Konveksne množice in njihove lastnosti. Za preučevanje lastnosti konveksne množice je potrebno podati strogo definicijo konveksne množice. Prej je bila konveksna množica definirana kot množica, ki skupaj s katerima koli dvema točkama vsebuje odsek, ki ju povezuje.

Posplošitev koncepta segmenta za več točk je njihova konveksna linearna kombinacija.

Točka X se imenuje konveksna linearna kombinacija točke, če so izpolnjeni pogoji

Niz točk je konveksen,če skupaj s poljubnima dvema svojima točkama vsebuje njuno poljubno konveksno, linearno kombinacijo.

Dokažemo lahko naslednji izrek o predstavitvi konveksnega poliedra.

Izrek 1.1. Konveksni n-dimenzionalni polieder je konveksna linearna kombinacija svojih kotnih točk.

Iz izreka 1.1 sledi, da je konveksni polieder generiran s svojimi vogalnimi točkami ali oglišči: segment z dvema točkama, trikotnik s tremi, tetraeder s štirimi točkami itd. Hkrati pa konveksna poliedrska regija, ki je neomejena množica, ni enolično definirana s svojimi kotnimi točkami: nobene njene točke ni mogoče predstaviti kot konveksno linearno kombinacijo kotnih točk.

Lastnosti problema linearnega programiranja. Prej so bile obravnavane različne oblike problema linearnega programiranja in dokazano je bilo, da je vsak problem linearnega programiranja mogoče predstaviti kot splošen ali kanoničen problem.

Za utemeljitev lastnosti problema linearnega programiranja in metod za njegovo rešitev je priporočljivo upoštevati še dve vrsti zapisov kanoničnega problema.

Obrazec za snemanje matrice:

Tukaj Z– vrstična matrika, A– sistemska matrika, X– matrični stolpec spremenljivk, IN– matrika-stolpec prostih članov:

Vektorska oblika zapisa:

kjer vektorji ustrezajo stolpcem koeficientov za neznanke.

Formulirano je bilo zgoraj, vendar ni dokazano v splošni pogled naslednji izrek.

Izrek 1.2. Množica vseh izvedljivih rešitev sistema omejitev problema linearnega programiranja je konveksna.

Dokaz: Pustiti - dve izvedljivi rešitvi PLP, podani v matrični obliki. Potem . Razmislimo o konveksni linearni kombinaciji rešitev, tj.

in pokaži, da je tudi dopustna rešitev sistema (1.3). Prav zares

tj. rešitev X izpolnjuje sistem (1.3). Toda od , torej X>0, tj. rešitev izpolnjuje pogoj nenegativnosti.

Dokazano je torej, da je množica vseh izvedljivih rešitev problema linearnega programiranja konveksna oziroma natančneje predstavlja konveksni polieder ali konveksno poliedrsko regijo, ki jo bomo v nadaljevanju imenovali z enim izrazom - polieder rešitev.

Odgovor na vprašanje, na kateri točki poliedra rešitev je možen optimalna rešitev problem linearnega programiranja je podan v naslednjem temeljnem izreku.

Izrek 1.3. Če ima problem linearnega programiranja optimalno rešitev, dobi linearna funkcija največjo vrednost na eni od kotnih točk poliedra rešitve. Če ima linearna funkcija največjo vrednost na več kot eni vogalni točki, jo dobi na kateri koli točki, ki je konveksna linearna kombinacija teh točk.

Dokaz: Predpostavili bomo, da je polieder rešitve omejen. Označimo njene kotne točke z , in optimalna rešitev je skozi X*. Potem F(X*)³ F(X) za vse točke X polieder rešitev. če X* je kotna točka, potem je prvi del izreka dokazan.

Pretvarjajmo se, da X* ni vogalna točka, torej glede na izrek 1.1 X* lahko predstavimo kot konveksno linearno kombinacijo vogalnih točk raztopinskega poliedra, tj.

