Sekcia Úvodný prehľad pojednáva o dvoch veľmi jednoduché príklady(prevzaté zo Shumway, 1988) na ilustráciu povahy spektrálnej analýzy a interpretácie výsledkov. Ak túto metódu nepoznáte, odporúčame vám, aby ste si najprv pozreli túto časť tejto kapitoly.

Prehľad a dátový súbor. Súbor Sunspot.sta obsahuje časť známych čísel slnečných škvŕn (Wolfer) z rokov 1749 až 1924 (Anderson, 1971). Nižšie je uvedený zoznam niekoľkých prvých údajov z príkladu súboru.

Predpokladá sa, že množstvo slnečných škvŕn ovplyvňuje počasie na zemi, ale aj poľnohospodárstvo, telekomunikácie atď. Pomocou tejto analýzy sa možno pokúsiť zistiť, či je aktivita slnečných škvŕn skutočne cyklická (v skutočnosti je, tieto údaje sú široko diskutované v literatúre; pozri napríklad Bloomfield, 1976 alebo Shumway, 1988).

Definícia analýzy. Po spustení analýzy otvorte dátový súbor Sunspot.sta. Kliknite na tlačidlo Premenné a vyberte premennú Spots (všimnite si, že ak je dátový súbor Sunspot.sta aktuálny otvorený súborúdaje a premenná Spots je jedinou premennou v tomto súbore, potom keď sa otvorí dialógové okno Analýza časových radov, automaticky sa vyberú Spoty). Teraz kliknite na tlačidlo Fourierovej (spektrálnej) analýzy, čím otvoríte dialógové okno Fourierovej (spektrálnej) analýzy.

Pred aplikáciou spektrálnej analýzy najskôr vyneste do grafu počet slnečných škvŕn. Všimnite si, že súbor Sunspot.sta obsahuje zodpovedajúce roky ako názvy pozorovaní. Ak chcete použiť tieto mená v čiarové grafy, kliknite na kartu Zobraziť sériu a v časti Označiť body vyberte Názvy prípadov. Vyberte tiež Nastaviť mierku osi X manuálne a Min. = 1 a krok = 10. Potom kliknite na tlačidlo Graf vedľa tlačidla Výber zobrazenia. premenlivý.

Zdá sa, že počet slnečných škvŕn sleduje cyklický vzor. Trend nie je viditeľný, takže sa vráťte do okna Spectral Analysis a zrušte výber možnosti Remove Linear Trend v skupine Transform Source Series.

Je zrejmé, že priemer série je väčší ako 0 (nula). Preto ponechajte vybratú možnosť Odčítať strednú hodnotu [inak bude periodogram „upchatý“ veľmi veľkou špičkou pri frekvencii 0 (nula)].

Teraz ste pripravení začať s analýzou. Teraz kliknite na OK (Jednorozmerná Fourierova analýza), aby sa zobrazilo dialógové okno Výsledky Fourierovej spektrálnej analýzy.

Zobraziť výsledky. Informačná sekcia v hornej časti dialógového okna zobrazuje súhrnné štatistiky pre sériu. Zobrazuje tiež päť najväčších vrcholov v periodograme (podľa frekvencie). Tri najväčšie vrcholy sú pri frekvenciách 0,0852, 0,0909 a 0,0114. Tieto informácie sú často užitočné pri analýze veľmi veľkých sérií (napríklad s viac ako 100 000 pozorovaniami), ktoré sa nedajú ľahko vykresliť do jedného grafu. V tomto prípade je však ľahké vidieť hodnoty periodogramu; kliknutím na tlačidlo Periodogram v časti Periodogram a grafy spektrálnej hustoty.

Periodogramový graf ukazuje dva jasné vrcholy. Maximum je pri frekvencii približne 0,9. Vráťte sa do okna Výsledky spektrálnej analýzy a kliknite na tlačidlo Súhrn, aby ste videli všetky hodnoty periodogramu (a ďalšie výsledky) v tabuľke výsledkov. Nižšie je uvedená časť výsledkovej tabuľky s najväčším vrcholom identifikovaným z periodogramu.

Ako je uvedené v časti Úvodný prehľad, Frekvencia je počet cyklov za jednotku času (kde každé pozorovanie je jednou jednotkou času). Frekvencia 0,0909 teda zodpovedá hodnote 11 periód (počet časových jednotiek potrebných na úplný cyklus). Keďže údaje o slnečných škvrnách na stránke Sunspot.sta predstavujú ročné pozorovania, možno dospieť k záveru, že v aktivite slnečných škvŕn existuje zreteľný 11-ročný (možno o niečo dlhší ako 11-ročný) cyklus.

Spektrálna hustota. Na výpočet odhadov spektrálnej hustoty sa periodogram zvyčajne vyhladzuje, aby sa odstránili náhodné fluktuácie. Typ váženého kĺzavého priemeru a šírku okna je možné vybrať v časti Spektrálne okná. Sekcia Úvodný prehľad podrobne rozoberá tieto možnosti. Pre náš príklad nechajme vybraté predvolené okno (Hammingova šírka 5) a vyberieme graf Spectral Density.

Dva vrcholy sú teraz ešte jasnejšie. Pozrime sa na hodnoty periodogramu podľa obdobia. Vyberte pole Obdobie v časti Plán. Teraz vyberte graf spektrálnej hustoty.

Opäť je možné vidieť, že existuje výrazný 11-ročný cyklus aktivity slnečných škvŕn; Okrem toho existujú známky existencie dlhšieho, približne 80-90 ročného cyklu.

FOURIEROVÁ TRANSFORMÁCIA A KLASICKÁ DIGITÁLNA SPEKTRÁLNA ANALÝZA.
Medvedev S.Yu., Ph.D.

Úvod

Spektrálna analýza je jednou z metód spracovania signálu, ktorá umožňuje charakterizovať frekvenčné zloženie meraného signálu. Fourierova transformácia je matematický rámec, ktorý spája časový alebo priestorový signál (alebo nejaký model tohto signálu) s jeho reprezentáciou vo frekvenčnej doméne. Štatistické metódy hrajú dôležitú úlohu v spektrálnej analýze, pretože signály sú počas šírenia alebo merania spravidla náhodné alebo zašumené. Ak by boli základné štatistické charakteristiky signálu presne známe, alebo by sa dali určiť z konečného intervalu tohto signálu, potom by spektrálna analýza predstavovala odvetvie „exaktnej vedy“. V skutočnosti však zo segmentu signálu možno získať len odhad jeho spektra. Preto je prax spektrálnej analýzy druhom remesla (alebo umenia?) skôr subjektívneho charakteru. Rozdiel medzi spektrálnymi odhadmi získanými ako výsledok spracovania toho istého segmentu signálu rôznymi metódami možno vysvetliť rozdielom v predpokladoch týkajúcich sa údajov, rôzne cesty spriemerovanie atď. Ak nie sú charakteristiky signálu a priori známe, nie je možné povedať, ktorý z odhadov je lepší.

