1-ma'ruza Ikki va bir necha o'zgaruvchili funksiyalar nazariyasi (TFNP). 1. FNP tushunchasi. 2. FNP chegarasi. 3. FNPning uzluksizligi. 4. Birinchi tartibli qisman hosilalar. 5. Kompleks funktsiyaning hosilasi. 6. Yashirin funksiyaning hosilasi. 7. Yuqori tartibli hosilalar.

1. FNP tushunchasi. D to'plam tekislikdagi mintaqa bo'lsin. Ta'rif. Agar raqam bog'langan bo'lsa, ular D sonli funktsiya D to'plamida - funktsiyani aniqlash sohasi bo'yicha berilganligini aytishadi.

Agar nuqta bo'lsa, u holda xaritalash ikkita koordinatali, 2 o'zgaruvchining funktsiyasi bilan belgilanadi.Bunday funktsiyaning grafigi x, y, z koordinatalari bo'lgan nuqtalar to'plami bo'ladi - fazodagi sirt.

f(x, y) ning geometrik talqini. D – tekislikning bir qismi 0 XY z D – f(x, y) funksiya grafigining 0 XY z f O x D x y y tekislikka proyeksiyasi Funksiya grafigi fazodagi sirtdir.

2. Ikki o‘zgaruvchili funksiya chegarasi. Nuqtaga qo'shni bo'lgan nuqtalar to'plami deyilsin

Ta'rif. Nuqta bo'lsin Agar u holda P nuqta D to'plamning ichki nuqtasi deb atalsin. Ta'rif. Agar barcha D nuqtalari ushbu to'plamga ichki bo'lsa, u holda u ochiq deb ataladi. Ta'rif. Nuqtani o'z ichiga olgan har qanday ochiq to'plam uning qo'shnisi deb ataladi.

Ta'rif. Ushbu to'plamda yotgan uzluksiz egri chiziq bilan bog'lanishi mumkin bo'lgan har qanday ikkita nuqta to'plami bog'langan deyiladi. Ta'rif. Ochiq bog'langan to'plam mintaqa deyiladi.

Nuqtaga yaqin joylashgan funktsiya ba'zi bir nuqtada aniqlansin (nuqtaning o'zida shart emas) A soni funktsiyaning chegarasi deyiladi, chunki u harakat qiladi.

Belgilanish. Izoh. Intilish har qanday qonun va yo'nalish bo'yicha sodir bo'lishi mumkin, shu bilan birga barcha cheklovchi qiymatlar mavjud va A ga teng.

Misol. Funktsiyani ko'rib chiqamiz t.(0, 0) dan o'tuvchi tendentsiyani ko'rib chiqamiz: to'g'ri chiziqlar bo'ylab A ning qiymati qanday bo'lishiga bog'liq.

3. FNPning uzluksizligi. Funktsiya nuqtada uzluksiz deb ataladi, agar 1-3 shartlardan kamida bittasi buzilgan bo'lsa, u uzilish nuqtasidir.

Tanaffus nuqtalari ajratilishi mumkin, sinish chiziqlarini hosil qiladi, sirtlarni sindiradi. Misol. a) uzilish nuqtasi – (izolyatsiya qilingan) b) - uzilish chizig‘i

Ta'rif. Farq funktsiyaning umumiy o'sishi deb ataladi. Ta'rif. Chegaralar funksiyaning qisman hosilalari deb ataladi (ular mavjud bo'lsa).

FNP ning qisman hosilalarini hisoblash qoidalari bitta o'zgaruvchining funktsiyasi uchun tegishli qoidalarga mos keladi. Izoh. O'zgaruvchilardan biriga nisbatan FNP hosilasini hisoblashda qolganlari doimiylar sifatida qabul qilinadi. Misol.

Ta'rif. Funktsiyaning nuqtadagi umumiy o'sishning asosiy (chiziqli) qismi deyiladi to'liq differentsial bu nuqtada funktsiyalarni bajaradi.

5. Kompleks funktsiyaning hosilasi. Funktsiyani ko'rib chiqaylik, bu erda ya'ni z x, y ning kompleks funksiyasi. Kompleks funktsiyaning x va y o'zgaruvchilarga nisbatan qisman hosilalari quyidagicha hisoblanadi: (bir o'zgaruvchining kompleks funksiyasidagi kabi).

Jami hosila a) bu yerda ya’ni z bitta argumentning kompleks funksiyasi t. U holda t argumentiga nisbatan funksiyaning to‘liq hosilasi bo‘ladi.

Tabiatshunoslik va iqtisoddagi ko'plab naqshlarni o'rganayotganda, ikkita (yoki undan ko'p) mustaqil o'zgaruvchilarning funktsiyalariga duch keladi.

Ta'rif (ikki o'zgaruvchili funktsiya uchun).Mayli X , Y Va Z - ko'pchilik. Agar har bir juftlik (x, y) mos ravishda to'plamdagi elementlar X Va Y qandaydir qonun asosida f bitta va faqat bitta elementga mos keladi z ko'pchilikdan Z , keyin shunday deyishadi ikkita o'zgaruvchining funksiyasi berilgan z = f(x, y) .

Umuman ikki oʻzgaruvchili funksiyaning sohasi geometrik jihatdan ma'lum nuqtalar to'plami bilan ifodalanishi mumkin ( x; y) tekislik xOy .

Bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalariga taalluqli asosiy ta'riflar mos keladiganlarning umumlashtirilishi hisoblanadi bitta o'zgaruvchining funksiyasi uchun ta'riflar .

Bir guruh D chaqirdi funksiya sohasi z, va to'plam E – uning ko'p ma'nolari. O'zgaruvchilar x Va y funktsiyaga nisbatan z uning argumentlari deyiladi. O'zgaruvchan z qaram o'zgaruvchi deb ataladi.

Argumentlarning shaxsiy qiymatlari

funksiyaning xususiy qiymatiga mos keladi

Bir nechta o'zgaruvchilardan iborat funksiya sohasi

Agar bir nechta o'zgaruvchining funktsiyasi (masalan, ikkita o'zgaruvchi) formula bilan berilgan z = f(x, y) , Bu uning ta'rif sohasi - tekislikning barcha shunday nuqtalarining to'plami x0y, buning uchun ifoda f(x, y) mantiqiy va qabul qiladi haqiqiy qadriyatlar. Bir nechta o'zgaruvchilar funksiyasi sohasi uchun umumiy qoidalar uchun umumiy qoidalardan olingan bitta o'zgaruvchining funksiyasini aniqlash sohasi. Farqi shundaki, ikkita o‘zgaruvchining funksiyasi uchun aniqlanish sohasi bir o‘zgaruvchining funksiyasi kabi to‘g‘ri chiziq emas, balki tekislikdagi ma’lum nuqtalar to‘plamidir. Uch o'zgaruvchili funktsiya uchun ta'rif sohasi uch o'lchovli fazodagi mos nuqtalar to'plamidir va funktsiya uchun n o'zgaruvchilar - abstraktning tegishli nuqtalari to'plami n- o'lchovli fazo.

