Predavanje 1 Teorija funkcij dveh in več spremenljivk (TFNP). 1. Koncept FNP. 2. Omejitev FNP. 3. Kontinuiteta FNP. 4. Parcialni odvodi prvega reda. 5. Odvod kompleksne funkcije. 6. Izvod implicitne funkcije. 7. Izpeljanke višjega reda.

1. Koncept FNP. Naj bo množica D regija na ravnini. Opredelitev. Če je število pridruženo, potem pravijo, da je numerična funkcija D podana na množici D - domeni definicije funkcije.

Če je točka, potem je preslikava podana z dvema koordinatama, funkcijo spremenljivk 2. Graf takšne funkcije bo niz točk s koordinatami x, y, z - površina v prostoru.

Geometrijska interpretacija f(x, y). D – nek del ravnine 0 ХY z D – projekcija grafa funkcije f(x, y) na ravnino 0 ХY z f О x D x y y Graf funkcije je površina v prostoru.

2. Limita funkcije dveh spremenljivk. Naj točka. Nabor točk imenujemo tako, da je okolica točke

Opredelitev. Naj bo točka If, potem točko P imenujemo notranja točka množice D. Definicija. Če so vse točke D notranje te množice, se imenuje odprta. Opredelitev. Vsaka odprta množica, ki vsebuje točko, se imenuje njena soseska.

Opredelitev. Množica poljubnih dveh točk, ki ju je mogoče povezati z zvezno krivuljo, ki leži v tej množici, se imenuje povezana. Opredelitev. Odprta povezana množica se imenuje regija.

Naj bo funkcija v okolici točke definirana na neki (ne nujno na sami točki). Število A se imenuje limita funkcije, saj teži, če

Imenovanje. Komentiraj. Aspiracija se lahko pojavi po katerem koli zakonu in smeri, medtem ko vse mejne vrednosti obstajajo in so enake A.

Primer. Oglejmo si funkcijo Oglejmo si težnjo, ki poteka skozi t (0, 0): vzdolž ravnih črt je vrednost A odvisna od tega, kako.

3. Kontinuiteta FNP. Funkcijo imenujemo zvezna v točki, če Če je kršen vsaj eden od pogojev 1-3, je to točka diskontinuitete.

Prelomne točke je mogoče izolirati, oblikovati prelomne črte, prelomne površine. Primer. a) Prelomna točka – (izolirana) b) - prelomna črta

Opredelitev. Razlika se imenuje skupni prirastek funkcije. Opredelitev. Meje se imenujejo delni odvodi funkcije (ob predpostavki, da obstajajo).

Pravila za izračun parcialnih odvodov FNP sovpadajo z ustreznimi pravili za funkcijo ene spremenljivke. Komentiraj. Pri izračunu odvoda FNP glede na eno od spremenljivk se vse ostale obravnavajo kot konstante. Primer.

Opredelitev. Imenuje se glavni (linearni) del celotnega prirastka funkcije v točki polni diferencial funkcije na tej točki.

5. Odvod kompleksne funkcije. Oglejmo si funkcijo, kjer je npr. z kompleksna funkcija od x, y. Parcialne odvode kompleksne funkcije glede na spremenljivki x in y izračunamo na naslednji način: (kot v primeru kompleksne funkcije ene spremenljivke).

Skupni odvod a), kjer je tj. z kompleksna funkcija enega argumenta t. Potem je skupni odvod funkcije glede na argument t.

Pri proučevanju številnih vzorcev v naravoslovju in ekonomiji se srečamo s funkcijami dveh (ali več) neodvisnih spremenljivk.

Definicija (za funkcijo dveh spremenljivk).Pustiti X , Y in Z - množice. Če vsak par (x, l) elementov iz množic oz X in Y na podlagi nekega zakona f ujema z enim in samo enim elementom z od mnogih Z , potem pravijo, da podana je funkcija dveh spremenljivk z = f(x, l) .

Na splošno domena funkcije dveh spremenljivk geometrijsko lahko predstavimo z določeno množico točk ( x; l) letalo xOy .

Osnovne definicije, ki se nanašajo na funkcije več spremenljivk, so posplošitev ustreznih definicije za funkcijo ene spremenljivke .

Kup D klical domena funkcije z, in komplet E – njegovih številnih pomenov. Spremenljivke x in l v zvezi s funkcijo z se imenujejo njegovi argumenti. Spremenljivka z imenovana odvisna spremenljivka.

Zasebne vrednosti argumentov

ustreza zasebni vrednosti funkcije

Domena funkcije več spremenljivk

če funkcija več spremenljivk (na primer dveh spremenljivk) podana s formulo z = f(x, l) , To področje njegove opredelitve je množica vseh takih točk na ravnini x0y, za katerega izraz f(x, l) ima smisel in sprejema prave vrednosti. Splošna pravila za domeno funkcije več spremenljivk izhajajo iz splošnih pravil za domena definicije funkcije ene spremenljivke. Razlika je v tem, da je pri funkciji dveh spremenljivk domena definicije določena množica točk na ravnini in ne premica, kot pri funkciji ene spremenljivke. Za funkcijo treh spremenljivk je domena definicije ustrezna množica točk v tridimenzionalnem prostoru, za funkcijo pa n spremenljivke - ustrezen niz točk izvlečka n-dimenzionalni prostor.

Domena funkcije dveh spremenljivk s korenom n th stopnjo

V primeru, ko je funkcija dveh spremenljivk podana s formulo in n - naravno število :

če n je sodo število, potem je domena definicije funkcije množica točk ravnine, ki ustreza vsem vrednostim radikalnega izraza, ki so večje ali enake nič, tj.

