Har bir qisman hosila (by x va tomonidan y) ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi bir o'zgaruvchining funktsiyasining boshqa o'zgaruvchining qat'iy qiymati uchun oddiy hosilasidir:

(Qaerda y= const),

(Qaerda x= const).

Shuning uchun qisman hosilalar yordamida hisoblab chiqiladi bir o'zgaruvchining funksiyalarining hosilalarini hisoblash formulalari va qoidalari, boshqa o'zgaruvchan doimiyni hisobga olgan holda.

Agar sizga misollar tahlili va buning uchun zarur bo'lgan minimal nazariya kerak bo'lmasa, faqat muammoingizni hal qilish kerak bo'lsa, u holda o'ting. onlayn qisman lotin kalkulyatori .

Agar konstanta funktsiyaning qayerda ekanligini kuzatish uchun diqqatni jamlash qiyin bo'lsa, u holda misolning qoralama yechimida o'zgarmas qiymatga ega bo'lgan o'zgaruvchi o'rniga istalgan raqamni almashtirishingiz mumkin - u holda siz qisman hosilani tezda hisoblashingiz mumkin. bitta o'zgaruvchili funktsiyaning oddiy hosilasi. Yakuniy dizaynni tugatgandan so'ng, konstantani (belgilangan qiymatga ega o'zgaruvchini) o'z joyiga qaytarishni unutmasligingiz kerak.

Yuqorida tavsiflangan qisman hosilalarning xususiyati imtihon savollarida paydo bo'lishi mumkin bo'lgan qisman hosila ta'rifidan kelib chiqadi. Shuning uchun, quyidagi ta'rif bilan tanishish uchun siz nazariy ma'lumotnomani ochishingiz mumkin.

Funksiyaning uzluksizligi tushunchasi z= f(x, y) nuqtada bir o'zgaruvchining funksiyasi uchun ushbu tushunchaga o'xshash tarzda aniqlanadi.

Funktsiya z = f(x, y) agar nuqtada uzluksiz deyiladi

Farq (2) funktsiyaning umumiy o'sishi deb ataladi z(u ikkala argumentning ortishi natijasida olinadi).

Funktsiya berilgan bo'lsin z= f(x, y) va davr

Funktsiya o'zgarsa z argumentlardan faqat bittasi o'zgarganda paydo bo'ladi, masalan, x, boshqa argumentning belgilangan qiymati bilan y, keyin funktsiya o'sishni oladi

funksiyaning qisman ortishi deyiladi f(x, y) tomonidan x.

Funktsiya o'zgarishini hisobga olgan holda z argumentlardan faqat bittasini o'zgartirishga qarab, biz bitta o'zgaruvchining funktsiyasiga samarali o'tamiz.

Agar cheklangan chegara mavjud bo'lsa

u holda funksiyaning qisman hosilasi deyiladi f(x, y) argument bilan x va belgilardan biri bilan ko'rsatiladi

(4)

Qisman o'sish xuddi shunday aniqlanadi z tomonidan y:

va qisman hosila f(x, y) tomonidan y:

(6)

1-misol.

Yechim. Biz "x" o'zgaruvchisiga nisbatan qisman hosilani topamiz:

(y belgilangan);

Biz "y" o'zgaruvchisiga nisbatan qisman hosilani topamiz:

(x belgilangan).

Ko'rib turganingizdek, o'zgaruvchining qay darajada aniqlanganligi muhim emas: bu holda biz qisman hosila topadigan o'zgaruvchining omili bo'lgan ma'lum bir raqam (oddiy hosiladagi kabi) . Agar qo'zg'atilgan o'zgaruvchi qisman hosila topadigan o'zgaruvchiga ko'paytirilmasa, u holda bu yolg'iz doimiy, oddiy hosiladagi kabi qanchalik darajada bo'lishidan qat'i nazar, yo'qoladi.

2-misol. Funktsiya berilgan

Qisman hosilalarni toping

(X tomonidan) va (Y tomonidan) va nuqtadagi qiymatlarini hisoblang A (1; 2).

Yechim. Belgilangan vaqtda y birinchi hadning hosilasi quvvat funksiyasining hosilasi sifatida topiladi ( bir o'zgaruvchining hosilaviy funktsiyalari jadvali):

.

Belgilangan vaqtda x birinchi hadning hosilasi ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi sifatida, ikkinchisi esa doimiyning hosilasi sifatida topiladi:

Keling, ushbu qisman hosilalarning qiymatlarini nuqtada hisoblaylik A (1; 2):

Qisman hosilaviy masalalarning yechimini quyidagi manzilda tekshirishingiz mumkin onlayn qisman lotin kalkulyatori .

3-misol. Funksiyaning qisman hosilalarini toping

Yechim. Bir qadamda biz topamiz

(y x, go'yo sinus argumenti 5 ga teng x: xuddi shu tarzda, funksiya belgisidan oldin 5 paydo bo'ladi);

(x belgilangan va bu holda ko'paytiruvchi hisoblanadi y).

Qisman hosilaviy masalalarning yechimini quyidagi manzilda tekshirishingiz mumkin onlayn qisman lotin kalkulyatori .

Uch yoki undan ortiq o'zgaruvchining funksiyasining qisman hosilalari xuddi shunday aniqlanadi.

Agar har bir qiymat to'plami ( x; y; ...; t) to‘plamdan mustaqil o‘zgaruvchilar D ma'lum bir qiymatga mos keladi u ko'pchilikdan E, Bu u o‘zgaruvchilar funksiyasi deb ataladi x, y, ..., t va belgilang u= f(x, y, ..., t).

Uch yoki undan ortiq o'zgaruvchining funktsiyalari uchun geometrik talqin mavjud emas.

