Matritsani raqamga ko'paytirish uchun matritsaning har bir elementini shu raqamga ko'paytirish kerak.

Natija. Barcha matritsa elementlarining umumiy omili matritsa belgisidan chiqarilishi mumkin.

Masalan, .

Ko'rib turganingizdek, matritsalarni qo'shish, ayirish va matritsani songa ko'paytirish amallari raqamlardagi amallarga o'xshaydi. Matritsalarni ko'paytirish - bu ma'lum bir operatsiya.

Ikki matritsaning mahsuloti.

Hamma matritsalarni ko'paytirib bo'lmaydi. Ikki matritsaning mahsuloti A Va IN sanab o'tilgan tartibda AB faqat birinchi omil ustunlar soni mumkin A ikkinchi omilning qatorlar soniga teng IN.

Masalan, .

Matritsa hajmi A 33, matritsa o'lchami IN 23. Ish AB imkonsiz, ish VA Balki.

Ikki A va B matritsalarning ko‘paytmasi uchinchi C matritsa bo‘lib, uning elementi C ij birinchi omilning i-qatori va ikkinchisining j- ustuni elementlarining juft ko‘paytmalari yig‘indisiga teng. omil.

Bu holda matritsalar ko'paytmasi mumkinligi ko'rsatildi VA

Ikki matritsa ko'paytmasining mavjudligi qoidasidan kelib chiqadiki, umumiy holatda ikkita matritsaning mahsuloti kommutativ qonunga bo'ysunmaydi, ya'ni. AB? VA. Agar ma'lum bir holatda shunday bo'lsa AB = BA, u holda bunday matritsalar almashtiriladigan yoki kommutativ deyiladi.

Matritsa algebrasida oddiy algebradan farqli o'laroq, faktor matritsalarining hech biri nolga teng bo'lmaganda ham ikkita matritsaning ko'paytmasi nol matritsa bo'lishi mumkin.

Masalan, matritsalar hosilasi topilsin AB, Agar

Siz bir nechta matritsalarni ko'paytirishingiz mumkin. Agar siz matritsalarni ko'paytirsangiz A, IN va bu matritsalarning mahsulotini matritsaga ko'paytirish mumkin BILAN, keyin mahsulotni tuzish mumkin ( AB) BILAN Va A(Quyosh). Bunday holda, ko'paytirishga oid kombinatsiya qonuni sodir bo'ladi ( AB) BILAN = A(Quyosh).

Bizga to'rtta raqamdan iborat jadval (matritsa deb ataladi) berilsin:

Matritsa ikkita satr va ikkita ustundan iborat.Ushbu matritsani tashkil etuvchi raqamlar ikkita indeksli harf bilan ko'rsatilgan. Birinchi indeks satr raqamini, ikkinchisi esa berilgan raqam paydo bo'lgan ustun raqamini ko'rsatadi. Masalan, birinchi qator va ikkinchi ustundagi raqamni bildiradi; ikkinchi qator va birinchi ustundagi raqam. Biz raqamlarni matritsaning elementlari deb ataymiz.

Berilgan matritsaga mos keladigan ikkinchi tartibning determinanti (yoki determinanti) quyidagicha olingan raqamdir:

Aniqlovchi belgi bilan belgilanadi

Shunday qilib,

Raqamlar determinantning elementlari deb ataladi.

Ikkinchi tartibli determinantning xossalarini keltiramiz.

Xususiyat 1. Agar uning satrlari mos ustunlar bilan almashtirilsa, determinant o'zgarmaydi, ya'ni.

Mulk 2.

Ikki qatorni (yoki ustunni) qayta tartiblashda determinant mutlaq qiymatni saqlab, o'z belgisini teskari tomonga o'zgartiradi, ya'ni.

Xossa 3. Ikkita bir xil qatorli (yoki ustunli) determinant nolga teng.

Xossa 4. Satrning (yoki ustunning) barcha elementlarining umumiy koeffitsienti aniqlovchi belgisidan chiqarilishi mumkin:

Xossa 5. Agar satr (yoki ustun) ning barcha elementlari nolga teng bo’lsa, determinant nolga teng bo’ladi.

Xususiyat 6. Agar determinantning biron bir satriga (yoki ustuniga) boshqa qatorning (yoki ustunning) mos keladigan elementlarini bir xil y soniga ko'paytirsak, u holda determinant o'z qiymatini o'zgartirmaydi, ya'ni.

Bu erda biz odatda determinantlarni hisoblash uchun ishlatiladigan xususiyatlarni tavsiflaymiz standart kurs oliy matematika. Bu yordamchi mavzu bo'lib, kerak bo'lganda boshqa bo'limlardan murojaat qilamiz.

Shunday qilib, ma'lum kvadrat matritsasi $A_(n\times n)=\left(\begin(massiv) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) bo'lsin. beriladi & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \ end (massiv) \right)$. Har bir kvadrat matritsa determinant (yoki determinant) deb ataladigan xususiyatga ega. Men bu yerda bu tushunchaning mohiyatiga kirmayman. Agar bu tushuntirishni talab qilsa, iltimos, forumda bu haqda yozing, men bu masalaga batafsilroq to'xtalaman.

$A$ matritsasining determinanti $\Delta A$, $|A|$ yoki $\det A$ sifatida belgilanadi. Aniqlovchi tartib undagi qatorlar (ustunlar) soniga teng.

1. Agar uning satrlari mos ustunlar bilan almashtirilsa, determinantning qiymati o'zgarmaydi, ya'ni. $\Delta A=\Delta A^T$.

   ko'rsatish\yashirish

   Keling, undagi qatorlarni ustunlar bilan almashtiramiz: "birinchi qator bor edi - birinchi ustun bor edi", "ikkinchi qator bor edi - ikkinchi ustun bor edi":

   Olingan determinantni hisoblaymiz: $\left| \begin(massiv) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \end(massiv) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. Ko'rib turganingizdek, determinantning qiymati almashtirish tufayli o'zgarmadi.

2. Determinantning ikki qatori (ustunlari) almashtirilsa, determinantning ishorasi teskari tomonga o‘zgaradi.

   Ushbu xususiyatdan foydalanishga misol: show\hide

   $\left| determinantini ko'rib chiqing \begin(massiv) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(massiv) \right|$. Ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlarni hisoblash mavzusidan No1 formuladan foydalanib uning qiymatini topamiz:

   $$\chap| \begin(massiv) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(massiv) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$

   Endi birinchi va ikkinchi qatorlarni almashtiramiz. Biz $\left| determinantini olamiz \begin(massiv) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(massiv) \right|$. Olingan determinantni hisoblaymiz: $\left| \begin(massiv) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(massiv) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Demak, asl determinantning qiymati (-37), satr tartibi o‘zgartirilgan determinantning qiymati esa $-(-37)=37$ ga teng bo‘ldi. Aniqlovchining belgisi teskari tomonga o'zgargan.

3. Qator (ustun) ning barcha elementlari nolga teng bo'lgan determinant nolga teng.

   Ushbu xususiyatdan foydalanishga misol: show\hide

   Chunki $\left| determinantida \begin(massiv) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(massiv) \right|$ uchinchi ustunning barcha elementlari nolga teng, keyin determinant nolga teng, ya'ni. $\left| \begin(massiv) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(massiv) \right|=0$.

4. Muayyan satrning (ustunning) barcha elementlari boshqa qatorning (ustunning) mos keladigan elementlariga teng bo'lgan aniqlovchi nolga teng.

   Ushbu xususiyatdan foydalanishga misol: show\hide

   Chunki $\left| determinantida \begin(massiv) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(massiv) \right|$ birinchi qatorning barcha elementlari mos keladigan qiymatga teng ikkinchi qatorning elementlari, keyin determinant nolga teng, ya'ni. $\left| \begin(massiv) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(massiv) \right|=0$.

5. Agar determinantda bir qatorning (ustunning) barcha elementlari boshqa qatorning (ustunning) mos keladigan elementlariga proportsional bo'lsa, unda bunday determinant nolga teng bo'ladi.