če n je liho število, potem je domena definicije funkcije množica poljubnih vrednosti, to je celotna ravnina x0y .

Domena potenčne funkcije dveh spremenljivk s celim eksponentom

:

če a- pozitivno, potem je domena definicije funkcije celotna ravnina x0y ;

če a- negativno, potem je domena definicije funkcije niz vrednosti, ki se razlikujejo od nič: .

Domena potenčne funkcije dveh spremenljivk z ulomljenim eksponentom

V primeru, ko je funkcija podana s formulo :

če je pozitiven, potem je domena definicije funkcije množica tistih točk v ravnini, na katerih ima vrednosti, večje ali enake nič: ;

če je - negativno, potem je domena definicije funkcije množica tistih točk v ravnini, na katerih ima vrednosti, večje od nič: .

Domena definicije logaritemske funkcije dveh spremenljivk

Logaritemska funkcija dveh spremenljivk je definiran pod pogojem, da je njegov argument pozitiven, kar pomeni, da je domena njegove definicije množica tistih točk v ravnini, na katerih ima vrednosti, večje od nič: .

Domena definicije trigonometričnih funkcij dveh spremenljivk

Domena funkcije - celotno letalo x0y .

Domena funkcije - celotno letalo x0y .

Domen definicije funkcije je celotna ravnina x0y

Domena funkcije - celotno letalo x0y, razen za pare števil, za katere prevzame vrednosti.

Domena definicije inverznih trigonometričnih funkcij dveh spremenljivk

Domena funkcije .

Domena funkcije - množica točk na ravnini, za katere .

Domena funkcije - celotno letalo x0y .

Domena funkcije - celotno letalo x0y .

Področje definicije ulomka kot funkcije dveh spremenljivk

Če je funkcija podana s formulo, potem je domena definicije funkcije vse točke ravnine, v kateri .

Domena linearne funkcije dveh spremenljivk

Če je funkcija podana s formulo oblike z = sekira + avtor + c , potem je domena definicije funkcije celotna ravnina x0y .

Primer 1.

rešitev. Po pravilih za definicijsko področje sestavimo dvojno neenačbo

Celotno neenakost pomnožimo z in dobimo

Dobljeni izraz podaja domeno definicije te funkcije dveh spremenljivk.

Primer 2. Poiščite domeno funkcije dveh spremenljivk.

(1. predavanje)

Funkcije 2 spremenljivk.

Spremenljivka z se imenuje funkcija dveh spremenljivk f(x,y), če je za kateri koli par vrednosti (x,y) G povezana določena vrednost spremenljivke z.

Def. Okolica točke p 0 je krožnica s središčem v točki p 0 in polmerom. = (x-x 0 ) 2 +(ooo 0 ) 2

poljubno majhnega števila, lahko podamo število ()>0 tako, da za vse vrednosti x in y, za katere je razdalja od t.p do p0 manjša, velja naslednja neenakost: f(x,y) A , tj. za vse točke p, ki spadajo v bližino točke p 0, s polmerom, se vrednost funkcije razlikuje od A manj kot v absolutni vrednosti. In to pomeni, da ko se točka p približa točki p 0 za kdorkoli

Kontinuiteta delovanja.

Naj bo podana funkcija z=f(x,y), p(x,y) je trenutna točka, p 0 (x 0 ,y 0) je obravnavana točka.

Def.

3) Limit je enak vrednosti funkcije na tej točki: = f(x 0 ,y 0);

Lim f(x,y) = f(x 0 ,y 0 );

str 0

Delni derivat.

Dajmo argumentu x prirastek x; x+x, dobimo točko p 1 (x+x,y), izračunamo razliko med vrednostmi funkcije v točki p:

x z = f(p1)-f(p) = f(x+x,y) - f(x,y) delni prirastek funkcije, ki ustreza prirastku argumenta x.

z= Lim x z

z = Lim f(x+x,y) - f(x,y)

X x0 X

Definiranje funkcije več spremenljivk

Pri obravnavi številnih vprašanj z različnih področij znanja je potrebno proučevati takšne odvisnosti med spremenljivkami, ko številske vrednosti eden od njih je popolnoma določen z vrednostmi več drugih.

Na primer Ko preučujemo fizično stanje telesa, moramo opazovati spremembe njegovih lastnosti od točke do točke. Vsaka točka telesa je podana s tremi koordinatami: x, y, z. Zato, če preučujemo, recimo, porazdelitev gostote, sklepamo, da je gostota telesa odvisna od treh spremenljivk: x, y, z. Če se fizično stanje telesa spreminja tudi v času t, potem bo enaka gostota odvisna od vrednosti štirih spremenljivk: x, y, z, t.

Še en primer: preučujejo se proizvodni stroški proizvodnje enote določene vrste proizvoda. Naj bo:

x - stroški materiala,

y - stroški plačila plače zaposleni,

z - stroški amortizacije.

Očitno je, da so proizvodni stroški odvisni od vrednosti imenovanih parametrov x, y, z.

Opredelitev 1.1Če za vsak niz vrednosti "n" spremenljivk

iz neke množice D teh zbirk ustreza njeni edinstveni vrednosti spremenljivke z, potem pravijo, da je funkcija podana na množici D

"n" spremenljivk.

Množica D, podana v definiciji 1.1, se imenuje domena definicije ali domena obstoja te funkcije.

