För att multiplicera en matris med ett tal, måste du multiplicera varje element i matrisen med det talet.

Följd. Den gemensamma faktorn för alla matriselement kan tas ut ur matristecknet.

Till exempel, .

Som du kan se liknar åtgärderna att lägga till, subtrahera matriser och multiplicera en matris med ett tal som åtgärder på tal. Matrismultiplikation är en specifik operation.

Produkt av två matriser.

Alla matriser kan inte multipliceras. Produkt av två matriser A Och I i den ordning som anges AB endast möjligt när antalet kolumner i den första faktorn A lika med antalet rader i den andra faktorn I.

Till exempel, .

Matrisstorlek A 33, matrisstorlek I 23. Arbete AB omöjligt, arbete VA Kanske.

Produkten av två matriser A och B är den tredje matrisen C, vars element C ij är lika med summan av parvisa produkter av elementen i den i:te raden i den första faktorn och den j:te kolumnen i den andra faktor.

Det visades att i detta fall är produkten av matriser möjlig VA

Av existensregeln för produkten av två matriser följer att produkten av två matriser i det allmänna fallet inte följer den kommutativa lagen, dvs. AB? VA. Om det i ett särskilt fall visar sig det AB = BA, då kallas sådana matriser permuterbara eller kommutativa.

I matrisalgebra kan produkten av två matriser vara en nollmatris även när ingen av faktormatriserna är noll, till skillnad från vanlig algebra.

Låt oss till exempel hitta produkten av matriser AB, Om

Du kan multiplicera flera matriser. Om du kan multiplicera matriser A, I och produkten av dessa matriser kan multipliceras med matrisen MED, då är det möjligt att komponera produkten ( AB) MED Och A(Sol). I detta fall äger kombinationslagen angående multiplikation rum ( AB) MED = A(Sol).

Låt oss få en tabell (kallad matris) som består av fyra tal:

Matrisen har två rader och två kolumner. Siffrorna som utgör denna matris indikeras med en bokstav med två index. Det första indexet anger radnumret och det andra anger kolumnnumret där det givna numret förekommer. Till exempel betyder numret i den första raden och den andra kolumnen; numret i den andra raden och den första kolumnen. Vi kommer att kalla talen element i matrisen.

Determinanten (eller determinanten) av den andra ordningen som motsvarar en given matris är numret som erhålls enligt följande:

Determinanten betecknas med symbolen

Således,

Siffrorna kallas element av determinanten.

Låt oss presentera egenskaperna hos andra ordningens determinant.

Egenskap 1. Determinanten ändras inte om dess rader byts ut mot motsvarande kolumner, dvs.

Fastighet 2.

Vid omarrangering av två rader (eller kolumner) kommer determinanten att ändra sitt tecken till det motsatta, och bevara det absoluta värdet, dvs.

Egenskap 3. Determinanten med två identiska rader (eller kolumner) är lika med noll.

Egenskap 4. Den gemensamma faktorn för alla element i en rad (eller kolumn) kan tas ur determinanttecknet:

Egenskap 5. Om alla element i en rad (eller kolumn) är lika med noll, är determinanten lika med noll.

Egenskap 6. Om vi ​​till någon rad (eller kolumn) i determinanten lägger till motsvarande element i en annan rad (eller kolumn), multiplicerat med samma tal y, så kommer determinanten inte att ändra sitt värde, d.v.s.

Här kommer vi att beskriva de egenskaper som vanligtvis används för att beräkna determinanter i standardkurs högre matematik. Detta är ett hjälpämne som vi kommer att referera till från andra avsnitt vid behov.

Så låt en viss kvadratisk matris $A_(n\ gånger n)=\left(\begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) ges & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \ end( array) \right)$. Varje kvadratisk matris har en egenskap som kallas en determinant (eller determinant). Jag kommer inte att gå in på kärnan i detta koncept här. Om det kräver ett förtydligande, skriv gärna om det på forumet, så kommer jag att beröra denna fråga mer detaljerat.

Determinanten för matrisen $A$ betecknas som $\Delta A$, $|A|$ eller $\det A$. Bestämmande ordning lika med antalet rader (kolumner) i den.

1. Värdet på determinanten kommer inte att ändras om dess rader ersätts av motsvarande kolumner, dvs. $\Delta A=\Delta A^T$.

   visa gömma

   Låt oss ersätta raderna i den med kolumner enligt principen: "det fanns en första rad - det fanns en första kolumn", "det fanns en andra rad - det fanns en andra kolumn":

   Låt oss beräkna den resulterande determinanten: $\left| \begin(array) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. Som du kan se har värdet på determinanten inte ändrats på grund av bytet.

2. Om du byter två rader (kolumner) av determinanten kommer tecknet för determinanten att ändras till det motsatta.

   Exempel på användning av denna egenskap: show\hide

   Betrakta determinanten $\left| \begin(array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(array) \right|$. Låt oss hitta dess värde med formel nr 1 från ämnet för beräkning av determinanter av andra och tredje ordningen:

   $$\left| \begin(array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$

   Låt oss nu byta första och andra raden. Vi får determinanten $\left| \begin(array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(array) \right|$. Låt oss beräkna den resulterande determinanten: $\left| \begin(array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(array) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Så, värdet på den ursprungliga determinanten var (-37), och värdet på determinanten med den ändrade radordningen är $-(-37)=37$. Determinantens tecken har ändrats till det motsatta.

3. En determinant för vilken alla element i en rad (kolumn) är lika med noll är lika med noll.

   Exempel på användning av denna egenskap: show\hide

   Eftersom i determinanten $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|$ alla element i den tredje kolumnen är noll, då determinanten är noll , dvs. $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|=0$.

4. Determinanten för vilken alla element i en viss rad (kolumn) är lika med motsvarande element i en annan rad (kolumn) är lika med noll.

   Exempel på användning av denna egenskap: show\hide

   Eftersom i determinanten $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|$ alla element i den första raden är lika med motsvarande element i den andra raden, då är determinanten lika med noll, dvs. $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|=0$.

5. Om i en determinant alla element i en rad (kolumn) är proportionella mot motsvarande element i en annan rad (kolumn), så är en sådan determinant lika med noll.

   Exempel på användning av denna egenskap: show\hide

   Eftersom i determinanten $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|$ Den andra och tredje raden är proportionella, dvs. $r_3=-3\cdot(r_2)$, då är determinanten lika med noll, dvs. $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|=0$.