   Ushbu xususiyatdan foydalanishga misol: show\hide

   Chunki $\left| determinantida \begin(massiv) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(massiv) \right|$ Ikkinchi va uchinchi qatorlar proportsionaldir, ya'ni. $r_3=-3\cdot(r_2)$ boʻlsa, determinant nolga teng, yaʼni. $\left| \begin(massiv) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(massiv) \right|=0$.

6. Agar qator (ustun) ning barcha elementlari umumiy koeffitsientga ega bo'lsa, u holda bu omil aniqlovchi belgidan chiqarilishi mumkin.

   Ushbu xususiyatdan foydalanishga misol: show\hide

   $\left| determinantini ko'rib chiqing \begin(massiv) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(massiv) \right|$. E'tibor bering, ikkinchi qatordagi barcha elementlar 3 ga bo'linadi:

   $$\chap| \begin(massiv) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(massiv) \right|=\left| \begin(massiv) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(massiv) \o'ng|$$

   3 raqami ikkinchi qatorning barcha elementlarining umumiy omilidir. Determinant belgisidan uchtasini chiqaramiz:

   $$\chap| \begin(massiv) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(massiv) \right|=\left| \begin(massiv) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(massiv) \right|= 3\cdot \left| \begin(massiv) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \end(massiv) \o'ng| $$

7. Agar ma'lum bir qatorning (ustunning) barcha elementlariga boshqa qatorning (ustunning) mos keladigan elementlarini ixtiyoriy songa ko'paytirsak, determinant o'zgarmaydi.

   Ushbu xususiyatdan foydalanishga misol: show\hide

   $\left| determinantini ko'rib chiqing \begin(massiv) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(massiv) \right|$. Ikkinchi qatorning elementlariga uchinchi qatorning mos keladigan elementlarini 5 ga ko'paytiramiz. Bu amal quyidagicha yoziladi: $r_2+5\cdot(r_3)$. Ikkinchi qator o'zgartiriladi, qolgan qatorlar o'zgarishsiz qoladi.

   $$\chap| \begin(massiv) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(massiv) \o'ng| \begin(massiv) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(massiv)= \left| \begin(massiv) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end (massiv) \right|= \left| \begin(massiv) (ccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end(massiv) \o'ng|. $$

8. Agar determinantdagi ma'lum bir qator (ustun) boshqa qatorlar (ustunlar)ning chiziqli birikmasi bo'lsa, u holda determinant nolga teng.

   Ushbu xususiyatdan foydalanishga misol: show\hide

   Keling, "chiziqli birikma" iborasi nimani anglatishini darhol tushuntiraman. Bizda s qator (yoki ustunlar) bo'lsin: $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. Ifoda

   $$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$

   bu yerda $k_i\r$da $A_1$, $A_2$,..., $A_s$ qatorlar (ustunlar)ning chiziqli birikmasi deyiladi.

   Masalan, quyidagi determinantni ko'rib chiqing:

   $$\chap| \begin(massiv) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end(massiv) \o'ng| $$

   Ushbu determinantda to'rtinchi qatorni chiziqli birikma sifatida ifodalash mumkin birinchi uch qatorlar:

   $$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$

   Shuning uchun ko'rib chiqilayotgan determinant nolga teng.

9. Agar determinantning ma'lum bir k-qatorining (k-ustun) har bir elementi ikkita hadning yig'indisiga teng bo'lsa, unda bunday determinant birinchisi bo'lgan aniqlovchilar yig'indisiga teng bo'ladi. k-chi qator (k-ustun) birinchi hadlarga, ikkinchi aniqlovchi esa k-qatorda (k-ustun) ikkinchi hadlarga ega. Ushbu determinantlarning boshqa elementlari bir xil.

   Ushbu xususiyatdan foydalanishga misol: show\hide

   $\left| determinantini ko'rib chiqing \begin(massiv) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(massiv) \right|$. Ikkinchi ustun elementlarini shunday yozamiz: $\left| \begin(massiv) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(massiv) \right|$. U holda bunday determinant ikkita aniqlovchining yig'indisiga teng bo'ladi:

   $$\chap| \begin(massiv) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(massiv) \right|= \left| \begin(massiv) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(massiv) \right|= \left| \begin(massiv) (ccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(massiv) \right|+ \left| \begin(massiv) (ccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end(massiv) \o'ng| $$

10. Bir xil tartibdagi ikkita kvadrat matritsaning ko'paytmasining aniqlovchisi ushbu matritsalarning determinantlari mahsulotiga teng, ya'ni. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. Bu qoidadan quyidagi formulani olishimiz mumkin: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
11. Agar $A$ matritsasi yagona bo'lmasa (ya'ni uning determinanti nolga teng bo'lmasa), $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$ bo'ladi.

Determinantlarni hisoblash uchun formulalar

Ikkinchi va uchinchi darajali determinantlar uchun quyidagi formulalar to'g'ri keladi:

\begin(tenglama) \Delta A=\left| \begin(massiv) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \end(massiv) \o'ng|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \end(tenglama) \begin(tenglama) \begin(hizalangan) & \Delta A=\left| \begin(massiv) (ccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(massiv) \o'ng|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21) )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33) )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11)\end(hizalangan)\end(tenglama)

(1) va (2) formulalardan foydalanish misollari "Ikkinchi va uchinchi darajali determinantlarni hisoblash formulalari. Determinantlarni hisoblash misollari" mavzusida.

$A_(n\times n)$ matritsasining determinantini kengaytirish mumkin i-chi qator quyidagi formuladan foydalanib:

\begin(tenglama)\Delta A=\sum\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(da)A_(in) \end(tenglama)

Ushbu formulaning analogi ustunlar uchun ham mavjud. j-ustundagi determinantni kengaytirish formulasi quyidagicha:

\begin(tenglama)\Delta A=\sum\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(tenglama)

(3) va (4) formulalar bilan ifodalangan qoidalar misollar bilan batafsil yoritilgan va aniqlovchining tartibini qisqartirish mavzusida tushuntirilgan. Aniqlovchining ketma-ket (ustun) bo'linishi.

Yuqori uchburchak va pastki uchburchak matritsalarning determinantlarini hisoblash uchun boshqa formulani ko'rsatamiz (bu atamalarni tushuntirish uchun "Matritsalar. Matritsalar turlari. Asosiy atamalar" mavzusiga qarang). Bunday matritsaning determinanti asosiy diagonaldagi elementlarning mahsulotiga teng. Misollar:

\begin(hizalangan) &\left| \begin(massiv) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end(massiv) \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\left| \begin(massiv) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \end(massiv) \ o'ng|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \end (tekislangan)

- Titmosni o'limga qo'yib yuboring!
Erkinlik uni erkalasin!
Va kema suzib, reaktor bo'kiradi ...
- Pash, qaysarmisan?

Esimda, 8-sinfgacha algebrani yoqtirmasdim. Menga umuman yoqmadi. U meni jahlini chiqardi. Chunki u yerda hech narsani tushunmadim.

Va keyin hamma narsa o'zgardi, chunki men bitta hiylani topdim:

Umuman olganda, matematikada (xususan, algebrada) hamma narsa vakolatli va izchil ta'riflar tizimiga qurilgan. Agar siz ta'riflarni bilsangiz, ularning mohiyatini tushunib oling, qolganlarini tushunish qiyin bo'lmaydi.

Bugungi dars mavzusi bilan ham shunday. Biz bir nechta tegishli masalalar va ta'riflarni batafsil ko'rib chiqamiz, buning yordamida siz matritsalar, determinantlar va ularning barcha xususiyatlarini bir marta va umuman tushunasiz.

Determinantlar matritsa algebrasida markaziy tushunchadir. Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari singari, ular sizni oliy matematika kursi davomida ta'qib qiladi. Shuning uchun biz yaxshilab o'qiymiz, tomosha qilamiz va tushunamiz. :)

Va biz eng samimiy narsadan boshlaymiz - matritsa nima? Va u bilan qanday qilib to'g'ri ishlash kerak.

Matritsada indekslarni to'g'ri joylashtirish

Matritsa oddiygina raqamlar bilan to'ldirilgan jadvaldir. Neoning bunga aloqasi yo'q.