Če se upošteva funkcija dveh spremenljivk, potem zbirka števil

praviloma označujemo (x, y) in jih interpretiramo kot točke koordinatne ravnine Oxy, domeno definiranja funkcije z = f (x, y) dveh spremenljivk pa upodobimo kot določeno množico točk na letalu Oxy.

Torej, na primer, domena definicije funkcije

je množica točk ravnine Oxy, katerih koordinate zadoščajo razmerju

to je krog s polmerom r s središčem v izhodišču.

Za funkcijo

domena definicije so točke, ki izpolnjujejo pogoj

tj. zunanji glede na dani krog.

Pogosto so funkcije dveh spremenljivk podane implicitno, tj. kot enačba

povezovanje treh spremenljivk. V tem primeru lahko vsako od količin x, y, z obravnavamo kot implicitno funkcijo drugih dveh.

Geometrijska podoba (graf) funkcije dveh spremenljivk z = f (x, y) je množica točk P (x, y, z) v tridimenzionalnem prostoru Oxyz, katerih koordinate zadoščajo enačbi z = f (x, y).

Graf funkcije zveznih argumentov je praviloma določena ploskev v prostoru Oxyz, ki je projicirana na koordinatno ravnino Oxy v domeno definicije funkcije z= f (x, y).

Tako je na primer (slika 1.1) graf funkcije

je zgornja polovica krogle in graf funkcije

Spodnja polovica krogle.

Urnik linearna funkcija z = ax + by + с je ravnina v prostoru Oxyz, graf funkcije z = const pa je ravnina, vzporedna s koordinatno ravnino Oxyz.

Upoštevajte, da je nemogoče vizualno prikazati funkcijo treh ali več spremenljivk v obliki grafa v tridimenzionalnem prostoru.

V nadaljevanju se bomo omejili predvsem na obravnavo funkcij dveh ali treh spremenljivk, saj obravnavo primera večjega (vendar končnega) števila spremenljivk poteka podobno.

Definicija funkcije več spremenljivk.

(1. predavanje)

Spremenljivka u se imenuje f(x,y,z,..,t), če je kateremu koli nizu vrednosti (x,y,z,..,t) pridružena dobro definirana vrednost spremenljivke u.

Množica zbirk vrednosti spremenljivke se imenuje domena definicije funkcije.

G - množica (x,y,z,..,t) - domena definicije.

Funkcije 2 spremenljivk.

Spremenljivka z se imenuje funkcija dveh spremenljivk f (x, y), če je za kateri koli par vrednosti (x, y) О G povezana določena vrednost spremenljivke z.

Limit funkcije 2 spremenljivk.

Naj bo podana funkcija z=f(x,y), p(x,y) je trenutna točka, p 0 (x 0 ,y 0) je obravnavana točka.

Def. Okolica točke p 0 je krožnica s središčem v točki p 0 in polmerom r. r= Ö (x-x 0 ) 2 +(ooo 0 ) 2 Ø

Število A se imenuje limita funkcije | v točki p 0, če je za katero koli

za poljubno majhno število e lahko podamo število r (e)>0 tako, da za vse vrednosti x in y, za katere je razdalja od t.p do p0 manjša od r, velja naslednja neenakost: ½f(x,y) - A½0, s polmerom r se vrednost funkcije razlikuje od A za manj kot e v absolutni vrednosti. In to pomeni, da ko se točka p približa točki p 0 za kdorkoli poti se vrednost funkcije neomejeno približuje številu A.

Kontinuiteta delovanja.

Naj bo podana funkcija z=f(x,y), p(x,y) je trenutna točka, p 0 (x 0 ,y 0) je obravnavana točka.

Def. Funkcija z=f(x,y) se imenuje zvezna pri t.p 0, če so izpolnjeni 3 pogoji:

1) funkcija je definirana na tej točki. f(p 0) = f(x,y);

2)f-i ima na tej točki mejo.

3) Limit je enak vrednosti funkcije na tej točki: b = f(x 0 ,y 0);

Lim f(x,y)= f(x 0 ,y 0 ) ;

strà str 0

Če je vsaj 1 od pogojev kontinuitete kršen, se točka p imenuje točka preloma. Za funkcije 2 spremenljivk so lahko ločene prelomne točke in celotne prelomne črte.

Podobno je definiran koncept limite in zveznosti za funkcije večjega števila spremenljivk.

Funkcije treh spremenljivk ni mogoče grafično prikazati, za razliko od funkcije dveh spremenljivk.

Za funkcijo s 3 spremenljivkami so lahko diskontinuitetne točke, diskontinuitetne črte in diskontinuitetne površine.

Delni derivat.

Vzemimo funkcijo z=f(x,y), p(x,y) je obravnavana točka.

Dajmo argumentu x prirastek Dx; x+Dx, dobimo točko p 1 (x+Dx,y), izračunamo razliko v vrednostih funkcije v točki p:

D x z = f(p1)-f(p) = f(x+Dx,y) - f(x,y) - delni prirastek funkcije, ki ustreza prirastku argumenta x.

Def. Kvocient odvoda funkcije z=f(x,y) glede na spremenljivko x imenujemo meja razmerja delnega prirastka te funkcije glede na spremenljivko x do tega prirastka, ko slednji teži k nič.

¶ z= Lim D x z

à ¶ z = Lim f(x+ D x,y) - f(x,y)

¶ x Dx® 0 Dx

Podobno določimo količnik odvoda glede na spremenljivko y.

Iskanje delnih odvodov.