Fourierova transformácia - matematický základ spektrálnej analýzy
Stručne pohovorme o rôznych typoch Fourierovej transformácie (podrobnejšie pozri).
Začnime Fourierovou transformáciou časovo spojitého signálu

, (1)

ktorý identifikuje frekvencie a amplitúdy tých zložitých sínusoidov (exponentov), ​​na ktoré sa rozkladá nejaké ľubovoľné kmitanie.
Obrátená konverzia

. (2)

Existencia priamych a inverzných Fourierových transformácií (ktoré budeme ďalej nazývať Fourierova transformácia so spojitým časom – CTFT) je určená množstvom podmienok. Dostatočná - absolútna integrovateľnosť signálu

. (3)

Menej obmedzujúcou dostatočnou podmienkou je konečnosť energie signálu

. (4)

Uveďme niekoľko základných vlastností Fourierovej transformácie a funkcií použitých nižšie, pričom si všimnime, že obdĺžnikové okno je definované výrazom

(5)

a funkcia sinc je výraz

(6)

Funkcia vzorkovania v časovej oblasti je daná pomocou

(7)

Táto funkcia sa niekedy nazýva aj funkcia periodického pokračovania.

Tabuľka 1. Hlavné vlastnosti NVPF a funkcie

Majetok, funkcia	Funkcia	Konverzia
Linearita	ag(t) + bh(t)	aG(f) + bH(f)
Časový posun	h (t - t 0)	H(f)exp(-j2pf t 0)
Posun frekvencie (modulácia)	h (t)exp(j2pf0 t)	H(f - f 0)
Škálovanie	(1 / |a|)h(t / a)	H(af)
Veta o konvolúcii v časovej oblasti	g(t)*h(t)	G(f)H(f)
Veta o konvolúcii vo frekvenčnej oblasti	g(t) h(t)	G(f)*H(f)
Funkcia okna	aw(t/T)	2ATsinc (2Tf)
Funkcia Sinc	2AFsinc (2Ft)	au(f/F)
Pulzná funkcia	reklama(t)
Funkcia počítania	T(f)	FF(f), F=l/T

Ďalšia dôležitá vlastnosť je stanovená Parsevalovou vetou pre dve funkcie g(t) a h(t):

. (8)

Ak dáme g(t) = h(t), potom sa Parsevalova veta redukuje na vetu pre energiu

. (9)

Výraz (9) je v podstate jednoduchou formuláciou zákona zachovania energie v dvoch doménach (čas a frekvencia). V (9) vľavo je celková energia signálu, teda funkcia

(10)

opisuje frekvenčné rozdelenie energie pre deterministický signál h(t) a preto sa nazýva spektrálna hustota energie (SED). Používanie výrazov

(11)

možno vypočítať amplitúdové a fázové spektrá signálu h(t).

Operácie odberu vzoriek a váženia

V ďalšej časti si predstavíme diskrétny Fourierov rad (DTFS) alebo inak diskrétnu Fourierovu transformáciu (DFT) ako špeciálny prípad spojitej Fourierovej transformácie (CTFT) pomocou dvoch základných operácií spracovania signálu - odber vzoriek ( vzorkovanie) A vážení pomocou okna. Tu uvažujeme o vplyve týchto operácií na signál a jeho transformáciu. Tabuľka 2 uvádza funkcie, ktoré vykonávajú váženie a vzorkovanie.

Pre rovnomerné odčítanie s intervalom T sekúnd sa vzorkovacia frekvencia F rovná 1/T Hz. Všimnite si, že vážiaca funkcia a vzorkovacia funkcia v časovej oblasti sú označené TW (časové okno) a TS (časové vzorkovanie) a vo frekvenčnej oblasti - FW (frekvenčné okno) a FS (frekvenčné vzorkovanie).

Tabuľka 2. Funkcie váženia a odberu vzoriek

Prevádzka	Funkcia času	Konverzia
Váha v časovej doméne (šírka okna NT s)	TW=w(2t / NT - 1)	F(TW)=NTsinc(NTf)exp(-jpNTf)
Váhovanie frekvenčnej domény (šírka okna 1/T Hz)		FW=w(2Tf)
Počítanie v čase (interval T s)	TS=T T(t)
Vzorkovanie frekvencie (v intervaloch 1/NT Hz)

Predpokladajme, že sa odoberú vzorky spojitého reálneho signálu x(t) s obmedzeným spektrom, ktorého horná frekvencia sa rovná F0. NVFT reálneho signálu je vždy symetrická funkcia s plnou šírkou 2F0, viď obr.1.
Vzorky signálu x(t) možno získať vynásobením tohto signálu vzorkovou funkciou:

(12)

Obr. 1 - ilustrácia vzorkovacej vety v časovej oblasti pre reálny signál s obmedzeným spektrom:
a - pôvodná časová funkcia a jej Fourierova transformácia;
b - funkcia vzoriek v čase a jej Fourierova transformácia;
časové vzorky pôvodnej funkcie a jej periodicky pokračujúcej Fourierovej transformácie pre prípad Fo<1/2T;
d - frekvenčné okno (ideálny dolnopriepustný filter) a jeho Fourierova transformácia (funkcia sinc);
d - pôvodná časová funkcia obnovená pomocou konvolučnej operácie s funkciou sinc.

Podľa teorému o konvolúcii vo frekvenčnej doméne je FTFT signálu x(t) jednoducho konvolúciou spektra signálu x(t) a Fourierovej transformácie funkcie časovej vzorky (TS):

. (13)

Konvolúcia X(f) s Fourierovou transformáciou vzorkovej funkcie F(TS)=Y1/T(f) jednoducho periodicky pokračuje X(f) s frekvenčným intervalom 1/T Hz. Preto XS(f) je periodicky rozšírené spektrum X(f). Vo všeobecnosti vzorky v jednej doméne (napríklad čas) vedú k periodickému pokračovaniu v transformačnej doméne (napríklad frekvencia). Ak je vzorkovacia frekvencia zvolená dostatočne nízka (F< 2Fo), то периодически продолженные спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название эффекта наложения в частотной области.
Aby sa z jeho vzoriek obnovil pôvodný časový signál, t.j. na interpoláciu určitého kontinua hodnôt medzi týmito vzorkami môžete vzorkované dáta preniesť cez ideálny dolnopriepustný filter s pravouhlou frekvenčnou odozvou (obr. 1d)

. (14)

V dôsledku toho (pozri obr. 1 d) sa obnoví pôvodná Fourierova transformácia. Pomocou konvolučných viet v časovej a frekvenčnej oblasti získame

. (15)

Výraz (15) je matematický zápis vzorkovacie vety v časovej oblasti(teorém Whittakera, Kotelnikova, Shannona - UKSH), ktorý hovorí, že pomocou interpolačného vzorca (15) je možné presne obnoviť skutočný signál s obmedzeným spektrom nekonečným počtom vzorky známeho času odoberané s frekvenciou F = 2F0. Duál k teorému (15) je teorém vzorky vo frekvenčnej oblasti pre signály s obmedzenou dobou trvania.
Operácie v časovej oblasti, podobne ako (14), sú opísané výrazom

, (16)

a zodpovedajúce transformácie sú výrazy

NVPF X(f) niektorého signálu s obmedzenou dobou trvania teda možno jednoznačne obnoviť z ekvidištantných vzoriek spektra takéhoto signálu, ak zvolený interval vzorkovania frekvencie spĺňa podmienku F1/2T 0 Hz, kde T 0 je signál. trvanie.