Matritsaning asosiy xususiyatlaridan biri uning o'lchamidir, ya'ni. u iborat qatorlar va ustunlar soni. Biz odatda ma'lum bir $A$ matritsasi $m$ satrlari va $n$ ustunlari bo'lsa, $\left[ m\times n \right]$ o'lchamiga ega deb aytamiz. Buni shunday yozing:

Yoki shunday:

Boshqa belgilar ham bor - barchasi o'qituvchi / seminarist / darslik muallifining afzalliklariga bog'liq. Lekin har qanday holatda ham, bu $\left[ m\times n \right]$ va $((a)_(ij))$ bilan bir xil muammo yuzaga keladi:

Qaysi indeks nima uchun javob beradi? Avval qator raqami, keyin ustun raqami keladimi? Yoki aksincha?

Ma'ruzalar va darsliklarni o'qiyotganda, javob aniq ko'rinadi. Ammo imtihonda oldingizda faqat bir varaq vazifa turganda, siz haddan tashqari hayajonlanib, birdan sarosimaga tushib qolishingiz mumkin.

Shunday ekan, keling, bu masalani bir marta hal qilaylik. Boshlash uchun maktab matematika kursidagi odatiy koordinatalar tizimini eslaylik:

Tekislikda koordinatalar tizimini joriy qilish

Uni eslaysizmi? U $x$ va $y$ oʻqlarining kelib chiqishiga ($O=\left(0;0 \oʻng)$ nuqta) ega va tekislikdagi har bir nuqta koordinatalar bilan yagona aniqlanadi: $A=\left( 1;2 \ right)$, $B=\left(3;1 \right)$ va boshqalar.

Endi bu konstruksiyani olib, uni matritsa yoniga joylashtiramiz, shunda koordinatalarning kelib chiqishi yuqori chap burchakda bo‘lsin. Nega u yerda? Ha, chunki kitobni ochishda biz sahifaning yuqori chap burchagidan aniq o'qishni boshlaymiz - buni eslab qolish oson.

Lekin o'qlarni qaerga yo'naltirish kerak? Biz ularni butun virtual "sahifamiz" bu o'qlar bilan qoplanishi uchun yo'naltiramiz. To'g'ri, buning uchun biz koordinata tizimimizni aylantirishimiz kerak bo'ladi. Faqat mumkin bo'lgan variant bu joy:

Matritsaga koordinatalar tizimini qo'shish

Endi matritsaning har bir yacheykasi $x$ va $y$ noyob koordinatalariga ega. Masalan, $((a)_(24))$ deb yozish $x=2$ va $y=4$ koordinatalari boʻlgan elementga kirishimizni bildiradi. Matritsaning o'lchamlari ham bir juft raqamlar bilan noyob tarzda belgilanadi:

Matritsadagi indekslarni aniqlash

Shunchaki bu rasmga diqqat bilan qarang. Koordinatalar bilan o'ynang (ayniqsa, haqiqiy matritsalar va determinantlar bilan ishlaganingizda) - va juda tez orada siz eng murakkab teorema va ta'riflarda ham aytilgan narsalarni juda yaxshi tushunishingizni tushunasiz.

Tushundim? Keling, ma'rifatning birinchi bosqichiga - determinantning geometrik ta'rifiga o'tamiz. :)

Geometrik ta'rif

Avvalo shuni ta'kidlashni istardimki, determinant faqat $\left[ n\times n \right]$ ko'rinishdagi kvadrat matritsalar uchun mavjud. Determinant - bu ma'lum qoidalarga muvofiq hisoblangan va ushbu matritsaning xususiyatlaridan biri bo'lgan raqam (boshqa xususiyatlar mavjud: daraja, xos vektorlar, lekin bu haqda boshqa darslarda ko'proq).

Xo'sh, bu xususiyat nima? Bu nima degani? Hammasi oddiy:

$A=\left[ n\times n \right]$ kvadrat matritsaning determinanti $n$-oʻlchovli parallelepipedning hajmi boʻlib, agar matritsa qatorlarini shu qirrasini hosil qiluvchi vektorlar deb hisoblasak, hosil boʻladi. parallelepiped.

Masalan, 2x2 matritsaning determinanti oddiygina parallelogrammning maydonidir, ammo 3x3 matritsa uchun bu allaqachon 3 o'lchovli parallelepipedning hajmi - xuddi shunday narsa stereometriya darslarida barcha o'rta maktab o'quvchilarini g'azablantiradi. .

Bir qarashda, bu ta'rif mutlaqo noadekvat ko'rinishi mumkin. Ammo xulosa chiqarishga shoshilmaylik - misollarni ko'rib chiqaylik. Aslida, hamma narsa oddiy, Watson:

Vazifa. Matritsalarning determinantlarini toping:

\[\chap| \begin(matritsa) 1 & 0 \\ 0 & 3 \\\end(matritsa) \o'ng|\quad \left| \begin(matritsa) 1 & -1 \\ 2 & 2 \\\end(matritsa) \o'ng|\quad \left| \begin(matritsa)2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\\end(matritsa) \o'ng|\]

Yechim. Birinchi ikkita determinant 2x2 o'lchamga ega. Demak, bular oddiygina parallelogramm maydonlari. Keling, ularni chizamiz va maydonni hisoblaymiz.

Birinchi parallelogramma $((v)_(1))=\left(1;0 \right)$ va $((v)_(2))=\left(0;3 \right) vektorlari ustiga qurilgan. $:

2x2 ning determinanti parallelogrammning maydonidir

Shubhasiz, bu shunchaki parallelogramma emas, balki juda to'rtburchak. Uning maydoni

Ikkinchi parallelogramma $((v)_(1))=\left(1;-1 \right)$ va $((v)_(2))=\left(2;2 \right) vektorlari ustiga qurilgan. )$. Xo'sh, nima? Bu ham to'rtburchak:

Yana 2x2 determinant

Ushbu to'rtburchakning tomonlari (asosan vektorlarning uzunligi) Pifagor teoremasi yordamida osonlikcha hisoblanadi:

\[\begin(align) & \left| ((v)_(1)) \right|=\sqrt(((1)^(2))+((\left(-1 \o'ng))^(2)))=\sqrt(2); \\ & \chap| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(((2)^(2))+((2)^(2)))=\sqrt(8)=2\sqrt(2); \\&S=\chap| ((v)_(1)) \right|\cdot \left| ((v)_(2)) \o'ng|=\sqrt(2)\cdot 2\sqrt(2)=4. \\\end (tekislash)\]

Oxirgi determinant bilan shug'ullanish qoladi - u allaqachon 3x3 matritsani o'z ichiga oladi. Stereometriyani eslab qolishingiz kerak:

3x3 ning determinanti parallelepipedning hajmidir

Bu hayratlanarli ko'rinadi, lekin aslida parallelepiped hajmining formulasini eslab qolish kifoya:

bu erda $S$ - asosning maydoni (bizning holatda, bu $OXY$ tekisligidagi parallelogrammning maydoni), $h$ - bu asosga chizilgan balandlik (aslida $ z$-$((v)_(3) )$ vektorining koordinatasi.

Parallelogrammning maydonini (biz uni alohida chizganmiz) hisoblash ham oson:

\[\begin(align) & S=2\cdot 3=6; \\ & V=S\cdot h=6\cdot 4=24. \\\end (tekislash)\]

Ana xolos! Javoblarni yozamiz.

Javob: 3; 4; 24.

Belgilash tizimi haqida kichik eslatma. Ba'zilar, ehtimol, vektorlar ustidagi "o'qlarni" e'tiborsiz qoldirganimni yoqtirmaydilar. Siz vektorni nuqta yoki boshqa narsa bilan aralashtirishingiz mumkin.

Ammo keling, jiddiy bo'laylik: biz allaqachon voyaga etgan o'g'il va qizlarmiz, shuning uchun kontekstdan biz vektor haqida gapirganda ham, nuqta haqida gapirganda ham juda yaxshi tushunamiz. O'qlar faqat rivoyatni to'sib qo'yadi, u allaqachon matematik formulalar bilan to'ldirilgan.