6. Om alla element i en rad (kolumn) har en gemensam faktor, kan denna faktor tas bort från determinanttecknet.

   Exempel på användning av denna egenskap: show\hide

   Betrakta determinanten $\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|$. Lägg märke till att alla element i den andra raden är delbara med 3:

   $$\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|=\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|$$

   Siffran 3 är den gemensamma faktorn för alla element i den andra raden. Låt oss ta de tre ur determinanttecknet:

   $$\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|=\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|= 3\cdot \left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \end(array) \right| $$

7. Determinanten kommer inte att ändras om vi till alla element i en viss rad (kolumn) lägger till motsvarande element i en annan rad (kolumn), multiplicerat med ett godtyckligt tal.

   Exempel på användning av denna egenskap: show\hide

   Betrakta determinanten $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|$. Låt oss lägga till elementen på den andra raden motsvarande element på den tredje raden, multiplicerat med 5. Denna åtgärd skrivs på följande sätt: $r_2+5\cdot(r_3)$. Den andra raden kommer att ändras, de återstående raderna kommer att förbli oförändrade.

   $$\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right| \begin(array) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(array)= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end (array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|. $$

8. Om en viss rad (kolumn) i en determinant är en linjär kombination av andra rader (kolumner), så är determinanten lika med noll.

   Exempel på användning av denna egenskap: show\hide

   Låt mig omedelbart förklara vad frasen "linjär kombination" betyder. Låt oss ha s rader (eller kolumner): $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. Uttryck

   $$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$

   där $k_i\in R$ kallas en linjär kombination av rader (kolumner) $A_1$, $A_2$,..., $A_s$.

   Tänk till exempel på följande determinant:

   $$\left| \begin(array) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end(array) \right| $$

   I denna determinant kan den fjärde raden uttryckas som en linjär kombination tre första rader:

   $$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$

   Därför är determinanten i fråga lika med noll.

9. Om varje element i en viss k:te rad (k:te kolumnen) i en determinant är lika med summan av två termer, så är en sådan determinant lika med summan av determinanter, varav den första har kth rad (k:te kolumnen) har de första termerna, och den andra determinanten har de andra termerna i den k:te raden (k:te kolumnen). Andra delar av dessa bestämningsfaktorer är desamma.

   Exempel på användning av denna egenskap: show\hide

   Betrakta determinanten $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|$. Låt oss skriva elementen i den andra kolumnen så här: $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(array) \right|$. Då är en sådan determinant lika med summan av två determinanter:

   $$\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(array) \right|+ \left| \begin(array) (ccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end(array) \right| $$

10. Determinanten av produkten av två kvadratiska matriser av samma ordning är lika med produkten av determinanterna för dessa matriser, dvs. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. Från denna regel kan vi erhålla följande formel: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
11. Om matrisen $A$ är icke-singular (dvs. dess determinant är inte lika med noll), då $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$.

Formler för beräkning av determinanter

För determinanter av andra och tredje ordningen är följande formler korrekta:

\begin(ekvation) \Delta A=\left| \begin(array) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \end(array) \right|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \end(ekvation) \begin(equation) \begin(aligned) & \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(array) \right|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21) )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33) )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11)\end(aligned)\end(ekvation)

Exempel på användning av formler (1) och (2) finns i ämnet "Formler för beräkning av determinanter av andra och tredje ordningen. Exempel på beräkningsdeterminanter".

Determinanten för matrisen $A_(n\ gånger n)$ kan expanderas in i:te raden med följande formel:

\begin(ekvation)\Delta A=\sum\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \end(ekvation)

En analog av denna formel finns också för kolumner. Formeln för att expandera determinanten i den j:te kolumnen är följande:

\begin(ekvation)\Delta A=\sum\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(ekvation)

Reglerna uttryckta av formlerna (3) och (4) illustreras i detalj med exempel och förklaras i ämnet Reducing order of the determinant. Nedbrytning av determinanten i en rad (kolumn).

Låt oss ange en annan formel för att beräkna determinanterna för övre triangulära och nedre triangulära matriser (för en förklaring av dessa termer, se ämnet "Matriser. Typer av matriser. Grundläggande termer"). Determinanten för en sådan matris är lika med produkten av elementen på huvuddiagonalen. Exempel:

\begin(aligned) &\left| \begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end(array) \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\vänster| \begin(array) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \end(array) \ höger|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \end(justerad)

- Släpp mesen till en säker död!
Låt friheten smeka henne!
Och fartyget seglar, och reaktorn ryter...
- Pash, är du envis?

Jag minns att jag inte gillade algebra förrän i 8:e klass. Jag gillade det inte alls. Hon gjorde mig förbannad. För jag förstod ingenting där.

Och sedan förändrades allt eftersom jag upptäckte ett knep:

Inom matematik i allmänhet (och algebra i synnerhet) är allt byggt på ett kompetent och konsekvent system av definitioner. Om du känner till definitionerna, förstår deras väsen, det kommer inte att vara svårt att lista ut resten.

Så är det med ämnet för dagens lektion. Vi kommer att överväga i detalj flera relaterade frågor och definitioner, tack vare vilka du en gång för alla kommer att förstå matriser, determinanter och alla deras egenskaper.

Determinanter är ett centralt begrepp inom matrisalgebra. Liksom förkortade multiplikationsformler kommer de att förfölja dig under kursen av högre matematik. Därför läser, tittar och förstår vi noggrant. :)

Och vi börjar med det mest intima - vad är en matris? Och hur man arbetar med det på rätt sätt.

Rätt placering av index i matrisen

En matris är helt enkelt en tabell fylld med siffror. Neo har inget med det att göra.

En av de viktigaste egenskaperna hos en matris är dess dimension, dvs. antalet rader och kolumner den består av. Vi brukar säga att en viss matris $A$ har storleken $\left[ m\times n \right]$ om den har $m$ rader och $n$ kolumner. Skriv det så här:

Eller så här:

Det finns andra beteckningar - allt beror på föreläsarens/seminaristens/författaren till läroboken. Men i alla fall, med alla dessa $\left[ m\times n \right]$ och $((a)_(ij))$ uppstår samma problem:

Vilket index ansvarar för vad? Kommer radnumret först, sedan kolumnnumret? Eller tvärtom?

När man läser föreläsningar och läroböcker kommer svaret att verka självklart. Men när du på en tenta bara har ett papper med en uppgift framför dig kan du bli överupphetsad och plötsligt bli förvirrad.