Vzťahy medzi spojitými a diskrétnymi transformáciami

Pár transformácií pre konvenčnú definíciu N-bodovej diskrétnej Fourierovej transformácie (DFT) časová postupnosť x[n] a zodpovedajúci N-bod Fourierove transformačné sekvencie X[k] je dané výrazmi

, (18)
. (19)

Aby sme získali spektrálne odhady zo vzoriek údajov v zodpovedajúcich jednotkách energie alebo výkonu, napíšeme Fourierovu sériu s diskrétnym časom (DTFS), ktorú možno považovať za určitú aproximáciu Fourierovej transformácie so spojitým časom (CTFT), založenú na použitie konečného počtu vzoriek údajov:

Na preukázanie povahy súladu s DVRF ( diskrétne funkcie v časovej aj frekvenčnej oblasti) a CVDF (spojité funkcie v časovej a frekvenčnej oblasti), potrebujeme sekvenciu štyroch lineárnych komutatívnych operácií: váženie v časovej a frekvenčnej oblasti a odber vzoriek alebo odber vzoriek v časovej aj frekvenčnej oblasti. Ak sa vážiaca operácia vykoná v jednej z týchto oblastí, potom podľa konvolučnej vety bude zodpovedať filtračnej operácii (konvolúcii) v inej oblasti s funkciou sinc. Podobne, ak sa diskretizácia vykonáva v jednej oblasti, potom sa v inej oblasti vykonáva periodická operácia pokračovania. Pretože váženie a odber vzoriek sú lineárne a komutatívne operácie, sú možné rôzne spôsoby ich zoradenia, ktoré poskytujú rovnaký konečný výsledok s rôznymi medzivýsledkami. Obrázok 2 ukazuje dve možné sekvencie na vykonanie týchto štyroch operácií.

Ryža. 2. Dve možné sekvencie dvoch operácií váženia a dvoch operácií odberu vzoriek, ktoré spájajú NVPF a DVRF: FW - aplikácia okna vo frekvenčnej oblasti; TW - aplikácia okna v časovej oblasti; FS - odber vzoriek vo frekvenčnej oblasti; TS - odber vzoriek v časovej oblasti.
1 - Fourierova transformácia so spojitým časom, rovnica (1);
4 - Fourierova transformácia v diskrétnom čase, rovnica (22);
5 - Fourierov rad so spojitým časom, rovnica (25);
8 - Fourierov rad s diskrétnym časom, rovnica (27)

V dôsledku vykonávania operácií váženia a odberu vzoriek v uzloch 1, 4, 5 a 8 sa vyskytnú štyri rôzne typy Fourierových vzťahov. Uzly, v ktorých sa funkcia nachádza frekvenčná doména je spojitá, odkazujú na transformácií Fourier a uzly, v ktorých je funkcia vo frekvenčnej doméne diskrétne odkazujú na Fourierov rad(podrobnejšie pozri).
Takže v uzle 4 sa generuje váženie vo frekvenčnej oblasti a vzorkovanie v časovej oblasti diskrétna časová konverzia Fourierova transformácia (FTFT), ktorá sa vyznačuje funkciou periodického spektra vo frekvenčnej oblasti s periódou 1/T Hz:

(22)

(23)

Všimnite si, že výraz (22) definuje určitú periodickú funkciu, ktorá sa zhoduje s pôvodnou transformovanou funkciou špecifikovanou v uzle 1 iba vo frekvenčnom rozsahu od -1/2T do 1/2T Hz. Výraz (22) súvisí so Z-transformáciou diskrétnej sekvencie x[n] vzťahom

(24)

Takže DVFT je jednoducho Z-transformácia vypočítaná na jednotkovej kružnici a vynásobená T.
Ak sa presunieme z uzla 1 do uzla 8 na obr. 2 po spodnej vetve, v uzle 5 operácie váženia v časovej oblasti (obmedzenie trvania signálu) a vzorkovania vo frekvenčnej oblasti generujú Fourierovu sériu so spojitým časom (CFTS). ). Pomocou vlastností a definícií funkcií uvedených v tabuľkách 1 a 2 získame nasledujúcu dvojicu transformácií
(25)
(26)

Všimnite si, že výraz (26) definuje určitú periodickú funkciu, ktorá sa s pôvodnou (v uzle 1) zhoduje len v časovom intervale od 0 do NT.
Bez ohľadu na to, ktorá z dvoch sekvencií štyroch operácií sa vyberie, konečný výsledok v uzle 8 bude rovnaký - Fourierov rad v diskrétnom čase, čo zodpovedá nasledujúcemu páru transformácií získaných použitím vlastností uvedených v tabuľke 1.

, (27)

kde k=-N/2,. . . ,N/2-1

, (28)

kde n=0,. . . ,N-1,
Energetická veta pre tento DVRF je:

, (29)

a charakterizuje energiu sekvencie N dátových vzoriek. Obidve postupnosti x[n] a X[k] sú periodické modulo N, takže (28) možno zapísať v tvare

, (30)

kde 0 n N. Faktor T v (27) - (30) je potrebný, aby (27) a (28) boli v skutočnosti aproximáciou integrálnej transformácie v oblasti integrácie

.(31)

Nulové polstrovanie

Prostredníctvom procesu tzv výplň nulami, Fourierovu sériu s diskrétnym časom možno upraviť tak, aby interpolovala medzi N hodnotami pôvodnej transformácie. Dostupné vzorky údajov x,...,x nech sú doplnené nulovými hodnotami x[N],...X. DVRF tejto nulami vyplnenej 2N-bodkovej dátovej sekvencie bude dané

(32)

kde je horná hranica súčtu vpravo upravená tak, aby vyhovovala prítomnosti nulových údajov. Nech k=2m, tak

, (33)

kde m=0,1,...,N-1, definuje párne hodnoty X[k]. To ukazuje, že pre párne hodnoty indexu k sa 2N-bodový diskrétny Fourierov rad redukuje na N-bodový diskrétny časový rad. Nepárne hodnoty indexu k zodpovedajú interpolovaným hodnotám DVRF umiestneným medzi hodnotami pôvodného N-bodového DVRF. Keď sa k pôvodnej sekvencii N-bodov pridáva stále viac núl, možno získať ešte viac interpolovaných údajov. V obmedzujúcom prípade nekonečného počtu vstupných núl možno DVRF považovať za Fourierovu transformáciu N-bodovej dátovej sekvencie s diskrétnym časom:

. (34)

Transformácia (34) zodpovedá uzlu 6 na obr.
Existuje mylná predstava, že nulová výplň zlepšuje rozlíšenie, pretože zvyšuje dĺžku sekvencie údajov. Ako však vyplýva z obr. 3, vyplnenie nulami nezlepšuje sa rozlíšenie transformácie získanej z danej konečnej dátovej sekvencie. Zero padding jednoducho umožňuje interpolovaný prevod vyhladenejší tvar. Okrem toho eliminuje neistoty spôsobené prítomnosťou úzkopásmových zložiek signálu, ktorých frekvencie ležia medzi N bodmi zodpovedajúcimi odhadovaným frekvenciám pôvodného DVRF. Pri výplni nulami sa zvyšuje aj presnosť odhadu frekvencie spektrálnych vrcholov. Pod pojmom spektrálne rozlíšenie budeme rozumieť schopnosť rozlišovať medzi spektrálnymi odozvami dvoch harmonických signálov. Všeobecne uznávaným pravidlom, často používaným v spektrálnej analýze, je, že frekvenčné oddelenie jednotlivých sínusoidov nemôže byť menšie ako ekvivalentná šírka okna, cez ktoré sú pozorované segmenty (úseky) týchto sínusoidov.

