E (funktioner E). Naturlig logaritm och talet e Vad betyder e x?
Även om detta samband vid första anblicken verkar helt omöjligt (det verkar som att vetenskaplig matematik är en sak, och ekonomi och finans är en helt annan), men när du väl studerar historien om "upptäckten" av detta nummer blir allt uppenbart. Faktum är att oavsett hur vetenskaperna är uppdelade i olika till synes orelaterade grenar, kommer det allmänna paradigmet fortfarande att vara detsamma (i synnerhet för konsumtionssamhället - "konsumentmatematik").
Låt oss börja med en definition. e är basen för den naturliga logaritmen, en matematisk konstant, ett irrationellt och transcendentalt tal. Ibland kallas talet e för Euler-numret eller Napier-numret. Betecknas med den latinska gemena bokstaven "e".
Eftersom exponentialfunktionen e^x är integrerad och differentierad "i sig själv", accepteras logaritmer baserade på basen e som naturliga (även om själva namnet "naturlighet" borde råda stora tvivel, eftersom all matematik i huvudsak är baserad på artificiellt uppfunnen sådana, skilda från naturens fiktiva principer, och inte alls på naturliga).
Detta nummer kallas ibland Nepier för att hedra den skotske vetenskapsmannen Napier, författare till verket "Description of the Amazing Table of Logarithms" (1614). Detta namn är dock inte helt korrekt, eftersom Napier inte direkt använde själva numret.
Konstanten förekommer först underförstått i en bilaga till den engelska översättningen av Napiers ovan nämnda verk, publicerad 1618. Bakom kulisserna, eftersom den bara innehåller en tabell med naturliga logaritmer som bestämts utifrån KINEMATISKA överväganden, men konstanten i sig är inte närvarande.
Själva konstanten beräknades först av den schweiziske matematikern Bernoulli (enligt den officiella versionen 1690) samtidigt som man löste problemet med ränteinkomsternas gränsvärde. Han fann att om det ursprungliga beloppet var $1 (valutan är helt oviktig) och sammansatt 100 % per år en gång i slutet av året, skulle det slutliga beloppet vara $2. Men om samma ränta kombineras två gånger om året, multipliceras 1 $ med 1,5 två gånger, vilket resulterar i 1,00 $ x 1,5² = 2,25 $. Sammansatt ränta kvartalsvis ger 1,00 USD x 1,254 = 2,44140625 USD, och så vidare. Bernoulli visade att om ränteberäkningsfrekvensen ÖKAR Oändligt så har ränteintäkterna vid sammansatt ränta en gräns - och denna gräns är lika med 2,71828...
1,00 USD×(1+1/12)12 = 2,613035 USD...
$1,00×(1+1/365)365 = $2,714568… - i gränsen siffran e
Således betyder siffran e faktiskt historiskt den maximala möjliga ÅRSVINST med 100 % per år och den maximala frekvensen av ränteaktivering. Och vad har universums lagar med det att göra? Siffran e är en av de viktiga byggstenarna i grunden för den monetära ekonomin av låneränta i ett konsumtionssamhälle, under vilken redan från början, även på mentalfilosofisk nivå, all matematik som används idag justerades och vässades i flera århundraden. sedan.
Den första kända användningen av denna konstant, där den betecknades med bokstaven b, förekommer i Leibniz brev till Huygens, 1690-1691.
Euler började använda bokstaven e 1727, den förekommer först i ett brev från Euler till den tyske matematikern Goldbach daterat den 25 november 1731, och den första publikationen med detta brev var hans verk "Mechanics, or the Science of Motion, Explained Analytically " 1736. Följaktligen kallas e vanligtvis för Euler-numret. Även om vissa forskare senare använde bokstaven c, användes bokstaven e oftare och är standardbeteckningen idag.
Det är inte känt exakt varför bokstaven e valdes. Kanske beror detta på att ordet exponentiell ("indikativ", "exponentiell") börjar med det. Ett annat förslag är att bokstäverna a, b, c och d redan var i ganska vanlig användning för andra ändamål, och e var den första "fria" bokstaven. Det är också anmärkningsvärt att bokstaven e är den första bokstaven i efternamnet Euler.
