Predavanje 1. Teorija funkcija dviju i više varijabli (TFNP). 1. Pojam FNP. 2. FNP granica. 3. Kontinuitet FNP-a. 4. Parcijalne derivacije prvog reda. 5. Derivacija složene funkcije. 6. Derivacija implicitne funkcije. 7. Izvodnice višeg reda.

1. Pojam FNP. Neka je skup D područje na ravnini. Definicija. Ako je pridružen broj, onda kažu da je numerička funkcija D dana na skupu D - domeni definicije funkcije.

Ako je točka, tada je preslikavanje određeno dvjema koordinatama, funkcijom 2 varijable. Graf takve funkcije bit će skup točaka s koordinatama x, y, z - površina u prostoru.

Geometrijska interpretacija f(x, y). D – neki dio ravnine 0 HY z D – projekcija grafa funkcije f(x, y) na ravninu 0 HY z f O x D x y y Graf funkcije je ploha u prostoru.

2. Limit funkcije dviju varijabli. Neka točka Skup točaka se zove takav da je susjedstvo točke

Definicija. Neka se točka If tada točka P naziva unutarnjom točkom skupa D. Definicija. Ako su sve točke D unutar ovog skupa, tada se on naziva otvorenim. Definicija. Svaki otvoreni skup koji sadrži točku naziva se njegova okolina.

Definicija. Skup bilo koje dvije točke koje se mogu spojiti kontinuiranom krivuljom koja leži u tom skupu naziva se povezanim. Definicija. Otvoreni povezani skup naziva se regija.

Neka je funkcija u blizini točke definirana u nekoj (ne nužno u samoj točki). Broj A naziva se limitom funkcije jer teži ako

Oznaka. Komentar. Aspiracija se može dogoditi prema bilo kojem zakonu i smjeru, a sve granične vrijednosti postoje i jednake su A.

Primjer. Razmotrimo funkciju. Razmotrimo tendenciju koja prolazi kroz t. (0, 0): duž ravnih linija, vrijednost A ovisi o tome kako.

3. Kontinuitet FNP-a. Funkcija se naziva kontinuiranom u točki ako Ako je barem jedan od uvjeta 1-3 prekršen, tada je to točka diskontinuiteta.

Lomne točke mogu se izolirati, formirati lomne linije, lomne površine. Primjer. a) Prijelomna točka – (izolirana) b) - prijelomna linija

Definicija. Razlika se naziva ukupnim prirastom funkcije. Definicija. Granice se nazivaju parcijalne derivacije funkcije (pod pretpostavkom da postoje).

Pravila za izračunavanje parcijalnih derivacija FNP-a podudaraju se s odgovarajućim pravilima za funkciju jedne varijable. Komentar. Kada se izračunava derivacija FNP-a u odnosu na jednu od varijabli, sve ostale se smatraju konstantama. Primjer.

Definicija. Glavni (linearni) dio ukupnog prirasta funkcije u točki naziva se puni diferencijal funkcije u ovom trenutku.

5. Derivacija složene funkcije. Razmotrimo funkciju gdje je z složena funkcija od x, y. Parcijalne derivacije složene funkcije s obzirom na varijable x i y izračunavaju se na sljedeći način: (kao u slučaju složene funkcije jedne varijable).

Ukupna derivacija a) gdje je tj. z složena funkcija jednog argumenta t. Tada je ukupna derivacija funkcije s obzirom na argument t.

Proučavajući mnoge obrasce u prirodnim znanostima i ekonomiji, susrećemo se s funkcijama dviju (ili više) neovisnih varijabli.

Definicija (za funkciju dviju varijabli).Neka x , Y I Z - mnoštvo. Ako svaki par (x, g) elementi iz skupova respektivno x I Y na temelju nekog zakona f odgovara jednom i samo jednom elementu z od mnogih Z , onda to kažu dana je funkcija dviju varijabli z = f(x, g) .

Općenito domena funkcije dviju varijabli geometrijski se može prikazati određenim skupom točaka ( x; g) avion xOy .

Osnovne definicije koje se odnose na funkcije više varijabli su generalizacija odgovarajućih definicije za funkciju jedne varijable .

Gomila D nazvao domena funkcije z, i set E – njegova mnoga značenja. Varijable x I g u odnosu na funkciju z nazivaju se njegovim argumentima. Varijabilna z naziva zavisna varijabla.

Privatne vrijednosti argumenata

odgovara privatnoj vrijednosti funkcije

Područje funkcije više varijabli

Ako funkcija više varijabli (na primjer, dvije varijable) zadan formulom z = f(x, g) , To područje njegove definicije je skup svih takvih točaka ravnine x0y, za koje je izraz f(x, g) ima smisla i prihvaća prave vrijednosti. Opća pravila za domenu funkcije više varijabli izvode se iz općih pravila za domena definiranja funkcije jedne varijable. Razlika je u tome što je za funkciju dviju varijabli područje definiranja određeni skup točaka na ravnini, a ne pravac, kao za funkciju jedne varijable. Za funkciju tri varijable domena definicije je odgovarajući skup točaka u trodimenzionalnom prostoru, a za funkciju n varijable - odgovarajući skup točaka sažetka n-dimenzionalni prostor.

Domena funkcije dviju varijabli s korijenom n ti stupanj

U slučaju kada je funkcija dviju varijabli dana formulom i n - prirodni broj :

Ako n je paran broj, tada je domena definicije funkcije skup točaka ravnine koje odgovaraju svim vrijednostima radikalnog izraza koje su veće ili jednake nuli, tj.

