i dobiti formulu rasta za ovaj novi koeficijent. Opća formula za x perioda vremenske serije bit će:

visina = (1+rast)x

To jednostavno znači da koristimo stopu povrata, (1 + dobitak), "x" puta za redom.

Pogledajmo izbliza

Naša formula pretpostavlja da se rast odvija u diskretnim koracima. Naše bakterije čekaju i čekaju, a onda bam!, a u zadnji čas se udvostruče. Naš profit na kamatu na depozit magično se pojavljuje tačno nakon 1 godine. Na osnovu gore napisane formule, profit raste u koracima. Zelene tačke se pojavljuju iznenada.

Ali svijet nije uvijek ovakav. Ako uvećamo, možemo vidjeti da se naši prijatelji bakterije neprestano dijele:

Zeleni momak ne nastaje ni iz čega: on polako izrasta iz plavog roditelja. Nakon 1 vremenskog perioda (24 sata u našem slučaju), zeleni prijatelj je već potpuno zreo. Sazrevši, postaje punopravni plavi član stada i može sam stvoriti nove zelene ćelije.

Hoće li ova informacija na bilo koji način promijeniti našu jednačinu?

Ne. U slučaju bakterija, poluformirane zelene ćelije još uvijek ne mogu učiniti ništa dok ne odrastu i potpuno se odvoje od svojih plavih roditelja. Dakle, jednadžba je tačna.

Prije nego što uvedemo koncept prirodnog logaritma, razmotrimo koncept konstantnog broja $e$.

Broj $e$

Definicija 1

Broj $e$ je matematička konstanta koja je transcendentalni broj i jednaka je $e\približno 2,718281828459045\ldots$.

Definicija 2

Transcendentno je broj koji nije korijen polinoma s cijelim koeficijentima.

Napomena 1

Poslednja formula opisuje druga divna granica.

Broj e se također naziva Ojlerovi brojevi, a ponekad Napier brojevi.

Napomena 2

Za pamćenje prvih cifara broja $e$ često se koristi sljedeći izraz: "2$, 7$, dva puta Lav Tolstoj". Naravno, da bismo ga mogli koristiti, potrebno je zapamtiti da je Lav Tolstoj rođen u $1828$.To su brojevi koji se dva puta ponavljaju u vrijednosti broja $e$ iza cjelobrojnog dijela $2$ i decimalni dio $7$.

Počeli smo da razmatramo koncept broja $e$ prilikom proučavanja prirodnog logaritma upravo zato što je on u osnovi logaritma $\log_(e)⁡a$, koji se obično naziva prirodno i napišite u obliku $\ln ⁡a$.

Prirodni logaritam

Često se u proračunima koriste logaritmi čija je osnova broj $e$.

Definicija 4

Poziva se logaritam sa osnovom $e$ prirodno.

One. prirodni logaritam se može označiti kao $\log_(e)⁡a$, ali u matematici je uobičajeno koristiti notaciju $\ln ⁡a$.

Svojstva prirodnog logaritma

Jer logaritam na bilo koju bazu jedinice jednak je $0$, tada je prirodni logaritam jedinice jednak $0$:

Prirodni logaritam broja $e$ jednak je jedan:

Prirodni logaritam proizvoda dva broja jednak je zbroju prirodnih logaritama ovih brojeva:

$\ln ⁡(ab)=\ln ⁡a+\ln ⁡b$.

Prirodni logaritam količnika dva broja jednak je razlici prirodnih logaritama ovih brojeva:

$\ln⁡\frac(a)(b)=\ln ⁡a-\ln⁡ b$.

Prirodni logaritam stepena broja može se predstaviti kao proizvod eksponenta i prirodnog logaritma podlogaritamskog broja:

$\ln⁡ a^s=s \cdot \ln⁡ a$.

Primjer 1

Pojednostavite izraz $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)$.

Rješenje.