Ildizli ikkita o'zgaruvchili funktsiya sohasi n th daraja

Ikki o'zgaruvchining funktsiyasi va formulasi bilan berilgan holatda n - natural son :

Agar n juft son bo'lsa, u holda funktsiyani aniqlash sohasi radikal ifodaning noldan katta yoki teng bo'lgan barcha qiymatlariga mos keladigan tekislik nuqtalari to'plamidir, ya'ni

Agar n toq son bo'lsa, u holda funktsiyani aniqlash sohasi har qanday qiymatlar to'plamidir, ya'ni butun tekislik. x0y .

Butun ko'rsatkichli ikkita o'zgaruvchining daraja funksiyasining sohasi

:

Agar a- ijobiy, u holda funksiyani aniqlash sohasi butun tekislikdir x0y ;

Agar a- manfiy, u holda funktsiyani aniqlash sohasi noldan farq qiluvchi qiymatlar to'plamidir: .

Kasr ko'rsatkichli ikkita o'zgaruvchining daraja funksiyasining sohasi

Funktsiya formula bilan berilgan holatda :

agar musbat bo'lsa, u holda funktsiyani aniqlash sohasi tekislikdagi nuqtalar to'plami bo'lib, u noldan katta yoki teng qiymatlarni oladi: ;

agar - manfiy bo'lsa, u holda funktsiyani aniqlash sohasi tekislikdagi noldan katta qiymatlarni qabul qiladigan nuqtalar to'plamidir: .

Ikki o'zgaruvchining logarifmik funksiyasini aniqlash sohasi

Ikki o‘zgaruvchining logarifmik funksiyasi Agar uning argumenti ijobiy bo'lsa, aniqlanadi, ya'ni uning ta'rif sohasi tekislikdagi noldan katta qiymatlarni qabul qiladigan nuqtalar to'plamidir: .

Ikki o'zgaruvchining trigonometrik funksiyalarini aniqlash sohasi

Funktsiya domeni - butun samolyot x0y .

Funktsiya domeni - butun samolyot x0y .

Funktsiyani aniqlash sohasi butun tekislikdir x0y

Funktsiya domeni - butun samolyot x0y, qiymat qabul qiladigan raqamlar juftligi bundan mustasno.

Ikki o'zgaruvchining teskari trigonometrik funksiyalarini aniqlash sohasi

Funktsiya domeni .

Funktsiya domeni - tekislikdagi nuqtalar to'plami .

Funktsiya domeni - butun samolyot x0y .

Funktsiya domeni - butun samolyot x0y .

Ikki o'zgaruvchining funktsiyasi sifatida kasrni aniqlash sohasi

Agar funktsiya formula bilan berilgan bo'lsa, u holda funktsiyani aniqlash sohasi tekislikning barcha nuqtalari bo'ladi.

Ikki o'zgaruvchining chiziqli funksiyasining sohasi

Agar funktsiya shakl formulasi bilan berilgan bo'lsa z = bolta + tomonidan + c , u holda funksiyaning aniqlanish sohasi butun tekislikdir x0y .

1-misol.

Yechim. Ta'rif sohasi qoidalariga ko'ra, biz ikki tomonlama tengsizlikni tuzamiz

Biz butun tengsizlikni ko'paytiramiz va olamiz

Olingan ifoda ikkita o'zgaruvchining ushbu funksiyasini aniqlash sohasini belgilaydi.

2-misol. Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning sohasini toping.

(1-ma'ruza)

2 ta o‘zgaruvchining funksiyalari.

Har qanday (x,y) G qiymatlar juftligi uchun z o'zgaruvchining ma'lum bir qiymati bog'langan bo'lsa, z o'zgaruvchisi 2 o'zgaruvchining f(x,y) funktsiyasi deb ataladi.

Def. P 0 nuqtaning qo'shnisi - markazi p 0 nuqtada va radiusli doira. = (x-x 0 ) 2 +(oooh 0 ) 2

ixtiyoriy kichik sonda ()>0 sonni belgilash mumkinki, x va y ning barcha qiymatlari uchun t.p dan p0 gacha bo'lgan masofa kichik bo'lsa, quyidagi tengsizlik amal qiladi: f(x,y) A , ya'ni. radiusli p 0 nuqtasiga yaqin joylashgan barcha p nuqtalar uchun funktsiyaning qiymati A dan mutlaq qiymatdan kamroq farq qiladi. Va bu shuni anglatadiki, p nuqtasi p nuqtaga yaqinlashganda, 0 tomonidan har kim

Funktsiyaning uzluksizligi.

z=f(x,y) funksiya berilsin, p(x,y) joriy nuqta, p 0 (x 0 ,y 0) ko‘rilayotgan nuqta.

Def.

3) limit funksiyaning shu nuqtadagi qiymatiga teng: = f(x 0 ,y 0);

Lim f(x,y) = f(x 0 ,y 0 );

pp 0

Qisman hosila.

Keling, x argumentiga x ning o'sishini beraylik; x+x, biz p 1 (x+x,y) nuqtasini olamiz, p nuqtadagi funktsiya qiymatlari orasidagi farqni hisoblaymiz:

x z = f(p1)-f(p) = f(x+x,y) - f(x,y) funktsiyaning x argumentining o'sishiga mos keladigan qisman o'sishi.

z= Lim x z

z = Lim f(x+x,y) - f(x,y)

X x0 X

Bir nechta o'zgaruvchilar funksiyasini aniqlash

Turli xil bilim sohalariga oid ko'plab masalalarni ko'rib chiqishda, qachon o'zgaruvchilar orasidagi bunday bog'liqlikni o'rganish kerak raqamli qiymatlar ulardan biri butunlay boshqa bir nechta qiymatlar bilan belgilanadi.

Masalan Jismning jismoniy holatini o'rganishda uning xususiyatlarining nuqtadan nuqtaga o'zgarishini kuzatish kerak. Tananing har bir nuqtasi uchta koordinata bilan belgilanadi: x, y, z. Shuning uchun, aytaylik, zichlik taqsimotini o'rganib, biz tananing zichligi uchta o'zgaruvchiga bog'liq degan xulosaga kelamiz: x, y, z. Agar tananing jismoniy holati t vaqt davomida o'zgarsa, u holda bir xil zichlik to'rtta o'zgaruvchining qiymatlariga bog'liq bo'ladi: x, y, z, t.

Yana bir misol: ma'lum turdagi mahsulot birligini ishlab chiqarish uchun ishlab chiqarish xarajatlari o'rganiladi. Bo'lsin:

x - materiallar narxi,

y - to'lov xarajatlari ish haqi xodimlar,

z - amortizatsiya to'lovlari.

Ko'rinib turibdiki, ishlab chiqarish xarajatlari x, y, z ko'rsatilgan parametrlarning qiymatlariga bog'liq.

Ta'rif 1.1 Har bir qiymat to'plami uchun "n" o'zgaruvchilari bo'lsa

ushbu to'plamlarning ba'zi D to'plamidan z o'zgaruvchisining yagona qiymatiga mos keladi, keyin ular funktsiya D to'plamida berilganligini aytishadi.

