செயல்பாட்டின் 1வது வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும். பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுவதற்கான அம்சங்கள். மொத்த வேறுபாட்டை நீங்களே கண்டுபிடித்து பின்னர் தீர்வைப் பாருங்கள்

ஒவ்வொரு பகுதி வழித்தோன்றலும் (ஆல் எக்ஸ்மற்றும் மூலம் ஒய்) இரண்டு மாறிகளின் சார்பு என்பது ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் சாதாரண வழித்தோன்றலாக மற்ற மாறியின் நிலையான மதிப்புக்கு:

(எங்கே ஒய்= நிலையானது),

(எங்கே எக்ஸ்= const).

எனவே, பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன ஒரு மாறியின் செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்கள் மற்றும் விதிகள், மற்ற மாறி மாறிலியை கருத்தில் கொள்ளும்போது.

உங்களுக்கு எடுத்துக்காட்டுகளின் பகுப்பாய்வு மற்றும் இதற்குத் தேவையான குறைந்தபட்ச கோட்பாடு தேவையில்லை, ஆனால் உங்கள் பிரச்சினைக்கு தீர்வு மட்டுமே தேவைப்பட்டால், செல்லவும் ஆன்லைன் பகுதி வழித்தோன்றல் கால்குலேட்டர் .

செயல்பாட்டில் மாறிலி எங்குள்ளது என்பதைக் கண்காணிப்பதில் கவனம் செலுத்துவது கடினமாக இருந்தால், உதாரணத்தின் வரைவுத் தீர்வில், நிலையான மதிப்பைக் கொண்ட மாறிக்கு பதிலாக, நீங்கள் எந்த எண்ணையும் மாற்றலாம் - பின்னர் நீங்கள் பகுதி வழித்தோன்றலை விரைவாகக் கணக்கிடலாம் ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் சாதாரண வழித்தோன்றல். இறுதி வடிவமைப்பை முடிக்கும்போது, மாறிலியை (நிலையான மதிப்பைக் கொண்ட மாறி) அதன் இடத்திற்குத் திரும்பப் பெற நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

மேலே விவரிக்கப்பட்ட பகுதி வழித்தோன்றல்களின் சொத்து, பகுதி வழித்தோன்றலின் வரையறையிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது, இது தேர்வு கேள்விகளில் தோன்றும். எனவே, கீழே உள்ள வரையறையுடன் உங்களைப் பழக்கப்படுத்திக்கொள்ள, நீங்கள் கோட்பாட்டுக் குறிப்பைத் திறக்கலாம்.

செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியின் கருத்து z= f(எக்ஸ், ஒய்) ஒரு புள்ளியில் ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டிற்கு இந்த கருத்து போலவே வரையறுக்கப்படுகிறது.

செயல்பாடு z = f(எக்ஸ், ஒய்) என்றால் ஒரு புள்ளியில் தொடர்ச்சி என்று அழைக்கப்படுகிறது

வேறுபாடு (2) செயல்பாட்டின் மொத்த அதிகரிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது z(இது இரண்டு வாதங்களின் அதிகரிப்பின் விளைவாக பெறப்படுகிறது).

செயல்பாடு கொடுக்கப்படட்டும் z= f(எக்ஸ், ஒய்) மற்றும் காலம்

செயல்பாடு மாறினால் zவாதங்களில் ஒன்று மட்டும் மாறும்போது நிகழ்கிறது, எடுத்துக்காட்டாக, எக்ஸ், மற்றொரு வாதத்தின் நிலையான மதிப்புடன் ஒய், பின்னர் செயல்பாடு ஒரு அதிகரிப்பு பெறும்

செயல்பாட்டின் பகுதி அதிகரிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது f(எக்ஸ், ஒய்) மூலம் எக்ஸ்.

செயல்பாடு மாற்றத்தை கருத்தில் கொண்டு zவாதங்களில் ஒன்றை மட்டும் மாற்றுவதைப் பொறுத்து, ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டிற்கு திறம்பட மாற்றுவோம்.

வரையறுக்கப்பட்ட வரம்பு இருந்தால்

பின்னர் அது செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல் என்று அழைக்கப்படுகிறது f(எக்ஸ், ஒய்) வாதத்தின் மூலம் எக்ஸ்மற்றும் சின்னங்களில் ஒன்றால் குறிக்கப்படுகிறது

(4)

பகுதி அதிகரிப்பு இதேபோல் தீர்மானிக்கப்படுகிறது zமூலம் ஒய்:

மற்றும் பகுதி வழித்தோன்றல் f(எக்ஸ், ஒய்) மூலம் ஒய்:

(6)

எடுத்துக்காட்டு 1.

தீர்வு. "x" மாறியைப் பொறுத்து பகுதி வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்:

(ஒய்நிலையானது);

"y" மாறியைப் பொறுத்து பகுதி வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்:

(எக்ஸ்சரி செய்யப்பட்டது).

நீங்கள் பார்க்கிறபடி, மாறி எந்த அளவிற்கு நிலையானது என்பது முக்கியமல்ல: இந்த விஷயத்தில் இது ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணாகும், இது பகுதி வழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் மாறியின் ஒரு காரணியாகும் (சாதாரண வழித்தோன்றலைப் போலவே). . நிலையான மாறியை நாம் பகுதி வழித்தோன்றலைக் காணும் மாறியால் பெருக்கப்படாவிட்டால், இந்த தனிமையான மாறிலி, சாதாரண வழித்தோன்றலைப் போலவே எந்த அளவிற்கு இருந்தாலும் மறைந்துவிடும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.ஒரு செயல்பாடு வழங்கப்பட்டது

பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்

(எக்ஸ் மூலம்) மற்றும் (ஒய் மூலம்) மற்றும் புள்ளியில் அவற்றின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுங்கள் ஏ (1; 2).

தீர்வு. நிலையானது ஒய்முதல் சொல்லின் வழித்தோன்றல் சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலாகக் காணப்படுகிறது ( ஒரு மாறியின் வழித்தோன்றல் செயல்பாடுகளின் அட்டவணை):

நிலையானது எக்ஸ்முதல் காலத்தின் வழித்தோன்றல் அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலாகவும், இரண்டாவது - மாறிலியின் வழித்தோன்றலாகவும் காணப்படுகிறது:

இப்போது இந்த பகுதி வழித்தோன்றல்களின் மதிப்புகளை புள்ளியில் கணக்கிடுவோம் ஏ (1; 2):

பகுதி வழித்தோன்றல் சிக்கல்களுக்கான தீர்வை நீங்கள் இங்கே பார்க்கலாம் ஆன்லைன் பகுதி வழித்தோன்றல் கால்குலேட்டர் .

எடுத்துக்காட்டு 3.ஒரு செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்

தீர்வு. ஒரு கட்டத்தில் நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்

(ஒய் எக்ஸ், சைன் வாதம் 5 என்பது போல எக்ஸ்: அதே வழியில், 5 செயல்பாடு குறிக்கு முன் தோன்றும்);

(எக்ஸ்நிலையானது மற்றும் இந்த வழக்கில் ஒரு பெருக்கி உள்ளது ஒய்).

மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகளின் செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் இதேபோல் வரையறுக்கப்படுகின்றன.

ஒவ்வொரு மதிப்புகளின் தொகுப்பு என்றால் ( எக்ஸ்; ஒய்; ...; டி) தொகுப்பிலிருந்து சுயாதீன மாறிகள் டிஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது uபலரிடமிருந்து ஈ, அந்த uமாறிகளின் செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது எக்ஸ், ஒய், ..., டிமற்றும் குறிக்கவும் u= f(எக்ஸ், ஒய், ..., டி).

மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகளின் செயல்பாடுகளுக்கு, வடிவியல் விளக்கம் இல்லை.

பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்களும் தீர்மானிக்கப்பட்டு, சுயாதீன மாறிகளில் ஒன்று மட்டுமே மாறுகிறது, மற்றவை நிலையானவை என்ற அனுமானத்தின் கீழ் கணக்கிடப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 4.ஒரு செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்

தீர்வு. ஒய்மற்றும் zசரி செய்யப்பட்டது:

எக்ஸ்மற்றும் zசரி செய்யப்பட்டது:

எக்ஸ்மற்றும் ஒய்சரி செய்யப்பட்டது:

பகுதி வழித்தோன்றல்களை நீங்களே கண்டுபிடித்து தீர்வுகளைப் பாருங்கள்

எடுத்துக்காட்டு 5.

எடுத்துக்காட்டு 6.ஒரு செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்.

பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல் ஒரே மாதிரியாக உள்ளது இயந்திர பொருள் என்பது ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கு சமம், வாதங்களில் ஒன்றின் மாற்றத்துடன் தொடர்புடைய செயல்பாட்டின் மாற்ற விகிதம்.

எடுத்துக்காட்டு 8.ஓட்டத்தின் அளவு மதிப்பு பிரயில்வே பயணிகள் செயல்பாட்டின் மூலம் வெளிப்படுத்தலாம்

எங்கே பி- பயணிகளின் எண்ணிக்கை, என்- நிருபர் புள்ளிகளில் வசிப்பவர்களின் எண்ணிக்கை, ஆர்- புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம்.

ஒரு செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல் பிமூலம் ஆர், சமம்

பயணிகளின் ஓட்டம் குறைவது, புள்ளிகளில் உள்ள அதே எண்ணிக்கையிலான குடியிருப்பாளர்களுடன் தொடர்புடைய புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தின் சதுரத்திற்கு நேர்மாறான விகிதாசாரமாகும் என்பதைக் காட்டுகிறது.

பகுதி வழித்தோன்றல் பிமூலம் என், சமம்

பயணிகளின் ஓட்டத்தின் அதிகரிப்பு புள்ளிகளுக்கு இடையில் ஒரே தூரத்தில் குடியேற்றங்களில் வசிப்பவர்களின் எண்ணிக்கையை விட இரண்டு மடங்கு விகிதாசாரமாக இருப்பதைக் காட்டுகிறது.

முழு வேறுபாடு

ஒரு பகுதி வழித்தோன்றலின் தயாரிப்பு மற்றும் தொடர்புடைய சார்பற்ற மாறியின் அதிகரிப்பு பகுதி வேறுபாடு எனப்படும். பகுதி வேறுபாடுகள் பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகின்றன:

அனைத்து சார்பற்ற மாறிகளுக்கான பகுதி வேறுபாடுகளின் கூட்டுத்தொகை மொத்த வேறுபாட்டைக் கொடுக்கும். இரண்டு சுயாதீன மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கு, மொத்த வேறுபாடு சமத்துவத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது

(7)

எடுத்துக்காட்டு 9.ஒரு செயல்பாட்டின் முழுமையான வேறுபாட்டைக் கண்டறியவும்

தீர்வு. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் விளைவு (7):

ஒரு குறிப்பிட்ட டொமைனின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் மொத்த வேறுபாட்டைக் கொண்டிருக்கும் ஒரு செயல்பாடு, அந்த டொமைனில் வேறுபடக்கூடியதாகக் கூறப்படுகிறது.

மொத்த வேறுபாட்டை நீங்களே கண்டுபிடித்து பின்னர் தீர்வைப் பாருங்கள்

ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் விஷயத்தைப் போலவே, ஒரு குறிப்பிட்ட டொமைனில் ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாடு இந்த டொமைனில் அதன் தொடர்ச்சியைக் குறிக்கிறது, ஆனால் நேர்மாறாக இல்லை.

ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டிற்கான போதுமான நிபந்தனையை ஆதாரம் இல்லாமல் உருவாக்குவோம்.

தேற்றம்.செயல்பாடு என்றால் z= f(எக்ஸ், ஒய்) தொடர்ச்சியான பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டுள்ளது

கொடுக்கப்பட்ட பகுதியில், அது இந்த பகுதியில் வேறுபடுத்தக்கூடியது மற்றும் அதன் வேறுபாடு சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது (7).

ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் விஷயத்தைப் போலவே, செயல்பாட்டின் வேறுபாடு என்பது செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் முக்கிய நேரியல் பகுதியாகும், எனவே பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் விஷயத்தில், மொத்த வேறுபாடு முதன்மையானது, சார்பற்ற மாறிகளின் அதிகரிப்புகளைப் பொறுத்து நேரியல், செயல்பாட்டின் மொத்த அதிகரிப்பின் ஒரு பகுதி.

இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கு, செயல்பாட்டின் மொத்த அதிகரிப்பு வடிவம் கொண்டது

(8)

α மற்றும் β மற்றும் β ஆகியவை எண்ணற்றவை.

உயர் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள்

பகுதி வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் செயல்பாடுகள் f(எக்ஸ், ஒய்) அவை ஒரே மாறிகளின் சில செயல்பாடுகளாகும், மேலும், வெவ்வேறு மாறிகளைப் பொறுத்து வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருக்கலாம், அவை உயர் வரிசைகளின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

செயல்பாடு கொடுக்கப்படட்டும். x மற்றும் y ஆகியவை சுயாதீன மாறிகள் என்பதால், அவற்றில் ஒன்று மாறலாம், மற்றொன்று அதன் மதிப்பைப் பராமரிக்கிறது. y இன் மதிப்பை மாற்றாமல் வைத்திருக்கும் போது x இன் சார்பற்ற மாறிக்கு ஒரு அதிகரிப்பைக் கொடுப்போம். பின்னர் z ஒரு அதிகரிப்பைப் பெறும், இது x ஐப் பொறுத்து z இன் பகுதி அதிகரிப்பு என அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது. அதனால், .

இதேபோல், நாம் y மீது z இன் பகுதி அதிகரிப்பைப் பெறுகிறோம்: .

z செயல்பாட்டின் மொத்த அதிகரிப்பு சமத்துவத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

ஒரு வரம்பு இருந்தால், அது x மாறியைப் பொறுத்து ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் குறியீடுகளில் ஒன்றால் குறிக்கப்படுகிறது:

ஒரு புள்ளியில் x ஐப் பொறுத்து பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பொதுவாக குறியீடுகளால் குறிக்கப்படுகின்றன .

y என்ற மாறியின் பகுதி வழித்தோன்றல் வரையறுக்கப்பட்டு இதேபோல் குறிக்கப்படுகிறது:

இவ்வாறு, பல (இரண்டு, மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) மாறிகளின் செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல் இந்த மாறிகளில் ஒன்றின் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலாக வரையறுக்கப்படுகிறது, மீதமுள்ள சுயாதீன மாறிகளின் மதிப்புகள் நிலையானதாக இருக்கும். எனவே, ஒரு சார்பின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்கள் மற்றும் விதிகளைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்படுகின்றன (இந்த வழக்கில், x அல்லது y முறையே நிலையான மதிப்பாகக் கருதப்படுகிறது).