Pri določanju parcialnih odvodov se vsakič spremeni le ena spremenljivka, ostale spremenljivke obravnavamo kot konstante. Posledično vsakič upoštevamo funkcijo samo ene spremenljivke in delni odvod sovpada z običajnim odvodom te funkcije ene spremenljivke. Od tod pravilo za iskanje parcialnih odvodov: delni odvod glede na obravnavano spremenljivko se išče kot navaden odvod funkcije te spremenljivke, ostale spremenljivke pa se obravnavajo kot konstante. V tem primeru se izkažejo za veljavne vse formule za razlikovanje funkcije ene spremenljivke (odvod vsote, produkt, količnik).

Pojem funkcije več spremenljivk

Če je vsaki točki X = (x 1, x 2, ... x n) iz množice (X) točk n-dimenzionalnega prostora pridružena ena točno definirana vrednost spremenljivke z, potem pravijo, da je dana funkcija n spremenljivk z = f(x 1, x 2, ...x n) = f (X).

V tem primeru se kličejo spremenljivke x 1, x 2, ... x n neodvisne spremenljivke oz argumenti funkcije, z - odvisna spremenljivka, simbol f pa označuje pravo dopisovanja. Množica (X) se imenuje domena definicije funkcij (to je določena podmnožica n-dimenzionalnega prostora).

Na primer, funkcija z = 1/(x 1 x 2) je funkcija dveh spremenljivk. Njena argumenta sta spremenljivki x 1 in x 2, z pa je odvisna spremenljivka. Področje definicije je celotna koordinatna ravnina, z izjemo premic x 1 = 0 in x 2 = 0, tj. brez x- in ordinatne osi. Z zamenjavo poljubne točke iz domene definicije v funkcijo dobimo po korespondenčnem zakonu določeno število. Na primer, če vzamemo točko (2; 5), tj. x 1 = 2, x 2 = 5, dobimo
z = 1/(2*5) = 0,1 (tj. z(2; 5) = 0,1).

Funkcija oblike z = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b, kjer so a 1, a 2, … in n, b stalna števila, se imenuje linearni. Lahko se obravnava kot vsota n linearnih funkcij spremenljivk x 1, x 2, ... x n. Pokličejo se vse druge funkcije nelinearno.

Na primer, funkcija z = 1/(x 1 x 2) je nelinearna, funkcija z =
= x 1 + 7x 2 - 5 – linearno.

Vsako funkcijo z = f (X) = f(x 1, x 2, ... x n) lahko povežemo z n funkcijami ene spremenljivke, če določimo vrednosti vseh spremenljivk razen ene.

Na primer, funkcije treh spremenljivk z = 1/(x 1 x 2 x 3) lahko povežemo s tremi funkcijami ene spremenljivke. Če določimo x 2 = a in x 3 = b, bo funkcija prevzela obliko z = 1/(abx 1); če določimo x 1 = a in x 3 = b, potem bo prevzelo obliko z = 1/(abx 2); če določimo x 1 = a in x 2 = b, potem bo prevzelo obliko z = 1/(abx 3). V tem primeru imajo vse tri funkcije enako obliko. Ni vedno tako. Na primer, če za funkcijo dveh spremenljivk določimo x 2 = a, potem bo imela obliko z = 5x 1 a, tj. potenčne funkcije, in če fiksiramo x 1 = a, potem bo imela obliko, tj. eksponentna funkcija.

Urnik funkcija dveh spremenljivk z = f(x, y) je množica točk v tridimenzionalnem prostoru (x, y, z), katerih aplikacija z je povezana z absciso x in ordinato y s funkcionalno relacijo
z = f (x, y). Ta graf predstavlja neko površino v tridimenzionalnem prostoru (na primer kot na sliki 5.3).

Lahko se dokaže, da če je funkcija linearna (tj. z = ax + by + c), potem je njen graf ravnina v tridimenzionalnem prostoru. Drugi primeri 3D grafi Priporočljivo je samostojno učenje po Kremerjevem učbeniku (str. 405-406).

Če obstaja več kot dve spremenljivki (n spremenljivk), potem urnik funkcija je niz točk v (n+1)-dimenzionalnem prostoru, za katerega je koordinata x n+1 izračunana v skladu z danim funkcionalnim zakonom. Tak graf se imenuje hiperpovršina(za linearno funkcijo – hiperravnina), predstavlja pa tudi znanstveno abstrakcijo (nemogoče ga je upodobiti).

Slika 5.3 – Graf funkcije dveh spremenljivk v tridimenzionalnem prostoru

Ravna površina funkcija n spremenljivk je množica točk v n-dimenzionalnem prostoru, tako da je na vseh teh točkah vrednost funkcije enaka in enaka C. Samo število C se v tem primeru imenuje raven.

Običajno je za isto funkcijo mogoče zgraditi neskončno število ravnih površin (ki ustrezajo različnim nivojem).

Za funkcijo dveh spremenljivk ima raven površina obliko nivojske črte.

Na primer, upoštevajte z = 1/(x 1 x 2). Vzemimo C = 10, tj. 1/(x 1 x 2) = 10. Potem je x 2 = 1/(10x 1), tj. na ravnini bo nivojska črta imela obliko, prikazano na sliki 5.4, kot polna črta. Če vzamemo drugo raven, na primer C = 5, dobimo črto ravni v obliki grafa funkcije x 2 = 1/(5x 1) (prikazano s pikčasto črto na sliki 5.4).