Bir nechta o'zgaruvchilar funksiyasining qisman hosilalari ham mustaqil o'zgaruvchilardan faqat bittasi o'zgaradi, qolganlari esa o'zgarmas bo'ladi degan faraz ostida aniqlanadi va hisoblanadi.

4-misol. Funksiyaning qisman hosilalarini toping

.

Yechim. y Va z belgilangan:

x Va z belgilangan:

x Va y belgilangan:

O'zingiz qisman hosilalarni toping va keyin echimlarni ko'rib chiqing

5-misol.

6-misol. Funksiyaning qisman hosilalarini toping.

Bir nechta o'zgaruvchili funktsiyaning qisman hosilasi bir xil bo'ladi mexanik ma'no bir o'zgaruvchining funksiyasining hosilasi bilan bir xil, argumentlardan birining oʻzgarishiga nisbatan funksiyaning oʻzgarish tezligi.

8-misol. Oqimning miqdoriy qiymati P temir yo'l yo'lovchilari funktsiyasi bilan ifodalanishi mumkin

Qayerda P- yo'lovchilar soni; N- vakillik punktlari aholisi soni; R- nuqtalar orasidagi masofa.

Funktsiyaning qisman hosilasi P tomonidan R, teng

yo'lovchilar oqimining kamayishi nuqtalarda bir xil aholi soniga ega bo'lgan tegishli nuqtalar orasidagi masofa kvadratiga teskari proportsional ekanligini ko'rsatadi.

Qisman hosila P tomonidan N, teng

yo'lovchilar oqimining o'sishi punktlar orasidagi bir xil masofada joylashgan aholi punktlari aholisi sonining ikki barobariga mutanosib ekanligini ko'rsatadi.

Qisman hosilaviy masalalarning yechimini quyidagi manzilda tekshirishingiz mumkin onlayn qisman lotin kalkulyatori .

To'liq differentsial

Qisman hosila va mos keladigan mustaqil o'zgaruvchining ko'paytmasi qisman differentsial deyiladi. Qisman farqlar quyidagicha ifodalanadi:

Barcha mustaqil o'zgaruvchilar uchun qisman differentsiallar yig'indisi umumiy differentsialni beradi. Ikki mustaqil o'zgaruvchining funktsiyasi uchun umumiy differentsial tenglik bilan ifodalanadi

(7)

9-misol. Funksiyaning to‘liq differentsialini toping

Yechim. Formuladan foydalanish natijasi (7):

Muayyan sohaning har bir nuqtasida to‘liq differentsialga ega bo‘lgan funksiya shu sohada differentsiallanadigan funksiya deyiladi.

Jami differentsialni o'zingiz toping va keyin yechimga qarang

Xuddi bitta o‘zgaruvchining funksiyasidagi kabi, ma’lum sohadagi funksiyaning differentsialligi uning shu sohadagi uzluksizligini bildiradi, lekin aksincha emas.

Funksiyaning differentsiallanishi uchun yetarli shartni isbotsiz shakllantiraylik.

Teorema. Agar funktsiya z= f(x, y) uzluksiz qisman hosilalarga ega

ma'lum bir mintaqada, u holda bu mintaqada differensiallanadi va uning differensialligi (7) formula bilan ifodalanadi.

Ko'rsatish mumkinki, xuddi bitta o'zgaruvchili funksiyada funksiyaning differentsial o'sishining asosiy chiziqli qismi bo'lgani kabi, bir nechta o'zgaruvchili funksiyada ham to'liq differentsial bo'ladi. mustaqil o'zgaruvchilarning o'sishiga nisbatan asosiy, chiziqli, funktsiyaning umumiy o'sishining bir qismi.

Ikki o'zgaruvchili funktsiya uchun funktsiyaning umumiy o'sishi shaklga ega

(8)

bu yerda a va b va da cheksiz kichikdir.

Yuqori tartibli qisman hosilalar

Qisman hosilalar va funksiyalar f(x, y) o'zlari bir xil o'zgaruvchilarning ba'zi funktsiyalari bo'lib, o'z navbatida, turli o'zgaruvchilarga nisbatan hosilalarga ega bo'lishi mumkin, ular yuqori tartibli qisman hosilalar deb ataladi.

Funktsiya berilgan bo'lsin. X va y mustaqil o'zgaruvchilar bo'lgani uchun ulardan biri o'zgarishi mumkin, ikkinchisi esa o'z qiymatini saqlab qoladi. y ning qiymatini o'zgarmagan holda x mustaqil o'zgaruvchiga o'sishni beraylik. Keyin z o'sishni oladi, bu z ning x ga nisbatan qisman o'sishi deb ataladi va . Shunday qilib, .

Xuddi shunday, biz z ning y ga qisman o'sishini olamiz: .

z funktsiyasining umumiy o'sishi tenglik bilan aniqlanadi.

Agar chegara mavjud bo'lsa, u x o'zgaruvchiga nisbatan nuqtadagi funksiyaning qisman hosilasi deyiladi va belgilardan biri bilan belgilanadi:

.

Bir nuqtada x ga nisbatan qisman hosilalar odatda belgilar bilan belgilanadi .

y o'zgaruvchiga nisbatan qisman hosilasi xuddi shunday aniqlanadi va belgilanadi:

Shunday qilib, bir nechta (ikki, uch yoki undan ortiq) o'zgaruvchining funksiyasining qisman hosilasi, qolgan mustaqil o'zgaruvchilarning qiymatlari doimiy bo'lishi sharti bilan, ushbu o'zgaruvchilardan birining funktsiyasi hosilasi sifatida aniqlanadi. Shuning uchun funktsiyaning qisman hosilalari bitta o'zgaruvchili funktsiyaning hosilalarini hisoblash formulalari va qoidalaridan foydalangan holda topiladi (bu holda x yoki y mos ravishda doimiy qiymat hisoblanadi).

