Vsaka delna izpeljanka (po x in po l) funkcije dveh spremenljivk je navaden odvod funkcije ene spremenljivke za fiksno vrednost druge spremenljivke:

(Kje l= konst),

(Kje x= konst).

Zato se delni odvodi izračunajo z uporabo formule in pravila za izračun odvodov funkcij ene spremenljivke, medtem ko upoštevamo drugo spremenljivko konstanto.

Če ne potrebujete analize primerov in minimalne teorije, ki je potrebna za to, ampak potrebujete samo rešitev vašega problema, pojdite na spletni kalkulator delnih odvodov .

Če se je težko osredotočiti, da bi spremljali, kje je konstanta v funkciji, potem lahko v osnutku rešitve primera namesto spremenljivke s fiksno vrednostjo nadomestite poljubno število - potem lahko hitro izračunate delni odvod kot navadni odvod funkcije ene spremenljivke. Ne pozabite le vrniti konstante (spremenljivke s fiksno vrednostjo) na svoje mesto, ko dokončate končno zasnovo.

Zgoraj opisana lastnost parcialnih odvodov izhaja iz definicije delnega odvoda, ki se lahko pojavi v izpitnih vprašanjih. Zato, da se seznanite s spodnjo definicijo, lahko odprete teoretično referenco.

Koncept kontinuitete funkcije z= f(x, l) v točki je definiran podobno kot ta koncept za funkcijo ene spremenljivke.

funkcija z = f(x, l) se imenuje zvezna v točki, če

Razlika (2) se imenuje skupni prirastek funkcije z(dobi se kot rezultat povečanja obeh argumentov).

Naj bo funkcija podana z= f(x, l) in pika

Če se funkcija spremeni z se zgodi, ko se spremeni samo eden od argumentov, npr. x, s fiksno vrednostjo drugega argumenta l, potem bo funkcija prejela prirastek

imenujemo delni prirastek funkcije f(x, l) Avtor x.

Glede na spremembo funkcije z glede na spremembo samo enega od argumentov dejansko spremenimo v funkcijo ene spremenljivke.

Če obstaja končna meja

potem se imenuje delni odvod funkcije f(x, l) z argumentom x in je označen z enim od simbolov

(4)

Podobno se določi delni prirastek z Avtor: l:

in delni derivat f(x, l) Avtor l:

(6)

Primer 1.

rešitev. Poiščemo delni odvod glede na spremenljivko "x":

(l fiksno);

Poiščemo delni odvod glede na spremenljivko "y":

(x fiksno).

Kot lahko vidite, ni pomembno, v kolikšni meri je spremenljivka fiksna: v tem primeru je preprosto določeno število, ki je faktor (kot v primeru običajnega odvoda) spremenljivke, s katero najdemo delni odvod . Če fiksne spremenljivke ne pomnožimo s spremenljivko, s katero najdemo delni odvod, potem ta osamljena konstanta, ne glede na to, v kolikšni meri, kot v primeru navadnega odvoda, izgine.

Primer 2. Glede na funkcijo

Poiščite delne odvode

(po X) in (po Y) in izračunajte njuni vrednosti v točki A (1; 2).

rešitev. Pri fiksnem l odvod prvega člena najdemo kot odvod potenčne funkcije ( tabela odvodnih funkcij ene spremenljivke):

.

Pri fiksnem x derivat prvega izraza najdemo kot derivat eksponentne funkcije, drugi pa kot derivat konstante:

Zdaj pa izračunajmo vrednosti teh delnih odvodov v točki A (1; 2):

Rešitev nalog z delnim odvodom lahko preverite na spletni kalkulator delnih odvodov .

Primer 3. Poiščite delne odvode funkcije

rešitev. V enem koraku najdemo

(l x, kot da bi bil argument sinusa 5 x: na enak način se 5 pojavi pred znakom funkcije);

(x je fiksen in je v tem primeru množitelj pri l).

Rešitev nalog z delnim odvodom lahko preverite na spletni kalkulator delnih odvodov .

Podobno so definirani delni odvodi funkcije treh ali več spremenljivk.

Če vsak niz vrednosti ( x; l; ...; t) neodvisne spremenljivke iz množice D ustreza eni določeni vrednosti u od mnogih E, To u imenujemo funkcija spremenljivk x, l, ..., t in označujejo u= f(x, l, ..., t).

Za funkcije treh ali več spremenljivk ni geometrijske interpretacije.

Parcialne odvode funkcije več spremenljivk prav tako določamo in izračunavamo ob predpostavki, da se spreminja le ena od neodvisnih spremenljivk, ostale pa so fiksne.

Primer 4. Poiščite delne odvode funkcije

.

rešitev. l in z popravljeno:

x in z popravljeno:

x in l popravljeno:

Sami poiščite delne odvode in si nato oglejte rešitve

Primer 5.