பகுதி வழித்தோன்றல்கள் முதல்-வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அவை செயல்பாடுகளாக கருதப்படலாம். இந்த செயல்பாடுகள் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருக்கலாம், அவை இரண்டாம்-வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அவை பின்வருமாறு வரையறுக்கப்பட்டு பெயரிடப்பட்டுள்ளன:

; ;

; .

இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் 1வது மற்றும் 2வது வரிசையின் வேறுபாடுகள்.

ஒரு செயல்பாட்டின் மொத்த வேறுபாடு (சூத்திரம் 2.5) முதல்-வரிசை வேறுபாடு எனப்படும்.

மொத்த வேறுபாட்டைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம் பின்வருமாறு:

(2.5) அல்லது , எங்கே ,

ஒரு செயல்பாட்டின் பகுதி வேறுபாடுகள்.

செயல்பாடு இரண்டாவது வரிசையின் தொடர்ச்சியான பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருக்கட்டும். இரண்டாவது வரிசை வேறுபாடு சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. அதை கண்டுபிடிப்போம்:

இங்கிருந்து: . குறியீடாக இது பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

தீர்மானிக்கப்படாத ஒருங்கிணைந்த.

ஒரு செயல்பாட்டின் எதிர்ப்பொருள், காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு, பண்புகள்.

F(x) செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது எதிர் வழிவகைகொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டிற்கு f(x), F"(x)=f(x) என்றால், அல்லது, dF(x)=f(x)dx என்றால் என்ன.

தேற்றம். வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எல்லையற்ற நீளத்தின் சில இடைவெளியில் (X) வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு சார்பு f(x), F(x) என்ற ஒரு ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் இருந்தால், அது எண்ணற்ற பல ஆண்டிடெரிவேட்டிவ்களையும் கொண்டுள்ளது; அவை அனைத்தும் F(x) + C என்ற வெளிப்பாட்டில் உள்ளன, இதில் C என்பது தன்னிச்சையான மாறிலி.

ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் அல்லது வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எல்லையற்ற நீளத்தின் ஒரு பிரிவில் வரையறுக்கப்பட்ட, கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு f(x)க்கான அனைத்து ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பு அழைக்கப்படுகிறது காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு f(x) செயல்பாட்டிலிருந்து [அல்லது f(x)dx ] என்ற வெளிப்பாட்டிலிருந்து மற்றும் குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது.

F(x) என்பது f(x)க்கான எதிர் வழித்தோன்றல்களில் ஒன்றாகும் எனில், ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் தேற்றத்தின்படி

, C என்பது தன்னிச்சையான மாறிலி.

ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் வரையறையின்படி, F"(x)=f(x) மற்றும், எனவே, dF(x)=f(x) dx. சூத்திரத்தில் (7.1), f(x) ஒரு ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு என்றும், f( x) dx ஒரு ஒருங்கிணைந்த வெளிப்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:

$x$ மற்றும் $y$ மாறிகள் சுயாதீனமாக இருப்பதால், அத்தகைய செயல்பாட்டிற்கு நாம் பகுதி வழித்தோன்றல் என்ற கருத்தை அறிமுகப்படுத்தலாம்:

$m=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ என்ற புள்ளியில் $f$ செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல் $x$ ஆகும் எல்லை

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \right))(\Delta x)\]

இதேபோல், $y$ மாறியைப் பொறுத்து பகுதி வழித்தோன்றலை நீங்கள் வரையறுக்கலாம்:

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \right))(\Delta y)\]

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றலைக் கண்டறிய, நீங்கள் விரும்பியதைத் தவிர மற்ற அனைத்து மாறிகளையும் சரிசெய்ய வேண்டும், பின்னர் இந்த விரும்பிய மாறியைப் பொறுத்து சாதாரண வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.

இது அத்தகைய வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுவதற்கான முக்கிய நுட்பத்திற்கு வழிவகுக்கிறது: இதைத் தவிர அனைத்து மாறிகளும் நிலையானது என்று வைத்துக் கொள்ளுங்கள், பின்னர் "சாதாரண" ஒன்றை வேறுபடுத்துவது போல் செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துங்கள் - ஒரு மாறி மூலம். உதாரணத்திற்கு:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right)_(x))^(\prime )=(\left(((x)^(2) )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& ((( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ முதன்மை ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\ end(align)$

வெளிப்படையாக, வெவ்வேறு மாறிகள் தொடர்பான பகுதி வழித்தோன்றல்கள் வெவ்வேறு பதில்களை அளிக்கின்றன - இது இயல்பானது. முதல் வழக்கில், டெரிவேட்டிவ் அடையாளத்தின் கீழ் இருந்து $10y$ ஐ நிதானமாக அகற்றியது ஏன் என்பதைப் புரிந்துகொள்வது மிகவும் முக்கியமானது, இரண்டாவது வழக்கில் முதல் காலத்தை முழுவதுமாக பூஜ்ஜியமாக்கினோம். வேறுபாடு மேற்கொள்ளப்படும் மாறியைத் தவிர அனைத்து எழுத்துக்களும் மாறிலிகளாகக் கருதப்படுவதால் இவை அனைத்தும் நிகழ்கின்றன: அவற்றை வெளியே எடுக்கலாம், "எரிக்கலாம்", முதலியன.

"பகுதி வழித்தோன்றல்" என்றால் என்ன?

இன்று நாம் பல மாறிகளின் செயல்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பற்றி பேசுவோம். முதலில், பல மாறிகளின் செயல்பாடு என்ன? இப்போது வரை, ஒரு செயல்பாட்டை $y\left(x \right)$ அல்லது $t\left(x \right)$ அல்லது ஏதேனும் மாறி மற்றும் அதன் ஒரு சார்பு என கருதுவது வழக்கம். இப்போது நமக்கு ஒரு செயல்பாடு இருக்கும், ஆனால் பல மாறிகள். $y$ மற்றும் $x$ மாறும்போது, செயல்பாட்டின் மதிப்பு மாறும். எடுத்துக்காட்டாக, $x$ இரட்டிப்பானால், செயல்பாட்டின் மதிப்பு மாறும், $x$ மாறினால், $y$ மாறவில்லை என்றால், செயல்பாட்டின் மதிப்பு அதே வழியில் மாறும்.

நிச்சயமாக, பல மாறிகளின் செயல்பாடு, ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டைப் போலவே, வேறுபடுத்தப்படலாம். இருப்பினும், பல மாறிகள் இருப்பதால், வெவ்வேறு மாறிகளுக்கு ஏற்ப வேறுபடுத்துவது சாத்தியமாகும். இந்த வழக்கில், ஒரு மாறியை வேறுபடுத்தும் போது இல்லாத குறிப்பிட்ட விதிகள் எழுகின்றன.