Qisman hosilalar birinchi tartibli qisman hosilalar deyiladi. Ularni funktsiyalari sifatida ko'rib chiqish mumkin. Bu funktsiyalar qisman hosilalarga ega bo'lishi mumkin, ular ikkinchi tartibli qisman hosilalar deb ataladi. Ular quyidagicha tasniflanadi va etiketlanadi:

; ;

; .

Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning 1 va 2-tartibdagi differentsiallari.

Funksiyaning umumiy differensiali (2.5-formula) birinchi tartibli differentsial deyiladi.

Umumiy differentsialni hisoblash formulasi quyidagicha:

(2.5) yoki , qayerda ,

funksiyaning qisman differentsiallari.

Funktsiya ikkinchi tartibli uzluksiz qisman hosilalarga ega bo'lsin. Ikkinchi tartibli differensial formula bilan aniqlanadi. Keling, topamiz:

Bu yerdan: . Ramziy ma'noda shunday yoziladi:

.

Aniqlanmagan INTEGRAL.

Funksiyaning antihosilasi, noaniq integral, xossalari.

F(x) funksiya chaqiriladi antiderivativ berilgan f(x) funksiya uchun, agar F"(x)=f(x) bo'lsa, yoki, dF(x)=f(x)dx bo'lsa, nima bir xil bo'lsa.

Teorema. Agar chekli yoki cheksiz uzunlikdagi qandaydir (X) oraliqda aniqlangan f(x) funksiya bitta F(x) anti hosilaga ega bo'lsa, u ham cheksiz ko'p anti hosilaga ega bo'ladi; ularning barchasi F(x) + C ifodasida mavjud, bu erda C ixtiyoriy doimiydir.

Muayyan oraliqda yoki chekli yoki cheksiz uzunlikdagi segmentda aniqlangan f(x) funksiya uchun barcha antiderivativlar to'plami deyiladi. noaniq integral f(x) funksiyadan [yoki f(x)dx ifodasidan ] va belgisi bilan belgilanadi.

Agar F(x) f(x) ning antiderivativlaridan biri bo'lsa, unda antiderivativ teoremaga ko'ra

, bu erda C ixtiyoriy doimiydir.

Antiderivativning ta'rifi bo'yicha F"(x)=f(x) va demak, dF(x)=f(x) dx. (7.1) formulada f(x) integrasiya funksiyasi, f() deb ataladi. x) dx integral ifoda deyiladi.

Ikki o'zgaruvchining funktsiyasini ko'rib chiqing:

$x$ va $y$ oʻzgaruvchilari mustaqil boʻlganligi sababli, bunday funksiya uchun qisman hosila tushunchasini kiritishimiz mumkin:

$f$ funksiyasining $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ nuqtadagi $x$ oʻzgaruvchisiga nisbatan qisman hosilasi boʻladi. chegara

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \o'ng))(\Delta x)\]

Xuddi shunday, siz $y$ oʻzgaruvchisiga nisbatan qisman hosilani belgilashingiz mumkin:

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \o'ng))(\Delta y)\]

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, bir nechta o'zgaruvchili funktsiyaning qisman hosilasini topish uchun siz kerakli o'zgaruvchidan tashqari barcha boshqa o'zgaruvchilarni tuzatishingiz kerak, so'ngra ushbu kerakli o'zgaruvchiga nisbatan oddiy hosilani topishingiz kerak.

Bu shunday hosilalarni hisoblashning asosiy texnikasiga olib keladi: bundan tashqari barcha o'zgaruvchilar doimiy deb taxmin qiling va keyin funksiyani "oddiy"ni bitta o'zgaruvchi bilan farqlaganingizdek farqlang. Masalan:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \o'ng))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \o'ng))^(\ asosiy ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \o'ng))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(align)$

Shubhasiz, turli o'zgaruvchilarga nisbatan qisman hosilalar turli xil javoblar beradi - bu normaldir. Nima uchun, aytaylik, birinchi holatda biz $10y$ ni hosila belgisi ostidan xotirjamlik bilan olib tashlaganimizni, ikkinchi holatda esa birinchi atamani butunlay nolga tushirganimizni tushunish muhimroqdir. Bularning barchasi, farqlash amalga oshiriladigan o'zgaruvchidan tashqari barcha harflar doimiy deb hisoblanganligi sababli sodir bo'ladi: ularni olib tashlash, "yoqish" va hokazo.

"Qisman hosila" nima?

Bugun biz bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari va ularning qisman hosilalari haqida gapiramiz. Birinchidan, bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyasi nima? Hozirgacha biz funktsiyani $y\left(x \right)$ yoki $t\left(x \right)$ yoki har qanday oʻzgaruvchi va uning bitta funksiyasi sifatida koʻrib chiqishga odatlanganmiz. Endi bizda bitta funktsiya bo'ladi, lekin bir nechta o'zgaruvchilar. $y$ va $x$ oʻzgarishi bilan funksiya qiymati oʻzgaradi. Masalan, agar $x$ ikki baravar oshsa, funktsiyaning qiymati o'zgaradi, agar $x$ o'zgarmasa, lekin $y$ o'zgarmasa, funktsiyaning qiymati ham xuddi shunday o'zgaradi.

Albatta, bir o‘zgaruvchining funksiyasi kabi bir necha o‘zgaruvchining funksiyasi ham farqlanishi mumkin. Biroq, bir nechta o'zgaruvchilar mavjud bo'lganligi sababli, turli xil o'zgaruvchilarga ko'ra farqlash mumkin. Bunday holda, bitta o'zgaruvchini farqlashda mavjud bo'lmagan aniq qoidalar paydo bo'ladi.