Ker F(X) je linearna funkcija, dobimo

Pri tej dekompoziciji med vrednostmi izberemo največjo. Naj ustreza kotni točki Xk(1 £ k£ R); označimo z M, tiste. . Zamenjajmo vsako vrednost v izrazu (1.5) s to največjo vrednostjo M. Potem

Po predpostavki X* je torej po eni strani optimalna rešitev, po drugi strani pa je dokazano, da
F(X*)£ M, torej, , kje Xk– kotna točka. Torej obstaja kotna točka Xk, v katerem ima linearna funkcija največjo vrednost.

Za dokaz drugega dela izreka predpostavimo, da ima ciljna funkcija največjo vrednost v več kot eni vogalni točki, na primer v točkah , Kje , Potem

Pustiti X– konveksna linearna kombinacija teh kotnih točk, tj.

V tem primeru glede na to, da funkcija F(X)– linearno, dobimo

tiste. linearna funkcija F dobi največjo vrednost na poljubni točki X, ki je konveksna linearna kombinacija kotnih točk.

Komentiraj. Zahteva, da je polieder rešitve omejen v izreku, je bistvena, saj v primeru neomejenega poliedrskega območja, kot je navedeno v izreku 1.1, vsake točke takega območja ni mogoče predstaviti s konveksno linearno kombinacijo njegovih kotnih točk.

Dokazani izrek je temeljni, saj nakazuje temeljni način reševanja problemov linearnega programiranja. V skladu s tem izrekom je namesto preučevanja neskončne množice izvedljivih rešitev, da bi med njimi našli želeno optimalno rešitev, potrebno preučevati samo končno število kotnih točk poliedra rešitve.

Naslednji izrek je posvečen analitični metodi iskanja kotnih točk.

Izrek 1.4. Vsaki dopustni osnovni rešitvi problema linearnega programiranja ustreza vogalna točka rešilnega poliedra in obratno, vsaki vogalni točki rešitvenega poliedra ustreza dopustna bazična rešitev.

Dokaz: Naj bo dopustna osnovna rešitev sistema omejitev VŽU (1.4), v kateri je prvi T komponenta so glavne spremenljivke in ostalo p - t komponenta – ​​neglavne spremenljivke enake nič v osnovni rešitvi (če temu ni tako, potem lahko ustrezne spremenljivke preštevilčimo). Pokažimo to X

Predpostavimo nasprotno, tj. Kaj X ni kotna točka. Nato pokažite X je lahko predstavljena z notranjo točko segmenta, ki povezuje dva različna segmenta, ki ne sovpadata z X, točke

z drugimi besedami, konveksna linearna kombinacija točk polieder rešitev, tj.

kjer (predpostavljamo, da , ker sicer točka X sovpada s točko X 1 oz X 2).

Zapišimo vektorsko enakost (1.6) v koordinatni obliki:

Ker vse spremenljivke in koeficienti so nenegativni, potem od zadnjega p-t enakosti sledi, da , tj. v odločitvah X 1 , X 2 in X vrednosti sistema enačb (1.4). p - t komponente so v tem primeru enake nič. Te komponente se lahko štejejo za vrednosti neprimarnih spremenljivk. Toda vrednosti neosnovnih spremenljivk enolično določajo vrednosti glavnih, zato

Torej vse p komponento v rešitvah X 1 , X 2 in X sovpadajo in zato točke X 1 in X 2 združiti, kar je v nasprotju s predpostavko. torej X– kotna točka poliedra rešitve.

Dokažimo obratno trditev. Naj bo vogalna točka poliedra rešitve in njegova prva T koordinate so pozitivne. Pokažimo to X– dopustna osnovna rešitev. ni kotna točka, kar je v nasprotju s pogojem. Zato je naša predpostavka napačna, tj. vektorja sta linearno neodvisna in X je dopustna osnovna rešitev problema (1.4).