முதலாவதாக, எந்த மாறியிலிருந்தும் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடும் போது, எந்த மாறிக்கு வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுகிறோம் என்பதைக் குறிப்பிட வேண்டும் - இது பகுதி வழித்தோன்றல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, எங்களிடம் இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடு உள்ளது, மேலும் அதை நாம் $x$ மற்றும் $y$ இரண்டிலும் கணக்கிடலாம் - ஒவ்வொரு மாறிகளுக்கும் இரண்டு பகுதி வழித்தோன்றல்கள்.

இரண்டாவதாக, மாறிகளில் ஒன்றைச் சரிசெய்து, அதைப் பொறுத்து பகுதி வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடத் தொடங்கியவுடன், இந்தச் செயல்பாட்டில் உள்ள மற்ற அனைத்தும் மாறிலிகளாகக் கருதப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, $z\left(xy \right)$ இல், $x$ ஐப் பொறுத்து பகுதி வழித்தோன்றலைக் கருத்தில் கொண்டால், $y$ எங்கிருந்தாலும், அதை ஒரு நிலையானதாகக் கருதி, அதை அப்படியே கருதுகிறோம். குறிப்பாக, ஒரு பொருளின் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடும் போது, அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து $y$ ஐ எடுக்கலாம் (எங்களிடம் ஒரு மாறிலி உள்ளது), மேலும் ஒரு தொகையின் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடும்போது, எங்காவது $y$ உள்ள வெளிப்பாட்டின் வழித்தோன்றல் கிடைத்தால் மற்றும் $x$ ஐக் கொண்டிருக்கவில்லை, பின்னர் இந்த வெளிப்பாட்டின் வழித்தோன்றல் மாறிலியின் வழித்தோன்றலாக “பூஜ்ஜியத்திற்கு” சமமாக இருக்கும்.

முதல் பார்வையில், நான் சிக்கலான ஒன்றைப் பற்றி பேசுகிறேன் என்று தோன்றலாம், மேலும் பல மாணவர்கள் முதலில் குழப்பமடைகிறார்கள். இருப்பினும், பகுதி வழித்தோன்றல்களில் இயற்கைக்கு அப்பாற்பட்ட எதுவும் இல்லை, இப்போது குறிப்பிட்ட சிக்கல்களின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி இதைப் பார்ப்போம்.

தீவிரவாதிகள் மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுடன் சிக்கல்கள்

பணி எண் 1

நேரத்தை வீணாக்காமல் இருக்க, ஆரம்பத்திலிருந்தே தீவிர எடுத்துக்காட்டுகளுடன் ஆரம்பிக்கலாம்.

தொடங்குவதற்கு, இந்த சூத்திரத்தை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்:

இது நிலையான பாடத்திட்டத்திலிருந்து நமக்குத் தெரிந்த நிலையான அட்டவணை மதிப்பு.

இந்த வழக்கில், வழித்தோன்றல் $z$ பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))(\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]

இதை மீண்டும் செய்வோம், ஏனெனில் ரூட் $x$ அல்ல, ஆனால் வேறு சில வெளிப்பாடு, இந்த விஷயத்தில் $\frac(y)(x)$, முதலில் நிலையான அட்டவணை மதிப்பைப் பயன்படுத்துவோம், பின்னர் ரூட் என்பதால் $x $ அல்ல, மற்றொரு வெளிப்பாடு, அதே மாறியைப் பொறுத்து இந்த வெளிப்பாட்டின் மற்றொன்றால் நமது வழித்தோன்றலைப் பெருக்க வேண்டும். முதலில் பின்வருவனவற்றைக் கணக்கிடுவோம்:

\[(\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

நாங்கள் எங்கள் வெளிப்பாட்டிற்குத் திரும்பி எழுதுகிறோம்:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))(\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]

அடிப்படையில், அவ்வளவுதான். இருப்பினும், இந்த வடிவத்தில் அதை விட்டுவிடுவது தவறு: அத்தகைய கட்டுமானம் மேலும் கணக்கீடுகளுக்கு பயன்படுத்த சிரமமாக உள்ளது, எனவே அதை சிறிது மாற்றுவோம்:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2)) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

விடை கிடைத்துவிட்டது. இப்போது $y$ ஐ சமாளிக்கலாம்:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]

தனித்தனியாக எழுதுவோம்:

\[(\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

இப்போது நாம் எழுதுகிறோம்:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2)))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

முடிந்தது.

பிரச்சனை எண் 2

இந்த உதாரணம் முந்தையதை விட எளிமையானது மற்றும் சிக்கலானது. அதிக செயல்கள் இருப்பதால் இது மிகவும் சிக்கலானது, ஆனால் ரூட் இல்லாததால் இது எளிமையானது, கூடுதலாக, செயல்பாடு $x$ மற்றும் $y$ ஐப் பொறுத்து சமச்சீராக உள்ளது, அதாவது. நாம் $x$ மற்றும் $y$ ஐ மாற்றினால், சூத்திரம் மாறாது. இந்த கருத்து பகுதி வழித்தோன்றலின் எங்கள் கணக்கீட்டை மேலும் எளிதாக்கும், அதாவது. அவற்றில் ஒன்றை எண்ணினால் போதும், இரண்டாவதாக $x$ மற்றும் $y$ ஆகியவற்றை மாற்றவும்.

வாருங்கள் நம் வேலையை தொடங்குவோம்:

\[(((z)")_(x))=((\இடது(\frac(xy))(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \வலது ))^(\prime ))_(x)=\frac((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \வலது)-xy((\left(((x)^(2)))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))((\இடது(((x)^(2))+(y)^(2))+1 \வலது))^(2)))\]

எண்ணுவோம்:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

இருப்பினும், பல மாணவர்கள் இந்த குறிப்பை புரிந்து கொள்ளவில்லை, எனவே இதை இப்படி எழுதலாம்:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

எனவே, பகுதி வழித்தோன்றல் வழிமுறையின் உலகளாவிய தன்மையை நாங்கள் மீண்டும் நம்புகிறோம்: அவற்றை எவ்வாறு கணக்கிட்டாலும், அனைத்து விதிகளும் சரியாகப் பயன்படுத்தப்பட்டால், பதில் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.

இப்போது நமது பெரிய சூத்திரத்திலிருந்து மேலும் ஒரு பகுதி வழித்தோன்றலைப் பார்ப்போம்:

\[((\left(((x)^(2)))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((((\)) x)^(2)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

இதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாடுகளை எங்கள் சூத்திரத்தில் மாற்றி, பெறுவோம்:

\[\frac((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+(y)^(2))+1 \ வலது)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \வலது))^(\prime ))_(x))((\இடது) (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \வலது))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \வலது)-xy\cdot 2x)((\left(((\) x)^(2))+((y)^(2))+1 \வலது))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))((\\ இடது(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \வலது))^(2))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \வலது))((\இடது(((x)^(2))+(y)^(2))+1 \வலது))^(2 )))\]

$x$ அடிப்படையில் கணக்கிடப்பட்டது. அதே வெளிப்பாட்டிலிருந்து $y$ஐக் கணக்கிட, ஒரே மாதிரியான செயல்களைச் செய்யாமல், நமது அசல் வெளிப்பாட்டின் சமச்சீர்நிலையைப் பயன்படுத்திக் கொள்வோம் - எங்கள் அசல் வெளிப்பாட்டில் உள்ள $y$ அனைத்தையும் $x$ என்று மாற்றுவோம் மற்றும் நேர்மாறாகவும்:

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))(((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \வலது))^(2)))\]

சமச்சீர் காரணமாக, இந்த வெளிப்பாட்டை மிக வேகமாகக் கணக்கிட்டோம்.