Slika 5.4 – Črte ravni funkcije z = 1/(x 1 x 2)

Poglejmo še en primer. Naj bo z = 2x 1 + x 2. Vzemimo C = 2, tj. 2x 1 + x 2 = 2. Potem je x 2 = 2 - 2x 1, tj. na ravnini bo nivojska črta imela obliko ravne črte, ki je na sliki 5.5 predstavljena s polno črto. Če vzamemo drugo raven, na primer C = 4, dobimo črto nivoja v obliki ravne črte x 2 = 4 - 2x 1 (prikazano s pikčasto črto na sliki 5.5). Ravna črta za 2x 1 + x 2 = 3 je prikazana na sliki 5.5 kot pikčasta črta.

Preprosto je preveriti, da bo za linearno funkcijo dveh spremenljivk katera koli nivojska črta ravna črta na ravnini in da bodo vse nivojske črte med seboj vzporedne.

Slika 5.5 – Črte ravni funkcije z = 2x 1 + x 2

) smo že večkrat srečali delne odvode kompleksnih funkcij, kot so in težje primere. Pa o čem lahko še govoriš?! ... In vse je kot v življenju - ni kompleksnosti, ki je ne bi mogla zakomplicirati =) Matematika pa je tisto, za kar je matematika, da pestrost našega sveta umesti v strog okvir. In včasih je to mogoče storiti z enim samim stavkom:

Na splošno ima kompleksna funkcija obliko , Kje, vsaj enčrk predstavlja funkcijo, kar je lahko odvisno od arbitrarnaštevilo spremenljivk.

Najmanjša in najpreprostejša možnost je že dolgo znana kompleksna funkcija ene spremenljivke, katerih izpeljanka prejšnji semester smo se naučili najti. Imate tudi veščine za razlikovanje funkcij (oglejte si iste funkcije ) .

Tako nas bo zdaj zanimal samo primer. Zaradi velike raznolikosti kompleksnih funkcij so splošne formule za njihove derivate zelo okorne in težko prebavljive. V zvezi s tem se bom omejil na posebne primere, iz katerih lahko razumete splošno načelo iskanje teh derivatov:

Primer 1

Glede na kompleksno funkcijo, kjer . Zahtevano:
1) poiščite njen odvod in zapišite totalni diferencial 1. reda;
2) izračunajte vrednost izpeljanke pri .

rešitev: Najprej si poglejmo samo funkcijo. Na voljo nam je funkcija, ki je odvisna od in , kar pa so funkcije ena spremenljivka:

Drugič, bodimo pozorni na samo nalogo - najti jo moramo izpeljanka, torej sploh ne govorimo o delnih izpeljankah, ki smo jih vajeni najti! Od funkcije dejansko odvisno samo od ene spremenljivke, potem beseda "izpeljanka" pomeni skupni derivat. Kako jo najti?

Prva stvar, ki pride na misel, je neposredna zamenjava in nadaljnja diferenciacija. Zamenjajmo delovati:
, po katerem ni težav z želeno izpeljanko:

In s tem celotna razlika:

Ta rešitev je matematično pravilna, a majhen odtenek je, da ko je problem formuliran tako, kot je formuliran, nihče ne pričakuje takšnega barbarstva od tebe =) Ampak resno, tukaj se res da najti napako. Predstavljajte si, da funkcija opisuje let čmrlja, ugnezdene funkcije pa se spreminjajo glede na temperaturo. Izvajanje neposredne zamenjave , dobimo samo zasebni podatki, ki označuje letenje, recimo, samo v vročem vremenu. Poleg tega, če osebi, ki se ne spozna na čmrlje, predstavimo končni rezultat in celo povemo, kakšna je ta funkcija, potem ne bo nikoli izvedel ničesar o temeljnem zakonu letenja!

Tako nam je povsem nepričakovano naš brneči brat pomagal razumeti pomen in pomembnost univerzalne formule:

Navadite se na "dvonadstropni" zapis za derivate - v obravnavani nalogi so v uporabi le-ti. V tem primeru bi moral biti zelo urejeno v zapisu: izpeljanke z neposrednimi simboli »de« so popolne izpeljanke, in izpeljanke z zaobljenimi ikonami so delni derivati. Začnimo z zadnjimi:

No, z "repi" je vse na splošno osnovno:

Najdene derivate nadomestimo v našo formulo:

Ko je funkcija na začetku predlagana na zapleten način, bo logična (in to je razloženo zgoraj!) pusti rezultate takšne kot so:

Hkrati se je v "sofisticiranih" odgovorih bolje vzdržati tudi minimalnih poenostavitev (tu na primer prosi za odstranitev 3 minuse)- in imate manj dela, vaš kosmati prijatelj pa z veseljem lažje pregleda nalogo.

Vendar okviren pregled ne bo odveč. Zamenjajmo v najdeno izpeljanko in izvedemo poenostavitve:


(v zadnjem koraku, ki smo ga uporabili trigonometrične formule , )

Posledično je bil dosežen enak rezultat kot pri "barbarski" metodi raztopine.