Va yana. Aslida, 1x1 matritsaning determinantini ko'rib chiqishga hech narsa to'sqinlik qilmaydi - bunday matritsa oddiygina bitta katakdir va bu katakchada yozilgan raqam determinant bo'ladi. Ammo bu erda muhim eslatma bor:

Klassik hajmdan farqli o'laroq, determinant bizga " yo'naltirilgan hajm", ya'ni. qator vektorlarini ko'rib chiqish ketma-ketligini hisobga olgan holda hajm.

Va agar siz tovushni so'zning klassik ma'nosida olishni istasangiz, determinant modulini olishingiz kerak bo'ladi, ammo endi bu haqda tashvishlanishning hojati yo'q - baribir, bir necha soniya ichida biz har qanday determinantni qanday hisoblashni bilib olamiz. har qanday belgilar, o'lchamlar va boshqalar bilan :)

Algebraik ta'rif

Geometrik yondashuvning barcha go'zalligi va ravshanligi uchun u jiddiy kamchilikka ega: bu juda aniqlovchini qanday hisoblash haqida bizga hech narsa aytmaydi.

Shuning uchun, endi biz muqobil ta'rifni tahlil qilamiz - algebraik. Buni amalga oshirish uchun bizga qisqacha nazariy tayyorgarlik kerak bo'ladi, lekin oxirida biz matritsalarda nimani va qanday xohlasak, hisoblash imkonini beruvchi vositani olamiz.

To'g'ri, u erda yangi muammo paydo bo'ladi ... lekin birinchi navbatda.

Permutatsiyalar va inversiyalar

1 dan $n$ gacha bo'lgan raqamlarni bir qatorga yozamiz. Siz shunga o'xshash narsani olasiz:

Endi (faqat o'yin-kulgi uchun) keling, bir nechta raqamni almashtiramiz. Siz qo'shnilarni o'zgartirishingiz mumkin:

Yoki, ehtimol - ayniqsa qo'shni emas:

Va taxmin qiling, nima? Hech narsa! Algebrada bu axloqsizlik permutatsiya deb ataladi. Va u juda ko'p xususiyatlarga ega.

Ta'rif. $n$ uzunlikdagi almashtirish har qanday tartibda yozilgan $n$ har xil raqamlar qatoridir. Odatda birinchi $n$ hisobga olinadi natural sonlar(ya'ni, faqat 1, 2, ..., $n $ raqamlari) va keyin ular kerakli almashtirishni olish uchun aralashtiriladi.

O'zgartirishlar vektorlar bilan bir xil tarzda belgilanadi - oddiygina harf va qavs ichida ularning elementlarining ketma-ket ro'yxati. Masalan: $p=\left(1;3;2 \right)$ yoki $p=\left(2;5;1;4;3 \right)$. Xat har qanday bo'lishi mumkin, lekin u $p$ bo'lsin. :)

Bundan tashqari, taqdimotning soddaligi uchun biz 5 uzunlikdagi almashtirishlar bilan ishlaymiz - ular allaqachon har qanday shubhali ta'sirlarni kuzatish uchun etarlicha jiddiy, ammo hali mo'rt miya uchun 6 yoki undan ortiq uzunlikdagi almashtirishlar kabi jiddiy emas. Mana shunday almashtirishlarga misollar:

\[\begin(align) & ((p)_(1))=\left(1;2;3;4;5 \right) \\ & (p)_(2))=\left(1) ;3;2;5;4 \o'ng) \\ & ((p)_(3))=\left(5;4;3;2;1 \o'ng) \\\end(hizala)\]

Tabiiyki, $n$ uzunlikdagi almashtirishni $\left\( 1;2;...;n \right\)$ toʻplamida aniqlangan va bu toʻplamni oʻziga bijektiv ravishda xaritalashtirgan funksiya sifatida qaralishi mumkin. $((p)_(1))$, $((p)_(2))$ va $((p)_(3))$ yozilgan almashtirishlarga qaytsak, biz qonuniy ravishda yozishimiz mumkin:

\[((p)_(1))\left(1 \o'ng)=1;((p)_(2))\left(3 \right)=2;((p)_(3))\ chap(2 \o'ng)=4;\]

$n$ uzunlikdagi turli almashtirishlar soni har doim cheklangan va $n!$ ga teng - bu kombinatorikadan osongina isbotlanadigan fakt. Misol uchun, agar biz 5 uzunlikdagi barcha almashtirishlarni yozmoqchi bo'lsak, unda biz juda ikkilanamiz, chunki bunday almashtirishlar bo'ladi.

Har qanday almashtirishning asosiy xususiyatlaridan biri undagi inversiyalar sonidir.

Ta'rif. $p=\left(((a)_(1));((a)_(2));...;((a)_(n)) \right)$ almashtirishdagi inversiya — har qanday juftlik $ \left(((a)_(i));((a)_(j)) \right)$ shundayki $i \lt j$, lekin $((a)_(i)) \gt ( (a)_(j))$. Oddiy qilib aytganda, inversiya kattaroq raqam kichikroqning chap tomonida bo'lsa (uning qo'shnisi shart emas).

Biz $N\left(p\right)$ bilan $p$ almashtirishdagi inversiyalar sonini belgilaymiz, lekin turli darsliklarda va turli mualliflarda boshqa belgilarga duch kelishga tayyor bo'ling - bu erda yagona standartlar yo'q. Inversiyalar mavzusi juda keng bo'lib, unga alohida dars bag'ishlanadi. Endi bizning vazifamiz ularni haqiqiy muammolarda qanday hisoblashni o'rganishdir.

Masalan, $p=\left(1;4;5;3;2 \right)$ almashtirishdagi inversiyalar sonini hisoblaymiz:

\[\left(4;3 \o'ng);\chap(4;2 \o'ng);\left(5;3 \o'ng);\chap(5;2 \o'ng);\chap(3;2 \o'ng) ).\]

Shunday qilib, $N\left(p \right)=5$. Ko'rib turganingizdek, buning hech qanday yomon joyi yo'q. Men darhol aytaman: bundan buyon bizni $N\left(p \right)$ sonining o'zi emas, balki uning tekisligi/g'alatiligi qiziqtiradi. Va bu erda biz muammosiz bugungi darsning asosiy qismiga o'tamiz.

Aniqlovchi nima

$A=\left[ n\times n \right]$ kvadrat matritsasi berilsin. Keyin:

Ta'rif. $A=\left[ n\times n \right]$ matritsasining determinanti $n!$ hadlarining algebraik yigʻindisi quyidagicha tuzilgan. Har bir atama har bir satr va har bir ustundan bittadan olingan $n$ matritsa elementlarining (−1) inversiya sonining kuchiga koʻpaytirilgan mahsulotidir:

\[\chap| A\o'ng|=\sum\limits_(n{{{\left(-1 \right)}^{N\left(p \right)}}\cdot {{a}_{1;p\left(1 \right)}}\cdot {{a}_{2;p\left(2 \right)}}\cdot ...\cdot {{a}_{n;p\left(n \right)}}}\]!}

Determinantdagi har bir atama uchun omillarni tanlashda asosiy nuqta shundaki, bitta qatorda yoki bitta ustunda ikkita omil ko'rinmaydi.

Buning yordamida umumiylikni yo'qotmasdan $((a)_(i;j))$ omillarining $i$ indekslari 1, ..., $n$ qiymatlarini "o'tadi" deb taxmin qilishimiz mumkin. , va $j$ indekslari birinchisining ba'zi almashtirishlari:

Va $p$ almashtirish mavjud bo'lganda, biz $N\left(p \right)$ inversiyalarini osongina hisoblashimiz mumkin - va determinantning keyingi hadi tayyor.

Tabiiyki, hech kim omillarni biron bir atama bilan almashtirishni taqiqlamaydi (yoki ularning barchasida - nega arzimas narsalarga vaqtni behuda sarflash kerak?), Va keyin birinchi indekslar ham qandaydir qayta tartibga solishni ifodalaydi. Ammo oxir-oqibat, hech narsa o'zgarmaydi: $i$ va $j$ indekslaridagi inversiyalarning umumiy soni bunday buzilishlar ostida paritetni saqlab qoladi, bu eski yaxshi qoidaga juda mos keladi:

Omillarni qayta tartiblash raqamlar mahsulotini o'zgartirmaydi.