Pomembna posledica izhaja neposredno iz izrekov 1.3 in 1.4: če ima problem linearnega programiranja optimalno rešitev, potem sovpada, glede na vsaj, z eno svojih dopustnih osnovnih rešitev.

Torej, optimalno linearna funkcija Probleme linearnega programiranja je treba iskati med končnim številom njegovih izvedljivih osnovnih rešitev.

Oglejmo si glavni problem linearnega programiranja (LPLP): poiščite nenegativne vrednosti spremenljivk x1, x2, ..., xn, ki izpolnjujejo m pogojev - enakosti

in maksimiranje linearne funkcije teh spremenljivk

Zaradi poenostavitve predpostavimo, da so vsi pogoji (1) linearno neodvisni (r=m), in svoje sklepanje bomo vodili pod to predpostavko.

Dopustno rešitev OLP imenujemo vsako množico nenegativnih vrednosti x1, x2, ..., xn, ki izpolnjuje pogoje (1), optimalno pa tisto od dopustnih rešitev, ki maksimizira funkcijo (2). Najti moramo optimalno rešitev.

Ali ima ta problem vedno rešitev? Ne ne vedno.

ZLP je nerešljiv (nima optimalne rešitve):

Zaradi nekompatibilnosti sistema omejevanja. Tisti. sistem nima ene same rešitve, kot je prikazano na sliki 1.

Slika 1 - Nekonsistentnost sistema omejitev

Zaradi neomejenosti ciljne funkcije na množici rešitev. Z drugimi besedami, pri reševanju LLP pri max se vrednost ciljne funkcije nagiba k neskončnosti, v primeru LLP pri min pa k minus neskončnosti, kot je prikazano na sliki 2.

Slika 2 - Neomejenost ciljne funkcije na množici rešitev

ZLP je rešljiv:

Komplet rešitev je sestavljen iz ene same točke. Prav tako je optimalno, kot je prikazano na sliki 3.

Slika 3 - Množica rešitev je sestavljena iz ene točke

Edina optimalna rešitev ZLP. Ravna črta, ki ustreza funkciji cilja na mejni poziciji, seka množico rešitev v eni točki, kot je prikazano na sliki 4.

Slika 4 - Edina optimalna rešitev

Optimalna rešitev ZLP ni edinstvena. Vektor N je pravokoten na eno od strani množice rešitev. V tem primeru je katera koli točka na odseku AB optimalna, kot je prikazano na sliki 5.

Slika 5 - Optimalna rešitev ni edinstvena

Reševanje problemov linearnega programiranja z uporabo simpleks metode

Simpleksna metoda je algoritem za reševanje problema LP, ki izvaja oštevilčenje vogalnih točk območja izvedljivih rešitev v smeri izboljšanja vrednosti ciljne funkcije C. Simpleksna metoda je glavna v linearnem programiranju.

Uporaba te metode v diplomskem projektu za reševanje problema LP je posledica naslednjih dejavnikov:

Metoda je univerzalna, uporabna za vsak problem linearnega programiranja v kanonični obliki;

Algoritemska narava metode omogoča njeno uspešno programiranje in implementacijo s tehničnimi sredstvi.

Ekstrem ciljne funkcije je vedno dosežen na vogalnih točkah območja izvedljivih rešitev. Najprej se najde neka izvedljiva izhodiščna (referenčna) rešitev, tj. katero koli kotno točko območja izvedljivih rešitev. Postopek metode vam omogoča, da odgovorite na vprašanje, ali je ta rešitev optimalna. Če da, potem je problem rešen. Če je »ne«, se izvede prehod na sosednjo kotno točko območja možnih rešitev, kjer se vrednost ciljne funkcije izboljša. Postopek naštevanja vogalnih točk območja izvedljivih rešitev se ponavlja, dokler ne najdemo točke, ki ustreza ekstremu ciljne funkcije.

