Lai reizinātu matricu ar skaitli, katrs matricas elements jāreizina ar šo skaitli.

Sekas. Visu matricas elementu kopējo faktoru var izņemt no matricas zīmes.

Piemēram, .

Kā redzat, matricu pievienošanas, atņemšanas un matricas reizināšanas ar skaitli darbības ir līdzīgas darbībām ar skaitļiem. Matricas reizināšana ir īpaša darbība.

Divu matricu reizinājums.

Ne visas matricas var reizināt. Divu matricu reizinājums A Un IN norādītajā secībā AB iespējams tikai tad, ja kolonnu skaits ir pirmais faktors A vienāds ar otrā faktora rindu skaitu IN.

Piemēram, .

Matricas izmērs A 33, matricas izmērs IN 23.Darbs AB neiespējami, darbs VA Var būt.

Divu matricu A un B reizinājums ir trešā matrica C, kuras elements C ij ir vienāds ar pirmā faktora i-tās rindas un otrā faktora j-tās kolonnas elementu pāru reizinājumu summu. faktors.

Tika parādīts, ka šajā gadījumā ir iespējama matricu reizinājums VA

No divu matricu reizinājuma pastāvēšanas noteikuma izriet, ka divu matricu reizinājums vispārējā gadījumā nepakļaujas komutatīvajam likumam, t.i. AB? VA. Ja konkrētā gadījumā izrādās, ka AB = BA, tad šādas matricas sauc par maināmām vai komutatīvām.

Matricas algebrā divu matricu reizinājums var būt nulles matrica pat tad, ja neviena no faktoru matricām nav nulle, pretēji parastajai algebrai.

Piemēram, atradīsim matricu reizinājumu AB, Ja

Varat reizināt vairākas matricas. Ja jūs varat reizināt matricas A, IN un šo matricu reizinājumu var reizināt ar matricu AR, tad ir iespējams sastādīt produktu ( AB) AR Un A(Sv). Šajā gadījumā reizināšanas kombinācijas likums notiek ( AB) AR = A(Sv).

Dosim tabulu (ko sauc par matricu), kas sastāv no četriem skaitļiem:

Matricā ir divas rindas un divas kolonnas.Cipari, kas veido šo matricu, ir apzīmēti ar burtu ar diviem indeksiem. Pirmais rādītājs norāda rindas numuru, bet otrais norāda kolonnas numuru, kurā norādītais numurs parādās. Piemēram, apzīmē skaitli pirmajā rindā un otrajā kolonnā; numurs otrajā rindā un pirmajā kolonnā. Mēs sauksim skaitļus par matricas elementiem.

Otrās kārtas determinants (vai determinants), kas atbilst dotajai matricai, ir skaitlis, kas iegūts šādi:

Determinants tiek apzīmēts ar simbolu

Tādējādi

Skaitļus sauc par determinanta elementiem.

Uzrādīsim otrās kārtas determinanta īpašības.

Rekvizīts 1. Determinants nemainās, ja tā rindas tiek apmainītas ar atbilstošajām kolonnām, t.i.

2. īpašums.

Pārkārtojot divas rindas (vai kolonnas), determinants mainīs savu zīmi uz pretējo, saglabājot absolūto vērtību, t.i.

Rekvizīts 3. Determinants ar divām identiskām rindām (vai kolonnām) ir vienāds ar nulli.

Rekvizīts 4. Visu rindas (vai kolonnas) elementu kopējo koeficientu var izņemt no noteicošās zīmes:

Rekvizīts 5. Ja visi rindas (vai kolonnas) elementi ir vienādi ar nulli, tad determinants ir vienāds ar nulli.

Rekvizīts 6. Ja jebkurai determinanta rindai (vai kolonnai) pievienosim citas rindas (vai kolonnas) atbilstošos elementus, kas reizināti ar to pašu skaitli y, tad determinants nemainīs savu vērtību, t.i.

Šeit mēs izklāstīsim tās īpašības, kuras parasti izmanto determinantu aprēķināšanai standarta kurss augstākā matemātika. Šī ir palīgtēma, uz kuru vajadzības gadījumā atsauksimies no citām sadaļām.

Tātad, ļaujiet noteiktai kvadrātmatricai $A_(n\times n)=\left(\begin(masīvs) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) jādod & a_(22) & \lpunkti & a_(2n) \\ \lpunkti & \lpunkti & \lpunkti & \lpunkti \\ a_(n1) & a_(n2) & \lpunkti & a_(nn) \\ \ beigas(masīvs) \labais)$. Katrai kvadrātveida matricai ir raksturlielums, ko sauc par determinantu (vai determinantu). Es šeit neiedziļināšos šīs koncepcijas būtībā. Ja tas prasa skaidrojumu, lūdzu, rakstiet par to forumā, un es pieskaršos šim jautājumam sīkāk.

Matricas $A$ determinants tiek apzīmēts kā $\Delta A$, $|A|$ vai $\det A$. Noteicošā secība vienāds ar rindu (kolonnu) skaitu tajā.

1. Determinanta vērtība nemainīsies, ja tā rindas tiks aizstātas ar atbilstošajām kolonnām, t.i. $\Delta A=\Delta A^T$.

   parādīt\slēpt

   Aizstāsim tajā esošās rindas ar kolonnām pēc principa: "bija pirmā rinda - bija pirmā kolonna", "bija otrā rinda - bija otrā kolonna":

   Aprēķināsim iegūto determinantu: $\left| \begin(masīvs) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \end(masīvs) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. Kā redzat, determinanta vērtība nomaiņas dēļ nav mainījusies.

2. Ja apmainīsiet divas determinanta rindas (kolonnas), determinanta zīme mainīsies uz pretējo.

   Šī īpašuma izmantošanas piemērs: parādīt\slēpt

   Apsveriet determinantu $\left| \begin(masīvs) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(masīvs) \right|$. Atradīsim tā vērtību, izmantojot formulu Nr. 1 no tēmas Otrās un trešās kārtas determinantu aprēķināšana:

   $$\left| \begin(masīvs) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(masīvs) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$

   Tagad apmainīsim pirmo un otro rindu. Iegūstam determinantu $\left| \begin(masīvs) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(masīvs) \right|$. Aprēķināsim iegūto determinantu: $\left| \begin(masīvs) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(masīvs) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Tātad sākotnējā determinanta vērtība bija (-37), un determinanta vērtība ar mainītu rindu secību ir $-(-37)=37 $. Noteicēja zīme ir mainījusies uz pretējo.

3. Determinants, kuram visi rindas (kolonnas) elementi ir vienādi ar nulli, ir vienāds ar nulli.

   Šī īpašuma izmantošanas piemērs: parādīt\slēpt

   Tā kā determinantā $\left| \begin(masīvs) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|$ visi trešās kolonnas elementi ir nulle, tad determinants ir nulle , t.i. $\left| \begin(masīvs) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(masīvs) \right|=0$.

4. Determinants, kuram visi noteiktas rindas (kolonnas) elementi ir vienādi ar citas rindas (kolonnas) atbilstošajiem elementiem, ir vienāds ar nulli.

   Šī īpašuma izmantošanas piemērs: parādīt\slēpt

   Tā kā determinantā $\left| \begin(masīvs) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(masīvs) \right|$ visi pirmās rindas elementi ir vienādi ar atbilstošo otrās rindas elementi, tad determinants ir vienāds ar nulli, t.i. $\left| \begin(masīvs) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(masīvs) \right|=0$.