Så låt oss lösa denna fråga en gång för alla. Till att börja med, låt oss komma ihåg det vanliga koordinatsystemet från en skolmatematikkurs:

Införande av ett koordinatsystem på ett plan

Kommer du ihåg henne? Den har ett ursprung (punkt $O=\left(0;0 \right)$) för axlarna $x$ och $y$, och varje punkt på planet bestäms unikt av koordinaterna: $A=\left( 1;2 \ right)$, $B=\left(3;1 \right)$, etc.

Låt oss nu ta denna konstruktion och placera den bredvid matrisen så att origo för koordinater är i det övre vänstra hörnet. Varför där? Ja, för när vi öppnar en bok börjar vi läsa exakt från sidans övre vänstra hörn - att komma ihåg detta är lätt.

Men vart ska axlarna riktas? Vi kommer att styra dem så att hela vår virtuella "sida" täcks av dessa axlar. Det är sant att vi för detta måste rotera vårt koordinatsystem. Endast möjlig variant denna plats:

Överlagring av ett koordinatsystem på en matris

Nu har varje cell i matrisen unika koordinater $x$ och $y$. Att till exempel skriva $((a)_(24))$ betyder att vi kommer åt elementet med koordinaterna $x=2$ och $y=4$. Måtten på matrisen är också unikt specificerade av ett par siffror:

Definiera index i en matris

Titta bara på den här bilden noga. Lek med koordinater (särskilt när du arbetar med verkliga matriser och determinanter) - och mycket snart kommer du att förstå att du även i de mest komplexa satserna och definitionerna förstår mycket väl vad som sägs.

Jag fattar? Nåväl, låt oss gå vidare till det första steget av upplysning - den geometriska definitionen av determinanten. :)

Geometrisk definition

Först och främst vill jag notera att determinanten endast finns för kvadratiska matriser av formen $\left[ n\ gånger n \right]$. En determinant är ett tal som beräknas enligt vissa regler och är en av egenskaperna hos denna matris (det finns andra egenskaper: rang, egenvektorer, men mer om det i andra lektioner).

Så vad är denna egenskap? Vad betyder det? Det är enkelt:

Determinanten för en kvadratisk matris $A=\left[ n\ gånger n \right]$ är volymen av en $n$-dimensionell parallellepiped, som bildas om vi betraktar matrisens rader som vektorer som bildar kanterna på denna parallellepiped.

Till exempel är bestämningsfaktorn för en 2x2-matris helt enkelt arean av ett parallellogram, men för en 3x3-matris är det redan volymen av en 3-dimensionell parallellepiped - samma som gör alla gymnasieelever upprörda i stereometrilektioner .

Vid första anblicken kan denna definition verka helt otillräcklig. Men låt oss inte dra några slutsatser – låt oss titta på exempel. Faktum är att allt är elementärt, Watson:

Uppgift. Hitta determinanterna för matriserna:

\[\vänster| \begin(matris) 1 & 0 \\ 0 & 3 \\\end(matris) \right|\quad \left| \begin(matris) 1 & -1 \\ 2 & 2 \\\end(matris) \right|\quad \left| \begin(matris)2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\\end(matris) \right|\]

Lösning. De två första bestämningsfaktorerna har storlek 2x2. Så dessa är helt enkelt områdena av parallellogram. Låt oss rita dem och beräkna arean.

Det första parallellogrammet är byggt på vektorerna $((v)_(1))=\left(1;0 \right)$ och $((v)_(2))=\left(0;3 \right) $:

Determinanten för 2x2 är arean av ett parallellogram

Uppenbarligen är detta inte bara ett parallellogram, utan en ganska rektangel. Dess område är

Det andra parallellogrammet är byggt på vektorerna $((v)_(1))=\left(1;-1 \right)$ och $((v)_(2))=\left(2;2 \right )$. Vadå då? Detta är också en rektangel:

En annan 2x2 determinant

Sidorna på denna rektangel (i huvudsak längderna på vektorerna) beräknas lätt med hjälp av Pythagoras sats:

\[\begin(align) & \left| ((v)_(1)) \right|=\sqrt(((1)^(2))+((\left(-1 \right))^(2)))=\sqrt(2); \\ & \vänster| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(((2)^(2))+((2)^(2)))=\sqrt(8)=2\sqrt(2); \\&S=\vänster| ((v)_(1)) \right|\cdot \left| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(2)\cdot 2\sqrt(2)=4. \\\end(align)\]

Det återstår att ta itu med den sista determinanten - den innehåller redan en 3x3-matris. Du måste komma ihåg stereometri:

Determinanten för 3x3 är volymen av en parallellepiped

Det ser häpnadsväckande ut, men i själva verket räcker det att komma ihåg formeln för volymen på en parallellepiped:

där $S$ är arean av basen (i vårt fall är detta arean av parallellogrammet på planet $OXY$), $h$ är höjden som dras till denna bas (i själva verket $ z$-koordinaten för vektorn $((v)_(3) )$).

Arean av ett parallellogram (vi ritade det separat) är också lätt att beräkna:

\[\begin(align) & S=2\cdot 3=6; \\ & V=S\cdot h=6\cdot 4=24. \\\end(align)\]

Det är allt! Vi skriver ner svaren.

Svar: 3; 4; 24.

En liten notering om notationssystemet. Vissa människor kommer förmodligen inte att gilla det faktum att jag ignorerar "pilarna" ovanför vektorerna. Förmodligen kan du blanda ihop en vektor med en punkt eller något annat.

Men låt oss vara allvarliga: vi är redan vuxna pojkar och flickor, så utifrån sammanhanget förstår vi mycket väl när vi pratar om en vektor och när vi talar om en punkt. Pilarna täpper bara igen berättelsen, som redan är fylld till brädden med matematiska formler.

Och vidare. I princip hindrar ingenting oss från att överväga determinanten för en 1x1-matris - en sådan matris är helt enkelt en cell, och numret som är skrivet i den här cellen kommer att vara determinanten. Men det finns en viktig anmärkning här:

Till skillnad från den klassiska volymen kommer determinanten att ge oss den så kallade " orienterad volym", dvs. volym med hänsyn till sekvensen för övervägande av radvektorer.

Och om du vill få volymen i ordets klassiska mening måste du ta determinantmodulen, men nu behöver du inte oroa dig för det - hur som helst, inom några sekunder lär vi oss hur man beräknar valfri determinant med alla tecken, storlekar etc. :)

Algebraisk definition

För all skönhet och klarhet i det geometriska tillvägagångssättet har det en allvarlig nackdel: det säger oss ingenting om hur man beräknar denna mycket determinant.

