விரிவுரை 1 இரண்டு மற்றும் பல மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் கோட்பாடு (TFNP). 1. FNP இன் கருத்து. 2. FNP வரம்பு. 3. FNP இன் தொடர்ச்சி. 4. முதல் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள். 5. சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல். 6. மறைமுகமான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல். 7. உயர் வரிசை வழித்தோன்றல்கள்.

1. FNP இன் கருத்து. D ஆனது விமானத்தில் ஒரு பகுதியாக இருக்கட்டும். வரையறை. ஒரு எண் தொடர்புடையதாக இருந்தால், அந்தச் செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் - D தொகுப்பில் ஒரு எண் சார்பு D கொடுக்கப்பட்டதாக அவர்கள் கூறுகிறார்கள்.

ஒரு புள்ளி என்றால், மேப்பிங் இரண்டு ஆயங்களால் குறிப்பிடப்படுகிறது, 2 மாறிகளின் செயல்பாடு, அத்தகைய செயல்பாட்டின் வரைபடம் x, y, z - விண்வெளியில் ஒரு மேற்பரப்புடன் கூடிய புள்ளிகளின் தொகுப்பாக இருக்கும்.

f(x, y) இன் வடிவியல் விளக்கம். D – விமானத்தின் சில பகுதி 0 ХY z D – செயல்பாட்டின் வரைபடம் f(x, y) விமானத்தின் மீது 0 ХY z f О x D x y y செயல்பாட்டின் வரைபடம் விண்வெளியில் ஒரு மேற்பரப்பு.

2. இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் வரம்பு. ஒரு புள்ளியை ஒரு புள்ளியின் சுற்றுப்புறமாக இருக்கும் புள்ளிகளின் தொகுப்பு என்று அழைக்கலாம்

வரையறை. புள்ளியை விடுங்கள் என்றால் புள்ளி P ஆனது D தொகுப்பின் உட்புள்ளி எனப்படும். வரையறை. அனைத்து புள்ளிகள் D இந்த தொகுப்பின் உள் இருந்தால், அது திறந்த எனப்படும். வரையறை. ஒரு புள்ளியைக் கொண்டிருக்கும் எந்தவொரு திறந்த தொகுப்பும் அதன் சுற்றுப்புறம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை. இந்தத் தொகுப்பில் இருக்கும் தொடர்ச்சியான வளைவால் இணைக்கப்படக்கூடிய இரண்டு புள்ளிகளின் தொகுப்பு இணைக்கப்பட்டதாக அழைக்கப்படுகிறது. வரையறை. திறந்த இணைக்கப்பட்ட தொகுப்பு ஒரு பகுதி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு புள்ளியின் அருகாமையில் உள்ள ஒரு செயல்பாடு சிலவற்றில் வரையறுக்கப்படட்டும் (எண் A என்பது ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு என அழைக்கப்படுகிறது).

பதவி. கருத்து. எந்தவொரு சட்டம் மற்றும் வழிகாட்டுதலின் படி அபிலாஷை ஏற்படலாம், அதே சமயம் அனைத்து வரம்புக்குட்பட்ட மதிப்புகளும் A க்கு சமமாக இருக்கும்.

உதாரணமாக. செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம் t (0, 0) வழியாக செல்லும் போக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம்: நேர் கோடுகளுடன், A இன் மதிப்பு எவ்வாறு சார்ந்துள்ளது.

3. FNP இன் தொடர்ச்சி. 1 -3 நிபந்தனைகளில் ஏதேனும் ஒன்று மீறப்பட்டால், அது ஒரு புள்ளியில் தொடர்ச்சி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

முறிவு புள்ளிகளை தனிமைப்படுத்தலாம், முறிவு கோடுகளை உருவாக்கலாம், மேற்பரப்புகளை உடைக்கலாம். உதாரணமாக. a) முறிவு புள்ளி – (தனிமைப்படுத்தப்பட்டது) b) - முறிவு வரி

வரையறை. வேறுபாடு செயல்பாட்டின் மொத்த அதிகரிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. வரையறை. வரம்புகள் செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன (அவை இருப்பதாகக் கருதினால்).

FNP இன் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுவதற்கான விதிகள் ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டிற்கான தொடர்புடைய விதிகளுடன் ஒத்துப்போகின்றன. கருத்து. மாறிகளில் ஒன்றைப் பொறுத்து FNP இன் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடும்போது, ​​மற்ற அனைத்தும் மாறிலிகளாகக் கருதப்படுகின்றன. உதாரணமாக.

வரையறை. ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் மொத்த அதிகரிப்பின் முதன்மை (நேரியல்) பகுதி அழைக்கப்படுகிறது முழு வேறுபாடுஇந்த கட்டத்தில் செயல்படுகிறது.

5. சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல். z என்பது x, y இன் சிக்கலான செயல்பாடாக இருக்கும் செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம். x மற்றும் y மாறிகள் தொடர்பான சிக்கலான செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகின்றன: (ஒரு மாறியின் சிக்கலான செயல்பாட்டின் விஷயத்தில்).

மொத்த வழித்தோன்றல் a) அதாவது z என்பது ஒரு வாதத்தின் சிக்கலான செயல்பாடாகும் t. t வாதத்தைப் பொறுத்து செயல்பாட்டின் மொத்த வழித்தோன்றல் ஆகும்.

இயற்கை அறிவியல் மற்றும் பொருளாதாரத்தில் பல வடிவங்களைப் படிக்கும் போது, ​​ஒருவர் இரண்டு (அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) சார்பற்ற மாறிகளின் செயல்பாடுகளை எதிர்கொள்கிறார்.

வரையறை (இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கு).விடுங்கள் எக்ஸ் , ஒய் மற்றும் Z - கூட்டம். ஒவ்வொரு ஜோடி என்றால் (எக்ஸ், ஒய்) முறையே தொகுப்புகளிலிருந்து கூறுகள் எக்ஸ் மற்றும் ஒய் சில சட்டத்தின் மூலம் f ஒரே ஒரு உறுப்புடன் பொருந்துகிறது z பலரிடமிருந்து Z , பிறகு அப்படிச் சொல்கிறார்கள் இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது z = f(எக்ஸ், ஒய்) .

பொதுவாக இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் டொமைன் வடிவியல் ரீதியாக ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளிகளால் குறிப்பிடப்படலாம் ( எக்ஸ்; ஒய்) விமானம் xOy .

பல மாறிகளின் செயல்பாடுகள் தொடர்பான அடிப்படை வரையறைகள் தொடர்புடையவற்றின் பொதுமைப்படுத்தலாகும் ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டிற்கான வரையறைகள் .

ஒரு கொத்து டிஅழைக்கப்பட்டது செயல்பாட்டின் களம் z, மற்றும் தொகுப்பு ஈ – அதன் பல அர்த்தங்கள். மாறிகள் எக்ஸ்மற்றும் ஒய்செயல்பாடு தொடர்பாக zஅதன் வாதங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. மாறி zசார்பு மாறி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வாதங்களின் தனிப்பட்ட மதிப்புகள்

செயல்பாட்டின் தனிப்பட்ட மதிப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது

பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் டொமைன்

என்றால் பல மாறிகளின் செயல்பாடு (எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு மாறிகள்) சூத்திரத்தால் வழங்கப்பட்டது z = f(எக்ஸ், ஒய்) , அந்த அதன் வரையறையின் பகுதி இது விமானத்தின் அனைத்து புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும் x0y, அதற்கான வெளிப்பாடு f(எக்ஸ், ஒய்) உணர்த்துகிறது மற்றும் ஏற்றுக்கொள்கிறது உண்மையான மதிப்புகள். பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் டொமைனுக்கான பொது விதிகள் பொது விதிகளிலிருந்து பெறப்படுகின்றன ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் வரையறையின் களம். வித்தியாசம் என்னவென்றால், இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கு, வரையறையின் டொமைன் என்பது விமானத்தில் உள்ள ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும், மேலும் ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டைப் பொறுத்தவரை ஒரு நேர் கோடு அல்ல. மூன்று மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கு, வரையறையின் டொமைன் என்பது முப்பரிமாண இடைவெளியில் மற்றும் ஒரு செயல்பாட்டிற்கான தொடர்புடைய புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும். nமாறிகள் - சுருக்கத்தின் தொடர்புடைய புள்ளிகளின் தொகுப்பு n- பரிமாண இடம்.

ரூட்டுடன் இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் டொமைன் nவது பட்டம்

இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடு சூத்திரத்தால் கொடுக்கப்பட்டால் மற்றும் n - இயற்கை எண் :

என்றால் nஒரு இரட்டை எண், பின்னர் செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் என்பது பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும் தீவிர வெளிப்பாட்டின் அனைத்து மதிப்புகளுடன் தொடர்புடைய விமானத்தின் புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும், அதாவது

என்றால் nஒற்றைப்படை எண், பின்னர் செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் எந்த மதிப்புகளின் தொகுப்பாகும், அதாவது முழு விமானம் x0y .

முழு எண் அடுக்கு கொண்ட இரண்டு மாறிகளின் ஆற்றல் செயல்பாட்டின் டொமைன்

:

என்றால் அ- நேர்மறை, பின்னர் செயல்பாட்டின் வரையறையின் களம் முழு விமானமாகும் x0y ;

என்றால் அ- எதிர்மறை, பின்னர் செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் என்பது பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்ட மதிப்புகளின் தொகுப்பாகும்: .