Men i vilket fall som helst, att säga att talet e på något sätt relaterar till universums och naturens universella lagar är helt enkelt absurt. Detta nummer, genom själva konceptet, var ursprungligen knutet till det kredit- och finansiella monetära systemet, och i synnerhet genom detta nummer (men inte bara) påverkade kredit- och finanssystemets ideologi indirekt bildandet och utvecklingen av all annan matematik, och genom det alla andra vetenskaper (trots allt, utan undantag, vetenskapen beräknar något med hjälp av matematikens regler och tillvägagångssätt). Talet e spelar en viktig roll i differential- och integralkalkyl, som genom det faktiskt också hänger ihop med ideologin och filosofin att maximera ränteintäkter (man kan till och med säga att det hänger ihop undermedvetet). Hur är den naturliga logaritmen relaterad? Att etablera e som en konstant (tillsammans med allt annat) ledde till bildandet av implicita samband i tänkandet, enligt vilka all existerande matematik helt enkelt inte kan existera isolerat från det monetära systemet! Och i detta ljus är det inte alls förvånande att de gamla slaverna (och inte bara dem) klarade sig perfekt utan konstanter, irrationella och transcendentala tal, och även utan siffror och siffror i allmänhet (bokstäver fungerade som siffror i antiken), annan logik, olika tänkande i systemet i avsaknad av pengar (och därför allt som är kopplat till det) gör allt ovanstående helt enkelt onödigt.
Att beskriva e som "en konstant ungefär lika med 2,71828..." är som att kalla pi "ett irrationellt tal ungefär lika med 3,1415...". Detta är utan tvekan sant, men poängen undviker oss fortfarande.
Pi är förhållandet mellan omkretsen och diametern, samma för alla cirklar. Det är en grundläggande proportion som är gemensam för alla cirklar och är därför involverad i att beräkna omkrets, area, volym och ytarea för cirklar, sfärer, cylindrar, etc. Pi visar att alla cirklar är relaterade, för att inte tala om de trigonometriska funktionerna härledda från cirklar (sinus, cosinus, tangent).
Siffran e är den grundläggande tillväxtkvoten för alla kontinuerligt växande processer. E-talet låter dig ta en enkel tillväxttakt (där skillnaden bara är synlig i slutet av året) och beräkna komponenterna i denna indikator, normal tillväxt, där allt växer lite för varje nanosekund (eller ännu snabbare) Mer.
Siffran e är involverad i både exponentiella och konstanta tillväxtsystem: befolkning, radioaktivt sönderfall, procentuell beräkning och många, många andra. Även stegsystem som inte växer enhetligt kan approximeras med siffran e.
Precis som vilket tal som helst kan ses som en "skalad" version av 1 (basenheten), kan vilken cirkel som helst ses som en "skalad" version av enhetscirkeln (med radie 1). Och vilken tillväxtfaktor som helst kan ses som en "skalad" version av e ("enhetstillväxtfaktorn").
Så talet e är inte ett slumptal taget slumpmässigt. Siffran e förkroppsligar idén att alla system som ständigt växer är skalade versioner av samma mått.
Begreppet exponentiell tillväxt
Låt oss börja med att titta på det grundläggande systemet som dubbel under en viss tid. Till exempel:
- Bakterier delar sig och "dubblar" i antal var 24:e timme
- Vi får dubbelt så många nudlar om vi bryter dem på mitten
- Dina pengar fördubblas varje år om du gör 100 % vinst (tur!)
Och det ser ut ungefär så här:
Att dividera med två eller dubbla är ett mycket enkelt framsteg. Naturligtvis kan vi tredubbla eller fyrdubbla, men fördubbling är mer praktiskt för förklaring.
Matematiskt, om vi har x divisioner, slutar vi med 2^x gånger mer bra än vi började med. Om bara 1 partition görs får vi 2^1 gånger mer. Om det finns 4 partitioner får vi 2^4=16 delar. Den allmänna formeln ser ut så här:
höjd= 2 x
En fördubbling är med andra ord en 100-procentig ökning. Vi kan skriva om denna formel så här:
höjd= (1+100%) x
Detta är samma likhet, vi har bara delat upp "2" i dess beståndsdelar, vilket i huvudsak är detta nummer: initialvärdet (1) plus 100%. Smart, eller hur?