Primijenimo svojstvo logaritma proizvoda na prvi logaritam u brojniku i nazivniku, a svojstvo logaritma stepena na drugi logaritam brojnika i nazivnika:

$\frac(2 \ln ⁡4e-\ln⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=\frac(2(\ln ⁡4+\ln ⁡e) -\ln⁡ 4^2)(\ln ⁡5+\ln ⁡e-\frac(1)(2) \ln⁡ 5^2)=$

Hajde da otvorimo zagrade i predstavimo slične pojmove, a takođe primenimo svojstvo $\ln ⁡e=1$:

$=\frac(2 \ln ⁡4+2-2 \ln ⁡4)(\ln ⁡5+1-\frac(1)(2) \cdot 2 \ln ⁡5)=\frac(2)( \ln ⁡5+1-\ln ⁡5)=2$.

Odgovori: $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=2$.

Primjer 2

Pronađite vrijednost izraza $\ln⁡ 2e^2+\ln \frac(1)(2e)$.

Rješenje.

Primijenimo formulu za zbir logaritama:

$\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=\ln 2e^2 \cdot \frac(1)(2e)=\ln ⁡e=1$.

Odgovori: $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=1$.

Primjer 3

Izračunajte vrijednost logaritamskog izraza $2 \lg ⁡0,1+3 \ln⁡ e^5$.

Rješenje.

Primijenimo svojstvo logaritma stepena:

$2 \lg ⁡0,1+3 \ln e^5=2 \lg 10^(-1)+3 \cdot 5 \ln ⁡e=-2 \lg ⁡10+15 \ln ⁡e=-2+ 15= $13.

Odgovori: $2 \lg ⁡0,1+3 \ln e^5=13$.

Primjer 4

Pojednostavite logaritamski izraz $\ln \frac(1)(8)-3 \ln ⁡4$.

$3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=3 \ln (\frac(3)(e))^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \ frac(3)(e)-2 \cdot 3 \ln ⁡3=6 \ln \frac(3)(e)-6 \ln ⁡3=$

Na prvi logaritam primjenjujemo svojstvo logaritma količnika:

$=6(\ln ⁡3-\ln ⁡e)-6 \ln⁡ 3=$

Otvorimo zagrade i predstavimo slične pojmove:

$=6 \ln ⁡3-6 \ln ⁡e-6 \ln ⁡3=-6$.

Odgovori: $3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=-6$.

Svaka od funkcija E testira navedenu vrijednost i vraća TRUE ili FALSE ovisno o rezultatu. Na primjer, funkcija PRAZNO vraća Booleovu vrijednost TRUE ako je vrijednost koja se testira referenca na praznu ćeliju; u suprotnom, vraća se logička vrijednost FALSE.

Funkcije E se koriste za dobivanje informacija o vrijednosti prije izvođenja izračuna ili druge radnje na njoj. Na primjer, da biste izvršili drugu radnju kada dođe do greške, možete koristiti funkciju GREŠKA u kombinaciji sa funkcijom IF:

= IF( GREŠKA(A1); "Došlo je do greške."; A1*2)

Ova formula provjerava da li postoji greška u ćeliji A1. Kada dođe do greške, funkcija IF vraća poruku "Došlo je do greške." Ako nema grešaka, funkcija IF izračunava proizvod A1*2.

Sintaksa

EMPTY (vrijednost)

EOS (vrijednost)

GREŠKA (vrijednost)

ELOGIC(vrijednost)

UNM(vrijednost)

NETTEXT(vrijednost)

ETEXT(vrijednost)

argument funkcije E su opisani u nastavku.

značenje Potreban argument. Vrijednost koja se provjerava. Vrijednost ovog argumenta može biti prazna ćelija, vrijednost greške, Booleova vrijednost, tekst, broj, referenca na bilo koji od navedenih objekata ili ime takvog objekta.

Funkcija	Vraća TRUE if
	Argument vrijednosti se odnosi na praznu ćeliju
	Argument vrijednosti se odnosi na bilo koju vrijednost greške osim #N/A
	Argument vrijednosti se odnosi na bilo koju vrijednost greške (#N/A, #VRIJEDNOST!, #REF!, #DIV/0!, #NUM!, #NAME?, ili #EMPTY!)
	Argument vrijednosti se odnosi na logičku vrijednost
	Argument vrijednosti odnosi se na vrijednost greške #N/A (vrijednost nije dostupna)
ENETEXT	Argument vrijednosti se odnosi na bilo koji element koji nije tekst. (Imajte na umu da funkcija vraća TRUE ako se argument odnosi na praznu ćeliju.)
	Argument vrijednosti se odnosi na broj
	Argument vrijednosti se odnosi na tekst

Bilješke

Argumenti u funkcijama E nisu konvertovani. Svi brojevi u navodnicima se tretiraju kao tekst. Na primjer, u većini drugih funkcija koje zahtijevaju numerički argument, tekstualna vrijednost"19" se pretvara u broj 19. Međutim, u formuli ISBROJ("19") ova vrijednost se ne pretvara iz teksta u broj i funkciju ISNUMBER vraća FALSE.