ஒரு பகுதியளவு அடுக்கு கொண்ட இரண்டு மாறிகளின் ஆற்றல் செயல்பாட்டின் டொமைன்

சூத்திரத்தால் செயல்பாடு வழங்கப்படும் போது :

நேர்மறையாக இருந்தால், செயல்பாட்டின் வரையறையின் களமானது பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமான அல்லது அதற்கு சமமான மதிப்புகளை எடுக்கும் விமானத்தில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும்: ;

என்றால் - எதிர்மறையாக இருந்தால், செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் என்பது பூஜ்ஜியத்தை விட அதிக மதிப்புகளை எடுக்கும் விமானத்தில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும்:

இரண்டு மாறிகளின் மடக்கைச் செயல்பாட்டின் வரையறையின் களம்

இரண்டு மாறிகளின் மடக்கைச் செயல்பாடு அதன் வாதம் நேர்மறை என்று வரையறுக்கப்படுகிறது, அதாவது, அதன் வரையறையின் களமானது பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமான மதிப்புகளை எடுக்கும் விமானத்தில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும்: .

இரண்டு மாறிகளின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் வரையறையின் களம்

செயல்பாட்டு டொமைன் - முழு விமானம் x0y .

செயல்பாட்டு டொமைன் - முழு விமானம் x0y .

செயல்பாட்டின் வரையறையின் களம் முழு விமானமாகும் x0y

செயல்பாட்டு டொமைன் - முழு விமானம் x0y, மதிப்புகளை எடுக்கும் ஜோடி எண்களைத் தவிர.

இரண்டு மாறிகளின் தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் வரையறையின் களம்

செயல்பாட்டு டொமைன் .

செயல்பாட்டு டொமைன் - விமானத்தில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பு .

செயல்பாட்டு டொமைன் - முழு விமானம் x0y .

செயல்பாட்டு டொமைன் - முழு விமானம் x0y .

இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடாக ஒரு பின்னத்தின் வரையறையின் களம்

ஒரு செயல்பாடு சூத்திரத்தால் கொடுக்கப்பட்டால், செயல்பாட்டின் வரையறையின் களமானது விமானத்தின் அனைத்து புள்ளிகளாகும்.

இரண்டு மாறிகளின் நேரியல் செயல்பாட்டின் டொமைன்

படிவத்தின் சூத்திரத்தால் செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்டால் z = கோடாரி + மூலம் + c , பின்னர் செயல்பாட்டின் வரையறையின் களம் முழு விமானமாகும் x0y .

எடுத்துக்காட்டு 1.

தீர்வு. வரையறையின் களத்திற்கான விதிகளின்படி, நாங்கள் இரட்டை சமத்துவமின்மையை உருவாக்குகிறோம்

நாம் முழு சமத்துவமின்மையையும் பெருக்கி பெறுகிறோம்

இதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாடு இரண்டு மாறிகளின் இந்த செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனைக் குறிப்பிடுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 2.இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் டொமைனைக் கண்டறியவும்.

(விரிவுரை 1)

2 மாறிகளின் செயல்பாடுகள்.

மாறி z என்பது 2 மாறிகளின் செயல்பாடு f(x,y) என அழைக்கப்படுகிறது, ஏதேனும் ஒரு ஜோடி மதிப்புகளுக்கு (x,y) G ஆனது z மாறியின் குறிப்பிட்ட மதிப்பு தொடர்புடையதாக இருந்தால்.

டெஃப்புள்ளி p 0 இன் சுற்றுப்புறம் என்பது புள்ளி p 0 மற்றும் ஆரம் உள்ள ஒரு மையத்துடன் ஒரு வட்டம் ஆகும். = (x-x 0 ) 2 +(ஓஓஓ 0 ) 2

தன்னிச்சையாக சிறிய எண்ணில், ஒரு எண்ணை ()>0 குறிப்பிடலாம், அதாவது x மற்றும் y இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும், t.p இலிருந்து p0 வரையிலான தூரம் குறைவாக இருந்தால், பின்வரும் சமத்துவமின்மை உள்ளது: f(x,y) A , அதாவது புள்ளி p 0 க்கு அருகாமையில் விழும் அனைத்து புள்ளிகளுக்கும், ஒரு ஆரம் கொண்ட, செயல்பாட்டின் மதிப்பு A இலிருந்து முழுமையான மதிப்பை விட குறைவாக வேறுபடுகிறது. இதன் பொருள் p புள்ளி p 0 ஐ நெருங்கும் போது யாரேனும்

செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சி.

z=f(x,y) சார்பு கொடுக்கப்படட்டும், p(x,y) என்பது தற்போதைய புள்ளி, p 0 (x 0 ,y 0) என்பது பரிசீலனையில் உள்ள புள்ளி.

டெஃப்

3) வரம்பு இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் மதிப்புக்கு சமம்: = f(x 0 ,y 0);

லிம் f(x,y) = f(x 0 ,ஒய் 0 );

பக் 0

பகுதி வழித்தோன்றல்.

x வாதத்திற்கு x இன்க்ரிமென்ட் கொடுப்போம்; x+x, நாம் புள்ளி p 1 (x+x,y) ஐப் பெறுகிறோம், p புள்ளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டைக் கணக்கிடுகிறோம்:

x z = f(p1)-f(p) = f(x+x,y) - f(x,y) வாதத்தின் அதிகரிப்புடன் தொடர்புடைய செயல்பாட்டின் பகுதி அதிகரிப்பு.

z= லிம் எக்ஸ் z

z = லிம் f(x+x,y) - f(x,y)

X x0 X

பல மாறிகளின் செயல்பாட்டை வரையறுத்தல்

அறிவின் பல்வேறு துறைகளில் இருந்து பல சிக்கல்களைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது, ​​மாறிகளுக்கு இடையில் இத்தகைய சார்புநிலைகளைப் படிக்க வேண்டியது அவசியம் எண் மதிப்புகள்அவற்றில் ஒன்று பலவற்றின் மதிப்புகளால் முழுமையாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

உதாரணத்திற்குஒரு உடலின் இயற்பியல் நிலையை ஆய்வு செய்யும் போது, ​​புள்ளிக்கு புள்ளியாக அதன் பண்புகளில் ஏற்படும் மாற்றங்களைக் கவனிக்க வேண்டும். உடலின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் மூன்று ஆயங்களால் குறிப்பிடப்படுகிறது: x, y, z. எனவே, அடர்த்தி பரவலைப் படிப்பதன் மூலம், உடலின் அடர்த்தி மூன்று மாறிகளைப் பொறுத்தது என்று முடிவு செய்கிறோம்: x, y, z. உடலின் உடல் நிலையும் காலப்போக்கில் மாறினால் t, அதே அடர்த்தி நான்கு மாறிகளின் மதிப்புகளைப் பொறுத்தது: x, y, z, t.

மற்றொரு உதாரணம்: ஒரு குறிப்பிட்ட வகைப் பொருளின் ஒரு யூனிட்டைத் தயாரிப்பதற்கான உற்பத்திச் செலவுகள் ஆய்வு செய்யப்படுகின்றன. இருக்கட்டும்:

x - பொருட்களின் விலை,

y - கட்டணம் செலுத்தும் செலவுகள் ஊதியங்கள்ஊழியர்கள்,

z - தேய்மானக் கட்டணங்கள்.

உற்பத்தி செலவுகள் பெயரிடப்பட்ட அளவுருக்கள் x, y, z ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைப் பொறுத்தது என்பது வெளிப்படையானது.

வரையறை 1.1ஒவ்வொரு மதிப்புகளின் தொகுப்பு "n" மாறிகள் என்றால்

இந்தத் தொகுப்புகளின் சில தொகுப்பு D இலிருந்து z மாறியின் அதன் தனித்துவமான மதிப்புடன் ஒத்துப்போகிறது, பின்னர் அந்த செயல்பாடு D தொகுப்பில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று கூறுகிறார்கள்.

"n" மாறிகள்.

வரையறை 1.1 இல் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள D தொகுப்பு, இந்தச் செயல்பாட்டின் வரையறை அல்லது இருப்புக்கான களம் என அழைக்கப்படுகிறது.

இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடு கருதப்பட்டால், எண்களின் தொகுப்பு

ஒரு விதியாக, (x, y) குறிக்கப்படுகிறது மற்றும் Oxy coordinate plane இன் புள்ளிகளாக விளக்கப்படுகிறது, மேலும் இரண்டு மாறிகளின் z = f (x, y) செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளிகளின் தொகுப்பாக சித்தரிக்கப்படுகிறது. Oxy விமானத்தில்.

எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன்

ஆக்ஸி விமானத்தின் புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும், அதன் ஒருங்கிணைப்புகள் உறவை திருப்திப்படுத்துகின்றன

அதாவது, இது r ஆரம் கொண்ட ஒரு வட்டம், அதன் மையத்தைத் தோற்றுவிக்கிறது.

செயல்பாட்டிற்கு

வரையறையின் களம் நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்தும் புள்ளிகள்

அதாவது கொடுக்கப்பட்ட வட்டத்தைப் பொறுத்து வெளி.