Izračunajmo odvod v točki. Najprej je priročno ugotoviti "tranzitne" vrednosti (vrednosti funkcije ) :

Zdaj pripravimo končne izračune, ki jih je v tem primeru mogoče izvesti na različne načine. Uporabljam zanimivo tehniko, pri kateri 3. in 4. »nadstropje« nista poenostavljena v skladu z običajnimi pravili, ampak se transformirata kot količnik dveh števil:

In seveda je greh ne preveriti s strnjenejšim zapisom :

Odgovori:

Zgodi se, da je problem predlagan v "polsplošni" obliki:

"Poiščite odvod funkcije, kjer »

To pomeni, da "glavna" funkcija ni podana, vendar so njeni "vložki" precej specifični. Odgovor naj bo podan v istem slogu:

Poleg tega je pogoj lahko rahlo šifriran:

"Poiščite odvod funkcije »

V tem primeru potrebujete na svojem označite ugnezdene funkcije z ustreznimi črkami, na primer skozi in uporabite isto formulo:

Mimogrede, o oznakah črk. Večkrat sem pozval, naj se ne "oklepajo črk", kot da so rešilna palica, in zdaj je to še posebej pomembno! Ko sem analiziral različne vire na to temo, sem na splošno dobil vtis, da so avtorji "ponoreli" in začeli neusmiljeno metati učence v nevihtno brezno matematike =) Oprostite mi :))

Primer 2

Poiščite odvod funkcije , Če

Druge oznake naj ne bodo zavajajoče! Vsakič, ko naletite na takšno nalogo, morate odgovoriti na dve preprosti vprašanji:

1) Od česa je odvisna "glavna" funkcija? V tem primeru je funkcija "zet" odvisna od dveh funkcij ("y" in "ve").

2) Od katerih spremenljivk so odvisne ugnezdene funkcije? V tem primeru sta oba "vložka" odvisna samo od "X".

Torej ne bi smeli imeti težav pri prilagajanju formule tej nalogi!

Kratka rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Dodatne primere prve vrste lahko najdete v Ryabushkova knjiga problemov (IDZ 10.1), no, gremo proti funkcija treh spremenljivk:

Primer 3

Glede na funkcijo, kjer je .
Izračunajte odvod v točki

Formula za derivat kompleksne funkcije, kot mnogi ugibajo, ima sorodno obliko:

Odloči se, ko uganeš =)

Za vsak slučaj bom dal splošno formulo za funkcijo:
, čeprav je v praksi malo verjetno, da boste videli kaj daljšega od primera 3.

Poleg tega je včasih treba razlikovati "okrnjeno" različico - praviloma funkcijo oblike oz. To vprašanje vam prepuščam, da ga preučite sami – izmislite nekaj preprostih primerov, razmišljajte, eksperimentirajte in izpeljite skrajšane formule za izpeljanke.

Če vam še kaj ni jasno, prosim počasi ponovno preberite in dojemite prvi del lekcije, saj bo zdaj naloga postala bolj zapletena:

Primer 4

Poiščite delne odvode kompleksne funkcije, kjer

rešitev: to funkcijo ima obliko , in po neposredni zamenjavi in ​​dobimo običajno funkcijo dveh spremenljivk:

Toda takšen strah ni samo nesprejemljiv, ampak človek ne želi več razlikovati =) Zato bomo uporabili že pripravljene formule. Da boste lažje razumeli vzorec, bom naredil nekaj opomb:

Pozorno si oglejte sliko od zgoraj navzdol in od leve proti desni….

Najprej poiščimo delne odvode "glavne" funkcije:

Zdaj najdemo "X" izpeljanke "podlog":

in zapišite končno izpeljanko "X":

Podobno z "igro":

in

Lahko se držite drugega sloga - poiščite vse "repe" hkrati in nato zapišite obe izpeljanki.

Odgovori:

O zamenjavi nekako sploh ne razmišljam o tem =) =), vendar lahko rezultate malo prilagodite. Čeprav, spet, zakaj? – samo otežijo učitelju preverjanje.

Če je treba, torej polni diferencial tukaj je napisano po običajni formuli in, mimogrede, na tem koraku postane primerna lahka kozmetika:


To je ... ... krsta na kolesih.

Zaradi priljubljenosti vrste obravnavane kompleksne funkcije obstaja nekaj nalog za samostojno rešitev. Preprostejši primer v "polsplošni" obliki je za razumevanje same formule;-):

Primer 5

Poiščite delne odvode funkcije, kjer je

In še bolj zapleteno - z vključitvijo tehnik diferenciacije:

Primer 6

Poiščite celoten diferencial funkcije , Kje

Ne, sploh vas ne poskušam "poslati na dno" - vsi primeri so vzeti iz pravo delo, in "na odprtem morju" lahko naletite na poljubne črke. V vsakem primeru boste morali analizirati funkcijo (odgovarjanje na 2 vprašanji – glej zgoraj), predstavite ga v splošni pogled in skrbno spremenite formule delnih odvodov. Morda ste zdaj malo zmedeni, vendar boste razumeli sam princip njihove konstrukcije! Ker se pravi izzivi šele začnejo :)))

Primer 7

Poiščite delne odvode in ustvarite popoln diferencial kompleksne funkcije
, Kje

rešitev: “glavna” funkcija ima obliko in je še vedno odvisna od dveh spremenljivk – “x” in “y”. Toda v primerjavi s primerom 4 je bila dodana še ena ugnezdena funkcija, zato so tudi formule delnih odvodov podaljšane. Tako kot v tistem primeru bom za boljšo vizualizacijo vzorca z različnimi barvami poudaril »glavne« delne izpeljanke:

In spet natančno preučite zapis od zgoraj navzdol in od leve proti desni.

Ker je problem formuliran v "polsplošni" obliki, je vse naše delo v bistvu omejeno na iskanje delnih derivatov vgrajenih funkcij:

Prvošolec lahko obvlada:

In tudi polni diferencial se je izkazal zelo lepo:

Namenoma vam nisem ponudil nobene posebne funkcije - da nepotrebna navlaka ne bi motila dobrega razumevanja shematski diagram naloge.

Odgovori:

Precej pogosto lahko najdete "mešane" naložbe, na primer:

Tukaj je "glavna" funkcija, čeprav ima obliko, še vedno odvisna od "x" in "y". Zato delujejo enake formule - samo nekateri delni odvodi bodo enaki nič. Poleg tega to velja tudi za funkcije, kot je , v katerem je vsaka "podloga" odvisna od ene spremenljivke.