5. Ja determinantā visi vienas rindas (kolonnas) elementi ir proporcionāli citas rindas (kolonnas) atbilstošajiem elementiem, tad šāds determinants ir vienāds ar nulli.

   Šī īpašuma izmantošanas piemērs: parādīt\slēpt

   Tā kā determinantā $\left| \begin(masīvs) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(masīvs) \right|$ Otrā un trešā rinda ir proporcionāla, t.i. $r_3=-3\cdot(r_2)$, tad determinants ir vienāds ar nulli, t.i. $\left| \begin(masīvs) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(masīvs) \right|=0$.

6. Ja visiem rindas (kolonnas) elementiem ir kopīgs faktors, tad šo faktoru var izņemt no noteicošās zīmes.

   Šī īpašuma izmantošanas piemērs: parādīt\slēpt

   Apsveriet determinantu $\left| \begin(masīvs) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(masīvs) \right|$. Ievērojiet, ka visi elementi otrajā rindā dalās ar 3:

   $$\left| \begin(masīvs) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(masīvs) \right|=\left| \begin(masīvs) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(masīvs) \right|$$

   Skaitlis 3 ir visu otrās rindas elementu kopīgs faktors. Izņemsim trīs no noteicošās zīmes:

   $$\left| \begin(masīvs) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(masīvs) \right|=\left| \begin(masīvs) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(masīvs) \right|= 3\cdot \left| \begin(masīvs) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \end(masīvs) \right| $$

7. Determinants nemainīsies, ja visiem noteiktas rindas (kolonnas) elementiem pievienosim citas rindas (kolonnas) atbilstošos elementus, kas reizināti ar patvaļīgu skaitli.

   Šī īpašuma izmantošanas piemērs: parādīt\slēpt

   Apsveriet determinantu $\left| \begin(masīvs) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(masīvs) \right|$. Otrās rindas elementiem pievienosim atbilstošos trešās rindas elementus, kas reizināti ar 5. Šo darbību raksta šādi: $r_2+5\cdot(r_3)$. Otrā rinda tiks mainīta, pārējās rindas paliks nemainīgas.

   $$\left| \begin(masīvs) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(masīvs) \right| \begin(masīvs) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(array)= \left| \begin(masīvs) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end (masīvs) \right|= \left| \begin(masīvs) (ccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end(masīvs) \right|. $$

8. Ja noteikta rinda (kolonna) determinantā ir citu rindu (kolonnu) lineāra kombinācija, tad determinants ir vienāds ar nulli.

   Šī īpašuma izmantošanas piemērs: parādīt\slēpt

   Ļaujiet man nekavējoties paskaidrot, ko nozīmē frāze "lineāra kombinācija". Pieņemsim s rindas (vai kolonnas): $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. Izteiksme

   $$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$

   kur $k_i\in R$ sauc par lineāru rindu (kolonnu) $A_1$, $A_2$,..., $A_s$ kombināciju.

   Piemēram, apsveriet šādu noteicošo faktoru:

   $$\left| \begin(masīvs) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end(masīvs) \right| $$

   Šajā determinantā ceturto rindu var izteikt kā lineāru kombināciju pirmie trīs rindas:

   $$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$

   Tāpēc attiecīgais determinants ir vienāds ar nulli.

9. Ja katrs noteiktas determinanta k-tās rindas (k-tās kolonnas) elements ir vienāds ar divu terminu summu, tad šāds determinants ir vienāds ar determinantu summu, no kuriem pirmais ir kth rinda (kth kolonna) ir pirmie vārdi, bet otrajam determinantam ir otrie vārdi k-tajā rindā (k-tajā kolonnā). Citi šo noteicošo faktoru elementi ir vienādi.

   Šī īpašuma izmantošanas piemērs: parādīt\slēpt

   Apsveriet determinantu $\left| \begin(masīvs) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(masīvs) \right|$. Rakstīsim otrās kolonnas elementus šādi: $\left| \begin(masīvs) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(masīvs) \right|$. Tad šāds determinants ir vienāds ar divu determinantu summu:

   $$\left| \begin(masīvs) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(masīvs) \right|= \left| \begin(masīvs) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(masīvs) \right|= \left| \begin(masīvs) (ccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(masīvs) \right|+ \left| \begin(masīvs) (ccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end(masīvs) \right| $$

10. Divu vienādas kārtas kvadrātmatricu reizinājuma determinants ir vienāds ar šo matricu determinantu reizinājumu, t.i. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. No šī noteikuma mēs varam iegūt šādu formulu: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
11. Ja matrica $A$ nav vienskaitlī (t.i., tās determinants nav vienāds ar nulli), tad $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$.

Formulas determinantu aprēķināšanai

Otrās un trešās kārtas determinantiem ir pareizas šādas formulas:

\begin(vienādojums) \Delta A=\left| \begin(masīvs) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \end(masīvs) \right|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \end(vienādojums) \begin(equation) \begin(līdzināts) & \Delta A=\left| \begin(masīvs) (ccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(masīvs) \right|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21) )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33) )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11)\end(līdzināts)\beigs(vienādojums)

Formulu (1) un (2) izmantošanas piemēri ir tēmā "Otrās un trešās kārtas determinantu aprēķināšanas formulas. Determinantu aprēķināšanas piemēri".

Matricas $A_(n\times n)$ determinantu var izvērst i-tā rinda izmantojot šādu formulu:

\begin(vienādojums)\Delta A=\summa\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \end(vienādojums)

Šīs formulas analogs pastāv arī kolonnām. Formula determinanta paplašināšanai j-tajā kolonnā ir šāda:

\begin(vienādojums)\Delta A=\summa\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(vienādojums)

Ar (3) un (4) formulām izteiktie noteikumi ir detalizēti ilustrēti ar piemēriem un izskaidroti tēmā Determinanta secības samazināšana. Determinanta dekompozīcija rindā (kolonnā).

Norādīsim vēl vienu formulu augšējo trīsstūrveida un apakšējo trīsstūrveida matricu determinantu aprēķināšanai (šo terminu skaidrojumu skatīt tēmā “Matricas. Matricu veidi. Pamattermini”). Šādas matricas determinants ir vienāds ar elementu reizinājumu galvenajā diagonālē. Piemēri:

\begin(līdzināts) &\left| \begin(masīvs) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end(masīvs) \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\left| \begin(masīvs) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \end(masīvs) \ pa labi|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \beigas (līdzināts)

- Atlaidiet zīlīti līdz drošai nāvei!
Lai brīvība viņu samīļo!
Un kuģis brauc, un reaktors rūc...
- Pash, vai tu esi spītīgs?

Atceros, ka algebra man nepatika līdz 8. klasei. Man tas nemaz nepatika. Viņa mani sadusmoja. Jo es tur neko nesapratu.

Un tad viss mainījās, jo es atklāju vienu triku:

Matemātikā kopumā (un jo īpaši algebrā) viss ir balstīts uz kompetentu un konsekventu definīciju sistēmu. Ja jūs zināt definīcijas, saprotat to būtību, pārējo izdomāt nebūs grūti.

Tā tas ir ar šodienas nodarbības tēmu. Mēs detalizēti izskatīsim vairākus saistītos jautājumus un definīcijas, pateicoties kurām jūs uz visiem laikiem sapratīsit matricas, determinantus un visas to īpašības.

