Lai noteiktu stabilitāti, nav nepieciešams konstruēt hodogrāfu. Lai to izdarītu, pietiek analizēt frekvences reakciju un fāzes reakciju. Tāpēc trešais alternatīvais Nyquist kritērija formulējums ir: ja frekvences reakcija ir lielāka par vienību frekvencēs, kurās fāzes reakcija ir 0 vai Kur n € z, tad atgriezeniskās saites sistēma nav stabila, pretējā gadījumā tā ir stabila (3.10. attēls).

Rīsi. 3.9. Atvērtas cilpas sistēmas ar atgriezenisko saiti frekvences reakcija un fāzes reakcija

4 Nejaušo signālu pārnešana caur lineārām stacionārām shēmām

Nejauša procesa galvenie raksturlielumi ir momentāno signālu vērtību varbūtības blīvums, korelācijas funkcija un jaudas spektrālais blīvums. Momentāno izejas signāla vērtību varbūtības blīvuma atrašana lineārā ķēde pamatojoties uz zināmo varbūtības blīvumu ķēdes ieejā un zināmajiem ķēdes raksturlielumiem, tas ir ļoti sarežģīts uzdevums. Tomēr, ja ieejas signāls ir Gausa signāls, tad arī izejas signāls vienmēr būs Gausa signāls. Tas nozīmē, ka problēmas risināšana ir vienkāršota un tiek reducēta līdz izejas signāla parametru atrašanai (matemātiskā cerība un dispersija).

Izejas signāla korelācijas funkcijas un jaudas spektrālā blīvuma atrašanas uzdevums ir daudz vienkāršāks.

Jaudas spektrālā blīvuma apgrieztās Furjē transformācijas saskaņā ar Vīnera – Khinčina teoriju:

– signāla korelācijas funkcija

Jaudas pieauguma apgrieztās Furjē transformācijas:

– signāla impulsa reakcijas korelācijas funkcija

Tā kā divu signālu spektru reizinājums ir vienāds ar šo signālu konvolūcijas spektru, mēs varam rakstīt:

Tas ir, signāla korelācijas funkcija lineārās ķēdes izejā ir vienāda ar signāla korelācijas funkcijas konvolūciju ķēdes ieejā un ķēdes impulsa reakcijas korelācijas funkciju.

Analizējot dažādas sistēmas Traucējumi bieži ir balts troksnis, kam ir nemainīgs jaudas spektrālais blīvums visā frekvenču diapazonā:

un korelācijas funkcija

Līdz ar to izejas signāla korelācijas funkcija ir vienāda ar impulsa atbildes autokorelācijas funkciju ar koeficientu .

5 Signālu pārnešana caur nelineārām shēmām

Lineārās stacionārās shēmas nemaina signāla spektrālo sastāvu. Galvenās radiotehniskās transformācijas, kas saistītas ar signāla spektrālā sastāva izmaiņām, tiek veiktas, izmantojot nelineāras shēmas vai lineāras shēmas ar mainīgiem parametriem.

Nelineāro ķēžu izpēte ir sarežģīts uzdevums, kas sastāv no nelineāru diferenciālvienādojumu risināšanas. Nelineāro ķēžu analīze tiek vienkāršota, ja nelineārais elements ir bezinerces, t.i., reakcija uz ievades darbības izmaiņām notiek uzreiz. Stingri sakot, bezinerces elementu (FFE) nav, bet gadījumā, ja ieejas signāla maiņas laiks ievērojami pārsniedz procesa izveidošanās laiku nelineārajā elementā, elementu var uzskatīt par brīvu. Radiotehnikā visbiežāk tiek izmantoti nelineārie elementi pusvadītāju ierīces(diodes, tranzistori). Lai aprakstītu šādas ierīces, tiek izmantoti strāvas-sprieguma raksturlielumi, kas attiecas uz ierīcēm pievadīto spriegumu un strāvu, kas plūst caur ierīcēm.

Apsveriet lineāru inerciālu sistēmu ar zināmu pārneses funkciju vai impulsa reakciju. Lai šādas sistēmas ievade būtu stacionārs nejaušs process ar norādītiem raksturlielumiem: varbūtības blīvums, korelācijas funkcija vai enerģijas spektrs. Noteiksim procesa raksturlielumus sistēmas izejā: , un .

Vienkāršākais veids, kā atrast procesa enerģijas spektru, ir sistēmas izejā. Patiešām, atsevišķas ievades procesa ieviešanas ir noteiktas

funkcijas, un tām var piemērot Furjē aparātu. Ļaut būt saīsināta ilguma īstenošana T nejaušs process ievadē, un

Tā spektrālais blīvums. Īstenošanas spektrālais blīvums lineārās sistēmas izejā būs vienāds ar

Procesa enerģijas spektru izejā saskaņā ar (3.3.3.) noteiks izteiksme

(3.4.3)

tie. būs vienāds ar procesa enerģijas spektru ieejā, kas reizināts ar sistēmas amplitūdas-frekvences raksturlīknes kvadrātu, un nebūs atkarīgs no fāzes-frekvences raksturlīknes.

Procesa korelācijas funkciju lineārās sistēmas izejā var definēt kā enerģijas spektra Furjē transformāciju:

(3.4.4)

Līdz ar to, nejaušam stacionāram procesam iedarbojoties uz lineāru sistēmu, izvade rada arī stacionāru nejaušu procesu ar enerģijas spektru un korelācijas funkciju, kas noteikta ar izteiksmēm (3.4.3) un (3.4.4). Procesa jauda sistēmas izejā būs vienāda ar

(3.4.5)

Varbūtības sadalījuma blīvums un signāla skaitliskie raksturlielumi bezinerces nelineāras ķēdes izejā.

Baskakovs 300. – 302. lpp

Nejaušo signālu pāreja caur nelineārām ķēdēm bez inerces.

Tagad apskatīsim problēmu, kas saistīta ar nejauša procesa pāreju caur nelineāru sistēmu. Vispārīgā gadījumā šī problēma ir ļoti sarežģīta, taču tā ir ievērojami vienkāršota, ja nelineārā sistēma ir bezinerces. Bezinerces nelineārās sistēmās izvades procesa vērtības ir Šis brīdis laiku nosaka ievades procesa vērtības tajā pašā laika punktā. Nelineārām bezinerces transformācijām vienkāršāks uzdevums ir noteikt izejas sadalījuma funkcijas daudz sarežģītākā - korelācijas funkcijas jeb enerģijas spektra noteikšanā.

Kā minēts iepriekš, gadījuma procesa n-dimensiju sadalījuma funkcija būtībā ir n gadījuma lielumu sadalījuma funkcija, kas atspoguļo gadījuma procesa vērtības n dažādos laika punktos. Funkcionāli pārveidoto nejaušo lielumu sadalījuma likumu noteikšana ir salīdzinoši vienkāršs uzdevums.

Apsvērsim vienkāršākais piemērs viendimensionāls gadījuma lielums. Apzīmēsim nejaušā lieluma ζ varbūtības blīvumu, kas pakļauts nelineārai transformācijai. Noteiksim nejaušā lieluma η varbūtības blīvumu. Pieņemsim, ka funkcija ir tāda, ka tās apgrieztā funkcija ir unikāla.

Ja gadījuma lielums ζ atrodas pietiekami mazā intervālā , tad unikālās funkcionālās attiecības starp ζ un η dēļ nejaušais mainīgais η noteikti būs intervālā , kur , šo notikumu varbūtībām jābūt vienādām, t.i. (3.4.13)

no kurienes mēs to atrodam?