பெரும்பாலும் இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடுகள் மறைமுகமாக குறிப்பிடப்படுகின்றன, அதாவது, ஒரு சமன்பாடு

மூன்று மாறிகளை இணைக்கிறது. இந்த நிலையில், x, y, z ஆகிய அளவுகள் ஒவ்வொன்றும் மற்ற இரண்டின் மறைமுகமான செயல்பாடாகக் கருதப்படலாம்.

z = f (x, y) என்ற இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் வடிவியல் படம் (வரைபடம்) என்பது முப்பரிமாண இடைவெளி Oxyz இல் P (x, y, z) புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும், இதன் ஆயத்தொகுப்புகள் z = f சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்கின்றன. (x, y).

தொடர்ச்சியான வாதங்களின் செயல்பாட்டின் வரைபடம், ஒரு விதியாக, Oxyz இடத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட மேற்பரப்பாகும், இது z= f (x, y) செயல்பாட்டின் வரையறையின் களத்தில் Oxy என்ற ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது.

எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, (படம் 1.1) செயல்பாட்டின் வரைபடம்

கோளத்தின் மேல் பாதி மற்றும் செயல்பாட்டின் வரைபடம்

கோளத்தின் கீழ் பாதி.

அட்டவணை நேரியல் செயல்பாடு z = ax + by + с என்பது Oxyz இடத்தில் உள்ள ஒரு விமானம், மேலும் z = const செயல்பாட்டின் வரைபடம் Oxyz ஒருங்கிணைப்பு விமானத்திற்கு இணையான ஒரு விமானமாகும்.

மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகளின் செயல்பாட்டை முப்பரிமாண இடத்தில் வரைபட வடிவில் காட்சிப்படுத்துவது சாத்தியமில்லை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

பின்வருவனவற்றில், இரண்டு அல்லது மூன்று மாறிகளின் செயல்பாடுகளைக் கருத்தில் கொள்வதை முக்கியமாகக் கட்டுப்படுத்துவோம், ஏனெனில் ஒரு பெரிய (ஆனால் வரையறுக்கப்பட்ட) மாறிகளின் வழக்கைப் பரிசீலிப்பது இதேபோல் மேற்கொள்ளப்படுகிறது.

பல மாறிகளின் செயல்பாட்டை வரையறுத்தல்.

(விரிவுரை 1)

u மாறியானது f(x,y,z,..,t) எனப்படும், ஏதேனும் மதிப்புகள் (x,y,z,..,t) u மாறியின் நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்பு தொடர்புடையதாக இருந்தால்.

ஒரு மாறியின் மதிப்பின் தொகுப்புகளின் தொகுப்பு ஒரு செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

G - தொகுப்பு (x,y,z,..,t) - வரையறையின் களம்.

2 மாறிகளின் செயல்பாடுகள்.

மாறி z என்பது 2 மாறிகளின் செயல்பாடு f(x,y) என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஏதேனும் ஒரு ஜோடி மதிப்புகளுக்கு (x,y) О G ஆனது z மாறியின் குறிப்பிட்ட மதிப்பு தொடர்புடையதாக இருந்தால்.

2 மாறிகளின் செயல்பாட்டின் வரம்பு.

z=f(x,y) சார்பு கொடுக்கப்படட்டும், p(x,y) என்பது தற்போதைய புள்ளி, p 0 (x 0 ,y 0) என்பது பரிசீலனையில் உள்ள புள்ளி.

டெஃப்புள்ளி p 0 இன் சுற்றுப்புறம் என்பது புள்ளி p 0 மற்றும் ஆரம் r இல் மையம் கொண்ட ஒரு வட்டமாகும். ஆர்= Ö (x-x 0 ) 2 +(ஓஓஓ 0 ) 2 Ø

எண் A ஆனது செயல்பாட்டின் வரம்பு | p 0 இல் ஏதேனும் இருந்தால்

தன்னிச்சையாக சிறிய எண் e க்கு, ஒரு எண்ணை r (e)>0 குறிப்பிடலாம், அதாவது x மற்றும் y இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும், t இலிருந்து p0 வரையிலான தூரம் r ஐ விடக் குறைவாக இருக்கும், பின்வரும் சமத்துவமின்மை உள்ளது: ½f(x,y) - A½0, ஆரம் r உடன், செயல்பாட்டின் மதிப்பு A இலிருந்து e ஐ விட முழுமையான மதிப்பில் வேறுபடுகிறது. இதன் பொருள் p புள்ளி p 0 ஐ நெருங்கும் போது யாரேனும்பாதை, செயல்பாட்டின் மதிப்பு காலவரையின்றி எண்ணை அணுகுகிறது.

செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சி.

z=f(x,y) சார்பு கொடுக்கப்படட்டும், p(x,y) என்பது தற்போதைய புள்ளி, p 0 (x 0 ,y 0) என்பது பரிசீலனையில் உள்ள புள்ளி.

டெஃப் 3 நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், z=f(x,y) செயல்பாடு p 0 இல் அழைக்கப்படுகிறது.

1) செயல்பாடு இந்த கட்டத்தில் வரையறுக்கப்படுகிறது. f(p 0) = f(x,y);

2) f-i இந்த கட்டத்தில் ஒரு வரம்பு உள்ளது.

3) வரம்பு இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் மதிப்புக்கு சமம்: b = f(x 0 ,y 0);

லிம் f(x,y)= f(x 0 ,ஒய் 0 ) ;

பà ப 0

தொடர்ச்சியான நிபந்தனைகளில் குறைந்தது 1 மீறப்பட்டால், புள்ளி p ஒரு இடைவெளி புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது. 2 மாறிகளின் செயல்பாடுகளுக்கு, தனி இடைவெளி புள்ளிகள் மற்றும் முழு முறிவு கோடுகள் இருக்கலாம்.

அதிக எண்ணிக்கையிலான மாறிகளின் செயல்பாடுகளுக்கான வரம்பு மற்றும் தொடர்ச்சியின் கருத்து இதேபோல் வரையறுக்கப்படுகிறது.

2 மாறிகளின் சார்பு போலல்லாமல், மூன்று மாறிகளின் செயல்பாட்டை வரைபடமாக சித்தரிக்க முடியாது.

3-மாறிச் செயல்பாட்டிற்கு, இடைநிறுத்தப் புள்ளிகள், இடைநிறுத்தக் கோடுகள் மற்றும் இடைநிறுத்தப் பரப்புகள் இருக்கலாம்.

பகுதி வழித்தோன்றல்.

செயல்பாடு z=f(x,y), p(x,y) என்பது பரிசீலனையில் உள்ள புள்ளியாகும்.

வாதம் x ஐ அதிகரிப்பு Dx ஐக் கொடுப்போம்; x+Dx, நாம் புள்ளி p 1 (x+Dx,y) ஐப் பெறுகிறோம், p புள்ளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளில் உள்ள வேறுபாட்டைக் கணக்கிடுகிறோம்:

D x z = f(p1)-f(p) = f(x+Dx,y) - f(x,y) - வாதத்தின் அதிகரிப்புடன் தொடர்புடைய செயல்பாட்டின் பகுதி அதிகரிப்பு.

டெஃப் x என்ற மாறியைப் பொறுத்து z=f(x,y) சார்பின் வழித்தோன்றலின் விகிதமானது, இந்தச் சார்பின் பகுதி அதிகரிப்பின் விகிதத்தின் வரம்பு எனப்படும். பூஜ்யம்.

¶ z= லிம் டி எக்ஸ் z

à ¶ z = லிம் f(x+ டி x,y) - f(x,y)

¶ எக்ஸ் டிஎக்ஸ்® 0 டிஎக்ஸ்

இதேபோல், y என்ற மாறியைப் பொறுத்து, வழித்தோன்றலின் அளவைத் தீர்மானிக்கிறோம்.

பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிதல்.

பகுதி வழித்தோன்றல்களை நிர்ணயிக்கும் போது, ​​ஒவ்வொரு முறையும் ஒரே ஒரு மாறி மாறும், மீதமுள்ள மாறிகள் மாறிலிகளாகக் கருதப்படுகின்றன. இதன் விளைவாக, ஒவ்வொரு முறையும் ஒரே ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டைக் கருதுகிறோம் மற்றும் பகுதி வழித்தோன்றல் ஒரு மாறியின் இந்த செயல்பாட்டின் வழக்கமான வழித்தோன்றலுடன் ஒத்துப்போகிறது. எனவே பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிவதற்கான விதி: பரிசீலனையில் உள்ள மாறியைப் பொறுத்து பகுதி வழித்தோன்றல் இந்த ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் சாதாரண வழித்தோன்றலாகத் தேடப்படுகிறது, மீதமுள்ள மாறிகள் மாறிலிகளாகக் கருதப்படுகின்றன. இந்த வழக்கில், ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துவதற்கான அனைத்து சூத்திரங்களும் (ஒரு தொகை, தயாரிப்பு, அளவு ஆகியவற்றின் வழித்தோன்றல்) செல்லுபடியாகும்.

பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் கருத்து

ஒவ்வொரு புள்ளியும் X = (x 1, x 2, ... x n) n-பரிமாண இடத்தின் புள்ளிகளின் (X) தொகுப்பிலிருந்து z மாறியின் நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்புடன் தொடர்புடையதாக இருந்தால், கொடுக்கப்பட்டவை என்று அவர்கள் கூறுகிறார்கள் n மாறிகளின் செயல்பாடு z = f(x 1, x 2, ...x n) = f (X).