Faqat bu qoidani matritsalarni ko'paytirishga qo'shmang - raqamlarni ko'paytirishdan farqli o'laroq, u kommutativ emas. Lekin men chekinaman. :)

Matritsa 2x2

Aslida, siz 1x1 matritsani ham ko'rib chiqishingiz mumkin - bu bitta hujayra bo'ladi va uning determinanti, siz taxmin qilganingizdek, ushbu katakda yozilgan raqamga teng. Hech narsa qiziq emas.

Shunday qilib, keling, 2x2 kvadrat matritsani ko'rib chiqaylik:

\[\left[ \begin(matritsa) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\end (matritsa) \o'ng]\]

Undagi satrlar soni $n=2$ bo'lgani uchun determinant $n!=2!=1\cdot 2=2$ hadlarni o'z ichiga oladi. Keling, ularni yozamiz:

\[\begin(hizala) & ((\left(-1 \o'ng))^(N\left(1;2 \o'ng)))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a) _(22))=((\left(-1 \o'ng))^(0))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a)_(22))=((a)_ (11))((a)_(22)); \\ & ((\left(-1 \o'ng))^(N\chap(2;1 \o'ng)))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21)) =((\left(-1 \right))^(1))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21))=((a)_(12))( (a)_(21)). \\\end (tekislash)\]

Shubhasiz, ikki elementdan tashkil topgan $\left(1;2 \right)$ almashtirishda hech qanday inversiya mavjud emas, shuning uchun $N\left(1;2 \right)=0$. Lekin $\left(2;1 \right)$ almashtirishda bitta inversiya mavjud (aslida 2< 1), поэтому $N\left(2;1 \right)=1.$

Umuman olganda, 2x2 matritsa uchun determinantni hisoblash uchun universal formula quyidagicha ko'rinadi:

\[\chap| \begin(matritsa) ((a)_(11)) & (a)_(12)) \\ ((a)_(21)) &(a)_(22)) \\\end( matritsa) \right|=((a)_(11))((a)_(22))-((a)_(12))((a)_(21))\]

Grafik jihatdan, bu asosiy diagonaldagi elementlarning mahsuloti, yon diagonaldagi elementlarning ko'paytmasi sifatida ifodalanishi mumkin:

2x2 matritsaning aniqlovchisi

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik:

\[\chap| \begin(matritsa) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end(matritsa) \o'ng|;\to'rtlik \chap| \begin(matritsa) 7 & 12 \\ 14 & 1 \\\end(matritsa) \o'ng|.\]

Yechim. Hamma narsa bir qatorda sanab o'tilgan. Birinchi matritsa:

Va ikkinchisi:

Javob: −3; -161.

Biroq, bu juda oddiy edi. Keling, 3x3 matritsalarni ko'rib chiqaylik - bu allaqachon qiziq.

Matritsa 3x3

Endi 3x3 kvadrat matritsani ko'rib chiqing:

\[\left[ \begin(matritsa) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & (a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & (a)_(32)) & ((a)_(33) ) \\\end (matritsa) \o'ng]\]

Uning determinantini hisoblashda biz $3!=1\cdot 2\cdot 3=6$ shartlarini olamiz - vahima qilish uchun juda ko'p emas, lekin ba'zi naqshlarni qidirishni boshlash uchun etarli. Birinchidan, keling, uchta elementning barcha almashtirishlarini yozamiz va ularning har biridagi inversiyalarni hisoblaymiz:

\[\begin(align) & ((p)_(1))=\left(1;2;3 \o'ng)\O'ng strelka N\chap(((p)_(1)) \o'ng)=N\ chap(1;2;3 \o'ng)=0; \\ & ((p)_(2))=\chap(1;3;2 \o'ng)\O'ng strelka N\chap(((p)_(2)) \o'ng)=N\chap(1;3) ;2 \right)=1; \\ & ((p)_(3))=\chap(2;1;3 \o'ng)\O'ng strelka N\chap(((p)_(3)) \o'ng)=N\chap(2;1) ;3 \right)=1; \\ & ((p)_(4))=\chap(2;3;1 \o'ng)\O'ng strelka N\chap(((p)_(4)) \o'ng)=N\chap(2;3) ;1 \right)=2; \\ & ((p)_(5))=\chap(3;1;2 \o'ng)\O'ng strelka N\chap(((p)_(5)) \o'ng)=N\chap(3;1) ;2 \right)=2; \\ & ((p)_(6))=\chap(3;2;1 \o'ng)\O'ng strelka N\chap(((p)_(6)) \o'ng)=N\chap(3;2 ;1 \right)=3. \\\end (tekislash)\]

Kutilganidek, jami 6 ta almashtirish yozildi: $((p)_(1))$, ... $((p)_(6))$ (tabiiyki, ularni quyidagicha yozish mumkin edi. boshqa ketma-ketlik - bu hech qanday farq qilmaydi) va ulardagi inversiyalar soni 0 dan 3 gacha o'zgarib turadi.

Umuman olganda, bizda "ortiqcha" bilan uchta atama bo'ladi (bu erda $N\left(p \right)$ juft) va yana uchta "minus" bilan. Umuman olganda, determinant quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

\[\chap| \begin(matritsa) ((a)_(11)) & (a)_(12)) & (a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a) _(22)) & (a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & (a)_(33)) \\\end (matritsa) \o'ng|=\begin(matritsa) ((a)_(11))((a)_(22))((a)_(33))+((a)_(12))( (a)_(23))((a)_(31))+((a)_(13))((a)_(21))((a)_(32))- \\ -( (a)_(13))((a)_(22))((a)_(31))-((a)_(12))((a)_(21))((a)_ (33))-((a)_(11))((a)_(23))((a)_(32)) \\\end(matritsa)\]

Endi o'tirmang va bu indekslarning barchasini jahl bilan siqib qo'ymang! Tushunarsiz raqamlar o'rniga quyidagi mnemonik qoidani eslab qolish yaxshiroqdir:

Uchburchak qoidasi. 3x3 matritsaning determinantini topish uchun asosiy diagonalda va yon tomoni shu diagonalga parallel bo'lgan teng yonli uchburchaklarning uchlarida joylashgan elementlarning uchta mahsulotini qo'shish kerak, so'ngra bir xil uchta mahsulotni ayirish kerak, lekin ikkilamchi diagonalda. . Sxematik ravishda u quyidagicha ko'rinadi:

3x3 matritsaning aniqlovchisi: uchburchak qoidasi

Aynan mana shu uchburchaklar (yoki pentagramlar, qaysi birini afzal ko'rsangiz), odamlar algebra bo'yicha har xil darslik va qo'llanmalarda chizishni yaxshi ko'radilar. Biroq, qayg'uli narsalar haqida gapirmaylik. Keling, shunday determinantni yaxshiroq hisoblaylik - haqiqiy qiyin narsalardan oldin isinish. :)

Vazifa. Determinantni hisoblang:

\[\chap| \begin(matritsa) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \\\end(matritsa) \o'ng|\]

Yechim. Biz uchburchaklar qoidasiga ko'ra ishlaymiz. Birinchidan, asosiy diagonal va unga parallel bo'lgan elementlardan tashkil topgan uchta atamani hisoblaymiz:

\[\begin(align) & 1\cdot 5\cdot 1+2\cdot 6\cdot 7+3\cdot 4\cdot 8= \\ & =5+84+96=185 \\\end(hizalang) \]

Endi yon diagonalni ko'rib chiqamiz:

\[\begin(align) & 3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot 1+1\cdot 6\cdot 8= \\ & =105+8+48=161 \\\end(hizalang) \]

Birinchi raqamdan ikkinchisini ayirish qoladi - va biz javob olamiz:

Ana xolos!