Determinanti ir galvenais jēdziens matricas algebrā. Tāpat kā saīsinātās reizināšanas formulas, tās jūs vajās visu augstākās matemātikas kursu. Tāpēc kārtīgi lasām, skatāmies un saprotam. :)

Un mēs sāksim ar intīmāko lietu - kas ir matrica? Un kā ar to pareizi strādāt.

Pareizs indeksu izvietojums matricā

Matrica ir vienkārši tabula, kas piepildīta ar cipariem. Neo ar to nav nekāda sakara.

Viena no galvenajām matricas īpašībām ir tās izmērs, t.i. rindu un kolonnu skaits, no kurām tas sastāv. Mēs parasti sakām, ka noteiktai matricai $A$ ir izmērs $\left[ m\times n \right]$, ja tajā ir $m$ rindas un $n$ kolonnas. Uzrakstiet to šādi:

Vai arī šādi:

Ir arī citi apzīmējumi - viss atkarīgs no pasniedzēja/semināra/mācību grāmatas autora vēlmēm. Bet jebkurā gadījumā ar visiem šiem $\left[ m\times n \right]$ un $((a)_(ij))$ rodas tā pati problēma:

Kurš indekss par ko ir atbildīgs? Vai vispirms ir rindas numurs, pēc tam kolonnas numurs? Vai otrādi?

Lasot lekcijas un mācību grāmatas, atbilde šķitīs pašsaprotama. Bet, kad eksāmenā tev priekšā ir tikai papīra lapa ar uzdevumu, tu vari pārņemt satraukumu un pēkšņi apjukt.

Tāpēc atrisināsim šo jautājumu vienreiz un uz visiem laikiem. Sākumā atcerēsimies parasto koordinātu sistēmu no skolas matemātikas kursa:

Koordinātu sistēmas ieviešana plaknē

Atcerieties viņu? Tam ir $x$ un $y$ ass sākumpunkts (punkts $O=\left(0;0 \right)$), un katru plaknes punktu unikāli nosaka koordinātas: $A=\left( 1;2 \ right)$, $B=\left(3;1 \right)$ utt.

Tagad ņemsim šo konstrukciju un novietosim to blakus matricai tā, lai koordinātu sākumpunkts būtu augšējā kreisajā stūrī. Kāpēc tur? Jā, jo, atverot grāmatu, mēs sākam lasīt precīzi no lapas augšējā kreisā stūra – to atcerēties ir viegli.

Bet kur jāvirza asis? Mēs tos virzīsim tā, lai visa mūsu virtuālā “lapa” būtu nosegta ar šīm asis. Tiesa, šim nolūkam mums būs jāpagriež sava koordinātu sistēma. Tikai iespējamais variantsšī vieta:

Koordinātu sistēmas pārklāšana uz matricas

Tagad katrai matricas šūnai ir unikālas koordinātes $x$ un $y$. Piemēram, rakstot $((a)_(24))$, tas nozīmē, ka mēs piekļūstam elementam ar koordinātām $x=2$ un $y=4$. Matricas izmērus unikāli nosaka arī skaitļu pāris:

Indeksu definēšana matricā

Vienkārši uzmanīgi apskatiet šo attēlu. Paspēlējieties ar koordinātām (īpaši, ja strādājat ar reālām matricām un determinantiem) - un pavisam drīz jūs sapratīsit, ka pat vissarežģītākajās teorēmās un definīcijās jūs lieliski saprotat teikto.

Sapratu? Nu, pāriesim pie pirmā apgaismības soļa - determinanta ģeometriskās definīcijas. :)

Ģeometriskā definīcija

Pirmkārt, es vēlos atzīmēt, ka determinants pastāv tikai kvadrātveida matricām formā $\left[ n\times n \right]$. Determinants ir skaitlis, kas tiek aprēķināts pēc noteiktiem noteikumiem un ir viens no šīs matricas raksturlielumiem (ir arī citi raksturlielumi: rangs, īpašvektori, bet par to vairāk citās nodarbībās).

Tātad, kāda ir šī īpašība? Ko tas nozīmē? Tas ir vienkārši:

Kvadrātveida matricas $A=\left[ n\times n \right]$ determinants ir $n$-dimensijas paralēlskaldņa tilpums, kas veidojas, ja matricas rindas uzskatām par vektoriem, kas veido šīs malas. paralēlskaldnis.

Piemēram, 2x2 matricas determinants ir vienkārši paralelograma laukums, bet 3x3 matricai tas jau ir 3-dimensiju paralēlskaldņa tilpums - tas pats, kas stereometrijas stundās sanikno visus vidusskolēnus. .

No pirmā acu uzmetiena šī definīcija var šķist pilnīgi neadekvāta. Taču nesteigsimies ar secinājumiem – apskatīsim piemērus. Patiesībā viss ir elementāri, Vatson:

Uzdevums. Atrodiet matricu determinantus:

\[\pa kreisi| \begin(matrica) 1 & 0 \\ 0 & 3 \\\end(matrix) \right|\quad \left| \begin(matrica) 1 & -1 \\ 2 & 2 \\\end(matrica) \right|\quad \left| \begin(matrica)2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\\end(matrica) \right|\]

Risinājums. Pirmajiem diviem determinantiem ir izmērs 2x2. Tātad tie ir vienkārši paralelogramu laukumi. Uzzīmēsim tos un aprēķināsim laukumu.

Pirmais paralelograms ir veidots uz vektoriem $((v)_(1))=\left(1;0 \right)$ un $((v)_(2))=\left(0;3 \right) $:

2x2 determinants ir paralelograma laukums

Acīmredzot tas nav tikai paralelograms, bet diezgan taisnstūris. Tās platība ir

Otrais paralelograms ir veidots uz vektoriem $((v)_(1))=\left(1;-1 \right)$ un $((v)_(2))=\left(2;2 \right) )$. Nu un ko? Tas ir arī taisnstūris:

Vēl viens 2x2 noteicējs

Šī taisnstūra malas (būtībā vektoru garumus) ir viegli aprēķināt, izmantojot Pitagora teorēmu:

\[\begin(līdzināt) & \left| ((v)_(1)) \right|=\sqrt(((1)^(2))+((\left(-1 \right))^(2)))=\sqrt(2); \\ & \left| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(((2)^(2))+((2)^(2)))=\sqrt(8)=2\sqrt(2); \\&S=\left| ((v)_(1)) \right|\cdot \left| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(2)\cdot 2\sqrt(2)=4. \\\beigt(līdzināt)\]

Atliek tikt galā ar pēdējo noteicēju - tajā jau ir 3x3 matrica. Jums būs jāatceras stereometrija:

3x3 determinants ir paralēlskaldņa tilpums

Tas izskatās satriecoši, bet patiesībā pietiek atcerēties paralēlskaldņa tilpuma formulu:

kur $S$ ir pamatnes laukums (mūsu gadījumā tas ir paralelograma laukums uz plaknes $OXY$), $h$ ir šīs pamatnes augstums (faktiski $ z$-vektora $((v)_(3) )$ koordināte).

Paralelograma laukumu (mēs to zīmējām atsevišķi) ir arī viegli aprēķināt:

\[\begin(align) & S=2\cdot 3=6; \\ & V=S\cdot h=6\cdot 4=24. \\\beigt(līdzināt)\]

Tas ir viss! Mēs pierakstām atbildes.