இந்த வழக்கில், மாறிகள் x 1, x 2, ... x n என்று அழைக்கப்படுகின்றன சுதந்திர மாறிகள்அல்லது வாதங்கள்செயல்பாடுகள், z - சார்பு மாறி, மற்றும் சின்னம் f குறிக்கிறது கடிதச் சட்டம். தொகுப்பு (X) என்று அழைக்கப்படுகிறது வரையறையின் களம்செயல்பாடுகள் (இது n-பரிமாண இடத்தின் ஒரு குறிப்பிட்ட துணைக்குழு).

எடுத்துக்காட்டாக, z = 1/(x 1 x 2) சார்பு என்பது இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடாகும். அதன் வாதங்கள் x 1 மற்றும் x 2 மாறிகள், மற்றும் z என்பது சார்பு மாறி. x 1 = 0 மற்றும் x 2 = 0 என்ற நேர் கோடுகளைத் தவிர்த்து, வரையறையின் களம் முழு ஒருங்கிணைப்புத் தளமாகும், அதாவது. x- மற்றும் ஆர்டினேட்-அச்சுகள் இல்லாமல். வரையறையின் டொமைனில் இருந்து எந்தப் புள்ளியையும் செயல்பாட்டிற்கு மாற்றுவதன் மூலம், கடிதச் சட்டத்தின்படி நாம் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணைப் பெறுகிறோம். எடுத்துக்காட்டாக, புள்ளியை (2; 5) எடுத்துக்கொள்வது, அதாவது. x 1 = 2, x 2 = 5, நாம் பெறுகிறோம்
z = 1/(2*5) = 0.1 (அதாவது z(2; 5) = 0.1).

வடிவத்தின் செயல்பாடு z = a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n + b, இதில் a 1, a 2,..., மற்றும் n, b ஆகியவை மாறிலி எண்கள், அழைக்கப்படுகிறது நேரியல். இது x 1, x 2, ... x n மாறிகளின் n நேரியல் சார்புகளின் கூட்டுத்தொகையாகக் கருதப்படலாம். மற்ற அனைத்து செயல்பாடுகளும் அழைக்கப்படுகின்றன நேரியல் அல்லாத.

எடுத்துக்காட்டாக, z = 1/(x 1 x 2) சார்பு நேரியல் அல்ல, மற்றும் செயல்பாடு z =
= x 1 + 7x 2 - 5 – நேரியல்.

z = f (X) = f(x 1, x 2, ... x n) எந்தச் சார்பும், ஒன்றைத் தவிர அனைத்து மாறிகளின் மதிப்புகளையும் சரிசெய்தால், ஒரு மாறியின் n செயல்பாடுகளுடன் தொடர்புபடுத்தப்படும்.

எடுத்துக்காட்டாக, மூன்று மாறிகளின் செயல்பாடுகள் z = 1/(x 1 x 2 x 3) ஒரு மாறியின் மூன்று செயல்பாடுகளுடன் தொடர்புடையதாக இருக்கலாம். x 2 = a மற்றும் x 3 = b ஐ சரி செய்தால், செயல்பாடு z = 1/(abx 1) வடிவத்தை எடுக்கும்; x 1 = a மற்றும் x 3 = b ஐ சரி செய்தால், அது z = 1/(abx 2) வடிவத்தை எடுக்கும்; x 1 = a மற்றும் x 2 = b ஆகியவற்றை சரிசெய்தால், அது z = 1/(abx 3) வடிவத்தை எடுக்கும். இந்த வழக்கில், மூன்று செயல்பாடுகளும் ஒரே வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன. எப்போதும் அப்படி இருப்பதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கு நாம் x 2 = a ஐ சரிசெய்தால், அது z = 5x 1 a வடிவத்தை எடுக்கும், அதாவது. சக்தி செயல்பாடு, மற்றும் நாம் x 1 = a ஐ சரிசெய்தால், அது படிவத்தை எடுக்கும், அதாவது. அதிவேக செயல்பாடு.

அட்டவணைஇரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடு z = f(x, y) என்பது முப்பரிமாண இடைவெளியில் (x, y, z) உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும், இதில் z என்பது abscissa x உடன் தொடர்புடையது மற்றும் y ஐ செயல்பாட்டு உறவின் மூலம் ஒழுங்குபடுத்துகிறது
z = f (x, y). இந்த வரைபடம் முப்பரிமாண இடத்தில் சில மேற்பரப்பைக் குறிக்கிறது (உதாரணமாக, படம் 5.3 இல் உள்ளது போல).

ஒரு சார்பு நேரியல் என்றால் (அதாவது z = ax + by + c), அதன் வரைபடம் முப்பரிமாண இடைவெளியில் ஒரு விமானம் என்பதை நிரூபிக்க முடியும். மற்ற உதாரணங்கள் 3D வரைபடங்கள்க்ரீமரின் பாடப்புத்தகத்தைப் பயன்படுத்தி சுயாதீனமாகப் படிக்க பரிந்துரைக்கப்படுகிறது (பக். 405-406).

இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட மாறிகள் (n மாறிகள்) இருந்தால், பிறகு அட்டவணைசெயல்பாடு என்பது (n+1)-பரிமாண இடைவெளியில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும், அதற்கான x ஒருங்கிணைப்பு n+1 கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டுச் சட்டத்தின்படி கணக்கிடப்படுகிறது. அத்தகைய வரைபடம் அழைக்கப்படுகிறது மிகை மேற்பரப்பு(ஒரு நேரியல் செயல்பாட்டிற்கு - அதிவிமானம்), மேலும் இது ஒரு விஞ்ஞான சுருக்கத்தையும் குறிக்கிறது (அதை சித்தரிக்க இயலாது).

படம் 5.3 - முப்பரிமாண இடத்தில் இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் வரைபடம்

நிலை மேற்பரப்பு n மாறிகளின் சார்பு என்பது n-பரிமாண இடைவெளியில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும், இந்த எல்லா புள்ளிகளிலும் செயல்பாட்டின் மதிப்பு ஒரே மாதிரியாகவும் C க்கு சமமாகவும் இருக்கும். இந்த வழக்கில் C எண் அழைக்கப்படுகிறது. நிலை.

வழக்கமாக, அதே செயல்பாட்டிற்காக, எண்ணற்ற நிலை பரப்புகளை (வெவ்வேறு நிலைகளுக்கு ஏற்ப) உருவாக்க முடியும்.

இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கு, நிலை மேற்பரப்பு வடிவத்தை எடுக்கும் நிலை கோடுகள்.

எடுத்துக்காட்டாக, z = 1/(x 1 x 2) என்பதைக் கவனியுங்கள். C = 10 ஐ எடுத்துக் கொள்வோம், அதாவது. 1/(x 1 x 2) = 10. பின்னர் x 2 = 1/(10x 1), அதாவது. விமானத்தில் நிலைக் கோடு படம் 5.4 இல் காட்டப்பட்டுள்ள படிவத்தை திடமான கோடாக எடுக்கும். மற்றொரு நிலையை எடுத்துக் கொண்டால், எடுத்துக்காட்டாக, C = 5, x 2 = 1/(5x 1) செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் வடிவத்தில் நிலைக் கோட்டைப் பெறுகிறோம் (படம் 5.4 இல் புள்ளியிடப்பட்ட கோட்டுடன் காட்டப்பட்டுள்ளது).

படம் 5.4 - செயல்பாட்டு நிலை கோடுகள் z = 1/(x 1 x 2)

இன்னொரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். z = 2x 1 + x 2 ஆக இருக்கட்டும். C = 2 ஐ எடுத்துக் கொள்வோம், அதாவது. 2x 1 + x 2 = 2. பின்னர் x 2 = 2 - 2x 1, அதாவது. விமானத்தில் நிலைக் கோடு ஒரு நேர் கோட்டின் வடிவத்தை எடுக்கும், இது படம் 5.5 இல் ஒரு திடமான கோட்டால் குறிப்பிடப்படுகிறது. மற்றொரு நிலை எடுத்து, உதாரணமாக, C = 4, நாம் ஒரு நேர் கோட்டின் வடிவத்தில் ஒரு நிலைக் கோட்டைப் பெறுகிறோம் x 2 = 4 - 2x 1 (படம் 5.5 இல் புள்ளியிடப்பட்ட கோட்டுடன் காட்டப்பட்டுள்ளது). 2x 1 + x 2 = 3 க்கான நிலைக் கோடு படம் 5.5 இல் புள்ளியிடப்பட்ட கோடாகக் காட்டப்பட்டுள்ளது.

இரண்டு மாறிகளின் நேரியல் செயல்பாட்டிற்கு, எந்த நிலைக் கோடும் விமானத்தில் ஒரு நேர் கோடாக இருக்கும், மேலும் அனைத்து நிலைக் கோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று இணையாக இருக்கும் என்பதைச் சரிபார்க்க எளிதானது.