தீர்வின் நுணுக்கங்கள்

பகுதி வழித்தோன்றல்களுக்கு, சாதாரணவற்றுக்கு நாம் பயன்படுத்தும் அனைத்து நிலையான சூத்திரங்களும் வேலை செய்கின்றன, அதாவது, பங்கின் வழித்தோன்றல். இருப்பினும், அதே நேரத்தில், குறிப்பிட்ட அம்சங்கள் எழுகின்றன: $x$ இன் பகுதி வழித்தோன்றலைக் கருத்தில் கொண்டால், அதை $x$ இலிருந்து பெறும்போது, அதை மாறிலியாகக் கருதுகிறோம், எனவே அதன் வழித்தோன்றல் "பூஜ்ஜியத்திற்கு" சமமாக இருக்கும். .

சாதாரண வழித்தோன்றல்களைப் போலவே, பங்கு (அதே வழித்தோன்றல்) பல்வேறு வழிகளில் கணக்கிடப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, நாங்கள் இப்போது கணக்கிட்ட அதே கட்டுமானத்தை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்:

\[(\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

அதே நேரத்தில், மறுபுறம், நீங்கள் வழித்தோன்றல் தொகையிலிருந்து சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம். நமக்குத் தெரியும், இது வழித்தோன்றல்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். உதாரணமாக, பின்வருவனவற்றை எழுதுவோம்:

\[((\இடது(((x)^(2)))+((y)^(2))+1 \வலது))^(\ப்ரைம் ))_(x)=2x+0+0=2x \]

இப்போது, இதையெல்லாம் தெரிந்துகொண்டு, உண்மையான பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் வேர்களுக்கு மட்டுப்படுத்தப்படவில்லை என்பதால், இன்னும் தீவிரமான வெளிப்பாடுகளுடன் வேலை செய்ய முயற்சிப்போம்: முக்கோணவியல், மடக்கைகள் மற்றும் அதிவேக செயல்பாடும் உள்ளன. இப்போது இதைச் செய்வோம்.

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் மற்றும் மடக்கைகளில் சிக்கல்கள்

பணி எண் 1

பின்வரும் நிலையான சூத்திரங்களை எழுதுவோம்:

\[((\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[(\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

இந்த அறிவுடன் ஆயுதம் ஏந்தியபடி, தீர்க்க முயற்சிப்போம்:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=(\இடது(\sqrt(x) \வலது))^(\ப்ரைம் ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\இடது) (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

ஒரு மாறியை தனித்தனியாக எழுதுவோம்:

\[(\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left \frac(x)(y)\right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

எங்கள் வடிவமைப்பிற்கு திரும்புவோம்:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

அவ்வளவுதான், $x$க்குக் கண்டுபிடித்தோம், இப்போது $y$க்கான கணக்கீடுகளைச் செய்வோம்:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y) )=((\இடது(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\இடது) (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

மீண்டும், ஒரு வெளிப்பாட்டைக் கணக்கிடுவோம்:

\[(\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \வலது)\]

நாங்கள் அசல் வெளிப்பாட்டிற்குத் திரும்பி, தீர்வைத் தொடர்கிறோம்:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

முடிந்தது.

பிரச்சனை எண் 2

நமக்குத் தேவையான சூத்திரத்தை எழுதுவோம்:

\[((\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

இப்போது $x$ என எண்ணுவோம்:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]

$x$க்கு கிடைத்தது. நாங்கள் $y$ ஆல் கணக்கிடுகிறோம்:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]

பிரச்சனை தீர்ந்துவிட்டது.

தீர்வின் நுணுக்கங்கள்

எனவே, நாம் எந்த செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றலை எடுத்துக் கொண்டாலும், நாம் முக்கோணவியல், வேர்கள் அல்லது மடக்கைகளுடன் வேலை செய்கிறோம் என்பதைப் பொருட்படுத்தாமல், விதிகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.

நிலையான வழித்தோன்றல்களுடன் பணிபுரியும் கிளாசிக்கல் விதிகள் மாறாமல் இருக்கும், அதாவது ஒரு தொகை மற்றும் வேறுபாட்டின் வழித்தோன்றல், ஒரு பங்கு மற்றும் சிக்கலான செயல்பாடு.

பகுதி வழித்தோன்றல்களுடன் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது கடைசி சூத்திரம் பெரும்பாலும் காணப்படுகிறது. நாங்கள் அவர்களை கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் சந்திக்கிறோம். நாம் சந்திக்காத ஒரு பணியும் இருந்ததில்லை. ஆனால் நாம் எந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினாலும், இன்னும் ஒரு தேவை சேர்க்கப்பட்டுள்ளது, அதாவது பகுதி வழித்தோன்றல்களுடன் பணிபுரியும் தனித்தன்மை. ஒரு மாறியை நாம் சரிசெய்தவுடன், மற்ற அனைத்தும் மாறிலிகள். குறிப்பாக, $\cos \frac(x)(y)$ என்ற வெளிப்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றலை $y$ ஐப் பொறுத்துக் கருதினால், $y$ என்பது மாறி, $x$ எல்லா இடங்களிலும் மாறாமல் இருக்கும். அதே விஷயம் வேறு வழியில் செயல்படுகிறது. இது வழித்தோன்றல் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம், மேலும் மாறிலியின் வழித்தோன்றல் "பூஜ்ஜியத்திற்கு" சமமாக இருக்கும்.

இவை அனைத்தும் ஒரே வெளிப்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள், ஆனால் வெவ்வேறு மாறிகளைப் பொறுத்தவரை, முற்றிலும் வேறுபட்டதாக இருக்கும் என்பதற்கு வழிவகுக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் வெளிப்பாடுகளைப் பார்ப்போம்:

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

அதிவேக செயல்பாடுகள் மற்றும் மடக்கைகளில் சிக்கல்கள்

பணி எண் 1

தொடங்குவதற்கு, பின்வரும் சூத்திரத்தை எழுதுவோம்:

\[(\இடது(((இ)^(x)) \வலது))^(\ப்ரைம் ))_(x)=((இ)^(x))\]

இந்த உண்மையையும், சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலையும் அறிந்து, கணக்கிட முயற்சிப்போம். நான் இப்போது அதை இரண்டு வெவ்வேறு வழிகளில் தீர்க்கிறேன். முதல் மற்றும் மிகவும் வெளிப்படையானது தயாரிப்பின் வழித்தோன்றல்:

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e))\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

பின்வரும் வெளிப்பாட்டைத் தனித்தனியாகத் தீர்ப்போம்:

\[(\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

நாங்கள் எங்கள் அசல் வடிவமைப்பிற்குத் திரும்பி, தீர்வைத் தொடர்கிறோம்:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))\இடது(1) +\frac(1)(y)\வலது)\]

எல்லாம், $x$ கணக்கிடப்படுகிறது.