Primer 6. Poiščite delne odvode funkcije.

Enako ima delni odvod funkcije več spremenljivk mehanski pomen je enak odvodu funkcije ene spremenljivke, je hitrost spremembe funkcije glede na spremembo enega od argumentov.

Primer 8. Kvantitativna vrednost pretoka pželezniških potnikov se lahko izrazi s funkcijo

Kje p– število potnikov, n– število prebivalcev dopisniških točk, R– razdalja med točkami.

Delni odvod funkcije p Avtor: R, enako

kaže, da je zmanjšanje pretoka potnikov obratno sorazmerno s kvadratom razdalje med ustreznimi točkami z enakim številom prebivalcev v točkah.

Delni derivat p Avtor: n, enako

kaže, da je povečanje pretoka potnikov sorazmerno z dvakratnim številom prebivalcev naselij na enaki razdalji med točkami.

Rešitev nalog z delnim odvodom lahko preverite na spletni kalkulator delnih odvodov .

Poln diferencial

Zmnožek delnega odvoda in prirastka ustrezne neodvisne spremenljivke imenujemo parcialni diferencial. Delne razlike so označene na naslednji način:

Vsota parcialnih diferencialov za vse neodvisne spremenljivke daje skupni diferencial. Za funkcijo dveh neodvisnih spremenljivk je skupni diferencial izražen z enakostjo

(7)

Primer 9. Poiščite celoten diferencial funkcije

rešitev. Rezultat uporabe formule (7):

Za funkcijo, ki ima totalni diferencial v vsaki točki določene domene, pravimo, da je diferenciabilna v tej domeni.

Sami poiščite celotno razliko in nato poglejte rešitev

Tako kot v primeru funkcije ene spremenljivke diferenciabilnost funkcije v določenem področju pomeni njeno kontinuiteto v tem področju, ne pa tudi obratno.

Brez dokaza oblikujmo zadosten pogoj za diferenciabilnost funkcije.

Izrek.Če funkcija z= f(x, l) ima zvezne delne odvode

v dani regiji, potem je diferencibilna v tej regiji in je njena razlika izražena s formulo (7).

Lahko se pokaže, da je tako kot v primeru funkcije ene spremenljivke diferencial funkcije glavni linearni del prirastka funkcije, tako je v primeru funkcije več spremenljivk skupni diferencial glavni, linearen glede na prirastke neodvisnih spremenljivk, del celotnega prirastka funkcije.

Za funkcijo dveh spremenljivk ima skupni prirastek funkcije obliko

(8)

kjer sta α in β infinitezimalna pri in .

Parcialni odvodi višjega reda

Delni odvodi in funkcije f(x, l) so same nekatere funkcije istih spremenljivk in imajo lahko odvode glede na različne spremenljivke, ki se imenujejo delni odvodi višjih redov.

Naj bo funkcija podana. Ker sta x in y neodvisni spremenljivki, se ena od njiju lahko spremeni, medtem ko druga ohrani svojo vrednost. Dajmo neodvisni spremenljivki x prirastek, medtem ko ohranimo vrednost y nespremenjeno. Nato bo z prejel prirastek, ki se imenuje delni prirastek z glede na x in je označen z . Torej, .

Podobno dobimo delni prirastek z nad y: .

Skupni prirastek funkcije z je določen z enakostjo .

Če obstaja meja, se imenuje delni odvod funkcije v točki glede na spremenljivko x in je označen z enim od simbolov:

.

Delne odvode glede na x v točki običajno označujemo s simboli .

Delni odvod glede na spremenljivko y definiramo in označimo podobno:

Tako je delni odvod funkcije več (dveh, treh ali več) spremenljivk definiran kot odvod funkcije ene od teh spremenljivk, pod pogojem, da so vrednosti preostalih neodvisnih spremenljivk konstantne. Zato se delni odvodi funkcije najdejo z uporabo formul in pravil za izračun odvodov funkcije ene spremenljivke (v tem primeru se x oziroma y šteje za konstantno vrednost).

Parcialni odvodi se imenujejo delni odvodi prvega reda. Lahko jih obravnavamo kot funkcije . Te funkcije imajo lahko delne odvode, ki se imenujejo delni odvodi drugega reda. Opredeljeni in označeni so na naslednji način:

; ;

; .

Diferenciali 1. in 2. reda funkcije dveh spremenljivk.

Celotni diferencial funkcije (formula 2.5) imenujemo diferencial prvega reda.

Formula za izračun celotne razlike je naslednja:

(2.5) oz , Kje ,

delni diferenciali funkcije.

Naj ima funkcija zvezne parcialne odvode drugega reda. Diferencial drugega reda je določen s formulo. Poiščimo ga:

Od tod: . Simbolično je zapisano takole:

.