படம் 5.5 - செயல்பாட்டு நிலை கோடுகள் z = 2x 1 + x 2

) நாங்கள் ஏற்கனவே மீண்டும் மீண்டும் சிக்கலான செயல்பாடுகளின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் மிகவும் கடினமான எடுத்துக்காட்டுகளை சந்தித்துள்ளோம். அப்படியென்றால் வேறு என்ன பேசலாம்?! ...மற்றும் எல்லாமே வாழ்க்கையில் உள்ளதைப் போன்றது - சிக்கலானதாக இருக்க முடியாத சிக்கலானது இல்லை =) ஆனால் கணிதம் என்பது நமது உலகின் பன்முகத்தன்மையை ஒரு கடுமையான கட்டமைப்பிற்குள் பொருத்துவதற்கு கணிதம் ஆகும். சில சமயங்களில் இதை ஒரே ஒரு வாக்கியத்தில் செய்யலாம்:

பொதுவாக, சிக்கலான செயல்பாடு வடிவம் உள்ளது , எங்கே, குறைந்த பட்சம் ஓன்றுஎழுத்துக்கள் குறிக்கின்றன செயல்பாடு, இது சார்ந்து இருக்கலாம் தன்னிச்சையானமாறிகளின் எண்ணிக்கை.

குறைந்தபட்ச மற்றும் எளிமையான விருப்பம் என்பது ஒரு மாறியின் நீண்டகாலமாகத் தெரிந்த சிக்கலான செயல்பாடாகும், யாருடைய வழித்தோன்றல்கடைசி செமஸ்டரை எப்படி கண்டுபிடிப்பது என்று கற்றுக்கொண்டோம். செயல்பாடுகளை வேறுபடுத்தும் திறமையும் உங்களிடம் உள்ளது (அதே செயல்பாடுகளைப் பாருங்கள் ) .

எனவே, இப்போது நாம் வழக்கில் ஆர்வமாக இருப்போம். பல்வேறு சிக்கலான செயல்பாடுகள் காரணமாக, அவற்றின் வழித்தோன்றல்களுக்கான பொதுவான சூத்திரங்கள் மிகவும் சிக்கலானவை மற்றும் ஜீரணிக்க கடினமாக உள்ளன. இது சம்பந்தமாக, நீங்கள் புரிந்துகொள்ளக்கூடிய குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு நான் என்னை மட்டுப்படுத்துகிறேன் பொது கொள்கைஇந்த வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிதல்:

எடுத்துக்காட்டு 1

ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்ட இடத்தில் . தேவை:
1) அதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடித்து, 1 வது வரிசை மொத்த வேறுபாட்டை எழுதுங்கள்;
2) வழித்தோன்றலின் மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு: முதலில், செயல்பாட்டைப் பார்ப்போம். மற்றும் , அதையொட்டி ஒரு செயல்பாடு எங்களுக்கு வழங்கப்படுகிறது செயல்பாடுகளாகும்ஒரு மாறி:

இரண்டாவதாக, பணியில் கவனம் செலுத்துவோம் - நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் வழித்தோன்றல், அதாவது, நாம் கண்டுபிடிக்கப் பழகிய பகுதி வழித்தோன்றல்களைப் பற்றி பேசவில்லை! செயல்பாடு இருந்து உண்மையில் ஒரே ஒரு மாறியை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது, பின்னர் "வழித்தோன்றல்" என்ற வார்த்தையின் அர்த்தம் மொத்த வழித்தோன்றல். அவளை எப்படி கண்டுபிடிப்பது?

மனதில் வரும் முதல் விஷயம் நேரடி மாற்று மற்றும் மேலும் வேறுபாடு. மாற்றுவோம் செயல்பட:
, அதன் பிறகு விரும்பிய வழித்தோன்றலில் எந்த பிரச்சனையும் இல்லை:

மேலும், அதன்படி, மொத்த வேறுபாடு:

இந்த தீர்வு கணித ரீதியாக சரியானது, ஆனால் ஒரு சிறிய நுணுக்கம் என்னவென்றால், சிக்கலை அது வடிவமைத்த விதத்தில் உருவாக்கப்படும் போது, ​​யாரும் உங்களிடமிருந்து அத்தகைய காட்டுமிராண்டித்தனத்தை எதிர்பார்க்க மாட்டார்கள் =) ஆனால் தீவிரமாக, நீங்கள் உண்மையில் இங்கே தவறு காணலாம். ஒரு செயல்பாடு ஒரு பம்பல்பீயின் விமானத்தை விவரிக்கிறது மற்றும் உள்ளமை செயல்பாடுகள் வெப்பநிலையைப் பொறுத்து மாறும் என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். நேரடி மாற்றீட்டைச் செய்தல் , நமக்கு மட்டுமே கிடைக்கும் தனிப்பட்ட தகவல், இது வெப்பமான காலநிலையில் மட்டுமே விமானத்தை வகைப்படுத்துகிறது. மேலும், பம்பல்பீகளைப் பற்றி அறியாத ஒரு நபருக்கு முடிக்கப்பட்ட முடிவைக் கொடுத்து, இந்த செயல்பாடு என்னவென்று கூட சொன்னால், அவர் விமானத்தின் அடிப்படை விதியைப் பற்றி எதையும் கற்றுக்கொள்ள மாட்டார்!

எனவே, முற்றிலும் எதிர்பாராத விதமாக, உலகளாவிய சூத்திரத்தின் அர்த்தத்தையும் முக்கியத்துவத்தையும் புரிந்துகொள்ள எங்கள் சலசலக்கும் சகோதரர் எங்களுக்கு உதவினார்:

வழித்தோன்றல்களுக்கான "இரண்டு-அடுக்கு" குறியீட்டைப் பழக்கப்படுத்துங்கள் - பரிசீலனையில் உள்ள பணியில், அவையே பயன்பாட்டில் உள்ளன. இந்த வழக்கில், ஒருவர் இருக்க வேண்டும் மிகவும் நேர்த்தியாகஉள்ளீட்டில்: "de" என்ற நேரடி குறியீடுகளைக் கொண்ட வழித்தோன்றல்கள் முழுமையான வழித்தோன்றல்கள், மற்றும் வட்டமான ஐகான்களைக் கொண்ட வழித்தோன்றல்கள் பகுதி வழித்தோன்றல்கள். கடைசியாக ஆரம்பிக்கலாம்:

சரி, "வால்கள்" எல்லாம் பொதுவாக அடிப்படை:

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வழித்தோன்றல்களை எங்கள் சூத்திரத்தில் மாற்றுவோம்:

ஒரு செயல்பாடு ஆரம்பத்தில் ஒரு சிக்கலான வழியில் முன்மொழியப்பட்டால், அது தர்க்கரீதியானதாக இருக்கும் (மேலே விளக்கப்பட்டுள்ளது!)முடிவுகளை அப்படியே விடுங்கள்:

அதே நேரத்தில், "அதிநவீனமான" பதில்களில், குறைந்தபட்ச எளிமைப்படுத்தல்களிலிருந்து கூட தவிர்ப்பது நல்லது. (இங்கே, எடுத்துக்காட்டாக, இது 3 மைனஸ்களை அகற்றுமாறு கெஞ்சுகிறது)- உங்களுக்கு வேலை குறைவாக உள்ளது, மேலும் உங்கள் உரோமம் கொண்ட நண்பர் பணியை எளிதாக மதிப்பாய்வு செய்வதில் மகிழ்ச்சியடைகிறார்.

இருப்பினும், ஒரு தோராயமான சோதனை மிதமிஞ்சியதாக இருக்காது. மாற்றுவோம் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வழித்தோன்றலில் மற்றும் எளிமைப்படுத்தல்களைச் செய்யுங்கள்:


(கடைசி கட்டத்தில் நாங்கள் பயன்படுத்தினோம் முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள் , )

இதன் விளைவாக, "காட்டுமிராண்டித்தனமான" தீர்வு முறையைப் போலவே அதே முடிவு பெறப்பட்டது.

புள்ளியில் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுவோம். முதலில் "போக்குவரத்து" மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்பது வசதியானது (செயல்பாடு மதிப்புகள் ) :

இப்போது நாம் இறுதி கணக்கீடுகளை வரைகிறோம், இந்த விஷயத்தில் வெவ்வேறு வழிகளில் செய்ய முடியும். நான் ஒரு சுவாரஸ்யமான நுட்பத்தைப் பயன்படுத்துகிறேன், அதில் 3 வது மற்றும் 4 வது "மாடிகள்" வழக்கமான விதிகளின்படி எளிமைப்படுத்தப்படவில்லை, ஆனால் இரண்டு எண்களின் பங்காக மாற்றப்படுகின்றன:

மற்றும், நிச்சயமாக, மிகவும் சிறிய குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி சரிபார்க்காதது ஒரு பாவம் :

பதில்:

சிக்கல் "அரை-பொது" வடிவத்தில் முன்மொழியப்பட்டது:

"செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும் »

அதாவது, "முக்கிய" செயல்பாடு கொடுக்கப்படவில்லை, ஆனால் அதன் "செருகுகள்" மிகவும் குறிப்பிட்டவை. பதில் அதே பாணியில் கொடுக்கப்பட வேண்டும்:

மேலும், நிபந்தனை சிறிது குறியாக்கம் செய்யப்படலாம்:

"செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும் »

இந்த விஷயத்தில் உங்களுக்குத் தேவை சொந்தமாகஉள்ளமை செயல்பாடுகளை சில பொருத்தமான எழுத்துக்களுடன் குறிப்பிடவும், எடுத்துக்காட்டாக, மூலம் அதே சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

மூலம், கடிதம் பெயர்கள் பற்றி. "கடிதங்களைப் பற்றிக் கொள்ள வேண்டாம்" என்று நான் பலமுறை வலியுறுத்தினேன், அவை ஒரு உயிர் காப்பாளர் போல, இப்போது இது மிகவும் பொருத்தமானது! தலைப்பில் பல்வேறு ஆதாரங்களை பகுப்பாய்வு செய்வதன் மூலம், ஆசிரியர்கள் "பைத்தியம் பிடித்தனர்" மற்றும் இரக்கமின்றி மாணவர்களை கணிதத்தின் புயல் படுகுழியில் தள்ளத் தொடங்கினார்கள் என்ற எண்ணம் எனக்கு ஏற்பட்டது =) எனவே என்னை மன்னியுங்கள் :))

எடுத்துக்காட்டு 2

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும் , என்றால்

மற்ற பெயர்கள் குழப்பமாக இருக்கக்கூடாது! ஒவ்வொரு முறையும் இதுபோன்ற பணியை எதிர்கொள்ளும்போது, ​​​​நீங்கள் இரண்டு எளிய கேள்விகளுக்கு பதிலளிக்க வேண்டும்:

1) "முக்கிய" செயல்பாடு எதைச் சார்ந்தது?இந்த வழக்கில், "zet" செயல்பாடு இரண்டு செயல்பாடுகளை ("y" மற்றும் "ve") சார்ந்துள்ளது.