Ako n je neparan broj, tada je domena definiranja funkcije skup bilo kojih vrijednosti, odnosno cijela ravnina x0y .

Domena funkcije potencije dviju varijabli s cjelobrojnim eksponentom

:

Ako a- pozitivna, tada je područje definiranja funkcije cijela ravnina x0y ;

Ako a- negativan, tada je domena definicije funkcije skup vrijednosti različitih od nule: .

Domena funkcije potencije dviju varijabli s razlomačkim eksponentom

U slučaju kada je funkcija zadana formulom :

ako je pozitivna, tada je domena definicije funkcije skup onih točaka u ravnini u kojima ona poprima vrijednosti veće ili jednake nuli: ;

ako je - negativan, tada je domena definiranja funkcije skup onih točaka u ravnini u kojima ona poprima vrijednosti veće od nule: .

Područje definiranja logaritamske funkcije dviju varijabli

Logaritamska funkcija dviju varijabli je definiran pod uvjetom da je njegov argument pozitivan, odnosno domena njegove definicije je skup onih točaka u ravnini u kojima poprima vrijednosti veće od nule: .

Područje definiranja trigonometrijskih funkcija dviju varijabli

Funkcijska domena - cijeli avion x0y .

Funkcijska domena - cijeli avion x0y .

Područje definiranja funkcije je cijela ravnina x0y

Funkcijska domena - cijeli avion x0y, osim za parove brojeva za koje uzima vrijednosti.

Područje definiranja inverznih trigonometrijskih funkcija dviju varijabli

Funkcijska domena .

Funkcijska domena - skup točaka na ravnini za koje .

Funkcijska domena - cijeli avion x0y .

Funkcijska domena - cijeli avion x0y .

Područje definiranja razlomka kao funkcije dviju varijabli

Ako je funkcija dana formulom, tada je područje definiranja funkcije sve točke ravnine u kojoj .

Područje linearne funkcije dviju varijabli

Ako je funkcija dana formulom oblika z = sjekira + po + c , tada je domena definiranja funkcije cijela ravnina x0y .

Primjer 1.

Riješenje. Prema pravilima za domenu definicije sastavljamo dvostruku nejednadžbu

Cijelu nejednakost pomnožimo s i dobijemo

Rezultirajući izraz specificira domenu definicije ove funkcije dviju varijabli.

Primjer 2. Odredi domenu funkcije dviju varijabli.

(1. predavanje)

Funkcije 2 varijable.

Varijabla z naziva se funkcija 2 varijable f(x,y), ako je za bilo koji par vrijednosti (x,y) G pridružena određena vrijednost varijable z.

Def. Okolica točke p 0 je kružnica sa središtem u točki p 0 i polumjerom. = (x-x 0 ) 2 +(oooh 0 ) 2

proizvoljno malog broja, može se odrediti broj ()>0 tako da za sve vrijednosti x i y, za koje je udaljenost od t.p do p0 manja, vrijedi sljedeća nejednakost: f(x,y) A , tj. za sve točke p koje padaju u blizini točke p 0, s polumjerom, vrijednost funkcije razlikuje se od A manje nego u apsolutnoj vrijednosti. A to znači da kada se točka p približi točki p 0 za bilo tko

Kontinuitet funkcije.

Neka je dana funkcija z=f(x,y), p(x,y) je trenutna točka, p 0 (x 0 ,y 0) je točka koja se razmatra.

Def.

3) Limit je jednak vrijednosti funkcije u ovoj točki: = f(x 0 ,y 0);

Lim f(x,y) = f(x 0 ,y 0 );

str 0

Parcijalna derivacija.

Dajmo argumentu x povećanje od x; x+x, dobivamo točku p 1 (x+x,y), izračunavamo razliku između vrijednosti funkcije u točki p:

x z = f(p1)-f(p) = f(x+x,y) - f(x,y) djelomični inkrement funkcije koji odgovara inkrementu argumenta x.

z= Lim x z

z = Lim f(x+x,y) - f(x,y)

X x0 X

Definiranje funkcije više varijabli

Pri razmatranju mnogih pitanja iz raznih područja znanja potrebno je proučavati takve ovisnosti između varijabli kada numeričke vrijednosti jedan od njih je potpuno određen vrijednostima nekoliko drugih.

Na primjer Pri proučavanju fizičkog stanja tijela potrebno je promatrati promjene njegovih svojstava od točke do točke. Svaka točka tijela određena je s tri koordinate: x, y, z. Stoga, proučavajući, recimo, distribuciju gustoće, zaključujemo da gustoća tijela ovisi o tri varijable: x, y, z. Ako se fizičko stanje tijela također mijenja tijekom vremena t, tada će ista gustoća ovisiti o vrijednostima četiri varijable: x, y, z, t.

Još jedan primjer: proučavaju se proizvodni troškovi proizvodnje jedinice određene vrste proizvoda. Neka bude:

x - troškovi materijala,

y - troškovi plaćanja plaće zaposlenici,

z - troškovi amortizacije.

Očito je da troškovi proizvodnje ovise o vrijednostima navedenih parametara x, y, z.

Definicija 1.1 Ako za svaki skup vrijednosti "n" varijabli

iz nekog skupa D ovih kolekcija odgovara svojoj jedinstvenoj vrijednosti varijable z, onda kažu da je funkcija dana na skupu D

"n" varijabli.

Skup D naveden u definiciji 1.1 naziva se domena definicije ili domena postojanja ove funkcije.