NEDOLOČEN INTEGRAL.

Protiodvod funkcije, nedoločen integral, lastnosti.

Pokliče se funkcija F(x). protiizpeljanka za dano funkcijo f(x), če je F"(x)=f(x), ali, kar je enako, če je dF(x)=f(x)dx.

Izrek. Če ima funkcija f(x), definirana v nekem intervalu (X) končne ali neskončne dolžine, en antiodvod, F(x), potem ima tudi neskončno veliko antiodvodov; vsi so vsebovani v izrazu F(x) + C, kjer je C poljubna konstanta.

Množica vseh protiodvodov za dano funkcijo f(x), definiranih v določenem intervalu ali na segmentu končne ali neskončne dolžine, se imenuje nedoločen integral iz funkcije f(x) [ali iz izraza f(x)dx ] in je označena s simbolom .

Če je F(x) eden od protiodvodov za f(x), potem po izreku o protiodvodih

, kjer je C poljubna konstanta.

Po definiciji protiizpeljave je F"(x)=f(x) in zato dF(x)=f(x) dx. V formuli (7.1) se f(x) imenuje funkcija integranda in f( x) dx se imenuje izraz integranda.

Razmislite o funkciji dveh spremenljivk:

Ker sta spremenljivki $x$ in $y$ neodvisni, lahko za takšno funkcijo uvedemo koncept delnega odvoda:

Delni odvod funkcije $f$ v točki $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ glede na spremenljivko $x$ je meja

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \desno))(\Delta x)\]

Podobno lahko definirate delni odvod glede na spremenljivko $y$:

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\levo(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \desno))(\Delta y)\]

Z drugimi besedami, če želite najti delni odvod funkcije več spremenljivk, morate popraviti vse druge spremenljivke razen želene in nato poiskati navadni odvod glede na to želeno spremenljivko.

To vodi do glavne tehnike za izračun takih izpeljank: preprosto predpostavite, da so vse spremenljivke razen te konstante, in nato ločite funkcijo, kot bi razlikovali »navadno« – z eno spremenljivko. Na primer:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prime ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \desno))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(align)$

Očitno je, da parcialni odvodi glede na različne spremenljivke dajejo različne odgovore – to je normalno. Veliko bolj pomembno je razumeti, zakaj smo recimo v prvem primeru izpod znaka izpeljanke mirno odstranili $10y$, v drugem primeru pa smo prvi člen popolnoma izničili. Vse to se zgodi zaradi dejstva, da se vse črke, razen spremenljivke, po kateri se izvaja diferenciacija, štejejo za konstante: jih je mogoče odstraniti, "zažgati" itd.

Kaj je "delni odvod"?

Danes bomo govorili o funkcijah več spremenljivk in njihovih delnih odvodih. Najprej, kaj je funkcija več spremenljivk? Do sedaj smo bili navajeni, da je funkcija $y\left(x \right)$ ali $t\left(x \right)$ ali katera koli spremenljivka in ena sama njena funkcija. Zdaj bomo imeli eno funkcijo, vendar več spremenljivk. Ko se spremenita $y$ in $x$, se spremeni vrednost funkcije. Na primer, če se $x$ podvoji, se bo vrednost funkcije spremenila, in če se $x$ spremeni, vendar se $y$ ne spremeni, se bo vrednost funkcije spremenila na enak način.

Seveda lahko funkcijo več spremenljivk, tako kot funkcijo ene spremenljivke, razlikujemo. Ker pa je spremenljivk več, je možno razlikovati glede na različne spremenljivke. V tem primeru nastanejo posebna pravila, ki jih pri diferenciaciji ene spremenljivke ni bilo.

Najprej, ko izračunamo odvod funkcije iz katere koli spremenljivke, moramo navesti, za katero spremenljivko izračunamo odvod - to se imenuje delni odvod. Na primer, imamo funkcijo dveh spremenljivk in jo lahko izračunamo tako v $x$ kot v $y$ - dva delna odvoda za vsako od spremenljivk.

Drugič, takoj ko fiksiramo eno od spremenljivk in začnemo izračunavati delni odvod glede nanjo, se vse ostale, vključene v to funkcijo, obravnavajo kot konstante. Na primer, v $z\left(xy \right)$, če upoštevamo delni odvod glede na $x$, potem kjerkoli naletimo na $y$, ga štejemo za konstanto in tako tudi obravnavamo. Zlasti pri računanju odvoda zmnožka lahko $y$ vzamemo iz oklepaja (imamo konstanto), pri izračunu odvoda vsote pa, če kje dobimo odvod izraza, ki vsebuje $y$ in ne vsebuje $x$, bo izpeljanka tega izraza enaka "nič" kot izpeljanka konstante.