2) உள்ளமை செயல்பாடுகள் என்ன மாறிகள் சார்ந்தது?இந்த வழக்கில், இரண்டு "செருகுகளும்" "X" ஐ மட்டுமே சார்ந்துள்ளது.

எனவே இந்த பணிக்கு சூத்திரத்தை மாற்றியமைப்பதில் உங்களுக்கு எந்த சிரமமும் இருக்கக்கூடாது!

பாடத்தின் முடிவில் ஒரு சிறிய தீர்வு மற்றும் பதில்.

முதல் வகையின் கூடுதல் எடுத்துக்காட்டுகளைக் காணலாம் ரியாபுஷ்கோவின் சிக்கல் புத்தகம் (IDZ 10.1), சரி, நாங்கள் செல்கிறோம் மூன்று மாறிகளின் செயல்பாடு:

எடுத்துக்காட்டு 3

ஒரு செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்ட இடத்தில்.
புள்ளியில் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுங்கள்

சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரம், பலர் யூகித்தபடி, தொடர்புடைய வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

நீங்கள் யூகித்தவுடன் முடிவு செய்யுங்கள் =)

ஒரு வேளை, செயல்பாட்டிற்கான பொதுவான சூத்திரத்தை நான் தருகிறேன்:
, நடைமுறையில் நீங்கள் எடுத்துக்காட்டு 3 ஐ விட நீண்ட எதையும் பார்க்க வாய்ப்பில்லை.

கூடுதலாக, சில நேரங்களில் "துண்டிக்கப்பட்ட" பதிப்பை வேறுபடுத்துவது அவசியம் - ஒரு விதியாக, படிவத்தின் செயல்பாடு அல்லது. இந்தக் கேள்வியை நீங்கள் சொந்தமாகப் படிப்பதற்காக விட்டுவிடுகிறேன் - சில எளிய உதாரணங்களைக் கொண்டு வாருங்கள், சிந்திக்கவும், பரிசோதனை செய்யவும் மற்றும் வழித்தோன்றல்களுக்கான சுருக்கப்பட்ட சூத்திரங்களைப் பெறவும்.

ஏதேனும் இன்னும் தெளிவாக தெரியவில்லை என்றால், பாடத்தின் முதல் பகுதியை மெதுவாக மீண்டும் படித்து புரிந்து கொள்ளுங்கள், ஏனெனில் இப்போது பணி மிகவும் சிக்கலானதாகிவிடும்:

எடுத்துக்காட்டு 4

ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்

தீர்வு: இந்த செயல்பாடுபடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் நேரடி மாற்றீட்டிற்குப் பிறகு, இரண்டு மாறிகளின் வழக்கமான செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

ஆனால் அத்தகைய பயம் ஏற்றுக்கொள்ளப்படவில்லை என்பது மட்டும் அல்ல, ஆனால் ஒருவர் இனி வேறுபடுத்த விரும்பவில்லை =) எனவே, நாங்கள் ஆயத்த சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவோம். வடிவத்தை விரைவாகப் புரிந்துகொள்ள உங்களுக்கு உதவ, நான் சில குறிப்புகளைச் செய்கிறேன்:

படத்தை மேலிருந்து கீழாகவும் இடமிருந்து வலமாகவும் கவனமாகப் பாருங்கள்.

முதலில், "முக்கிய" செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

இப்போது “லைனர்களின்” “எக்ஸ்” வழித்தோன்றல்களைக் காண்கிறோம்:

இறுதி "X" வழித்தோன்றலை எழுதவும்:

இதேபோல் "விளையாட்டு":

மற்றும்

நீங்கள் மற்றொரு பாணியில் ஒட்டிக்கொள்ளலாம் - அனைத்து "வால்களையும்" ஒரே நேரத்தில் கண்டுபிடிக்கவும் பின்னர் இரண்டு வழித்தோன்றல்களையும் எழுதுங்கள்.

பதில்:

மாற்று பற்றி எப்படியோ நான் அதைப் பற்றி யோசிக்கவே இல்லை =) =), ஆனால் நீங்கள் முடிவுகளை சிறிது மாற்றலாம். இருப்பினும், மீண்டும், ஏன்? - ஆசிரியர் சரிபார்ப்பதை மிகவும் கடினமாக்குங்கள்.

தேவைப்பட்டால், பின்னர் முழு வேறுபாடுஇங்கே இது வழக்கமான சூத்திரத்தின்படி எழுதப்பட்டுள்ளது, மேலும், இந்த கட்டத்தில்தான் ஒளி அழகுசாதனப் பொருட்கள் பொருத்தமானதாக மாறும்:


இது... சக்கரங்களில் ஒரு சவப்பெட்டி.

கருத்தில் உள்ள சிக்கலான செயல்பாட்டின் வகையின் புகழ் காரணமாக, சுயாதீன தீர்வுக்கான இரண்டு பணிகள் உள்ளன. "அரை-பொது" வடிவத்தில் எளிமையான உதாரணம் சூத்திரத்தைப் புரிந்துகொள்வதாகும்;-):

எடுத்துக்காட்டு 5

செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்

மேலும் சிக்கலானது - வேறுபாடு நுட்பங்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம்:

எடுத்துக்காட்டு 6

ஒரு செயல்பாட்டின் முழுமையான வேறுபாட்டைக் கண்டறியவும் , எங்கே

இல்லை, நான் "உங்களை கீழே அனுப்ப" முயற்சிக்கவில்லை - எல்லா எடுத்துக்காட்டுகளும் எடுக்கப்பட்டவை உண்மையான வேலை, மற்றும் "உயர் கடல்களில்" நீங்கள் எந்த கடிதங்களையும் காணலாம். எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும், நீங்கள் செயல்பாட்டை பகுப்பாய்வு செய்ய வேண்டும் (2 கேள்விகளுக்கு பதில் - மேலே பார்க்கவும்), அதை வழங்கவும் பொதுவான பார்வைமற்றும் பகுதி வழித்தோன்றல் சூத்திரங்களை கவனமாக மாற்றவும். நீங்கள் இப்போது கொஞ்சம் குழப்பமாக இருக்கலாம், ஆனால் அவற்றின் கட்டுமானத்தின் கொள்கையை நீங்கள் புரிந்துகொள்வீர்கள்! ஏனென்றால் உண்மையான சவால்கள் இப்போதுதான் ஆரம்பிக்கின்றன :)))

எடுத்துக்காட்டு 7

பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிந்து சிக்கலான செயல்பாட்டின் முழுமையான வேறுபாட்டை உருவாக்கவும்
, எங்கே

தீர்வு: "முக்கிய" செயல்பாடு வடிவம் உள்ளது மற்றும் இன்னும் இரண்டு மாறிகள் சார்ந்துள்ளது - "x" மற்றும் "y". ஆனால் எடுத்துக்காட்டு 4 உடன் ஒப்பிடும்போது, ​​மற்றொரு உள்ளமை செயல்பாடு சேர்க்கப்பட்டுள்ளது, எனவே பகுதி வழித்தோன்றல் சூத்திரங்களும் நீட்டிக்கப்படுகின்றன. அந்த எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதைப் போலவே, வடிவத்தின் சிறந்த காட்சிப்படுத்தலுக்கு, வெவ்வேறு வண்ணங்களில் "முக்கிய" பகுதி வழித்தோன்றல்களை முன்னிலைப்படுத்துவேன்:

மீண்டும், பதிவை மேலிருந்து கீழாகவும் இடமிருந்து வலமாகவும் கவனமாகப் படிக்கவும்.

சிக்கல் "அரை-பொது" வடிவத்தில் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளதால், உட்பொதிக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிவதில் எங்கள் எல்லா வேலைகளும் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன:

முதல் வகுப்பு மாணவர் கையாள முடியும்:

முழு வேறுபாடு கூட மிகவும் நன்றாக மாறியது:

நான் வேண்டுமென்றே உங்களுக்கு எந்த குறிப்பிட்ட செயல்பாட்டையும் வழங்கவில்லை - இதனால் தேவையற்ற ஒழுங்கீனம் ஒரு நல்ல புரிதலில் தலையிடாது திட்ட வரைபடம்பணிகள்.