Avvalo, har qanday o'zgaruvchidan funktsiyaning hosilasini hisoblaganimizda, biz qaysi o'zgaruvchi uchun hosila hisoblayotganimizni ko'rsatishimiz talab qilinadi - bu qisman hosila deb ataladi. Masalan, bizda ikkita o'zgaruvchining funksiyasi bor va biz uni ham $x$ da, ham $y$ da hisoblashimiz mumkin - har bir o'zgaruvchi uchun ikkita qisman hosila.

Ikkinchidan, biz o'zgaruvchilardan birini aniqlab, unga nisbatan qisman hosilani hisoblashni boshlaganimizdan so'ng, ushbu funktsiyaga kiritilgan barcha qolganlar doimiy hisoblanadi. Masalan, $z\left(xy \right)$ da, agar biz $x$ ga nisbatan qisman hosilani ko'rib chiqsak, u holda $y$ ga har joyda duch kelsak, uni doimiy deb hisoblaymiz va uni shunday ko'rib chiqamiz. Xususan, mahsulotning hosilasini hisoblashda qavs ichidan $y$ ni olishimiz mumkin (bizda doimiy bo'ladi), yig'indining hosilasini hisoblashda esa, agar biror joyda $y$ va ni o'z ichiga olgan ifoda hosilasini olamiz. $x$ bo'lmasa, bu ifodaning hosilasi doimiyning hosilasi sifatida "nol" ga teng bo'ladi.

Bir qarashda, men murakkab narsa haqida gapirayotgandek tuyulishi mumkin va ko'pchilik o'quvchilar boshida sarosimaga tushishadi. Biroq, qisman hosilalarda g'ayritabiiy narsa yo'q va endi biz buni aniq muammolar misolida ko'rib chiqamiz.

Radikallar va ko'phadlar bilan bog'liq masalalar

Vazifa № 1

Vaqtni behuda o'tkazmaslik uchun boshidan jiddiy misollar bilan boshlaylik.

Boshlash uchun sizga ushbu formulani eslatib o'taman:

Bu standart kursdan biladigan standart jadval qiymati.

Bu holda $z$ hosilasi quyidagicha hisoblanadi:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \o'ng))^(\prime ))_(x)\]

Keling, yana takrorlaymiz, chunki ildiz $x$ emas, balki boshqa qandaydir ifoda, bu holda $\frac(y)(x)$, keyin avval standart jadval qiymatidan foydalanamiz, keyin esa ildiz $x $ emas, balki boshqa ifoda bo'lsa, biz bir xil o'zgaruvchiga nisbatan hosilamizni ushbu ifodaning boshqa biriga ko'paytirishimiz kerak. Avval quyidagilarni hisoblaymiz:

\[((\left(\frac(y)(x) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\frac((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot (((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)((x)^(2)))\]

Biz o'z ifodamizga qaytamiz va yozamiz:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \o'ng)\]

Asosan, hammasi shu. Biroq, uni bu shaklda qoldirish noto'g'ri: bunday qurilishni keyingi hisob-kitoblar uchun ishlatish noqulay, shuning uchun uni biroz o'zgartiramiz:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \o'ng)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)((x)^(3))))\]

Javob topildi. Endi $y$ bilan ishlaymiz:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \o'ng))^(\prime ))_(y)\]

Keling, buni alohida yozamiz:

\[((\left(\frac(y)(x) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\frac((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

Endi biz yozamiz:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Bajarildi.

Muammo № 2

Bu misol avvalgisidan ham sodda, ham murakkabroq. Bu yanada murakkabroq, chunki ko'proq harakatlar mavjud, lekin u oddiyroq, chunki ildiz yo'q va qo'shimcha ravishda, funktsiya $ x $ va $ y $ ga nisbatan nosimmetrikdir, ya'ni. $x$ va $y$ almashtirsak, formula o'zgarmaydi. Ushbu eslatma qisman hosilani hisoblashimizni yanada soddalashtiradi, ya'ni. ulardan birini sanash kifoya, ikkinchisida esa oddiygina $x$ va $y$ almashtiriladi.

Keling, biznesga tushamiz:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \o‘ng ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \o'ng)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(2)))\]

Keling, hisoblaymiz:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Biroq, ko'plab talabalar bu belgini tushunishmaydi, shuning uchun uni quyidagicha yozamiz:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \o'ng))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Shunday qilib, biz qisman hosila algoritmining universalligiga yana bir bor amin bo'ldik: ularni qanday hisoblashimizdan qat'iy nazar, agar barcha qoidalar to'g'ri qo'llanilsa, javob bir xil bo'ladi.

Endi katta formulamizdan yana bir qisman hosilani ko'rib chiqamiz:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(\prime ))_(x)=((\left((() x)^(2)) \o'ng))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \o'ng))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Olingan iboralarni formulamizga almashtiramiz va quyidagini olamiz:

\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ o'ng)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(\bosh ))_(x))(((\chap) (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((() x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \o'ng))(((\) chap(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \o'ng))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(2 )))\]

Hisoblangan $x$ asosida. Xuddi shu iboradan $y$ ni hisoblash uchun keling, bir xil harakatlar ketma-ketligini bajarmaylik, balki asl ifodamizning simmetriyasidan foydalanamiz - biz asl ifodamizdagi barcha $y$ ni $x$ bilan almashtiramiz va aksincha:

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \o'ng))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

Simmetriya tufayli biz bu ifodani ancha tezroq hisoblab chiqdik.