இருப்பினும், நான் உறுதியளித்தபடி, இப்போது இதே பகுதி வழித்தோன்றலை வேறு வழியில் கணக்கிட முயற்சிப்போம். இதைச் செய்ய, பின்வருவனவற்றைக் கவனியுங்கள்:

\[((இ)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

அதை இப்படி எழுதுவோம்:

\[(\left(((e)^(x)))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]

இதன் விளைவாக, நாங்கள் அதே பதிலைப் பெற்றோம், ஆனால் கணக்கீடுகளின் அளவு சிறியதாக மாறியது. இதைச் செய்ய, தயாரிப்பைச் செய்யும்போது, குறிகாட்டிகளைச் சேர்க்கலாம் என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள போதுமானது.

இப்போது $y$ என எண்ணுவோம்:

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x)))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e))\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

ஒரு வெளிப்பாட்டைத் தனித்தனியாகத் தீர்ப்போம்:

\[(\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

எங்கள் அசல் கட்டுமானத்தைத் தீர்ப்பதைத் தொடர்வோம்:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

நிச்சயமாக, இதே வழித்தோன்றலை இரண்டாவது வழியில் கணக்கிடலாம், மேலும் பதில் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.

பிரச்சனை எண் 2

$x$ என எண்ணுவோம்:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]

ஒரு வெளிப்பாட்டைத் தனித்தனியாகக் கணக்கிடுவோம்:

\[((\left(\ln \left(((x)^2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)(((( x)^(2))+y)\]

அசல் கட்டுமானத்தைத் தீர்ப்பதைத் தொடர்வோம்: $$

இதுதான் பதில்.

$y$ ஐப் பயன்படுத்தி ஒப்புமை மூலம் கண்டுபிடிக்க இது உள்ளது:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x))^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]

எப்போதும் போல, ஒரு வெளிப்பாட்டைத் தனித்தனியாகக் கணக்கிடுகிறோம்:

\[(\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=(\left(((x)^(2)) \right) )^(\ முதன்மை ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

அடிப்படை வடிவமைப்பைத் தீர்ப்பதை நாங்கள் தொடர்கிறோம்:

எல்லாம் கணக்கிடப்பட்டுள்ளது. நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, வேறுபாட்டிற்கு எந்த மாறி எடுக்கப்படுகிறது என்பதைப் பொறுத்து, பதில்கள் முற்றிலும் வேறுபட்டவை.

தீர்வின் நுணுக்கங்கள்

ஒரே செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை இரண்டு வெவ்வேறு வழிகளில் எவ்வாறு கணக்கிடலாம் என்பதற்கான சிறந்த எடுத்துக்காட்டு இங்கே. இங்கே பாருங்கள்:

\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ இடது(1+\frac(1)(y) \வலது)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e))^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e))^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).(\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y)))\இடது(1+\frac(1)(y) \வலது)\ ]

வெவ்வேறு பாதைகளைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது, கணக்கீடுகளின் அளவு வேறுபட்டிருக்கலாம், ஆனால் பதில், எல்லாவற்றையும் சரியாகச் செய்தால், ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். இது கிளாசிக்கல் மற்றும் பகுதி வழித்தோன்றல்களுக்கு பொருந்தும். அதே நேரத்தில், நான் உங்களுக்கு மீண்டும் ஒருமுறை நினைவூட்டுகிறேன்: எந்த மாறியின் வழித்தோன்றல் எடுக்கப்படுகிறது என்பதைப் பொறுத்து, அதாவது. வேறுபாடு, பதில் முற்றிலும் வேறுபட்டதாக இருக்கலாம். பார்:

\[((\left(\ln \left(((x)^2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((( x)^(2))+y)\cdot 1\]

முடிவில், இந்த பொருள் அனைத்தையும் ஒருங்கிணைக்க, மேலும் இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளைக் கணக்கிட முயற்சிப்போம்.

மூன்று மாறிகள் கொண்ட முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் மற்றும் செயல்பாடுகளில் சிக்கல்கள்

பணி எண் 1

பின்வரும் சூத்திரங்களை எழுதுவோம்:

\[((\left(((a)^(x))) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\இடது(((இ))^(x)) \வலது))^(\ப்ரைம் ))=((இ)^(x))\]

இப்போது எங்கள் வெளிப்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

பின்வரும் கட்டுமானத்தை தனித்தனியாக கணக்கிடுவோம்:

\[(\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\\ இடது(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

அசல் வெளிப்பாட்டை நாங்கள் தொடர்ந்து தீர்க்கிறோம்:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

இது $x$ இல் உள்ள தனிப்பட்ட மாறியின் இறுதி பதில். இப்போது $y$ என எண்ணுவோம்:

\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

ஒரு வெளிப்பாட்டைத் தனித்தனியாகத் தீர்ப்போம்:

\[(\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\\ இடது(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

எங்கள் கட்டுமானத்தை இறுதிவரை தீர்ப்போம்:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

பிரச்சனை எண் 2

முதல் பார்வையில், இந்த எடுத்துக்காட்டு மிகவும் சிக்கலானதாகத் தோன்றலாம், ஏனெனில் மூன்று மாறிகள் உள்ளன. உண்மையில், இன்றைய வீடியோ டுடோரியலில் இது எளிதான பணிகளில் ஒன்றாகும்.

$x$ மூலம் கண்டுபிடிக்கவும்:

\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y)))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=(\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e)) ^(z)) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\இடது(x \வலது))^(\ப்ரைம் ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e))^(y) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

இப்போது $y$ ஐ சமாளிக்கலாம்:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e))^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=(\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ((e)^(z)) \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e))^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left) (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

விடை கண்டுபிடித்துவிட்டோம்.

இப்போது எஞ்சியிருப்பது $z$ மூலம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e))^(y))+((y)^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=(\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e)e) )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z))) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

மூன்றாவது வழித்தோன்றலை நாங்கள் கணக்கிட்டுள்ளோம், இது இரண்டாவது சிக்கலுக்கான தீர்வை நிறைவு செய்கிறது.

தீர்வின் நுணுக்கங்கள்

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இந்த இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளில் சிக்கலான எதுவும் இல்லை. ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் எந்த பகுதி வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுகிறோம் என்பதைப் பொறுத்து, வெவ்வேறு பதில்களைப் பெறுகிறோம் என்பது மட்டுமே நாம் உறுதியாக நம்புகிறோம்.

கடைசிப் பணியில், ஒரே நேரத்தில் மூன்று மாறிகளின் செயல்பாட்டைப் புரிந்துகொள்ளும்படி கேட்கப்பட்டோம். இதில் எந்தத் தவறும் இல்லை, ஆனால் இறுதியில் அவை அனைத்தும் ஒருவருக்கொருவர் கணிசமாக வேறுபடுகின்றன என்பதை நாங்கள் நம்பினோம்.