(3.4.14)

Atvasinājums pēdējā izteiksmē tiek ņemts pēc tā absolūtās vērtības, jo varbūtības blīvums nevar būt negatīvs. Ja apgrieztā funkcija ir neskaidra, t.i. ir vairāki zari, tad varbūtības blīvumam, izmantojot varbūtības saskaitīšanas teorēmu, var iegūt

(3.4.15)

Ņemiet vērā, ka, lai noteiktu nelineāri transformētu nejaušu procesu skaitliskos raksturlielumus, nav nepieciešams noteikt to varbūtības blīvumu. Patiešām, vispārīgā gadījumā mums ir k-tās kārtas sākuma brīdis

(3.4.16)

Bet saskaņā ar (3.4.13.) Un . Tāpēc pēdējo izteiksmi var pārrakstīt

(3.4.17)

Rezultātā iegūtās izteiksmes (3.4.14) un (3.4.15) var viegli attiecināt uz vairākiem lielumiem. Šeit mēs piedāvājam tikai gala rezultātu divdimensiju gadījumam. Ja nejaušajiem lielumiem ir kopīgs varbūtības blīvums, tad nejaušajiem lielumiem

(3.4.18)

kad apgrieztās funkcijas ir unikālas

kopīgā varbūtības blīvums tiks norādīts ar izteiksmi

Kur ir lielums

tiek saukts par transformācijas jakobu un attēlo elementāro laukumu attiecību, pārejot no vienas koordinātu sistēmas uz citu. Ja , tad vienlīdzība ir patiesa

Kur

Jautājums Nr.23

Diskrētā impulsu secība, to spektrs.

Baskakovs 382.-383.lpp

Periodisko signālu paraugu ņemšana. Diskrētā Furjē transformācija (DFT). Sākotnējā signāla atjaunošana, izmantojot DFT. Apgrieztā diskrētā Furjē transformācija (IDFT).

Baskakovs 388.-392.lpp

Jautājums Nr.24

Princips digitālā apstrāde(DC) signāli, kuru pamatā ir diskrēta Furjē transformācija.

Baskakovs 400.-405.lpp

Digitālās filtrēšanas algoritmu ieviešana (transversālie digitālie filtri, rekursīvie digitālie filtri, impulsa reakcija, izejas signāls)

Digitālie filtri atkarībā no atsauksmes Ir rekursīvs (RF) un nerekursīvs (NF).

Nerekursīvo filtru priekšrocības salīdzinājumā ar rekursīvajiem filtriem ir šādas:

Nerekursīviem filtriem var būt precīzi lineāra fāzes reakcija;

NF raksturīgā trokšņa jauda, ​​kā likums, ir daudz mazāka nekā RF;

NF ir vieglāk aprēķināt koeficientus.

Nerekursīvo filtru trūkumi salīdzinājumā ar rekursīvajiem filtriem ir šādi:

Rekursīvie filtri nodrošina signālu apstrādi ar lielāku precizitāti, jo tie ļauj pareizāk realizēt impulsa reakciju, neizmetot tās “aste”;

RF shēmas ieviešana ir daudz vienkāršāka nekā NF;

Rekursīvie filtri ļauj ieviest algoritmus, kurus vispār nevar realizēt, izmantojot nerekursīvos filtrus.

Impulsu reakcija rekursīvais filtrs ir bezgalīgs, bet nerekursīvs filtrs ir ierobežots.

Baskakovs 405.-408., 409.-411., 413. lpp.

Jautājums Nr.25

Signāla un trokšņa attiecības, filtrēšanas un optimālā filtra koncepcija.

Signāla un trokšņa attiecība- bezizmēra lielums, kas vienāds ar lietderīgās signāla jaudas attiecību pret trokšņa jaudu.

Filtrēšana ir apstrādes process signāls frekvences selektīvas ierīces, lai mainītu signāla spektrālo sastāvu.

Optimāls lineārais filtrs sauc par frekvences selektīvo sistēmu, kas vislabākajā veidā apstrādā signāla un trokšņa summu. Izvade palielina signāla un trokšņa attiecību.

Baskakovs 423.-424.lpp

Signāla un trokšņa attiecība saskaņota filtra izejā.

Baskakovs 425., 431.-432.lpp

Optimāla (saskaņota) filtra raksturojums zināmas formas signāliem (AFC, PFC, IR).

Signāls atbilstošā filtra izejā.

Darba mērķis: Apgūt pamatprasmes izlases signālu statistisko raksturlielumu izpētē. Eksperimentāli noteikt nejaušo signālu sadalījuma likumus lineāro un nelineāro radioķēžu izejā.

ĪSA TEORĒTISKĀ INFORMĀCIJA

1. Radioķēžu klasifikācija

Signāla pārveidošanai izmantotās radio shēmas ir ļoti dažādas pēc sastāva, struktūras un īpašībām. To izstrādes un analītiskās izpētes procesā tiek izmantoti dažādi matemātiskie modeļi, kas apmierina atbilstības un vienkāršības prasības. Kopumā jebkuru radio ķēdi var aprakstīt ar formalizētu sakarību, kas nosaka ieejas signāla x(t) transformāciju izejā y(t), ko var simboliski attēlot kā

y(t) = T,

Kur T ir operators, kas definē noteikumu, pēc kura tiek pārveidots ieejas signāls.

Tādējādi, kā matemātiskais modelis radiotehnikas ķēde var būt operatora T un divu signālu kopu X=(xi(t)) un Y=(yi(t)) kombinācija ķēdes ieejā un izejā, lai

(yes(t)) = T(xes(t)).

Radiotehnikas ķēdes tiek klasificētas pēc ieejas signālu pārveidošanas veida izejas signālos, tas ir, pēc operatora T veida.

Radio ķēde ir lineāra, ja operators T ir tāds, ka ķēde atbilst aditivitātes un viendabīguma nosacījumiem, tas ir, vienādības ir spēkā

T = T : T = c T

i es

Kur c ir konstante.

Šie nosacījumi izsaka superpozīcijas principa būtību, kas raksturīgs tikai lineārajām shēmām.

Lineāro ķēžu darbību raksturo lineāri diferenciālvienādojumi ar nemainīgiem koeficientiem. Raksturīgi, ka jebkuras formas signāla lineārajai transformācijai nepavada harmonisku komponentu parādīšanās ar jaunām frekvencēm izejas signāla spektrā, tas ir, tas neizraisa signāla spektra bagātināšanu.

Radio ķēde ir Nelineārs, ja operators T nenodrošina aditivitātes un viendabīguma nosacījumu izpildi. Šādu ķēžu darbību raksturo nelineāri diferenciālvienādojumi.

Strukturāli lineārās ķēdes satur tikai lineāras ierīces (pastiprinātājus, filtrus, garās līnijas utt.). Nelineārās ķēdes satur vienu vai vairākas nelineāras ierīces (ģeneratorus, detektorus, reizinātājus, ierobežotājus utt.)

Pamatojoties uz izejas signāla laika atkarības raksturu no ieejas signāla, izšķir inerciālās un bezinerces radio ķēdes.

Radio ķēde, izejas signāla y(t) vērtība brīdī t=t0 ir atkarīga ne tikai no ieejas signāla x(t) vērtības šajā laika momentā, bet arī no x( t) laika momentos pirms t0 izsaukšanas brīža Inerciālsķēde. Ja izejas signāla y(t) vērtību un momentu t=t0 pilnībā nosaka vērtība x(t) vienlaikus t0, tad šādu ķēdi sauc par Bezinerces.

2. Nejaušu procesu transformācija lineārās shēmās

Problēma par nejaušu procesu pārveidošanu lineārajās radioshēmās vispārīgā gadījumā ir aplūkota nākamajā formulējumā. Ļaujiet nejaušam procesam x(t) ar dotām statistiskām īpašībām nonākt lineārās ķēdes ieejā ar frekvences raksturlīkni K(jw). Nepieciešams noteikt nejaušā procesa y(t) statistiskos raksturlielumus ķēdes izejā. Atkarībā no analizētajiem nejaušo procesu x(t) un y(t) raksturlielumiem tiek aplūkoti divi vispārīgās problēmas varianti:

1. Nejauša procesa enerģijas spektra un korelācijas funkcijas noteikšana lineāras ķēdes izejā.

2. Nejauša procesa varbūtības sadalījuma likumu noteikšana lineāras ķēdes izejā.

Vienkāršākais ir pirmais uzdevums. Tās risinājums frekvenču jomā ir balstīts uz faktu, ka nejauša procesa enerģijas spektrs lineāras ķēdes Wy(w) izejā stacionārā režīmā ir vienāds ar ievades procesa enerģijas spektru Wx(w), kas reizināts ar ķēdes frekvences raksturlieluma moduļa kvadrāts, tas ir

Wy(W)= Wx(W) ∙│ K(Jw)│ A (1)

Ir zināms, ka nejauša procesa x(t) enerģijas spektrs Wx(w) ar matemātisko cerību mx=0 ir saistīts ar tā kovariācijas funkciju Bx(t) ar Furjē transformācijām, tas ir,

Wx(W)= INX(T) E— DžWTDT

INX(T)= Wx(W) EjWTDW.