Naturligtvis kan vi ersätta vilket annat tal som helst (50%, 25%, 200%) istället för 100% och få tillväxtformeln för denna nya koefficient. Den allmänna formeln för x perioder av tidsserien kommer att vara:
höjd = (1+tillväxt) x
Detta betyder helt enkelt att vi använder avkastningsgraden, (1 + vinst), "x" gånger i rad.
Låt oss ta en närmare titt
Vår formel antar att tillväxt sker i diskreta steg. Våra bakterier väntar och väntar, och sedan bam!, och i sista minuten fördubblas de i antal. Vår vinst på ränta på insättningen dyker magiskt upp exakt efter 1 år. Baserat på formeln som skrivits ovan växer vinsten i steg. Gröna prickar dyker upp plötsligt.
Men världen är inte alltid så. Om vi zoomar in kan vi se att våra bakterievänner hela tiden delar sig:
Den gröna karlen uppstår inte ur ingenting: han växer långsamt ur den blå föräldern. Efter 1 tidsperiod (24 timmar i vårt fall) är den gröna vännen redan fullt mogen. Efter att ha mognat blir han en fullfjädrad blå medlem av flocken och kan själv skapa nya gröna celler.
Kommer denna information att förändra vår ekvation på något sätt?
Nej. När det gäller bakterier kan halvformade gröna celler fortfarande inte göra någonting förrän de växer upp och separerar helt från sina blå föräldrar. Så ekvationen är korrekt.
Innan vi introducerar begreppet naturlig logaritm, låt oss överväga konceptet med ett konstant tal $e$.
Nummer $e$
Definition 1
Nummer $e$är en matematisk konstant som är ett transcendentalt tal och är lika med $e\approx 2,718281828459045\ldots$.
Definition 2
Transcendentär ett tal som inte är roten till ett polynom med heltalskoefficienter.
Anteckning 1
Den sista formeln beskriver andra underbara gränsen.
Talet e kallas också Euler-nummer, och ibland Napier nummer.
Anteckning 2
För att komma ihåg de första siffrorna i talet $e$ används ofta följande uttryck: "$2$, $7$, två gånger Leo Tolstoy". Naturligtvis, för att kunna använda det, är det nödvändigt att komma ihåg att Leo Tolstoy föddes i $1828$. Det är dessa siffror som upprepas två gånger i värdet av talet $e$ efter heltalsdelen $2$ och decimaldelen $7$.
Vi började fundera på begreppet talet $e$ när vi studerade den naturliga logaritmen just för att det ligger i basen av logaritmen $\log_(e)a$, som brukar kallas naturlig och skriv det i formen $\ln a$.
Naturlig logaritm
Ofta, i beräkningar, används logaritmer, vars bas är talet $е$.
Definition 4
En logaritm med basen $e$ kallas naturlig.
De där. den naturliga logaritmen kan betecknas som $\log_(e)a$, men inom matematiken är det vanligt att använda beteckningen $\ln a$.
Egenskaper för den naturliga logaritmen
Därför att logaritmen till valfri enhetsbas är lika med $0$, då är den naturliga logaritmen för enhet lika med $0$:
Den naturliga logaritmen för talet $е$ är lika med ett:
Den naturliga logaritmen av produkten av två tal är lika med summan av de naturliga logaritmerna för dessa tal:
$\ln (ab)=\ln a+\ln b$.
Den naturliga logaritmen för kvoten av två tal är lika med skillnaden mellan de naturliga logaritmerna för dessa tal:
$\ln\frac(a)(b)=\ln a-\ln b$.
Den naturliga logaritmen av en potens av ett tal kan representeras som produkten av exponenten och den naturliga logaritmen av det sublogaritmiska talet:
$\ln a^s=s \cdot \ln a$.
Exempel 1
Förenkla uttrycket $\frac(2 \ln 4e-\ln 16)(\ln 5e-\frac(1)(2) \ln 25)$.