Na prvi pogled se morda zdi, da govorim o nečem zapletenem, in marsikateri študent je sprva zmeden. Vendar v delnih izpeljankah ni nič nadnaravnega in zdaj bomo to videli na primeru specifičnih problemov.

Problemi z radikali in polinomi

Naloga št. 1

Da ne bomo izgubljali časa, začnimo od samega začetka z resnimi primeri.

Za začetek naj vas spomnim na to formulo:

To je standardna vrednost tabele, ki jo poznamo iz standardnega tečaja.

V tem primeru se izpeljanka $z$ izračuna na naslednji način:

\[(((z)")_(x))=((\levo(\sqrt(\frac(y)(x)) \desno))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \desno))^(\prime ))_(x)\]

Ponovimo, ker koren ni $x$, ampak nek drug izraz, v tem primeru $\frac(y)(x)$, potem bomo najprej uporabili standardno vrednost tabele, nato pa, ker je koren ne $x $ in drugega izraza, moramo našo izpeljanko pomnožiti z drugim iz tega izraza glede na isto spremenljivko. Najprej izračunajmo naslednje:

\[((\left(\frac(y)(x) \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

Vrnemo se k svojemu izrazu in zapišemo:

\[(((z)")_(x))=((\levo(\sqrt(\frac(y)(x)) \desno))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \desno)\]

V bistvu je to vse. Vendar je napačno pustiti v tej obliki: takšno konstrukcijo je neprijetno uporabljati za nadaljnje izračune, zato jo nekoliko preoblikujemo:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \desno)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

Odgovor je bil najden. Zdaj pa se lotimo $y$:

\[(((z)")_(y))=((\levo(\sqrt(\frac(y)(x)) \desno))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \desno))^(\prime ))_(y)\]

Zapišimo ločeno:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

Zdaj pa zapišemo:

\[(((z)")_(y))=((\levo(\sqrt(\frac(y)(x)) \desno))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \desno))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Končano.

Problem št. 2

Ta primer je enostavnejši in bolj zapleten kot prejšnji. Bolj zapleteno je, ker je dejanj več, je pa preprostejše, ker ni korena, poleg tega pa je funkcija simetrična glede na $x$ in $y$, tj. če zamenjamo $x$ in $y$, se formula ne bo spremenila. Ta pripomba bo dodatno poenostavila naš izračun delnega odvoda, tj. dovolj je, da enega preštejemo, v drugem pa preprosto zamenjamo $x$ in $y$.

Pa se lotimo stvari:

\[(((z)")_(x))=((\levo(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \desno ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \desno)-xy((\levo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(\prime ) )_(x))(((\levo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))\]

Preštejmo:

\[((\levo(xy \desno))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \desno))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Vendar mnogi učenci tega zapisa ne razumejo, zato ga zapišimo takole:

\[((\levo(xy \desno))^(\prime ))_(x)=((\left(x \desno))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\levo(y \desno))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Tako smo se še enkrat prepričali o univerzalnosti algoritma delnih izpeljav: ne glede na to, kako jih izračunamo, če so vsa pravila pravilno uporabljena, bo odgovor enak.

Zdaj pa si poglejmo še en delni derivat iz naše velike formule:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Zamenjajmo nastale izraze v našo formulo in dobimo:

\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ desno)-xy((\levo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(\prime ))_(x))(((\levo (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno)-xy\cdot 2x)(((\left((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))=\]

\[=\frac(y\levo(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \desno))(((\ levo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))=\frac(y\levo(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \desno))(((\levo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2 )))\]

Na podlagi preštetih $x$. In da bi izračunali $y$ iz istega izraza, ne izvajajmo istega zaporedja dejanj, ampak izkoristimo simetrijo našega prvotnega izraza - preprosto zamenjamo vse $y$ v našem izvirnem izrazu z $x$ in obratno:

\[(((z)")_(y))=\frac(x\levo(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \desno))((( \levo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))\]

Zaradi simetrije smo ta izraz izračunali veliko hitreje.

Nianse rešitve

Za delne odvode delujejo vse standardne formule, ki jih uporabljamo za navadne, in sicer odvod količnika. Ob tem pa se pojavijo posebnosti: če upoštevamo parcialni odvod $x$, ga potem, ko ga dobimo iz $x$, obravnavamo kot konstanto, zato bo njegov odvod enak »nič« .

Tako kot pri navadnih izvedenih finančnih instrumentih lahko količnik (isti izvedeni finančni instrument) izračunamo na več različnih načinov. Na primer, isto konstrukcijo, ki smo jo pravkar izračunali, lahko prepišemo na naslednji način:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\levo(xy \desno))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

Hkrati pa lahko na drugi strani uporabite formulo iz izpeljane vsote. Kot vemo, je enak vsoti derivatov. Na primer, zapišimo naslednje:

\[((\levo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Zdaj, ko vemo vse to, poskusimo delati z resnejšimi izrazi, saj realni delni odvodi niso omejeni samo na polinome in korene: obstajajo tudi trigonometrija, logaritmi in eksponentna funkcija. Zdaj pa naredimo to.