Līdz ar to nejauša procesa kovariācijas funkciju Вy(t) lineāras ķēdes izejā var noteikt šādi:

INY(T)= Wy(W) EjWTDW= Wx(W))│ K(Jw)│ A EjWTDW

Ry(T)=BY(T)+ Mya.

Šajā gadījumā izvades nejaušības procesa dispersija Dy un matemātiskā cerība my ir vienādas

Dy= Ry(0)= Wx(w)) │K(jw)│adw

Mans= Mx∙ K(0) .

Kur mx ir ievades nejaušības procesa matemātiskā cerība:

K(0) - lineārās ķēdes pārraides koeficients saskaņā ar DC, tas ir

K(0)= K(Jw)/ W=0

Formulas (1,2,3,4) būtībā ir pilnīgs risinājums piešķirtais uzdevums frekvenču domēnā.

Metode otrās problēmas risināšanai, kas ļautu tieši atrast procesa y(t) varbūtības blīvumu lineāras inerces ķēdes izejā no procesa x(t) dotā varbūtības blīvuma ieejā, vispārējs skats neeksistē. Problēma tiek atrisināta tikai dažiem īpašiem gadījumiem un nejaušiem procesiem ar Gausa (normālo) sadalījuma likumu, kā arī Markova gadījuma procesiem.

Saistībā ar normālā sadalījuma procesu risinājums ir vienkāršots, pamatojoties uz to, kad lineārā transformācijaŠāds process nemaina sadales likumu. Tā kā normālu procesu pilnībā nosaka matemātiskā gaida un korelācijas funkcija, lai noteiktu procesa varbūtības blīvumu, pietiek ar tā matemātisko gaidu un korelācijas funkcijas aprēķināšanu.

Signāla varbūtības sadalījuma likums pie lineāras bezinerces ķēdes izejas funkcionālā nozīmē sakrīt ar ieejas signāla sadalījuma likumu. Mainās tikai daži tā parametri. Tādējādi, ja lineāra bezinerces ķēde realizē funkcionālu transformāciju formā y(t) = a x(t) + b, kur a un b ir nemainīgi koeficienti, tad nejauša procesa varbūtības blīvums p(y) ķēdes izvadi nosaka labi zināmās funkcionālās transformācijas formulas nejaušības procesi

P(Y)= =

Kur p(x) ir nejaušā procesa x(t) varbūtības blīvums ķēdes ieejā.

Dažos gadījumos nejauša procesa varbūtības raksturlielumu noteikšanas problēmu inerciālo ķēžu izejā var aptuveni atrisināt, izmantojot nejauša procesa normalizācijas efektu ar inerciālajām sistēmām. Ja ne-Gausa process x(t1) ar korelācijas intervālu tk iedarbojas uz inerciālu lineāru ķēdi ar laika konstanti t»tk (šajā gadījumā nejaušā procesa x(t) enerģijas spektra platums ir lielāks par ķēdes joslas platums), tad process y(t) šādas ķēdes izejā tuvojas Gausa vērtībai, palielinoties t/tk attiecībai. Šo rezultātu sauc par nejaušības procesa normalizācijas efektu. Normalizācijas efekts ir izteiktāks, jo šaurāks ir ķēdes joslas platums.

3. Nejaušu procesu transformācija nelineārās shēmās

Nelineāro ķēžu analīzes gaitā tiek ņemtas vērā nelineāras inerciālās transformācijas, kuru inerci noteiktās ietekmēs nevar atstāt novārtā. Šādu ķēžu uzvedību apraksta ar nelineāriem diferenciālvienādojumiem, kuru risināšanas vispārīgās metodes neeksistē. Tāpēc problēmas, kas saistītas ar nejaušu procesu nelineāro inerciālo transformāciju izpēti, gandrīz vienmēr tiek atrisinātas aptuveni, izmantojot dažādus mākslīgus paņēmienus.

Viens no šiem paņēmieniem ir attēlot nelineāru inerciālo ķēdi, apvienojot lineāras inerciālās un nelineāras bezinerces ķēdes. Iepriekš tika apskatīta problēma, kā izpētīt nejaušu procesu ietekmi uz lineāro ķēdi. Tika parādīts, ka šajā gadījumā ir diezgan vienkārši noteikt izejas signāla spektrālo blīvumu (jeb korelācijas funkciju), bet grūti noteikt sadalījuma likumu. Nelineārās ķēdēs bez inerces galvenās grūtības rada korelācijas funkcijas atrašana. Tomēr nav vispārīgu metožu, lai analizētu nejaušu signālu ietekmi uz nelineārām shēmām. Tie aprobežojas ar konkrētu praktisku problēmu risināšanu.

3.1. Nelineāro ķēžu izvadā nejauša procesa statistiskie raksturlielumi

Apskatīsim nejauša procesa ar viendimensionālu varbūtības blīvumu transformāciju ar nelineāru bezinerces ķēdi ar raksturlielumu

Y= f(x).

Ir skaidrs, ka jebkura nejauša procesa x(t) realizācija tiek pārveidota par atbilstošu jauna nejauša procesa y(t) realizāciju, tas ir,

y(t)=F[ X(T)] .

A. Nejaušības procesa y(t) sadalījuma likuma noteikšana

Lai ir zināms nejaušā procesa x(t) varbūtības blīvums p(x). Nepieciešams noteikt nejaušā procesa y(t) varbūtības blīvumu p(y). Apskatīsim trīs tipiskus gadījumus.

1. Nelineāras ķēdes funkcija y= f(x) nosaka vienu pret vienu atbilstību starp x(t) un y(t). Mēs uzskatām, ka pastāv apgrieztā funkcija x = j(y), kas arī nosaka vienlīdzīgu atbilstību starp y(t) un x(t). Šajā gadījumā varbūtība atrast gadījuma procesa x(t) realizāciju intervālā (x0, x0+dx) ir vienāda ar varbūtību atrast gadījuma procesa y(t)=f realizāciju intervālā. (y0, y0+dу) ar y0= f(x0) un y0+dy= f(x0+dx), tas ir

P(X) Dx= P(Y) Dy

Tāpēc

P(Y)= .

Atvasinājums tiek ņemts absolūtā vērtībā, jo varbūtības blīvums p(y) > 0, savukārt atvasinājums var būt negatīvs.

2. Apgrieztā funkcija x = j(y) ir neskaidra, tas ir, viena y vērtība atbilst vairākām x vērtībām. Ļaujiet, piemēram, vērtībai y1=y0 atbilst vērtībām x= x1, x2,…,xn.

Tad no tā, ka y0≤ y(t)≤ y0+dy, izriet viena no n savstarpēji nesaderīgām iespējām

X1 ≤ X(T)≤ X1 + Dx, vai X2 ≤ X(T)≤ X2 + Dx, vai… Xn≤ X(T)≤ Xn+ Dx.

Piemērojot varbūtību saskaitīšanas noteikumu, mēs iegūstam

P(Y)= + +…+ .

/ X= X1 / X= X2 / X= Xn

3, Nelineāra elementa īpašība y= f(x) ir viena vai vairākas horizontālās sadaļas (sekcijas, kur y= konst.). Tad izteiksme

P(Y)=

Tas jāpapildina ar terminu, kas ņem vērā varbūtību, ka y(t) atrodas intervālā, kur y = const.

Vienkāršākais veids, kā izskatīt šo gadījumu, ir izmantot piemēru.

Lai funkcijai y= f(x) ir 1. attēlā parādītā forma un formula

Rīsi. 1 Izlases procesa ietekme uz divvirzienu ierobežotāju.

Pie x(t)<а выходной сигнал y(t)=0, Это значит, что вероятность принятия случайным процессом y(t) нулевого значения равна

P1= P= P= P(x)dx,

Un varbūtības blīvums

P1(y) = P1∙δ(y).

Līdzīgi argumentējot gadījumam x(t)> b, iegūstam

Pa= P= P= P(x)dx,

pa(Y) = Pa∙ δ (Y— C).

/ Y= C

Gadījumā a≤ x≤ b formula ir derīga

Pa(Y) =

/0≤ Y≤ C

Kopumā izvades procesa varbūtības blīvumu nosaka izteiksme

P(Y)= P1 ∙ δ (Y)+ Pa∙ δ (Y— C)+ .