Obr.3. Interpolácia pomocou nulovej výplne:
a - DVRF modul pre 16-bodový záznam údajov obsahujúci tri sínusoidy bez výplne nulami (viditeľné sú neistoty: nedá sa povedať, koľko sínusoidov je v signáli - dve, tri alebo štyri);
b - DVRF modul rovnakej sekvencie po zdvojnásobení počtu jeho vzoriek v dôsledku pridania 16 núl (neistoty sú vyriešené, pretože všetky tri sínusoidy sú rozlíšiteľné;
c - DVRF modul rovnakej sekvencie po štvornásobnom zvýšení počtu jeho vzoriek v dôsledku pridania núl.

Ekvivalentná šírka pásma okna môže byť definovaná ako
kde W(f) je Fourierova transformácia funkcie okna v diskrétnom čase, napríklad obdĺžniková (5). Podobne môžete zadať ekvivalentné trvanie okna

Dá sa ukázať, že ekvivalentné trvanie okna (alebo akéhokoľvek iného signálu) a ekvivalentná šírka pásma jeho transformácie sú vzájomne inverzné veličiny: TeBe=1.

Rýchla Fourierova transformácia

Rýchla Fourierova transformácia (FFT) nie je ďalším typom Fourierovej transformácie, ale názvom niekoľkých efektívnych algoritmy, určený na rýchly výpočet Fourierových radov s diskrétnym časom. Hlavný problém, ktorý vzniká pri praktickej implementácii DVRF, spočíva vo veľkom počte výpočtových operácií úmerných N2. Hoci dlho pred príchodom počítačov bolo navrhnutých niekoľko efektívnych výpočtových schém, ktoré by mohli výrazne znížiť počet výpočtových operácií, skutočnú revolúciu spôsobilo v roku 1965 publikovanie článku Coolyho a Tukeyho s praktickým algoritmom pre rýchle (počet operácií Nlog 2 N) výpočty DVRF . Potom boli vyvinuté mnohé varianty, vylepšenia a dodatky k základnej myšlienke, čím sa vytvorila trieda algoritmov známa ako rýchla Fourierova transformácia. Základnou myšlienkou FFT je rozdeliť N-bodový DVRF na dva alebo viac menších DVRF, z ktorých každý môže byť vypočítaný samostatne a potom lineárne sčítaný s ostatnými, aby sa získal DVRF pôvodnej N-bodovej sekvencie.
Predstavme si diskrétnu Fourierovu transformáciu (DFFT) vo forme

, (35)

kde hodnota W N =exp(-j2 /N) sa nazýva súčiniteľ obratu (ďalej v tejto časti je perióda vzorkovania T=1). Vyberme prvky s párnymi a nepárnymi číslami z postupnosti x[n]

. (36)

Ale odvtedy
. Preto (36) možno písať v tvare

, (37)

kde každý člen je transformáciou dĺžky N/2

(38)

Všimnite si, že sekvencia (WN/2) nk je periodická v k s periódou N/2. Preto, hoci číslo k vo výraze (37) nadobúda hodnoty od 0 do N-1, každý zo súčtov je vypočítaný pre hodnoty k od 0 do N/2-1. Je možné odhadnúť počet zložitých operácií násobenia a sčítania potrebných na výpočet Fourierovej transformácie v súlade s algoritmom (37)-(38). Dve N/2-bodové Fourierove transformácie podľa vzorcov (38) zahŕňajú vykonanie 2(N/2)2 násobení a približne rovnakého počtu sčítaní. Kombinácia dvoch N/2-bodových transformácií pomocou vzorca (37) vyžaduje ďalších N násobení a N sčítaní. Preto na výpočet Fourierovej transformácie pre všetkých N hodnôt k je potrebné vykonať N+N 2 /2 násobenia a sčítania. Priamy výpočet pomocou vzorca (35) zároveň vyžaduje násobenia a sčítania N 2 . Už pre N>2 je splnená nerovnosť N+N 2 /2< N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям:

, (39)
(40)

V tomto prípade vzhľadom na periodicitu postupnosti Wnk N/4 v k s periódou N/4 je potrebné počítať súčty (40) len pre hodnoty k od 0 do N/4-1. Preto výpočet postupnosti X[k] pomocou vzorcov (37), (39) a (40) vyžaduje, ako je ľahké vypočítať, už 2N+N 2 /4 operácie násobenia a sčítania.
Nasledovaním tejto cesty sa môže množstvo výpočtu X[k] stále viac znižovať. Po m=log 2 N expanzií dospejeme k dvojbodovej Fourierovej transformácii formy

(41)

kde „jednobodové transformácie“ X 1 sú jednoducho vzorky signálu x[n]:

Xi = x[q]/N, q=0,1,...,N-1. (42)

Výsledkom je, že môžeme napísať algoritmus FFT, ktorý sa zo zrejmých dôvodov nazýva tzv algoritmus riedenia času :

X2 = (x[p] + Wk 2 x) / N,

kde k = 0,1, p = 0,1,..., N/2-1;

X 2N/M = X N/M + Wk 2N/M X N/M,

kde k=0,1,...,2N/M-1, p=0,1,...,M/2-1;

X[k] = X N [k] = X N/2 + WkN X N/2, (43)

kde k=0,1,...,N-1

V každej fáze výpočtov sa vykoná N komplexných násobení a sčítaní. A keďže počet rozkladov pôvodnej sekvencie na podsekvencie polovičnej dĺžky sa rovná log 2 N, potom sa celkový počet operácií násobenia a sčítania v algoritme FFT rovná Nlog 2 N. Pre veľké N existuje významná úspora vo výpočtových operáciách v porovnaní s priamymi DFT výpočtami. Napríklad, keď N = 2 10 = 1024, počet operácií sa zníži 117-krát.
Časovo zdecimovaný FFT algoritmus, ktorý sme uvažovali, je založený na výpočte Fourierovej transformácie vytvorením podsekvencií vstupnej sekvencie x[n]. Je však možné použiť aj sekvenčný rozklad Fourierovej transformácie X[k]. Algoritmus FFT založený na tomto postupe sa nazýva c znižovanie frekvencie. Viac o rýchlej Fourierovej transformácii si môžete prečítať napríklad v.

Náhodné procesy a výkonová spektrálna hustota

Diskrétne náhodný proces x možno považovať za určitú množinu alebo súbor reálnych alebo komplexných diskrétnych časových (alebo priestorových) sekvencií, z ktorých každú možno pozorovať ako výsledok nejakého experimentu (n je časový index, i je číslo pozorovania). Postupnosť získaná ako výsledok jedného z pozorovaní bude označená x[n]. Operácia spriemerovania nad súborom (t.j. štatistické priemerovanie) bude označený prevádzkovateľom<>. teda - priemerná hodnota náhodného procesu x[n] v čase n. Autokorelácia náhodný proces v dvoch rôznych časoch n1 a n2 je určený výrazom r xx = .