"n" o'zgaruvchilari.

1.1 taʼrifda koʻrsatilgan D toʻplami ushbu funksiyaning taʼrif sohasi yoki mavjudlik sohasi deb ataladi.

Agar ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi ko'rib chiqilsa, u holda raqamlar to'plami

qoida tariqasida, (x, y) belgilanadi va Oksi koordinata tekisligining nuqtalari sifatida talqin qilinadi va ikkita o'zgaruvchining z = f (x, y) funktsiyasini aniqlash sohasi ma'lum nuqtalar to'plami sifatida tasvirlanadi. Oksi tekisligida.

Demak, masalan, funksiyani aniqlash sohasi

- koordinatalari munosabatni qanoatlantiradigan Oksi tekisligi nuqtalari to'plami

ya'ni, radiusi r bo'lgan aylana bo'lib, uning markazi koordinata boshida joylashgan.

Funktsiya uchun

ta'rif sohasi - shartni qanoatlantiradigan nuqtalar

ya'ni berilgan doiraga nisbatan tashqi.

Ko'pincha ikkita o'zgaruvchining funktsiyalari bevosita, ya'ni tenglama sifatida ko'rsatiladi.

uchta o'zgaruvchini bog'lash. Bunda x, y, z kattaliklarning har birini qolgan ikkitasining yashirin funksiyasi sifatida qarash mumkin.

Ikki oʻzgaruvchili z = f (x, y) funksiyaning geometrik tasviri (grafigi) Oxyz uch oʻlchamli fazodagi P (x, y, z) nuqtalar toʻplami boʻlib, ularning koordinatalari z = f tenglamani qanoatlantiradi. (x, y).

Uzluksiz argumentlar funksiyasining grafigi, qoida tariqasida, Oxyz fazodagi ma'lum sirt bo'lib, u Oxy koordinata tekisligiga z= f (x, y) funksiyani aniqlash sohasiga proyeksiyalanadi.

Demak, masalan, (1.1-rasm) funksiyaning grafigi

- sharning yuqori yarmi va funksiya grafigi

Sferaning pastki yarmi.

Jadval chiziqli funksiya z = ax + by + s Oxyz fazodagi tekislik, z = const funksiyaning grafigi esa Oxyz koordinata tekisligiga parallel tekislikdir.

E'tibor bering, uch yoki undan ortiq o'zgaruvchining funktsiyasini uch o'lchovli fazoda grafik shaklida vizual ravishda tasvirlash mumkin emas.

Keyinchalik, biz asosan ikki yoki uchta o'zgaruvchining funktsiyalarini ko'rib chiqish bilan cheklanamiz, chunki ko'proq (lekin chekli) o'zgaruvchilar sonining holatini ko'rib chiqish xuddi shunday amalga oshiriladi.

Bir nechta o'zgaruvchilar funksiyasining ta'rifi.

(1-ma'ruza)

Agar har qanday qiymatlar to'plami (x,y,z,..,t) uchun u o'zgaruvchining aniq belgilangan qiymati bog'langan bo'lsa, u o'zgaruvchisi f(x,y,z,..,t) deb ataladi.

O'zgaruvchining qiymatlari yig'indisi funktsiyani aniqlash sohasi deb ataladi.

G - to'plam (x,y,z,..,t) - ta'rif sohasi.

2 ta o‘zgaruvchining funksiyalari.

z o'zgaruvchisi 2 o'zgaruvchining f(x,y) funksiyasi deyiladi, agar har qanday (x,y) qiymatlar juftligi uchun O G z o'zgaruvchining ma'lum bir qiymati bog'langan bo'lsa.

2 ta o‘zgaruvchili funksiya chegarasi.

z=f(x,y) funksiya berilsin, p(x,y) joriy nuqta, p 0 (x 0 ,y 0) ko‘rilayotgan nuqta.

Def. P 0 nuqtaning qo'shnisi - markazi p 0 nuqtada va radiusi r bo'lgan doira. r= Ö (x-x 0 ) 2 +(oooh 0 ) 2 Ø

A soni, agar mavjud bo'lsa, p 0 nuqtada | funksiyaning chegarasi deb ataladi

ixtiyoriy ravishda kichik e soni uchun r (e)>0 raqamini belgilash mumkinki, x va y ning barcha qiymatlari uchun t. p dan p0 gacha bo'lgan masofa r dan kichik bo'lsa, quyidagi tengsizlik amal qiladi: ½f(x,y) - A½0, radiusi r, funksiya qiymati A dan mutlaq qiymatda e dan kam farq qiladi. Va bu shuni anglatadiki, p nuqtasi p nuqtaga yaqinlashganda, 0 tomonidan har kim yo'l bo'lsa, funktsiyaning qiymati A soniga cheksiz yaqinlashadi.

Funktsiyaning uzluksizligi.

z=f(x,y) funksiya berilsin, p(x,y) joriy nuqta, p 0 (x 0 ,y 0) ko‘rilayotgan nuqta.

Def. Agar 3 shart bajarilsa, z=f(x,y) funksiya t p 0 da uzluksiz deyiladi:

1) funksiya shu nuqtada aniqlanadi. f(p 0) = f(x,y);

2) f-i ning bu nuqtada chegarasi bor.

3) limit funksiyaning shu nuqtadagi qiymatiga teng: b = f(x 0 ,y 0);

Lim f(x,y)= f(x 0 ,y 0 ) ;

pà p 0

Agar uzluksizlik shartlaridan kamida bittasi buzilgan bo'lsa, u holda p nuqta uzilish nuqtasi deb ataladi. 2 ta o'zgaruvchining funktsiyalari uchun alohida tanaffus nuqtalari va butun tanaffus chiziqlari bo'lishi mumkin.

Ko'p sonli o'zgaruvchilarning funktsiyalari uchun chegara va uzluksizlik tushunchasi ham xuddi shunday ta'riflangan.

Ikki o'zgaruvchidan iborat funksiyadan farqli o'laroq, uchta o'zgaruvchidan iborat funktsiyani grafik tarzda tasvirlab bo'lmaydi.

3 o'zgaruvchili funksiya uchun uzilish nuqtalari, uzilish chiziqlari va uzilish yuzalari bo'lishi mumkin.

Qisman hosila.

z=f(x,y) funksiyani ko‘rib chiqamiz, p(x,y) ko‘rib chiqilayotgan nuqta.

X argumentiga Dx ortishini beraylik; x+Dx, p 1 (x+Dx,y) nuqtasini olamiz, p nuqtadagi funktsiya qiymatlari farqini hisoblaymiz:

D x z = f(p1)-f(p) = f(x+Dx,y) - f(x,y) - x argumentining o'sishiga mos keladigan funksiyaning qisman o'sishi.

Def. z=f(x,y) funksiya hosilasining x o‘zgaruvchisiga nisbatan ko‘rsatkichi bu funktsiyaning x o‘zgaruvchiga nisbatan qisman o‘sishning ushbu o‘sishga nisbati chegarasi deyiladi. nol.