Atbilde: 3; 4; 24.

Neliela piezīme par apzīmējumu sistēmu. Dažiem cilvēkiem, iespējams, nepatiks tas, ka es ignorēju “bultiņas” virs vektoriem. Domājams, ka vektoru var sajaukt ar punktu vai kaut ko citu.

Bet būsim nopietni: mēs jau esam pieauguši zēni un meitenes, tāpēc no konteksta mēs lieliski saprotam, kad mēs runājam par vektoru un kad mēs runājam par punktu. Bultas tikai aizsprosto stāstījumu, kas jau ir līdz malām piebāzts ar matemātiskām formulām.

Un tālāk. Principā nekas neliedz mums apsvērt 1x1 matricas determinantu - šāda matrica ir vienkārši viena šūna, un šajā šūnā ierakstītais skaitlis būs noteicošais. Bet šeit ir svarīga piezīme:

Atšķirībā no klasiskā apjoma, determinants mums dos tā saukto " orientēts apjoms", t.i. tilpums, ņemot vērā rindu vektoru izskatīšanas secību.

Un, ja vēlaties iegūt skaļumu šī vārda klasiskajā izpratnē, jums būs jāņem determinanta modulis, bet tagad par to nav jāuztraucas - vienalga, pēc dažām sekundēm mēs iemācīsimies aprēķināt jebkuru determinantu ar jebkādām zīmēm, izmēriem utt. :)

Algebriskā definīcija

Neskatoties uz visu ģeometriskās pieejas skaistumu un skaidrību, tai ir nopietns trūkums: tas mums neko nepasaka par to, kā aprēķināt šo ļoti noteicošo faktoru.

Tāpēc tagad mēs analizēsim alternatīvu definīciju - algebrisko. Lai to izdarītu, mums būs nepieciešama īsa teorētiskā sagatavošanās, bet beigās mēs iegūsim rīku, kas ļaus mums matricās aprēķināt visu, ko un kā mēs vēlamies.

Tiesa, tur parādīsies jauna problēma... bet vispirms vispirms.

Permutācijas un inversijas

Uzrakstīsim uz līnijas skaitļus no 1 līdz $n$. Jūs iegūsit kaut ko līdzīgu šim:

Tagad (tikai prieka pēc) apmainīsim pāris skaitļus. Jūs varat mainīt blakus esošos:

Vai varbūt - ne īpaši kaimiņos:

Un uzmini ko? Nekas! Algebrā šo muļķību sauc par permutāciju. Un tam ir daudz īpašību.

Definīcija. Permutācija ar garumu $n$ ir $n$ dažādu skaitļu virkne, kas ierakstīta jebkurā secībā. Parasti tiek ņemti vērā pirmie $n$ naturālie skaitļi(t.i., tikai skaitļus 1, 2, ..., $n$), un pēc tam tos sajauc, lai iegūtu vēlamo permutāciju.

Permutācijas tiek apzīmētas tāpat kā vektorus - vienkārši ar burtu un to elementu secīgu uzskaitījumu iekavās. Piemēram: $p=\left(1;3;2 \right)$ vai $p=\left(2;5;1;4;3 \right)$. Burts var būt jebkas, bet lai tas ir $p$. :)

Turklāt prezentācijas vienkāršības labad mēs strādāsim ar permutācijām, kuru garums ir 5 — tās jau ir pietiekami nopietnas, lai novērotu jebkādas aizdomīgas sekas, bet vēl nav tik smagas trauslām smadzenēm kā permutācijas, kuru garums ir 6 vai vairāk. Šeit ir šādu permutāciju piemēri:

\[\begin(līdzināt) & ((p)_(1))=\left(1;2;3;4;5 \right) \\ & ((p)_(2))=\left(1 ;3;2;5;4 \right) \\ & ((p)_(3))=\left(5;4;3;2;1 \right) \\\end(līdzināt)\]

Protams, permutāciju ar garumu $n$ var uzskatīt par funkciju, kas definēta kopā $\left\( 1;2;...;n \right\)$ un bijektīvi kartē šo kopu ar sevi. Atgriežoties pie tikko pierakstītajām permutācijām $((p)_(1))$, $((p)_(2))$ un $((p)_(3))$, mēs varam pilnīgi likumīgi rakstīt:

\[((p)_(1))\left(1 \right)=1;((p)_(2))\left(3 \right)=2;((p)_(3))\ pa kreisi(2 \labais)=4;\]

Dažādu permutāciju skaits ar garumu $n$ vienmēr ir ierobežots un vienāds ar $n!$ – tas ir viegli pierādāms kombinatorikas fakts. Piemēram, ja mēs vēlamies pierakstīt visas permutācijas, kuru garums ir 5, tad mēs daudz vilcināsimies, jo šādas permutācijas būs

Viena no jebkuras permutācijas galvenajām īpašībām ir inversiju skaits tajā.

Definīcija. Inversija permutācijā $p=\left(((a)_(1));((a)_(2));...;((a)_(n)) \right)$ — jebkurš pāris $ \left(((a)_(i));((a)_(j)) \right)$ tā, ka $i \lt j$, bet $((a)_(i)) \gt ( (a)_(j)) $. Vienkārši sakot, inversija ir tad, kad lielāks skaitlis atrodas pa kreisi no mazāka (ne vienmēr tā kaimiņa).

Mēs apzīmēsim ar $N\left(p \right)$ inversiju skaitu permutācijā $p$, taču esiet gatavi sastapties ar citiem apzīmējumiem dažādās mācību grāmatās un dažādos autoros - šeit nav vienotu standartu. Inversiju tēma ir ļoti plaša, un tai tiks veltīta atsevišķa nodarbība. Tagad mūsu uzdevums ir vienkārši iemācīties tos saskaitīt reālās problēmās.

Piemēram, saskaitīsim inversiju skaitu permutācijā $p=\left(1;4;5;3;2 \right)$:

\[\left(4;3 \right);\left(4;2 \right);\left(5;3 \right);\left(5;2 \right);\left(3;2 \right) ).\]

Tādējādi $N\left(p \right)=5$. Kā redzat, ar to nav nekā slikta. Teikšu uzreiz: turpmāk mūs interesēs ne tik daudz pats skaitlis $N\left(p \right)$, bet gan tā vienmērīgums/dīvainība. Un šeit mēs vienmērīgi pārietam uz šodienas nodarbības galveno terminu.

Kas ir determinants

Dota kvadrātveida matrica $A=\left[ n\times n \right]$. Pēc tam:

Definīcija. Matricas $A=\left[ n\times n \right]$ determinants ir $n!$ terminu algebriskā summa, kas sastāv šādi. Katrs termins ir $n$ matricas elementu reizinājums, kas iegūts pa vienam no katras rindas un katras kolonnas, reizināts ar (-1) ar inversiju skaita pakāpi:

\[\pa kreisi| A\right|=\sum\limits_(n{{{\left(-1 \right)}^{N\left(p \right)}}\cdot {{a}_{1;p\left(1 \right)}}\cdot {{a}_{2;p\left(2 \right)}}\cdot ...\cdot {{a}_{n;p\left(n \right)}}}\]!}

Pamatpunkts, izvēloties faktorus katram determinanta terminam, ir fakts, ka divi faktori neparādās vienā rindā vai vienā kolonnā.