Ako se razmatra funkcija dviju varijabli, tada je zbirka brojeva

označavaju se, u pravilu, (x, y) i interpretiraju se kao točke koordinatne ravnine Oxy, a domena definiranja funkcije z = f (x, y) dviju varijabli prikazuje se kao određeni skup točaka u avionu Oxy.

Tako npr. domena definicije funkcije

je skup točaka Oxy ravnine čije koordinate zadovoljavaju relaciju

tj. to je krug polumjera r sa središtem u ishodištu.

Za funkciju

domena definicije su točke koje zadovoljavaju uvjet

tj. vanjski u odnosu na dani krug.

Često se funkcije dviju varijabli specificiraju implicitno, tj. kao jednadžba

povezujući tri varijable. U tom slučaju, svaka od veličina x, y, z može se smatrati implicitnom funkcijom druge dvije.

Geometrijska slika (graf) funkcije dviju varijabli z = f (x, y) je skup točaka P (x, y, z) u trodimenzionalnom prostoru Oxyz čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu z = f (x, y).

Graf funkcije kontinuiranih argumenata u pravilu je određena ploha u Oxyz prostoru, koja se projicira na koordinatnu ravninu Oxy u domenu definicije funkcije z= f (x, y).

Tako je, na primjer, (slika 1.1) graf funkcije

je gornja polovica sfere, a graf funkcije

Donja polovica sfere.

Raspored linearna funkcija z = ax + by + s je ravnina u Oxyz prostoru, a graf funkcije z = const je ravnina paralelna s Oxyz koordinatnom ravninom.

Imajte na umu da je nemoguće vizualno prikazati funkciju tri ili više varijabli u obliku grafikona u trodimenzionalnom prostoru.

U nastavku ćemo se uglavnom ograničiti na razmatranje funkcija dviju ili triju varijabli, budući da se razmatranje slučaja većeg (ali konačnog) broja varijabli provodi slično.

Definicija funkcije više varijabli.

(1. predavanje)

Varijabla u naziva se f(x,y,z,..,t) ako je za bilo koji skup vrijednosti (x,y,z,..,t) pridružena dobro definirana vrijednost varijable u.

Skup kolekcija vrijednosti varijable naziva se domenom definiranja funkcije.

G - skup (x,y,z,..,t) - domena definiranja.

Funkcije 2 varijable.

Varijabla z naziva se funkcija 2 varijable f(x,y), ako je za bilo koji par vrijednosti (x,y) O G pridružena određena vrijednost varijable z.

Limit funkcije 2 varijable.

Neka je dana funkcija z=f(x,y), p(x,y) je trenutna točka, p 0 (x 0 ,y 0) je točka koja se razmatra.

Def. Okolica točke p 0 je kružnica sa središtem u točki p 0 i polumjerom r. r= Ö (x-x 0 ) 2 +(oooh 0 ) 2 Ø

Broj A naziva se limesom funkcije | u točki p 0 ako za bilo koju

za proizvoljno mali broj e, može se odrediti broj r (e)>0 tako da za sve vrijednosti x i y, za koje je udaljenost od t. p do p0 manja od r, vrijedi sljedeća nejednakost: ½f(x,y) - A½0, s polumjerom r, vrijednost funkcije razlikuje se od A za manje od e u apsolutnoj vrijednosti. A to znači da kada se točka p približi točki p 0 za bilo tko putu, vrijednost funkcije se neograničeno približava broju A.

Kontinuitet funkcije.

Neka je dana funkcija z=f(x,y), p(x,y) je trenutna točka, p 0 (x 0 ,y 0) je točka koja se razmatra.

Def. Funkcija z=f(x,y) naziva se kontinuiranom pri t. p 0 ako su ispunjena 3 uvjeta:

1) funkcija je definirana u ovoj točki. f(p0) = f(x,y);

2)f-i ima granicu u ovoj točki.

3) Limit je jednak vrijednosti funkcije u ovoj točki: b = f(x 0 ,y 0);

Lim f(x,y)= f(x 0 ,y 0 ) ;

strà str 0

Ako je barem 1 od uvjeta kontinuiteta narušen, tada se točka p naziva točkom prekida. Za funkcije 2 varijable mogu postojati zasebne točke prijeloma i cijele linije prijeloma.

Slično se definira i pojam limita i kontinuiteta za funkcije većeg broja varijabli.

Funkcija triju varijabli ne može se grafički prikazati, za razliku od funkcije 2 varijable.

Za funkciju s 3 varijable mogu postojati točke diskontinuiteta, linije diskontinuiteta i površine diskontinuiteta.

Parcijalna derivacija.

Razmotrimo funkciju z=f(x,y), p(x,y) je točka koja se razmatra.

Dajmo argumentu x prirast Dx; x+Dx, dobivamo točku p 1 (x+Dx,y), izračunavamo razliku u vrijednostima funkcije u točki p:

D x z = f(p1)-f(p) = f(x+Dx,y) - f(x,y) - djelomični inkrement funkcije koji odgovara inkrementu argumenta x.

Def. Kvocijent derivacije funkcije z=f(x,y) prema varijabli x naziva se granica omjera parcijalnog prirasta te funkcije prema varijabli x prema ovom prirastu kada ovaj teži nula.

¶ z= Lim D x z

à ¶ z = Lim f(x+ D x,y) - f(x,y)

¶ x Dx® 0 Dx

Slično, određujemo kvocijent derivacije s obzirom na varijablu y.

Nalaženje parcijalnih izvodnica.