Náhodný proces sa nazýva stacionárny proces v širokom zmysle, ak je jeho priemerná hodnota konštantná (nezávislá na čase), a autokorelácia závisí len od rozdielu časových indexov m=n1-n2 (časový posun alebo oneskorenie medzi vzorkami). Preto je široko stacionárny diskrétny náhodný proces x[n] charakterizovaný konštantnou priemernou hodnotou =A autokorelačná sekvencia(Automatická prevodovka)

r xx [m] =< xx*[n] >. (44)

Všimnime si nasledujúce vlastnosti automatickej prevodovky:

r xx |r xx [m]| , r xx [-m] = r* xx [m] , (45)

ktoré sú platné pre všetky m.
Výkonová spektrálna hustota (PSD) je definovaná ako Fourierova transformácia v diskrétnom čase (DTFT) autokorelačnej sekvencie

. (46)

PSD, ktorého šírka sa predpokladá obmedzená na ±1/2T Hz, je periodická funkcia frekvencie s periódou 1/T Hz. Funkcia PSD popisuje frekvenčné rozdelenie výkonu náhodného procesu. Na potvrdenie zvoleného názvu zvážte inverzný DVFT

(47)

vypočítané pri m=0

(48)

Autokorelácia pri nulovom posune charakterizuje priemerný výkon náhodný proces. Podľa (48) plocha pod krivkou P xx (f) charakterizuje priemerný výkon, takže P xx (f) je funkcia hustoty (výkon na jednotku frekvencie), ktorá charakterizuje frekvenčné rozdelenie výkonu. Dvojica transformácií (46) a (47) sa často nazýva Wiener-Khinchinova veta pre prípad diskrétneho času. Pretože r xx [-m]=r* xx [m], potom PSD musí byť striktne reálna kladná funkcia. Ak je ACP striktne reálna funkcia, potom r xx [-m]=r xx [m] a PSD možno zapísať vo forme Fourierovej kosínusovej transformácie

,

čo tiež znamená, že P xx (f) = P xx (-f), t.j. SPM je rovnomerná funkcia.
Doteraz sme pri určovaní priemernej hodnoty, korelácie a výkonovej spektrálnej hustoty náhodného procesu používali štatistické priemerovanie nad súborom. V praxi však zvyčajne nie je možné získať súbor implementácií požadovaného procesu, z ktorého by sa dali vypočítať tieto štatistické charakteristiky. Je vhodné vyhodnotiť všetky štatistické vlastnosti pomocou jednej vzorky realizácie x(t), ktorá nahradí y ensemble averaging time averaging. Vlastnosť, ktorá umožňuje takúto náhradu zhotoviť, sa nazýva ergodicita. Náhodný proces sa považuje za ergodický, ak s pravdepodobnosťou rovnajúcou sa jednej možno všetky jeho štatistické charakteristiky predpovedať z jednej implementácie zo súboru pomocou časového spriemerovania. Inými slovami, časové priemery takmer všetkých možných implementácií procesu konvergujú s pravdepodobnosťou jedna k rovnakej konštantnej hodnote - priemer súboru

. (49)

Táto hranica, ak existuje, konverguje k skutočnému priemeru vtedy a len vtedy, ak má časový rozptyl priemeru tendenciu k nule, čo znamená, že platí nasledujúca podmienka:

. (50)

Tu c xx [m] je skutočná hodnota kovariancie procesu x[n].
Podobne pri pozorovaní hodnoty súčinu vzoriek procesu x[n] v dvoch časových bodoch možno očakávať, že priemerná hodnota sa bude rovnať

(51)

Predpoklad ergodicity nám umožňuje nielen zaviesť, prostredníctvom časového spriemerovania, definície pre priemer a autokoreláciu, ale tiež poskytnúť podobnú definíciu pre výkonovú spektrálnu hustotu.

. (52)

Táto ekvivalentná forma PSD sa získa štatistickým spriemerovaním modulu DVFT váženého súboru údajov vydeleného dĺžkou záznamu údajov pre prípad, keď sa počet vzoriek zvyšuje do nekonečna. Štatistické spriemerovanie je tu nevyhnutné, pretože DVFT samotná je náhodná premenná, ktorá sa mení pri každej realizácii x[n]. Aby sme ukázali, že (52) je ekvivalentom Wiener-Khinchinovej vety, reprezentujeme druhú mocninu modulu DVFT ako súčin dvoch sérií a meníme poradie operácií sčítania a štatistického priemerovania:

(53)

Použitie známeho výrazu

, (54)

vzťah (53) možno zredukovať na nasledovné:

(55)

Všimnite si, že v poslednej fáze derivácie (55) bol použitý predpoklad, že autokorelačná sekvencia sa „rozpadá“, takže

. (56)

Vzťah medzi dvoma definíciami PSD (46) a (52) je jasne znázornený na diagrame na obrázku 4.
Ak vo výraze (52) neberieme do úvahy operáciu matematického očakávania, dostaneme odhad SPM

, (57)

ktorá sa volá spektrum vzorky.

Ryža. 4. Vzťah medzi dvoma metódami odhadu výkonovej spektrálnej hustoty

Periodogramová metóda spektrálneho odhadu

Vyššie sme uviedli dve formálne ekvivalentné metódy na určenie výkonovej spektrálnej hustoty (PSD). Nepriama metóda je založená na použití nekonečnej sekvencie dát na výpočet autokorelačnej sekvencie, ktorej Fourierova transformácia dáva požadovanú PSD. Priama metóda na určenie PSD je založená na výpočte štvorcového modulu Fourierovej transformácie pre nekonečnú sekvenciu údajov pomocou vhodného štatistického priemerovania. PSD získaná bez takéhoto spriemerovania sa ukazuje ako neuspokojivá, pretože stredná kvadratická chyba takéhoto odhadu je porovnateľná s jeho priemernou hodnotou. Teraz zvážime metódy spriemerovania, ktoré poskytujú hladké a štatisticky stabilné spektrálne odhady na konečnom počte vzoriek. Odhady SPD založené na priamej transformácii údajov a následnom spriemerovaní sa nazývajú periodogramy. Vyvolajú sa odhady PSD, pre ktoré sa najprv vytvoria korelačné odhady z počiatočných údajov korelogram. Pri použití akejkoľvek metódy odhadu PSD musí používateľ urobiť veľa kompromisných rozhodnutí, aby získal štatisticky stabilné spektrálne odhady s najvyšším možným rozlíšením z konečného počtu vzoriek. Tieto kompromisy zahŕňajú, ale nie sú obmedzené na výber okna pre váženie údajov a korelačné odhady a parametre spriemerovania v časovej a frekvenčnej oblasti, ktoré vyvažujú požiadavky na redukciu postranných lalokov v dôsledku váženia, vykonávanie efektívneho spriemerovania a poskytovanie prijateľné spektrálne rozlíšenie. Na obr. 5 je schéma znázorňujúca hlavné stupne periodogram metóda