Podobna situacija se zgodi v zadnjih dveh primerih lekcije:

Primer 8

Poiščite skupni diferencial kompleksne funkcije v točki

rešitev: pogoj je formuliran na “proračunski” način, ugnezdene funkcije pa moramo označiti sami. Mislim, da je to dobra možnost:

"Vložki" vsebujejo ( POZOR!) TRI črke so dobri stari "X-Y-Z", kar pomeni, da je "glavna" funkcija pravzaprav odvisna od treh spremenljivk. Formalno ga lahko prepišemo kot , delni derivati ​​pa so v tem primeru določeni z naslednjimi formulami:

Skeniramo, poglabljamo se, zajemamo….

V naši nalogi:

Opredelitev. Spremenljivka z(z območjem spremembe Z) klical funkcija dveh neodvisnih spremenljivk x,y v izobilju M, če vsak par ( x,y) od mnogih M z od Z.

Opredelitev. Kup M, v katerem so podane spremenljivke x,y, klical domena funkcije, niz Z – obseg delovanja, in sebe x,y- njo argumenti.

Oznake: z = f(x,y), z = z(x,y).

Primeri.

Opredelitev . Spremenljivka z(z območjem spremembe Z) klical funkcija več neodvisnih spremenljivk v izobilju M, če vsaka množica števil iz množice M v skladu z nekim pravilom ali zakonom je določena določena vrednost z od Z. Koncepti argumentov, domene definicije in domene vrednosti so predstavljeni na enak način kot za funkcijo dveh spremenljivk.

Oznake: z = f, z = z.

Komentiraj. Od par številk ( x,y) lahko štejemo za koordinate določene točke na ravnini, bomo pozneje uporabljali izraz "točka" za par argumentov funkcije dveh spremenljivk, kot tudi za urejen niz števil, ki so argumenti funkcije več spremenljivk.

Geometrična predstavitev funkcije dveh spremenljivk

Upoštevajte funkcijo

z = f(x,y), (15.1)

določeno na nekem področju M na ravnini O xy. Nato množica točk v tridimenzionalnem prostoru s koordinatami ( x,y,z), kjer je graf funkcije dveh spremenljivk. Ker enačba (15.1) določa določeno površino v tridimenzionalnem prostoru, bo geometrijska slika zadevno funkcijo.

Domena funkcije z = f(x,y) v najpreprostejših primerih gre bodisi za del ravnine, ki ga omejuje sklenjena krivulja, točke te krivulje (meje regije) pa lahko ali ne pripadajo domeni definicije, ali celotna ravnina, ali končno, niz več delov letala xOy.

z = f(x,y)

Primeri vključujejo enačbe ravnine z = sekira + by + c

in površine drugega reda: z = x² + l² (paraboloid revolucije),

(stožec) itd.

Komentiraj. Za funkcijo treh ali več spremenljivk bomo uporabili izraz »površina v n-dimenzionalni prostor«, čeprav je takšno površino nemogoče upodobiti.

Ravne črte in površine

Za funkcijo dveh spremenljivk, podano z enačbo (15.1), lahko upoštevamo niz točk ( x,y) O letalo xy, za katerega z zavzema isto konstantno vrednost, tj z= konst. Te točke tvorijo premico na ravnini, imenovani nivojska linija.

Primer.

Poiščite nivojske črte za površino z = 4 – x² - l². Njihove enačbe izgledajo takole x² + l² = 4 – c(c=const) – enačbe koncentričnih krogov s središčem v izhodišču in s polmeri . Na primer, kdaj z=0 dobimo krog x² + l² = 4.

Za funkcijo treh spremenljivk u = u(x, y, z) enačba u(x, y, z) = c definira površino v tridimenzionalnem prostoru, ki se imenuje ravna površina.

Primer.

Za funkcijo u = 3x + 5l – 7z–12 ravnih površin bo družina vzporednih ravnin, podanih z enačbami 3 x + 5l – 7z –12 + z = 0.

Limit in zveznost funkcije več spremenljivk

Predstavimo koncept δ-soseske točke M 0 (x 0, y 0) na ravnini O xy kot krog s polmerom δ s središčem v dani točki. Podobno lahko definiramo δ-sosesko v tridimenzionalnem prostoru kot kroglo polmera δ s središčem v točki M 0 (x 0, y 0, z 0). Za n-dimenzionalni prostor bomo imenovali δ-okolica točke M 0 niz točk M s koordinatami, ki izpolnjujejo pogoj

kje so koordinate točke M 0 . Včasih se ta sklop imenuje "krogla". n-dimenzionalni prostor.

Opredelitev. Število A se imenuje omejitev funkcije več spremenljivk f na točki M 0, če je tako, da | f(M) – A| < ε для любой точки M iz δ-soseščine M 0 .

Oznake: .

Upoštevati je treba, da je v tem primeru točka M se morda približuje M 0, relativno rečeno, vzdolž katere koli trajektorije znotraj δ-soseščine točke M 0 . Zato je treba mejo funkcije več spremenljivk v splošnem pomenu razlikovati od ti ponavljajoče se meje pridobljen z zaporednimi prehodi do meje za vsak argument posebej.

Primeri.

Komentiraj. Dokaže se lahko, da iz obstoja meje na dani točki v običajnem pomenu in obstoja na tej točki meje na posamezne argumente sledi obstoj in enakost ponavljajočih se mej. Obratna trditev ne drži.