¶ z= Lim D x z

à ¶ z = Lim f(x+ D x,y) - f(x,y)

¶ x Dx® 0 Dx

Xuddi shunday, y o'zgaruvchiga nisbatan hosilaning qismini aniqlaymiz.

Qisman hosilalarni topish.

Qisman hosilalarni aniqlashda har safar faqat bitta o'zgaruvchi o'zgaradi, qolgan o'zgaruvchilar doimiy deb hisoblanadi. Natijada, har safar biz faqat bitta o'zgaruvchining funktsiyasini ko'rib chiqamiz va qisman hosila bitta o'zgaruvchining ushbu funksiyasining odatiy hosilasi bilan mos keladi. Demak, qisman hosilalarni topish qoidasi: ko'rib chiqilayotgan o'zgaruvchiga nisbatan qisman hosila shu bitta o'zgaruvchining funksiyasining oddiy hosilasi sifatida izlanadi, qolgan o'zgaruvchilar doimiylar sifatida qaraladi. Bunday holda, bitta o'zgaruvchining funktsiyasini (yig'indi, mahsulot, qismning hosilasi) farqlash uchun barcha formulalar haqiqiy bo'ladi.

Bir necha o'zgaruvchili funksiya haqida tushuncha

Agar n o‘lchamli fazo nuqtalari to‘plamidan (X) har bir X = (x 1, x 2, ... x n) nuqta z o‘zgaruvchining bitta aniq belgilangan qiymati bilan bog‘langan bo‘lsa, ular berilgan deyishadi. n o‘zgaruvchining funksiyasi z = f(x 1, x 2, ...x n) = f (X).

Bunda x 1, x 2, ... x n o'zgaruvchilar chaqiriladi mustaqil o'zgaruvchilar yoki argumentlar funktsiyalari, z - qaram o'zgaruvchi, va f belgisini bildiradi yozishmalar qonuni. To'plam (X) deyiladi ta'rif sohasi funktsiyalar (bu n o'lchovli fazoning ma'lum bir kichik to'plami).

Masalan, z = 1/(x 1 x 2) funksiya ikki o‘zgaruvchining funksiyasidir. Uning argumentlari x 1 va x 2 o'zgaruvchilari, z esa qaram o'zgaruvchidir. Ta'rif sohasi butun koordinata tekisligidir, x 1 = 0 va x 2 = 0 to'g'ri chiziqlar bundan mustasno, ya'ni. abscissa va ordinata o'qlarisiz. Ta'rif sohasining istalgan nuqtasini funktsiyaga almashtirib, moslik qonuniga ko'ra biz ma'lum bir sonni olamiz. Masalan, (2; 5) nuqtani olib, ya'ni. x 1 = 2, x 2 = 5, biz olamiz
z = 1/(2*5) = 0,1 (ya’ni z(2; 5) = 0,1).

z = a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n + b ko‘rinishdagi funksiya, bunda a 1, a 2,... va n, b doimiy sonlar deyiladi. chiziqli. Uni x 1, x 2, ... x n o‘zgaruvchilarning n ta chiziqli funksiyalarining yig‘indisi deb hisoblash mumkin. Boshqa barcha funktsiyalar chaqiriladi chiziqli bo'lmagan.

Masalan, z = 1/(x 1 x 2) funksiya chiziqli emas, z = funksiyasi
= x 1 + 7x 2 - 5 – chiziqli.

Har qanday funktsiya z = f (X) = f (x 1, x 2, ... x n) bitta o'zgaruvchining n ta funktsiyasi bilan bog'lanishi mumkin, agar biz bittadan tashqari barcha o'zgaruvchilarning qiymatlarini aniqlasak.

Masalan, uchta o'zgaruvchining funksiyalari z = 1/(x 1 x 2 x 3) bitta o'zgaruvchining uchta funktsiyasi bilan bog'lanishi mumkin. Agar x 2 = a va x 3 = b ni tuzatsak, u holda funktsiya z = 1/(abx 1) ko'rinishini oladi; agar x 1 = a va x 3 = b ni tuzatsak, u z = 1/(abx 2) ko'rinishini oladi; agar x 1 = a va x 2 = b ni tuzatsak, u z = 1/(abx 3) ko'rinishini oladi. Bunday holda, barcha uchta funktsiya bir xil shaklga ega. Har doim ham shunday emas. Misol uchun, agar ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi uchun biz x 2 = a ni tuzatsak, u z = 5x 1 a ko'rinishini oladi, ya'ni. quvvat funktsiyasi va agar biz x 1 = a ni tuzatsak, u holda u shaklni oladi, ya'ni. eksponensial funktsiya.

Jadval ikki oʻzgaruvchining funksiyasi z = f(x, y) uch oʻlchamli fazodagi (x, y, z) nuqtalar toʻplami boʻlib, uning ilovasi z abscissa x va y ordinatasi bilan funksional munosabat bilan bogʻlangan.
z = f (x, y). Bu grafik uch o'lchamli fazoda qandaydir sirtni ifodalaydi (masalan, 5.3-rasmdagi kabi).

Agar funktsiya chiziqli bo'lsa (ya'ni z = ax + by + c), u holda uning grafigi uch o'lchovli fazodagi tekislik ekanligini isbotlash mumkin. Boshqa misollar 3D grafiklar Kremer darsligidan (405-406-bet) foydalangan holda mustaqil o'rganish tavsiya etiladi.

Agar ikkitadan ortiq o'zgaruvchi (n o'zgaruvchi) bo'lsa, u holda jadval funktsiya - (n+1) o'lchovli fazodagi nuqtalar to'plami bo'lib, ular uchun x koordinatasi n+1 berilgan funksional qonunga muvofiq hisoblanadi. Bunday grafik deyiladi yuqori sirt(chiziqli funksiya uchun - giperplan), shuningdek, ilmiy abstraksiyani ham ifodalaydi (uni tasvirlash mumkin emas).

5.3-rasm – Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning uch o‘lchamli fazodagi grafigi

Darajali sirt n ta o'zgaruvchidan iborat funktsiya n o'lchovli fazodagi nuqtalar to'plami bo'lib, bu nuqtalarning barchasida funktsiyaning qiymati bir xil va C ga teng bo'ladi. Bu holda C sonining o'zi deyiladi. Daraja.

Odatda, bir xil funktsiya uchun cheksiz ko'p darajadagi sirtlarni qurish mumkin (turli darajalarga mos keladi).

Ikki o'zgaruvchining funktsiyasi uchun tekis sirt shaklni oladi darajali chiziqlar.

Misol uchun, z = 1/(x 1 x 2) ni ko'rib chiqing. Keling, C = 10 ni olaylik, ya'ni. 1/(x 1 x 2) = 10. Keyin x 2 = 1/(10x 1), ya'ni. tekislikda tekis chiziq 5.4-rasmda ko'rsatilgan shaklni tekis chiziq shaklida oladi. Boshqa darajani olib, masalan, C = 5, biz x 2 = 1/(5x 1) funksiyaning grafigi ko'rinishidagi daraja chizig'ini olamiz (5.4-rasmda nuqta chiziq bilan ko'rsatilgan).