Pri određivanju parcijalnih derivacija svaki put se mijenja samo jedna varijabla, a ostale varijable se tretiraju kao konstante. Kao rezultat toga, svaki put kada razmatramo funkciju samo jedne varijable, parcijalna derivacija se podudara s uobičajenom derivacijom ove funkcije jedne varijable. Otuda pravilo za pronalaženje parcijalnih derivacija: parcijalna derivacija u odnosu na varijablu koja se razmatra traži se kao obična derivacija funkcije te jedne varijable, ostale varijable se tretiraju kao konstante. U tom slučaju ispadaju valjane sve formule za diferenciranje funkcije jedne varijable (izvod zbroja, umnožak, kvocijent).

Pojam funkcije više varijabli

Ako je svakoj točki X = (x 1, x 2, ... x n) iz skupa (X) točaka n-dimenzionalnog prostora pridružena jedna dobro definirana vrijednost varijable z, tada se kaže da je dano funkcija n varijabli z = f(x 1, x 2, ...x n) = f (X).

U ovom slučaju se pozivaju varijable x 1, x 2, ... x n nezavisne varijable ili argumenti funkcije, z - zavisna varijabla, a simbol f označava zakon dopisivanja. Skup (X) se zove domena definicije funkcije (ovo je određeni podskup n-dimenzionalnog prostora).

Na primjer, funkcija z = 1/(x 1 x 2) je funkcija dviju varijabli. Njegovi argumenti su varijable x 1 i x 2, a z je zavisna varijabla. Područje definicije je cijela koordinatna ravnina, s izuzetkom pravaca x 1 = 0 i x 2 = 0, tj. bez x- i ordinatne osi. Zamjenom bilo koje točke iz domene definicije u funkciju, prema zakonu korespondencije dobivamo određeni broj. Na primjer, uzimajući točku (2; 5), t.j. x 1 = 2, x 2 = 5, dobivamo
z = 1/(2*5) = 0,1 (tj. z(2; 5) = 0,1).

Funkcija oblika z = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b, gdje su a 1, a 2,… i n, b konstantni brojevi, naziva se linearni. Može se smatrati zbrojem n linearnih funkcija varijabli x 1, x 2, ... x n. Pozivaju se sve ostale funkcije nelinearni.

Na primjer, funkcija z = 1/(x 1 x 2) je nelinearna, a funkcija z =
= x 1 + 7x 2 - 5 – linearno.

Bilo koja funkcija z = f (X) = f(x 1, x 2, ... x n) može se pridružiti n funkcija jedne varijable ako fiksiramo vrijednosti svih varijabli osim jedne.

Na primjer, funkcije triju varijabli z = 1/(x 1 x 2 x 3) mogu se pridružiti trima funkcijama jedne varijable. Ako fiksiramo x 2 = a i x 3 = b, tada će funkcija poprimiti oblik z = 1/(abx 1); ako fiksiramo x 1 = a i x 3 = b, tada će poprimiti oblik z = 1/(abx 2); ako fiksiramo x 1 = a i x 2 = b, tada će poprimiti oblik z = 1/(abx 3). U ovom slučaju sve tri funkcije imaju isti oblik. Nije uvijek tako. Na primjer, ako za funkciju dviju varijabli fiksiramo x 2 = a, tada će ona poprimiti oblik z = 5x 1 a, tj. funkciju snage, a ako fiksiramo x 1 = a, tada će ona poprimiti oblik, tj. eksponencijalna funkcija.

Raspored funkcija dviju varijabli z = f(x, y) je skup točaka u trodimenzionalnom prostoru (x, y, z), čija je aplikata z povezana s apscisom x i ordinatom y funkcionalnom relacijom
z = f (x, y). Ovaj grafikon predstavlja neku površinu u trodimenzionalnom prostoru (na primjer, kao na slici 5.3).

Može se dokazati da ako je funkcija linearna (tj. z = ax + by + c), tada je njezin graf ravnina u trodimenzionalnom prostoru. Ostali primjeri 3D grafikoni Preporuča se samostalno učiti uz Kremerov udžbenik (str. 405-406).

Ako postoji više od dvije varijable (n varijabli), tada raspored funkcija je skup točaka u (n+1)-dimenzionalnom prostoru za koji se x koordinata n+1 izračunava u skladu s danim funkcionalnim zakonom. Takav se graf naziva hiperpovršina(za linearnu funkciju – hiperravnina), a predstavlja i znanstvenu apstrakciju (nemoguće ju je dočarati).

Slika 5.3 – Graf funkcije dviju varijabli u trodimenzionalnom prostoru

Ravna površina funkcija od n varijabli je skup točaka u n-dimenzionalnom prostoru tako da je u svim tim točkama vrijednost funkcije ista i jednaka C. Sam broj C u ovom slučaju naziva se razini.

Obično je za istu funkciju moguće konstruirati beskonačan broj ravnih ploha (koje odgovaraju različitim razinama).

Za funkciju dviju varijabli ravan ima oblik linije razine.

Na primjer, razmotrite z = 1/(x 1 x 2). Uzmimo C = 10, tj. 1/(x 1 x 2) = 10. Tada je x 2 = 1/(10x 1), tj. na ravnini će linija razine imati oblik prikazan na slici 5.4 kao puna linija. Uzimajući drugu razinu, na primjer, C = 5, dobivamo liniju razine u obliku grafa funkcije x 2 = 1/(5x 1) (prikazano točkastom linijom na slici 5.4).