Pateicoties tam, bez vispārīguma zaudēšanas varam pieņemt, ka faktoru $((a)_(i;j))$ indeksi $i$ “skrien cauri” vērtībām 1, ..., $n$ , un indeksi $j$ ir dažas pirmās permutācijas:

Un, kad ir permutācija $p$, mēs varam viegli aprēķināt inversijas $N\left(p \right)$ - un nākamais determinanta vārds ir gatavs.

Dabiski, ka neviens neaizliedz samainīt faktorus nevienā terminā (vai visos uzreiz - kāpēc tērēt laiku niekiem?), un tad arī pirmie indeksi attēlos kaut kādu pārkārtošanos. Bet galu galā nekas nemainīsies: kopējais inversiju skaits indeksos $i$ un $j$ saglabā paritāti pie šādiem kropļojumiem, kas diezgan atbilst vecajam labajam noteikumam:

Faktoru pārkārtošana nemaina skaitļu reizinājumu.

Vienkārši nepievienojiet šo noteikumu matricas reizināšanai — atšķirībā no skaitļu reizināšanas tas nav komutatīva. Bet es novirzos. :)

Matrica 2x2

Faktiski jūs varat arī apsvērt 1x1 matricu - tā būs viena šūna, un tās determinants, kā jūs varētu nojaust, ir vienāds ar šajā šūnā ierakstīto skaitli. Nekā interesanta.

Tātad, aplūkosim 2x2 kvadrātveida matricu:

\[\left[ \begin(matrica) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\end(matrica) \right]\]

Tā kā rindu skaits tajā ir $n=2$, determinants saturēs $n!=2!=1\cdot 2=2$ vārdus. Pierakstīsim tos:

\[\begin(līdzināt) & ((\left(-1 \right))^(N\left(1;2 \right)))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a) _(22))=((\left(-1 \right))^(0))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a)_(22))=((a)_ (11)) (a)_(22)); \\ & ((\left(-1 \right))^(N\left(2;1 \right)))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21)) =((\left(-1 \right))^(1))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21))=((a)_(12))( (a)_(21)). \\\beigt(līdzināt)\]

Acīmredzot permutācijā $\left(1;2 \right)$, kas sastāv no diviem elementiem, inversijas nav, tāpēc $N\left(1;2 \right)=0$. Bet permutācijā $\left(2;1 \right)$ ir viena inversija (faktiski 2< 1), поэтому $N\left(2;1 \right)=1.$

Kopumā universālā formula 2x2 matricas determinanta aprēķināšanai izskatās šādi:

\[\pa kreisi| \begin(matrica) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\ end( matrica) \right|=((a)_(11))((a)_(22))-((a)_(12))((a)_(21))\]

Grafiski to var attēlot kā elementu reizinājumu galvenajā diagonālē, atskaitot sānu diagonāles elementu reizinājumu:

2x2 matricas determinants

Apskatīsim pāris piemērus:

\[\pa kreisi| \begin(matrica) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end(matrix) \right|;\quad \left| \begin(matrica) 7 & 12 \\ 14 & 1 \\\end(matrix) \right|.\]

Risinājums. Viss tiek skaitīts vienā rindā. Pirmā matrica:

Un otrais:

Atbilde: −3; −161.

Tomēr tas bija pārāk vienkārši. Apskatīsim 3x3 matricas - tas jau ir interesanti.

Matrica 3x3

Tagad apsveriet 3x3 kvadrātveida matricu:

\[\left[ \begin(matrica) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & ((a)_(33) ) \\\end(matrica) \right]\]

Aprēķinot tā determinantu, mēs iegūstam $3!=1\cdot 2\cdot 3=6$ terminus - nav pārāk daudz, lai panikā, bet pietiekami, lai sāktu meklēt dažus modeļus. Vispirms uzrakstīsim visas trīs elementu permutācijas un saskaitīsim inversijas katrā no tiem:

\[\begin(līdzināt) & ((p)_(1))=\left(1;2;3 \right)\bultiņa pa labi N\left(((p)_(1)) \right)=N\ pa kreisi(1;2;3 \labais)=0; \\ & ((p)_(2))=\left(1;3;2 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(2)) \right)=N\left(1;3) ;2 \pa labi)=1; \\ & ((p)_(3))=\left(2;1;3 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(3)) \right)=N\left(2;1) ;3 \pa labi)=1; \\ & ((p)_(4))=\left(2;3;1 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(4)) \right)=N\left(2;3) ;1 \pa labi)=2; \\ & ((p)_(5))=\left(3;1;2 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(5)) \right)=N\left(3;1) ;2 \pa labi)=2; \\ & ((p)_(6))=\left(3;2;1 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(6)) \right)=N\left(3;2) ;1 \pa labi)=3. \\\beigt(līdzināt)\]

Kā jau bija paredzēts, kopā tika izrakstītas 6 permutācijas: $((p)_(1))$, ... $((p)_(6))$ (protams, ka tās būtu iespējams izrakstīt cita secība - tam nav nekādas atšķirības, tas nemainīsies), un inversiju skaits tajās svārstās no 0 līdz 3.

Kopumā mums būs trīs termini ar "plus" (kur $N\left(p \right)$ ir pāra) un vēl trīs ar "mīnusu". Kopumā determinants tiks aprēķināts pēc formulas:

\[\pa kreisi| \begin(matrica) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a) _(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & ((a)_(33)) \\\beigas (matrica) \right|=\begin(matrica) ((a)_(11))((a)_(22))((a)_(33))+((a)_(12))( (a)_(23))((a)_(31))+((a)_(13))((a)_(21))(a)_(32))- \\ -( (a)_(13))(a)_(22))((a)_(31))-((a)_(12))(a)_(21))(a)_ (33))-((a)_(11))(a)_(23))(a)_(32)) \\\beiga(matrica)\]

Vienkārši nesēdieties un nikni nepiebāziet visus šos indeksus tagad! Nesaprotamu skaitļu vietā labāk atcerēties šādu mnemonisko noteikumu:

Trijstūra noteikums. Lai atrastu 3x3 matricas determinantu, jums jāpievieno trīs to elementu reizinājumi, kas atrodas uz galvenās diagonāles un vienādsānu trīsstūru virsotnēs, kuru mala ir paralēla šai diagonālei, un pēc tam jāatņem tie paši trīs produkti, bet sekundārajā diagonālē. . Shematiski tas izskatās šādi:

3x3 matricas determinants: trijstūra noteikums

Tieši šos trijstūrus (vai pentagrammas, atkarībā no tā, kuru vēlaties) cilvēkiem patīk zīmēt visās algebras mācību grāmatās un rokasgrāmatās. Tomēr nerunāsim par skumjām lietām. Labāk izrēķināsim vienu šādu noteicēju - iesildīties pirms īstiem grūtajiem darbiem. :)

Uzdevums. Aprēķiniet determinantu:

\[\pa kreisi| \begin(matrica) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \\\end(matrica) \right|\]

Risinājums. Mēs strādājam pēc trijstūra likuma. Vispirms saskaitīsim trīs terminus, kas sastāv no elementiem galvenajā diagonālē un paralēli tai:

\/ \]

Tagad apskatīsim sānu diagonāli:

\[\begin(līdzināt) & 3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot 1+1\cdot 6\cdot 8= \\ & =105+8+48=161 \\\end(līdzināt) \]

Atliek tikai atņemt otro no pirmā skaitļa - un mēs saņemam atbildi:

Tas ir viss!