முக்கிய புள்ளிகள்

இன்றைய வீடியோ டுடோரியலில் இருந்து கடைசியாக எடுக்கப்பட்டவை பின்வருமாறு:

பகுதி வழித்தோன்றல்கள் சாதாரணமானவற்றைப் போலவே கணக்கிடப்படுகின்றன, ஆனால் ஒரு மாறியைப் பொறுத்து பகுதி வழித்தோன்றலைக் கணக்கிட, இந்த செயல்பாட்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள மற்ற அனைத்து மாறிகளையும் மாறிலிகளாக எடுத்துக்கொள்கிறோம்.
பகுதி வழித்தோன்றல்களுடன் பணிபுரியும் போது, சாதாரண வழித்தோன்றல்களைப் போலவே அதே நிலையான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம்: தொகை, வேறுபாடு, தயாரிப்பு மற்றும் பங்குகளின் வழித்தோன்றல் மற்றும், நிச்சயமாக, சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்.

நிச்சயமாக, இந்த தலைப்பை முழுமையாகப் புரிந்துகொள்ள இந்த வீடியோ பாடத்தைப் பார்ப்பது மட்டும் போதாது, எனவே இன்றைய தலைப்புக்கு குறிப்பாக அர்ப்பணிக்கப்பட்ட இந்த வீடியோவிற்கான சிக்கல்களின் தொகுப்பு இப்போது எனது இணையதளத்தில் உள்ளது - உள்ளே சென்று, பதிவிறக்கம் செய்து, இந்த சிக்கல்களைத் தீர்த்து, பதிலைச் சரிபார்க்கவும். . இதற்குப் பிறகு, தேர்வுகளிலோ அல்லது சுயாதீனமான வேலையிலோ பகுதி வழித்தோன்றல்களில் உங்களுக்கு எந்தப் பிரச்சினையும் இருக்காது. நிச்சயமாக, இது உயர் கணிதத்தின் கடைசி பாடம் அல்ல, எனவே எங்கள் வலைத்தளத்தைப் பார்வையிடவும், VKontakte ஐச் சேர்க்கவும், YouTube இல் குழுசேரவும், விரும்பி எங்களுடன் இருங்கள்!

பல மாறிகளின் செயல்பாடுகளை உள்ளடக்கிய சிக்கல்களில் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. கண்டறிவதற்கான விதிகள் ஒரு மாறியின் செயல்பாடுகளைப் போலவே இருக்கும், ஒரே வித்தியாசம் என்னவென்றால், வேறுபாட்டின் போது மாறிகளில் ஒன்று மாறிலியாக (நிலையான எண்) கருதப்பட வேண்டும்.

சூத்திரம்

$ z(x,y) $ என்ற இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கான பகுதி வழித்தோன்றல்கள் $ z"_x, z"_y $ பின்வரும் வடிவத்தில் எழுதப்பட்டு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்படுகின்றன:

முதல் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள்

$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$

$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$

இரண்டாம் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள்

$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$

கலப்பு வழித்தோன்றல்

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$

ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்

a) $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, பின்னர் ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt)$$

b) $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, பின்னர் செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகின்றன:

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

மறைமுக செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள்

a) $ F(x,y(x)) = 0 $, பிறகு $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) $ F(x,y,z)=0 $, பிறகு $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1
முதல் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும் $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $
தீர்வு
$ x $ தொடர்பான பகுதி வழித்தோன்றலைக் கண்டறிய, $ y $ ஐ ஒரு நிலையான மதிப்பாக (எண்) கருதுவோம்: $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ $y$ ஐப் பொறுத்து செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றலைக் கண்டறிய, $y$ ஐ மாறிலியால் வரையறுக்கிறோம்: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ உங்களால் உங்கள் பிரச்சனையை தீர்க்க முடியாவிட்டால், அதை எங்களுக்கு அனுப்புங்கள். நாங்கள் விரிவான தீர்வை வழங்குவோம். கணக்கீட்டின் முன்னேற்றத்தை நீங்கள் பார்க்கலாம் மற்றும் தகவலைப் பெறலாம். இது உங்கள் ஆசிரியரிடமிருந்து உங்கள் மதிப்பெண்ணை சரியான நேரத்தில் பெற உதவும்!
பதில்
$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

எடுத்துக்காட்டு 2
$ z = e^(xy) $ இரண்டாவது வரிசை செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்
தீர்வு
முதலில் நீங்கள் முதல் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், பின்னர் அவற்றை அறிந்து நீங்கள் இரண்டாவது வரிசை வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியலாம். $y$ நிலையானதாக இருக்கட்டும்: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ இப்போது $ x $ ஐ ஒரு நிலையான மதிப்பாக அமைப்போம்: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ முதல் வழித்தோன்றல்களை அறிந்தால், இரண்டாவதாகக் காண்கிறோம். $y$ஐ மாறிலியாக அமைக்கவும்: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ $x $ஐ மாறிலியாக அமைத்துள்ளோம்: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ கலப்பு வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்பதே இப்போது எஞ்சியுள்ளது. நீங்கள் $ z"_x $ ஐ $ y $ ஆல் வேறுபடுத்தலாம், மேலும் $ z"_y $ ஐ $ x $ ஆல் வேறுபடுத்தலாம், ஏனெனில் $ z""_(xy) = z""_(yx) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$
பதில்
$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

எடுத்துக்காட்டு 4
$ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ மறைமுகமான செயல்பாடு $ F(x,y,z) = 0 $ஐ வரையறுக்கலாம். முதல் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்.
தீர்வு
செயல்பாட்டை நாங்கள் வடிவத்தில் எழுதுகிறோம்: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ மற்றும் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்: $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$
பதில்
$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

வெளிப்படையான செயல்பாடுகளின் உயர் வரிசை வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் கருதப்படுகின்றன. n வது வரிசை வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுவதற்கான பயனுள்ள சூத்திரங்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

உள்ளடக்கம்

உயர் வரிசை வழித்தோன்றல்களைத் தீர்மானித்தல்

y மாறி xயை வெளிப்படையாகச் சார்ந்திருப்பதை இங்கே நாம் கருதுகிறோம்:
.
x மாறியைப் பொறுத்து செயல்பாட்டை வேறுபடுத்தி, முதல்-வரிசை வழித்தோன்றலை அல்லது வெறுமனே வழித்தோன்றலைப் பெறுகிறோம்:
.
இதன் விளைவாக, நாம் ஒரு புதிய செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம், இது செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலாகும். x என்ற மாறியைப் பொறுத்து இந்தப் புதிய செயல்பாட்டை வேறுபடுத்தி, இரண்டாவது வரிசை வழித்தோன்றலைப் பெறுகிறோம்:
.
செயல்பாட்டை வேறுபடுத்தி, மூன்றாம் வரிசை வழித்தோன்றலைப் பெறுகிறோம்:
.
மற்றும் பல. அசல் செயல்பாட்டை n முறை வேறுபடுத்தி, n வது வரிசை வழித்தோன்றல் அல்லது n வது வழித்தோன்றலைப் பெறுகிறோம்:
.