5.4-rasm - Funktsiya darajasi chiziqlari z = 1/(x 1 x 2)

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. z = 2x 1 + x 2 bo'lsin. Keling, C = 2 ni olaylik, ya'ni. 2x 1 + x 2 = 2. Keyin x 2 = 2 - 2x 1, ya'ni. tekislikda tekis chiziq to'g'ri chiziq shaklida bo'ladi, 5.5-rasmda qattiq chiziq bilan tasvirlangan. Boshqa darajani olib, masalan, C = 4, biz x 2 = 4 - 2x 1 to'g'ri chiziq shaklida daraja chizig'ini olamiz (5.5-rasmda nuqta chiziq bilan ko'rsatilgan). 2x 1 + x 2 = 3 uchun daraja chizig'i 5.5-rasmda nuqta chiziq sifatida ko'rsatilgan.

Ikki o'zgaruvchining chiziqli funktsiyasi uchun har qanday daraja chizig'i tekislikda to'g'ri chiziq bo'lishini va barcha sath chiziqlari bir-biriga parallel bo'lishini tekshirish oson.

5.5-rasm - Funktsiya darajasi chiziqlari z = 2x 1 + x 2

) kabi murakkab funksiyalarning qisman hosilalari va qiyinroq misollar bilan bir necha bor duch kelganmiz. Xo'sh, yana nima haqida gapirish mumkin?! ...Va hamma narsa hayotda bo'lgani kabi - murakkab bo'lmaydigan murakkablik yo'q =) Lekin matematika bizning dunyomizning xilma-xilligini qat'iy ramkaga moslashtirish uchun matematikadir. Va ba'zida bu bitta jumla bilan amalga oshirilishi mumkin:

Umuman olganda, murakkab funktsiya shaklga ega , Qayerda, kamida bitta harflar ifodalaydi funktsiyasi ga bog'liq bo'lishi mumkin o'zboshimchalik bilan o'zgaruvchilar soni.

Minimal va eng oddiy variant - bu bitta o'zgaruvchining uzoq vaqtdan beri tanish bo'lgan murakkab funktsiyasi, kimning hosilasi biz oxirgi semestrni qanday topishni o'rgandik. Sizda funktsiyalarni farqlash ko'nikmalari ham mavjud (bir xil funktsiyalarni ko'rib chiqing ) .

Shunday qilib, endi biz faqat ish bilan qiziqamiz. Murakkab funktsiyalarning xilma-xilligi tufayli ularning hosilalari uchun umumiy formulalar juda og'ir va hazm qilish qiyin. Shu munosabat bilan men o'zimni tushunishingiz mumkin bo'lgan aniq misollar bilan cheklayman umumiy tamoyil bu hosilalarni topish:

1-misol

Qaerda murakkab funksiya berilgan . Majburiy:
1) uning hosilasini toping va 1-tartibli jami differensialni yozing;
2) da hosila qiymatini hisoblang.

Yechim: Birinchidan, funksiyaning o'zini ko'rib chiqaylik. Bizga va ga bog'liq funksiya taklif etiladi, bu esa o'z navbatida funksiyalardir bitta o'zgaruvchi:

Ikkinchidan, keling, vazifaning o'ziga diqqat bilan qaraymiz - bizdan topish talab qilinadi hosila, ya'ni biz topishga odatlangan qisman hosilalar haqida gapirmayapmiz! Funktsiyadan beri aslida faqat bitta o'zgaruvchiga bog'liq bo'lsa, "hosil" so'zi degan ma'noni anglatadi umumiy hosila. Uni qanday topish mumkin?

Aqlga keladigan birinchi narsa - to'g'ridan-to'g'ri almashtirish va keyingi farqlash. Keling, almashtiramiz ishlash uchun:
, shundan so'ng kerakli lotin bilan bog'liq muammolar bo'lmaydi:

Va shunga ko'ra, umumiy farq:

Bu yechim matematik jihatdan to'g'ri, lekin kichik bir nuance shundaki, muammo qanday shakllantirilgan bo'lsa, hech kim sizdan bunday vahshiylikni kutmaydi =) Lekin jiddiy, siz haqiqatan ham bu erda xato topishingiz mumkin. Tasavvur qiling-a, funktsiya ari parvozini tasvirlaydi va ichki o'rnatilgan funktsiyalar haroratga qarab o'zgaradi. To'g'ridan-to'g'ri almashtirishni amalga oshirish , biz faqat olamiz shaxsiy ma'lumotlar, parvozni tavsiflovchi, aytaylik, faqat issiq havoda. Bundan tashqari, agar bumblebees haqida bilmagan odamga yakuniy natija taqdim etilsa va hatto bu funktsiya nima ekanligini aytsa, u hech qachon parvozning asosiy qonuni haqida hech narsa bilmaydi!

Shunday qilib, kutilmaganda, g'o'ng'irlagan birodarimiz bizga universal formulaning ma'nosi va ahamiyatini tushunishga yordam berdi:

Hosilalarning "ikki qavatli" yozuviga odatlaning - ko'rib chiqilayotgan vazifada ular qo'llaniladi. Bunday holda, biri bo'lishi kerak juda toza yozuvda: to'g'ridan-to'g'ri "de" belgilari bilan hosilalar to'liq hosilalar, va dumaloq piktogrammali hosilalar qisman hosilalari. Keling, oxirgilaridan boshlaylik:

Xo'sh, "dumlar" bilan hamma narsa oddiy:

Topilgan hosilalarni formulamizga almashtiramiz:

Agar funktsiya dastlab murakkab tarzda taklif qilinsa, u mantiqiy bo'ladi (va bu yuqorida tushuntirilgan!) natijalarni shunday qoldiring:

Shu bilan birga, "murakkab" javoblarda, hatto minimal soddalashtirishlardan ham voz kechish yaxshiroqdir. (bu erda, masalan, 3 minusni olib tashlashni iltimos qiladi)- va sizda kamroq ishingiz bor va sizning mo'ynali do'stingiz vazifani osonroq ko'rib chiqishdan xursand.

Biroq, qo'pol tekshirish ortiqcha bo'lmaydi. Keling, almashtiramiz topilgan hosilaga kiriting va soddalashtirishni bajaring:


(oxirgi bosqichda biz foydalandik trigonometrik formulalar , )

Natijada, "barbar" yechim usuli bilan bir xil natijaga erishildi.