Problemi s trigonometričnimi funkcijami in logaritmi

Naloga št. 1

Zapišimo naslednje standardne formule:

\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\levo(\cos x \desno))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Oboroženi s tem znanjem, poskusimo rešiti:

\[(((z)")_(x))=((\levo(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \desno))^(\prime ))_(x )=((\levo(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\levo (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Zapišimo eno spremenljivko posebej:

\[((\levo(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y)\right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Vrnimo se k našemu dizajnu:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

To je to, našli smo za $x$, zdaj pa naredimo izračune za $y$:

\[(((z)")_(y))=((\levo(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \desno))^(\prime ))_(y )=((\levo(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\levo (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Spet izračunajmo en izraz:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \desno)\]

Vrnemo se k prvotnemu izrazu in nadaljujemo rešitev:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Končano.

Problem št. 2

Zapišimo formulo, ki jo potrebujemo:

\[((\levo(\ln x \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Zdaj pa računajmo z $x$:

\[(((z)")_(x))=((\levo(\ln \left(x+\ln y \desno) \desno))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\levo(x+\ln y \desno))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \desno)=\frac(1)(x+\ln y)\]

Najdeno za $x$. Računamo z $y$:

\[(((z)")_(y))=((\levo(\ln \left(x+\ln y \desno) \desno))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\levo(x+\ln y \desno))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \desno)=\frac(1)(y\levo(x+\ln y \desno))\ ]

Problem je rešen.

Nianse rešitve

Torej, ne glede na to, kateri funkciji vzamemo delni odvod, pravila ostajajo enaka, ne glede na to, ali delamo s trigonometrijo, s koreni ali z logaritmi.

Klasična pravila dela s standardnimi odvodi ostajajo nespremenjena, in sicer odvod vsote in razlike, količnika in kompleksne funkcije.

Zadnjo formulo največkrat najdemo pri reševanju problemov z delnimi odvodi. Srečamo jih skoraj povsod. Nikoli ni bilo niti ene naloge, kjer je ne bi naleteli. Toda ne glede na to, katero formulo uporabimo, imamo še vedno dodano še eno zahtevo, in sicer posebnost dela z delnimi izpeljankami. Ko popravimo eno spremenljivko, so vse ostale konstante. Zlasti, če upoštevamo delni odvod izraza $\cos \frac(x)(y)$ glede na $y$, potem je $y$ spremenljivka in $x$ ostane povsod konstanten. Ista stvar deluje obratno. Lahko se vzame iz znaka izpeljave, izpeljanka same konstante pa bo enaka "ničli".

Vse to vodi k dejstvu, da lahko delni izpeljanki istega izraza, vendar glede na različne spremenljivke, izgledajo popolnoma drugače. Na primer, poglejmo naslednje izraze:

\[((\levo(x+\ln y \desno))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\levo(x+\ln y \desno))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Težave z eksponentnimi funkcijami in logaritmi

Naloga št. 1

Za začetek napišimo naslednjo formulo:

\[((\levo(((e)^(x)) \desno))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

Če poznamo to dejstvo, pa tudi odvod kompleksne funkcije, poskusimo izračunati. Zdaj ga bom rešil na dva različna načina. Prva in najbolj očitna je izpeljanka izdelka:

\[(((z)")_(x))=((\levo(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \desno) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \desno))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \desno))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\levo(\frac(x)(y) \desno))^(\prime ))_(x)=\]

Ločeno rešimo naslednji izraz:

\[((\left(\frac(x)(y) \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Vrnemo se k prvotni zasnovi in ​​nadaljujemo z rešitvijo:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\desno)\]

Vse, $x$ je izračunano.

Vendar, kot sem obljubil, bomo zdaj ta isti delni odvod poskušali izračunati na drugačen način. Če želite to narediti, upoštevajte naslednje:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

Zapišimo takole:

\[((\levo(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \desno))^(\prime ))_(x)=( (\levo(((e)^(x+\frac(x)(y))) \desno))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \desno))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \desno)\]

Posledično smo prejeli popolnoma enak odgovor, vendar se je količina izračunov izkazala za manjšo. Da bi to naredili, je bilo dovolj omeniti, da se lahko pri izvajanju izdelka dodajo indikatorji.

Zdaj pa računajmo z $y$:

\[(((z)")_(y))=((\levo(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \desno) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \desno))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \desno))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\levo(\frac(x)(y) \desno))^(\prime ))_(y)=\]

Rešimo en izraz posebej:

\[((\left(\frac(x)(y) \desno))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

Nadaljujmo z reševanjem naše prvotne konstrukcije:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Seveda bi ta isti derivat lahko izračunali na drugi način in odgovor bi bil enak.