Därför kommer vi nu att analysera en alternativ definition - algebraisk. För att göra detta kommer vi att behöva en kort teoretisk förberedelse, men i slutet kommer vi att få ett verktyg som gör att vi kan beräkna vad och hur vi vill i matriser.

Visserligen kommer ett nytt problem att dyka upp där... men först till kvarn.

Permutationer och inversioner

Låt oss skriva ner siffrorna från 1 till $n$ på en rad. Du kommer att få något sånt här:

Låt oss nu (bara för skojs skull) byta ett par nummer. Du kan ändra de närliggande:

Eller kanske - inte särskilt närliggande:

Och gissa vad? Ingenting! I algebra kallas detta skit permutation. Och den har många egenskaper.

Definition. En permutation av längden $n$ är en sträng av $n$ olika tal skrivna i valfri ordning. Vanligtvis beaktas de första $n$ naturliga tal(dvs bara siffrorna 1, 2, ..., $n$), och sedan blandas de för att erhålla den önskade permutationen.

Permutationer betecknas på samma sätt som vektorer - helt enkelt med en bokstav och en sekventiell listning av deras element inom parentes. Till exempel: $p=\left(1;3;2 \right)$ eller $p=\left(2;5;1;4;3 \right)$. Bokstaven kan vara vad som helst, men låt det vara $p$. :)

Vidare, för enkelhetens skull kommer vi att arbeta med permutationer av längd 5 - de är redan tillräckligt allvarliga för att observera eventuella misstänkta effekter, men är ännu inte lika allvarliga för en bräcklig hjärna som permutationer av längd 6 eller mer. Här är exempel på sådana permutationer:

\[\begin(align) & ((p)_(1))=\left(1;2;3;4;5 \right) \\ & ((p)_(2))=\left(1) ;3;2;5;4 \right) \\ & ((p)_(3))=\left(5;4;3;2;1 \right) \\\end(align)\]

Naturligtvis kan en permutation av längden $n$ betraktas som en funktion som är definierad på mängden $\left\( 1;2;...;n \right\)$ och mappar denna mängd på sig själv. För att återgå till de nyss skrivna permutationerna $((p)_(1))$, $((p)_(2))$ och $((p)_(3))$, kan vi helt legitimt skriva:

\[((p)_(1))\left(1 \right)=1;((p)_(2))\left(3 \right)=2;((p)_(3))\ vänster(2 \höger)=4;\]

Antalet olika permutationer av längden $n$ är alltid begränsat och lika med $n!$ - detta är ett lätt bevisbart faktum från kombinatoriken. Till exempel, om vi vill skriva ner alla permutationer av längd 5, kommer vi att tveka mycket, eftersom det kommer att finnas sådana permutationer

En av nyckelegenskaperna för varje permutation är antalet inversioner i den.

Definition. Inversion i permutationen $p=\left(((a)_(1));((a)_(2));...;(a)_(n)) \right)$ — vilket par som helst $ \left(((a)_(i));((a)_(j)) \right)$ så att $i \lt j$, men $((a)_(i)) \gt ( (a)_(j))$. Enkelt uttryckt är inversion när ett större tal är till vänster om ett mindre (inte nödvändigtvis dess granne).

Vi kommer att beteckna med $N\left(p \right)$ antalet inversioner i permutationen $p$, men var beredda på att stöta på andra notationer i olika läroböcker och olika författare - det finns inga enhetliga standarder här. Ämnet inversioner är mycket omfattande, och en separat lektion kommer att ägnas åt det. Nu är vår uppgift helt enkelt att lära sig hur man räknar dem i verkliga problem.

Låt oss till exempel räkna antalet inversioner i permutationen $p=\left(1;4;5;3;2 \right)$:

\[\vänster(4;3 \höger);\vänster(4;2 \höger);\vänster(5;3 \höger);\vänster(5;2 \höger);\vänster(3;2 \höger ).\]

Alltså $N\left(p \right)=5$. Som du kan se är det inget fel med detta. Jag säger genast: från och med nu kommer vi inte att vara intresserade så mycket av talet $N\left(p \right)$ i sig, utan av dess jämnhet/uddlighet. Och här går vi smidigt vidare till nyckeltermen i dagens lektion.

Vad är en determinant

Låt en kvadratisk matris $A=\vänster[ n\ gånger n \höger]$ ges. Sedan:

Definition. Determinanten för matrisen $A=\vänster[ n\ gånger n \höger]$ är den algebraiska summan av $n!$ termer sammansatta enligt följande. Varje term är produkten av $n$ matriselement, tagna en från varje rad och varje kolumn, multiplicerad med (−1) i potensen av antalet inversioner:

\[\vänster| A\right|=\summa\limits_(n{{{\left(-1 \right)}^{N\left(p \right)}}\cdot {{a}_{1;p\left(1 \right)}}\cdot {{a}_{2;p\left(2 \right)}}\cdot ...\cdot {{a}_{n;p\left(n \right)}}}\]!}

Den grundläggande poängen när man väljer faktorer för varje term i determinanten är det faktum att inte två faktorer förekommer i samma rad eller i samma kolumn.

Tack vare detta kan vi utan förlust av allmänhet anta att indexen $i$ för faktorerna $((a)_(i;j))$ "går igenom" värdena 1, ..., $n$ , och indexen $j$ är någon permutation av först:

Och när det finns en permutation $p$ kan vi enkelt beräkna inversionerna $N\left(p \right)$ - och nästa term av determinanten är klar.

Naturligtvis förbjuder ingen att byta faktorer i någon term (eller i alla på en gång - varför slösa tid på bagateller?), och då kommer de första indexen också att representera någon form av omarrangemang. Men i slutändan kommer ingenting att förändras: det totala antalet inversioner i indexen $i$ och $j$ behåller paritet under sådana förvrängningar, vilket är helt i linje med den gamla goda regeln:

Att omordna faktorerna ändrar inte produkten av siffror.

Koppla bara inte den här regeln till matrismultiplikation - till skillnad från talmultiplikation är den inte kommutativ. Men jag avviker. :)

Matris 2x2

Faktum är att du också kan överväga en 1x1-matris - det här kommer att vara en cell, och dess determinant, som du kanske gissar, är lika med antalet som skrivits i den här cellen. Inget intressant.