Korištenje funkcija E Pogodno je provjeriti rezultate proračuna u formulama. Kombinacija ovih karakteristika sa funkcijom IF, možete pronaći greške u formulama (pogledajte primjere ispod).

Primjeri

Primjer 1

Kopirajte uzorke podataka iz sljedeće tablice i zalijepite ih u ćeliju A1 novog Excel radnog lista. Da biste prikazali rezultate formula, odaberite ih i pritisnite F2, a zatim pritisnite Enter. Ako je potrebno, promijenite širinu kolona da vidite sve podatke.

Kopirajte uzorke podataka iz donje tablice i zalijepite ih u ćeliju A1 novog Excel radnog lista. Da biste prikazali rezultate formula, odaberite ih i pritisnite F2, a zatim pritisnite Enter. Ako je potrebno, promijenite širinu kolona da vidite sve podatke.

Podaci
Formula	Opis	Rezultat
PRAZNO (A2)	Provjerava da li je ćelija C2 prazna
GREŠKA (A4)	Provjerava da li je vrijednost u ćeliji A4 (#REF!) vrijednost greške
	Provjerava da li je vrijednost u ćeliji A4 (#REF!) vrijednost greške #N/A
	Provjerava da li je vrijednost u ćeliji A6 (#N/A) vrijednost greške #N/A
	Provjerava da li je vrijednost u ćeliji A6 (#N/A) vrijednost greške
BROJ (A5)	Testira da li je vrijednost u ćeliji A5 (330,92) broj
ETEXT(A3)	Provjerava da li je vrijednost u ćeliji A3 ("Regija1") tekstualna

y (x) = e x, čiji je izvod jednak samoj funkciji.

Eksponent je označen kao , ili .

Broj e

Osnova stepena eksponenta je broj e. Ovo je iracionalan broj. To je približno jednako
e ≈ 2,718281828459045...

Broj e je određen kroz granicu niza. Ovo je tzv druga divna granica:
.

Broj e se također može predstaviti kao niz:
.

Eksponencijalni graf

Eksponencijalni graf, y = e x .

Grafikon prikazuje eksponencijalnu vrijednost e do stepena X.
y (x) = e x
Grafikon pokazuje da eksponent monotono raste.

Formule

Osnovne formule su iste kao i za eksponencijalnu funkciju sa bazom stepena e.

;
;
;

Izraz eksponencijalne funkcije sa proizvoljnom bazom stepena a kroz eksponencijal:
.

Privatne vrijednosti

Neka y (x) = e x. Onda
.

Svojstva eksponenta

Eksponent ima svojstva eksponencijalne funkcije sa osnovom stepena e > 1 .

Domen, skup vrijednosti

Eksponent y (x) = e x definisano za sve x.
Njegov domen definicije:
- ∞ < x + ∞ .
Njegova mnoga značenja:
0 < y < + ∞ .

Ekstremi, povećanje, smanjenje

Eksponencijal je monotono rastuća funkcija, tako da nema ekstrema. Njegova glavna svojstva prikazana su u tabeli.

Inverzna funkcija

Inverzna vrijednost eksponenta je prirodni logaritam.
;
.

Derivat eksponenta

Derivat e do stepena X jednak e do stepena X :
.
Derivat n-tog reda:
.
Izvođenje formula > > >

Integral

Kompleksni brojevi

Operacije sa kompleksnim brojevima se izvode pomoću Ojlerove formule:
,
gdje je imaginarna jedinica:
.

Izrazi kroz hiperboličke funkcije

; ;
.

Izrazi koji koriste trigonometrijske funkcije

; ;
;
.

Proširenje serije snaga

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, „Lan“, 2009.