Slika 5.4 - Linije funkcionalne razine z = 1/(x 1 x 2)

Pogledajmo još jedan primjer. Neka je z = 2x 1 + x 2. Uzmimo C = 2, tj. 2x 1 + x 2 = 2. Tada je x 2 = 2 - 2x 1, tj. na ravnini će linija razine imati oblik ravne crte, prikazane na slici 5.5 punom linijom. Uzimajući drugu razinu, na primjer, C = 4, dobivamo liniju razine u obliku ravne linije x 2 = 4 - 2x 1 (prikazano točkastom linijom na slici 5.5). Linija razine za 2x 1 + x 2 = 3 prikazana je na slici 5.5 kao točkasta linija.

Lako je provjeriti da će za linearnu funkciju dviju varijabli svaka linija razine biti ravna crta na ravnini, a sve linije razine biti će međusobno paralelne.

Slika 5.5 - Linije funkcionalne razine z = 2x 1 + x 2

) već smo se više puta susreli s parcijalnim izvodima složenih funkcija poput i težih primjera. Pa o čemu drugo možete pričati?! ...I sve je kao u životu - nema složenosti koja se ne može komplicirati =) Ali matematika je ono čemu matematika služi, da uklopi raznolikost našeg svijeta u stroge okvire. A ponekad se to može učiniti jednom rečenicom:

Općenito, složena funkcija ima oblik , Gdje, najmanje jedan slova predstavlja funkcija, što može ovisiti o proizvoljan broj varijabli.

Minimalna i najjednostavnija opcija je dugo poznata složena funkcija jedne varijable, čiji derivat prošli smo semestar naučili kako pronaći. Također imate vještine razlikovanja funkcija (pogledajte iste funkcije ) .

Dakle, sada će nas zanimati samo slučaj. Zbog velike raznolikosti složenih funkcija, općenite formule za njihove derivate vrlo su glomazne i teško probavljive. U tom smislu, ograničit ću se na konkretne primjere iz kojih možete razumjeti opći princip pronalaženje ovih izvedenica:

Primjer 1

S obzirom na složenu funkciju gdje . Potreban:
1) pronađite njegovu derivaciju i zapišite totalni diferencijal 1. reda;
2) izračunati vrijednost derivacije pri .

Riješenje: Prvo, pogledajmo samu funkciju. Nudi nam se funkcija ovisno o i , koja pak su funkcije jedna varijabla:

Drugo, obratimo pozornost na sam zadatak - od nas se traži da pronađemo izvedenica, odnosno ne govorimo o parcijalnim izvodnicama, koje smo navikli nalaziti! Budući da funkcija zapravo ovisi samo o jednoj varijabli, tada riječ "derivacija" znači ukupni derivat. Kako je pronaći?

Prvo što pada na pamet je izravna supstitucija i daljnja diferencijacija. Zamijenimo funkcionirati:
, nakon čega nema problema sa željenom derivacijom:

I, prema tome, ukupni diferencijal:

Ovo rješenje je matematički točno, ali mala nijansa je da kada se problem formulira kako je formuliran, nitko ne očekuje takvo barbarstvo od vas =) Ali ozbiljno, ovdje se stvarno može naći greška. Zamislite da funkcija opisuje let bumbara, a ugniježđene funkcije se mijenjaju ovisno o temperaturi. Izvođenje izravne zamjene , samo dobivamo privatne informacije, koji karakterizira let, recimo, samo po vrućem vremenu. Štoviše, ako se osobi koja nema znanja o bumbarima predstavi gotov rezultat i čak joj se kaže koja je to funkcija, tada nikada neće naučiti ništa o temeljnom zakonu leta!

Tako nam je, posve neočekivano, naš zujavi brat pomogao shvatiti značenje i važnost univerzalne formule:

Naviknite se na "dvokatni" zapis za izvedenice - u zadatku koji se razmatra oni su ti koji se koriste. U ovom slučaju, treba biti vrlo uredan u natuknici: izvedenice s izravnim simbolima “de” su potpune izvedenice, a izvedenice sa zaobljenim ikonama su parcijalne derivacije. Počnimo s posljednjima:

Pa, s "repovima" sve je općenito elementarno:

Zamijenimo pronađene derivacije u našu formulu:

Kada je funkcija u početku predložena na zamršen način, bit će logična (i to je gore objašnjeno!) ostavite rezultate onakvima kakvi jesu:

Istovremeno, u “sofisticiranim” odgovorima bolje je suzdržati se čak i od minimalnih pojednostavljenja (ovdje npr. moli da se uklone 3 minusa)- i imate manje posla, a vaš dlakavi prijatelj rado lakše pregleda zadatak.

Međutim, gruba provjera neće biti suvišna. Zamijenimo u pronađenu derivaciju i izvršiti pojednostavljenja:


(u zadnjem koraku koji smo koristili trigonometrijske formule , )

Kao rezultat, dobiven je isti rezultat kao i kod "barbarske" metode rješenja.

Izračunajmo derivaciju u točki. Prvo je prikladno saznati "tranzitne" vrijednosti (vrijednosti funkcije ) :

Sada izrađujemo konačne izračune, koji se u ovom slučaju mogu izvesti na različite načine. Koristim zanimljivu tehniku ​​u kojoj se 3. i 4. “kat” pojednostavljuju ne prema uobičajenim pravilima, već se transformiraju kao kvocijent dvaju brojeva:

I, naravno, grijeh je ne provjeriti pomoću kompaktnijeg zapisa :

Odgovor:

Dešava se da je problem predložen u "poluopćem" obliku:

"Nađite izvod funkcije gdje je »

To jest, "glavna" funkcija nije dana, ali su njeni "umetci" prilično specifični. Odgovor treba dati u istom stilu:

Štoviše, uvjet može biti malo šifriran:

„Nađite izvod funkcije »

U ovom slučaju trebate na svome označite ugniježđene funkcije nekim prikladnim slovima, na primjer, kroz i koristite istu formulu:

Usput, o oznakama slova. U više navrata sam pozivao da se ne “drže za slova” kao za spas, a sada je to posebno aktualno! Analizirajući razne izvore na tu temu, općenito sam stekao dojam da su autori "poludjeli" i počeli nemilosrdno bacati učenike u olujni ponor matematike =) Pa oprostite mi :))

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije , Ako

Ostale oznake ne bi trebale biti zbunjujuće! Svaki put kad se susrećete s ovakvim zadatkom, trebate odgovoriti na dva jednostavna pitanja:

1) O čemu ovisi "glavna" funkcija? U ovom slučaju funkcija “zet” ovisi o dvije funkcije (“y” i “ve”).