Så låt oss betrakta en 2x2 kvadratisk matris:

\[\vänster[ \begin(matris) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\end(matris) \right]\]

Eftersom antalet rader i den är $n=2$, kommer determinanten att innehålla $n!=2!=1\cdot 2=2$ termer. Låt oss skriva ner dem:

\[\begin(align) & ((\left(-1 \right))^(N\left(1;2 \right)))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a) _(22))=((\vänster(-1 \höger))^(0))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a)_(22))=((a)_ (11))((a)_(22)); \\ & ((\left(-1 \right))^(N\left(2;1 \right)))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21)) =((\vänster(-1 \höger))^(1))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21))=((a)_(12))( (a)_(21)). \\\end(align)\]

Uppenbarligen, i permutationen $\left(1;2 \right)$, som består av två element, finns det inga inversioner, så $N\left(1;2 \right)=0$. Men i permutationen $\left(2;1 \right)$ finns en inversion (i själva verket 2< 1), поэтому $N\left(2;1 \right)=1.$

Totalt ser den universella formeln för beräkning av determinanten för en 2x2-matris ut så här:

\[\vänster| \begin(matris) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\end( matris) \right|=((a)_(11))((a)_(22))-((a)_(12))((a)_(21)))\]

Grafiskt kan detta representeras som produkten av elementen på huvuddiagonalen, minus produkten av elementen på sidodiagonalen:

Determinant för en 2x2-matris

Låt oss titta på ett par exempel:

\[\vänster| \begin(matris) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end(matris) \right|;\quad \left| \begin(matris) 7 & 12 \\ 14 & 1 \\\end(matris) \right|.\]

Lösning. Allt räknas på en rad. Första matrisen:

Och den andra:

Svar: −3; −161.

Det var dock för enkelt. Låt oss titta på 3x3-matriser - det är redan intressant.

Matrix 3x3

Tänk nu på en 3x3 kvadratisk matris:

\[\vänster[ \begin(matris) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & ((a)_(33) ) \\\end(matris) \right]\]

När vi beräknar dess determinant får vi $3!=1\cdot 2\cdot 3=6$ termer - inte för många för att få panik, men tillräckligt för att börja leta efter några mönster. Låt oss först skriva ut alla permutationer av tre element och räkna inversionerna i vart och ett av dem:

\[\begin(align) & ((p)_(1))=\left(1;2;3 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(1)) \right)=N\ vänster(1;2;3 \höger)=0; \\ & ((p)_(2))=\vänster(1;3;2 \höger)\Högerpil N\vänster(((p)_(2)) \höger)=N\vänster(1;3 ;2 \right)=1; \\ & ((p)_(3))=\vänster(2;1;3 \höger)\Högerpil N\vänster(((p)_(3)) \höger)=N\vänster(2;1 ;3 \right)=1; \\ & ((p)_(4))=\vänster(2;3;1 \höger)\Högerpil N\vänster(((p)_(4)) \höger)=N\vänster(2;3 ;1 \right)=2; \\ & ((p)_(5))=\left(3;1;2 \right)\Högerpil N\left(((p)_(5)) \right)=N\left(3;1) ;2 \right)=2; \\ & ((p)_(6))=\left(3;2;1 \right)\Högerpil N\left(((p)_(6)) \right)=N\left(3;2) ;1 \right)=3. \\\end(align)\]

Som väntat skrevs totalt 6 permutationer ut: $((p)_(1))$, ... $((p)_(6))$ (naturligtvis skulle det vara möjligt att skriva ut dem i en annan sekvens - detta gör ingen skillnad kommer att ändras), och antalet inversioner i dem varierar från 0 till 3.

I allmänhet kommer vi att ha tre termer med ett "plus" (där $N\left(p \right)$ är jämnt) och ytterligare tre med ett "minus". I allmänhet kommer determinanten att beräknas enligt formeln:

\[\vänster| \begin(matris) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a) _(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & ((a)_(33)) \\\slut (matris) \right|=\begin(matris) ((a)_(11))((a)_(22))((a)_(33))+((a)_(12))( (a)_(23))((a)_(31))+((a)_(13))((a)_(21))((a)_(32))- \\ -( (a)_(13))((a)_(22))((a)_(31))-((a)_(12))((a)_(21))(a)_ (33))-((a)_(11))((a)_(23))((a)_(32)) \\\end(matris)\]

Sätt dig bara inte ner och fyll i rasande alla dessa index nu! Istället för obegripliga siffror är det bättre att komma ihåg följande mnemonregel:

Triangelregel. För att hitta determinanten för en 3x3-matris måste du lägga till tre produkter av element som ligger på huvuddiagonalen och i hörnen av likbenta trianglar med en sida parallell med denna diagonal, och sedan subtrahera samma tre produkter, men på sekundärdiagonalen . Schematiskt ser det ut så här:

Determinant för en 3x3-matris: triangelregel

Det är dessa trianglar (eller pentagram, vilket du föredrar) som folk gillar att rita i alla möjliga läroböcker och manualer för algebra. Men låt oss inte prata om sorgliga saker. Låt oss bättre räkna ut en sådan determinant - att värma upp innan de riktigt tuffa sakerna. :)

Uppgift. Beräkna determinanten:

\[\vänster| \begin(matris) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \\\end(matris) \right|\]

Lösning. Vi arbetar enligt regeln om trianglar. Låt oss först räkna tre termer som består av element på huvuddiagonalen och parallella med den:

\[\begin(align) & 1\cdot 5\cdot 1+2\cdot 6\cdot 7+3\cdot 4\cdot 8= \\ & =5+84+96=185 \\\end(align) \]

Låt oss nu titta på sidodiagonalen:

\[\begin(align) & 3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot 1+1\cdot 6\cdot 8= \\ & =105+8+48=161 \\\end(align) \]

Allt som återstår är att subtrahera den andra från den första siffran - och vi får svaret:

Det är allt!

Determinanter för 3x3-matriser är dock ännu inte toppen av skicklighet. De mest intressanta sakerna väntar oss vidare. :)

Allmänt schema för beräkning av determinanter

Som vi vet, när matrisdimensionen $n$ ökar, är antalet termer i determinanten $n!$ och växer snabbt. Ändå är factorial inte bullshit, det är en ganska snabbt växande funktion.