Ryža. 5. Hlavné fázy odhadu PSD pomocou metódy periodogramu

Aplikácia metódy začína zberom N dátových vzoriek, ktoré sa odoberajú v intervale T sekúnd na vzorku, po ktorom (voliteľne) nasleduje krok znižovania trendu. Na získanie štatisticky stabilného spektrálneho odhadu je potrebné dostupné údaje rozdeliť do prekrývajúcich sa (ak je to možné) segmentov a následne spriemerovať získané spektrá vzoriek pre každý takýto segment. Parametre tohto spriemerovania sa menia vhodnou voľbou počtu vzoriek na segment (NSAMP) a počtu vzoriek, o ktoré je potrebné posunúť začiatok nasledujúceho segmentu (NSHIFT), viď obr. 6. Počet segmentov sa volí v závislosti od požadovaného stupňa plynulosti (disperzie) spektrálneho odhadu a požadovaného spektrálneho rozlíšenia. Malá hodnota parametra NSAMP má za následok viac segmentov, v ktorých sa bude vykonávať priemerovanie, a preto sa získajú odhady s menším rozptylom, ale aj menším frekvenčným rozlíšením. Zväčšenie dĺžky segmentu (parameter NSAMP) zvyšuje rozlíšenie, prirodzene v dôsledku zvýšenia rozptylu odhadu v dôsledku menšieho počtu priemerovaní. Návratová šípka na obr. 5 označuje potrebu niekoľkých opakovaných prechodov cez dáta v rôznych dĺžkach a počtoch segmentov, čo nám umožňuje získať viac informácií o skúmanom procese.

Obr.6. Rozdelenie údajov do segmentov na výpočet periodogramu

okno

Jedna z dôležitých otázok, ktorá je spoločná pre všetky klasické metódy spektrálneho odhadu, súvisí s vážením údajov. Okno sa používa na riadenie efektov bočných lalokov v spektrálnych odhadoch. Všimnite si, že je vhodné považovať existujúci konečný dátový záznam za časť zodpovedajúcej nekonečnej sekvencie, viditeľnú cez použité okno. Postupnosť pozorovaných údajov x 0 [n] z N vzoriek teda možno zapísať matematicky ako súčin nekonečnej postupnosti x[n] a funkcie pravouhlého okna.

X 0 [n]=x[n] obdĺžnik[n].
Z toho vyplýva zrejmý predpoklad, že všetky nepozorované vzorky sa rovnajú nule, bez ohľadu na to, či je to skutočne tak. Fourierova transformácia váženej sekvencie v diskrétnom čase sa rovná konvolúcii transformácií sekvencie x[n] a obdĺžnikového okna rect[n]

X°(f)=X(f)*DN(f), kde
DN(f)= Texp(-j2pfT)sin(pfTN)/sin(pfT).

Funkcia DN (f), nazývaná diskrétna sinc funkcia alebo Dirichletovo jadro, je DCFT pravouhlej funkcie. Transformácia pozorovanej konečnej postupnosti je skreslenou verziou transformácie nekonečnej postupnosti. Vplyv pravouhlého okna na diskrétnu sínusoidu s frekvenciou f 0 je znázornený na obr.

Obr.7. Ilustrácia skreslenia Fourierovej transformácie v diskrétnom čase v dôsledku úniku v dôsledku váženia údajov: a, b - pôvodné a vážené sekvencie; b, d - ich Fourierove transformácie.

Z obrázku je vidieť, že ostré spektrálne vrcholy DTFT nekonečnej sínusovej sekvencie sa rozširujú v dôsledku konvolúcie s transformáciou okna. Minimálna šírka spektrálnych píkov sekvencie váženej oknom je teda určená šírkou hlavného transformačného laloku tohto okna a je nezávislá od údajov. Bočné laloky transformácie okien zmenia amplitúdy susedných spektrálnych vrcholov (niekedy nazývané prepúšťanie). Pretože DVFT je periodická funkcia, prekrytie bočných lalokov zo susedných období môže viesť k ďalšiemu skresleniu. Zvýšenie vzorkovacej frekvencie znižuje efekt aliasingu postranných lalokov. Podobné skreslenia budú prirodzene pozorované v prípade nesínusových signálov. Krvácanie nielenže zavádza chyby amplitúdy v spektrách diskrétnych signálov, ale môže tiež maskovať prítomnosť slabé signály. Existuje množstvo ďalších funkcií okna, ktoré môžu byť ponúknuté a ktoré môžu znížiť bočné laloky v porovnaní s obdĺžnikovým oknom. Zníženie úrovne bočných lalokov zníži posun v spektrálnom odhade, ide však za cenu rozšírenia hlavného laloku okenného spektra, čo prirodzene vedie k zhoršeniu rozlíšenia. V dôsledku toho je aj tu potrebné zvoliť určitý kompromis medzi šírkou hlavného laloka a úrovňou bočných lalokov. Na hodnotenie kvality okien sa používa viacero parametrov. Tradičným ukazovateľom je šírka pásma hlavného laloku pri polovičnom výkone. Druhým ukazovateľom je ekvivalentná šírka pásma uvedená vyššie. Na vyhodnotenie charakteristík bočných lalokov sa používajú aj dva ukazovatele. Prvým je ich maximálna úroveň, druhým je rýchlosť rozpadu, ktorá charakterizuje rýchlosť, ktorou sa bočné laloky zmenšujú so vzdialenosťou od hlavného laloka. V tabuľke 3 sú uvedené definície niektorých bežne používaných funkcií diskrétnych okien a v tabuľke 4 sú uvedené ich charakteristiky.
Tabuľka 3. Definície typických N-bodových okien s diskrétnym časomMax. úroveň bočného laloku, dB -31,5

. (46)

Korelogramová metóda odhad PSD jednoducho dosadí do výrazu (46) konečnú postupnosť hodnôt pre odhad autokorelácie ( korelogramy) namiesto nekonečnej postupnosti neznámych skutočných autokorelačných hodnôt. Viac informácií o korelogramovej metóde spektrálneho odhadu nájdete v.

Literatúra

1. Rabiner L., Gould B. Teória a aplikácia číslicového spracovania signálov. M.: Mir, 1978.

2. Marple Jr. S.L. Digitálna spektrálna analýza a jej aplikácie: Prel. z angličtiny -M.: Mir, 1990.

3. Goldberg L.M., Matyushkin B.D., Polyak M.N., Digitálne spracovanie signály - M.: Rádio a komunikácia, 1990.

4. Otnes R., Enokson L. Aplikovaná analýza časových radov - M.: Mir, 1982.

Spektrálna analýza

Spektrálna analýza je široká trieda metód spracovania údajov založených na ich frekvenčnom vyjadrení alebo spektre. Spektrum sa získa rozkladom pôvodnej funkcie, ktorá závisí od času (časový rad) alebo priestorových súradníc (napríklad obrázok), na základ nejakej periodickej funkcie. Najčastejšie sa na spektrálne spracovanie používa Fourierovo spektrum získané na sínusovej báze (Fourierov rozklad, Fourierova transformácia).