2) O kojim varijablama ovise ugniježđene funkcije? U ovom slučaju oba "umetka" ovise samo o "X".

Stoga ne biste trebali imati poteškoća s prilagodbom formule ovom zadatku!

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Dodatni primjeri prve vrste mogu se pronaći u Rjabuškova problemska knjiga (IDZ 10.1), pa, idemo prema funkcija tri varijable:

Primjer 3

S obzirom na funkciju gdje je .
Izračunajte derivaciju u točki

Formula za derivat složene funkcije, kao što mnogi pretpostavljaju, ima srodni oblik:

Odlučite kada pogodite =)

Za svaki slučaj, dat ću opću formulu za funkciju:
, iako je malo vjerojatno da ćete u praksi vidjeti nešto duže od primjera 3.

Osim toga, ponekad je potrebno razlikovati "skraćenu" verziju - u pravilu, funkciju oblika ili. Ovo pitanje ostavljam vama da sami proučite - smislite nekoliko jednostavnih primjera, razmislite, eksperimentirajte i izvedite skraćene formule za izvedenice.

Ako vam još nešto nije jasno, polako ponovno pročitajte i shvatite prvi dio lekcije, jer će sada zadatak postati kompliciraniji:

Primjer 4

Pronađite parcijalne derivacije složene funkcije, gdje

Riješenje: ovu funkciju ima oblik , a nakon izravne zamjene i dobivamo uobičajenu funkciju dviju varijabli:

Ali takav strah ne samo da se ne prihvaća, već se više ne želi razlikovati =) Stoga ćemo koristiti gotove formule. Kako bih vam pomogao da brzo shvatite obrazac, napravit ću neke bilješke:

Pažljivo pogledajte sliku od vrha do dna i slijeva nadesno….

Prvo, pronađimo parcijalne derivacije "glavne" funkcije:

Sada nalazimo "X" izvedenice od "obloga":

i zapišite konačni "X" izvod:

Slično s "igrom":

I

Možete se držati drugog stila - pronaći sve "repove" odjednom a zatim zapiši obje izvedenice.

Odgovor:

O zamjeni nekako uopće ne razmišljam o tome =) =), ali možete malo dotjerati rezultate. Mada, opet, zašto? – samo otežavaju nastavniku provjeru.

Ako je potrebno, onda puni diferencijal ovdje je napisano prema uobičajenoj formuli, i, usput, na ovom koraku lagana kozmetika postaje prikladna:


Ovo je... ...lijes na kotačima.

Zbog popularnosti vrste složene funkcije koja se razmatra, postoji nekoliko zadataka za samostalno rješavanje. Jednostavniji primjer u "polu-općem" obliku je za razumijevanje same formule;-):

Primjer 5

Nađite parcijalne derivacije funkcije, gdje je

I još kompliciranije - uz uključivanje tehnika diferencijacije:

Primjer 6

Pronađite potpuni diferencijal funkcije , Gdje

Ne, uopće vas ne pokušavam "poslati na dno" - svi primjeri su preuzeti iz pravi posao, a “na otvorenom moru” možete naići na bilo koja slova. U svakom slučaju, morat ćete analizirati funkciju (odgovaranje na 2 pitanja – vidi gore), predstavite ga u opći pogled i pažljivo modificirati formule parcijalnih izvoda. Možda ste sada malo zbunjeni, ali shvatit ćete sam princip njihove izgradnje! Jer pravi izazovi tek počinju :)))

Primjer 7

Pronađite parcijalne derivacije i stvorite potpuni diferencijal složene funkcije
, Gdje

Riješenje: funkcija “main” ima oblik i još uvijek ovisi o dvije varijable – “x” i “y”. Ali u usporedbi s primjerom 4, dodana je još jedna ugniježđena funkcija, pa su stoga formule parcijalnih izvoda također produljene. Kao u tom primjeru, za bolju vizualizaciju uzorka, označit ću "glavne" parcijalne derivacije različitim bojama:

I opet, pažljivo proučite zapis od vrha do dna i slijeva na desno.

Budući da je problem formuliran u "polu-općem" obliku, sav naš rad je u biti ograničen na pronalaženje parcijalnih derivacija ugrađenih funkcija:

Učenik prvog razreda može se nositi s:

Čak je i puni diferencijal ispao prilično lijep:

Namjerno vam nisam ponudio nikakvu specifičnu funkciju - kako nepotrebni nered ne bi smetao dobrom razumijevanju shematski dijagram zadaci.

Odgovor:

Vrlo često možete pronaći ulaganja "mješovite veličine", na primjer:

Ovdje "glavna" funkcija, iako ima oblik, još uvijek ovisi o "x" i "y". Stoga rade iste formule - samo će neke parcijalne derivacije biti jednake nuli. Štoviše, to vrijedi i za funkcije poput , u kojem svaki "liner" ovisi o jednoj varijabli.