Ņemiet vērā, ka, lai iegūtu galīgo izteiksmi, funkcionālās atkarības p(x) un dy/dx, kas ir x funkcijas, ir jāpārveido par y funkcijām, izmantojot apgriezto funkciju x = j(y). Tādējādi problēma par nejauša procesa sadalījuma blīvuma noteikšanu nelineāras bezinerces ķēdes izejā ir analītiski atrisināta diezgan vienkāršiem raksturlielumiem y = f(x).

B. Nejaušā procesa y(t) enerģijas spektra un korelācijas funkcijas noteikšana

Nelineāras ķēdes izejā nav iespējams tieši noteikt nejauša procesa enerģijas spektru. Ir tikai viena metode - signāla korelācijas funkcijas noteikšana ķēdes izejā un pēc tam tiešā Furjē transformācija spektra noteikšanai.

Ja stacionārs gadījuma process x(t) nonāk nelineāras bezinerces ķēdes ieejā, tad nejaušā procesa y(t) korelācijas funkciju izejā var attēlot kā

Ry(T)= Autors(T)- Mans2 ,

kur By(t) ir kovariācijas funkcija;

my ir nejaušā procesa y(t) matemātiskā cerība. Nejauša procesa kovariācijas funkcija ir gadījuma procesa y(t) vērtību statistiski vidējā reizinājums momentos t un t+t, tas ir

Autors(T)= M[ Y(T)∙ Y(T+ T)].

Gadījuma procesa y(t) realizācijai reizinājums y(t)∙y(t+t) ir skaitlis. Procesam kā realizāciju kopai šis produkts veido nejaušu lielumu, kura sadalījumu raksturo divdimensiju varbūtības blīvums p2 (y1, y2, t), kur y1= y(t), ya= y( t+t). Ņemiet vērā, ka pēdējā formulā mainīgais t neparādās, jo process ir stacionārs - rezultāts nav atkarīgs no t.

Dotajai funkcijai р2 (у1, у2, t) vidējā kopas aprēķināšanas darbība tiek veikta saskaņā ar formulu

Autors(T)=У1∙у2∙р2 (у1, у2,T) Dy1 Dy2 = F(X1 )∙ F(X2 )∙ P(X1 , X2 , T) Dx1 Dx2 .

Matemātiskās cerības my ir noteiktas ar šādu izteiksmi:

Mans= Y∙ P(Y) Dy.

Ņemot vērā, ka p(y)dy = p(x)dx, iegūstam

Mans= F(X)∙ P(X) Dx.

Izejas signāla enerģijas spektrs saskaņā ar Vīnera-Khinčina teorēmu tiek atrasts kā kovariācijas funkcijas tieša Furjē transformācija, t.i.

Wy(W)= Autors(T) E— DžWTDT

Praktiska lietošana šī metode grūti, jo ne vienmēr var aprēķināt By(t) dubulto integrāli. Nepieciešams izmantot dažādas vienkāršošanas metodes, kas saistītas ar risināmās problēmas specifiku.

3.2. Šaurjoslas trokšņu ietekme uz amplitūdas detektoru

Statistiskajā radiotehnikā izšķir platjoslas un šaurjoslas nejaušības procesus.

Pieņemsim, ka ∆ fe ir nejaušā procesa enerģijas spektra platums, kas noteikts pēc formulas (2. att.)

Rīsi. 2. Nejauša procesa enerģijas spektra platums

Šaurjosla nejaušs process ir process, kuram ∆fе «f0, kur f0 ir frekvence, kas atbilst enerģijas spektra maksimumam. Nejaušs process, kura enerģijas spektra platums neatbilst šim nosacījumam Platjosla.

Šaurjoslas nejaušs process parasti tiek attēlots kā augstfrekvences svārstības ar lēni mainīgu (salīdzinot ar svārstību frekvencē f0) amplitūdu un fāzi, t.i.

X(t)= A(t)∙cos,

kur A(t) = √x2(t) + z2(t) ,

J(t) = arktāns,

z(t) ir sākotnējās funkcijas x(t) Hilberta konjugētā funkcija, tad

z(t)= —DT

Visi šīs svārstības parametri (amplitūda, frekvence un fāze) ir nejaušas laika funkcijas.

Amplitūdas detektors, kas ir neatņemama sastāvdaļa Saņemšanas ceļš ir nelineāra bezinerces elementa (piemēram, diodes) un inerciālas lineāras ķēdes (zemas caurlaidības filtra) kombinācija. Spriegums pie detektora izejas atveido augstfrekvences svārstību amplitūdu ieejā.

Ļaujiet šaurjoslas nejaušam signālam nonākt amplitūdas detektora ieejā (piemēram, no pastiprinātāja izejas, kam ir šaurs joslas platums attiecībā pret starpfrekvenci), kam ir ergodiska nejauša procesa īpašības ar normālu. sadales likums. Acīmredzot signāls detektora izejā būs ieejas nejaušā signāla aploksne, kas arī ir nejauša laika funkcija. Ir pierādīts, ka šo aploksni, tas ir, šaurjoslas nejauša procesa apvalku, raksturo varbūtības blīvums, ko sauc par Reilija sadalījumu, un tam ir šāda forma:

kur A ir aploksnes vērtības;

Sx2 ir nejaušā signāla izkliede detektora ieejā.

Reilija sadalījuma diagramma parādīta 3. att.

3. att. Raila sadalījuma likuma grafiks

Funkcijas p(A) maksimālā vērtība ir vienāda ar

Kad A = sx. Tas nozīmē, ka A vērtība = sx un ir visticamākā aploksnes vērtība.

Nejauša procesa aploksnes matemātiskā cerība

M.A.= = =

Tādējādi šaurjoslas gadījuma procesa aploksne ar normālu sadalījuma likumu ir nejauša laika funkcija, kuras sadalījuma blīvumu apraksta Reilija likums.

3.3. Harmoniskā signāla un šaurjoslas nejaušā trokšņa summas aploksnes sadalījuma likums

Problēma noteikt harmoniskā signāla un šaurjoslas nejauša trokšņa summas apvalka sadalījuma likumu rodas, analizējot lineārās noteikšanas procesu radaru un sakaru sistēmās, kas darbojas apstākļos, kad iekšējais vai ārējais troksnis ir salīdzināms ar līmeni. noderīgs signāls.

Ļaujiet uztvērēja ieejai saņemt harmoniskā signāla a(t)=E∙cos(wt) un šaurjoslas trokšņa x(t)=A(t)∙cos summu ar normālu sadalījuma likumu. Kopējo svārstību šajā gadījumā var uzrakstīt

N(T) = S(T)+ X(T)= E∙coS(Wt)+ A(T)∙ Cos[ Wt+ Dž(T)]=

=[E+A(T)∙ Cos(Dž(T))]∙tātadS(Wt)- A(T)∙ Grēks(Dž(T))∙ Grēks(Wt)= U(T)∙ Cos[ Wt+ Dž(T)],

kur U(t) un j (t) ir kopējā signāla apvalks un fāze, ko nosaka izteiksmes

U(T)= ;

Dž(T)= Arctg

Kad kopējās svārstības u(t) iedarbojas uz amplitūdas detektoru, tā izejā veidojas apvalks. Šīs aploksnes varbūtības blīvumu p(U) nosaka pēc formulas

P(U)= (5)

kur sxa ir trokšņa dispersija x(t);

I0 — nulles kārtas Besela funkcija (modificēta).

Ar šo formulu noteikto varbūtības blīvumu sauc par vispārināto Reili likumu jeb Raisa likumu. Funkcijas p(U) grafiki vairākām signāla un trokšņa attiecības E/sx vērtībām ir parādīti 4. attēlā.

Ja nav noderīga signāla, tas ir, ja E/sx=0, izteiksme (5) iegūst formu

P(U)=

Tas ir, iegūtā signāla aploksne šajā gadījumā tiek sadalīta saskaņā ar Rayleigh likumu.

4. att. Vispārinātā Raila sadalījuma likuma grafiki

Ja noderīgā signāla amplitūda pārsniedz vidējo kvadrātisko trokšņu līmeni, tas ir, E/sx»1, tad U≃E var izmantot Besela funkcijas asimptotisko attēlojumu ar lielu argumentu, tas ir,

≃≃.