Ker je število oglišč poliedra omejeno, je v končnem številu korakov zagotovljeno najti optimalno vrednost oziroma ugotoviti, da je problem nerešljiv.

Sistem omejitev je tukaj sistem linearnih enačb, v katerih je število neznank večja količina enačbe. Če je rang sistema enak, potem je mogoče izbrati neznanke, ki so izražene s preostalimi neznankami. Zagotovo se običajno predpostavlja, da so izbrane prve zaporedne neznanke. Te neznanke (spremenljivke) imenujemo osnovne, ostale so proste. Število osnovnih spremenljivk je vedno enako številu omejitev.

Z dodeljevanjem določenih vrednosti prostim spremenljivkam in izračunavanjem vrednosti osnovnih (izraženih s prostimi) dobimo različne rešitve sistema omejitev. Posebej zanimive so rešitve, dobljene v primeru, ko so proste spremenljivke enake nič. Takšne rešitve imenujemo osnovne. Osnovna rešitev se imenuje dopustna osnovna rešitev ali podporna rešitev, če so vrednosti njenih spremenljivk nenegativne. Ustreza vsem omejitvam.

Ob sistemu omejitev se najde vsaka osnovna rešitev za ta sistem. Če se prva najdena osnovna rešitev izkaže za izvedljivo, se preveri njena optimalnost. Če ni optimalna, se izvede prehod na drugo izvedljivo osnovno rešitev.

Simpleksna metoda zagotavlja, da se bo s to novo rešitvijo linearna oblika, če ne bo dosegla optimuma, približala. Enako storijo z novo izvedljivo osnovno rešitvijo, dokler ne najdejo rešitve, ki je optimalna.

Če se prva najdena osnovna rešitev izkaže za nesprejemljivo, se s pomočjo simpleksne metode izvede prehod na druge osnovne rešitve, dokler se na nekem koraku rešitve osnovna rešitev ne izkaže za sprejemljivo ali pa se lahko sklepa o nedoslednosti. sistema omejitev.

Tako je uporaba simpleksne metode razdeljena na dve stopnji:

Iskanje sprejemljive osnovne rešitve sistema omejitev ali ugotavljanje dejstva njegove nedoslednosti;

Iskanje optimalne rešitve v primeru kompatibilnosti sistema omejitev.

Algoritem za prehod na naslednjo izvedljivo rešitev je naslednji:

V vrstici koeficientov ciljne funkcije je pri iskanju maksimuma izbrano najmanjše negativno število. Zaporedna številka koeficienta je . Če tega ni, je prvotna osnovna rešitev optimalna;

Med elementi matrike s številko stolpca (ta stolpec imenujemo vodilni ali razreševalni stolpec) so izbrani pozitivni elementi. Če jih ni, je ciljna funkcija neomejena v območju dovoljenih vrednosti spremenljivk in problem nima rešitev;

Med izbranimi elementi vodilnega stolpca matrike je izbran tisti, pri katerem je vrednost razmerja ustreznega prostega člena do tega elementa minimalna. Ta element se imenuje vodilni, vrstica, v kateri se nahaja, pa se imenuje vodilni;

Osnovno spremenljivko, ki ustreza vrstici vodilnega elementa, moramo prenesti v kategorijo prostih, prosto spremenljivko, ki ustreza stolpcu vodilnega elementa, pa vpisati v število osnovnih. Konstruirana je nova rešitev, ki vsebuje novo število osnovnih spremenljivk.

Pogoj za optimalnost načrta pri maksimalnem reševanju problema: med koeficienti ciljne funkcije ni negativnih elementov.

Izvedena je optimizacija linearnih modelov v MS Excelu simpleksna metoda- namensko iskanje referenčnih rešitev problema linearnega programiranja. Algoritem metode simpleksa se zmanjša na konstruiranje konveksnega poliedra v večdimenzionalnem prostoru in nato oštevilčenje njegovih oglišč, da se najde skrajna vrednost objektivna funkcija.