Nuqtadagi hosilani hisoblab chiqamiz. Avval "tranzit" qiymatlarini aniqlash qulay (funktsiya qiymatlari ) :

Endi biz yakuniy hisob-kitoblarni tuzamiz, bu holda ular turli yo'llar bilan amalga oshirilishi mumkin. Men qiziqarli texnikadan foydalanaman, unda 3 va 4-qavatlar oddiy qoidalarga muvofiq emas, balki ikki raqamning nisbati sifatida o'zgartiriladi:

Va, albatta, ixchamroq belgilar yordamida tekshirmaslik gunohdir :

Javob:

Muammo "yarim umumiy" shaklda taklif qilinganda shunday bo'ladi:

“Bu yerda funksiyaning hosilasini toping »

Ya'ni, "asosiy" funktsiya berilmagan, ammo uning "qo'shimchalari" juda aniq. Javob bir xil uslubda berilishi kerak:

Bundan tashqari, shart biroz shifrlangan bo'lishi mumkin:

"Funktsiyaning hosilasini toping »

Bunday holda sizga kerak o'z-o'zidan ichki funksiyalarni ba'zi mos harflar bilan belgilang, masalan, orqali va bir xil formuladan foydalaning:

Aytgancha, harf belgilari haqida. Men bir necha bor "harflarga yopishmaslikka" chaqirganman, go'yo ular hayotni saqlovchidek va hozir bu ayniqsa dolzarbdir! Mavzu bo'yicha turli manbalarni tahlil qilib, menda mualliflar "aqldan ozgan" va o'quvchilarni matematikaning bo'ronli tubiga shafqatsizlarcha tashlashni boshlagan degan taassurot qoldirdi =) Meni kechiring :))

2-misol

Funktsiyaning hosilasini toping , Agar

Boshqa belgilar chalkashmasligi kerak! Har safar bunday vazifaga duch kelganingizda, ikkita oddiy savolga javob berishingiz kerak:

1) "Asosiy" funksiya nimaga bog'liq? Bunday holda, "zet" funktsiyasi ikkita funktsiyaga ("y" va "ve") bog'liq.

2) Ichki funksiyalar qanday o'zgaruvchilarga bog'liq? Bunday holda, ikkala "qo'shimcha" faqat "X" ga bog'liq.

Shunday qilib, formulani ushbu vazifaga moslashtirishda hech qanday qiyinchilik bo'lmasligi kerak!

Dars oxirida qisqacha yechim va javob.

Birinchi turdagi qo'shimcha misollarni topish mumkin Ryabushko muammo kitobi (IDZ 10.1), yaxshi, biz tomon ketyapmiz uchta o'zgaruvchining funktsiyasi:

3-misol

Bu yerda funksiya berilgan.
Nuqtadagi hosilani hisoblang

Murakkab funktsiyaning hosilasi formulasi, ko'pchilik taxmin qilganidek, tegishli shaklga ega:

Taxmin qilganingizdan keyin qaror qiling =)

Har holda, men funktsiya uchun umumiy formulani beraman:
, garchi amalda siz 3-misoldan uzoqroq narsani ko'rmasangiz ham.

Bundan tashqari, ba'zida "kesilgan" versiyani farqlash kerak bo'ladi - qoida tariqasida, shakl yoki funktsiya. Men bu savolni o'zingiz o'rganishingizga qoldiraman - bir nechta oddiy misollar keltiring, o'ylab ko'ring, tajriba qiling va hosilalarning qisqartirilgan formulalarini oling.

Agar biror narsa hali ham tushunarsiz bo'lsa, iltimos, darsning birinchi qismini asta-sekin qayta o'qing va tushuning, chunki endi vazifa yanada murakkablashadi:

4-misol

Murakkab funktsiyaning qisman hosilalarini toping, bu erda

Yechim: bu funksiya shaklga ega va to'g'ridan-to'g'ri almashtirishdan keyin ikkita o'zgaruvchining odatiy funktsiyasini olamiz:

Ammo bunday qo'rquv nafaqat qabul qilinmaydi, balki odam endi farqlashni xohlamaydi =) Shuning uchun biz tayyor formulalardan foydalanamiz. Shaklni tezda tushunishingizga yordam berish uchun men ba'zi eslatmalar beraman:

Rasmga diqqat bilan yuqoridan pastga va chapdan o'ngga qarang....

Birinchidan, “asosiy” funksiyaning qisman hosilalarini topamiz:

Endi biz "laynerlar" ning "X" hosilalarini topamiz:

va oxirgi "X" hosilasini yozing:

Xuddi shunday "o'yin" bilan:

Va

Siz boshqa uslubga yopishib olishingiz mumkin - bir vaqtning o'zida barcha "dumlarni" toping va keyin ikkala hosilalarni yozing.

Javob:

O'zgartirish haqida negadir men bu haqda umuman o'ylamayman =) =), lekin siz natijalarni biroz o'zgartirishingiz mumkin. Garchi, yana nima uchun? - faqat o'qituvchini tekshirishni qiyinlashtiradi.

Agar kerak bo'lsa, unda to'liq differentsial bu erda u odatiy formula bo'yicha yozilgan va, aytmoqchi, bu bosqichda engil kosmetika mos keladi:


Bu... ...g'ildirakli tobut.

Ko'rib chiqilayotgan murakkab funktsiya turining mashhurligi tufayli mustaqil hal qilish uchun bir nechta vazifalar mavjud. "Yarim umumiy" shakldagi oddiyroq misol formulaning o'zini tushunish uchundir;-):

5-misol

Funktsiyaning qisman hosilalarini toping, bu erda

Va yanada murakkab - farqlash usullarini o'z ichiga olgan holda:

6-misol

Funksiyaning to‘liq differentsialini toping , Qayerda

Yo'q, men sizni "pastki tomonga yuborishga" harakat qilmayapman - barcha misollar olingan haqiqiy ish, va "ochiq dengizda" siz har qanday harflarni uchratishingiz mumkin. Har holda, siz funktsiyani tahlil qilishingiz kerak bo'ladi (2 savolga javob berish - yuqoriga qarang), uni taqdim eting umumiy ko'rinish va qisman hosila formulalarini diqqat bilan o'zgartiring. Siz hozir biroz chalkashib ketgan bo'lishingiz mumkin, lekin siz ularni qurish printsipini tushunasiz! Chunki haqiqiy qiyinchiliklar endi boshlanmoqda :)))

7-misol

Qisman hosilalarni toping va kompleks funktsiyaning to'liq differentsialini yarating
, Qayerda

Yechim: "asosiy" funksiya shaklga ega va hali ham ikkita o'zgaruvchiga bog'liq - "x" va "y". Ammo 4-misol bilan solishtirganda, boshqa ichki funksiya qo'shildi va shuning uchun qisman hosila formulalari ham uzaytirildi. Ushbu misolda bo'lgani kabi, naqshni yaxshiroq ko'rish uchun men turli xil ranglardagi "asosiy" qisman hosilalarni ajratib ko'rsataman:

Va yana, yuqoridan pastga va chapdan o'ngga yozuvni diqqat bilan o'rganing.

Muammo "yarim umumiy" shaklda tuzilganligi sababli, bizning barcha ishimiz asosan o'rnatilgan funktsiyalarning qisman hosilalarini topish bilan cheklangan:

Birinchi sinf o'quvchisi quyidagilarni bajara oladi:

Va hatto to'liq differensial juda yaxshi chiqdi:

Men sizga ataylab biron bir aniq funktsiyani taklif qilmadim - keraksiz tartibsizliklar yaxshi tushunishga xalaqit bermasligi uchun sxematik diagrammasi vazifalar.