Biroq, 3x3 matritsalarning determinantlari hali mahoratning eng yuqori cho'qqisi emas. Bizni eng qiziqarli narsalar kutmoqda. :)

Determinantlarni hisoblashning umumiy sxemasi

Ma’lumki, $n$ matritsa o‘lchami ortib borishi bilan determinantdagi hadlar soni $n!$ bo‘ladi va tez o‘sadi. Shunga qaramay, faktorial - bu bema'nilik emas; bu juda tez o'sib borayotgan funktsiya.

4x4 matritsalar uchun determinantlarni to'g'ridan-to'g'ri hisoblash (ya'ni almashtirishlar orqali) qandaydir tarzda unchalik yaxshi emas. Men 5x5 va undan ko'proq haqida umuman jimman. Shuning uchun determinantning ba'zi xususiyatlari o'yinga kiradi, lekin ularni tushunish biroz nazariy tayyorgarlikni talab qiladi.

Tayyormisiz? Bor!

Minor matritsasi nima?

$A=\left[ m\times n \right]$ ixtiyoriy matritsasi berilsin. Eslatma: kvadrat bo'lishi shart emas. Determinantlardan farqli o'laroq, voyaga etmaganlar nafaqat qattiq kvadrat matritsalarda mavjud bo'lgan juda yoqimli narsalardir. Keling, ushbu matritsada $1\le k\le m$ va $1\le k\le n$ bilan bir nechta (masalan, $k$) qator va ustunlarni tanlaylik. Keyin:

Ta'rif. $k$ tartibining minori tanlangan $k$ ustunlar va qatorlar kesishmasida paydo bo'ladigan kvadrat matritsaning determinantidir. Ushbu yangi matritsaning o'zini ham kichik deb ataymiz.

Bunday minor $((M)_(k))$ bilan belgilanadi. Tabiiyki, bitta matritsada $k$ ga teng bo'lmagan to'liq to'plam bo'lishi mumkin. $\left[ 5\times 6 \right]$ matritsasi uchun 2-tartibdagi minorga misol:

Minor yaratish uchun $k = 2$ ustun va qatorlarni tanlash

Tanlangan satrlar va ustunlar muhokama qilingan misolda bo'lgani kabi bir-birining yonida bo'lishi shart emas. Asosiysi, tanlangan satr va ustunlar soni bir xil (bu $k$ raqami).

Yana bir ta'rif mavjud. Ehtimol, kimdir buni ko'proq yoqtiradi:

Ta'rif. $A=\left[ m\times n \right]$ toʻgʻri burchakli matritsasi berilgan boʻlsin. Agar bir yoki bir nechta ustunlar va bir yoki bir nechta satrlar oʻchirilgandan soʻng $\left[ k\times k \right]$ oʻlchamli kvadrat matritsa hosil boʻlsa, uning determinanti minor $((M)_(k)) hisoblanadi. $. Biz ba'zan matritsaning o'zini ham kichik deb ataymiz - bu kontekstdan aniq bo'ladi.

Mushugim aytganidek, ba'zida balkonda o'tirib miyovlagandan ko'ra, 11-qavatdan ovqat yeyish uchun qaytib kelgan ma'qul.

Misol. Matritsa berilgan bo'lsin

1-qator va 2-ustunni tanlab, biz birinchi darajali minorni olamiz:

\[((M)_(1))=\chap| 7\o'ng|=7\]

2, 3 qatorlar va 3, 4 ustunlarni tanlab, biz ikkinchi darajali minorni olamiz:

\[((M)_(2))=\chap| \begin(matritsa) 5 & 3 \\ 6 & 1 \\\end(matritsa) \o'ng|=5-18=-13\]

Va agar siz uchta qatorni, shuningdek, 1, 2, 4 ustunlarni tanlasangiz, uchinchi darajali minor bo'ladi:

\[((M)_(3))=\chap| \begin(matritsa) 1 & 7 & 0 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\\end(matritsa) \o'ng|\]

O'quvchi uchun 1, 2 yoki 3-bandlarning boshqa voyaga etmaganlarini topish qiyin bo'lmaydi. Shuning uchun biz davom etamiz.

Algebraik qo'shimchalar

- Xo'sh, bu kichik qo'riqchilar bizga nima beradi? - deb so'rasangiz kerak. O'z-o'zidan - hech narsa. Ammo kvadrat matritsalarda har bir kichikning "hamrohi" bor - qo'shimcha kichik, shuningdek algebraik to'ldiruvchi. Va birgalikda bu ikki hiyla bizga yong'oq kabi determinantlarni yorilish imkonini beradi.

Ta'rif. $A=\left[ n\times n \right]$ kvadrat matritsasi berilsin, bunda minor $((M)_(k))$ tanlanadi. Keyin minor uchun qo'shimcha minor $((M)_(k))$ asl $A$ matritsasining bir bo'lagi bo'lib, u minor $((M)_ ni tuzishda qatnashgan barcha satr va ustunlar o'chirilgandan keyin qoladi. (k))$:

Kichikdan kichikga qo'shimcha $((M)_(2))$

Keling, bir fikrga aniqlik kiritaylik: qo'shimcha minor shunchaki "matritsaning bir qismi" emas, balki bu qismning aniqlovchisidir.

Qo'shimcha voyaga etmaganlar yulduzcha bilan ko'rsatilgan: $M_(k)^(*)$:

bu yerda $A\nabla ((M)_(k))$ operatsiyasi tom maʼnoda “$A$ dan $((M)_(k))$ tarkibiga kiritilgan satr va ustunlarni oʻchirish” degan maʼnoni bildiradi. Ushbu operatsiya matematikada umuman qabul qilinmaydi - men uni hikoyaning go'zalligi uchun o'zim ixtiro qildim. :)

Qo'shimcha voyaga etmaganlar kamdan-kam hollarda o'zlari foydalanadilar. Ular yanada murakkab konstruktsiyaning bir qismi - algebraik to'ldiruvchidir.

Ta'rif. Minor $((M)_(k))$ ning algebraik toʻldiruvchisi qoʻshimcha minor $M_(k)^(*)$ $(((\left(-1 \right))^(S) qiymatiga koʻpaytiriladi. ))$ , bu yerda $S$ asl minor $((M)_(k))$ tarkibidagi barcha satr va ustunlar sonlarining yig‘indisidir.

Qoidaga ko'ra, minor $((M)_(k))$ ning algebraik to'ldiruvchisi $((A)_(k))$ bilan belgilanadi. Shunung uchun:

\[((A)_(k))=((\left(-1 \o'ng))^(S))\cdot M_(k)^(*)\]

Qiyinmi? Bir qarashda, ha. Lekin bu aniq emas. Chunki aslida hamma narsa oson. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Misol. 4x4 matritsa berilgan:

Keling, ikkinchi darajali kichikni tanlaylik

\[((M)_(2))=\chap| \begin(matritsa) 3 & 4 \\ 15 & 16 \\\end(matritsa) \o'ng|\]

Kapitan Obviousness bizga bu minorni tuzishda 1 va 4 qatorlar, shuningdek 3 va 4 ustunlar ishtirok etganiga ishora qilgandek tuyuladi. Ularni kesib tashlang va biz qo'shimcha minor olamiz:

$S$ sonini topish va algebraik to'ldiruvchini olish qoladi. Biz qatorlar (1 va 4) va ustunlar (3 va 4) sonlarini bilganimiz sababli, hamma narsa oddiy:

\[\begin(align) & S=1+4+3+4=12; \\ & ((A)_(2))=((\left(-1 \o'ng))^(S))\cdot M_(2)^(*)=((\left(-1 \o'ng)) )^(12))\cdot \left(-4 \o'ng)=-4\end(align)\]

Javob: $((A)_(2))=-4$

Ana xolos! Darhaqiqat, qo'shimcha minor va algebraik to'ldiruvchi o'rtasidagi butun farq faqat oldingi minusda bo'ladi va hatto har doim ham emas.

Laplas teoremasi

Shunday qilib, biz nima uchun bu kichik va algebraik qo'shimchalar kerak bo'lganiga keldik.