Lösning.
Låt oss tillämpa egenskapen för produktlogaritmen på den första logaritmen i täljaren och nämnaren, och egenskapen för potenslogaritmen på den andra logaritmen för täljaren och nämnaren:
$\frac(2 \ln 4e-\ln16)(\ln 5e-\frac(1)(2) \ln 25)=\frac(2(\ln 4+\ln e) -\ln 4^2)(\ln5+\lne-\frac(1)(2) \ln 5^2)=$
Låt oss öppna parenteserna och presentera liknande termer, och även tillämpa egenskapen $\ln e=1$:
$=\frac(2 \ln 4+2-2 \ln 4)(\ln 5+1-\frac(1)(2) \cdot 2 \ln 5)=\frac(2)( \ln 5+1-\ln 5)=2$.
Svar: $\frac(2 \ln 4e-\ln 16)(\ln 5e-\frac(1)(2) \ln 25)=2$.
Exempel 2
Hitta värdet på uttrycket $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)$.
Lösning.
Låt oss tillämpa formeln för summan av logaritmer:
$\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=\ln 2e^2 \cdot \frac(1)(2e)=\ln e=1$.
Svar: $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=1$.
Exempel 3
Beräkna värdet på det logaritmiska uttrycket $2 \lg 0.1+3 \ln e^5$.
Lösning.
Låt oss tillämpa egenskapen för en potenss logaritm:
$2 \lg 0.1+3 \ln e^5=2 \lg 10^(-1)+3 \cdot 5 \ln e=-2 \lg 10+15 \ln e=-2+ 15= $13.
Svar: $2 \lg 0,1+3 \ln e^5=13$.
Exempel 4
Förenkla det logaritmiska uttrycket $\ln \frac(1)(8)-3 \ln 4$.
$3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln 27=3 \ln (\frac(3)(e))^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \ frac(3)(e)-2 \cdot 3 \ln 3=6 \ln \frac(3)(e)-6 \ln 3=$
Vi tillämpar på den första logaritmen egenskapen för logaritmen för kvoten:
$=6(\ln 3-\ln e)-6 \ln 3=$
Låt oss öppna parenteserna och presentera liknande termer:
$=6 \ln 3-6 \ln e-6 \ln 3=-6$.
Svar: $3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln 27=-6$.
Var och en av funktionerna E testar det angivna värdet och returnerar TRUE eller FALSE beroende på resultatet. Till exempel funktionen TÖMMA returnerar det booleska värdet TRUE om värdet som testas är en referens till en tom cell; annars returneras det booleska värdet FALSE.
Funktioner E används för att få information om ett värde innan man utför en beräkning eller annan åtgärd på det. För att till exempel utföra en annan åtgärd när ett fel uppstår kan du använda funktionen FEL i kombination med funktionen OM:
= OM( FEL(A1); "Ett fel har uppstått."; A1*2)
Denna formel söker efter ett fel i cell A1. När ett fel uppstår, funktionen OM returnerar meddelandet "Ett fel inträffade." Om det inte finns några fel, funktionen OM beräknar produkten A1*2.
Syntax
EMPTY(värde)
EOS(värde)
ERROR(värde)
ELOGISK(värde)
UNM(värde)
NETTEXT(värde)
ETEXT(värde)
funktionsargument E beskrivs nedan.
menande Krävs argument. Värdet som kontrolleras. Värdet på detta argument kan vara en tom cell, ett felvärde, ett booleskt värde, text, ett tal, en referens till något av de listade objekten eller namnet på ett sådant objekt.