Hlavným významom Fourierovej transformácie je, že pôvodná neperiodická funkcia ľubovoľného tvaru, ktorú nemožno analyticky popísať a preto je ťažké ju spracovať a analyzovať, je reprezentovaná ako množina sínusov alebo kosínusov s rôznymi frekvenciami, amplitúdami a počiatočnými hodnotami. fázy.

Inými slovami, komplexná funkcia sa transformuje na mnohé jednoduchšie. Každá sínusová vlna (alebo kosínusová vlna) s určitou frekvenciou a amplitúdou získaná ako výsledok Fourierovej expanzie sa nazýva spektrálna zložka alebo harmonický. Vznikajú spektrálne zložky Fourierovo spektrum.

Vizuálne je Fourierovo spektrum prezentované vo forme grafu, na ktorom je pozdĺž vodorovnej osi vynesená kruhová frekvencia označená gréckym písmenom „omega“ a amplitúda spektrálnych zložiek, zvyčajne označená latinským písmenom A. , je vynesená pozdĺž zvislej osi Potom môže byť každá spektrálna zložka reprezentovaná ako počet, poloha, ktorá horizontálne zodpovedá jej frekvencii, a výška – jej amplitúda. Harmonická s nulovou frekvenciou sa nazýva konštantná zložka(v časovom znázornení je to priamka).

Aj jednoduchá vizuálna analýza spektra môže veľa povedať o povahe funkcie, na základe ktorej bolo získané. Je intuitívne jasné, že rýchle zmeny v počiatočných údajoch vedú k vzniku komponentov v spektre s vysoká frekvencia, a pomalé - s nízka. Ak teda amplitúda jeho zložiek rýchlo klesá s rastúcou frekvenciou, potom je pôvodná funkcia (napríklad časový rad) hladká a ak spektrum obsahuje vysokofrekvenčné zložky s veľkou amplitúdou, potom pôvodná funkcia bude obsahovať prudké výkyvy. . V prípade časového radu to teda môže naznačovať veľkú náhodnú zložku, nestabilitu procesov, ktoré popisuje, alebo prítomnosť šumu v údajoch.

Spektrálne spracovanie je založené na manipulácii so spektrom. Skutočne, ak znížite (potlačíte) amplitúdu vysokofrekvenčných komponentov a potom na základe zmeneného spektra obnovíte pôvodnú funkciu vykonaním inverznej Fourierovej transformácie, potom bude hladšia vďaka odstráneniu vysokofrekvenčného spektra. komponent.

Pre časové rady to napríklad znamená odstránenie informácií o denných predajoch, ktoré sú veľmi náchylné na náhodné faktory, a ponechanie konzistentnejších trendov, ako je sezónnosť. Nízkofrekvenčné zložky môžete naopak potlačiť, čím sa odstránia pomalé zmeny a zostanú len rýchle. V prípade časového radu to bude znamenať potlačenie sezónnej zložky.

Použitím spektra týmto spôsobom môžete dosiahnuť požadovanú zmenu pôvodných údajov. Najbežnejšie použitie je vyhladenie časových radov odstránením alebo znížením amplitúdy vysokofrekvenčných zložiek v spektre.

Na manipuláciu so spektrami sa používajú filtre - algoritmy, ktoré dokážu ovládať tvar spektra, potlačiť alebo zosilniť jeho zložky. Hlavná nehnuteľnosť akýkoľvek filter je jeho amplitúdovo-frekvenčná odozva (AFC), ktorej tvar určuje transformáciu spektra.

Ak filter prepúšťa iba spektrálne zložky s frekvenciou pod určitou medznou frekvenciou, potom sa nazýva dolnopriepustný filter (LPF) a možno ho použiť na vyhladenie údajov, odstránenie šumu a anomálnych hodnôt.

Ak filter prepúšťa spektrálne zložky nad určitou medznou frekvenciou, potom sa nazýva hornopriepustný filter (HPF). Môže sa použiť na potlačenie pomalých zmien, ako je sezónnosť v radoch údajov.

Okrem toho sa používa mnoho ďalších typov filtrov: strednopriepustné filtre, stop filtre a pásmové filtre, ako aj zložitejšie, ktoré sa využívajú pri spracovaní signálov v rádioelektronike. Výber typu a tvaru frekvenčná odozva pomocou spektrálneho spracovania môžete dosiahnuť požadovanú transformáciu pôvodných údajov.

Pri vykonávaní frekvenčného filtrovania dát za účelom vyhladenia a odstránenia šumu je potrebné správne špecifikovať šírku pásma dolnopriepustného filtra. Ak ho zvolíte príliš vysoko, stupeň vyhladenia bude nedostatočný a šum nebude úplne potlačený. Ak je príliš úzky, tak spolu s hlukom aj zmeny, ktoré prinášajú užitočná informácia. Ak v technické aplikácie Na stanovenie optimálnych charakteristík filtrov sú prísne kritériá, v analytických technológiách je potom potrebné využívať najmä experimentálne metódy.

Spektrálna analýza je jednou z najúčinnejších a najrozvinutejších metód spracovania údajov. Frekvenčné filtrovanie je len jednou z jeho mnohých aplikácií. Okrem toho sa používa pri korelačnej a štatistickej analýze, syntéze signálov a funkcií, vytváraní modelov atď.

Metóda analýzy bola založená na takzvanom Fourierovom rade. Séria začína rozkladom zložitých tvarov na jednoduché. Fourier ukázal, že komplexný priebeh môže byť reprezentovaný ako súčet jednoduchých vĺn. Rovnice popisujúce klasické systémy sa spravidla dajú ľahko vyriešiť pre každú z týchto jednoduchých vĺn. Ďalej Fourier ukázal, ako tieto jednoduché riešenia možno zhrnúť a získať tak riešenie celého komplexného problému ako celku. (Matematicky povedané, Fourierova séria je metóda reprezentácie funkcie ako súčtu harmonických - sínus a kosínus, a preto bola Fourierova analýza známa aj ako „harmonická analýza“.)

Podľa Fourierovej hypotézy neexistuje žiadna funkcia, ktorú by nebolo možné rozšíriť do trigonometrického radu. Uvažujme, ako možno tento rozklad uskutočniť. Uvažujme nasledujúci systém ortonormálnych funkcií na intervale [–π, π]: (1, cos(t),
hriech(t),
cena (2 t),
hriech (2t),
cos(3t),
hriech (3t), …,
cos(nt),
hriech(nt),...).

Riadený tým, že tento systém funkcia je ortonormálna, funkciu f(t) na intervale [π, –π] možno aproximovať takto:

f(t) = α0 + α1
cos(t) + α2
cos(2t) +
α3 cos(3t) + …

... + β1
sin(t) + β2
sin(2t) + β3
hriech(3t)+… (6)

Koeficienty α n, β n sa vypočítajú prostredníctvom skalárneho súčinu funkcie a základnej funkcie podľa vzorcov diskutovaných vyššie a sú vyjadrené takto:

α 0 = , 1> =
,

α n = , cos(nt) > =
,

βn = , sin(nt) > =
.

Výraz (6) možno zapísať v komprimovanej forme takto:

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(t) + a 2 cos(2t) + a 3 cos(3t) + …

B 1 sin(t) + b 2 sin(2t) + b 3 sin(3t)+… (7)

a 0 = 2α 0 =
,

a n =
α n =
, (8)

b n=
β n=
. (9)

Keďže pri n = 0 cos(0) = 1, vyjadruje konštanta a 0 /2 všeobecná forma koeficient a n pre n = 0.