Determinantning parchalanishi haqidagi Laplas teoremasi. $k$ satrlar (ustunlar) $\left[ n\times n \right]$ oʻlchamdagi, $1\le k\le n-1$ boʻlgan matritsada tanlansin. Keyin ushbu matritsaning determinanti tanlangan qatorlar (ustunlar) va ularning algebraik to'ldiruvchilari tarkibidagi $k$ tartibli kichiklarning barcha mahsuloti yig'indisiga teng:

\[\chap| A \o'ng|=\sum(((M)_(k))\cdot ((A)_(k)))\]

Bundan tashqari, bunday atamalarning aynan $C_(n)^(k)$ bo'ladi.

Xo'sh, ma'qul: $C_(n)^(k)$ haqida - Men allaqachon o'zini ko'rsatyapman, Laplasning asl teoremasida bunday narsa yo'q edi. Ammo hech kim kombinatorikani bekor qilmagan va shartga tezda qarash sizga aniq ko'p atamalar bo'lishini o'zingiz ko'rish imkonini beradi. :)

Biz buni isbotlamaymiz, garchi u hech qanday qiyinchilik tug'dirmasa ham - barcha hisob-kitoblar eski yaxshi almashtirishlar va juft/toq inversiyalarga to'g'ri keladi. Biroq, dalil alohida paragrafda taqdim etiladi va bugun bizda faqat amaliy dars bor.

Shuning uchun, biz kichiklar matritsaning alohida kataklari bo'lganda, ushbu teoremaning maxsus holatiga o'tamiz.

Aniqlovchining satr va ustundagi parchalanishi

Biz hozir gaplashmoqchi bo'lgan narsa aniq determinantlar bilan ishlashning asosiy vositasi bo'lib, buning uchun almashtirishlar, kichiklar va algebraik qo'shimchalar bilan bu bema'nilik boshlangan.

O'qing va zavqlaning:

Laplas teoremasining natijasi (aniqlovchining qator/ustundagi parchalanishi). $\left[ n\times n \right]$ oʻlchamli matritsada bitta qator tanlansin. Bu qatordagi voyaga etmaganlar $n$ alohida hujayralar bo'ladi:

\[((M)_(1))=((a)_(ij)),\quad j=1,...,n\]

Qo'shimcha voyaga etmaganlarni hisoblash ham oson: shunchaki asl matritsani oling va $((a)_(ij))$ ni o'z ichiga olgan qator va ustunni kesib tashlang. Shunday voyaga yetmaganlarni $M_(ij)^(*)$ deb ataylik.

Algebraik to‘ldiruvchi uchun bizga hali ham $S$ raqami kerak bo‘ladi, lekin 1-tartibdagi kichik bo‘lsa, bu oddiygina $((a)_(ij))$ katakchaning “koordinatalari” yig‘indisidir:

Va keyin asl determinant Laplas teoremasiga ko'ra $((a)_(ij))$ va $M_(ij)^(*)$ shaklida yozilishi mumkin:

\[\chap| A \right|=\sum\limits_(j=1)^(n)(((a)_(ij))\cdot ((\left(-1 \o'ng))^(i+j))\cdot ((M)_(ij)))\]

Bu shunday determinantni qatorga ajratish formulasi. Ammo ustunlar uchun ham xuddi shunday.

Ushbu oqibatdan darhol bir nechta xulosalar chiqarish mumkin:

1. Ushbu sxema satrlar va ustunlar uchun bir xil darajada yaxshi ishlaydi. Aslida, ko'pincha parchalanish satrlar bo'ylab emas, balki ustunlar bo'ylab aniq davom etadi.
2. Kengayishdagi shartlar soni har doim aynan $n$ ni tashkil qiladi. Bu $C_(n)^(k)$ dan sezilarli darajada kamroq va undan ham ko'proq $n!$.
3. Bitta determinant oʻrniga $\left[ n\times n \right]$ oʻlchami birdan kichik boʻlgan bir nechta determinantni koʻrib chiqishga toʻgʻri keladi: $\left[ \left(n-1 \right)\times \left(n-1 \ o'ng) \right ]$.

Oxirgi fakt ayniqsa muhimdir. Masalan, shafqatsiz 4x4 determinant o'rniga, endi bir nechta 3x3 determinantlarni sanash kifoya qiladi - biz qandaydir tarzda ularni engamiz. :)

Vazifa. Aniqlovchini toping:

\[\chap| \begin(matritsa) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\\end(matritsa) \o'ng|\]

Yechim. Keling, ushbu determinantni birinchi qator bo'ylab kengaytiramiz:

\[\begin(align) \left| A \right|=1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matritsa) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end(matritsa) \o'ng|+ & \\ 2\cdot ((\left(-1 \o'ng))^(1+2))\cdot \chap| \begin(matritsa) 4 & 6 \\ 7 & 9 \\\end(matritsa) \o'ng|+ & \\ 3\cdot ((\left(-1 \o'ng))^(1+3))\cdot \chap| \begin(matritsa) 4 & 5 \\ 7 & 8 \\\end(matritsa) \o'ng|= & \\\end(tuzalash)\]

\[\begin(align) & =1\cdot \left(45-48 \o'ng)-2\cdot \left(36-42 \o'ng)+3\cdot \left(32-35 \o'ng)= \\ & =1\cdot \left(-3 \o'ng)-2\cdot \left(-6 \o'ng)+3\cdot \left(-3 \o'ng)=0. \\\end (tekislash)\]

Vazifa. Aniqlovchini toping:

\[\chap| \begin(matritsa) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matritsa) \o'ng|\ ]

Yechim. O'zgartirish uchun keling, bu safar ustunlar bilan ishlaylik. Masalan, oxirgi ustun bir vaqtning o'zida ikkita nolni o'z ichiga oladi - aniqki, bu hisob-kitoblarni sezilarli darajada kamaytiradi. Endi nima uchun ekanligini bilib olasiz.

Shunday qilib, biz to'rtinchi ustundagi determinantni kengaytiramiz:

\[\begin(align) \left| \begin(matritsa) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matritsa) \o'ng|= 0\cdot ((\left(-1 \o'ng))^(1+4))\cdot \left| \begin(matritsa) 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matritsa) \o'ng|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \) o'ng))^(2+4))\cdot \left| \begin(matritsa) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matritsa) \o'ng|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \) o'ng))^(3+4))\cdot \left| \begin(matritsa) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matritsa) \o'ng|+ & \\ +0\cdot ((\left(-1 \) o'ng))^(4+4))\cdot \left| \begin(matritsa) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matritsa) \o'ng| & \\\end(tekislash)\]

Va keyin - oh, mo''jiza! - ikkita atama darhol yo'qoladi, chunki ular "0" koeffitsientini o'z ichiga oladi. Hali ikkita 3x3 determinant qoldi, biz ularni osonlikcha hal qilishimiz mumkin:

\[\begin(align) & \left| \begin(matritsa) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matritsa) \right|=0+0+1-1-1-0=-1; \\ & \chap| \begin(matritsa) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matritsa) \right|=0+1+1-0-0-1=1. \\\end (tekislash)\]

Keling, manbaga qaytaylik va javobni topamiz:

\[\chap| \begin(matritsa) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matritsa) \o'ng|= 1\cdot \left(-1 \o'ng)+\chap(-1 \o'ng)\cdot 1=-2\]

OK, endi hammasi tugadi. Va 4 yo'q! = 24 ta atamani hisoblash shart emas edi. :)

Javob: −2

Determinantning asosiy xossalari

Oxirgi masalada biz matritsaning satrlarida (ustunlarida) nollarning mavjudligi determinantning parchalanishini va umuman, barcha hisob-kitoblarni qanday qilib keskin soddalashtirishini ko'rdik. Tabiiy savol tug'iladi: bu nollarni dastlab bo'lmagan matritsada ham ko'rsatish mumkinmi?