Tomēr 3x3 matricu noteicošie faktori vēl nav prasmju virsotne. Interesantākās lietas mūs sagaida tālāk. :)

Vispārīga determinantu aprēķināšanas shēma

Kā zināms, matricas dimensijai $n$ palielinoties, terminu skaits determinantā ir $n!$ un strauji pieaug. Tomēr faktoriāls nav muļķība; tā ir diezgan ātri augoša funkcija.

Jau 4x4 matricām determinantu skaitīšana tieši (t.i., izmantojot permutācijas) kļūst kaut kā ne pārāk laba. Es parasti klusēju par 5x5 un vairāk. Tāpēc dažas determinanta īpašības stājas spēkā, taču, lai tās saprastu, ir nepieciešama neliela teorētiskā sagatavošanās.

Vai esat gatavs? Aiziet!

Kas ir matricas minor?

Dota patvaļīga matrica $A=\left[ m\times n \right]$. Piezīme: ne vienmēr kvadrātveida. Atšķirībā no noteicējiem, nepilngadīgie ir tik jaukas lietas, kas pastāv ne tikai skarbās kvadrātveida matricās. Šajā matricā atlasīsim vairākas (piemēram, $k$) rindas un kolonnas ar $1\le k\le m$ un $1\le k\le n$. Pēc tam:

Definīcija. $k$ secības minors ir kvadrātmatricas determinants, kas rodas atlasīto $k$ kolonnu un rindu krustpunktā. Mēs arī sauksim šo jauno matricu par mazo.

Šādu nepilngadīgo apzīmē ar $((M)_(k))$. Protams, vienā matricā var būt vesela kaudze nepilngadīgo ar pasūtījumu $k$. Šeit ir 2. kārtas nepilnības piemērs matricai $\left[ 5\times 6 \right]$:

Atlasot $k = 2$ kolonnas un rindas, lai izveidotu minoru

Nav obligāti, lai atlasītās rindas un kolonnas būtu blakus, kā tas ir aplūkotajā piemērā. Galvenais, lai atlasīto rindu un kolonnu skaits būtu vienāds (tas ir skaitlis $k$).

Ir vēl viena definīcija. Varbūt kādam patiks vairāk:

Definīcija. Dota taisnstūra matrica $A=\left[ m\times n \right]$. Ja pēc vienas vai vairāku kolonnu un vienas vai vairāku rindu dzēšanas tiek izveidota kvadrātveida matrica ar izmēru $\left[ k\times k \right]$, tad tās determinants ir mazais $((M)_(k)) $ . Arī pašu matricu dažkārt sauksim par minoru – tas būs skaidrs no konteksta.

Kā teica mans kaķis, dažreiz labāk ir atgriezties no 11. stāva ēst, nevis ņaudēt, sēžot uz balkona.

Piemērs. Lai matrica ir dota

Izvēloties 1. rindu un 2. kolonnu, mēs iegūstam pirmās kārtas minoru:

\[((M)_(1))=\pa kreisi| 7\right|=7\]

Izvēloties 2., 3. rindu un 3., 4. kolonnu, iegūstam otrās kārtas minoru:

\[((M)_(2))=\pa kreisi| \begin(matrica) 5 & 3 \\ 6 & 1 \\\end(matrica) \right|=5-18=-13\]

Un, ja atlasīsit visas trīs rindas, kā arī 1., 2., 4. kolonnu, būs trešās kārtas nepilngadīgais:

\[((M)_(3))=\pa kreisi| \begin(matrica) 1 & 7 & 0 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\\end(matrica) \right|\]

Lasītājam nebūs grūti atrast citus 1., 2. vai 3. kārtas nepilngadīgos. Tāpēc ejam tālāk.

Algebriskie papildinājumi

"Nu labi, ko šie mazie palīgi mums dod?" - tu droši vien jautā. Paši paši - nekā. Bet kvadrātveida matricās katram minoram ir “pavadonis” - papildu minors, kā arī algebriskais papildinājums. Un kopā šie divi triki ļaus mums kā riekstus salauzt noteicošos faktorus.

Definīcija. Dota kvadrātmatrica $A=\left[ n\times n \right]$, kurā ir izvēlēts mazais $((M)_(k))$. Tad papildu minors mazajam $((M)_(k))$ ir sākotnējās matricas $A$ gabals, kas paliks pēc visu rindu un kolonnu dzēšanas, kas ir iesaistītas minora $((M)_ (k))$:

Papildu nepilngadīgais $((M)_(2))$

Precizēsim vienu punktu: papildu minors nav tikai "matricas gabals", bet gan šī gabala noteicējs.

Papildu nepilngadīgie ir apzīmēti ar zvaigznīti: $M_(k)^(*)$:

kur operācija $A\nabla ((M)_(k))$ burtiski nozīmē "izdzēst no $A$ rindas un kolonnas, kas iekļautas $((M)_(k))$". Šī darbība matemātikā nav vispārpieņemta - es to vienkārši izdomāju pats stāsta skaistuma dēļ. :)

Papildu nepilngadīgie reti tiek izmantoti paši. Tie ir daļa no sarežģītākas konstrukcijas - algebriskā papildinājuma.

Definīcija. Mazās vērtības $((M)_(k))$ algebriskais papildinājums ir papildu mazais $M_(k)^(*)$, kas reizināts ar vērtību $((\left(-1 \right))^(S ))$ , kur $S$ ir visu rindu un kolonnu skaitļu summa, kas iesaistītas sākotnējā mazajā daļā $((M)_(k))$.

Parasti nelielas $((M)_(k))$ algebriskais papildinājums tiek apzīmēts ar $((A)_(k))$. Tāpēc:

\[((A)_(k))=((\left(-1 \right))^(S))\cdot M_(k)^(*)\]

Grūti? No pirmā acu uzmetiena jā. Bet tā gluži nav. Jo patiesībā viss ir vienkārši. Apskatīsim piemēru:

Piemērs. Dota 4x4 matrica:

Izvēlēsimies otrās kārtas nepilngadīgo

\[((M)_(2))=\pa kreisi| \begin(matrica) 3 & 4 \\ 15 & 16 \\\end(matrica) \right|\]

Šķiet, ka Captain Obviousness mums dod mājienu, ka, sastādot šo minoru, tika iesaistīta 1. un 4. rinda, kā arī 3. un 4. kolonna. Izsvītrojiet tās un mēs iegūstam papildu minoru:

Atliek atrast skaitli $S$ un iegūt algebrisko papildinājumu. Tā kā mēs zinām iesaistīto rindu (1 un 4) un kolonnu (3 un 4) skaitu, viss ir vienkārši:

\[\begin(līdzināt) & S=1+4+3+4=12; \\ & ((A)_(2))=((\left(-1 \right))^(S))\cdot M_(2)^(*)=((\left(-1 \right)) )^(12))\cdot \left(-4 \right)=-4\end(līdzināt)\]

Atbilde: $((A)_(2))=-4$

Tas ir viss! Faktiski visa atšķirība starp papildu minoru un algebrisko papildinājumu ir tikai mīnusā priekšā, un pat tad ne vienmēr.

Laplasa teorēma

Un tā mēs nonācām pie tā, kāpēc patiesībā bija vajadzīgi visi šie nepilngadīgie un algebriskie papildinājumi.