Aizstājot šo izteiksmi ar (5), mēs iegūstam

P(U)= ,

Tas ir, iegūtā signāla aploksni apraksta ar normālā sadalījuma likumu ar dispersiju sx2 un matemātisko gaidu E. Praksē tiek uzskatīts, ka jau pie E/sx = 3 iegūtā signāla aploksne tiek normalizēta.

4. Nejaušo procesu sadalījuma likumu eksperimentālā noteikšana

Viena no metodēm nejauša procesa x(t) sadalījuma funkcijas eksperimentālai noteikšanai ir metode, kuras pamatā ir z(t) formas gadījuma palīgfunkcijas izmantošana.

Kur x ir funkcijas x(t) vērtība, kurai aprēķina z(t).

Kā izriet no funkcijas z(t) semantiskā satura, tās statistiskos parametrus nosaka gadījuma procesa x(t) parametri, jo z(t) vērtību izmaiņas notiek brīžos, kad nejaušība process x(t) šķērso x līmeni. Līdz ar to, ja x(t) ir ergodisks gadījuma process ar sadalījuma funkciju F(x), tad funkcija z(t) aprakstīs arī ergodisku gadījuma procesu ar tādu pašu sadalījuma funkciju.

5. attēlā parādītas nejaušu procesu x(t) un z(t) realizācijas, kas ilustrē sakarības acīmredzamību.

P[ Z(T)=1]= P[ X(T)< X]= F(X);

P[ Z(T)=0]= P[ X(T)≥ X]= 1- F(X).

5. att. Nejaušo procesu realizācijas x(t), z(t), z1(t)

Funkcijas z(t), kurai ir divas diskrētas vērtības, matemātisko paredzamo vērtību (vidējo statistisko vērtību) nosaka saskaņā ar formulu (skat. 1. tabulu)

M[ Z(T)]=1∙ P[ Z(T)=1]+0 ∙ P[ Z(T)=0]= F(X).

No otras puses, ergodiskam nejaušam procesam

Tādējādi

Analizējot šo izteicienu, mēs varam secināt, ka ierīcei ergodiskā gadījuma procesa x(t) sadalījuma funkcijas mērīšanai jāietver līmeņa diskriminators, lai iegūtu nejaušu procesu, ko apraksta funkcija z(t) saskaņā ar izteiksmi (6), un integrējošo ierīce, kas izgatavota, piemēram, zemas caurlaidības filtra veidā.

Metode nejauša procesa x(t) sadalījuma blīvuma eksperimentālai noteikšanai būtībā ir līdzīga iepriekš apskatītajai. Šajā gadījumā tiek izmantota formas z1(t) gadījuma palīgfunkcija

Funkcijas z1(t), kurai ir divas diskrētas vērtības (5. att.), matemātiskā cerība ir vienāda ar

M[ Z1 (T)]=1∙ P[ Z1 (T)=1]+0 ∙ P[ Z1 (T)=0]= P[ X< X(T)< X+∆ X].

Ņemot vērā ar funkciju z1(t) aprakstītā nejaušā procesa ergoditāti, varam rakstīt

Tādējādi

Ir zināms, ka

P(X≤ X(T)< X+∆ X) ≃ P(X)∙∆ X.

Tāpēc

Tādējādi ierīcei ergodiskā nejaušā procesa x(t) sadalījuma blīvuma mērīšanai ir tāda pati struktūra un sastāvs kā sadales funkcijas mērīšanas ierīcei.

F(x) un p(x) mērījumu precizitāte ir atkarīga no novērošanas intervāla ilguma un integrācijas darbības kvalitātes. Ir pilnīgi skaidrs, ka reālos apstākļos mēs saņemam Vērtējumi sadales likumi, jo vidējais (integrācijas) laiks ir ierobežots. Atgriežoties pie izteiksmes (6) un att. 5. ņemiet vērā, ka

Z(T) Dt= ∆ T1 ,

Kur ∆ t1 ir 1. laika intervāls, kad funkcija x(t) ir zem x līmeņa, tas ir, laika intervāls, kad funkcija z(t)=l.

Šīs formulas derīgumu nosaka noteikta integrāļa ģeometriskā nozīme (skaitļa laukums, ko ierobežo funkcija z(t) un laika ass segments (0,T).

Tādējādi mēs varam rakstīt

Tas ir, nejauša procesa sadalījuma funkcija x(t) ir vienāda ar procesa īstenošanas relatīvo uzturēšanās laiku intervālā -¥< x(t) < х.

Līdzīgi strīdoties, varam iegūt

Kur ∆ t1 ir funkcijas x(t) 1. laika intervāls, kas atrodas (x, x+∆x) robežās.

Praktiski īstenojot aplūkoto nejauša procesa sadalījuma likumu eksperimentālās noteikšanas metodi, tiek analizēts nejaušs signāls x(t) tā momentāno vērtību izmaiņu diapazonā no xmin līdz xmax (6. att.). Šajās robežās ir koncentrēta galvenā procesa x(t) momentāno vērtību kopa (varbūtības nozīmē).

Vērtības xmin un xmax tiek izvēlētas, pamatojoties uz nepieciešamo sadalījuma likumu mērījumu precizitāti. Šajā gadījumā saīsinātie sadalījumi tiks pārbaudīti tā, lai

F(Xmin)+<<1.

Viss x(t) vērtību diapazons (xmin, xmax) ir sadalīts N vienādos intervālos ∆x, tas ir

XMaks— Xmin= N∙∆ X.

Rīsi. 6. Nejauša procesa x(t) sadalījuma funkcija (a), varbūtības blīvums (b) un realizācija (c).

Intervāli norāda diferenciālo koridoru platumu, kuros tiek veikti mērījumi. Tiek noteikts varbūtības novērtējums

Pi* ≃ P[ Sji-∆ X/2≤ X(T)< Sji-∆ X/2]

Realizācijas x(t) atrašanās diferenciālā koridorā ar x(t) vidējo vērtību tajā, kas vienāda ar xi. Aprēķinu Pi* nosaka, mērot īstenošanas relatīvo uzturēšanās laiku x(t) katrā diferenciālajā koridorā, tas ir,

Pi*=1/T Zi(t)dt= ,

I = 1,…,N.

Ņemot vērā, ka

Pi* ≃ P1 = P(X) Dx,

Varat noteikt sadalījuma blīvuma aprēķinus katrā diferenciālajā koridorā

Pi* (X)= Pi*/∆ X.

Izmantojot iegūtos rezultātus, tas ir, pi*(x), xi, ∆x vērtības, tiek konstruēta soļu līkne p*(x), ko sauc par sadalījuma blīvuma histogrammu (sk. 7. att.).

7. att. Izplatības blīvuma histogramma

Laukums zem katra histogrammas fragmenta ∆x robežās ir skaitliski vienāds ar laukumu, ko aizņem patiesā sadalījuma līkne p(x) noteiktā intervālā.

Diferenciālo koridoru skaitam N jābūt 10...20 robežās. To skaita tālāka palielināšana neizraisa precīzāku likumu p(x), jo, palielinoties N, intervāla ∆x vērtība samazinās, kas pasliktina ∆ti precīzas mērīšanas nosacījumus.

Iegūtie rezultāti ļauj aprēķināt nejaušā procesa x(t) matemātiskās cerības un dispersiju.

Mx* = Sji∙ Pi* ; Dx* = (Sji— Mx* )2∙ Pi* .

Aprēķinot Mx* Un Dx* Šajās formulās ir ņemts vērā, ka, ja nejaušā procesa x(t) realizācijas vērtība iekrīt 1. diferenciālkoridorā, tad tai tiek piešķirta vērtība un (diferenciālā koridora vidus).

Apskatītā nejaušo procesu sadalījuma likumu noteikšanas metode veido pamatu šajā laboratorijas darbā izmantotā statistiskā analizatora darbībai.

LABORATORIJAS IEKĀRTAS APRAKSTS

Nejaušo signālu sadalījuma likumu izpēte tiek veikta, izmantojot laboratorijas iekārtu, kas ietver laboratorijas modeli, statistisko analizatoru un osciloskopu S1-72 (8. att.).