Učinkovita sredstva linearno programiranje predstavljajo osnovo za celoštevilsko in nelinearno programiranje za reševanje kompleksnejših problemov optimizacije. Te metode pa zahtevajo daljši računski čas.

V naslednjih predavanjih bodo podrobneje obravnavani primeri reševanja tipičnih optimizacijskih problemov in sprejemanja upravljavskih odločitev z uporabo dodatka MS Excel »Išči rešitev«. Naloge, ki jih to orodje najbolje reši, imajo tri glavne lastnosti:

• obstaja en sam cilj, funkcionalno povezan z drugimi parametri sistema, ki ga je treba optimizirati (najti njegovo največjo, minimalno ali določeno številčno vrednost);
• obstajajo omejitve, običajno izražene v obliki neenakosti (na primer količina uporabljenih surovin ne sme preseči zaloge surovin v skladišču ali čas delovanja stroja na dan ne sme biti daljši od 24 ur minus vzdrževanje čas);
• obstaja niz vrednosti vhodnih spremenljivk, ki vplivajo na optimizirane vrednosti in omejitve.

Parametri nalog so omejeni na naslednje mejne indikatorje:

• število neznank – 200;
• število formularnih omejitev na neznanke – 100;
• število omejevalnih pogojev za neznanke je 400.

Algoritem za iskanje optimalnih rešitev vključuje več stopenj:

• pripravljalna dela;
• odpravljanje napak v rešitvi;
• analiza rešitve.

Zaporedje potrebnih pripravljalnih del, opravljenih pri reševanju problemov ekonomskega in matematičnega modeliranja z uporabo MS Excel, je prikazano v blokovnem diagramu na sliki 1.6.

riž. 1.6.

Od petih točk načrta pripravljalnih del je formalizacijska le peta točka. Preostalo delo zahteva ustvarjalnost – in različni ljudje se tega lahko lotijo ​​na različne načine. Naj na kratko razložimo bistvo besedila postavk načrta.

Pri postavitvi problema so znani ciljni koeficienti in normirani koeficienti. V prejšnjem primeru so bili koeficienti, ki tvorijo funkcijo cilja, vrednosti normaliziranega dobička na polico vrste ( ) in eno vrsto police ( ). Normirani koeficienti so bili normativi porabe materiala in strojnega časa na polico posamezne vrste. Matrica je izgledala takole:

Poleg tega so vrednosti virov vedno znane. V prejšnjem primeru je bila to tedenska zaloga plošč in možnost uporabe strojnega časa: , . Pogosto je treba v težavah vrednosti spremenljivk omejiti. Zato je treba določiti spodnjo in zgornjo mejo razpona njihovih sprememb.

Tako moramo v pogovornem oknu optimizacijskega programa "Išči rešitev" nastaviti naslednji ciljni algoritem:

Ciljna funkcija je enaka zmnožku vektorja želenih vrednosti spremenljivke z vektorjem ciljnih koeficientov

Normalizirani koeficienti za vektor zahtevanih vrednosti spremenljivk ne smejo presegati vrednosti danega vektorja vira

Vrednosti spremenljivk morajo biti znotraj določenega števila začetnih elementov sistema

Število začetnih elementov sistema

Število navedenih vrst virov

Razhroščevanje rešitve je potrebno, ko program prikaže sporočilo o negativnih rezultatih (slika 1.7):

riž. 1.7.

• če sprejemljiva rešitev ni dosežena, prilagodite izvorni podatkovni model;
• če ni prejet optimalna rešitev, nato pa uvedite dodatne omejitve.

Težave s programom optimalna rešitev samo za model resničnega problema in ne za rešitev problema samega. Pri izdelavi modela so bile narejene različne poenostavljene predpostavke o realnem stanju. To je omogočilo formalizacijo procesa in približno prikaz realnih kvantitativnih razmerij med sistemskimi parametri in ciljem. In če se dejanski parametri razlikujejo od tistih, vključenih v model, kako se bo rešitev spremenila? Da bi to ugotovili, se pred odločitvijo o upravljanju izvede analiza modelne rešitve.