Javob aniq: mumkin. Va bu erda determinantning xususiyatlari yordamga keladi:

1. Ikki qatorni (ustunni) almashtirsangiz, determinant o'zgarmaydi;
2. Agar bitta satr (ustun) $k$ soniga ko'paytirilsa, u holda butun determinant ham $k$ soniga ko'paytiriladi;
3. Agar siz bir qatorni olib, uni boshqasidan xohlagancha ko'p marta qo'shsangiz (ayitirsangiz), aniqlovchi o'zgarmaydi;
4. Agar aniqlovchining ikkita qatori bir xil yoki proporsional bo'lsa yoki qatorlardan biri nol bilan to'ldirilgan bo'lsa, unda butun aniqlovchi nolga teng;
5. Yuqoridagi barcha xususiyatlar ustunlar uchun ham amal qiladi.
6. Matritsani ko'chirishda determinant o'zgarmaydi;
7. Matritsalar ko'paytmasining aniqlovchisi determinantlar ko'paytmasiga teng.

Uchinchi xususiyat alohida ahamiyatga ega: biz qila olamiz to'g'ri joylarda nollar paydo bo'lguncha bir qatordan (ustun) boshqasini ayiring.

Ko'pincha, hisob-kitoblar bitta elementdan tashqari hamma joyda butun ustunni "nollashtirish" ga tushadi va keyin determinantni ushbu ustun ustida kengaytirib, 1 o'lchamdagi matritsani oladi.

Keling, bu amalda qanday ishlashini ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Aniqlovchini toping:

\[\chap| \begin(matritsa) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end(matritsa) \o'ng|\ ]

Yechim. Bu erda hech qanday nol yo'qdek tuyuladi, shuning uchun siz istalgan satr yoki ustunda "burg'ulash"ingiz mumkin - hisob-kitoblar miqdori taxminan bir xil bo'ladi. Vaqtni arzimas narsalarga behuda sarflamaylik va birinchi ustunni "nol" qilaylik: u allaqachon bitta katakchaga ega, shuning uchun birinchi qatorni oling va uni ikkinchisidan 4 marta, uchinchisidan 3 marta va oxirgisidan 2 marta olib tashlang.

Natijada, biz yangi matritsa olamiz, lekin uning determinanti bir xil bo'ladi:

\[\begin(matritsa) \left| \begin(matritsa) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end(matritsa) \o'ng|\ start(matritsa) \pastga strelka \\ -4 \\ -3 \\ -2 \\\end(matritsa)= \\ =\chap| \begin(matritsa) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4-4\cdot 1 & 1-4\cdot 2 & 2-4\cdot 3 & 3-4\cdot 4 \\ 3-3\cdot 1 & 4-3\cdot 2 & 1-3\cdot 3 & 2-3\cdot 4 \\ 2-2\cdot 1 & 3-2\cdot 2 & 4-2\cdot 3 & 1-2\cdot 4 \ \\end(matritsa) \o'ng|= \\ =\chap| \begin(matritsa) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ \end(matritsa) \o'ng| \\\end (matritsa)\]

Endi, Pigletning tengligi bilan biz ushbu determinantni birinchi ustun bo'ylab joylashtiramiz:

\[\begin(matritsa) 1\cdot ((\left(-1 \o'ng))^(1+1))\cdot \left| \begin(matritsa) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end(matritsa) \o'ng|+0\cdot ((\ left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| ... \right|+ \\ +0\cdot ((\left(-1 \right))^(3+1))\cdot \left| ... \right|+0\cdot ((\left(-1 \right))^(4+1))\cdot \left| ... \o'ng| \\\end (matritsa)\]

Faqat birinchi atama "omon qolishi" aniq - men qolganlari uchun aniqlovchilarni yozmadim, chunki ular hali ham nolga ko'paytiriladi. Determinant oldidagi koeffitsient birga teng, ya'ni. uni yozishingiz shart emas.

Ammo determinantning barcha uchta qatoridan "minuslarni" chiqarib tashlashingiz mumkin. Aslida, biz (−1) omilni uch marta chiqardik:

\[\chap| \begin(matritsa) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end(matritsa) \o'ng|=\cdot \chap| \begin(matritsa) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matritsa) \o'ng|\]

Biz 3x3 kichik determinantni oldik, uni allaqachon uchburchaklar qoidasi yordamida hisoblash mumkin. Ammo biz uni birinchi ustunga ajratishga harakat qilamiz - xayriyatki, oxirgi qator g'urur bilan bittadan iborat:

\[\begin(align) & \left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matritsa) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matritsa) \o'ng|\begin(matritsa) -7 \\ -2 \\ \yuqoriga yo'naltirish \ \\end(matritsa)=\left(-1 \o'ng)\cdot \left| \begin(matritsa) 0 & -4 & -36 \\ 0 & 4 & -4 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matritsa) \right|= \\ & =\cdot \left| \begin(matritsa) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matritsa) \o'ng|=\left(-1 \o'ng)\cdot \left| \begin(matritsa) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matritsa) \o'ng| \\\end (tekislash)\]

Albatta, siz hali ham dam olishingiz va 2x2 matritsani qator (ustun) bo'ylab kengaytirishingiz mumkin, lekin siz va men etarlimiz, shuning uchun biz faqat javobni hisoblaymiz:

\[\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matritsa) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matritsa) \o'ng|=\left(-1 \o'ng)\cdot \left(16+144 \o'ng)=-160\ ]

Shunday qilib orzular buziladi. Javobda faqat -160. :)

Javob: -160.

Oxirgi vazifaga o'tishdan oldin bir nechta eslatma:

1. Asl matritsa ikkilamchi diagonalga nisbatan nosimmetrik edi. Kengayishdagi barcha kichiklar ham bir xil ikkilamchi diagonalga nisbatan nosimmetrikdir.
2. To'g'risini aytganda, biz hech narsani kengaytira olmadik, lekin asosiy diagonal ostida qattiq nollar mavjud bo'lganda, matritsani yuqori uchburchak shaklga qisqartirishimiz mumkin. Keyin (aytmoqchi, geometrik talqinga qat'iy muvofiq) determinant $((a)_(ii))$ ko'paytmasiga teng bo'ladi - asosiy diagonaldagi raqamlar.

Vazifa. Aniqlovchini toping:

\[\chap| \begin(matritsa) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end(matritsa) \o'ng|\ ]

Yechim. Xo'sh, bu erda birinchi qator faqat "nol" bo'lishini iltimos qiladi. Birinchi ustunni oling va qolganlardan bir marta ayiring:

\[\begin(align) & \left| \begin(matritsa) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end(matritsa) \o'ng|= \\ & =\chap| \begin(matritsa) 1 & 1-1 & 1-1 & 1-1 \\ 2 & 4-2 & 8-2 & 16-2 \\ 3 & 9-3 & 27-3 & 81-3 \\ 5 & ​​25-5 & 125-5 & 625-5 \\\end(matritsa) \o'ng|= \\ & =\chap| \begin(matritsa) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 6 & 14 \\ 3 & 6 & 24 & 78 \\ 5 & 20 & 120 & 620 \\\end(matritsa) \o'ng| \\\end (tekislash)\]

Biz birinchi qator bo'ylab kengaytiramiz va keyin qolgan qatorlardan umumiy omillarni chiqaramiz:

\[\cdot \left| \begin(matritsa) 2 & 6 & 14 \\ 6 & 24 & 78 \\ 20 & 120 & 620 \\\end(matritsa) \o'ng|=\cdot \left| \begin(matritsa) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end(matritsa) \o'ng|\]

Biz yana "chiroyli" raqamlarni ko'ramiz, lekin birinchi ustunda biz unga ko'ra determinantni joylashtiramiz:

\[\begin(align) & 240\cdot \left| \begin(matritsa) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end(matritsa) \o'ng|\begin(matritsa) \pastga strelka \\ -1 \\ -1 \ \\end(matritsa)=240\cdot \chap| \begin(matritsa) 1 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & 24 \\\end(matritsa) \o'ng|= \\ & =240\cdot ((\left(-1 \) o'ng))^(1+1))\cdot \left| \begin(matritsa) 1 & 6 \\ 3 & 24 \\\end(matritsa) \o'ng|= \\ & =240\cdot 1\cdot \left(24-18 \o'ng)=1440 \\\end( tekislash)\]

Buyurtma. Muammo hal qilindi.

Javob: 1440