8. att. Laboratorijas uzstādīšanas diagramma

Laboratorijas modelis ģenerē un pārveido nejaušus signālus, nodrošinot to statistisko analīzi, konstruējot sadalījuma likumu histogrammas un grafiski attēlojot šos likumus uz statistiskā analizatora indikatora. Tas satur šādas funkcionālās vienības:

A. Signālu ģeneratoru bloks. Ģenerē četrus dažādus nejaušus signālus.

— Signāls x1(t)= A∙sin ir harmoniskas svārstības ar nejaušu sākuma fāzi, kuras sadalījuma likums Uniforma intervālā 0

P(Dž)= 1/2 P, 0< Dž<2 P.

Šāda signāla momentāno vērtību varbūtības blīvums ir vienāds ar

— Signāls x2(t) — zāģa zoba periodiskais spriegums ar nemainīgu amplitūdu A un nejaušas nobīdes parametru q, sadales likums
kam Uniforma intervālā , kur T0 ir signāla periods, tas ir, varbūtības blīvums ir vienāds ar

P(J)= 1/ T0 ; 0< J≤ T0 .

Šāda signāla momentāno vērtību varbūtības blīvumu nosaka izteiksme

— Signāls x3(t) ir nejaušs signāls ar normālu momentāno vērtību sadalījuma likumu (Gausa likumu), tas ir,

Pa(X)= ,

Kur mx, sx ir nejaušā signāla x3(t) matemātiskā cerība un dispersija.

— Signāls x4(t) ir nejauši apgriezts signāls, kas ir taisnstūrveida impulsu secība ar nemainīgu amplitūdu A un nejaušu ilgumu, kas notiek nejaušā laikā. Šāds signāls parādās ideālā ierobežotāja izejā, kad uz tā ievadi iedarbojas nejaušs process ar normālu sadalījuma likumu. Transformācijas raksturlielumam ir forma

Kur x ir ierobežojuma līmenis.

Tādējādi nejaušajam procesam x4(t) ir divas vērtības (A un - A) ar varbūtībām

P = P = F3(x);

P = P = 1-F3(x);

Kur F3(x) ir gadījuma procesa integrālā sadalījuma likums x3(t).

Ņemot vērā iepriekš minēto, apgrieztā signāla varbūtības blīvums ir vienāds ar

P4(x)= F3(x)∙D(x+ A)+ ∙D(x – A).

9. attēlā parādīti katra nejaušā signāla realizācija, ko ģenerē laboratorijas izkārtojuma iterators, un to varbūtības blīvumi.

Šos signālus, kuriem katram ir raksturīgs savs sadales blīvums, var ievadīt radioinženieru ierīču tipisko elementu ieejās, lai pārveidotu un pētītu signālu sadales likumus to izejās.

B. Lineārais signāla mikseris. Ģenerē divu nejaušu signālu xi(t) un x1(t) summu, kas tiek piegādāti tās ieejām saskaņā ar attiecību

Y(T)= R∙ Sji(T)+ (1- R)∙ X1 (T),

Kur R ir koeficients, kas iestatīts ar potenciometra pogu diapazonā no 0...1.

Izmanto, lai pētītu divu nejaušu signālu summas sadalījuma likumus.

IN. Rozetes dažādu četru terminālu tīklu pieslēgšanai - funkcionālie pārveidotāji. Laboratorijas uzstādīšanas komplektā ietilpst 4 funkcionāli pārveidotāji (10. att.).

Rīsi. 9. Nejaušu procesu x1(t), x2(t), x3(t), x4(t) realizācijas un to varbūtību blīvumi.

Pastiprinātājs - ierobežotājs (limiter) ar konversijas raksturlielumu

kur U1, U2 ir attiecīgi apakšējais un augšējais robežlīmenis;

k ir transformācijas raksturlieluma slīpuma leņķa koeficients tg.

Veic ieejas signālu nelineāru, bezinerces transformāciju.

Šaurjoslas filtrs (F1) ar rezonanses frekvenci f0=20 kHz. Izmanto, lai ģenerētu šaurjoslas nejaušus procesus ar sadalījuma likumu, kas ir tuvu normālam.

Tipisks AM svārstību uztvērēja ceļš (šaurjoslas filtrs F1 - lineārais detektors D - zemas caurlaidības filtrs F2). Lineārās noteikšanas laikā veic šaurjoslas nejauša signāla aploksnes veidošanos.

Strukturāli aplūkotie funkcionālie pārveidotāji ir izgatavoti mazu maināmu bloku veidā.

Kā vēl viens funkcionāls pārveidotājs tiek izmantots “ideāls” pastiprinātājs - ierobežotājs (elektroniskā atslēga), kas ir daļa no prototipa signālu ģeneratora bloka. Tas nodrošina apgriezta signāla veidošanos, būdams nejauša ievades signāla nelineārs bezinerces pārveidotājs.

Rīsi. 10. Funkcionālie pārveidotāji

G. Atbilstošs pastiprinātājs. Nodrošina koordināciju starp pētāmā signāla vērtību diapazonu un statistiskā analizatora amplitūdas diapazonu. Koordinācija tiek veikta, izmantojot potenciometrus “Gain” un “Offset”, kad slēdzis P1 (8. att.) ir iestatīts pozīcijā “Kalibrēšana”.

Atbilstošais pastiprinātājs tiek izmantots arī kā funkcionāls pārveidotājs (izņemot četrus iepriekš apskatītos), nodrošinot lineāru, bezinerces pārveidošanu saskaņā ar formulu

Y(T)= A∙ X(T)= B,

kur a ir pastiprinājuma koeficients, kas iestatīts ar pogu “Gain”;

b ir signāla nemainīgā sastāvdaļa, kas iestatīta ar pogu "Nobīde".

Analizatora bloks, kas parādīts diagrammā 8. attēlā kā izkārtojuma daļa, šajā darbā netiek izmantots. Laboratorijas uzstādīšana ietver digitālā statistiskā analizatora izmantošanu, kas izveidots kā atsevišķa ierīce.

D. Digitālais statistiskais analizators tiek izmantots, lai izmērītu un formulētu tā ievadei piegādāto signālu vērtību sadalījuma likumus. Analizators darbojas šādi.

Analizators tiek ieslēgts mērīšanas režīmā, izmantojot pogu "Start". Mērīšanas laiks ir 20 s. Šajā laikā tiek ņemti ieejas signāla vērtību paraugi (izlases laikos), kuru kopējais skaits N ir 1 miljons. Paraugi tiek ņemti pa līmeņiem tā, lai katrs no tiem iekristu vienā no 32 intervāliem (saukts par diferenciālo). koridoru vai grupēšanas intervālu izlases vērtības). Intervāli ir numurēti no 0 līdz 31, to platums ir 0,1 V, un 0. intervāla apakšējā robeža ir 0 V, 31. intervāla augšējā robeža ir +3,2 V. Mērīšanas laikā tiek skaitīts skaitīšanas skaits ni iekļauti katrā intervālā. Mērījumu rezultāts tiek attēlots monitora ekrānā sadales histogrammas veidā, kur skalas režģa horizontālā ass ir signāla vērtību ass 0...+3,2 V robežās, vertikālā ass ir relatīvā ass. frekvences ni/N, i = 0,1...31.

Mērījumu rezultātu nolasīšanai digitālā formā izmanto digitālo indikatoru, kas parāda izvēlētā intervāla numuru un atbilstošo frekvenci (varbūtības aplēsi) ni/N. Intervālu skaitļu izvēle digitālajam indikatoram tiek veikta, izmantojot slēdzi "Intervāls". Šajā gadījumā atlasītais intervāls tiek atzīmēts ar marķieri monitora ekrānā.

Izmantojot slēdzi "Reizinātājs", varat izvēlēties histogrammas skalu, kas ir ērta novērošanai gar vertikālo asi.

Veicot šo darbu, analizatora ieejas sprieguma diapazona slēdzis (analogā-digitālā pārveides diapazons) jāiestata pozīcijā 0...+3,2 V. Pirms katra mērījuma pārmaiņus jānospiež pogas "Reset" un "Start" (nospiežot pogu "Atiestatīt" Atmiņas ierīce tiek atiestatīta uz nulli, un iepriekšējā mērījuma rezultāti tiek pārrakstīti steka atmiņā, no kuras tos var atsaukt, izmantojot slēdzi "Lapa").