Yechimning nuanslari

Qisman hosilalar uchun biz oddiylar uchun ishlatadigan barcha standart formulalar ishlaydi, ya'ni qismning hosilasi. Shu bilan birga, o'ziga xos xususiyatlar paydo bo'ladi: agar $x$ ning qisman hosilasini ko'rib chiqsak, uni $x$ dan olganimizda, biz uni doimiy deb hisoblaymiz va shuning uchun uning hosilasi "nol" ga teng bo'ladi. .

Oddiy hosilalarda bo'lgani kabi, ko'rsatkich (bir xil hosila) bir necha xil usullar bilan hisoblanishi mumkin. Masalan, biz hisoblagan bir xil qurilishni quyidagicha qayta yozish mumkin:

\[((\left(\frac(y)(x) \o'ng))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \o'ng)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

Shu bilan birga, boshqa tomondan, hosila yig'indisidan formuladan foydalanishingiz mumkin. Ma'lumki, u hosilalarning yig'indisiga teng. Masalan, quyidagilarni yozamiz:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Endi bularning barchasini bilgan holda, keling, jiddiyroq ifodalar bilan ishlashga harakat qilaylik, chunki haqiqiy qisman hosilalar faqat polinom va ildizlar bilan cheklanmaydi: trigonometriya, logarifmlar va ko'rsatkichli funktsiya ham mavjud. Endi buni qilaylik.

Trigonometrik funktsiyalar va logarifmlar bilan bog'liq masalalar

Vazifa № 1

Keling, quyidagi standart formulalarni yozamiz:

\[((\left(\sqrt(x) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Ushbu bilim bilan qurollangan holda, keling, hal qilishga harakat qilaylik:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \o'ng))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left) (\cos \frac(x)(y) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\]

Keling, bitta o'zgaruvchini alohida yozamiz:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left() \frac(x)(y)\right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Keling, dizaynimizga qaytaylik:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Hammasi shunday, biz uni $x$ ga topdik, endi $y$ uchun hisob-kitoblarni bajaramiz:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \o'ng))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left) (\cos \frac(x)(y) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\]

Yana bitta ifodani hisoblaymiz:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left() \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \o'ng)\]

Biz asl ifodaga qaytamiz va yechimni davom ettiramiz:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Bajarildi.

Muammo № 2

Bizga kerakli formulani yozamiz:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Endi $x$ ga hisoblaymiz:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \o'ng))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \o'ng)=\frac(1)(x+\ln y)\]

$x$ ga topildi. Biz $y$ ga hisoblaymiz:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \o'ng))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \o'ng)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \o'ng))\ ]

Muammo hal qilindi.

Yechimning nuanslari

Shunday qilib, biz qaysi funktsiyaning qisman hosilasini olsak ham, trigonometriya, ildizlar yoki logarifmlar bilan ishlayotganimizdan qat'i nazar, qoidalar bir xil bo'lib qoladi.

Standart hosilalar bilan ishlashning klassik qoidalari o'zgarishsiz qoladi, ya'ni yig'indi va ayirmaning hosilasi, qism va kompleks funktsiya.

Oxirgi formula ko'pincha qisman hosilalar bilan muammolarni hal qilishda topiladi. Biz ularni deyarli hamma joyda uchratamiz. Hech qachon biz duch kelmagan bitta vazifa bo'lmagan. Ammo qaysi formuladan foydalanmasak ham, bizda yana bitta talab qo'shiladi, ya'ni qisman hosilalar bilan ishlashning o'ziga xos xususiyati. Bir o'zgaruvchini tuzatganimizdan so'ng, qolganlarning hammasi doimiydir. Xususan, $\cos \frac(x)(y)$ ifodasining $y$ ga nisbatan qisman hosilasini ko‘rib chiqsak, $y$ o‘zgaruvchi bo‘lib, $x$ hamma joyda doimiy bo‘lib qoladi. Xuddi shu narsa aksincha ishlaydi. Uni lotin belgisidan olish mumkin va doimiyning hosilasi "nol" ga teng bo'ladi.

Bularning barchasi bir xil ifodaning qisman hosilalari, ammo turli o'zgaruvchilarga nisbatan butunlay boshqacha ko'rinishi mumkinligiga olib keladi. Masalan, quyidagi iboralarni ko'rib chiqamiz:

\[((\left(x+\ln y \o'ng))^(\asosiy ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \o'ng))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Ko‘rsatkichli funksiyalar va logarifmlar bilan bog‘liq masalalar

Vazifa № 1

Boshlash uchun quyidagi formulani yozamiz:

\[((\left(((e)^(x)) \o'ng))^(\asosiy ))_(x)=((e)^(x))\]

Ushbu faktni, shuningdek, murakkab funktsiyaning hosilasini bilib, hisoblashga harakat qilaylik. Endi men buni ikki xil yo'l bilan hal qilaman. Birinchi va eng aniq mahsulot hosilasi:

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \o'ng) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \o'ng))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+(e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\]

Quyidagi ifodani alohida yechamiz:

\[((\left(\frac(x)(y) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\frac((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Biz asl dizaynimizga qaytamiz va yechimni davom ettiramiz:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+(e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\chap(1) +\frac(1)(y)\o'ng)\]

Hammasi $x$ hisoblanadi.

Biroq, men va'da qilganimdek, endi biz xuddi shu qisman hosilani boshqacha tarzda hisoblashga harakat qilamiz. Buning uchun quyidagilarga e'tibor bering:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

Keling, buni shunday yozamiz:

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \o'ng))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \o'ng))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \o'ng)\]

Natijada, biz aynan bir xil javob oldik, ammo hisob-kitoblar miqdori kichikroq bo'lib chiqdi. Buning uchun mahsulotni bajarishda ko'rsatkichlar qo'shilishi mumkinligini ta'kidlash kifoya edi.