Redan för 4x4-matriser blir det på något sätt inte särskilt bra att räkna determinanter direkt (dvs genom permutationer). Jag är i allmänhet tyst om 5x5 och mer. Därför spelar vissa egenskaper hos determinanten in, men att förstå dem kräver lite teoretiska förberedelser.

Redo? Gå!

Vad är en matrismoll?

Låt en godtycklig matris $A=\vänster[ m\ gånger n \höger]$ ges. Obs: inte nödvändigtvis kvadratisk. Till skillnad från bestämningsfaktorer är minderåriga så söta saker som inte bara finns i hårda kvadratiska matriser. Låt oss välja flera (till exempel $k$) rader och kolumner i denna matris, med $1\le k\le m$ och $1\le k\le n$. Sedan:

Definition. En minor av ordningen $k$ är determinanten för en kvadratisk matris som uppstår vid skärningspunkten mellan valda $k$ kolumner och rader. Vi kommer också att kalla denna nya matris för mindre.

En sådan minderårig betecknas med $((M)_(k))$. Naturligtvis kan en matris ha ett helt gäng minderåriga i storleksordningen $k$. Här är ett exempel på en mindre av ordning 2 för matrisen $\left[ 5\times 6 \right]$:

Att välja $k = 2$ kolumner och rader för att bilda en minor

Det är inte alls nödvändigt att de valda raderna och kolumnerna ligger bredvid varandra, som i exemplet som diskuteras. Huvudsaken är att antalet valda rader och kolumner är detsamma (detta är talet $k$).

Det finns en annan definition. Kanske någon kommer att gilla det mer:

Definition. Låt en rektangulär matris $A=\vänster[ m\ gånger n \höger]$ ges. Om, efter att ha tagit bort en eller flera kolumner och en eller flera rader, en kvadratisk matris med storleken $\left[ k\ gånger k \right]$ bildas, så är dess determinant den mindre $((M)_(k)) $ . Vi kommer också ibland att kalla själva matrisen för en mindre - detta kommer att framgå av sammanhanget.

Som min katt sa, ibland är det bättre att komma tillbaka från 11:e våningen för att äta mat än att jama medan du sitter på balkongen.

Exempel. Låt matrisen ges

Genom att välja rad 1 och kolumn 2 får vi ett första ordningens mindre:

\[((M)_(1))=\vänster| 7\höger|=7\]

Genom att välja raderna 2, 3 och kolumnerna 3, 4 får vi en andra ordningens moll:

\[((M)_(2))=\vänster| \begin(matris) 5 & 3 \\ 6 & 1 \\\end(matris) \right|=5-18=-13\]

Och om du väljer alla tre raderna, såväl som kolumnerna 1, 2, 4, kommer det att finnas en tredje ordningens mindre:

\[((M)_(3))=\vänster| \begin(matris) 1 & 7 & 0 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\\end(matris) \right|\]

Det kommer inte att vara svårt för läsaren att hitta andra minderåriga av order 1, 2 eller 3. Därför går vi vidare.

Algebraiska tillägg

"Okej, vad ger dessa mindre undersåtar oss?" – frågar du säkert. Av sig själva - ingenting. Men i kvadratiska matriser har varje mindre en "följeslagare" - en extra mindre, såväl som ett algebraiskt komplement. Och tillsammans kommer dessa två knep tillåta oss att knäcka determinanterna som nötter.

Definition. Låt en kvadratisk matris $A=\vänster[ n\ gånger n \höger]$ ges, där minor $((M)_(k))$ väljs. Sedan är den extra moll för moll $((M)_(k))$ en del av den ursprungliga matrisen $A$, som kommer att finnas kvar efter att alla rader och kolumner som är involverade i att komponera moll $((M)_ har tagits bort (k))$:

Ytterligare moll till moll $((M)_(2))$

Låt oss förtydliga en punkt: ytterligare ett biämne är inte bara en "bit av matrisen", utan en avgörande faktor för denna del.

Ytterligare minderåriga indikeras med en asterisk: $M_(k)^(*)$:

där operationen $A\nabla ((M)_(k))$ bokstavligen betyder "ta bort från $A$ de rader och kolumner som ingår i $((M)_(k))$". Denna operation är inte allmänt accepterad i matematik - jag uppfann den bara själv för berättelsens skönhet. :)

Ytterligare minderåriga används sällan av sig själva. De är en del av en mer komplex konstruktion - algebraiskt komplement.

Definition. Det algebraiska komplementet av en moll $((M)_(k))$ är den extra moll $M_(k)^(*)$ multiplicerat med värdet $((\left(-1 \right))^(S ))$ , där $S$ är summan av siffrorna för alla rader och kolumner som ingår i den ursprungliga minor $((M)_(k))$.

Som regel betecknas det algebraiska komplementet av en mindre $((M)_(k))$ med $((A)_(k))$. Det är därför:

\[((A)_(k))=((\vänster(-1 \höger))^(S))\cdot M_(k)^(*)\]

Svår? Vid första anblicken, ja. Men det är det inte precis. För i verkligheten är allt lätt. Låt oss titta på ett exempel:

Exempel. Givet en 4x4-matris:

Låt oss välja en andra ordningens mindre

\[((M)_(2))=\vänster| \begin(matris) 3 & 4 \\ 15 & 16 \\\end(matris) \right|\]

Captain Obviousness tycks antyda för oss att vid sammanställningen av denna moll var raderna 1 och 4, samt kolumnerna 3 och 4 inblandade. Sträck över dem så får vi ytterligare en moll:

Det återstår att hitta talet $S$ och få det algebraiska komplementet. Eftersom vi vet antalet inblandade rader (1 och 4) och kolumner (3 och 4), är allt enkelt:

\[\begin(align) & S=1+4+3+4=12; \\ & ((A)_(2))=((\left(-1 \right))^(S))\cdot M_(2)^(*)=((\left(-1 \right) )^(12))\cdot \left(-4 \right)=-4\end(align)\]

Svar: $((A)_(2))=-4$

Det är allt! Faktum är att hela skillnaden mellan ett extra moll och ett algebraiskt komplement är bara i minus längst fram, och även då inte alltid.

Laplaces sats

Och så kom vi till punkten varför, i själva verket, alla dessa mindreåriga och algebraiska tillägg behövdes.