Problem št. 2

Računajmo z $x$:

\[(((z)")_(x))=((\levo(x \desno))_(x))\cdot \ln \levo(((x)^(2))+y \desno )+x\cdot ((\levo(\ln \left(((x)^(2))+y \desno) \desno))^(\prime ))_(x)=\]

Izračunajmo en izraz posebej:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\levo(((x)^(2))+y \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]

Nadaljujmo z reševanjem prvotne konstrukcije: $$

To je odgovor.

Preostalo je, da po analogiji z $y$ poiščemo:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \desno))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \desno)+x\cdot ((\levo(\ln \levo(((x)^(2))+y \desno) \desno))^(\prime ))_(y)=\]

Kot vedno izračunamo en izraz posebej:

\[((\levo(((x)^(2))+y \desno))^(\prime ))_(y)=((\levo(((x)^(2)) \desno) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Nadaljujemo z reševanjem osnovne zasnove:

Vse je preračunano. Kot lahko vidite, so odgovori popolnoma različni, odvisno od tega, katero spremenljivko vzamemo za razlikovanje.

Nianse rešitve

Tukaj je osupljiv primer, kako je mogoče odvod iste funkcije izračunati na dva različna načina. Poglej tukaj:

\[(((z)")_(x))=\levo(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \desno)=( (\levo(((e)^(x)) \desno))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\levo(((e)^(\frac(x)(y))) \desno))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ levo(1+\frac(1)(y) \desno)\]

\[(((z)")_(x))=((\levo(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \desno)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \desno))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \desno))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\levo(1+\frac(1)(y) \desno)\ ]

Pri izbiri različnih poti je lahko količina izračunov drugačna, vendar bo odgovor, če je vse opravljeno pravilno, enak. To velja tako za klasične kot za delne izpeljanke. Ob tem še enkrat opozarjam: odvisno od katere spremenljivke je vzeta izpeljanka, tj. diferenciacije, se lahko odgovor izkaže za povsem drugačen. poglej:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\levo(((x)^(2))+y \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \desno))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]

Na koncu, da bi utrdili vse to gradivo, poskusimo izračunati še dva primera.

Problemi s trigonometričnimi funkcijami in funkcijami s tremi spremenljivkami

Naloga št. 1

Zapišimo naslednje formule:

\[((\levo(((a)^(x)) \desno))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\levo(((e)^(x)) \desno))^(\prime ))=((e)^(x))\]

Rešimo zdaj naš izraz:

\[(((z)")_(x))=((\levo(((3)^(x\sin y)) \desno))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \desno))^(\prime ))_(x)=\]

Ločeno izračunajmo naslednjo konstrukcijo:

\[((\left(x\cdot \sin y \desno))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ levo(\sin y \desno))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Nadaljujemo z reševanjem izvirnega izraza:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

To je končni odziv zasebne spremenljivke na $x$. Zdaj pa računajmo z $y$:

\[(((z)")_(y))=((\levo(((3)^(x\sin y)) \desno))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\levo(x\sin y \desno))^(\prime ))_(y)=\]

Rešimo en izraz posebej:

\[((\left(x\cdot \sin y \desno))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ levo(\sin y \desno))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Rešimo našo konstrukcijo do konca:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Problem št. 2

Na prvi pogled se lahko ta primer zdi precej zapleten, saj obstajajo tri spremenljivke. Pravzaprav je to ena najlažjih nalog v današnji video vadnici.

Poišči po $x$:

\[(((t)")_(x))=((\levo(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \desno))^(\prime ) )_(x)=((\levo(x\cdot ((e)^(y)) \desno))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e) ^(z)) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\levo(x \desno))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Zdaj pa se lotimo $y$:

\[(((t)")_(y))=((\levo(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \desno))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ((e)^(z)) \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \desno))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left (y \desno))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

Našli smo odgovor.

Zdaj ostane le še iskanje po $z$:

\[(((t)")_(z))=((\levo(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \desno))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e) )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

Izračunali smo tretji odvod, s katerim smo zaključili rešitev drugega problema.

Nianse rešitve

Kot lahko vidite, v teh dveh primerih ni nič zapletenega. Prepričani smo le v to, da se odvod kompleksne funkcije pogosto uporablja in glede na to, kateri delni odvod izračunamo, dobimo različne odgovore.

Pri zadnji nalogi so nas prosili, da razumemo funkcijo treh spremenljivk hkrati. S tem sicer ni nič narobe, a čisto na koncu smo se prepričali, da so vsi med seboj bistveno drugačni.