வழித்தோன்றல்களைக் குறிக்கலாம்பக்கவாதம், ரோமன் எண்கள், அடைப்புக்குறிக்குள் அரபு எண்கள் அல்லது வேறுபாடுகளிலிருந்து பின்னங்கள். எடுத்துக்காட்டாக, மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்களை பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்:
;
.

உயர் வரிசை வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுவதில் பயனுள்ளதாக இருக்கும் சூத்திரங்கள் கீழே உள்ளன.

n வது வரிசை வழித்தோன்றல்களுக்கான பயனுள்ள சூத்திரங்கள்

சில அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்கள்:
;
;
;
;
.

செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையின் வழித்தோன்றல்:
,
மாறிலிகள் எங்கே.

லீப்னிஸ் சூத்திரம் இரண்டு செயல்பாடுகளின் உற்பத்தியின் வழித்தோன்றல்:
,
எங்கே
- பைனோமியல் குணகங்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 1

பின்வரும் செயல்பாட்டின் முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரிசை வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்:
.

முதல் வரிசை வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்.வழித்தோன்றல் அடையாளத்திற்கு வெளியே மாறிலியை எடுத்து, வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையில் இருந்து சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
.
சிக்கலான செயல்பாடுகளை வேறுபடுத்துவதற்கான விதியை நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம்:
.
இங்கே.
சிக்கலான செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வழித்தோன்றல்களைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
.
இங்கே.

.
இரண்டாம் வரிசை வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க, முதல் வரிசை வழித்தோன்றலின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அதாவது செயல்பாட்டின்:
.
குறிப்புடன் குழப்பத்தைத் தவிர்க்க, இந்த செயல்பாட்டை கடிதத்தால் குறிக்கலாம்:
(A1.1) .
பிறகு இரண்டாவது வரிசை வழித்தோன்றல்அசல் செயல்பாட்டிலிருந்து செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்:
.

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிதல். மடக்கை வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி இதைச் செய்வது எளிது. மடக்கை செய்வோம் (A1.1):
.
இப்போது வேறுபடுத்துவோம்:
(A1.2) .
ஆனால் அது நிலையானது. அதன் வழித்தோன்றல் பூஜ்யம். என்பதன் வழித்தோன்றலை நாங்கள் ஏற்கனவே கண்டுபிடித்துள்ளோம். சிக்கலான செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் விதியைப் பயன்படுத்தி மீதமுள்ள வழித்தோன்றல்களைக் காண்கிறோம்.
;
;
.
நாங்கள் (A1.2) இல் மாற்றுகிறோம்:

.
இங்கிருந்து
.

;
.

எடுத்துக்காட்டு 2

மூன்றாவது வரிசை வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:
.

முதல் வரிசை வழித்தோன்றலைக் கண்டறிதல். இதைச் செய்ய, வழித்தோன்றலின் அடையாளத்திற்கு வெளியே மாறிலியை எடுத்து பயன்படுத்துகிறோம் வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணைமற்றும் விண்ணப்பிக்கவும் சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவதற்கான விதி .

.
இங்கே.
எனவே, முதல் ஆர்டர் வழித்தோன்றலைக் கண்டோம்:
.

இரண்டாவது வரிசை வழித்தோன்றலைக் கண்டறிதல். இதைச் செய்ய, இன் வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம். டெரிவேட்டிவ் பின்னம் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.
.
இரண்டாவது வரிசை வழித்தோன்றல்:
.

இப்போது நாம் தேடுவதைக் கண்டுபிடிப்போம் மூன்றாம் வரிசை வழித்தோன்றல். இதைச் செய்ய, நாங்கள் வேறுபடுத்துகிறோம்.
;
;

.

மூன்றாம் வரிசை வழித்தோன்றல் சமம்
.

எடுத்துக்காட்டு 3

பின்வரும் செயல்பாட்டின் ஆறாவது வரிசை வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:
.

அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்தால், அசல் செயல்பாடு பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது தெளிவாகும். அதை ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையாக எழுதுவோம்:
,
நிலையான குணகங்கள் எங்கே.

அடுத்து, சக்தி செயல்பாட்டின் n வது வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
.
ஆறாவது வரிசை வழித்தோன்றலுக்கு (n = 6 ) எங்களிடம் உள்ளது:
.
இதிலிருந்து தெளிவாகிறது. எங்களிடம் இருக்கும்போது:
.

செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

.
எனவே, அசல் செயல்பாட்டின் ஆறாவது-வரிசை வழித்தோன்றலைக் கண்டறிய, நாம் பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகத்தை மிக உயர்ந்த அளவில் மட்டுமே கண்டுபிடிக்க வேண்டும். அசல் செயல்பாட்டின் கூட்டுத்தொகைகளின் தயாரிப்புகளில் அதிக சக்திகளைப் பெருக்குவதன் மூலம் அதைக் கண்டுபிடிப்போம்:

.
இங்கிருந்து. பிறகு
.

எடுத்துக்காட்டு 4

ஒரு செயல்பாட்டின் n வது வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்
.

தீர்வு >>>

எடுத்துக்காட்டு 5

பின்வரும் செயல்பாட்டின் nவது வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:
,
எங்கே மற்றும் அவை மாறிலிகள்.

இந்த எடுத்துக்காட்டில், சிக்கலான எண்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடுகளைச் செய்வது வசதியானது. எங்களுக்கு சில சிக்கலான செயல்பாடு இருக்கட்டும்
(A5.1) ,
உண்மையான மாறி x இன் செயல்பாடுகள் எங்கே மற்றும் உள்ளன;
- கற்பனை அலகு, .
(A.1) n முறைகளை வேறுபடுத்துவது, எங்களிடம் உள்ளது:
(A5.2) .
சில நேரங்களில் ஒரு செயல்பாட்டின் n வது வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது. பின்னர் செயல்பாடுகளின் n வது வழித்தோன்றல்கள் n வது வழித்தோன்றலின் உண்மையான மற்றும் கற்பனை பகுதிகளாக வரையறுக்கப்படுகின்றன:
;
.

எங்கள் உதாரணத்தைத் தீர்க்க இந்த நுட்பத்தைப் பயன்படுத்துவோம். செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள்
.
இங்கே நாம் யூலரின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தியுள்ளோம்
,
மற்றும் பதவியை அறிமுகப்படுத்தியது
.
பின்னர் அசல் செயல்பாட்டின் n வது வழித்தோன்றல் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:
.

செயல்பாட்டின் n வது வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்
.
இதைச் செய்ய, நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
.
எங்கள் விஷயத்தில்
.
பிறகு
.

எனவே, சிக்கலான செயல்பாட்டின் n வது வழித்தோன்றலைக் கண்டோம்:
,
எங்கே .
செயல்பாட்டின் உண்மையான பகுதியைக் கண்டுபிடிப்போம்.
இதைச் செய்ய, அதிவேக வடிவத்தில் ஒரு கலப்பு எண்ணைக் குறிப்பிடுகிறோம்:
,
எங்கே ;
; .
பிறகு
;

.

உதாரண தீர்வு
.

விடுங்கள்,.
பிறகு ;
.
மணிக்கு,
,
,
.
மேலும் கொசைனின் nவது வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்:
.

,
எங்கே
; .