Javob:

Ko'pincha siz "aralash" investitsiyalarni topishingiz mumkin, masalan:

Bu erda "asosiy" funktsiya, garchi u shaklga ega bo'lsa ham, "x" va "y" ga bog'liq. Shuning uchun bir xil formulalar ishlaydi - faqat ba'zi qisman hosilalar nolga teng bo'ladi. Bundan tashqari, bu kabi funktsiyalar uchun ham amal qiladi , unda har bir "layner" bitta o'zgaruvchiga bog'liq.

Xuddi shunday holat darsning oxirgi ikkita misolida ham uchraydi:

8-misol

Murakkab funksiyaning nuqtadagi to‘liq differentsialini toping

Yechim: shart "byudjet" usulida tuzilgan va biz ichki o'rnatilgan funktsiyalarni o'zimiz belgilashimiz kerak. Menimcha, bu yaxshi variant:

"Qo'shimchalar" tarkibida ( DIQQAT!) UCHTA harf eski yaxshi “X-Y-Z” boʻlib, “asosiy” funksiya aslida uchta oʻzgaruvchiga bogʻliqligini bildiradi. U rasmiy ravishda qayta yozilishi mumkin va bu holda qisman hosilalar quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:

Biz skanerlaymiz, o'rganamiz, qo'lga kiritamiz ....

Bizning vazifamizda:

Ta'rif. O'zgaruvchan z(o'zgarish maydoni bilan Z) chaqirdi ikkita mustaqil o'zgaruvchining funktsiyasi x,y mo'l-ko'llikda M, agar har bir juftlik ( x,y) ko'pchilikdan M z dan Z.

Ta'rif. Bir guruh M, unda o'zgaruvchilar ko'rsatilgan x,y, chaqirdi funksiya sohasi, Z o‘rnating – funktsiya diapazoni, va o'zlari x,y- uni argumentlar.

Belgilar: z = f(x,y), z = z(x,y).

Misollar.

Ta'rif . O'zgaruvchan z(o'zgarish maydoni bilan Z) chaqirdi bir nechta mustaqil o'zgaruvchilar funktsiyasi mo'l-ko'llikda M, agar to'plamdan raqamlarning har bir to'plami M ba'zi qoida yoki qonunlarga ko'ra, bitta aniq qiymat belgilanadi z dan Z. Argumentlar, ta'rif sohasi va qiymat sohasi tushunchalari ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi bilan bir xil tarzda kiritiladi.

Belgilar: z = f, z = z.

Izoh. Chunki bir nechta raqam ( x,y) tekislikdagi ma'lum bir nuqtaning koordinatalari deb hisoblanishi mumkin, keyin biz "nuqta" atamasini ikkita o'zgaruvchining funktsiyasiga argumentlar juftligi, shuningdek, funktsiyaning argumentlari bo'lgan tartiblangan raqamlar to'plami uchun ishlatamiz. bir nechta o'zgaruvchilardan.

Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning geometrik tasviri

Funktsiyani ko'rib chiqing

z = f(x,y), (15.1)

ba'zi sohalarda aniqlanadi M O tekisligida xy. Keyin koordinatali uch o'lchovli fazodagi nuqtalar to'plami ( x,y,z), bu yerda , ikki o‘zgaruvchili funksiyaning grafigi. (15.1) tenglama uch o'lchovli fazoda ma'lum bir sirtni aniqlaganligi sababli, shunday bo'ladi geometrik tasvir ko'rib chiqilayotgan funktsiya.

Funktsiya domeni z = f(x,y) eng oddiy hollarda, u yopiq egri chiziq bilan chegaralangan tekislikning bir qismidir va bu egri chiziqning nuqtalari (mintaqaning chegaralari) aniqlanish sohasiga yoki butun tekislikka tegishli yoki tegishli bo'lmasligi mumkin, yoki, nihoyat, xOy tekisligining bir nechta qismlari to'plami.

z = f(x,y)

Masalan, tekislik tenglamalari z = ax + by + c

va ikkinchi tartibli yuzalar: z = x² + y² (inqilob paraboloidi),

(konus) va boshqalar.

Izoh. Uch yoki undan ortiq o'zgaruvchidan iborat funktsiya uchun biz "surface in" atamasidan foydalanamiz n-o'lchovli bo'shliq", garchi bunday sirtni tasvirlashning iloji bo'lmasa ham.

Darajali chiziqlar va sirtlar

(15.1) tenglama bilan berilgan ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi uchun biz nuqtalar to'plamini ko'rib chiqishimiz mumkin ( x,y) Ey samolyot xy, buning uchun z bir xil doimiy qiymatni oladi, ya'ni z= const. Bu nuqtalar deyilgan tekislikda chiziq hosil qiladi daraja chizig'i.

Misol.

Sirt uchun tekislik chiziqlarini toping z = 4 – x² - y². Ularning tenglamalari o'xshaydi x² + y² = 4 - c(c=const) – markazi koordinatali va radiusli konsentrik doiralar tenglamalari. Masalan, qachon Bilan=0 biz aylana olamiz x² + y² = 4.

Uch o'zgaruvchidan iborat funktsiya uchun u = u(x, y, z) tenglama u(x, y, z) = c deb ataladigan uch o'lchovli fazoda sirtni belgilaydi tekis sirt.

Misol.

Funktsiya uchun u = 3x + 5y – 7z-12 darajali sirt 3-tenglama bilan berilgan parallel tekisliklar oilasi bo'ladi x + 5y – 7z –12 + Bilan = 0.

Bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning chegarasi va uzluksizligi

Keling, kontseptsiyani kiritaylik d-mahallalar ball M 0 (x 0, y 0) O tekisligida xy markazi ma'lum bir nuqtada bo'lgan d radiusli doira sifatida. Xuddi shunday, biz uch o'lchovli fazoda d-mahallani nuqtada markazi bo'lgan d radiusli shar sifatida belgilashimiz mumkin. M 0 (x 0, y 0, z 0). Uchun n-o'lchovli fazoni nuqtaning d-qo'shnisi deb ataymiz M 0 ball to'plami M shartni qanoatlantiruvchi koordinatalar bilan

nuqtaning koordinatalari qayerda M 0 . Ba'zan bu to'plam "to'p" deb ataladi n- o'lchovli fazo.

Ta'rif. A raqami deyiladi chegara bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari f nuqtada M 0 agar shunday bo'lsa | f(M) – A| < ε для любой точки M d-mahallasidan M 0 .

Belgilar: .

Shuni hisobga olish kerakki, bu holda nuqta M yaqinlashayotgan bo‘lishi mumkin M 0, nisbatan aytganda, nuqtaning d-mahallasi ichidagi har qanday traektoriya bo'ylab M 0 . Shuning uchun, umumiy ma'noda bir nechta o'zgaruvchilar funksiyasining chegarasi deb ataladigan narsadan farqlash kerak. takroriy chegaralar har bir argument uchun chegaraga ketma-ket o'tish orqali olinadi.

Misollar.

Izoh. Isbotlash mumkinki, ma'lum bir nuqtada odatiy ma'noda chegara mavjudligidan va bu nuqtada individual dalillar bo'yicha chegaralarning mavjudligidan takroriy chegaralarning mavjudligi va tengligi kelib chiqadi. Teskari bayonot to'g'ri emas.