Laplaces sats om sönderdelningen av determinanten. Låt $k$ rader (kolumner) väljas i en matris med storleken $\left[ n\ gånger n \right]$, med $1\le k\le n-1$. Då är determinanten för denna matris lika med summan av alla produkter av minderåriga av ordningen $k$ som finns i de valda raderna (kolumnerna) och deras algebraiska komplement:

\[\vänster| A \right|=\summa(((M)_(k))\cdot ((A)_(k)))\]

Dessutom kommer det att finnas exakt $C_(n)^(k)$ av sådana termer.

Okej, okej: ungefär $C_(n)^(k)$ - Jag visar redan upp, det fanns inget sådant i Laplaces ursprungliga teorem. Men ingen har avbrutit kombinatorik, och bokstavligen en snabb blick på tillståndet låter dig se själv att det kommer att finnas exakt så många termer. :)

Vi kommer inte att bevisa det, även om det inte ger några speciella svårigheter - alla beräkningar kommer ner på de gamla goda permutationerna och jämna/udda inversioner. Beviset kommer dock att presenteras i ett separat stycke, och idag har vi en rent praktisk lektion.

Därför går vi vidare till ett specialfall av denna teorem, när de mindre är individuella celler i matrisen.

Nedbrytning av determinanten i rad och kolumn

Det vi ska prata om nu är just det huvudsakliga verktyget för att arbeta med determinanter, för vilket allt detta nonsens med permutationer, mindretal och algebraiska tillägg startade.

Läs och njut:

Följd av Laplaces sats (nedbrytning av determinanten i rad/kolumn). Låt en rad väljas i en matris med storleken $\left[ n\ gånger n \right]$. De minderåriga på denna rad kommer att vara $n$ individuella celler:

\[((M)_(1))=((a)_(ij)),\quad j=1,...,n\]

Ytterligare minderåriga är också lätta att beräkna: ta bara den ursprungliga matrisen och stryk över raden och kolumnen som innehåller $((a)_(ij))$. Låt oss kalla sådana minderåriga $M_(ij)^(*)$.

För det algebraiska komplementet behöver vi fortfarande talet $S$, men i fallet med en moll av ordning 1 är det helt enkelt summan av "koordinaterna" för cellen $((a)_(ij))$:

Och sedan kan den ursprungliga determinanten skrivas i termer av $((a)_(ij))$ och $M_(ij)^(*)$ enligt Laplaces teorem:

\[\vänster| A \right|=\summa\limits_(j=1)^(n)(((a)_(ij))\cdot ((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot ((M)_(ij)))\]

Det är vad det är formel för att sönderdela determinanten i en rad. Men detsamma gäller för kolumner.

Flera slutsatser kan omedelbart dras av denna konsekvens:

1. Detta schema fungerar lika bra för både rader och kolumner. I själva verket kommer sönderdelningen oftast att ske exakt längs kolumnerna snarare än längs raderna.
2. Antalet termer i expansionen är alltid exakt $n$. Detta är betydligt mindre än $C_(n)^(k)$ och ännu mer $n!$.
3. Istället för en determinant $\left[ n\ gånger n \right]$ måste du överväga flera determinanter av storlek en mindre: $\left[ \left(n-1 \right)\times \left(n-1 \ höger) \right ]$.

Det sista faktumet är särskilt viktigt. Till exempel, istället för den brutala 4x4-determinanten, kommer det nu att räcka med att räkna flera 3x3-determinanter - vi kommer på något sätt att klara av dem. :)

Uppgift. Hitta determinanten:

\[\vänster| \begin(matris) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\\end(matris) \right|\]

Lösning. Låt oss utöka denna determinant längs den första raden:

\[\begin(align) \left| En \right|=1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matris) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end(matris) \right|+ & \\ 2\cdot ((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \vänster| \begin(matris) 4 & 6 \\ 7 & 9 \\\end(matris) \right|+ & \\ 3\cdot ((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \vänster| \begin(matris) 4 & 5 \\ 7 & 8 \\\end(matris) \right|= & \\\end(align)\]

\[\begin(align) & =1\cdot \left(45-48 \right)-2\cdot \left(36-42 \right)+3\cdot \left(32-35 \right)= \\ & =1\cdot \left(-3 \right)-2\cdot \left(-6 \right)+3\cdot \left(-3 \right)=0. \\\end(align)\]

Uppgift. Hitta determinanten:

\[\vänster| \begin(matris) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matris) \right|\ ]

Lösning. För en förändring, låt oss arbeta med kolumner den här gången. Till exempel innehåller den sista kolumnen två nollor samtidigt - uppenbarligen kommer detta att minska beräkningarna avsevärt. Nu ska du se varför.

Så vi expanderar determinanten i den fjärde kolumnen:

\[\begin(align) \left| \begin(matris) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matris) \right|= 0\cdot ((\left(-1 \right))^(1+4))\cdot \left| \begin(matris) 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matris) \right|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \\ höger))^(2+4))\cdot \left| \begin(matris) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matris) \right|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \ höger))^(3+4))\cdot \left| \begin(matris) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matris) \right|+ & \\ +0\cdot ((\left(-1 \\ höger))^(4+4))\cdot \left| \begin(matris) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matris) \right| & \\\end(align)\]

Och sedan - åh, mirakel! - två termer går omedelbart ner, eftersom de innehåller en faktor "0". Det finns fortfarande två 3x3-determinanter kvar, som vi enkelt kan hantera:

\[\begin(align) & \left| \begin(matris) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matris) \right|=0+0+1-1-1-0=-1; \\ & \vänster| \begin(matris) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matris) \right|=0+1+1-0-0-1=1. \\\end(align)\]

Låt oss gå tillbaka till källan och hitta svaret:

\[\vänster| \begin(matris) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matris) \right|= 1\cdot \left(-1 \right)+\left(-1 \right)\cdot 1=-2\]

OK det är över nu. Och nr 4! = 24 termer behövde inte räknas. :)

Svar: −2

Grundläggande egenskaper hos determinanten

I det sista problemet såg vi hur närvaron av nollor i raderna (kolumnerna) i matrisen dramatiskt förenklar nedbrytningen av determinanten och i allmänhet alla beräkningar. En naturlig fråga uppstår: är det möjligt att få dessa nollor att visas även i matrisen där de inte ursprungligen fanns där?

Svaret är tydligt: Burk. Och här kommer determinantens egenskaper till vår hjälp:

1. Om du byter två rader (kolumner), kommer determinanten inte att ändras;
2. Om en rad (kolumn) multipliceras med talet $k$, så kommer hela determinanten också att multipliceras med talet $k$;
3. Om du tar en rad och adderar (subtraherar) den så många gånger du vill från en annan, kommer determinanten inte att ändras;
4. Om två rader av determinanten är lika, eller proportionella, eller en av raderna är fylld med nollor, då är hela determinanten lika med noll;
5. Alla ovanstående egenskaper gäller också för kolumner.
6. Vid transponering av en matris ändras inte determinanten;
7. Determinanten av produkten av matriser är lika med produkten av determinanter.