Vispārējā problēma pētīt nejaušu signālu pāreju caur nelineāru

ķēde sastāv no izejas signāla statistisko raksturlielumu atrašanas no zināmajiem ķēdes datiem un signāla statistisko raksturlielumu. Šis uzdevums ir jāsadala vairākos atsevišķos uzdevumos, pamatojoties uz raksturlielumiem, kas saistīti ar ieejas signāla īpašībām, ķēdes īpašībām un izejas signāla sākotnējiem raksturlielumiem.

Nelineārās ķēdes ir nelineāru elementu attiecība ar nepārprotamu strāvas-sprieguma raksturlielumu, un tās ir definētas kā bezinerces.

Pēc vēlamajiem izejas signāla statistiskajiem raksturlielumiem jānošķir uzdevumi, ar kuru palīdzību jāatrod momentāno vērtību sadalījuma likums jeb aploksne, no uzdevumiem, kad pietiek noteikt šo likumu pirmos momentus. .

Pētījumu un publikāciju analīze. Atkarībā no dažādu avotu signālu apstrādes metodēm ar tiem kļūst nepieciešams veikt tādas matemātiskas darbības kā, piemēram, dalīšana, reizināšana utt. Šādas matemātiskas darbības ar signāliem var tehniski realizēt, izmantojot nelineāras bezinerces ierīces. Tā rezultātā problēmu, kas saistīta ar nejaušu signālu pāreju caur nelineārām shēmām, izmantojot matemātiskas darbības, ne vienmēr var atrisināt pieņemamā formā.

Kopumā gadījuma procesu nelineāro bezinerces transformāciju problēmas fundamentālo risinājumu rada labi zināmā varbūtības diferenciāļa nemainības īpašība. Taču šīs īpašības pielietošana praktiski interesantām nelineārām transformācijām rada lielas grūtības. Tāpēc varbūtības blīvuma aprēķināšanas sarežģītības dēļ tie bieži vien aprobežojas ar vienkāršāku, ne mazāk pilnīgu izejas signāla statistisko raksturlielumu atrašanu.

Problēmas formulēšana. Divu nejaušu signālu sadalīšanas darbību var attiecināt uz problēmu, kas saistīta ar nelineāras ķēdes sintezēšanu noteiktai ieejas signāla transformācijai, kas ietver ķēdes raksturlielumu veida noteikšanu, kas veic šo transformāciju, un pēc tam iegūtā raksturlieluma ieviešanu. Piemēram, ar diviem ieejas signāliem, kas attēlo nejaušus procesus, reizināšanas operācija tiek veikta, izmantojot nelineāru deterministisko bezinerces sistēmu, kas parādīta attēlā. 1. Tas sastāv no diviem logaritmatoriem 1, 2 (ierīces ar logaritmisko amplitūdas raksturlielumu), summatora un eksponētāja 3, ierīces ar eksponenciālās amplitūdas raksturlielumu. Šāda pieeja problēmas risināšanai ir balstīta uz to, ka nejauša procesa nelineāra bezinerces transformācija neievieš papildu pagaidu savienojumus. Tas ir, ja process pirms bezinerces transformācijas tika raksturots ar n-dimensiju sadalījumu, tad process pēc tā tiks raksturots ar n-tās kārtas sadalījumu.

Ir zināms, ka divu nejaušu procesu summas varbūtības sadalījuma likums ar normālā sadalījuma likumiem ir arī normāls. Tāpēc mēs varam pieņemt, ka signālam pie izstādes ieejas ir normāls varbūtības blīvumu sadalījums.

Iegūtajam rezultātam ir tik vienkāršs risinājums kā izslēgšana un tas notiek tikai ar normāla stacionāra procesa eksponenciālu transformāciju.

Tomēr šim rezultātam ir samērā vispārīga nozīme, jo bieži vien nelineāro elementu raksturlielumus var tuvināt ar summu, kas satur divus līdz trīs eksponenciālus vārdus; Izmantojot šo pieeju, izvades procesa kopējā korelācijas funkcija būs vienāda ar korelācijas funkciju summu, kas aprēķināta katram eksponenciālajam terminam atsevišķi.

Problēmas, kas saistītas ar nejaušu signālu pāreju caur nelineārām bezinerces ķēdēm, kas veic matemātiskas darbības ar signāliem, piemēram, sadalot vai reizinot divus signālus, ne vienmēr var atrisināt tiešā veidā. Tomēr statistisko raksturlielumu noteikšanas problēmas risināšanas rezultātu šajos gadījumos var sasniegt, atrisinot nelineāro ķēžu sintezēšanas problēmu noteiktai ieejas signālu transformācijai, kas ietver atsevišķu ķēdes elementu raksturlielumu veidu noteikšanu, kas to veic. signāla transformācija. Izmantojot šo pieeju, uzdevums noteikt iegūto signālu tiks noteikts katra elementa izejā, kas veic tai piešķirto funkciju.

Nav vispārīgas procedūras lineāras FU reakcijas uz patvaļīgu nejaušu ietekmi sadalījuma likuma noteikšanai. Tomēr ir iespējama korelācijas analīze, t.i., reakcijas korelācijas funkcijas aprēķināšana no dotās trieciena korelācijas funkcijas, ko ērti veikt, izmantojot spektrālo metodi saskaņā ar shēmu, kas parādīta attēlā. 5.5.

Lai aprēķinātu enerģijas spektru GY(f) lineārās FU reakcijas ar pārneses funkciju H(jω) mēs izmantojam tā definīciju (4.1)

Korelācijas funkcija BY(t) mēs definējam ar Furjē transformāciju enerģijas spektrā GY(f)

.

Atgriezīsimies pie lineāra FU reakcijas sadalījuma likuma definīcijas noteiktos īpašos gadījumos:

1. Parasta SP lineāra transformācija arī ģenerē normālu procesu. Var mainīties tikai tā sadalījuma parametri.

2. Normālo SP (summētāja reakcija) summa arī ir normāls process.

3. Ja SP ar patvaļīgu sadalījumu iziet cauri šaurjoslas filtram (t.i., ar filtra joslas platumu D F ievērojami mazāks ietekmes enerģijas spektra platums D f X) novērojama reakcijas sadalījuma normalizēšanās parādība Y(t). Tas slēpjas faktā, ka reakcijas sadalījuma likums tuvojas normālam. Šīs tuvināšanas pakāpe ir lielāka, jo spēcīgāka ir nevienlīdzība D F<< Df X(5.6. att.).

To var izskaidrot šādi. SP izlaižot caur šaurjoslas filtru, ievērojami samazinās tā enerģijas spektra platums (ar D f X uz D F) un attiecīgi korelācijas laika palielināšanās (c t X uz t Y). Rezultātā starp nekorelētu filtru atbildes paraugiem Y(k t Y) atrodas aptuveni D f X / D F nekorelēti trieciena rādījumi X(l t X), no kuriem katrs veicina viena reakcijas parauga veidošanos ar svaru, ko nosaka filtra impulsa reakcijas veids.

Tādējādi nekorelētās sadaļās Y(k t Y) ir liels skaits arī nekorelētu gadījuma lielumu summēšana X(l t X) ar ierobežotām matemātiskām cerībām un novirzēm, kas saskaņā ar centrālo robežu teorēmu (A.M. Ļapunovs) nodrošina, ka to summas sadalījums tuvojas normālam, palielinoties terminu skaitam.

5.3. Šaurjoslas izlases procesi

JV X(t) ar salīdzinoši šauru enerģijas spektru (D f X << f c) tāpat kā šaurjoslas deterministiskos signālus, tos ir ērti attēlot kvaziharmoniskā formā (sk. 2.5. sadaļu)

kur ir aploksne A(t), Y fāze ( t) un sākuma fāze j( t) ir nejauši procesi, un ω c ir patvaļīgi izvēlēta frekvence (parasti kā tās spektra vidējā frekvence).

Lai definētu aploksni A(t) un Y fāze ( t) ieteicams izmantot analītisko SP

, (5.4)

Analītiskā SP galvenās momentfunkcijas:

1. Matemātiskās cerības

2. Variance

3. Korelācijas funkcija

,

,

.