Analiza optimalna rešitev, ki je vgrajen v program, predstavlja zadnjo stopnjo matematičnega modeliranja gospodarskih procesov. Omogoča globlje preverjanje skladnosti modela s procesom in tudi zanesljivost optimalne rešitve. Temelji na podatkih optimalna rešitev in poročila, ki so izdana v “Išči rešitev”. Vendar ne izključuje ali nadomešča tradicionalne analize načrta z ekonomskega vidika pred sprejetjem upravljavske odločitve.

Ekonomska analiza ima naslednje cilje:

• določitev možnih posledic v sistemu kot celoti in njegovih elementih ob spremembi parametra modela;
• ocena stabilnosti optimalnega načrta na spremembe posameznih parametrov problema: če ta ni stabilen na spremembe večine parametrov, je jamstvo za njegovo izvedbo in doseganje izračunanega optimuma zmanjšano;
• izvedba variantnih izračunov in pridobivanje novih načrtov brez ponovnega reševanja problema iz prvotne osnove s prilagoditvami.

Možne metode analize so predstavljene v diagramu na sliki 1.8.

Po pridobitvi optimalne rešitve se le-ta analizira na podlagi prejetih poročil. Analiza stabilnosti- študija vpliva sprememb posameznih parametrov modela na kazalnike optimalne rešitve. Analiza meje- analiza dopustnih sprememb optimalnega načrta, pri katerih načrt ostaja optimalen.

Glede na odgovornost sprejemanja gospodarskih odločitev vodstva, mora vodja skrbeti, da je dobljeni optimalen načrt edini pravilen. Za to je na podlagi modela potrebno pridobiti odgovore na naslednja vprašanja:

• "kaj se zgodi, če..."
• "kaj je potrebno za ..."

Pokliče se analiza za odgovor na prvo vprašanje analiza variant; se imenuje analiza za odgovor na drugo vprašanje rešitve po meri.

Analiza variant je lahko naslednjih vrst:

• Parametrični- analiza, ki je sestavljena iz reševanja problema za različne vrednosti določenega parametra.
• Strukturna analiza- ko se išče rešitev optimizacijskega problema pod drugačno strukturo omejitev.
• Večkriterijska analiza je rešitev problema z uporabo različnih ciljnih funkcij.
• Analiza s pogojnimi začetnimi podatki- ko so začetni podatki, uporabljeni za rešitev problema, odvisni od izpolnjevanja dodatnih pogojev.

Po opravljeni analizi je treba rezultate grafično prikazati in sestaviti poročilo s priporočili za odločanje ob upoštevanju konkretne gospodarske situacije.

Trenutno izobraževalni program specialnosti, povezanih z ekonomijo, financami in upravljanjem, vključuje disciplino, imenovano "Metode optimalnih odločitev". V okviru te discipline študenti preučujejo matematično plat optimizacije, operacijske raziskave, odločanje in modeliranje. glavna značilnost To disciplino določa skupni študij matematičnih metod z njihovo uporabo pri reševanju ekonomskih problemov.

Optimizacijske naloge: splošne informacije

Če upoštevamo splošni primer, potem je smisel optimizacijskega problema najti tako imenovano optimalno rešitev, ki maksimizira (minimizira) ciljno funkcijo pod določenimi omejitvenimi pogoji.

Glede na lastnosti funkcij lahko optimizacijske probleme razdelimo na dve vrsti:

• problem linearnega programiranja (vse funkcije so linearne);
• problem nelinearnega programiranja (vsaj ena od funkcij ni linearna).

Posebni primeri optimizacijskih problemov so problemi frakcijsko-linearnega, dinamičnega in stohastičnega programiranja.