Ključne točke

Zadnji zaključki današnje video vadnice so naslednji:

1. Parcialne odvode računamo na enak način kot navadne, le da za izračun delnega odvoda glede na eno spremenljivko vzamemo vse ostale spremenljivke, ki so vključene v to funkcijo, kot konstante.
2. Pri delnih odvodih uporabljamo enake standardne formule kot pri običajnih odvodih: vsota, razlika, odvod produkta in količnika ter seveda odvod kompleksne funkcije.

Seveda samo ogled te video lekcije ni dovolj za popolno razumevanje te teme, zato je trenutno na mojem spletnem mestu nabor težav za ta videoposnetek, ki je posebej posvečen današnji temi - pojdite, prenesite, rešite te težave in preverite odgovor . In po tem ne boste imeli težav z delnimi izpeljankami ne pri izpitih ne pri samostojnem delu. Seveda to ni zadnja lekcija višje matematike, zato obiščite našo spletno stran, dodajte VKontakte, se naročite na YouTube, všečkajte in ostanite z nami!

Parcialni odvodi se uporabljajo pri problemih, ki vključujejo funkcije več spremenljivk. Pravila iskanja so popolnoma enaka kot za funkcije ene spremenljivke, le da je treba eno od spremenljivk v času diferenciranja obravnavati kot konstanto (konstantno število).

Formula

Delne odvode za funkcijo dveh spremenljivk $ z(x,y) $ zapišemo v naslednji obliki $ z"_x, z"_y $ in jih najdemo z uporabo formul:

Parcialni odvodi prvega reda

$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$

$$ z"_y = \frac(\delni z)(\delni y) $$

Parcialni odvodi drugega reda

$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$

Mešana izpeljanka

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$

Parcialni odvod kompleksne funkcije

a) Naj $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, potem je odvod kompleksne funkcije določen s formulo:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\delni z)(\delni x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\delni z)(\delni y) \cdot \frac (dy)(dt)$$

b) Naj bo $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, potem se parcialni odvodi funkcije najdejo po formuli:

$$ \frac(\delni z)(\delni u) = \frac(\delni z)(\delni x) \cdot \frac(\delni x)(\delni u) + \frac(\delni z)( \delni y) \cdot \frac(\delni y)(\delni u) $$

$$ \frac(\delni z)(\delni v) = \frac(\delni z)(\delni x) \cdot \frac(\delni x)(\delni v) + \frac(\delni z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

Parcialni odvodi implicitne funkcije

a) Naj bo $ F(x,y(x)) = 0 $, potem $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) Naj bo $ F(x,y,z)=0 $, potem $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Primeri rešitev

Primer 1

Poiščite delne odvode prvega reda $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $

rešitev

Da bi našli delni odvod glede na $ x $, bomo upoštevali $ y $ kot konstantno vrednost (število): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Če želite najti delni odvod funkcije glede na $y$, definiramo $y$ s konstanto: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Če ne morete rešiti svoje težave, nam jo pošljite. Zagotovili bomo podrobno rešitev. Ogledali si boste lahko potek izračuna in pridobili informacije. Tako boste pravočasno prejeli oceno od učitelja!

Odgovori

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

Primer 2

Poiščite delne odvode funkcije drugega reda $ z = e^(xy) $

rešitev

Najprej morate poiskati izpeljanke prvega reda, nato pa, ko jih poznate, lahko poiščete izpeljanke drugega reda. Naj bo $y$ konstanta: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Nastavimo zdaj $ x $ kot konstantno vrednost: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Če poznamo prve izpeljanke, podobno najdemo tudi druge. Nastavite $y$ na konstanto: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ $ x $ nastavimo na konstanto: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Zdaj ostane le še najti mešano izpeljanko. $ z"_x $ lahko razlikujete po $ y $ in $ z"_y $ lahko razlikujete po $ x $, saj po izreku $ z""_(xy) = z""_(yx) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$

Odgovori

$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

Primer 4

Naj $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ definira implicitno funkcijo $ F(x,y,z) = 0 $. Poiščite delne odvode prvega reda.

rešitev

Funkcijo zapišemo v obliki: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ in poiščemo odvode: $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Odgovori

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Upoštevani so primeri izračuna odvodov eksplicitnih funkcij višjega reda. Podane so uporabne formule za izračun odvodov n-tega reda.

Vsebina

Določanje odvodov višjega reda

Tu obravnavamo primer, ko je spremenljivka y eksplicitno odvisna od spremenljivke x:
.
Z diferenciacijo funkcije glede na spremenljivko x dobimo odvod prvega reda ali preprosto odvod:
.
Posledično dobimo novo funkcijo, ki je izpeljanka funkcije. Če to novo funkcijo diferenciramo glede na spremenljivko x, dobimo odvod drugega reda:
.
Z razlikovanjem funkcije dobimo odvod tretjega reda:
.
In tako naprej. Z n-kratnim diferenciranjem izvirne funkcije dobimo odvod n-tega reda ali n-ti odvod:
.