Slična situacija događa se u zadnja dva primjera lekcije:

Primjer 8

Pronađite ukupni diferencijal složene funkcije u točki

Riješenje: uvjet je formuliran na “proračunski” način, a mi moramo sami označiti ugniježđene funkcije. Mislim da je ovo dobra opcija:

"Umetci" sadrže ( PAŽNJA!) TRI slova su dobri stari “X-Y-Z”, što znači da “glavna” funkcija zapravo ovisi o tri varijable. Može se formalno prepisati kao , a parcijalne derivacije u ovom slučaju određene su sljedećim formulama:

Skeniramo, istražujemo, snimamo….

U našem zadatku:

Definicija. Varijabilna z(s područjem promjene Z) nazvao funkcija dviju neovisnih varijabli x,y u izobilju M, ako svaki par ( x,y) od mnogih M z iz Z.

Definicija. Gomila M, u kojem su navedene varijable x,y, nazvao domena funkcije, skup Z – raspon funkcija, i sebe x,y- nju argumenti.

Oznake: z = f(x,y), z = z(x,y).

Primjeri.

Definicija . Varijabilna z(s područjem promjene Z) nazvao funkcija nekoliko neovisnih varijabli u izobilju M, ako svaki skup brojeva iz skupa M prema nekom pravilu ili zakonu, dodjeljuje se jedna određena vrijednost z iz Z. Koncepti argumenata, domene definicije i domene vrijednosti uvode se na isti način kao za funkciju dviju varijabli.

Oznake: z = f, z = z.

Komentar. Od par brojeva ( x,y) možemo smatrati koordinatama određene točke na ravnini, kasnije ćemo koristiti izraz "točka" za par argumenata funkcije dviju varijabli, kao i za uređeni skup brojeva koji su argumenti funkciji nekoliko varijabli.

Geometrijski prikaz funkcije dviju varijabli

Razmotrite funkciju

z = f(x,y), (15.1)

definirana u nekom području M na O ravnini xy. Zatim skup točaka u trodimenzionalnom prostoru s koordinatama ( x,y,z), gdje je , graf funkcije dviju varijabli. Budući da jednadžba (15.1) definira određenu površinu u trodimenzionalnom prostoru, bit će geometrijska slika dotičnu funkciju.

Funkcijska domena z = f(x,y) u najjednostavnijim slučajevima, to je ili dio ravnine omeđen zatvorenom krivuljom, a točke te krivulje (granice područja) mogu i ne moraju pripadati domeni definicije, ili cijela ravnina, ili, konačno, skup od nekoliko dijelova xOy ravnine.

z = f(x,y)

Primjeri uključuju jednadžbe ravnine z = sjekira + by + c

i površine drugog reda: z = x² + g² (paraboloid revolucije),

(konus), itd.

Komentar. Za funkciju od tri ili više varijabli koristit ćemo izraz "površina u n-dimenzionalni prostor”, iako je takvu površinu nemoguće prikazati.

Nivelirajte linije i površine

Za funkciju dviju varijabli danu jednadžbom (15.1), možemo razmotriti skup točaka ( x,y) O avionu xy, za koji z poprima istu konstantnu vrijednost, tj z= konst. Te točke čine pravac na ravnini tzv linija razine.

Primjer.

Pronađite linije razine za površinu z = 4 – x² - g². Njihove jednadžbe izgledaju ovako x² + g² = 4 – c(c=const) – jednadžbe koncentričnih kružnica sa središtem u ishodištu i s polumjerima . Na primjer, kada S=0 dobijemo krug x² + g² = 4.

Za funkciju triju varijabli u = u(x, y, z) jednadžba u(x, y, z) = c definira plohu u trodimenzionalnom prostoru, koja se tzv ravna površina.

Primjer.

Za funkciju u = 3x + 5g – 7z–12 ravnih površina bit će skup paralelnih ravnina danih jednadžbama 3 x + 5g – 7z –12 + S = 0.

Limit i neprekidnost funkcije više varijabli

Predstavimo koncept δ-susjedstva bodova M 0 (x 0, y 0) na O ravnini xy kao krug radijusa δ sa središtem u datoj točki. Slično, možemo definirati δ-susjedstvo u trodimenzionalnom prostoru kao loptu radijusa δ sa središtem u točki M 0 (x 0, y 0, z 0). Za n-dimenzionalni prostor nazvat ćemo δ-okolina točke M 0 skup bodova M s koordinatama koje zadovoljavaju uvjet

gdje su koordinate točke M 0 . Ponekad se ovaj set naziva "loptom". n-dimenzionalni prostor.

Definicija. Broj A se zove ograničiti funkcije više varijabli f u točki M 0 ako je takav da | f(M) – A| < ε для любой точки M iz δ-susjedstva M 0 .

Oznake: .

Mora se uzeti u obzir da je u ovom slučaju točka M možda se približava M 0, relativno govoreći, duž bilo koje putanje unutar δ-okoline točke M 0 . Stoga treba razlikovati limit funkcije više varijabli u općem smislu od tzv ponovljene granice dobiven uzastopnim prijelazima do granice za svaki argument posebno.

Primjeri.

Komentar. Može se dokazati da iz postojanja limita u danoj točki u uobičajenom smislu i postojanja limita u tom trenutku na pojedinačne argumente slijedi postojanje i jednakost ponovljenih limita. Obrnuta tvrdnja nije istinita.