Najbolj raziskani problemi optimizacije so problemi linearnega programiranja (LPP), katerih rešitve zavzemajo le celoštevilske vrednosti.

FFS: formulacija, klasifikacija

Problem linearnega programiranja v splošnem primeru je sestavljen iz iskanja minimuma (maksimuma) linearne funkcije pod določenimi linearnimi omejitvami.

Splošni ZLP je problem oblike

pod omejitvami

kje so spremenljivke, so podana realna števila, so ciljna funkcija, so načrt problema, (*)-(***) so omejitve.

Pomembna značilnost ZLP je, da je ekstrem ciljne funkcije dosežen na meji območja izvedljivih rešitev.

Praktične ekonomske aplikacije metod optimalne rešitve najdemo pri reševanju problemov naslednjih vrst:

• težave z mešanicami (tj. načrtovanje sestave izdelkov);
• problemi optimalne alokacije virov pri načrtovanju proizvodnje;

PAP: primeri

Težava z mešanico

Rešitev problema zmesi je v iskanju najcenejšega sklopa, sestavljenega iz določenih vhodnih snovi, ki zagotavljajo zmes z želenimi lastnostmi.

Težava z dodeljevanjem virov

Podjetje proizvaja n različne izdelke, katerih izdelava zahteva m različne vrste virov. Zaloge izrabljenih virov so omejene in znašajo oz b 1, b 2,…, b m c.u. Poleg tega so znani tehnološki koeficienti a ij, ki kažejo, koliko enot jaz-ti vir je potreben za proizvodnjo ene enote izdelka j-th vrsta (). Dobiček, ki ga podjetje prejme pri prodaji izdelka j-th vrsta, znaša c j denarne enote Treba je sestaviti načrt za proizvodnjo izdelkov, katerih dobiček podjetja med izvajanjem bo največji.

Težave, ki vključujejo mešanice in dodeljevanje virov, so pogosto zapisane v obliki tabele.

Viri	Potrebe			Rezerve
	B 1	…	Bn
A 1				b 1
…				…
Am				b m
Dobiček	c 1	…	c n

Težave mešanice in dodeljevanja virov je mogoče rešiti na več načinov:

• grafična metoda (v primeru majhnega števila spremenljivk v matematični model);
• Simpleksna metoda (če je število spremenljivk v matematičnem modelu več kot dve).

Transportni problem se nanaša na razred nalog, ki imajo določeno specifično strukturo. Najenostavnejši transportni problem je problem prevoza izdelka do destinacije od odhodnih točk na minimalni stroški za prevoz vseh izdelkov.

Zaradi jasnosti in lažjega dojemanja je stanje transportnega problema običajno zapisano v naslednji tabeli:

Na splošno reševanje transportnega problema poteka v več fazah:

• I. faza: izdelava začetnega referenčnega načrta;
• Faza II: preverjanje optimalnosti referenčnega načrta;
• Faza III: pojasnitev referenčnega načrta, če ta ni optimalen.

Obstaja več metod za pridobitev začetnega referenčnega načrta, na primer metoda severozahodnega vogala, metoda Vogla in metoda minimalnih stroškov.

Optimalnost načrta se preveri s potencialno metodo:

- za zasedene celice,
- za nezasedene celice.

Če načrt ni optimalen, se zgradi cikel in prevoz se prerazporedi.

Zaključek

V okviru enega članka ni mogoče zajeti celotne teorije in prakse metod optimalne rešitve, zato so upoštevane le nekatere točke, ki nam omogočajo, da podamo splošno predstavo o tej disciplini, problemih in metodah za njihovo reševanje.

Poleg tega je dobro omeniti, da lahko za preverjanje pridobljenih rešitev optimizacijskih problemov zelo učinkovito uporabite dodatek “Solution Search” paketa MS Excel. A to je pravzaprav druga zgodba, tako kot podrobna obravnava metod za reševanje problemov optimizacije.