Fungera | Returnerar TRUE om |
|---|---|
|
Argumentet värde hänvisar till en tom cell |
|
|
Argumentet värde hänvisar till något annat felvärde än #N/A |
|
|
Värdeargumentet hänvisar till alla felvärden (#N/A, #VALUE!, #REF!, #DIV/0!, #NUM!, #NAME? eller #EMPTY!) |
|
|
Argumentet värde hänvisar till ett booleskt värde |
|
|
Värdeargumentet hänvisar till #N/A-felvärdet (värde ej tillgängligt) |
|
|
ENTEXT |
Argumentet värde hänvisar till alla element som inte är text. (Observera att funktionen returnerar TRUE om argumentet hänvisar till en tom cell.) |
|
Argumentet värde hänvisar till ett tal |
|
|
Värdeargumentet hänvisar till texten |
Anteckningar
Argument i funktioner E inte konverteras. Alla siffror inom citattecken behandlas som text. Till exempel, i de flesta andra funktioner som kräver ett numeriskt argument, textvärde"19" konverterar till talet 19. Men i formeln ISNUMBER("19") detta värde konverteras inte från text till nummer, och funktionen ISNUMBER returnerar FALSK.
Använda funktioner E Det är bekvämt att kontrollera resultaten av beräkningar i formler. Att kombinera dessa funktioner med funktionen OM, kan du hitta fel i formler (se exempel nedan).
Exempel
Exempel 1
Kopiera exempeldata från följande tabell och klistra in den i cell A1 i ett nytt Excel-kalkylblad. För att visa resultaten av formler, välj dem och tryck på F2 och tryck sedan på Retur. Ändra vid behov bredden på kolumnerna för att se alla data.
Kopiera exempeldata från tabellen nedan och klistra in den i cell A1 i ett nytt Excel-kalkylblad. För att visa resultaten av formler, välj dem och tryck på F2 och tryck sedan på Retur. Ändra vid behov bredden på kolumnerna för att se alla data.
Data |
||
|---|---|---|
|
Formel |
Beskrivning |
Resultat |
|
TOM(A2) |
Kontrollerar om cell C2 är tom |
|
|
FEL(A4) |
Kontrollerar om värdet i cell A4 (#REF!) är ett felvärde |
|
|
Kontrollerar om värdet i cell A4 (#REF!) är felvärdet #N/A |
||
|
Kontrollerar om värdet i cell A6 (#N/A) är felvärdet #N/A |
||
|
Kontrollerar om värdet i cell A6 (#N/A) är ett felvärde |
||
|
ISNUMMER(A5) |
Testar om värdet i cell A5 (330.92) är ett tal |
|
|
ETEXT(A3) |
Kontrollerar om värdet i cell A3 ("Region1") är text |
Exponenten betecknas som , eller .
Nummer e
Grunden för exponentgraden är nummer e. Detta är ett irrationellt tal. Det är ungefär lika
e ≈ 2,718281828459045...
Antalet e bestäms genom sekvensens gräns. Detta är den så kallade andra underbara gränsen:
.
Siffran e kan också representeras som en serie:
.
Exponentiell graf
Exponentiell graf, y = e x .Grafen visar exponentialen e till en viss grad X.
y (x) = e x
Grafen visar att exponenten ökar monotont.
Formler
Grundformlerna är desamma som för exponentialfunktionen med basen e.
;
;
;
Uttryck av en exponentiell funktion med en godtycklig bas av grad a till en exponential:
.
Privata värderingar
Låt y (x) = e x. Sedan
.
Exponentegenskaper
Exponenten har egenskaperna hos en exponentialfunktion med en potensbas e > 1 .
Domän, uppsättning värden
Exponent y (x) = e x definieras för alla x.
Dess definitionsdomän:
- ∞ < x + ∞
.
Dess många betydelser:
0
< y < + ∞
.
Extremer, ökar, minskar
Exponentialen är en monotont ökande funktion, så den har inga extrema. Dess huvudsakliga egenskaper presenteras i tabellen.
Omvänd funktion
Inversen av exponenten är den naturliga logaritmen.
;
.
Derivat av exponenten
Derivat e till en viss grad X lika med e till en viss grad X
:
.
Derivata av n:e ordningen:
.
Härleda formler > > >
Väsentlig
Komplexa tal
Operationer med komplexa tal utförs med hjälp av Eulers formler:
,
var är den imaginära enheten:
.
Uttryck genom hyperboliska funktioner
;
;
.
Uttryck som använder trigonometriska funktioner
;
;
;
.
Power serie expansion
Referenser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbok i matematik för ingenjörer och studenter, "Lan", 2009.