Laplasa teorēma par determinanta sadalīšanos. Ļaujiet $k$ rindas (kolonnas) atlasīt matricā ar izmēru $\left[ n\times n \right]$, ar $1\le k\le n-1$. Tad šīs matricas determinants ir vienāds ar visu atlasītajās rindās (kolonnās) esošo nepilngadīgo $k$ produktu un to algebrisko papildinājumu summu:

\[\pa kreisi| A \right|=\sum(((M)_(k))\cdot ((A)_(k)))\]

Turklāt šādu terminu būs tieši $C_(n)^(k)$.

Labi, labi: par $C_(n)^(k)$ - es jau dižojos, Laplasa sākotnējā teorēmā nekā tāda nebija. Taču kombinatoriku neviens nav atcēlis, un burtiski ātrs skatiens nosacījumam ļaus pašam pārliecināties, ka terminu būs tieši tik daudz. :)

Mēs to nepierādīsim, lai gan tas nesagādā nekādas īpašas grūtības - visi aprēķini ir saistīti ar vecajām labajām permutācijām un pāra/nepāra inversijām. Tomēr pierādījums tiks sniegts atsevišķā rindkopā, un šodien mums ir tīri praktiska nodarbība.

Tāpēc mēs pārejam uz īpašu šīs teorēmas gadījumu, kad nepilngadīgie ir atsevišķas matricas šūnas.

Determinanta dekompozīcija rindā un kolonnā

Tas, par ko mēs tagad runāsim, ir tieši galvenais instruments darbam ar determinantiem, kura dēļ tika sākta visa šī muļķība ar permutācijām, minoritātēm un algebriskiem papildinājumiem.

Lasi un izbaudi:

Laplasa teorēmas secinājums (determinanta dekompozīcija rindā/kolonnā). Ļaujiet atlasīt vienu rindu matricā ar izmēru $\left[ n\times n \right]$. Nepilngadīgie šajā rindā būs $n$ atsevišķas šūnas:

\[((M)_(1))=((a)_(ij)),\quad j=1,...,n\]

Papildu nepilngadīgos ir arī viegli aprēķināt: vienkārši paņemiet sākotnējo matricu un izsvītrojiet rindu un kolonnu, kurā ir $((a)_(ij)) $. Sauksim tādus nepilngadīgos par $M_(ij)^(*)$.

Algebriskajam papildinājumam mums joprojām ir nepieciešams skaitlis $S$, bet 1. kārtas minora gadījumā tas ir vienkārši šūnas $((a)_(ij))$ “koordinātu” summa:

Un tad sākotnējo determinantu var uzrakstīt kā $((a)_(ij))$ un $M_(ij)^(*)$ saskaņā ar Laplasa teorēmu:

\[\pa kreisi| A \right|=\sum\limits_(j=1)^(n)(((a)_(ij))\cdot ((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot ((M)_(ij)))\]

Tā tas ir formula determinanta sadalīšanai pēc kārtas. Bet tas pats attiecas uz kolonnām.

No šīm sekām nekavējoties var izdarīt vairākus secinājumus:

1. Šī shēma darbojas vienlīdz labi gan rindām, gan kolonnām. Faktiski visbiežāk sadalīšana notiks tieši pa kolonnām, nevis pa rindām.
2. Vārdu skaits izvērsumā vienmēr ir tieši $n$. Tas ir ievērojami mazāk nekā $C_(n)^(k)$ un vēl jo vairāk par $n!$.
3. Viena determinanta $\left[ n\times n \right]$ vietā jums būs jāņem vērā vairāki determinanti, kuru lielums ir par vienu mazāks: $\left[ \left(n-1 \right)\times \left(n-1 \ pa labi) \pa labi ]$.

Pēdējais fakts ir īpaši svarīgs. Piemēram, brutālā 4x4 noteicēja vietā tagad pietiks saskaitīt vairākus 3x3 noteicējus - ar tiem kaut kā tiksim galā. :)

Uzdevums. Atrodiet noteicēju:

\[\pa kreisi| \begin(matrica) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\\end(matrica) \right|\]

Risinājums. Izvērsīsim šo determinantu pirmajā rindā:

\[\begin(līdzināt) \left| A \right|=1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrica) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end(matrica) \right|+ & \\ 2\cdot ((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \pa kreisi| \begin(matrica) 4 & 6 \\ 7 & 9 \\\end(matrica) \right|+ & \\ 3\cdot ((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \pa kreisi| \begin(matrica) 4 & 5 \\ 7 & 8 \\\end(matrica) \right|= & \\\end(līdzināt)\]

\[\begin(align) & =1\cdot \left(45-48 \right)-2\cdot \left(36-42 \right)+3\cdot \left(32-35 \right)= \\ & =1\cdot \left(-3 \right)-2\cdot \left(-6 \right)+3\cdot \left(-3 \right)=0. \\\beigt(līdzināt)\]

Uzdevums. Atrodiet noteicēju:

\[\pa kreisi| \begin(matrica) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matrica) \right|\ ]

Risinājums. Lai mainītu, šoreiz strādāsim ar kolonnām. Piemēram, pēdējā kolonnā vienlaikus ir divas nulles - acīmredzot, tas ievērojami samazinās aprēķinus. Tagad jūs redzēsiet, kāpēc.

Tātad ceturtajā kolonnā mēs izvēršam determinantu:

\[\begin(līdzināt) \left| \begin(matrica) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matrica) \right|= 0\cdot ((\left(-1 \right))^(1+4))\cdot \left| \begin(matrica) 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrica) \right|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \) pa labi))^(2+4))\cdot \left| \begin(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrica) \right|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \) pa labi))^(3+4))\cdot \left| \begin(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrica) \right|+ & \\ +0\cdot ((\left(-1 \) pa labi))^(4+4))\cdot \left| \begin(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrica) \right| & \\\beigas(līdzināt)\]

Un tad - ak, brīnums! - divi termini nekavējoties nonāk aizplūšanā, jo tie satur koeficientu “0”. Joprojām ir palikuši divi 3x3 noteicošie faktori, ar kuriem mēs varam viegli tikt galā:

\[\begin(līdzināt) & \left| \begin(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrica) \right|=0+0+1-1-1-0=-1; \\ & \left| \begin(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrica) \right|=0+1+1-0-0-1=1. \\\beigt(līdzināt)\]

Atgriezīsimies pie avota un atradīsim atbildi:

\[\pa kreisi| \begin(matrica) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matrica) \right|= 1\cdot \left(-1 \right)+\left(-1 \right)\cdot 1=-2\]

Labi, tagad viss ir beidzies. Un nē 4! = 24 termini nebija jāskaita. :)

Atbilde: -2

Determinanta pamatīpašības

Pēdējā uzdevumā mēs redzējām, kā nulles matricas rindās (kolonnās) ievērojami vienkāršo determinanta sadalīšanos un kopumā visus aprēķinus. Rodas dabisks jautājums: vai ir iespējams panākt, lai šīs nulles parādās pat matricā, kur tās sākotnēji nebija?