Opredelitev funkcija f klical neprekinjeno na točki M 0 če (15.2)

Če uvedemo zapis , lahko pogoj (15.2) prepišemo v obliki (15.3)

Opredelitev . Notranja točka M 0 domena funkcije z = f(M) klical prelomna točka funkcijo, če pogoji (15.2), (15.3) na tej točki niso izpolnjeni.

Komentiraj. Na ravnini ali v prostoru lahko nastane veliko diskontinuitetnih točk vrstice oz površina zloma.

Primeri.

Lastnosti limitov in zveznih funkcij

Ker definicije limite in kontinuitete za funkcijo več spremenljivk praktično sovpadajo z ustreznimi definicijami za funkcijo ene spremenljivke, potem se za funkcije več spremenljivk ohranijo vse lastnosti limitov in zveznih funkcij, dokazane v prvem delu tečaja. , in sicer:

1) Če obstajajo, potem obstajajo in (če).

2) Če a in za katerega koli jaz obstajajo meje in obstaja kje M 0, potem obstaja limita kompleksne funkcije pri , kjer so koordinate točke R 0 .

3) Če funkcije f(M) in g(M) neprekinjeno v točki M 0, potem so na tej točki tudi funkcije zvezne f(M) + g(M), kf(M), f(M) g(M), f(M)/g(M)(Če g(M 0) ≠ 0).

4) Če so funkcije zvezne v točki P 0, funkcija pa je v točki zvezna M 0, kjer je , potem je kompleksna funkcija zvezna v točki R 0 .

5) Funkcija je neprekinjena v zaprtem omejenem območju D, ima največje in najmanjše vrednosti v tej regiji.

6) Če je funkcija neprekinjena v zaprtem omejenem območju D, zavzame vrednosti v tej regiji A in IN, nato pa zavzame območje D in katera koli vmesna vrednost vmes A in IN.

7) Če je funkcija neprekinjena v zaprtem omejenem območju D, zavzema vrednosti različnih znakov v tej regiji, potem obstaja a vsaj ena točka od območja D, pri čemer f = 0.

Delni derivati

Razmislimo o spremembi funkcije, ko podamo prirastek samo enemu od njenih argumentov - x i, in pokličimo ga.

Opredelitev . Delni derivat funkcije z argumentom x i poklical.

Oznake: .

Tako je delni odvod funkcije več spremenljivk dejansko definiran kot odvod funkcije ena spremenljivka – x ​​i. Zato zanjo veljajo vse lastnosti odvodov, dokazane za funkcijo ene spremenljivke.

Komentiraj. Pri praktičnem izračunu parcialnih odvodov uporabljamo običajna pravila za diferenciranje funkcije ene spremenljivke, ob predpostavki, da je argument, po katerem se izvaja diferenciacija, spremenljivka, preostali argumenti pa so konstantni.

Primeri .

1. z = 2x² + 3 xy –12l² + 5 x – 4l +2,

2. z = xy,

Geometrijska interpretacija parcialnih odvodov funkcije dveh spremenljivk

Razmislite o površinski enačbi z = f(x,y) in nariši ravnino x = konst. Izberimo točko na presečišču ravnine in ploskve M(x,y). Če navedete argument pri prirastek Δ pri in upoštevajte točko T na krivulji s koordinatami ( x, y+Δ y, z+Δy z), nato tangens kota, ki ga tvori sekanta MT s pozitivno smerjo osi O pri, bo enako . Če preidemo na mejo pri , ugotovimo, da je delni odvod enak tangensu kota, ki ga tvori tangenta na nastalo krivuljo v točki M s pozitivno smerjo osi O u. V skladu s tem je delni odvod enak tangensu kota z osjo O X tangenta na krivuljo, dobljeno kot rezultat rezanja površine z = f(x,y) letalo y = konst.

Diferenciabilnost funkcije več spremenljivk

Pri proučevanju vprašanj, povezanih z diferenciabilnostjo, se bomo omejili na primer funkcije treh spremenljivk, saj so vsi dokazi za več spremenljivke se izvajajo na enak način.

Opredelitev . Polni prirastek funkcije u = f(x, y, z) klical

1. izrek. Če obstajajo delni odvodi v točki ( x 0, y 0, z 0) in v nekaterih njegovih soseskah ter so zvezni v točki ( x 0, y 0, z 0), potem so omejeni (ker njihovi moduli ne presegajo 1).

Potem lahko prirastek funkcije, ki izpolnjuje pogoje iz izreka 1, predstavimo kot: , (15.6)

Opredelitev . Če se funkcija poveča u = f (x, y, z) na točki ( x 0, y 0, z 0) lahko predstavimo v obliki (15.6), (15.7), potem se funkcija pokliče razločljiv na tej točki in izraz je glavni linearni del prirastka oz polni diferencial zadevno funkcijo.

Oznake: du, df (x 0, y 0, z 0).

Tako kot v primeru funkcije ene spremenljivke velja, da so diferenciali neodvisnih spremenljivk njihovi poljubni prirastki, torej

Opomba 1. Torej izjava "funkcija je diferenciabilna" ni enakovredna izjavi "funkcija ima delne odvode" - za diferenciabilnost je potrebna tudi kontinuiteta teh odvodov na zadevni točki.

.

Upoštevajte funkcijo in izberite x 0 = 1, y 0 = 2. Nato Δ x = 1,02 – 1 = 0,02; Δ y = 1,97 – 2 = -0,03. Najdimo

Zato glede na to f ( 1, 2) = 3, dobimo.