பதில்:

அடிக்கடி நீங்கள் "கலப்பு அளவிலான" முதலீடுகளைக் காணலாம், எடுத்துக்காட்டாக:

இங்கே "முக்கிய" செயல்பாடு, வடிவத்தைக் கொண்டிருந்தாலும், இன்னும் "x" மற்றும் "y" இரண்டையும் சார்ந்துள்ளது. எனவே, அதே சூத்திரங்கள் வேலை செய்கின்றன - சில பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும். மேலும், இது போன்ற செயல்பாடுகளுக்கும் இது பொருந்தும் , இதில் ஒவ்வொரு "லைனர்" ஒரு மாறியை சார்ந்துள்ளது.

பாடத்தின் இறுதி இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளில் இதேபோன்ற சூழ்நிலை ஏற்படுகிறது:

எடுத்துக்காட்டு 8

ஒரு கட்டத்தில் சிக்கலான செயல்பாட்டின் மொத்த வேறுபாட்டைக் கண்டறியவும்

தீர்வு: நிபந்தனை "பட்ஜெட்டரி" முறையில் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் உள்ளமை செயல்பாடுகளை நாமே லேபிளிட வேண்டும். இது ஒரு நல்ல வழி என்று நான் நினைக்கிறேன்:

"செருகுகள்" கொண்டிருக்கும் ( கவனம்!) மூன்று எழுத்துக்கள் நல்ல பழைய "X-Y-Z" ஆகும், அதாவது "முக்கிய" செயல்பாடு உண்மையில் மூன்று மாறிகளைப் பொறுத்தது. இது முறையாக மீண்டும் எழுதப்படலாம், மேலும் இந்த வழக்கில் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பின்வரும் சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன:

நாங்கள் ஸ்கேன் செய்கிறோம், ஆராய்வோம், கைப்பற்றுகிறோம்.

எங்கள் பணியில்:

வரையறை. மாறி z(மாற்ற பகுதியுடன் Z) அழைக்கப்பட்டது இரண்டு சுயாதீன மாறிகளின் செயல்பாடு x,yமிகுதியாக எம், ஒவ்வொரு ஜோடி என்றால் ( x,y) பலரிடமிருந்து எம் zஇருந்து Z.

வரையறை. ஒரு கொத்து எம், இதில் மாறிகள் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளன x,y,அழைக்கப்பட்டது செயல்பாட்டின் களம், செட் Z – செயல்பாட்டு வரம்பு, மற்றும் தங்களை x,y- அவள் வாதங்கள்.

பதவிகள்: z = f(x,y), z = z(x,y).

எடுத்துக்காட்டுகள்.

வரையறை . மாறி z(மாற்ற பகுதியுடன் Z) அழைக்கப்பட்டது பல சுயாதீன மாறிகளின் செயல்பாடுமிகுதியாக எம், தொகுப்பில் இருந்து எண்களின் ஒவ்வொரு தொகுப்பு என்றால் எம்சில விதி அல்லது சட்டத்தின்படி, ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பு ஒதுக்கப்படுகிறது zஇருந்து Z.வாதங்களின் கருத்துக்கள், வரையறையின் டொமைன் மற்றும் மதிப்பின் டொமைன் ஆகியவை இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கு அதே வழியில் அறிமுகப்படுத்தப்படுகின்றன.

பதவிகள்: z = f, z = z.

கருத்து. ஒன்றிரண்டு எண்களில் இருந்து ( x,y) விமானத்தில் உள்ள ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளாகக் கருதலாம், இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கான ஒரு ஜோடி வாதங்களுக்கு "புள்ளி" என்ற வார்த்தையைப் பயன்படுத்துவோம், அதே போல் ஒரு செயல்பாட்டிற்கான வாதங்களாக இருக்கும் எண்களின் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பிற்கும் பயன்படுத்துவோம். பல மாறிகள்.

இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் வடிவியல் பிரதிநிதித்துவம்

செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள்

z = f(x,y), (15.1)

சில பகுதியில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது எம்ஓ விமானத்தில் xy. பின்னர் முப்பரிமாண இடைவெளியில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பு ஆயத்தொகுப்புகளுடன் ( x,y,z), எங்கே , என்பது இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் வரைபடம். சமன்பாடு (15.1) ஒரு குறிப்பிட்ட மேற்பரப்பை முப்பரிமாண இடத்தில் வரையறுப்பதால், அது வடிவியல் படம்கேள்விக்குரிய செயல்பாடு.

செயல்பாட்டு டொமைன் z = f(x,y)எளிமையான சந்தர்ப்பங்களில், இது ஒரு மூடிய வளைவால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட விமானத்தின் ஒரு பகுதியாகும், மேலும் இந்த வளைவின் புள்ளிகள் (பிராந்தியத்தின் எல்லைகள்) வரையறையின் டொமைன் அல்லது முழு விமானத்திற்கும் சொந்தமானதாக இருக்கலாம் அல்லது இல்லாமல் இருக்கலாம். இறுதியாக, xOy விமானத்தின் பல பகுதிகளின் தொகுப்பு.

z = f(x,y)

எடுத்துக்காட்டுகளில் விமானத்தின் சமன்பாடுகள் அடங்கும் z = கோடாரி + மூலம் + சி

மற்றும் இரண்டாவது வரிசை மேற்பரப்புகள்: z = x² + ஒய்² (புரட்சியின் பரபோலாய்டு),

(கூம்பு), முதலியன

கருத்து. மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கு, "மேற்பரப்பு இன்" என்ற சொல்லைப் பயன்படுத்துவோம் n- பரிமாண இடம், "அத்தகைய மேற்பரப்பை சித்தரிக்க இயலாது என்றாலும்.

நிலை கோடுகள் மற்றும் மேற்பரப்புகள்

சமன்பாடு (15.1) மூலம் கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கு, நாம் புள்ளிகளின் தொகுப்பைக் கருத்தில் கொள்ளலாம் ( x,y)ஓ விமானம் xy, எதற்காக zஅதே நிலையான மதிப்பைப் பெறுகிறது, அதாவது z= தொடர்ந்து. இந்த புள்ளிகள் என்று அழைக்கப்படும் விமானத்தில் ஒரு கோட்டை உருவாக்குகின்றன நிலை வரி.

உதாரணமாக.

மேற்பரப்பிற்கான நிலைக் கோடுகளைக் கண்டறியவும் z = 4 – எக்ஸ்² - ஒய்². அவற்றின் சமன்பாடுகள் எக்ஸ்² + ஒய்² = 4 – c(c= const) – தோற்றத்தில் ஒரு மையம் மற்றும் ஆரங்கள் கொண்ட செறிவு வட்டங்களின் சமன்பாடுகள். உதாரணமாக, எப்போது உடன்=0 நாம் ஒரு வட்டத்தைப் பெறுகிறோம் எக்ஸ்² + ஒய்² = 4.

மூன்று மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கு u = u(x, y, z)சமன்பாடு u(x, y, z) = cமுப்பரிமாண இடத்தில் ஒரு மேற்பரப்பை வரையறுக்கிறது, இது அழைக்கப்படுகிறது நிலை மேற்பரப்பு.

உதாரணமாக.

செயல்பாட்டிற்கு u = 3எக்ஸ் + 5ஒய் – 7z-12 நிலை மேற்பரப்புகள் சமன்பாடுகள் 3 மூலம் கொடுக்கப்பட்ட இணை விமானங்களின் குடும்பமாக இருக்கும் எக்ஸ் + 5ஒய் – 7z –12 + உடன் = 0.

பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் வரம்பு மற்றும் தொடர்ச்சி

கருத்தை அறிமுகப்படுத்துவோம் δ-அருகில்புள்ளிகள் எம் 0 (x 0, y 0)ஓ விமானத்தில் xyஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் மையத்துடன் ஆரம் δ வட்டமாக. இதேபோல், முப்பரிமாண இடைவெளியில் உள்ள δ-அருகில் புள்ளியில் மையம் கொண்ட ஆரம் δ பந்து என வரையறுக்கலாம். எம் 0 (x 0, y 0, z 0). க்கு n-பரிமாண இடைவெளியை நாம் ஒரு புள்ளியின் δ-அருகில் அழைப்போம் எம் 0 புள்ளிகளின் தொகுப்பு எம்நிபந்தனைகளை திருப்திப்படுத்தும் ஆயங்களுடன்

புள்ளியின் ஆயங்கள் எங்கே எம் 0 . சில நேரங்களில் இந்த தொகுப்பு "பந்து" என்று அழைக்கப்படுகிறது n- பரிமாண இடம்.

வரையறை. எண் A அழைக்கப்படுகிறது அளவுபல மாறிகளின் செயல்பாடுகள் fபுள்ளியில் எம் 0 என்றால் அது | எஃப்(எம்) - ஏ| < ε для любой точки எம்δ-அருகில் இருந்து எம் 0 .

பதவிகள்: .

இந்த விஷயத்தில் புள்ளி என்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும் எம்நெருங்கி இருக்கலாம் எம் 0, ஒப்பீட்டளவில், புள்ளியின் δ-அருகிலுள்ள எந்தப் பாதையிலும் எம் 0 . எனவே, பொது அர்த்தத்தில் பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் வரம்பை அழைக்கப்படுபவற்றிலிருந்து வேறுபடுத்த வேண்டும். மீண்டும் மீண்டும் வரம்புகள்ஒவ்வொரு வாதத்திற்கும் தனித்தனியாக வரம்புக்கு அடுத்தடுத்த பத்திகளால் பெறப்பட்டது.