Izpeljanke je mogoče označiti poteze, rimske številke, arabske številke v oklepaju ali ulomki diferencialov. Na primer, derivate tretjega in četrtega reda lahko označimo na naslednji način:
;
.

Spodaj so formule, ki so lahko uporabne pri izračunu derivatov višjega reda.

Uporabne formule za odvode n-tega reda

Izpeljanke nekaterih elementarnih funkcij:
;
;
;
;
.

Odvod vsote funkcij:
,
kje so konstante.

Leibnizova formula derivat zmnožka dveh funkcij:
,
Kje
- binomski koeficienti.

Primer 1

Poiščite odvod prvega in drugega reda naslednje funkcije:
.

Najdemo izpeljanko prvega reda. Konstanto vzamemo izven predznaka za odvod in uporabimo formulo iz tabele odvodov:
.
Uporabimo pravilo diferenciacije kompleksnih funkcij:
.
Tukaj.
Uporabimo pravilo diferenciacije kompleksne funkcije in uporabimo najdene odvode:
.
Tukaj.

.
Da bi našli odvod drugega reda, moramo najti odvod odvoda prvega reda, to je funkcije:
.
Da se izognemo zmedi z zapisom, označimo to funkcijo s črko:
(A1.1) .
Potem derivat drugega reda iz prvotne funkcije je izpeljanka funkcije:
.

Iskanje odvoda funkcije. To je lažje narediti z uporabo logaritemskega odvoda. Logaritmirajmo (A1.1):
.
Zdaj pa ločimo:
(A1.2) .
Ampak to je konstanta. Njegov derivat je nič. Našli smo že izpeljanko. Preostale odvode poiščemo s pravilom diferenciacije kompleksne funkcije.
;
;
.
V (A1.2) nadomestimo:

.
Od tod
.

;
.

Primer 2

Poiščite odvod tretjega reda:
.

Iskanje odvoda prvega reda. Da bi to naredili, vzamemo konstanto izven predznaka izpeljanke in uporabimo tabela izpeljank in se prijavi pravilo za iskanje odvoda kompleksne funkcije .

.
Tukaj.
Torej, našli smo izpeljanko prvega reda:
.

Iskanje odvoda drugega reda. Da bi to naredili, najdemo izpeljanko . Uporabimo formulo odpeljanega ulomka.
.
Izpeljanka drugega reda:
.

Zdaj najdemo, kar iščemo derivat tretjega reda. Da bi to naredili, razlikujemo.
;
;

.

Odvod tretjega reda je enak
.

Primer 3

Poiščite odvod šestega reda naslednje funkcije:
.

Če odprete oklepaje, bo jasno, da je prvotna funkcija polinom stopnje . Zapišimo ga kot polinom:
,
kjer so konstantni koeficienti.

Nato uporabimo formulo za n-ti odvod potenčne funkcije:
.
Za odvod šestega reda (n = 6 ) imamo:
.
Iz tega je razvidno, da pri. Ko imamo:
.

Za odvod vsote funkcij uporabimo formulo:

.
Torej, da bi našli odvod šestega reda prvotne funkcije, moramo najti samo koeficient polinoma na najvišji stopnji. Najdemo ga tako, da pomnožimo največje potence v zmnožkih vsot prvotne funkcije:

.
Od tod. Potem
.

Primer 4

Poiščite n-ti odvod funkcije
.

Rešitev >>>

Primer 5

Poiščite n-ti odvod naslednje funkcije:
,
kjer sta in sta konstanti.

V tem primeru je priročno izvajati izračune z uporabo kompleksnih števil. Imejmo neko kompleksno funkcijo
(A5.1) ,
kjer sta in sta funkciji realne spremenljivke x;
- imaginarna enota, .
Z n-kratnim diferenciranjem (A.1) dobimo:
(A5.2) .
Včasih je lažje najti n-ti odvod funkcije. Nato so n-ti odvodi funkcij definirani kot realni in imaginarni deli n-te odvode:
;
.

Uporabimo to tehniko za rešitev našega primera. Upoštevajte funkcijo
.
Tukaj smo uporabili Eulerjevo formulo
,
in uvedel oznako
.
Potem je n-ti odvod prvotne funkcije določen s formulo:
.

Poiščimo n-ti odvod funkcije
.
Za to uporabimo formulo:
.
V našem primeru
.
Potem
.

Torej smo našli n-ti odvod kompleksne funkcije:
,
Kje .
Poiščimo realni del funkcije.
Da bi to naredili, predstavljamo kompleksno število v eksponentni obliki:
,
Kje ;
; .
Potem
;

.

Primer rešitve
.

Pustiti , .
Potem ;
.
ob ,
,
,
.
In dobimo formulo za n-ti odvod kosinusa:
.

,
Kje
; .