Analītisku SP sauc par stacionāru, ja

,

,

Apskatīsim tipisko sakaru tehnoloģiju problēmu, kas saistīta ar parastā SP izlaišanu caur frekvenču joslas filtru (BF), amplitūdas (AM) un fāzes (PD) detektoriem (5.7. att.). Signāls pie PF izejas kļūst par šaurjoslu, kas nozīmē, ka tā aploksne A(t) un sākuma fāze j( t) būs lēni mainīgas laika funkcijas, salīdzinot ar , kur ir PF caurlaides joslas vidējā frekvence. Pēc definīcijas signāls IM izejā būs proporcionāls ieejas signāla aploksnei A(t), un PD izejā – tā sākuma fāze j( t). Tādējādi, lai atrisinātu šo problēmu, pietiek ar aploksnes sadalījuma aprēķināšanu A(t) un Y fāze ( t) (sākotnējās fāzes sadalījums atšķiras no sadalījuma Y( t) tikai pēc matemātiskas cerības).

Problēmas formulēšana

Ņemot vērā:

1) X(t) = A(t)cosY( t) – šaurjoslas centrēts stacionārs normāls SP (pie PF izejas),

2) .

Definēt:

1) w(A) – aploksnes viendimensijas varbūtības blīvums,

2) w(Y) – viendimensijas fāzes varbūtības blīvums.

Lai atrisinātu šo problēmu, mēs ieskicējam trīs posmus:

1. Pāreja uz analītisko SP un kopīgās varbūtības blīvuma noteikšana.

2. Savienojuma varbūtības blīvuma aprēķins, pamatojoties uz pirmajā posmā aprēķinātajiem savienojumiem A(t), Y( t) ar (5.3) ÷ (5.6) .

3. Viendimensiju varbūtības blīvumu noteikšana w(A) Un w(Y) no aprēķinātā locītavas varbūtības blīvuma.

Risinājums

1. posms. Atradīsim procesa viendimensionālo varbūtības blīvumu. Pamatojoties uz Hilberta transformācijas linearitāti secinām, ka tas ir parasts kopuzņēmums. Turklāt, ņemot vērā to , saņemam , un līdz ar to

Tā mums ir

.

Pierādīsim nekorelāciju sakrītošos laika punktos, t.i., ka .

.

Pēc , , aizstāšanas, ņemot vērā, ka , mēs iegūstam

Tāpēc normālu procesu šķērsgriezumu nekorelētais raksturs nozīmē to neatkarību

.

2. posms. Locītavas varbūtības blīvuma aprēķins

,

kur saskaņā ar (5.2.), (5.5.) un (5.6.)

.

Tāpēc, ņemot vērā (5.3) mums ir

. (5.7)

3. posms. Viendimensiju varbūtības blīvumu definīcija

Beidzot

, (5.8)

. (5.9)

Izteiksme (5.8) ir pazīstama kā Rayleigh sadalījums, tā grafiks ir parādīts attēlā. 5.8. Attēlā 5.9. attēlā parādīts vienmērīga fāžu sadalījuma grafiks (5.9.).

Izteiksmi (5.7) var attēlot kā (5.8) un (5.9) reizinājumu.

kas nozīmē aploksnes neatkarību A(t) un fāzes w(Y) normāls SP.

Apskatīsim sarežģītāku problēmu, kas saistīta ar iepriekšminētā parastā SP piedevas maisījuma novadīšanu ar harmonisku signālu caur AD un PD. Problēmas izklāsts paliek nemainīgs, izņemot sākotnējo procesu Y(t), kas iegūst formu

Kur X(t) – centrēts parastais SP.

Tāpēc ka

.

Pierakstīsim to Y(t) kvaziharmoniskā formā

un mēs atrisināsim varbūtības blīvumu noteikšanas problēmu w(A) Un w j) saskaņā ar iepriekš minēto plānu.

Pierakstīsim to iepriekš X(t) kvaziharmoniskā formā un caur tās kvadratūras komponentiem

, (5.10)

(5.11)

Lai atrastu, pievērsīsimies analītiskajam SP

.

No tā izteiksmes ir skaidrs, ka tās ir centrētā normālā SP lineāras transformācijas X(t):

un tāpēc tiem ir normāls sadalījums ar novirzēm

.

Pierādīsim to nesakarību (un līdz ar to arī neatkarību) sakrītošos laika momentos

.

Šeit tiek ņemts vērā, ka B(t) un θ( t) – parastā SP apvalks un fāze, kā noteikts iepriekš, ir neatkarīgi.

Tādējādi

un ņemot vērā (5.10) un (5.11) iegūstam

. (5.12)

Tā kā izteiksmi (5.12) nevar attēlot kā viendimensiju funkciju reizinājumu, varam secināt, ka procesi ir atkarīgi no .

Lai atrastu centrēta normāla SP summas aploksnes sadalījumu ar harmonisku signālu, mēs integrējam (5.12) pa visām iespējamām nejaušās fāzes j( t)

.

Formas integrālis

matemātikā pazīstama kā nulles kārtas modificētā Besela funkcija. Ņemot to vērā, mums beidzot ir

. (5.13)

Izteiksme (5.13) tiek izsaukta vispārināts Rayleigh sadalījums vai Rīsu izplatīšana. Šīs izteiksmes grafiki ir parādīti attēlā. 5.10 šādiem īpašiem gadījumiem:

1) U = 0 - parastā Rayleigh izplatīšana,

2) - prombūtnes gadījumā Y(t) SP X(t),

3)
– vispārināts Rayleigh (Rīsu) sadalījums.

No grafikiem ir skaidrs, ka jo augstāka ir signāla un trokšņa attiecība, jo vairāk pa labi tiek nobīdīts varbūtības blīvuma maksimums un jo simetriskāka (tuvāk normālajam sadalījumam) ir līkne.

secinājumus

1. Ja centrētā SP momentānās vērtības X(t) ir normāls sadalījums, tad tā aploksne A(t) izplatīts saskaņā ar Reilija likumu

,

un Y fāze ( t) vienmērīgi

2. Centrētā normālā SP un harmoniskā signāla aditīvā maisījuma apvalka sadalījums atbilst vispārinātajam Reilija sadalījumam (pazīstams arī kā Rīsa sadalījums).

.

Kontroles jautājumi

1. Formulējiet problēmu, kā analizēt kopuzņēmuma pāreju caur noteiktu funkcionālo vienību.

2. Kā aprēķināt varbūtības blīvumu w(y) bezinerces ķēdes reakcija pēc zināma varbūtības blīvuma w(x) ietekme?

3. Kā aprēķināt bezinerces ķēdes reakcijas uz nejaušu ietekmi matemātisko cerību X(t)?

4. Kā aprēķināt bezinerces ķēdes reakcijas izkliedi uz nejaušu triecienu X(t)?

5. Kā aprēķināt korelācijas funkciju bezinerces ķēdes reakcijai uz nejaušu triecienu X(t)?

6. Kā aprēķināt locītavas varbūtības blīvumu w(plkst 1 , plkst 2 ; t) divi kopuzņēmumi Y 1 (t) Un Y 2 (t), kas saistīti ar zināmām funkcionālām atkarībām Un ar diviem citiem kopuzņēmumiem X 1 (t) Un X 2 (t)?

7. Kā mainās parastā SP sadalījums, kad tas iet cauri lineārai ķēdei?

8. Kā mainās patvaļīgais SP sadalījums, kad tas iziet cauri šaurjoslas filtram?

9. Kāda ir platjoslas procesa normalizācijas fenomena būtība, kad tas iziet cauri šaurjoslas filtram? Sniedziet šai parādībai matemātisko pamatojumu.

10. Aprakstiet korelācijas analīzes procedūru kopuzņēmuma iziešanai caur lineāro ķēdi.

11. Definējiet SP apvalku un fāzi.

12. Definēt analītisko SP, tā matemātisko gaidu, dispersijas un korelācijas funkciju.

13. Kādiem nosacījumiem atbilst stacionāra analītiskā SP?

14. Kāds ir centrēta normāla SP aploksnes sadalījums?

15. Kāds ir centrēta normāla SP fāžu sadalījums?

16. Kāds ir centrētā normālā SP un harmoniskā signāla summas aploksnes sadalījums?

17. Uzrakstiet Releja likuma analītisko izteiksmi. Kādu kopuzņēmumu tas raksturo?

18. Uzrakstiet analītisko izteiksmi vispārinātajam Releja likumam (Risa likumam). Kādu kopuzņēmumu tas raksturo?