எடுத்துக்காட்டுகள்.

கருத்து. வழக்கமான அர்த்தத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் ஒரு வரம்பு இருப்பதாலும், தனிப்பட்ட வாதங்களின் மீதான வரம்புகளின் இந்த கட்டத்தில் இருப்பதாலும், மீண்டும் மீண்டும் வரம்புகளின் இருப்பு மற்றும் சமத்துவம் பின்வருமாறு என்பதை நிரூபிக்க முடியும். தலைகீழ் அறிக்கை உண்மையல்ல.

வரையறை செயல்பாடு fஅழைக்கப்பட்டது தொடர்ச்சியானபுள்ளியில் எம் 0 என்றால் (15.2)

நாம் குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்தினால், நிபந்தனை (15.2) வடிவத்தில் (15.3) மீண்டும் எழுதப்படலாம்.

வரையறை . உள் புள்ளி எம் 0செயல்பாட்டு களம் z = f (M)அழைக்கப்பட்டது முறிவு புள்ளிஇந்த கட்டத்தில் நிபந்தனைகள் (15.2), (15.3) திருப்தி அடையவில்லை என்றால் செயல்பாடு.

கருத்து. பல இடைநிறுத்தப் புள்ளிகள் ஒரு விமானத்தில் அல்லது விண்வெளியில் உருவாகலாம் கோடுகள்அல்லது எலும்பு முறிவு மேற்பரப்பு.

எடுத்துக்காட்டுகள்.

வரம்புகள் மற்றும் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் பண்புகள்

பல மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கான வரம்பு மற்றும் தொடர்ச்சியின் வரையறைகள் நடைமுறையில் ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டிற்கான தொடர்புடைய வரையறைகளுடன் ஒத்துப்போவதால், பல மாறிகளின் செயல்பாடுகளுக்கு, பாடத்தின் முதல் பகுதியில் நிரூபிக்கப்பட்ட வரம்புகள் மற்றும் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் அனைத்து பண்புகளும் பாதுகாக்கப்படுகின்றன. , அதாவது:

1) அவை இருந்தால், அவை உள்ளன (என்றால்).

2) ஒரு மற்றும் ஏதேனும் இருந்தால் நான்வரம்புகள் உள்ளன மற்றும் எங்கே இருக்கிறது எம் 0, பின்னர் ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வரம்பு உள்ளது, புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் எங்கே ஆர் 0 .

3) செயல்பாடுகள் என்றால் f(எம்)மற்றும் ஜி(எம்)ஒரு புள்ளியில் தொடர்ந்து எம் 0, இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடுகளும் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் f(M) + g(M), kf(M), f(M) g(M), f(M)/g(M)(என்றால் ஜி(எம் 0) ≠ 0).

4) செயல்பாடுகள் புள்ளியில் தொடர்ச்சியாக இருந்தால் பி 0, மற்றும் செயல்பாடு புள்ளியில் தொடர்ந்து இருக்கும் எம் 0, எங்கே , பின்னர் சிக்கலான செயல்பாடு புள்ளியில் தொடர்ந்து இருக்கும் R 0

5) மூடிய வரையறுக்கப்பட்ட பகுதியில் செயல்பாடு தொடர்கிறது டி, இந்த பிராந்தியத்தில் அதன் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளை எடுக்கும்.

6) மூடிய வரையறுக்கப்பட்ட பகுதியில் செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருந்தால் டி, இந்த பிராந்தியத்தில் மதிப்புகளை எடுக்கிறது ஏமற்றும் IN, பின்னர் அவள் அந்த பகுதியை எடுத்துக்கொள்கிறாள் டிமற்றும் இடையில் இருக்கும் எந்த இடைநிலை மதிப்பு ஏமற்றும் IN.

7) ஒரு மூடிய வரையறுக்கப்பட்ட பகுதியில் செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருந்தால் டி, இந்த பிராந்தியத்தில் வெவ்வேறு அறிகுறிகளின் மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்கிறது, பின்னர் ஒரு உள்ளது குறைந்தபட்சம்பகுதியில் இருந்து ஒரு புள்ளி டி, இதில் f = 0.

பகுதி வழித்தோன்றல்கள்

ஒரு செயல்பாட்டை அதன் வாதங்களில் ஒன்றிற்கு மட்டும் அதிகரிப்பதைக் குறிப்பிடும்போது அதை மாற்றுவதைக் கருத்தில் கொள்வோம் - x i, மற்றும் அதை அழைப்போம்.

வரையறை . பகுதி வழித்தோன்றல்வாதத்தின் மூலம் செயல்படுகிறது x iஅழைக்கப்பட்டது.

பதவிகள்: .

எனவே, பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல் உண்மையில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலாக வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒரு மாறி - x i. எனவே, ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டிற்காக நிரூபிக்கப்பட்ட வழித்தோன்றல்களின் அனைத்து பண்புகளும் அதற்கு செல்லுபடியாகும்.

கருத்து. பகுதி வழித்தோன்றல்களின் நடைமுறைக் கணக்கீட்டில், ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துவதற்கான வழக்கமான விதிகளைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டுகள் .

1. z = 2எக்ஸ்² + 3 xy –12ஒய்² + 5 எக்ஸ் – 4ஒய் +2,

2. z = xy,

இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்களின் வடிவியல் விளக்கம்

மேற்பரப்பு சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள் z = f(x,y)மற்றும் ஒரு விமானத்தை வரையவும் x =நிலையான விமானம் மற்றும் மேற்பரப்பின் குறுக்குவெட்டு வரியில் ஒரு புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் M(x,y). வாதத்தை கொடுத்தால் மணிக்குஅதிகரிப்பு Δ மணிக்குமற்றும் ஆயத்தொலைவுகளுடன் வளைவில் T புள்ளியைக் கருதுங்கள் ( x, y+Δ y, z+Δy z), பின்னர் O அச்சின் நேர் திசையுடன் செகண்ட் MT ஆல் உருவாக்கப்பட்ட கோணத்தின் தொடுகோடு மணிக்கு, சமமாக இருக்கும். இல் வரம்பைக் கடக்கும்போது, ​​பகுதி வழித்தோன்றல் புள்ளியில் விளைந்த வளைவுக்கு தொடுகால் உருவாக்கப்பட்ட கோணத்தின் தொடுகோடு சமமாக இருப்பதைக் காண்கிறோம். எம் O அச்சின் நேர்மறையான திசையுடன் u.அதன்படி, பகுதி வழித்தோன்றல் O அச்சுடன் கூடிய கோணத்தின் தொடுகோடு சமமாக இருக்கும் எக்ஸ்மேற்பரப்பைப் பிரிப்பதன் விளைவாக பெறப்பட்ட வளைவின் தொடுகோடு z = f(x,y)விமானம் y=நிலையான

பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் வேறுபாடு

வேறுபாடு தொடர்பான சிக்கல்களைப் படிக்கும் போது, ​​மூன்று மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கு நம்மை வரம்பிடுவோம், ஏனெனில் அனைத்து ஆதாரங்களும் மேலும்மாறிகள் அதே வழியில் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன.

வரையறை . முழு அதிகரிப்புசெயல்பாடுகள் u = f(x, y, z)அழைக்கப்பட்டது

தேற்றம் 1. பகுதி வழித்தோன்றல்கள் புள்ளியில் இருந்தால் ( x 0, y 0, z 0) மற்றும் அதன் சுற்றுப்புறங்களில் சில மற்றும் புள்ளியில் தொடர்ந்து ( x 0, y 0, z 0) பின்னர் வரையறுக்கப்பட்டவை (அவற்றின் தொகுதிகள் 1 ஐ விட அதிகமாக இல்லை என்பதால்).

தேற்றம் 1 இன் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு பின்வருமாறு குறிப்பிடப்படலாம்: , (15.6)

வரையறை . செயல்பாடு அதிகரிப்பு என்றால் u = f (x, y, z)புள்ளியில் ( x 0 , y 0 , z 0)வடிவத்தில் (15.6), (15.7) குறிப்பிடப்படலாம், பின்னர் செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது வேறுபடுத்தக்கூடியதுஇந்த கட்டத்தில், மற்றும் வெளிப்பாடு உள்ளது அதிகரிப்பின் முக்கிய நேரியல் பகுதிஅல்லது முழு வேறுபாடுகேள்விக்குரிய செயல்பாடு.

பதவிகள்: du, df (x 0 , y 0 , z 0).

ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் விஷயத்தைப் போலவே, சுயாதீன மாறிகளின் வேறுபாடுகள் அவற்றின் தன்னிச்சையான அதிகரிப்புகளாகும்.

குறிப்பு 1. எனவே, "செயல்பாடு வேறுபடுத்தக்கூடியது" என்ற கூற்று "செயல்பாடு பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டுள்ளது" என்ற கூற்றுக்கு சமமானதல்ல - வேறுபாட்டிற்கு, கேள்விக்குரிய புள்ளியில் இந்த வழித்தோன்றல்களின் தொடர்ச்சியும் தேவைப்படுகிறது.

.

செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொண்டு தேர்வு செய்யவும் x 0 = 1, y 0 = 2. பிறகு Δ x = 1.02 - 1 = 0.02; Δ y = 1.97 – 2 = -0.03. கண்டுபிடிப்போம்

எனவே, கொடுக்கப்பட்டது f ( 1, 2) = 3, நாம் பெறுகிறோம்.