Endi $y$ ga hisoblaymiz:

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \o'ng) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \o'ng))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \o'ng))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\]

Keling, bitta ifodani alohida hal qilaylik:

\[((\left(\frac(x)(y) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\frac((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

Keling, asl qurilishimizni hal qilishni davom ettiramiz:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \o'ng)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Albatta, xuddi shu hosilani ikkinchi usulda hisoblash mumkin va javob bir xil bo'ladi.

Muammo № 2

$x$ ga hisoblaymiz:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \o'ng))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \o'ng )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \o'ng) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\]

Keling, bitta ifodani alohida hisoblaymiz:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \o'ng) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \o‘ng))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]

Keling, asl qurilishni hal qilishni davom ettiramiz: $$

Bu javob.

$y$ dan foydalangan holda analogiya bo'yicha topish mumkin:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \o'ng))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \o'ng)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \o'ng) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\]

Har doimgidek, biz bitta ifodani alohida hisoblaymiz:

\[((\left(((x)^(2))+y \o'ng))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \o'ng) )^(\prime ))_(y)+((y)")_(y))=0+1=1\]

Biz asosiy dizaynni hal qilishni davom ettiramiz:

Hammasi hisoblab chiqilgan. Ko'rib turganingizdek, farqlash uchun qaysi o'zgaruvchi olinganiga qarab, javoblar butunlay boshqacha.

Yechimning nuanslari

Mana bir xil funktsiyaning hosilasini ikki xil usulda qanday hisoblash mumkinligiga yorqin misol. Mana qarang:

\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \o'ng)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+(e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ chap (1+\frac(1)(y) \o'ng)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \o'ng)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \o'ng))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\chap(x+\frac(x)(y) \o'ng))^(\bosh ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \o'ng)\ ]

Turli yo'llarni tanlashda hisob-kitoblar miqdori boshqacha bo'lishi mumkin, ammo javob, agar hamma narsa to'g'ri bajarilgan bo'lsa, bir xil bo'ladi. Bu klassik va qisman hosilalarga ham tegishli. Shu bilan birga, yana bir bor eslatib o'taman: lotin qaysi o'zgaruvchiga qarab, ya'ni. farqlash, javob butunlay boshqacha bo'lishi mumkin. Qarang:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \o'ng) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \o‘ng))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \o'ng) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \o‘ng))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]

Xulosa qilib aytganda, ushbu materialning barchasini birlashtirish uchun yana ikkita misolni hisoblashga harakat qilaylik.

Trigonometrik funktsiyalar va uchta o'zgaruvchili funksiyalar bilan bog'liq masalalar

Vazifa № 1

Keling, quyidagi formulalarni yozamiz:

\[((\left(((a)^(x)) \o'ng))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \o'ng))^(\prime ))=((e)^(x))\]

Endi ifodamizni yechamiz:

\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \o'ng))^(\prime ))_(x)=((3) )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

Keling, quyidagi qurilishni alohida hisoblaylik:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Biz asl ifodani hal qilishni davom ettiramiz:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Bu $x$ da xususiy oʻzgaruvchining yakuniy javobidir. Endi $y$ ga hisoblaymiz:

\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \o'ng))^(\prime ))_(y)=((3) )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \o'ng))^(\prime ))_(y)=\]

Keling, bitta ifodani alohida hal qilaylik:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Keling, qurilishimizni oxirigacha hal qilaylik:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Muammo № 2

Bir qarashda, bu misol juda murakkab ko'rinishi mumkin, chunki uchta o'zgaruvchi mavjud. Aslida, bu bugungi video darsidagi eng oson vazifalardan biridir.

$x$ boʻyicha toping:

\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \o'ng))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \o'ng))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e)) ^(z)) \o'ng))^(\asosiy ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Endi $y$ bilan ishlaymiz:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \o'ng))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \o'ng))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ((e)^(z)) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \o'ng))^(\prime ))_(y)+(e)^(z))\cdot ((\chap) (y \o'ng))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+(e)^(z))\]

Biz javob topdik.

Endi faqat $z$ ni topish qoladi:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \o'ng))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e) )^(z)) \o'ng))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \o'ng))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

Biz uchinchi hosilani hisoblab chiqdik, bu ikkinchi masala yechimini yakunlaydi.

Yechimning nuanslari

Ko'rib turganingizdek, bu ikki misolda murakkab narsa yo'q. Ishonchimiz komilki, murakkab funktsiyaning hosilasi tez-tez ishlatiladi va qaysi qisman hosilani hisoblashimizga qarab, biz turli xil javoblarni olamiz.

Oxirgi vazifada bizdan bir vaqtning o'zida uchta o'zgaruvchining funktsiyasi bilan shug'ullanishni so'rashdi. Buning hech qanday yomon joyi yo'q, lekin oxirida biz ularning barchasi bir-biridan sezilarli darajada farq qilishiga amin bo'ldik.

Asosiy fikrlar

Bugungi video darsdan yakuniy xulosalar quyidagilar:

1. Qisman hosilalar oddiylar kabi hisoblab chiqiladi, lekin bir o'zgaruvchiga nisbatan qisman hosilalarni hisoblash uchun biz ushbu funktsiyaga kiritilgan barcha boshqa o'zgaruvchilarni doimiylar sifatida olamiz.
2. Qisman hosilalar bilan ishlashda biz oddiy hosilalar bilan bir xil standart formulalardan foydalanamiz: yig'indi, ayirma, mahsulot va qismning hosilasi va, albatta, murakkab funktsiyaning hosilasi.