Atbilde ir skaidra: Var. Un šeit mums palīdz noteicēja īpašības:

1. Ja apmainīsiet divas rindas (kolonnas), determinants nemainīsies;
2. Ja vienu rindu (kolonnu) reizina ar skaitli $k$, tad arī viss determinants tiks reizināts ar skaitli $k$;
3. Ja paņem vienu rindiņu un pievieno (atņem) no citas tik reižu, cik vēlaties, determinants nemainīsies;
4. Ja divas determinanta rindas ir vienādas vai proporcionālas, vai viena no rindām ir aizpildīta ar nullēm, tad viss determinants ir vienāds ar nulli;
5. Visas iepriekš minētās īpašības attiecas arī uz kolonnām.
6. Transponējot matricu, determinants nemainās;
7. Matricu reizinājuma determinants ir vienāds ar determinantu reizinājumu.

Trešais īpašums ir īpaši vērtīgs: mēs varam atņemiet no vienas rindas (kolonnas) citu, līdz pareizajās vietās parādās nulles.

Visbiežāk aprēķini notiek līdz visas kolonnas “nulles” noteikšanai visur, izņemot vienu elementu, un pēc tam determinantu paplašina virs šīs kolonnas, iegūstot par 1 mazāku matricu.

Apskatīsim, kā tas darbojas praksē:

Uzdevums. Atrodiet noteicēju:

\[\pa kreisi| \begin(matrica) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end(matrica) \right|\ ]

Risinājums. Šķiet, ka šeit vispār nav nulles, tāpēc varat “urbt” jebkurā rindā vai kolonnā - aprēķinu apjoms būs aptuveni vienāds. Netērēsim laiku sīkumiem un “no nulles” pirmo kolonnu: tajā jau ir šūna ar vienu, tāpēc vienkārši paņemiet pirmo rindiņu un atņemiet to 4 reizes no otrās, 3 reizes no trešās un 2 reizes no pēdējās.

Rezultātā mēs iegūsim jaunu matricu, bet tās noteicošais faktors būs tāds pats:

\[\begin(matrica) \left| \begin(matrica) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end(matrica) \right|\ sākums(matrica) \downarrow \\ -4 \\ -3 \\ -2 \\\end(matrix)= \\ =\left| \begin(matrica) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4-4\cdot 1 & 1-4\cdot 2 & 2-4\cdot 3 & 3-4\cdot 4 \\ 3-3\cdot 1 & 4-3\cdot 2 & 1-3\cdot 3 & 2-3\cdot 4 \\ 2-2\cdot 1 & 3-2\cdot 2 & 4-2\cdot 3 & 1-2\cdot 4 \ \\beiga(matrica) \right|= \\ =\left| \begin(matrica) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ \end(matrica) \right| \\\end(matrica)\]

Tagad ar Sivēna vienprātību mēs pirmajā kolonnā izkārtojam šo noteicošo:

\[\begin(matrica) 1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrica) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end(matrica) \right|+0\cdot ((\) pa kreisi(-1 \labais))^(2+1))\cdot \left| ... \right|+ \\ +0\cdot ((\left(-1 \right))^(3+1))\cdot \left| ... \right|+0\cdot ((\left(-1 \right))^(4+1))\cdot \left| ... \pareizi| \\\end(matrica)\]

Ir skaidrs, ka “izdzīvos” tikai pirmais termins - pārējiem es pat neizrakstīju noteicošos faktorus, jo tie joprojām tiek reizināti ar nulli. Koeficients determinanta priekšā ir vienāds ar vienu, t.i. jums tas nav jāpieraksta.

Bet jūs varat izņemt "mīnusus" no visām trim determinanta rindām. Būtībā koeficientu (-1) mēs izņēmām trīs reizes:

\[\pa kreisi| \begin(matrica) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end(matrica) \right|=\cdot \left| \begin(matrica) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matrica) \right|\]

Esam ieguvuši nelielu determinantu 3x3, kuru jau var aprēķināt, izmantojot trijstūra likumu. Bet mēs mēģināsim to sadalīt pirmajā kolonnā - par laimi, pēdējā rindā lepni ir viena:

\[\begin(līdzināt) & \left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matrica) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matrica) \right|\begin(matrix) -7 \\ -2 \\ \uparrow \ \\end(matrix)=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matrica) 0 & -4 & -36 \\ 0 & 4 & -4 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matrica) \right|= \\ & =\cdot \left| \begin(matrica) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matrica) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matrica) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matrica) \right| \\\beigt(līdzināt)\]

Jūs, protams, joprojām varat izklaidēties un izvērst 2x2 matricu pa rindu (kolonnu), taču mēs ar jums esam adekvāti, tāpēc mēs tikai aprēķināsim atbildi:

\[\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matrica) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matrica) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left(16+144 \right)=-160\ ]

Tā sapņi tiek salauzti. Atbildē tikai -160. :)

Atbilde: -160.

Pāris piezīmes, pirms mēs pārejam pie pēdējā uzdevuma:

1. Sākotnējā matrica bija simetriska attiecībā pret sekundāro diagonāli. Visas izvērsumā esošās nepilnās ir arī simetriskas attiecībā pret to pašu sekundāro diagonāli.
2. Stingri sakot, mēs nevarējām neko paplašināt, bet vienkārši samazināt matricu uz augšējo trīsstūrveida formu, kad zem galvenās diagonāles ir cietas nulles. Tad (starp citu, stingri saskaņā ar ģeometrisko interpretāciju) determinants ir vienāds ar $((a)_(ii))$ reizinājumu - skaitļiem uz galvenās diagonāles.

Uzdevums. Atrodiet noteicēju:

\[\pa kreisi| \begin(matrica) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end(matrica) \right|\ ]

Risinājums. Nu, šeit pirmā rindiņa vienkārši lūdz "nolikt uz nulli". Paņemiet pirmo kolonnu un precīzi vienreiz atņemiet no visām pārējām kolonnām:

\[\begin(līdzināt) & \left| \begin(matrica) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end(matrica) \right|= \\ & =\left| \begin(matrica) 1 & 1-1 & 1-1 & 1-1 \\ 2 & 4-2 & 8-2 & 16-2 \\ 3 & 9-3 & 27-3 & 81-3 \\ 5 & ​​​​25-5 & 125-5 & 625-5 \\\end(matrica) \right|= \\ & =\left| \begin(matrica) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 6 & 14 \\ 3 & 6 & 24 & 78 \\ 5 & 20 & 120 & 620 \\\end(matrica) \right| \\\beigt(līdzināt)\]

Mēs izvēršam gar pirmo rindu un pēc tam no pārējām rindām izņemam kopējos faktorus:

\[\cdot \left| \begin(matrix) 2 & 6 & 14 \\ 6 & 24 & 78 \\ 20 & 120 & 620 \\\end(matrix) \right|=\cdot \left| \begin(matrica) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end(matrica) \right|\]

Atkal mēs redzam “skaistus” skaitļus, bet pirmajā kolonnā - mēs izkārtojam noteicēju atbilstoši tam:

\[\begin(līdzināt) & 240\cdot \left| \begin(matrica) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end(matrica) \right|\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \ \\end(matrix)=240\cdot \left| \begin(matrica) 1 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & 24 \\\end(matrix) \right|= \\ & =240\cdot ((\left(-1 \) pa labi))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrica) 1 & 6 \\ 3 & 24 \\\end(matrix) \right|= \\ & =240\cdot 1\cdot \left(24-18 \right)=1440 \\\end( līdzināt)\]

Pasūtiet. Problēma ir atrisināta.

Atbilde: 1440