Tukaj je več učbenikov za preučevanje metod optimalne rešitve:

1. Bandi B. Osnove linearnega programiranja: Trans. iz angleščine – M.: Radio in komunikacije, 1989. – 176 str.
2. Kremer N.Sh. Operacijske raziskave v ekonomiji: Proc. priročnik za univerze / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trišin, M.N. Friedman; Ed. prof. N.Š. Kremer. – M.: ENOTNOST, 2005. – 407 str.

Rešitev metod optimizacije po meri

Pomagamo vam pri reševanju kakršnih koli težav z uporabo optimalnih metod reševanja. Na naši spletni strani lahko naročite rešitve težav. Navesti morate samo rok in priložiti datoteko z nalogo. vaše naročilo je brezplačno.

Linearno programiranje je veja matematike, ki preučuje metode za iskanje minimuma ali maksimuma linearne funkcije končnega števila spremenljivk, pod pogojem, da spremenljivke zadoščajo končnemu številu omejitev v obliki linearnih enačb ali linearnih neenačb.

Tako lahko splošni problem linearnega programiranja (GLP) formuliramo na naslednji način.

Poiščite vrednosti realnih spremenljivk, za katere objektivna funkcija

zavzame minimalno vrednost na množici točk, katerih koordinate izpolnjujejo sistem omejitev

Kot je znano, urejena zbirka vrednosti n spremenljivke , , … je predstavljena s točko v n-dimenzionalnem prostoru. V nadaljevanju bomo to točko označili X=( , , … ).

V matrični obliki lahko problem linearnega programiranja formuliramo na naslednji način:

, A– matriko velikosti,

Pika X=( , , … ), ki izpolnjuje vse pogoje, se imenuje veljavna točka . Množica vseh dopustnih točk se imenuje veljavno območje .

Optimalna rešitev (optimalni načrt) problem linearnega programiranja imenujemo rešitev X=( , , … ), ki pripadajo dopustnemu območju in za katere je linearna funkcija Q zavzame optimalno (največjo ali najmanjšo) vrednost.

Izrek. Množica vseh izvedljivih rešitev sistema omejitev problema linearnega programiranja je konveksna.

Množica točk se imenuje konveksen , če skupaj s poljubnima dvema svojima točkama vsebuje njuno poljubno konveksno linearno kombinacijo.

Pika X klical konveksna linearna kombinacija točke, če so izpolnjeni pogoji

Množica vseh izvedljivih rešitev problema linearnega programiranja je konveksna poliedrska regija, ki jo bomo odslej imenovali polieder rešitev .

Izrek. Če ima ZLP optimalno rešitev, potem ciljna funkcija zavzame največjo (minimalno) vrednost v enem od oglišč poliedra rešitve. Če ciljna funkcija zavzame največjo (najmanjšo) vrednost na več kot eni točki, potem zavzame to vrednost na kateri koli točki, ki je konveksna linearna kombinacija teh točk.

Med številnimi rešitvami sistema m linearne enačbe, ki opisujejo polieder rešitev, ločimo tako imenovane osnovne rešitve.

Osnovna rešitev sistema m linearne enačbe z n spremenljivkami je rešitev, v kateri so vsi n-m stranske spremenljivke so nič. V problemih linearnega programiranja se takšne rešitve imenujejo dopustne osnovne rešitve (referenčni načrti).

Izrek. Vsaki dopustni bazični rešitvi problema linearnega programiranja ustreza oglišče rešitvenega poliedra in obratno, vsakemu oglišču rešitvenega poliedra ustreza dopustna osnovna rešitev.

Iz zgornjih izrekov sledi pomembna posledica:

Če ima problem linearnega programiranja optimalno rešitev, potem ta sovpada z vsaj eno od svojih izvedljivih osnovnih rešitev.

Posledično je treba iskati optimum linearne funkcije cilja problema linearnega programiranja med končnim številom njegovih izvedljivih osnovnih rešitev.