Den tredje egenskapen är av särskilt värde: vi kan subtrahera från en rad (kolumn) en annan tills nollor visas på rätt ställen.

Oftast kommer beräkningar ner på att "nolla" hela kolumnen överallt utom för ett element, och sedan expandera determinanten över denna kolumn, och få en matris med storlek 1 mindre.

Låt oss se hur detta fungerar i praktiken:

Uppgift. Hitta determinanten:

\[\vänster| \begin(matris) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end(matris) \right|\ ]

Lösning. Det verkar inte finnas några nollor alls här, så du kan "borra" på vilken rad eller kolumn som helst - mängden beräkningar kommer att vara ungefär densamma. Låt oss inte slösa tid på bagateller och "nollställa" den första kolumnen: den har redan en cell med en, så ta bara den första raden och subtrahera den 4 gånger från den andra, 3 gånger från den tredje och 2 gånger från den sista.

Som ett resultat kommer vi att få en ny matris, men dess determinant kommer att vara densamma:

\[\begin(matris) \left| \begin(matris) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end(matris) \right|\ börja(matris) \nedåtpil \\ -4 \\ -3 \\ -2 \\\slut(matris)= \\ =\vänster| \begin(matris) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4-4\cdot 1 & 1-4\cdot 2 & 2-4\cdot 3 & 3-4\cdot 4 \\ 3-3\cdot 1 & 4-3\cdot 2 & 1-3\cdot 3 & 2-3\cdot 4 \\ 2-2\cdot 1 & 3-2\cdot 2 & 4-2\cdot 3 & 1-2\cdot 4 \ \\end(matris) \höger|= \\ =\vänster| \begin(matris) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ \end(matris) \right| \\\end(matris)\]

Nu, med smågrisens jämnmod, lägger vi ut denna determinant längs den första kolumnen:

\[\begin(matris) 1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matris) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end(matris) \right|+0\cdot ((\ vänster(-1 \höger))^(2+1))\cdot \left| ... \right|+ \\ +0\cdot ((\left(-1 \right))^(3+1))\cdot \left| ... \right|+0\cdot ((\left(-1 \right))^(4+1))\cdot \left| ... \right| \\\end(matris)\]

Det är tydligt att bara den första termen kommer att "överleva" - jag skrev inte ens ut bestämningsfaktorerna för resten, eftersom de fortfarande multipliceras med noll. Koefficienten framför determinanten är lika med ett, d.v.s. du behöver inte skriva ner det.

Men du kan ta bort "nackdelarna" från alla tre raderna av determinanten. I huvudsak tog vi ut faktorn (−1) tre gånger:

\[\vänster| \begin(matris) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end(matris) \right|=\cdot \left| \begin(matris) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matris) \right|\]

Vi har fått en liten determinant 3x3, som redan kan beräknas med hjälp av triangelregeln. Men vi ska försöka bryta ner det i den första kolumnen - lyckligtvis innehåller den sista raden stolt en:

\[\begin(align) & \left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matris) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matris) \right|\begin(matris) -7 \\ -2 \\ \uparrow \ \\end(matris)=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matris) 0 & -4 & -36 \\ 0 & 4 & -4 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matris) \right|= \\ & =\cdot \left| \begin(matris) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matris) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matris) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matris) \right| \\\end(align)\]

Du kan naturligtvis fortfarande ha kul och utöka 2x2-matrisen längs en rad (kolumn), men du och jag är tillräckliga, så vi beräknar bara svaret:

\[\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matris) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matris) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left(16+144 \right)=-160\ ]

Det är så drömmar bryts. Endast -160 i svaret. :)

Svar: −160.

Ett par anteckningar innan vi går vidare till den sista uppgiften:

1. Den ursprungliga matrisen var symmetrisk med avseende på den sekundära diagonalen. Alla mindre i expansionen är också symmetriska med avseende på samma sekundära diagonal.
2. Strängt taget kunde vi inte expandera något alls, utan helt enkelt reducera matrisen till en övre triangulär form, när det finns solida nollor under huvuddiagonalen. Sedan (i strikt överensstämmelse med den geometriska tolkningen, förresten) är determinanten lika med produkten av $((a)_(ii))$ - talen på huvuddiagonalen.

Uppgift. Hitta determinanten:

\[\vänster| \begin(matris) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end(matris) \right|\ ]

Lösning. Tja, här ber den första raden bara om att bli "nollställd". Ta den första kolumnen och subtrahera exakt en gång från alla de andra:

\[\begin(align) & \left| \begin(matris) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end(matris) \right|= \\ & =\vänster| \begin(matris) 1 & 1-1 & 1-1 & 1-1 \\ 2 & 4-2 & 8-2 & 16-2 \\ 3 & 9-3 & 27-3 & 81-3 \\ 5 & ​​​​25-5 & 125-5 & 625-5 \\\end(matris) \right|= \\ & =\left| \begin(matris) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 6 & 14 \\ 3 & 6 & 24 & 78 \\ 5 & 20 & 120 & 620 \\\end(matris) \right| \\\end(align)\]

Vi expanderar längs den första raden och tar sedan ut de vanliga faktorerna från de återstående raderna:

\[\cdot \left| \begin(matris) 2 & 6 & 14 \\ 6 & 24 & 78 \\ 20 & 120 & 620 \\\end(matris) \right|=\cdot \left| \begin(matris) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end(matris) \right|\]

Återigen ser vi "vackra" siffror, men i den första kolumnen - vi lägger ut determinanten enligt den:

\[\begin(align) & 240\cdot \left| \begin(matris) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end(matris) \right|\begin(matris) \downarrow \\ -1 \\ -1 \ \\end(matris)=240\cdot \left| \begin(matris) 1 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & 24 \\\end(matris) \right|= \\ & =240\cdot ((\left(-1 \ höger))^(1+1))\cdot \left| \begin(matris) 1 & 6 \\ 3 & 24 \\\end(matris) \right|= \\ & =240\cdot 1\cdot \left(24-18 \right)=1440 \\\end( justera)\]

Beställa. Problemet är löst.

Svar: 1440