Albatta, ushbu mavzuni to'liq tushunish uchun ushbu video darsni ko'rishning o'zi etarli emas, shuning uchun hozir mening veb-saytimda ushbu video uchun bugungi mavzuga bag'ishlangan muammolar to'plami mavjud - kiring, yuklab oling, ushbu muammolarni hal qiling va javobni tekshiring. . Va bundan keyin siz imtihonlarda ham, mustaqil ishda ham qisman hosilalar bilan bog'liq muammolarga duch kelmaysiz. Albatta, bu oliy matematika bo'yicha oxirgi dars emas, shuning uchun bizning veb-saytimizga tashrif buyuring, VKontakte-ni qo'shing, YouTube-ga obuna bo'ling, like bosing va biz bilan qoling!

Qisman hosilalar bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari bilan bog'liq masalalarda qo'llaniladi. Topish qoidalari bitta o'zgaruvchining funktsiyalari bilan mutlaqo bir xil bo'lib, yagona farq shundaki, farqlash vaqtida o'zgaruvchilardan biri doimiy (doimiy son) deb hisoblanishi kerak.

Formula

Ikki o'zgaruvchining $ z(x,y) $ funktsiyasi uchun qisman hosilalar quyidagi $ z"_x, z"_y $ shaklida yoziladi va formulalar yordamida topiladi:

Birinchi tartibli qisman hosilalar

$$ z"_x = \frac(\qisman z)(\qisman x) $$

$$ z"_y = \frac(\qisman z)(\qisman y) $$

Ikkinchi tartibli qisman hosilalar

$$ z""_(xx) = \frac(\qisman^2 z)(\qisman x \qisman x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\qisman^2 z)(\qisman y \qisman y) $$

Aralash hosila

$$ z""_(xy) = \frac(\qisman^2 z)(\qisman x \qisman y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\qisman^2 z)(\qisman y \qisman x) $$

Kompleks funktsiyaning qisman hosilasi

a) $ z (t) = f(x(t), y(t)) $ bo‘lsin, u holda kompleks funksiyaning hosilasi quyidagi formula bilan aniqlanadi:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\qisman z)(\qisman x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\qisman z)(\qisman y) \cdot \frac (dy)(dt)$$

b) $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $ boʻlsin, u holda funksiyaning qisman hosilalari quyidagi formula boʻyicha topiladi:

$$ \frac(\qisman z)(\qisman u) = \frac(\qisman z)(\qisman x) \cdot \frac(\qisman x)(\qisman u) + \frac(\qisman z)( \qisman y) \cdot \frac(\qisman y)(\qisman u) $$

$$ \frac(\qisman z)(\qisman v) = \frac(\qisman z)(\qisman x) \cdot \frac(\qisman x)(\qisman v) + \frac(\qisman z)( \qisman y) \cdot \frac(\qisman y)(\qisman v) $$

Yashirin funksiyaning qisman hosilalari

a) $ F(x,y(x)) = 0 $, keyin $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$ bo'lsin.

b) $ F(x,y,z)=0 $ bo'lsin, keyin $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Yechimlarga misollar

1-misol

$ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $ birinchi tartibli qisman hosilalarni toping

Yechim

$ x $ ga nisbatan qisman hosilani topish uchun $ y $ ni doimiy qiymat (son) deb hisoblaymiz: $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Funktsiyaning $y$ ga nisbatan qisman hosilasini topish uchun $y$ ni doimiy bilan aniqlaymiz: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Agar muammoingizni hal qila olmasangiz, uni bizga yuboring. Biz batafsil yechimni taqdim etamiz. Hisoblash jarayonini ko'rishingiz va ma'lumot olishingiz mumkin. Bu sizga o'qituvchingizdan o'z vaqtida baho olishingizga yordam beradi!

Javob

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

2-misol

$ z = e^(xy) $ ikkinchi tartibli funksiyaning qisman hosilalarini toping

Yechim

Avval siz birinchi hosilalarni topishingiz kerak, keyin ularni bilib, ikkinchi tartibli hosilalarni topishingiz mumkin. $y$ doimiy bo'lsin: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Keling, $ x $ ni doimiy qiymat sifatida belgilaymiz: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Birinchi hosilalarni bilib, ikkinchisini ham xuddi shunday topamiz. $y$ ni doimiyga o'rnating: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ Biz $ x $ doimiy qiymatga o'rnatdik: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Endi faqat aralash hosilani topish qoladi. Siz $ z"_x $ ni $ y $ ga, $ z" _y $ ni $ x $ ga farqlashingiz mumkin, chunki $ z""_(xy) = z""_(yx) $ teoremasi bo'yicha. $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$

Javob

$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

4-misol

$ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ koʻrinmas funksiyani $ F(x,y,z) = 0 $ aniqlasin. Birinchi tartibli qisman hosilalarni toping.

Yechim

Funksiyani quyidagi formatda yozamiz: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ va hosilalarni topamiz: $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Javob

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Aniq funktsiyalarning yuqori tartibli hosilalarini hisoblash misollari ko'rib chiqiladi. n-tartibli hosilalarni hisoblash uchun foydali formulalar berilgan.

Tarkib

Yuqori tartibli hosilalarni aniqlash

Bu erda y o'zgaruvchisi x o'zgaruvchisiga aniq bog'liq bo'lgan holatni ko'rib chiqamiz:
.
Funktsiyani x o'zgaruvchisiga nisbatan farqlash orqali biz birinchi tartibli hosila yoki oddiy hosila olamiz:
.
Natijada, biz funktsiyaning hosilasi bo'lgan yangi funktsiyani olamiz. Ushbu yangi funktsiyani x o'zgaruvchisiga nisbatan farqlash orqali biz ikkinchi tartibli hosilani olamiz:
.
Funksiyani differensial qilib, uchinchi tartibli hosilani olamiz:
.
Va hokazo. Dastlabki funktsiyani n marta farqlab, biz n-tartibli hosila yoki n-chi hosila olamiz:
.