Ta'rif Funktsiya f chaqirdi davomiy nuqtada M 0 agar (15.2)

Agar yozuvni kiritadigan bo'lsak, u holda (15.2) shartni (15.3) ko'rinishida qayta yozish mumkin.

Ta'rif . Ichki nuqta M 0 funktsiya domeni z = f(M) chaqirdi uzilish nuqtasi Agar (15.2), (15.3) shartlar bu nuqtada bajarilmasa, funktsiya.

Izoh. Ko'pgina uzilish nuqtalari tekislikda yoki fazoda paydo bo'lishi mumkin chiziqlar yoki sinish yuzasi.

Misollar.

Limitlar va uzluksiz funksiyalar xossalari

Bir nechta o'zgaruvchili funktsiya uchun chegara va uzluksizlik ta'riflari bir o'zgaruvchining funksiyasi uchun mos keladigan ta'riflar bilan amalda mos kelganligi sababli, bir nechta o'zgaruvchili funktsiyalar uchun kursning birinchi qismida isbotlangan chegara va uzluksiz funktsiyalarning barcha xususiyatlari saqlanib qoladi. , ya'ni:

1) Agar ular mavjud bo'lsa, unda ular mavjud va (agar).

2) Agar a va har qanday uchun i chegaralari bor va qaerda bor M 0, u holda da kompleks funksiyaning chegarasi mavjud, bu yerda nuqtaning koordinatalari R 0 .

3) funktsiyalari bo'lsa f(M) Va g(M) bir nuqtada uzluksiz M 0 bo'lsa, bu nuqtada funktsiyalar ham uzluksizdir f(M) + g(M), kf(M), f(M) g(M), f(M)/g(M)(Agar g (M 0) ≠ 0).

4) Agar funksiyalar nuqtada uzluksiz bo'lsa P 0, va funksiya nuqtada uzluksizdir M 0, bu yerda , u holda kompleks funksiya nuqtada uzluksizdir R 0.

5) Funksiya yopiq cheklangan sohada uzluksiz D, ushbu mintaqada o'zining eng katta va eng kichik qiymatlarini oladi.

6) Agar funksiya yopiq cheklangan sohada uzluksiz bo'lsa D, ushbu mintaqada qiymatlarni oladi A Va IN, keyin u hududni oladi D va ular orasida joylashgan har qanday oraliq qiymat A Va IN.

7) Agar funksiya yopiq cheklangan sohada uzluksiz bo'lsa D, bu mintaqada turli belgilarning qiymatlarini oladi, keyin a bor kamida hududdan bir nuqta D, unda f = 0.

Qisman hosilalar

Keling, funktsiyani uning argumentlaridan faqat bittasiga oshirishni belgilashda o'zgartirishni ko'rib chiqaylik - x i, va keling, uni chaqiraylik.

Ta'rif . Qisman hosila argument bo'yicha funktsiyalarni bajaradi x i chaqirdi.

Belgilar: .

Shunday qilib, bir nechta o'zgaruvchining funksiyasining qisman hosilasi aslida funktsiyaning hosilasi sifatida aniqlanadi. bitta o'zgaruvchi - x i. Demak, bir o'zgaruvchining funksiyasi uchun isbotlangan hosilalarning barcha xossalari u uchun amal qiladi.

Izoh. Qisman hosilalarni amaliy hisoblashda biz bir o‘zgaruvchining funksiyasini differentsiallashning odatiy qoidalaridan foydalanamiz, bunda differentsiatsiya amalga oshiriladigan argument o‘zgaruvchan, qolgan argumentlar esa doimiy bo‘ladi.

Misollar .

1. z = 2x² + 3 xy –12y² + 5 x – 4y +2,

2. z = xy,

Ikki o'zgaruvchili funktsiyaning qisman hosilalari geometrik talqini

Sirt tenglamasini ko'rib chiqing z = f(x,y) va samolyot chizish x = const. Tekislik va sirtning kesishish chizig'idagi nuqtani tanlaymiz M(x,y). Agar siz dalil keltirsangiz da o'sish D da va koordinatali egri chiziqdagi T nuqtasini ko'rib chiqing ( x, y+Δ y, z+ dy z), keyin O o'qining musbat yo'nalishi bilan sekant MT tomonidan hosil qilingan burchakning tangensi da, ga teng bo'ladi. dagi chegaraga o'tsak, qisman hosila nuqtada hosil bo'lgan egri chiziqqa teginish hosil qilgan burchakning tangensiga teng ekanligini topamiz. M O o'qining ijobiy yo'nalishi bilan u. Shunga ko'ra, qisman hosila burchakning O o'qi bilan tangensiga teng X sirtni kesish natijasida olingan egri chiziqqa teginish z = f(x,y) samolyot y = const.

Bir necha o'zgaruvchili funksiyaning differentsialligi

Differensiallik bilan bog'liq masalalarni o'rganayotganda, biz uchta o'zgaruvchining funktsiyasi bilan cheklanamiz, chunki barcha dalillar Ko'proq o'zgaruvchilar xuddi shu tarzda amalga oshiriladi.

Ta'rif . To'liq o'sish funktsiyalari u = f(x, y, z) chaqirdi

Teorema 1. Agar nuqtada qisman hosilalar mavjud bo'lsa ( x 0, y 0, z 0) va uning ayrim mahallalarida va nuqtada uzluksiz (( x 0 , y 0 , z 0) keyin cheklangan (chunki ularning modullari 1 dan oshmaydi).

U holda 1-teorema shartlarini qanoatlantiradigan funktsiyaning o'sishini quyidagicha ifodalash mumkin: , (15.6)

Ta'rif . Funktsiya ortib ketsa u = f (x, y, z) nuqtada ( x 0 , y 0 , z 0)(15.6), (15.7) ko'rinishda ifodalanishi mumkin, keyin funksiya chaqiriladi farqlanishi mumkin bu nuqtada va ifoda bo'ladi o'sishning asosiy chiziqli qismi yoki to'liq differentsial ko'rib chiqilayotgan funktsiya.

Belgilar: du, df (x 0, y 0, z 0).

Xuddi bitta o'zgaruvchining funktsiyasida bo'lgani kabi, mustaqil o'zgaruvchilarning differentsiallari ham ularning ixtiyoriy o'sishi deb hisoblanadi, shuning uchun

Eslatma 1. Demak, “funksiya differensiallanadi” iborasi “funksiyaning qisman hosilalariga ega” gapiga ekvivalent emas – differentsiallik uchun ushbu hosilalarning ko‘rib chiqilayotgan nuqtadagi uzluksizligi ham talab qilinadi.

.

Funktsiyani ko'rib chiqing va tanlang x 0 = 1, y 0 = 2. Keyin D x = 1,02 – 1 = 0,02; D y = 1,97 – 2 = -0,03. Keling, topamiz

Shuning uchun, shuni hisobga olgan holda f ( 1, 2) = 3, biz olamiz.