Koeficienty a n a b n sa nazývajú Fourierove koeficienty a zobrazenie funkcie f(t) podľa vzorca (7) sa nazýva rozšírenie Fourierovho radu. Niekedy sa rozšírenie Fourierovho radu prezentované v tejto forme nazýva skutočné rozšírenie Fourierovho radu a koeficienty sa nazývajú skutočné Fourierove koeficienty. Pojem „skutočný“ sa zavádza s cieľom odlíšiť tento rozklad od komplexného rozkladu.

Analyzujme výrazy (8) a (9). Koeficient 0 predstavuje priemernú hodnotu funkcie f(t) na segmente [–π,π] alebo konštantnú zložku signálu f(t). Koeficienty n a b n (pri n> 0) sú amplitúdy kosínusovej a sínusovej zložky funkcie (signálu) f(t) s uhlovou frekvenciou rovnou n. Inými slovami, tieto koeficienty špecifikujú veľkosť frekvenčných zložiek signálov. Napríklad, keď hovoríme o nízkofrekvenčnom zvukovom signáli (napríklad zvuk basgitary), znamená to, že koeficienty a n a b n sú väčšie pre menšie hodnoty n a naopak - vo vysoko- frekvenčné zvukové vibrácie (napríklad zvuk huslí) sú väčšie pre väčšie hodnoty n.

Oscilácia najdlhšej periódy (alebo najnižšej frekvencie), reprezentovaná súčtom a 1 cos(t) a b 1 sin(t), sa nazýva oscilácia základnej frekvencie alebo prvej harmonickej. Oscilácia s periódou rovnajúcou sa polovici periódy základnej frekvencie je druhá harmonická, oscilácia s periódou rovnou 1/n základnej frekvencie je n-harmonická. Použitím rozšírenia funkcie f(t) do Fourierovho radu teda môžeme uskutočniť prechod z časovej oblasti do frekvenčnej oblasti. Tento prechod je zvyčajne potrebný na identifikáciu znakov signálu, ktoré sú „neviditeľné“ v časovej oblasti.

Upozorňujeme, že vzorce (8) a (9) sú použiteľné pre periodický signál s periódou rovnou 2π. Vo všeobecnom prípade možno periodický signál s periódou T rozšíriť do Fourierovho radu, potom sa pri expanzii použije segment [–T/2, T/2]. Perióda prvej harmonickej sa rovná T a zložky majú tvar cos(2πt/T) a sin(2πt/T), zložky n-harmonickej sú cos(2πtn/T) a sin(2πtn/T ).

Funkciu f(t) na intervale [–T/2,T/2] možno aproximovať takto:

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(2πt/T) + a 2 cos(4πt/T) + a 3 cos(6πt/T) + …

B 1 sin(2πt/T) + b 2 sin(4πt/T) + b 3 sin(6πt/T)+…, (10)

a n =
,

b n=
.

Ak uhlovú frekvenciu prvej harmonickej označíme ω 0 = 2π/T, potom n-harmonické zložky nadobúdajú tvar cos(ω 0 nt), sin(ω 0 nt) a

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(ω 0 t) + a 2 cos(2ω 0 t) + a 3 cos(3ω 0 t) + …

B 1 sin(ω 0 t) + b 2 sin (2ω 0 t) + b 3 sin(3ω 0 t)+…=

=
, (11)

kde Fourierove koeficienty sa vypočítajú pomocou vzorcov:

a n =
,

b n =
.

Akákoľvek vlna zložitého tvaru môže byť reprezentovaná ako súčet jednoduchých vĺn.

Joseph Fourier chcel skutočne matematicky opísať, ako teplo prechádza pevnými predmetmi ( cm. Výmena tepla). Jeho záujem o teplo možno vyvolal, keď bol v severnej Afrike: Fourier sprevádzal Napoleona na francúzskej výprave do Egypta a nejaký čas tam žil. Na dosiahnutie svojho cieľa musel Fourier vyvinúť nové matematické metódy. Výsledky jeho výskumu boli publikované v roku 1822 v diele „Analytická teória tepla“ ( Theorie analytique de la chaleur), kde vysvetlil, ako analyzovať zložité fyzikálne problémy ich rozdelením na sériu jednoduchších.

Metóda analýzy bola založená na tzv Fourierov rad. V súlade s princípom interferencie sa séria začína rozkladom komplexnej formy na jednoduché - napríklad zmena zemského povrchu sa vysvetľuje zemetrasením, zmena obežnej dráhy kométy sa vysvetľuje vplyvom príťažlivosti viacerých planét je zmena toku tepla spôsobená jeho prechodom cez prekážku nepravidelného tvaru z tepelne izolačného materiálu. Fourier ukázal, že komplexný priebeh môže byť reprezentovaný ako súčet jednoduchých vĺn. Rovnice popisujúce klasické systémy sa spravidla dajú ľahko vyriešiť pre každú z týchto jednoduchých vĺn. Fourier potom ukázal, ako môžu byť tieto jednoduché riešenia zhrnuté, aby poskytli riešenie celého zložitého problému. (Matematicky povedané, Fourierova séria je metóda reprezentácie funkcie ako súčtu harmonických – sínusových a kosínusových vĺn, a preto bola Fourierova analýza známa aj ako „harmonická analýza“.)

Pred príchodom počítačov v polovici dvadsiateho storočia boli Fourierove metódy a podobné metódy najlepšia zbraň vo vedeckom arzenáli pri útokoch na zložitosti prírody. Od nástupu zložitých Fourierových metód ich vedci dokázali použiť nielen na riešenie jednoduché úlohy, ktoré možno vyriešiť priamou aplikáciou Newtonových zákonov mechaniky a iných základných rovníc. Mnohé z veľkých úspechov newtonovskej vedy v 19. storočí by boli v skutočnosti nemožné bez použitia metód, ktorých priekopníkom bol Fourier. Následne sa týmito metódami riešili problémy v rôznych oblastiach – od astronómie až po strojárstvo.

Jean-Baptiste Joseph FOURIE
Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830

francúzsky matematik. Narodil sa v Auxerre; ako deväťročný zostal sirotou. Už v mladom veku prejavil nadanie pre matematiku. Fourier získal vzdelanie na cirkevnej a vojenskej škole, potom pôsobil ako učiteľ matematiky. Počas svojho života sa aktívne zapájal do politiky; bol v roku 1794 zatknutý za obranu obetí teroru. Po Robespierrovej smrti bol prepustený z väzenia; podieľal sa na vytvorení slávnej polytechnickej školy (Ecole Polytechnique) v Paríži; jeho postavenie mu poskytlo odrazový mostík pre napredovanie za Napoleonovho režimu. Sprevádzal Napoleona do Egypta a bol vymenovaný za guvernéra Dolného Egypta. Po návrate do Francúzska v roku 1801 bol vymenovaný za guvernéra jednej z provincií. V roku 1822 sa stal stálym tajomníkom Francúzskej akadémie vied, čo má vplyvné postavenie vo francúzskom vedeckom svete.