Definicija Funkcija f nazvao stalan u točki M 0 ako (15.2)

Ako uvedemo oznaku , tada se uvjet (15.2) može prepisati u obliku (15.3)

Definicija . Unutarnja točka M 0 domena funkcije z = f(M) nazvao prijelomna točka funkcija ako uvjeti (15.2), (15.3) nisu zadovoljeni u ovoj točki.

Komentar. Mnoge točke diskontinuiteta mogu nastati na ravnini ili u prostoru linije ili površina prijeloma.

Primjeri.

Svojstva limita i kontinuiranih funkcija

Budući da se definicije limesa i kontinuiteta za funkciju više varijabli praktički podudaraju s odgovarajućim definicijama za funkciju jedne varijable, onda su za funkcije više varijabli sačuvana sva svojstva limesa i kontinuiranih funkcija dokazana u prvom dijelu kolegija. , naime:

1) Ako postoje, onda postoje i (ako).

2) Ako a i za bilo koji ja postoje granice i postoji gdje M 0, tada postoji limit složene funkcije na , gdje su koordinate točke R 0 .

3) Ako funkcije f(M) I g(M) kontinuirano u točki M 0, tada su u ovoj točki funkcije također kontinuirane f(M) + g(M), kf(M), f(M) g(M), f(M)/g(M)(Ako g(M 0) ≠ 0).

4) Ako su funkcije neprekidne u točki P 0, a funkcija je kontinuirana u točki M 0, gdje je , tada je kompleksna funkcija kontinuirana u točki R 0 .

5) Funkcija je kontinuirana u zatvorenom ograničenom području D, zauzima svoje najveće i najmanje vrijednosti u ovoj regiji.

6) Ako je funkcija kontinuirana u zatvorenom ograničenom području D, uzima vrijednosti u ovoj regiji A I U, a zatim zahvaća područje D i bilo koja srednja vrijednost koja se nalazi između A I U.

7) Ako je funkcija kontinuirana u zatvorenom ograničenom području D, uzima vrijednosti različitih znakova u ovoj regiji, tada postoji a barem jedan bod od područja D, pri čemu f = 0.

Parcijalne derivacije

Razmotrimo promjenu funkcije kada specificiramo inkrement samo jednom od njenih argumenata - x i, i nazovimo ga .

Definicija . Parcijalna derivacija funkcije po argumentu x i nazvao .

Oznake: .

Dakle, parcijalna derivacija funkcije više varijabli zapravo je definirana kao derivacija funkcije jedna varijabla – x ​​i. Dakle, sva svojstva derivacija dokazana za funkciju jedne varijable vrijede za nju.

Komentar. U praktičnom izračunu parcijalnih derivacija koristimo se uobičajenim pravilima za diferenciranje funkcije jedne varijable, uz pretpostavku da je argument po kojem se provodi diferenciranje varijabilan, a da su ostali argumenti konstantni.

Primjeri .

1. z = 2x² + 3 xy –12g² + 5 x – 4g +2,

2. z = xy,

Geometrijska interpretacija parcijalnih derivacija funkcije dviju varijabli

Razmotrimo jednadžbu površine z = f(x,y) i nacrtati ravninu x = konst. Odaberimo točku na liniji presjeka ravnine i plohe M(x,y). Ako navedete argument na prirast Δ na i razmotrimo točku T na krivulji s koordinatama ( x, y+Δ y, z+Δy z), zatim tangens kuta koji čini sekansa MT s pozitivnim smjerom osi O na, bit će jednako . Prelaskom na granicu na , nalazimo da je parcijalna derivacija jednaka tangensu kuta koji tvori tangenta na rezultirajuću krivulju u točki M s pozitivnim smjerom O osi u. Prema tome, parcijalna derivacija jednaka je tangensu kuta s O osi x tangenta na krivulju dobivenu kao rezultat presjeka površine z = f(x,y) avion y = konst.

Diferencijabilnost funkcije više varijabli

Kada proučavamo pitanja vezana uz diferencijabilnost, ograničit ćemo se na slučaj funkcije triju varijabli, budući da su svi dokazi za više varijable se izvode na isti način.

Definicija . Puni prirast funkcije u = f(x, y, z) nazvao

Teorem 1. Ako parcijalne derivacije postoje u točki ( x 0, y 0, z 0) iu nekim od njegovih susjedstava i kontinuirani su u točki ( x 0, y 0, z 0) tada su ograničeni (budući da njihovi moduli ne prelaze 1).

Tada se prirast funkcije koji zadovoljava uvjete iz teorema 1 može prikazati kao: , (15.6)

Definicija . Ako je inkrement funkcije u = f (x, y, z) u točki ( x 0, y 0, z 0) može se prikazati u obliku (15.6), (15.7), tada se funkcija poziva diferencijabilan u ovom trenutku, a izraz je glavni linearni dio prirasta ili puni diferencijal dotičnu funkciju.

Oznake: du, df (x 0 , y 0 , z 0).

Baš kao u slučaju funkcije jedne varijable, diferencijali nezavisnih varijabli se smatraju njihovim proizvoljnim priraštajima, dakle

Napomena 1. Dakle, izjava "funkcija je diferencijabilna" nije ekvivalentna izjavi "funkcija ima parcijalne derivacije" - za diferencijabilnost je također potreban kontinuitet ovih derivacija u dotičnoj točki.

.

Razmotrite funkciju i odaberite x 0 = 1, y 0 = 2. Tada je Δ x = 1,02 – 1 = 0,02; Δ y = 1,97 – 2 = -0,03. Nađimo

Stoga s obzirom na to f ( 1, 2) = 3, dobivamo.