Hosilalarni belgilash mumkin shtrixlar, rim raqamlari, qavs ichidagi arab raqamlari yoki differentsiallardan kasrlar. Masalan, uchinchi va to'rtinchi tartibli hosilalarni quyidagicha belgilash mumkin:
;
.

Quyida yuqori tartibli hosilalarni hisoblashda foydali bo'lishi mumkin bo'lgan formulalar keltirilgan.

n-tartibli hosilalar uchun foydali formulalar

Ayrim elementar funksiyalarning hosilalari:
;
;
;
;
.

Funktsiyalar yig'indisining hosilasi:
,
doimiylar qayerda.

Leybnits formulasi ikki funksiya hosilasining hosilasi:
,
Qayerda
- binomial koeffitsientlar.

1-misol

Quyidagi funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarini toping:
.

Birinchi tartib hosilasini topamiz. Biz doimiyni hosila belgisidan tashqariga olamiz va hosilalar jadvalidan formulani qo'llaymiz:
.
Biz murakkab funktsiyalarni differentsiallash qoidasini qo'llaymiz:
.
Bu yerga .
Biz murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasini qo'llaymiz va topilgan hosilalardan foydalanamiz:
.
Bu yerga .

.
Ikkinchi tartibli hosilani topish uchun birinchi tartibli hosilaning, ya'ni funktsiyaning hosilasini topishimiz kerak:
.
Belgilanish bilan chalkashmaslik uchun ushbu funktsiyani harf bilan belgilaymiz:
(A1.1) .
Keyin ikkinchi tartib hosilasi asl funktsiyadan funktsiyaning hosilasi olinadi:
.

Funktsiyaning hosilasini topish. Buni logarifmik lotin yordamida qilish osonroq. Logarifmlashamiz (A1.1):
.
Endi farqlaylik:
(A1.2) .
Lekin doimiy. Uning hosilasi nolga teng. Biz allaqachon hosilasini topdik. Qolgan hosilalarni kompleks funksiyani differentsiallash qoidasidan foydalanib topamiz.
;
;
.
Biz (A1.2) ni almashtiramiz:

.
Bu yerdan
.

;
.

2-misol

Uchinchi tartib hosilasini toping:
.

Birinchi tartibli hosilani topish. Buning uchun hosila belgisidan tashqaridagi doimiyni olamiz va foydalanamiz hosilalar jadvali va murojaat qiling murakkab funksiyaning hosilasini topish qoidasi .

.
Bu yerga .
Shunday qilib, biz birinchi tartibli hosilani topdik:
.

Ikkinchi tartibli hosilani topish. Buning uchun ning hosilasini topamiz. Biz hosila kasr formulasini qo'llaymiz.
.
Ikkinchi tartibli hosila:
.

Endi biz qidirayotganimizni topamiz uchinchi tartib hosilasi. Buning uchun biz farqlaymiz.
;
;

.

Uchinchi tartibli hosila teng
.

3-misol

Quyidagi funksiyaning oltinchi tartib hosilasini toping:
.

Qavslarni ochsangiz, asl funktsiya darajali polinom ekanligi aniq bo'ladi. Uni polinom sifatida yozamiz:
,
doimiy koeffitsientlar qayerda.

Keyinchalik, quvvat funktsiyasining n-chi hosilasi uchun formulani qo'llaymiz:
.
Oltinchi tartibli hosila uchun (n = 6 ) bizda ... bor:
.
Bundan ma'lum bo'ladiki, da. Bizda:
.

Funktsiyalar yig'indisining hosilasi uchun formuladan foydalanamiz:

.
Shunday qilib, asl funktsiyaning oltinchi tartibli hosilasini topish uchun faqat eng yuqori darajadagi ko'phadning koeffitsientini topish kerak. Biz uni asl funktsiya yig'indilarining mahsulotidagi eng yuqori darajalarni ko'paytirish orqali topamiz:

.
Bu yerdan. Keyin
.

4-misol

Funktsiyaning n-chi hosilasini toping
.

Yechim > > >

5-misol

Quyidagi funksiyaning n-chi hosilasini toping:
,
qaerda va doimiylar.

Ushbu misolda murakkab raqamlar yordamida hisob-kitoblarni bajarish qulay. Keling, qandaydir murakkab funktsiyaga ega bo'lamiz
(A5.1) ,
bu yerda va x real o‘zgaruvchining funksiyalari;
- xayoliy birlik, .
(A.1) n marta differensiatsiya qilsak, bizda:
(A5.2) .
Ba'zan funktsiyaning n-chi hosilasini topish osonroq. Keyin funksiyalarning n-chi hosilalari n-chi hosilaning haqiqiy va xayoliy qismlari sifatida aniqlanadi:
;
.

Keling, misolimizni hal qilish uchun ushbu texnikadan foydalanamiz. Funktsiyani ko'rib chiqing
.
Bu erda biz Eyler formulasini qo'lladik
,
va belgilashni kiritdi
.
U holda asl funktsiyaning n-chi hosilasi quyidagi formula bilan aniqlanadi:
.

Funktsiyaning n-chi hosilasi topilsin
.
Buning uchun formulani qo'llaymiz:
.
Bizning holatda
.
Keyin
.

Shunday qilib, biz kompleks funktsiyaning n-chi hosilasini topdik:
,
Qayerda.
Funktsiyaning haqiqiy qismini topamiz.
Buning uchun kompleks sonni eksponensial shaklda ifodalaymiz:
,
Qaerda;
; .
Keyin
;

.

Misol yechim
.

Mayli,.
Keyin;
.
Da ,
,
,
.
Va biz kosinusning n-chi hosilasi uchun formulani olamiz:
.

,
Qayerda
; .